उपरोक्त लेख से आप पता लगा सकते हैं कि सीमा क्या है और इसके साथ क्या खाया जाता है - यह बहुत महत्वपूर्ण है। क्यों? आप यह नहीं समझ सकते हैं कि निर्धारक क्या हैं और उन्हें सफलतापूर्वक हल करें, हो सकता है कि आप यह बिल्कुल न समझें कि व्युत्पन्न क्या है और उन्हें "पांच" पर खोजें। लेकिन अगर आपको समझ में नहीं आता कि सीमा क्या है, तो व्यावहारिक कार्यों को हल करना मुश्किल होगा। इसके अलावा, निर्णयों के डिजाइन के नमूनों और डिजाइन के लिए मेरी सिफारिशों के साथ खुद को परिचित करना अतिश्योक्तिपूर्ण नहीं होगा। सभी जानकारी सरल और सुलभ तरीके से प्रस्तुत की जाती है।

और इस पाठ के प्रयोजनों के लिए, हमें निम्नलिखित कार्यप्रणाली सामग्री की आवश्यकता है: उल्लेखनीय सीमाएंऔर त्रिकोणमितीय सूत्र. वे पृष्ठ पर पाए जा सकते हैं। मैनुअल प्रिंट करना सबसे अच्छा है - यह बहुत अधिक सुविधाजनक है, इसके अलावा, उन्हें अक्सर ऑफ़लाइन एक्सेस करना पड़ता है।

अद्भुत सीमाओं के बारे में क्या उल्लेखनीय है? इन सीमाओं की उल्लेखनीयता इस तथ्य में निहित है कि वे प्रसिद्ध गणितज्ञों के महानतम दिमागों द्वारा सिद्ध किए गए थे, और आभारी वंशजों को त्रिकोणमितीय कार्यों, लघुगणक और डिग्री के ढेर के साथ भयानक सीमाओं से पीड़ित नहीं होना पड़ता है। यही है, सीमा खोजने पर, हम तैयार किए गए परिणामों का उपयोग करेंगे जो सैद्धांतिक रूप से सिद्ध हो चुके हैं।

कई उल्लेखनीय सीमाएं हैं, लेकिन व्यवहार में, 95% मामलों में अंशकालिक छात्रों की दो उल्लेखनीय सीमाएं हैं: पहली अद्भुत सीमा, दूसरी अद्भुत सीमा. यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि ये ऐतिहासिक रूप से स्थापित नाम हैं, और जब, उदाहरण के लिए, वे "पहली उल्लेखनीय सीमा" के बारे में बात करते हैं, तो उनका मतलब यह एक बहुत ही विशिष्ट चीज है, न कि छत से ली गई कुछ यादृच्छिक सीमा।

पहली अद्भुत सीमा

निम्नलिखित सीमा पर विचार करें: (मूल अक्षर "वह" के बजाय मैं ग्रीक अक्षर "अल्फा" का उपयोग करूंगा, यह सामग्री की प्रस्तुति के संदर्भ में अधिक सुविधाजनक है)।

सीमा ज्ञात करने के हमारे नियम के अनुसार (लेख देखें .) सीमाएं। समाधान उदाहरण) हम फ़ंक्शन में शून्य को स्थानापन्न करने का प्रयास करते हैं: अंश में हमें शून्य मिलता है (शून्य की साइन शून्य है), हर में, जाहिर है, शून्य भी। इस प्रकार, हम प्रपत्र की अनिश्चितता का सामना कर रहे हैं, जिसे सौभाग्य से, प्रकट करने की आवश्यकता नहीं है। गणितीय विश्लेषण के क्रम में, यह सिद्ध होता है कि:

इस गणितीय तथ्य को कहा जाता है पहली अद्भुत सीमा. मैं सीमा का विश्लेषणात्मक प्रमाण नहीं दूंगा, लेकिन हम इसके ज्यामितीय अर्थ पर पाठ में विचार करेंगे अतिसूक्ष्म कार्य.

अक्सर व्यावहारिक कार्यों में, कार्यों को अलग तरह से व्यवस्थित किया जा सकता है, इससे कुछ भी नहीं बदलता है:

- वही पहली अद्भुत सीमा।

लेकिन आप अंश और हर को स्वयं पुनर्व्यवस्थित नहीं कर सकते! यदि प्रपत्र में एक सीमा दी गई है, तो उसे उसी रूप में हल किया जाना चाहिए, बिना कुछ पुनर्व्यवस्थित किए।

व्यवहार में, न केवल एक चर एक पैरामीटर के रूप में कार्य कर सकता है, बल्कि एक प्राथमिक कार्य, एक जटिल कार्य भी कर सकता है। यह केवल इतना महत्वपूर्ण है कि यह शून्य हो जाता है.

उदाहरण:
, , ,

यहां , , , , और सब कुछ गुलजार है - पहली अद्भुत सीमा लागू होती है।

और यहाँ अगली प्रविष्टि है - विधर्म:

क्यों? क्योंकि बहुपद शून्य की ओर प्रवृत्त नहीं होता है, यह पाँच की ओर प्रवृत्त होता है।

वैसे सवाल बैकफिलिंग का है, लेकिन लिमिट क्या है? ? उत्तर पाठ के अंत में पाया जा सकता है।

व्यवहार में, सब कुछ इतना आसान नहीं है, लगभग कभी भी एक छात्र को एक मुफ्त सीमा को हल करने और एक आसान क्रेडिट प्राप्त करने की पेशकश नहीं की जाएगी। हम्म्... मैं ये पंक्तियाँ लिख रहा हूँ, और एक बहुत ही महत्वपूर्ण विचार मन में आया - आखिरकार, "मुक्त" गणितीय परिभाषाओं और सूत्रों को दिल से याद रखना बेहतर लगता है, यह परीक्षण में अमूल्य मदद हो सकती है, जब मुद्दा "दो" और "तीन" के बीच तय किया जाएगा, और शिक्षक छात्र से कुछ सरल प्रश्न पूछने या सबसे सरल उदाहरण को हल करने की पेशकश करने का फैसला करता है ("शायद वह (ए) अभी भी जानता है?")।

आइए व्यावहारिक उदाहरणों पर चलते हैं:

उदाहरण 1

सीमा का पता लगाएं

यदि हम सीमा में कोई साइन देखते हैं, तो इससे हमें तुरंत पहली उल्लेखनीय सीमा को लागू करने की संभावना के बारे में सोचना चाहिए।

सबसे पहले, हम सीमा चिह्न के तहत अभिव्यक्ति में 0 को प्रतिस्थापित करने का प्रयास करते हैं (हम इसे मानसिक रूप से या मसौदे पर करते हैं):

तो, हमारे पास रूप की एक अनिश्चितता है, इसकी इंगित करना सुनिश्चित करेंनिर्णय लेने में। सीमा चिह्न के तहत अभिव्यक्ति पहली अद्भुत सीमा की तरह दिखती है, लेकिन यह काफी नहीं है, यह साइन के नीचे है, लेकिन हर में है।

ऐसे मामलों में, हमें कृत्रिम उपकरण का उपयोग करके पहली अद्भुत सीमा को स्वयं व्यवस्थित करने की आवश्यकता है। तर्क की पंक्ति इस प्रकार हो सकती है: "हमारे पास साइन के तहत, जिसका अर्थ है कि हमें भी हर में आने की आवश्यकता है"।
और यह बहुत सरलता से किया जाता है:

अर्थात्, इस मामले में हर को कृत्रिम रूप से 7 से गुणा किया जाता है और उसी सात से विभाजित किया जाता है। अब यह रिकॉर्ड एक जाना-पहचाना आकार ले चुका है।
जब कार्य हाथ से तैयार किया जाता है, तो एक साधारण पेंसिल के साथ पहली अद्भुत सीमा को चिह्नित करने की सलाह दी जाती है:

क्या हुआ? वास्तव में, गोलाकार अभिव्यक्ति एक इकाई में बदल गई है और उत्पाद में गायब हो गई है:

अब केवल तीन मंजिला अंश से छुटकारा पाना बाकी है:

बहुमंजिला भिन्नों का सरलीकरण कौन भूल गया है, कृपया संदर्भ पुस्तक में सामग्री को ताज़ा करें हॉट स्कूल गणित सूत्र .

