KEKUATAN UMUM

KEKUATAN UMUM

Besaran yang berperan sebagai gaya biasa ketika mempelajari kesetimbangan atau gerak mekanis. sistem, posisinya ditentukan oleh koordinat umum. Jumlah O. s. sama dengan angka s derajat kebebasan sistem; Dalam hal ini, setiap koordinat umum qi mempunyai sistem koordinatnya sendiri. Qi. Nilai O. s. Q1 yang bersesuaian dengan koordinat q1 dapat dicari dengan menghitung elemennya. kerja dA1 dari semua gaya pada kemungkinan pergerakan sistem, di mana hanya koordinat q1 yang berubah: menerima kenaikan dq1. Maka dA1=Q1dq1т. e.koefisien dqi dalam ekspresi dA1 adalah O. s. Q1. Q2, Q3, dihitung dengan cara yang sama. . .,Pertanyaan.

Dimensi O. s. tergantung pada dimensi koordinat umum. Jika qi mempunyai panjang, maka Qi adalah dimensi gaya biasa; jika qi berbentuk sudut, maka Qi mempunyai dimensi momen gaya, dan seterusnya. Saat mempelajari gerak suatu mekanik Sistem O. sistem masuk sebagai ganti gaya biasa ke dalam persamaan mekanika Lagrange, dan semua sistem O. berada dalam kesetimbangan. sama dengan nol.

Kamus ensiklopedis fisik. - M.: Ensiklopedia Soviet. Pemimpin Redaksi A.M.Prokhorov. 1983 .

Lihat apa itu “GAYA UMUM” di kamus lain:

Besaran yang berperan sebagai gaya biasa ketika, ketika mempelajari kesetimbangan atau gerak suatu sistem mekanik, posisinya ditentukan oleh koordinat umum (Lihat Koordinat umum). Jumlah O. s. sama dengan angka s derajat kebebasan sistem; pada… …

Dalam mekanika, besaran Qi, hasil kali besaran Qi dan solusi dasar dqi dari koordinat umum qi mekanik. sistem memberikan ekspresi kerja dasar bA yang dibentuk dari tumpukan bahan berserat (kapas, viscose). Untuk stiker O. biasanya...... Kamus Besar Ensiklopedis Politeknik

- (AS) (Amerika Serikat, AS). I. Informasi Umum Amerika Serikat adalah sebuah negara bagian di Amerika Utara. Luas wilayahnya 9,4 juta km2. Populasi 216 juta orang. (1976, penilaian). Ibukotanya adalah Washington. Secara administratif, wilayah Amerika Serikat... Ensiklopedia Besar Soviet

- (Angkatan Udara Uni Soviet) Bendera Angkatan Udara Soviet Tahun keberadaannya ... Wikipedia

- الإمارات العربية المتحدة‎ al Emarat al Arabiya al Muttahida ... Wikipedia

Medan gaya ditentukan di wilayah Q ruang konfigurasi sebagai gradien fungsi skalar: di mana koordinat (umumnya), energi potensial U(q). Karya P.s. sepanjang kontur tertutup apa pun di Q yang dapat dikontrak ke suatu titik sama dengan nol. Sebuah tanda... ... Ensiklopedia fisik

- (Angkatan Udara) suatu jenis angkatan bersenjata suatu negara, yang dimaksudkan untuk tindakan mandiri dalam menyelesaikan tugas-tugas strategis operasional dan untuk tindakan bersama dengan jenis angkatan bersenjata lainnya. Dalam hal kemampuan tempurnya, angkatan udara modern... ... Ensiklopedia Besar Soviet

Gaya, ukuran aksi suatu gaya, bergantung pada besaran numerik dan arah gaya serta pergerakan titik penerapannya. Jika gaya F konstan secara numerik dan arahnya, dan perpindahan M0M1 berbentuk bujursangkar (Gbr. 1), maka P. A = F․s․cosα, di mana s = M0M1 … Ensiklopedia Besar Soviet

Gaya, ukuran aksi suatu gaya, bergantung pada besaran numerik dan arah gaya serta pergerakan titik penerapannya. Jika gaya F konstan secara numerik dan arahnya, dan perpindahan M0M1 berbentuk bujursangkar (Gbr. 1), maka P. A = F s cosa, di mana s = M0M1, dan sudut... ... Ensiklopedia fisik

Mekanika. 1) Persamaan Lagrange jenis 1, persamaan diferensial gerak mekanik. sistem, yang diberikan dalam proyeksi ke sumbu koordinat persegi panjang dan berisi apa yang disebut. Pengganda Lagrange. Diperoleh oleh J. Lagrange pada tahun 1788. Untuk sistem holonomi, ... ... Ensiklopedia fisik

Tentu saja, ketika menghitung gaya umum ini, energi potensial harus ditentukan sebagai fungsi dari koordinat umum

P = P( Q 1 , Q 2 , Q 3 ,…,qs).

Catatan.

Pertama. Saat menghitung gaya reaksi umum, ikatan ideal tidak diperhitungkan.

Kedua. Dimensi gaya umum bergantung pada dimensi koordinat umum. Jadi jika dimensi [ Q] – meter, lalu dimensi

[Q]= Nm/m = Newton, jika [ Q] – radian, maka [Q] = Nm; Jika [ Q] = m 2, lalu [Q] = H/m, dst.

Contoh 4. Sebuah cincin meluncur sepanjang batang yang berayun pada bidang vertikal. M berat R(Gbr. 10). Kami menganggap tongkat itu tidak berbobot. Mari kita definisikan gaya-gaya yang digeneralisasikan.

Gambar 10

Larutan. Sistem ini mempunyai dua derajat kebebasan. Kami menetapkan dua koordinat umum S Dan .

Mari kita cari gaya umum yang bersesuaian dengan koordinatnya S. Kami memberikan kenaikan pada koordinat ini, membiarkan koordinat tidak berubah, dan menghitung kerja satu-satunya gaya aktif R, kita memperoleh kekuatan umum

Kemudian kita menambah koordinatnya, dengan asumsi S= konstanta. Ketika batang diputar membentuk sudut, titik penerapan gaya R, cincin M, akan pindah ke . Kekuatan umum akan menjadi

Karena sistemnya konservatif, gaya-gaya umum juga dapat dicari dengan menggunakan energi potensial. Kita mendapatkan Dan . Ternyata jauh lebih sederhana.

