Surjeksi, injeksi dan bijeksi
Aturan yang mendefinisikan pemetaan f: X (atau fungsi /) secara konvensional dapat direpresentasikan dengan panah (Gbr. 2.1). Jika terdapat paling sedikit satu elemen dalam himpunan Y yang tidak ditunjuk oleh salah satu tanda panah, maka hal ini menunjukkan bahwa rentang nilai fungsi f tidak memenuhi seluruh himpunan Y, yaitu. f(X) CY.
Jika rentang nilai / bertepatan dengan Y, mis. f(X) = Y, maka fungsi tersebut disebut dugaan) atau singkatnya dugaan, dan fungsi / dikatakan memetakan himpunan X ke himpunan Y (berbeda dengan kasus umum yang memetakan himpunan X ke dalam himpunan Y menurut Definisi 2.1). Jadi, / : X merupakan suatu dugaan jika Vy 6 Y 3x € X: /(x) = y. Dalam hal ini, pada gambar, setidaknya satu panah mengarah ke setiap elemen himpunan Y (Gbr. 2.2). Dalam hal ini, beberapa anak panah dapat mengarah ke beberapa elemen dari Y. Jika tidak lebih dari satu panah yang mengarah ke elemen mana pun y € Y, maka / disebut fungsi injektif, atau injeksi. Fungsi ini belum tentu bersifat dugaan, yaitu panah tidak mengarah ke semua elemen himpunan Y (Gbr. 2.3).
- Jadi, fungsi /: X -Y Y adalah injeksi jika ada dua elemen berbeda dari X yang memiliki bayangannya saat memetakan / dua elemen berbeda dari Y, atau Vy £ f(X) C Y 3xeX: f(x) = y. Surjeksi, injeksi dan bijeksi. Pemetaan terbalik. Komposisi pemetaan adalah hasil kali himpunan. Jadwal tampilan. Pemetaan /: X->Y disebut bijektif, atau bi-jeksi, jika setiap elemen dari y 6 Y merupakan gambaran dari beberapa dan satu-satunya elemen dari X, yaitu. Vy € f(X) = Y E!x € X: f(x) = y.
Dalam kasus tertentu, himpunan X dan Y mungkin berhimpitan (X = Y). Kemudian fungsi bijektif akan memetakan himpunan X ke dirinya sendiri. Bijeksi suatu himpunan terhadap dirinya sendiri disebut juga transformasi. 2.3. Pemetaan terbalik Misalkan /: X -? Y adalah suatu bijeksi tertentu dan misalkan y € Y. Mari kita nyatakan dengan /_1(y) satu-satunya elemen x € X sehingga /(r) = y. Jadi kita mendefinisikan beberapa pemetaan 9: Y Xу yang lagi-lagi merupakan bijection. Ini disebut pemetaan terbalik, atau bijeksi terbalik ke /. Seringkali juga disebut fungsi invers dan dilambangkan dengan /"*. Pada Gambar 2.5, fungsi d justru merupakan invers dari /, yaitu d = f"1.
Contoh penyelesaian masalah
Pemetaan (fungsi) / dan saling berbanding terbalik. Jelas bahwa jika suatu fungsi bukan suatu bijeksi, maka fungsi inversnya tidak ada. Memang, jika / bukan injektif, maka beberapa elemen y € Y dapat berhubungan dengan beberapa elemen x dari himpunan X, yang bertentangan dengan definisi suatu fungsi. Jika / tidak bersifat dugaan, maka terdapat elemen di Y yang tidak memiliki preimage di X, yakni untuk elemen-elemen ini fungsi inversnya tidak terdefinisi. Contoh 2.1. A. Misalkan X = Y = R adalah himpunan bilangan real. Fungsi /, yang didefinisikan dengan rumus y = Untuk - 2, i,y € R, adalah sebuah bijeksi. Fungsi inversnya adalah x = (y + 2)/3. B. Fungsi real f(x) = x2 dari variabel real x tidak bersifat dugaan, karena bilangan negatif dari Y = R bukan merupakan bayangan elemen dari X = K sebagai /: Γ -> Y. Contoh 2.2. Misalkan A" = R, dan Y = R+ adalah himpunan bilangan real positif. Fungsi f(x) = ax, a > 0, af 1, adalah bijection. Fungsi inversnya adalah Z"1 (Y) = 1°8a Y
- Surjeksi, injeksi dan bijeksi. Pemetaan terbalik. Komposisi pemetaan adalah hasil kali himpunan. Jadwal tampilan. 2.4. Komposisi pemetaan Jika f:X-*Y dan g:Y-*Zy maka pemetaan (p:X -+Z, didefinisikan untuk setiap a: 6 A" dengan rumus =, disebut komposisi (superposisi) pemetaan (fungsi) / dan d> atau fungsi kompleks, dan dilambangkan dengan rho/ (Gbr. 2.6).
