Grafik fungsi 2 variabel z = f(x,y) adalah permukaan yang diproyeksikan pada bidang XOY ke dalam domain definisi fungsi D.
Pertimbangkan permukaannya σ , diberikan oleh persamaan z = f(x,y), di mana f(x,y) adalah fungsi terdiferensiasi, dan misalkan M 0 (x 0 ,y 0 ,z 0) adalah titik tetap pada permukaan σ, yaitu. z 0 = f(x 0 ,kamu 0). Tujuan. Kalkulator online dirancang untuk menemukan persamaan normal bidang singgung dan permukaan. Solusinya dibuat dalam format Word. Jika Anda ingin mencari persamaan garis singgung kurva (y = f(x)), maka Anda perlu menggunakan layanan ini.

Aturan untuk memasukkan fungsi:

Aturan untuk memasukkan fungsi:

Bidang singgung ke permukaan σ pada maksudnya M 0 adalah bidang tempat letak garis singgung semua kurva yang digambar pada permukaan σ melalui titik tersebut M 0 .
Persamaan bidang singgung permukaan yang ditentukan oleh persamaan z = f(x,y) di titik M 0 (x 0 ,y 0 ,z 0) berbentuk:

z – z 0 = f’ x (x 0 ,y 0)(x – x 0) + f’ y (x 0 ,y 0)(y – y 0)

Vektor tersebut disebut vektor normal permukaan σ di titik M 0. Vektor normal tegak lurus terhadap bidang singgung.
Normal ke permukaan σ pada intinya M 0 adalah garis lurus yang melalui titik ini dan mempunyai arah vektor N.
Persamaan kanonik garis normal permukaan ditentukan oleh persamaan z = f(x,y) di titik M 0 (x 0 ,y 0 ,z 0), di mana z 0 = f(x 0 ,y 0), memiliki bentuk:

Contoh No.1. Permukaannya diberikan oleh persamaan x 3 +5y. Tentukan persamaan bidang singgung permukaan di titik M 0 (0;1).
Larutan. Mari kita tulis persamaan tangen dalam bentuk umum: z - z 0 = f" x (x 0 ,y 0 ,z 0)(x - x 0) + f" y (x 0 ,y 0 ,z 0)(y - kamu 0 )
Sesuai dengan kondisi soal, x 0 = 0, y 0 = 1, maka z 0 = 5
Mari kita cari turunan parsial dari fungsi z = x^3+5*y:
f" x (x,y) = (x 3 +5 kamu)" x = 3 x 2
f" x (x,y) = (x 3 +5 kamu)" kamu = 5
Pada titik M 0 (0,1) nilai turunan parsialnya adalah:
f" x (0;1) = 0
f" kamu (0;1) = 5
Dengan menggunakan rumus tersebut, kita memperoleh persamaan bidang singgung permukaan di titik M 0: z - 5 = 0(x - 0) + 5(y - 1) atau -5 y+z = 0

Contoh No.2. Permukaan didefinisikan secara implisit y 2 -1/2*x 3 -8z. Tentukan persamaan bidang singgung permukaan di titik M 0 (1;0;1).
Larutan. Menemukan turunan parsial suatu fungsi. Karena fungsinya ditentukan secara implisit, kami mencari turunannya menggunakan rumus:

Untuk fungsi kami:

Kemudian:

Pada titik M 0 (1,0,1) nilai turunan parsial:
f" x (1;0;1) = -3 / 16
f" kamu (1;0;1) = 0
Dengan menggunakan rumus tersebut, kita memperoleh persamaan bidang singgung permukaan di titik M 0: z - 1 = -3 / 16 (x - 1) + 0(y - 0) atau 3 / 16 x+z- 19 / 16 = 0

