Jarak titik ke bidang: pengertian dan contoh penemuan. Jarak dari titik ke bidang

Mencari jarak suatu titik ke suatu bidang merupakan permasalahan umum yang muncul ketika menyelesaikan berbagai permasalahan geometri analitik; misalnya permasalahan ini dapat direduksi menjadi mencari jarak antara dua garis lurus yang berpotongan atau antara garis lurus dan bidang yang sejajar dengan bidang. dia.

Misalkan bidang $β$ dan sebuah titik $M_0$ dengan koordinat $(x_0;y_0; z_0)$ yang bukan milik bidang $β$.

Definisi 1

Jarak terpendek antara suatu titik dan bidang adalah garis tegak lurus yang ditarik dari titik $M_0$ ke bidang $β$.

Gambar 1. Jarak suatu titik ke bidang. Author24 - pertukaran karya siswa secara online

Di bawah ini kita akan membahas cara mencari jarak suatu titik ke bidang dengan menggunakan metode koordinat.

Penurunan rumus metode koordinat untuk mencari jarak suatu titik ke bidang dalam ruang

Garis tegak lurus dari titik $M_0$ yang memotong bidang $β$ di titik $M_1$ dengan koordinat $(x_1;y_1; z_1)$ terletak pada garis lurus yang vektor arahnya adalah vektor normal bidang $β$. Dalam hal ini, panjang vektor satuan $n$ sama dengan satu. Oleh karena itu, jarak dari $β$ ke titik $M_0$ adalah:

$ρ= |\vec(n) \cdot \vec(M_1M_0)|\left(1\right)$, dengan $\vec(M_1M_0)$ adalah vektor normal bidang $β$, dan $\vec( n)$ adalah vektor normal satuan bidang yang ditinjau.

Jika persamaan bidang diberikan dalam bentuk umum $Ax+ By + Cz + D=0$, koordinat vektor normal bidang adalah koefisien persamaan $\(A;B;C\ )$, dan vektor normal satuan dalam hal ini memiliki koordinat , dihitung menggunakan persamaan berikut:

$\vec(n)= \frac($A;B;C$)(\sqrt(A^2 + B^2 + C^2))\left(2\right)$.

Sekarang kita dapat mencari koordinat vektor normal $\vec(M_1M_0)$:

$\vec(M_0M_1)= $x_0 – x_1;y_0-y_1;z_0-z_1$\kiri(3\kanan)$.

Kita juga menyatakan koefisien $D$ menggunakan koordinat titik yang terletak pada bidang $β$:

$D= Kapak_1+Oleh_1+Cz_1$

Koordinat vektor normal satuan dari persamaan $(2)$ dapat disubstitusikan ke dalam persamaan bidang $β$, maka diperoleh:

$ρ= \frac(|A(x_0 -x_1) + B(y_0-y_1)+C(z_0-z_1)|)(\sqrt(A^2+B^2+C^2))= \frac( |Ax_0+ Oleh_0 + Cz_0-(Ax_1+Oleh_1+Cz_1)|)(\sqrt(A^2+B^2+C^2)) = \frac(Ax_0+ Oleh_0 + Cz_0 + D)(\sqrt(A^2 +B^2+C^2))\kiri(4\kanan)$

Persamaan $(4)$ adalah rumus mencari jarak suatu titik ke bidang di ruang angkasa.

Algoritma umum untuk mencari jarak dari titik $M_0$ ke bidang

Jika persamaan bidang tidak diberikan dalam bentuk umum, terlebih dahulu harus direduksi menjadi bentuk umum.
Setelah ini, dari persamaan umum bidang perlu dinyatakan vektor normal suatu bidang tertentu yang melalui titik $M_0$ dan suatu titik yang termasuk dalam bidang tertentu, untuk ini kita perlu menggunakan persamaan $(3)$ .
Tahap selanjutnya adalah mencari koordinat vektor normal satuan bidang dengan menggunakan rumus $(2)$.
Terakhir, Anda dapat mulai mencari jarak dari titik ke bidang, hal ini dilakukan dengan menghitung hasil kali skalar dari vektor $\vec(n)$ dan $\vec(M_1M_0)$.

