Sumber pekerjaan: Solusi 4954. Matematika Ujian Negara Terpadu 2016, I.V. Yashchenko. 36 pilihan. Menjawab.

Tugas 19. Kita sebut suatu bilangan asli sebagai palindrom jika dalam notasi desimalnya semua angkanya tersusun simetris (angka pertama dan terakhir sama, angka kedua dan kedua dari belakang, dan seterusnya). Misalnya angka 121 dan 953359 merupakan palindrom, namun angka 10 dan 953953 bukanlah palindrom.

a) Berikan contoh bilangan palindrom yang habis dibagi 45.

b) Berapa banyak bilangan palindrom lima angka yang habis dibagi 45?

c) Tentukan bilangan palindrom terbesar kesepuluh yang habis dibagi 45.

Larutan.

a) Pilihan paling sederhana adalah bilangan palindrom 5445, yang habis dibagi 45.

Menjawab: 5445.

b) Mari kita menguraikan bilangan 45 menjadi faktor prima, kita peroleh

Artinya, suatu bilangan harus habis dibagi 5 dan 9. Tanda suatu bilangan habis dibagi 5 adalah dengan adanya angka 5 di akhir bilangan tersebut (kita tidak memperhitungkan angka 0, karena memang demikian. tidak sehat). Kita memperoleh bilangan palindromik dalam bentuk 5aba5, dimana a, b adalah angka-angka dari bilangan tersebut. Tanda suatu bilangan habis dibagi 9 adalah jumlah angka-angkanya

harus habis dibagi 9. Dari kondisi ini kita peroleh:

Untuk b=0: ;

Untuk b=1: ;

Untuk b=2: ;

Untuk b=3: ;

Untuk b=5: ;

Untuk b=6: ;

Untuk b=7: ;

Deskripsi presentasi berdasarkan slide individual:

1 slide

Deskripsi slide:

Apa itu palindrom? Pekerjaan itu dilakukan oleh guru matematika Galina Vladimirovna Prikhodko

2 geser

Deskripsi slide:

Soal Seorang pengendara melihat meteran mobilnya dan melihat bilangan simetris (palindrom) 15951 km (dibaca sama dari kiri ke kanan atau sebaliknya). Ia mengira kemungkinan besar bilangan simetris lainnya tidak akan muncul dalam waktu dekat. Namun, setelah 2 jam ia menemukan bilangan simetris baru. Berapa kecepatan tetap yang ditempuh pengendara selama dua jam tersebut? Penyelesaian: Bilangan simetris berikutnya adalah 16061. Selisihnya 16061 - 15951 = 110 km. Jika Anda membagi 110 km dengan 2 jam, Anda mendapatkan kecepatan 55 km/jam. Jawaban: 55 km/jam

3 geser

Deskripsi slide:

Tugas UN a) Berikan contoh bilangan palindrom yang habis dibagi 15. b) Berapa banyak bilangan palindrom yang terdiri dari lima angka dan habis dibagi 15? c) Tentukan bilangan palindrom terbesar ke-37 yang habis dibagi 15. Jawaban: a) 5115; b) 33; c) 59295

4 geser

Deskripsi slide:

Apa yang dimaksud dengan palindrom? Kata palindrom berasal dari kata Yunani palindromos, yang berarti “kembali berlari”. Palindrom tidak hanya berupa angka, tetapi juga kata, kalimat, bahkan teks.

5 geser

Deskripsi slide:

Dalam matematika, bilangan – palindrom dibaca sama baik dari kiri ke kanan maupun dari kanan ke kiri. Contohnya adalah bilangan semua satu digit, bilangan dua digit berbentuk αα, misalnya 11 dan 99, bilangan tiga digit berbentuk αβα, misalnya 535, dan seterusnya. Selain itu, semua bilangan dua digit menghasilkan palindrom (jumlah langkah terbesar - 24 - memerlukan angka 89 dan 98).Tetapi apakah angka 196 menghasilkan palindrom masih belum diketahui. Palindrom numerik 676 (bilangan palindrom terkecil yang merupakan kuadrat dari non-palindrom adalah 26). 121 (bilangan palindrom terkecil yang merupakan kuadrat palindrom adalah 11).

6 geser

Deskripsi slide:

Superpalindrom Beberapa frasa dan frasa palindrom telah kita kenal sejak zaman kuno. Kemudian sering kali diberi makna magis. Palindrom magis juga mencakup kotak ajaib, misalnya SATOR AREPO TENET OPERA ROTAS (diterjemahkan sebagai “Penabur Arepo hampir tidak dapat menjaga rodanya”).

7 geser

Deskripsi slide:

Saat ini, palindrom tidak memiliki semua kekuatan magis dan merupakan permainan kata sederhana yang memungkinkan Anda sedikit menggunakan otak. Kebanyakan palindrom adalah kumpulan kata-kata yang relatif koheren, namun ada juga frasa yang menarik dan dapat dipahami secara integral, misalnya, “Tetapi Malaikat Agung yang tak kasat mata berbaring di kuil dan dia menakjubkan.” Jika kita berbicara tentang kata palindrom, maka kata terpanjang di dunia adalah “SAIPPUAKIVIKAUPPIAS”, yang dalam bahasa Finlandia berarti “penjual sabun”.

8 geser

Deskripsi slide:

Tugas: mengetahui seberapa sering bilangan simetris muncul di antara bilangan prima. Untuk bilangan kurang dari 1000, hal ini mudah diketahui dari tabel bilangan prima. Di antara bilangan dua digit sederhana, hanya ada satu bilangan simetris - 11. Kemudian kami menemukan: 101, 131, 151, 181, 191, 313, 353, 373, 383, 727, 757, 797, 919, 929.