तैयार। आख़री जवाब:

यदि आप पेंसिल के निशान का उपयोग नहीं करना चाहते हैं, तो समाधान को इस प्रकार स्वरूपित किया जा सकता है:

“

हम पहली उल्लेखनीय सीमा का उपयोग करते हैं

“

उदाहरण 2

सीमा का पता लगाएं

फिर से हम सीमा में एक भिन्न और एक ज्या देखते हैं। हम अंश और हर में शून्य को प्रतिस्थापित करने का प्रयास करते हैं:

वास्तव में, हमारे पास अनिश्चितता है और इसलिए, हमें पहली उल्लेखनीय सीमा को व्यवस्थित करने का प्रयास करने की आवश्यकता है। सबक पर सीमाएं। समाधान उदाहरणहमने इस नियम पर विचार किया कि जब हमारे पास अनिश्चितता होती है, तो हमें अंश और हर को गुणनखंडों में विभाजित करने की आवश्यकता होती है। यहां - वही बात, हम डिग्री को एक उत्पाद (गुणक) के रूप में प्रस्तुत करेंगे:

इसी तरह पिछले उदाहरण के लिए, हम एक पेंसिल के साथ अद्भुत सीमाओं की रूपरेखा तैयार करते हैं (यहां उनमें से दो हैं), और इंगित करते हैं कि वे एक के लिए जाते हैं:

दरअसल, जवाब तैयार है:

निम्नलिखित उदाहरणों में, मैं पेंट में कला नहीं करूंगा, मुझे लगता है कि एक नोटबुक में समाधान को सही ढंग से कैसे तैयार किया जाए - आप पहले ही समझ चुके हैं।

उदाहरण 3

सीमा का पता लगाएं

हम सीमा चिह्न के तहत व्यंजक में शून्य को प्रतिस्थापित करते हैं:

एक अनिश्चितता प्राप्त हुई है जिसे प्रकट करने की आवश्यकता है। यदि सीमा में एक स्पर्शरेखा है, तो यह लगभग हमेशा जाने-माने त्रिकोणमितीय सूत्र के अनुसार साइन और कोसाइन में परिवर्तित हो जाता है (वैसे, वे कोटेंजेंट के साथ भी ऐसा ही करते हैं, कार्यप्रणाली सामग्री देखें गर्म त्रिकोणमितीय सूत्रपेज पर गणितीय सूत्र, टेबल और संदर्भ सामग्री).

इस मामले में:

शून्य की कोज्या एक के बराबर है, और इससे छुटकारा पाना आसान है (यह चिह्नित करना न भूलें कि यह एक की ओर जाता है):

इस प्रकार, यदि सीमा में कोसाइन एक गुणक है, तो, मोटे तौर पर, इसे एक इकाई में बदल दिया जाना चाहिए, जो उत्पाद में गायब हो जाता है।

यहाँ सब कुछ सरल हो गया, बिना किसी गुणा और भाग के। पहली उल्लेखनीय सीमा भी एकता में बदल जाती है और उत्पाद में गायब हो जाती है:

फलतः अनंत प्राप्त होता है, ऐसा होता है।

उदाहरण 4

सीमा का पता लगाएं

हम अंश और हर में शून्य को प्रतिस्थापित करने का प्रयास करते हैं:

प्राप्त अनिश्चितता (शून्य की कोज्या, जैसा कि हमें याद है, एक के बराबर है)

हम त्रिकोणमितीय सूत्र का उपयोग करते हैं। नोट करें! किसी कारण से, इस सूत्र का उपयोग करने की सीमाएँ बहुत सामान्य हैं।

हम सीमा चिह्न से परे निरंतर गुणकों को निकालते हैं:

आइए पहली उल्लेखनीय सीमा को व्यवस्थित करें:

यहां हमारे पास केवल एक अद्भुत सीमा है, जो एक में बदल जाती है और उत्पाद में गायब हो जाती है:

आइए तीन मंजिला से छुटकारा पाएं:

सीमा वास्तव में हल हो गई है, हम इंगित करते हैं कि शेष साइन शून्य हो जाता है:

उदाहरण 5

सीमा का पता लगाएं

यह उदाहरण अधिक जटिल है, इसे स्वयं समझने का प्रयास करें:

चर को बदलकर कुछ सीमाओं को पहली उल्लेखनीय सीमा तक कम किया जा सकता है, आप इसके बारे में लेख में थोड़ी देर बाद पढ़ सकते हैं हल करने के तरीके सीमित करें.

दूसरी अद्भुत सीमा

गणितीय विश्लेषण के सिद्धांत में यह सिद्ध होता है कि:

इस तथ्य को कहा जाता है दूसरी उल्लेखनीय सीमा.

संदर्भ: एक अपरिमेय संख्या है।

न केवल एक चर एक पैरामीटर के रूप में कार्य कर सकता है, बल्कि एक जटिल कार्य भी कर सकता है। यह केवल इतना महत्वपूर्ण है कि यह अनंत के लिए प्रयास करता है.

उदाहरण 6

सीमा का पता लगाएं

जब सीमा चिह्न के तहत अभिव्यक्ति शक्ति में है - यह पहला संकेत है कि आपको दूसरी अद्भुत सीमा को लागू करने का प्रयास करने की आवश्यकता है।

लेकिन पहले, हमेशा की तरह, हम अभिव्यक्ति में एक असीम रूप से बड़ी संख्या को प्रतिस्थापित करने का प्रयास करते हैं, यह किस सिद्धांत के अनुसार किया जाता है, इसका पाठ में विश्लेषण किया गया था सीमाएं। समाधान उदाहरण.

यह देखना आसान है कि कब डिग्री का आधार, और घातांक - , अर्थात्, प्रपत्र की अनिश्चितता है:

यह अनिश्चितता दूसरी उल्लेखनीय सीमा की सहायता से ही प्रकट होती है। लेकिन, जैसा कि अक्सर होता है, दूसरी अद्भुत सीमा चांदी की थाली पर नहीं होती है, और इसे कृत्रिम रूप से व्यवस्थित किया जाना चाहिए। आप निम्नानुसार तर्क कर सकते हैं: इस उदाहरण में, पैरामीटर का अर्थ है कि हमें संकेतक में व्यवस्थित करने की भी आवश्यकता है। ऐसा करने के लिए, हम आधार को एक शक्ति तक बढ़ाते हैं, और ताकि अभिव्यक्ति में बदलाव न हो, हम इसे एक शक्ति तक बढ़ाते हैं:

जब कार्य हाथ से तैयार किया जाता है, तो हम एक पेंसिल से चिह्नित करते हैं:

लगभग सब कुछ तैयार है, भयानक डिग्री एक सुंदर पत्र में बदल गई है:

उसी समय, लिमिट आइकन को ही इंडिकेटर में ले जाया जाता है:

उदाहरण 7

सीमा का पता लगाएं

ध्यान! इस प्रकार की सीमा बहुत सामान्य है, कृपया इस उदाहरण का बहुत ध्यानपूर्वक अध्ययन करें।

हम सीमा चिह्न के अंतर्गत व्यंजक में एक अपरिमित रूप से बड़ी संख्या को प्रतिस्थापित करने का प्रयास करते हैं:

परिणाम एक अनिश्चितता है। लेकिन दूसरी उल्लेखनीय सीमा फॉर्म की अनिश्चितता पर लागू होती है। क्या करें? आपको डिग्री के आधार को बदलने की जरूरत है। हम इस तरह तर्क देते हैं: हमारे पास हर में, जिसका अर्थ है कि हमें अंश में व्यवस्थित करने की भी आवश्यकता है।

प्रमाण:

आइए पहले हम अनुक्रम की स्थिति के लिए प्रमेय सिद्ध करें

न्यूटन के द्विपद सूत्र के अनुसार:

मान लें कि हमें मिलता है

इस समानता (1) से यह इस प्रकार है कि जैसे-जैसे n बढ़ता है, दायीं ओर धनात्मक पदों की संख्या बढ़ती जाती है। इसके अलावा, जैसे-जैसे n बढ़ता है, संख्या घटती जाती है, इसलिए मात्राएँ बढ़ोतरी। इसलिए क्रम बढ़ रहा है, जबकि (2)* आइए हम दिखाते हैं कि यह परिबद्ध है। हम समानता के दाईं ओर प्रत्येक कोष्ठक को एक से बदलते हैं, दाईं ओर बढ़ता है, हमें असमानता मिलती है

हम परिणामी असमानता को मजबूत करते हैं, भिन्नों के हर में खड़े 3,4,5, ... को संख्या 2 से प्रतिस्थापित करते हैं: हम ज्यामितीय प्रगति के सदस्यों के योग के लिए सूत्र का उपयोग करके कोष्ठक में योग पाते हैं: इसलिए (3)*

इस प्रकार, अनुक्रम ऊपर से घिरा हुआ है, जबकि असमानताएं (2) और (3) धारण करती हैं: इसलिए, वीयरस्ट्रैस प्रमेय (एक अनुक्रम के अभिसरण के लिए एक मानदंड) के आधार पर, अनुक्रम नीरस रूप से बढ़ता है और घिरा होता है, जिसका अर्थ है कि इसकी एक सीमा है, जिसे अक्षर ई द्वारा दर्शाया गया है। वे।

यह जानते हुए कि x के प्राकृतिक मूल्यों के लिए दूसरी उल्लेखनीय सीमा सत्य है, हम वास्तविक x के लिए दूसरी उल्लेखनीय सीमा सिद्ध करते हैं, अर्थात हम यह सिद्ध करते हैं कि . दो मामलों पर विचार करें:

1. मान लीजिए कि प्रत्येक x का मान दो धनात्मक पूर्णांकों के बीच है: , x का पूर्णांक भाग कहाँ है। => =>

यदि , तो इसलिए , सीमा के अनुसार हमारे पास है

सीमाओं के अस्तित्व के आधार पर (एक मध्यवर्ती कार्य की सीमा पर)

2. चलो। आइए एक प्रतिस्थापन करें - x = t, फिर

इन दो मामलों से यह इस प्रकार है कि वास्तविक एक्स के लिए

परिणाम:

9 .) अतिसूक्ष्म जीवों की तुलना। इनफिनिटिमल्स के स्थान पर सीमा में तुल्यांक वाले थ्योरम और इनफिनिटिमल्स के प्रमुख भाग पर थ्योरम।

मान लीजिए कि फलन a( एक्स) और बी( एक्स) - बी.एम. पर एक्स ® एक्स 0 .

परिभाषाएँ।

1) ए ( एक्स) बुलाया की तुलना में एक अतिसूक्ष्म उच्च क्रम बी (एक्स) अगर

नीचे लिखें: ए ( एक्स) = ओ (बी ( एक्स)) .

2)ए( एक्स) औरबी( एक्स)बुलाया एक ही क्रम के अतिसूक्ष्म, अगर

जहां सीнℝ and सी¹ 0 .

नीचे लिखें: ए ( एक्स) = हे(बी( एक्स)) .

3) ए ( एक्स) औरबी( एक्स) बुलाया समकक्ष , अगर

नीचे लिखें: ए ( एक्स) ~ बी ( एक्स).

4) ए ( एक्स) के संबंध में एक अतिसूक्ष्म क्रम k कहलाता है
अति सूक्ष्मबी( एक्स), यदि अतिसूक्ष्मए( एक्स)और(बी( एक्स)) क एक ही आदेश है, अर्थात्। अगर

जहां सीнℝ and सी¹ 0 .

प्रमेय 6 (इनफिनिटिमल्स को समकक्ष वाले से बदलने पर)।

रहने दोए( एक्स), बी( एक्स), एक 1 ( एक्स), ख 1 ( एक्स)- बी.एम. x . पर ® एक्स 0 . यदि एकए( एक्स) ~ ए 1 ( एक्स), बी( एक्स) ~ बी 1 ( एक्स),

तब

प्रमाण: मान लीजिए a( एक्स) ~ ए 1 ( एक्स), बी( एक्स) ~ बी 1 ( एक्स), तब

प्रमेय 7 (असीम रूप से छोटे के मुख्य भाग के बारे में)।

रहने दोए( एक्स)औरबी( एक्स)- बी.एम. x . पर ® एक्स 0 , औरबी( एक्स)- बी.एम. की तुलना में उच्च क्रमए( एक्स).

= , a चूँकि b( एक्स) - एक से अधिक आदेश ( एक्स) , फिर , यानी। से यह स्पष्ट है कि एक ( एक्स) + बी ( एक्स) ~ ए ( एक्स)

10) एक बिंदु पर कार्य निरंतरता (एप्सिलॉन-डेल्टा सीमा की भाषा में, ज्यामितीय) एकतरफा निरंतरता। एक अंतराल पर, एक खंड पर निरंतरता। निरंतर कार्यों के गुण।

1. मूल परिभाषाएं

रहने दो एफ(एक्स) बिंदु के कुछ पड़ोस में परिभाषित किया गया है एक्स 0 .

परिभाषा 1. समारोह एफ(एक्स) बुलाया एक बिंदु पर निरंतर एक्स 0 अगर समानता सच है

टिप्पणियों.

1) 3 के प्रमेय 5 द्वारा, समानता (1) को इस प्रकार लिखा जा सकता है

शर्त (2) - एक तरफा सीमा की भाषा में एक बिंदु पर एक समारोह की निरंतरता की परिभाषा.

2) समानता (1) को इस प्रकार भी लिखा जा सकता है:

वे कहते हैं: "यदि कोई फलन एक बिंदु पर निरंतर है एक्स 0 है, तो सीमा के चिन्ह और फलन को आपस में बदला जा सकता है।

परिभाषा 2 (भाषा ई-डी में)।

समारोह एफ(एक्स) बुलाया एक बिंदु पर निरंतर एक्स 0 अगर"ई>0 $डी>0 ऐसा, क्या

अगर xयू( एक्स 0 , डी) (अर्थात, | एक्स – एक्स 0 | < d),

फिर च(एक्स)Оयू( एफ(एक्स 0), ई) (यानी | एफ(एक्स) – एफ(एक्स 0) | < e).

रहने दो एक्स, एक्स 0 Î डी(एफ) (एक्स 0 - निश्चित, एक्स-स्वेच्छाचारी)

निरूपित करें: डी एक्स= एक्स-एक्स 0 – तर्क वृद्धि

डी एफ(एक्स 0) = एफ(एक्स) – एफ(एक्स 0) – बिंदु x . पर फ़ंक्शन वृद्धि 0

परिभाषा 3 (ज्यामितीय)।

समारोह एफ(एक्स) पर बुलाया एक बिंदु पर निरंतर एक्स 0 यदि इस बिंदु पर तर्क की एक अतिसूक्ष्म वृद्धि फ़ंक्शन के एक अतिसूक्ष्म वृद्धि से मेल खाती है, अर्थात।

चलो समारोह एफ(एक्स) अंतराल पर परिभाषित किया गया है [ एक्स 0 ; एक्स 0 + डी) (अंतराल पर ( एक्स 0 - डी; एक्स 0 ]).

परिभाषा। समारोह एफ(एक्स) बुलाया एक बिंदु पर निरंतर एक्स 0 दाहिनी ओर (बाएं ), अगर समानता सच है

जाहिर सी बात है एफ(एक्स) बिंदु पर निरंतर है एक्स 0 Û एफ(एक्स) बिंदु पर निरंतर है एक्स 0 दाएं और बाएं।

परिभाषा। समारोह एफ(एक्स) बुलाया निरंतर प्रति अंतराल इ ( ए; बी) यदि यह इस अंतराल के प्रत्येक बिंदु पर निरंतर है.

