Karena untuk himpunan nilai variabel apa pun dari domain definisi predikat, ia berubah menjadi pernyataan, operasi logika yang sama didefinisikan pada himpunan predikat seperti untuk pernyataan. Pada saat yang sama, isi predikat disarikan. Predikat dianggap hanya dari segi maknanya. Dengan kata lain, predikat yang setara tidak berbeda.

Definisi 1: Dengan penolakan - predikat lokal
, ditentukan di set
, disebut baru - predikat lokal ditentukan pada himpunan yang sama. Ditunjukkan oleh:
. Bunyinya: “itu tidak benar
" Predikat
mengevaluasi ke benar hanya untuk argumen yang nilai predikatnya
ada “kebohongan” dan sebaliknya. Dengan kata lain, predikat
puas dengan argumen tersebut dan hanya argumen yang tidak memenuhi predikat yang diberikan
.

Predikat ganda
mengevaluasi ke true untuk nilai-nilai variabel tersebut dan hanya itu
dari domain definisi predikat, yang predikatnya
mengambil nilai "salah", yaitu..

Definisi 2: Dengan konjungsi - predikat lokal
, ditentukan di set
, Dan
- predikat lokal
, ditentukan di set
, disebut baru
- predikat lokal yang ditentukan pada suatu himpunan
, dilambangkan dengan Bunyinya: "
Dan
" Predikat ini bernilai benar hanya untuk nilai argumen yang predikatnya
Dan
sekaligus mengambil nilai “benar”.

Jika, misalnya,
- predikat dua tempat yang ditentukan pada suatu himpunan
, A
- predikat unary yang ditentukan pada suatu himpunan , lalu konjungsi predikat tersebut
ada predikat tiga tempat yang ditentukan di himpunan
. Predikat baru ini bernilai benar untuk rangkap tiga elemen tersebut
,
,
,
, untuk itu
Dan
.

Disjungsi, implikasi dan kesetaraan predikat didefinisikan dengan cara yang sama. Nilai predikat untuk nilai variabel bebas tertentu ditentukan sesuai dengan operasi logika tertentu. Operasi
juga dapat diterapkan pada predikat yang memiliki variabel yang sama. Dalam hal ini, jumlah variabel predikat majemuk yang dihasilkan akan sama dengan jumlah variabel berbeda dalam anggotanya. Khususnya, jika operasi
berlaku untuk dua - predikat lokal bergantung pada variabel yang sama, kemudian sebagai hasil penerapan operasi logika yang kita peroleh - predikat lokal tergantung pada variabel yang sama.

Membiarkan
Dan
- dua - predikat lokal bergantung pada variabel yang sama. Kemudian:

a) himpunan kebenaran suatu konjungsi sama dengan perpotongan himpunan kebenaran anggota-anggotanya;

b) himpunan kebenaran suatu disjungsi sama dengan gabungan himpunan kebenaran anggota-anggotanya.

Tidak sulit untuk menunjukkan bahwa gabungan dua predikat benar secara identik jika dan hanya jika kedua predikat yang diberikan juga benar secara identik. Disjungsi dua predikat dapat dipenuhi jika dan hanya jika paling sedikit salah satu predikatnya dapat dipenuhi. Disjungsi dua predikat sama salahnya jika dan hanya jika kedua predikat yang diberikan sama salahnya. Implikasi dari dua - predikat lokal yang bergantung pada argumen yang sama, benar secara identik jika dan hanya jika kesimpulannya merupakan konsekuensi dari premis-premis tersebut. Kesetaraan dua - predikat lokal yang bergantung pada variabel yang sama benar secara identik jika dan hanya jika kedua predikatnya setara.

Persamaan (pertidaksamaan) apa pun yang mengandung variabel adalah predikat yang didefinisikan pada himpunan yang sama di mana persamaan (pertidaksamaan) tersebut diberikan. Himpunan penyelesaian suatu persamaan (pertidaksamaan) tidak lain adalah himpunan kebenaran dari predikatnya. Artinya, jika akar persamaan (atau solusi pertidaksamaan) disubstitusikan ke akar persamaan yang tidak diketahui, pernyataan yang benar akan diperoleh. Jika, alih-alih variabel, bilangan yang bukan solusi disubstitusikan ke dalam persamaan (pertidaksamaan), maka akan diperoleh pernyataan yang salah. Setiap sistem persamaan (pertidaksamaan) dapat dianggap sebagai konjungsi predikat. Menyelesaikan suatu sistem berarti menemukan domain kebenaran konjungsi predikat. Himpunan persamaan (pertidaksamaan) tidak lain hanyalah disjungsi predikat. Kesetaraan persamaan (pertidaksamaan) berarti kesetaraan predikat yang bersesuaian.

Jika
, lalu mereka mengatakan itu argumennya
memenuhi predikat ini. Misalnya angka 3 memenuhi predikat
, dan angka 1 tidak memuaskannya.

