Perhatikan persamaan x 2 = 4. Selesaikan secara grafis. Untuk melakukan ini, dalam satu sistem koordinat, kita membuat parabola y = x 2 dan garis lurus y = 4 (Gbr. 74). Mereka berpotongan di dua titik A (- 2; 4) dan B (2; 4). Absis titik A dan B adalah akar-akar persamaan x 2 = 4. Jadi, x 1 = - 2, x 2 = 2.

Dengan cara yang persis sama, kita mencari akar-akar persamaan x 2 = 9 (lihat Gambar 74): x 1 = - 3, x 2 = 3.

Sekarang mari kita coba menyelesaikan persamaan x 2 = 5; ilustrasi geometris ditunjukkan pada Gambar. 75. Jelas bahwa persamaan ini memiliki dua akar x 1 dan x 2, dan bilangan-bilangan ini, seperti pada dua kasus sebelumnya, memiliki nilai absolut yang sama dan bertanda berlawanan (x 1 - - x 2) - Namun berbeda dengan persamaan sebelumnya kasus , di mana akar persamaan ditemukan tanpa kesulitan (dan dapat ditemukan tanpa menggunakan grafik), dengan persamaan x 2 = 5 hal ini tidak terjadi: menurut gambar, kita tidak dapat menunjukkan nilai persamaan akar, kita hanya dapat memastikan bahwa satu akar letaknya agak ke kiri ada 2 titik, dan yang kedua agak ke kanan

poin 2.

Berapakah bilangan (titik) yang terletak tepat di sebelah kanan titik 2 dan bila dikuadratkan menghasilkan 5? Jelas ini bukan 3, karena 3 2 = 9, yaitu ternyata lebih dari yang dibutuhkan (9 > 5).

Artinya bilangan yang kita minati terletak di antara bilangan 2 dan 3. Namun di antara bilangan 2 dan 3 terdapat bilangan rasional yang jumlahnya tak terhingga, misalnya dll. Mungkin di antara mereka akan ada pecahan seperti ? Maka kita tidak akan mempunyai masalah apapun dengan persamaan x 2 - 5, kita dapat menuliskannya

Namun di sini kejutan yang tidak menyenangkan menanti kita. Ternyata tidak ada pecahan yang persamaannya berlaku
Pembuktian pernyataan yang dirumuskan cukup sulit. Meskipun demikian, kami menyajikannya karena indah dan mendidik, serta sangat berguna untuk mencoba memahaminya.

Mari kita asumsikan bahwa ada pecahan tak tersederhanakan yang persamaannya berlaku. Maka, yaitu m 2 = 5n 2. Persamaan terakhir berarti bilangan asli m 2 habis dibagi 5 tanpa sisa (dalam hasil bagi menjadi n2).

Oleh karena itu, bilangan m 2 diakhiri dengan bilangan 5 atau bilangan 0. Namun bilangan asli m juga diakhiri dengan bilangan 5 atau bilangan 0, yaitu. bilangan m habis dibagi 5 tanpa sisa. Dengan kata lain, jika bilangan m dibagi 5, maka hasil bagi adalah bilangan asli k. Ini berarti,
bahwa m = 5k.
Sekarang lihat:
m 2 = 5n 2 ;
Mari kita substitusikan 5k sebagai ganti m pada persamaan pertama:

(5k) 2 = 5n 2, yaitu 25k 2 = 5n 2 atau n 2 = 5k 2.
Persamaan terakhir berarti bilangan. 5n 2 habis dibagi 5 tanpa sisa. Dengan alasan seperti di atas, kita sampai pada kesimpulan bahwa bilangan n juga habis dibagi 5 tanpa sisa.
Jadi, m habis dibagi 5, n habis dibagi 5, artinya pecahan tersebut dapat dikurangi (5). Namun kami berasumsi bahwa pecahan tersebut tidak dapat direduksi. Apa masalahnya? Mengapa, setelah berpikir dengan benar, kita sampai pada titik absurditas atau, seperti yang sering dikatakan para ahli matematika, kita mendapatkan kontradiksi! Ya, karena premis awalnya salah, seolah-olah ada pecahan tak tersederhanakan yang persamaannya berlaku
Oleh karena itu kami menyimpulkan: tidak ada pecahan seperti itu.
Metode pembuktian yang baru saja kita gunakan dalam matematika disebut metode pembuktian dengan kontradiksi. Esensinya adalah sebagai berikut. Kita perlu membuktikan suatu pernyataan tertentu, dan kita berasumsi bahwa pernyataan tersebut tidak berlaku (ahli matematika mengatakan: “menganggap sebaliknya” - bukan dalam arti “tidak menyenangkan”, tetapi dalam arti “berlawanan dengan apa yang diperlukan”).
Jika karena penalaran yang benar kita menemui kontradiksi dengan kondisi, maka kita menyimpulkan: asumsi kita salah, artinya yang perlu kita buktikan itu benar.

Jadi, dengan hanya mempunyai bilangan rasional (dan kita belum mengetahui bilangan lainnya), kita tidak dapat menyelesaikan persamaan x 2 = 5.
Setelah menghadapi situasi seperti ini untuk pertama kalinya, para ahli matematika menyadari bahwa mereka harus menemukan cara untuk menggambarkannya dalam bahasa matematika. Mereka memperkenalkan simbol baru, yang mereka sebut akar kuadrat, dan dengan menggunakan simbol ini, akar persamaan x 2 = 5 ditulis sebagai berikut:

Bunyinya: “akar kuadrat dari 5”). Sekarang untuk persamaan apa pun yang berbentuk x 2 = a, di mana a > O, Anda dapat menemukan akar-akarnya - yaitu bilangan , (Gbr. 76).

