Fungsi trigonometri terbalik adalah fungsi matematika yang merupakan kebalikan dari fungsi trigonometri.
Fungsi y=arcsin(x)
Sinus busur suatu bilangan α adalah bilangan α dari interval [-π/2;π/2] yang sinusnya sama dengan α.
Grafik suatu fungsi
Fungsi у= sin(x) pada interval [-π/2;π/2], meningkat tajam dan kontinu; oleh karena itu, ia memiliki fungsi invers, meningkat tajam dan kontinu.
Fungsi invers untuk fungsi y= sin(x), dengan x ∈[-π/2;π/2], disebut arcsinus dan dinotasikan dengan y=arcsin(x), dengan x∈[-1;1 ].
Jadi, menurut definisi fungsi invers, domain definisi arcsinus adalah segmen [-1;1], dan himpunan nilai adalah segmen [-π/2;π/2].
Perhatikan bahwa grafik fungsi y=arcsin(x), dengan x ∈[-1;1], simetris dengan grafik fungsi y= sin(x), dengan x∈[-π/2;π /2], terhadap garis bagi sudut koordinat kuarter pertama dan ketiga.
Rentang fungsi y=arcsin(x).
Contoh No.1.
Temukan arcsin (1/2)?
Karena rentang nilai fungsi arcsin(x) termasuk dalam interval [-π/2;π/2], maka hanya nilai π/6 yang cocok, sehingga arcsin(1/2) =π/ 6.
Jawaban:π/6
Contoh No.2.
Carilah arcsin(-(√3)/2)?
Karena rentang nilai arcsin(x) x ∈[-π/2;π/2], maka hanya nilai -π/3 yang cocok, maka arcsin(-(√3)/2) =- π /3.
Fungsi y=arcos(x)
Kosinus busur suatu bilangan α adalah bilangan α dari interval yang kosinusnya sama dengan α.
Grafik suatu fungsi
Fungsi y= cos(x) pada ruas tersebut menurun dan kontinu; oleh karena itu, ia memiliki fungsi invers, sangat menurun dan kontinu.
Fungsi invers dari fungsi y= cosx, dimana x ∈, disebut busur kosinus dan dinotasikan dengan y=arccos(x), dimana x ∈[-1;1].
Jadi, menurut definisi fungsi invers, domain definisi arc cosinus adalah segmen [-1;1], dan himpunan nilai adalah segmen.
Perhatikan bahwa grafik fungsi y=arccos(x), dengan x ∈[-1;1] simetris terhadap grafik fungsi y= cos(x), dengan x ∈, terhadap garis bagi dari koordinat sudut kuarter pertama dan ketiga.
Rentang fungsi y=arccos(x).
Contoh No.3.
Temukan arccos (1/2)?
Karena rentang nilainya adalah arccos(x) x∈, maka hanya nilai π/3 yang cocok, sehingga arccos(1/2) =π/3.
Contoh No.4.
Carilah arccos(-(√2)/2)?
Karena rentang nilai fungsi arccos(x) termasuk dalam interval, maka hanya nilai 3π/4 yang cocok, sehingga arccos(-(√2)/2) = 3π/4.
Jawaban: 3π/4
Fungsi y=arctg(x)
Garis singgung suatu bilangan α adalah bilangan α dari interval [-π/2;π/2] yang garis singgungnya sama dengan α.
Grafik suatu fungsi 
Fungsi tangen kontinu dan meningkat tajam pada interval (-π/2;π/2); oleh karena itu, ia memiliki fungsi invers yang kontinu dan meningkat.
Fungsi invers untuk fungsi y= tan(x), di mana x∈(-π/2;π/2); disebut tangen busur dan dilambangkan dengan y=arctg(x), di mana x∈R.
Jadi, menurut definisi fungsi invers, daerah definisi tangen busur adalah interval (-∞;+∞), dan himpunan nilainya adalah interval
(-π/2;π/2).
Perhatikan bahwa grafik fungsi y=arctg(x), dengan x∈R, simetris dengan grafik fungsi y= tanx, dengan x ∈ (-π/2;π/2), relatif terhadap garis bagi sudut koordinat suku pertama dan suku ketiga.
Rentang fungsi y=arctg(x).
Contoh No.5?
Carilah arctan((√3)/3).
