dimana adalah jumlah minor diagonal orde pertama dari matriks A

– jumlah minor diagonal matriks A orde kedua

– jumlah minor diagonal matriks A orde ketiga

MembiarkanA= - ,b= , maka orde ke-3 XY berbentuk:

Kondisi:

(a,b,c)<0 – все собст.знач.-я ХП вещественные

(a,b,c)>

Dua persamaan karakteristik Rössler.

Saat menyelesaikan sistem persamaan diferensial, ada 2 titik tunggal P10(0,0,0) dan P20==(c-ab,b-c/a,c/a-b), jika Anda melakukan semua operasi dengan mencari Jacobian dan jumlah elemen diagonalnya, maka akan diperoleh 2 persamaan Resslera :

3.3 Kondisi untuk menentukan jenis nilai eigen persamaan karakteristik orde ketiga.

Kondisi:

(a,b,c)=(9c-ab) 2 -(6b-2a 2)(6ac-2b 2)

(a,b,c)<0 – все собст.знач.-я ХП вещественные

Ф(a,b,c)=0 – dua (tiga) zat ganda. akar

Ф(a,b,c)>0 – dua akar konjugat kompleks

Akar persamaan karakteristik dengan parameter: 0,38; 0,30; 4.82 (sadel fokus tidak stabil).

Kurva integral harus dibangun relatif terhadap setiap titik tunggal.

Semua “kondisi” dianggap + kondisi (s-av)>0dan (s-av)<0 рассматирваием для Ро1=(0,0,0)

Jika kita perhatikan persamaan dengan parameter 0,38..., maka kita mendapatkan lintasan yang menarik, lintasan tersebut ditolak dari Po1(0,0,0) sepanjang R2 (x1,x2) dalam ruang fase R3, dan ditarik sepanjang a kurva satu dimensi, membentuk titik tetap dari tipe pelana -fokus. Titik yang mewakili meninggalkan daerah titik keseimbangan tidak stabil tipe Po1 pada bidang variabel (x1,x3), dan kemudian kembali ke titik ini lagi.

Lintasan homoklinik dalam ruang fase sistem.

Potret fase memungkinkan untuk menggambarkan karakteristik kualitatif dari seluruh rangkaian gerakan bebas (proses) untuk wilayah yang dipilih dari ruang akar NU.

jika lintasan meninggalkan titik asal, maka setelah melakukan putaran penuh mengelilingi salah satu titik stabil, lintasan tersebut akan kembali ke titik awal - timbul dua putaran homoklinik (Konsep lintasan homoklinik berarti meninggalkan dan tiba di posisi setimbang yang sama).

Lintasan homoklinik– tidak terjadi jika parameter tidak memenuhi batasan ketat tertentu.

Ketidakstabilan struktural lintasan homoklinik.

Pada nilai parameter yang besar, lintasan mengalami perubahan yang signifikan. Shilnikov dan Kaplan menunjukkan bahwa pada r yang sangat besar sistem masuk ke mode osilasi mandiri, dan jika parameternya dikurangi, transisi ke kekacauan akan diamati melalui urutan penggandaan periode osilasi.

Lintasan homoklinik- secara struktural tidak stabil.

Penarik yang aneh

Penarik yang aneh: posisi keseimbangan yang tidak stabil adalah ciri utama perilaku kacau. Lintasan sangat sensitif terhadap perubahan kondisi awal - kualitas ini melekat pada penarik yang aneh.

Penarik aneh adalah penarik yang memiliki dua perbedaan signifikan dari penarik biasa: lintasan penarik tersebut non-periodik (tidak menutup) dan mode pengoperasiannya tidak stabil (penyimpangan kecil dari mode meningkat). Kriteria utama untuk sifat kacau dari suatu penarik adalah peningkatan eksponensial dalam waktu gangguan kecil. Konsekuensi dari hal ini adalah “pencampuran” dalam sistem, non-periodisitas waktu pada salah satu koordinat sistem, spektrum daya kontinu dan fungsi autokorelasi menurun seiring waktu.

Dinamika penarik aneh sering kali kacau: sulit untuk memprediksi lintasan yang termasuk dalam penarik, karena sedikit ketidakakuratan pada data awal dapat menyebabkan perbedaan besar antara perkiraan dan lintasan sebenarnya setelah beberapa waktu. Ketidakpastian lintasan dalam sistem dinamis deterministik disebut dengan kekacauan dinamis, yang membedakannya dengan kekacauan stokastik yang muncul dalam sistem dinamis stokastik. Fenomena ini juga disebut efek kupu-kupu, yang menyiratkan kemungkinan mengubah arus udara turbulen lemah yang disebabkan oleh kepakan sayap kupu-kupu di satu titik di planet ini menjadi tornado yang kuat di sisi lain karena intensifikasi berulangnya di atmosfer selama beberapa tahun. periode waktu.

Apakah mungkin untuk memiliki perilaku stokastik dan reguler secara bersamaan? Atau selalu reguler atau stokastik?

Perilaku teratur dan kacau dari sistem disipatif dinamis dengan banyak variabel (n>2) dimungkinkan, tidak hanya secara terpisah (salah satu atau), tetapi juga secara bersamaan.

Tidak dapat dikatakan bahwa sistem mengalami kekacauan setelah percabangan pertama (karena sistem berjalan di satu tempat dan muncul di tempat lain)

Mengapa urutan ketiga? Mungkinkah penarik aneh muncul di sistem orde kedua? Dan dalam sistem yang lebih tinggi dari urutan ketiga?

Kondisi matematis yang lebih tepat terjadinya chaos adalah sebagai berikut:

Sistem harus memiliki karakteristik nonlinier, stabil secara global, tetapi memiliki setidaknya satu titik keseimbangan tidak stabil dari tipe osilasi, dan dimensi sistem harus minimal 1,5 (yaitu, orde persamaan diferensial minimal 3).

Sistem linier tidak pernah kacau. Agar sistem dinamis menjadi kacau, maka sistem tersebut harus nonlinier. Menurut teorema Poincaré-Bendixson, sistem dinamis kontinu pada suatu bidang tidak boleh semrawut. Di antara sistem kontinu, hanya sistem spasial non-datar yang memiliki perilaku kacau (diperlukan setidaknya tiga dimensi atau geometri non-Euclidean). Namun, sistem dinamis diskrit pada tahap tertentu dapat menunjukkan perilaku kacau bahkan dalam ruang satu atau dua dimensi.

Kuliah 3. Sistem yang dapat diintegrasikan dan tidak dapat diintegrasikan. Sistem konservatif

Sistem terintegrasi

1. Dapat direduksi menjadi pergerakan sistem yang bebas (tidak terganggu). Apa yang terjadi jika terdapat sifat yang tidak dapat direduksi?

Untuk sistem yang terintegrasi, kita dapat menghilangkan interaksi dan mengurangi masalah menjadi masalah pergerakan bebas. Untuk gerak bebas, tidak sulit menemukan ekspresi koordinat dan kecepatan dalam bentuk fungsi waktu yang eksplisit. Untuk sistem yang tidak dapat diintegrasikan, perlu untuk mengabaikan deskripsi lintasan dan melanjutkan ke deskripsi probabilistik (dengan tidak dapat direduksi).

Apakah mungkin untuk mendeskripsikan sistem yang tidak dapat diintegrasikan dalam bentuk lintasan?

tidak mustahil. Kita berbicara tentang deskripsi probabilistik yang fundamental, yang tidak dapat direduksi menjadi deskripsi berdasarkan lintasan individu.

Bisakah suatu sistem yang ditentukan oleh persamaan deterministik memiliki dinamika stokastik?

D.s. bertentangan dengan sistem probabilistik, yang keluarannya hanya bergantung secara acak, dan tidak bergantung secara unik pada masukan. (dalam ds, keluarannya bergantung secara unik pada masukan). Namun sistem apa pun, meskipun bersifat deterministik, akan mengandung sejumlah keacakan.

Halo semua!

Artikel ini didedikasikan untuk fitur luar biasa di dunia kekacauan. Saya akan mencoba berbicara tentang cara mengekang hal yang aneh dan rumit seperti proses kacau dan mempelajari cara membuat generator kekacauan sederhana Anda sendiri. Bersama Anda, kami akan beralih dari teori kering ke visualisasi indah dari proses kacau di ruang angkasa. Secara khusus, dengan menggunakan contoh penarik chaos yang terkenal, saya akan menunjukkan cara membuat sistem dinamis dan menggunakannya dalam masalah yang berkaitan dengan sirkuit terintegrasi logika terprogram (FPGA).