Mari kita tekankan juga bahwa bilangan tersebut bukanlah bilangan bulat atau pecahan.
Artinya, ini bukan bilangan rasional, melainkan bilangan yang bersifat baru; kita akan membahas bilangan tersebut secara khusus nanti, di Bab 5.
Untuk saat ini, kita perhatikan saja bahwa bilangan baru tersebut berada di antara bilangan 2 dan 3, karena 2 2 = 4, yaitu kurang dari 5; 3 2 = 9, dan ini lebih dari 5. Anda dapat memperjelas:

Faktanya, 2,2 2 = 4,84< 5, а 2,3 2 = 5,29 >5. Anda juga bisa
menentukan:

memang, 2,23 2 = 4,9729< 5, а 2,24 2 = 5,0176 > 5.
Dalam prakteknya biasanya diyakini bahwa bilangan tersebut sama dengan 2,23 atau sama dengan 2,24, hanya saja ini bukan persamaan biasa, melainkan persamaan perkiraan, yang dilambangkan dengan simbol “.”
Jadi,

Saat mendiskusikan solusi persamaan x 2 = a, kami menemukan keadaan yang agak umum dalam matematika. Menemukan diri mereka dalam situasi yang tidak standar, tidak normal (seperti yang sering dikatakan para kosmonot) dan tidak menemukan jalan keluarnya dengan menggunakan cara-cara yang diketahui, para ahli matematika menemukan istilah baru dan sebutan baru (simbol baru) untuk model matematika yang mereka buat. pertama kali ditemui; dengan kata lain, mereka memperkenalkan konsep baru dan kemudian mempelajari sifat-sifatnya
konsep. Dengan demikian, konsep baru dan peruntukannya menjadi milik bahasa matematika. Kami bertindak dengan cara yang sama: kami memperkenalkan istilah "akar kuadrat dari bilangan a", memperkenalkan simbol untuk menunjuknya, dan sebentar lagi kami akan mempelajari sifat-sifat konsep baru. Sejauh ini kita hanya mengetahui satu hal: jika a > 0,
maka adalah bilangan positif yang memenuhi persamaan x 2 = a. Dengan kata lain, ini adalah bilangan positif yang jika dikuadratkan akan menghasilkan bilangan a.
Karena persamaan x 2 = 0 mempunyai akar x = 0, kita sepakat untuk berasumsi bahwa
Sekarang kami siap memberikan definisi yang tegas.
Definisi. Akar kuadrat suatu bilangan non-negatif a adalah bilangan non-negatif yang kuadratnya sama dengan a.

Bilangan ini dilambangkan dengan bilangan dan disebut bilangan radikal.
Jadi, jika a adalah bilangan non-negatif, maka:

Jika sebuah< О, то уравнение х 2 = а не имеет корней, говорить в этом случае о квадратном корне из числа а не имеет смысла.
Jadi, ekspresi tersebut hanya masuk akal untuk a > 0.
Mereka mengatakan itu - model matematika yang sama (hubungan yang sama antara bilangan non-negatif
(a dan b), tetapi hanya yang kedua yang dijelaskan dalam bahasa yang lebih sederhana dari yang pertama (menggunakan simbol yang lebih sederhana).

Operasi mencari akar kuadrat suatu bilangan non-negatif disebut rooting kuadrat. Operasi ini merupakan kebalikan dari kuadrat. Membandingkan:

Perlu dicatat lagi bahwa hanya bilangan positif yang muncul dalam tabel, sebagaimana ditentukan dalam definisi akar kuadrat. Dan meskipun, misalnya, (- 5) 2 = 25 adalah persamaan yang sebenarnya, lanjutkan dari persamaan tersebut ke notasi menggunakan akar kuadrat (yaitu tuliskan itu.)
itu dilarang. A-priori, . adalah bilangan positif yang artinya .
Seringkali mereka mengatakan bukan "akar kuadrat", tetapi "akar kuadrat aritmatika". Kami menghilangkan istilah “aritmatika” agar singkatnya.

D) Berbeda dengan contoh sebelumnya, kami tidak dapat menunjukkan nilai pasti dari angka tersebut. Yang jelas hanya lebih besar dari 4, tetapi kurang dari 5, karena

4 2 = 16 (kurang dari 17), dan 5 2 = 25 (lebih dari 17).
Namun, perkiraan nilai bilangan tersebut dapat ditemukan menggunakan mikrokalkulator, yang berisi operasi mengekstraksi akar kuadrat; nilai ini adalah 4,123.
Jadi,
Angka tersebut, seperti angka yang dibahas di atas, tidak rasional.
e) Tidak dapat dihitung, karena akar kuadrat dari suatu bilangan negatif tidak ada; entri itu tidak ada artinya. Tugas yang diusulkan salah.
e) karena 31 > 0 dan 31 2 = 961. Dalam kasus seperti ini, Anda harus menggunakan tabel kuadrat bilangan asli atau mikrokalkulator.
g) karena 75 > 0 dan 75 2 = 5625.
Dalam kasus yang paling sederhana, nilai akar kuadrat segera dihitung: dll. Dalam kasus yang lebih kompleks, Anda harus menggunakan tabel kuadrat angka atau melakukan perhitungan menggunakan mikrokalkulator. Tetapi bagaimana jika Anda tidak memiliki meja atau kalkulator? Mari kita jawab pertanyaan ini dengan menyelesaikan contoh berikut.

Contoh 2. Menghitung
Larutan.
Tahap pertama. Tidak sulit menebak jawabannya adalah 50 dengan ekor. Faktanya, 50 2 = 2500, dan 60 2 = 3600, sedangkan angka 2809 berada di antara angka 2500 dan 3600.

Fase kedua. Mari kita temukan "ekornya", mis. digit terakhir dari nomor yang diinginkan. Selama ini kita tahu kalau diambil akarnya, maka jawabannya bisa 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58 atau 59. Kita hanya perlu memeriksa dua angka: 53 dan 57, karena hanya mereka, jika dikuadratkan akan memberikan hasil berupa empat digit angka yang berakhiran 9, angka yang sama yang berakhiran 2809.
Kami memiliki 532 = 2809 - inilah yang kami butuhkan (kami beruntung, kami langsung tepat sasaran). Jadi = 53.
Menjawab:

53
Contoh 3. Panjang sisi suatu segitiga siku-siku adalah 1 cm dan 2 cm. Berapakah sisi miring segitiga tersebut? (Gbr.77)

Larutan.

Mari kita gunakan teorema Pythagoras, yang diketahui dari geometri: jumlah kuadrat panjang kaki-kaki segitiga siku-siku sama dengan kuadrat panjang sisi miringnya, yaitu a 2 + b 2 = c 2, di mana a , b adalah kaki-kakinya, c adalah sisi miring segitiga siku-siku.

