मॉडलिंग आधुनिक जीवन में सबसे महत्वपूर्ण उपकरणों में से एक है जब कोई भविष्य की भविष्यवाणी करना चाहता है। और यह आश्चर्य की बात नहीं है, क्योंकि इस पद्धति की सटीकता बहुत अधिक है। आइए देखें कि इस लेख में नियतात्मक मॉडल क्या है।

सामान्य जानकारी

नियतात्मक प्रणाली मॉडल में यह विशेषता होती है कि यदि वे काफी सरल हैं तो उनका विश्लेषणात्मक रूप से विश्लेषण किया जा सकता है। अन्यथा, इस उद्देश्य के लिए महत्वपूर्ण संख्या में समीकरणों और चरों का उपयोग करते समय, इलेक्ट्रॉनिक कंप्यूटरों का उपयोग किया जा सकता है। इसके अलावा, कंप्यूटर सहायता, एक नियम के रूप में, केवल उन्हें हल करने और उत्तर खोजने के लिए नीचे आती है। इस वजह से, समीकरणों की प्रणालियों को बदलना और एक अलग विवेक का उपयोग करना आवश्यक है। और इससे गणना में त्रुटियों का खतरा बढ़ जाता है। सभी प्रकार के नियतात्मक मॉडल इस तथ्य की विशेषता है कि अध्ययन के तहत एक निश्चित अंतराल पर मापदंडों का ज्ञान हमें ज्ञात संकेतकों से परे विकास की गतिशीलता को पूरी तरह से निर्धारित करने की अनुमति देता है।

peculiarities

कारक मॉडलिंग

इसके संदर्भ पूरे लेख में देखे जा सकते हैं, लेकिन हमने अभी तक इस पर चर्चा नहीं की है कि यह क्या है। कारक मॉडलिंग का तात्पर्य है कि मुख्य प्रावधानों पर प्रकाश डाला गया है, जिसके लिए एक मात्रात्मक तुलना आवश्यक है। निर्धारित लक्ष्यों को प्राप्त करने के लिए, अध्ययन रूप का परिवर्तन करता है।

यदि एक कठोर नियतात्मक मॉडल में दो से अधिक कारक होते हैं, तो इसे मल्टीफैक्टोरियल कहा जाता है। इसका विश्लेषण विभिन्न तरीकों से किया जा सकता है। एक उदाहरण के रूप में, हम देते हैं इस मामले में, यह पूर्व-स्थापित और विकसित एक प्राथमिकता मॉडल के दृष्टिकोण से निर्धारित कार्यों पर विचार करता है। उनमें से चुनाव सामग्री प्रतिनिधित्व के अनुसार किया जाता है।

मॉडल के गुणात्मक निर्माण के लिए, तकनीकी प्रक्रिया के सार और इसके कारण और प्रभाव संबंधों के सैद्धांतिक और प्रयोगात्मक अध्ययन का उपयोग करना आवश्यक है। यह उन विषयों का मुख्य लाभ है जिन पर हम विचार कर रहे हैं। नियतात्मक मॉडल हमारे जीवन के कई क्षेत्रों में सटीक पूर्वानुमान लगाने की अनुमति देते हैं। उनके गुणवत्ता मानकों और बहुमुखी प्रतिभा के कारण, वे इतने व्यापक हो गए हैं।

साइबरनेटिक नियतात्मक मॉडल

बाहरी वातावरण के आक्रामक गुणों में किसी भी, यहां तक ​​​​कि सबसे महत्वहीन परिवर्तनों के साथ होने वाली विश्लेषण-आधारित क्षणिक प्रक्रियाओं के कारण वे हमारे लिए रुचि रखते हैं। गणना की सरलता और गति के लिए, मामलों की वर्तमान स्थिति को एक सरलीकृत मॉडल द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। यह महत्वपूर्ण है कि यह सभी बुनियादी आवश्यकताओं को पूरा करे।

स्वचालित नियंत्रण प्रणाली की दक्षता और उसके निर्णयों की प्रभावशीलता सभी आवश्यक मापदंडों की एकता पर निर्भर करती है। उसी समय, निम्नलिखित समस्या को हल करना आवश्यक है: जितनी अधिक जानकारी एकत्र की जाती है, त्रुटि की संभावना उतनी ही अधिक होती है और प्रसंस्करण समय जितना लंबा होता है। लेकिन अगर आप अपने डेटा के संग्रह को सीमित करते हैं, तो आप कम विश्वसनीय परिणाम पर भरोसा कर सकते हैं। इसलिए, एक बीच का रास्ता खोजना आवश्यक है जो पर्याप्त सटीकता की जानकारी प्राप्त करने की अनुमति देगा, और साथ ही यह अनावश्यक तत्वों द्वारा अनावश्यक रूप से जटिल नहीं होगा।

गुणक नियतात्मक मॉडल

यह कारकों को उनके सेट में विभाजित करके बनाया गया है। एक उदाहरण के रूप में, हम विनिर्मित उत्पादों (पीपी) की मात्रा बनाने की प्रक्रिया पर विचार कर सकते हैं। तो, इसके लिए श्रम (पीसी), सामग्री (एम) और ऊर्जा (ई) होना आवश्यक है। इस मामले में, पीपी कारक को एक सेट (आरएस; एम; ई) में विभाजित किया जा सकता है। यह विकल्प कारक प्रणाली के गुणक रूप और इसके अलग होने की संभावना को दर्शाता है। इस मामले में, आप निम्नलिखित परिवर्तन विधियों का उपयोग कर सकते हैं: विस्तार, औपचारिक अपघटन और लंबा करना। पहले विकल्प ने विश्लेषण में व्यापक आवेदन पाया है। इसका उपयोग किसी कर्मचारी के प्रदर्शन की गणना करने के लिए किया जा सकता है, और इसी तरह।

लंबा होना एक मान को दूसरे कारकों से बदल देता है। लेकिन अंतिम परिणाम एक ही संख्या होना चाहिए। विस्तार का एक उदाहरण हमारे द्वारा ऊपर माना गया था। केवल औपचारिक विस्तार शेष है। इसमें एक या अधिक पैरामीटरों के प्रतिस्थापन के कारण मूल फैक्टोरियल मॉडल के हर को लंबा करने का उपयोग शामिल है। इस उदाहरण पर विचार करें: हम उत्पादन की लाभप्रदता की गणना करते हैं। ऐसा करने के लिए, लाभ की राशि को लागत की राशि से विभाजित किया जाता है। गुणा करते समय, एक मूल्य के बजाय, हम सामग्री, कर्मियों, करों, आदि के लिए कुल व्यय से विभाजित करते हैं।

संभावनाओं

ओह, अगर सब कुछ योजना के अनुसार हुआ! लेकिन ऐसा कम ही होता है। इसलिए, व्यवहार में, नियतात्मक और अक्सर एक साथ उपयोग किए जाते हैं। बाद के बारे में क्या कहा जा सकता है? उनकी ख़ासियत यह है कि वे विभिन्न संभावनाओं को भी ध्यान में रखते हैं। उदाहरण के लिए, निम्नलिखित लें। दो राज्य हैं। उनके बीच संबंध बहुत खराब हैं। तीसरा पक्ष तय करता है कि किसी एक देश के उद्यमों में निवेश करना है या नहीं। आखिरकार, अगर युद्ध छिड़ जाता है, तो मुनाफे को बहुत नुकसान होगा। या आप उच्च भूकंपीय गतिविधि वाले क्षेत्र में संयंत्र के निर्माण का उदाहरण दे सकते हैं। यहां, आखिरकार, प्राकृतिक कारक हैं जिन्हें बिल्कुल ध्यान में नहीं रखा जा सकता है, यह केवल लगभग किया जा सकता है।