Geser 9

Deskripsi slide:

Bukti Di antara bilangan empat angka tidak ada bilangan prima yang simetris. Mari kita buktikan. Bilangan simetris empat angka berbentuk abba. Menurut kriteria habis dibagi 11, selisih jumlah bilangan di tempat ganjil dan jumlah bilangan di tempat ganjil: (a + b) - (b + a) = 0. Artinya semua bilangan simetris empat digit habis dibagi 11, yaitu bilangan komposit. Demikian pula, dapat dibuktikan bahwa tidak akan ada bilangan prima di antara semua bilangan simetris yang terdiri dari 2n angka.

10 geser

Deskripsi slide:

Sampai dengan 100 terdapat 25 bilangan prima, salah satunya simetris yaitu 4%. Hingga 1000 bilangan prima menjadi 168. Bilangan simetris - 16. Kira-kira 9,5%. Hingga 10.000, jumlah bilangan simetris tidak berubah. Hingga 1.000.000 - 78.498 bilangan prima. Sekarang ada 109 bilangan simetris, yaitu sekitar 0,13%. Jelas bahwa persentase bilangan simetris semakin berkurang, tetapi bukan tidak mungkin untuk mengatakan bahwa di antara bilangan yang sangat besar, bilangan prima adalah simetris.

11 geser

Deskripsi slide:

Saya punya ide, palindrom numerik bisa merupakan hasil operasi pada karakter lain. Martin Gardner, penulis buku “There Is an Idea!”, sebagai seorang pemopuler ilmu pengetahuan yang cukup terkenal, mengajukan hipotesis tertentu. Jika Anda mengambil bilangan asli (apa saja) dan menambahkan kebalikannya (terdiri dari bilangan yang sama, tetapi dalam urutan terbalik), lalu ulangi tindakan tersebut, tetapi dengan jumlah yang dihasilkan, maka pada salah satu langkah Anda akan mendapatkan palindrom . Dalam beberapa kasus, cukup melakukan penjumlahan satu kali: 213 + 312 = 525. Namun biasanya diperlukan setidaknya dua operasi. Jadi, misalnya kita mengambil bilangan 96, maka dengan melakukan penjumlahan berurutan, palindrom hanya dapat diperoleh pada tingkat keempat: 96 + 69 = 165 165 + 651 = 726 726 + 627 = 1353 1353 + 3531 = 4884 inti dari hipotesisnya adalah jika Anda mengambil angka berapa pun, setelah sejumlah tindakan tertentu Anda pasti akan mendapatkan palindrom. Contohnya tidak hanya dapat ditemukan pada penjumlahan, tetapi juga pada eksponensial, ekstraksi akar, dan operasi lainnya.

12 geser

Deskripsi slide:

Contoh1 Ambil angka 619 Mari kita baca 1 langkah dari kanan ke kiri 916 Mari kita tambahkan dua angka 1535 “balikkan” 5351 Langkah ke-2 Mari kita tambahkan 6886 Bilangan 6886 adalah palindrom. Apalagi didapat hanya dalam 2 langkah saja. Membacanya dari kanan ke kiri atau kiri ke kanan, kita mendapatkan angka yang sama.

Geser 13

Deskripsi slide:

Contoh2 Mari kita ambil angka 95 1 langkah. Langkah 1 “Ayo kita balikkan” 59 Jumlahkan 154 ​​Langkah 2. “Ayo kita balikkan” 451 Langkah ke-2 Mari kita tambahkan 605 Langkah ke-3 “Ayo kita balikkan” 506 Langkah ke-3 Mari kita tambahkan 1111 Bilangan 1111 adalah palindrom.

Geser 14

Deskripsi slide:

Pinokio Anda semua mungkin ingat buku tentang petualangan Pinokio. Apakah Anda ingat betapa ketatnya Malvina mengajarinya menulis? Dia menyuruhnya untuk menuliskan kalimat berikut: DAN MAWAR JATUH DI KAKI AZOR - itu palindrom lainnya.

15 geser

Deskripsi slide:

Palindrom dalam Sastra BABI TEKAN TERUNG, KAMU SASHA PENUH, DI DAHI, BOOM ARGENTINA MENJADI NEGRA TAPI KAMU TIPIS, SEPERTI CATATAN NADA, PEMBURU ADA DAN Pembusukan

16 geser

Deskripsi slide:

Kata-kata palindrom SHALASH, NAGAN, COSSACK, KOK, TOPOT, ROTOR, KABAC, PULP, GRANDFATHER, RADAR

Geser 17

Deskripsi slide:

Frase palindromik RODA BERHENTI, AKU BUKAN KAKAK TUA SENYA AKU MAKAN ULAR DAN ANJING BOSA ARGENTINA MEMINTA NEGRO MENCARI TAKSI MENGHARGAI NEGRO LYOSHA ARGENTINA MENEMUKAN BUG DI RAK

18 geser

Deskripsi slide:

Palindrom dalam bahasa asing “Nyonya, saya Adam” - perkenalan seorang pria dengan seorang wanita (Nyonya, saya Adam). Wanita ini dapat dengan rendah hati menjawabnya dengan “shifter”: “Eve” (Hawa). Bukan hanya kalimat atau kumpulan huruf saja yang simetris. Balapan cepat, mobil aman (Balap cepat, mobil aman) Apakah Anda melihat Tuhan? (Apakah angsa melihat Tuhan?) Tidak pernah ganjil atau genap (Tidak pernah ganjil atau genap) Jangan mengangguk (Jangan mengangguk) Dogma: Akulah Tuhan (Dogma: Akulah Tuhan) Nyonya, di Eden akulah Adam (Nyonya, di surga) Saya Adam) Ah, Setan melihat Natasha (Ah, Setan melihat Natasha) Tuhan melihat saya adalah seekor anjing (Tuhan melihat bahwa saya adalah seekor anjing) Saya lebih suka Pi (Saya lebih suka π) Terlalu panas untuk berteriak (Terlalu panas untuk berteriak )