Karena rentang nilai arctg(x) x ∈(-π/2;π/2), maka hanya nilai π/6 saja yang cocok, maka arctg((√3)/3) =π/6.
Contoh No.6.
Temukan arctg(-1)?
Karena rentang nilai arctg(x) x ∈(-π/2;π/2), maka hanya nilai -π/4 yang cocok, maka arctg(-1) = - π/4.
Fungsi y=arctg(x)
Kotangen busur suatu bilangan α adalah bilangan α dari interval (0;π) yang kotangennya sama dengan α.
Grafik suatu fungsi
Pada interval (0;π), fungsi kotangen menurun tajam; selain itu, kontinu di setiap titik pada interval ini; oleh karena itu, pada interval (0;π), fungsi ini mempunyai fungsi invers, yaitu menurun dan kontinu.
Fungsi invers untuk fungsi y=ctg(x), dengan x ∈(0;π), disebut kotangen busur dan dilambangkan dengan y=arcctg(x), dengan x∈R.
Jadi, menurut definisi fungsi invers, domain definisi kotangen busur adalah R, dan himpunan nilainya adalah interval (0;π).Grafik fungsi y=arcctg(x) , dengan x∈R simetris terhadap grafik fungsi y=ctg(x) x∈(0 ;π), relatif terhadap garis bagi sudut koordinat kuarter pertama dan ketiga.
Rentang fungsi y=arcctg(x).
Contoh No.7.
Temukan arcctg((√3)/3)?
Karena kisaran nilai arcctg(x) x ∈(0;π), maka hanya nilai π/3 yang cocok, sehingga arccos((√3)/3) =π/3.
Contoh No.8.
Carilah arcctg(-(√3)/3)?
Karena rentang nilainya adalah arcctg(x) x∈(0;π), maka hanya nilai 2π/3 yang cocok, sehingga arccos(-(√3)/3) = 2π/3.
Editor: Ageeva Lyubov Aleksandrovna, Gavrilina Anna Viktorovna
Definisi dan notasi
Arcsinus (y = busur x) adalah fungsi kebalikan dari sinus (x = berdosa -1 ≤ x ≤ 1 dan himpunan nilai -π /2 ≤ y ≤ π/2.dosa(arcsin x) = x ;
busursin(dosa x) = x .
Arcsine terkadang dilambangkan sebagai berikut:
.
Grafik fungsi arcsinus
Grafik fungsi y = busur x
Grafik busur sinus diperoleh dari grafik sinus jika sumbu absis dan sumbu ordinat dipertukarkan. Untuk menghilangkan ambiguitas, rentang nilai dibatasi pada interval di mana fungsinya bersifat monotonik. Definisi ini disebut nilai pokok arcsinus.
Arccosine, arccos
Definisi dan notasi
Busur kosinus (y = arccos x) adalah fungsi kebalikan dari cosinus (x = nyaman). Ini memiliki ruang lingkup -1 ≤ x ≤ 1 dan banyak arti 0 ≤ kamu ≤ π.cos(arcos x) = x ;
arccos(cos x) = x .
Arccosine terkadang dilambangkan sebagai berikut:
.
Grafik fungsi arc cosinus
Grafik fungsi y = arccos x
Grafik arc cosinus diperoleh dari grafik cosinus jika sumbu absis dan sumbu ordinat dipertukarkan. Untuk menghilangkan ambiguitas, rentang nilai dibatasi pada interval di mana fungsinya bersifat monotonik. Definisi ini disebut nilai pokok arc cosinus.
Keseimbangan
Fungsi arcsinus ganjil:
busursin(- x) = arcsin(-sin arcsin x) = arcsin(dosa(-arcsin x)) = - arcsin x
Fungsi arc cosinus tidak genap atau ganjil:
arccos(- x) = arccos(-cos arccos x) = arccos(cos(π-arccos x)) = π - arccos x ≠ ± arccos x
Properti - ekstrem, meningkat, menurun
Fungsi arcsinus dan arccosine kontinu dalam domain definisinya (lihat bukti kontinuitas). Sifat utama arcsinus dan arccosine disajikan dalam tabel.