Perkenalan

Teori kekacauan adalah ilmu yang tidak biasa dan muda yang menggambarkan perilaku sistem dinamis nonlinier. Dalam proses permulaannya, teori chaos telah menjungkirbalikkan ilmu pengetahuan modern! Dia menggairahkan pikiran para ilmuwan dan memaksa mereka untuk semakin mendalami studi tentang kekacauan dan sifat-sifatnya. Berbeda dengan kebisingan, yang merupakan proses acak, kekacauan bersifat deterministik. Artinya, untuk kekacauan terdapat hukum perubahan besaran yang termasuk dalam persamaan untuk menggambarkan proses kekacauan. Tampaknya dengan definisi ini, kekacauan tidak berbeda dengan osilasi lain yang digambarkan sebagai suatu fungsi. Tapi itu tidak benar. Sistem yang kacau sangat sensitif terhadap kondisi awal, dan perubahan sekecil apa pun di dalamnya dapat menyebabkan perbedaan yang sangat besar. Perbedaan-perbedaan ini mungkin begitu kuat sehingga tidak mungkin untuk mengetahui apakah satu atau lebih sistem telah dipelajari. Dari sumber sains populer, sifat kekacauan ini paling baik dijelaskan melalui proses yang disebut " efek kupu-kupu“Banyak orang yang pernah mendengarnya, bahkan membaca buku dan menonton film yang menggunakan teknik efek kupu-kupu. Intinya, efek kupu-kupu mencerminkan sifat utama kekacauan.

Ilmuwan Amerika Edward Lorenz, salah satu pionir di bidang chaos, pernah berkata:

Seekor kupu-kupu yang mengepakkan sayapnya di Iowa dapat menimbulkan dampak longsor yang bisa berujung pada musim hujan di Indonesia.

Jadi, mari selami teori chaos dan lihat cara improvisasi apa yang bisa menimbulkan kekacauan.

Teori

Sebelum menyampaikan materi utama, saya ingin memberikan beberapa definisi yang akan membantu untuk memahami dan memperjelas beberapa poin dalam artikel.

Sistem dinamis– ini adalah sekumpulan elemen tertentu yang hubungan fungsionalnya ditentukan antara koordinat waktu dan posisi dalam ruang fase setiap elemen sistem. Sederhananya, sistem dinamis adalah sistem yang keadaan ruangnya berubah seiring waktu.
Banyak proses fisika di alam yang dijelaskan oleh sistem persamaan, yang merupakan sistem dinamis. Misalnya saja proses pembakaran, aliran cairan dan gas, perilaku medan magnet dan osilasi listrik, reaksi kimia, fenomena meteorologi, perubahan populasi tumbuhan dan hewan, turbulensi arus laut, pergerakan planet bahkan galaksi. Seperti yang Anda lihat, banyak fenomena fisik yang sampai taraf tertentu dapat digambarkan sebagai proses yang kacau.

Potret fase adalah bidang koordinat yang setiap titiknya berhubungan dengan keadaan sistem dinamis pada titik waktu tertentu. Dengan kata lain, ini adalah model spasial suatu sistem (bisa dua dimensi, tiga dimensi, bahkan empat dimensi atau lebih).

Penarik perhatian– himpunan ruang fase tertentu dari sistem dinamik, yang semua lintasannya tertarik ke himpunan ini seiring waktu. Secara sederhana, ini adalah area tertentu di mana perilaku sistem dalam ruang terkonsentrasi. Banyak proses chaos yang menjadi penarik, karena terkonsentrasi pada suatu area ruang tertentu.

Penerapan

Pada artikel ini saya ingin berbicara tentang empat penarik utama - Lorentz, Ressler, Rikitake dan Nose-Hoover. Selain uraian teoritis, artikel tersebut mencerminkan aspek penciptaan sistem dinamis di lingkungan Simulink MATLAB dan integrasi lebih lanjut ke dalam FPGA perusahaan Xilinx menggunakan alat tersebut Pembangkit Sistem. Mengapa tidak VHDL/Verilog? Dimungkinkan untuk mensintesis penarik menggunakan bahasa RTL, tetapi untuk visualisasi semua proses yang lebih baik, MATLAB adalah pilihan ideal. Saya tidak akan membahas masalah rumit yang terkait dengan penghitungan spektrum eksponen Lyapunov atau pembuatan bagian Poincaré. Terlebih lagi, tidak akan ada rumus dan kesimpulan matematika yang rumit. Jadi mari kita mulai.

Untuk membuat chaos generator kita memerlukan software berikut:

• MATLAB R2014 dengan lisensi Simulink dan DSP Toolbox.
• Xilinx ISE Design Suite 14.7 dengan lisensi System-Generator (DSP Edition).

Program-program ini cukup berat, jadi bersabarlah saat menginstalnya. Sebaiknya memulai instalasi dengan MATLAB, baru kemudian menginstal software Xilinx (dengan urutan yang berbeda, beberapa teman saya tidak dapat mengintegrasikan satu aplikasi ke aplikasi lainnya). Saat menginstal yang terakhir, sebuah jendela muncul di mana Anda dapat menghubungkan Simulink dan System Generator. Tidak ada yang rumit atau tidak biasa dalam instalasi, jadi kami akan menghilangkan proses ini.

Penarik Lorentz

Penarik Lorentz mungkin merupakan sistem dinamik yang paling terkenal dalam teori chaos. Selama beberapa dekade sekarang, telah menarik perhatian besar dari banyak peneliti untuk menggambarkan proses fisik tertentu. Penarik pertama kali disebutkan pada tahun 1963 dalam karya E. Lorenz, yang terlibat dalam pemodelan fenomena atmosfer. Penarik Lorentz adalah sistem dinamis tiga dimensi persamaan diferensial otonom nonlinier orde pertama. Ia mempunyai struktur topologi yang kompleks, stabil asimtotik dan stabil Lyapunov. Penarik Lorentz digambarkan dengan sistem persamaan diferensial berikut:

Dalam rumusnya, titik di atas suatu parameter berarti mengambil turunan, yang mencerminkan laju perubahan suatu besaran terhadap parameter tersebut (arti fisis dari turunan tersebut).

Dengan nilai parameter σ = 10, R= 28 dan B= 8/3 sistem dinamik sederhana ini diperoleh oleh E. Lorentz. Untuk waktu yang lama dia tidak dapat memahami apa yang terjadi pada komputernya, sampai akhirnya dia menyadari bahwa sistem tersebut menunjukkan sifat kacau! Itu diperoleh selama percobaan untuk masalah pemodelan konveksi fluida. Selain itu, sistem dinamis ini menggambarkan perilaku proses fisik berikut:

• – model laser mode tunggal,
• – konveksi dalam lingkaran tertutup dan lapisan datar,
• - putaran kincir air,
• – osilator harmonik dengan nonlinier inersia,
• – turbulensi massa awan, dll.

Gambar berikut menunjukkan sistem penarik Lorentz di MATLAB:

Gambar tersebut menggunakan sejumlah simbol berikut:

• pengurang: SUB0-3;
• pengali dengan konstanta: SIGMA, B, R;
• pengganda: MULT0-1;
• integrator dengan sel untuk menentukan kondisi awal: INTEGRATOR X,Y,Z;
• Port KELUAR: DATA X,Y,Z untuk sinyal XSIG, YSIG, ZSIG;

Selain itu, diagram menunjukkan alat analisis tambahan, yaitu:

• menyimpan hasil perhitungan ke file: Ke Ruang Kerja X,Y,Z;
• konstruksi grafik spasial: Grafik XY, ​​YZ, XZ;
• konstruksi grafik waktu: Ruang Lingkup XYZ;
• alat untuk memperkirakan sumber daya kristal yang ditempati dan menghasilkan kode HDL dari model " Penaksir Sumber Daya" Dan " Pembangkit Sistem».

Di dalam setiap node operasi matematika, perlu untuk menunjukkan kedalaman bit data perantara dan jenisnya. Sayangnya, bekerja dengan floating point di FPGA tidaklah mudah dan dalam banyak kasus, semua operasi dilakukan dalam format fixed-point. Menetapkan parameter secara salah dapat menyebabkan hasil yang salah dan menyebabkan kekecewaan saat membangun sistem Anda. Saya bereksperimen dengan jumlah yang berbeda, tetapi memilih tipe data berikut: vektor 32-bit angka bertanda dalam format titik tetap. 12 bit dialokasikan untuk bagian bilangan bulat, 20 bit untuk bagian pecahan.

Dengan menetapkan nilai awal sistem pada integrator X, Y, Z pada blok trigger, misalnya, {10, 0, 0} , saya menjalankan modelnya. Tiga sinyal berikut dapat diamati dalam basis waktu:


Sekalipun waktu simulasi berlangsung hingga tak terbatas, implementasi dalam waktu tidak akan pernah terulang. Proses chaos bersifat non-periodik.