- Jadi, fungsi kompleks sebelum f mengimplementasikan aturan: i Terapkan / terlebih dahulu, lalu di, yaitu. dalam komposisi operasi “sebelum / Anda harus memulai dengan operasi / terletak di sebelah kanan. Perhatikan bahwa komposisi Gambar. 2.6 Pemetaan bersifat asosiatif, yaitu jika /: X -+Y, d: Y Z dan h: Z-*H> maka (hog)of = = ho(gof)i yang lebih mudah ditulis dalam bentuk ho ke /. Mari kita periksa sebagai berikut: Pada setiap wK "oaicecmee X terdapat pemetaan 1x -X X, disebut identik, sering juga dilambangkan dengan idx dan diberikan oleh rumus Ix(x) = x Vx € A". -aksinya adalah bahwa ia meninggalkan segalanya pada tempatnya masing-masing.
Setiap titik M dapat diasosiasikan dengan pasangan (i,y) bilangan real dimana x adalah koordinat titik Mx pada sumbu koordinat Ox, dan y adalah koordinat titik Mu pada sumbu koordinat Oy. Titik Mx dan Mu masing-masing merupakan alas garis tegak lurus yang dijatuhkan dari titik M pada sumbu Ox dan Oy. Bilangan x dan y disebut koordinat titik M (dalam sistem koordinat yang dipilih), dan x disebut absis titik M, dan y adalah ordinat titik tersebut. Jelaslah bahwa setiap pasangan (a, b) bilangan real a, 6 6R berhubungan dengan sebuah titik M pada bidang yang mempunyai bilangan-bilangan tersebut sebagai koordinatnya. Dan sebaliknya, setiap titik M pada bidang berhubungan dengan pasangan (a, 6) bilangan real a dan 6. Dalam kasus umum, pasangan (a, b) dan (6, a) menentukan titik yang berbeda, yaitu. Yang penting di antara dua angka a dan b yang muncul lebih dulu dalam penunjukan pasangannya. Jadi, kita berbicara tentang pasangan terurut. Dalam hal ini, pasangan (a, 6) dan (6, a) dianggap sama satu sama lain, dan keduanya menentukan titik yang sama pada bidang, jika hanya a = 6. Surjeksi, injeksi, dan bijeksi. Pemetaan terbalik.
Komposisi pemetaan adalah hasil kali himpunan. Jadwal tampilan. Himpunan semua pasangan bilangan real serta himpunan titik-titik pada bidang dilambangkan dengan R2. Sebutan ini dikaitkan dengan konsep penting dalam teori himpunan tentang hasil kali himpunan langsung (atau dek-artov) (seringkali mereka hanya berbicara tentang hasil kali himpunan). Definisi 2.2. Hasil kali himpunan A dan B adalah himpunan Ax B dari pasangan terurut yang mungkin (x, y), dimana elemen pertama diambil dari A dan elemen kedua dari B, sehingga diperoleh persamaan dua pasangan (x, y) dan (&", y") ditentukan kondisi x = x" dan y = y7. Pasangan (i, y) dan (y, x) dianggap berbeda jika xy. Hal ini sangat penting untuk diingat ketika himpunan A dan B bertepatan. Oleh karena itu, dalam kasus umum A x B f B x A, yaitu hasil kali himpunan sembarang tidak bersifat komutatif, tetapi bersifat distributif terhadap gabungan, perpotongan, dan selisih himpunan: di mana menunjukkan salah satu dari tiga yang bernama Hasil kali dari himpunan berbeda secara signifikan dengan operasi yang ditunjukkan pada dua himpunan. Hasil dari melakukan operasi ini adalah suatu himpunan yang elemen-elemennya (jika tidak kosong) termasuk dalam salah satu atau kedua himpunan aslinya. Elemen-elemen hasil kali dari himpunan himpunan termasuk dalam himpunan baru dan mewakili objek-objek yang jenisnya berbeda dibandingkan dengan elemen-elemen himpunan aslinya.Mirip dengan Definisi 2.2
Kita dapat memperkenalkan konsep produk yang terdiri lebih dari dua set. Himpunan (A x B) x C dan A*x (B x C) diidentifikasi dan dinotasikan secara sederhana sebagai A x B x C, jadi. Bekerja Ah Au Ah Ah Ah Ah, dll. biasanya dilambangkan dengan A2, A3, dst. Jelasnya, bidang R2 dapat dianggap sebagai hasil kali R x R dari dua salinan himpunan bilangan real (karenanya himpunan titik-titik pada bidang tersebut ditetapkan sebagai hasil kali dua himpunan titik pada garis bilangan). Himpunan titik-titik dalam ruang geometri (tiga dimensi) berhubungan dengan hasil kali R x R x R dari tiga salinan himpunan titik-titik pada garis bilangan, dilambangkan dengan R3.
