Inti dari metode Monte Carlo adalah sebagai berikut: Anda perlu mencari nilainya A beberapa kuantitas yang dipelajari. Untuk tujuan ini, pilihlah variabel acak X yang ekspektasi matematisnya sama dengan a: M(X) = a.

Dalam praktiknya, mereka melakukan ini: mereka menghitung (memainkan) N nilai yang mungkin x i dari variabel acak X, tentukan mean aritmatikanya

Dan mereka mengambil a* dari angka a yang diinginkan sebagai perkiraan (nilai perkiraan). Jadi, untuk menggunakan metode Monte Carlo, Anda harus bisa memainkan variabel acak.

Misalkan perlu memainkan variabel acak diskrit X, mis. hitung barisan nilai yang mungkin x i (i=1,2, ...), dengan mengetahui hukum distribusi X. Mari kita perkenalkan notasi: R adalah variabel acak kontinu yang terdistribusi merata pada interval (0,1 ); r i (j=1,2,...) – bilangan acak (kemungkinan nilai R).

Aturan: Untuk memainkan variabel acak diskrit X yang ditentukan oleh hukum distribusi

X x 1 x 2 ... xn

P hal 1 hal 2 … hal n

1. Bagilah interval (0,1) sumbu atau menjadi n interval parsial:

Δ 1 =(0;р 1), Δ 2 =(р 1; р 1+ р 2), …, Δ n = (р 1 +р 2 +…+р n -1; 1).

2. Pilih nomor acak r j . Jika r j berada pada interval parsial Δ i, maka nilai yang dimainkan mengambil nilai yang mungkin x i. .

Memainkan sekelompok acara yang lengkap

Diperlukan untuk memainkan tes, yang masing-masingnya terjadi salah satu kejadian dari kelompok penuh, yang probabilitasnya diketahui. Memainkan sekelompok peristiwa yang lengkap berarti memainkan variabel acak diskrit.

Aturan: Untuk melakukan tes yang masing-masing kejadiannya A 1, A 2, ..., A n dari grup lengkap terjadi, yang peluangnya diketahui p 1, p 2, ..., p n, cukup memainkan nilai diskrit X dengan hukum distribusi sebagai berikut :

P hal 1 hal 2 … hal n

Jika dalam pengujian nilai X mengambil kemungkinan nilai x i =i, maka kejadian A i terjadi.

Memainkan Variabel Acak Berkelanjutan

Fungsi distribusi F dari variabel acak kontinu X diketahui, diperlukan untuk memainkan X, yaitu hitung barisan nilai yang mungkin x i (i=1,2, ...).

A. Metode fungsi invers. Aturan 1. x i dari variabel acak kontinu X, mengetahui fungsi distribusinya F, Anda perlu memilih bilangan acak r i, menyamakan fungsi distribusinya dan menyelesaikan persamaan yang dihasilkan F(x i) = r i untuk x i.

Jika kepadatan probabilitas f(x) diketahui, maka aturan 2 digunakan.

Aturan 2. Untuk memainkan nilai yang mungkin x i dari variabel acak kontinu X, mengetahui kepadatan probabilitasnya f, Anda perlu memilih bilangan acak r i dan menyelesaikan persamaan untuk x i

atau persamaan

dimana a adalah nilai akhir terkecil dari X.

B. Metode superposisi. Aturan 3. Untuk memainkan nilai yang mungkin dari variabel acak X, yang fungsi distribusinya

F(x) = C 1 F 1 (x)+C 2 F 2 (x)+…+C n F n (x),

dimana F k (x) – fungsi distribusi (k=1, 2, …, n), С k >0, С i +С 2 +…+С n =1, Anda harus memilih dua bilangan acak independen r 1 dan r 2 dan menggunakan bilangan acak r 1, mainkan nilai yang mungkin dari variabel acak diskrit tambahan Z (menurut aturan 1):

p C 1 C 2 … C n

Jika ternyata Z=k, maka selesaikan persamaan F k (x) = r 2 untuk x.

Catatan 1. Jika kepadatan probabilitas suatu variabel acak kontinu X diberikan dalam bentuk

f(x)=C 1 f 1 (x)+C 2 f 2 (x)+…+C n f n (x),

di mana f k adalah kepadatan probabilitas, koefisien C k positif, jumlahnya sama dengan satu, dan jika ternyata Z=k, maka selesaikan (menurut aturan 2) terhadap x i terhadap atau persamaan

Perkiraan permainan variabel acak normal

Aturan. Untuk memperkirakan nilai yang mungkin x i dari variabel acak normal X dengan parameter a=0 dan σ=1, Anda perlu menambahkan 12 bilangan acak independen dan mengurangi 6 dari jumlah yang dihasilkan:

Komentar. Jika Anda ingin memainkan variabel acak normal Z dengan ekspektasi matematis A dan simpangan baku σ, kemudian setelah memainkan kemungkinan nilai x i menurut aturan di atas, carilah kemungkinan nilai yang diinginkan dengan menggunakan rumus: z i =σx i +a.

Definisi 24.1.Angka acak sebutkan nilai yang mungkin R variabel acak kontinu R, terdistribusi merata pada interval (0; 1).

1. Memainkan variabel acak diskrit.

Misalkan kita ingin memainkan variabel acak diskrit X, yaitu memperoleh barisan nilai-nilai yang mungkin, mengetahui hukum distribusi X:

Xx 1 X 2 … xn

r r 1 R 2 … r hal .

Pertimbangkan variabel acak yang terdistribusi secara merata di (0, 1) R dan membagi interval (0, 1) dengan titik-titik yang memiliki koordinat R 1, R 1 + R 2 , …, R 1 + R 2 +… +r hal-1 aktif P interval parsial yang panjangnya sama dengan probabilitas dengan indeks yang sama.

Teorema 24.1. Jika setiap bilangan acak yang termasuk dalam interval diberi nilai yang mungkin, maka nilai yang dimainkan akan memiliki hukum distribusi tertentu:

Xx 1 X 2 … xn

r r 1 R 2 … r hal .

Bukti.

Nilai yang mungkin dari variabel acak yang dihasilkan bertepatan dengan himpunan X 1 , X 2 ,… xn, karena jumlah intervalnya sama P, dan saat dipukul r j dalam suatu interval, variabel acak hanya dapat mengambil salah satu nilai X 1 , X 2 ,… xn.

Karena R terdistribusi secara merata, maka peluangnya untuk masuk ke setiap interval sama dengan panjangnya, artinya setiap nilai sesuai dengan peluangnya. pi saya. Jadi, variabel acak yang dimainkan memiliki hukum distribusi tertentu.

Contoh. Mainkan 10 nilai variabel acak diskrit X, hukum distribusinya berbentuk: X 2 3 6 8

R 0,1 0,3 0,5 0,1

Larutan. Mari kita bagi interval (0, 1) menjadi interval parsial: D 1 - (0; 0.1), D 2 - (0.1; 0.4), D 3 - (0.4; 0.9), D 4 – (0.9; 1). Mari kita tuliskan 10 angka dari tabel bilangan acak: 0,09; 0,73; 0,25; 0,33; 0,76; 0,52; 0,01; 0,35; 0,86; 0,34. Angka pertama dan ketujuh terletak pada interval D 1, oleh karena itu, dalam kasus ini, variabel acak yang dimainkan mengambil nilainya X 1 = 2; angka ketiga, keempat, kedelapan dan kesepuluh berada pada interval D 2 yang bersesuaian X 2 = 3; angka kedua, kelima, keenam dan kesembilan berada pada interval D 3 - dalam hal ini x = x 3 = 6; Tidak ada angka di interval terakhir. Jadi, nilai-nilai yang mungkin dimainkan X adalah: 2, 6, 3, 3, 6, 6, 2, 3, 6, 3.

2. Memerankan kejadian yang berlawanan.

Biarkan diperlukan untuk memainkan tes, yang masing-masing berisi acara A muncul dengan probabilitas yang diketahui R. Pertimbangkan variabel acak diskrit X, mengambil nilai 1 (jika event A terjadi) dengan probabilitas R dan 0 (jika A tidak terjadi) dengan probabilitas Q = 1 – P. Kemudian kita akan memainkan variabel acak ini seperti yang disarankan di paragraf sebelumnya.

Contoh. Mainkan 10 tantangan, masing-masing dengan sebuah acara A muncul dengan probabilitas 0,3.

Larutan. Untuk variabel acak X dengan hukum distribusi X 1 0

R 0,3 0,7

kita memperoleh interval D 1 – (0; 0.3) dan D 2 – (0.3; 1). Kita menggunakan sampel bilangan acak yang sama seperti pada contoh sebelumnya, dimana bilangan No. 1, 3 dan 7 berada pada interval D 1, dan sisanya berada pada interval D 2. Oleh karena itu, kita dapat berasumsi bahwa peristiwa tersebut A terjadi pada uji coba pertama, ketiga, dan ketujuh, namun tidak terjadi pada uji coba selanjutnya.

3. Memainkan rangkaian acara secara lengkap.

Jika peristiwa A 1 , A 2 , …, hal, yang probabilitasnya sama R 1 , R 2 ,… r hal, bentuklah kelompok yang lengkap, kemudian untuk bermain (yaitu, memodelkan urutan kemunculan mereka dalam serangkaian tes), Anda dapat memainkan variabel acak diskrit X dengan hukum distribusi X 1 2 … P, setelah melakukan ini dengan cara yang sama seperti pada poin 1. Pada saat yang sama, kami yakin akan hal itu

r r 1 R 2 … r hal

Jika X mengambil nilainya x saya = saya, maka dalam pengujian ini peristiwa tersebut terjadi dan saya.