Contoh. Permukaan σ diberikan oleh persamaan z= y/x + xy – 5X 3. Temukan persamaan bidang singgung dan garis normal permukaan σ pada intinya M 0 (X 0 ,kamu 0 ,z 0), miliknya, jika X 0 = –1, kamu 0 = 2.
Mari kita cari turunan parsial dari fungsi tersebut z= F(X,kamu) = y/x + xy – 5X 3:
fx'( X,kamu) = (y/x + xy – 5X 3)' x = – kamu/x 2 + kamu – 15X 2 ;
f kamu '( X,kamu) = (y/x + xy – 5X 3)' kamu = 1/x + X.
Dot M 0 (X 0 ,kamu 0 ,z 0) milik permukaan σ , jadi kita bisa menghitungnya z 0 , menggantikan yang diberikan X 0 = –1 dan kamu 0 = 2 ke dalam persamaan permukaan:

z= y/x + xy – 5X 3

z 0 = 2/(-1) + (–1) 2 – 5 (–1) 3 = 1.
Pada intinya M 0 (–1, 2, 1) nilai turunan parsial:
fx'( M 0) = –1/(-1) 2 + 2 – 15(–1) 2 = –15; f kamu '( M 0) = 1/(-1) – 1 = –2.
Dengan menggunakan rumus (5) kita memperoleh persamaan bidang singgung permukaan σ pada intinya M 0:
z – 1= –15(X + 1) – 2(kamu – 2) z – 1= –15X – 15 – 2kamu+ 4 15X + 2kamu + z + 10 = 0.
Dengan menggunakan rumus (6) kita memperoleh persamaan kanonik dari garis normal permukaan σ pada intinya M 0: .
Jawaban: persamaan bidang singgung: 15 X + 2kamu + z+ 10 = 0; persamaan normal: .

Contoh No.1. Diberikan suatu fungsi z=f(x,y) dan dua titik A(x 0, y 0) dan B(x 1, y 1). Diperlukan: 1) menghitung nilai z 1 fungsi di titik B; 2) menghitung perkiraan nilai z 1 fungsi di titik B berdasarkan nilai z 0 fungsi di titik A, mengganti kenaikan fungsi ketika berpindah dari titik A ke titik B dengan diferensial; 3) buatlah persamaan bidang singgung permukaan z = f(x,y) di titik C(x 0 ,y 0 ,z 0).
Larutan.
Mari kita tulis persamaan tangen dalam bentuk umum:
z - z 0 = f" x (x 0 ,y 0 ,z 0)(x - x 0) + f" y (x 0 ,y 0 ,z 0)(y - y 0)
Sesuai dengan kondisi soal, x 0 = 1, y 0 = 2, maka z 0 = 25
Mari kita cari turunan parsial dari fungsi z = f(x,y)x^2+3*x*y*+y^2:
f" x (x,y) = (x 2 +3 x y +y 2)" x = 2 x+3 kamu 3
f" x (x,y) = (x 2 +3 x y +y 2)" y = 9 x y 2
Pada titik M 0 (1,2) nilai turunan parsialnya adalah:
f" x (1;2) = 26
f" kamu (1;2) = 36
Dengan menggunakan rumus tersebut, kita memperoleh persamaan bidang singgung permukaan di titik M 0:
z - 25 = 26(x - 1) + 36(y - 2)
atau
-26 x-36 y+z+73 = 0

Contoh No.2. Tuliskan persamaan bidang singgung dan normal paraboloid elips z = 2x 2 + y 2 di titik (1;-1;3).

Mari kita mempunyai permukaan yang ditentukan oleh persamaan bentuk

Mari kita perkenalkan definisi berikut.

Definisi 1. Garis lurus disebut bersinggungan dengan permukaan di suatu titik, jika garis tersebut bersinggungan dengan permukaan

bersinggungan dengan setiap kurva yang terletak pada permukaan dan melalui suatu titik.

Karena banyak sekali kurva berbeda yang terletak di permukaan yang melewati titik P, maka, secara umum, akan ada banyak sekali garis singgung permukaan yang melalui titik ini.

Mari kita perkenalkan konsep titik tunggal dan titik biasa pada suatu permukaan

Jika pada suatu titik ketiga turunannya sama dengan nol atau paling sedikit salah satu turunannya tidak ada, maka titik M disebut titik tunggal permukaan. Jika pada suatu titik ketiga turunannya ada dan kontinu, dan paling sedikit salah satu diantaranya berbeda dari nol, maka titik M disebut titik biasa pada permukaan.

Sekarang kita dapat merumuskan teorema berikut.

Dalil. Semua garis singgung permukaan tertentu (1) pada titik biasa P terletak pada bidang yang sama.

