PEKERJAAN KURSUS

pada topik:

"Penerapan praktis dari sifat-sifat kurva yang luar biasa"

Perkenalan

Relevansi topik adalah untuk mendemonstrasikan penerapan pengetahuan matematika dalam aktivitas praktis manusia. Kursus geometri analitik tidak mencakup pertimbangan sifat-sifat kurva indah yang banyak digunakan dalam kehidupan.

Hipotesa : Penggunaan materi ini memperluas wawasan siswa tentang kurva dan sifat-sifatnya, serta menunjukkan penerapan praktisnya dalam kehidupan manusia.

Tujuan dari pekerjaan ini : Kumpulkan bahan untuk digunakan selama studi mandiri tentang kurva indah.

Tugas : Untuk membantu siswa. Dengan menggunakan waktu yang minimal, akan memberikan manfaat yang maksimal.

Signifikansi praktis dari pekerjaan ini: Saya percaya bahwa pekerjaan saya akan berguna bagi siswa untuk memahami materi dengan cara yang mudah diakses dan jelas. Akan menunjukkan penerapan praktis dari sifat-sifat kurva yang luar biasa, mengajarkan cara membuat kurva.

Memilih tema

Dengan tingkat perkembangan pemikiran teknis saat ini, diperlukan pengetahuan tentang kurva yang luar biasa. Mereka tidak begitu langka di alam; mereka memiliki penerapan praktis dalam kehidupan manusia. Pengetahuan tentang sifat-sifatnya yang luar biasa digunakan dalam berbagai mekanisme yang digunakan manusia dalam kehidupan.

Saya memilih topik ini karena menurut saya menarik dan bermakna, mengembangkan minat kognitif terhadap geometri analitik, membuka penerapan praktis geometri dalam kehidupan. Penggunaan materi ini dalam perkuliahan geometri memperluas wawasan mahasiswa terhadap kurva-kurva yang dipelajari pada program tersebut. Di berbagai bagian matematika dan pada berbagai tahap pembelajaran, kita menemukan kurva orde ketiga dan kedua. Namun tidak disebutkan tentang sifat luar biasa dari kurva ini, apalagi penerapan praktisnya. Saya percaya bahwa sangat penting bagi siswa untuk mengetahui sifat-sifat indah dari kurva ini, yang banyak digunakan dalam kehidupan. Dengan mempelajari dan bahkan sekedar mengenal sifat-sifat ini, siswa melihat penerapan geometri yang benar-benar praktis.

Untuk itu, saya berkenalan dengan materi tentang kurva indah dan sifat-sifatnya di berbagai buku teks dan ensiklopedia matematika.

1. Dari sejarah perkembangan doktrin garis

Konsep garis muncul dalam kesadaran manusia pada zaman prasejarah. Lintasan lemparan batu, guratan bunga dan dedaunan tumbuhan, garis tepian sungai yang berkelok-kelok dan fenomena alam lainnya sudah lama menarik perhatian masyarakat. Diamati berkali-kali, mereka menjadi dasar pembentukan konsep garis secara bertahap. Namun butuh waktu yang cukup lama bagi nenek moyang kita untuk mulai membandingkan bentuk garis lengkung satu sama lain. Gambar pertama di dinding gua, ornamen primitif pada peralatan rumah tangga menunjukkan bahwa manusia tidak hanya mampu membedakan garis lurus dari kurva, tetapi juga membedakan kurva individu. Monumen-monumen zaman dahulu menunjukkan bahwa semua bangsa, pada tahap perkembangan tertentu, memiliki konsep garis lurus dan lingkarannya sendiri. Untuk membuat garis-garis ini, alat-alat sederhana digunakan.

Namun, hanya dengan munculnya teori matematika, studi tentang garis mulai berkembang. Ilmuwan Yunani menciptakan teori garis orde kedua. Garis-garis ini dianggap sebagai bagian kerucut oleh sebuah bidang, oleh karena itu pada zaman dahulu disebut bagian kerucut. Bagian kerucut pertama kali dipertimbangkan oleh Menaechmus, yang hidup pada abad ke-4 SM.Presentasi sistematis pertama dari teori garis-garis ini diberikan oleh Apollonius dari Perga (abad III-II SM) dalam karyanya “Conic Sections”, yang hampir seluruhnya mencapai kami. Dalam mencari solusi atas berbagai masalah, ilmuwan Yunani juga mempertimbangkan beberapa garis transendental.

Selama era abad pertengahan, pencapaian penting para ilmuwan Yunani terlupakan. Ilmu matematika kembali beralih ke studi tentang kurva hanya pada abad ke-7. Untuk mempelajari garis, penemuan metode koordinat oleh Descartes dan Fermat, yang berkontribusi pada munculnya kalkulus yang sangat kecil, sangatlah penting. Metode koordinat, dikombinasikan dengan analisis bilangan sangat kecil, memungkinkan kita beralih ke studi garis secara umum. Berbagai persoalan mekanika, astronomi, geodesi, optik yang muncul pada abad 7-8 menyebabkan banyak ditemukannya garis-garis baru dan kajian sifat-sifat mekanik geometriknya. Matematikawan terhebat pada zamannya - Descartes, Huygens, Leibniz, dan Bernoulli bersaudara - menangani masalah ini dengan sangat antusias.

Langkah penting berikutnya dalam studi garis dilakukan oleh Newton, yang mulai mengembangkan teori kurva orde ketiga. Selanjutnya, tugas-tugas berikut ditetapkan: mempelajari kurva orde keempat dan lebih tinggi, membuat teori umum kurva aljabar pada bidang, memulai studi sistematis permukaan aljabar, dimulai dengan permukaan orde kedua. Dalam memecahkan masalah terakhir, kontribusi besar diberikan oleh ahli matematika terkenal VIII Leonard Euler, akademisi dari Akademi Ilmu Pengetahuan St. Dia menjelaskan manual pertama tentang geometri analitik, yang menguraikan teori garis dan permukaan orde kedua.

. Garis urutan ketiga yang luar biasa

Semua garis lurus dan kurva orde kedua (lingkaran, elips, parabola, hiperbola) merupakan kasus khusus kurva orde ketiga.

Secara umum persamaan garis lengkung orde ketiga dapat ditulis sebagai berikut: x 3 +a 1 y 3 +3a 2 x 2 y+3a 3 xy 2 +3a 4 x 2 +3a 5 y 2 +3a 6 xy+3a 7 x+3a 8 y+a 9 =0.

Diasumsikan bahwa koefisien-koefisien tersebut tidak hilang sekaligus (jika tidak, hasilnya akan menjadi persamaan derajat kedua). Jika semua garis tak membusuk orde kedua habis oleh lingkaran, elips, hiperbola, parabola, maka himpunan baris urutan ketiga lebih kaya - berisi. Lebih dari 70 jenis garis ini. Hanya beberapa di antaranya, yang luar biasa dalam sifat dan penerapannya, yang dibahas di sini.

Lembar kartesius

. Fitur formulir. Lembar kartesius adalah kurva orde ke-3 yang persamaannya dalam sistem persegi panjang berbentuk

Terkadang lebih mudah menggunakan persamaan kartesius parametrik, yang dapat diperoleh dengan pengaturan kamu= terima kasih, menambahkan persamaan (1) pada persamaan ini dan menyelesaikan sistem yang dihasilkan sehubungan dengan X Dan kamu, sebagai hasilnya kita akan mendapatkan:

maka lembar Cartesian adalah kurva rasional.

Perhatikan juga bahwa persamaan polar lembaran kartesius mempunyai bentuk

(3)

Koordinat X Dan pada masukkan persamaan kartesius secara simetris, yang artinya kurvanya simetris terhadap garis bagi y=x. Studi yang biasa tentang titik-titik tunggal mengarah pada kesimpulan bahwa titik asal adalah titik nodal dari lembaran Cartesian. Persamaan garis singgung kurva aljabar pada titik tunggalnya yang bertepatan dengan titik asal koordinat dapat diperoleh, seperti diketahui, dengan menyamakan kelompok suku yang derajatnya paling rendah dari persamaan kurva ini ke nol. Dalam kasus kami, kami punya Z ahu = 0, dari situ kita mendapatkan x = 0 dan y = 0 - persamaan yang diperlukan untuk garis singgung di titik simpul. Garis singgung ini berimpit dengan sumbu koordinat sehingga pada titik asal kurva berpotongan tegak lurus. Sangat mudah untuk melihat bahwa pada sudut koordinat pertama kurva tersebut membentuk lingkaran yang berpotongan dengan garis lurus y = X pada intinya

Titik-titik lingkaran yang garis singgungnya sejajar dengan sumbu koordinat mempunyai koordinat

Dan (lihat Gambar 1)

Untuk membuat kesimpulan akhir tentang bentuk kurva, kita juga harus mencari asimtotnya.Dengan mengganti y dalam persamaan kurva, kita menyamakan koefisien dua suku dengan pangkat lebih tinggi dengan nol dalam persamaan yang dihasilkan. X. Kita mendapatkan

dan B = - sebuah. Jadi, daun kartesius mempunyai asimtot

kamu = - x - a; oleh karena itu, pada sudut koordinat ke-2 dan ke-4, cabang-cabang lembaran kartesius menuju tak terhingga.

Beras. 1

Kurva yang diputar 135 derajat sering dipertimbangkan. Persamaannya terlihat seperti ini. Dalam sistem persegi panjang: , Di mana

Parametrik:

Penurunan persamaan kurva yang diputar:

Sistem koordinat XOY diubah menjadi sistem koordinat UOV, yang diperoleh dengan memutar sumbu OX dan OY searah jarum jam dengan sudut dan mengarahkan kembali sumbu OX ke arah yang berlawanan:

Menyatakan koordinat XY lama dalam bentuk UV baru terlihat seperti ini:

Setelah ekspresi koordinat lama disubstitusikan ke ekspresi koordinat baru, persamaan Cartesius diubah menjadi bentuk berikut: .

Kami memperkenalkan parameternya, persamaan terakhir akan ditulis ulang sebagai berikut:

Atau .

Kami mengganti variabel u dan v dengan x dan y biasa dan mendapatkan persamaan Cartesian dalam sistem koordinat baru:

Mengganti persamaan sebelumnya ke dalam persamaan, kita memperoleh persamaan lembar Cartesian dalam sistem koordinat kutub:

Memecahkan ekspresi ini untuk ρ, kita mendapatkan:

.

2. Properti. Menurut teorema Maclaurin, jika garis singgung kurva ini ditarik pada tiga titik kurva aljabar orde 3 yang terletak pada garis lurus yang sama, maka titik potongnya dengan kurva juga akan terletak pada garis lurus. Sehubungan dengan lembaran Cartesian, teorema ini dibuktikan secara sederhana. Untuk tujuan ini, kami memperoleh kondisi awal untuk keberadaan tiga titik pada lembar Cartesian yang sesuai dengan nilai-nilai tersebut T 1 , T 2 Dan T 3 parameter, pada satu garis lurus. Jika persamaan garis lurus berbentuk kamu= kx+ B, maka nilai parameter yang sesuai dengan titik potong garis ini dengan kurva harus memenuhi sistem

Sistem ini mengarah pada persamaan

akarnya akan menjadi nilai yang diinginkan T 1 , T 2 Dan T 3 parameter, yang artinya

Kesetaraan ini menjadi syarat adanya tiga titik M 1 (T 1) , M 2 (T 2 ), M 3 (t 3) Lembar kartesius pada satu garis lurus.

Dengan adanya kondisi ini, kami akan menunjukkan validitas teorema Maclaurin untuk lembaran Cartesian. Memang bersinggungan pada intinya M 1 (T 1 ) dapat dianggap sebagai garis lurus yang memotong lembaran kartesius pada dua titik yang berhimpitan, yang mana T 2 = T 1 , dan pada poin ketiga, yang nilai parameternya dilambangkan dengan T 1 . Kondisi (4) akan berbentuk T 1 2 T 1 = - 1. Untuk garis singgung pada suatu titik M 2 Dan M 3 kita memperoleh hubungan serupa t 2 2 T 2 = -1 dan t 3 2 T 3 = -1 . Mengalikan ketiga persamaan ini, kita mendapatkan

(T 1 T 2 T 3 ) 2 T 1 T 2 T 3 = -1 . dari mana, berdasarkan (4), kami menyimpulkan bahwa T 1 T 2 T 3 = -1, itu. poin N 1 (T 1 ), N 2 (T 2) dan N 3 (T 3) terletak pada satu garis lurus.