Persamaan kesetimbangan Lagrange

Menurut definisi (7) kekuatan umum , k = 1,2,3,…,S, Di mana S– jumlah derajat kebebasan.

Jika sistem berada dalam keadaan setimbang, maka menurut prinsip perpindahan yang mungkin terjadi (1) . Berikut adalah gerakan-gerakan yang diperbolehkan oleh koneksi, gerakan-gerakan yang mungkin terjadi. Oleh karena itu, ketika suatu sistem material berada dalam kesetimbangan, semua gaya umum sama dengan nol:

Qk= 0, (k=1,2,3,…, S). (10)

Persamaan ini persamaan kesetimbangan dalam koordinat umum atau Persamaan kesetimbangan Lagrange , izinkan satu metode lagi untuk menyelesaikan masalah statika.

Jika sistemnya konservatif, maka . Artinya berada pada posisi setimbang. Artinya, dalam posisi setimbang sistem material tersebut, energi potensialnya adalah maksimum atau minimum, yaitu. fungsi П(q) mempunyai titik ekstrem.

Hal ini terlihat dari analisis contoh paling sederhana (Gbr. 11). Energi potensial bola pada posisinya M 1 memiliki minimum, pada posisi M 2 – maksimal. Dapat dilihat bahwa pada posisinya M 1 keseimbangan akan stabil; hamil M 2 – tidak stabil.

Gambar 11

Kesetimbangan dianggap stabil jika benda pada posisi ini diberi kecepatan rendah atau dipindahkan pada jarak yang kecil dan simpangan tersebut tidak bertambah di kemudian hari.

Dapat dibuktikan (teorema Lagrange-Dirichlet) jika pada posisi setimbang suatu sistem konservatif energi potensialnya minimum, maka posisi setimbang tersebut stabil.

Untuk sistem konservatif dengan satu derajat kebebasan, kondisi energi potensial minimum, dan oleh karena itu kestabilan posisi kesetimbangan, ditentukan oleh turunan kedua, nilainya pada posisi kesetimbangan,

Contoh 5. Inti OA berat R dapat berputar pada bidang vertikal pada suatu sumbu TENTANG(Gbr. 12). Mari kita cari dan pelajari kestabilan posisi keseimbangan.

Gambar 12

Larutan. Batang mempunyai satu derajat kebebasan. Koordinat umum – sudut.

Sehubungan dengan posisi nol yang lebih rendah, energi potensial P = Ph atau

Seharusnya ada dalam posisi setimbang . Oleh karena itu kita mempunyai dua posisi kesetimbangan yang berhubungan dengan sudut dan (posisi OA 1 dan OA 2). Mari kita jelajahi stabilitasnya. Menemukan turunan kedua. Tentu saja dengan , . Posisi kesetimbangannya stabil. Pada , . Posisi kesetimbangan kedua tidak stabil. Hasilnya jelas.

Gaya inersia umum.

Menggunakan metode yang sama (8) dimana gaya-gaya umum dihitung Qk, sesuai dengan gaya aktif, tertentu, gaya umum juga ditentukan S k, sesuai dengan gaya inersia titik-titik sistem:

Dan sejak itu Itu

Beberapa transformasi matematika.

Jelas sekali,

Karena a qk = qk(t), (k = 1,2,3,…, s), maka

Artinya turunan parsial kecepatan terhadap

Selain itu, pada suku terakhir (14) Anda dapat mengubah urutan diferensiasi:

Substitusikan (15) dan (16) ke dalam (14), lalu (14) ke dalam (13), kita peroleh

Membagi jumlah terakhir dengan dua dan mengingat bahwa jumlah turunannya sama dengan turunan dari jumlah tersebut, kita peroleh

dimana adalah energi kinetik sistem, dan merupakan kecepatan umum.

Persamaan Lagrange.

Menurut definisi (7) dan (12) kekuatan umum

Namun berdasarkan persamaan dinamika umum (3), ruas kanan persamaan sama dengan nol. Dan karena semuanya ( k = 1,2,3,…,S) berbeda dari nol, maka . Mengganti nilai gaya inersia umum (17), kita memperoleh persamaan

Persamaan ini disebut persamaan diferensial gerak dalam koordinat umum, persamaan Lagrange jenis kedua atau sederhananya – Persamaan Lagrange.

Jumlah persamaan tersebut sama dengan jumlah derajat kebebasan sistem material.

Jika sistem konservatif dan bergerak di bawah pengaruh gaya medan potensial, ketika gaya umum adalah , persamaan Lagrange dapat disusun dalam bentuk

Di mana L = T– P dipanggil Fungsi lagrange (diasumsikan bahwa energi potensial P tidak bergantung pada kecepatan umum).

Seringkali, ketika mempelajari gerak sistem material, ternyata beberapa koordinat umum qj tidak disertakan secara eksplisit dalam fungsi Lagrange (atau di T dan P). Koordinat seperti ini disebut berhubung dgn putaran. Persamaan Lagrange yang berhubungan dengan koordinat ini diperoleh dengan lebih sederhana.

Integral pertama dari persamaan tersebut dapat segera ditemukan. Ini disebut integral siklik:

Studi lebih lanjut dan transformasi persamaan Lagrange membentuk subjek bagian khusus mekanika teoretis - “Mekanika analitik”.

Persamaan Lagrange memiliki sejumlah keunggulan dibandingkan metode lain dalam mempelajari gerak sistem. Keuntungan utama: cara menyusun persamaan sama di semua soal, reaksi senyawa ideal tidak diperhitungkan saat menyelesaikan soal.

Dan satu hal lagi - persamaan ini dapat digunakan untuk mempelajari tidak hanya sistem mekanis, tetapi juga sistem fisik lainnya (listrik, elektromagnetik, optik, dll.).

Contoh 6. Mari kita lanjutkan studi kita tentang pergerakan cincin M pada batang ayun (contoh 4).