Dalam ruang tiga dimensi, penarik Lorentz terlihat seperti ini:

Terlihat bahwa penarik mempunyai dua titik tarik-menarik disekitarnya dimana seluruh proses terjadi. Dengan sedikit perubahan pada kondisi awal, prosesnya juga akan terkonsentrasi di sekitar titik-titik tersebut, namun lintasannya akan berbeda secara signifikan dari versi sebelumnya.

Penarik Rössler

Penarik kedua dari segi jumlah penyebutan dalam artikel dan publikasi ilmiah. Untuk Penarik Rössler ditandai dengan adanya titik batas manifestasi sifat chaos atau periodik. Di bawah parameter tertentu dari sistem dinamis, osilasi berhenti menjadi osilasi periodik dan osilasi kacau muncul. Salah satu sifat luar biasa dari penarik Rössler adalah struktur fraktal pada bidang fase, yaitu fenomena kesamaan diri. Dapat dicatat bahwa penarik lain, pada umumnya, memiliki sifat ini.

Penarik Rössler diamati di banyak sistem. Misalnya, digunakan untuk menggambarkan aliran fluida dan juga untuk menggambarkan perilaku berbagai reaksi kimia dan proses molekuler. Sistem Rössler dijelaskan dengan persamaan diferensial berikut:

Di lingkungan MATLAB, penarik dibuat sebagai berikut:

Realisasi temporal besaran spasial:

Model tiga dimensi dari penarik Rössler:

Bam! Nilainya sedikit berubah:

Penarik dengan kondisi awal yang sedikit berubah (lintasan berbeda!)

Penarik dengan koefisien berbeda dalam sistem persamaan (proses kacau telah berubah menjadi periodik!)

Bandingkan gambar penarik tiga dimensi untuk kondisi awal dan koefisien yang berbeda dalam sistem persamaan. Apakah Anda melihat bagaimana lintasan pergerakan berubah secara dramatis pada kasus pertama? Namun dengan satu atau lain cara, mereka terkonsentrasi di dekat satu area atraksi. Dalam kasus kedua, penarik berhenti menunjukkan tanda-tanda kekacauan sama sekali, berubah menjadi lingkaran periodik tertutup (siklus batas).

Penarik Rikitake

Dinamo Rikitake– salah satu sistem dinamis orde ketiga yang terkenal dengan perilaku kacau. Ini adalah model dinamo piringan ganda dan pertama kali diusulkan dalam masalah inversi kacau medan geomagnetik bumi. Ilmuwan Rikitake menyelidiki sistem dinamo dengan dua piringan yang saling berhubungan yang dibangun sedemikian rupa sehingga arus dari satu kumparan piringan mengalir ke kumparan lainnya dan mengeksitasi piringan kedua, dan sebaliknya. Pada titik tertentu, sistem mulai tidak berfungsi dan menunjukkan hal-hal yang tidak terduga. Studi aktif terhadap penarik memungkinkan untuk memproyeksikan dinamo Rikitake ke dalam model hubungan pusaran besar medan magnet di inti bumi.

Dinamo Rikitake digambarkan dengan sistem persamaan berikut:

Model dinamo Rikitake di MATLAB:

Implementasi sementara:

Penarik (versi pertama):

Dinamo (versi kedua)

Anda mungkin memperhatikan bahwa dinamo Rikitake agak mirip dengan penarik Lorentz, tetapi ini adalah sistem yang sangat berbeda dan menggambarkan proses fisik yang berbeda!

Penarik Hidung-Hoover

Sistem dinamis tiga dimensi yang kurang terkenal namun tidak kalah pentingnya adalah Termostat Hidung-Hoover. Digunakan dalam teori molekuler sebagai sistem termostatik yang dapat dibalik waktu. Sayangnya, saya tidak tahu banyak tentang penarik ini dibandingkan yang lain, tapi menurut saya ini menarik dan memasukkannya ke dalam ulasan.

Termostat Nose-Hoover dijelaskan dengan sistem persamaan berikut:

Model Hidung-Hoover di MATLAB:

Implementasi sementara:

1

Artikel ini dikhususkan untuk penggunaan metode desain analitis pengontrol agregat untuk pengembangan hukum kontrol untuk sistem dinamis nonlinier tipikal dengan dinamika kacau, yang memastikan stabilisasi keadaan keseimbangan dalam sistem tersebut. Artikel ini menyajikan solusi untuk salah satu masalah karakteristik pengendalian antichaotic, yaitu masalah menekan osilasi aperiodik dalam sistem tersebut. Hukum kontrol sinergis untuk model Chaotic Lorentz dan Ressler telah dikembangkan, yang menjamin stabilisasi variabel fase dalam model ini. Pengenalan umpan balik yang disintesis mengarah pada munculnya keadaan keseimbangan dalam sistem. Pemodelan komputer dari sistem dinamis tertutup yang disintesis telah dilakukan, yang menegaskan ketentuan teoretis dari teori kontrol sinergis. Hukum kendali yang disintesis dapat digunakan dalam berbagai aplikasi teknis untuk meningkatkan efisiensi fungsinya.

Model Lorentz

Model Ressler

sistem dinamis

kontrol

sinergis

Masukan

osilasi diri

1. Anishchenko V.S., Vadivasova T.E. Kuliah tentang dinamika nonlinier // Berita institusi pendidikan tinggi. Dinamika nonlinier yang diterapkan. – 2010. – T.18. – No.3. – Hal.186–191.

2. Kolesnikov A.A. Sinergis terapan: dasar-dasar sintesis sistem. – Taganrog: Penerbitan TTI SFU, 2007. – 384 hal.

3. Kolesnikov A.A. Teori manajemen sinergis. – M.: Energoatomizdat, 1994. – 344 hal.

4.Malinetsky G.G. Kekacauan. Struktur. Eksperimen komputasi: Pengantar dinamika nonlinier. – M.: Redaksi URSS, 2002. – 255 hal.

5. Neymark Yu.I., Landa P.S. Osilasi stokastik dan kacau. – M.: Nauka, 1987. – 424 hal.

6. Teori manajemen terapan modern. Bagian II: Pendekatan sinergis terhadap teori kendali / ed. ed. A A. Kolesnikova. – M.-Taganrog: Rumah Penerbitan TRTU, 2000. – 558 hal.

7. Lorenz E.N. Aliran nonperiodik deterministik // J. Atmos. Sains. – 1963. – No.20. – Hal.130–133.

8. Rossler O.E. Persamaan untuk kekacauan terus menerus // Phys. Biarkan. A. – 1976. – Jil. 57A, No.5. – Hal.397–398.

Saat ini, penggunaan istilah "kekacauan" dalam penelitian ilmiah dikaitkan dengan kebutuhan untuk menggambarkan sistem yang dicirikan oleh dinamika yang sepenuhnya acak, pada pandangan pertama, dan pada saat yang sama adanya tatanan tersembunyi di dalamnya.

Masalah ilmiah yang cukup mendesak dalam mengendalikan dinamika chaos belum terpecahkan saat ini. Dari sekian banyak aspek penyelesaiannya, studi tentang berbagai metode dan hukum yang menekan osilasi tidak beraturan dalam sistem nonlinier, yang ditandai dengan adanya dinamika chaos, dapat diidentifikasi sebagai hal yang sangat penting.

Masalah pengendalian sistem nonlinier dengan dinamika kacau mempunyai kepentingan praktis yang besar. Perlu dicatat bahwa intinya di sini tidak hanya pada perjuangan melawan kekacauan, yang seringkali mengganggu kualitas berfungsinya sistem yang kompleks, tetapi juga pada gagasan munculnya apa yang disebut “tatanan dari kekacauan”, yang cocok untuk sejumlah proses teknologi.

Masalah menekan osilasi tidak teratur adalah salah satu masalah paling khas dalam mengendalikan model dengan dinamika kacau dan terdiri dari pembentukan tindakan kontrol sedemikian rupa sehingga stabilisasi model yang awalnya kacau dalam keadaan stasioner yang stabil dapat dipastikan. Berikut ini, diasumsikan bahwa dinamika model dapat dipengaruhi dengan bantuan beberapa tindakan kontrol eksternal, yang secara aditif disertakan di sisi kanan salah satu persamaan diferensialnya.

Tujuan penelitian. Dalam karya ini, kami memecahkan masalah membangun hukum kontrol skalar yang memastikan penekanan osilasi kacau dalam sistem kacau khas Lorenz dan Rössler, di mana osilasi tidak teratur dari model asli distabilkan dalam keadaan stabil kesetimbangan. Masalah serupa muncul ketika perlu untuk menghilangkan getaran struktur yang tidak diinginkan, berbagai kebisingan, dll. .