Dengan menentukan luas daerah yang dibatasi oleh lingkar lembaran kartesius, diperoleh:

. Metode konstruksi. Mari kita perhatikan terlebih dahulu bahwa jika sumbu simetri lembaran kartesius diambil sebagai sumbu absis, maka persamaannya akan berbentuk

(5)

Misalkan terdapat sebuah lingkaran dengan jari-jari r dan berpusat di suatu titik

dan lurus x= -H. Mari kita ambil titik sembarang Q dari lingkaran ini dan menggambar garis lurus QA dan langsung QN, tegak lurus terhadap sumbu absis (Gbr. 2). Dari titik persimpangan R lurus QA dengan garis lurus x= - h kami melakukan langsung R.O. sampai berpotongan di titik tersebut Q 1 dengan garis lurus QN. Jadi, tunjuk Q sebuah titik akan diberikan pada lingkaran Pertanyaan 1. Tempat kedudukan titik Q 1 adalah lembaran kartesius.

Untuk membuktikannya, perhatikan koordinat titik tersebut Q dapat ditulis dalam bentuk

sudut yang dibentuk oleh jari-jari lingkaran yang ditarik ke suatu titik Q, dengan arah positif sumbu x. Sesuai dengan ini, persamaan garis lurus QA dapat ditulis sebagai

Dengan asumsi dalam persamaan ini x= -H, temukan ordinatnya

poin R. Oleh karena itu persamaan garisnya RQ 1 akan ditulis dalam formulir

(6)

Pada saat yang sama, persamaan garis lurus Q 1 N seperti

(7)

Tidak termasuk parameter dari persamaan (6) dan (7) w, kita temukan persamaan tempat kedudukan titik Q 1 dalam bentuk

Membandingkannya dengan persamaan (5), kita menyimpulkan bahwa tempat kedudukan titik-titik yang ditemukan adalah daun kartesius.

Transformasi titik-titik lingkaran menjadi titik-titik pada lembaran kartesius, yang dilakukan selama pembuatannya dengan cara ini, disebut Transformasi Maclaurin.

4. Latar belakang sejarah. Untuk pertama kalinya dalam sejarah matematika, sebuah kurva, yang kemudian disebut daun Cartesian, didefinisikan dalam surat Descartes kepada Fermat pada tahun 1638 sebagai kurva yang jumlah volume kubus yang dibangun pada absis dan ordinat masing-masing kubus. titik sama dengan volume suatu parallelepiped yang dibangun pada sumbu absis, ordinat dan suatu konstanta. Bentuk kurva pertama kali ditetapkan oleh Roberval, yang menemukan titik simpul kurva, tetapi dalam representasinya kurva tersebut hanya terdiri dari satu lingkaran. Dengan mengulangi putaran ini dalam empat kuadran, ia memperoleh sosok yang mengingatkannya pada bunga dengan empat kelopak. Namun, nama puitis dari kurva “kelopak melati” tidak populer. Bentuk lengkap kurva dengan adanya asimtot ditentukan kemudian (1692) oleh Huygens dan I. Bernoulli. Nama “lembaran Cartesian” baru ditetapkan sejak awal abad ke-18.

Diokles Cissoid

1. Ciri-ciri formulir. Di antara sekian banyak cara pendidikan cissoid - kurva, ditemukan oleh orang dahulu untuk mencari solusi terhadap masalah terkenal penggandaan kubus, pertama-tama kita akan fokus pada yang paling sederhana. Mari kita mengambil lingkaran (disebut memproduksi) dengan diameter OA=2a dan bersinggungan AB Untuk dia. Melalui titik O kita menggambar sinar OB dan menggambar segmen di atasnya OM=VS. Titik M yang dibangun dengan cara ini termasuk dalam cissoid. Memutar balok 0V ke sudut tertentu dan setelah menyelesaikan konstruksi yang ditunjukkan, kita akan menemukan titik kedua dari cissoid, dll. (Gbr. 3).

Jika titik O diambil sebagai kutub, lalu dari mana kita mendapatkan persamaan kutub cissoid

Dengan menggunakan rumus transisi dari koordinat kutub ke koordinat kartesius, kita mencari persamaan cissoid dalam sistem persegi panjang:

(2)

Persamaan parametrik cissoid dapat diperoleh dengan asumsi x=ty, kemudian berdasarkan persamaan (2) kita sampai pada sistem

Beras. 3

Persamaan (2) menunjukkan bahwa cissoid merupakan kurva aljabar orde 3, dan dari persamaan (3) maka merupakan kurva rasional.

Cissoid simetris terhadap sumbu x dan memiliki cabang tak berujung; bersinggungan dengan lingkaran pembangkit, mis. lurus x = 2a berfungsi sebagai asimtotnya; titik asal koordinat adalah titik puncak jenis ke-1.

2. Properti. Secara kinematis, cissoid dapat diperoleh sebagai lintasan tengah M kaki Matahari segi tiga ABC, bergerak pada bidang gambar sehingga titik sudutnya DI DALAM meluncur sepanjang sumbu ordinat, dan kaki lainnya AC selalu melalui suatu titik tetap E pada sumbu absis. (Gbr. 4)

Memang sudah menunjuk segmen tengah OE melalui D, kami memperhatikan hal itu sejak itu BC=EO,ê SEMUA=ê VEO, Di mana /_ VEO = /_ SVE, dan maka dari itu ê NBE - sama kaki, dan sejak itu ED=EO/2=BC/2=VM, lalu segmennya DM sejajar dengan segmen tersebut MENJADI. Mari, lebih jauh lagi, tunjukkan KE terdapat titik potong dengan kelanjutan ruas tersebut DM garis lurus yang melalui suatu titik DI DALAM sejajar dengan sumbu x. Mari kita gambarkan sebuah lingkaran dengan pusat di titik asal dan jari-jari sama dengan OD , dan gambarlah garis singgungnya pada titik perpotongan kedua dengan garis tersebut EO. Ini jelas akan melewati intinya KE. Menandai titik potong garis DMK dengan lingkaran melalui F, perhatikan bahwa segitiga DOF Dan MVK sama satu sama lain. Dari kesetaraan mereka maka demikian DF= MK, dan maka dari itu DM= FK. Persamaan terakhir menunjukkan kedudukan titik-titik M akan menjadi cissoid.

Cara lain untuk membentuk cissoid didasarkan pada hubungannya dengan parabola. Mari kita tunjukkan dulu Cissoid adalah sub-era parabola relatif terhadap puncaknya.

Persamaan parabola ini. Persamaan garis singgung pada suatu titik sembarang M(x, jam ) parabola ini dapat ditulis dalam bentuk persamaan garis tegak lurus yang dijatuhkan dari titik asal ke garis singgung ini adalah koordinat titiknya N perpotongannya dengan garis singgung akan ditentukan oleh rumus

(4)

Dengan menghilangkan parameter h dari persamaan ini, kita memperoleh persamaannya

Mengekspresikan cissoid.

Perhatikan lebih lanjut bahwa koordinat suatu titik simetris dengan titik asal terhadap garis singgung parabola di 2 = 2 piksel, akan diperoleh jika ruas kanan rumus (4) digandakan, dan oleh karena itu, ditentukan oleh rumus

Dengan mengecualikan parameter h dari persamaan ini, kita kembali memperoleh cissoid dengan persamaan tersebut, yang berarti cissoid adalah tempat kedudukan titik-titik yang simetris dengan titik puncak parabola terhadap garis singgungnya.

Perlu diperhatikan bahwa kedudukan titik-titik yang simetris terhadap titik asal relatif terhadap garis singgung parabola dapat dianggap sebagai lintasan titik puncak parabola lain, identik dengan yang ini, yang menggelinding sepanjang parabola tersebut. Dengan demikian, metode baru pembentukan kinematik cissoid muncul seperti lintasan puncak sebuah parabola, yang menggelinding sepanjang parabola serupa lainnya tanpa tergelincir.

Strofoid

Strofoid (dari bahasa Yunani stróphos - pita bengkok dan éidos - pemandangan)

Misalkan ada garis lurus AB dan titik C di luarnya pada jarak CO = A; sebuah garis lurus yang memotong AB di titik variabel N berputar mengelilingi C. Jika dari titik N kita gambarkan ruas NM = NM" = NO pada kedua sisi garis lurus AB, maka tempat kedudukan titik M dan M" untuk semua posisi sinar berputar CN adalah strophoid. Persamaan dalam koordinat persegi panjang: ; dalam koordinat kutub: r = - a cos 2j/cosj. Strophoida pertama kali dipelajari oleh E. Torricelli (1645); nama tersebut diperkenalkan pada pertengahan abad ke-19. Beras. 6

Verziera Agnesi

Verziera (versiera) Agnesi ( kadang-kadang ikal Agnesi) adalah kurva datar, tempat kedudukan titik M yang hubungannya terpenuhi, di mana OA adalah diameter lingkaran, BC adalah titik tengah lingkaran yang tegak lurus OA. Versière Agnesi mendapatkan namanya untuk menghormati matematikawan Italia Maria Gaetana Agnesi, yang mempelajari kurva ini.

Persamaan

O = (0,0), SEBUAH = (0, a)

Dalam sistem koordinat persegi panjang:

Koordinat titik M yang terletak pada versière adalah x = BM, y = OB. OA = a dan menurut definisi kita membuat proporsinya

Dari sini

Sedangkan BC dapat dicari dari persamaan lingkaran:

Kita tahu y = OB, jadi kita nyatakan:

Kami menyamakan kedua ekspresi untuk BC:

Kami mengkuadratkannya, menerjemahkannya dan mengeluarkannya dari tanda kurung:

Kami menyatakan y (y=0 tidak sesuai definisinya):

, dimana adalah sudut antara OA dan OC.

Properti:

1. Verzière - kurva orde ketiga.

Diameter OA merupakan satu-satunya sumbu simetri kurva.

Kurva memiliki satu maksimum - A (0; a) dan dua titik belok -

Di sekitar titik sudut A, verzière mendekati lingkaran dengan diameter OA. Di titik A terdapat kontak dan kurvanya berimpit dengan lingkaran. Hal ini ditunjukkan dengan nilai jari-jari kelengkungan di titik A: .

Luas daerah di bawah grafik S = πa2. Ini dihitung dengan mengintegrasikan persamaan secara keseluruhan.

Volume badan rotasi versière di sekitar asimtotnya (sumbu OX).

Ahé Zee Maria Gaetana(Agnesi Maria Gaetana), b. 16/05/1718, Milan - meninggal. 01/09/1799, di tempat yang sama. Matematikawan Italia, profesor di Universitas Bologna (sejak 1750). Karya Agnesi “Foundations of analysis for the use of Italian youth” (“Instituzioni analitiche ad uso della gioventú italiana”, v. 1-2, Mil., 1748) memuat presentasi tentang geometri analitik, khususnya yang membahas geometri analitik ketiga. kurva orde yang disebut “Agnesi curl” (atau verzier), yang persamaannya adalah y=a 3 / (x 2 +a 2).

Untuk membuat garis ini, Anda perlu menggambar lingkaran berjari-jari a dengan pusat di titik (0, a). Kemudian ditarik garis lurus dari titik asal dan dua titik ditandai. Titik A (x1, y1) merupakan titik potong garis dan lingkaran, titik B (x2,2a) merupakan titik potong garis dan garis singgung horizontal atas lingkaran. Kemudian titik kurva (x2, y1) diplot.

Matematikawan Inggris John Colson sendiri yang menerjemahkan “Principia of Analysis” dari bahasa Italia. Namun, baginya, seorang Eropa abad ke-18, tidak mudah untuk memahami bahwa penulis buku tersebut adalah seorang wanita, dan baginya, bagi penulisnya, lekuk tubuh dapat diasosiasikan dengan gaya rambut. Alhasil, dalam literatur berbahasa Inggris kurva tersebut disebut sebagai penyihir Agnesi. - sesuatu dari bidang terbang ke Bald Mountain...

3. Garis luar biasa dari ordo keempat dan lebih tinggi

Garis (kurva) orde keempat disebut garis yang ditentukan oleh persamaan aljabar derajat keempat terhadap koordinat persegi panjang Cartesian. Garis (kurva) orde kelima, keenam dan lainnya ditentukan dengan cara yang sama.

Himpunan garis (kurva) orde keempat tidak lagi memuat puluhan, melainkan ribuan garis dari jenis tertentu. Yang lebih beragam lagi adalah himpunan garis orde kelima dan keenam. Di sini kita mempertimbangkan jenis garis tertentu dari orde keempat dan lebih tinggi, yang memiliki sifat menarik dan aplikasi praktis.

