फ़ंक्शन की अवधारणा फ़ंक्शन को परिभाषित करने के तरीके फ़ंक्शन के उदाहरण फ़ंक्शन की विश्लेषणात्मक परिभाषा फ़ंक्शन को परिभाषित करने का ग्राफिकल तरीका किसी बिंदु पर फ़ंक्शन की सीमा फ़ंक्शन को परिभाषित करने का सारणीबद्ध तरीका सीमा प्रमेय एक सीमा की विशिष्टता एक फ़ंक्शन की सीमा जिसमें एक है सीमा असमानता पर एक सीमा तक गुजरना अनंत पर एक समारोह की सीमा

एक फ़ंक्शन की अवधारणा बुनियादी और मूल है, जैसा कि एक सेट की अवधारणा है। मान लीजिए X वास्तविक संख्या x का कुछ समुच्चय है। यदि किसी नियम के अनुसार प्रत्येक x X को एक निश्चित वास्तविक संख्या y दी जाती है, तो वे कहते हैं कि सेट X पर एक फ़ंक्शन दिया गया है और लिखें। इस तरह से पेश किए गए फ़ंक्शन को संख्यात्मक कहा जाता है। इस मामले में, सेट एक्स को फ़ंक्शन की परिभाषा का डोमेन कहा जाता है, और स्वतंत्र चर एक्स को तर्क कहा जाता है। किसी फ़ंक्शन को इंगित करने के लिए, कभी-कभी केवल प्रतीक का उपयोग किया जाता है, जो पत्राचार के नियम को दर्शाता है, अर्थात f (x) n और जस्टर के बजाय, बस /। इस प्रकार, फ़ंक्शन दिया जाता है यदि 1) परिभाषा का डोमेन निर्दिष्ट है 2) नियम /, जो प्रत्येक मान को निर्दिष्ट करता है: € X एक निश्चित संख्या y \u003d / (x) - इस मान के अनुरूप फ़ंक्शन का मान तर्क x. फलन / और g समान कहलाते हैं यदि उनके परिभाषा के डोमेन मेल खाते हैं और समानता f(x) = g(x) उनके सामान्य डोमेन से तर्क x के किसी भी मान के लिए सत्य है। इस प्रकार, फलन y बराबर नहीं हैं; वे केवल अंतराल [ओ, आई] पर बराबर हैं। फ़ंक्शन उदाहरण। 1. अनुक्रम (o„) एक पूर्णांक तर्क का एक फलन है, जिसे प्राकृत संख्याओं के समुच्चय पर परिभाषित किया गया है, जैसे कि f(n) = an (n = 1,2,...)। 2. फलन y = n? ("एन-फैक्टोरियल" पढ़ें)। प्राकृतिक संख्याओं के सेट पर दिया गया: प्रत्येक प्राकृतिक संख्या n 1 से n तक की सभी प्राकृतिक संख्याओं के गुणनफल से जुड़ी है: इसके अलावा, 0! = 1. पदनाम चिन्ह लैटिन शब्द साइनम - एक चिन्ह से आया है। यह फ़ंक्शन संपूर्ण संख्या रेखा पर परिभाषित किया गया है, इसके मानों के सेट में तीन संख्याएं -1.0, I (चित्र 1) शामिल हैं। y = |x), जहाँ (x) एक वास्तविक संख्या x के पूर्णांक भाग को दर्शाता है, अर्थात् [x| - सबसे बड़ा पूर्णांक जो इससे अधिक न हो इसे पढ़ा जाता है: - खेल एंटी एक्स के बराबर है ”(fr। entier)। यह फ़ंक्शन संपूर्ण संख्या अक्ष पर सेट है, और इसके सभी मानों के सेट में पूर्णांक होते हैं (चित्र 2)। फ़ंक्शन निर्दिष्ट करने के तरीके विश्लेषणात्मक फ़ंक्शन निर्दिष्ट करना एक फ़ंक्शन y = f(x) को विश्लेषणात्मक रूप से निर्दिष्ट किया जाता है यदि इसे एक सूत्र का उपयोग करके परिभाषित किया जाता है जो इंगित करता है कि संबंधित मूल्य प्राप्त करने के लिए x के प्रत्येक मान पर कौन से संचालन किए जाने चाहिए वाई उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन विश्लेषणात्मक रूप से दिया गया है। इस मामले में, फ़ंक्शन का डोमेन (यदि यह पहले से निर्दिष्ट नहीं है) को तर्क x के सभी वास्तविक मूल्यों के सेट के रूप में समझा जाता है, जिसके लिए फ़ंक्शन को परिभाषित करने वाली विश्लेषणात्मक अभिव्यक्ति केवल वास्तविक और अंतिम मान लेती है। इस अर्थ में, किसी फ़ंक्शन के डोमेन को उसके अस्तित्व का डोमेन भी कहा जाता है। फ़ंक्शन के लिए, परिभाषा का क्षेत्र खंड है। फ़ंक्शन y - sin x के लिए, परिभाषा का डोमेन संपूर्ण संख्यात्मक अक्ष है। ध्यान दें कि प्रत्येक सूत्र एक फ़ंक्शन को परिभाषित नहीं करता है। उदाहरण के लिए, सूत्र किसी फ़ंक्शन को परिभाषित नहीं करता है, क्योंकि x का एक भी वास्तविक मान नहीं है जिसके लिए ऊपर लिखे गए दोनों मूलों का वास्तविक मान होगा। किसी फ़ंक्शन का विश्लेषणात्मक असाइनमेंट बल्कि जटिल लग सकता है। विशेष रूप से, किसी फ़ंक्शन को उसकी परिभाषा के डोमेन के विभिन्न भागों पर विभिन्न सूत्रों द्वारा परिभाषित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, एक