4. Memainkan variabel acak kontinu.

a) Metode fungsi invers.

Misalkan kita ingin memainkan variabel acak kontinu X, yaitu, dapatkan urutan nilai yang mungkin x saya (Saya = 1, 2, …, N), mengetahui fungsi distribusi F(X).

Teorema 24.2. Jika r i adalah angka acak, maka nilai yang mungkin x saya memainkan variabel acak kontinu X dengan fungsi distribusi tertentu F(X), sesuai r i, adalah akar persamaan

F(x saya) = r i. (24.1)

Bukti.

Karena F(X) meningkat secara monoton dalam interval dari 0 ke 1, maka terdapat nilai argumen (dan unik). x saya, di mana fungsi distribusi mengambil nilai r i. Artinya persamaan (24.1) mempunyai solusi unik: x saya= F -1 (r i), Di mana F-1 - fungsi kebalikan dari F. Mari kita buktikan bahwa akar persamaan (24.1) adalah nilai yang mungkin dari variabel acak yang dipertimbangkan X. Mari kita asumsikan dulu x saya adalah nilai kemungkinan dari beberapa variabel acak x, dan kita buktikan bahwa peluang x masuk ke dalam interval ( s, d) adalah sama dengan F(D) – F(C). Memang karena monoton F(X) dan itu F(x saya) = r i. Kemudian

Oleh karena itu, Jadi, peluang x jatuh pada interval ( CD) sama dengan kenaikan fungsi distribusi F(X) pada interval ini, oleh karena itu, x = X.

Mainkan 3 kemungkinan nilai dari variabel acak kontinu X, terdistribusi merata pada interval (5; 8).

F(X) = , artinya persamaan tersebut perlu diselesaikan Mari kita pilih 3 bilangan acak: 0,23; 0,09 dan 0,56 dan substitusikan keduanya ke dalam persamaan ini. Mari kita dapatkan nilai yang mungkin sesuai X:

b) Metode superposisi.

Jika fungsi distribusi dari variabel acak yang dimainkan dapat direpresentasikan sebagai kombinasi linier dari dua fungsi distribusi:

lalu, sejak kapan X®¥ F(X) ® 1.

Mari kita perkenalkan variabel acak diskrit tambahan Z dengan hukum distribusi

Z 12. Mari kita pilih 2 angka acak yang independen R 1 dan R 2 dan mainkan yang mungkin

pc 1 C 2

arti Z berdasarkan nomor R 1 (lihat poin 1). Jika Z= 1, lalu kita mencari kemungkinan nilai yang diinginkan X dari persamaan, dan jika Z= 2, maka kita selesaikan persamaannya.

Dapat dibuktikan bahwa dalam hal ini fungsi distribusi variabel acak yang dimainkan sama dengan fungsi distribusi yang diberikan.

c) Perkiraan permainan variabel acak normal.

Sejak R, terdistribusi merata di (0, 1), lalu untuk jumlahnya P variabel acak independen dan terdistribusi seragam dalam interval (0,1). Kemudian, berdasarkan teorema limit pusat, variabel acak yang dinormalisasi di P® ¥ akan memiliki distribusi mendekati normal, dengan parameternya A= 0 dan s =1. Secara khusus, perkiraan yang cukup baik diperoleh ketika P = 12:

Jadi, untuk memainkan nilai yang mungkin dari variabel acak normal yang dinormalisasi X, Anda perlu menambahkan 12 angka acak independen dan mengurangi 6 dari jumlahnya.

Mengirimkan karya bagus Anda ke basis pengetahuan itu sederhana. Gunakan formulir di bawah ini

Pelajar, mahasiswa pascasarjana, ilmuwan muda yang menggunakan basis pengetahuan dalam studi dan pekerjaan mereka akan sangat berterima kasih kepada Anda.

Diposting di http://www.allbest.ru/

PELAJARAN 1

Simulasi kejadian acak dengan hukum distribusi tertentu

Memainkan Variabel Acak Diskrit

Misalkan perlu untuk memainkan variabel acak diskrit, mis. peroleh barisan nilai yang mungkin x i (i = 1,2,3,...n), dengan mengetahui hukum distribusi X:

Mari kita nyatakan dengan R sebagai variabel acak kontinu. Nilai R terdistribusi merata pada interval (0,1). Dengan r j (j = 1,2,...) kita menyatakan kemungkinan nilai dari variabel acak R. Mari kita bagi intervalnya 0< R < 1 на оси 0r точками с координатами на n частичных интервалов.

Kemudian kita mendapatkan:

Terlihat panjang interval parsial dengan indeks i sama dengan probabilitas P dengan indeks yang sama. Panjang

Jadi, ketika suatu bilangan acak r i masuk ke dalam interval, variabel acak X mengambil nilai x i dengan probabilitas P i .

Ada teorema berikut:

Jika setiap bilangan acak yang termasuk dalam interval dikaitkan dengan nilai yang mungkin x saya , maka nilai yang dimainkan akan memiliki hukum distribusi tertentu

Algoritma untuk memainkan variabel acak diskrit yang ditentukan oleh hukum distribusi

1. Interval (0,1) sumbu 0r perlu dibagi menjadi n interval parsial:

2. Pilih (misalnya, dari tabel bilangan acak, atau di komputer) bilangan acak r j .

Jika r j berada dalam interval, maka variabel acak diskrit yang dimainkan mengambil nilai yang mungkin x i .

Memainkan Variabel Acak Berkelanjutan

Biarkan diperlukan untuk memainkan variabel acak kontinu X, mis. peroleh barisan nilai yang mungkin x i (i = 1,2,...). Dalam hal ini fungsi distribusi F(X) diketahui.

Ada Berikutnya dalil.

Jika r i adalah bilangan acak, maka nilai yang mungkin x i dari variabel acak kontinu yang dimainkan X dengan fungsi distribusi yang diketahui F(X) yang bersesuaian dengan r i adalah akar persamaan

Algoritma untuk memainkan variabel acak kontinu:

1. Anda harus memilih nomor acak r i .

2. Samakan bilangan acak yang dipilih dengan fungsi distribusi yang diketahui F(X) dan dapatkan persamaannya.

3. Selesaikan persamaan ini untuk x i. Nilai yang dihasilkan x i secara bersamaan akan sesuai dengan bilangan acak r i . dan hukum distribusi yang diberikan F(X).

Contoh. Mainkan 3 kemungkinan nilai dari variabel acak kontinu X, terdistribusi merata dalam interval (2; 10).

Fungsi distribusi nilai X berbentuk sebagai berikut:

Dengan syarat a = 2, b = 10, maka,

Sesuai dengan algoritma memainkan variabel acak kontinu, kita menyamakan F(X) dengan bilangan acak yang dipilih r i .. Kita peroleh dari sini:

Substitusikan bilangan-bilangan ini ke dalam persamaan (5.3), kita peroleh kemungkinan nilai x yang sesuai:

Masalah pemodelan kejadian acak dengan hukum distribusi tertentu

1. Diperlukan untuk memainkan 10 nilai variabel acak diskrit, mis. peroleh barisan nilai yang mungkin x i (i=1,2,3,…n), mengetahui hukum distribusi X

Mari kita pilih bilangan acak r j dari tabel bilangan acak: 0,10; 0,12; 0,37; 0,09; 0,65; 0,66; 0,99; 0,19; 0,88; 0,59; 0,78

2. Frekuensi penerimaan permintaan pelayanan tunduk pada hukum distribusi eksponensial (), x, parameter l diketahui (selanjutnya l = 1/t - intensitas penerimaan permintaan)

l=0,5 permintaan/jam. Tentukan urutan nilai durasi interval antara penerimaan aplikasi. Jumlah implementasinya adalah 5. Jumlah rj : 0,10; 0,12; 0,37; 0,09; 0,65; 0,99;

PELAJARAN 2

Sistem antrian

Sistem di mana, di satu sisi, terdapat permintaan besar-besaran untuk kinerja jenis layanan apa pun, dan di sisi lain, permintaan ini dipenuhi, disebut sistem antrian. QS apa pun berfungsi untuk memenuhi aliran permintaan.

QS meliputi: sumber kebutuhan, aliran masuk, antrian, perangkat pelayan, aliran permintaan keluar.

SMO dibagi menjadi:

QS dengan kerugian (kegagalan)

Antrian dengan menunggu (panjang antrian tidak terbatas)

QS dengan panjang antrian terbatas

QS dengan waktu tunggu terbatas.

Berdasarkan jumlah saluran atau perangkat layanan, sistem QS dapat berupa saluran tunggal atau multisaluran.

Berdasarkan lokasi sumber persyaratan: terbuka dan tertutup.

Berdasarkan jumlah elemen layanan per kebutuhan: fase tunggal dan multifase.

Salah satu bentuk klasifikasinya adalah klasifikasi D. Kendall - A/B/X/Y/Z

A - menentukan distribusi waktu antar kedatangan;

B - menentukan distribusi waktu layanan;

X - menentukan jumlah saluran layanan;

Y - menentukan kapasitas sistem (panjang antrian);

Z - menentukan urutan layanan.