Bukti. Mari kita perhatikan garis L tertentu pada permukaan (Gbr. 206) yang melalui suatu titik P pada permukaan. Biarkan kurva yang dipertimbangkan diberikan oleh persamaan parametrik

Garis singgung kurva akan menjadi garis singgung permukaan. Persamaan garis singgung ini berbentuk

Jika ekspresi (2) disubstitusikan ke persamaan (1), maka persamaan tersebut akan menjadi identitas terhadap t, karena kurva (2) terletak pada permukaan (1). Membedakannya dengan yang kita dapatkan

Proyeksi vektor ini bergantung pada - koordinat titik P; perhatikan bahwa karena titik P biasa saja, proyeksi di titik P ini tidak hilang secara bersamaan dan oleh karena itu

bersinggungan dengan kurva yang melalui titik P dan terletak di permukaan. Proyeksi vektor ini dihitung berdasarkan persamaan (2) pada nilai parameter t yang sesuai dengan titik P.

Mari kita hitung hasil kali skalar dari vektor N dan yang sama dengan jumlah hasil kali proyeksi dengan nama yang sama:

Berdasarkan persamaan (3), ekspresi di ruas kanan sama dengan nol, oleh karena itu,

Dari persamaan terakhir maka vektor LG dan vektor singgung kurva (2) di titik P tegak lurus. Alasan di atas berlaku untuk setiap kurva (2) yang melalui titik P dan terletak di permukaan. Akibatnya, setiap garis singgung permukaan di titik P tegak lurus terhadap vektor N yang sama dan oleh karena itu semua garis singgung ini terletak pada bidang yang sama yang tegak lurus terhadap vektor LG. Teorema tersebut telah terbukti.

Definisi 2. Bidang di mana semua garis singgung garis pada permukaan yang melalui titik P terletak disebut bidang singgung permukaan di titik P (Gbr. 207).

Perhatikan bahwa pada titik tunggal permukaan mungkin tidak terdapat bidang singgung. Pada titik-titik tersebut, garis singgung permukaan mungkin tidak terletak pada bidang yang sama. Misalnya, titik puncak permukaan kerucut adalah titik tunggal.

Garis singgung permukaan kerucut pada titik ini tidak terletak pada bidang yang sama (garis singgung itu sendiri membentuk permukaan kerucut).

Mari kita tuliskan persamaan bidang singgung permukaan (1) pada titik biasa. Karena bidang ini tegak lurus terhadap vektor (4), maka persamaannya berbentuk

Jika persamaan permukaan diberikan dalam bentuk atau persamaan bidang singgung dalam hal ini berbentuk

Komentar. Jika kita masukkan ke dalam rumus (6), maka rumus ini akan berbentuk

ruas kanannya adalah diferensial total dari fungsi tersebut. Karena itu, . Jadi, diferensial total suatu fungsi dua variabel pada suatu titik yang bersesuaian dengan pertambahan variabel bebas x dan y sama dengan pertambahan penerapan bidang singgung ke permukaan, yang merupakan grafik fungsi ini.

Definisi 3. Garis lurus yang melalui suatu titik pada permukaan (1) tegak lurus bidang singgung disebut garis normal permukaan (Gbr. 207).

Mari kita tulis persamaan normalnya. Karena arahnya berimpit dengan arah vektor N, persamaannya akan berbentuk

Definisi 1 : Bidang singgung permukaan pada suatu titik P (x 0, y 0, z 0) adalah bidang yang melalui titik P dan memuat semua garis singgung yang dibangun di titik P terhadap semua kemungkinan kurva pada permukaan tersebut yang melalui titik P.

Biarkan permukaan s diberikan oleh persamaan F (X, pada, z) = 0 dan titik P (X 0 , kamu 0 , z 0) milik permukaan ini. Mari kita pilih beberapa kurva di permukaan L, melewati titik tersebut R.

Membiarkan X = X(T), pada = pada(T), z = z(T) - persamaan parametrik garis L.

Mari kita asumsikan bahwa: 1) fungsi F(X, pada, z) dapat dibedakan pada intinya R dan tidak semua turunan parsialnya pada saat ini sama dengan nol; 2) fungsi X(T), pada(T), z(T) juga dapat terdiferensiasi.