Dalam logika matematika, selain operasi logika pada predikat, terdapat operasi hitungan , yang membuat logika predikat lebih kaya konten dibandingkan dengan logika proposisional. Dalam hal ini, seperti halnya operasi paling sederhana, predikat dianggap hanya dari sudut pandang maknanya, yaitu. predikat yang setara tidak berbeda. Operasi pembilang utama adalah: pembilang umum dan pembilang keberadaan, yang bersifat ganda satu sama lain.

Definisi 3: Membiarkan
- predikat unary yang ditentukan pada himpunan tak kosong

menjadi sebuah pernyataan:
(baca: “untuk siapa pun dilakukan
"), ditelepon pengukur umum (atau pernyataan universal). Penyataan
benar jika dan hanya jika predikat yang diberikan
identik benar (yaitu, domain kebenaran predikat
bertepatan dengan himpunan
).

Simbol disebut pembilang umum terhadap suatu variabel , bunyinya: “untuk semua orang " atau "untuk semua orang " Mereka mengatakan itu pepatah
adalah hasil penerapan pembilang umum pada suatu predikat
. Simbol berasal dari kata bahasa Inggris “All” (diterjemahkan: “all”).

Misalnya untuk predikat “
" Dan "
", didefinisikan pada himpunan bilangan real, pernyataan universal yang sesuai akan berbentuk:
– “setiap bilangan real sama dengan dirinya sendiri” (benar) dan
– “setiap bilangan real lebih besar dari 2” (salah).

Teorema 1: Jika
- predikat satu tempat yang didefinisikan pada himpunan berhingga yang terdiri dari
elemen ,,…,, maka pernyataan universal yang bersesuaian setara dengan konjungsi
ucapan:

Bukti. Memang menurut definisi bilangan umum, pernyataan

identik benar, yaitu. ketika semuanya benar
pernyataan yang diperoleh dari predikat tertentu dengan mengganti variabel argumen ,,…,masing-masing. Pernyataan terakhir mungkin terjadi jika dan hanya jika gabungan keduanya
pernyataan. Itu. syarat-syarat kesetaraan itu benar atau salah, dan oleh karena itu kesetaraannya terbukti.

Teorema menunjukkan bahwa untuk predikat yang didefinisikan pada himpunan berhingga, operasi penerapan bilangan umum dapat dinyatakan melalui konjungsi. Untuk predikat yang didefinisikan pada himpunan tak hingga, hal ini tidak dapat dilakukan; dalam hal ini, pengoperasian penerapan bilangan umum benar-benar baru.

Definisi 4: Membiarkan
- predikat unary yang ditentukan pada suatu himpunan
. Operasi yang mengubah predikat
menjadi sebuah pernyataan
(baca: “ada , memuaskan predikatnya
"), ditelepon pengukur keberadaan (atau pernyataan eksistensial). Penyataan
akan benar jika dan hanya jika predikatnya
dapat dieksekusi. Pernyataan ini akan salah jika predikatnya
identik salah.

Simbol disebut pembilang eksistensial terhadap suatu variabel . Dapat dibaca: “ada seperti yang
", atau" akan ada seperti itu , Apa
" Simbol berasal dari kata bahasa Inggris “Exist” (ada).

Teorema 2: Jika
– predikat satu tempat yang ditentukan pada himpunan berhingga
elemen ,,…,, maka pernyataan eksistensial yang bersesuaian setara dengan disjungsi
ucapan:

Bukti: Definisi: pernyataan
akan salah jika dan hanya jika semuanya salah
pernyataan yang diperoleh dari predikat tertentu dengan mengganti suatu variabel argumen ,,…,masing-masing. Pernyataan terakhir mungkin terjadi jika dan hanya jika disjungsi keduanya
pernyataan. Itu. syarat-syarat kesetaraan itu benar dan salah, oleh karena itu kesetaraan itu benar.

Teorema ini menyatakan bahwa untuk predikat yang didefinisikan pada himpunan berhingga, operasi penerapan pembilang eksistensial dapat dinyatakan dalam disjungsi. Untuk predikat yang didefinisikan pada himpunan tak hingga, hal ini tidak dapat dilakukan. Operasi penerapan kuantor eksistensial benar-benar baru.

Perlu diingat bahwa untuk predikat apapun
, ditentukan di set
ekspresi
Dan
Ini adalah pernyataan, bukan predikat. Kehadiran variabel di sini murni eksternal, berkaitan dengan metode notasi. Oleh karena itu variabelnya , termasuk dalam ekspresi
Dan
, ditelepon variabel terkait, berbeda dengan variabel yang termasuk dalam predikat
, tempat variabel dipanggil bebas. Jika kita menerapkan operasi pembilang “menggantung” pada predikat dua tempat
oleh suatu variabel, maka predikat dua tempat tersebut akan berubah menjadi predikat satu tempat dengan satu variabel bebas. Alasan serupa juga dapat dilakukan untuk variabel kedua. Variabel di mana pembilang diterapkan disebut hubungan variabel. Jika kita menerapkan operasi pembilang pada - predikat lokal terhadap suatu variabel, maka akan berubah menjadi
- predikat lokal.