Geser 19

Deskripsi slide:

Puisi palindrom Aku jarang memegang puntung rokok dengan tanganku... Aku duduk di sini dengan sungguh-sungguh, berkreasi dengan marah dalam diam, aku akan tertawa sekali, aku akan mendapat keberuntungan, aku akan tertawa sekali - Ya, aku senang ! Anda dapat membacanya dari awal atau dari akhir.

20 geser

Deskripsi slide:

Dalam musik, musik Palindromik dimainkan “seperti biasa”, sesuai aturan. Setelah potongannya selesai, nadanya dibalik. Kemudian lagu itu dimainkan lagi, tetapi melodinya tidak berubah. Iterasinya bisa berapa saja, tapi tidak diketahui mana yang terbawah dan mana yang atas. Karya musik ini dapat dimainkan oleh dua orang, sambil membaca notasi di kedua sisi secara bersamaan. Contoh karya palindromik tersebut antara lain The Way of the World, yang ditulis oleh Moscheles, dan Table Tune for Two, yang disusun oleh Mozart.

Perumusan. Nomor empat digit diberikan. Periksa apakah itu palindrom. Catatan: Palindrom adalah angka, kata atau teks yang bacaannya sama dari kiri ke kanan dan dari kanan ke kiri. Misalnya, dalam kasus kita ini adalah angka 1441, 5555, 7117, dst.

Contoh bilangan palindromik lain dengan tempat desimal sembarang, yang tidak berhubungan dengan soal yang diselesaikan: 3, 787, 11, 91519, dst.

Larutan. Untuk memasukkan angka dari keyboard kita akan menggunakan variabel N. Bilangan yang dimasukkan termasuk dalam himpunan bilangan asli dan terdiri dari empat digit, jadi jelas lebih besar dari 255, jadi tipenya byte tidak cocok untuk kami gambarkan. Kemudian kita akan menggunakan tipenya kata.

Sifat apa yang dimiliki bilangan palindromik? Dari contoh di atas mudah untuk melihat bahwa, karena “keterbacaan” yang identik di kedua sisi, digit pertama dan terakhir, digit kedua dan kedua dari belakang, dll., adalah sama, hingga ke tengah. Apalagi jika bilangan tersebut mempunyai jumlah digit ganjil, maka digit tengahnya dapat diabaikan pada saat pengecekan, karena jika aturan di atas terpenuhi maka bilangan tersebut adalah palindrom, berapa pun nilainya.

Dalam masalah kita, semuanya menjadi lebih sederhana, karena inputnya adalah angka empat digit. Artinya untuk menyelesaikan soal tersebut kita hanya perlu membandingkan angka ke-1 dengan angka ke-4 dan angka ke-2 dengan angka ke-3. Jika kedua persamaan ini benar, maka bilangan tersebut adalah palindrom. Yang tersisa hanyalah mendapatkan digit angka yang sesuai dalam variabel individual, dan kemudian, dengan menggunakan operator kondisional, periksa pemenuhan kedua persamaan menggunakan ekspresi Boolean (logis).

Namun, Anda sebaiknya tidak terburu-buru mengambil keputusan. Mungkin kita bisa menyederhanakan rangkaian yang dihasilkan? Ambil contoh bilangan 1441 yang telah disebutkan di atas, apa yang terjadi jika kita membaginya menjadi dua angka dua angka, yang pertama berisi tempat ribuan dan ratusan dari bilangan aslinya, dan yang kedua berisi tempat puluhan dan satuan? dari yang asli. Kita mendapatkan angka 14 dan 41. Sekarang, jika angka kedua diganti dengan notasi kebalikannya (kita melakukan ini di tugas 5), maka kita mendapatkan dua bilangan yang sama 14 dan 14! Transformasi ini cukup jelas, karena palindrom dibaca sama di kedua arah, terdiri dari kombinasi angka yang diulang dua kali, dan salah satu salinannya dibalik.

Oleh karena itu kesimpulannya: Anda perlu membagi bilangan asli menjadi dua bilangan dua digit, membalik salah satunya, lalu membandingkan bilangan yang dihasilkan menggunakan operator kondisional jika. Ngomong-ngomong, untuk mendapatkan rekaman terbalik dari paruh kedua suatu angka, kita perlu membuat dua variabel lagi untuk menyimpan angka yang digunakan. Mari kita nyatakan sebagai A Dan B, dan mereka akan menjadi seperti byte.