- Hasil kali n himpunan bilangan real dilambangkan dengan Rn. Himpunan ini mewakili semua kemungkinan kumpulan (xj, X2, xn) dari n bilangan real X2) xn £ R, dan setiap titik x* dari Rn adalah kumpulan (xj, x, x*) dari bilangan real xn £ K*
- Hasil kali dari n himpunan sembarang adalah himpunan kumpulan terurut dari n elemen (umumnya heterogen). Untuk himpunan seperti ini, digunakan nama tuple atau n-ka (diucapkan “enka”). Contoh 2.3 Misalkan A = (1, 2) dan B = (1, 2), maka himpunan A x B dapat diidentifikasi dengan empat titik pada bidang R2 yang koordinatnya ditunjukkan pada saat mendaftar unsur-unsur himpunan ini Jika C = ( 1,2) dan D = (3,4), maka Contoh 2.4 Misalkan Maka Interpretasi geometri himpunan E x F dan F x E disajikan pada Gambar 2.8 # Untuk pemetaan /: X, kita dapat membuat himpunan pasangan terurut (r, y), yang merupakan subset dari hasil kali langsung X x Y.
- Himpunan seperti ini disebut grafik pemetaan f (atau grafik fungsi i*" - Contoh 2.5. Dalam kasus XCR dan Y = K, setiap pasangan terurut menentukan koordinat suatu titik pada bidang R2. Jika X adalah interval dari garis bilangan R, maka grafik fungsi tersebut dapat mewakili suatu garis (Gbr. 2.9) Contoh 2.6 Jelas bahwa dengan XCR2 dan Y = R grafik fungsi tersebut adalah himpunan titik tertentu di R3 , yang dapat mewakili permukaan tertentu (Gbr. 2.10).
Mari kita pertimbangkan kasus khusus penting lainnya dari konsep umum korespondensi - pemetaan himpunan. Jika patuh R antar set X Dan Y gambar elemen AX mungkin kosong, atau mungkin berisi beberapa elemen.
Hubungan antar elemen himpunan X Dan Y ditelepon menampilkan X VY , jika setiap elemen X dari banyak X hanya satu elemen dari himpunan yang cocok Y. Elemen ini disebut gambar elemenX dengan tampilan ini: f(x). Pada grafik seperti itu pemetaan dari setiap titik himpunan X Hanya satu anak panah yang akan keluar (Gbr. 29).
Perhatikan contoh berikut . Membiarkan X- banyak siswa di antara penonton, dan Y- banyak kursi di auditorium yang sama. Cocokkan "siswa" X duduk di kursi pada» set menampilkan X VY. Gambar siswa X adalah kursi.
Membiarkan X = Y = N- himpunan bilangan asli. Mencocokkan "notasi desimal suatu bilangan" X terdiri dari pada digit" menentukan tampilan N V N. Dengan tampilan ini, angka 39 sama dengan angka 2, dan angka 45981 sama dengan angka 5 (39 adalah angka dua digit, 45981 adalah angka lima digit).
Membiarkan X- banyak segi empat, Y- banyak kalangan. Mencocokkan "segi empat" X tertulis dalam lingkaran pada» bukan tampilan X V Y, karena ada segiempat yang tidak dapat ditulisi dalam lingkaran. Namun dalam hal ini mereka mengatakan bahwa hasilnya adalah pemetaan dari himpunan X ke dalam orang banyak Y.