Cara,

Contoh ini menunjukkan bahwa pengenalan akar kuadrat bukanlah keinginan para ahli matematika, tetapi suatu kebutuhan obyektif: dalam kehidupan nyata ada situasi yang model matematikanya berisi operasi mengekstraksi akar kuadrat. Mungkin hal terpenting dari situasi ini berkaitan dengan
menyelesaikan persamaan kuadrat. Hingga saat ini, ketika menemukan persamaan kuadrat ax 2 + bx + c = 0, kita memfaktorkan ruas kiri (yang tidak selalu berhasil) atau menggunakan metode grafis (yang juga tidak terlalu dapat diandalkan, meskipun indah). Faktanya, untuk menemukan
akar x 1 dan x 2 persamaan kuadrat ax 2 + bx + c = 0 dalam matematika digunakan rumus

mengandung, seperti dapat dilihat, tanda akar kuadrat. Rumus ini digunakan dalam praktik sebagai berikut. Misalnya, kita perlu menyelesaikan persamaan 2x 2 + bx - 7 = 0. Di sini a = 2, b = 5, c = - 7. Oleh karena itu,
b2 - 4ac = 5 2 - 4 . 2. (- 7) = 81. Selanjutnya kita cari . Cara,

Kami sebutkan di atas bahwa itu bukanlah bilangan rasional.
Para matematikawan menyebut angka-angka seperti itu tidak rasional. Bentuk bilangan apa pun tidak rasional jika akar kuadrat tidak dapat diambil. Misalnya, dll. - bilangan irasional. Di Bab 5 kita akan membahas lebih banyak tentang bilangan rasional dan irasional. Bilangan rasional dan irasional bersama-sama membentuk himpunan bilangan real, yaitu. himpunan semua bilangan yang kita operasikan dalam kehidupan nyata (sebenarnya,
ness). Misalnya, ini semua bilangan real.
Sama seperti kita mendefinisikan konsep akar kuadrat di atas, kita juga dapat mendefinisikan konsep akar pangkat tiga: akar pangkat tiga dari bilangan non-negatif a adalah bilangan non-negatif yang pangkat tiganya sama dengan a. Dengan kata lain persamaan berarti b 3 = a.

Semua ini akan kita pelajari pada mata pelajaran aljabar kelas 11.

Konsep akar kuadrat dari bilangan non-negatif

Perhatikan persamaan x2 = 4. Selesaikan secara grafis. Untuk melakukan ini dalam satu sistem koordinat Mari kita buat parabola y = x2 dan garis lurus y = 4 (Gbr. 74). Mereka berpotongan di dua titik A (- 2; 4) dan B (2; 4). Absis titik A dan B merupakan akar-akar persamaan x2 = 4. Jadi, x1 = - 2, x2 = 2.

Dengan cara yang persis sama, kita mencari akar-akar persamaan x2 = 9 (lihat Gambar 74): x1 = - 3, x2 = 3.

Sekarang mari kita coba menyelesaikan persamaan x2 = 5; ilustrasi geometris ditunjukkan pada Gambar. 75. Jelas bahwa persamaan ini memiliki dua akar x1 dan x2, dan bilangan-bilangan ini, seperti pada dua kasus sebelumnya, memiliki nilai absolut yang sama dan bertanda berlawanan (x1 - - x2) - Namun berbeda dengan kasus sebelumnya, di mana akar-akar persamaan ditemukan tanpa kesulitan (dan dapat ditemukan tanpa menggunakan grafik), tidak demikian halnya dengan persamaan x2 = 5: dari gambar kita tidak dapat menunjukkan nilai-nilai akar-akarnya, kita hanya dapat menetapkan bahwa satu akar terletak sedikit di sebelah kiri titik - 2, dan yang kedua terletak sedikit di sebelah kanan titik 2.

Namun di sini kejutan yang tidak menyenangkan menanti kita. Ternyata tidak ada hal seperti itu pecahan DIV_ADBLOCK32">

Misalkan terdapat pecahan tak tersederhanakan yang persamaannya berlaku https://pandia.ru/text/78/258/images/image007_16.jpg" alt=".jpg" width="55" height="36">!}, yaitu m2 = 5n2. Persamaan terakhir berarti itu bilangan asli m2 habis dibagi 5 tanpa sisa (dalam hasil bagi menjadi n2).

Oleh karena itu, bilangan m2 diakhiri dengan bilangan 5 atau bilangan 0. Namun bilangan asli m juga diakhiri dengan bilangan 5 atau bilangan 0, yaitu bilangan m habis dibagi 5 tanpa sisa. Dengan kata lain, jika bilangan m dibagi 5, maka hasil bagi adalah bilangan asli k. Artinya m = 5k.

Sekarang lihat:

Mari kita substitusikan 5k sebagai ganti m pada persamaan pertama:

(5k)2 = 5n2, yaitu 25k2 = 5n2 atau n2 = 5k2.

Persamaan terakhir berarti bilangan. 5n2 habis dibagi 5 tanpa sisa. Dengan alasan seperti di atas, kita sampai pada kesimpulan bahwa bilangan n juga habis dibagi 5 tanpa sisa.

Jadi, m habis dibagi 5, n habis dibagi 5, artinya pecahan tersebut dapat dikurangi (5). Namun kami berasumsi bahwa pecahan tersebut tidak dapat direduksi. Apa masalahnya? Mengapa, setelah berpikir dengan benar, kita sampai pada titik absurditas atau, seperti yang sering dikatakan para ahli matematika, kita mendapatkan kontradiksi! Ya, karena premis awalnya salah, seolah-olah ada pecahan tak tersederhanakan yang persamaannya berlaku ).

Jika karena penalaran yang benar kita menemui kontradiksi dengan kondisi, maka kita menyimpulkan: asumsi kita salah, artinya yang perlu kita buktikan itu benar.

Jadi, hanya memiliki angka rasional(dan kita belum mengetahui bilangan lainnya), kita tidak akan dapat menyelesaikan persamaan x2 = 5.

Setelah menghadapi situasi seperti ini untuk pertama kalinya, para ahli matematika menyadari bahwa mereka harus menemukan cara untuk menggambarkannya dalam bahasa matematika. Mereka memperkenalkan simbol baru, yang mereka sebut akar kuadrat, dan dengan menggunakan simbol ini, akar persamaan x2 = 5 ditulis sebagai berikut: ). Sekarang untuk persamaan apa pun yang berbentuk x2 = a, di mana a > O, Anda dapat menemukan akar-akarnya - akar-akarnya adalah bilanganhttps://pandia.ru/text/78/258/images/image012_6.jpg" alt=".jpg" width="32" height="31">!} bukan keseluruhan atau pecahan.
Artinya, ini bukan bilangan rasional, melainkan bilangan yang bersifat baru; kita akan membahas bilangan tersebut secara khusus nanti, di Bab 5.
Untuk saat ini, kita perhatikan saja bahwa bilangan baru tersebut berada di antara bilangan 2 dan 3, karena 22 = 4, yaitu kurang dari 5; Z2 = 9, dan ini lebih dari 5. Anda dapat memperjelas:

Perlu dicatat lagi bahwa hanya bilangan positif yang muncul dalam tabel, sebagaimana ditentukan dalam definisi akar kuadrat. Meskipun, misalnya, = 25 adalah persamaan yang sebenarnya, mulailah menulis menggunakan akar kuadrat (yaitu, tuliskan persamaan tersebut. .jpg" alt=".jpg" width="42" height="30">!} adalah bilangan positif yang artinya https://pandia.ru/text/78/258/images/image025_3.jpg" alt=".jpg" width="35" height="28">!}. Yang jelas hanya lebih besar dari 4, tetapi kurang dari 5, karena 42 = 16 (kurang dari 17), dan 52 = 25 (lebih dari 17).
Namun, perkiraan nilai angka tersebut dapat ditemukan dengan menggunakan kalkulator mikro, yang berisi operasi akar kuadrat; nilai ini adalah 4,123.