समारोह एफ(एक्स) खंड पर निरंतर कहा जाता है [ए; बी] अगर यह अंतराल पर निरंतर है (ए; बी) और सीमा बिंदुओं पर एकतरफा निरंतरता है(अर्थात बिंदु पर निरंतर एसही, बिंदु बी- बाईं तरफ)।

11) विराम बिंदु, उनका वर्गीकरण

परिभाषा। यदि फलन f(एक्स) बिंदु x . के कुछ पड़ोस में परिभाषित किया गया है 0 , लेकिन उस बिंदु पर निरंतर नहीं है, तो एफ(एक्स) बिंदु x . पर असंतत कहा जाता है 0 , लेकिन बिंदु एक्स 0 ब्रेकिंग पॉइंट कहा जाता है कार्य f(एक्स) .

टिप्पणियों.

1) एफ(एक्स) बिंदु के अधूरे पड़ोस में परिभाषित किया जा सकता है एक्स 0 .

फिर फ़ंक्शन की संगत एकतरफा निरंतरता पर विचार करें।

2) z की परिभाषा से, बिंदु एक्स 0 फ़ंक्शन का विराम बिंदु है एफ(एक्स) दो मामलों में:

ए) यू( एक्स 0, डी) नहीं डी(एफ) , लेकिन के लिए एफ(एक्स) समानता संतुष्ट नहीं है

बी) यू * ( एक्स 0, डी) नहीं डी(एफ) .

प्राथमिक कार्यों के लिए, केवल मामला b) संभव है।

रहने दो एक्स 0 - फ़ंक्शन का विराम बिंदु एफ(एक्स) .

परिभाषा। बिंदु x 0 बुलाया अत्यंत तनावग्रस्त स्थिति मैं तरह यदि फलन f(एक्स)इस बिंदु पर बाईं और दाईं ओर सीमित सीमाएँ हैं.

यदि, इसके अतिरिक्त, ये सीमाएँ समान हैं, तो बिंदु x 0 बुलाया विराम बिंदु , अन्यथा - कूद बिंदु .

परिभाषा। बिंदु x 0 बुलाया अत्यंत तनावग्रस्त स्थिति द्वितीय तरह यदि फलन की कम से कम एक तरफा सीमा f(एक्स)इस बिंदु पर के बराबर है¥ या मौजूद नहीं है.

12) कार्यों के गुण जो एक खंड पर निरंतर होते हैं (वीयरस्ट्रैस (बिना प्रमाण के) और कॉची के प्रमेय

वीयरस्ट्रैस प्रमेय

मान लें कि फलन f(x) खंड पर सतत है, तब

1)f(x) तक सीमित है

2) f (x) अंतराल पर अपना सबसे छोटा और सबसे बड़ा मान लेता है

परिभाषा: किसी x € D(f) के लिए m≤f(x) यदि फलन m=f का मान सबसे छोटा कहा जाता है।

किसी x € D(f) के लिए m≥f(x) यदि फलन m=f का मान सबसे बड़ा कहलाता है।

फ़ंक्शन सेगमेंट के कई बिंदुओं पर सबसे छोटा \ सबसे बड़ा मान ले सकता है।

f(x 3)=f(x 4)=max

कॉची का प्रमेय।

मान लें कि फलन f(x) अंतराल पर निरंतर है और x f(a) और f(b) के बीच संलग्न संख्या है, तो कम से कम एक बिंदु x 0 € ऐसा है कि f(x 0)= g

पहली उल्लेखनीय सीमा को निम्नलिखित समानता कहा जाता है:

\begin(समीकरण)\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1 \end(समीकरण)

चूँकि $\alpha\to(0)$ के लिए हमारे पास $\sin\alpha\to(0)$ है, हम कहते हैं कि पहली उल्लेखनीय सीमा $\frac(0)(0)$ के रूप की अनिश्चितता को प्रकट करती है। सामान्यतया, सूत्र (1) में, चर $\alpha$ के बजाय, साइन साइन के तहत और हर में, कोई भी व्यंजक तब तक स्थित हो सकता है, जब तक कि दो शर्तें पूरी नहीं हो जातीं:

1. साइन साइन के तहत और हर में एक साथ भाव शून्य हो जाते हैं, अर्थात। $\frac(0)(0)$ के रूप में अनिश्चितता है।
2. साइन साइन के नीचे और हर में भाव समान हैं।

पहली उल्लेखनीय सीमा से कोरोलरी का भी अक्सर उपयोग किया जाता है:

\begin(समीकरण) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1 \end(समीकरण) \begin(समीकरण) \lim_(\alpha\to(0) )\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1 \end(समीकरण) \शुरू(समीकरण) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1 \end(समीकरण)

इस पृष्ठ पर ग्यारह उदाहरण हल किए गए हैं। उदाहरण संख्या 1 सूत्रों के प्रमाण के लिए समर्पित है (2)-(4)। उदाहरण #2, #3, #4 और #5 में विस्तृत टिप्पणियों के साथ समाधान हैं। उदाहरण 6-10 में कम या बिना किसी टिप्पणी के समाधान होते हैं, जैसा कि पिछले उदाहरणों में विस्तृत स्पष्टीकरण दिया गया था। हल करते समय, कुछ त्रिकोणमितीय सूत्रों का उपयोग किया जाता है, जिन्हें पाया जा सकता है।

मैं ध्यान देता हूं कि $\frac (0) (0)$ की अनिश्चितता के साथ त्रिकोणमितीय कार्यों की उपस्थिति का मतलब यह नहीं है कि पहली उल्लेखनीय सीमा लागू की जानी चाहिए। कभी-कभी सरल त्रिकोणमितीय परिवर्तन पर्याप्त होते हैं - उदाहरण के लिए, देखें।

उदाहरण 1

साबित करें कि $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha ) (\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$.

ए) चूंकि $\tg\alpha=\frac(\sin\alpha)(\cos\alpha)$, तब:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg(\alpha))(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) $$

चूंकि $\lim_(\alpha\to(0))\cos(0)=1$ और $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1$ , तब:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) =\frac(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0)) \frac(\sin(\alpha))(\alpha))(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0))\cos(\alpha)) =\frac(1)(1) =1. $$

बी) आइए प्रतिस्थापन $\alpha=\sin(y)$ करें। चूंकि $\sin(0)=0$, फिर $\alpha\to(0)$ की स्थिति से हमारे पास $y\to(0)$ है। इसके अलावा, शून्य का एक पड़ोस है जहां $\arcsin\alpha=\arcsin(\sin(y))=y$, इसलिए:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\sin(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\sin(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\sin(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$

समानता $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1$ साबित हुई है।

ग) आइए प्रतिस्थापन $\alpha=\tg(y)$ करें। चूंकि $\tg(0)=0$, शर्तें $\alpha\to(0)$ और $y\to(0)$ बराबर हैं। इसके अलावा, शून्य का एक पड़ोस है जहां $\arctg\alpha=\arctg\tg(y))=y$, इसलिए, बिंदु a के परिणामों पर निर्भर करते हुए), हमारे पास होगा:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\tg(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\tg(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\tg(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$

समानता $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$ साबित होती है।

समानताएं ए), बी), सी) अक्सर पहली उल्लेखनीय सीमा के साथ उपयोग की जाती हैं।

उदाहरण #2

गणना सीमा $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)( एक्स+7))$।

चूँकि $\lim_(x\to(2))\frac(x^2-4)(x+7)=\frac(2^2-4)(2+7)=0$ और $\lim_( x \to(2))\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right)=\sin(0)=0$, यानी और भिन्न का अंश और हर एक साथ शून्य हो जाता है, तो यहाँ हम $\frac(0)(0)$ के रूप की अनिश्चितता से निपट रहे हैं, अर्थात। किया हुआ। इसके अलावा, यह देखा जा सकता है कि साइन साइन के तहत और हर में भाव समान हैं (यानी, और संतुष्ट हैं):