Jika ditampilkan X V Y sedemikian rupa sehingga setiap elemen kamu dari banyak
Y cocok dengan satu atau lebih elemen X dari banyak X, maka pemetaan seperti itu disebut tampilan set X untuk banyakY.
Sekelompok X disebut domain definisi pemetaan f: XY, dan banyak Y- wilayah kedatangan pemetaan ini. Bagian dari area kedatangan yang terdiri dari semua gambar kamu dari banyak kamu, disebut kumpulan nilai pemetaan F.
Jika kamu=f(x), maka x dipanggil prototipe elemen y saat ditampilkan F. Himpunan semua gambar awal suatu elemen pada mereka menyebutnya prototipe lengkap: F(kamu).
Tampilan adalah dari jenis berikut: injektif, dugaan dan bijektif.
Jika prototipe lengkap setiap elemen Y y berisi paling banyak satu elemen (mungkin kosong), maka pemetaan tersebut disebut injeksi.
Menampilkan XY seperti yang f(X)=Y, disebut pemetaan X untuk seluruh orang banyak Y atau dugaan(dari setiap titik himpunan X sebuah panah keluar, dan setelah itu berubah arah di setiap titik himpunan X berakhir) (Gbr. 31).
Jika suatu pemetaan bersifat injektif dan dugaan, maka disebut pemetaan satu-ke-satu atau bijektif.
Atur tampilan X disebut himpunan bijektif, jika setiap elemen XX cocok dengan satu elemen Y y, dan setiap elemen Y y hanya cocok dengan satu elemen XX(Gbr. 32) .
Pemetaan bijektif menghasilkan himpunan yang setara : X~Y.
Contoh . Membiarkan - X banyak mantel di lemari, Y- banyak kait di sana. Mari kita cocokkan setiap mantel dengan pengait yang menggantungkannya. Korespondensi ini merupakan pemetaan X masukY. Ini bersifat injektif jika tidak ada kait yang memiliki lebih dari satu lapisan yang tergantung di atasnya atau beberapa kait bebas. Pemetaan ini bersifat dugaan jika semua kait sudah terisi atau ada beberapa mantel yang tergantung di sana. Akan menjadi bijektif jika hanya ada satu mantel yang tergantung pada setiap pengait.
Peran penting dalam matematika dimainkan oleh pembentukan hubungan antara dua himpunan dan dikaitkan dengan pertimbangan pasangan benda yang terbentuk dari unsur-unsur himpunan pertama dan unsur-unsur yang bersesuaian dari himpunan kedua. Pemetaan himpunan sangatlah penting.
Biarlah himpunan sewenang-wenang. Menampilkan set X untuk mengatur Y setiap aturan dipanggil F, yang menurutnya setiap elemen himpunan dikaitkan dengan elemen himpunan (tunggal) yang sepenuhnya spesifik.
Fakta bahwa F ada pemetaannya, ditulis singkat dalam bentuk: .
Sebutannya juga digunakan. Paling sering, tampilan dilambangkan dengan huruf F, Q, F.
Jadi, untuk mengatur tampilan set X dalam suatu himpunan, setiap elemen harus dikaitkan dengan satu dan hanya satu elemen.
Jika elemen X dari X elemen yang cocok dari Y, lalu mereka menelepon elemen cara , A X – prototipe elemen ketika ditampilkan, yang ditulis sebagai .
Dari definisi pemetaan maka setiap elemen dari X gambarnya unik, tetapi untuk suatu elemen mungkin ada banyak prototipe, atau mungkin tidak ada sama sekali. Himpunan semua gambar awal suatu elemen disebut nya prototipe lengkap dan dilambangkan dengan . Dengan demikian, .
Gambar subset dari A dan gambar kebalikan dari subset dari DI DALAM saat ditampilkan:
Misalnya, biarkan dan menjadi pemetaan A V A, mencocokkan setiap elemen A dari A sisa divisi A dengan nomor 4. Maka kita punya:
Tergantung pada properti, gambar, dan prototipe, pemetaan dibedakan: dugaan, injektif, dan bijektif.
Pemetaan tersebut disebut dugaan , jika itu. setiap elemen dari menampilkan setidaknya satu elemen dari X, atau untuk apa pun.