Sekarang mari kita gambarkan algoritma itu sendiri:

1) Masukkan nomornya N;

2) Tetapkan digit satuan dari nomor tersebut N variabel A, lalu buang. Kemudian kami menetapkan tempat puluhan N variabel B dan juga membuangnya:

3) Tetapkan ke variabel A angka yang mewakili entri terbalik yang disimpan dalam variabel A Dan B bagian kedua dari nomor aslinya N menurut rumus yang sudah diketahui:

4) Sekarang kita dapat menggunakan uji ekspresi Boolean untuk persamaan bilangan yang dihasilkan N Dan A bantuan operator jika dan mengatur keluaran respons menggunakan cabang:

jika n = a maka writeln('Ya') else writeln('Tidak');

Karena pernyataan masalah tidak secara eksplisit menyatakan dalam bentuk apa jawaban harus ditampilkan, kami akan menganggap logis untuk menampilkannya pada tingkat yang intuitif bagi pengguna, dapat diakses dalam bahasa itu sendiri. Pascal. Ingatlah bahwa menggunakan operator menulis (menulis) Anda dapat menampilkan hasil ekspresi tipe Boolean, dan jika ekspresi ini benar, kata 'TRUE' akan ditampilkan (true dalam bahasa Inggris berarti "benar"), jika salah - kata FALSE (false dalam bahasa Inggris) artinya bahasa Inggris "PALSU"). Kemudian konstruksi sebelumnya dengan jika dapat digantikan oleh

1. program PalindromeNum;
2. n: kata;
3. a, b: byte;
4. mulai
5. bacaln(n);
6. a:= n mod 10;
7. n:= n div 10;
8. b:= n mod 10;
9. n:= n div 10;
10. sebuah:= 10 * a + b;
11. tulisln(n = a)

Yakovlev Danil

Hampir semua konsep matematika, dengan satu atau lain cara, bergantung pada konsep bilangan, dan hasil akhir dari teori matematika apa pun, biasanya, dinyatakan dalam bahasa bilangan. Banyak diantaranya, terutama bilangan asli, menurut ciri dan sifat tertentu, dikelompokkan ke dalam struktur (kumpulan) tersendiri dan mempunyai nama sendiri-sendiri. Oleh karena itu, tujuan pembelajaran adalah untuk mengenal bilangan palindromik

Unduh:

Pratinjau:

FEDERASI RUSIA

Lembaga pendidikan anggaran kota

"Sekolah Menengah No. 7"

kota Nizhnevartovsk

Pekerjaan penelitian
ke konferensi ilmiah dan praktis sekolah para peneliti muda

Palindrom dalam matematika

2016

PENDAHULUAN 4

BAGIAN UTAMA................................................ ................................................. ......................5

KESIMPULAN 9

REFERENSI 11

Hipotesa
Bilangan prima adalah bagian dari bilangan-bilangan yang menyusun semua bilangan asli.
Dengan menjelajahi himpunan bilangan prima, seseorang dapat memperoleh himpunan bilangan yang menakjubkan dengan sifat-sifatnya yang luar biasa.

Tujuan penelitian
Hampir semua konsep matematika, dengan satu atau lain cara, bergantung pada konsep bilangan, dan hasil akhir dari teori matematika apa pun, biasanya, dinyatakan dalam bahasa bilangan. Banyak diantaranya, terutama bilangan asli, menurut ciri dan sifat tertentu, dikelompokkan ke dalam struktur (kumpulan) tersendiri dan mempunyai nama sendiri-sendiri. Dengan demikian,tujuan penelitianadalah pengenalan bilangan palindromik.

Tujuan penelitian

1. Pelajari literatur tentang topik penelitian.

2. Perhatikan sifat-sifat palindrom.

3. Cari tahu apa peran bilangan prima dalam mengubah sifat-sifat bilangan yang kita minati.

Subyek studi– himpunan bilangan prima.

Objek studi– angka adalah palindrom..

Metode penelitian:

• teoretis
• survei
• analisis

PERKENALAN

Suatu hari, saat bermain bowling, saya melihat angka-angka yang tidak biasa: 44, 77, 99, 101 dan saya bertanya-tanya berapakah angka-angka tersebut? Melihat di Internet, saya menemukan bahwa angka-angka ini adalah palindrom.

Palindrom (dari bahasa Yunani πάλιν - "kembali, lagi" dan bahasa Yunani δρóμος - "lari"), terkadang juga palindromon, dari gr. palindromos berlari kembali).

Berbicara tentang apa itu palindrom, perlu dikatakan bahwa “pengubah” sudah dikenal sejak zaman dahulu. Seringkali mereka diberi makna sakral yang ajaib. Palindrom muncul, contohnya dapat ditemukan dalam berbagai bahasa, mungkin pada Abad Pertengahan.

Palindrom dapat diperoleh dengan melakukan operasi pada bilangan lain. Jadi, dalam buku “Saya punya ide!” Pemopuler ilmu pengetahuan terkenal Martin Gardner menyebutkan “hipotesis palindrom” sehubungan dengan masalah ini.Jika Anda mengambil bilangan asli (apa saja) dan menambahkan kebalikannya (terdiri dari bilangan yang sama, tetapi dalam urutan terbalik), lalu ulangi tindakan tersebut, tetapi dengan jumlah yang dihasilkan, maka pada salah satu langkah Anda akan mendapatkan palindrom . Dalam beberapa kasus, cukup melakukan penjumlahan satu kali: 213 + 312 = 525. Namun biasanya diperlukan setidaknya dua operasi. Jadi, misalnya kita mengambil bilangan 96, maka dengan melakukan penjumlahan berurutan, palindrom hanya dapat diperoleh pada tingkat keempat: 96 + 69 = 165 165 + 561 = 726 726 + 627 = 1353 1353 + 3531 = 4884 inti dari hipotesisnya adalah jika Anda mengambil angka berapa pun, setelah sejumlah tindakan tertentu Anda pasti akan mendapatkan palindrom.

BAGIAN UTAMA

Angka adalah palindrom

Menemukan bilangan – palindrom dalam matematika tidaklah sulit. Saya mencoba menulis nomor untuk angka-angka ini - palindrom.