Jika kapasitas sistem tidak terbatas dan antrian layanan mengikuti prinsip siapa cepat dia dapat, maka bagian Y/Z dihilangkan. Digit pertama (A) menggunakan simbol berikut:

Distribusi M mempunyai hukum eksponensial,

G-tidak adanya asumsi apapun tentang proses pelayanan, atau diidentikkan dengan simbol GI yang berarti proses pelayanan yang berulang,

D- deterministik (waktu pelayanan tetap),

E n - Erlang urutan ke-n,

NM n - urutan ke-n hyper-Erlang.

Digit kedua (B) menggunakan simbol yang sama.

Digit keempat (Y) menunjukkan kapasitas buffer, yaitu. jumlah maksimum tempat dalam antrian.

Digit kelima (Z) menunjukkan metode pemilihan dari antrian dalam sistem tunggu: SP-probabilitas sama, FF-masuk pertama-keluar pertama, LF-masuk terakhir-keluar pertama, prioritas PR.

Untuk tugas:

l adalah jumlah rata-rata lamaran yang diterima per satuan waktu

µ - jumlah rata-rata aplikasi yang dilayani per unit waktu

Faktor beban saluran 1, atau persentase waktu sibuk saluran.

Karakter utama:

1) P reject - probabilitas kegagalan - probabilitas bahwa sistem akan menolak layanan dan persyaratannya hilang. Hal ini terjadi ketika saluran atau semua saluran sibuk (TFoP).

Untuk QS multi-saluran P terbuka =P n, dimana n adalah jumlah saluran layanan.

Untuk QS dengan panjang antrian terbatas P open =P n + l, dimana l adalah panjang antrian yang diperbolehkan.

2) Kapasitas sistem q relatif dan absolut A

q= 1-P buka A=ql

3) Jumlah total kebutuhan dalam sistem

L sys = n - untuk SMO dengan kegagalan, n adalah jumlah saluran yang ditempati oleh layanan.

Untuk QS dengan waktu tunggu dan panjang antrian terbatas

L sys = n+L keren

di mana L cool adalah jumlah rata-rata permintaan yang menunggu layanan dimulai, dll.

Kami akan mempertimbangkan karakteristik lainnya saat kami memecahkan masalah.

Sistem antrian saluran tunggal dan multi saluran. Sistem dengan kegagalan.

Model saluran tunggal paling sederhana dengan aliran masukan probabilistik dan prosedur layanan adalah model yang dicirikan oleh distribusi eksponensial dari durasi interval antara penerimaan kebutuhan dan durasi layanan. Dalam hal ini, kepadatan distribusi durasi interval antara penerimaan permintaan berbentuk

Kepadatan distribusi durasi layanan:

Alur permintaan dan layanannya sederhana. Biarkan sistem bekerja dengan kegagalan. Jenis QS ini dapat digunakan saat memodelkan saluran transmisi di jaringan lokal. Hal ini diperlukan untuk menentukan throughput absolut dan relatif dari sistem. Mari kita bayangkan sistem antrian ini dalam bentuk grafik (Gambar 2), yang memiliki dua keadaan:

S 0 - saluran gratis (menunggu);

S 1 - saluran sibuk (permintaan sedang dilayani).

Gambar 2. Grafik keadaan QS saluran tunggal dengan kegagalan

Mari kita nyatakan probabilitas keadaan: P 0 (t) - probabilitas keadaan “bebas saluran”; P 1 (t) - kemungkinan status "saluran sibuk". Dengan menggunakan grafik keadaan berlabel, kami menyusun sistem persamaan diferensial Kolmogorov untuk probabilitas keadaan:

Sistem persamaan diferensial linier mempunyai penyelesaian dengan memperhatikan kondisi normalisasi P 0 (t) + P 1 (t) = 1. Penyelesaian sistem ini disebut tidak tunak, karena bergantung langsung pada t dan terlihat seperti ini:

P 1 (t) = 1 - P 0 (t) (3.4.3)

Sangat mudah untuk memverifikasi bahwa untuk QS saluran tunggal dengan kegagalan, probabilitas P 0 (t) tidak lebih dari kapasitas relatif sistem q. Memang, P 0 adalah probabilitas bahwa pada waktu t saluran bebas dan permintaan yang tiba pada waktu t akan dilayani, dan oleh karena itu, untuk waktu tertentu t rasio rata-rata jumlah permintaan yang dilayani dengan jumlah permintaan yang diterima juga sama dengan P 0 (t), yaitu q = P 0 (t).

Setelah interval waktu yang lama (at), mode stasioner (stabil) tercapai:

Mengetahui throughput relatif, mudah untuk menemukan throughput absolut. Throughput absolut (A) adalah jumlah rata-rata permintaan yang dapat dilayani oleh sistem antrian per satuan waktu:

Probabilitas penolakan untuk melayani permintaan akan sama dengan probabilitas status “saluran sibuk”:

Nilai P terbuka ini dapat diartikan sebagai rata-rata pangsa lamaran yang belum terlayani di antara yang diajukan.

Dalam sebagian besar kasus, dalam praktiknya, sistem antrian bersifat multisaluran, dan oleh karena itu, model dengan n saluran penyajian (di mana n>1) tidak diragukan lagi merupakan hal yang menarik. Proses antrian yang dijelaskan oleh model ini ditandai dengan intensitas aliran input l, sedangkan klien (aplikasi) tidak lebih dari n yang dapat dilayani secara paralel. Durasi rata-rata melayani satu permintaan adalah 1/m. Aliran masukan dan keluaran adalah Poisson. Mode pengoperasian saluran servis tertentu tidak memengaruhi mode pengoperasian saluran servis lain dalam sistem, dan durasi prosedur servis untuk setiap saluran merupakan variabel acak yang tunduk pada hukum distribusi eksponensial. Tujuan akhir dari penggunaan n saluran layanan yang terhubung secara paralel adalah untuk meningkatkan (dibandingkan dengan sistem saluran tunggal) kecepatan permintaan layanan dengan melayani n klien secara bersamaan. Grafik keadaan sistem antrian multisaluran yang mengalami kegagalan berbentuk seperti pada Gambar 4.

Gambar 4. Grafik keadaan QS multi-saluran dengan kegagalan

S 0 - semua saluran gratis;

S 1 - satu saluran terisi, sisanya gratis;

S k - tepat k saluran terisi, sisanya gratis;

S n - semua n saluran terisi, sisanya gratis.

Persamaan Kolmogorov untuk probabilitas keadaan sistem P 0 , ... , P k , ... P n akan berbentuk sebagai berikut:

Kondisi awal untuk menyelesaikan sistem adalah:

P 0 (0) = 1, P 1 (0) = P 2 (0) = ... = P k (0) = ... = P 1 (0) = 0.

Solusi stasioner sistem mempunyai bentuk:

Rumus untuk menghitung probabilitas P k (3.5.1) disebut rumus Erlang.

Mari kita tentukan karakteristik probabilistik dari fungsi QS multi-saluran dengan kegagalan dalam mode stasioner:

1) kemungkinan kegagalan:

karena permintaan ditolak jika tiba pada saat semua n saluran sedang sibuk. Nilai P terbuka mencirikan kelengkapan pelayanan arus masuk;

2) probabilitas bahwa permintaan akan diterima untuk layanan (juga merupakan kapasitas relatif sistem q) melengkapi P terbuka dengan satu:

3) keluaran absolut

4) rata-rata jumlah saluran yang ditempati oleh layanan () adalah sebagai berikut:

Nilai tersebut mencirikan tingkat pemuatan QS.

Tugasuntuk pelajaran 2

1. Sebuah cabang komunikasi dengan satu saluran menerima aliran pesan paling sederhana dengan intensitas l = 0,08 pesan per detik. Waktu transmisi didistribusikan menurut hukum exp. Pelayanan satu pesan terjadi dengan intensitas µ=0,1. Pesan yang tiba pada saat saluran yang melayani sedang sibuk mentransmisikan pesan yang diterima sebelumnya menerima kegagalan transmisi.

koefisien. Beban saluran relatif (probabilitas hunian saluran)

P menolak kemungkinan kegagalan menerima pesan

Q kapasitas relatif dari cabang ruas

Dan throughput absolut dari cabang komunikasi.

2. Cabang komunikasi memiliki satu saluran dan menerima pesan setiap 10 detik. Waktu layanan untuk satu pesan adalah 5 detik. Waktu transmisi pesan didistribusikan menurut hukum eksponensial. Pesan yang masuk ketika saluran sedang sibuk ditolak layanannya.

Mendefinisikan

Rzan - kemungkinan penggunaan saluran komunikasi (faktor beban relatif)

Q - throughput relatif

A - kapasitas absolut dari cabang komunikasi

4. Cabang internodal jaringan komunikasi sekunder mempunyai n = 4 saluran. Aliran pesan yang datang untuk ditransmisikan melalui saluran cabang komunikasi mempunyai intensitas = 8 pesan per detik. Waktu transmisi rata-rata satu pesan adalah t = 0,1 detik Pesan yang tiba pada saat semua n saluran sibuk menerima kegagalan transmisi di sepanjang cabang komunikasi. Temukan karakteristik SMO:

PELAJARAN 3

Sistem saluran tunggal dengan siaga

Sekarang mari kita pertimbangkan QS saluran tunggal dengan menunggu. Sistem antrian mempunyai satu saluran. Aliran permintaan layanan yang masuk merupakan aliran paling sederhana dengan intensitas. Intensitas aliran layanan adalah sama (yaitu, rata-rata, saluran yang terus-menerus sibuk akan mengeluarkan permintaan layanan). Durasi layanan adalah variabel acak yang tunduk pada hukum distribusi eksponensial. Alur pelayanan merupakan alur peristiwa Poisson yang paling sederhana. Permintaan yang diterima ketika saluran sedang sibuk dimasukkan ke dalam antrian dan menunggu layanan. QS ini adalah yang paling umum dalam pemodelan. Dengan satu atau lain tingkat perkiraan, ini dapat digunakan untuk mensimulasikan hampir semua node jaringan komputer lokal (LAN).