Pemetaan tersebut disebut injeksi , jika elemen himpunan berbeda X dipetakan ke elemen himpunan yang berbeda yaitu , atau kosong atau satu set untuk any . Pemetaan injeksi disebut juga investasi .
Pemetaan tersebut disebut bijektif , atau satu lawan satu pemetaan ke apakah itu bersifat dugaan dan injektif, yaitu. jika ada satu set tunggal untuk any . Dalam hal ini, kita dapat mendefinisikan pemetaan dengan memasukkan any: . Ini disebut balik k dan dilambangkan sebagai .
Mari kita ilustrasikan jenis pemetaan untuk kejelasan.
Bijektif Injektif Surjektif
Gambar 12
Atur tampilan A dipanggil ke dalam diri sendiri transformasi himpunan A. Transformasi himpunan bijektif A ditelepon mengatur substitusi A.
Contoh substitusi himpunan bilangan bulat adalah pemetaan yang ditentukan oleh persamaan.
Perhatikan juga pemetaan himpunan A V DI DALAM disebut juga fungsi , ditentukan di set A dengan nilai-nilai di set DI DALAM. Dalam hal ini, elemen tersebut disebut arti fungsi titik A. Orang banyak itu sendiri A ditelepon wilayah definisi fungsi, dan himpunan adalah rentang nilai fungsi tersebut.
Suatu fungsi sering kali diperlakukan sebagai variabel yang mengambil nilai DI DALAM dan tergantung pada variabelnya X, mengambil nilai dari A, itu untuk setiap nilai A ukuran variabel X sesuai dengan nilai yang sangat spesifik. Pada saat yang sama, mereka menulis dan bukannya "fungsi" mereka mengatakan "fungsi".
Mari pertimbangkan berbagai pemetaan dan tentukan tipenya.
1) Biarkan X– satu set lingkaran di pesawat. Dengan mengasosiasikan setiap lingkaran dengan pusatnya, kita memperoleh pemetaannya X pada . Pemetaan ini tidak bersifat injektif, karena titik yang sama dapat menjadi pusat lingkaran yang jumlahnya tak terhingga. Namun ini bersifat dugaan, karena setiap titik adalah pusat suatu lingkaran. Oleh karena itu, korespondensi terbalik di mana-mana pasti, bersifat dugaan, tetapi tidak fungsional.
2) Korespondensi adalah fungsi numerik yang didefinisikan pada seluruh himpunan bilangan real. Himpunan nilai fungsi ini merupakan himpunan bilangan non-negatif. Karena , fungsinya tidak bersifat dugaan. Ini bukan injeksi, karena . Oleh karena itu ia tidak mempunyai fungsi invers.
3) Pemetaannya bersifat dugaan dan injektif: untuk setiap bilangan hanya ada satu bilangan sehingga . Nomor ini adalah.
4) Pemetaan ( - himpunan bilangan non-negatif) dari suatu himpunan ke dalam dirinya sendiri didefinisikan di mana-mana, bersifat injektif, tetapi tidak bersifat dugaan. Memang untuk pecahan sudah puas.
Oleh karena itu, himpunan nilai fungsi ini adalah interval. Fungsi invers didefinisikan pada interval ini dan mengambil nilai non-negatif.
5) Pemetaan yang ditetapkan aturannya adalah pemetaan injektif. Hal ini tidak bersifat bijektif karena . Namun, jika kita mendefinisikan pemetaan dengan cara yang sama, kita memperoleh pemetaan bijektif. . ; dari surjektifitas hanya muncul surjektivitas, dan dari injektivitas hanya muncul injektivitas.
3. Jika dan adalah himpunan transformasi A, maka komposisinya juga merupakan transformasi himpunan A.
Pengantar teori himpunan dan kombinatorik
Kerja Praktek No. 8. Pemetaan. Jenis tampilan
Pertanyaan untuk pekerjaan
- Apa yang dimaksud dengan “pemetaan set-to-set”?
- Apa yang dimaksud dengan “gambar”, apa yang dimaksud dengan “prototipe” dalam pemetaan ini?
- Apa yang penuh F - gambar, apa yang lengkap F - prototipe, saat ditampilkan F?
- Sebutkan jenis-jenis pemetaan, berikan definisinya dan berikan contohnya.
- Dua himpunan manakah yang dikatakan ekuivalen? Berikan contoh.