Lemniscate Bernoulli

Mari kita beralih ke kurva yang digambarkan oleh titik M pada bidang sedemikian rupa sehingga hasil kali p dari jarak titik ini ke dua titik spesifik F 1 dan F 2 pada bidang yang sama tetap tidak berubah. Kurva seperti itu disebut lemniscate (lemniscate dalam bahasa Yunani berarti “pita”). Jika panjang ruas F 1 F 2 adalah c, maka jarak dari titik tengah O ruas F 1 F 2 ke F1 dan F2 sama dengan c/2 dan hasil kali jarak tersebut sama dengan c 2 /4 . Pertama-tama mari kita minta agar nilai p dari hasil kali yang tidak berubah sama dengan tepat c 2/4; Kemudian

titik O akan terletak pada lemniscate, dan lemniscate itu sendiri akan terlihat seperti “angka delapan yang berbaring” (Gbr. 8). Jika kita meneruskan ruas F 1 F 2 pada kedua arah hingga berpotongan dengan lemniscate, maka diperoleh dua titik A 1 dan A 2. Mari kita nyatakan jarak antara A 1 A 2 = x melalui jarak yang diketahui c:

Fokus lemniscate adalah F1 (− c; 0) dan F2 (c; 0). Mari kita ambil titik sembarang M (x; y). Hasil kali jarak fokus ke titik M adalah

Dan menurut definisi itu sama dengan c2:

Kami mengkuadratkan kedua sisi persamaan:

Perluas tanda kurung di sisi kiri:

Buka tanda kurung dan lipat jumlah persegi baru:

Kami mengambil faktor persekutuan dan memindahkannya ke:

Dalam hal ini, a adalah jari-jari lingkaran yang menggambarkan lemniscate. Dengan melakukan transformasi sederhana, kita dapat memperoleh persamaan eksplisit:

Kami mengkuadratkan dan membuka tanda kurung:

Mari kita ingat hal ini

Ini adalah persamaan kuadrat untuk y." Dengan menyelesaikannya, kita peroleh

Mengambil root dan membuang opsi dengan suku kedua negatif, kita mendapatkan:

di mana pilihan positif mendefinisikan bagian atas lemniscate, pilihan negatif – yang lebih rendah.

Jika nilai konstanta hasil kali p tidak sama dengan c 2/4, maka lemniscate akan berubah tampilannya. Dan jika p lebih kecil dari c 2 /4, lemniscate terdiri dari dua oval, yang masing-masing berisi titik F 1 dan F 2 (Gbr. 9).

Itu. Dengan menetapkan kondisi yang berbeda untuk p dan c 2 /4 kita akan memperoleh lemniscate dari berbagai jenis (Gbr. 10).

Beras. 10

Sekarang mari kita ambil sejumlah titik pada bidang tersebut. F 1, F 2,…, F n dan gerakkan titik M sehingga hasil kali jarak ke masing-masing titik yang diambil tetap tidak berubah. Kita akan memperoleh sebuah Kurva, yang bentuknya akan bergantung pada bagaimana letak titik-titik F 1, F 2,..., F n relatif satu sama lain dan berapa nilai hasil kali konstannya. Kurva ini disebut lemniscate dengan n fokus.

Di atas kami mempertimbangkan lemniscates dengan dua fokus. Dengan mengambil sejumlah fokus yang berbeda, mengaturnya dengan cara yang berbeda dan memberikan nilai tertentu pada produk jarak, seseorang dapat memperoleh lemniscate dengan bentuk yang paling aneh. Kita akan menggambar ujung pensil dari titik A tertentu, tanpa mengangkatnya dari kertas, sehingga akhirnya kembali ke titik awal A. Kemudian akan digambarkan suatu kurva tertentu; kita hanya mensyaratkan agar kurva ini tidak berpotongan di mana pun

dirimu sendiri. Jelasnya, dengan cara ini dapat diperoleh kurva yang, misalnya, memiliki garis besar kepala manusia atau burung (Gbr. 11). Ternyata dengan kurva sembarang tersebut, kita dapat memilih bilangan n dan letak fokusnya seperti ini:

F 1, F 2,…, F n

dan tetapkan nilai tersebut untuk hasil kali konstan jarak

MF 1 MF 2 … MF n = hal

bahwa lemniscate yang sesuai secara kasat mata tidak akan berbeda dari kurva ini. Dengan kata lain, kemungkinan penyimpangan titik M yang menggambarkan lemniscate dari kurva yang digambar tidak akan melebihi lebar guratan pensil (pensil dapat diasah terlebih dahulu sesuai keinginan sehingga guratan menjadi sangat sempit). Fakta luar biasa ini, yang menunjukkan keragaman dan kekayaan bentuk lemniscate yang luar biasa dengan banyak trik, dibuktikan dengan cukup ketat, tetapi sangat sulit, dengan bantuan matematika yang lebih tinggi.

Siput Pascal

Tempat kedudukan titik M dan M" yang terletak pada garis lurus balok (yang pusat O terletak pada lingkaran berjari-jari R) pada jarak a pada kedua sisi titik P perpotongan garis lurus dengan titik P. lingkaran; yaitu, PM = PM" = A. persamaan dalam koordinat persegi panjang: ( x 2 + kamu 2 - 2Rx)2 - sebuah 2(x 2 + kamu 2) = 0, dalam koordinat kutub: r = 2 R karena j + A. Pada sebuah = 2R loop berkontraksi ke suatu titik, dalam hal ini koklea Pascal berubah menjadi cardioid. Nama tersebut diambil dari nama ilmuwan Perancis B. Pascal (1588-1651), yang pertama kali mempelajarinya.

Kurva sikloidal

Mari kita bayangkan suatu kurva tertentu menggelinding tanpa meluncur sepanjang kurva lainnya; setiap titik yang selalu berhubungan dengan kurva pertama akan menggambarkan kurva baru. Jadi, Anda dapat membayangkan sebuah elips menggelinding pada elips lain, dan memeriksa garis sepanjang pusatnya akan bergerak, atau menentukan lintasan fokus parabola yang menggelinding pada garis lurus, dan seterusnya.

Di antara kurva-kurva yang dibentuk dengan cara ini, terdapat kurva-kurva yang merupakan lintasan suatu titik yang selalu dihubungkan oleh sebuah lingkaran yang menggelinding tanpa meluncur pada lingkaran lainnya. Garis yang dihasilkan disebut sikloidal.

Ketika kurva sikloidal terbentuk, titik gambarnya terletak pada jarak tertentu dari pusat lingkaran pembangkit (bergerak). Dalam kasus tertentu, ia terletak pada keliling lingkaran pembangkit. Dalam kondisi ini, kurva yang dihasilkan dibagi menjadi episikloid dan hiposikloid, bergantung pada apakah lingkaran pembangkit terletak di luar atau di dalam lingkaran diam.

Kurva aljabar mencakup kurva terkenal seperti cardioid dan astroid; mari kita pertimbangkan kurva ini.

Kardioid

1. Persamaannya. Kardioid dapat didefinisikan sebagai lintasan suatu titik yang terletak pada keliling lingkaran berjari-jari r, yang menggelinding sepanjang keliling lingkaran diam yang berjari-jari sama. Dengan demikian ini akan mewakili episikloid dengan modulus m sama dengan 1.

Keadaan ini memungkinkan kita untuk segera menuliskan persamaan parametrik cardioid, mengganti modulus m dengan modulus m pada persamaan parametrik epicycloid yang diberikan sebelumnya. Akan memiliki:

(1)

Untuk mendapatkan persamaan polar cardioid, lebih mudah untuk mengambil titik A sebagai kutub (Gbr. 13), dan mengarahkan sumbu kutub sepanjang sumbu absis. Karena segiempat AOO 1 M adalah trapesium sama kaki, sudut kutub j dari titik M akan sama dengan sudut rotasi lingkaran pembangkit, yaitu. parameter t. Dengan mempertimbangkan keadaan ini, mari kita ganti y pada persamaan kedua sistem (1) dengan r sin t. Dengan mengurangi persamaan yang diperoleh sin t, kita memperoleh persamaan polar dari cardioid

Menurut bentuk persamaan ini

kita dapat menyimpulkan bahwa cardioid merupakan salah satu keong Pascal. Oleh karena itu dapat didefinisikan sebagai conchoid dari sebuah lingkaran.

Dari persamaan ini dapat disimpulkan bahwa cardioid adalah kurva aljabar orde ke-4.

2. Properti. Pertama-tama, karena cardioid adalah episikloid dengan m=1, semua sifat episikloid yang kita bahas di paragraf sebelumnya dapat ditransfer ke sana.

Inilah ciri-ciri dan ciri-cirinya.

Garis singgung pada titik sembarang cardioid melewati titik lingkaran dari lingkaran pembangkit, berlawanan secara diametris dengan titik kontak lingkaran, dan garis normal melalui titik kontaknya.

Sudut m yang dibentuk oleh garis singgung cardioid dengan vektor jari-jari titik singgung sama dengan setengah sudut yang dibentuk oleh vektor jari-jari tersebut dengan sumbu kutub. Benar-benar

Dari hubungan ini dapat disimpulkan bahwa sudut yang dibuat oleh garis singgung kardioid dengan sumbu absis adalah sama (sebagai sudut luar segitiga AMN Gambar 14). Dengan menggunakan rumus tersebut, kita dapat membuktikan bahwa garis singgung kardioid yang ditarik pada ujung-ujung tali busur yang melalui kutub adalah saling tegak lurus.

Memang sejak itu

Beras. 14

Perhatikan juga bahwa tempat kedudukan geometri titik potong garis singgung tersebut adalah lingkaran, maka persamaan garis singgung pertama berdasarkan persamaan (1) cardioid akan berbentuk

Dan garis singgung kedua.Menghilangkan parameter dari persamaan ini, kita memperoleh persamaan lingkaran yang ditunjukkan.

Jari-jari kelengkungan pada titik sembarang cardioid ditentukan oleh rumus

Dapat juga ditunjukkan bahwa jari-jari kelengkungan sama dengan 2/3 normal kutub N pada suatu titik tertentu.

Memang dari mana, berdasarkan (4), kita peroleh Relasi ini dapat digunakan untuk membangun pusat kelengkungan cardioid.

Evolusi kardioid, menurut sifat umum evolusi episikloid, juga akan menjadi kardioid yang serupa dengan yang diberikan, dengan koefisien kesamaan sama dengan 1/3, dan diputar relatif terhadap yang diberikan dengan sudut 180°.

Panjang busur cardioid dari titik A ke titik sembarang M ditentukan oleh rumus

Jika panjang busur diukur dari titik A 1 yang berhadapan secara diametral dengan titik A, maka rumus menentukan panjang busur dapat dituliskan dalam bentuk

(6)

Persamaan natural cardioid diperoleh jika parameter dihilangkan dari persamaan (4) dan (6). Ini akan terlihat seperti

(7)

Luas daerah yang dibatasi oleh cardioid ditentukan dengan rumus

dan, seperti dapat dilihat, sama dengan luas enam kali lipat lingkaran pembangkit.

Panjang seluruh cardioid ditentukan oleh rumus

dan, seperti dapat dilihat, sama dengan delapan diameter lingkaran pembangkit. Volume benda yang diperoleh dengan memutar cardioid pada porosnya adalah sama dengan

Luas permukaan benda yang diperoleh dengan memutar cardioid pada porosnya adalah sama dengan

Kita telah melihat bahwa cardioid secara organik berhubungan dengan lingkaran. Dia adalah conchoid dari lingkaran dan epicycloid. Ia memiliki hubungan yang berbeda dengan lingkaran - cardioid adalah subera lingkaran relatif terhadap titik milik lingkaran ini.

Misalkan OM adalah garis tegak lurus yang dijatuhkan pada garis singgung lingkaran yang berjari-jari 2r yang ditarik di titik N.

Karena OM = OB + BM, atau r == 2r cos j + 2r, maka kedudukan geometri titik M adalah kardioid dengan persamaan r = 2r (1 + cos j)

Mari kita perhatikan sebagai kesimpulan bahwa cardioid juga termasuk dalam keluarga spiral sinusoidal, dan sifat individualnya mengulangi sifat umum kurva ini. Dari sifat-sifat ini, khususnya, inversi cardioid relatif terhadap titik puncak menghasilkan parabola.

Astroid

1. Properti. Astroid adalah kasus khusus dari hiposikloid, yaitu hiposikloid dengan modulus m sama dengan 1/4. Oleh karena itu, ini mewakili lintasan suatu titik yang terletak pada keliling lingkaran berjari-jari r, yang menggelinding di sepanjang bagian dalam lingkaran diam lainnya, yang jari-jarinya R empat kali lebih besar.