निष्कर्ष

हमने विचार किया है कि नियतात्मक विश्लेषण के मॉडल क्या हैं। काश, उन्हें पूरी तरह से समझने और उन्हें व्यवहार में लाने में सक्षम होने के लिए, आपको बहुत अच्छी तरह से सीखना चाहिए। सैद्धांतिक नींव पहले से ही मौजूद हैं। साथ ही, लेख के ढांचे के भीतर, अलग-अलग सरल उदाहरण प्रस्तुत किए गए थे। इसके अलावा, काम करने वाली सामग्री की क्रमिक जटिलता के मार्ग का अनुसरण करना बेहतर है। आप अपने कार्य को थोड़ा सरल कर सकते हैं और ऐसे सॉफ़्टवेयर के बारे में सीखना शुरू कर सकते हैं जो उपयुक्त अनुकरण कर सकता है। लेकिन चुनाव कुछ भी हो, बुनियादी बातों को समझें और क्या, कैसे और क्यों के बारे में सवालों के जवाब देने में सक्षम हों, यह अभी भी आवश्यक है। आपको सही इनपुट डेटा चुनने और सही क्रियाओं को चुनने के साथ शुरुआत करना सीखना चाहिए। तब कार्यक्रम अपने कार्यों को सफलतापूर्वक करने में सक्षम होंगे।

अब तक हमने जिन सिस्टम मॉडलों के बारे में बात की है, वे नियतात्मक (परिभाषित) हैं, अर्थात। इनपुट एक्शन के कार्य ने सिस्टम के आउटपुट को स्पष्ट रूप से निर्धारित किया। हालांकि, व्यवहार में यह शायद ही कभी होता है: वास्तविक प्रणालियों का विवरण आमतौर पर अनिश्चितता की विशेषता होती है। उदाहरण के लिए, एक स्थिर मॉडल के लिए, स्थान (2.1) संबंध लिखकर अनिश्चितता को ध्यान में रखा जा सकता है

सिस्टम आउटपुट में त्रुटि कहां कम हो गई है।

अनिश्चितता के कारण विविध हैं:

- सिस्टम इनपुट और आउटपुट (प्राकृतिक त्रुटियों) के मापन में त्रुटियां और हस्तक्षेप;

- सिस्टम मॉडल की अशुद्धि, जो इसे कृत्रिम रूप से मॉडल में त्रुटि पेश करने के लिए आवश्यक बनाती है;

- सिस्टम पैरामीटर आदि के बारे में अधूरी जानकारी।

अनिश्चितता को स्पष्ट करने और औपचारिक रूप देने के विभिन्न तरीकों में, सबसे व्यापक अराजक (संभाव्य) दृष्टिकोण है, जिसमें अनिश्चित मात्रा को यादृच्छिक माना जाता है। संभाव्यता सिद्धांत और गणितीय आँकड़ों का विकसित वैचारिक और कम्प्यूटेशनल तंत्र एक प्रणाली की संरचना को चुनने और उसके मापदंडों का अनुमान लगाने के लिए विशिष्ट सिफारिशें देना संभव बनाता है। प्रणालियों और उनके अध्ययन के तरीकों के स्टोकेस्टिक मॉडल का वर्गीकरण तालिका में प्रस्तुत किया गया है। 1.4. निष्कर्ष और सिफारिशें औसत प्रभाव पर आधारित होती हैं: एक निश्चित मात्रा के माप परिणामों के यादृच्छिक विचलन इसके अपेक्षित मूल्य से एक दूसरे को रद्द कर देते हैं, और बड़ी संख्या में माप का अंकगणितीय माध्य अपेक्षित मूल्य के करीब हो जाता है। . इस आशय के गणितीय सूत्र बड़ी संख्या के नियम और केंद्रीय सीमा प्रमेय द्वारा दिए गए हैं। बड़ी संख्याओं का नियम कहता है कि यदि गणितीय अपेक्षा (माध्य) और विचरण के साथ यादृच्छिक चर हैं, तो

काफी बड़े के लिए एन. यह माप से मनमाने ढंग से सटीक अनुमान की मौलिक संभावना को इंगित करता है। केंद्रीय सीमा प्रमेय, जो (2.32) को परिष्कृत करता है, कहता है कि

एक मानक सामान्य रूप से वितरित यादृच्छिक चर कहाँ है

चूंकि मात्रा का वितरण अच्छी तरह से ज्ञात और सारणीबद्ध है (उदाहरण के लिए, यह ज्ञात है कि संबंध (2.33) हमें अनुमान त्रुटि की गणना करने की अनुमति देता है। उदाहरण के लिए, यह पता लगाना आवश्यक है कि अनुमान लगाने में त्रुटि कितने मापों पर है 0.95 की संभावना के साथ उनकी गणितीय अपेक्षा 0.01 से कम होगी, यदि प्रत्येक माप का विचरण 0.25 के बराबर है (2.33) से हम पाते हैं कि असमानता कहाँ से होनी चाहिए एन> 10000.

बेशक, फॉर्मूलेशन (2.32), (2.33) को अधिक कठोर रूप दिया जा सकता है, और यह संभाव्य अभिसरण की अवधारणाओं का उपयोग करके आसानी से किया जा सकता है। इन सख्त बयानों की शर्तों की जांच करने की कोशिश करते समय कठिनाइयां उत्पन्न होती हैं। उदाहरण के लिए, बड़ी संख्या के नियम और केंद्रीय सीमा प्रमेय में, एक यादृच्छिक चर के व्यक्तिगत माप (प्राप्ति) की स्वतंत्रता और इसके विचरण की परिमितता की आवश्यकता होती है। यदि इन शर्तों का उल्लंघन किया जाता है, तो निष्कर्ष का भी उल्लंघन किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, यदि सभी माप समान हैं: तो, हालांकि अन्य सभी शर्तें संतुष्ट हैं, औसत प्रश्न से बाहर है। एक अन्य उदाहरण: बड़ी संख्या का नियम अनुचित है यदि यादृच्छिक चर को कॉची कानून के अनुसार वितरित किया जाता है (एक वितरण घनत्व के साथ जिसमें सीमित गणितीय अपेक्षा और भिन्नता नहीं होती है। लेकिन ऐसा कानून जीवन में होता है! समुद्र में (जहाज पर) और यादृच्छिक समय पर चालू किया गया।

लेकिन इससे भी अधिक कठिन शब्द "यादृच्छिक" के उपयोग की वैधता का सत्यापन है। एक यादृच्छिक चर क्या है, एक यादृच्छिक घटना, आदि। यह अक्सर कहा जाता है कि घटना लेकिनसंयोग से, यदि प्रयोग के परिणामस्वरूप यह हो सकता है (संभावना के साथ आर)या नहीं होना (1 की संभावना के साथ) आर)।हालाँकि, सब कुछ इतना सरल नहीं है। संभाव्यता की अवधारणा को प्रयोगों के परिणामों के साथ केवल प्रयोगों की एक निश्चित पंक्ति (श्रृंखला) में होने की आवृत्ति के माध्यम से जोड़ा जा सकता है: जहां एन एउन प्रयोगों की संख्या है जिनमें घटना घटी है, एन- कुल गणना; प्रयोग। यदि संख्या पर्याप्त रूप से बड़ी है एनकुछ स्थिर संख्या तक पहुंचें आर ए:

वह घटना लेकिनयादृच्छिक कहा जा सकता है, और संख्या आर- इसकी संभावना। इस मामले में, प्रयोगों की विभिन्न श्रृंखलाओं में देखी गई आवृत्तियों को एक दूसरे के करीब होना चाहिए (इस संपत्ति को कहा जाता है .) सांख्यिकीय स्थिरताया एकरूपता)।यह एक यादृच्छिक चर की अवधारणा पर भी लागू होता है, क्योंकि मान यादृच्छिक होता है यदि घटनाएं यादृच्छिक होती हैं (और<£<Ь} для любых чисел एक,बी।प्रयोगों की लंबी श्रृंखला में ऐसी घटनाओं की घटनाओं की आवृत्ति कुछ स्थिर मूल्यों के आसपास होनी चाहिए।

इसलिए, स्टोकेस्टिक दृष्टिकोण की प्रयोज्यता के लिए, निम्नलिखित आवश्यकताओं को पूरा किया जाना चाहिए:

1) प्रयोगों की द्रव्यमान प्रकृति, अर्थात। पर्याप्त रूप से बड़ी संख्या;

2) प्रयोगों की शर्तों की पुनरावृत्ति, विभिन्न प्रयोगों के परिणामों की तुलना को सही ठहराते हुए;

3) सांख्यिकीय स्थिरता।

स्टोकेस्टिक दृष्टिकोण स्पष्ट रूप से एकल प्रयोगों पर लागू नहीं किया जा सकता है: "संभावना है कि कल बारिश होगी", "जेनिथ 0.8 की संभावना के साथ कप जीत जाएगा", आदि जैसे भाव निरर्थक हैं। लेकिन भले ही बड़े पैमाने पर चरित्र और प्रयोगों की पुनरावृत्ति हो, सांख्यिकीय स्थिरता नहीं हो सकती है, और इसे जांचना आसान काम नहीं है। प्रायिकता से आवृत्ति विचलन के ज्ञात अनुमान केंद्रीय सीमा प्रमेय या चेबीशेव की असमानता पर आधारित होते हैं और माप की स्वतंत्रता या कमजोर निर्भरता के बारे में अतिरिक्त परिकल्पना की आवश्यकता होती है। स्वतंत्रता की स्थिति का प्रायोगिक सत्यापन और भी कठिन है, क्योंकि इसके लिए अतिरिक्त प्रयोगों की आवश्यकता होती है।

संभाव्यता के सिद्धांत को लागू करने की पद्धति और व्यावहारिक व्यंजनों का वर्णन वी.एन. द्वारा शिक्षाप्रद पुस्तक में अधिक विस्तार से किया गया है। टुटुबलिना, जिसका एक विचार निम्नलिखित उद्धरणों द्वारा दिया गया है:

"कभी-कभी इंजीनियरों और प्राकृतिक वैज्ञानिकों के बीच पाए जाने वाले भ्रम को मिटाना बेहद जरूरी है, जो संभाव्यता के सिद्धांत से पर्याप्त रूप से परिचित नहीं हैं, कि किसी भी प्रयोग के परिणाम को यादृच्छिक चर के रूप में माना जा सकता है। विशेष रूप से गंभीर मामलों में, यह एक सामान्य वितरण कानून में विश्वास के साथ होता है, और यदि यादृच्छिक चर स्वयं सामान्य नहीं हैं, तो वे मानते हैं कि उनके लघुगणक सामान्य हैं।

"आधुनिक अवधारणाओं के अनुसार, संभाव्य तरीकों के आवेदन का दायरा उन घटनाओं तक सीमित है जो सांख्यिकीय स्थिरता की विशेषता है। हालांकि, सांख्यिकीय स्थिरता का परीक्षण कठिन और हमेशा अधूरा होता है, इसके अलावा, यह अक्सर एक नकारात्मक निष्कर्ष देता है। नतीजतन, ज्ञान के पूरे क्षेत्रों में, उदाहरण के लिए, भूविज्ञान में, ऐसा दृष्टिकोण आदर्श बन गया है, जिसमें सांख्यिकीय स्थिरता की बिल्कुल भी जाँच नहीं की जाती है, जो अनिवार्य रूप से गंभीर त्रुटियों की ओर ले जाती है। इसके अलावा, हमारे प्रमुख वैज्ञानिकों द्वारा किए गए साइबरनेटिक्स के प्रचार ने (कुछ मामलों में!) कुछ हद तक अप्रत्याशित परिणाम दिया: अब यह माना जाता है कि केवल एक मशीन (और एक व्यक्ति नहीं) उद्देश्य वैज्ञानिक परिणाम प्राप्त करने में सक्षम है।

ऐसी परिस्थितियों में, प्रत्येक शिक्षक का कर्तव्य बार-बार उस पुराने सत्य का प्रचार करना है जिसे पीटर I ने रूसी व्यापारियों को प्रेरित करने के लिए (असफल) कोशिश की: कि किसी को ईमानदारी से, बिना धोखे के व्यापार करना चाहिए, क्योंकि अंत में यह अपने लिए अधिक लाभदायक है।

यदि समस्या में अनिश्चितता है, लेकिन स्टोकेस्टिक दृष्टिकोण लागू नहीं है, तो सिस्टम मॉडल कैसे बनाया जाए? फजी सेट थ्योरी पर आधारित वैकल्पिक तरीकों में से एक को नीचे संक्षेप में बताया गया है।

हम आपको याद दिलाते हैं कि एक संबंध (और के बीच संबंध) एक समुच्चय का उपसमुच्चय होता है। वे। जोड़े के कुछ सेट R=(( एक्स, पर)), कहाँ पे,। उदाहरण के लिए, एक कार्यात्मक संबंध (निर्भरता) को जोड़े सहित सेट के बीच संबंध के रूप में दर्शाया जा सकता है ( एक्स, पर) जिसके लिए।

सरलतम मामले में, शायद, एक आर एक पहचान संबंध है यदि।

तालिका में उदाहरण 12-15। 1.1 का आविष्कार 1988 में स्कूल 292 एम. कोरोटीव के कक्षा 86 के एक छात्र द्वारा किया गया था।

यहाँ गणितज्ञ, निश्चित रूप से, नोटिस करेगा कि न्यूनतम (1.4), कड़ाई से बोलते हुए, नहीं पहुँचा जा सकता है, और (1.4) के निर्माण में rnin को inf के साथ बदलना आवश्यक है ("न्यूनतम" सबसे अधिक है समूह)। हालांकि, इस वजह से स्थिति नहीं बदलेगी: इस मामले में औपचारिकता समस्या के सार को नहीं दर्शाती है; गलत तरीके से किया गया। भविष्य में, इंजीनियर को "डराने" के क्रम में, हम न्यूनतम, अधिकतम अंकन का उपयोग करेंगे; यह ध्यान में रखते हुए कि यदि आवश्यक हो, तो उन्हें अधिक सामान्य inf, sup द्वारा प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए।

यहाँ "संरचना" शब्द का प्रयोग कुछ संकुचित अर्थों में किया गया है; 1.1, और इसका अर्थ है सिस्टम में सबसिस्टम की संरचना और कनेक्शन के प्रकार उनके बीच।

एक ग्राफ एक जोड़ी है ( जी, आर), जहां जी = (जी 1 ... जीएन) शीर्षों का एक परिमित समुच्चय है, a - द्विआधारी संबंध जी।यदि, तब, और केवल यदि, तो ग्राफ को अप्रत्यक्ष कहा जाता है; अन्यथा, निर्देशित। जोड़े को आर्क (किनारे) कहा जाता है, और सेट के तत्व जी- ग्राफ कोने।