Menentukan jarak antara: 1 - titik dan bidang; 2 - lurus dan rata; 3 - pesawat; 4 - garis lurus yang bersilangan dianggap bersama-sama, karena algoritma penyelesaian semua masalah ini pada dasarnya sama dan terdiri dari konstruksi geometris yang perlu dilakukan untuk menentukan jarak antara titik A dan bidang tertentu. Jika ada perbedaan, itu hanya terdiri dari kenyataan bahwa dalam kasus 2 dan 3, sebelum mulai menyelesaikan masalah, Anda harus menandai titik sembarang A pada garis lurus m (kasus 2) atau bidang β (kasus 3). jarak antar garis yang bersilangan, kita lampirkan terlebih dahulu pada bidang sejajar α dan β lalu tentukan jarak antar bidang tersebut.

Mari kita perhatikan masing-masing kasus pemecahan masalah yang disebutkan.

1. Menentukan jarak antara suatu titik dan bidang.

Jarak suatu titik ke suatu bidang ditentukan oleh panjang ruas tegak lurus yang ditarik dari suatu titik ke bidang tersebut.

Oleh karena itu, solusi untuk masalah ini terdiri dari pelaksanaan operasi grafis berikut secara berurutan:

1) dari titik A kita turunkan tegak lurus ke bidang α (Gbr. 269);

2) carilah titik M perpotongan tegak lurus tersebut dengan bidang M = a ∩ α;

3) tentukan panjang ruas tersebut.

Jika bidang α berada pada posisi umum, maka untuk menurunkan garis tegak lurus pada bidang tersebut, perlu ditentukan terlebih dahulu arah proyeksi horizontal dan frontal bidang tersebut. Menemukan titik pertemuan tegak lurus ini dengan bidang juga memerlukan konstruksi geometris tambahan.

Penyelesaian masalah disederhanakan jika bidang α menempati posisi tertentu relatif terhadap bidang proyeksi. Dalam hal ini, baik proyeksi tegak lurus maupun pencarian titik pertemuannya dengan bidang dilakukan tanpa konstruksi tambahan tambahan.

CONTOH 1. Tentukan jarak dari titik A ke bidang proyeksi depan (Gbr. 270).

LARUTAN. Melalui A" kita menggambar proyeksi horizontal dari garis tegak lurus l" ⊥ h 0α, dan melalui A" - proyeksi depannya l" ⊥ f 0α. Kita tandai intinya M" = l" ∩ f 0α . Sejak pagi || π 2, maka [A" M"] == |AM| = d.

Dari contoh yang dipertimbangkan, jelas betapa sederhananya masalah diselesaikan ketika pesawat menempati posisi memproyeksikan. Oleh karena itu, jika bidang posisi umum ditentukan dalam data awal, maka sebelum melanjutkan penyelesaian, bidang tersebut harus dipindahkan ke posisi tegak lurus terhadap bidang proyeksi mana pun.

CONTOH 2. Tentukan jarak dari titik K ke bidang yang ditentukan oleh ΔАВС (Gbr. 271).

1. Kami memindahkan bidang ΔАВС ke posisi proyeksi *. Untuk melakukan ini, kita berpindah dari sistem xπ 2 /π 1 ke x 1 π 3 /π 1: arah sumbu x 1 yang baru dipilih tegak lurus terhadap proyeksi horizontal bidang horizontal segitiga.

2. Proyeksikan ΔABC ke bidang baru π 3 (bidang ΔABC diproyeksikan ke π 3, di [ C " 1 B " 1 ]).

3. Proyeksikan titik K pada bidang yang sama (K" → K" 1).

4. Melalui titik K" 1 kita tarik (K" 1 M" 1)⊥ ruas [C" 1 B" 1]. Jarak yang diperlukan d = |K" 1 M" 1 |

Pemecahan masalah disederhanakan jika bidang ditentukan oleh jejak, karena tidak perlu menggambar proyeksi garis datar.

CONTOH 3. Tentukan jarak dari titik K ke bidang yang ditentukan oleh lintasan (Gbr. 272).

* Cara paling rasional untuk memindahkan bidang segitiga ke posisi proyeksi adalah dengan mengganti bidang proyeksi, karena dalam hal ini cukup membuat satu proyeksi bantu saja.