Persamaan parametrik untuk astroid dapat diperoleh dengan mengasumsikan hiposikloid dalam persamaan tersebut, m=1/4. Berikut persamaannya:

di mana t, seperti sebelumnya, adalah sudut rotasi lingkaran pembangkit (Gbr. 16)

Tidak termasuk parameter t dari persamaan (1), kita memperoleh:

Dari persamaan (2) diketahui bahwa astroid merupakan kurva aljabar orde ke-6.

Persamaan parametrik (1) astroid dapat direduksi menjadi bentuk

(3)

Dengan mengecualikan parameter t dari persamaan ini, kita memperoleh bentuk persamaan astroid yang sering digunakan

(4)

Dengan asumsi dalam hubungan umum yang diturunkan sebelumnya untuk kurva sikloidal modulusnya

m = -1/4, kita memperoleh hubungan yang sesuai untuk astroid:

) jari-jari kelengkungan pada titik sembarang di astroid ditentukan oleh rumus

(5)

) panjang busur astroid dari titik A ke titik sembarang M(t) ditentukan dengan rumus

panjang salah satu cabang sama dengan dan panjang seluruh kurva adalah 6R;

) Untuk mendapatkan persamaan alami astroid, perhatikan terlebih dahulu jika asal panjang busur diambil bukan ke titik A yang t = 0, melainkan ke titik yang t = p, maka panjang busurnya adalah ditentukan oleh rumus

tidak termasuk parameter t dari persamaan (5) dan (6), kita memperoleh persamaan alami astroid

) evolusi suatu astroid juga merupakan astroid yang mirip dengan astroid tertentu, dengan koefisien kesamaan sama dengan 2, diputar relatif terhadap astroid tertentu dengan sudut p/4 (Gbr. 16)

) luas yang dibatasi oleh seluruh astroid sama dengan volume benda yang diperoleh dari putaran astroid, sebesar 32/105p R 3

permukaan benda yang dibentuk oleh rotasi astroid adalah sama dengan

Sekarang mari kita beralih ke pertimbangan beberapa sifat tertentu dari astroid.

Astroid adalah selubung segmen dengan panjang konstan, yang ujungnya. yang meluncur sepanjang dua garis lurus yang saling tegak lurus.

Kita ambil garis lurus ini sebagai sumbu koordinat dan, yang menyatakan sudut kemiringan segmen geser ND=R melalui a (Gbr. 4), kita akan mendapatkan persamaan garis lurus ND dalam bentuk

Membedakan persamaan ini terhadap parameter a, kita memperoleh:

Dalam prakteknya, pergerakan segmen ND dapat dilakukan dengan menggunakan apa yang disebut lingkaran cardan. Salah satu lingkaran dengan jari-jari R adalah stasioner, dan yang lainnya, dengan jari-jari r, setengah besarnya, menggelinding di sepanjang sisi dalam lingkaran stasioner. Dua titik N dan D yang berhadapan secara diametris pada sebuah lingkaran bergulir akan bergerak sepanjang dua diameter Ox dan Oy yang saling tegak lurus dari sebuah lingkaran diam. Jelas bahwa selubung diameter lingkaran bergulir adalah astroid.

Beras. 17

Beras. 18

Metode pembentukan astroid yang dipertimbangkan juga dapat diartikan sebagai berikut. Persegi panjang ODCN yang kedua sisinya terletak pada dua garis yang saling tegak lurus, diubah bentuknya sehingga diagonalnya tetap memiliki panjang sama dengan R, selubung diagonalnya adalah astroid. Karena dalam hal ini garis tegak lurus yang dijatuhkan dari titik sudut C ke diagonal DN berfungsi sebagai garis normal terhadap selubung, maka astroid adalah tempat kedudukan geometri alas garis tegak lurus yang diturunkan dari titik sudut C persegi panjang ke diagonalnya.

Ketika persamaan ini mengungkapkan astroid lurus yang sebelumnya dianggap.

. Beberapa garis transendental

Teramat adalah garis yang persamaan koordinat kartesius persegi panjangnya tidak bersifat aljabar. Contoh garis transendental yang paling sederhana adalah grafik fungsi, y=, y= dan fungsi trigonometri lainnya. Mari kita lihat beberapa garis transendental lainnya.

spiral Archimedes

Mari kita bayangkan jarum detik yang panjangnya tak terhingga, mulai dari bagian tengah pelat jam, seekor serangga kecil tanpa lelah berlari dengan kecepatan konstan v cm/s. Dalam satu menit bug akan berada pada jarak 60v cm dari pusat, dalam dua menit - 120v, dll. Secara umum, t detik setelah dimulainya lari, jarak bug dari pusat akan sama dengan vt cm Selama waktu ini, panah akan berputar melalui sudut yang mengandung 6 t° (toh, dalam satu detik itu berhasil berbelok melalui sudut 360°: 60 = 6°). Oleh karena itu, posisi bug pada bidang dial setelah angka t detik setelah dimulainya gerakan ditemukan seperti ini. Kita perlu menyisihkan sudut a yang memuat 6t° dari posisi awal anak panah searah putarannya, dan mengukur jarak r = vt cm dari pusat sepanjang posisi anak panah yang baru. serangga (Gbr. 21).

Beras. 21.

Jelasnya, hubungan antara sudut putar a anak panah (dalam derajat) dan jarak yang ditempuh r (dalam sentimeter) adalah sebagai berikut:

Dengan kata lain, r berbanding lurus dengan a, dengan koefisien proporsionalitas k = v/6.

Mari kita tempelkan sebotol kecil cat hitam yang tidak ada habisnya ke pelari kita dan asumsikan bahwa cat, yang mengalir keluar melalui lubang kecil, meninggalkan bekas di kertas dari serangga yang terbawa bersama panah. Kemudian kurva yang pertama kali dipelajari oleh Archimedes (287 – 212 SM) lambat laun akan muncul di atas kertas. Ini disebut spiral Archimedes untuk menghormatinya. Hanya perlu dikatakan bahwa Archimedes tidak berbicara tentang jarum detik (pada saat itu belum ada jam dengan pegas: jam tersebut baru ditemukan pada abad ke-17) atau tentang serangga. Kami telah menyertakannya di sini untuk kejelasan.

Beras. 22 Gambar. 23.

Spiral Archimedes terdiri dari banyak putaran yang tak terhingga. Ini dimulai di tengah-tengah dial, dan bergerak semakin jauh darinya seiring dengan meningkatnya jumlah putaran. Pada Gambar. 22 menunjukkan putaran pertama dan bagian kedua.

Anda mungkin pernah mendengar bahwa dengan menggunakan kompas dan penggaris, tidak mungkin membagi sudut yang diambil secara acak menjadi tiga bagian yang sama besar (dalam kasus khusus, ketika sudut tersebut berisi, misalnya, 180°, 135°, atau 90°, soal ini mudah dipecahkan). Tetapi jika Anda menggunakan spiral Archimedean yang digambar dengan cermat, maka sudut mana pun dapat dibagi menjadi beberapa bagian yang sama besar.

Mari kita bagi, misalnya, sudut AOB menjadi tiga bagian yang sama besar (Gbr. 23). Jika kita berasumsi bahwa panah telah berbelok tepat ke sudut ini, maka bug akan terletak di titik N pada sisi sudut tersebut. Namun bila sudut putarnya tiga kali lebih kecil, maka bug itu tiga kali lebih dekat ke pusat O. Untuk mencari posisi ini, pertama-tama bagilah ruas ON menjadi tiga bagian yang sama besar. Hal ini dapat dilakukan dengan menggunakan kompas dan penggaris. Kami mendapatkan segmen ON 1, yang panjangnya tiga kali lebih kecil dari ON. Untuk mengembalikan bug ke spiral, Anda perlu membuat takik pada kurva ini dengan radius ON 1 (kompas lagi!). Kita mendapatkan titik M. Sudut AOM akan tiga kali lebih kecil dari sudut AON.

Sikloid

Mari kita tempelkan penggaris ke tepi bawah papan tulis dan gulung lingkaran atau lingkaran (kardus atau kayu) di sepanjang penggaris, tekan ke penggaris dan papan. Jika Anda menempelkan sepotong kapur pada lingkaran atau lingkaran (pada titik kontak dengan penggaris), kapur tersebut akan membentuk kurva (Gbr. 24), yang disebut sikloid (yang berarti “melingkar” dalam bahasa Yunani). Satu putaran lingkaran sama dengan satu "lengkungan" sikloid MM"M""N", jika lingkaran itu menggelinding lebih jauh, maka semakin banyak lengkungan dari sikloid yang sama yang akan diperoleh.

Beras. 24.

Untuk membuat di atas kertas kira-kira satu lengkungan sikloid, digambarkan dengan menggulung lingkaran dengan diameter sama dengan, misalnya tiga sentimeter, mari kita gambarkan pada segmen lurus yang sama dengan 3x3,14 = 9,42 cm.

Kami memperoleh segmen yang panjangnya sama dengan panjang tepi lingkaran, mis. panjang lingkaran dengan diameter tiga sentimeter. Mari kita bagi lebih lanjut segmen ini menjadi beberapa bagian yang sama, misalnya 6, dan untuk setiap titik pembagian kita akan menggambarkan lingkaran kita pada posisinya ketika bertumpu pada titik tertentu ini (Gbr. 24), memberi nomor pada posisi-posisi ini dengan angka :

Ah, 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Untuk berpindah dari satu posisi ke posisi berikutnya, lingkaran itu harus berputar seperenam putaran penuh (karena jarak antara titik pembagian yang berdekatan sama dengan seperenam lingkaran). Oleh karena itu, jika pada posisi 0 kapur berada di titik M 0, maka pada posisi 1 terletak di titik M 1 - seperenam lingkaran dari titik kontak, pada posisi 2 - di titik M 2 - dua perenam dari titik kontak, dll. .d. Untuk mendapatkan titik M 1, M 2, M 3, dst, Anda hanya perlu membuat takik pada lingkaran yang sesuai, dimulai dari titik kontak, dengan jari-jari sama dengan

Beras. 25.

5 cm, dan pada posisi 1 diperlukan satu takik, pada posisi 2 - dua takik dibuat satu demi satu, pada posisi 3 - tiga takik, dst. Sekarang untuk menggambar sikloid yang tersisa hanyalah menghubungkan titik-titiknya

M 0, M 1, M 2, M 3, M 4, M 5, M 6

kurva halus (dengan mata).

Kurva penurunan terpendek

Di antara banyak sifat luar biasa dari sikloid, kami mencatat satu hal, yang karenanya ia mendapat nama yang terdengar keras dan canggih: “brachistochrone”. Nama ini terdiri dari dua kata Yunani yang berarti “terpendek” dan “waktu”.

Pertimbangkan pertanyaan berikut: bentuk apa yang harus diberikan pada saluran logam yang dipoles dengan baik yang menghubungkan dua titik A dan B (Gbr. 26.) sehingga bola logam yang dipoles menggelinding sepanjang saluran ini dari titik A ke titik B dalam waktu sesingkat mungkin waktu? Pada pandangan pertama, tampaknya Anda harus berhenti pada alur yang lurus, karena hanya sepanjang alur tersebut bola akan menempuh jalur terpendek dari A ke B. Namun, kita tidak berbicara tentang jalur terpendek, tetapi tentang waktu terpendek; waktu tidak hanya bergantung pada panjang lintasan, tetapi juga pada kecepatan lari bola. Jika saluran tersebut ditekuk ke bawah, maka bagiannya, yang dimulai dari titik A, akan turun lebih curam daripada saluran lurus, dan bola, yang jatuh di sepanjang saluran tersebut, akan memperoleh kecepatan yang lebih besar daripada pada bagian yang sama panjang. dari saluran yang lurus. Namun jika bagian awalnya dibuat sangat curam dan relatif panjang, maka bagian yang berdekatan dengan titik B akan menjadi sangat datar dan juga relatif panjang; Bola akan melewati bagian pertama dengan cepat, bagian kedua sangat lambat dan bola mungkin terlambat sampai di titik B. Jadi, salurannya rupanya perlu diberi bentuk cekung, tetapi tikungannya tidak boleh terlalu signifikan.

Beras. 26.

Beras. 27.

Fisikawan dan astronom Italia Galileo (1564-1642) berpendapat bahwa parit dalam waktu terpendek harus dibengkokkan sepanjang busur lingkaran. Namun ahli matematika Swiss, Bernoulli bersaudara, sekitar tiga ratus tahun yang lalu, membuktikan dengan perhitungan yang tepat bahwa hal ini tidak benar dan bahwa parit tersebut harus dibengkokkan sepanjang busur sikloid (terbalik, Gambar 27.). Sejak itu, sikloid mendapat julukan brachistochrone, dan pembuktian Bernoulli menjadi awal dari cabang baru matematika - kalkulus variasi. Yang terakhir ini berkaitan dengan pencarian jenis kurva di mana besaran tertentu yang kita minati mencapai nilai minimumnya (dan dalam beberapa kasus, nilai terbesarnya).