तो, पृष्ठ की शुरुआत में सूचीबद्ध दोनों शर्तें पूरी होती हैं। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि सूत्र लागू होता है, अर्थात्। $\lim_(x\to(2)) \frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)(x+ 7 )) = 1 $।

जवाब: $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)(x +7)) = 1$।

उदाहरण #3

$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)$ खोजें।

चूंकि $\lim_(x\to(0))\sin(9x)=0$ और $\lim_(x\to(0))x=0$, हम फॉर्म की अनिश्चितता से निपट रहे हैं $\frac( 0 )(0)$, यानी, किया हुआ। हालांकि, साइन साइन के तहत और हर में भाव मेल नहीं खाते। यहां हर में व्यंजक को वांछित रूप में समायोजित करना आवश्यक है। हर में होने के लिए हमें व्यंजक $9x$ की आवश्यकता है - तब यह सत्य हो जाएगा। मूल रूप से, हम हर में $9$ का कारक खो रहे हैं, जिसे दर्ज करना इतना कठिन नहीं है, बस हर में व्यंजक को $9$ से गुणा करें। स्वाभाविक रूप से, $9$ से गुणा के लिए क्षतिपूर्ति करने के लिए, आपको तुरंत $9$ से विभाजित करना होगा और विभाजित करना होगा:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x\cdot\frac(1)(9)) =9\lim_(x\to(0))\frac(\sin) (9x))(9x) $$

अब हर और साइन साइन के तहत भाव समान हैं। $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)$ की सीमा के लिए दोनों शर्तें संतुष्ट हैं। इसलिए $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=1$। और इसका मतलब है कि:

$$ 9\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=9\cdot(1)=9. $$

जवाब: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=9$.

उदाहरण #4

$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))$ खोजें।

चूंकि $\lim_(x\to(0))\sin(5x)=0$ और $\lim_(x\to(0))\tg(8x)=0$, यहां हम एक अनिश्चितता के साथ काम कर रहे हैं फॉर्म $\frac(0)(0)$. हालांकि, पहली उल्लेखनीय सीमा का रूप टूट गया है। $\sin(5x)$ वाले अंश को हर में $5x$ की आवश्यकता होती है। इस स्थिति में, सबसे आसान तरीका है कि अंश को $5x$ से विभाजित किया जाए, और तुरंत $5x$ से गुणा किया जाए। इसके अलावा, हम हर के साथ एक समान ऑपरेशन करेंगे, $\tg(8x)$ को $8x$ से गुणा और विभाजित करेंगे:

$$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x) )$$

$x$ से कम करने और निरंतर $\frac(5)(8)$ को सीमा चिह्न से बाहर निकालने पर, हम प्राप्त करते हैं:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x )) =\frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))( 8x)) $$

ध्यान दें कि $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x)$ पहली उल्लेखनीय सीमा के लिए आवश्यकताओं को पूरी तरह से संतुष्ट करता है। $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(8x))(8x)$ खोजने के लिए निम्नलिखित सूत्र लागू होता है:

$$ \frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))(8x )) =\frac(5)(8)\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x))(\displaystyle\lim_(x\to) (0))\frac(\tg(8x))(8x)) =\frac(5)(8)\cdot\frac(1)(1) =\frac(5)(8)। $$

जवाब: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\frac(5)(8)$।

उदाहरण #5

$\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)$ खोजें।

चूंकि $\lim_(x\to(0))(\cos(5x)-\cos^3(5x))=1-1=0$ (याद रखें कि $\cos(0)=1$) और $\ lim_(x\to(0))x^2=0$, तो हम $\frac(0)(0)$ फॉर्म की अनिश्चितता से निपट रहे हैं। हालांकि, पहली अद्भुत सीमा को लागू करने के लिए, आपको साइन (सूत्र को लागू करने के लिए) या स्पर्शरेखा (फिर सूत्र लागू करने के लिए) पर जाकर अंश में कोसाइन से छुटकारा पाना चाहिए। आप इसे निम्न परिवर्तन के साथ कर सकते हैं:

$$\cos(5x)-\cos^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\right)$$ $$\cos(5x)-\cos ^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\right)=\cos(5x)\cdot\sin^2(5x).$$

आइए सीमा पर वापस जाएं:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)\cdot\sin^2(5x))(x^2) =\lim_(x\to(0))\left(\cos (5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\right) $$

अंश $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$ पहले उल्लेखनीय सीमा के लिए आवश्यक फॉर्म के करीब है। आइए अंश $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$ के साथ थोड़ा काम करें, इसे पहली उल्लेखनीय सीमा में समायोजित करें (ध्यान दें कि अंश में और साइन के नीचे के भाव मेल खाने चाहिए):

$$\frac(\sin^2(5x))(x^2)=\frac(\sin^2(5x))(25x^2\cdot\frac(1)(25))=25\cdot\ frac(\sin^2(5x))(25x^2)=25\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2$$

आइए विचार की गई सीमा पर लौटते हैं:

$$ \lim_(x\to(0))\left(\cos(5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\right) =\lim_(x\to(0) ))\बाएं(25\cos(5x)\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2\right)=\\ =25\cdot\lim_(x\to( 0))\cos(5x)\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2 =25\cdot(1)\cdot( 1^2) =25. $$

जवाब: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=25$.

उदाहरण #6

सीमा ज्ञात कीजिए $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))$।

चूंकि $\lim_(x\to(0))(1-\cos(6x))=0$ और $\lim_(x\to(0))(1-\cos(2x))=0$, तब हम $\frac(0)(0)$ की अनिश्चितता से निपट रहे हैं। आइए इसे पहली उल्लेखनीय सीमा की सहायता से खोलें। ऐसा करने के लिए, आइए कोज्या से ज्या की ओर चलें। चूँकि $1-\cos(2\alpha)=2\sin^2(\alpha)$, तब:

$$1-\cos(6x)=2\sin^2(3x);\;1-\cos(2x)=2\sin^2(x).$$

दी गई सीमा को ज्या तक पार करते हुए, हमारे पास होगा:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(2\sin^2(3x))(2\sin^2(x)) =\lim_(x\to(0))\frac(\sin^ 2(3x))(\sin^2(x))=\\ =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin^2(3x))((3x)^2)\ cdot(3x)^2)(\frac(\sin^2(x))(x^2)\cdot(x^2)) =\lim_(x\to(0))\frac(\left(\ frac(\sin(3x))(3x)\right)^2\cdot(9x^2))(\left(\frac(\sin(x))(x)\right)^2\cdot(x^ 2)) =9\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(3x))(3x)\right)^2)(\displaystyle\lim_(x) \to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\right)^2) =9\cdot\frac(1^2)(1^2) =9. $$

जवाब: $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=9$.

उदाहरण #7

सीमा की गणना करें $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)$ दिए गए $\alpha\neq\ beta $.

विस्तृत स्पष्टीकरण पहले दिया गया था, लेकिन यहां हम केवल ध्यान दें कि फिर से $\frac(0)(0)$ की अनिश्चितता है। आइए सूत्र का उपयोग करके कोज्या से ज्या की ओर चलते हैं

$$\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\sin\frac(\alpha-\beta)(2).$$

उपरोक्त सूत्र का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\left|\frac(0)( 0)\दाएं| =\lim_(x\to(0))\frac(-2\sin\frac(\alpha(x)+\beta(x))(2)\cdot\sin\frac(\alpha(x)-\ बीटा(x))(2))(x^2)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta) )(2)\दाएं)\cdot\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x^2) =-2\cdot\lim_(x\to( 0))\बाएं(\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x)\cdot\frac(\sin\left(x\cdot\frac) (\alpha-\beta)(2)\right))(x)\right)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin\left(x) \cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\frac (\पाप\बाएं(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2))\cdot\frac(\alpha- \beta)(2)\right)=\\ =-\frac((\alpha+\beta)\cdot(\alpha-\beta))(2)\lim_(x\to(0))\frac(\ sin\बाएं(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\lim_(x\to(0)) \frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)) =-\frac(\ alpha^2-\beta^2)(2)\cdot(1)\cdot(1) =\frac(\beta^2-\alpha^2)(2)। $$