यानी बीजगणितीय या पारलौकिक।

कड़ाई से बोलते हुए, एक गणनीय सेट एक प्रकार का आदर्शीकरण है जिसे तकनीकी प्रणालियों के सीमित आकार और मानवीय धारणा की सीमाओं के कारण व्यवहार में लागू नहीं किया जा सकता है। ऐसे आदर्श मॉडल (उदाहरण के लिए, प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय एन=(1, 2,...)) परिमित के सेट के लिए परिचय देना समझ में आता है, लेकिन पहले असीमित (या अज्ञात) तत्वों की संख्या के साथ।

औपचारिक रूप से, एक ऑपरेशन की अवधारणा सेट के तत्वों के बीच संबंध की अवधारणा का एक विशेष मामला है। उदाहरण के लिए, दो संख्याओं को जोड़ने की क्रिया एक 3-स्थान (टर्नरी) संबंध को परिभाषित करती है आर:संख्याओं का त्रिक (एक्स, वाई, जेड) जेड) संबंध के अंतर्गत आता है आर(हम लिखते हैं (x, y, z)) यदि z = एक्स + वाई।

सम्मिश्र संख्या, बहुपदों का तर्क लेकिन(), पर().

यह धारणा अक्सर व्यवहार में पूरी होती है।

यदि मान अज्ञात है, तो इसे (2.33) में उस अनुमान से प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए जहां इस मामले में, मान सामान्य रूप से वितरित नहीं किया जाएगा, लेकिन छात्र के नियम के अनुसार, जो कि सामान्य से व्यावहारिक रूप से अप्रभेद्य है।

यह देखना आसान है कि (2.34) घटना होने पर (2.32) का एक विशेष मामला है लेकिनमें आया जे-मी प्रयोग, अन्यथा। जिसमें

और आज आप "... और कंप्यूटर विज्ञान" (लेखक का नोट) जोड़ सकते हैं।

1. अर्थशास्त्र में नियतात्मक और संभाव्य गणितीय मॉडल। फायदे और नुकसान

आर्थिक प्रक्रियाओं के अध्ययन के तरीके गणितीय - नियतात्मक और संभाव्य - मॉडल के उपयोग पर आधारित होते हैं जो अध्ययन की जा रही प्रक्रिया, प्रणाली या गतिविधि के प्रकार का प्रतिनिधित्व करते हैं। ऐसे मॉडल समस्या का मात्रात्मक विवरण देते हैं और सर्वोत्तम विकल्प की तलाश में प्रबंधकीय निर्णय लेने के आधार के रूप में कार्य करते हैं। ये निर्णय कितने न्यायसंगत हैं, क्या वे सर्वोत्तम संभव हैं, इष्टतम समाधान निर्धारित करने वाले सभी कारकों को ध्यान में रखा गया है और तौला गया है, ऐसा कौन सा मानदंड है जो आपको यह निर्धारित करने की अनुमति देता है कि यह समाधान वास्तव में सबसे अच्छा है - ये सीमाएँ हैं प्रश्न जो उत्पादन प्रबंधकों के लिए बहुत महत्वपूर्ण हैं, और जिनके उत्तर संचालन अनुसंधान विधियों का उपयोग करके पाया जा सकता है [चेसनोकोव एस। वी। सामाजिक-आर्थिक डेटा का नियतात्मक विश्लेषण। - एम.: नौका, 1982, पृष्ठ 45]।

नियंत्रण प्रणाली के गठन के सिद्धांतों में से एक साइबरनेटिक (गणितीय) मॉडल की विधि है। गणितीय मॉडलिंग प्रयोग और सिद्धांत के बीच एक मध्यवर्ती स्थिति रखता है: सिस्टम का वास्तविक भौतिक मॉडल बनाने की कोई आवश्यकता नहीं है, इसे गणितीय मॉडल द्वारा प्रतिस्थापित किया जाएगा। नियंत्रण प्रणाली के गठन की ख़ासियत प्रक्रियाओं को नियंत्रित करने के लिए संभाव्य, सांख्यिकीय दृष्टिकोण में निहित है। साइबरनेटिक्स में, यह स्वीकार किया जाता है कि कोई भी नियंत्रण प्रक्रिया यादृच्छिक, परेशान करने वाले प्रभावों के अधीन होती है। इसलिए, उत्पादन प्रक्रिया बड़ी संख्या में कारकों से प्रभावित होती है, जिन्हें नियतात्मक तरीके से ध्यान में नहीं रखा जा सकता है। इसलिए, यह माना जाता है कि उत्पादन प्रक्रिया यादृच्छिक संकेतों से प्रभावित होती है। इस वजह से, किसी उद्यम के काम की योजना बनाना केवल संभाव्य हो सकता है।

इन कारणों से, जब आर्थिक प्रक्रियाओं के गणितीय मॉडलिंग के बारे में बात की जाती है, तो यह अक्सर संभाव्य मॉडल होता है जो कि मतलब होता है।

आइए हम प्रत्येक प्रकार के गणितीय मॉडल का वर्णन करें।

नियतात्मक गणितीय मॉडल इस तथ्य की विशेषता है कि वे प्रदर्शन संकेतक के साथ कुछ कारकों के संबंध को एक कार्यात्मक निर्भरता के रूप में वर्णित करते हैं, अर्थात नियतात्मक मॉडल में, मॉडल के प्रदर्शन संकेतक को उत्पाद, भागफल, कारकों के बीजगणितीय योग के रूप में प्रस्तुत किया जाता है, या किसी अन्य समारोह के रूप में। इस प्रकार के गणितीय मॉडल सबसे आम हैं, क्योंकि, उपयोग करने के लिए काफी सरल (संभाव्य मॉडल की तुलना में) होने के कारण, यह आर्थिक प्रक्रिया के विकास में मुख्य कारकों की कार्रवाई के तर्क को समझना, उनकी मात्रा निर्धारित करना संभव बनाता है। प्रभाव, यह समझने के लिए कि कौन से कारक और किस अनुपात में उत्पादन क्षमता बढ़ाने के लिए परिवर्तन करना संभव और समीचीन है।

संभाव्य गणितीय मॉडल मूल रूप से नियतात्मक मॉडल से भिन्न होते हैं, जिसमें संभाव्य मॉडल में कारकों और परिणामी विशेषता के बीच संबंध संभाव्य (स्टोकेस्टिक) होता है: एक कार्यात्मक निर्भरता (नियतात्मक मॉडल) के साथ, कारकों की एक ही स्थिति परिणामी की एकमात्र स्थिति से मेल खाती है सुविधा, जबकि संभाव्य मॉडल में कारकों की एक और एक ही स्थिति परिणामी विशेषता के राज्यों के एक पूरे सेट से मेल खाती है [टोल्स्टोवा यू। एन। आर्थिक प्रक्रियाओं के गणितीय विश्लेषण का तर्क। - एम .: नौका, 2001, पी। 32-33]।

नियतात्मक मॉडल का लाभ उनके उपयोग में आसानी है। मुख्य दोष वास्तविकता की कम पर्याप्तता है, क्योंकि जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, अधिकांश आर्थिक प्रक्रियाएं प्रकृति में संभाव्य हैं।

संभाव्य मॉडल का लाभ यह है कि, एक नियम के रूप में, वे नियतात्मक मॉडल की तुलना में वास्तविकता (अधिक पर्याप्त) के साथ अधिक सुसंगत हैं। हालांकि, संभाव्य मॉडल का नुकसान उनके आवेदन की जटिलता और श्रमसाध्यता है, इसलिए कई स्थितियों में यह खुद को नियतात्मक मॉडल तक सीमित रखने के लिए पर्याप्त है।