Bahan dan metode penelitian

Salah satu metode untuk secara efektif memecahkan masalah kompleks pengendalian kekacauan dan mensintesis hukum objektif untuk mengendalikan sistem nonlinier dengan dinamika chaos adalah metode desain analitis pengontrol agregat (ACAR), yang diusulkan oleh Profesor A.A. Kolesnikov.

Konstruksi pengontrol skalar dengan metode desain analitik pengontrol agregat didasarkan pada pengenalan urutan manifold invarian dari penurunan dimensi geometris dan dekomposisi dinamis langkah demi langkah berikutnya dari sistem dinamis asli. Dalam hal ini, titik representasi (IT) sistem, mulai berpindah dari keadaan awal sembarang, berpindah secara berurutan dari satu permukaan tarikan ke permukaan tarikan lainnya hingga mencapai permukaan akhir berbentuk ψ1 = 0 → ψ2 = 0 → . .. → ψm = 0. “ Manifold internal" secara topologi tertanam dalam manifold "eksternal". Dengan demikian, proses internal pemerintahan sendiri muncul dalam sistem yang disintesis. Akibatnya, terjadi pembentukan kaskade dari serangkaian kontrol internal, yang memampatkan volume fase sistem dalam arah dari wilayah eksternal ruang fase ke kumpulan wilayah internal yang bersarang satu sama lain hingga TI mencapai volume yang diinginkan. keadaan sistem.

Mari kita asumsikan bahwa dalam ruang keadaan suatu sistem tertutup terdapat manifold invarian tarik menarik dalam bentuk ψ(x) = 0, yang merupakan batas asimtotik lintasan fasa. Secara umum, mungkin ada beberapa varietas seperti itu. Biasanya, jumlah manifold invarian sama dengan jumlah saluran kontrol. Kemudian titik representasi sistem mulai cenderung ke perpotongan manifold invarian. Kondisi yang diperlukan agar titik representasi dari sistem tertutup “pengendali objek” berada pada manifold invarian ψ(x) = 0 adalah bahwa pergerakannya memenuhi persamaan diferensial stabil yang ditulis sehubungan dengan variabel makro agregat ψ(x). Persamaan seperti itu dalam teori kendali sinergis disebut fungsional atau evolusioner. Biasanya, sistem persamaan fungsional ditentukan sebagai sistem persamaan diferensial biasa orde pertama dalam bentuk

S = 1, 2, ..., m, Ts > 0.

Di sini m adalah jumlah manifold invarian yang diberikan; Ts adalah parameter kontrol, φ s (ψ s) adalah fungsi yang harus memenuhi serangkaian kondisi berikut:

1) φ s (ψ s) harus kontinu, unik dan terdiferensiasi untuk semua ψs;

2) φ s (0) = 0;

3) φ s (ψ s ) > 0 untuk 0 apa pun,

itu. mereka menghilang hanya pada manifold φ s = 0, yang mana sistem persamaan fungsional tertentu stabil secara asimtotik secara keseluruhan.

Biasanya, metode ACAR menggunakan persamaan fungsional:

itu. φ s (ψ s ) = ψ s 0. Persamaan jenis ini, seperti dapat dilihat, dicirikan oleh stabilitas asimtotik terhadap manifold ψ s = 0 pada kondisi Ts > 0.

Dalam situasi ini, masalah sintesis hukum stabilisasi kendali model chaos dalam kasus umum dirumuskan sebagai berikut. Penting untuk menemukan fungsi uS(x) sebagai himpunan umpan balik tertentu yang memastikan transfer titik representasi model chaos asli dari kondisi awal yang berubah-ubah di beberapa wilayah yang diizinkan ke keadaan tertentu (kumpulan keadaan), yang sesuai ke mode stabil. Dalam kasus yang paling sederhana, kendali hanya memasukkan satu persamaan diferensial dari sistem aslinya. Mungkin ada opsi ketika tindakan kontrol yang sama ditempatkan di jalur berbeda dari sistem sumber.

Aspek khas dari rumusan masalah sintesis sinergis hukum kendali adalah adanya persyaratan tambahan untuk pergerakan sistem dari keadaan awal ke keadaan akhir, yang terdiri dari tarikan asimtotik lintasan fasa sistem. ke manifold invarian tertentu (persimpangan manifold) di ruang keadaan (SS) sistem.

Pengenalan umpan balik stabilisasi ke dalam persamaan model asli mengarah pada perubahan yang ditargetkan dalam topologi ruang keadaannya. Sebagai hasil dari restrukturisasi ini, penarik chaos menghilang dan penarik tipe “titik” biasa terbentuk, yang sesuai dengan mode perilaku keseimbangan yang diinginkan.

Hasil penelitian dan pembahasan

Mari kita perhatikan tahapan prosedur yang diterapkan untuk mensintesis hukum kontrol stabilisasi menggunakan metode AKAR untuk sistem Lorentz yang chaos.

Model Lorentz awalnya berasal dari persamaan Navier – Stokes dan konduktivitas termal untuk menyelidiki kemungkinan memprediksi kondisi cuaca ketika parameter kontrol bervariasi. Model tersebut menggambarkan pergerakan gulungan konvektif dalam zat cair dengan gradien suhu.

Model ini mewakili sistem tiga persamaan diferensial biasa berikut:

dimana σ adalah bilangan Prandtl; ρ - bilangan Rayleigh yang dinormalisasi; parameter b bergantung pada jarak timbal balik antara bidang dan periode horizontal.

Beras. 1. Penarik kacau sistem Lorentz

Dalam sistem ini, dalam kondisi tertentu, osilasi kacau terbentuk. Pada Gambar. Gambar 1 menunjukkan lintasan fase sistem untuk nilai parameter σ = 10, ρ = 24, b = 8/3 dalam mode chaos deterministik. Osilasi diri stokastik dipelajari untuk pertama kalinya dalam sistem dinamis ini. Penarik chaos pada sistem (1) pada dasarnya berbeda dari penarik chaos pada sebagian besar model dinamika nonlinier. Strukturnya sepenuhnya sesuai dengan penarik aneh dan dicirikan oleh hanya jenis gerakan pelana.

Mari kita asumsikan bahwa aksi kontrol u1 termasuk dalam persamaan pertama sistem (1) dalam bentuk umpan balik internal:

Mari kita perkenalkan satu variasi bentuk yang invarian

di mana μ adalah beberapa parameter kontrol.

Jika kita membedakan fungsi ψ1 (3) terhadap waktu dan mensubstitusikan turunannya ke dalam persamaan fungsional

kami mendapatkan hukum kontrol yang diinginkan:

Hukum kontrol (5) memastikan perpindahan titik representasi sistem (2), ditutup oleh umpan balik (5), ke manifold invarian ψ1 = 0.

Dinamika pergerakan titik representasi model sepanjang manifold invarian tertentu dijelaskan menggunakan persamaan diferensial model terdekomposisi, yang dibentuk setelah mensubstitusi ekspresi persamaan ψ1 = 0 (3) ke dalam persamaan kedua dan ketiga sistem (2):

(6)

Beras. 2. Potret fase sistem (2), (5) dan (6)

Beras. Gambar 2 mengilustrasikan hasil simulasi numerik sistem (2), (5) dengan nilai parameter kendali σ = 10, ρ = 24, b = 8/3, ciri adanya penarik Lorentz yang chaos, dan nilai parameter pengontrol T1 = 0,1, = 4, yang menegaskan keefektifan ketentuan teoritis metode AKAR. Persamaan pertama dalam sistem terdekomposisi (6) benar-benar identik dengan persamaan dasar evolusi sinergis dengan bifurkasi tipe garpu.

Mari kita buat hukum kendali stabilisasi menggunakan metode ACAR untuk model Ressler. Model Rössler adalah sistem dinamis nonlinier persamaan diferensial orde ketiga dengan bentuk:

dimana a, b, c adalah parameter kontrol.

Sistem (7) diusulkan oleh Ressler untuk memodelkan proses interaksi sejumlah zat kimia. Sistem ini cukup sering digunakan dalam berbagai kajian ilmiah terhadap fenomena-fenomena yang sifatnya berbeda-beda karena adanya ciri-ciri munculnya dan adanya dinamika chaos. Beras. Gambar 3 menunjukkan penarik chaos sistem Rössler dengan nilai parameter a = b = 0,2; c = 9.