Mari kita asumsikan bahwa tidak peduli berapa banyak permintaan yang masuk ke input sistem pelayanan, sistem ini (antrian + klien sedang dilayani) tidak bisa menampung lebih dari N-persyaratan (permohonan), yaitu pelanggan yang tidak ditahan terpaksa dilayani di tempat lain. Sistem M/M/1/N. Terakhir, permintaan layanan penghasil sumber memiliki kapasitas yang tidak terbatas (sangat besar). Grafik keadaan QS dalam hal ini memiliki bentuk seperti pada Gambar 3

Gambar 3. Grafik keadaan QS saluran tunggal dengan menunggu (skema kematian dan reproduksi)

Status QS mempunyai penafsiran sebagai berikut:

S 0 - “saluran gratis”;

S 1 - “saluran sibuk” (tidak ada antrian);

S 2 - "saluran sibuk" (satu permintaan sedang dalam antrian);

S n - “saluran sibuk” (n -1 aplikasi sedang dalam antrian);

S N - “saluran sibuk” (N - 1 aplikasi sedang dalam antrian).

Proses stasioner pada sistem ini akan digambarkan dengan sistem persamaan aljabar berikut:

dimana p = faktor beban

n - nomor negara bagian.

Solusi sistem persamaan di atas untuk model QS kita berbentuk:

Nilai probabilitas awal untuk QS dengan panjang antrian terbatas

Untuk QS dengan antrian tak terhingga Н =? :

P 0 =1- detik (3.4.7)

Perlu dicatat bahwa pemenuhan kondisi stasioneritas untuk QS tertentu tidak diperlukan, karena jumlah aplikasi yang diterima ke sistem pelayanan dikendalikan dengan memberlakukan pembatasan panjang antrian, yang tidak boleh melebihi (N - 1) , dan bukan dengan rasio antara intensitas aliran masukan, yaitu bukan rasio c = l/m.

Berbeda dengan sistem saluran tunggal, yang dibahas di atas dan dengan antrian tidak terbatas, dalam hal ini ada distribusi stasioner dari jumlah permintaan untuk setiap nilai faktor beban c yang terbatas.

Mari kita tentukan karakteristik QS saluran tunggal dengan waktu tunggu dan panjang antrian terbatas sama dengan (N - 1) (M/M/1/N), serta untuk QS saluran tunggal dengan buffer kapasitas tidak terbatas (M/M/1/?). Untuk QS dengan antrian tak terhingga, kondisi dengan<1, т.е., для того, чтобы в системе не накапливалась бесконечная очередь необходимо, чтобы в среднем запросы в системе обслуживались быстрее, чем они туда поступают.

1) kemungkinan penolakan untuk melayani aplikasi:

Salah satu karakteristik paling penting dari sistem di mana hilangnya permintaan mungkin terjadi adalah probabilitas P kerugian bahwa permintaan sewenang-wenang akan hilang. Dalam hal ini, kemungkinan kehilangan permintaan sewenang-wenang bertepatan dengan kemungkinan bahwa pada waktu yang sewenang-wenang semua tempat tunggu terisi, yaitu. rumus berikut ini valid: Р dari k = Р Н

2) kapasitas sistem relatif:

Untuk SMO dengan unlimitedantrian ke-th q =1, Karena semua permintaan akan dilayani

3) keluaran absolut:

4) rata-rata jumlah aplikasi dalam sistem:

L S dengan antrian tidak terbatas

5) waktu rata-rata aplikasi tetap berada di sistem:

Untuk antrian tanpa batas

6) rata-rata lama tinggal klien (aplikasi) dalam antrian:

Dengan antrian tidak terbatas

7) rata-rata jumlah aplikasi (klien) dalam antrian (panjang antrian):

dengan antrian tidak terbatas

Membandingkan ekspresi rata-rata waktu tunggu di antrian T och dan rumus rata-rata panjang antrian L och, serta rata-rata waktu tinggal permintaan di sistem T S dan rata-rata jumlah permintaan di sistem L S, kita melihat itu

L och =l*T och L s =l* T s

Perhatikan bahwa rumus ini juga berlaku untuk banyak sistem antrian yang lebih umum daripada sistem M/M/1 yang sedang dipertimbangkan dan disebut rumus Little. Arti praktis dari rumus-rumus ini adalah menghilangkan kebutuhan untuk menghitung langsung nilai T och dan T s dengan nilai yang diketahui dari nilai L och dan L s dan sebaliknya.

Tugas saluran tunggal SMOdengan antisipasi, Denganmenunggu danpanjang antrian terbatas

1. Diberikan QS satu baris dengan penyimpanan antrian tidak terbatas. Lamaran diterima setiap t = 14 detik. Waktu transmisi rata-rata satu pesan adalah t=10 detik. Pesan yang tiba pada saat saluran layanan sedang sibuk diterima dalam antrian tanpa meninggalkannya sebelum layanan dimulai.

Tentukan indikator kinerja berikut:

2. Cabang komunikasi internode, yang memiliki satu saluran dan penyimpanan antrian untuk m=3 pesan tertunda (N-1=m), menerima aliran pesan paling sederhana dengan intensitas l=5 pesan. dalam hitungan detik Waktu transmisi pesan didistribusikan menurut hukum eksponensial. Waktu transmisi rata-rata satu pesan adalah 0,1 detik. Pesan yang tiba pada saat saluran layanan sedang sibuk mengirimkan pesan yang diterima sebelumnya dan tidak ada ruang kosong di drive akan ditolak.

P tolak - kemungkinan kegagalan menerima pesan

Sistem L - jumlah rata-rata pesan dalam antrian dan dikirimkan sepanjang cabang komunikasi

T och - waktu rata-rata pesan tetap berada dalam antrian sebelum transmisi dimulai

T syst - total waktu rata-rata pesan tetap berada di sistem, terdiri dari rata-rata waktu tunggu dalam antrian dan rata-rata waktu transmisi

Q - throughput relatif

A - keluaran absolut

3. Cabang ruas jaringan komunikasi sekunder, yang memiliki satu saluran dan penyimpanan antrian untuk m = 4 (N-1=4) pesan tunggu, menerima aliran pesan paling sederhana dengan intensitas = 8 pesan per detik. Waktu transmisi pesan didistribusikan menurut hukum eksponensial. Rata-rata waktu transmisi satu pesan adalah t = 0,1 detik. Pesan yang tiba pada saat saluran layanan sedang sibuk mengirimkan pesan yang diterima sebelumnya dan tidak ada ruang kosong di drive akan ditolak oleh antrian.

P terbuka - kemungkinan kegagalan menerima pesan untuk transmisi melalui saluran komunikasi cabang ruas;

L och - jumlah rata-rata pesan dalam antrian ke cabang komunikasi jaringan sekunder antrian;

Sistem L - jumlah rata-rata pesan dalam antrian dan dikirimkan melalui cabang komunikasi jaringan sekunder;

T och - waktu rata-rata pesan tetap berada dalam antrian sebelum transmisi dimulai;

R zan - kemungkinan saluran komunikasi sibuk (koefisien beban saluran relatif);

Q adalah kapasitas relatif dari cabang internodal;

A adalah kapasitas absolut dari cabang internodal;

4. Cabang komunikasi internode, yang memiliki satu saluran dan penyimpanan antrian untuk m=2 pesan menunggu, menerima aliran pesan paling sederhana dengan intensitas l=4 pesan. dalam hitungan detik Waktu transmisi pesan didistribusikan menurut hukum eksponensial. Waktu transmisi rata-rata satu pesan adalah 0,1 detik. Pesan yang tiba pada saat saluran layanan sedang sibuk mengirimkan pesan yang diterima sebelumnya dan tidak ada ruang kosong di drive akan ditolak.

Tentukan indikator kinerja cabang komunikasi berikut:

P tolak - kemungkinan kegagalan menerima pesan

L och - jumlah rata-rata pesan dalam antrian ke cabang komunikasi

Sistem L - jumlah rata-rata pesan dalam antrian dan dikirimkan sepanjang cabang komunikasi

T och - waktu rata-rata pesan tetap berada dalam antrian sebelum transmisi dimulai

T syst - total waktu rata-rata pesan tetap berada di sistem, terdiri dari rata-rata waktu tunggu dalam antrian dan rata-rata waktu transmisi

Rzan - kemungkinan penggunaan saluran komunikasi (koefisien beban saluran relatif c)

Q - throughput relatif

A - keluaran absolut

5. Cabang ruas jaringan komunikasi sekunder, yang memiliki satu saluran dan antrian penyimpanan pesan tunggu dengan volume tak terbatas, menerima aliran pesan paling sederhana dengan intensitas l = 0,06 pesan per detik. Rata-rata waktu transmisi satu pesan adalah t = 10 detik. Pesan yang tiba pada saat saluran komunikasi sedang sibuk diterima dalam antrian dan tidak keluar sampai layanan dimulai.