Jika pada suatu predikat semua variabelnya saling berkaitan, maka predikat tersebut merupakan pernyataan. Misalnya saja predikatnya
, ditentukan pada beberapa kumpulan nomor. Mari kita membuat pernyataan
. Ini adalah pernyataan salah yang menyatakan bahwa ada nomor tersebut , yang lebih besar dari angka apa pun (- nomor tunggal untuk semua orang ). Dengan menukar bilangan, kita mendapatkan pernyataan baru:
. Pernyataan ini menyatakan bahwa untuk nomor berapa pun Anda dapat memilih nomor seperti ini , bahwa ketimpangan tetap ada
(untuk setiap ada nomor ). Pernyataan ini benar. Terlihat bahwa ketika bilangan disusun ulang, makna pernyataannya berubah. Dengan demikian, menata ulang bilangan yang tidak seperti bilangan adalah operasi yang tidak dapat diterima. Pengukur dengan nama yang sama dapat dipertukarkan. Selain itu, bilangan dengan nama yang sama dapat digabungkan menjadi satu, misalnya: . Juga tidak dapat diterima untuk menggunakan beberapa bilangan untuk variabel yang sama, misalnya:
.

Definisi 5: Dengan pernyataan universal , sesuai - predikat lokal
, ditentukan di set

penerapan yang konsisten pengukur keumuman atas variabel
dalam urutan apa pun.

Pernyataan ini ditunjuk dan dibacakan secara singkat sebagai berikut: “untuk semua orang
dilakukan
».

Definisi 6: Dengan pernyataan eksistensial, relevan - predikat lokal
, ditentukan di set
, adalah pernyataan yang diperoleh dari
penerapan yang konsisten pengukur keberadaan atas variabel
dalam urutan apa pun.

Pernyataan eksistensial yang dihasilkan dilambangkan dan dibaca sebagai berikut: “ada himpunan seperti itu
, yang dilakukan
».

Misalnya untuk predikat dua tempat "
» pernyataan yang bersangkutan berbentuk:
– “untuk dua bilangan real apa pun: bilangan pertama lebih besar dari bilangan kedua” (salah), dan
– “ada dua bilangan real yang bilangan pertama lebih besar dari bilangan kedua” (benar).

Teorema 3: (Kondisi kebenaran identik dari predikat terukur).

‑predikat lokal berasal dari - predikat lokal
, ditentukan di set
, dengan menerapkan pembilang umum terhadap variabel apa pun, benar secara identik jika dan hanya jika predikat yang diberikan
– sama benarnya.

Bukti: Sesungguhnya biarlah diberikan
- predikat lokal
, ditentukan di set
. Menurut definisi, predikat ini akan sama benarnya jika dan hanya jika nilainya untuk nilai arbitrer dari argumennya adalah “benar”. Artinya pernyataan universal itu benar

, ditentukan di set
. Pernyataan terakhir dimungkinkan jika dan hanya jika predikatnya
– sama benarnya, tetapi karena argumen
dipilih secara sewenang-wenang, maka ini setara dengan kebenaran identik yang diberikan - predikat lokal
. Teorema tersebut telah terbukti.

Teorema 4: (Kondisi untuk kepalsuan identik dari predikat terukur).

-predikat lokal berasal dari - predikat lokal
, ditentukan di set
, dengan menerapkan kuantor eksistensial terhadap beberapa variabel, bernilai salah jika dan hanya jika predikat yang diberikan juga salah.

Bukti: Mari kita lakukan
- predikat lokal
, ditentukan di set
. Ini akan menjadi salah jika dan hanya jika nilainya untuk argumen yang diambil secara sewenang-wenang
ada "kebohongan". Artinya pernyataan eksistensial tersebut salah
, sesuai dengan predikat unary
, ditentukan di set
. Yang terakhir ini mungkin jika dan hanya jika predikatnya
sama salahnya, dan sejak itu argumen
dipilih secara acak, lalu ini - predikat lokal
sama salahnya. Q.E.D.

Sejauh ini kita telah membandingkan predikat dengan proposisi. Namun, akan lebih mudah untuk menghitung pernyataan 0 - predikat lokal. Maka setiap dua pernyataan yang benar dan dua pernyataan yang salah harus dianggap setara satu sama lain.

Konsep predikat

Definisi 1

Predikat- pernyataan yang berisi variabel yang mengambil nilai $1$ atau $0$ (benar atau salah) tergantung pada nilai variabelnya.

Contoh 1

Misalnya, ekspresi $x=x^5$ merupakan predikat karena itu benar untuk $x=0$ atau $x=1$ dan salah untuk semua nilai $x$ lainnya.

Definisi 2

Himpunan yang predikatnya hanya menerima nilai sebenarnya disebut himpunan kebenaran dari predikat tersebut$I_p$.