फ़ंक्शन को इस तरह परिभाषित किया जा सकता है: 1.2। किसी फ़ंक्शन को निर्दिष्ट करने का ग्राफिकल तरीका फ़ंक्शन y = f(x) को ग्राफिक रूप से निर्दिष्ट किया जाता है यदि इसका शेड्यूल निर्दिष्ट है, अर्थात। xOy तल पर बिंदुओं (xy/(x)) का एक सेट, जिनमें से एब्सिसास फ़ंक्शन की परिभाषा के डोमेन से संबंधित हैं, और निर्देशांक फ़ंक्शन के संबंधित मानों के बराबर हैं (चित्र 4)। प्रत्येक फ़ंक्शन के लिए नहीं, इसका ग्राफ चित्र में दिखाया जा सकता है। उदाहरण के लिए, डिरिचलेट फ़ंक्शन यदि x परिमेय है, यदि x अपरिमेय है, तो ZX \o, इस तरह के प्रतिनिधित्व की अनुमति नहीं देता है। फ़ंक्शन R(x) संपूर्ण संख्यात्मक अक्ष पर दिया गया है, और इसके मानों के सेट में दो संख्याएँ 0 और 1. 1.3 शामिल हैं। किसी फ़ंक्शन को निर्दिष्ट करने का सारणीबद्ध तरीका एक फ़ंक्शन को सारणीबद्ध कहा जाता है यदि कोई तालिका प्रदान की जाती है जिसमें तर्क के कुछ मानों के लिए फ़ंक्शन के संख्यात्मक मान होते हैं। जब किसी फ़ंक्शन को किसी तालिका में परिभाषित किया जाता है, तो इसकी परिभाषा के डोमेन में केवल मान होते हैं x\t x2i..., xn तालिका में सूचीबद्ध। 2. एक बिंदु पर एक फ़ंक्शन की सीमा एक फ़ंक्शन की सीमा की अवधारणा गणितीय विश्लेषण के लिए केंद्रीय है। मान लें कि फ़ंक्शन f(x) को बिंदु xq के कुछ पड़ोस Q में परिभाषित किया गया है, सिवाय, शायद, विस्तार (कॉची) बिंदु के लिए। संख्या A को बिंदु x0 पर फलन f(x) की सीमा कहा जाता है यदि किसी संख्या e> 0 के लिए, जो मनमाने ढंग से छोटी हो सकती है, एक संख्या मौजूद है<5 > 0, जैसे कि सभी iGH.i^ x0 के लिए स्थिति को संतुष्ट करने के लिए असमानता सही है एक फ़ंक्शन की अवधारणा फ़ंक्शन को परिभाषित करने के तरीके फ़ंक्शन के उदाहरण फ़ंक्शन के विश्लेषणात्मक परिभाषा फ़ंक्शन को परिभाषित करने का ग्राफिकल तरीका एक बिंदु पर फ़ंक्शन की सीमा सारणीबद्ध तरीके से एक फ़ंक्शन सीमा प्रमेय को परिभाषित करने के लिए एक फ़ंक्शन की सीमा सीमा की विशिष्टता जिसमें असमानता में सीमा के लिए एक सीमा संक्रमण है अनंत अनंत पर एक फ़ंक्शन की सीमा अनंतिम कार्यों के गुण संकेतन: तार्किक प्रतीकों का उपयोग करके, यह परिभाषा निम्नानुसार व्यक्त की जाती है। उदाहरण। 1. किसी बिंदु पर किसी फलन की सीमा की परिभाषा का प्रयोग करते हुए, यह दर्शाइए कि फलन बिंदु zo = 1:/(1) = 5 सहित, हर जगह परिभाषित है। कोई भी लीजिए। असमानता के क्रम में |(2x + 3) - 5| हुई, तो निम्नलिखित असमानताओं को पूरा करना आवश्यक है इसलिए, यदि हम लेते हैं तो हमारे पास होगा। इसका मतलब यह है कि संख्या 5 फ़ंक्शन की सीमा है: बिंदु 2 पर। किसी फ़ंक्शन की सीमा की परिभाषा का उपयोग करते हुए, यह दिखाएं कि फ़ंक्शन बिंदु xo = 2 पर परिभाषित नहीं है। किसी पड़ोस में /(x) पर विचार करें। बिंदु-Xq = 2, उदाहरण के लिए, अंतराल (1, 5) पर जिसमें बिंदु x = 0 नहीं है, जिस पर फ़ंक्शन /(x) भी परिभाषित नहीं है। एक मनमाना संख्या c > 0 लें और व्यंजक को रूपांतरित करें |/(x) - 2| x f 2 के लिए इस प्रकार है x b (1, 5) के लिए हमें असमानता मिलती है इससे यह स्पष्ट है कि यदि हम 6 \u003d c लेते हैं, तो सभी x € (1.5) के लिए शर्त के अधीन असमानता सत्य होगी इसका मतलब है कि संख्या A - 2 एक बिंदु पर दिए गए फलन की सीमा है आइए हम एक बिंदु पर किसी फलन की सीमा की अवधारणा की ज्यामितीय व्याख्या करते हैं, इसके ग्राफ का संदर्भ देते हुए (चित्र 5)। x के लिए, फ़ंक्शन /(x) के मान वक्र M \ M के बिंदुओं के निर्देशांक द्वारा निर्धारित किए जाते हैं, x > ho के लिए - वक्र MM2 के बिंदुओं के निर्देशांक द्वारा। मान /(x0) बिंदु N के कोटि द्वारा निर्धारित किया जाता है। इस फ़ंक्शन का ग्राफ प्राप्त होता है यदि हम "अच्छा" वक्र M\MMg लेते हैं और बिंदु के साथ वक्र पर बिंदु M(x0, A) को प्रतिस्थापित करते हैं। संयुक्त उद्यम आइए हम दिखाते हैं कि बिंदु x0 पर फ़ंक्शन /(x) की संख्या A (बिंदु