Biarkan sistem diberikan, 0. (satu)
Metode Gauss adalah metode eliminasi berturut-turut dari yang tidak diketahui.

Inti dari metode Gauss adalah mengubah (1) ke sistem dengan matriks segitiga , dari mana nilai-nilai semua yang tidak diketahui kemudian diperoleh secara berurutan (terbalik). Mari kita pertimbangkan salah satu skema komputasi. Sirkuit ini disebut sirkuit divisi tunggal. Jadi mari kita lihat diagram ini. Biarkan 11 0 (elemen utama) dibagi dengan 11 persamaan pertama. Mendapatkan
(2)
Dengan menggunakan persamaan (2), mudah untuk mengecualikan x 1 yang tidak diketahui dari persamaan sistem yang tersisa (untuk ini, cukup dengan mengurangi persamaan (2) dari setiap persamaan yang sebelumnya dikalikan dengan koefisien yang sesuai pada x 1), yang adalah, pada langkah pertama kita memperoleh
.
Dengan kata lain, pada langkah 1, setiap elemen dari baris berikutnya, mulai dari yang kedua, sama dengan perbedaan antara elemen asli dan produk dari "proyeksi" pada kolom pertama dan baris pertama (yang diubah).
Setelah itu, meninggalkan persamaan pertama saja, selama sisa persamaan sistem yang diperoleh pada langkah pertama, kami akan melakukan transformasi serupa: kami memilih di antara mereka persamaan dengan elemen utama dan menggunakannya untuk mengecualikan x 2 dari persamaan yang tersisa (langkah 2).
Setelah n langkah, alih-alih (1) kita mendapatkan sistem yang setara
(3)
Jadi, pada tahap pertama, kita akan mendapatkan sistem segitiga (3). Langkah ini disebut maju.
Pada tahap kedua (gerakan mundur) kita mencari secara berurutan dari (3) nilai x n , x n -1 , …, x 1 .
Mari kita nyatakan solusi yang diperoleh sebagai x 0 . Maka selisih =b-A x 0 disebut sisa.
Jika =0, ​​maka solusi yang ditemukan x 0 benar.

Perhitungan dengan metode Gauss dilakukan dalam dua tahap:

1. Tahap pertama disebut direct course of the method. Pada tahap pertama, sistem asli diubah menjadi bentuk segitiga.
2. Tahap kedua disebut sebaliknya. Pada tahap kedua, sistem segitiga yang setara dengan yang asli diselesaikan.

Koefisien a 11 , a 22 , ..., disebut elemen utama.
Pada setiap langkah, diasumsikan bahwa elemen utama berbeda dari nol. Jika ini tidak terjadi, maka elemen lain dapat digunakan sebagai pemimpin, seolah-olah mengatur ulang persamaan sistem.

Tujuan dari metode Gauss

Metode Gauss ditujukan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear. Mengacu pada metode langsung solusi.

Jenis metode Gauss

1. metode Gauss Klasik;
2. Modifikasi metode Gauss. Salah satu modifikasi metode Gaussian adalah rangkaian dengan pemilihan elemen utama. Ciri metode Gauss dengan pemilihan elemen utama adalah permutasi persamaan sedemikian rupa sehingga pada langkah ke-k elemen terdepan adalah elemen terbesar pada kolom ke-k.
3. metode Jordan-Gauss;

Perbedaan antara metode Jordan-Gauss dan yang klasik Metode Gauss Terdiri dari penerapan aturan persegi panjang ketika arah pencarian solusi sepanjang diagonal utama (transformasi ke matriks identitas). Pada metode Gauss, arah pencarian solusi terjadi di sepanjang kolom (transformasi menjadi sistem dengan matriks segitiga).
Jelaskan perbedaannya Metode Jordan-Gauss dari metode Gauss pada contoh.

Contoh solusi Gauss
Mari kita selesaikan sistemnya:

Untuk kenyamanan perhitungan, kami menukar baris:

Kalikan baris ke-2 dengan (2). Tambahkan baris ke-3 ke baris ke-2

Kalikan baris ke-2 dengan (-1). Tambahkan baris ke-2 ke baris pertama

Dari baris ke-1 kita nyatakan x 3:
Dari baris ke-2 kita nyatakan x 2:
Dari baris ke-3 kita nyatakan x 1:

Contoh penyelesaian dengan metode Jordan-Gauss
Kami akan menyelesaikan SLAE yang sama menggunakan metode Jordano-Gauss.