Predikatnya disebut identik benar, jika pada rangkaian argumen mana pun nilainya bernilai benar:

$P (x_1, \titik, x_n)=1$

Predikatnya disebut identik salah, jika pada rangkaian argumen mana pun nilainya salah:

$P (x_1, \titik, x_0)=0$

Predikatnya disebut bisa dilakukan, jika bernilai benar pada setidaknya satu rangkaian argumen.

Karena predikat hanya dapat mengambil dua nilai (benar/salah atau $0/1$), maka semua operasi aljabar logika dapat diterapkan padanya: negasi, konjungsi, disjungsi, dll.

Contoh predikat

Misalkan predikat $R(x, y)$: $“x = y”$ menunjukkan relasi kesetaraan, di mana $x$ dan $y$ termasuk dalam himpunan bilangan bulat. Dalam hal ini, predikat R akan berlaku untuk semua $x$ dan $y$ yang sama.

Contoh predikat lainnya adalah WORKS($x, y, z$) untuk relasi “$x$ bekerja di kota y untuk perusahaan $z$.”

Contoh lain dari predikat adalah LIKE($x, y$) untuk "x suka y" untuk $x$ dan $y$, yang merupakan milik $M$ - himpunan semua orang.

Dengan demikian, predikat adalah segala sesuatu yang ditegaskan atau diingkari mengenai pokok putusan.

Operasi pada predikat

Mari kita pertimbangkan penerapan operasi aljabar logis pada predikat.

Operasi logis:

Definisi 3

Konjungsi dua predikat $A(x)$ dan $B(x)$ adalah predikat yang mempunyai nilai sebenarnya untuk mereka dan hanya nilai $x$ dari $T$ yang masing-masing predikatnya mempunyai nilai sebenarnya dan nilai yang salah setiap saat, dalam semua kasus lainnya. Himpunan kebenaran $T$ suatu predikat adalah perpotongan himpunan kebenaran predikat $A(x)$ dan $B(x)$. Misalnya: predikat $A(x)$: “$x$ bilangan genap”, predikat $B(x)$: “$x$ habis dibagi $5$.” Jadi, predikatnya adalah "$x$ adalah bilangan genap dan habis dibagi $5$" atau "$x$ habis dibagi $10$".

Definisi 4

Disjungsi dua predikat $A(x)$ dan $B(x)$ adalah predikat yang bernilai salah untuk nilai tersebut dan hanya nilai $x$ dari $T$ yang masing-masing predikat bernilai salah dan bernilai benar pada semua kasus lainnya. Himpunan kebenaran suatu predikat adalah gabungan domain kebenaran dari predikat $A(x)$ dan $B(x)$.

Definisi 5

Negasi suatu predikat $A(x)$ adalah predikat yang bernilai benar untuk semua nilai $x$ di $T$ yang $A(x)$ bernilai salah dan sebaliknya. Himpunan kebenaran predikat $A(x)$ merupakan komplemen $T"$ terhadap himpunan $T$ pada himpunan $x$.

Definisi 6

Implikasi predikat $A(x)$ dan $B(x)$ adalah predikat yang salah untuk nilai $x$ tersebut dan hanya untuk $T$ yang $A(x)$ benar dan $B( x )$ salah, dan bernilai benar dalam semua kasus lainnya. Bunyinya: “Jika $A(x)$, maka $B(x)$.”

Contoh 2

Misalkan $A(x)$: “Bilangan asli $x$ habis dibagi $3$”;

$B(x)$: "Bilangan asli $x$ habis dibagi $4$."

Mari kita buat predikat: “Jika bilangan asli $x$ habis dibagi $3$, maka bilangan tersebut juga habis dibagi $4$.”

Himpunan kebenaran suatu predikat merupakan gabungan himpunan kebenaran predikat $B(x)$ dan komplemen himpunan kebenaran predikat $A(x)$.

Selain operasi logika, operasi kuantum dapat dilakukan pada predikat: penggunaan bilangan universal, bilangan keberadaan, dll.

Pengukur

Definisi 7

Pengukur-- operator logika, yang penerapannya pada predikat mengubahnya menjadi pernyataan yang salah atau benar.

Definisi 8

Pembilang-- operasi logis yang membatasi domain kebenaran suatu predikat dan membuat pernyataan.

Kuantifier yang paling umum digunakan adalah:

pembilang universal (dilambangkan dengan simbol $\forall x$) - ekspresi “untuk semua $x$” (“untuk $x$ apa pun”);

pengukur keberadaan (dilambangkan dengan simbol $\exists x$) - ekspresi “ada $x$ sedemikian rupa sehingga...”;

pengukur keunikan dan keberadaan (dilambangkan dengan $\exists !x$) - ekspresi “tepatnya ada satu $x$ sehingga...”.

Dalam logika matematika ada konsep mengikat atau hitungan, yang menunjukkan penetapan pembilang ke suatu rumus.