M की कोटि) के बराबर एक सीमा होती है। कोई भी (मनमाने ढंग से छोटा) नंबर लें e > 0. निर्देशांक A, A - e, A + e के साथ Oy अक्ष बिंदुओं पर चिह्नित करें। P और Q द्वारा निरूपित करें फ़ंक्शन y \u003d / (x) के ग्राफ़ के प्रतिच्छेदन बिंदु ) लाइनों के साथ y \u003d ए - एनू = ए + ई। इन बिंदुओं के भुज क्रमशः x0 - hx0 + hi होने दें (ht> 0, /12> 0)। चित्र से यह देखा जा सकता है कि अंतराल (x0 - h\, x0 + hi) से किसी भी x Φ x0 के लिए फलन f(x) का मान बीच में होता है। सभी x ⩽ x0 के लिए शर्त को संतुष्ट करने के लिए, असमानता सत्य है हम सेट करते हैं फिर अंतराल अंतराल में समाहित होगा और इसलिए, असमानता या, जो सभी x के लिए भी संतुष्ट होगी, यह साबित करता है कि इस प्रकार, फ़ंक्शन y \u003d f (x) की बिंदु x0 पर एक सीमा A है, यदि, y = A - eny = A + e के बीच ई-पट्टी कितनी भी संकीर्ण क्यों न हो, ऐसा "5> 0 है, जैसे कि सभी के लिए x फलन y = / (x) के ग्राफ के बिंदु के बिंदु x0 के पंचर पड़ोस से संकेतित ई-बैंड के अंदर हैं। टिप्पणी 1. मात्रा b e: 6 = 6(e) पर निर्भर करती है। टिप्पणी 2. बिंदु Xq पर एक फलन की सीमा की परिभाषा में, बिंदु x0 को ही विचार से बाहर रखा गया है। इस प्रकार, HO ns बिंदु पर फलन का मान उस बिंदु पर फलन की सीमा को प्रभावित नहीं करता है। इसके अलावा, फ़ंक्शन को बिंदु Xq पर भी परिभाषित नहीं किया जा सकता है। इसलिए, दो कार्य जो बिंदु Xq के पड़ोस में समान हैं, को छोड़कर, शायद, बिंदु x0 ही (उनके पास अलग-अलग मान हो सकते हैं, उनमें से एक या दोनों को एक साथ परिभाषित नहीं किया जा सकता है), एक ही सीमा है x - Xq के लिए, या दोनों की कोई सीमा नहीं है। इससे, विशेष रूप से, यह इस प्रकार है कि बिंदु xo पर एक भिन्न की सीमा का पता लगाने के लिए, इस भिन्न को समान अभिव्यक्तियों से कम करना वैध है जो x = Xq पर गायब हो जाते हैं। उदाहरण 1. सभी x 0 के लिए फलन /(x) = j ज्ञात कीजिए, जो एक के बराबर है, और बिंदु x = 0 पर यह परिभाषित नहीं है। f(x) को x 0 पर इसके बराबर फंक्शन g(x) = 1 से बदलने पर, हम एक फंक्शन की अवधारणा प्राप्त करते हैं। एक बिंदु पर कार्य किसी फ़ंक्शन को परिभाषित करने का सारणीबद्ध तरीका सीमा प्रमेय एक सीमा की विशिष्टता एक फ़ंक्शन की सीमा जिसमें असमानता में सीमा तक संक्रमण होता है अनंत पर एक फ़ंक्शन की सीमा अनंत रूप से छोटे कार्य असीम रूप से छोटे कार्यों के गुण x = 0 सीमा के बराबर शून्य: lim q(x) = 0 (इसे दिखाओ!)। इसलिए, lim /(x) = 0. समस्या। असमानताओं (ई -6 की भाषा में) की मदद से तैयार करें, जिसका अर्थ है कि फ़ंक्शन /(n) को बिंदु x0 के कुछ पड़ोस में परिभाषित किया जाए, सिवाय, शायद, बिंदु x0 को छोड़कर। परिभाषा (हेन)। संख्या ए को बिंदु x0 पर फ़ंक्शन /(x) की सीमा कहा जाता है, यदि तर्क x 6 P, zn / x0) के मानों के किसी अनुक्रम (xn) के लिए बिंदु x0 में परिवर्तित होता है, तो संबंधित अनुक्रम फ़ंक्शन के मानों की संख्या (/(xn)) संख्या A में परिवर्तित हो जाती है। उपरोक्त परिभाषा का उपयोग करना सुविधाजनक है जब यह स्थापित करना आवश्यक है कि फ़ंक्शन /(x) की बिंदु x0 पर कोई सीमा नहीं है। ऐसा करने के लिए, यह कुछ अनुक्रम (/(xn)) को खोजने के लिए पर्याप्त है जिसकी कोई सीमा नहीं है, या दो अनुक्रमों (/(xn)) और (/(x "n)) को इंगित करने के लिए अलग-अलग सीमाएं हैं। आइए हम उदाहरण के लिए, दिखाएँ कि फ़ंक्शन iiya / (x) = sin j (चित्र 7), बिंदु X = O को छोड़कर, हर जगह परिभाषित है, चित्र 7 में बिंदु x = 0 पर कोई सीमा नहीं है। दो पर विचार करें अनुक्रम (, बिंदु x = 0. में परिवर्तित होता है। फ़ंक्शन के संबंधित अनुक्रम मान /(x) अलग-अलग सीमाओं में परिवर्तित होते हैं: अनुक्रम (sinnTr) शून्य में परिवर्तित हो जाता है, और अनुक्रम (पाप(5 +) एक में परिवर्तित हो जाता है। . इसका अर्थ है कि x = 0 बिंदु पर फलन f(x) = sin j की कोई सीमा नहीं है। टिप्पणी। किसी बिंदु पर किसी फ़ंक्शन की सीमा की दोनों परिभाषाएं (कॉची की परिभाषा और हेन की परिभाषा) समतुल्य हैं। 