Kami akan secara berurutan memilih elemen penyelesaian RE, yang terletak pada diagonal utama matriks.
Elemen yang memungkinkan sama dengan (1).



NE \u003d SE - (A * B) / RE
RE - elemen pemungkin (1), A dan B - elemen matriks yang membentuk persegi panjang dengan elemen STE dan RE.
Mari kita sajikan perhitungan setiap elemen dalam bentuk tabel:

x 1	x2	x 3	B
1 / 1 = 1	2 / 1 = 2	-2 / 1 = -2	1 / 1 = 1

Elemen yang memungkinkan sama dengan (3).
Di tempat elemen penyelesaian, kami mendapatkan 1, dan di kolom itu sendiri kami menulis nol.
Semua elemen matriks lainnya, termasuk elemen kolom B, ditentukan oleh aturan persegi panjang.
Untuk melakukan ini, pilih empat angka yang terletak di simpul persegi panjang dan selalu sertakan elemen pengaktifan RE.

x 1	x2	x 3	B
0 / 3 = 0	3 / 3 = 1	1 / 3 = 0.33	4 / 3 = 1.33

Elemen yang memungkinkan adalah (-4).
Di tempat elemen penyelesaian, kami mendapatkan 1, dan di kolom itu sendiri kami menulis nol.
Semua elemen matriks lainnya, termasuk elemen kolom B, ditentukan oleh aturan persegi panjang.
Untuk melakukan ini, pilih empat angka yang terletak di simpul persegi panjang dan selalu sertakan elemen pengaktifan RE.
Mari kita sajikan perhitungan setiap elemen dalam bentuk tabel:

x 1	x2	x 3	B
0 / -4 = 0	0 / -4 = 0	-4 / -4 = 1	-4 / -4 = 1

Menjawab: x 1 = 1, x 2 = 1, x 3 = 1

Implementasi metode Gauss

Metode Gauss diimplementasikan dalam banyak bahasa pemrograman, khususnya: Pascal, C++, php, Delphi, dan ada juga implementasi online metode Gauss.

Menggunakan metode Gauss

Penerapan metode Gauss dalam teori permainan

Dalam teori permainan, ketika menemukan strategi optimal maximin seorang pemain, sebuah sistem persamaan dikompilasi, yang diselesaikan dengan metode Gauss.

Penerapan metode Gauss dalam menyelesaikan persamaan diferensial

Untuk mencari solusi khusus persamaan diferensial, pertama-tama cari turunan dari derajat yang sesuai untuk solusi khusus tertulis (y=f(A,B,C,D)), yang disubstitusikan ke persamaan aslinya. Selanjutnya, untuk menemukan variabel A, B, C, D, sistem persamaan disusun, yang diselesaikan dengan metode Gauss.

Penerapan metode Jordan-Gauss dalam pemrograman linier

Dalam pemrograman linier, khususnya pada metode simpleks, untuk mentransformasikan tabel simpleks pada setiap iterasi, digunakan aturan persegi panjang yang menggunakan metode Jordan-Gauss.

Biarkan sistem persamaan aljabar linier diberikan, yang harus diselesaikan (temukan nilai-nilai yang tidak diketahui i yang mengubah setiap persamaan sistem menjadi persamaan).

Kita tahu bahwa sistem persamaan aljabar linier dapat:

1) Tidak memiliki solusi (menjadi tidak cocok).
2) Memiliki banyak solusi.
3) Memiliki solusi yang unik.

Seperti yang kita ingat, aturan Cramer dan metode matriks tidak cocok dalam kasus di mana sistem memiliki banyak solusi atau tidak konsisten. Metode Gauss – alat yang paling kuat dan serbaguna untuk menemukan solusi untuk setiap sistem persamaan linier, yang dalam setiap kasus membawa kita ke jawabannya! Algoritma metode dalam ketiga kasus bekerja dengan cara yang sama. Jika metode Cramer dan matriks memerlukan pengetahuan tentang determinan, maka penerapan metode Gauss hanya membutuhkan pengetahuan tentang operasi aritmatika, yang membuatnya dapat diakses bahkan oleh anak sekolah. sekolah dasar.