| kamu = busur x | kamu = arccos x | |
| Ruang lingkup dan kontinuitas | - 1 ≤ x ≤ 1 | - 1 ≤ x ≤ 1 |
| Jarak nilai | ||
| Naik turun | meningkat secara monoton | menurun secara monoton |
| Tertinggi | ||
| Minimal | ||
| Nol, y = 0 | x = 0 | x = 1 |
| Titik potong dengan sumbu ordinat, x = 0 | kamu = 0 | kamu = π/ 2 |
Tabel arcsinus dan arccosines
Tabel ini menyajikan nilai arcsinus dan arccosines, dalam derajat dan radian, untuk nilai argumen tertentu.
| X | busur x | arccos x | ||
| memanggil | senang. | memanggil | senang. | |
| - 1 | - 90° | - | 180° | π |
| - | - 60° | - | 150° | |
| - | - 45° | - | 135° | |
| - | - 30° | - | 120° | |
| 0 | 0° | 0 | 90° | |
| 30° | 60° | |||
| 45° | 45° | |||
| 60° | 30° | |||
| 1 | 90° | 0° | 0 | |
≈ 0,7071067811865476
≈ 0,8660254037844386
Rumus
Lihat juga: Penurunan rumus fungsi trigonometri terbalikRumus jumlah dan selisih
di atau
di dan
di dan
di atau
di dan
di dan
pada
pada
pada
pada
Ekspresi melalui logaritma, bilangan kompleks
Lihat juga: Mendapatkan rumusEkspresi melalui fungsi hiperbolik
Derivatif
;
.
Lihat Derivasi turunan arcsinus dan arccosine >> >
Derivatif tingkat tinggi:
,
di mana adalah polinomial derajat. Itu ditentukan oleh rumus:
;
;
.
Lihat Derivasi turunan orde tinggi arcsinus dan arccosine >> >
Integral
Kita melakukan substitusi x = dosa t. Kami berintegrasi per bagian, dengan mempertimbangkan bahwa -π/ 2 ≤ t ≤ π/2,
biaya t ≥ 0:
.
Mari kita nyatakan arc cosinus melalui arc sinus:
.
Ekspansi seri
Kapan |x|< 1
dekomposisi berikut terjadi:
;
.
Fungsi terbalik
Kebalikan dari arcsinus dan arccosine masing-masing adalah sinus dan cosinus.
Rumus berikut ini berlaku di seluruh domain definisi:
dosa(arcsin x) = x
cos(arcos x) = x .
Rumus berikut hanya berlaku pada himpunan nilai arcsinus dan arccosine:
busursin(dosa x) = x pada
arccos(cos x) = x pada .
Referensi:
DI DALAM. Bronstein, K.A. Semendyaev, Buku Pegangan Matematika untuk Insinyur dan Mahasiswa, “Lan”, 2009.
Fungsi trigonometri terbalik- ini adalah arcsinus, arccosine, arctangent dan arccotangent.
Pertama mari kita berikan beberapa definisi.
Arcsinus Atau dapat dikatakan bahwa ini adalah sudut yang termasuk dalam suatu ruas yang sinusnya sama dengan bilangan a.
busur kosinus bilangan a disebut bilangan sedemikian sehingga
Garis singgung busur bilangan a disebut bilangan sedemikian sehingga
Kotangen busur bilangan a disebut bilangan sedemikian sehingga
Mari kita bahas secara rinci tentang empat fungsi baru bagi kita - fungsi trigonometri terbalik.
Ingat, kita sudah pernah bertemu.
Misalnya, akar kuadrat aritmatika dari a adalah bilangan non-negatif yang kuadratnya sama dengan a.
Logaritma suatu bilangan b ke basis a adalah bilangan c sedemikian rupa sehingga
Di mana
Kami memahami mengapa matematikawan harus “menemukan” fungsi baru. Misalnya, solusi suatu persamaan adalah dan Kami tidak dapat menuliskannya tanpa simbol akar kuadrat aritmatika khusus.
Konsep logaritma ternyata diperlukan untuk menuliskan solusi, misalnya persamaan ini: Solusi persamaan ini adalah bilangan irasional, yaitu eksponen pangkat yang harus dipangkatkan 2 untuk mendapatkan 7.