Karena kurva tersebut termasuk dalam permukaan s, koordinat titik mana pun pada kurva ini, jika disubstitusikan ke dalam persamaan permukaan, akan mengubahnya menjadi suatu identitas. Jadi, persamaan serupa juga benar: F [X(T), pada(T), z (T)]= 0.

Membedakan identitas ini sehubungan dengan variabel T, dengan menggunakan aturan rantai, kita memperoleh persamaan identik baru, yang berlaku di semua titik kurva, termasuk di titik tersebut P (X 0 , kamu 0 , z 0):

Biarkan titik P sesuai dengan nilai parameter T 0, itu X 0 = X (T 0), kamu 0 = kamu (T 0), z 0 = z (T 0). Kemudian relasi terakhir dihitung pada titik tersebut R, akan mengambil formulir

Rumus ini adalah hasil kali skalar dua vektor. Yang pertama adalah vektor konstan

independen dari pilihan kurva pada permukaan.

Vektor kedua bersinggungan pada suatu titik R ke garis L, artinya bergantung pada pilihan garis pada permukaan, yaitu vektor variabel.

Dengan notasi yang diperkenalkan, persamaannya adalah:

mari kita tulis ulang caranya.

Artinya begini: hasil kali skalar sama dengan nol, oleh karena itu vektor-vektornya tegak lurus. Memilih semua kemungkinan kurva yang melalui suatu titik R pada permukaan s, kita akan mempunyai vektor tangen berbeda yang dibangun pada titik tersebut R ke jalur ini; vektor tidak bergantung pada pilihan ini dan akan tegak lurus terhadap salah satu vektor tersebut, yaitu semua vektor singgung terletak pada bidang yang sama, yang menurut definisinya bersinggungan dengan permukaan s, dan titik R dalam hal ini disebut titik singgung. Vektor adalah vektor arah normal permukaan.

Definisi 2: Garis normal permukaan s di titik P adalah garis lurus yang melalui titik P dan tegak lurus terhadap bidang singgung yang dibangun di titik tersebut.

Kami telah membuktikan keberadaan bidang singgung, dan akibatnya, bidang normal terhadap permukaan. Mari kita tuliskan persamaannya:

Persamaan bidang singgung yang dibangun di titik P (x0, y0, z0) terhadap permukaan s diberikan oleh persamaan F(x, y, z) = 0;

Persamaan normal yang dibangun pada suatu titik R ke permukaan s.

Contoh: Temukan persamaan permukaan yang dibentuk oleh rotasi parabola:

z 2 = 2p (y +2)

di sekitar sumbu y, hitunglah asalkan titik tersebut M(3, 1, - 3) milik permukaan. Tentukan persamaan bidang normal dan bidang singgung permukaan di titik M.

Larutan. Dengan menggunakan aturan penulisan permukaan rotasi, kita peroleh:

z 2 + X 2 = 2p (y +2) .

Mengganti koordinat titik M ke dalam persamaan ini, kami menghitung nilai parameter p: 9 + 9 = 2p(1 + 2) . Kami merekam tampilan akhir permukaan revolusi yang melewati titik tersebut M:

z 2 + X 2 = 6(kamu +2).

Sekarang kita akan mencari persamaan bidang normal dan bidang singgung menggunakan rumus, yang pertama kita hitung turunan parsial dari fungsi tersebut:

F(x, kamu) = z 2 + X 2- 6 (kamu +2):

Kemudian persamaan bidang singgung terbentuk 6(x - 3) - 6(y - 1) - 6(z + 3) = 0 atau x - y - z - 5 = 0;

1°

1°. Persamaan bidang singgung dan normal untuk kasus definisi permukaan secara eksplisit.

Mari kita perhatikan salah satu aplikasi geometri turunan parsial suatu fungsi dua variabel. Biarkan fungsinya z = F (X ;kamu) dapat dibedakan pada intinya (x 0; kamu 0) beberapa daerah DÎ R 2. Mari kita potong permukaannya S, mewakili fungsinya z, pesawat x = x 0 Dan kamu = kamu 0(Gbr. 11).