Transformasi matriks yang diperluas ( ini adalah matriks sistem - matriks yang hanya terdiri dari koefisien yang tidak diketahui, ditambah kolom istilah bebas) sistem persamaan aljabar linier dalam metode Gauss:

1) dengan troky matriks bisa mengatur kembali tempat.

2) jika ada (atau adalah) baris proporsional (sebagai kasus khusus - identik) dalam matriks, maka berikut: menghapus dari matriks, semua baris ini kecuali satu.

3) jika baris nol muncul dalam matriks selama transformasi, maka itu juga mengikuti menghapus.

4) baris matriks dapat mengalikan (membagi) ke nomor apa pun selain nol.

5) ke baris matriks, Anda dapat tambahkan string lain dikalikan dengan angka, berbeda dari nol.

Dalam metode Gauss, transformasi elementer tidak mengubah solusi sistem persamaan.

Metode Gauss terdiri dari dua tahap:

1. "Langkah langsung" - menggunakan transformasi dasar, bawa matriks yang diperluas dari sistem persamaan aljabar linier ke bentuk langkah "segitiga": elemen-elemen dari matriks yang diperluas yang terletak di bawah diagonal utama sama dengan nol (gerakan dari atas ke bawah ). Misalnya, untuk jenis ini:

Untuk melakukannya, lakukan langkah-langkah berikut:

1) Mari kita perhatikan persamaan pertama dari sistem persamaan aljabar linier dan koefisien pada x 1 sama dengan K. Yang kedua, ketiga, dst. kami mengubah persamaan sebagai berikut: kami membagi setiap persamaan (koefisien untuk yang tidak diketahui, termasuk suku bebas) dengan koefisien untuk x 1 yang tidak diketahui, yang ada di setiap persamaan, dan dikalikan dengan K. Setelah itu, kurangi persamaan pertama dari persamaan kedua ( koefisien untuk yang tidak diketahui dan suku bebas). Kita mendapatkan di x 1 dalam persamaan kedua koefisien 0. Dari persamaan transformasi ketiga kita kurangi persamaan pertama, jadi sampai semua persamaan, kecuali yang pertama, dengan x 1 yang tidak diketahui tidak akan memiliki koefisien 0.

2) Pindah ke persamaan berikutnya. Biarkan ini menjadi persamaan kedua dan koefisien pada x 2 sama dengan M. Dengan semua persamaan "bawahan", kita lanjutkan seperti yang dijelaskan di atas. Jadi, "di bawah" x 2 yang tidak diketahui dalam semua persamaan akan menjadi nol.

3) Kami meneruskan ke persamaan berikutnya dan seterusnya sampai satu suku bebas terakhir yang tidak diketahui dan diubah tetap.

1. "Gerakan terbalik" dari metode Gauss adalah untuk mendapatkan solusi sistem persamaan aljabar linier (gerakan "bawah ke atas"). Dari persamaan "lebih rendah" terakhir kita mendapatkan satu solusi pertama - x n yang tidak diketahui. Untuk melakukan ini, kami memecahkan persamaan dasar A * x n \u003d B. Dalam contoh di atas, x 3 \u003d 4. Kami mengganti nilai yang ditemukan dalam persamaan "atas" berikutnya dan menyelesaikannya sehubungan dengan yang tidak diketahui berikutnya. Misalnya, x 2 - 4 \u003d 1, mis. x 2 \u003d 5. Dan seterusnya sampai kami menemukan semua yang tidak diketahui.

Contoh.