Angka tersebut, seperti angka yang dibahas di atas, tidak rasional.
e) Tidak dapat dihitung, karena akar kuadrat dari suatu bilangan negatif tidak ada; entri itu tidak ada artinya. Tugas yang diusulkan salah.
e) https://pandia.ru/text/78/258/images/image029_1.jpg" alt="Tugas" width="80" height="33 id=">!}, karena 75 > 0 dan 752 = 5625.

Dalam kasus paling sederhana, nilai akar kuadrat langsung dihitung:

https://pandia.ru/text/78/258/images/image031_2.jpg" alt="Tugas" width="65" height="42 id=">!}
Larutan.
Tahap pertama. Tidak sulit menebak jawabannya adalah 50 dengan ekor. Faktanya, 502 = 2500, dan 602 = 3600, sedangkan angka 2809 berada di antara angka 2500 dan 3600.

Luas sebidang tanah berbentuk persegi adalah 81 dm². Temukan sisinya. Misalkan panjang sisi persegi adalah X desimeter. Maka luas petak tersebut adalah X² desimeter persegi. Karena menurut kondisi luasnya sama dengan 81 dm², maka X² = 81. Panjang salah satu sisi persegi adalah bilangan positif. Bilangan positif yang kuadratnya 81 adalah bilangan 9. Saat menyelesaikan soal, perlu dicari bilangan x yang kuadratnya 81, yaitu menyelesaikan persamaan X² = 81. Persamaan ini memiliki dua akar: X 1 = 9 dan X 2 = - 9, karena 9² = 81 dan (- 9)² = 81. Bilangan 9 dan - 9 disebut akar kuadrat dari 81.

Perhatikan bahwa salah satu akar kuadrat X= 9 adalah bilangan positif. Ini disebut akar kuadrat aritmatika dari 81 dan dilambangkan dengan √81, jadi √81 = 9.

Akar kuadrat aritmatika suatu bilangan A adalah bilangan non-negatif yang kuadratnya sama dengan A.

Misalnya, angka 6 dan - 6 adalah akar kuadrat dari angka 36. Namun, angka 6 adalah akar kuadrat aritmatika dari 36, karena 6 adalah angka non-negatif dan 6² = 36. Angka - 6 bukan merupakan akar aritmatika.

Akar kuadrat aritmatika suatu bilangan A dilambangkan sebagai berikut: √ A.

Tanda tersebut disebut tanda akar kuadrat aritmatika; A- disebut ekspresi radikal. Ekspresi √ A membaca seperti ini: akar kuadrat aritmatika suatu bilangan A. Misalnya, √36 = 6, √0 = 0, √0.49 = 0.7. Dalam kasus di mana jelas bahwa kita berbicara tentang akar aritmatika, mereka secara singkat mengatakan: “akar kuadrat dari A«.

Tindakan mencari akar kuadrat suatu bilangan disebut rooting kuadrat. Tindakan ini merupakan kebalikan dari mengkuadratkan.

Anda dapat mengkuadratkan bilangan apa pun, tetapi Anda tidak dapat mengekstrak akar kuadrat dari bilangan mana pun. Misalnya, tidak mungkin mengekstrak akar kuadrat dari bilangan - 4. Jika akar seperti itu ada, maka dilambangkan dengan huruf X, kita akan mendapatkan persamaan x² = - 4 yang salah, karena ada bilangan non-negatif di sebelah kiri dan bilangan negatif di sebelah kanan.

Ekspresi √ A hanya masuk akal ketika sebuah ≥ 0. Pengertian akar kuadrat secara singkat dapat dituliskan sebagai: √ sebuah ≥ 0, (√A)² = A. Kesetaraan (√ A)² = A berlaku untuk sebuah ≥ 0. Jadi, untuk memastikan bahwa akar kuadrat dari bilangan non-negatif A sama B, yaitu fakta bahwa √ A =B, Anda perlu memeriksa apakah dua kondisi berikut terpenuhi: b ≥ 0, B² = A.

Akar kuadrat dari pecahan

Mari kita hitung. Perhatikan bahwa √25 = 5, √36 = 6, dan mari kita periksa apakah persamaannya berlaku.

Karena dan , maka persamaan tersebut benar. Jadi, .

Dalil: Jika A≥ 0 dan B> 0, yaitu akar pecahan sama dengan akar pembilang dibagi akar penyebut. Hal ini diperlukan untuk membuktikan bahwa: dan .

Sejak √ A≥0 dan √ B> 0, lalu .

Tentang sifat menaikkan pecahan ke pangkat dan definisi akar kuadrat teorema tersebut terbukti. Mari kita lihat beberapa contoh.

Hitung menggunakan teorema yang terbukti .

Contoh kedua: Buktikan itu , Jika A ≤ 0, B < 0. .

Contoh lain: Hitung.

.

Konversi Akar Kuadrat

Menghapus pengali dari bawah tanda root. Biarkan ekspresi diberikan. Jika A≥ 0 dan B≥ 0, maka dengan menggunakan teorema akar perkalian kita dapat menulis:

Transformasi ini disebut menghilangkan faktor dari tanda akar. Mari kita lihat sebuah contoh;

Hitung di X= 2. Substitusi langsung X= 2 dalam ekspresi radikal mengarah pada perhitungan yang rumit. Perhitungan ini dapat disederhanakan jika Anda terlebih dahulu menghilangkan faktor-faktor dari bawah tanda akar: . Mengganti sekarang x = 2, kita mendapatkan :.