Contoh penggunaan bilangan

Misalkan predikat “$x$ adalah kelipatan $7$”.

Dengan menggunakan bilangan universal, kita dapat menulis pernyataan salah berikut:

bilangan asli apa pun habis dibagi $7$;

setiap bilangan asli habis dibagi $7$;

semua bilangan asli habis dibagi $7$;

yang akan terlihat seperti:

Gambar 1.

Untuk menulis pernyataan yang benar kita menggunakan pengukur keberadaan:

ada bilangan asli yang habis dibagi $7$;

ada bilangan asli yang habis dibagi $7$;

setidaknya satu bilangan asli habis dibagi $7$.

Entrinya akan terlihat seperti:

Gambar 2.

Misalkan predikat diberikan pada himpunan $x$ bilangan prima: “Bilangan prima ganjil.” Dengan meletakkan kata “apa saja” di depan predikat, kita mendapatkan pernyataan yang salah: “Setiap bilangan prima ganjil” (misalnya, $2$ adalah bilangan prima genap).

Kita letakkan kata “ada” di depan predikat dan diperoleh pernyataan yang benar: “Ada bilangan prima yang ganjil” (misalnya $x=3$).

Dengan demikian, suatu predikat dapat diubah menjadi pernyataan dengan menempatkan bilangan di depan predikat.

Operasi pada bilangan

Untuk membangun negasi pernyataan yang mengandung bilangan, kami menggunakan aturan negasi bilangan:

Gambar 3.

Mari kita perhatikan kalimat-kalimat tersebut dan pilih predikat di antara kalimat-kalimat tersebut, yang menunjukkan wilayah kebenaran masing-masing kalimat tersebut.

1 . Operasi negasi.

Penyangkalan predikat P(x), diberikan di lokasi syuting X, adalah predikat yang didefinisikan pada himpunan yang sama dan berlaku untuk nilai tersebut dan hanya nilai tersebut XX, di bawah predikatnya P(x) mengandung arti kebohongan.

2 . Operasi konjungsi.

Konjungsi predikat P(x) Dan Q(x), ditentukan di set X, disebut predikat P(x)Q(x), diberikan pada himpunan yang sama dan berubah menjadi pernyataan yang benar untuk nilai tersebut dan hanya nilai tersebut XX, yang kedua predikatnya mengambil nilai kebenaran.

Jika kita menunjuk TR P(x), TQ- himpunan kebenaran dari predikat Q(x), dan himpunan kebenaran dari konjungsinya TPÙQ, lalu, rupanya, TPÙQ = dll Ç TQ.

Mari kita buktikan kesetaraan ini.

1. Biarkan A X dan diketahui bahwa AÎ TPÙQ . Menurut definisi himpunan kebenaran, ini berarti predikat P(x)Q(x) berubah menjadi pernyataan benar ketika x = sebuah, yaitu penyataan R(a)T(a) adalah benar. Karena pernyataan ini merupakan konjungsi, maka berdasarkan definisi konjungsi kita memperoleh masing-masing pernyataan tersebut R(a) Dan T(a) juga benar. Artinya ATR Dan ATQ. Jadi, kami telah menunjukkan hal itu TPÙQ Ì TRÇ TQ.

2. Mari kita buktikan pernyataan kebalikannya. Membiarkan A- elemen sembarang dari himpunan X dan diketahui bahwa AÎ TP Ç TQ. Menurut definisi perpotongan himpunan, ini berarti bahwa ATR Dan ATQ, dari mana kita mendapatkannya R(a) Dan T(a)- pernyataan yang benar, oleh karena itu konjungsi pernyataan R(a)T(a) juga akan menjadi kenyataan. Artinya elemen tersebut A termasuk dalam himpunan kebenaran predikat P(x)Q(x), yaitu AÎ TPÙQ .

Dari 1 dan 2, berdasarkan definisi himpunan yang sama, maka persamaan tersebut TPÙQ =TRÇ TQ, itulah yang perlu dibuktikan.

Hal ini secara visual dapat digambarkan sebagai berikut.

3. Operasi disjungsi.

Pemisahan predikat P(x) Dan Q(x) disebut predikat P(x)Q(x X dan berubah menjadi pernyataan yang benar untuk nilai-nilai itu dan hanya nilai-nilai itu XX, yang paling sedikit salah satu predikatnya mempunyai nilai kebenaran P(x) atau Q(x).

Demikian pula terbukti TPÚQ = dll È TQ.

4 .Operasi implikasi.

Implikasinya predikat P(x) Dan Q(x), ditentukan di set X, disebut predikat P(x)Q(x), didefinisikan pada himpunan yang sama X dan berubah menjadi pernyataan yang salah untuk nilai-nilai itu dan hanya itu XX, di mana P(x) mengambil nilai kebenaran, dan Q(x)- arti kebohongan.

5 .Operasi kesetaraan.