Kami memecahkan sistem persamaan linier menggunakan metode Gauss, seperti yang disarankan oleh beberapa penulis:

Kami menulis matriks yang diperluas dari sistem dan, menggunakan transformasi dasar, membawanya ke bentuk langkah:

Kami melihat "langkah" kiri atas. Di sana kita harus memiliki unit. Masalahnya adalah tidak ada yang sama sekali di kolom pertama, jadi tidak ada yang bisa diselesaikan dengan mengatur ulang baris. Dalam kasus seperti itu, unit harus diatur menggunakan transformasi dasar. Ini biasanya dapat dilakukan dengan beberapa cara. Mari kita lakukan seperti ini:
1 langkah . Ke baris pertama kita tambahkan baris kedua, dikalikan dengan -1. Artinya, kami secara mental mengalikan baris kedua dengan -1 dan melakukan penambahan baris pertama dan kedua, sedangkan baris kedua tidak berubah.

Sekarang di kiri atas "minus satu", yang sangat cocok untuk kita. Siapa pun yang ingin mendapatkan +1 dapat melakukan tindakan tambahan: kalikan baris pertama dengan -1 (ubah tandanya).

2 langkah . Baris pertama dikalikan 5 ditambahkan ke baris kedua. Baris pertama dikalikan 3 ditambahkan ke baris ketiga.

3 langkah . Baris pertama dikalikan dengan -1, pada prinsipnya, ini untuk kecantikan. Tanda baris ketiga juga diubah dan dipindahkan ke tempat kedua, sehingga pada "langkah kedua, kami memiliki unit yang diinginkan.

4 langkah . Pada baris ketiga, tambahkan baris kedua, dikalikan 2.

5 langkah . Baris ketiga dibagi 3.

Tanda yang menunjukkan kesalahan dalam perhitungan (lebih jarang salah ketik) adalah garis bawah yang "buruk". Artinya, jika kita mendapatkan sesuatu seperti (0 0 11 | 23) di bawah ini, dan, oleh karena itu, 11x 3 = 23, x 3 = 23/11, maka dengan tingkat probabilitas yang tinggi kita dapat mengatakan bahwa kesalahan telah dibuat selama sekolah dasar. transformasi.

Kami melakukan gerakan terbalik, dalam desain contoh, sistem itu sendiri sering tidak ditulis ulang, dan persamaan "diambil langsung dari matriks yang diberikan". Gerakan sebaliknya, saya ingatkan Anda, bekerja "dari bawah ke atas." Dalam contoh ini, hadiahnya ternyata:

x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 - x 3 \u003d 1, oleh karena itu x 1 + 3 - 1 \u003d 1, x 1 \u003d -1

Menjawab:x 1 \u003d -1, x 2 \u003d 3, x 3 \u003d 1.

Mari kita selesaikan sistem yang sama menggunakan algoritma yang diusulkan. Kita mendapatkan

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

Bagi persamaan kedua dengan 5 dan persamaan ketiga dengan 3. Kita peroleh:

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

Kalikan persamaan kedua dan ketiga dengan 4, kita mendapatkan:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

Kurangi persamaan pertama dari persamaan kedua dan ketiga, kita dapatkan:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

Bagi persamaan ketiga dengan 0,64:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

Kalikan persamaan ketiga dengan 0,4

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

Kurangi persamaan kedua dari persamaan ketiga, kita mendapatkan matriks augmented "bertahap":

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

Jadi, karena kesalahan terakumulasi dalam proses perhitungan, kami mendapatkan x 3 \u003d 0,96, atau sekitar 1.

x 2 \u003d 3 dan x 1 \u003d -1.

Memecahkan dengan cara ini, Anda tidak akan pernah bingung dalam perhitungan dan, meskipun ada kesalahan perhitungan, Anda akan mendapatkan hasilnya.

Metode penyelesaian sistem persamaan aljabar linier ini mudah diprogram dan tidak memperhitungkan fitur khusus dari koefisien untuk yang tidak diketahui, karena dalam praktiknya (dalam perhitungan ekonomi dan teknis) kita harus berurusan dengan koefisien non-bilangan bulat.

Semoga Anda beruntung! Sampai jumpa di kelas! Guru Dmitry Aistrakhanov.

situs, dengan penyalinan materi secara penuh atau sebagian, tautan ke sumber diperlukan.