3. सीमा पर प्रमेय प्रमेय 1 (सीमा की विशिष्टता)। यदि फलन f(x) की सीमा xo है, तो यह सीमा अद्वितीय है। A मान लीजिए f(x) = A. आइए हम दिखाते हैं कि कोई भी संख्या B φ A, बिंदु x0 पर फलन f(x) की x-x0 की सीमा नहीं हो सकती है। तथ्य यह है कि lim /(x) तार्किक प्रतीकों की सहायता से XO निम्नानुसार तैयार किया गया है: असमानता का उपयोग करके, हम प्राप्त करते हैं, e = > 0 लें। चूंकि lim /(x) = A, चुने गए e> 0 के लिए है 6 > 0 ऐसा है कि संबंध से (1) x के संकेतित मानों के लिए हमारे पास है। इसलिए परिभाषा। एक फ़ंक्शन /(x) को बिंदु x0 के पड़ोस में परिबद्ध कहा जाता है यदि संख्याएं M > 0 और 6 > 0 हैं, जैसे कि प्रमेय 2 (एक फ़ंक्शन की सीमा जिसकी एक सीमा होती है)। यदि फ़ंक्शन f(x) को बिंदु x0 के पड़ोस में परिभाषित किया गया है और बिंदु x0 पर इसकी सीमित सीमा है, तो यह इस बिंदु के कुछ पड़ोस में घिरा हुआ है। m मान लीजिए, फिर किसी भी उदाहरण के लिए, e = 1 के लिए, ऐसा 6 > 0 है कि सभी x x0 के लिए शर्त को संतुष्ट करने पर, असमानता सत्य होगी। यह देखते हुए कि हमें हमेशा Let मिलता है। फिर अंतराल के प्रत्येक बिंदु x पर हमारे पास परिभाषा के अनुसार इसका मतलब है कि फ़ंक्शन f(x) पड़ोस में घिरा हुआ है। उदाहरण के लिए, फलन /(x) = sin बिंदु के पड़ोस में घिरा है, लेकिन बिंदु x = 0 पर इसकी कोई सीमा नहीं है। आइए हम दो और प्रमेय बनाते हैं, जिसका ज्यामितीय अर्थ बिल्कुल स्पष्ट है। प्रमेय 3 (असमानता की सीमा तक जाना)। यदि /(x) ip(x) बिंदु x0 के कुछ पड़ोस में सभी x के लिए, शायद बिंदु x0 को छोड़कर, और बिंदु x0 पर प्रत्येक फ़ंक्शन /(x) और ip(x) की एक सीमा है , तो ध्यान दें कि कार्यों के लिए एक सख्त असमानता जरूरी नहीं कि उनकी सीमाओं के लिए एक सख्त असमानता है। यदि ये सीमाएँ मौजूद हैं, तो हम केवल यह दावा कर सकते हैं कि इस प्रकार, उदाहरण के लिए, असमानता जबकि कार्यों के लिए सही है।प्रमेय 4 (एक मध्यवर्ती फ़ंक्शन की सीमा)। यदि बिंदु Xq के किसी पड़ोस में सभी x के लिए, शायद, बिंदु x0 को छोड़कर (चित्र 9), और बिंदु xo पर फलन f(x) और ip(x) की सीमा A समान है, तो फ़ंक्शन f (x) बिंदु x0 पर A के समान मान के बराबर एक सीमा है। § 4. अनंत पर एक फ़ंक्शन की सीमा फ़ंक्शन / (x) को या तो संपूर्ण वास्तविक अक्ष पर या कम से कम के लिए परिभाषित किया जाए सभी x शर्त को संतुष्ट करते हैं jx| > K कुछ K > 0 के लिए। परिभाषा। संख्या A को फलन f(x) की सीमा कहा जाता है क्योंकि x अनंत की ओर जाता है, और वे लिखते हैं कि यदि किसी e > 0 के लिए कोई संख्या jV > 0 मौजूद है, तो सभी x के लिए शर्त को संतुष्ट करते हैं |x| > X, असमानता सत्य है इस परिभाषा में स्थिति को तदनुसार प्रतिस्थापित करते हुए, हम परिभाषाएँ प्राप्त करते हैं इन परिभाषाओं से यह निम्नानुसार है कि यदि और केवल यदि एक साथ वह तथ्य, ज्यामितीय रूप से निम्नलिखित का अर्थ है: कोई फर्क नहीं पड़ता कि ई-पट्टी लाइनों के बीच कितनी संकीर्ण है y \ u003d A- euy \u003d A + e, ऐसी सीधी रेखा x = N > 0 है कि दाईं ओर फ़ंक्शन का ग्राफ़ y = /(x) पूरी तरह से संकेतित ई-स्ट्रिप (चित्र 10) में निहित है। ) इस मामले में, वे कहते हैं कि x + oo के लिए फ़ंक्शन का ग्राफ़ y \u003d / (x) स्पर्शोन्मुख रूप से सीधी रेखा y \u003d A तक पहुंचता है। उदाहरण, फ़ंक्शन / (x) \u003d jtjj- को संपूर्ण पर परिभाषित किया गया है वास्तविक अक्ष और एक भिन्न है जिसका अंश स्थिर है, और हर अनिश्चित काल तक बढ़ता है |x| +ऊ। यह अपेक्षा करना स्वाभाविक है कि lim /(x)=0. आइए इसे दिखाते हैं। एम कोई भी ई> 0 लें, इस शर्त के अधीन संबंध होने के लिए, असमानता सी या संतुष्ट होना चाहिए, जो कि जहां से इस प्रकार के समान है। अगर हम लेंगे तो हमारे पास होगा। इसका मतलब यह है कि संख्या इस फ़ंक्शन की सीमा है ध्यान दें कि कट्टरपंथी अभिव्यक्ति केवल t ^ 1 के लिए है। उस स्थिति