Jadi, ketika faktor dihilangkan dari bawah tanda akar, ekspresi akar direpresentasikan sebagai produk di mana satu atau lebih faktor adalah kuadrat dari bilangan non-negatif. Kemudian terapkan teorema akar perkalian dan ambil akar setiap faktornya. Mari kita perhatikan sebuah contoh: Sederhanakan persamaan A = √8 + √18 - 4√2 dengan menghilangkan faktor-faktor pada dua suku pertama dari bawah tanda akar, kita mendapatkan :. Kami menekankan kesetaraan itu hanya berlaku untuk A≥ 0 dan B≥ 0. jika A < 0, то .

Aku melihat lagi tandanya... Dan, ayo berangkat!

Mari kita mulai dengan sesuatu yang sederhana:

Sebentar. ini, yang berarti kita dapat menulisnya seperti ini:

Mengerti? Ini yang berikutnya untuk Anda:

Apakah akar-akar bilangan yang dihasilkan tidak terekstraksi secara tepat? Tidak masalah - berikut beberapa contohnya:

Bagaimana jika penggandanya bukan dua, melainkan lebih banyak? Sama! Rumus untuk mengalikan akar dapat digunakan dengan sejumlah faktor:

Sekarang sepenuhnya mandiri:

Jawaban: Bagus sekali! Setuju semuanya mudah banget, yang penting tahu tabel perkalian!

Pembagian akar

Kita sudah menyelesaikan perkalian akar-akarnya, sekarang mari kita beralih ke sifat pembagian.

Izinkan saya mengingatkan Anda bahwa rumus umumnya terlihat seperti ini:

Artinya akar hasil bagi sama dengan hasil bagi akar-akarnya.

Baiklah, mari kita lihat beberapa contohnya:

Hanya itu ilmu pengetahuan. Berikut ini contohnya:

Semuanya tidak semulus contoh pertama, tapi seperti yang Anda lihat, tidak ada yang rumit.

Bagaimana jika Anda menemukan ungkapan ini:

Anda hanya perlu menerapkan rumus ke arah yang berlawanan:

Dan inilah contohnya:

Anda mungkin juga menemukan ungkapan ini:

Semuanya sama, hanya di sini Anda perlu mengingat cara menerjemahkan pecahan (jika Anda tidak ingat, lihat topiknya dan kembali lagi!). Apakah kamu ingat? Sekarang mari kita putuskan!

Saya yakin Anda telah mengatasi semuanya, sekarang mari kita coba menaikkan akarnya ke tingkat yang lebih tinggi.

Eksponensial

Apa yang terjadi jika akar kuadrat dikuadratkan? Sederhana saja, ingat arti akar kuadrat suatu bilangan - ini adalah bilangan yang akar kuadratnya sama.

Jadi, jika kita mengkuadratkan suatu bilangan yang akar kuadratnya sama, apa yang kita peroleh?

Tentu saja!

Mari kita lihat contohnya:

Sederhana saja, bukan? Bagaimana jika akarnya berada pada tingkat yang berbeda? Tidak apa-apa!

Ikuti logika yang sama dan ingat properti dan kemungkinan tindakan dengan derajat.

Bacalah teori tentang topik "" dan semuanya akan menjadi sangat jelas bagi Anda.

Misalnya, berikut adalah ekspresi:

Dalam contoh ini, derajatnya genap, tetapi bagaimana jika ganjil? Sekali lagi, terapkan sifat-sifat pangkat dan faktorkan semuanya:

Semuanya tampak jelas dengan ini, tetapi bagaimana cara mengekstrak akar suatu bilangan menjadi pangkat? Misalnya saja ini:

Cukup sederhana, bukan? Bagaimana jika derajatnya lebih besar dari dua? Kami mengikuti logika yang sama menggunakan properti derajat:

Nah, apakah semuanya jelas? Kemudian selesaikan sendiri contohnya:

Dan inilah jawabannya:

Masuk di bawah tanda akar

Apa yang belum kita pelajari tentang akarnya! Yang tersisa hanyalah berlatih memasukkan angka di bawah tanda akar!

Ini sangat mudah!

Katakanlah kita mempunyai nomor yang tertulis

Apa yang bisa kita lakukan dengannya? Tentu saja, sembunyikan ketiganya di bawah akar, ingat bahwa ketiganya adalah akar kuadrat dari!

Kenapa kita perlu ini? Ya, sekedar untuk memperluas kemampuan kita saat menyelesaikan contoh:

Bagaimana Anda menyukai properti akar ini? Apakah ini membuat hidup lebih mudah? Bagi saya, itu tepat sekali! Hanya Kita harus ingat bahwa kita hanya dapat memasukkan bilangan positif di bawah tanda akar kuadrat.

Selesaikan sendiri contoh ini -
Apakah Anda berhasil? Mari kita lihat apa yang harus Anda dapatkan:

Bagus sekali! Anda berhasil memasukkan nomor di bawah tanda root! Mari beralih ke hal yang sama pentingnya - mari kita lihat cara membandingkan bilangan yang mengandung akar kuadrat!

Perbandingan akar

Mengapa kita perlu belajar membandingkan bilangan yang mengandung akar kuadrat?

Sangat sederhana. Seringkali, dalam ekspresi besar dan panjang yang ditemui dalam ujian, kita menerima jawaban yang tidak rasional (ingat apa ini? Kita sudah membicarakannya hari ini!)

Kita perlu menempatkan jawaban yang diterima pada garis koordinat, misalnya untuk menentukan interval mana yang cocok untuk menyelesaikan persamaan. Dan di sini muncul masalah: tidak ada kalkulator dalam ujian, dan tanpanya, bagaimana Anda bisa membayangkan angka mana yang lebih besar dan mana yang lebih kecil? Itu dia!

Misalnya, tentukan mana yang lebih besar: atau?

Anda tidak bisa langsung mengetahuinya. Baiklah, mari kita gunakan properti yang dibongkar untuk memasukkan angka di bawah tanda root?

Lalu lanjutkan:

Jelasnya, semakin besar angka di bawah tanda akar, semakin besar pula akarnya!

Itu. jika kemudian, .

Dari sini kami dengan tegas menyimpulkan bahwa. Dan tidak ada yang akan meyakinkan kita sebaliknya!

Mengekstraksi akar dari sejumlah besar

Sebelumnya, kita memasukkan pengali di bawah tanda root, tapi bagaimana cara menghapusnya? Anda hanya perlu memfaktorkannya dan mengekstrak apa yang Anda ekstrak!

Dimungkinkan untuk mengambil jalur yang berbeda dan memperluas ke faktor-faktor lain:

Tidak buruk, bukan? Salah satu dari pendekatan ini benar, putuskan sesuai keinginan.