Pesawat X = x 0 memotong permukaan S sepanjang garis tertentu z 0 (kamu ), persamaan yang diperoleh dengan mensubstitusikan ke dalam ekspresi fungsi aslinya z ==F (X ;kamu) alih-alih X angka x 0 . Dot M 0 (x 0 ;kamu 0,F (x 0 ;kamu 0)) milik kurva z 0 (kamu). Karena fungsinya yang terdiferensiasi z pada intinya M 0 fungsi z 0 (kamu) juga dapat dibedakan pada intinya kamu = kamu 0 . Oleh karena itu, pada titik ini di dalam pesawat x = x 0 ke kurva z 0 (kamu) garis singgung dapat ditarik aku 1.

Melakukan alasan serupa untuk bagian tersebut pada = kamu 0, mari kita buat garis singgung aku 2 ke kurva z 0 (X) pada intinya X = x 0 - Langsung 1 1 Dan 1 2 mendefinisikan pesawat yang disebut bidang singgung ke permukaan S pada intinya M 0.

Mari kita buat persamaannya. Sejak pesawat melewati titik tersebut bulan(x 0 ;kamu 0 ;z 0), maka persamaannya dapat ditulis sebagai

A(x - xo) + B(y - yo) + C (z - zo) = 0,

yang dapat ditulis ulang seperti ini:

z -z 0 = SEBUAH 1 (x – x 0) + B 1 (kamu – kamu 0) (1)

(membagi persamaan dengan -C dan menyatakan ).

Kami akan menemukannya Sebuah 1 dan B1.

Persamaan tangen 1 1 Dan 1 2 terlihat seperti

masing-masing.

Garis singgung aku 1 terletak pada bidang a , oleh karena itu, koordinat semua titik aku 1 memenuhi persamaan (1). Fakta ini dapat dituliskan dalam bentuk suatu sistem

Menyelesaikan sistem ini sehubungan dengan B 1, kita memperolehnya Dengan melakukan alasan serupa untuk garis singgung aku 3, mudah untuk menetapkannya.

Mengganti nilai-nilai Sebuah 1 dan B 1 ke dalam persamaan (1), diperoleh persamaan bidang singgung yang diinginkan:

Garis yang melalui suatu titik M 0 dan tegak lurus terhadap bidang singgung yang dibangun pada titik tertentu di permukaan disebut bidangnya normal.

Dengan menggunakan syarat tegak lurus garis dan bidang, mudah untuk memperoleh persamaan normal kanonik:

Komentar. Rumus bidang singgung dan garis normal permukaan diperoleh untuk titik-titik permukaan biasa, yaitu titik-titik non-khusus. Dot M 0 permukaan disebut spesial, jika pada titik ini semua turunan parsial sama dengan nol atau setidaknya salah satu turunannya tidak ada. Kami tidak mempertimbangkan poin-poin tersebut.

Contoh. Tuliskan persamaan bidang singgung dan garis normal permukaan pada titiknya M(2; -1; 1).

Larutan. Mari kita cari turunan parsial dari fungsi ini dan nilainya di titik M

Dari sini, dengan menerapkan rumus (2) dan (3), kita akan mendapatkan: z-1=2(x-2)+2(y+1) atau 2х+2у-z-1=0- persamaan bidang singgung dan - persamaan normal.

2°. Persamaan bidang singgung dan normal untuk kasus definisi permukaan secara implisit.

Jika permukaan S diberikan oleh persamaan F (X ; kamu;z)= 0, maka persamaan (2) dan (3), dengan mempertimbangkan fakta bahwa turunan parsial dapat ditemukan sebagai turunan dari suatu fungsi implisit.

Persamaan bidang normal

1.

4.

Bidang singgung dan permukaan normal

Misalkan suatu permukaan diberikan, A adalah titik tetap pada permukaan dan B adalah titik variabel pada permukaan,

(Gbr. 1).

Vektor bukan nol

→

N

ditelepon vektor biasa ke permukaan di titik A, jika

batas B→SEBUAH j = π 2 .

Suatu titik permukaan F (x, y, z) = 0 disebut biasa jika berada pada titik tersebut

1. turunan parsial F " x , F " y , F " z kontinu;
2. (F " x )2 + (F " y )2 + (F " z )2 ≠ 0 .