में, जब असमानता c सभी के लिए स्वचालित रूप से संतुष्ट हो जाती है। एक सम फ़ंक्शन का ग्राफ y = - स्पर्शोन्मुख रूप से पहुंचता है सरल रेखा असमानताओं का उपयोग करके निरूपित करें, जिसका अर्थ है 5। अपरिमित रूप से छोटे फलन मान लें कि फ़ंक्शन a(x) को बिंदु x0 के कुछ पड़ोस में परिभाषित किया गया है, संभवतः बिंदु x0 को छोड़कर। परिभाषा। फ़ंक्शन a(x) को एक इनफिनिटिमल फंक्शन कहा जाता है (संक्षिप्त रूप में b.m.f.) क्योंकि x की ओर झुकाव होता है यदि सीमा की विशिष्टता के भीतर किसी फ़ंक्शन की सीमा के भीतर असमानता में सीमा तक संक्रमण की सीमा होती है किसी फ़ंक्शन की सीमा पर इनफिनिटी इनफिनिटीमल फंक्शन इनफिनिटीमल फंक्शन के गुण उदाहरण के लिए, फंक्शन a(x) = x - 1 b है। एम. एफ. x 1 पर, चूंकि लिम (x-l) \u003d 0. फ़ंक्शन y \u003d x-1 1-1 का ग्राफ अंजीर में दिखाया गया है। द्वितीय. सामान्य तौर पर, फलन a(x)=x-x0 b का सबसे सरल उदाहरण है। एम. एफ. एक्स-»हो पर। किसी बिंदु पर किसी फ़ंक्शन की सीमा की परिभाषा को ध्यान में रखते हुए, b की परिभाषा। एम. एफ. इस तरह तैयार किया जा सकता है। परिभाषा। एक फलन a(x) को x - * xo के लिए अपरिमित रूप से छोटा कहा जाता है, यदि किसी t> 0 के लिए ऐसा "5> 0 मौजूद है कि सभी x शर्तों को संतुष्ट करने के लिए परिभाषा पर असमानता सही कार्य है। फ़ंक्शन a(x) को x -» oo के लिए अपरिमित रूप से छोटा कहा जाता है, यदि तब फ़ंक्शन a(x) को क्रमशः इनफिनिटसिमल कहा जाता है, उदाहरण के लिए, उदाहरण के लिए, x -» oo के लिए फ़ंक्शन इनफिनिटसिमल है, क्योंकि lim j = 0. फलन a(x) = e~x, x -* + oo के रूप में एक अपरिमित रूप से छोटा फलन है, क्योंकि निम्नलिखित में हम एक नियम के रूप में, केवल संबंध में फलनों की सीमाओं से संबंधित सभी अवधारणाओं और प्रमेयों पर विचार करेंगे। एक बिंदु पर एक फ़ंक्शन की सीमा के मामले में, पाठक को अपने लिए संबंधित अवधारणाओं को तैयार करने के लिए छोड़ देता है और दिन के मामलों के समान प्रमेय साबित करता है जब अनंतिम कार्यों के गुण प्रमेय 5. यदि ए (एक्स) और पी (एक्स) - बी। एम. एफ. x - * xo के लिए, तो उनका योग a(x) + P(x) भी a b.m है। एफ। एक्स -» हो पर। 4 कोई e > 0 लीजिए। चूँकि a(x) एक b.m.f है। x -* o के लिए, फिर "51> 0 ऐसा है कि सभी x Φ o के लिए स्थिति को संतुष्ट करने के लिए असमानता सत्य है। शर्त के अनुसार P(x) भी b.m.f. x ho के लिए, तो ऐसा है कि सभी ho के लिए शर्त को संतुष्ट करने के लिए, असमानता सत्य है आइए हम 6 = min(«5j, 62) सेट करें। तब सभी x ho के लिए शर्त को संतुष्ट करने के लिए, असमानताएं (1) और (2) एक साथ सत्य होंगी। इसलिए इसका मतलब है कि योग a(x) +/3(x) एक b.m.f है। xxq के लिए टिप्पणी। प्रमेय किसी भी परिमित संख्या में फलनों के योग के लिए मान्य रहता है, b. एम. एक्स ज़ो पर। प्रमेय 6 (एक बंधे हुए फलन द्वारा b.m.f. का गुणनफल)। यदि फलन a(x) b है। एम. एफ. x -* x0 के लिए, और फलन f(x) बिंदु Xo के पड़ोस में परिबद्ध है, तो गुणनफल a(x)/(x) 6 है। एम. एफ. एक्स -» x0 के लिए। धारणा के अनुसार, फलन f(x) बिंदु x0 के पड़ोस में परिबद्ध है। इसका अर्थ यह है कि संख्याएँ 0 और M> 0 ऐसी हैं कि आइए हम कोई भी e> 0 लें। चूंकि, शर्त के अनुसार, 62> 0 ऐसा है कि सभी x φ x0 के लिए |x - xol, असमानता होगी सत्य हो आइए हम सभी x f x0 में से i को |x - x0| को संतुष्ट करते हुए सेट करते हैं, असमानताएं एक साथ सत्य होंगी इसलिए इसका मतलब है कि उत्पाद a(x)/(x) b है। एम.एफ. उदाहरण के साथ। फ़ंक्शन y \u003d xsin - (चित्र। 12) को कार्यों के उत्पाद के रूप में माना जा सकता है a (ar) \u003d x और f (x) \u003d sin j। फ़ंक्शन ए (ए) बी है। एम. एफ. x - 0 के लिए, और फलन f उन सबसे बड़े पूर्णांकों को निरूपित करता है जो x से अधिक नहीं हैं। दूसरे शब्दों में, यदि x = r + q, जहाँ r एक पूर्णांक है (ऋणात्मक हो सकता है) और q अंतराल = r से संबंधित है। फलन E(x) = [x] अंतराल = r पर स्थिर है।