Anjak piutang sangat berguna ketika memecahkan masalah non-standar seperti ini:

Jangan takut, tapi bertindaklah! Mari kita menguraikan setiap faktor di bawah akar menjadi faktor-faktor terpisah:

Sekarang coba sendiri (tanpa kalkulator! Ini tidak akan ada dalam ujian):

Apakah ini akhirnya? Jangan berhenti di tengah jalan!

Itu saja, tidak terlalu menakutkan, bukan?

Telah terjadi? Bagus sekali, itu benar!

Sekarang coba contoh ini:

Namun contoh ini sulit dipecahkan, jadi Anda tidak bisa langsung mengetahui cara mendekatinya. Tapi tentu saja kita bisa mengatasinya.

Baiklah, mari kita mulai memfaktorkan? Mari kita segera perhatikan bahwa suatu bilangan dapat dibagi dengan (ingat tanda-tanda habis dibagi):

Sekarang, coba sendiri (sekali lagi, tanpa kalkulator!):

Nah, apakah itu berhasil? Bagus sekali, itu benar!

Mari kita simpulkan

1. Akar kuadrat (akar kuadrat aritmatika) suatu bilangan non-negatif adalah bilangan non-negatif yang kuadratnya sama dengan.
   .
2. Jika kita mengambil akar kuadrat dari sesuatu, kita selalu mendapatkan satu hasil non-negatif.
3. Sifat-sifat akar aritmatika:
4. Saat membandingkan akar kuadrat, perlu diingat bahwa semakin besar angka di bawah tanda akar, semakin besar pula akar itu sendiri.

Bagaimana akar kuadratnya? Semua jelas?

Kami mencoba menjelaskan kepada Anda tanpa basa-basi semua yang perlu Anda ketahui dalam ujian tentang akar kuadrat.

Sekarang giliranmu. Tulis kepada kami apakah topik ini sulit bagi Anda atau tidak.

Apakah Anda mempelajari sesuatu yang baru atau semuanya sudah jelas?

Tulis di komentar dan semoga sukses dalam ujian Anda!

Pada artikel ini kami akan memperkenalkan konsep akar suatu bilangan. Kita akan melanjutkan secara berurutan: kita akan mulai dengan akar kuadrat, dari sana kita akan melanjutkan ke deskripsi akar pangkat tiga, setelah itu kita akan menggeneralisasi konsep akar, mendefinisikan akar ke-n. Pada saat yang sama, kami akan memperkenalkan definisi, notasi, memberikan contoh akar dan memberikan penjelasan dan komentar yang diperlukan.

Akar kuadrat, akar kuadrat aritmatika

Untuk memahami definisi akar suatu bilangan, dan khususnya akar kuadrat, Anda perlu memiliki . Pada titik ini kita akan sering menjumpai pangkat kedua suatu bilangan – kuadrat suatu bilangan.

Mari kita mulai dengan definisi akar kuadrat.

Definisi

Akar kuadrat dari a adalah bilangan yang kuadratnya sama dengan a.

Untuk membawa contoh akar kuadrat, ambil beberapa bilangan, misalnya 5, −0.3, 0.3, 0, dan kuadratkan, kita peroleh masing-masing bilangan 25, 0.09, 0.09 dan 0 (5 2 =5·5=25, (−0,3) 2 =(−0,3)·(−0,3)=0,09, (0,3) 2 =0,3·0,3=0,09 dan 0 2 =0·0=0 ). Maka, berdasarkan definisi yang diberikan di atas, angka 5 adalah akar kuadrat dari angka 25, angka −0,3 dan 0,3 adalah akar kuadrat dari 0,09, dan 0 adalah akar kuadrat dari nol.

Perlu dicatat bahwa tidak untuk bilangan a apa pun terdapat a yang kuadratnya sama dengan a. Yaitu, untuk sembarang bilangan negatif a, tidak ada bilangan real b yang kuadratnya sama dengan a. Faktanya, persamaan a=b 2 tidak mungkin untuk sembarang a negatif, karena b 2 adalah bilangan non-negatif untuk sembarang b. Dengan demikian, tidak ada akar kuadrat dari bilangan negatif pada himpunan bilangan real. Dengan kata lain, pada himpunan bilangan real, akar kuadrat dari bilangan negatif tidak terdefinisi dan tidak mempunyai arti.

Hal ini menimbulkan pertanyaan logis: “Apakah ada akar kuadrat dari a untuk a yang tidak negatif”? Jawabannya iya. Fakta ini dapat dibenarkan dengan metode konstruktif yang digunakan untuk mencari nilai akar kuadrat.

Kemudian muncul pertanyaan logis berikutnya: “Berapa jumlah semua akar kuadrat dari suatu bilangan non-negatif a - satu, dua, tiga, atau bahkan lebih”? Inilah jawabannya: jika a adalah nol, maka satu-satunya akar kuadrat dari nol adalah nol; jika a suatu bilangan positif, maka banyaknya akar kuadrat dari bilangan a adalah dua, dan akar-akarnya adalah . Mari kita benarkan hal ini.

Mari kita mulai dengan kasus a=0 . Pertama, mari kita tunjukkan bahwa nol memang merupakan akar kuadrat dari nol. Ini mengikuti persamaan yang jelas 0 2 =0·0=0 dan definisi akar kuadrat.

Sekarang mari kita buktikan bahwa 0 adalah satu-satunya akar kuadrat dari nol. Mari kita gunakan metode sebaliknya. Misalkan ada bilangan bukan nol b yang merupakan akar kuadrat dari nol. Maka kondisi b 2 =0 harus dipenuhi, yang tidak mungkin, karena untuk b yang bukan nol, nilai ekspresi b 2 adalah positif. Kita telah sampai pada sebuah kontradiksi. Hal ini membuktikan bahwa 0 adalah satu-satunya akar kuadrat dari nol.

Mari kita beralih ke kasus di mana a adalah bilangan positif. Telah kita katakan di atas bahwa selalu ada akar kuadrat dari bilangan non-negatif apa pun, misalkan akar kuadrat dari a adalah bilangan b. Katakanlah ada bilangan c yang juga merupakan akar kuadrat dari a. Maka, menurut definisi akar kuadrat, persamaan b 2 =a dan c 2 =a adalah benar, sehingga b 2 −c 2 =a−a=0, tetapi karena b 2 −c 2 =( b−c)·( b+c) , maka (b−c)·(b+c)=0 . Kesetaraan yang dihasilkan adalah valid sifat-sifat operasi bilangan real hanya mungkin jika b−c=0 atau b+c=0 . Jadi, bilangan b dan c sama atau berlawanan.