Dalam bilangan dua digit - palindrom, jumlah satuannya sama dengan jumlah puluhan.

– dalam bilangan tiga angka – palindrom, jumlah ratusan selalu bertepatan dengan jumlah satuan.

Dalam bilangan empat digit - palindrom, jumlah satuan ribuan sama dengan jumlah satuan, dan jumlah ratusan dengan jumlah puluhan, dll.

Rumusnya adalah palindrom

Rumus palindromik menarik minat saya. Yang saya maksud dengan rumus - palindrom adalah ekspresi (terdiri dari jumlah atau selisih angka), yang hasilnya tidak berubah akibat membaca ekspresi dari kanan ke kiri.

Jika Anda menjumlahkan bilangan-bilangan yang merupakan palindrom, jumlahnya tidak berubah. Menjumlahkan angka dua digit cukup sederhana, saya memutuskan untuk menuliskan jumlah angka tiga digit.

Misalnya: 121+343=464

Secara umum dapat ditulis seperti ini:

+ = +

(100x + 10x+ x) + (100y + 10y + y) = (100y + 10y + y) + (100x + 10x + x)

100x + 10x+ x + 100y + 10y + y = 100y + 10y + y + 100x +10x + x

111x + 111y = 111y + 111x

111(x + kamu) = 111(kamu + x)

x + kamu = kamu + x

Menata ulang syarat-syaratnya tidak mengubah jumlahnya(sifat komutatif penjumlahan).

Hal ini dapat dibuktikan dengan cara yang persis sama untuk bilangan 4, 5 dan n.

Mari kita perhatikan semua pasangan bilangan dua angka tersebut agar hasil pengurangannya tidak berubah akibat membaca selisihnya dari kanan ke kiri.

Bilangan dua digit apa pun dapat direpresentasikan sebagai jumlah suku-suku digit:

10x 1 + kamu 1 = 10x 2 + kamu 2

- = (10x 1 + kamu 1) – (10x 2 + kamu 2)

- = (10у 2 + x 2) – (10у 1 + x 1)

(10x 1 + kamu 1) – (10x 2 + kamu 2) = (10kamu 2 + x 2) – (10kamu 1 + x 1)

10x 1 + kamu 1 – 10x 2 - kamu 2 = 10kamu 2 + x 2 – 10kamu 1 - x 1

10x 1 + x 1 + y 1 + 10y 1 = 10y 2 + y 2 + 10x 2 + x 2

11 x 1 + 11 tahun 1 = 11 x 2 + 11 tahun 2

11(x 1 + kamu 1) = 11(x 2 + kamu 2)

x 1 + kamu 1 = x 2 + kamu 2

Angka-angka tersebut memiliki jumlah digit yang sama.

Sekarang Anda dapat membuat perbedaan berikut:

41 – 32 = 23 – 14

46 – 28 = 82 – 64

52 –16 = 61 – 25, dst.

Palindrom nominal

Palindrom ditemukan dalam beberapa kumpulan angka yang memiliki namanya sendiri: bilangan Fibonacci, bilangan Smith, Repdigit, Repunit.

Angka Fibonaccisebutkan unsur-unsur barisan bilangan. Di dalamnya, setiap angka berikutnya dalam suatu rangkaian diperoleh dengan menjumlahkan dua angka sebelumnya.

Contoh: 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,…

Nomor Smith - bilangan komposit yang jumlah angka-angkanya sama dengan jumlah angka-angka pembagi primanya.

Contoh: 202=2+0+2=4

digit ulang - bilangan asli yang semua angkanya sama.

Reunit - bilangan asli yang ditulis menggunakan satuan saja

Konstruktor numerik

Dari bilangan prima palindromik, dengan menyusunnya dengan cara tertentu, misalnya baris demi baris, Anda dapat membuat bangun simetris, yang dibedakan dengan pola asli bilangan berulang.

Di sini, misalnya, adalah kombinasi indah palindrom sederhana yang ditulis dengan 1 dan 3 (Gbr. 1). Keunikan segitiga bilangan ini adalah penggalan yang sama diulang sebanyak tiga kali tanpa merusak simetri polanya.

Beras. 1

Sangat mudah untuk melihat bahwa jumlah baris dan kolom adalah bilangan prima (17). Selain itu, bilangan prima dan jumlah digit: pecahan disorot dengan warna merah (17); setiap baris kecuali baris pertama (5, 11, 17, 19, 23); kolom ketiga, kelima, ketujuh dan kesembilan (7, 11) dan “tangga” satuan yang membentuk sisi-sisi segitiga (11). Terakhir, jika kita bergerak sejajar dengan “sisi” yang ditunjukkan dan menjumlahkan bilangan baris ketiga dan kelima secara terpisah (Gbr. 2), kita mendapatkan dua bilangan prima lagi (17, 5).

Beras. 2

Melanjutkan konstruksi, Anda dapat membuat bentuk yang lebih kompleks berdasarkan segitiga ini. Jadi, tidak sulit untuk memperoleh segitiga lain yang sifat-sifatnya serupa dengan cara berpindah dari ujung, yaitu mulai dari bilangan terakhir, mencoret pada setiap langkah dua bilangan identik yang letaknya simetris dan menata ulang atau mengganti yang lain - 3 dengan 1 dan sebaliknya. . Dalam hal ini, bilangan-bilangan itu sendiri harus dipilih sedemikian rupa sehingga bilangan yang dihasilkan menjadi bilangan prima. Menggabungkan kedua angka tersebut, kita mendapatkan belah ketupat dengan pola bilangan yang khas, menyembunyikan banyak bilangan prima (Gbr. 3). Secara khusus, jumlah angka yang diberi tanda merah adalah 37.