Koordinat umum diberikan – dan s (Gbr. 13). Kekuatan umum didefinisikan: dan .

Gambar 13

Larutan. Energi kinetik cincin Dimana a dan .

Kami menyusun dua persamaan Lagrange

maka persamaannya terlihat seperti ini:

Kami telah memperoleh dua persamaan diferensial orde kedua nonlinier, yang penyelesaiannya memerlukan metode khusus.

Contoh 7. Mari kita buat persamaan diferensial gerak balok AB, yang menggelinding tanpa meluncur sepanjang permukaan silinder (Gbr. 14). Panjang balok AB = aku, berat - R.

Dalam posisi setimbang, balok berada pada posisi horizontal dan pusat gravitasi DENGAN itu terletak di bagian atas silinder. Sinar tersebut mempunyai satu derajat kebebasan. Posisinya ditentukan oleh koordinat umum - sudut (Gbr. 76).

Gambar 14

Larutan. Sistemnya konservatif. Oleh karena itu, kita akan menyusun persamaan Lagrange menggunakan energi potensial P=mgh, dihitung relatif terhadap posisi horizontal. Pada titik kontak terdapat pusat kecepatan sesaat dan (sama dengan panjang busur lingkaran dengan sudut).

Oleh karena itu (lihat Gambar 76) dan .

Energi kinetik (balok mengalami gerak bidang sejajar)

Kami menemukan turunan yang diperlukan untuk persamaan dan

Mari kita buat persamaan

atau, akhirnya,

Pertanyaan tes mandiri

Pergerakan yang mungkin terjadi pada suatu sistem mekanis yang dibatasi disebut?

Bagaimana hubungan antara pergerakan yang mungkin dan aktual dari sistem?

Sambungan apa yang disebut: a) stasioner; b) ideal?

Merumuskan prinsip kemungkinan gerakan. Tuliskan ekspresi formulanya.

Apakah mungkin menerapkan prinsip gerakan virtual pada sistem dengan koneksi yang tidak ideal?

Apa koordinat umum dari sistem mekanik?

Berapa derajat kebebasan suatu sistem mekanis?

Dalam hal apa koordinat titik-titik Cartesian dalam sistem tidak hanya bergantung pada koordinat umum, tetapi juga pada waktu?

Pergerakan yang mungkin terjadi pada suatu sistem mekanik disebut?

Apakah kemungkinan pergerakan bergantung pada gaya yang bekerja pada sistem?

Hubungan sistem mekanis apa yang disebut ideal?

Mengapa ikatan yang dibuat dengan gesekan bukanlah ikatan ideal?

Bagaimana prinsip kemungkinan gerakan dirumuskan?

Jenis persamaan kerja apa saja yang bisa dimiliki?

Mengapa prinsip perpindahan yang mungkin menyederhanakan penurunan kondisi kesetimbangan gaya-gaya yang diterapkan pada sistem terbatas yang terdiri dari sejumlah besar benda?

Bagaimana persamaan kerja untuk gaya-gaya yang bekerja pada sistem mekanik yang memiliki beberapa derajat kebebasan?

Apa hubungan antara gaya penggerak dan gaya penahan pada mesin sederhana?

Bagaimana aturan emas mekanika dirumuskan?

Bagaimana reaksi ikatan ditentukan dengan menggunakan prinsip gerak yang mungkin terjadi?

Ikatan apa yang disebut holonomis?

Berapa derajat kebebasan suatu sistem mekanis?

Berapakah koordinat umum sistem tersebut?

Berapa banyak koordinat umum yang dimiliki sistem mekanik tak bebas?

Berapa derajat kebebasan yang dimiliki setir mobil?

Apa itu kekuatan umum?

Tuliskan rumus yang menyatakan kerja dasar total semua gaya yang diterapkan pada sistem dalam koordinat umum.

Bagaimana dimensi gaya umum ditentukan?

Bagaimana gaya umum dihitung dalam sistem konservatif?

Tuliskan salah satu rumus yang menyatakan persamaan umum dinamika sistem dengan ikatan ideal. Apa arti fisis dari persamaan ini?

Berapa gaya umum gaya aktif yang diterapkan pada suatu sistem?

Berapakah gaya inersia umum?

Merumuskan prinsip d'Alembert dalam gaya umum.

Apa persamaan umum dinamika?

Apa yang disebut gaya umum yang bersesuaian dengan koordinat umum tertentu dari sistem, dan dimensi apa yang dimilikinya?

Apa reaksi umum dari ikatan ideal?

Turunkan persamaan umum dinamika dalam gaya umum.

Apa bentuk kondisi kesetimbangan gaya-gaya yang diterapkan pada sistem mekanis yang diperoleh dari persamaan umum dinamika gaya-gaya yang digeneralisasi?

Rumus apa yang menyatakan gaya umum melalui proyeksi gaya ke sumbu tetap koordinat Cartesian?

Bagaimana kekuatan umum ditentukan dalam kasus kekuatan konservatif dan non-konservatif?

Koneksi apa yang disebut geometris?

Berikan representasi vektor tentang prinsip perpindahan yang mungkin terjadi.

Sebutkan syarat perlu dan syarat cukup bagi kesetimbangan sistem mekanik dengan hubungan geometri stasioner yang ideal.

Sifat apa yang dimiliki fungsi gaya sistem konservatif dalam keadaan setimbang?

Tuliskan sistem persamaan diferensial Lagrange jenis kedua.

Berapa banyak persamaan Lagrange jenis kedua yang dapat dibangun untuk sistem mekanik terbatas?

Apakah banyaknya persamaan Lagrange suatu sistem mekanik bergantung pada jumlah benda yang termasuk dalam sistem tersebut?

Berapakah potensi kinetik suatu sistem?

Untuk sistem mekanis manakah fungsi Lagrange ada?

Apa argumen fungsi vektor kecepatan suatu titik yang termasuk dalam sistem mekanik dengan S derajat kebebasan?

Berapakah turunan parsial vektor kecepatan suatu titik dalam sistem terhadap kecepatan umum?

Fungsi argumen manakah yang menjadikan energi kinetik suatu sistem tunduk pada batasan non-stasioner holonomis?