Mari kita asumsikan bahwa aksi kontrol termasuk dalam persamaan kedua dari sistem asli (7):

Jenis manifold invarian

dan persamaan fungsional (4) memungkinkan kita memperoleh hukum kendali yang diinginkan:

(10)

Hukum kendali (10) menjamin perpindahan titik representasi dari sistem terkendali (8), yang ditutup oleh umpan balik (10), ke manifold invarian ψ2 = 0 (9).

Beras. 3. Penarik kekacauan sistem Rössler

Sifat gerak sistem sepanjang manifold invarian ψ2 = 0 dijelaskan oleh model terdekomposisi:

(11)

dimana persamaan bifurkasi tipe garpu terdapat pada baris pertama.

Beras. 4. Potret fase sistem (8), (10) dan (11)

Beras. Gambar 4 mengilustrasikan diperoleh hasil simulasi numerik sistem loop tertutup (8), (10) untuk nilai parameter kendali model a = b = 0,2; c = 9, yang merupakan ciri munculnya penarik tipe chaos, serta nilai parameter pengontrol T2 = 0,1; = 25.

Dalam kedua model terdekomposisi yang diperoleh (6), (11), persamaan yang terletak di baris pertama bertepatan dengan persamaan evolusi dasar sinergis dengan bifurkasi tipe garpu. Dalam hal ini, kita dapat menegaskan sifat alami dari hukum-hukum yang disintesis untuk menstabilkan kendali sistem-sistem kacau asli dan kesatuan yang ada serta keterhubungan internal dari persamaan evolusi universal dari teori nonlinier tentang pengorganisasian diri dan sinergi.

Sifat alami dari hukum kendali yang disintesis terutama disebabkan oleh adanya sekumpulan sifat bifurkasi yang khas dalam sistem tertutup.

Sebagai hasil dari penelitian, serangkaian koneksi umpan balik disintesis, ketika sistem chaos awal ditutup, sifat perilakunya berubah dan penarik tipe chaos diubah menjadi penarik tipe “titik”. Hukum kendali yang diperoleh u1 (5) dan u2 (10) dijamin memberikan stabilitas asimtotik di seluruh ruang fase relatif terhadap keadaan kesetimbangan yang diinginkan pada nilai parameter μ< 0 или μ >0 untuk model chaos awal yang sesuai. Hukum yang diperoleh u1 (5) dan u2 (10) termasuk dalam kelas hukum kendali objektif yang mengubah sistem Lorentz dan Ressler, yang memiliki dinamika chaos, menjadi persamaan evolusi dasar teori pengorganisasian mandiri dan sinergis.

Hukum kendali u1 (5) dan u2 (10) yang disintesis adalah asli dan universal. Mereka dapat digunakan dalam desain sistem terkendali untuk berbagai tujuan, sehingga secara signifikan meningkatkan efisiensi operasinya.

Tautan bibliografi

Kucherova V.Yu., Petkov V.N., Artamonov P.A. PENERAPAN METODE AKAR UNTUK MEMECAHKAN MASALAH STABILISASI KEADAAN KESETIMBANGAN SISTEM NONLINEAR KHUSUS // Penelitian Mendasar. – 2016. – No.5-2. – Hal.264-268;
URL: http://fundamental-research.ru/ru/article/view?id=40286 (tanggal akses: 15/01/2020). Kami menyampaikan kepada Anda majalah-majalah yang diterbitkan oleh penerbit "Academy of Natural Sciences"

Bahan dari Wikipedia - ensiklopedia gratis

Penarik Rössler- penarik chaos yang dimiliki oleh sistem persamaan diferensial Rössler:

$\backslash kiri\; \backslash (\; \backslash begin(matriks)\; \backslash frac(dx)(dt)\; =\; -y\; -\; z\; \backslash \backslash \; \backslash frac(dy)(dt)\; =\; x\; +\; ay\; \backslash \backslash \; \backslash frac(dz)(dt)\; =\; b\; +\; z\; (x-c)\backslash end(matriks)\backslash kanan.$ ;

Di mana $a,b,c$- konstanta positif. Dengan nilai parameter $a\; =\; b\; =\; 0,2$ Dan $2,\; 6\; \backslash le\; c\; \backslash le\; 4,2$ Persamaan Rössler mempunyai siklus batas yang stabil. Untuk nilai parameter ini, periode dan bentuk siklus batas mengalami urutan penggandaan periode. Segera setelah itu $c\; =\; 4.2$ muncul fenomena penarik chaos. Garis siklus batas yang terdefinisi dengan baik mengaburkan dan mengisi ruang fase dengan rangkaian lintasan tak terbatas yang dapat dihitung yang memiliki sifat fraktal.

Kadang-kadang penarik Rössler dibuat untuk sebuah bidang, yaitu dengan $z\; =\; 0$.

$\backslash kiri\; \backslash (\; \backslash begin(matriks)\; \backslash frac(dx)(dt)\; =\; -y\; \backslash \backslash \; \backslash frac(dy)(dt)\; =\; x\; +\; ay\; \backslash end(matriks)\; \backslash kanan.$

Solusi berkelanjutan untuk $x,\; kamu$ dapat ditemukan dengan menghitung vektor eigen dari matriks Jacobian berbentuk , untuk itu $\backslash frac\; (a\; \backslash pm\; \backslash sqrt(a^2\; -\; 4))\; (2)$.

{2}

Dari sini jelas kapan , vektor eigennya kompleks dan memiliki komponen nyata positif, sehingga penariknya tidak stabil. Sekarang kita akan mempertimbangkan pesawatnya $Z$ dalam rentang yang sama $A$. Selamat tinggal $X$ lebih sedikit $C$, parameter $C$ akan menjaga lintasan tetap dekat dengan pesawat $x,\; kamu$. Sesegera $X$ akan ada lebih banyak lagi $C$, $z$-koordinat akan mulai meningkat, dan beberapa saat kemudian parameternya $-z$ akan memperlambat pertumbuhan $X$ V $\backslash frac\; (dx)\; (dt)$.

Poin keseimbangan

Untuk mencari titik kesetimbangan, ketiga persamaan Rössler disetel ke nol dan $xyz$-koordinat setiap titik kesetimbangan ditemukan dengan menyelesaikan persamaan yang dihasilkan. Pada akhirnya:

$\backslash kiri\; \backslash (\; \backslash begin(matriks)\; x\; =\; \backslash frac(c\backslash pm\backslash sqrt(c^2-4ab))(2)\; \backslash \backslash \; y\; =\; -\backslash left(\backslash frac(c\backslash pm\backslash sqrt(c^2)\; -4ab))(2a)\backslash kanan)\; \backslash \backslash \; z\; =\; \backslash frac(c\backslash pm\backslash sqrt(c^2-4ab))(2a)\; \backslash end(matriks)\; \backslash kanan.$

Seperti yang ditunjukkan dalam persamaan umum penarik Rössler, salah satu titik tetap ini berada di pusat penarik, sedangkan titik tetap lainnya terletak relatif jauh dari pusat.

Mengubah parameter a, b dan c

Perilaku penarik Rössler sangat bergantung pada nilai parameter konstan. Mengubah setiap parameter memberikan efek tertentu, akibatnya sistem dapat menyatu ke orbit periodik, ke titik tetap, atau melesat hingga tak terhingga. Jumlah periode penarik Rössler ditentukan oleh jumlah putarannya di sekitar titik pusat, yang terjadi sebelum serangkaian putaran.

Diagram bifurkasi adalah alat standar untuk menganalisis perilaku sistem dinamis, termasuk penarik Rössler. Mereka dibuat dengan menyelesaikan persamaan sistem di mana dua variabel tetap dan satu berubah. Saat membuat diagram seperti itu, diperoleh daerah yang hampir seluruhnya “diarsir”; ini adalah wilayah kekacauan yang dinamis.

Mengubah parameter a

Mari kita perbaiki $b\; =\; 0,2$, $c\; =\; 5,7$ dan kami akan berubah $A$.

Hasilnya, secara eksperimental kami memperoleh tabel berikut:

• $a\backslash leq\; 0$: Menyatu ke titik stabil.
• $sebuah\; =\; 0,1$: Berputar dengan periode 2.
• $sebuah\; =\; 0,2$: Kekacauan (parameter standar persamaan Rössler) .
• $sebuah\; =\; 0,3$: Penarik yang kacau.
• $sebuah\; =\; 0,35$: Mirip dengan yang sebelumnya, namun kekacauannya lebih terasa.
• $sebuah\; =\; 0,38$: Mirip dengan yang sebelumnya, tetapi kekacauannya lebih kuat.