Sama halnya dengan persamaan trigonometri. Misalnya, kita ingin menyelesaikan persamaan tersebut
Jelas bahwa solusinya sesuai dengan titik-titik pada lingkaran trigonometri yang ordinatnya sama dengan Dan jelas bahwa ini bukan nilai tabel dari sinus. Bagaimana cara menuliskan solusinya?
Di sini kita tidak dapat melakukannya tanpa fungsi baru, yang menunjukkan sudut yang sinusnya sama dengan bilangan tertentu a. Ya, semua orang sudah menebaknya. Ini adalah arcsinus.
Sudut yang termasuk dalam ruas yang sinusnya sama adalah busur sinus seperempat. Artinya deret penyelesaian persamaan kita yang bersesuaian dengan titik kanan pada lingkaran trigonometri adalah
Dan rangkaian solusi kedua dari persamaan kita adalah
Pelajari lebih lanjut tentang menyelesaikan persamaan trigonometri -.
Masih harus dicari tahu - mengapa definisi arcsinus menunjukkan bahwa ini adalah sudut yang termasuk dalam segmen?
Faktanya adalah ada banyak sekali sudut yang sinusnya sama dengan, misalnya, . Kita harus memilih salah satunya. Kami memilih salah satu yang terletak di segmen tersebut.
Lihatlah lingkaran trigonometri. Anda akan melihat bahwa pada segmen setiap sudut berhubungan dengan nilai sinus tertentu, dan hanya satu. Dan sebaliknya, setiap nilai sinus dari suatu segmen berhubungan dengan satu nilai sudut pada segmen tersebut. Artinya pada suatu segmen Anda dapat mendefinisikan suatu fungsi yang mengambil nilai dari hingga
Mari kita ulangi definisinya lagi:
Arcsinus suatu bilangan adalah bilangan tersebut , seperti yang
Penunjukan: Daerah definisi arcsinus adalah sebuah segmen, dan rentang nilainya adalah sebuah segmen.
Anda mungkin ingat ungkapan “arcsines hidup di sebelah kanan.” Jangan lupa, ini bukan hanya di kanan, tapi juga di ruasnya.
Kami siap membuat grafik fungsinya
Seperti biasa, kita plot nilai x pada sumbu horizontal dan nilai y pada sumbu vertikal.
Karena , maka x terletak pada rentang -1 sampai 1.
Artinya daerah definisi fungsi y = arcsin x adalah ruas
Kami mengatakan bahwa y termasuk dalam segmen tersebut. Artinya rentang nilai fungsi y = arcsin x adalah ruas.
Perhatikan bahwa grafik fungsi y=arcsinx seluruhnya berada dalam area yang dibatasi oleh garis dan
Seperti biasa saat membuat grafik fungsi yang tidak dikenal, mari kita mulai dengan tabel.
Menurut definisi, arcsinus nol adalah bilangan dari segmen yang sinusnya sama dengan nol. Nomor apa ini? - Jelas ini nol.
Demikian pula, arcsinus satu adalah bilangan dari ruas yang sinusnya sama dengan satu. Jelas sekali ini
Kita lanjutkan: - ini adalah bilangan dari ruas yang sinusnya sama dengan . iya
| 0 | |||||
| 0 |
Membangun grafik suatu fungsi
Properti fungsi
1. Ruang lingkup definisi
2. Rentang nilai
3. artinya fungsi ini ganjil. Grafiknya simetris terhadap titik asal.
4. Fungsinya bertambah secara monoton. Nilai minimumnya, sama dengan - , dicapai pada , dan nilai terbesarnya, sama dengan , pada
5. Apa yang dimaksud dengan grafik fungsi dan ? Tidakkah menurut Anda keduanya "dibuat menurut pola yang sama" - seperti cabang kanan suatu fungsi dan grafik suatu fungsi, atau seperti grafik fungsi eksponensial dan logaritma?
Bayangkan kita memotong sebuah fragmen kecil dari ke ke dari gelombang sinus biasa, dan kemudian memutarnya secara vertikal - dan kita mendapatkan grafik arcsinus.
Bahwa untuk suatu fungsi pada interval ini adalah nilai argumennya, maka untuk arcsinusnya akan ada nilai fungsinya. Begitulah seharusnya! Bagaimanapun, sinus dan arcsinus adalah fungsi yang saling bertolak belakang. Contoh lain dari pasangan fungsi yang saling invers adalah pada dan , serta fungsi eksponensial dan logaritma.