LARUTAN. Kita ganti bidang π 1 dengan bidang π 3, untuk ini kita menggambar sumbu baru x 1 ⊥ f 0α. Pada h 0α kita menandai titik sembarang 1" dan menentukan proyeksi horizontal barunya pada bidang π 3 (1" 1). Melalui titik X α 1 (X α 1 = h 0α 1 ∩ x 1) dan 1" 1 kita menggambar h 0α 1. Kita menentukan proyeksi horizontal baru dari titik K → K" 1. Dari titik K" 1 kita turunkan garis tegak lurus ke h 0α 1 dan tandai titik potongnya dengan h 0α 1 - M" 1. Panjang ruas K" 1 M" 1 akan menunjukkan jarak yang dibutuhkan.

2. Menentukan jarak antara garis lurus dan bidang.

Jarak antara garis dan bidang ditentukan oleh panjang segmen tegak lurus yang dijatuhkan dari suatu titik sembarang pada garis ke bidang (lihat Gambar 248).

Oleh karena itu, penyelesaian masalah penentuan jarak antara garis lurus m dan bidang tidak berbeda dengan contoh yang dibahas pada paragraf 1 untuk menentukan jarak antara suatu titik dan bidang (lihat Gambar 270...272). Sebagai sebuah titik, Anda dapat mengambil titik mana pun yang termasuk dalam garis m.

3. Penentuan jarak antar pesawat.

Jarak antar bidang ditentukan oleh besar kecilnya ruas tegak lurus yang dijatuhkan dari suatu titik yang diambil pada suatu bidang ke bidang lainnya.

Dari definisi tersebut maka algoritma penyelesaian masalah pencarian jarak antara bidang α dan β berbeda dengan algoritma serupa untuk menyelesaikan masalah penentuan jarak antara garis m dan bidang α hanya saja pada garis tersebut m harus termasuk dalam bidang α , yaitu untuk menentukan jarak antara bidang α dan β sebagai berikut:

1) ambil garis lurus m pada bidang ;

2) pilih titik sembarang A pada garis m;

3) dari titik A, turunkan garis tegak lurus l ke bidang ;

4) tentukan titik M - titik pertemuan tegak lurus l dengan bidang ;

5) menentukan ukuran segmen.

Dalam praktiknya, disarankan untuk menggunakan algoritma solusi yang berbeda, yang akan berbeda dari yang diberikan hanya dalam hal, sebelum melanjutkan ke langkah pertama, bidang harus dipindahkan ke posisi proyeksi.

Memasukkan operasi tambahan ini ke dalam algoritme menyederhanakan eksekusi semua poin lainnya tanpa kecuali, yang pada akhirnya menghasilkan solusi yang lebih sederhana.

CONTOH 1. Tentukan jarak antara bidang α dan β (Gbr. 273).

LARUTAN. Kita berpindah dari sistem xπ 2 /π 1 ke x 1 π 1 /π 3. Sehubungan dengan bidang baru π 3, bidang α dan β menempati posisi menonjol, oleh karena itu jarak antara jejak frontal baru f 0α 1 dan f 0β 1 adalah jarak yang diinginkan.

Dalam praktik teknik, seringkali diperlukan penyelesaian masalah dengan membangun sebuah bidang yang sejajar dengan bidang tertentu dan dipindahkan darinya pada jarak tertentu. Contoh 2 di bawah mengilustrasikan solusi untuk masalah tersebut.

CONTOH 2. Diperlukan untuk membuat proyeksi suatu bidang β yang sejajar dengan bidang tertentu α (m || n), jika diketahui jarak antara keduanya adalah d (Gbr. 274).

1. Pada bidang , gambarlah garis horizontal sembarang h (1, 3) dan garis depan f (1,2).

2. Dari titik 1 kita kembalikan garis tegak lurus l ke bidang α(l" ⊥ h", l" ⊥ f").

3. Pada garis tegak lurus l kita tandai titik sembarang A.

4. Tentukan panjang ruas - (posisinya menunjukkan pada diagram arah garis lurus l yang tidak terdistorsi secara metrik).

5. Letakkan ruas = d pada garis lurus (1"A 0) dari titik 1".

6. Tandai pada proyeksi l" dan l" titik B" dan B", sesuai dengan titik B 0.

7. Melalui titik B kita menggambar bidang β (h 1 ∩ f 1). Ke || , syarat h 1 || harus dipenuhi h dan f 1 || F.

4. Menentukan jarak antar garis yang berpotongan.

Jarak antara garis-garis yang berpotongan ditentukan oleh panjang garis tegak lurus antara bidang-bidang sejajar tempat garis-garis yang berpotongan itu berada.