Tentukan indikator kinerja cabang komunikasi jaringan sekunder berikut:

L och - jumlah rata-rata pesan dalam antrian ke cabang komunikasi;

L syst - jumlah rata-rata pesan dalam antrian dan dikirimkan sepanjang cabang komunikasi;

T och - waktu rata-rata pesan tetap berada dalam antrian;

T syst adalah total waktu rata-rata pesan tetap berada dalam sistem, yang merupakan jumlah rata-rata waktu tunggu dalam antrian dan rata-rata waktu transmisi;

Rzan adalah kemungkinan saluran komunikasi sibuk (faktor beban saluran relatif);

Q - kapasitas relatif cabang internodal;

A - kapasitas absolut dari cabang internodal

6. Diberikan QS satu baris dengan penyimpanan antrian tidak terbatas. Lamaran diterima setiap t = 13 detik. Waktu rata-rata untuk mengirimkan satu pesan

t=10 detik. Pesan yang tiba pada saat saluran layanan sedang sibuk diterima dalam antrian tanpa meninggalkannya sebelum layanan dimulai.

Tentukan indikator kinerja berikut:

L och - jumlah rata-rata pesan dalam antrian

Sistem L - jumlah rata-rata pesan dalam antrian dan dikirimkan sepanjang cabang komunikasi

T och - waktu rata-rata pesan tetap berada dalam antrian sebelum transmisi dimulai

T syst - total waktu rata-rata pesan tetap berada di sistem, terdiri dari rata-rata waktu tunggu dalam antrian dan rata-rata waktu transmisi

Rzan - probabilitas hunian (koefisien beban saluran relatif c)

Q - throughput relatif

A - keluaran absolut

7. Pos diagnostik khusus adalah QS saluran tunggal. Jumlah tempat parkir mobil yang menunggu diagnosa dibatasi dan sama dengan 3 [(N - 1) = 3]. Jika seluruh tempat parkir sudah terisi, yaitu sudah ada tiga mobil yang mengantri, maka mobil berikutnya yang datang untuk diagnosa tidak akan dimasukkan ke dalam antrian untuk diservis. Aliran mobil yang datang untuk diagnosa didistribusikan menurut hukum Poisson dan mempunyai intensitas = 0,85 (mobil per jam). Waktu diagnostik kendaraan didistribusikan menurut hukum eksponensial dan rata-rata 1,05 jam.

Diperlukan untuk menentukan karakteristik probabilistik dari stasiun diagnostik yang beroperasi dalam mode stasioner: P 0 , P 1 , P 2 , P 3 , P 4 , P terbuka, q,A, L och, L sys, T och, T sys

PELAJARAN 4

QS multi-saluran dengan waktu tunggu, dengan waktu tunggu dan panjang antrian terbatas

Mari kita pertimbangkan sistem antrian multisaluran dengan menunggu. Jenis QS ini sering digunakan ketika memodelkan grup terminal pelanggan LAN yang beroperasi dalam mode interaktif. Proses antrian dicirikan sebagai berikut: arus masukan dan keluaran adalah Poisson dengan intensitas dan, masing-masing; tidak lebih dari n klien yang dapat dilayani secara paralel. Sistem memiliki n saluran layanan. Durasi rata-rata layanan untuk satu klien adalah 1/m untuk setiap saluran. Sistem ini juga mengacu pada proses kematian dan reproduksi.

c=l/nm - rasio intensitas aliran masuk dengan total intensitas layanan, adalah faktor beban sistem

(Dengan<1). Существует стационарное распределение числа запросов в рассматриваемой системе. При этом вероятности состояний Р к определяются:

dimana P 0 adalah probabilitas semua saluran bebas dengan antrian tidak terbatas, k adalah jumlah permintaan.

jika kita ambil c = l / m, maka P 0 dapat ditentukan untuk antrian yang tidak terbatas:

Untuk antrian terbatas:

dimana m adalah panjang antrian

Dengan antrian tidak terbatas:

Kapasitas relatif q=1,

Kapasitas absolut A=l,

Jumlah rata-rata saluran yang ditempati Z=A/m

Dengan antrian terbatas

1 Cabang ruas jaringan komunikasi sekunder memiliki n = 4 saluran. Aliran pesan yang datang untuk ditransmisikan melalui saluran cabang komunikasi mempunyai intensitas = 8 pesan per detik. Waktu rata-rata t = 0,1 untuk transmisi satu pesan melalui setiap saluran komunikasi adalah t/n = 0,025 detik. Waktu tunggu pesan dalam antrian tidak terbatas. Temukan karakteristik SMO:

P terbuka - kemungkinan kegagalan transmisi pesan;

Q adalah kapasitas relatif dari cabang komunikasi;

A adalah throughput absolut dari cabang komunikasi;

Z - jumlah rata-rata saluran yang ditempati;

L och - jumlah rata-rata pesan dalam antrian;

T = rata-rata waktu tunggu;

T syst - total waktu rata-rata pesan berada dalam antrian dan transmisi sepanjang cabang komunikasi.

2. Bengkel mekanik pabrik dengan tiga pos (saluran) melakukan perbaikan mekanisasi kecil. Aliran mekanisme rusak yang sampai di bengkel adalah Poisson dan mempunyai intensitas = 2,5 mekanisme per hari, rata-rata waktu perbaikan satu mekanisme terdistribusi menurut hukum eksponensial dan sama dengan = 0,5 hari. Mari kita asumsikan bahwa tidak ada bengkel lain di pabrik tersebut, dan oleh karena itu, antrian mekanisme di depan bengkel dapat bertambah hampir tanpa batas. Diperlukan untuk menghitung nilai batas karakteristik probabilistik sistem berikut:

Probabilitas status sistem;

Rata-rata jumlah permohonan dalam antrian layanan;

Jumlah rata-rata aplikasi dalam sistem;

Durasi rata-rata aplikasi berada dalam antrian;

Durasi rata-rata aplikasi berada di sistem.

3. Cabang internodal dari jaringan komunikasi sekunder memiliki n=3 saluran. Aliran pesan yang datang untuk ditransmisikan melalui saluran cabang komunikasi mempunyai intensitas l = 5 pesan per detik. Waktu transmisi rata-rata satu pesan adalah t=0,1, t/n=0,033 detik. Penyimpanan antrian pesan yang menunggu transmisi dapat berisi hingga m= 2 pesan. Sebuah pesan yang tiba pada saat semua tempat dalam antrian terisi menerima kegagalan transmisi di sepanjang cabang komunikasi. Temukan karakteristik QS: P terbuka - kemungkinan kegagalan transmisi pesan, Q - throughput relatif, A - throughput absolut, Z - jumlah rata-rata saluran yang ditempati, L och - jumlah rata-rata pesan dalam antrian, T jadi - rata-rata menunggu waktu, sistem T - total waktu rata-rata pesan tetap berada dalam antrian dan ditransmisikan melalui cabang komunikasi.

PELAJARAN 5

QS tertutup

Mari kita perhatikan model pelayanan armada mesin, yang merupakan model sistem antrian tertutup. Sampai saat ini, kami hanya mempertimbangkan sistem antrian yang intensitas aliran permintaan masuknya tidak bergantung pada keadaan sistem. Dalam hal ini, sumber permintaan berada di luar QS dan menghasilkan aliran permintaan yang tidak terbatas. Mari kita pertimbangkan sistem antrian yang bergantung pada keadaan sistem, dan sumber persyaratannya bersifat internal dan menghasilkan aliran permintaan yang terbatas. Misalnya, sebuah tempat parkir mesin yang terdiri dari N mesin dilayani oleh tim mekanik R (N > R), dan setiap mesin hanya dapat dilayani oleh satu mekanik. Di sini, mesin adalah sumber kebutuhan (permintaan layanan), dan mekanik adalah saluran layanan. Mesin yang rusak, setelah diservis, digunakan untuk tujuan yang dimaksudkan dan menjadi sumber potensial kebutuhan servis. Tentunya intensitasnya bergantung pada berapa banyak mesin yang sedang beroperasi (N - k) dan berapa banyak mesin yang sedang diservis atau mengantri menunggu servis (k). Dalam model yang dipertimbangkan, kapasitas sumber kebutuhan harus dianggap terbatas. Aliran permintaan yang masuk berasal dari sejumlah mesin yang beroperasi (N – k), yang pada waktu acak mengalami kerusakan dan memerlukan perawatan. Apalagi setiap mesin dari (N - k) sedang beroperasi. Menghasilkan persyaratan aliran Poisson dengan intensitas X terlepas dari objek lain, total (total) aliran masuk memiliki intensitas. Permintaan yang masuk ke sistem ketika setidaknya satu saluran kosong akan segera diproses. Jika suatu permintaan menemukan semua saluran sibuk melayani permintaan lainnya, maka permintaan tersebut tidak meninggalkan sistem, tetapi masuk ke dalam antrian dan menunggu hingga salah satu saluran menjadi bebas. Jadi, dalam sistem antrian tertutup, terbentuk aliran kebutuhan yang masuk dari aliran keluar. Keadaan sistem S k ditandai dengan jumlah total permintaan yang dilayani dan dalam antrian sama dengan k. Untuk sistem tertutup yang ditinjau, jelas k = 0, 1, 2, ... , N. Apalagi jika sistem dalam keadaan S k, maka jumlah benda yang beroperasi adalah (N - k) . Jika adalah intensitas aliran permintaan per mesin, maka:

Sistem persamaan aljabar yang menggambarkan pengoperasian QS loop tertutup dalam mode stasioner adalah sebagai berikut:

Memecahkan sistem ini, kami menemukan probabilitas keadaan ke-k:

Nilai P 0 ditentukan dari kondisi normalisasi hasil yang diperoleh dengan menggunakan rumus P k , k = 0, 1, 2, ... , N. Mari kita tentukan ciri-ciri probabilistik sistem berikut:

Jumlah rata-rata permintaan dalam antrian layanan:

Rata-rata jumlah permintaan dalam sistem (melayani dan mengantri)

rata-rata jumlah mekanik (saluran) yang “idle” karena kurangnya pekerjaan

Rasio idle dari objek yang dilayani (mesin) dalam antrian

Tingkat pemanfaatan fasilitas (mesin)

Rasio waktu henti saluran layanan (mekanik)

Rata-rata waktu tunggu pelayanan (waktu tunggu pelayanan dalam antrian)

Masalah QS tertutup

1. Biarkan dua insinyur dengan produktivitas yang sama dialokasikan untuk melayani sepuluh komputer pribadi (PC). Aliran kegagalan (malfungsi) suatu komputer adalah Poisson dengan intensitas = 0,2. Waktu perawatan PC mematuhi hukum eksponensial. Rata-rata waktu servis satu PC oleh satu teknisi adalah: = 1,25 jam. Opsi organisasi layanan berikut dimungkinkan:

Kedua teknisi tersebut memperbaiki kesepuluh komputer, jadi jika sebuah PC rusak, maka akan dilayani oleh salah satu teknisi bebas, dalam hal ini R = 2, N = 10;

Masing-masing dari dua insinyur tersebut memelihara lima PC yang ditugaskan kepadanya. Dalam hal ini R = 1, N = 5.

Penting untuk memilih opsi terbaik untuk mengatur pemeliharaan PC.

Semua probabilitas keadaan P k: P 1 - P 10 perlu ditentukan, dengan memperhatikan bahwa dengan menggunakan hasil penghitungan P k, kita menghitung P 0

PELAJARAN 6

Perhitungan lalu lintas.

Teori teletraffic merupakan salah satu bagian dari teori antrian. Landasan teori teletraffic diletakkan oleh ilmuwan Denmark A.K. Erlang. Karya-karyanya diterbitkan pada tahun 1909-1928. Mari kita berikan definisi penting yang digunakan dalam teori teletraffic (TT). Istilah “lalu lintas” sama dengan istilah “beban telepon”. Hal ini mengacu pada beban yang diciptakan oleh aliran panggilan, permintaan, dan pesan yang tiba di input QS. Volume lalu lintas adalah jumlah total interval waktu integral yang terlewatkan oleh sumber daya tertentu selama sumber daya ini digunakan selama periode waktu yang dianalisis. Sebuah unit kerja dapat dianggap sebagai pekerjaan kedua dari suatu sumber daya. Terkadang Anda dapat membaca tentang satu jam kerja, dan terkadang hanya beberapa detik atau jam. Namun rekomendasi ITU memberikan dimensi volume lalu lintas dalam erlango-jam. Untuk memahami arti dari satuan pengukuran tersebut, kita perlu mempertimbangkan parameter lalu lintas lainnya - intensitas lalu lintas. Dalam hal ini, mereka sering berbicara tentang intensitas rata-rata lalu lintas (beban) pada kumpulan (kumpulan) sumber daya tertentu. Jika pada setiap momen waktu t dari interval tertentu (t 1,t 2) jumlah sumber daya dari suatu himpunan tertentu yang digunakan untuk melayani lalu lintas sama dengan A(t), maka intensitas lalu lintas rata-rata adalah

Nilai intensitas lalu lintas dicirikan sebagai rata-rata jumlah sumber daya yang digunakan untuk melayani lalu lintas pada selang waktu tertentu. Satuan pengukuran intensitas beban adalah satu Erlang (1 Erl, 1 E), yaitu. 1 Erlang adalah intensitas lalu lintas yang memerlukan pemanfaatan penuh satu sumber daya, atau, dengan kata lain, sumber daya tersebut melakukan pekerjaan senilai satu detik pendudukan dalam satu detik. Dalam literatur Amerika, terkadang Anda dapat menemukan satuan pengukuran lain yang disebut CCS-Centrum (atau seratus) Panggilan Kedua. Nomor CCS mencerminkan waktu penggunaan server dalam interval 100 detik per jam. Intensitas yang diukur dalam CCS dapat dikonversi ke Erlang menggunakan rumus 36CCS=1 Erl.

Lalu lintas yang dihasilkan oleh satu sumber dan dinyatakan dalam jam-pekerjaan sama dengan produk dari jumlah upaya panggilan c selama interval waktu tertentu T dan durasi rata-rata satu upaya t: y = c t (h-z). Lalu lintas dapat dihitung dengan tiga cara berbeda:

1) misalkan jumlah panggilan c per jam adalah 1800, dan rata-rata durasi sesi t = 3 menit, maka Y = 1800 panggilan. /H. 0,05 jam = 90 Earl;

2) misalkan durasi t i dari semua n pekerjaan keluaran suatu kumpulan tertentu ditetapkan selama waktu T, maka lalu lintas ditentukan sebagai berikut:

3) biarkan jumlah keluaran yang ditempati secara bersamaan dari berkas tertentu dipantau pada interval yang sama selama waktu T; berdasarkan hasil pengamatan, fungsi langkah waktu x(t) dibangun (Gambar 8).

Gambar 8. Contoh keluaran sinar yang ditempati secara bersamaan

Lalu lintas selama waktu T dapat diperkirakan sebagai nilai rata-rata x(t) selama waktu tersebut:

di mana n adalah jumlah sampel dari keluaran yang ditempati secara bersamaan. Nilai Y adalah jumlah rata-rata keluaran sinar yang ditempati secara bersamaan selama waktu T.

Fluktuasi lalu lintas. Lalu lintas pada jaringan telepon sekunder berfluktuasi secara signifikan dari waktu ke waktu. Pada hari kerja, kurva lalu lintas mempunyai dua atau bahkan tiga puncak (Gambar 9).

Gambar 9. Fluktuasi lalu lintas pada siang hari

Jam dalam sehari di mana lalu lintas yang diamati dalam jangka waktu paling signifikan disebut jam tersibuk (BHH). Pengetahuan tentang lalu lintas di CNN pada dasarnya penting, karena menentukan jumlah saluran (jalur), volume peralatan stasiun dan node. Lalu lintas pada hari yang sama dalam seminggu memiliki variasi musiman. Jika hari dalam seminggu merupakan hari sebelum hari libur, maka NNN hari tersebut lebih tinggi dibandingkan hari setelah hari libur. Ketika jumlah layanan yang didukung oleh jaringan meningkat, lalu lintas juga meningkat. Oleh karena itu, sulit untuk memprediksi dengan pasti terjadinya puncak lalu lintas. Lalu lintas dipantau secara ketat oleh administrasi jaringan dan organisasi desain. Aturan pengukuran lalu lintas dikembangkan oleh ITU-T dan digunakan oleh administrasi jaringan nasional untuk memenuhi persyaratan kualitas layanan bagi pelanggan jaringan mereka dan pelanggan jaringan lain yang terhubung dengannya. Teori teletraffic dapat digunakan untuk perhitungan praktis kerugian atau volume peralatan stasiun (node) hanya jika lalu lintasnya stasioner (stabil secara statistik). Kondisi ini kira-kira dipenuhi oleh lalu lintas di CHNN. Besarnya beban yang masuk ke sentral telepon otomatis per hari mempengaruhi pencegahan dan perbaikan peralatan. Ketidakrataan beban yang masuk ke stasiun pada siang hari ditentukan oleh koefisien konsentrasi

Definisi NNN yang lebih ketat dibuat sebagai berikut. Rekomendasi ITU E.500 memerlukan analisis data intensitas selama 12 bulan, memilih 30 hari tersibuk, menemukan jam tersibuk pada hari-hari tersebut, dan merata-ratakan pengukuran intensitas selama interval tersebut. Perhitungan intensitas lalu lintas (beban) ini disebut perkiraan normal intensitas lalu lintas di CHN atau tingkat A. Perkiraan yang lebih ketat dapat dirata-ratakan selama 5 hari tersibuk dalam periode 30 hari yang dipilih. Nilai ini disebut nilai peningkatan atau nilai pada level B.

Proses menciptakan lalu lintas. Seperti yang diketahui setiap pengguna jaringan telepon, tidak semua upaya untuk membuat sambungan dengan pelanggan yang dipanggil berhasil. Terkadang Anda harus melakukan beberapa upaya yang gagal sebelum koneksi yang diinginkan dapat dibuat.

Gambar 10. Diagram kejadian saat menjalin koneksi antar pelanggan

Mari kita pertimbangkan peristiwa yang mungkin terjadi saat mensimulasikan pembentukan koneksi antara pelanggan A dan B (Gambar 10). Statistik panggilan di jaringan telepon adalah sebagai berikut: pangsa percakapan selesai 70-50%, pangsa panggilan gagal 30-50%. Setiap upaya yang dilakukan pelanggan memerlukan masukan QS. Dengan upaya yang berhasil (saat percakapan telah terjadi), waktu penggunaan perangkat switching yang membuat koneksi antara input dan output lebih lama dibandingkan dengan upaya yang gagal. Pelanggan dapat menghentikan upaya untuk membuat sambungan kapan saja. Percobaan ulang mungkin disebabkan oleh alasan berikut:

Nomor yang dihubungi salah;

Asumsi kesalahan dalam jaringan;

Tingkat urgensi pembicaraan;

Upaya sebelumnya gagal;

Mengetahui kebiasaan pelanggan B;

Keraguan tentang menghubungi nomor tersebut dengan benar.