Spiral logaritma

Kurva ini dapat dinamai Descartes, karena pertama kali disebutkan dalam salah satu suratnya (1638). Namun, studi rinci tentang sifat-sifatnya baru dilakukan setengah abad kemudian oleh Jacob Bernoulli. Sifat-sifat ini memberikan kesan yang kuat pada ahli matematika pada masanya. Lempengan batu yang didirikan di makam ahli matematika terkenal ini menggambarkan putaran spiral logaritma.

Spiral Archimedean digambarkan oleh sebuah titik yang bergerak sepanjang sinar (“panah tak terhingga”) sehingga jarak dari awal sinar bertambah sebanding dengan sudut rotasinya: r = ka. Spiral logaritmik akan diperoleh jika kita tidak memerlukan jarak itu sendiri, tetapi peningkatan logaritmanya berbanding lurus dengan sudut rotasi. Biasanya persamaan spiral logaritma ditulis menggunakan bilangan non-bulu e sebagai basis sistem logaritma (bagian 25). Logaritma bilangan r ini disebut logaritma natural dan dilambangkan dengan r. Jadi, persamaan spiral logaritma ditulis sebagai ln r = ka

Tentu saja sudut rotasi a masih dapat diukur dalam derajat. Namun ahli matematika lebih suka mengukurnya dalam radian, yaitu. ambil sebagai ukuran sudut perbandingan panjang busur lingkaran antara sisi-sisi sudut pusat dengan jari-jari lingkaran tersebut. Kemudian putaran anak panah melalui sudut siku-siku diukur dengan angka l 1,57, putaran dengan besar sudut terbuka diukur dengan angka l 3,14, dan putaran penuh diukur dalam derajat dengan angka 360, akan diukur dalam radian dengan angka 2 l 6,28.

Beras. 28.

Dari sekian banyak sifat spiral logaritmik, kami mencatat satu hal: setiap sinar yang muncul dari awal memotong setiap putaran spiral pada sudut yang sama. Besarnya sudut ini hanya bergantung pada bilangan k pada persamaan spiral. Dalam hal ini, sudut antara sinar dan spiral dipahami sebagai sudut antara sinar ini dan garis singgung spiral yang ditarik pada titik potong (Gbr. 28).

Kesimpulan

Saat mempertimbangkan kurva orde ketiga dan keempat

kita berkenalan dengan beberapa kurva yang benar-benar luar biasa yang menghuni dunia geometri analitik yang menakjubkan, yang lebih sering ditemukan dalam hidup kita daripada yang terlihat. Kami memeriksa penerapan praktisnya dalam kehidupan manusia, pentingnya sifat luar biasa mereka dalam berbagai mekanisme yang digunakan manusia dalam kehidupan. Dalam karya ini, kami mengumpulkan materi dengan fokus pada konstruksi praktis kurva.

Jadi, tujuan yang ditetapkan tercapai dan tugas-tugas yang diidentifikasi sesuai dengan tujuan diselesaikan.

literatur

spiral transendental urutan garis

1. Markushevich A.I. Kurva yang indah. - M.: Krasnoproletarskaya, 1951. -23 hal.; 1978, - 48 hal. dengan ilustrasi.

Sejarah matematika dari zaman dahulu hingga awal abad ke-19 / Ed. AP Yushkevich. - M.: Nauka, 1970, jilid 1. - 352 hal.; 1970, jilid 2. - 300 hal.; 1972, jilid 3 - 496 hal.

Nikiforovsky V.A., Freiman L.S. Kelahiran matematika baru. - M.: Nauka, 1976. - 198 hal.

Savelov A.A. Kurva datar. - M.: Fizmatgiz, 1960 - 294 hal.

Ilyin V.A., Poznyak E.G. Geometri analitik. - M.: Nauka, 1971. - 232 hal.

Tyshkevich R.I., Fedenko A.S. Aljabar linier dan geometri analitik. - edisi ke-2. - Minsk: Astaga. Sekolah, 1976.544 hal.

Jawaban lintasan titik B – astroid s t)

Kurva sikloid tidak hanya mencakup sikloid, epi- dan hiposikloid, tetapi juga trokoid, kardioid, dan astroid, yang dijelaskan di bawah.

Koordinat X, y dalam hal ini memenuhi persamaan astroid (Gbr. 91)

Pengecualian memberi (astroid)

Ketika p = r = (m = 3) hiposikloid disebut astroid (Gbr. 64), dan persamaannya berbentuk x = R os i y = R sin "i atau x -y = R.

Ketika p = r = - (t = 3) hiposikloid disebut astroid (Gbr. 64), dan persamaannya berbentuk

Pada Gambar. 72 ruas AB = I dipasang pada sambungan AB = I dengan sudut 0 = 180°. Oleh karena itu, astroid yang ditarik oleh titik Bi diputar relatif terhadap astroid yang ditarik oleh titik B dengan sudut t6,

Mari kita periksa pertanyaan menggambar garis singgung kurva ini dengan menggunakan mekanisme yang sedang dipertimbangkan. Sesuai dengan aturan yang dirumuskan di atas, garis singgung astroid akan memotong segmen pada garis engkol OA sama dengan penyebut pecahan di sisi kanan ekspresi (160). Sehubungan dengan mekanisme yang disajikan pada Gambar. 72, besar kecilnya ruas yang dipotong ditentukan dengan rumus (172)

Dalam prakteknya, untuk pembangunan astroid dalam kondisi produksi, setiap garis lurus yang bergerak

Pada Gambar. 72 kami menunjukkan mekanisme yang memberikan gerakan pada ujung S dan Si tautan 10 sepanjang dua astroid, diputar satu relatif terhadap yang lain sebesar 45°.

Kurva yang dijelaskan oleh persamaan (57) dan (58) akan menjadi kurva tipe astroid. Sumbu simetri bentuk kurva ini dengan sumbu Ax

Mari kita tampilkan, seperti yang dilakukan pada tahun , bagian luar astroid pada setengah bidang Re5>0

Dengan mengambil a = p = 1, kita membuat kontur di mana astroid mengalami deformasi (Gbr. 24).

Penggeser / dan 2 meluncur dalam pemandu tetap p dan q, yang sumbu-sumbunya saling tegak lurus. Proses a dan 6 penggeser 1 hingga 2 meluncur dalam penggeser 3 berbentuk salib, yang sumbu-sumbunya juga saling tegak lurus. Link 4 masuk ke dalam pasangan putar C dengan penggeser 3 dan meluncur dalam penggeser 5 berbentuk salib yang meluncur sepanjang sumbu tautan 6 yang termasuk dalam pasangan putar L dan B dengan penggeser I dan 2. Saat penggeser I ke 2 bergerak sepanjang pemandu dan titik K menggambarkan busur astroid, yang persamaannya = dimana 1 - AB. Garis lurus itu membelok

Hiposikloid memiliki n - -1 titik puncak, yang masing-masing, dari sudut pandang konsentrasi tegangan, setara dengan ujung retakan (Gbr. PZO menunjukkan astroid dengan n = 3). Cacat jenis ini dapat menentukan kekuatan getasnya

Temukan persamaan garis singgung astroid.

Pada Gambar. Gambar 72 menunjukkan mekanisme sepuluh mata rantai yang dirancang untuk mereproduksi astroid. Astroid adalah hiposikloid biasa yang mempunyai modulus m = dan merupakan kurva aljabar orde ke-6. Nama Astroid

Jadi, garis singgung salah satu astroid yang ditunjukkan pada gambar akan melewati titik C dan 5, dan garis singgung yang lain melalui titik C dan S. Tetapi titik B dan B adalah ujung batang penghubung B B dari lambda -kelompok berbentuk garis lurus Harte. Oleh karena itu, ujung B akan selalu meluncur sepanjang tautan DDj, dan ujung B - sepanjang garis tegak lurus yang dikembalikan ke DDj dari titik C. Oleh karena itu, astroid yang ditarik oleh titik B adalah selubung semua posisi tautan DD. Hal di atas juga dapat diperluas ke astroid yang direproduksi oleh titik B atau titik mana pun pada lingkaran yang dibatasi dari A dengan jari-jari I.

Seperti diketahui, bunga astroid, jika pusat simetri astroid dipilih sebagai kutub, adalah mawar berkelopak empat. Jadi, cukup dengan memanjangkan ruas ABi = AB pada Gambar. 72 (atau pada Gambar 73) dengan ukuran AB = ABi = L, sehingga diperoleh dengan ini

KUL ISIO-RY MEKANISME VYATKIN PENTING UNTUK REPRODUKSI ASTROID

Untuk mengakhiri karya yang berhubungan langsung dengan teori sayap, kami mencatat karya G.N. Babaeva Tentang Rotor Flettner (Catatan Ilmiah. Universitas Negeri Saratov, Fakultas Pedagogi. T. VH. Edisi 11, 1929), di mana penulis menerapkan metode biasa mempelajari sayap pada kasus dua rotor Flettner. Ngomong-ngomong, penulis menunjukkan bahwa garis momen dalam hal ini adalah astroid. Tentang

Mengapa dunia kita indah? Karena bentuk dan warna alam yang hidup sebagian besar mengikuti hukum umum harmoni, yang terungkap melalui analisis matematis yang ketat. Ketika mempelajari alam, kita menemukan semakin banyak fitur estetika di dalamnya, yang, sebagai suatu peraturan, tidak segera terungkap, tetapi setelah analisis matematis yang terperinci.

Seseorang membedakan benda-benda disekitarnya berdasarkan bentuknya. Ketertarikan terhadap bentuk suatu benda dapat ditentukan oleh kebutuhan vitalnya, atau dapat pula disebabkan oleh keindahan bentuknya. Bentuknya, yang konstruksinya didasarkan pada kombinasi simetri dan rasio emas, berkontribusi pada persepsi visual terbaik dan munculnya rasa keindahan dan harmoni.

Keseluruhan selalu terdiri dari bagian-bagian, bagian-bagian yang berbeda ukuran berada dalam hubungan tertentu satu sama lain dan dengan keseluruhan. Asas rasio emas merupakan perwujudan tertinggi kesempurnaan struktural dan fungsional keseluruhan dan bagian-bagiannya dalam seni, ilmu pengetahuan, teknologi, dan alam.

Saat menggunakan hukum geometri alam dalam situasi baru, untuk mempelajari mata pelajaran yang berkaitan dengan konstruksi geometris, kami memikirkan kembali hukum geometri yang dipelajari dan mengembangkan intuisi geometris.

Dalam proses melakukan tugas-tugas kreatif dengan berbagai konten, kami berkenalan dengan kemungkinan bidang penerapan pengetahuan geometris (seniman, arsitek, desainer, dll.).

Sarana grafis untuk menampilkan informasi digunakan di semua bidang masyarakat. Mereka memiliki gambaran yang lengkap, dicirikan oleh simbolisme, kekompakan, dan relatif mudah dibaca. Kualitas gambar grafis inilah yang menentukan perluasan penggunaannya. Dalam waktu dekat, lebih dari separuh informasi yang disajikan akan disajikan dalam bentuk grafis. Perkembangan landasan teori geometri deskriptif, teknik grafis dan ilmu-ilmu terkait lainnya telah memperluas metode memperoleh gambar grafik. Seiring dengan metode manual dalam menghasilkan gambar grafik dan menyusun dokumentasi desain, metode komputer semakin banyak digunakan. Penggunaan teknologi informasi baru memastikan pembuatan, pengeditan, penyimpanan, dan replikasi gambar grafik menggunakan berbagai perangkat lunak.

I. Informasi dasar tentang kurva aljabar

1. Astroid

Astroid (dari bahasa Yunani >-bintang) adalah kurva yang digambarkan oleh sebuah titik pada lingkaran bergerak yang menyentuh dari dalam lingkaran tetap berjari-jari empat kali dan menggelinding sepanjang lingkaran tersebut tanpa tergelincir. Luas yang dibatasi oleh astroid adalah seperdelapan luas lingkaran tetap, dan panjang total astroid sama dengan enam kali jari-jari lingkaran tersebut.

Persamaan astroid dalam koordinat persegi panjang kartesius:

x + kamu = R.

Grafik astroid dibuat dengan cara berikut:

:: Buatlah grafik fungsi y > 0 (radius R = 5);

:: Membuat grafik fungsi.

2. Kardioid

Cardioid (dari bahasa Yunani >-heart dan eidos-view) adalah kurva datar yang digambarkan oleh sebuah titik tetap pada sebuah lingkaran, yang dari luar menyentuh lingkaran tetap dengan radius yang sama dan menggelinding sepanjang lingkaran tersebut tanpa tergelincir. Kurva ini mendapat namanya karena kemiripannya dengan hati.