Beras. 3

Anda juga bisa membuat bangun poligonal dari bilangan yang mempunyai sifat tertentu. Misalkan Anda perlu membuat suatu bangun datar dari palindrom sederhana yang ditulis menggunakan 1 dan 3, yang masing-masing mempunyai angka ekstrim satuan, dan jumlah semua angka serta jumlah satuan pada baris tersebut adalah bilangan prima (pengecualiannya adalah bilangan tunggal). -digit palindrom). Selain itu, bilangan prima harus menyatakan jumlah total baris, serta angka 1 atau 3, yang ditemukan dalam catatan.

Pada Gambar. Gambar 4 menunjukkan salah satu solusi untuk masalah ini - sebuah “rumah” yang dibangun dari 11 palindrom berbeda.

Beras. 4

Tentu saja, Anda tidak perlu membatasi diri pada dua digit dan mengharuskan adanya semua digit tertentu dalam pencatatan setiap nomor yang digunakan. Sebaliknya, justru sebaliknya: bagaimanapun juga, kombinasi mereka yang tidak biasalah yang memberikan orisinalitas pada pola gambar tersebut. Untuk mengonfirmasi hal ini, kami memberikan beberapa contoh ketergantungan palindromik yang indah (Gbr. 5−7).

Beras. 5

Beras. 6

Beras. 7

KESIMPULAN

Dalam pekerjaan saya, saya melihat bilangan - palindrom, rumus - palindrom untuk jumlah bilangan tiga angka dan selisih bilangan dua angka dan mampu membuktikannya. Saya berkenalan dengan bilangan asli yang menakjubkan: palindrom dan repunit. Semuanya berutang sifat-sifatnya pada bilangan prima.
Secara intuitif, saya menyusun rumus jumlah dan selisih bilangan n-digit, hasil kali dan hasil bagi bilangan dua digit.

Dalam kasus perkalian kita mempunyai:

63 ∙ 48 = 84 ∙ 36

82 ∙ 14 = 41 ∙ 28

26 ∙ 31 = 62 ∙ 13, dst.

Hasil kali angka pertama sama dengan hasil kali angka kedua x 1 ∙ x 2 = kamu 1 ∙ kamu 2

Untuk pembagian kita mendapatkan contoh berikut:

62: 31 = 26: 13

96:32 = 69:23, dst.

Saya belum bisa membuktikan pernyataan-pernyataan ini, tapi saya rasa saya akan bisa membuktikannya di masa depan.

Dalam literatur saya dapat menemukan rumus - palindrom untuk mengalikan bilangan multi-digit

20646 ∙ 35211 = 11253 ∙ 64602 203313 ∙ 657624 = 426756 ∙ 313302

726966306 = 726966306 133703508312 = 133703508312

Saya mencapai tujuan pekerjaan saya. Saya melihat angka - palindrom dan menuliskannya dalam bentuk umum. Dia memberi contoh dan membuktikan rumus - palindrom untuk penjumlahan dan pengurangan bilangan dua digit. Saya mengidentifikasi sejumlah masalah yang masih harus saya kerjakan dan pelajari rumusnya - palindrom. Artinya saya membenarkan hipotesis bahwa bilangan prima adalah bagian dari bilangan yang menyusun semua bilangan asli. Dengan menjelajahi himpunan bilangan prima, seseorang dapat memperoleh himpunan bilangan yang menakjubkan dengan sifat-sifatnya yang luar biasa.

Pratinjau:

Untuk menggunakan pratinjau presentasi, buat akun Google dan masuk:

Natalya Karpushina.

KE BELAKANG

Palindrom numerik adalah bilangan asli yang bacaannya sama dari kiri ke kanan dan dari kanan ke kiri. Dengan kata lain dibedakan berdasarkan simetri notasi (susunan bilangan), dan jumlah karakternya bisa genap atau ganjil. Palindrom ditemukan dalam beberapa kumpulan angka yang memiliki namanya sendiri: di antara angka Fibonacci - 8, 55 (anggota ke-6 dan ke-10 dari barisan dengan nama yang sama); angka berpola - 676, 1001 (masing-masing persegi dan pentagonal); Nomor Smith - 45454, 983389. Setiap repdigit, misalnya 2222222 dan, khususnya, repunit, juga memiliki properti ini.

Palindrom dapat diperoleh dengan melakukan operasi pada bilangan lain. Jadi, dalam buku “Saya punya ide!” Pemopuler ilmu pengetahuan terkenal Martin Gardner menyebutkan “hipotesis palindrom” sehubungan dengan masalah ini. Mari kita ambil bilangan asli apa pun dan menjumlahkannya ke bilangan invers, yaitu ditulis dengan angka yang sama, tetapi dalam urutan terbalik. Mari kita lakukan tindakan yang sama dengan jumlah yang dihasilkan dan ulangi sampai palindrom terbentuk. Terkadang satu langkah saja sudah cukup (misalnya, 312 + 213 = 525), tetapi biasanya diperlukan setidaknya dua langkah. Katakanlah angka 96 menghasilkan palindrom 4884 hanya pada langkah keempat. Memang:

165 + 561 = 726,

726 + 627 = 1353,

1353 + 3531 = 4884.

Dan inti dari hipotesisnya adalah, dengan mengambil bilangan berapapun, setelah sejumlah tindakan yang terbatas kita pasti akan mendapatkan palindrom.