Jika kita asumsikan ada bilangan d yang merupakan akar kuadrat lain dari bilangan a, maka dengan alasan yang sama dengan yang telah diberikan, dibuktikan bahwa d sama dengan bilangan b atau bilangan c. Jadi, banyaknya akar kuadrat suatu bilangan positif adalah dua, dan akar kuadratnya adalah bilangan yang berlawanan.

Untuk kenyamanan bekerja dengan akar kuadrat, akar negatif “dipisahkan” dari akar positif. Untuk tujuan ini, diperkenalkan definisi akar kuadrat aritmatika.

Definisi

Akar kuadrat aritmatika dari bilangan non-negatif a adalah bilangan non-negatif yang kuadratnya sama dengan a.

Notasi akar kuadrat aritmatika dari a adalah . Tanda tersebut disebut tanda akar kuadrat aritmatika. Ini juga disebut tanda radikal. Oleh karena itu, terkadang Anda dapat mendengar “root” dan “radikal”, yang artinya objek yang sama.

Bilangan yang berada di bawah tanda akar kuadrat aritmatika disebut bilangan radikal, dan ekspresi di bawah tanda akar adalah ekspresi radikal, sedangkan istilah “bilangan radikal” sering diganti dengan “ekspresi radikal”. Misalnya pada notasi bilangan 151 merupakan bilangan radikal, dan pada notasi ekspresi a merupakan ekspresi radikal.

Saat membaca, kata "aritmatika" sering dihilangkan, misalnya entri dibaca "akar kuadrat dari tujuh koma dua puluh sembilan". Kata “aritmatika” hanya digunakan ketika mereka ingin menekankan bahwa kita berbicara secara khusus tentang akar kuadrat positif suatu bilangan.

Mengingat notasi yang diperkenalkan, definisi akar kuadrat aritmatika dapat disimpulkan bahwa untuk bilangan non-negatif apa pun a .

Akar kuadrat dari bilangan positif a ditulis menggunakan tanda akar kuadrat aritmatika sebagai dan . Misalnya, akar kuadrat dari 13 adalah dan . Akar kuadrat aritmatika dari nol adalah nol, yaitu . Untuk bilangan negatif a, kita tidak akan memberi arti pada notasi tersebut sampai kita mempelajarinya bilangan kompleks. Misalnya ungkapan dan tidak ada artinya.

Berdasarkan pengertian akar kuadrat, dibuktikan sifat-sifat akar kuadrat yang sering digunakan dalam praktek.

Sebagai kesimpulan dari poin ini, kita perhatikan bahwa akar kuadrat dari bilangan a adalah solusi berbentuk x 2 =a terhadap variabel x.

Akar pangkat tiga suatu bilangan

Definisi akar pangkat tiga dari bilangan a diberikan serupa dengan definisi akar kuadrat. Hanya saja didasarkan pada konsep kubus suatu bilangan, bukan persegi.

Definisi

Akar pangkat tiga dari a adalah bilangan yang pangkat tiganya sama dengan a.

Mari kita memberi contoh akar pangkat tiga. Caranya, ambil beberapa bilangan, misalnya 7, 0, −2/3, dan pangkatkan bilangan tersebut: 7 3 =7·7·7=343, 0 3 =0·0·0=0, . Kemudian, berdasarkan definisi akar pangkat tiga, kita dapat mengatakan bahwa bilangan 7 adalah akar pangkat tiga dari 343, 0 adalah akar pangkat tiga dari nol, dan −2/3 adalah akar pangkat tiga dari −8/27.

Dapat ditunjukkan bahwa akar pangkat tiga suatu bilangan, tidak seperti akar kuadrat, selalu ada, tidak hanya untuk a non-negatif, tetapi juga untuk sembarang bilangan real a. Untuk melakukannya, Anda dapat menggunakan metode yang sama seperti yang kami sebutkan saat mempelajari akar kuadrat.

Selain itu, hanya ada satu akar pangkat tiga dari suatu bilangan tertentu a. Mari kita buktikan pernyataan terakhir. Untuk melakukannya, perhatikan tiga kasus secara terpisah: a adalah bilangan positif, a=0, dan a adalah bilangan negatif.

Mudah untuk menunjukkan bahwa jika a positif, akar pangkat tiga dari a tidak boleh berupa bilangan negatif atau nol. Memang, misalkan b adalah akar pangkat tiga dari a, maka menurut definisi kita dapat menulis persamaan b 3 =a. Jelas bahwa persamaan ini tidak berlaku untuk b negatif dan b=0, karena dalam kasus ini b 3 =b·b·b masing-masing akan berupa bilangan negatif atau nol. Jadi akar pangkat tiga dari bilangan positif a adalah bilangan positif.

Sekarang misalkan selain bilangan b ada akar pangkat tiga lain dari bilangan a, dinotasikan dengan c. Maka c 3 =a. Oleh karena itu, b 3 −c 3 =a−a=0, tetapi b 3 −c 3 =(b−c)·(b 2 +b·c+c 2)(inilah rumus perkalian yang disingkat perbedaan kubus), dari mana (b−c)·(b 2 +b·c+c 2)=0. Persamaan yang dihasilkan hanya mungkin jika b−c=0 atau b 2 +b·c+c 2 =0. Dari persamaan pertama kita mempunyai b=c, dan persamaan kedua tidak mempunyai penyelesaian, karena ruas kirinya adalah bilangan positif untuk sembarang bilangan positif b dan c yang merupakan jumlah dari tiga suku positif b 2, b·c dan c 2. Hal ini membuktikan keunikan akar pangkat tiga dari bilangan positif a.

Jika a=0, akar pangkat tiga dari bilangan a hanyalah bilangan nol. Memang, jika kita berasumsi bahwa ada bilangan b, yang merupakan akar pangkat tiga bukan nol dari nol, maka persamaan b 3 =0 harus berlaku, yang hanya mungkin terjadi jika b=0.

Untuk a negatif, argumen serupa dengan kasus a positif dapat diberikan. Pertama, kita tunjukkan bahwa akar pangkat tiga suatu bilangan negatif tidak bisa sama dengan bilangan positif atau nol. Kedua, kita berasumsi bahwa ada akar pangkat tiga kedua dari bilangan negatif dan menunjukkan bahwa bilangan tersebut pasti bertepatan dengan bilangan pertama.