Mengubah parameterb

Mari kita perbaiki $sebuah\; =\; 0,2$, $c\; =\; 5,7$ dan sekarang kita akan mengubah parameternya $B$. Seperti yang terlihat dari gambar, kapan $B$ Karena penariknya cenderung nol, maka penariknya tidak stabil. Kapan $B$ akan ada lebih banyak lagi $A$ Dan $C$, sistem akan menyeimbangkan dan masuk ke keadaan stasioner.

Mengubah parameterc

Mari kita perbaiki $a\; =\; b\; =\; 0,1$ dan kami akan berubah $C$. Dari diagram bifurkasi terlihat jelas bahwa untuk yang kecil $C$ sistemnya periodik, tetapi seiring bertambahnya sistem, sistem itu dengan cepat menjadi kacau. Angka-angka tersebut menunjukkan dengan tepat bagaimana kekacauan sistem berubah seiring dengan peningkatan $C$. Misalnya kapan $C$= 4 penariknya mempunyai periode sama dengan satu, dan akan ada satu garis pada diagram, hal yang sama akan terulang ketika $C$= 3 dan seterusnya; Selamat tinggal $C$ tidak akan menjadi lebih dari 12: perilaku periodik terakhir ditandai dengan nilai ini, kemudian kekacauan terjadi di mana-mana.

Kami memberikan ilustrasi perilaku penarik dalam rentang nilai yang ditentukan $C$, yang menggambarkan perilaku umum sistem tersebut - transisi yang sering terjadi dari periodisitas ke kekacauan dinamis.

Tulis ulasan tentang artikel "Penarik Rössler"

Catatan

Tautan

• Konstruktor

literatur

• Voronov V.K., Podoplelov A.V.Fisika modern: Buku Teks. M., KomKniga, 2005, 512 hal., ISBN 5-484-00058-0, bab. 2 Fisika sistem terbuka. hal.2.4 Penarik Chaotic Rössler.

Kutipan yang mencirikan Penarik Rössler

“Biarkan aku lewat, sudah kubilang,” ulang Pangeran Andrei lagi sambil mengerucutkan bibir.
- Dan siapa Anda? - petugas itu tiba-tiba menoleh ke arahnya dengan amarah mabuk. - Siapa kamu? Apakah Anda (dia terutama menekankan Anda) bosnya, atau apa? Akulah bosnya di sini, bukan kamu. “Kamu kembali,” ulangnya, “Aku akan menghancurkanmu menjadi sepotong kue.”
Petugas itu rupanya menyukai ungkapan ini.
“Dia mencukur ajudannya dengan serius,” sebuah suara terdengar dari belakang.
Pangeran Andrei melihat bahwa petugas itu sedang mabuk karena kemarahan yang tidak masuk akal sehingga orang tidak ingat apa yang mereka katakan. Ia melihat bahwa perantaraannya untuk istri dokter di kereta itu dipenuhi dengan apa yang paling ia takuti di dunia, apa yang disebut ejekan [konyol], namun nalurinya berkata lain. Sebelum petugas itu sempat menyelesaikan kata-kata terakhirnya, Pangeran Andrei, dengan wajahnya yang rusak karena marah, berlari ke arahnya dan mengangkat cambuknya:
- Tolong biarkan aku masuk!
Petugas itu melambaikan tangannya dan buru-buru pergi.
“Itu semua dari mereka, dari staf, semuanya berantakan,” gerutunya. - Lakukan sesukamu.
Pangeran Andrei buru-buru, tanpa mengangkat matanya, menjauh dari istri dokter, yang memanggilnya penyelamat, dan, dengan rasa jijik mengingat detail terkecil dari pemandangan yang memalukan ini, berlari lebih jauh ke desa di mana, seperti yang diberitahukan kepadanya, komandan- in-chief berada.
Setelah memasuki desa, dia turun dari kudanya dan pergi ke rumah pertama dengan tujuan untuk beristirahat setidaknya sebentar, makan sesuatu dan memperjelas semua pikiran ofensif yang menyiksanya. “Ini kerumunan bajingan, bukan tentara,” pikirnya sambil mendekati jendela rumah pertama, ketika sebuah suara yang dikenalnya memanggil namanya.
Dia melihat ke belakang. Wajah tampan Nesvitsky muncul dari jendela kecil. Nesvitsky, mengunyah sesuatu dengan mulutnya yang berair dan melambaikan tangannya, memanggilnya.
- Bolkonsky, Bolkonsky! Apakah kamu tidak mendengar, atau apa? “Cepat pergi,” teriaknya.
Memasuki rumah, Pangeran Andrei melihat Nesvitsky dan ajudan lainnya sedang makan sesuatu. Mereka buru-buru menoleh ke Bolkonsky menanyakan apakah dia mengetahui sesuatu yang baru. Di wajah mereka, yang begitu familiar baginya, Pangeran Andrew membaca ekspresi cemas dan prihatin. Ekspresi ini terutama terlihat pada wajah Nesvitsky yang selalu tertawa.
-Di mana Panglima Tertinggi? – tanya Bolkonsky.
“Di sini, di rumah itu,” jawab ajudan.
- Nah, benarkah ada perdamaian dan penyerahan diri? – tanya Nesvitsky.
- Saya bertanya padamu. Aku tidak tahu apa-apa kecuali aku mendapatkanmu dengan paksa.
- Bagaimana dengan kita, saudara? Kengerian! “Maaf, Saudaraku, mereka menertawakan Mak, tapi ini lebih buruk lagi bagi kami,” kata Nesvitsky. - Baiklah, duduk dan makan sesuatu.
“Sekarang, Pangeran, kamu tidak akan menemukan gerobak atau apa pun, dan Peter-mu, entah di mana,” kata ajudan lainnya.
-Di mana apartemen utama?
– Kami akan bermalam di Tsnaim.
“Dan saya memuat semua yang saya butuhkan ke dalam dua kuda,” kata Nesvitsky, “dan mereka membuatkan saya paket yang bagus.” Setidaknya melarikan diri melalui pegunungan Bohemia. Itu buruk, saudara. Apa kamu benar-benar tidak enak badan, kenapa kamu gemetaran seperti itu? - Nesvitsky bertanya, memperhatikan bagaimana Pangeran Andrei bergerak-gerak, seolah-olah karena menyentuh toples Leyden.
“Tidak ada,” jawab Pangeran Andrei.
Saat itu dia teringat bentrokannya baru-baru ini dengan istri dokter dan petugas Furshtat.
-Apa yang dilakukan Panglima Tertinggi di sini? - Dia bertanya.
“Saya tidak mengerti apa pun,” kata Nesvitsky.
“Yang saya mengerti hanyalah semuanya menjijikkan, menjijikkan dan menjijikkan,” kata Pangeran Andrei dan pergi ke rumah tempat panglima berdiri.
Melewati kereta Kutuzov, kuda-kuda pengiringnya yang tersiksa dan orang-orang Cossack berbicara dengan keras di antara mereka sendiri, Pangeran Andrei memasuki pintu masuk. Kutuzov sendiri, seperti yang diberitahukan kepada Pangeran Andrei, berada di gubuk bersama Pangeran Bagration dan Weyrother. Weyrother adalah seorang jenderal Austria yang menggantikan Schmit yang terbunuh. Di pintu masuk, Kozlovsky kecil sedang berjongkok di depan petugas. Petugas di bak mandi terbalik, sambil membuka borgol seragamnya, buru-buru menulis. Wajah Kozlovsky kelelahan - dia tampaknya juga tidak tidur di malam hari. Dia memandang Pangeran Andrew dan bahkan tidak menganggukkan kepalanya padanya.
– Baris kedua... Menulisnya? - lanjutnya sambil mendikte petugas, - Grenadier Kiev, Podolsk...
"Anda tidak akan punya waktu, Yang Mulia," jawab petugas itu dengan tidak hormat dan marah, sambil kembali menatap Kozlovsky.
Pada saat itu, suara ketidakpuasan Kutuzov terdengar dari balik pintu, disela oleh suara lain yang tidak dikenalnya. Dari suara-suara ini, dari kecerobohan Kozlovsky memandangnya, dari ketidaksopanan petugas yang kelelahan, dari kenyataan bahwa petugas dan Kozlovsky duduk begitu dekat dengan panglima tertinggi di lantai dekat bak mandi. , dan fakta bahwa orang Cossack yang memegang kuda tertawa terbahak-bahak di bawah jendela rumah - dari semua ini, Pangeran Andrei merasa bahwa sesuatu yang penting dan malang akan terjadi.
Pangeran Andrei segera menoleh ke Kozlovsky dengan pertanyaan.
“Sekarang, Pangeran,” kata Kozlovsky. – Disposisi terhadap Bagration.
-Bagaimana dengan kapitulasi?
- Tidak ada; perintah untuk berperang telah dibuat.
Pangeran Andrew menuju pintu, dari belakangnya terdengar suara-suara. Tetapi ketika dia ingin membuka pintu, suara-suara di ruangan itu terdiam, pintu terbuka dengan sendirinya, dan Kutuzov, dengan hidung bengkok di wajahnya yang montok, muncul di ambang pintu.
Pangeran Andrei berdiri tepat di seberang Kutuzov; Namun dari ekspresi mata satu-satunya yang melihat sang Panglima, terlihat jelas bahwa pikiran dan kekhawatiran begitu menyita perhatiannya sehingga seolah-olah mengaburkan pandangannya. Dia menatap langsung ke wajah ajudannya dan tidak mengenalinya.
- Nah, apakah kamu sudah selesai? – dia menoleh ke Kozlovsky.
- Saat ini juga, Yang Mulia.
Bagration, seorang pria pendek dengan tipe oriental, wajah tegas dan tidak bergerak, seorang pria kering, belum tua, mengikuti panglima tertinggi.
“Saya mendapat kehormatan untuk hadir,” ulang Pangeran Andrei dengan cukup keras sambil menyerahkan amplop itu.
- Oh, dari Wina? Bagus. Setelah, setelah!
Kutuzov keluar bersama Bagration ke teras.
“Baiklah, Pangeran, selamat tinggal,” katanya pada Bagration. - Kristus bersamamu. Saya memberkati Anda atas prestasi luar biasa ini.
Wajah Kutuzov tiba-tiba melembut, dan air mata muncul di matanya. Dia menarik Bagration ke arahnya dengan tangan kirinya, dan dengan tangan kanannya, yang di atasnya terdapat sebuah cincin, rupanya menyilangkannya dengan gerakan yang familiar dan menawarinya pipi montok, alih-alih Bagration mencium lehernya.