Anda tidak hanya dapat mempertimbangkan penjumlahan, tetapi juga operasi lain, termasuk eksponensial dan ekstraksi akar. Berikut beberapa contoh bagaimana mereka dapat digunakan untuk membuat palindrom lain:

PERMAINAN ANGKA

Sejauh ini kita hanya melihat bilangan komposit. Sekarang mari kita beralih ke bilangan sederhana. Dalam keragamannya yang tak terbatas, terdapat banyak spesimen aneh dan bahkan seluruh famili palindrom. Hanya di antara seratus juta bilangan asli pertama terdapat 781 palindrom sederhana, dengan dua puluh termasuk dalam seribu pertama, empat di antaranya adalah bilangan satu digit - 2, 3, 5, 7 dan hanya satu bilangan dua digit - 11. Banyak fakta menarik dan pola-pola indah diasosiasikan dengan angka-angka tersebut.

Pertama, ada palindrom sederhana yang unik dengan jumlah digit genap - 11. Dengan kata lain, palindrom apa pun dengan jumlah digit genap lebih dari dua adalah bilangan komposit, yang mudah dibuktikan berdasarkan uji habis dibagi 11 .

Kedua, angka pertama dan terakhir dari setiap palindrom sederhana hanya boleh 1, 3, 7 atau 9. Hal ini mengikuti tanda-tanda habis dibagi 2 dan 5. Anehnya, semua bilangan dua angka sederhana ditulis menggunakan angka-angka yang tercantum. (kecuali 19), dapat dibagi menjadi pasangan-pasangan bilangan “terbalik” (bilangan yang saling terbalik) berbentuk dan , dimana bilangan a dan b berbeda. Masing-masing, terlepas dari nomor mana yang lebih dulu, dibaca sama dari kiri ke kanan dan dari kanan ke kiri:

13 dan 31, 17 dan 71,

37 dan 73, 79 dan 97.

Melihat tabel bilangan prima, kita akan menemukan pasangan-pasangan yang sejenis, yang dalam pencatatannya juga terdapat bilangan-bilangan lain, khususnya di antara bilangan tiga angka akan ada empat belas pasangan tersebut.

Selain itu, di antara palindrom tiga angka sederhana terdapat pasangan bilangan yang angka tengahnya hanya berbeda 1:

18 1 dan 1 9 1, 37 3 dan 3 8 3,

78 7 dan 7 9 7, 91 9 dan 9 2 9.

Gambaran serupa diamati untuk bilangan prima yang lebih besar, misalnya:

948 49 dan 94 9 49,

1177 711 dan 117 8 711.

Bilangan prima palindromik dapat “ditetapkan” dengan rumus simetris yang berbeda, yang mencerminkan ciri-ciri notasinya. Hal ini terlihat jelas pada contoh bilangan lima digit:

Ngomong-ngomong, bentuk bilangan multi-digit sederhana tampaknya hanya ditemukan di kalangan orang Repun. Ada lima nomor yang diketahui. Patut dicatat bahwa untuk masing-masing bilangan tersebut jumlah digitnya dinyatakan sebagai bilangan prima: 2, 19, 23, 317, 1031. Namun di antara bilangan prima, yang semua digitnya kecuali yang di tengah, terdapat palindrom dengan panjang yang sangat mengesankan. ditemukan - memiliki 1749 digit :

Secara umum, di antara bilangan prima palindromik terdapat contoh yang menakjubkan. Ini hanyalah satu contoh - raksasa numerik

Dan menarik karena memuat 11.811 angka yang dapat dibagi menjadi tiga kelompok palidromik, dan pada setiap kelompok jumlah digitnya dinyatakan sebagai bilangan prima (5903 atau 5).

PASANGAN TERKENAL

Pola palindromik yang aneh juga dapat dilihat pada kelompok bilangan prima yang mengandung angka-angka tertentu. Katakanlah hanya angka 1 dan 3 saja, dan di masing-masing angka tersebut. Jadi, bilangan prima dua angka membentuk pasangan terurut 13 - 31 dan 31 - 13, dari enam bilangan prima tiga angka, lima bilangan sekaligus, di antaranya ada dua palindrom: 131 dan 313, dan dua bilangan lagi membentuk pasangan. “pembalikan” 311 - 113 dan 113 - 311 Dalam semua kasus ini, pasangan yang dibuat direpresentasikan secara visual dalam bentuk kotak numerik (Gbr. 1).

Beras. 1

Properti mereka menyerupai kotak ajaib dan Latin. Misalnya, dalam kuadrat rata-rata, jumlah angka di setiap baris dan kolom adalah 444, pada diagonal - 262 dan 626. Menambahkan angka dari semua sel, kita mendapatkan 888. Dan yang khas, setiap jumlah adalah sebuah palindrom. Bahkan hanya dengan menuliskan beberapa bilangan dari satu tabel tanpa spasi, kita mendapatkan palindrom baru: 3113, 131313131, dst. Berapakah bilangan terbesar yang dapat disusun dengan cara ini? Apakah ini akan menjadi palindrom?

Jika kita menambahkan 131 atau 313 ke masing-masing pasangan 311 - 113 dan 113 - 311, maka akan terbentuk empat kembar tiga palindrom. Mari kita tulis salah satunya di kolom:

Seperti yang bisa kita lihat, baik angka-angka itu sendiri maupun kombinasi yang diinginkan akan terasa ketika dibaca dalam arah yang berbeda. Selain itu, susunan bilangan-bilangan tersebut simetris, dan jumlahnya pada setiap baris, setiap kolom, dan pada salah satu diagonal dinyatakan dengan bilangan sederhana - 5.