Ingatlah bahwa grafik fungsi yang saling invers adalah simetris terhadap garis lurus
Demikian pula, kita mendefinisikan fungsinya. Kita hanya memerlukan segmen yang setiap nilai sudutnya sesuai dengan nilai kosinusnya sendiri, dan dengan mengetahui kosinusnya, kita dapat mencari sudutnya secara unik. Sebuah segmen akan cocok untuk kita
Kosinus busur suatu bilangan adalah bilangan tersebut , seperti yang
Sangat mudah untuk mengingat: “arc cosinus hidup dari atas,” dan tidak hanya dari atas, tetapi juga pada segmen tersebut
Penunjukan: Daerah definisi arc cosinus adalah segmen, rentang nilainya adalah segmen.
Jelasnya, segmen tersebut dipilih karena pada segmen tersebut setiap nilai kosinus hanya diambil satu kali. Dengan kata lain, setiap nilai cosinus, dari -1 hingga 1, berhubungan dengan nilai sudut tunggal dari interval tersebut
Arc cosinus bukan merupakan fungsi genap maupun ganjil. Tapi kita bisa menggunakan hubungan yang jelas berikut ini:
Mari kita plot fungsinya
Kita memerlukan bagian dari fungsi yang bersifat monotonik, yaitu setiap nilai diambil tepat satu kali.
Mari kita pilih segmen. Pada ruas ini fungsinya menurun secara monoton, yaitu korespondensi antar himpunan adalah satu-satu. Setiap nilai x memiliki nilai y yang sesuai. Pada ruas ini terdapat fungsi invers kosinus, yaitu fungsi y = arccosx.
Mari kita isi tabel menggunakan definisi arc cosinus.
Kosinus busur suatu bilangan x yang termasuk dalam interval akan menjadi bilangan y yang termasuk dalam interval sedemikian rupa sehingga
Artinya, sejak ;
Karena ;
Karena ,
Karena ,
| 0 | |||||
| 0 |
Berikut grafik arc cosinusnya:
Properti fungsi
1. Ruang lingkup definisi
2. Rentang nilai
Fungsi ini berbentuk umum - tidak genap maupun ganjil.
4. Fungsinya sangat menurun. Fungsi y = arccosx mempunyai nilai terbesar, sama dengan , di , dan nilai terkecilnya, sama dengan nol, bernilai di
5. Fungsi dan saling berbanding terbalik.
Yang berikutnya adalah arctangen dan arckotangen.
Garis singgung suatu bilangan adalah bilangan , seperti yang
Penamaan: . Daerah definisi arctangen adalah interval, daerah nilai adalah interval.
Mengapa ujung interval - titik - dikecualikan dalam definisi arctangen? Tentu saja karena garis singgung pada titik-titik tersebut tidak terdefinisi. Tidak ada bilangan a yang sama dengan garis singgung salah satu sudut tersebut.
Mari kita buat grafik tangen busur. Menurut definisinya, tangen busur suatu bilangan x adalah bilangan y yang termasuk dalam interval sedemikian rupa
Cara membuat grafik sudah jelas. Karena tangen busur merupakan kebalikan dari fungsi tangen, maka kita lanjutkan sebagai berikut:
Kami memilih bagian grafik fungsi yang korespondensi antara x dan y adalah satu-satu. Ini adalah interval C. Pada bagian ini fungsi mengambil nilai dari sampai
Maka invers fungsi, yaitu fungsi, mempunyai domain definisi berupa garis bilangan keseluruhan, dari sampai, dan rentang nilainya adalah interval.
Cara,
Cara,
Cara,
Tetapi apa yang terjadi pada nilai x yang sangat besar? Dengan kata lain, bagaimana fungsi ini berperilaku ketika x cenderung ditambah tak terhingga?
Kita dapat bertanya pada diri sendiri: pada bilangan manakah dalam interval tersebut nilai tangennya cenderung tak terhingga? - Jelas ini
Artinya, untuk nilai x yang sangat besar, grafik tangen busur mendekati asimtot horizontal
Demikian pula, jika x mendekati minus tak terhingga, grafik tangen busur mendekati asimtot horizontal
Gambar tersebut menunjukkan grafik fungsi
Properti fungsi
1. Ruang lingkup definisi
2. Rentang nilai
3. Fungsinya ganjil.
4. Fungsinya meningkat secara ketat.
6. Fungsi dan saling invers - tentu saja, jika fungsi tersebut dipertimbangkan pada interval
Demikian pula, kita mendefinisikan fungsi tangen invers dan memplot grafiknya.