Untuk menggambar bidang saling sejajar α dan β melalui perpotongan garis lurus m dan f, cukup menggambar garis lurus p melalui titik A (A ∈ m) yang sejajar dengan garis lurus f, dan melalui titik B (B ∈ f) garis lurus k sejajar dengan lurus m . Garis berpotongan m dan p, f dan k menentukan bidang yang saling sejajar α dan β (lihat Gambar 248, e). Jarak antara bidang α dan β sama dengan jarak yang diperlukan antara garis perpotongan m dan f.

Cara lain dapat diusulkan untuk menentukan jarak antara garis-garis yang berpotongan, yaitu dengan menggunakan beberapa metode transformasi proyeksi ortogonal, salah satu garis yang berpotongan dipindahkan ke posisi proyeksi. Dalam hal ini, satu proyeksi garis berubah menjadi sebuah titik. Jarak antara proyeksi baru garis perpotongan (titik A" 2 dan ruas C" 2 D" 2) adalah jarak yang diperlukan.

Pada Gambar. Gambar 275 menunjukkan penyelesaian masalah penentuan jarak antara perpotongan garis a dan b, diketahui ruas [AB] dan [CD]. Solusinya dilakukan dalam urutan berikut:

1. Pindahkan salah satu garis potong (a) ke posisi sejajar bidang π 3; Caranya, berpindah dari sistem bidang proyeksi xπ 2 /π 1 ke x 1 π 1 /π 3 yang baru, sumbu x 1 sejajar dengan proyeksi horizontal garis lurus a. Tentukan a" 1 [A" 1 B" 1 ] dan b" 1.

2. Dengan mengganti bidang π 1 dengan bidang π 4, kita terjemahkan garis lurusnya

dan untuk memposisikan a" 2, tegak lurus bidang π 4 (sumbu x 2 yang baru ditarik tegak lurus a" 1).

3. Buatlah proyeksi horizontal baru dari garis lurus b" 2 - [ C" 2 D" 2 ].

4. Jarak titik A" 2 ke garis lurus C" 2 D" 2 (ruas (A" 2 M" 2 ] (adalah jarak yang diperlukan.

Perlu diingat bahwa perpindahan salah satu garis perpotongan ke posisi menonjol tidak lebih dari perpindahan bidang-bidang paralelisme, di mana garis a dan b dapat diapit, juga ke posisi menonjol.

Faktanya, dengan memindahkan garis a ke posisi tegak lurus bidang π 4, kita memastikan bahwa setiap bidang yang memuat garis a tegak lurus terhadap bidang π 4, termasuk bidang α yang dibatasi oleh garis a dan m (a ∩ m, m | | b ). Jika sekarang kita menggambar garis n yang sejajar dengan a dan memotong garis b, maka kita memperoleh bidang β yang merupakan bidang paralelisme kedua yang memuat garis-garis yang berpotongan a dan b. Sejak β || α, lalu β ⊥ π 4 .

SOAL C2 UJIAN SERAGAM NEGARA MATEMATIKA MENCARI JARAK TITIK KE BIDANG

Kulikova Anastasia Yurievna

Siswa tahun ke-5, Departemen Matematika. analisis, aljabar dan geometri EI KFU, Federasi Rusia, Republik Tatarstan, Elabuga

Ganeeva Aigul Rifovna

pembimbing ilmiah, Ph.D. ped. Sains, Associate Professor EI KFU, Federasi Rusia, Republik Tatarstan, Elabuga

Dalam beberapa tahun terakhir, tugas menghitung jarak dari suatu titik ke bidang telah muncul dalam tugas Unified State Examination dalam matematika. Dalam artikel ini, dengan menggunakan contoh satu soal, berbagai metode untuk mencari jarak dari suatu titik ke bidang dibahas. Metode yang paling cocok dapat digunakan untuk menyelesaikan berbagai permasalahan. Setelah menyelesaikan masalah menggunakan satu metode, Anda dapat memeriksa kebenaran hasilnya menggunakan metode lain.

Definisi. Jarak suatu titik ke bidang yang tidak memuat titik tersebut adalah panjang ruas tegak lurus yang ditarik dari titik tersebut ke bidang tersebut.

Tugas. Diberikan sebuah parallelepiped persegi panjang ABDENGAND.A. 1 B 1 C 1 D 1 dengan sisi AB=2, SM=4, A A. 1 =6. Temukan jarak dari titik tersebut D ke pesawat ACD 1 .