Apa bentuk persamaan Lagrange jenis kedua? Berapakah jumlah persamaan tersebut untuk setiap sistem mekanik?

Apa bentuk persamaan Lagrange jenis kedua jika sistem dikenai gaya konservatif dan non-konservatif secara bersamaan?

Apa fungsi Lagrange, atau potensi kinetik?

Apa bentuk persamaan Lagrange jenis kedua untuk sistem konservatif?

Bergantung pada variabel apa energi kinetik sistem mekanik harus dinyatakan saat menyusun persamaan Lagrange?

Bagaimana energi potensial suatu sistem mekanik ditentukan di bawah pengaruh gaya elastis?

Masalah untuk diselesaikan secara mandiri

Tugas 1. Dengan menggunakan prinsip kemungkinan perpindahan, tentukan reaksi sambungan struktur komposit. Diagram struktural ditunjukkan pada Gambar. 15, dan data yang diperlukan untuk penyelesaiannya diberikan dalam tabel. 1. Dalam gambar, semua dimensi dalam meter.

Tabel 1

R 1, buku R 2, buku Q, kN/m M, kNm R 1, buku R 2, buku Q, kN/m M, kNm

Opsi 1 Opsi 2

Opsi 3 Opsi 4

Opsi 5 Opsi 6

Opsi 7 Opsi 8

Gambar.16 Gambar.17

Larutan. Mudah untuk memverifikasi bahwa dalam soal ini semua kondisi untuk penerapan prinsip Lagrange terpenuhi (sistem berada dalam kesetimbangan, sambungan stasioner, holonomis, terbatas dan ideal).

Mari kita bebaskan diri kita dari hubungan yang berhubungan dengan reaksi X A (Gbr. 17). Untuk melakukan ini, pada titik A, engsel tetap harus diganti, misalnya, dengan penyangga batang, dalam hal ini sistem menerima satu derajat kebebasan. Sebagaimana telah disebutkan, kemungkinan pergerakan suatu sistem ditentukan oleh batasan yang dikenakan padanya dan tidak bergantung pada gaya yang diterapkan. Oleh karena itu, menentukan kemungkinan perpindahan merupakan masalah kinematik. Karena dalam contoh ini bingkai hanya dapat bergerak pada bidang gambar, kemungkinan pergerakannya juga bersifat bidang. Dalam gerak bidang, gerak suatu benda dapat dianggap sebagai rotasi mengelilingi pusat kecepatan sesaat. Jika pusat kecepatan sesaat terletak pada tak terhingga, maka hal ini sesuai dengan kasus gerak translasi sesaat, ketika perpindahan semua titik pada benda adalah sama.

Untuk mencari pusat kecepatan sesaat, perlu diketahui arah kecepatan dua titik mana pun pada benda. Oleh karena itu, penentuan kemungkinan perpindahan suatu struktur komposit harus dimulai dengan mencari kemungkinan perpindahan elemen yang kecepatannya diketahui. Dalam hal ini, Anda harus mulai dengan bingkai CDB, sejak itu DI DALAM tidak bergerak dan oleh karena itu, kemungkinan pergerakan bingkai ini adalah rotasinya melalui sudut mengelilingi sumbu yang melewati engsel B. Sekarang, mengetahui kemungkinan pergerakan titik DENGAN(secara bersamaan milik kedua kerangka sistem) dan kemungkinan pergerakan titik A(kemungkinan pergerakan titik A adalah pergerakannya sepanjang sumbu X), carilah pusat kecepatan sesaat C 1 dari bingkai AES. Dengan demikian, kemungkinan pergerakan frame AES adalah rotasinya di sekitar titik C 1 dengan sudut . Hubungan antar sudut dan ditentukan melalui pergerakan titik C (lihat Gambar 17)

Dari persamaan segitiga EC 1 C dan BCD kita peroleh

Hasilnya, kami mendapatkan dependensi:

Menurut prinsip kemungkinan gerakan

Mari kita hitung secara berurutan kemungkinan pekerjaan yang termasuk di sini:

Q=2q – resultan beban terdistribusi, titik penerapannya ditunjukkan pada Gambar. 79; usaha yang mungkin dilakukan olehnya adalah sama.

Mari kita perhatikan suatu sistem mekanis yang terdiri dari titik-titik material yang menjadi tempat gaya-gaya bekerja. Misalkan sistem tersebut mempunyai derajat kebebasan dan posisinya ditentukan oleh koordinat umum (104). Mari kita informasikan sistem tentang kemungkinan pergerakan independen di mana koordinatnya bertambah dan koordinat lainnya tidak berubah. Kemudian masing-masing vektor jari-jari titik-titik sistem akan menerima kenaikan dasar. Karena, menurut persamaan (106), , dan selama pergerakan yang dipertimbangkan hanya koordinat yang berubah (sisanya tetap konstan), maka dihitung sebagai diferensial parsial dan, oleh karena itu,

Dengan menggunakan persamaan dan rumus (42) dari § 87 ini, kami menghitung jumlah karya dasar semua gaya yang bekerja pada perpindahan yang dipertimbangkan, yang kami nyatakan Kami peroleh

Mengeluarkan faktor persekutuan dari tanda kurung, akhirnya kita temukan

di mana ditunjukkan

Dengan analogi persamaan yang mendefinisikan kerja dasar gaya F, besaran disebut gaya umum yang bersesuaian dengan koordinat

Dengan menginformasikan sistem tentang kemungkinan gerakan independen lainnya, yang selama itu hanya koordinatnya yang berubah, kita memperoleh ekspresi untuk kerja dasar semua gaya yang bekerja pada gerakan ini.

Kuantitas mewakili gaya umum yang sesuai dengan koordinat, dll.

Jelasnya, jika sistem diberikan suatu kemungkinan gerak yang secara simultan mengubah semua koordinat umum, maka jumlah kerja dasar gaya-gaya yang diterapkan pada gerak ini akan ditentukan oleh persamaan

Rumus (112) memberikan ekspresi kerja dasar total semua gaya yang bekerja pada sistem dalam koordinat umum. Dari persamaan ini jelaslah bahwa gaya-gaya yang digeneralisasi adalah besaran yang sama dengan koefisien pertambahan koordinat umum dalam ekspresi kerja dasar total gaya-gaya yang bekerja pada sistem.