Kotangen busur suatu bilangan adalah bilangan tersebut , seperti yang
Grafik fungsi:
Properti fungsi
1. Ruang lingkup definisi
2. Rentang nilai
3. Fungsinya berbentuk umum, yaitu tidak genap dan tidak ganjil.
4. Fungsinya sangat menurun.
5. Garis lurus dan - asimtot horizontal dari fungsi ini.
6. Fungsi dan saling berbanding terbalik jika diperhatikan pada interval
Karena fungsi trigonometri bersifat periodik, fungsi inversnya tidak unik. Jadi, persamaan y = dosa x, pada kenyataannya, memiliki banyak sekali akar. Memang, karena periodisitas sinus, jika x adalah akarnya, maka akar tersebut juga demikian x + 2πn(di mana n adalah bilangan bulat) juga akan menjadi akar persamaan. Dengan demikian, fungsi trigonometri terbalik bersifat multinilai. Untuk memudahkan pengerjaannya, diperkenalkan konsep makna utamanya. Misalnya saja sinus: y = dosa x. Jika kita membatasi argumen x pada interval , maka di atasnya terdapat fungsi y = dosa x meningkat secara monoton. Oleh karena itu, ia mempunyai fungsi invers unik yang disebut arcsinus: x = arcsin y.
Kecuali dinyatakan lain, yang kami maksud dengan fungsi trigonometri invers adalah nilai utamanya, yang ditentukan oleh definisi berikut.
Arcsinus ( kamu = busur x) adalah fungsi kebalikan dari sinus ( x = berdosa
Busur kosinus ( kamu = arccos x) adalah fungsi kebalikan dari cosinus ( x = nyaman), memiliki domain definisi dan sekumpulan nilai.
Garis singgung busur ( kamu = arctan x) merupakan kebalikan dari fungsi tangen ( x = tg y), memiliki domain definisi dan sekumpulan nilai.
Kotangen busur ( kamu = arcctg x) adalah fungsi kebalikan dari kotangen ( x = ctg y), memiliki domain definisi dan sekumpulan nilai.
Grafik fungsi trigonometri terbalik
Grafik invers fungsi trigonometri diperoleh dari grafik fungsi trigonometri melalui pemantulan cermin terhadap garis lurus y = x. Lihat bagian Sinus, kosinus, Tangen, kotangen.
kamu = busur x
kamu = arccos x
kamu = arctan x
kamu = arcctg x
Rumus dasar
Di sini Anda harus memberi perhatian khusus pada interval di mana rumus tersebut valid.
busursin(dosa x) = x pada
dosa(arcsin x) = x
arccos(cos x) = x pada
cos(arcos x) = x
arctan(tg x) = x pada
tg(arctg x) = x
busur(ctg x) = x pada
ctg(arcctg x) = x
Rumus yang berkaitan dengan fungsi trigonometri terbalik
Lihat juga: Penurunan rumus fungsi trigonometri terbalikRumus jumlah dan selisih
di atau
di dan
di dan
di atau
di dan
di dan
pada
pada
pada
pada
pada
pada
pada
pada
pada
pada
Referensi:
DI DALAM. Bronstein, K.A. Semendyaev, Buku Pegangan Matematika untuk Insinyur dan Mahasiswa, “Lan”, 2009.
Fungsi kosinus terbalik
Kisaran nilai fungsi y=cos x (lihat Gambar 2) adalah sebuah segmen. Pada ruas tersebut fungsinya kontinu dan menurun secara monoton.
Beras. 2
Artinya, fungsi invers terhadap fungsi y=cos x terdefinisi pada segmen tersebut. Fungsi invers ini disebut arc cosinus dan dilambangkan dengan y=arccos x.
Definisi
Arccosinus suatu bilangan a, jika |a|1, adalah sudut yang kosinusnya termasuk dalam ruas tersebut; itu dilambangkan dengan arccos a.
Jadi, arccos a adalah sudut yang memenuhi dua syarat berikut: сos (arccos a)=a, |a|1; 0? arccos a ?р.