1 cara. Menggunakan definisi. Tentukan jarak r( D, ACD 1) dari titik D ke pesawat ACD 1 (Gbr. 1).

Gambar 1. Metode pertama

Mari kita lakukan D.H.⊥AC, oleh karena itu, dengan teorema tiga garis tegak lurus D 1 H⊥AC Dan (DD 1 H)⊥AC. Mari kita lakukan langsung D.T. tegak lurus D 1 H. Lurus D.T. terletak di dalam pesawat DD 1 H, karena itu D.T.⊥AC. Karena itu, D.T.⊥ACD 1.

ADC mari kita cari sisi miringnya AC dan tinggi badan D.H.

Dari segitiga siku-siku D 1 D.H. mari kita cari sisi miringnya D 1 H dan tinggi badan D.T.

Menjawab: .

Metode 2.Metode volumetrik (penggunaan piramida bantu). Soal jenis ini dapat direduksi menjadi soal menghitung tinggi limas, dimana tinggi limas adalah jarak yang diperlukan dari suatu titik ke bidang. Buktikan bahwa ketinggian ini adalah jarak yang dibutuhkan; temukan volume piramida ini dengan dua cara dan nyatakan tingginya.

Perhatikan bahwa dengan metode ini tidak perlu membuat garis tegak lurus dari suatu titik tertentu ke bidang tertentu.

Balok adalah balok yang seluruh mukanya berbentuk persegi panjang.

AB=CD=2, SM=IKLAN=4, A A. 1 =6.

Jarak yang dibutuhkan adalah tingginya H piramida ACD 1 D, diturunkan dari atas D di pangkalan ACD 1 (Gbr. 2).

Mari kita hitung volume piramida ACD 1 D dua arah.

Saat menghitung, cara pertama kita ambil ∆ sebagai basis ACD 1 lalu

Saat menghitung dengan cara kedua, kita mengambil ∆ sebagai basis ACD, Kemudian

Mari kita samakan ruas kanan dari dua persamaan terakhir dan dapatkan

Gambar 2. Metode kedua

Dari segitiga siku-siku ACD, MENAMBAHKAN 1 , CDD 1 cari sisi miringnya menggunakan teorema Pythagoras

ACD

Hitung luas segitiga ACD 1 menggunakan rumus Heron

Menjawab: .

3 cara. Metode koordinat.

Biarkan satu poin diberikan M(X 0 ,kamu 0 ,z 0) dan pesawat α , diberikan oleh persamaan kapak+oleh+cz+D=0 dalam sistem koordinat kartesius persegi panjang. Jarak dari titik M ke bidang α dapat dihitung dengan menggunakan rumus:

Mari kita perkenalkan sistem koordinat (Gbr. 3). Asal koordinat pada suatu titik DI DALAM;

Lurus AB- sumbu X, lurus Matahari- sumbu kamu, lurus BB 1 - sumbu z.

Gambar 3. Metode ketiga

B(0,0,0), A(2,0,0), DENGAN(0,4,0), D(2,4,0), D 1 (2,4,6).

Membiarkan Ax+oleh+ cz+ D=0 – persamaan bidang ACD 1 . Mengganti koordinat titik ke dalamnya A, C, D 1 kita mendapatkan:

Persamaan bidang ACD 1 akan mengambil formulir

Menjawab: .

4 cara. Metode vektor.

Mari kita perkenalkan dasarnya (Gbr. 4) , .

Gambar 4. Metode keempat

, Kompetisi "Presentasi untuk pelajaran"

Kelas: 11

Presentasi untuk pelajaran

Mundur ke depan

Perhatian! Pratinjau slide hanya untuk tujuan informasi dan mungkin tidak mewakili semua fitur presentasi. Jika Anda tertarik dengan karya ini, silakan unduh versi lengkapnya.

Sasaran:

generalisasi dan sistematisasi pengetahuan dan keterampilan siswa;
pengembangan keterampilan menganalisis, membandingkan, menarik kesimpulan.

Peralatan:

proyektor multimedia;
komputer;
lembar dengan teks masalah

KEMAJUAN KELAS

I. Momen organisasi

II. Tahap pemutakhiran pengetahuan(slide 2)

Kami ulangi bagaimana jarak dari suatu titik ke bidang ditentukan

AKU AKU AKU. Kuliah(slide 3-15)

Dalam pelajaran ini kita akan melihat berbagai cara mencari jarak dari suatu titik ke bidang.