Jika semua sambungan yang diterapkan pada sistem adalah ideal, maka usaha selama pergerakan yang mungkin dilakukan hanya dilakukan oleh gaya aktif dan besarannya akan mewakili gaya aktif sistem yang digeneralisasi.

Dimensi gaya umum bergantung pada dimensi koordinat umum yang bersangkutan. Karena produk dan karenanya memiliki dimensi kerja, maka

yaitu, dimensi gaya umum sama dengan dimensi usaha dibagi dengan dimensi koordinat umum yang bersesuaian. Dari sini jelas bahwa jika q suatu besaran linier, maka Q berdimensi gaya biasa (dalam SI diukur dalam newton), jika q suatu sudut (besaran tak terukur), maka Q diukur dalam dan mempunyai dimensi momen; jika q adalah volume (misalnya posisi piston di dalam silinder dapat ditentukan oleh volume ruang piston), maka Q akan diukur dalam dan mempunyai dimensi tekanan, dan seterusnya.

Seperti yang bisa kita lihat, dengan analogi kecepatan umum, konsep gaya umum mencakup semua besaran yang sebelumnya ditemui sebagai ukuran interaksi mekanis benda material (gaya, momen gaya, tekanan).

Kami akan menghitung gaya umum menggunakan rumus bentuk (108), (110), yang direduksi menjadi menghitung kemungkinan usaha dasar (lihat § 140). Pertama, Anda harus menentukan jumlah derajat kebebasan sistem, memilih koordinat umum dan menggambarkan dalam gambar semua gaya aktif dan gaya gesekan yang diterapkan pada sistem (jika berhasil). Kemudian, untuk menentukan, perlu untuk menginformasikan sistem tentang kemungkinan gerakan di mana hanya koordinat yang berubah, menerima kenaikan positif, menghitung jumlah pekerjaan dasar semua gaya yang bekerja pada gerakan ini sesuai dengan rumus (101) dan sajikan ekspresi yang dihasilkan dalam bentuk (108). Kemudian koefisien untuk dan memberikan nilai yang diinginkan. Hitung dengan cara yang sama

Contoh 1. Mari kita hitung gaya umum untuk sistem yang ditunjukkan pada Gambar. 366, dimana berat A dilintasi sepanjang bidang miring licin, dan berat B dilintasi sepanjang bidang horizontal kasar, yang koefisien gesekannya sama dengan

Beban-beban tersebut dihubungkan dengan seutas benang yang dilemparkan ke atas balok O. Kita mengabaikan massa benang dan balok. Sistem mempunyai satu derajat kebebasan; posisinya ditentukan oleh koordinat (arah acuan positif ditunjukkan oleh panah). Untuk menentukannya, kita menginformasikan sistem tentang perpindahan yang mungkin terjadi dan menghitung kerja dasar gaya-gaya pada perpindahan ini; gaya-gaya yang tersisa tidak melakukan usaha. Dari dulu

Karena itu,

Contoh 2. Mengabaikan gesekan, kita menemukan gaya-gaya umum untuk sistem yang ditunjukkan pada Gambar. 367. Sebuah batang homogen A B memiliki panjang l dan berat P serta dapat berputar mengelilingi sumbu A pada bidang vertikal. Bola M yang digantung padanya mempunyai berat. Panjang pegas AM sama dalam keadaan tanpa tegangan dan kekakuannya c.

Sistem ini mempunyai dua derajat kebebasan (pergerakan bola sepanjang batang dan putaran batang di sekitar sumbu A saling bebas). Sebagai koordinat umum, kita memilih sudut dan jarak bola dari ujung pegas tanpa tekanan; arah positif dari koordinat ditunjukkan oleh panah.

Pertama-tama kami memberi tahu sistem tentang kemungkinan pergerakan di mana sudutnya bertambah. Pada gerak ini, usaha dilakukan oleh gaya-gaya. Dengan menggunakan rumus kedua (101) kita temukan (tanda minus di sini karena arah momen berlawanan dengan arah)

Karena itu,

Sekarang kami memberi tahu sistem tentang kemungkinan pergerakan, di mana hanya koordinat yang berubah, menerima kenaikan, dan sudut. Pada perpindahan ini, usaha dilakukan oleh gravitasi dan gaya elastis, yang modulusnya adalah Then

Mari kita perhatikan sistem mekanis dengan koneksi ideal. Biarlah menjadi kekuatan aktif sistem. Mari kita berikan perpindahan maya pada sistem mekanis dan hitung kerja dasar gaya-gaya sistem pada perpindahan ini:

.

Dengan menggunakan persamaan (17.2) kita menyatakan variasinya
vektor radius poin M k melalui variasi
koordinat umum:

karena itu,

. (17.6)

Mari kita ubah urutan penjumlahan dalam persamaan (17.6):

. (17.7)

Mari kita nyatakan dalam ekspresi (17.7)

. (17.8)

.

Dengan kekuatan yang digeneralisasi Q J sebutkan koefisien variasi koordinat umum dalam ekspresi kerja dasar gaya-gaya sistem.

Tergantung pada dimensi variasi koordinat umum
kekuatan umum Q J mungkin memiliki dimensi gaya, momen, dll.

Metode untuk menghitung gaya umum

Mari kita pertimbangkan tiga cara untuk menghitung gaya umum.

1. Penentuan gaya umum menggunakan rumus dasar(17.8)

. (17.9)

Rumus (17.9) jarang digunakan dalam praktek. Saat memecahkan masalah, metode kedua paling sering digunakan.

2. Sebuah metode “membekukan” koordinat umum.

Mari kita berikan perpindahan maya pada sistem mekanis sedemikian rupa sehingga semua variasi koordinat umum kecuali
sama dengan nol:

Mari kita hitung usaha untuk gerakan ini
semua gaya aktif yang diterapkan pada sistem

.

Menurut definisinya, pengganda untuk variasi
sama dengan gaya umum pertama Q 1 .

dan tentukan kekuatan umum kedua Q 2, setelah menghitung kerja virtual semua gaya sistem

.