पहली बार, एक इष्टतम परिवहन योजना तैयार करने के प्रस्ताव के रूप में एक रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या का निरूपण; 1930 में सोवियत अर्थशास्त्री ए.एन. टॉल्स्टॉय के काम में कुल लाभ को कम करने की अनुमति दी गई थी।

रैखिक प्रोग्रामिंग समस्याओं के व्यवस्थित अध्ययन और उन्हें हल करने के लिए सामान्य तरीकों के विकास को रूसी गणितज्ञों एल.वी. कांटोरोविच, वी.एस. नेमचिनोव और अन्य गणितज्ञों और अर्थशास्त्रियों के कार्यों में और विकसित किया गया था। इसके अलावा, विदेशी और सबसे बढ़कर, अमेरिकी वैज्ञानिकों के कई काम रैखिक प्रोग्रामिंग के तरीकों के लिए समर्पित हैं।

रैखिक प्रोग्रामिंग का कार्य एक रैखिक कार्य को अधिकतम (न्यूनतम) करना है।

, कहाँ पे

प्रतिबंधों के तहत

और सभी

टिप्पणी। असमानताओं के विपरीत अर्थ भी हो सकते हैं। संबंधित असमानताओं को (-1) से गुणा करके, व्यक्ति हमेशा फॉर्म (*) की एक प्रणाली प्राप्त कर सकता है।

यदि समस्या के गणितीय मॉडल में बाधा प्रणाली के चरों की संख्या और उद्देश्य फ़ंक्शन 2 है, तो इसे ग्राफिक रूप से हल किया जा सकता है।

इसलिए हमें फ़ंक्शन को अधिकतम करने की आवश्यकता है

बाधाओं की एक संतोषजनक प्रणाली के लिए।

आइए हम बाधाओं की प्रणाली की असमानताओं में से एक की ओर मुड़ें।

ज्यामितीय दृष्टिकोण से, इस असमानता को संतुष्ट करने वाले सभी बिंदु या तो एक रेखा पर स्थित होने चाहिए

, या आधे विमानों में से एक से संबंधित है जिसमें इस रेखा का तल विभाजित है। यह पता लगाने के लिए, आपको यह जांचना होगा कि उनमें से किसमें एक बिंदु () है।

टिप्पणी 2. अगर

, बिंदु लेना आसान है (0;0)।

गैर-नकारात्मकता के लिए शर्तें

सीमा रेखाओं के साथ क्रमशः अर्ध-तलों को भी परिभाषित करें . हम मानते हैं कि असमानताओं की प्रणाली सुसंगत है, फिर अर्ध-तल, प्रतिच्छेद करते हुए, एक सामान्य भाग बनाते हैं, जो एक उत्तल सेट है और उन बिंदुओं का एक संग्रह है जिनके निर्देशांक इस प्रणाली का समाधान हैं - यह संभव समाधानों का सेट है . इन बिन्दुओं (समाधानों) के समुच्चय को हल बहुभुज कहते हैं। यह एक बिंदु, एक किरण, एक बहुभुज, एक असीमित बहुभुज क्षेत्र हो सकता है। इस प्रकार, रैखिक प्रोग्रामिंग का कार्य समाधान बहुभुज के ऐसे बिंदु को खोजना है जिस पर उद्देश्य फ़ंक्शन अधिकतम (न्यूनतम) मान लेता है। यह बिंदु तब मौजूद होता है जब समाधान बहुभुज खाली नहीं होता है और उस पर उद्देश्य फ़ंक्शन ऊपर से (नीचे से) घिरा होता है। इन शर्तों के तहत, निर्णय बहुभुज के किसी एक शीर्ष पर, उद्देश्य फ़ंक्शन अधिकतम मान लेता है। इस शीर्ष को निर्धारित करने के लिए, हम एक सीधी रेखा बनाते हैं (जहाँ h कुछ नियतांक है)। अक्सर सीधे लिया जाता है . इस सीधी रेखा की गति की दिशा का पता लगाना बाकी है। यह दिशा उद्देश्य फ़ंक्शन के ग्रेडिएंट (एंटी-ग्रेडिएंट) द्वारा निर्धारित की जाती है। प्रत्येक बिंदु पर एक रेखा के लंबवत , इसलिए f का मान तब बढ़ जाएगा जब सीधी रेखा ढाल की दिशा में चलती है (एंटी-ग्रेडिएंट की दिशा में घट जाती है)। ऐसा करने के लिए, लाइन के समानांतर ढाल (एंटी-ग्रेडिएंट) की दिशा में चलते हुए, सीधी रेखाएँ खींचें।

हम इन निर्माणों को तब तक जारी रखेंगे जब तक कि रेखा समाधान बहुभुज के अंतिम शीर्ष से होकर नहीं गुजरती। यह बिंदु इष्टतम मूल्य निर्धारित करता है।

इसलिए, एक ज्यामितीय विधि द्वारा एक रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या का समाधान खोजने में निम्नलिखित चरण शामिल हैं:

रेखाओं का निर्माण किया जाता है, जिनमें से समीकरणों को प्रतिबंधों में असमानताओं के संकेतों को सटीक समानता के संकेतों के साथ बदलने के परिणामस्वरूप प्राप्त किया जाता है।

समस्या की बाधाओं में से प्रत्येक द्वारा परिभाषित अर्ध-तलों का पता लगाएं।

एक समाधान बहुभुज खोजें।

वेक्टर बनाएँ

.

एक सीधी रेखा बनाएँ

.

समानांतर रेखाएँ बनाएँ

ग्रेडिएंट या एंटी-ग्रेडिएंट की दिशा में, जिसके परिणामस्वरूप वह बिंदु पाया जाता है जिस पर फ़ंक्शन अधिकतम या न्यूनतम मान लेता है, या स्वीकार्य सेट पर फ़ंक्शन के ऊपर (नीचे से) की असीमता स्थापित होती है।

फ़ंक्शन के अधिकतम (न्यूनतम) बिंदु के निर्देशांक निर्धारित किए जाते हैं और इस बिंदु पर उद्देश्य फ़ंक्शन के मूल्य की गणना की जाती है।

तर्कसंगत पोषण की समस्या (आहार की समस्या)

समस्या का निरूपण

खेत व्यावसायिक उद्देश्यों के लिए चर्बी वाले पशुओं का उत्पादन करता है। सरलता के लिए, मान लें कि केवल चार प्रकार के उत्पाद हैं: P1, P2, P3, P4; प्रत्येक उत्पाद की इकाई लागत क्रमशः C1, C2, C3, C4 है। इन उत्पादों से आहार बनाने की आवश्यकता होती है, जिसमें शामिल होना चाहिए: प्रोटीन - कम से कम बी 1 इकाइयाँ; कार्बोहाइड्रेट - बी 2 इकाइयों से कम नहीं; वसा - कम से कम b3 इकाइयाँ। उत्पादों P1, P2, P3, P4 के लिए, प्रोटीन, कार्बोहाइड्रेट और वसा की सामग्री (उत्पाद की प्रति यूनिट में) ज्ञात है और तालिका में दी गई है, जहां aij (i=1,2,3,4; j=1) ,2,3) - कुछ विशिष्ट संख्याएं पहला सूचकांक उत्पाद की संख्या को इंगित करता है, दूसरा - तत्व की संख्या (प्रोटीन, कार्बोहाइड्रेट, वसा)।