जवाब: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\frac(\beta^2-\ अल्फा ^ 2) (2) $।

उदाहरण #8

सीमा ज्ञात कीजिए $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)$।

चूंकि $\lim_(x\to(0))(\tg(x)-\sin(x))=0$ (याद रखें कि $\sin(0)=\tg(0)=0$) और $\ lim_(x\to(0))x^3=0$, तो यहां हम $\frac(0)(0)$ फॉर्म की अनिश्चितता से निपट रहे हैं। आइए इसे इस तरह तोड़ें:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(x))(\cos(x))-\sin(x))(x^3) =\lim_(x\to( 0))\frac(\sin(x)\cdot\left(\frac(1)(\cos(x))-1\right))(x^3) =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot\left(1-\cos(x)\right))(x^3\cdot\cos(x))=\\ =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot(2)\sin^2\frac(x)(2))(x^3\cdot\cos(x)) =\frac(1)(2)\cdot\ lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\cdot\left(\frac(\sin\frac(x)(2))(\frac(x)( 2))\दाएं)^2\cdot\frac(1)(\cos(x))\right) =\frac(1)(2)\cdot(1)\cdot(1^2)\cdot(1 ) =\frac(1)(2)। $$

जवाब: $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\frac(1)(2)$।

उदाहरण #9

सीमा ज्ञात कीजिए $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))$।

चूंकि $\lim_(x\to(3))(1-\cos(x-3))=0$ और $\lim_(x\to(3))(x-3)\tg\frac(x - 3)(2)=0$, फिर $\frac(0)(0)$ के रूप की एक अनिश्चितता है। इसके विस्तार के लिए आगे बढ़ने से पहले, चर को इस तरह से बदलना सुविधाजनक है कि नया चर शून्य हो जाए (ध्यान दें कि सूत्रों में चर $\alpha \to 0$)। चर $t=x-3$ को पेश करने का सबसे आसान तरीका है। हालांकि, आगे के परिवर्तनों की सुविधा के लिए (यह लाभ नीचे दिए गए समाधान के दौरान देखा जा सकता है), यह निम्नलिखित प्रतिस्थापन करने के लायक है: $t=\frac(x-3)(2)$। मैं ध्यान देता हूं कि इस मामले में दोनों प्रतिस्थापन लागू होते हैं, केवल दूसरा प्रतिस्थापन आपको अंशों के साथ कम काम करने की अनुमति देगा। चूंकि $x\to(3)$, फिर $t\to(0)$।

$$ \lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=\left|\frac (0)(0)\दाएं| =\बाएं|\शुरू(गठबंधन)&t=\frac(x-3)(2);\\&t\to(0)\end(aligned)\right| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\cos(2t))(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^ 2t)(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\tg(t))=\\ =\lim_(t\ to(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\frac(\sin(t))(\cos(t))) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin) (t)\cos(t))(t) =\lim_(t\to(0))\left(\frac(\sin(t))(t)\cdot\cos(t)\right) =\ lim_(t\to(0))\frac(\sin(t))(t)\cdot\lim_(t\to(0))\cos(t) =1\cdot(1) =1. $$

जवाब: $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=1$।

उदाहरण #10

सीमा खोजें $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^ 2)$.

फिर से हम $\frac(0)(0)$ की अनिश्चितता से निपट रहे हैं। इसके विस्तार के लिए आगे बढ़ने से पहले, चर को इस तरह से बदलना सुविधाजनक है कि नया चर शून्य हो जाए (ध्यान दें कि सूत्रों में चर $\alpha\to(0)$ है)। चर $t=\frac(\pi)(2)-x$ को पेश करने का सबसे आसान तरीका है। चूंकि $x\to\frac(\pi)(2)$, फिर $t\to(0)$:

$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^2) =\बाएं|\फ्रैक(0)(0)\दाएं| =\बाएं|\शुरू(गठबंधन)&t=\frac(\pi)(2)-x;\\&t\to(0)\end(aligned)\right| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\sin\left(\frac(\pi)(2)-t\right))(t^2) =\lim_(t\to(0 ))\frac(1-\cos(t))(t^2)=\\ =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^2\frac(t)(2))( t^2) =2\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2\frac(t)(2))(t^2) =2\lim_(t\to(0))\ frac(\sin^2\frac(t)(2))(\frac(t^2)(4)\cdot(4)) =\frac(1)(2)\cdot\lim_(t\to( 0))\बाएं(\frac(\sin\frac(t)(2))(\frac(t)(2))\right)^2 =\frac(1)(2)\cdot(1^2 ) =\frac(1)(2)। $$

जवाब: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^2) =\frac(1)(2)$.

उदाहरण #11

सीमा खोजें $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)$, $\lim_(x\to\frac(2\ pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)$.

इस मामले में, हमें पहली अद्भुत सीमा का उपयोग करने की आवश्यकता नहीं है। कृपया ध्यान दें: पहली और दूसरी दोनों सीमाओं में, केवल त्रिकोणमितीय फलन और संख्याएँ हैं। अक्सर, इस प्रकार के उदाहरणों में, सीमा चिह्न के नीचे स्थित व्यंजक को सरल बनाना संभव होता है। इस मामले में, उल्लिखित सरलीकरण और कुछ कारकों में कमी के बाद, अनिश्चितता गायब हो जाती है। मैंने यह उदाहरण केवल एक उद्देश्य से दिया है: यह दिखाने के लिए कि सीमा चिह्न के तहत त्रिकोणमितीय कार्यों की उपस्थिति का मतलब पहली उल्लेखनीय सीमा के आवेदन से नहीं है।

चूंकि $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))(1-\sin(x))=0$ (याद रखें कि $\sin\frac(\pi)(2)=1$ ) और $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\cos^2x=0$ (याद रखें कि $\cos\frac(\pi)(2)=0$), तो हम अनिश्चितता से निपट रहे हैं $\frac(0)(0)$ के रूप में। हालांकि, इसका मतलब यह बिल्कुल नहीं है कि हमें पहली उल्लेखनीय सीमा का उपयोग करने की आवश्यकता है। अनिश्चितता को प्रकट करने के लिए, यह ध्यान रखना पर्याप्त है कि $\cos^2x=1-\sin^2x$:

$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x) =\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(1-\sin^2x) =\lim_(x\to\frac(\pi)( 2))\frac(1-\sin(x))((1-\sin(x))(1+\sin(x))) =\lim_(x\to\frac(\pi)(2) )\frac(1)(1+\sin(x)) =\frac(1)(1+1) =\frac(1)(2)। $$

डेमिडोविच की समाधान पुस्तक (संख्या 475) में एक समान समाधान है। दूसरी सीमा के लिए, जैसा कि इस खंड के पिछले उदाहरणों में, हमारे पास $\frac(0)(0)$ के रूप में अनिश्चितता है। यह क्यों उठता है? यह इसलिए उत्पन्न होता है क्योंकि $\tg\frac(2\pi)(3)=-\sqrt(3)$ और $2\cos\frac(2\pi)(3)=-1$। हम इन मानों का उपयोग अंश और हर में भावों को बदलने के लिए करते हैं। हमारे कार्यों का उद्देश्य: अंश और हर में योग को उत्पाद के रूप में लिखें। वैसे, एक चर को एक समान रूप में बदलना अक्सर सुविधाजनक होता है ताकि नया चर शून्य हो जाए (उदाहरण के लिए, इस पृष्ठ पर उदाहरण संख्या 9 या संख्या 10 देखें)। हालांकि, इस उदाहरण में, चर को बदलने का कोई मतलब नहीं है, हालांकि यदि वांछित हो तो चर $t=x-\frac(2\pi)(3)$ के प्रतिस्थापन को लागू करना आसान है।