Jika setidaknya salah satu dari kondisi ini dilanggar, titik permukaan disebut titik khusus di permukaan .

Teorema 1. Jika M(x 0 , y 0 , z 0 ) adalah titik biasa pada permukaan F (x , y , z) = 0 , maka vektornya

→ N = lulusan F (x 0 , y 0 , z 0 ) = F " x (x 0 , y 0 , z 0 ) → Saya + F " kamu (x 0 , kamu 0 , z 0 ) → J + F " z (x 0 , kamu 0 , z 0 ) → k

(1)

normal pada permukaan ini di titik M (x 0 , y 0 , z 0 ) .

Bukti diberikan dalam buku oleh I.M. Petrushko, L.A. Kuznetsova, V.I. Prokhorenko, V.F. Safonova ``Kursus matematika tinggi: Kalkulus integral. Fungsi beberapa variabel. Persamaan diferensial. M.: Penerbitan MPEI, 2002 (hlm. 128).

Normal ke permukaan di suatu titik terdapat garis lurus yang vektor arahnya tegak lurus permukaan di titik tersebut dan melalui titik tersebut.

Resmi persamaan biasa dapat direpresentasikan dalam bentuk

x−x 0 F " x (x 0 , kamu 0 , z 0 ) = kamu − kamu 0 F " kamu (x 0 , kamu 0 , z 0 ) = z − z 0 F " z (x 0 , kamu 0 , z 0 ) .

(2)

Bidang singgung ke permukaan pada suatu titik tertentu adalah sebuah bidang yang melalui titik tersebut tegak lurus terhadap garis normal permukaan pada titik tersebut.

Dari definisi ini dapat disimpulkan bahwa persamaan bidang singgung memiliki bentuk:

(3)

Jika suatu titik pada suatu permukaan berbentuk tunggal, maka pada titik tersebut vektor yang tegak lurus terhadap permukaan tersebut mungkin tidak ada, dan oleh karena itu, permukaan tersebut mungkin tidak mempunyai bidang normal dan bidang singgung.

Arti geometris dari diferensial total suatu fungsi dua variabel

Misalkan fungsi z = f (x, y) terdiferensialkan di titik a (x 0, y 0). Grafiknya adalah permukaan

f (x, y) − z = 0.

Misalkan z 0 = f (x 0 , y 0 ) . Maka titik A (x 0 , y 0 , z 0 ) termasuk dalam permukaan.

Turunan parsial dari fungsi F (x, y, z) = f (x, y) − z adalah

F " x = f " x , F " y = f " y , F " z = − 1

dan di titik A (x 0 , y 0 , z 0 )

1. mereka berkesinambungan;
2. F "2 x + F "2 y + F "2 z = f "2 x + f "2 y + 1 ≠ 0.

Oleh karena itu, A adalah titik biasa pada permukaan F (x, y, z) dan pada titik ini terdapat bidang singgung permukaan. Menurut (3), persamaan bidang singgung berbentuk:

f " x (x 0 , y 0 ) (x − x 0 ) + f " y (x 0 , y 0 ) (y − y 0 ) − (z − z 0 ) = 0.

Perpindahan vertikal suatu titik pada bidang singgung ketika berpindah dari titik a (x 0, y 0) ke titik sembarang p (x, y) adalah B Q (Gbr. 2). Peningkatan lamaran yang sesuai adalah

(z − z 0 ) = f " x (x 0 , y 0 ) (x − x 0 ) + f " y (x 0 , y 0 ) (y − y 0 )

Di sini, di sisi kanan ada perbedaan D z fungsi z = f (x, y) di titik a (x 0, x 0). Karena itu,
D f (x 0 , kamu 0 ). adalah pertambahan penerapan titik bidang singgung pada grafik fungsi f (x, y) di titik (x 0, y 0, z 0 = f (x 0, y 0)).

Dari definisi diferensial dapat disimpulkan bahwa jarak antara titik P pada grafik suatu fungsi dan titik Q pada bidang singgung adalah sangat kecil dengan orde yang lebih tinggi daripada jarak dari titik p ke titik a.