अर्थशास्त्र और प्रोग्रामिंग में गणितीय मॉडल

1. अर्थशास्त्र में नियतात्मक और संभाव्य गणितीय मॉडल। फायदे और नुकसान

आर्थिक प्रक्रियाओं के अध्ययन के तरीके गणितीय - नियतात्मक और संभाव्य - मॉडल के उपयोग पर आधारित होते हैं जो अध्ययन की जा रही प्रक्रिया, प्रणाली या गतिविधि के प्रकार का प्रतिनिधित्व करते हैं। ऐसे मॉडल समस्या का मात्रात्मक विवरण देते हैं और सर्वोत्तम विकल्प की तलाश में प्रबंधकीय निर्णय लेने के आधार के रूप में कार्य करते हैं। ये निर्णय कितने न्यायसंगत हैं, क्या वे सर्वोत्तम संभव हैं, इष्टतम समाधान निर्धारित करने वाले सभी कारकों को ध्यान में रखा गया है और तौला गया है, ऐसा कौन सा मानदंड है जो आपको यह निर्धारित करने की अनुमति देता है कि यह समाधान वास्तव में सबसे अच्छा है - ये सीमाएँ हैं प्रश्न जो उत्पादन प्रबंधकों के लिए बहुत महत्वपूर्ण हैं, और जिनके उत्तर संचालन अनुसंधान विधियों का उपयोग करके पाया जा सकता है [चेसनोकोव एस। वी। सामाजिक-आर्थिक डेटा का नियतात्मक विश्लेषण। - एम.: नौका, 1982, पृष्ठ 45]।

नियंत्रण प्रणाली के गठन के सिद्धांतों में से एक साइबरनेटिक (गणितीय) मॉडल की विधि है। गणितीय मॉडलिंग प्रयोग और सिद्धांत के बीच एक मध्यवर्ती स्थिति रखता है: सिस्टम का वास्तविक भौतिक मॉडल बनाने की कोई आवश्यकता नहीं है, इसे गणितीय मॉडल द्वारा प्रतिस्थापित किया जाएगा। नियंत्रण प्रणाली के गठन की ख़ासियत प्रक्रियाओं को नियंत्रित करने के लिए संभाव्य, सांख्यिकीय दृष्टिकोण में निहित है। साइबरनेटिक्स में, यह स्वीकार किया जाता है कि कोई भी नियंत्रण प्रक्रिया यादृच्छिक, परेशान करने वाले प्रभावों के अधीन होती है। इसलिए, उत्पादन प्रक्रिया बड़ी संख्या में कारकों से प्रभावित होती है, जिन्हें नियतात्मक तरीके से ध्यान में नहीं रखा जा सकता है। इसलिए, यह माना जाता है कि उत्पादन प्रक्रिया यादृच्छिक संकेतों से प्रभावित होती है। इस वजह से, किसी उद्यम के काम की योजना बनाना केवल संभाव्य हो सकता है।

इन कारणों से, जब आर्थिक प्रक्रियाओं के गणितीय मॉडलिंग के बारे में बात की जाती है, तो यह अक्सर संभाव्य मॉडल होता है जो कि मतलब होता है।

आइए हम प्रत्येक प्रकार के गणितीय मॉडल का वर्णन करें।

नियतात्मक गणितीय मॉडल इस तथ्य की विशेषता है कि वे प्रदर्शन संकेतक के साथ कुछ कारकों के संबंध को एक कार्यात्मक निर्भरता के रूप में वर्णित करते हैं, अर्थात नियतात्मक मॉडल में, मॉडल के प्रदर्शन संकेतक को उत्पाद, भागफल, कारकों के बीजगणितीय योग के रूप में प्रस्तुत किया जाता है, या किसी अन्य समारोह के रूप में। इस प्रकार के गणितीय मॉडल सबसे आम हैं, क्योंकि, उपयोग करने के लिए काफी सरल (संभाव्य मॉडल की तुलना में) होने के कारण, यह आर्थिक प्रक्रिया के विकास में मुख्य कारकों की कार्रवाई के तर्क को समझना, उनकी मात्रा निर्धारित करना संभव बनाता है। प्रभाव, यह समझने के लिए कि कौन से कारक और किस अनुपात में उत्पादन क्षमता बढ़ाने के लिए परिवर्तन करना संभव और समीचीन है।

संभाव्य गणितीय मॉडल मूल रूप से नियतात्मक मॉडल से भिन्न होते हैं, जिसमें संभाव्य मॉडल में कारकों और परिणामी विशेषता के बीच संबंध संभाव्य (स्टोकेस्टिक) होता है: एक कार्यात्मक निर्भरता (नियतात्मक मॉडल) के साथ, कारकों की एक ही स्थिति परिणामी की एकमात्र स्थिति से मेल खाती है सुविधा, जबकि संभाव्य मॉडल में कारकों की एक और एक ही स्थिति परिणामी विशेषता के राज्यों के एक पूरे सेट से मेल खाती है [टोल्स्टोवा यू। एन। आर्थिक प्रक्रियाओं के गणितीय विश्लेषण का तर्क। - एम .: नौका, 2001, पी। 32-33]।

नियतात्मक मॉडल का लाभ उनके उपयोग में आसानी है। मुख्य दोष वास्तविकता की कम पर्याप्तता है, क्योंकि जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, अधिकांश आर्थिक प्रक्रियाएं प्रकृति में संभाव्य हैं।

संभाव्य मॉडल का लाभ यह है कि, एक नियम के रूप में, वे नियतात्मक मॉडल की तुलना में वास्तविकता (अधिक पर्याप्त) के साथ अधिक सुसंगत हैं। हालांकि, संभाव्य मॉडल का नुकसान उनके आवेदन की जटिलता और श्रमसाध्यता है, इसलिए कई स्थितियों में यह खुद को नियतात्मक मॉडल तक सीमित रखने के लिए पर्याप्त है।

2. खाद्य राशन की समस्या के उदाहरण पर रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या का विवरण

पहली बार, एक इष्टतम परिवहन योजना तैयार करने के प्रस्ताव के रूप में एक रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या का निरूपण; 1930 में सोवियत अर्थशास्त्री ए.एन. टॉल्स्टॉय के काम में कुल लाभ को कम करने की अनुमति दी गई थी।

रैखिक प्रोग्रामिंग समस्याओं के व्यवस्थित अध्ययन और उन्हें हल करने के लिए सामान्य तरीकों के विकास को रूसी गणितज्ञों एल.वी. कांटोरोविच, वी.एस. नेमचिनोव और अन्य गणितज्ञों और अर्थशास्त्रियों के कार्यों में और विकसित किया गया था। इसके अलावा, विदेशी और सबसे बढ़कर, अमेरिकी वैज्ञानिकों के कई काम रैखिक प्रोग्रामिंग के तरीकों के लिए समर्पित हैं।

रैखिक प्रोग्रामिंग का कार्य एक रैखिक कार्य को अधिकतम (न्यूनतम) करना है।

प्रतिबंधों के तहत

और सभी

टिप्पणी। असमानताओं के विपरीत अर्थ भी हो सकते हैं। संबंधित असमानताओं को (-1) से गुणा करके, व्यक्ति हमेशा फॉर्म (*) की एक प्रणाली प्राप्त कर सकता है।

यदि समस्या के गणितीय मॉडल में बाधा प्रणाली के चरों की संख्या और उद्देश्य फ़ंक्शन 2 है, तो इसे ग्राफिक रूप से हल किया जा सकता है।