$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1) =\lim_(x\ to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cdot\left(\cos(x)+\frac(1)(2)\right) )) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)-\tg\frac(2\pi)(3))(2\cdot\left(\ cos(x)-\cos\frac(2\pi)(3)\right))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\frac(\sin) \बाएं(x-\frac(2\pi)(3)\right))(\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)))(-4\sin\frac(x+\frac(x+\frac) (2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3 ))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\ sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))=\\ =\lim_(x\to\frac (2\pi)(3))\frac(2\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos\frac(x-\frac(2\pi)(3 ))(2))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2) \cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\cos\frac(x-\frac(2) \pi)(3))(2))(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3 ))=\\ =\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3))(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left( -\frac(1)(2)\right)) =-\frac(4 .) )(\sqrt(3))। $$

जैसा कि आप देख सकते हैं, हमें पहली अद्भुत सीमा लागू करने की आवश्यकता नहीं थी। बेशक, यह वांछित होने पर किया जा सकता है (नीचे नोट देखें), लेकिन यह आवश्यक नहीं है।

पहली उल्लेखनीय सीमा का उपयोग करके समाधान क्या होगा? दिखाओ छुपाओ

पहली उल्लेखनीय सीमा का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(-4\sin\frac (x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi) )(3))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\left(\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\ दाएं))(x-\frac(2\pi)(3))\cdot\frac(1)(\frac(\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) (\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)))\cdot\frac(1)(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))( 2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))\right) =1\cdot(1)\cdot\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3) )(2)\cdot\बाएं(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)) =-\frac(4)(\sqrt( 3))। $$

जवाब: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)=\frac(1)(2)$, $\lim_( x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)=-\frac(4)(\sqrt( 3))$.

पहली उल्लेखनीय सीमा का उपयोग अक्सर साइन, आर्क्सिन, स्पर्शरेखा, आर्कटिक और परिणामी अनिश्चितताओं को शून्य से विभाजित करने वाली सीमाओं की गणना के लिए किया जाता है।

सूत्र

पहली उल्लेखनीय सीमा का सूत्र है: $$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(\sin\alpha)(\alpha) = 1 $$

हम देखते हैं कि $ \alpha\to 0 $ से $ \sin\alpha \to 0 $ प्राप्त होता है, इस प्रकार हमारे पास अंश और हर में शून्य होता है। इस प्रकार, $ \frac(0)(0) $ की अनिश्चितताओं को प्रकट करने के लिए पहली उल्लेखनीय सीमा के सूत्र की आवश्यकता है।

फॉर्मूले को लागू करने के लिए, दो शर्तों को पूरा करना होगा:

1. एक भिन्न की ज्या और हर में निहित व्यंजक समान होते हैं
2. एक भिन्न की ज्या और हर में व्यंजक शून्य हो जाते हैं

ध्यान! $ \lim_(x\to 0) \frac(\sin(2x^2+1))(2x^2+1) \neq 1 $ हालांकि साइन के नीचे और हर में भाव समान हैं, हालांकि $ 2x ^2+1 = 1 $, जब $ x\to 0 $। दूसरी शर्त पूरी नहीं हुई है, इसलिए सूत्र लागू नहीं किया जा सकता है!

परिणाम

बहुत कम ही, कार्यों में आप एक साफ पहली अद्भुत सीमा देख सकते हैं जिसमें आप तुरंत उत्तर लिख सकते हैं। व्यवहार में, सब कुछ थोड़ा अधिक जटिल लगता है, लेकिन ऐसे मामलों के लिए पहली उल्लेखनीय सीमा के परिणामों को जानना उपयोगी होगा। उनके लिए धन्यवाद, आप जल्दी से वांछित सीमा की गणना कर सकते हैं।

$$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(\alpha)(\sin\alpha) = 1 $$

$$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(\sin(a\alpha))(\sin(b\alpha)) = \frac(a)(b) $$

$$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(tg\alpha)(\alpha) = 1 $$

$$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(\arcsin\alpha)(\alpha) = 1 $$

$$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(arctg\alpha)(\alpha) = 1 $$

समाधान उदाहरण

आइए पहली उल्लेखनीय सीमा पर विचार करें, त्रिकोणमितीय कार्यों और अनिश्चितता $ \bigg[\frac(0)(0)\bigg] $ युक्त सीमाओं की गणना के लिए किस समाधान के उदाहरण

उदाहरण 1

गणना $ \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(4x) $

फेसला

सीमा पर विचार करें और ध्यान दें कि इसमें एक ज्या है। इसके बाद, हम अंश और हर में $ x = 0 $ को प्रतिस्थापित करते हैं और शून्य की अनिश्चितता को शून्य से विभाजित करते हैं: $$ \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(4x) = \frac(0)( 0) $$ पहले से ही दो संकेत हैं कि आपको एक अद्भुत सीमा लागू करने की आवश्यकता है, लेकिन एक छोटी सी बारीकियां है: हम सूत्र को तुरंत लागू नहीं कर पाएंगे, क्योंकि साइन साइन के तहत अभिव्यक्ति हर में अभिव्यक्ति से भिन्न होती है। और हमें उनके बराबर होने की जरूरत है। इसलिए, अंश के प्रारंभिक परिवर्तनों की सहायता से, हम इसे $2x$ में बदल देंगे। ऐसा करने के लिए, हम एक अलग कारक द्वारा भिन्न के हर से ड्यूस निकालेंगे। यह इस तरह दिखता है: $$ \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(4x) = \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(2\cdot 2x) = $$ $$ = \frac(1)(2) \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(2x) = \frac(1)(2)\cdot 1 = \frac(1)(2) $$ , कि अंत में $ \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(2x) = 1 $ सूत्र द्वारा प्राप्त किया गया था। यदि आप अपनी समस्या का समाधान नहीं कर सकते हैं, तो हमें भेजें। हम विस्तृत समाधान देंगे। आप गणना की प्रगति से खुद को परिचित करने और जानकारी इकट्ठा करने में सक्षम होंगे। इससे आपको समय पर शिक्षक से क्रेडिट प्राप्त करने में मदद मिलेगी!

जवाब

$$ \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(4x) =\frac(1)(2) $$

उदाहरण 2

$ \lim_(x\to 0) \frac(\sin(x^3+2x))(2x-x^4) $ खोजें

फेसला

हमेशा की तरह, आपको सबसे पहले अनिश्चितता के प्रकार को जानना होगा। यदि इसे शून्य से शून्य से विभाजित किया जाता है, तो हम एक ज्या की उपस्थिति पर ध्यान देते हैं: $$ \lim_(x\to 0) \frac(\sin(x^3+2x))(2x-x^4) = \frac(0) (0) = $$ यह अनिश्चितता हमें पहली उल्लेखनीय सीमा के सूत्र का उपयोग करने की अनुमति देती है, लेकिन हर से अभिव्यक्ति साइन के तर्क के बराबर नहीं है? इसलिए, "माथे पर" सूत्र लागू करना असंभव है। आपको साइन तर्क से अंश को गुणा और विभाजित करने की आवश्यकता है: $$ = \lim_(x\to 0) \frac((x^3+2x)\sin(x^3+2x))((2x-x^ 4)(x ^3+2x)) = $$ अब हम सीमाओं के गुणों का वर्णन करते हैं: $$ = \lim_(x\to 0) \frac((x^3+2x))(2x-x^4 )\cdot \lim_(x \to 0) \frac(\sin(x^3+2x))((x^3+2x)) = $$ दूसरी सीमा केवल सूत्र में फिट होती है और एक के बराबर होती है: $ $ = \lim_(x\to 0) \frac(x^3+2x)(2x-x^4)\cdot 1 = \lim_(x\to 0) \frac(x^3+2x)(2x- x^4) = $$ फिर से $ x = 0 $ को भिन्न में रखें और अनिश्चितता $ \frac(0)(0) $ प्राप्त करें। इसे खत्म करने के लिए, कोष्ठक में से $ x $ निकालना और इसे कम करना पर्याप्त है: $$ = \lim_(x\to 0) \frac(x(x^2+2))(x(2-x^) 3)) = \ lim_(x\to 0) \frac(x^2+2)(2-x^3) = $$ $$ = \frac(0^2 + 2)(2 - 0^3) = \frac(2)(2) = 1 $$