उदाहरण 2: फलन y = (x) - किसी संख्या का भिन्नात्मक भाग। अधिक सटीक रूप से, y =(x) = x - [x], जहां [x] संख्या x का पूर्णांक भाग है। यह फ़ंक्शन सभी x के लिए परिभाषित है। यदि x एक मनमाना संख्या है, तो इसे x = r + q (r = [x]) के रूप में निरूपित करते हैं, जहाँ r एक पूर्णांक है और q अंतराल में स्थित है।

अब सब कुछ वैसा ही है जैसा होना चाहिए। ट्रिपल उत्तर में शामिल नहीं है, क्योंकि मूल असमानता सख्त है। और छक्का चालू हो जाता है, क्योंकि और छह पर फ़ंक्शन मौजूद है, और असमानता की स्थिति संतुष्ट है। हमने एक असमानता को सफलतापूर्वक हल कर लिया है (अपने सामान्य रूप में) मौजूद नहीं है ...

इस प्रकार कुछ ज्ञान और प्राथमिक तर्क गैर-मानक मामलों में सहेजते हैं।)

किसी फ़ंक्शन की विश्लेषणात्मक परिभाषा

फंक्शन %%y = f(x), x \in X%% दिया गया एक स्पष्ट विश्लेषणात्मक तरीके से, यदि कोई सूत्र दिया गया है जो गणितीय संक्रियाओं के अनुक्रम को निर्दिष्ट करता है जिसे इस फ़ंक्शन का मान %%f(x)%% प्राप्त करने के लिए तर्क %%x%% के साथ निष्पादित किया जाना चाहिए।