- Himpunan manakah yang disebut dapat dihitung? Berikan contoh.
Contoh solusi tugas
Contoh 1. Misalkan A = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} N dan B =(0; 1) Z Mari kita cocokkan setiap angkanya x A sisanya bila dibagi 2.
Apakah ini cocok dengan pemetaan? Jenis tampilan apa ini? Unsur manakah yang merupakan bayangan dari unsur 6, 7? Mari kita cari gambar invers lengkap dari elemen 1.
Larutan. Mari kita nyatakan korespondensi yang diberikan menggunakan grafik:
Kami melihat bahwa:
1) setiap elemen himpunan A , adalah titik awal;
2) untuk setiap titik asal hanya terdapat satu titik kedatangan. (Artinya korespondensi yang ditunjukkan adalah pemetaan himpunan A ke himpunan B);
3) Setiap elemen himpunan DI DALAM adalah titik kedatangan. (Jadi ini adalah pemetaan "ke").
Karena jumlahnya banyak DI DALAM ada elemen (misalnya, 0) yang prototipenya bukan elemennya A , maka pemetaan ini tidak bersifat satu-ke-satu.
Gambar angka 6 adalah angka 0 DI DALAM , gambar angka 7 adalah angka 1 DI DALAM . Prototipe lengkap nomor 1 DI DALAM ada himpunan angka (1; 3; 5; 7; 9) A .
Contoh 2. Misalkan X adalah himpunan bidang segitiga, Y = R. Mari kita pilih satuan ukuran panjang dan berikan nomor pada setiap segitiga - keliling segitiga ini. Akankah pertandingan ini menjadi pemetaan? Jenis tampilan apa yang diberikan? Apa prototipe lengkap dari nomor tersebut di R?
Larutan. Setiap segitiga pada bidang mempunyai keliling yang ditentukan secara unik. Oleh karena itu, setiap segitiga dari himpunan X cocok dengan satu nomor dari R , yaitu korespondensi ini adalah pemetaan X ke R . Dalam hal ini, dua segitiga berbeda dapat mempunyai keliling yang sama. Dengan kata lain, pemetaannya tidak bersifat one-to-one. Selain itu, tidak ada segitiga yang kelilingnya sama dengan bilangan negatif, yaitu. pemetaannya bukan pemetaan "ke". Membiarkan di R. Kemudian:
- pada > 0, maka bayangan lengkap adalah himpunan semua segitiga pada bidang yang kelilingnya sama dengan bilangan tersebut pada , himpunan ini tidak terbatas.
- pada ≤ 0, maka bayangan lengkapnya merupakan himpunan kosong.
Contoh 3. X = (0; 1; 2; 3; 4) N, Y = Z. Memetakan f dari himpunan X ke himpunan Y diberikan sebagai berikut:
Mari kita tentukan jenis pemetaan ini dan buat grafiknya.
Larutan. Untuk setiap x X ayo cari gambarnya y Y. Kami menulis hasil yang sesuai di tabel:
|
kamu=f(x) |
–2 |
Beberapa nilai tampilan f adalah himpunan
A = (–2; 1; 4; 7; 10) Y dan B ≠ Y . Setiap elemen kamu B di X hanya ada satu prototipe. Oleh karena itu kami memiliki pemetaan himpunan satu-ke-satu X untuk mengatur Y.
Pasangan nilai (x; y ) dari tabel membentuk grafik pemetaan ini f: X→Y . Dalam sistem koordinat persegi panjang, grafiknya terlihat seperti:
Contoh 4. Diberikan dua kumpulan kata: X = (merah; biru; hijau; kuning) dan Y = (dasi; ringan; syal; sprei). Apakah himpunan ini setara?
Larutan. Himpunan ini ekuivalen, karena bagi himpunan ini dimungkinkan untuk membuat pemetaan satu-ke-satu “ke”.
Misalnya:
Contoh 5. Himpunan yang diberikan: A = ( x | x = 2 n , n N ) dan
B = ( x | x = , n N ). Apakah himpunan ini setara?
Larutan. Himpunan ini ekuivalen, karena dimungkinkan untuk memilih pemetaan satu-ke-satu dari himpunan tersebut A ke set B.
Misalnya: f: A B
x = 2 ny = .