Dalam buku ini kami telah mengambil pendekatan empiris terhadap osilasi kacau dan menguraikan serangkaian fenomena fisik yang berbeda di mana dinamika kacau memainkan peran penting. Tentu saja, tidak semua pembaca mempunyai akses ke laboratorium atau kegemaran bereksperimen, meskipun sebagian besar dapat memanfaatkan komputer digital. Dengan mengingat hal ini, dalam lampiran ini kami menyajikan serangkaian eksperimen numerik, yang dapat dilakukan pada komputer pribadi atau komputer mikro, dengan harapan dapat membantu pembaca mengeksplorasi dinamika model chaos yang kini menjadi model klasik.

B.1. PERSAMAAN LOGISTIK: GANDAKAN PERIODE

Salah satu permasalahan paling sederhana untuk mulai memperkenalkan dinamika baru adalah model pertumbuhan populasi, atau persamaan logistik

Fenomena yang terkait dengan penggandaan periode diamati oleh berbagai peneliti (lihat, misalnya, karya May) dan, tentu saja, Feigenbaum, yang menemukan hukum kesamaan parameter yang terkenal (lihat Bab 1 dan 5). Komputer pribadi membuatnya sangat mudah untuk mereproduksi dua eksperimen numerik.

Pada percobaan pertama kita mempunyai grafik ketergantungan pada kisaran . Mode penggandaan periode diamati pada nilai di bawah. Dimulai dengan Anda akan dapat melihat lintasan dengan periode 1. Untuk melihat lintasan yang lebih panjang, tandai 30-50 iterasi pertama dengan titik, dan iterasi berikutnya dengan simbol yang berbeda.

Tentu saja, dengan memplot ketergantungan pada , Anda akan dapat mengamati mode transien dan stasioner. Lintasan kacau dapat dideteksi di . Di sekitarnya seseorang dapat mendeteksi lintasan dengan periode 3.

Eksperimen numerik selanjutnya terkait dengan pembuatan diagram bifurkasi. Untuk melakukan ini, Anda harus membuat grafik ketergantungan secara luas pada parameter kontrol. Pilih beberapa kondisi awal (misalnya, dan lakukan 100 iterasi pemetaan. Kemudian plot nilai yang diperoleh dari 50 iterasi berikutnya pada sumbu vertikal, dan nilai yang sesuai pada sumbu horizontal (atau sebaliknya). Pilih a langkah sekitar 0,01 dan melewati rentang Aktif Pada diagram, pada titik penggandaan periode, Anda akan mendapatkan percabangan klasik tipe garpu rumput. Dapatkah Anda menentukan bilangan Feigenbaum dari data eksperimen numerik?

May juga memberikan daftar eksperimen numerik dengan pemetaan satu dimensi lainnya, misalnya dengan pemetaan

Ia menggambarkan pemetaan ini sebagai pola pertumbuhan populasi suatu spesies yang diatur oleh suatu penyakit epidemi. Jelajahi area tersebut. Titik akumulasi penggandaan periode dan awal kekacauan berhubungan dengan . Makalah May juga berisi data tentang beberapa eksperimen numerik lainnya.

B.2. PERSAMAAN LORENTZ

Eksperimen numerik yang luar biasa, yang tidak diragukan lagi layak untuk diulangi, terkandung dalam karya asli Lorentz. Lorentz menyederhanakan persamaan yang diturunkan oleh Salzman berdasarkan persamaan konveksi termal dalam zat cair (lihat Bab 3). Prioritas dalam penemuan solusi non-periodik persamaan konveksi, seperti diakui Lorenz, adalah milik Salzman. Untuk mempelajari gerak kacau, Lorentz memilih nilai parameter klasik dalam persamaan

Data yang ditunjukkan pada Gambar. 1 dan 2 artikel Lorentz dapat direproduksi dengan memilih kondisi awal dan langkah waktu dan memproyeksikan solusi ke bidang atau ke bidang

Untuk mendapatkan pemetaan satu dimensi yang disebabkan oleh aliran ini, Lorentz mempertimbangkan maxima berturut-turut dari variabel z, yang ia tetapkan. Grafik ketergantungan menunjukkan bahwa dalam hal ini pemetaan diberikan oleh kurva yang menyerupai bentuk atap rumah. Lorentz kemudian mengeksplorasi versi sederhana dari pemetaan ini, yang disebut "pemetaan tipe rumah", versi bilinear dari persamaan logistik.

B.3. PERSAMAAN INTERMITABILITAS DAN LORENTZ

Contoh nyata intermiten dapat dilihat dengan mengintegrasikan persamaan Lorentz secara numerik menggunakan komputer:

dengan parameter sesuai metode Runge-Kutta. Ketika Anda mendapatkan lintasan periodik, tetapi ketika dan lebih banyak “ledakan” atau suara kacau akan muncul (lihat karya Manneville dan Pomo). Dengan mengukur jumlah rata-rata N siklus periodik antar semburan (fase laminar), Anda akan mendapatkan hukum kesamaan

B.4. PENARIK OENON

Generalisasi pemetaan kuadrat pada garis untuk kasus dua dimensi (pada bidang) diusulkan oleh astronom Perancis Hénon:

Peta Hénon direduksi menjadi peta logistik yang dipelajari oleh May dan Feigenbaum. Nilai-nilai a dan b di mana penarik aneh muncul, khususnya, . Buatlah grafik pemetaan ini pada sebuah bidang, batasi menjadi persegi panjang. Setelah menerima penarik, fokuskan perhatian Anda pada beberapa area kecil dan perbesar area tersebut menggunakan transformasi kemiripan. Ikuti iterasi pemetaan dalam jumlah yang jauh lebih besar dan coba ungkapkan struktur fraktal skala kecil. Jika Anda memiliki cukup kesabaran atau Anda memiliki komputer yang cepat, lakukan transformasi kemiripan lainnya dan ulangi lagi untuk area penarik yang lebih kecil (lihat Gambar 1.20, 1.22).

Jika Anda memiliki program untuk menghitung eksponen Lyapunov, perlu diingat bahwa nilai eksponen Lyapunov diberikan dalam literatur, dan dimensi fraktal penarik pada peta Henon adalah . Dengan memvariasikan parameter a dan b, Anda dapat mencoba menentukan kisaran nilai di mana penarik tersebut berada dan mencari luas penggandaan periode pada bidang (a, b).

B.5. PERSAMAAN DUFFING: PENARIK UEDA

Model rangkaian listrik dengan induktansi nonlinier telah dibahas pada Bab. 3. Persamaan model ini, yang ditulis dalam bentuk sistem persamaan orde pertama, mempunyai bentuk

Osilasi chaos dalam model ini dipelajari dengan sangat rinci oleh Ueda. Gunakan beberapa algoritma integrasi numerik standar, seperti skema Runge-Kutta orde keempat, dan pertimbangkan kasusnya. Kapan Anda harus mendapatkan lintasan periodik dengan periode 3. (Lakukan bagian Poincaré di ) Di sekitar nilai tersebut, lintasan dengan periode 3 akan mengalami gerak kacau setelah percabangan.