Percobaan ulang dapat dilakukan tergantung pada keadaan berikut:

Tingkat urgensi;

Penilaian alasan kegagalan;

Menilai kelayakan upaya berulang,

Perkiraan interval yang dapat diterima antar upaya.

Kegagalan untuk mencoba kembali mungkin disebabkan oleh rendahnya urgensi. Ada beberapa jenis lalu lintas yang dihasilkan oleh panggilan: masuk (diusulkan) Y n dan tidak terjawab Y n. Lalu lintas Y n mencakup semua upaya yang berhasil dan gagal, lalu lintas Y n, yang merupakan bagian dari Y n, mencakup upaya yang berhasil dan beberapa upaya yang gagal:

Y pr = Y r + Y np,

di mana Y p adalah lalu lintas percakapan (berguna), dan Y np adalah lalu lintas yang dihasilkan oleh upaya yang gagal. Persamaan Y p = Y p hanya mungkin terjadi dalam kasus ideal jika tidak ada kerugian, kesalahan pelanggan yang menelepon, dan tidak ada tanggapan dari pelanggan yang dipanggil.

Selisih antara beban masuk dan beban yang ditransmisikan dalam jangka waktu tertentu akan menjadi beban yang hilang.

Perkiraan lalu lintas. Keterbatasan sumber daya menyebabkan perlunya perluasan stasiun dan jaringan secara bertahap. Administrasi jaringan memperkirakan peningkatan lalu lintas selama fase pengembangan, dengan mempertimbangkan bahwa:

Pendapatan ditentukan oleh bagian lalu lintas yang ditransmisikan Y p, - biaya ditentukan oleh kualitas layanan dengan lalu lintas tertinggi;

Sebagian besar kerugian (kualitas rendah) terjadi dalam kasus yang jarang terjadi dan umum terjadi pada akhir periode pengembangan;

Volume lalu lintas terjawab terbesar terjadi selama periode ketika praktis tidak ada kerugian - jika kerugian kurang dari 10%, maka pelanggan tidak menanggapinya. Ketika merencanakan pengembangan stasiun dan jaringan, perancang harus menjawab pertanyaan tentang apa saja persyaratan kualitas pelayanan (kerugian). Untuk melakukan hal ini, perlu untuk mengukur kerugian lalu lintas sesuai dengan aturan yang berlaku di negara tersebut.

Contoh pengukuran lalu lintas.

Pertama, mari kita lihat bagaimana Anda dapat menampilkan pengoperasian QS yang memiliki beberapa sumber daya yang secara bersamaan melayani sejumlah lalu lintas. Kami akan membahas lebih lanjut tentang sumber daya seperti server yang melayani aliran aplikasi atau persyaratan. Salah satu cara yang paling visual dan sering digunakan untuk menggambarkan proses pelayanan permintaan oleh kumpulan server adalah diagram Gantt. Diagram ini adalah sistem koordinat persegi panjang dengan sumbu x yang menggambarkan waktu dan sumbu y yang menandai titik-titik diskrit yang sesuai dengan server kumpulan. Gambar 11 menunjukkan diagram Gantt untuk sistem tiga server.

Dalam tiga interval waktu pertama (kami menghitungnya sebagai satu detik), server pertama dan ketiga sibuk, dua detik berikutnya - hanya yang ketiga, lalu yang kedua berfungsi selama satu detik, lalu yang kedua dan yang pertama selama dua detik , dan dua detik terakhir - hanya yang pertama.

Diagram yang dibangun memungkinkan Anda menghitung volume lalu lintas dan intensitasnya. Diagram hanya mencerminkan lalu lintas yang dilayani atau dilewati, karena tidak menjelaskan apa pun tentang apakah permintaan masuk ke sistem yang tidak dapat dilayani oleh server.

Volume lalu lintas yang dilewati dihitung sebagai total panjang semua segmen diagram Gantt. Volume dalam 10 detik:

Kami mengasosiasikan dengan setiap interval waktu, yang diplot pada absis, bilangan bulat yang sama dengan jumlah server yang ditempati dalam interval unit ini. Nilai A(t) ini adalah intensitas sesaat. Sebagai contoh kita

SEBUAH(t)= (2, 2, 2, 1, 1, 1, 2, 2, 1, 1)

Sekarang mari kita cari intensitas lalu lintas rata-rata selama periode 10 detik

Dengan demikian, rata-rata intensitas lalu lintas yang melewati sistem tiga server yang dipertimbangkan adalah 1,5 Erl.

Parameter beban dasar

Komunikasi telepon digunakan oleh berbagai kategori pelanggan, yang dicirikan oleh:

jumlah sumber beban - N,

jumlah rata-rata panggilan dari satu sumber selama waktu tertentu (biasanya NNN) - c,

durasi rata-rata satu sesi sistem switching saat melayani satu panggilan adalah t.

Intensitas beban akan menjadi

Mari kenali berbagai sumber panggilan. Misalnya,

Jumlah rata-rata panggilan ke CHN dari satu telepon kantor;

Jumlah rata-rata panggilan dari satu telepon apartemen; teletraffik layanan massal peristiwa acak

dengan hitungan - sama dari peralatan untuk penggunaan kolektif;

dengan ma - sama dari satu mesin koin;

dengan sl - sama dari satu jalur penghubung.

Maka rata-rata jumlah panggilan dari satu sumber:

Ada perkiraan data untuk jumlah rata-rata panggilan dari satu sumber dari kategori yang sesuai:

3.5 - 5, =0.5 - 1, dengan hitungan = 1.5 - 2, dengan ma =15 - 30, dengan sl =10 - 30.

Ada beberapa jenis sambungan berikut, yang, bergantung pada hasil sambungan, menimbulkan beban telepon yang berbeda di stasiun:

k р - koefisien yang menunjukkan proporsi koneksi yang berakhir dengan percakapan;

k з - koneksi yang tidak berakhir dengan percakapan karena kesibukan pelanggan yang dipanggil;

k tapi - koefisien yang menyatakan proporsi koneksi yang tidak berakhir dalam percakapan karena tidak adanya respons dari pelanggan yang dipanggil;

k osh - koneksi yang tidak berakhir dalam percakapan karena kesalahan penelepon;

k itu - panggilan yang tidak berakhir dengan percakapan karena alasan teknis.

Selama operasi jaringan normal, nilai koefisien ini sama dengan:

k p =0,60-0,75; k z =0,12-0,15; k tapi =0,08-0,12; k osh =0,02-0,05; k itu =0,005-0,01.

Durasi rata-rata suatu sesi bergantung pada jenis koneksi. Misalnya, jika koneksi diakhiri dengan percakapan, durasi rata-rata status penggunaan perangkat akan sama dengan

dimana durasi pembuatan sambungan;

t komp. - percakapan yang terjadi;

t in - durasi pengiriman panggilan ke telepon pelanggan yang dipanggil;

t r - durasi percakapan

dimana t co adalah sinyal jawaban stasiun;

1.5n - waktu untuk memanggil nomor pelanggan yang dipanggil (n - jumlah karakter dalam nomor tersebut);

t s adalah waktu yang diperlukan untuk membuat koneksi dengan mekanisme peralihan dan memutuskan koneksi setelah percakapan berakhir. Perkiraan nilai besaran yang dipertimbangkan:

t co = 3 detik, t c = 1-2,5 detik, t b = 8-10 detik, t p = 90-130 detik.

Panggilan yang tidak berakhir dengan percakapan juga membuat beban telepon.

Waktu rata-rata untuk menggunakan perangkat saat pelanggan yang dipanggil sedang sibuk adalah

di mana t koneksi instalasi ditentukan oleh (4.2.3)

t зз - waktu mendengar bel sibuk, t зз =6 detik.

Durasi rata-rata penggunaan perangkat ketika pelanggan yang dipanggil tidak menjawab adalah

dimana t pv - waktu mendengarkan sinyal ringback, t pv = 20 detik.

Jika tidak ada percakapan karena kesalahan pelanggan, maka rata-rata t osh = 30 detik.

Durasi kelas yang tidak diakhiri dengan percakapan karena alasan teknis tidak ditentukan, karena persentase kelas tersebut kecil.

Dari penjelasan di atas dapat disimpulkan bahwa total beban yang diciptakan oleh sekelompok sumber di belakang CNN sama dengan jumlah beban dari masing-masing jenis aktivitas.

dimana adalah koefisien yang memperhitungkan suku-suku sebagai bagian

Pada jaringan telepon dengan penomoran tujuh digit telah dirancang sentral telepon otomatis yang komposisi struktur pelanggannya adalah sebagai berikut:

N rekening = 4000, N ind = 1000, N hitung = 2000, N ma = 400, N sl = 400.

Jumlah rata-rata panggilan yang diterima dari satu sumber di CHNN adalah sama dengan

Dengan menggunakan rumus (4.2.3) dan (4.2.6) kita mencari bebannya

1.10.62826767 detik = 785.2 hz.

Rata-rata durasi pelajaran t dari rumus Y=Nct

t= Y/Nc= 2826767/7800*3,8=95,4 detik.

Memuat tugas

1. Pada jaringan telepon dengan penomoran tujuh digit dirancang sentral telepon otomatis yang susunan pelanggannya adalah sebagai berikut:

N uchr =5000, Nind=1500, N hitung =3000, N ma =500, N sl =500.