Latihan
1. Di antara kumpulan nama X = (Andrey; Boris; Mikhail; Alexei; Konstantin; Vasily; Valentina; Clara; Semyon; Maria; Sophia; Oleg; Trofim4 Yuri; Yakov) dan satu set Y (huruf alfabet Rusia) korespondensi telah dibuat di mana setiap nama dikaitkan dengan huruf pertamanya. Akankah pertandingan ini ditampilkan X ke Y ? Jika ya, tipe apa? Temukan gambar himpunan tersebut X . Temukan prototipe surat yang lengkap A, B, K, L. Buatlah grafik korespondensi yang ditunjukkan.
2. Setiap titik M pada ruas AB Mari kita cocokkan proyeksinya M ke baris ini L . Akankah pertandingan ini menjadi pemetaan? Yang mana? Jelaskan domain definisi, rentang nilai pemetaan ini.
3. Tetapkan X terdiri dari semua kotak pada bidang, dan himpunan Y dari semua lingkaran pada bidang yang sama. Mari kita kaitkan setiap kotak dengan sebuah lingkaran yang tertulis di dalamnya. Apakah ini pemetaan pemetaan X ke Y?
4. Apakah bisa diatur tampilannya sebagai berikut: set Dan dari segmen, di Y – dari segitiga; apakah setiap segmen berhubungan dengan segitiga yang garis tengahnya adalah segmen tersebut?
5. Apakah benar kepatuhan f: Z Z
X kamu = –5 x + 2
apakah ada pemetaan "ke"?
6. Misalkan X – himpunan bilangan real. Setiap nomor x X Mari kita cocokkan perseginya. Bisakah korespondensi ini disebut pemetaan reversibel?
7. Tunjukkan bahwa himpunan berikut dapat dihitung:
a) himpunan bilangan asli ganjil;
b) himpunan bilangan bulat non-negatif;
c) himpunan kuadrat bilangan asli;
d) himpunan bilangan asli kelipatan 5;
e) himpunan pangkat tiga bilangan asli.
8. Diberikan dua himpunan: A = (Paris; Moskow; Warsawa; Krakow; London; Saransk; Vladimir; Marseille) dan B = (Prancis; Rusia; Inggris; Polandia; Swedia; Austria). Mari kita atur korespondensi di antara mereka: “kota x A berlokasi di negara tersebut" Mari kita buat grafik korespondensi ini. Akankah pertandingan ini menjadi pemetaan? Tipe apa?
9. Apakah himpunan A ekuivalen dengan gambaran permukiman pada peta dan himpunan tersebut B daerah berpenduduk dari daerah yang ditunjukkan pada peta?
Tugas individu
- Pilih tampilan dari kecocokan yang ditentukan. Tunjukkan tipenya, buat grafik.
2. Gambarlah grafik relasi berikut dalam sistem koordinat kartesius persegi panjang Z . Untuk setiap relasi, cari tahu apakah itu merupakan pemetaan Z ke Z, memetakan Z ke Z , pemetaan satu-ke-satu, hamparan:
1) x + kamu = 3; 7) di< х + 2;
2) x – y ≤ 5; 8) y ≤ x + 2;
3) x + kamu = 4, x > 0; 9) kamu = 4;
4) x = y, – 4 ≤ x ≤ 6; 10) xy = 24, –6 ≤ x ≤ 6.
5) = kamu, – 4 ≤ x ≤ 6;
6) x > kamu ;
Tugas pengendalian diri
Gabungkan pasangan-pasangan himpunan berikut dengan tanda “=” jika keduanya sama dan tanda “~” jika keduanya setara:
1) A - himpunan sisi-sisi segitiga,
DI DALAM - kumpulan sudut segitiga;
2) A - banyak huruf pada kata "telinga",
B = (o; k; s; aku);
3) SEBUAH – banyak cincin di tunggul pohon,
DI DALAM – bertahun-tahun hidup di dekat pohon;
4) banyak benua di Bumi dan banyak negara bagian
Menampilkan - salah satu konsep dasar matematika. Pemetaan adalah aturan atau hukum korespondensi antar himpunan. Misalkan dan menjadi himpunan tak kosong sembarang. Mereka mengatakan bahwa pemetaan suatu himpunan ke suatu himpunan diberikan (notasi: atau) jika setiap elemen himpunan (diberikan korespondensi ke satu elemen himpunan yang terdefinisi secara unik (.