Misalnya arccos, karena cos dan; arccos, karena cos dan.
Fungsi y = arccos x (Gbr. 3) didefinisikan pada suatu segmen; rentang nilainya adalah segmen tersebut. Pada segmen tersebut, fungsi y=arccos x kontinu dan menurun secara monoton dari p ke 0 (karena y=cos x merupakan fungsi kontinu dan menurun secara monoton pada segmen tersebut); di ujung segmen mencapai nilai ekstrimnya: arccos(-1)= p, arccos 1= 0. Perhatikan bahwa arccos 0 = . Grafik fungsi y = arccos x (lihat Gambar 3) simetris terhadap grafik fungsi y = cos x terhadap garis lurus y=x.
Beras. 3
Mari kita tunjukkan bahwa persamaan arccos(-x) = p-arccos x berlaku.
Faktanya, menurut definisi 0? arccos x? R. Mengalikan dengan (-1) semua bagian dari pertidaksamaan ganda terakhir, kita mendapatkan - p? arccos x? 0. Menambahkan p ke semua bagian pertidaksamaan terakhir, kita mendapatkan bahwa 0? p-arccos x? R.
Jadi, nilai sudut arccos(-x) dan p - arccos x termasuk dalam segmen yang sama. Karena kosinus berkurang secara monoton pada suatu segmen, tidak mungkin ada dua sudut berbeda yang memiliki kosinus sama. Cari cosinus sudut arccos(-x) dan p-arccos x. Menurut definisi, cos (arccos x) = - x, menurut rumus reduksi dan menurut definisi kita mempunyai: cos (p - - arccos x) = - cos (arccos x) = - x. Jadi, kosinus sudut-sudutnya sama besar, artinya sudut-sudutnya sendiri juga sama besar.
Fungsi sinus terbalik
Mari kita perhatikan fungsi y=sin x (Gbr. 6), yang pada segmen [-р/2;р/2] meningkat, kontinu dan mengambil nilai dari segmen [-1; 1]. Artinya pada ruas [- p/2; p/2] fungsi invers dari fungsi y=sin x terdefinisi.
Beras. 6
Fungsi invers ini disebut arcsinus dan dilambangkan dengan y=arcsin x. Mari kita perkenalkan definisi arcsinus suatu bilangan.
Busur suatu bilangan adalah sudut (atau busur) yang sinusnya sama dengan bilangan a dan termasuk dalam ruas [-р/2; hal/2]; itu dilambangkan dengan arcsin a.
Jadi, arcsin a adalah sudut yang memenuhi syarat berikut: sin (arcsin a)=a, |a| ?1; -r/2 ? arcsin ya? r/2. Misalnya, sejak sin dan [- p/2; hal/2]; arcsin, karena sin = u [- p/2; hal/2].
Fungsi y=arcsin x (Gbr. 7) didefinisikan pada segmen [- 1; 1], rentang nilainya adalah segmen [-р/2;р/2]. Di segmen [- 1; 1] fungsi y=arcsin x kontinu dan meningkat secara monoton dari -p/2 ke p/2 (hal ini mengikuti fakta bahwa fungsi y=sin x pada ruas [-p/2; p/2] kontinu dan meningkat secara monoton). Dibutuhkan nilai terbesar pada x = 1: arcsin 1 = p/2, dan terkecil pada x = -1: arcsin (-1) = -p/2. Pada x = 0 fungsinya nol: arcsin 0 = 0.
Mari kita tunjukkan bahwa fungsi y = arcsin x ganjil, yaitu. busursin(-x) = - arcsin x untuk sembarang x [ - 1; 1].
Memang, menurut definisi, jika |x| ?1, kita punya: - p/2 ? busur x? ? r/2. Jadi, sudutnya adalah arcsin(-x) dan - arcsin x termasuk dalam segmen yang sama [ - hal/2; hal/2].
Mari kita cari sinusnya sudut: sin (arcsin(-x)) = - x (menurut definisi); karena fungsi y=sin x ganjil, maka sin (-arcsin x)= - sin (arcsin x)= - x. Jadi, sinus sudut-sudut yang mempunyai interval yang sama [-р/2; p/2], adalah sama besar, artinya sudut-sudutnya sendiri sama besar, yaitu arcsin (-x)= - arcsin x. Artinya fungsi y=arcsin x ganjil. Grafik fungsi y=arcsin x simetris terhadap titik asal.