Persamaan derajatnya predikat P(x) Dan Q(x), ditentukan di set X, disebut predikat P(x)Q(x), didefinisikan pada himpunan yang sama X dan menerima nilai kebenaran untuk nilai-nilai itu dan hanya nilai-nilai itu XX, yang nilai masing-masing predikatnya benar atau salah. Kebenaran yang ditetapkan dalam kasus ini terlihat seperti ini:

TPÛQ = .

Contoh. Di lokasi syuting M=(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20} predikat yang diberikan: Oh)- "nomor X tidak habis dibagi 5 », B(x) - « X- bilangan genap", C(x) - « X- bilangan tersebut prima", D(x)- "nomor X banyak 3 " Temukan himpunan kebenaran dari predikat berikut:

A) Oh)B(x); B) Kapak); C) C(x)SEBUAH(x); D) B(x)D(x) dan menggambarkannya menggunakan diagram Euler-Venn.

Larutan: a) Temukan himpunan kebenaran dari predikatnya.

A(x): T = (1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 14, 16, 17, 18, 19);

B(x): T = (2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20).

Kumpulan kebenaran dari sebuah konjungsi Oh)B(x) ada kebenaran T Dan T .

Secara informal, predikat dapat diartikan sebagai pernyataan tertentu yang maknanya bergantung pada nilai variabel objektif dari himpunan. M, di mana predikatnya ditentukan.

A) P(x): “X adalah bilangan prima”;

(Di sini dan sepanjang berikut ini, untuk menentukan suatu predikat, kita akan menggunakan bentuk notasi singkat, yang dijelaskan secara rinci sebagai berikut: “ X adalah bilangan prima.")

B) D(x,y) : “X habis dibagi kamu”;

C) R(x,y): “X > kamu”.

Himpunan numerik apa pun dapat dianggap sebagai himpunan subjek untuk contoh-contoh ini, khususnya, dalam contoh a), b) – M= Í , dan di c) – M= Ñ .

Lebih ketat lagi predikat dapat didefinisikan sebagai pemetaan N kekuatan himpunan M, disebut lokalitas atau aritas suatu predikat ke dalam himpunan dua elemen B = {1, 0}

Saat mensubstitusikan ke dalam predikat alih-alih variabel subjek yang ditetapkan nilai kita memperoleh pernyataan logis (jadi, a). Jadi, predikat adalah pernyataan variabel (atau sistem pernyataan), yang kebenarannya ditentukan oleh substitusi berbagai nilai variabel subjek.

Karena predikat mengambil nilai dari himpunan B , maka operasi logis ~ ditentukan untuknya. Selain itu, operasi penegasan universalitas dan penegasan keberadaan diperkenalkan untuk predikat.

Operasi penegasan universalitas memasukkan bentuk ekspresif ke dalam korespondensi P(x) pernyataan (dibaca sebagai, P(x) benar untuk semua orang X dari banyak M, di mana predikatnya ditentukan). Suatu pernyataan benar jika dan hanya jika pernyataan tersebut P(a) berlaku untuk elemen apa pun.

Operasi penegasan eksistensi memasukkan bentuk ekspresif ke dalam korespondensi P(x) pernyataan (dibaca, ada seperti itu X dari banyak M, yang pernyataannya P(x) BENAR). Suatu pernyataan benar jika dan hanya jika pernyataan tersebut P(a) benar untuk setidaknya satu elemen.

Tanda " dan $ disebut bilangan universalitas dan keberadaan (pengukur diterjemahkan dari bahasa Latin - penentuan kuantitas). Transisi dari bentuk ekspresif P(x) ke pernyataan atau disebut melampirkan pembilang atau mengikat variabel X(terkadang dengan kuantifikasi variabel X). Variabel yang mempunyai pembilang disebut terikat, sedangkan variabel yang tidak terikat disebut bebas. Arti variabel terikat dan variabel bebas dalam ekspresi predikat berbeda. Variabel bebas adalah variabel biasa yang dapat mengambil nilai berbeda M, dan ekspresi P(x)– pernyataan variabel tergantung pada artinya X. Ekspresi dan tidak bergantung pada variabel X dan di tetap P Dan M mempunyai arti yang sangat pasti. Variabel yang pada hakikatnya berkaitan tidak hanya terdapat pada logika matematika saja. Misalnya dalam ekspresi atau variabel X terhubung, di tetap F ekspresi pertama sama dengan bilangan tertentu, dan ekspresi kedua adalah fungsi dari A Dan B.

Jadi, pernyataan tersebut tidak berbicara tentang sifat-sifat masing-masing elemen himpunan M, tetapi tentang properti dari himpunan itu sendiri M. Benar atau salahnya pernyataan-pernyataan ini tidak bergantung pada bagaimana variabel subjek yang termasuk di dalamnya ditunjuk, dan dapat diganti dengan variabel subjek lainnya, misalnya kamu, dan memperoleh pernyataan dan , yang mempunyai arti dan nilai kebenaran yang sama dengan pernyataan aslinya.