Mari kita hitung dengan cara yang sama semua gaya umum lainnya dalam sistem.

3. Kasus medan gaya potensial.

Misalkan energi potensial suatu sistem mekanik diketahui

Kemudian
dan menurut rumus (32.8)

Prinsip gerak maya statika dalam koordinat umum

Menurut prinsip perpindahan maya statika, untuk kesetimbangan suatu sistem dengan ikatan stasioner holonomis yang ideal, syaratnya perlu dan cukup:

pada kecepatan awal nol.

Melewati koordinat umum, kita peroleh

. (17.11)

Karena variasi koordinat umum tidak bergantung, persamaan dengan nol pada ekspresi (17.11) hanya mungkin jika semua koefisien untuk variasi koordinat umum sama dengan nol:

Dengan demikian, Agar suatu sistem mekanis dengan sambungan ideal, holonomis, stasioner, dan penahan berada dalam kesetimbangan, semua gaya umum sistem harus sama dengan nol (pada kecepatan awal sistem nol).

Persamaan Lagrange dalam koordinat umum (Persamaan Lagrange jenis kedua)

Persamaan Lagrange diturunkan dari persamaan umum dinamika dengan mengganti perpindahan maya dengan ekspresinya melalui variasi koordinat umum. Mereka mewakili sistem persamaan diferensial gerak sistem mekanik dalam koordinat umum:

. (17.13)

Di mana
- kecepatan umum,

T energi kinetik sistem, disajikan sebagai fungsi koordinat umum dan kecepatan umum

Q J- kekuatan umum.

Banyaknya persamaan sistem (17.13) ditentukan oleh banyaknya derajat kebebasan dan tidak bergantung pada jumlah benda yang termasuk dalam sistem. Dengan koneksi ideal, hanya gaya aktif yang masuk ke ruas kanan persamaan. Jika ikatannya tidak ideal, maka reaksinya harus diklasifikasikan sebagai gaya aktif.

Dalam kasus gaya potensial yang bekerja pada sistem mekanik, persamaan (17.13) berbentuk

.

Jika kita memperkenalkan fungsi Lagrange L = T  P, kemudian dengan memperhitungkan bahwa energi potensial tidak bergantung pada kecepatan umum, kita memperoleh persamaan Lagrange jenis kedua untuk kasus gaya potensial dalam bentuk berikut

.

Saat menyusun persamaan Lagrange jenis kedua, Anda perlu melakukan langkah-langkah berikut:

Tetapkan jumlah derajat kebebasan sistem mekanis dan pilih koordinat umumnya.

Tuliskan ekspresi energi kinetik sistem dan nyatakan sebagai fungsi koordinat umum dan kecepatan umum.

Dengan menggunakan metode yang diuraikan di atas, temukan gaya aktif umum sistem.

Lakukan semua operasi diferensiasi yang diperlukan dalam persamaan Lagrange.

Contoh.

Di mana J z momen inersia benda terhadap sumbu rotasi z,
- kecepatan sudut benda.

3. Mari kita definisikan gaya umum. Mari kita beri perpindahan maya pada benda  dan hitung kerja maya semua gaya aktif sistem:

Karena itu, Q = M z momen utama gaya aktif sistem relatif terhadap sumbu rotasi benda.

4. Mari kita lakukan operasi diferensiasi pada persamaan Lagrange

: (17.14)

. (17.15)

Substitusikan persamaan (17.15) ke dalam persamaan (173

14) kita memperoleh persamaan diferensial gerak rotasi benda

.

Definisi kekuatan umum

Untuk sistem dengan satu derajat kebebasan, gaya umum yang sesuai dengan koordinat umum Q, disebut besaran yang ditentukan oleh rumus

dimana D Q– kenaikan kecil pada koordinat umum; – jumlah kerja dasar gaya-gaya sistem pada kemungkinan pergerakannya.

Mari kita ingat kembali bahwa kemungkinan pergerakan sistem didefinisikan sebagai pergerakan sistem ke posisi yang sangat dekat yang diperbolehkan oleh koneksi pada saat tertentu (untuk lebih jelasnya lihat Lampiran 1).

Diketahui bahwa jumlah usaha yang dilakukan oleh gaya-gaya reaksi ikatan ideal pada setiap kemungkinan perpindahan sistem adalah sama dengan nol. Oleh karena itu, untuk sistem dengan koneksi ideal, hanya kerja gaya aktif sistem yang harus diperhitungkan dalam ekspresi. Jika sambungannya tidak ideal, maka gaya reaksinya, misalnya gaya gesekan, secara konvensional dianggap sebagai gaya aktif (lihat petunjuk di bawah pada diagram pada Gambar 1.5). Ini termasuk kerja dasar gaya aktif dan kerja dasar momen pasangan gaya aktif. Mari kita tuliskan rumus untuk menentukan hasil kali ini. Katakanlah gaya ( F kx ,F ky ,F kz) diterapkan pada titik tersebut KE, yang vektor radiusnya adalah ( xk ,yk ,zk), dan kemungkinan perpindahan – ​​(d xk, D ya, D zk). Pekerjaan dasar suatu gaya pada perpindahan yang mungkin sama dengan produk skalar, yang dalam bentuk analitis sesuai dengan ekspresi

D A( ) = F ke D r ke cos(), (1.3a)

dan dalam bentuk koordinat – ekspresi

D A( ) = Fkx D xk + Fky D kamu k + F kz D zk. (1.3b)

Jika beberapa kekuatan dengan momen M diterapkan pada benda berputar yang koordinat sudutnya j, dan perpindahan yang mungkin terjadi adalah dj, maka usaha dasar momen M kemungkinan perpindahan dj ditentukan dengan rumus

D SAYA) = ± M D J. (1.3v)

Di sini tanda (+) sesuai dengan kasus saat ini M dan kemungkinan pergerakan dj searah; tanda (–) bila berlawanan arah.

Untuk dapat menentukan gaya umum dengan menggunakan rumus (1.3), perlu dinyatakan kemungkinan pergerakan benda dan titik dalam melalui pertambahan kecil pada koordinat umum d Q, menggunakan dependensi (1)…(7) adj. 1.