Secara berkala dipulihkan kembali dengan rezim kacau sementara (lihat Gambar 3.13).

Bandingkan sifat fraktal penarik dengan penurunan redaman, dengan asumsi dan 0,05. Perlu diketahui bahwa pada , hanya sebagian kecil dari penarik yang tersisa, dan pada , pergerakannya menjadi periodik.

B.6. PERSAMAAN DUFFING DENGAN DUA LUBANG POTENSI : HOLMES ATTRACTOR

Contoh ini dibahas dalam buku kami. Beberapa eksperimen numerik patut diulangi. Dalam hal ini, persamaan tak berdimensi mempunyai bentuk

(Dengan menetapkan dan memperkenalkan persamaan tambahan z = w, persamaan tersebut dapat ditulis sebagai sistem orde ketiga yang otonom.) Faktor 1/2 membuat frekuensi alami osilasi kecil di setiap sumur potensial sama dengan satu. Kriteria chaos untuk koefisien dan variabel redaman tetap telah kami bahas di Bab. 5. Bidang yang diminati untuk diteliti adalah. Di wilayah ini harus ada peralihan dari rezim periodik ke rezim chaos, jendela periodik dalam rezim chaos dan jalan keluar dari rezim chaos pada . Ada bidang menarik lainnya: Dalam semua penelitian, kami sangat menyarankan pembaca untuk menggunakan peta Poincaré. Saat menggunakan komputer pribadi, kecepatan pemrosesan informasi yang tinggi dapat dicapai melalui trik khusus saat membuat program (lihat Gambar 5.3).

Eksperimen numerik menarik lainnya adalah menetapkan parameter, misalnya mengatur dan memvariasikan fase peta Poincaré, yaitu memplot titik-titik pada variasi dari 0 hingga Perhatikan inversi peta pada Apakah ini terkait dengan simetri persamaan? (Lihat Gambar 4.8.)

B.7. PEMETAAN KUBIK (HOLMES)

Kami mengilustrasikan banyak konsep teori osilasi kacau dengan menggunakan contoh penarik dalam model dengan dua sumur potensial. Dinamika model seperti itu dijelaskan oleh persamaan diferensial nonlinier orde kedua biasa (lihat Bab.

2 dan 3), namun formula eksplisit untuk peta Poincaré dari penarik tersebut tidak diketahui. Holmes mengusulkan pemetaan kubik dua dimensi yang memiliki beberapa sifat osilator Duffing dengan kekakuan negatif:

Penarik chaos dapat ditemukan di dekat nilai parameter

B.8. MENAMPILKAN BOLA Memantul (TAMPILAN STANDAR)

(Lihat artikel Holmes dan buku Lichtenberg dan Lieberman.) Sebagaimana dicatat dalam Bab. 3, peta Poincaré untuk bola yang memantul di atas meja yang bergetar dapat ditulis secara akurat dalam bentuk kecepatan tak berdimensi bola yang mengenai meja dan fase gerak meja.

di mana hilangnya energi akibat benturan.

Kasus (kekacauan konservatif). Kasus ini dipelajari dalam buku Lichtenberg dan Lieberman sebagai model percepatan elektron dalam medan elektromagnetik. Setelah mengulangi tampilan, plot titik-titik yang dihasilkan pada bidang. Untuk menghitung, gunakan ekspresi

dalam versi BASIC yang ditingkatkan. Untuk mendapatkan gambar yang bagus, Anda harus memvariasikan kondisi awal. Misalnya, pilih dan pantau beberapa ratus iterasi pemetaan pada v yang berbeda dari interval -

Anda akan menemukan kasus menarik ketika. Ketika seseorang dapat mengamati lintasan tertutup kuasi-periodik di sekitar titik-titik tetap periodik dalam pemetaan. Pada , wilayah kekacauan konservatif akan muncul di dekat titik separatrik (lihat Gambar 5.21).

Kasus. Kasus ini berhubungan dengan pemetaan disipatif, ketika energi hilang pada setiap tumbukan antara bola dan meja. Dimulai dari . Perhatikan bahwa meskipun iterasi pertama tampak kacau, seperti pada Kasus 1, pergerakannya menjadi periodik. Untuk mendapatkan chaos seperti fraktal, nilai K harus dinaikkan menjadi . Anda akan mendapatkan penarik yang aneh, bahkan lebih mengingatkan pada fraktal, dengan berasumsi.

B.9. TAMPILKAN LINGKARAN PADA DIRI SENDIRI: SINKRONISASI JUMLAH ROTASI DAN POHON PERI

Sebuah titik yang bergerak di sepanjang permukaan torus dapat berfungsi sebagai model matematika abstrak dari dinamika dua osilator berpasangan. Amplitudo gerak osilator berfungsi sebagai jari-jari minor dan mayor torus dan sering dianggap tetap. Fase osilator berhubungan dengan dua sudut yang menentukan posisi titik sepanjang lingkaran kecil (meridian) dan lingkaran besar (paralel) pada permukaan torus. Bagian Poincaré di sepanjang lingkaran kecil torus menghasilkan persamaan perbedaan satu dimensi yang disebut peta lingkaran itu sendiri:

di mana merupakan fungsi periodik.

Setiap iterasi pemetaan ini berhubungan dengan lintasan satu osilator di sepanjang lingkaran besar torus. Objek studi yang populer adalah apa yang disebut pemetaan lingkaran standar (dinormalisasi menjadi )

Kemungkinan pergerakan yang diamati dengan pemetaan ini adalah: mode periodik, kuasiperiodik, dan kacau. Untuk melihat siklus periodik, gambarkan titik-titik pada lingkaran dengan koordinat persegi panjang

Pada parameter 0, tidak ada yang lain selain jumlah putaran - rasio dua frekuensi osilator yang tidak berhubungan.

Kapan tampilannya bisa periodik dan kapan bilangan irasional. Dalam hal ini, mereka mengatakan bahwa osilator telah disinkronkan atau mode pengetatan telah terjadi. Ketika seseorang dapat mengamati pergerakan tersinkronisasi atau periodik di daerah dengan lebar terbatas di sepanjang sumbu O, yang tentu saja mengandung nilai parameter yang tidak rasional. Misalnya, jika suatu siklus dengan periode 2 dapat ditemukan dalam intervalnya dan siklus dengan periode 3 dapat ditemukan dalam intervalnya, maka untuk menemukan interval kapan ini, hitung jumlah rotasi W sebagai fungsi parameter pada 0 01. Kita menghitung jumlah putaran jika kita membuang operasi perbandingan dan menuju ke batasnya

Dalam praktiknya, untuk mendapatkan jumlah rotasi dengan akurasi yang cukup, Anda perlu mengambil N > 500. Dengan memplot W versus , Anda akan melihat serangkaian dataran tinggi yang sesuai dengan wilayah sinkronisasi. Untuk melihat lebih banyak area sinkronisasi, Anda harus memilih area AP kecil dan memplot W untuk sejumlah besar titik di area kecil ini.

Setiap dataran tinggi sinkronisasi pada grafik ) sesuai dengan bilangan rasional - rasio siklus satu osilator dengan q siklus osilator lain. Hubungan tersebut disusun dalam urutan yang dikenal sebagai pohon Fary. Jika dua wilayah sinkronisasi mode diberikan untuk nilai parameter, maka di antara keduanya dalam interval pasti akan ada wilayah sinkronisasi lain dengan jumlah putaran

Dimulai dengan 0/1 at dan 1/1 at, Anda dapat membangun seluruh rangkaian area sinkronisasi yang tak terbatas. Kebanyakan dari mereka sangat sempit.

Perhatikan bahwa lebar daerah ini cenderung nol pada dan menjadi lebih besar pada daerah sinkronisasi pada bidang () berbentuk tonjolan yang panjang, dan kadang-kadang disebut lidah Arnold.

B.10. PENARIK RÖSSLER: REAKSI KIMIA, PENDEKATAN SATU DIMENSI SISTEM MULTI-DIMENSI

Masing-masing bidang utama fisika klasik telah menciptakan model dinamika chaosnya sendiri: mekanika fluida - persamaan Lorentz, mekanika struktur - penarik Duffing-Holmes dengan dua sumur potensial, teknik elektro - penarik Duffing-Ueda. Model sederhana lainnya muncul dalam dinamika reaksi kimia yang terjadi dalam wadah tertentu dengan pengadukan. Hal ini dikemukakan oleh Rubssler.