Secara umum, untuk N Predikat -ary, jika , operasi penegasan universalitas atau keberadaan dapat dilakukan k kali (urutan pemilihan variabel yang pembilangnya ditetapkan bisa apa saja, tidak termasuk pengulangannya) dan dapatkan ekspresi

di mana menunjukkan pengukur universalitas atau keberadaan. Variabel dalam bentuk pernyataan (1) terikat dan bebas.

Hubungan pesanan. Set yang dipesan

Definisi. Sikap R di satu set X disebut relasi keteraturan jika transitif dan asimetris atau antisimetris.

Definisi. Sikap R di satu set X disebut relasi tatanan ketat jika bersifat transitif dan asimetris.

Contoh hubungan tatanan yang ketat: "lebih banyak" pada himpunan bilangan asli, "lebih tinggi" pada himpunan orang, dll.

Definisi. Sikap R di satu set X disebut relasi tatanan tidak ketat jika bersifat transitif dan antisimetris.

Contoh hubungan tatanan tidak ketat: “tidak ada lagi” pada himpunan bilangan real, “menjadi pembagi” pada himpunan bilangan asli, dll.

Definisi. Sekelompok X disebut terurut jika relasi keteraturan ditentukan di dalamnya.

Contoh. Di lokasi syuting X= (1; 2; 3; 4; 5) diberikan dua relasi: “ X £ pada" Dan " X- pembagi pada».

Kedua hubungan ini memiliki sifat refleksivitas, antisimetri dan transitivitas (buat grafik dan periksa sendiri propertinya), yaitu. adalah hubungan tatanan yang tidak ketat. Namun relasi pertama mempunyai sifat keterhubungan, sedangkan relasi kedua tidak.

Definisi. Hubungan pesanan R di satu set X Disebut relasi tatanan linier jika mempunyai sifat keterhubungan.

Di sekolah dasar banyak dipelajari hubungan keteraturan. Sudah di kelas satu ada relasi “kurang”, “lebih” pada himpunan bilangan asli, “lebih pendek”, “lebih panjang” pada himpunan segmen, dll.

Pertanyaan kontrol

1. Mendefinisikan relasi biner pada suatu himpunan X.

2. Cara menulis pernyataan yang unsurnya X Dan pada sedang menjalin hubungan R?

3. Sebutkan cara-cara untuk mendefinisikan hubungan.

4. Merumuskan sifat-sifat yang dapat dimiliki suatu hubungan. Bagaimana sifat-sifat ini tercermin dalam grafik?

5. Sifat-sifat apa yang harus dimiliki suatu relasi agar dapat menjadi relasi ekuivalen?

6. Bagaimana hubungan ekivalensi dengan pembagian suatu himpunan ke dalam kelas-kelas?

7. Sifat-sifat apa yang harus dimiliki suatu relasi agar dapat menjadi relasi keteraturan?

Bab 5. Predikat dan Teorema

Dalam matematika sering kali terdapat kalimat yang mengandung satu atau lebih variabel, misalnya: “ X+ 2 = 7”, “kota ini terletak di Volga”. Kalimat-kalimat ini bukan pernyataan, karena tidak mungkin untuk mengatakan apakah itu benar atau salah. Namun, saat mengganti nilai tertentu untuk suatu variabel X mereka berubah menjadi pernyataan benar atau salah. Jadi, pada contoh pertama dengan X= 5 kita memperoleh pernyataan yang benar, dan kapan X= 3 – pernyataan salah.

Definisi. Kalimat dengan variabel yang jika diberi nilai tertentu dari variabel tersebut berubah menjadi pernyataan disebut bentuk proposisi atau predikat.

Berdasarkan banyaknya variabel yang termasuk dalam predikat dibedakan menjadi tunggal, ganda, dan seterusnya. predikat dan menunjukkan A(X), DI DALAM(x;y)…

Contoh: A(X): « X habis dibagi 2" – predikat satu tempat, DI DALAM(X; pada): "lurus X tegak lurus terhadap garis lurus pada" adalah predikat dua tempat.

Perlu diingat bahwa predikat secara implisit dapat memuat variabel: “bilangan tersebut habis dibagi 2”, “siswa mendapat nilai bagus sekali dalam ujian matematika”.

Menentukan predikat, sebagai suatu peraturan, juga melibatkan penentuan himpunan dari mana nilai variabel yang termasuk dalam predikat dipilih.

Definisi. Himpunan (domain) dari definisi suatu predikat adalah himpunan X, terdiri dari semua nilai variabel, jika disubstitusikan menjadi predikat, predikat berubah menjadi pernyataan.

Jadi, predikat “ X> 2" dapat dianggap pada himpunan bilangan asli atau bilangan real.

Setiap predikat A(X), X Î X mendefinisikan suatu himpunan TÌ X, terdiri dari unsur-unsur yang bila disubstitusikan menjadi predikat A(X) alih-alih X ternyata pernyataan itu benar.