Tentukan beban yang tiba di stasiun - Y, rata-rata lama pekerjaan t, jika diketahui

dengan ind =4, dengan ind =1, dengan hitungan =2, dengan ma =10, dengan sl =12, t r =120 detik, t dalam =10 detik, k r =0,6, t s =1 detik, =1,1 .

Diposting di Allbest.ru

Dokumen serupa

Konsep variabel acak yang terdistribusi seragam. Metode kongruen perkalian. Pemodelan variabel acak kontinu dan distribusi diskrit. Algoritma untuk simulasi hubungan ekonomi antara pemberi pinjaman dan peminjam.

tugas kursus, ditambahkan 01/03/2011


Konsep umum teori antrian. Fitur pemodelan sistem antrian. Nyatakan grafik sistem QS, persamaan yang menjelaskannya. Ciri-ciri umum jenis model. Analisis sistem antrian supermarket.

tugas kursus, ditambahkan 17/11/2009


Elemen teori antrian. Pemodelan matematika sistem antrian, klasifikasinya. Pemodelan simulasi sistem antrian. Penerapan teori secara praktis, pemecahan masalah dengan menggunakan metode matematika.

tugas kursus, ditambahkan 05/04/2011


Konsep proses acak. Masalah teori antrian. Klasifikasi sistem antrian (QS). Model matematika probabilistik. Pengaruh faktor acak terhadap perilaku suatu benda. QS saluran tunggal dan multi saluran dengan menunggu.

tugas kursus, ditambahkan 25/09/2014


Kajian aspek teoritis pembangunan dan pengoperasian sistem antrian yang efektif, elemen utamanya, klasifikasi, karakteristik dan efisiensi operasional. Pemodelan sistem antrian dengan menggunakan bahasa GPSS.

tugas kursus, ditambahkan 24/09/2010


Pengembangan teori pemrograman dinamis, perencanaan jaringan dan manajemen produksi produk. Komponen teori permainan dalam masalah pemodelan proses ekonomi. Unsur penerapan praktis teori antrian.

kerja praktek, ditambahkan 01/08/2011


Konsep dasar tentang kejadian acak, besaran dan fungsi. Karakteristik numerik dari variabel acak. Jenis asimetri distribusi. Penilaian statistik terhadap distribusi variabel acak. Memecahkan masalah identifikasi struktural-parametrik.

tugas kursus, ditambahkan 03/06/2012


Memodelkan proses antrian. Berbagai jenis saluran antrian. Solusi model antrian saluran tunggal yang mengalami kegagalan. Kepadatan distribusi durasi layanan. Penentuan throughput absolut.

tes, ditambahkan 15/03/2016


Ciri-ciri fungsional sistem antrian di bidang angkutan jalan, struktur dan unsur-unsur pokoknya. Indikator kuantitatif kualitas berfungsinya sistem antrian, ketertiban dan tahapan utama penentuannya.

pekerjaan laboratorium, ditambahkan 03/11/2011


Menetapkan tujuan pemodelan. Identifikasi benda nyata. Memilih jenis model dan skema matematika. Konstruksi model stokastik kontinu. Konsep dasar teori antrian. Definisi alur peristiwa. Menyiapkan algoritma.

Biarkan diperlukan untuk memainkan variabel acak kontinu X, mis. memperoleh barisan nilai yang mungkin (i=1, 2, ..., n), mengetahui fungsi distribusi F(x).

Dalil. Jika adalah bilangan acak, maka nilai yang mungkin dari variabel acak kontinu X yang dimainkan dengan fungsi distribusi tertentu F (x), sesuai dengan , adalah akar persamaan.

Aturan 1. Untuk menemukan nilai yang mungkin, variabel acak kontinu X, mengetahui fungsi distribusinya F (x), Anda perlu memilih bilangan acak, menyamakan fungsi distribusinya, dan menyelesaikan persamaan yang dihasilkan.

Catatan 1. Jika persamaan ini tidak dapat diselesaikan secara eksplisit, maka gunakan metode grafis atau numerik.

Contoh 1. Mainkan 3 kemungkinan nilai dari variabel acak kontinu X, yang terdistribusi merata pada interval (2, 10).

Penyelesaian: Mari kita tuliskan fungsi distribusi dari nilai X yang terdistribusi merata pada interval (a, b): .

Sesuai dengan kondisi, a=2, b=10, maka, .

Dengan menggunakan aturan 1, kita akan menulis persamaan untuk mencari nilai yang mungkin, yang mana kita menyamakan fungsi distribusi dengan bilangan acak:

Dari sini .

Mari kita pilih 3 angka acak, misalnya, . . . Mari kita substitusikan angka-angka ini ke dalam persamaan yang diselesaikan terhadap ; Hasilnya, kami memperoleh kemungkinan nilai X yang sesuai: ; ; .

Contoh 2. Variabel acak kontinu X terdistribusi menurut hukum eksponensial yang ditentukan oleh fungsi distribusi (parameternya diketahui) (x > 0). Kita perlu menemukan rumus eksplisit untuk memainkan kemungkinan nilai X.

Solusi: Dengan menggunakan aturan, kita menulis persamaannya.

Mari selesaikan persamaan ini untuk: , atau .

Nomor acak terdapat pada interval (0, 1); oleh karena itu, bilangan tersebut juga acak dan termasuk dalam interval (0,1). Dengan kata lain nilai R dan 1-R terdistribusi secara merata. Oleh karena itu, untuk mencarinya, Anda bisa menggunakan rumus yang lebih sederhana.

Catatan 2. Diketahui bahwa.

Secara khusus, .

Oleh karena itu, jika kepadatan probabilitas diketahui, maka untuk memainkan X, alih-alih persamaan, seseorang dapat menyelesaikan persamaan tersebut.

Aturan 2. Untuk mencari nilai yang mungkin dari suatu variabel acak kontinu X, dengan mengetahui kepadatan probabilitasnya, perlu untuk memilih suatu bilangan acak dan menyelesaikannya persamaan atau persamaan , di mana a adalah nilai akhir terkecil yang mungkin dari X.

Contoh 3. Kepadatan probabilitas suatu variabel acak kontinu X dalam interval diberikan; di luar interval ini. Kita perlu menemukan rumus eksplisit untuk memainkan kemungkinan nilai X.

Solusi: Mari kita tulis persamaannya sesuai dengan aturan 2.

Setelah melakukan integrasi dan menyelesaikan persamaan kuadrat yang dihasilkan , kami akhirnya akan mendapatkannya.

18.7 Perkiraan permainan variabel acak normal

Pertama-tama mari kita ingat bahwa jika variabel acak R terdistribusi secara merata dalam interval (0, 1), maka ekspektasi matematis dan variansnya masing-masing sama: M(R)=1/2, D(R)=1/12.

Mari kita kompilasi jumlah n variabel acak independen yang terdistribusi seragam dalam interval (0, 1): .

Untuk menormalkan jumlah ini, pertama-tama kita mencari ekspektasi dan varians matematisnya.

Diketahui bahwa ekspektasi matematis dari jumlah variabel acak sama dengan jumlah ekspektasi matematis suku-suku tersebut. Jumlah tersebut mengandung n suku, ekspektasi matematis masing-masing suku, karena M(R) = 1/2, sama dengan 1/2; oleh karena itu, ekspektasi matematis dari jumlah tersebut

Diketahui varians jumlah variabel acak bebas sama dengan jumlah varians suku-sukunya. Jumlah tersebut mengandung n suku bebas, yang variansnya masing-masing, karena D(R) = 1/12, sama dengan 1/12; oleh karena itu, varians dari jumlah tersebut

Oleh karena itu simpangan baku dari jumlah tersebut

Mari kita normalkan jumlah yang dipertimbangkan, yang mana kita kurangi ekspektasi matematisnya dan bagi hasilnya dengan simpangan baku: .

Berdasarkan teorema limit pusat, distribusi variabel acak ternormalisasi ini cenderung normal dengan parameter a = 0 dan . Untuk n berhingga, distribusinya mendekati normal. Khususnya, untuk n=12 kita memperoleh perkiraan yang cukup baik dan mudah untuk perhitungan.

Perkiraannya memuaskan: mendekati nol, sedikit berbeda dari satu.

Daftar sumber yang digunakan

1.Gmurman V.E. Teori Probabilitas dan Statistik Matematika. – M.: Sekolah Tinggi, 2001.

2. Kalinina V.N., Pankin V.F. Statistik matematika. – M.: Sekolah Tinggi, 2001.

3. Gmurman V.E. Panduan untuk memecahkan masalah dalam teori probabilitas dan statistik matematika. – M.: Sekolah Tinggi, 2001.

4. Kochetkov E.S., Smerchinskaya S.O., Sokolov V.V. Teori Probabilitas dan Statistik Matematika. – M.:FORUM:INFRA-M, 2003.

5. Agapov G.I. Buku soal tentang teori probabilitas. – M.: Sekolah Tinggi, 1994.

6. Kolemaev V.A., Kalinina V.N. Teori Probabilitas dan Statistik Matematika. – M.: INFRA-M, 2001.

7. Ventzel E.S. Teori probabilitas. – M.: Sekolah Tinggi, 2001.

Mari kita nyatakan SV yang terdistribusi merata dalam interval (0, 1) dengan R, dan nilai yang mungkin (bilangan acak) dengan r j .

Mari kita bagi intervalnya)