Metode pertama: komputasi langkah demi langkah

Jarak dari titik M ke bidang α:
– sama dengan jarak ke bidang α dari titik sembarang P yang terletak pada garis lurus a, yang melalui titik M dan sejajar dengan bidang α;
– sama dengan jarak ke bidang α dari titik sembarang P yang terletak pada bidang β, yang melalui titik M dan sejajar dengan bidang α.

Kami akan memecahkan masalah-masalah berikut:

№1. Pada kubus A...D 1, tentukan jarak titik C 1 ke bidang AB 1 C.

Tetap menghitung nilai panjang segmen O 1 N.

№2. Pada prisma heksagonal beraturan A...F 1 yang semua rusuknya sama dengan 1, tentukan jarak titik A ke bidang DEA 1.

Metode selanjutnya: metode volume.

Jika volume piramida ABCM sama dengan V, maka jarak titik M ke bidang α yang memuat ∆ABC dihitung dengan rumus ρ(M; α) = ρ(M; ABC) =
Saat memecahkan masalah, kami menggunakan persamaan volume satu bangun ruang, yang dinyatakan dalam dua cara berbeda.

Mari kita selesaikan masalah berikut:

№3. Tepi AD piramida DABC tegak lurus terhadap bidang alas ABC. Hitunglah jarak A ke bidang yang melalui titik tengah rusuk AB, AC, dan AD, jika.

Saat memecahkan masalah metode koordinat jarak titik M ke bidang α dapat dihitung dengan rumus ρ(M; α) = , di mana M(x 0; y 0; z 0), dan bidang diberikan oleh persamaan ax + by + cz + d = 0

Mari kita selesaikan masalah berikut:

№4. Pada kubus satuan A...D 1, tentukan jarak dari titik A 1 ke bidang BDC 1.

Mari kita perkenalkan sistem koordinat dengan titik asal di titik A, sumbu y sepanjang tepi AB, sumbu x di sepanjang tepi AD, dan sumbu z di sepanjang tepi AA 1. Maka koordinat titik B (0; 1; 0) D (1; 0; 0;) C 1 (1; 1; 1)
Mari kita buat persamaan bidang yang melalui titik B, D, C 1.

Maka – dx – dy + dz + d = 0 x + y – z – 1= 0. Jadi, ρ =

Metode berikut yang dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah jenis ini adalah metode dukungan masalah.

Penerapan metode ini terdiri dari penggunaan masalah referensi yang diketahui, yang dirumuskan sebagai teorema.

Mari kita selesaikan masalah berikut:

№5. Pada kubus satuan A...D 1, tentukan jarak titik D 1 ke bidang AB 1 C.

Mari kita pertimbangkan aplikasinya metode vektor.

№6. Pada kubus satuan A...D 1, tentukan jarak dari titik A 1 ke bidang BDC 1.

Jadi, kami telah mempertimbangkan berbagai metode yang dapat digunakan untuk memecahkan masalah jenis ini. Pilihan metode tertentu bergantung pada tugas spesifik dan preferensi Anda.

IV. Pekerjaan kelompok

Cobalah memecahkan masalah dengan cara yang berbeda.

№1. Panjang rusuk kubus A...D 1 sama dengan . Tentukan jarak titik C ke bidang BDC 1.

№2. Pada tetrahedron beraturan ABCD yang mempunyai rusuk, tentukan jarak titik A ke bidang BDC

№3. Pada prisma segitiga beraturan ABCA 1 B 1 C 1 yang semua rusuknya sama dengan 1, tentukan jarak A ke bidang BCA 1.

№4. Pada limas segi empat beraturan SABCD yang semua rusuknya sama dengan 1, tentukan jarak A ke bidang SCD.

V. Ringkasan pelajaran, pekerjaan rumah, refleksi

Biarkan ada pesawat . Mari kita menggambar secara normal
melalui titik asal koordinat O. Diberikan
– sudut yang dibentuk oleh garis normal dengan sumbu koordinat.
. Membiarkan – panjang segmen normal
sampai berpotongan dengan pesawat. Dengan asumsi arah cosinus normal diketahui , kita menurunkan persamaan bidangnya .