उदाहरण

• %% y = 2 x^2 + 3x + 5, x \in \mathbb(R)%%;
• %% y = \frac(1)(x - 5), x \neq 5%%;
• %% y = \sqrt(x), x \geq 0%%।

इसलिए, उदाहरण के लिए, भौतिकी में, समान रूप से त्वरित सीधी गति के साथ, एक पिंड की गति सूत्र द्वारा निर्धारित की जाती है t%% इस प्रकार लिखा जाता है: %% s = s_0 + v_0 t + \frac(a t^2)(2) %%।

टुकड़े-टुकड़े परिभाषित कार्य

कभी-कभी विचाराधीन फ़ंक्शन को कई फ़ार्मुलों द्वारा परिभाषित किया जा सकता है जो इसकी परिभाषा के डोमेन के विभिन्न हिस्सों में काम करते हैं, जिसमें फ़ंक्शन तर्क बदलता है। उदाहरण के लिए: $$ y = \begin(cases) x ^ 2,~ if~x< 0, \\ \sqrt{x},~ если~x \geq 0. \end{cases} $$

इस प्रकार के कार्यों को कभी-कभी कहा जाता है घटकया खंड अनुसार. ऐसे फ़ंक्शन का एक उदाहरण %%y = |x|%% है

फंक्शन स्कोप

यदि फ़ंक्शन को एक सूत्र का उपयोग करके एक स्पष्ट विश्लेषणात्मक तरीके से निर्दिष्ट किया गया है, लेकिन सेट %%D%% के रूप में फ़ंक्शन का दायरा निर्दिष्ट नहीं है, तो %%D%% से हमारा मतलब हमेशा मानों का सेट होगा तर्क %%x%% जिसके लिए यह सूत्र समझ में आता है। तो फ़ंक्शन %%y = x^2%% के लिए, परिभाषा का डोमेन सेट %%D = \mathbb(R) = (-\infty, +\infty)%% है, क्योंकि तर्क %%x% % कोई भी मान ले सकता है संख्या रेखा. और फ़ंक्शन %%y = \frac(1)(\sqrt(1 - x^2))%% के लिए, परिभाषा का डोमेन %%x%% असमानता को संतुष्ट करने वाले मानों का सेट होगा %% 1 - x^2 > 0%%, मी. %%D = (-1, 1)%%।

स्पष्ट विश्लेषणात्मक कार्य परिभाषा के लाभ

ध्यान दें कि किसी फ़ंक्शन को परिभाषित करने का स्पष्ट विश्लेषणात्मक तरीका काफी कॉम्पैक्ट है (सूत्र, एक नियम के रूप में, बहुत कम जगह लेता है), आसानी से पुन: प्रस्तुत किया जाता है (सूत्र को लिखना आसान है), और गणितीय संचालन और परिवर्तनों को करने के लिए सबसे अधिक अनुकूलित है कार्य।

इनमें से कुछ संक्रियाएँ - बीजगणितीय (जोड़, गुणा, आदि) - स्कूल के गणित पाठ्यक्रम से अच्छी तरह से जानी जाती हैं, अन्य (विभेदन, एकीकरण) का अध्ययन भविष्य में किया जाएगा। हालांकि, यह विधि हमेशा स्पष्ट नहीं होती है, क्योंकि तर्क पर फ़ंक्शन की निर्भरता की प्रकृति हमेशा स्पष्ट नहीं होती है, और कभी-कभी फ़ंक्शन के मूल्यों (यदि आवश्यक हो) को खोजने के लिए बोझिल गणना की आवश्यकता होती है।

निहित कार्य विनिर्देश

फ़ंक्शन %%y = f(x)%% परिभाषित किया गया है एक निहित विश्लेषणात्मक तरीके से, यदि संबंध $$F(x,y) = 0 दिया गया है, ~~~~~~~~~(1)$$ फ़ंक्शन %%y%% और तर्क %% के मूल्यों से संबंधित एक्स%%। यदि तर्क मान दिए गए हैं, तो %%x%% के एक विशेष मूल्य के अनुरूप %%y%% का मान ज्ञात करने के लिए, %%y%% के संबंध में समीकरण %%(1)%% को हल करना आवश्यक है %%x%% के उस विशेष मूल्य पर।

%%x%% के मान को देखते हुए, समीकरण %%(1)%% का कोई समाधान या एक से अधिक समाधान नहीं हो सकता है। पहले मामले में, निर्दिष्ट मान %%x%% निहित कार्य के दायरे में नहीं है, और दूसरे मामले में यह निर्दिष्ट करता है बहुमूल्य समारोह, जिसमें किसी दिए गए तर्क मान के लिए एक से अधिक मान हैं।