Definisi kekuatan umum Q, sesuai dengan koordinat umum yang dipilih Q, disarankan untuk melakukannya dengan urutan berikut.

· Gambarkan pada diagram desain semua gaya aktif sistem.

· Berikan kenaikan kecil pada koordinat umum d q> 0; tunjukkan pada diagram perhitungan kemungkinan perpindahan yang sesuai dari semua titik di mana gaya diterapkan, dan kemungkinan perpindahan sudut semua benda di mana momen pasangan gaya diterapkan.

· Tulislah persamaan kerja dasar semua gaya aktif sistem pada gerak tersebut, nyatakan kemungkinan gerak melalui d Q.

· Tentukan gaya umum menggunakan rumus (1.3).

Contoh 1.4 (lihat kondisi pada Gambar 1.1).

Mari kita definisikan gaya umum yang bersesuaian dengan koordinat umum S(Gbr. 1.4).

Gaya aktif bekerja pada sistem: P- berat kargo; G– berat dan torsi drum M.

Bidang miring yang kasar adalah untuk beban A koneksi yang tidak sempurna. Gaya gesekan geser F tr, bekerja pada beban A dari hubungan ini, sama dengan F tr = f N.

Untuk menentukan kekuatannya N tekanan normal suatu beban pada suatu bidang selama pergerakan, kita menggunakan prinsip D'Alembert: jika gaya inersia bersyarat diterapkan pada setiap titik sistem, selain gaya aktif aktif dan gaya reaksi sambungan, maka himpunan yang dihasilkan gaya akan seimbang dan persamaan dinamis dapat diberikan bentuk persamaan keseimbangan statis. Mengikuti metode terkenal dalam menerapkan prinsip ini, kami akan menggambarkan semua gaya yang bekerja pada beban A(Gbr. 1.5), – dan , dimana adalah gaya tegangan kabel.

Beras. 1.4 Gambar. 1.5

Mari kita tambahkan gaya inersia, dimana percepatan beban. Persamaan prinsip d'Alembert dalam proyeksi ke sumbu kamu seperti N–Pcos A = 0.

Dari sini N = Pcos A. Gaya gesekan geser sekarang dapat ditentukan dengan rumus F tr = f P cos A.

Mari kita berikan koordinat umum S peningkatan kecil d s> 0. Dalam hal ini, beban (Gbr. 1.4) akan bergerak ke atas bidang miring hingga jarak d S, dan drum akan berputar berlawanan arah jarum jam dengan sudut dj.

Dengan menggunakan rumus seperti (1.3a) dan (1.3c), mari kita buat ekspresi untuk jumlah kerja torsi dasar M, kekuatan P Dan F tr:

Mari kita nyatakan dj dalam persamaan ini melalui d S: , Kemudian

kita mendefinisikan gaya umum menggunakan rumus (1.3)

Mari kita perhatikan rumus yang ditulis sebelumnya untuk F tr dan akhirnya kita akan mendapatkannya

Jika dalam contoh yang sama kita mengambil sudut j sebagai koordinat umum, maka gaya umum Qj dinyatakan dengan rumus

1.4.2. Penentuan kekuatan sistem umum
dengan dua derajat kebebasan

Jika sistem memiliki N derajat kebebasan, posisinya ditentukan N koordinat umum. Masing-masing koordinat qi(saya = 1,2,…,N) sesuai dengan kekuatan umum Qi, yang ditentukan oleh rumus

di mana adalah jumlah usaha dasar gaya-gaya aktif pada Saya-kemungkinan pergerakan sistem ketika d q saya > 0, dan koordinat umum lainnya tidak berubah.

Saat menentukan, perlu mempertimbangkan instruksi untuk menentukan gaya umum menurut rumus (1.3).

Direkomendasikan untuk menentukan gaya umum suatu sistem dengan dua derajat kebebasan dengan urutan sebagai berikut.

· Tunjukkan pada diagram desain semua gaya aktif sistem.

· Tentukan gaya umum pertama Pertanyaan 1. Untuk melakukan ini, berikan sistem kemungkinan pergerakan pertama ketika d q 1 > 0, dan d q 2 =pertanyaan 1 kemungkinan pergerakan semua benda dan titik dalam sistem; menyusun - ekspresi kerja dasar gaya-gaya sistem pada kemungkinan perpindahan pertama; kemungkinan pergerakan yang di nyatakan melalui d pertanyaan 1; menemukan Pertanyaan 1 menurut rumus (1.4), mengambil saya = 1.

· Tentukan gaya umum kedua Pertanyaan 2. Untuk melakukan ini, berikan kemungkinan pergerakan kedua pada sistem ketika d q 2 > 0, dan d q 1 = 0; tunjukkan d yang sesuai pada diagram desain pertanyaan 2 kemungkinan pergerakan semua benda dan titik dalam sistem; menyusun - ekspresi kerja dasar gaya sistem pada kemungkinan perpindahan kedua; kemungkinan pergerakan yang di nyatakan melalui d pertanyaan 2; menemukan Pertanyaan 2 menurut rumus (1.4), mengambil saya = 2.

Contoh 1.5 (lihat kondisi pada Gambar 1.2)

Mari kita definisikan Pertanyaan 1 Dan Pertanyaan 2, sesuai dengan koordinat umum xD Dan x A(Gbr. 1.6, A).

Ada tiga gaya aktif yang bekerja pada sistem: PA = 2P, P B = P D = P.