Membiarkan
) adalah titik sembarang pada bidang. Vektor normal satuan mempunyai koordinat. Mari kita cari proyeksi vektornya
menjadi normal.

Sejak saat itu M milik pesawat itu, kalau begitu

Ini adalah persamaan bidang tertentu, yang disebut normal .

Jarak dari titik ke bidang

Biarkan pesawat diberikan ,M*
– titik di luar angkasa, D – jaraknya dari pesawat.

Definisi. Deviasi poin M* dari pesawat disebut bilangan ( + D), Jika M* terletak pada sisi lain bidang dimana arah positif titik-titik normal , dan angka (- D), jika titik tersebut terletak pada sisi lain bidang:

Dalil. Biarkan pesawat dengan satuan normal diberikan oleh persamaan normal:

Membiarkan M*
– titik dalam ruang Deviasi t. M* dari pesawat diberikan oleh ekspresi

Bukti. Proyeksi t.
* kami tunjukkan dengan normal Q. Deviasi Titik M* dari pesawat adalah sama

Aturan. Mencari deviasi T. M* dari bidang, Anda perlu mensubstitusikan koordinat t ke dalam persamaan normal bidang tersebut. M* . Jarak suatu titik ke bidang adalah .

Mengurangi persamaan bidang umum ke bentuk normal

Biarkan bidang yang sama didefinisikan oleh dua persamaan:

Persamaan umum

Persamaan biasa.

Karena kedua persamaan mendefinisikan bidang yang sama, koefisiennya sebanding:

Mari kita kuadratkan tiga persamaan pertama dan menjumlahkannya:

Dari sini kita akan menemukannya – faktor normalisasi:

. (10)

Dengan mengalikan persamaan umum bidang dengan faktor normalisasi, diperoleh persamaan normal bidang:

Contoh soal pada topik “Pesawat”.

Contoh 1. Buatlah persamaan bidang tersebut melewati suatu titik tertentu
(2,1,-1) dan sejajar dengan bidang.

Larutan. Normal untuk pesawat :
. Karena bidang-bidangnya sejajar, maka bidangnya normal juga normal pada bidang yang diinginkan . Dengan menggunakan persamaan bidang yang melalui suatu titik tertentu (3), kita peroleh bidang tersebut persamaan:

Menjawab:

Contoh 2. Alas suatu garis tegak lurus dijatuhkan dari titik asal ke suatu bidang , itulah intinya
. Temukan persamaan bidangnya .

Larutan. Vektor
normal pada pesawat . Dot M 0 milik pesawat. Anda dapat menggunakan persamaan bidang yang melalui suatu titik tertentu (3):

Menjawab:

Contoh 3. Bangun pesawat , melewati titik-titik

dan tegak lurus terhadap bidang :.

Oleh karena itu, untuk beberapa hal M (X, kamu, z) milik pesawat , diperlukan tiga vektor
adalah sebidang:

=0.

Tetap mengungkapkan determinannya dan membawa ekspresi yang dihasilkan ke bentuk persamaan umum (1).

Contoh 4. Pesawat diberikan oleh persamaan umum:

Temukan deviasi titik
dari pesawat tertentu.

Larutan. Mari kita bawa persamaan bidang ke bentuk normal.

Mari kita substitusikan koordinat titik ke dalam persamaan normal yang dihasilkan M*.

Menjawab:
.

Contoh 5. Apakah bidang tersebut memotong ruas tersebut?

Larutan. Untuk memotong AB melintasi pesawat, penyimpangan Dan dari pesawat harus memiliki tanda yang berbeda:

Contoh 6. Perpotongan tiga bidang pada satu titik.

Sistem mempunyai solusi unik, oleh karena itu ketiga bidang mempunyai satu titik yang sama.

Contoh 7. Menemukan garis bagi sudut dihedral yang dibentuk oleh dua bidang tertentu.

Membiarkan Dan - penyimpangan beberapa titik
dari pesawat pertama dan kedua.

Pada salah satu bidang garis bagi (sesuai dengan sudut tempat asal koordinat), simpangan-penyimpangan ini sama besar dan tandanya, dan pada bidang lain sama besarnya dan berlawanan tanda.

Ini adalah persamaan bidang garis bagi pertama.

Ini adalah persamaan bidang bagi kedua.

Contoh 8. Menentukan letak dua titik tertentu Dan relatif terhadap sudut dihedral yang dibentuk oleh bidang-bidang ini.