Jadi, selalu ada akar pangkat tiga dari suatu bilangan real a, dan bilangan unik.

Mari kita memberi definisi akar pangkat tiga aritmatika.

Definisi

Akar pangkat tiga aritmatika dari bilangan non-negatif a adalah bilangan non-negatif yang pangkat tiganya sama dengan a.

Akar pangkat tiga aritmatika suatu bilangan non-negatif a dilambangkan dengan , tandanya disebut tanda akar pangkat tiga aritmatika, bilangan 3 pada notasi ini disebut indeks akar. Bilangan di bawah tanda akar adalah bilangan radikal, ekspresi di bawah tanda akar adalah ekspresi radikal.

Meskipun akar pangkat tiga aritmatika hanya didefinisikan untuk bilangan non-negatif a, akan lebih mudah juga untuk menggunakan notasi yang bilangan negatifnya terdapat di bawah tanda akar pangkat tiga aritmatika. Kita akan memahaminya sebagai berikut: , dimana a adalah bilangan positif. Misalnya, .

Sifat-sifat akar pangkat tiga akan kita bahas pada artikel umum sifat-sifat akar.

Menghitung nilai akar pangkat tiga disebut mengekstraksi akar pangkat tiga; tindakan ini dibahas dalam artikel mengekstrak akar: metode, contoh, solusi.

Untuk menyimpulkan poin ini, misalkan akar pangkat tiga dari bilangan a adalah solusi berbentuk x 3 =a.

akar ke-n, akar aritmatika derajat n

Mari kita menggeneralisasi konsep akar suatu bilangan - kami perkenalkan definisi akar ke-n untuk n.

Definisi

akar ke-n dari a adalah bilangan yang pangkat ke-nnya sama dengan a.

Dari definisi tersebut jelas bahwa akar derajat pertama dari bilangan a adalah bilangan a itu sendiri, karena ketika mempelajari derajat dengan eksponen natural kita mengambil a 1 =a.

Di atas kita melihat kasus khusus dari akar ke-n untuk n=2 dan n=3 - akar kuadrat dan akar pangkat tiga. Artinya, akar kuadrat adalah akar derajat kedua, dan akar pangkat tiga adalah akar derajat ketiga. Untuk mempelajari akar-akar derajat ke-n untuk n=4, 5, 6, ..., akan lebih mudah untuk membaginya menjadi dua kelompok: kelompok pertama - akar-akar derajat genap (yaitu, untuk n = 4, 6, 8 , ...), kelompok kedua - akar derajat ganjil (yaitu, dengan n=5, 7, 9, ...). Hal ini disebabkan oleh fakta bahwa akar pangkat genap mirip dengan akar kuadrat, dan akar pangkat ganjil mirip dengan akar pangkat tiga. Mari kita hadapi mereka satu per satu.

Mari kita mulai dengan akar-akar yang pangkatnya adalah bilangan genap 4, 6, 8, ... Seperti yang telah kami katakan, akar-akar tersebut mirip dengan akar kuadrat dari bilangan a. Artinya, akar derajat genap apa pun dari bilangan a hanya ada untuk bilangan non-negatif a. Apalagi jika a=0, maka akar-akar a unik dan sama dengan nol, dan jika a>0, maka ada dua akar-akar bilangan a yang berpangkat genap, dan keduanya merupakan bilangan-bilangan yang berlawanan.

Mari kita buktikan pernyataan terakhir. Misalkan b adalah akar genap (kita menyatakannya sebagai 2·m, dimana m adalah suatu bilangan asli) dari bilangan a. Misalkan ada bilangan c - akar lain yang berderajat 2·m dari bilangan a. Maka b 2·m −c 2·m =a−a=0 . Namun kita mengetahui bentuk b 2 m −c 2 m = (b−c) (b+c) (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2), lalu (b−c)·(b+c)· (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2)=0. Dari persamaan ini diperoleh b−c=0, atau b+c=0, atau b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2 =0. Dua persamaan pertama berarti bilangan b dan c sama atau b dan c berlawanan. Dan persamaan terakhir hanya berlaku untuk b=c=0, karena di sisi kirinya terdapat ekspresi non-negatif untuk sembarang b dan c sebagai jumlah dari bilangan non-negatif.

Adapun akar-akar derajat ke-n untuk n ganjil mirip dengan akar pangkat tiga. Artinya, akar pangkat ganjil dari bilangan a ada untuk sembarang bilangan real a, dan untuk bilangan tertentu a bilangan tersebut unik.

Keunikan akar pangkat ganjil 2·m+1 bilangan a dibuktikan dengan analogi pembuktian keunikan akar pangkat tiga a. Hanya di sini bukannya kesetaraan a 3 −b 3 =(a−b)·(a 2 +a·b+c 2) persamaan bentuk b 2 m+1 −c 2 m+1 = digunakan (b−c)·(b 2·m +b 2·m−1 ·c+b 2·m−2 ·c 2 +… +c 2·m). Ekspresi dalam tanda kurung terakhir dapat ditulis ulang menjadi b 2 m +c 2 m +b c (b 2 m−2 +c 2 m−2 + b c (b 2 m−4 +c 2 m−4 +b c (…+(b 2 +c 2 +b c)))). Misalnya, dengan m=2 kita punya b 5 −c 5 =(b−c)·(b 4 +b 3 ·c+b 2 ·c 2 +b·c 3 +c 4)= (b−c)·(b 4 +c 4 +b·c·(b 2 +c 2 +b·c)). Jika a dan b sama-sama positif atau keduanya negatif, hasil kali keduanya adalah bilangan positif, maka ekspresi b 2 +c 2 +b·c dalam tanda kurung tertinggi adalah positif sebagai jumlah dari bilangan-bilangan positif tersebut. Sekarang, secara berurutan beralih ke ekspresi dalam tanda kurung dari derajat penyatuan sebelumnya, kami yakin bahwa ekspresi tersebut sama positifnya dengan jumlah bilangan positif. Hasilnya, kita memperoleh persamaan b 2 m+1 −c 2 m+1 = (b−c)·(b 2·m +b 2·m−1 ·c+b 2·m−2 ·c 2 +… +c 2·m)=0 hanya mungkin jika b−c=0, yaitu bila bilangan b sama dengan bilangan c.

Saatnya memahami notasi akar ke-n. Untuk tujuan ini diberikan definisi akar aritmatika derajat ke-n.

Definisi

Akar aritmatika derajat ke-n suatu bilangan non-negatif a adalah bilangan non-negatif yang pangkat ke-nnya sama dengan a.