Elemen tersebut disebut jalan elemen saat ditampilkan, dan elemen tersebut dipanggil prototipe elemen dalam tampilan ini. Gambar sekumpulan elemen saat ditampilkan adalah kumpulan semua elemen bertipe yang termasuk dalam rentang nilai. Himpunan semua elemen (), yang gambarnya membentuk rentang nilai disebut prototipe kumpulan elemen (). Himpunan tersebut disebut domain definisi menampilkan.
Pemetaan tersebut disebut dugaan M , ketika setiap elemen himpunan (memiliki setidaknya satu bayangan invers dari himpunan tersebut (, yaitu , atau.
Pemetaan tersebut disebut injeksi, ketika setiap elemen himpunan (adalah bayangan hanya satu elemen himpunan (, yaitu bayangan dua elemen himpunan yang berbeda adalah berbeda, yaitu berikut.
Pemetaan tersebut disebut bijektif atau satu lawan satu, bila bersifat injektif dan dugaan, yaitu. Setiap elemen himpunan merupakan bayangan dari satu dan hanya satu elemen himpunan.
Persamaan dua pemetaan dan berarti menurut definisi bahwa area yang bersesuaian bertepatan (dan), dan.
Bekerja dua pemetaan dan dapat didefinisikan sebagai pemetaan yang mengaitkan setiap elemen himpunan dengan suatu elemen himpunan.
Pemetaan dari suatu himpunan ke himpunan disebut juga fungsi pada suatu himpunan yang mempunyai nilai-nilai dalam himpunan tersebut. Jika himpunan-himpunan tersebut berimpit, maka pemetaan bijektif dari himpunan itu ke dirinya sendiri disebut transformasi banyak sekali. Transformasi himpunan yang paling sederhana adalah identik- didefinisikan sebagai berikut: . Pemetaan identitas yang membawa setiap elemen ke dirinya sendiri disebut juga lajang transformasi. Jika transformasi dan diberikan, maka transformasi yang dihasilkan dari eksekusi berurutan terlebih dahulu transformasi dan kemudian transformasi disebut bekerja transformasi Dan: .
Untuk transformasi himpunan yang sama, berlaku hukum berikut:
Hukum komutatif untuk melakukan transformasi tidak dipenuhi dalam kasus umum, yaitu. .
Kalau diantara dua set kita bisa atur bijektif pemetaan (untuk menetapkan korespondensi satu-satu antara elemen-elemennya), maka himpunan tersebut disebut setara atau sama kuatnya. Himpunan berhingga dikatakan ekuivalen hanya jika jumlah elemennya sama.
Himpunan tak hingga juga dapat dibandingkan satu sama lain.
Dua himpunan mempunyai kardinalitas yang sama atau disebut ekuivalen (notasi) jika dapat dibentuk korespondensi satu-satu antar unsur-unsurnya, yaitu. jika memungkinkan untuk menentukan beberapa aturan yang menurutnya setiap elemen dari salah satu himpunan dikaitkan dengan satu dan hanya satu elemen dari himpunan lainnya.
Jika pemetaan seperti itu tidak mungkin dilakukan, maka himpunan tersebut memiliki kardinalitas yang berbeda; ternyata dalam kasus terakhir, tidak peduli bagaimana kita mencoba untuk membawa elemen-elemen dari kedua himpunan ke dalam korespondensi, akan selalu ada elemen tambahan yang tersisa dan, terlebih lagi, selalu dari himpunan yang sama, yang nilai bilangan pokoknya lebih tinggi. ditugaskan atau mereka mengatakan bahwa set ini memiliki lebih banyak kekuatan. Suatu himpunan tak hingga dan beberapa himpunan bagiannya dapat ekuivalen. Himpunan yang ekuivalen dengan himpunan bilangan asli disebut himpunan terhitung. Agar suatu himpunan dapat dihitung, setiap elemen himpunan harus dikaitkan dengan nomor urutnya. Dari himpunan tak terhingga, kita dapat memilih himpunan bagian yang dapat dihitung. Setiap subset dari himpunan terhitung dapat dihitung atau berhingga. Himpunan terhitung adalah himpunan tak hingga yang terorganisasi paling primitif. Hasil kali Kartesius dari dua himpunan terhitung dapat dihitung. Gabungan dari himpunan berhingga atau terhitung yang jumlahnya berhingga atau tak terhingga adalah himpunan yang berhingga atau terhitung.