Konstruksi grafik cardioid juga dilakukan di >.

3. Nefroid

Nefroid (dari bahasa Yunani hephros-ginjal, eidos-spesies) adalah kurva yang digambarkan oleh titik tetap dari sebuah lingkaran yang menggelinding ke luar sepanjang lingkaran yang dua kali lebih besar. Sifat-sifat nefroid pertama kali dipelajari pada abad ke-17 oleh bangsawan Saxon E. V. Tschirnhaus. Nefroid terdiri dari dua kardioid.

4. Siput Pascal.

Siput Pascal adalah kurva aljabar bidang. Dinamakan setelah Etienne Pascal (ayah dari Blaise Pascal), yang pertama kali menelitinya. Persamaan dalam koordinat kutub. Ketika l = 2a, diperoleh cardioid.

II. Penerapan pemodelan matematika.

1. Sejarah penciptaan grafik string

Grafik benang (atau isothread) adalah gambar grafik yang dibuat dengan cara khusus dengan benang pada karton atau alas padat lainnya. Grafik benang kadang juga disebut isografik atau sulaman pada karton.

Istilah > (grafik benang atau isothread) digunakan di Rusia, di negara-negara berbahasa Inggris frasa tersebut digunakan - menyulam di atas kertas, di negara-negara berbahasa Jerman - istilah tersebut.

Grafik benang, sebagai salah satu jenis seni dekoratif dan terapan, pertama kali muncul di Inggris pada abad ke-17. Penenun Inggris menemukan cara khusus untuk menenun benang. Mereka menancapkan paku ke papan dan menarik benang ke atasnya dalam urutan tertentu. Hasilnya adalah produk renda kerawang yang digunakan sebagai penghias rumah. (Muncul versi bahwa karya-karya ini adalah semacam sketsa pola pada kain). Bahan habis pakai modern memungkinkan diperolehnya produk yang sangat mengesankan.

Selain teknik grafis benang yang asli, ada arah lain dalam desain benang - menyulam pada karton (isothread) dengan teknik yang sama (teknik mengisi sudut dan lingkaran).

Ketertarikan pada grafik filamen muncul dan kemudian menghilang. Salah satu puncak popularitasnya terjadi pada akhir abad ke-19. Buku-buku tentang menjahit diterbitkan, yang menggambarkan metode menyulam di atas kertas yang tidak biasa, sederhana dan mudah, dapat diakses oleh anak-anak. Pengerjaannya menggunakan kartu berlubang (templat siap pakai) dan teknik pengisian sudut, jahitan >, > (untuk menyulam lengkung). Dengan dana minim, siapa pun (dan yang terpenting anak-anak) bisa membuat oleh-oleh mewah untuk hari raya.

Sekarang seni ini dipraktekkan di banyak negara di dunia.

Di negara kita, ada sejumlah kecil informasi tentang isothread, terutama untuk tujuan informasi: publikasi individu di majalah > Pada tahun 1995, sebuah buku karya profesor Minsk G. A. Branitsky diterbitkan > dan sebuah buku oleh M. I. Nagibina > dengan bab kecil tentang isothread .

Setelah menganalisis informasi yang tersedia, kami berhasil menemukan bahwa banyak buku yang diterbitkan tentang jenis menjahit ini dalam bentuk petunjuk langkah demi langkah dan album ide, di mana hanya metode kerja reproduktif yang digunakan di mana-mana.

Keuntungan isothread adalah pengerjaannya cepat dan Anda bisa menghasilkan banyak pola menarik. Jenis kreativitas ini mengembangkan imajinasi, mata, keterampilan motorik halus jari, kemampuan artistik dan rasa estetika. Dengan menggunakan teknik grafis benang, Anda tidak hanya dapat membuat panel dekoratif, tetapi juga kartu ucapan, sampul suvenir, dan pembatas buku.

Isothread (grafik thread atau desain thread) dapat memiliki beberapa arah:

1) metode reproduksi: bekerja sesuai templat, petunjuk langkah demi langkah, distribusi pola jadi dan perlengkapan bordir

2) pencarian sebagian (proyek): belajar berhitung di atas karton (yaitu membuat karya agung Anda sendiri), mencari teknik dan kombinasi Anda sendiri, “bermain” dengan latar belakang, utas - dengan bahan eksekusi

3) digabungkan - ketika semuanya dimulai dengan "ABC", kami bekerja dengan diagram yang sudah jadi, tetapi mengubah jenis bahan (warna) dan mencapai "mahakarya".

2. Teknik dasar grafik string

Grafik benang juga dikenal dengan nama lain: isothread (yaitu gambar dengan benang), bordir grafis. Untuk menguasai tekniknya, cukup mengetahui cara pengisian sudut, lingkaran, dan busur.

Teknik 1. Mengisi sudut.

Gambarlah sebuah sudut di bagian belakang karton dan bagilah setiap sisinya menjadi beberapa bagian yang sama. Kami menusuk titik-titiknya dengan pin atau penusuk tipis, memasukkan jarum dan mengisi sesuai dengan diagram.

Teknik 2. Mengisi lingkaran.

Mari menggambar lingkaran dengan kompas. Mari kita bagi menjadi 12 bagian yang sama dan mengisinya sesuai diagram.

Teknik 3. Mengisi busur.

Mari menggambar busur, membaginya menjadi bagian yang sama dan membuat tusukan pada titik pembagian. Masukkan jarum dan isi sesuai diagram

AKU AKU AKU. Pekerjaan penelitian.

Konstruksi dalam program >.

Soal 1. Membagi suatu ruas menjadi n bagian yang sama besar.

Solusi 1. Pembagian menjadi 2, 4, 8, 16, dst. bagian dilakukan di > dengan membuat titik tengah segmen.

Solusi 2. Kami juga melakukan pembagian segmen menjadi sejumlah bagian menggunakan teorema Thales.

Tugas 2. Membagi lingkaran menjadi 6, 12, 24 bagian.

Solusi 1. Kami sedang mencari cara berbeda untuk membagi lingkaran menjadi beberapa bagian. Dalam program > kita menggambar sebuah lingkaran, menempatkan titik-titik secara acak, mengukur sudut yang dihasilkan, lalu > memindahkan titik-titik tersebut sepanjang lingkaran hingga diperoleh nilai yang diinginkan. Itu adalah pekerjaan yang monoton dan tidak menarik. Kesalahan pembagian pertama menjadi 12 bagian adalah + 0,15 cm pada panjang tali busur. Kami mulai menganalisis situasi dan mencari cara terbaik untuk menyelesaikan masalah. Hasilnya, kami menemukan beberapa solusi untuk membagi lingkaran menjadi 6, 12, 24 bagian.

Solusi 2. Tandai 6 titik pada lingkaran, ukur semua sudut, sejajarkan titik-titik tersebut sehingga masing-masing sudut sama dengan 60 [o]. Kemudian, dengan menggunakan program ini, kami menggambar garis bagi setiap sudut. Hasilnya adalah pembagian menjadi 12 bagian. Dan untuk membaginya menjadi 24 bagian, kita menggambar lagi garis bagi sudut yang dihasilkan. Kesalahan konstruksi ini ternyata +0,01 derajat.

Solusi 3. Dengan menggunakan program ini, kita membuat 3 lingkaran dengan radius yang sama (menggunakan penyalinan), menggabungkannya seperti yang ditunjukkan pada gambar. Tandai titik potong lingkaran. Kami mengukur sudut yang dihasilkan, ternyata sama dengan 60 [o]. Selanjutnya, kita membuat garis bagi sudut untuk membagi menjadi 12 dan 24 bagian. Kesalahan dari solusi tersebut adalah nol.

Soal 3. Membagi lingkaran menjadi 9, 18, 36 bagian.

Setelah menemukan cara optimal untuk menyelesaikan soal sebelumnya, kami pun mulai mencari cara untuk membagi lingkaran menjadi 9, 18, dan 36 bagian. Pembagian menjadi 18 dan 36 bagian hanya dapat dilakukan setelah membangun 9 titik, dengan menggunakan konstruksi garis bagi.

Larutan. 360 [o] : 9 = 40 [o]. Kami > membagi setengah lingkaran menjadi 4 busur berukuran kira-kira 40 [o] dan satu busur 20 [o]. Dengan menggunakan program ini, kami melakukan semua pengukuran sudut yang diperlukan dengan menggerakkan titik-titik. Selanjutnya, kita memilih titik-titik yang dibangun dan, dengan menggunakan perintah >, merefleksikan titik-titik tersebut 180 derajat relatif terhadap pusat lingkaran ke setengah lingkaran kedua. Kesalahan konstruksi ini adalah +0,04 derajat.

Soal 4. Konstruksi kurva aljabar

Astroid

Solusi 1. Astroid dibangun pada bidang koordinat menggunakan algoritma berikut:

:: Titik-titik sumbu ordinat harus dihubungkan dengan titik-titik sumbu absis sehingga jumlah bilangan pembagiannya menghasilkan 10 (contoh: 1 dan 9, 2 dan 8, 3 dan 7, dst).

:: Hubungkan titik-titik yang berurutan sama pada sisa bidang koordinat.

Solusi 2. Gambarlah sebuah lingkaran, buatlah diameter tegak lurus, dan bagilah setiap jari-jari menjadi beberapa bagian. Kami menghubungkan titik-titik dengan segmen sesuai dengan algoritma sebelumnya.

Solusi 3. Setelah menguasai teknik optimal membagi lingkaran menjadi 6 bagian, kami membuat astroid bintang 6.

Solusi 4. Pembangunan astroid bintang 8 dilakukan dengan membuat garis-bagi sudut siku-siku.

Kardioid

Larutan. Untuk membuat cardioid, alasnya akan berupa lingkaran. Cardioid dibangun sesuai dengan rencana berikut:

:: menggambar lingkaran dan membaginya menjadi 36 bagian (masing-masing 10 derajat);

:: memberi nomor pada titik terluar dari 1 sampai 36 berlawanan arah jarum jam;

:: titik-titik dalam diberi nomor sesuai diagram 1;

:: titik-titik terhubung dengan nomor internal dan eksternal yang sama;

:: amplopnya akan menjadi cardioid.

Skema 1 Skema 2

IV. Kreativitas kita.

Setelah menguasai teknik dasar desain dan modeling di >, kami mencoba mewujudkan diri sebagai desainer dan seniman. Kami telah mengembangkan dan mempraktekkan karya-karya berikut:

Kesimpulan, kesimpulan

>,” kata Aristoteles 2500 tahun yang lalu. Sukhomlinsky kontemporer kita percaya bahwa >. Dan matematika adalah mata pelajaran kejutan yang luar biasa.

Setelah mempelajari materi yang tersedia secara mendalam, kami berkenalan dengan metode baru dalam membuat kurva - sulaman matematis, menggunakan teknik yang sudah dikenal untuk membuat bangun geometri (membangun sudut, membagi segmen menjadi bagian yang sama, menghubungkan titik-titik dalam urutan tertentu, membagi a lingkari menjadi bagian yang sama pada program >). Kami menemukan kesamaan yang luar biasa antara sulaman matematis dan jenis seni dekoratif dan terapan yang sudah lama dikenal - isothread.

Ada banyak foto sulaman isothread di Internet dan literatur khusus, tetapi tidak ada diagram yang menyertainya. Kami sampai pada kesimpulan bahwa sulaman matematis adalah proses kreatif. Mengetahui dasar-dasar pemodelan matematika, yang dituangkan dalam karya kami, dengan menggunakan pemikiran kreatif, logika, dan kesabaran, Anda dapat membuat seni terapan individu.

Sulaman matematika tidak hanya menarik minat kami, tetapi juga banyak siswa sekolah (baik perempuan maupun laki-laki). Kami percaya bahwa teknologi informasi modern akan memungkinkan penggabungan matematika dan seni.

Kurva atau garis adalah konsep geometri yang didefinisikan secara berbeda pada bagian yang berbeda.

KURVA (garis), jejak yang ditinggalkan oleh suatu titik atau benda yang bergerak. Biasanya kurva direpresentasikan hanya sebagai garis lengkung mulus, seperti parabola atau lingkaran. Namun konsep matematika tentang kurva mencakup garis lurus dan bangun-bangun yang terdiri dari segmen-segmen lurus, misalnya segitiga atau persegi.