Definisi Pertanyaan 1. Mari kita berikan sistem kemungkinan pergerakan pertama ketika d xD> 0, d x A = 0 (Gbr. 1.6, A). Pada saat yang sama, bebannya D xD, memblokir B akan berputar berlawanan arah jarum jam dengan sudut dj B, sumbu silinder A akan tetap tidak bergerak, silinder A akan berputar pada suatu sumbu A di sudut dj A searah jarum jam. Mari kita kompilasi jumlah pekerjaan pada gerakan-gerakan yang ditunjukkan:

mari kita definisikan

Mari kita definisikan Pertanyaan 2. Mari kita beri sistem kemungkinan pergerakan kedua ketika d x D = 0, d xA> 0 (Gbr. 1.6, B). Dalam hal ini, sumbu silinder A akan bergerak vertikal ke bawah sejauh d x A, silinder A akan berputar pada suatu sumbu A searah jarum jam ke sudut dj A, memblokir B dan kargo D akan tetap tidak bergerak. Mari kita kompilasi jumlah pekerjaan pada gerakan-gerakan yang ditunjukkan:

mari kita definisikan

Contoh 1.6 (lihat kondisi pada Gambar 1.3)

Mari kita definisikan Pertanyaan 1 Dan Pertanyaan 2, sesuai dengan koordinat umum j, S(Gbr. 1.7, A). Ada empat gaya aktif yang bekerja pada sistem: berat batang P, berat bola, gaya elastis pegas dan .

Mari kita pertimbangkan hal itu. Modulus gaya elastis ditentukan dengan rumus (a).

Perhatikan bahwa titik penerapan gaya F 2 tidak bergerak, oleh karena itu kerja gaya ini pada setiap kemungkinan perpindahan sistem adalah nol, dalam ekspresi gaya umum, gaya F 2 tidak akan masuk.

Definisi Pertanyaan 1. Mari kita berikan sistem kemungkinan gerakan pertama saat dj > 0, d s = 0 (Gbr. 1.7, A). Dalam hal ini, batangnya AB akan berputar pada suatu sumbu z berlawanan arah jarum jam dengan sudut dj, kemungkinan pergerakan bola D dan pusat E batang diarahkan tegak lurus terhadap ruas tersebut IKLAN, panjang pegas tidak akan berubah. Mari kita masukkan ke dalam bentuk koordinat [lihat. rumus (1.3b)]:

(Harap dicatat bahwa, oleh karena itu, usaha yang dilakukan oleh gaya ini pada perpindahan pertama yang mungkin adalah nol).

Mari kita nyatakan perpindahannya d x E dan d xD melalui dj. Untuk melakukan ini, pertama-tama kita menulis

Kemudian sesuai dengan rumus (7) adj. 1 kita akan menemukan

Mengganti nilai yang ditemukan ke dalam , kita mendapatkan

Dengan menggunakan rumus (1.4), dengan mempertimbangkan bahwa , kita tentukan

Definisi Pertanyaan 2. Mari kita beri sistem kemungkinan pergerakan kedua saat dj = 0, d s> 0 (Gbr. 1.7, B). Dalam hal ini, batangnya AB akan tetap tidak bergerak, dan bola M akan bergerak sepanjang batang sejauh d S. Mari kita kompilasi jumlah pekerjaan pada gerakan-gerakan yang ditunjukkan:

mari kita definisikan

mengganti nilai gaya F 1 dari rumus (a), kita peroleh

1.5. Menyatakan energi kinetik suatu sistem
dalam koordinat umum

Energi kinetik suatu sistem sama dengan jumlah energi kinetik benda dan titiknya (Lampiran 2). Untuk mendapatkan T Ekspresi (1.2) harus menyatakan kecepatan semua benda dan titik sistem melalui kecepatan umum menggunakan metode kinematika. Dalam hal ini, sistem dianggap berada dalam posisi sewenang-wenang, semua kecepatan umum dianggap positif, yaitu diarahkan ke peningkatan koordinat umum.

Contoh 1. 7 (lihat kondisi pada Gambar 1.1)

Mari kita tentukan energi kinetik sistem (Gbr. 1.8), dengan mengambil jarak sebagai koordinat umum S,

T = TA + T B.

Menurut rumus (2) dan (3) adj. 2 kita punya: .

Mengganti data ini ke dalam T dan dengan mempertimbangkan itu, kita dapatkan

Contoh 1.8(lihat kondisi pada Gambar 1.2)

Mari kita tentukan energi kinetik sistem pada Gambar. 1.9, mengambil besaran-besaran sebagai koordinat umum xD Dan x A,

T = T A + T B + T D.

Menurut rumus (2), (3), (4) adj. 2 kami akan menuliskannya

Mari berekspresi V A , V D , w B dan W A melalui :

Saat menentukan w A diperhitungkan bahwa intinya HAI(Gbr. 1.9) – pusat kecepatan silinder sesaat A Dan V k = V D(lihat penjelasan terkait contoh 2 lampiran 2).

Menggantikan hasil yang diperoleh ke dalam T dan mengingat itu

mari kita definisikan

Contoh 1.9(lihat kondisi pada Gambar 1.3)

Mari kita tentukan energi kinetik sistem pada Gambar. 1.10, mengambil j dan sebagai koordinat umum S,

T = T AB + T D.

Menurut rumus (1) dan (3) adj. 2 kita punya

Mari kita ungkapkan w AB Dan V D melalui dan :

dimana adalah kecepatan perpindahan bola D, modulusnya ditentukan oleh rumus

Diarahkan tegak lurus terhadap segmen tersebut IKLAN dalam arah pertambahan sudut j; – kecepatan relatif bola, modulusnya ditentukan oleh rumus yang diarahkan pada peningkatan koordinat S. Oleh karena itu, perhatikan bahwa itu tegak lurus

Mengganti hasil ini ke dalam T dan mengingat itu

1.6. Menyusun persamaan diferensial
pergerakan sistem mekanis

Untuk mendapatkan persamaan yang diperlukan, perlu untuk mengganti persamaan Lagrange (1.1) dengan ekspresi energi kinetik sistem yang ditemukan sebelumnya dalam koordinat umum dan gaya umum. Q 1 , Q 2 , … , Qn.

Saat menemukan turunan parsial T menggunakan koordinat umum dan kecepatan umum, variabel harus diperhitungkan Q 1 , Q 2 , … , qn; dianggap independen satu sama lain. Artinya ketika mendefinisikan turunan parsial T untuk salah satu variabel ini, semua variabel lain dalam ekspresi untuk T harus dianggap sebagai konstanta.

Saat melakukan suatu operasi, semua variabel yang termasuk dalam variabel harus dibedakan berdasarkan waktu.

Kami menekankan bahwa persamaan Lagrange ditulis untuk setiap koordinat umum qi (saya = 1, 2,…N) sistem.