ध्यान दें कि यदि समीकरण %%(1)%% को %%y = f(x)%% के संबंध में स्पष्ट रूप से हल किया जा सकता है, तो हम वही फ़ंक्शन प्राप्त करते हैं, लेकिन पहले से ही एक स्पष्ट विश्लेषणात्मक तरीके से परिभाषित किया गया है। तो, समीकरण %%x + y^5 - 1 = 0%%

और समानता %%y = \sqrt(1 - x)%% समान फ़ंक्शन को परिभाषित करते हैं।

पैरामीट्रिक फ़ंक्शन परिभाषा

जब %%y%% की %%x%% पर निर्भरता सीधे नहीं दी जाती है, बल्कि इसके बजाय दोनों चर %%x%% और %%y%% की निर्भरता किसी तीसरे सहायक चर %%t%% पर दी जाती है फार्म में

$$ \begin(cases) x = \varphi(t),\\ y = \psi(t), \end(cases) ~~~t \in T \subseteq \mathbb(R), ~~~~~ ~~~~~(2) $$वे बात करते हैं पैरामीट्रिकफ़ंक्शन सेट करने की विधि;

तब सहायक चर %%t%% को पैरामीटर कहा जाता है।

यदि समीकरण %%(2)%% से %%t%% पैरामीटर को बाहर करना संभव है, तो वे %%x%% पर %%y%% की स्पष्ट या अंतर्निहित विश्लेषणात्मक निर्भरता द्वारा दिए गए फ़ंक्शन पर आते हैं . उदाहरण के लिए, संबंधों से $$ \begin(cases) x = 2 t + 5, \\ y = 4 t + 12, \end(cases), ~~~t \in \mathbb(R), $$ को छोड़कर पैरामीटर % %t%% के लिए हमें निर्भरता %%y = 2 x + 2%% मिलती है, जो %%xOy%% समतल में एक सीधी रेखा सेट करती है।

ग्राफिकल तरीका

किसी फ़ंक्शन की चित्रमय परिभाषा का एक उदाहरण

उपरोक्त उदाहरणों से पता चलता है कि किसी फ़ंक्शन को परिभाषित करने का विश्लेषणात्मक तरीका इसके अनुरूप है ग्राफिक छवि, जिसे किसी फ़ंक्शन का वर्णन करने का एक सुविधाजनक और दृश्य रूप माना जा सकता है। कभी-कभी इस्तेमाल किया जाता है ग्राफिक तरीकाएक फ़ंक्शन को परिभाषित करना जब %%x%% पर %%y%% की निर्भरता %%xOy%% विमान पर एक पंक्ति द्वारा दी जाती है। हालांकि, इसकी सभी स्पष्टता के लिए, यह सटीकता में खो देता है, क्योंकि तर्क के मान और फ़ंक्शन के संबंधित मान केवल ग्राफ़ से ही प्राप्त किए जा सकते हैं। परिणामी त्रुटि ग्राफ़ के अलग-अलग बिंदुओं के भुज और कोटि को मापने के पैमाने और सटीकता पर निर्भर करती है। भविष्य में, हम केवल फ़ंक्शन के व्यवहार को दर्शाने के लिए फ़ंक्शन के ग्राफ़ की भूमिका प्रदान करेंगे, और इसलिए हम स्वयं को ग्राफ़ के "स्केच" के निर्माण तक सीमित रखेंगे जो फ़ंक्शन की मुख्य विशेषताओं को दर्शाते हैं।

सारणीबद्ध तरीका

टिप्पणी सारणीबद्ध तरीकाफ़ंक्शन असाइनमेंट, जब कुछ तर्क मान और उनके संबंधित फ़ंक्शन मान एक निश्चित क्रम में तालिका में रखे जाते हैं। इस प्रकार त्रिकोणमितीय फलनों की सुप्रसिद्ध सारणी, लघुगणक सारणी आदि का निर्माण किया जाता है। एक तालिका के रूप में, प्रयोगात्मक अध्ययनों, टिप्पणियों और परीक्षणों में मापी गई मात्राओं के बीच संबंध आमतौर पर प्रस्तुत किया जाता है।

इस पद्धति का नुकसान तर्क के मूल्यों के लिए फ़ंक्शन के मूल्यों को सीधे निर्धारित करने की असंभवता है जो तालिका में शामिल नहीं हैं। यदि विश्वास है कि तालिका में प्रस्तुत नहीं किए गए तर्क के मान विचार किए गए फ़ंक्शन के डोमेन से संबंधित हैं, तो फ़ंक्शन के संबंधित मानों की गणना लगभग प्रक्षेप और एक्सट्रपलेशन का उपयोग करके की जा सकती है।

उदाहरण

कार्यों को निर्दिष्ट करने के एल्गोरिथम और मौखिक तरीके

समारोह सेट किया जा सकता है एल्गोरिथम(या कार्यक्रम संबंधी) एक तरह से जो कंप्यूटर गणना में व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।

अंत में, यह नोट किया जा सकता है वर्णनात्मक(या मौखिक) किसी फ़ंक्शन को निर्दिष्ट करने का एक तरीका, जब फ़ंक्शन के मानों को तर्क के मानों से मिलान करने का नियम शब्दों में व्यक्त किया जाता है।

उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन %%[x] = m~\forall (x \in )