Definisi. Himpunan yang terdiri dari semua nilai yang substitusinya ke dalam predikat menghasilkan pernyataan yang benar, disebut himpunan kebenaran dari predikat (dilambangkan dengan T).

Contoh. Perhatikan predikatnya A(X): « X < 5», заданный на множестве натуральных чисел. T = {1; 2; 3; 4}.

Predikat, seperti pernyataan, dapat bersifat dasar atau majemuk. Predikat majemuk dibentuk dari predikat dasar dengan menggunakan penghubung logis.

Membiarkan TA A(X), televisi– wilayah kebenaran predikat DI DALAM(X).

Definisi. Konjungsi predikat A(X) Dan DI DALAM(X) disebut predikat A(X) Ù DI DALAM(X X Î X, yang kedua predikatnya benar.

Mari kita tunjukkan itu TA Ù DI DALAM = TAÇ televisi.

Bukti. 1) Biarkan A Î TA Ù DI DALAM Þ A(A) Ù DI DALAM(A) adalah pernyataan yang benar. Menurut definisi konjungsi kita mempunyai: A(A) - BENAR, DI DALAM(A) – benar Þ A Î TAÙ A Î televisiÞ A Î TAÇ televisiÞ TA Ù DI DALAM Ì TAÇ televisi

2) Biarkan BÎ TAÇ televisiÞ B Î TAÙ B Î televisiÞ A(B) - BENAR, DI DALAM(B) – benar Þ menurut definisi konjungsi A(B) Ù DI DALAM(B) – pernyataan benar Þ B Î TA Ù DI DALAM Þ TAÇ televisiÌ TA Ù DI DALAM .

Karena TA Ù DI DALAM Ì TAÇ televisi Dan TAÇ televisiÌ TA Ù DI DALAM, maka dengan sifat persamaan himpunan TA Ù DI DALAM = TAÇ televisi, itulah yang perlu dibuktikan.

Perhatikan bahwa aturan yang dihasilkan juga berlaku untuk predikat yang mengandung lebih dari satu variabel.

Contoh. Mari kita lihat predikatnya A(X): « X < 10», DI DALAM(X): « X A(X) Ù DI DALAM(X): « X < 10 и делится на 3».

TA= {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}, televisi= (3; 6; 9; 12; 15; …), maka TA Ù DI DALAM = {3; 6; 9}.

Definisi. Disjungsi predikat A(X) Dan DI DALAM(X) disebut predikat A(X) Ú DI DALAM(X), yang berlaku untuk nilai-nilai itu dan hanya nilai-nilai itu X Î X, yang setidaknya salah satu predikatnya benar.

Anda dapat membuktikannya (sendiri). TA Ú DI DALAM = TAÈ televisi.

Contoh. Mari kita lihat predikatnya A(X): « X habis dibagi 2", DI DALAM(X): « X habis dibagi 3", diberikan pada himpunan bilangan asli. Mari kita cari domain kebenaran predikatnya A(X) Ú DI DALAM(X): « X habis dibagi 2 atau 3."

TA= {2; 4; 6; 8; 10;…}, televisi= {3; 6; 9; 12; 15; …}, TA Ú DI DALAM = {2; 3; 4; 6; 8; 9; …}.

Definisi. Negasi dari predikat A(X) disebut predikat . Hal ini berlaku untuk nilai-nilai itu dan hanya nilai-nilai itu X Î X, yang predikatnya A(X) salah dan sebaliknya.

Perhatikan bahwa = .

Definisi. Dengan implikasi predikat A(X) Dan DI DALAM(X) disebut predikat A(X) Þ DI DALAM(X) (baca: “Jika A(X), Itu DI DALAM(X)). Ini berubah menjadi pernyataan yang salah untuk nilai-nilai tersebut X Î X, yang predikatnya A(X) benar, dan predikatnya DI DALAM(X) salah.

Dari definisi tersebut kita mempunyai predikat itu A(X) Þ DI DALAM(X) salah di set TAÇ , dan oleh karena itu benar pada pelengkap himpunan ini. Dengan menggunakan hukum operasi pada himpunan, kita peroleh: .

Pertanyaan kontrol

1. Apa yang disebut dengan bentuk atau predikat ekspresif?

2. Predikat apa yang dibedakan berdasarkan jumlah variabel yang terkandung di dalamnya? Berikan contoh.

3. Himpunan apa yang disebut daerah definisi predikat?

4. Himpunan apa yang disebut himpunan kebenaran suatu predikat?

5. Apa yang disebut dengan konjungsi predikat? Buktikan persamaan yang menghubungkan domain kebenaran suatu konjungsi predikat dengan domain kebenaran predikat tersebut.

6. Memberikan pengertian disjungsi, negasi, dan implikasi predikat. Tuliskan persamaan yang menghubungkan domain kebenaran suatu konjungsi predikat dengan domain kebenaran predikat tersebut.