Kurva dapat dibagi menjadi bidang dan spasial. Kurva bidang, seperti parabola atau garis lurus, dibentuk oleh perpotongan dua bidang atau bidang dan sebuah benda sehingga seluruhnya terletak pada satu bidang. Kurva spasial, misalnya heliks yang berbentuk pegas heliks, tidak dapat diperoleh sebagai perpotongan suatu permukaan atau benda dengan suatu bidang, dan tidak terletak pada bidang yang sama. Kurva juga dapat dibagi menjadi tertutup dan terbuka. Kurva tertutup, seperti persegi atau lingkaran, tidak memiliki ujung, mis. titik bergerak yang menghasilkan kurva seperti itu secara berkala mengulangi jalurnya.

Kurva adalah tempat kedudukan, atau himpunan, titik-titik yang memenuhi suatu kondisi atau persamaan matematika.

Misalnya, lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik pada suatu bidang yang berjarak sama terhadap suatu titik tertentu. Kurva yang ditentukan oleh persamaan aljabar disebut kurva aljabar.

Misalnya, persamaan garis lurus y = mx + b, dengan m adalah kemiringan dan b adalah ruas yang dipotong pada sumbu y, adalah persamaan aljabar.

Kurva yang persamaannya mengandung fungsi transendental, seperti fungsi logaritma atau trigonometri, disebut kurva transendental.

Misalnya, y = log x dan y = tan x adalah persamaan kurva transendental.

Bentuk kurva aljabar dapat ditentukan oleh derajat persamaannya, yang bertepatan dengan derajat tertinggi suku-suku persamaan tersebut.

Jika persamaannya berderajat satu, misalnya Ax + By + C = 0, maka kurva tersebut berbentuk garis lurus.

Jika persamaan derajat kedua, misalnya,

Kapak 2 + Oleh + C = 0 atau Kapak 2 + Oleh 2 + C = 0, maka kurva tersebut berbentuk kuadrat, yaitu mewakili salah satu bagian berbentuk kerucut; Kurva tersebut antara lain parabola, hiperbola, elips, dan lingkaran.

Mari kita daftar bentuk umum persamaan bagian kerucut:

x 2 + y 2 = r 2 - lingkaran,

x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1 - elips,

y = kapak 2 - parabola,

x 2 /a 2 – kamu 2 /b 2 = 1 - hiperbola.

Kurva yang sesuai dengan persamaan ketiga, keempat, kelima, keenam, dst. derajat disebut kurva ketiga, keempat, kelima, keenam, dst. memesan. Secara umum, semakin tinggi derajat persamaannya, semakin banyak tikungan yang dimiliki kurva terbukanya.

Banyak kurva kompleks mendapat nama khusus.

Sikloid adalah kurva bidang yang digambarkan oleh suatu titik tetap pada lingkaran yang menggelinding sepanjang garis lurus yang disebut generator sikloid; sebuah sikloid terdiri dari serangkaian busur berulang.

Episikloid adalah kurva bidang yang digambarkan oleh suatu titik tetap pada sebuah lingkaran yang menggelinding pada lingkaran tetap lain di luarnya.

Hiposikloid adalah kurva bidang yang digambarkan oleh suatu titik tetap pada lingkaran yang menggelinding dari dalam sepanjang lingkaran tetap.

Spiral adalah kurva datar yang berputar, bergantian, dari suatu titik tetap (atau melingkari titik tersebut).

Matematikawan telah mempelajari sifat-sifat kurva sejak zaman kuno, dan banyak nama kurva yang tidak biasa dikaitkan dengan nama orang yang pertama kali mempelajarinya. Ini misalnya spiral Archimedes, ikal Agnesi, cissoid Diocles, cochoid Nicomedes, dan lemniscate Bernoulli.

Dalam kerangka geometri dasar, konsep kurva tidak mendapat rumusan yang jelas dan kadang-kadang didefinisikan sebagai “panjang tanpa lebar” atau sebagai “batas suatu bangun”. Intinya, dalam geometri dasar, studi tentang kurva direduksi menjadi pertimbangan contoh (, , , dan sebagainya.). Karena kurangnya metode umum, geometri dasar merambah cukup dalam ke dalam studi tentang sifat-sifat kurva tertentu (, beberapadan juga), menggunakan teknik khusus dalam setiap kasus.

Paling sering, kurva didefinisikan sebagai pemetaan berkelanjutan dari suatu segmen ke:

Pada saat yang sama, kurvanya mungkin berbeda, meskipun sebenarnya berbedasesuai. Kurva seperti ini disebutkurva berparameteratau jika[ A , B ] = , cara.

Kadang-kadang kurva ditentukan hingga , yaitu hingga hubungan kesetaraan minimum sehingga kurva parametrik

setara jika ada kontinu (terkadang tidak menurun) H dari segmen [ A 1 ,B 1 ] per segmen [ A 2 ,B 2 ], sedemikian rupa

Kurva yang didefinisikan oleh hubungan ini disebut kurva sederhana.

Definisi analitis

Dalam mata kuliah geometri analitik terbukti bahwa di antara garis-garis yang ditulis dalam koordinat persegi panjang kartesius (atau bahkan affine umum) dengan persamaan umum derajat kedua

Kapak 2 + 2Bxy + Cy 2 + 2Dx + 2Ey + F = 0

(di mana setidaknya salah satu koefisien A, B, C berbeda dari nol) hanya ditemukan delapan jenis garis berikut:

a) elips;

b) hiperbola;

c) parabola (kurva tak merosot orde kedua);

d) sepasang garis berpotongan;

e) sepasang garis sejajar;

f) sepasang garis yang berhimpitan (satu garis lurus);

g) satu titik (garis degenerasi orde kedua);

h) sebuah “garis” yang tidak mengandung titik sama sekali.

Sebaliknya, setiap garis dari masing-masing delapan jenis yang ditunjukkan ditulis dalam koordinat persegi panjang Cartesian dengan persamaan orde kedua. (Dalam mata kuliah geometri analitik mereka biasanya membicarakan tentang sembilan (bukan delapan) jenis bagian kerucut, karena mereka membedakan antara "elips imajiner" dan "sepasang garis sejajar imajiner" - secara geometris "garis" ini sama, karena keduanya sama. tidak mengandung satu titik pun, tetapi secara analitis ditulis dengan persamaan yang berbeda.) Oleh karena itu, penampang kerucut (degenerasi dan non-degenerasi) juga dapat didefinisikan sebagai garis orde kedua.

DI DALAMkurva pada suatu bidang didefinisikan sebagai himpunan titik-titik yang koordinatnya memenuhi persamaanF ( X , kamu ) = 0 . Pada saat yang sama, untuk fungsinyaF pembatasan diberlakukan yang menjamin bahwa persamaan ini mempunyai solusi divergen yang jumlahnya tak terhingga dan

rangkaian solusi ini tidak memenuhi “bagian dari bidang”.

Kurva aljabar

Kelas kurva yang penting adalah kurva yang mempunyai fungsiF ( X , kamu ) Adadari dua variabel. Dalam hal ini, kurva ditentukan oleh persamaanF ( X , kamu ) = 0 , ditelepon.

Kurva aljabar yang ditentukan oleh persamaan derajat 1 adalah .

Persamaan derajat 2, yang memiliki jumlah solusi tak terhingga, menentukan , yaitu degenerasi dan non-degenerasi.

Contoh kurva yang ditentukan oleh persamaan derajat 3: , .

Contoh kurva derajat 4 : dan.

Contoh kurva derajat 6 : .

Contoh kurva yang ditentukan oleh persamaan derajat genap: (multifokal).

Kurva aljabar yang ditentukan oleh persamaan derajat yang lebih tinggi dibahas dalam. Pada saat yang sama, teori mereka menjadi lebih harmonis jika pertimbangannya terus dilakukan. Dalam hal ini, kurva aljabar ditentukan oleh persamaan bentuk

F ( z 1 , z 2 , z 3 ) = 0 ,

Di mana F- polinomial tiga variabel yang berupa titik.

Jenis kurva

Kurva bidang adalah kurva yang semua titiknya terletak pada bidang yang sama.

(garis sederhana atau busur Jordan, juga kontur) - sekumpulan titik pada suatu bidang atau ruang yang berada dalam korespondensi satu-satu dan saling berkesinambungan dengan segmen garis.

Jalurnya adalah segmen di .

kurva analitik yang tidak aljabar. Lebih tepatnya, kurva yang dapat didefinisikan melalui garis level suatu fungsi analitik (atau, dalam kasus multidimensi, sistem fungsi).

Gelombang sinus,

Sikloid,

spiral Archimedes,

Traktor,

garis rantai,

Spiral hiperbolik, dll.

1. Metode untuk mendefinisikan kurva:

analitis – kurva diberikan oleh persamaan matematika;

grafik – kurva ditentukan secara visual pada pembawa informasi grafis;

tabular – kurva ditentukan oleh koordinat serangkaian titik yang berurutan.

parametrik (cara paling umum untuk menentukan persamaan kurva):

Di mana - fungsi parameter halusT, Dan

(X") 2 + (kamu") 2 + (z") 2 > 0 (kondisi keteraturan).

Seringkali lebih mudah untuk menggunakan representasi persamaan kurva yang invarian dan kompak menggunakan:

dimana di sisi kiri terdapat titik-titik kurva, dan di sisi kanan menentukan ketergantungannya pada beberapa parameter T. Memperluas entri ini dalam koordinat, kita memperoleh rumus (1).

1. Sikloid.

Sejarah studi tentang cycloid dikaitkan dengan nama-nama ilmuwan, filsuf, matematikawan dan fisikawan besar seperti Aristoteles, Ptolemy, Galileo, Huygens, Torricelli dan lain-lain.

Sikloid(dariκυκλοειδής - bulat) -, yang dapat didefinisikan sebagai lintasan suatu titik yang terletak pada batas lingkaran yang menggelinding tanpa meluncur pada garis lurus. Lingkaran ini disebut pembangkitan.

Salah satu metode pembentukan kurva tertua adalah metode kinematik, dimana kurva diperoleh sebagai lintasan suatu titik. Kurva yang diperoleh sebagai lintasan suatu titik yang terpaku pada lingkaran, menggelinding tanpa meluncur sepanjang garis lurus, sepanjang lingkaran atau kurva lain, disebut sikloidal, yang dalam bahasa Yunani berarti lingkaran, mengingatkan pada lingkaran.

Pertama-tama mari kita perhatikan kasus ketika sebuah lingkaran menggelinding sepanjang garis lurus. Kurva yang digambarkan oleh suatu titik yang terletak pada lingkaran yang menggelinding tanpa meluncur pada garis lurus disebut sikloid.

Misalkan sebuah lingkaran berjari-jari R menggelinding sepanjang garis lurus a. C adalah suatu titik yang terpaku pada lingkaran, pada momen waktu awal terletak pada posisi A (Gbr. 1). Mari kita plot pada garis a sebuah ruas AB sama dengan panjang lingkaran, yaitu. AB = 2 π R. Bagilah ruas ini menjadi 8 bagian yang sama dengan titik A1, A2, ..., A8 = B.

Jelaslah bahwa ketika sebuah lingkaran menggelinding sepanjang garis lurus a, membuat satu putaran, yaitu. berputar 360, maka akan mengambil posisi (8), dan titik C akan berpindah dari posisi A ke posisi B.

Jika lingkaran membuat setengah putaran penuh, mis. ternyata 180, maka akan menempati posisi (4), dan titik C akan berpindah ke posisi tertinggi C4.

Jika lingkaran berputar membentuk sudut 45, maka lingkaran akan berpindah ke posisi (1), dan titik C akan berpindah ke posisi C1.

Gambar 1 juga menunjukkan titik-titik lain dari sikloid yang bersesuaian dengan sisa sudut rotasi lingkaran, kelipatan 45.

Dengan menghubungkan titik-titik yang dibangun dengan kurva halus, kita memperoleh bagian sikloid yang sesuai dengan satu putaran penuh lingkaran. Pada putaran berikutnya akan diperoleh bagian yang sama, yaitu. Sikloid akan terdiri dari bagian yang berulang secara berkala yang disebut lengkungan sikloid.

Mari kita perhatikan posisi garis singgung sikloid (Gbr. 2). Jika seorang pengendara sepeda berkendara di jalan basah, maka tetesan air yang keluar dari roda akan terbang secara tangensial ke cycloid dan, jika tidak ada pelindung, dapat memercik ke punggung pengendara sepeda.

Orang pertama yang mempelajari sikloid adalah Galileo Galilei (1564 – 1642). Dia juga menemukan namanya.

Sifat-sifat sikloid:

Cycloid memiliki sejumlah sifat yang luar biasa. Mari sebutkan beberapa di antaranya.