Harus dikatakan bahwa angka-angka yang dianggap menarik itu sendiri. Misalnya, palindrom 131 adalah bilangan prima siklik: setiap penataan ulang digit pertama ke angka terakhir akan menghasilkan bilangan prima 311 dan 113. Bisakah Anda menunjukkan palindrom prima lain yang mempunyai sifat yang sama?

Tetapi pasangan angka “terbalik” 13 - 31 dan 113 - 311, jika dikuadratkan, juga menghasilkan pasangan angka “terbalik”: 169 - 961 dan 12769 - 96721. Anehnya, jumlah angka-angkanya pun ternyata sama. terkait dengan cara yang licik:

(1 + 3) 2 = 1 + 6 + 9,

(1 + 1 + 3) 2 = 1 + 2 + 7 + 6 + 9.

Mari kita tambahkan bahwa di antara bilangan asli terdapat pasangan “pembalikan” lain dengan sifat serupa: 103 - 301, 1102 - 2011, 11113 - 31111, dst. Apa yang menjelaskan pola yang diamati? Untuk menjawab pertanyaan tersebut, Anda perlu memahami apa yang istimewa dari pencatatan angka-angka tersebut, angka apa saja dan dalam jumlah berapa yang dapat terdapat di dalamnya.

KONSTRUKTOR NUMERIK

Dari bilangan prima palindromik, dengan menyusunnya dengan cara tertentu, misalnya baris demi baris, Anda dapat membuat bangun simetris, yang dibedakan dengan pola asli bilangan berulang.

Di sini, misalnya, adalah kombinasi indah palindrom sederhana yang ditulis dengan 1 dan 3 (kecuali yang pertama, Gambar 2). Keunikan segitiga bilangan ini adalah penggalan yang sama diulang sebanyak tiga kali tanpa merusak simetri polanya.

Beras. 2

Sangat mudah untuk melihat bahwa jumlah baris dan kolom adalah bilangan prima (17). Selain itu, bilangan prima dan jumlah digit: pecahan disorot dengan warna merah (17); setiap baris kecuali baris pertama (5, 11, 17, 19, 23); kolom ketiga, kelima, ketujuh dan kesembilan (7, 11) dan “tangga” satuan yang membentuk sisi-sisi segitiga (11). Terakhir, jika kita bergerak sejajar dengan “sisi” yang ditunjukkan dan menjumlahkan bilangan baris ketiga dan kelima secara terpisah (Gbr. 3), kita mendapatkan dua bilangan prima lagi (17, 5).

Beras. 3

Melanjutkan konstruksi, Anda dapat membuat bentuk yang lebih kompleks berdasarkan segitiga ini. Jadi, tidak sulit untuk memperoleh segitiga lain yang sifat-sifatnya serupa dengan cara berpindah dari ujung, yaitu mulai dari bilangan terakhir, mencoret pada setiap langkah dua bilangan identik yang letaknya simetris dan menata ulang atau mengganti yang lain - 3 dengan 1 dan sebaliknya. . Dalam hal ini, bilangan-bilangan itu sendiri harus dipilih sedemikian rupa sehingga bilangan yang dihasilkan menjadi bilangan prima. Menggabungkan kedua angka tersebut, kita mendapatkan belah ketupat dengan pola bilangan yang khas, menyembunyikan banyak bilangan prima (Gbr. 4). Secara khusus, jumlah angka yang diberi tanda merah adalah 37.

Beras. 4

Contoh lain adalah segitiga yang diperoleh dari segitiga asli setelah menambahkan enam palindrom sederhana ke dalamnya (Gbr. 5). Sosoknya langsung menarik perhatian dengan bingkai unitnya yang elegan. Dibatasi oleh dua repunit sederhana dengan panjang yang sama: 23 unit membentuk “alas” dan jumlah yang sama membentuk “sisi” segitiga.

Beras. 5

Beberapa angka lagi

Anda juga bisa membuat bangun poligonal dari bilangan yang mempunyai sifat tertentu. Misalkan Anda perlu membuat suatu bangun datar dari palindrom sederhana yang ditulis menggunakan 1 dan 3, yang masing-masing mempunyai angka ekstrim satuan, dan jumlah semua angka serta jumlah satuan pada baris tersebut adalah bilangan prima (pengecualiannya adalah bilangan tunggal). -digit palindrom). Selain itu, bilangan prima harus menyatakan jumlah total baris, serta angka 1 atau 3, yang ditemukan dalam catatan.

Pada Gambar. Gambar 6 menunjukkan salah satu solusi untuk masalah ini - sebuah “rumah” yang dibangun dari 11 palindrom berbeda.

Beras. 6

Tentu saja, Anda tidak perlu membatasi diri pada dua digit dan mengharuskan adanya semua digit tertentu dalam pencatatan setiap nomor yang digunakan. Sebaliknya, justru sebaliknya: bagaimanapun juga, kombinasi mereka yang tidak biasalah yang memberikan orisinalitas pada pola gambar tersebut. Untuk mengonfirmasi hal ini, kami memberikan beberapa contoh ketergantungan palindromik yang indah (Gbr. 7−9).

Beras. 7

Beras. 8

Beras. 9

Sekarang, dengan berbekal tabel bilangan prima, Anda sendiri dapat membuat angka seperti yang kami usulkan.

Dan akhirnya, satu lagi keingintahuan - sebuah segitiga, yang secara harfiah ditusuk memanjang dan melintang dengan palindrom (Gbr. 10). Ia memiliki 11 baris bilangan prima, dan kolom-kolomnya dibentuk oleh repdigit. Dan yang terpenting: palindrom 193111111323111111391 yang membatasi bangun dari samping adalah bilangan prima!