Mari kita tunjukkan bahwa arcsin (sin x) = x untuk sembarang x [-р/2; hal/2].
Memang, menurut definisi -p/2? arcsin (dosa x) ? p/2, dan dengan syarat -p/2? X? r/2. Artinya sudut x dan busursin (sin x) termasuk dalam interval monotonisitas yang sama dari fungsi y=sin x. Jika sinus sudut-sudut tersebut sama besar, maka sudut-sudut itu sendiri juga sama besar. Mari kita cari sinus sudut-sudut ini: untuk sudut x kita mempunyai sin x, untuk sudut arcsin (sin x) kita mempunyai sin (arcsin(sin x)) = sin x. Kami menemukan bahwa sinus sudut-sudutnya sama besar, oleh karena itu, sudut-sudutnya sama besar, yaitu. busursin(dosa x) = x. .
Beras. 7
Beras. 8
Grafik fungsi arcsin (sin|x|) diperoleh dengan transformasi biasa yang terkait dengan modulus dari grafik y=arcsin (sin x) (ditunjukkan oleh garis putus-putus pada Gambar 8). Grafik yang diinginkan y=arcsin (sin |x-/4|) diperoleh dengan menggeser sebesar /4 ke kanan sepanjang sumbu x (ditunjukkan sebagai garis padat pada Gambar 8)
Fungsi kebalikan dari garis singgung
Fungsi y=tg x pada interval mengambil semua nilai numerik: E (tg x)=. Selama interval ini, ia terus menerus dan meningkat secara monoton. Artinya suatu fungsi yang invers terhadap fungsi y = tan x terdefinisi pada interval tersebut. Fungsi invers ini disebut tangen busur dan dilambangkan dengan y = arctan x.
Garis singgung busur a adalah sudut dari suatu interval yang garis singgungnya sama dengan a. Jadi, arctg a adalah sudut yang memenuhi syarat berikut: tg (arctg a) = a dan 0? arctg a? R.
Jadi, bilangan apa pun x selalu sesuai dengan satu nilai fungsi y = arctan x (Gbr. 9).
Jelas bahwa D (arctg x) = , E (arctg x) = .
Fungsi y = arctan x bertambah karena fungsi y = tan x bertambah pada intervalnya. Tidak sulit untuk membuktikan bahwa arctg(-x) = - arctgx, yaitu arctangent tersebut merupakan fungsi ganjil.
Beras. 9
Grafik fungsi y = arctan x simetris terhadap grafik fungsi y = tan x terhadap garis lurus y = x, grafik y = arctan x melalui titik asal (karena arctan 0 = 0) dan simetris terhadap titik asal (seperti grafik fungsi ganjil).
Dapat dibuktikan arctan (tan x) = x jika x.
Fungsi invers kotangen
Fungsi y = ctg x pada suatu interval mengambil semua nilai numerik dari interval tersebut. Kisaran nilainya bertepatan dengan himpunan semua bilangan real. Pada interval tersebut, fungsi y = cot x kontinu dan meningkat secara monoton. Artinya pada interval ini terdefinisi suatu fungsi yang invers terhadap fungsi y = cot x. Fungsi kebalikan dari kotangen disebut kotangen busur dan dilambangkan dengan y = busurctg x.
Kotangen busur a adalah sudut yang termasuk dalam suatu interval yang kotangennya sama dengan a.
Jadi, аrcctg a adalah sudut yang memenuhi syarat berikut: ctg (arcctg a)=a dan 0? arcctg a? R.
Dari definisi fungsi invers dan definisi arctangent maka D (arcctg x) = , E (arcctg x) = . Kotangen busur merupakan fungsi menurun karena fungsi y = ctg x berkurang pada intervalnya.
Grafik fungsi y = arcctg x tidak memotong sumbu Ox, karena y > 0 R. Untuk x = 0 y = arcctg 0 =.
Grafik fungsi y = arcctg x ditunjukkan pada Gambar 11.
Beras. 11
Perhatikan bahwa untuk semua nilai riil x identitasnya benar: arcctg(-x) = p-arcctg x.