इसलिए, बाधाओं की एक संतोषजनक प्रणाली के लिए फ़ंक्शन को अधिकतम करना आवश्यक है।

आइए हम बाधाओं की प्रणाली की असमानताओं में से एक की ओर मुड़ें।

ज्यामितीय दृष्टिकोण से, इस असमानता को संतुष्ट करने वाले सभी बिंदु या तो रेखा पर स्थित होने चाहिए या आधे-तलों में से एक से संबंधित होने चाहिए, जिसमें इस रेखा का तल विभाजित है। यह पता लगाने के लिए, आपको यह जांचना होगा कि उनमें से किसमें एक बिंदु () है।

टिप्पणी 2. यदि , तो बिंदु को लेना आसान है (0;0)।

गैर-नकारात्मकता की स्थिति भी सीमा रेखाओं के साथ क्रमशः अर्ध-तलों को परिभाषित करती है। हम मानते हैं कि असमानताओं की प्रणाली सुसंगत है, फिर अर्ध-तल, प्रतिच्छेद करते हुए, एक सामान्य भाग बनाते हैं, जो एक उत्तल सेट है और उन बिंदुओं का एक संग्रह है जिनके निर्देशांक इस प्रणाली का समाधान हैं - यह संभव समाधानों का सेट है . इन बिन्दुओं (समाधानों) के समुच्चय को हल बहुभुज कहते हैं। यह एक बिंदु, एक किरण, एक बहुभुज, एक असीमित बहुभुज क्षेत्र हो सकता है। इस प्रकार, रैखिक प्रोग्रामिंग का कार्य समाधान बहुभुज के ऐसे बिंदु को खोजना है जिस पर उद्देश्य फ़ंक्शन अधिकतम (न्यूनतम) मान लेता है। यह बिंदु तब मौजूद होता है जब समाधान बहुभुज खाली नहीं होता है और उस पर उद्देश्य फ़ंक्शन ऊपर से (नीचे से) घिरा होता है। इन शर्तों के तहत, निर्णय बहुभुज के किसी एक शीर्ष पर, उद्देश्य फ़ंक्शन अधिकतम मान लेता है। इस शीर्ष को निर्धारित करने के लिए, हम एक सीधी रेखा बनाते हैं (जहाँ h कुछ अचर है)। सबसे अधिक बार, एक सीधी रेखा ली जाती है। इस सीधी रेखा की गति की दिशा का पता लगाना बाकी है। यह दिशा उद्देश्य फ़ंक्शन के ग्रेडिएंट (एंटी-ग्रेडिएंट) द्वारा निर्धारित की जाती है।

प्रत्येक बिंदु पर वेक्टर रेखा के लंबवत होता है, इसलिए f का मान बढ़ेगा क्योंकि रेखा ढाल की दिशा में चलती है (एंटी-ग्रेडिएंट की दिशा में कमी)। ऐसा करने के लिए, हम सीधी रेखा के समानांतर सीधी रेखाएँ खींचते हैं, जो ढाल (एंटी-ग्रेडिएंट) की दिशा में चलती हैं।

हम इन निर्माणों को तब तक जारी रखेंगे जब तक कि रेखा समाधान बहुभुज के अंतिम शीर्ष से होकर नहीं गुजरती। यह बिंदु इष्टतम मूल्य निर्धारित करता है।

इसलिए, एक ज्यामितीय विधि द्वारा एक रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या का समाधान खोजने में निम्नलिखित चरण शामिल हैं:

रेखाओं का निर्माण किया जाता है, जिनमें से समीकरणों को प्रतिबंधों में असमानताओं के संकेतों को सटीक समानता के संकेतों के साथ बदलने के परिणामस्वरूप प्राप्त किया जाता है।

समस्या की बाधाओं में से प्रत्येक द्वारा परिभाषित अर्ध-तलों का पता लगाएं।

एक समाधान बहुभुज खोजें।

एक वेक्टर बनाएँ।

एक सीधी रेखा बनाएँ।

समानांतर रेखाएं ग्रेडिएंट या एंटी-ग्रेडिएंट की दिशा में बनाई जाती हैं, जिसके परिणामस्वरूप वे उस बिंदु को ढूंढते हैं जिस पर फ़ंक्शन अधिकतम या न्यूनतम मान लेता है, या फ़ंक्शन को ऊपर से (नीचे से) अनबाउंड होने के लिए सेट करता है। स्वीकार्य सेट।

फ़ंक्शन के अधिकतम (न्यूनतम) बिंदु के निर्देशांक निर्धारित किए जाते हैं और इस बिंदु पर उद्देश्य फ़ंक्शन के मूल्य की गणना की जाती है।

तर्कसंगत पोषण की समस्या (आहार की समस्या)

समस्या का निरूपण

खेत व्यावसायिक उद्देश्यों के लिए चर्बी वाले पशुओं का उत्पादन करता है। सरलता के लिए, मान लें कि केवल चार प्रकार के उत्पाद हैं: P1, P2, P3, P4; प्रत्येक उत्पाद की इकाई लागत क्रमशः C1, C2, C3, C4 है। इन उत्पादों से आहार बनाने की आवश्यकता होती है, जिसमें शामिल होना चाहिए: प्रोटीन - कम से कम बी 1 इकाइयाँ; कार्बोहाइड्रेट - बी 2 इकाइयों से कम नहीं; वसा - कम से कम b3 इकाइयाँ। उत्पादों P1, P2, P3, P4 के लिए, प्रोटीन, कार्बोहाइड्रेट और वसा की सामग्री (उत्पाद की प्रति यूनिट में) ज्ञात है और तालिका में दी गई है, जहां aij (i=1,2,3,4; j=1) ,2,3) - कुछ विशिष्ट संख्याएं पहला सूचकांक उत्पाद की संख्या को इंगित करता है, दूसरा - तत्व की संख्या (प्रोटीन, कार्बोहाइड्रेट, वसा)।

23 जनवरी, 2017

स्टोकेस्टिक मॉडल उस स्थिति का वर्णन करता है जब अनिश्चितता होती है। दूसरे शब्दों में, प्रक्रिया कुछ हद तक यादृच्छिकता की विशेषता है। विशेषण "स्टोकेस्टिक" स्वयं ग्रीक शब्द "अनुमान" से आया है। चूंकि अनिश्चितता रोजमर्रा की जिंदगी की एक प्रमुख विशेषता है, इसलिए ऐसा मॉडल किसी भी चीज का वर्णन कर सकता है।

हालांकि, हर बार जब हम इसे लागू करते हैं, तो परिणाम अलग होगा। इसलिए, नियतात्मक मॉडल अधिक बार उपयोग किए जाते हैं। यद्यपि वे वास्तविक स्थिति के यथासंभव निकट नहीं हैं, वे हमेशा एक ही परिणाम देते हैं और स्थिति को समझना आसान बनाते हैं, गणितीय समीकरणों के एक सेट को पेश करके इसे सरल बनाते हैं।

मुख्य विशेषताएं

एक स्टोकेस्टिक मॉडल में हमेशा एक या अधिक यादृच्छिक चर शामिल होते हैं। वह वास्तविक जीवन को उसकी सभी अभिव्यक्तियों में प्रतिबिंबित करना चाहती है। नियतात्मक मॉडल के विपरीत, स्टोकेस्टिक का लक्ष्य हर चीज को सरल बनाना और इसे ज्ञात मूल्यों तक कम करना नहीं है। इसलिए, अनिश्चितता इसकी प्रमुख विशेषता है। स्टोकेस्टिक मॉडल किसी भी चीज़ का वर्णन करने के लिए उपयुक्त हैं, लेकिन उन सभी में निम्नलिखित सामान्य विशेषताएं हैं:

• कोई भी स्टोकेस्टिक मॉडल उस समस्या के सभी पहलुओं को दर्शाता है जिसके लिए इसे बनाया गया था।
• प्रत्येक घटना का परिणाम अनिश्चित है। इसलिए, मॉडल में संभावनाएं शामिल हैं। समग्र परिणामों की शुद्धता उनकी गणना की सटीकता पर निर्भर करती है।
• इन संभावनाओं का उपयोग स्वयं प्रक्रियाओं की भविष्यवाणी या वर्णन करने के लिए किया जा सकता है।

नियतात्मक और स्टोकेस्टिक मॉडल

कुछ के लिए, जीवन यादृच्छिक घटनाओं की एक श्रृंखला के रूप में प्रकट होता है, दूसरों के लिए - ऐसी प्रक्रियाएं जिनमें कारण प्रभाव को निर्धारित करता है। वास्तव में, यह अनिश्चितता की विशेषता है, लेकिन हमेशा नहीं और हर चीज में नहीं। इसलिए, कभी-कभी स्टोकेस्टिक और नियतात्मक मॉडल के बीच स्पष्ट अंतर खोजना मुश्किल होता है। संभावनाएं काफी व्यक्तिपरक हैं।

उदाहरण के लिए, एक सिक्का उछालने की स्थिति पर विचार करें। पहली नज़र में ऐसा लगता है कि टेल मिलने की 50% संभावना है। इसलिए, एक नियतात्मक मॉडल का उपयोग किया जाना चाहिए। हालांकि, वास्तव में, यह पता चला है कि बहुत कुछ खिलाड़ियों के हाथों की निपुणता और सिक्के के संतुलन की पूर्णता पर निर्भर करता है। इसका मतलब है कि एक स्टोकेस्टिक मॉडल का उपयोग किया जाना चाहिए। हमेशा ऐसे पैरामीटर होते हैं जिन्हें हम नहीं जानते हैं। वास्तविक जीवन में, कारण हमेशा प्रभाव को निर्धारित करता है, लेकिन कुछ हद तक अनिश्चितता भी होती है। नियतात्मक और स्टोकेस्टिक मॉडल का उपयोग करने के बीच चुनाव इस बात पर निर्भर करता है कि हम क्या छोड़ना चाहते हैं - विश्लेषण या यथार्थवाद की सादगी।

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अराजकता सिद्धांत में

हाल ही में, किस मॉडल को स्टोकेस्टिक कहा जाता है, इसकी अवधारणा और भी धुंधली हो गई है। यह तथाकथित अराजकता सिद्धांत के विकास के कारण है। यह नियतात्मक मॉडल का वर्णन करता है जो प्रारंभिक मापदंडों में थोड़े बदलाव के साथ अलग-अलग परिणाम दे सकते हैं। यह अनिश्चितता की गणना के लिए एक परिचय की तरह है। कई वैज्ञानिकों ने यह भी स्वीकार किया है कि यह पहले से ही एक स्टोकेस्टिक मॉडल है।

लोथर ब्रेउर ने काव्य चित्रों की मदद से सब कुछ सुंदर ढंग से समझाया। उन्होंने लिखा: "एक पहाड़ का नाला, एक धड़कता हुआ दिल, चेचक की एक महामारी, बढ़ते धुएं का एक स्तंभ - यह सब एक गतिशील घटना का एक उदाहरण है, जैसा कि ऐसा लगता है, कभी-कभी संयोग की विशेषता होती है। वास्तव में, ऐसी प्रक्रियाएं हमेशा एक निश्चित क्रम के अधीन होती हैं, जिसे वैज्ञानिक और इंजीनियर अभी समझने लगे हैं। यह तथाकथित नियतात्मक अराजकता है।" नया सिद्धांत बहुत प्रशंसनीय लगता है, यही वजह है कि कई आधुनिक वैज्ञानिक इसके समर्थक हैं। हालाँकि, यह अभी भी बहुत कम विकसित है, और इसे सांख्यिकीय गणनाओं में लागू करना काफी कठिन है। इसलिए, स्टोकेस्टिक या नियतात्मक मॉडल अक्सर उपयोग किए जाते हैं।

इमारत

स्टोकेस्टिक गणितीय मॉडल प्राथमिक परिणामों के स्थान के चुनाव से शुरू होता है। इसलिए आँकड़ों में वे अध्ययन की जा रही प्रक्रिया या घटना के संभावित परिणामों की सूची कहते हैं। शोधकर्ता तब प्राथमिक परिणामों में से प्रत्येक की संभावना निर्धारित करता है। आमतौर पर यह एक निश्चित तकनीक के आधार पर किया जाता है।

हालांकि, संभावनाएं अभी भी काफी व्यक्तिपरक पैरामीटर हैं। शोधकर्ता तब यह निर्धारित करता है कि समस्या को हल करने के लिए कौन सी घटनाएं सबसे दिलचस्प हैं। उसके बाद, यह बस उनकी संभावना निर्धारित करता है।

उदाहरण

सरलतम स्टोकेस्टिक मॉडल के निर्माण की प्रक्रिया पर विचार करें। मान लीजिए हम एक पासा रोल करते हैं। यदि "छह" या "एक" गिर जाता है, तो हमारी जीत दस डॉलर होगी। इस मामले में एक स्टोकेस्टिक मॉडल बनाने की प्रक्रिया इस तरह दिखेगी:

• आइए हम प्राथमिक परिणामों के स्थान को परिभाषित करें। पासे की छह भुजाएँ होती हैं, इसलिए एक, दो, तीन, चार, पाँच और छह ऊपर आ सकते हैं।
• प्रत्येक परिणाम की प्रायिकता 1/6 के बराबर होगी, चाहे हम पासे को कितना भी रोल करें।
• अब हमें अपनी रुचि के परिणामों को निर्धारित करने की आवश्यकता है। यह "छह" या "एक" संख्या वाले चेहरे का नुकसान है।
• अंत में, हम हमारे लिए रुचि की घटना की संभावना निर्धारित कर सकते हैं। यह 1/3 है। हम ब्याज की दोनों प्राथमिक घटनाओं की संभावनाओं को जोड़ते हैं: 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3।

अवधारणा और परिणाम

स्टोकेस्टिक सिमुलेशन का उपयोग अक्सर जुए में किया जाता है। लेकिन यह आर्थिक पूर्वानुमान में भी अपरिहार्य है, क्योंकि यह आपको नियतात्मक की तुलना में स्थिति को गहराई से समझने की अनुमति देता है। अर्थशास्त्र में स्टोकेस्टिक मॉडल अक्सर निवेश निर्णय लेने में उपयोग किए जाते हैं। वे आपको कुछ संपत्तियों या उनके समूहों में निवेश की लाभप्रदता के बारे में अनुमान लगाने की अनुमति देते हैं।

मॉडलिंग वित्तीय नियोजन को अधिक कुशल बनाता है। इसकी मदद से, निवेशक और व्यापारी अपनी संपत्ति के वितरण का अनुकूलन करते हैं। स्टोकेस्टिक मॉडलिंग का उपयोग करने से हमेशा लंबे समय में फायदे होते हैं। कुछ उद्योगों में, इसे लागू करने से इनकार या अक्षमता उद्यम के दिवालिया होने का कारण भी बन सकती है। यह इस तथ्य के कारण है कि वास्तविक जीवन में हर दिन नए महत्वपूर्ण पैरामीटर दिखाई देते हैं, और यदि उन्हें ध्यान में नहीं रखा जाता है, तो इसके विनाशकारी परिणाम हो सकते हैं।