Properti 1. (Gunung es.) Pada tahun 1696, I. Bernoulli mengajukan masalah dalam menemukan kurva penurunan paling curam, atau, dengan kata lain, masalah bagaimana bentuk seluncuran es agar dapat menggelinding ke bawah untuk melakukan perjalanan. dari titik awal A sampai titik akhir B dalam waktu yang paling singkat (Gbr. 3, a). Kurva yang diinginkan disebut “brachistochrone”, yaitu. kurva waktu terpendek.

Jelas bahwa jalur terpendek dari titik A ke titik B adalah ruas AB. Namun, dengan gerakan bujursangkar seperti itu, kecepatan bertambah lambat dan waktu yang dihabiskan untuk turun menjadi besar (Gbr. 3, b).

Semakin curam turunannya, semakin cepat pula kecepatannya meningkat. Namun, dengan turunan yang curam, jalur di sepanjang kurva akan memanjang sehingga menambah waktu yang dibutuhkan untuk menyelesaikannya.

Di antara ahli matematika yang memecahkan masalah ini adalah: G. Leibniz, I. Newton, G. L'Hopital dan J. Bernoulli. Mereka membuktikan bahwa kurva yang diinginkan adalah sikloid terbalik (Gbr. 3, a). Metode yang dikembangkan oleh para ilmuwan ini dalam memecahkan masalah brachistochrone meletakkan dasar bagi arah baru dalam matematika - kalkulus variasi.

Properti 2. (Jam dengan bandul.) Jam dengan bandul biasa tidak dapat berjalan dengan akurat, karena periode osilasi bandul bergantung pada amplitudonya: semakin besar amplitudo, semakin besar periodenya. Ilmuwan Belanda Christiaan Huygens (1629 – 1695) bertanya-tanya seperti apa kurva yang harus diikuti bola pada tali pendulum agar periode osilasinya tidak bergantung pada amplitudo. Perhatikan bahwa pada pendulum biasa, kurva yang dilalui bola adalah lingkaran (Gbr. 4).

Kurva yang kami cari ternyata merupakan sikloid terbalik. Jika, misalnya, parit dibuat berbentuk sikloid terbalik dan sebuah bola diluncurkan di sepanjang parit tersebut, maka periode gerak bola di bawah pengaruh gravitasi tidak akan bergantung pada posisi awal dan amplitudonya (Gbr. 5 ). Untuk sifat ini, sikloid juga disebut "tautokron" - kurva dengan waktu yang sama.

Huygens membuat dua papan kayu dengan tepi berbentuk sikloid, membatasi pergerakan benang ke kiri dan kanan (Gbr. 6). Dalam hal ini, bola itu sendiri akan bergerak sepanjang sikloid terbalik dan, dengan demikian, periode osilasinya tidak akan bergantung pada amplitudo.

Dari sifat sikloid ini, khususnya, dapat disimpulkan bahwa tidak peduli dari tempat mana kita mulai turun di seluncuran es berbentuk sikloid terbalik, kita akan menghabiskan waktu yang sama sampai ke titik akhir.

Persamaan sikloid

1. Lebih mudah untuk menulis persamaan sikloid dalam bentuk α - sudut rotasi lingkaran, dinyatakan dalam radian, perhatikan bahwa α juga sama dengan jalur yang dilalui oleh lingkaran pembangkit dalam garis lurus.

x=rα– R dosa α

kamu=r – r karena α

2. Mari kita ambil sumbu koordinat horizontal sebagai garis lurus yang dilalui oleh lingkaran pembangkit berjari-jari R.

Sikloid dijelaskan dengan persamaan parametrik

X = rt – R dosa T,

kamu = R – R karena T.

Persamaan dalam:

Sikloid dapat diperoleh dengan menyelesaikan persamaan diferensial:

Dari kisah sikloid

Ilmuwan pertama yang memperhatikan sikloidV, tetapi penelitian serius terhadap kurva ini baru dimulai pada tahun.

Orang pertama yang mempelajari cycloid adalah Galileo Galilei (1564-1642), astronom, fisikawan, dan pendidik terkenal Italia. Ia juga mencetuskan nama “cycloid”, yang berarti “mengingatkan pada sebuah lingkaran”. Galileo sendiri tidak menulis apapun tentang cycloid, namun karyanya ke arah ini disebutkan oleh murid dan pengikut Galileo: Viviani, Toricelli dan lain-lain. Toricelli, seorang fisikawan terkenal dan penemu barometer, mencurahkan banyak waktunya untuk matematika. Pada masa Renaisans, tidak ada ilmuwan spesialis yang sempit. Seorang pria berbakat mempelajari filsafat, fisika, dan matematika, dan di mana pun ia menerima hasil yang menarik dan membuat penemuan-penemuan besar. Sedikit lebih lambat dari orang Italia, orang Prancis mulai menggunakan cycloid, menyebutnya "roulette" atau "trochoid". Pada tahun 1634, Roberval - penemu sistem timbangan yang terkenal - menghitung luas yang dibatasi oleh lengkungan sikloid dan alasnya. Sebuah studi substansial tentang sikloid dilakukan oleh orang sezaman dengan Galileo. Diantaranya adalah kurva-kurva yang persamaannya tidak dapat dituliskan dalam bentuk X , kamu, sikloid adalah yang pertama dipelajari.

Menulis tentang sikloid:

Roulette adalah suatu garis yang sangat umum sehingga setelah garis lurus dan lingkaran tidak ada garis yang lebih sering dijumpai; Hal ini begitu sering digambarkan di depan mata semua orang sehingga orang pasti terkejut bahwa orang-orang zaman dahulu tidak mempertimbangkannya... karena hal ini tidak lebih dari sebuah jalan yang dijelaskan di udara oleh paku roda.

Kurva baru dengan cepat mendapatkan popularitas dan menjadi sasaran analisis mendalam, termasuk, , Newton,, Bernoulli bersaudara dan tokoh-tokoh ilmu pengetahuan lainnya pada abad ke-17-18. Di cycloid, metode yang muncul pada tahun-tahun itu diasah secara aktif. Fakta bahwa studi analitis sikloid ternyata sama suksesnya dengan analisis kurva aljabar memberikan kesan yang luar biasa dan menjadi argumen penting yang mendukung “persamaan hak” kurva aljabar dan transendental. Episikloid

Beberapa jenis sikloid

Episikloid - lintasan titik A, terletak pada lingkaran berdiameter D, yang menggelinding tanpa meluncur sepanjang lingkaran pemandu berjari-jari R (kontak luar).

Konstruksi episikloid dilakukan dengan urutan sebagai berikut:

Dari pusat 0, gambarlah busur bantu dengan radius sama dengan 000=R+r;

Dari titik 01, 02, ...012, mulai dari pusat, gambarlah lingkaran berjari-jari r hingga berpotongan dengan busur bantu di titik A1, A2, ... A12 yang termasuk dalam episikloid.

hiposikloid

Hiposikloid adalah lintasan titik A yang terletak pada lingkaran berdiameter D, yang menggelinding tanpa meluncur sepanjang lingkaran pemandu berjari-jari R (singgung internal).

Konstruksi hiposikloid dilakukan dengan urutan sebagai berikut:

Lingkaran pembangkit berjari-jari r dan lingkaran pengarah berjari-jari R digambar sedemikian rupa sehingga bersinggungan di titik A;

Lingkaran pembangkit dibagi menjadi 12 bagian yang sama, diperoleh titik 1, 2, ... 12;

Dari pusat 0, gambarlah busur bantu dengan radius sama dengan 000=R-r;

Sudut pusat a ditentukan dengan rumus a =360r/R.

Bagilah busur lingkaran pemandu yang dibatasi oleh sudut a menjadi 12 bagian yang sama besar, sehingga diperoleh titik 11, 21, ...121;

Dari pusat 0 ditarik garis lurus melalui titik 11, 21, ...121 sampai berpotongan dengan busur bantu di titik 01, 02, ...012;

Dari pusat 0, busur bantu ditarik melalui titik pembagian 1, 2, ... 12 dari lingkaran pembangkit;

Dari titik 01, 02, ...012, mulai dari pusat, gambarlah lingkaran berjari-jari r hingga berpotongan dengan busur bantu di titik A1, A2, ... A12 yang termasuk dalam hiposikloid.

1. Kardioid.

Kardioid ( καρδία - jantung, Cardioid adalah kasus khusus.Istilah "cardioid" diperkenalkan oleh Castillon pada tahun 1741.

Jika kita mengambil sebuah lingkaran dan sebuah titik di atasnya sebagai tiang, maka kita mendapatkan cardioid hanya jika kita memplot segmen-segmen yang sama dengan diameter lingkaran. Untuk segmen yang diendapkan dengan ukuran lain, conchoids akan memanjang atau memendek cardioid. Kardioid yang memanjang dan memendek ini disebut koklea Pascal.

Cardioid memiliki berbagai aplikasi dalam teknologi. Bentuk cardioid digunakan untuk membuat eksentrik dan Cams untuk mobil. Kadang-kadang digunakan saat menggambar roda gigi. Selain itu, digunakan dalam teknologi optik.

Sifat cardioid

Kardioid -B M pada lingkaran yang bergerak akan menggambarkan lintasan yang tertutup. Kurva datar ini disebut cardioid.

2) Cardioid dapat diperoleh dengan cara lain. Tandai satu titik pada lingkaran TENTANG dan mari kita menggambar balok darinya. Jika dari titik A perpotongan sinar ini dengan lingkaran, gambarlah sebuah segmen SAYA, panjangnya sama dengan diameter lingkaran, dan sinarnya berputar mengelilingi suatu titik TENTANG, lalu tunjuk M akan bergerak sepanjang cardioid.

3) Kardioid juga dapat direpresentasikan sebagai kurva yang bersinggungan dengan semua lingkaran yang berpusat pada lingkaran tertentu dan melalui titik tetapnya. Ketika beberapa lingkaran dibangun, cardioid tampak seolah-olah dibangun dengan sendirinya.

4) Ada juga cara yang sama elegan dan tak terduga untuk melihat cardioid. Pada gambar Anda dapat melihat sumber cahaya titik pada sebuah lingkaran. Setelah sinar cahaya dipantulkan untuk pertama kalinya dari lingkaran, sinar tersebut bergerak bersinggungan dengan cardioid. Bayangkan sekarang lingkaran itu adalah tepi cangkir; bola lampu terang dipantulkan pada satu titik. Kopi hitam dituangkan ke dalam cangkir, memungkinkan Anda melihat pantulan sinar terang. Akibatnya, cardioid disorot oleh sinar cahaya.

1. Astroid.

Astroid (dari bahasa Yunani astron - bintang dan eidos - pemandangan), kurva datar yang digambarkan oleh sebuah titik pada lingkaran yang menyentuh dari dalam lingkaran tetap berjari-jari empat kali dan menggelinding sepanjang lingkaran tersebut tanpa tergelincir. Milik hiposikloid. Astroid adalah kurva aljabar orde ke-6.

Astroid.

Panjang seluruh astroid sama dengan enam jari-jari lingkaran tetap, dan luas yang dibatasi olehnya adalah tiga per delapan lingkaran tetap.

Ruas garis singgung astroid, yang terletak di antara dua jari-jari lingkaran tetap yang saling tegak lurus yang ditarik di ujung astroid, sama dengan jari-jari lingkaran tetap, tidak peduli bagaimana titik tersebut dipilih.

Sifat-sifat astroid

Ada empatkaspa .

Panjang busur dari titik 0 ke amplop

kelompok segmen dengan panjang konstan, yang ujung-ujungnya terletak pada dua garis yang saling tegak lurus.

Astroid berada di urutan ke-6.

Persamaan Astroid

Persamaan koordinat persegi panjang kartesius:| x | 2/3+| kamu | 2/3 = R 2/3persamaan parametrik:x = Rcos 3 t y = Rsin 3 t

Metode untuk membangun asteroid

Kita menggambar dua garis lurus yang saling tegak lurus dan menggambar serangkaian segmen yang panjangnyaR , yang ujungnya terletak pada garis-garis ini. Gambar tersebut menunjukkan 12 segmen tersebut (termasuk segmen garis lurus yang saling tegak lurus itu sendiri). Semakin banyak segmen yang kita gambar, semakin akurat kita mendapatkan kurvanya. Sekarang mari kita membuat selubung dari semua segmen ini. Amplop ini akan menjadi astronot.

1. Kesimpulan

Karya ini memberikan contoh masalah dengan berbagai jenis kurva, ditentukan oleh persamaan berbeda atau memenuhi beberapa kondisi matematika. Khususnya, kurva sikloidal, metode penentuannya, berbagai metode konstruksi, sifat-sifat kurva tersebut.

Sifat kurva sikloidal sangat sering digunakan dalam mekanika roda gigi, yang secara signifikan meningkatkan kekuatan bagian-bagian dalam mekanisme.