जवाब

$$ \lim_(x\to 0) \frac(\sin(x^3+2x))(2x-x^4) = 1 $$

उदाहरण 4

गणना $ \lim_(x\to0) \frac(\sin2x)(tg3x) $

फेसला

आइए $ x = 0 $ को प्रतिस्थापित करके गणना शुरू करें। परिणामस्वरूप, हमें अनिश्चितता $ \frac(0)(0) $ मिलती है। सीमा में एक साइन और एक स्पर्शरेखा होती है, जो पहली उल्लेखनीय सीमा के सूत्र का उपयोग करके स्थिति के संभावित विकास पर संकेत देती है। आइए भिन्न के अंश और हर को एक सूत्र और परिणाम में बदलें: $$ \lim_(x\to0) \frac(\sin2x)(tg3x) = \frac(0)(0) = \lim_(x\to0) \frac(\frac(\sin2x)(2x)\cdot 2x )(\frac(tg3x)(3x)\cdot 3x) = $$ अब हम देखते हैं कि अंश और हर में सूत्र और परिणामों के लिए उपयुक्त व्यंजक हैं। संबंधित हर के लिए ज्या तर्क और स्पर्शरेखा तर्क समान हैं $$ = \lim_(x\to0) \frac(1\cdot 2x)(1\cdot 3x) = \frac(2)(3) $$

जवाब

$$ \lim_(x\to0) \frac(\sin2x)(tg2x) = \frac(2)(3) $$

लेख में: "पहली उल्लेखनीय सीमा, समाधान के उदाहरण" उन मामलों के बारे में बताया गया था जिनमें इस सूत्र और इसके परिणामों का उपयोग करने की सलाह दी जाती है।

दूसरी उल्लेखनीय सीमा का सूत्र है lim x → 1 + 1 x x = e । लेखन का दूसरा रूप इस तरह दिखता है: lim x → 0 (1 + x) 1 x = e।

जब हम दूसरी उल्लेखनीय सीमा के बारे में बात करते हैं, तो हमें फॉर्म 1 की अनिश्चितता का सामना करना पड़ता है, अर्थात। एक अनंत डिग्री के लिए इकाई।

यांडेक्स.आरटीबी आर-ए-339285-1

उन समस्याओं पर विचार करें जिनमें हमें दूसरी उल्लेखनीय सीमा की गणना करने की क्षमता की आवश्यकता है।

उदाहरण 1

सीमा x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 ज्ञात कीजिए।

फेसला

वांछित सूत्र को प्रतिस्थापित करें और गणना करें।

लिम एक्स → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = 1 - 2 ∞ 2 + 1 ∞ 2 + 1 4 = 1 - 0 ∞ = 1

हमारे उत्तर में हमें अनंत की घात का एक मात्रक मिला है। समाधान विधि निर्धारित करने के लिए, हम अनिश्चितताओं की तालिका का उपयोग करते हैं। हम दूसरी उल्लेखनीय सीमा चुनते हैं और चरों में परिवर्तन करते हैं।

टी \u003d - एक्स 2 + 1 2 x 2 + 1 4 \u003d - टी 2

यदि x → तो t → - ।

आइए देखें कि प्रतिस्थापन के बाद हमें क्या मिला:

लिम एक्स → ∞ 1 - 2 एक्स 2 + 1 एक्स 2 + 1 4 = 1 ∞ = लिम एक्स → ∞ 1 + 1 टी - 1 2 टी = लिम टी → ∞ 1 + 1 टी टी - 1 2 = ई - 1 2

जवाब:लिम एक्स → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = ई - 1 2।

उदाहरण 2

सीमा की गणना करें x → ∞ x - 1 x + 1 x ।

फेसला

अनंत को प्रतिस्थापित करें और निम्नलिखित प्राप्त करें।

लिम एक्स → ∞ एक्स - 1 एक्स + 1 एक्स = लिम एक्स → ∞ 1 - 1 एक्स 1 + 1 एक्स एक्स = 1 - 0 1 + 0 ∞ = 1

उत्तर में, हमें फिर से पिछली समस्या की तरह ही मिला, इसलिए, हम फिर से दूसरी अद्भुत सीमा का उपयोग कर सकते हैं। अगला, हमें पावर फ़ंक्शन के आधार पर पूर्णांक भाग का चयन करने की आवश्यकता है:

x - 1 x + 1 = x + 1 - 2 x + 1 = x + 1 x + 1 - 2 x + 1 = 1 - 2 x + 1

उसके बाद, सीमा निम्नलिखित रूप लेती है:

लिम एक्स → ∞ एक्स - 1 एक्स + 1 एक्स = 1 ∞ = लिम एक्स → ∞ 1 - 2 एक्स + 1 एक्स

हम चर बदलते हैं। मान लीजिए कि t = - x + 1 2 2 t = - x - 1 ⇒ x = - 2 t - 1; यदि x → , तो t → ।

उसके बाद, हम लिखते हैं कि हमें मूल सीमा में क्या मिला:

लिम एक्स → ∞ एक्स - 1 एक्स + 1 एक्स = 1 ∞ = लिम एक्स → ∞ 1 - 2 एक्स + 1 एक्स = लिम एक्स → ∞ 1 + 1 टी - 2 टी - 1 = = लिम एक्स → ∞ 1 + 1 टी - 2 टी 1 + 1 टी - 1 = लिम एक्स → ∞ 1 + 1 टी - 2 टी लिम एक्स → ∞ 1 + 1 टी - 1 = = लिम एक्स → ∞ 1 + 1 टी टी - 2 1 + 1 ∞ = ई - 2 (1 + 0) - 1 = ई - 2

इस परिवर्तन को करने के लिए, हमने सीमाओं और शक्तियों के मूल गुणों का उपयोग किया।

जवाब:लिम एक्स → ∞ एक्स - 1 एक्स + 1 एक्स = ई - 2।

उदाहरण 3

सीमा की गणना करें x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5।

फेसला

लिम एक्स → ∞ एक्स 3 + 1 एक्स 3 + 2 एक्स 2 - 1 3 एक्स 4 2 एक्स 3 - 5 = लिम एक्स → ∞ 1 + 1 एक्स 3 1 + 2 एक्स - 1 एक्स 3 3 2 एक्स - 5 एक्स 4 = = 1 + 0 1 + 0 - 0 3 0 - 0 = 1∞

उसके बाद, हमें दूसरी अद्भुत सीमा लागू करने के लिए एक फ़ंक्शन परिवर्तन करने की आवश्यकता है। हमें निम्नलिखित मिला:

लिम x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = 1 = लिम x → ∞ x 3 - 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = लिम x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5

लिम x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = लिम x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = लिम x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5

चूँकि अब हमारे पास भिन्न के अंश और हर में समान घातांक हैं (छह के बराबर), अनंत पर भिन्न की सीमा उच्च घातों पर इन गुणांकों के अनुपात के बराबर होगी।

लिम x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = लिम x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 6 2 = लिम x → 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 3

t = x 2 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 के स्थान पर हमें दूसरी उल्लेखनीय सीमा प्राप्त होती है। क्या मतलब:

लिम एक्स → ∞ 1 + - 2 एक्स 2 + 2 एक्स 3 + 2 एक्स 2 - 1 एक्स 3 + 2 एक्स 2 - 1 - 2 एक्स 2 + 2 - 3 = लिम एक्स → ∞ 1 + 1 टी टी - 3 = ई - 3

जवाब:लिम एक्स → ∞ एक्स 3 + 1 एक्स 3 + 2 एक्स 2 - 1 3 एक्स 4 2 एक्स 3 - 5 = ई - 3।

जाँच - परिणाम

अनिश्चितता 1 , यानी। एक अनंत डिग्री की इकाई, एक शक्ति-कानून अनिश्चितता है, इसलिए, इसे घातीय शक्ति कार्यों की सीमा खोजने के लिए नियमों का उपयोग करके प्रकट किया जा सकता है।

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