Hari ini kita berurusan dengan metode Gauss untuk memecahkan sistem persamaan aljabar linier. Anda dapat membaca tentang apa sistem ini di artikel sebelumnya yang ditujukan untuk menyelesaikan SLAE yang sama dengan metode Cramer. Metode Gauss tidak memerlukan pengetahuan khusus, hanya perawatan dan konsistensi yang diperlukan. Terlepas dari kenyataan bahwa dari sudut pandang matematika, persiapan sekolah sudah cukup untuk penerapannya, penguasaan metode ini sering menyebabkan kesulitan bagi siswa. Pada artikel ini, kami akan mencoba menguranginya menjadi nol!

Metode Gauss

M Metode Gauss adalah metode paling universal untuk memecahkan SLAE (dengan pengecualian sistem yang sangat besar). Berbeda dengan yang dibahas sebelumnya, ini cocok tidak hanya untuk sistem yang memiliki solusi unik, tetapi juga untuk sistem yang memiliki jumlah solusi tak terbatas. Ada tiga pilihan di sini.

1. Sistem memiliki solusi unik (determinan matriks utama sistem tidak sama dengan nol);
2. Sistem memiliki jumlah solusi yang tak terbatas;
3. Tidak ada solusi, sistem tidak konsisten.

Jadi, kami memiliki sistem (biarkan memiliki satu solusi), dan kami akan menyelesaikannya menggunakan metode Gaussian. Bagaimana itu bekerja?

Metode Gaussian terdiri dari dua tahap - langsung dan terbalik.

Metode Gauss Langsung

Pertama, kita menulis matriks yang diperbesar dari sistem. Untuk melakukan ini, kami menambahkan kolom anggota bebas ke matriks utama.

Inti keseluruhan dari metode Gaussian adalah membawa matriks yang diberikan ke bentuk bertahap (atau, seperti yang mereka katakan, segitiga) melalui transformasi dasar. Dalam bentuk ini, seharusnya hanya ada nol di bawah (atau di atas) diagonal utama matriks.

Apa yang bisa dilakukan:

1. Anda dapat mengatur ulang baris matriks;
2. Jika ada baris yang identik (atau proporsional) dalam matriks, Anda dapat menghapus semua kecuali satu;
3. Anda dapat mengalikan atau membagi string dengan angka apa pun (kecuali nol);
4. Garis nol dihapus;
5. Anda dapat menambahkan string dikalikan dengan angka bukan nol ke string.

Metode Gauss terbalik

Setelah kami mengubah sistem dengan cara ini, satu yang tidak diketahui xn menjadi diketahui, dan adalah mungkin untuk menemukan semua yang tidak diketahui yang tersisa dalam urutan terbalik, dengan mensubstitusikan x yang sudah diketahui ke dalam persamaan sistem, hingga yang pertama.

Saat Internet selalu tersedia, Anda dapat menyelesaikan sistem persamaan menggunakan metode Gauss on line . Yang harus Anda lakukan adalah memasukkan peluang ke dalam kalkulator online. Tetapi Anda harus mengakui, jauh lebih menyenangkan untuk menyadari bahwa contoh itu diselesaikan bukan oleh program komputer, tetapi oleh otak Anda sendiri.

Contoh penyelesaian sistem persamaan menggunakan metode Gauss

Dan sekarang - sebuah contoh, sehingga semuanya menjadi jelas dan dapat dimengerti. Biarkan sistem persamaan linier diberikan, dan itu perlu diselesaikan dengan metode Gauss:

Pertama, mari kita tulis matriks yang diperbesar:

Sekarang mari kita lihat transformasinya. Ingat bahwa kita perlu mencapai bentuk segitiga dari matriks. Kalikan baris pertama dengan (3). Kalikan baris ke-2 dengan (-1). Mari tambahkan baris ke-2 ke baris ke-1 dan dapatkan:

Kemudian kalikan baris ke-3 dengan (-1). Mari tambahkan baris ke-3 ke baris ke-2:

Kalikan baris pertama dengan (6). Kalikan baris ke-2 dengan (13). Mari tambahkan baris ke-2 ke baris ke-1:

Voila - sistem dibawa ke bentuk yang sesuai. Masih menemukan yang tidak diketahui:

Sistem dalam contoh ini memiliki solusi unik. Kami akan mempertimbangkan solusi sistem dengan serangkaian solusi tak terbatas dalam artikel terpisah. Mungkin pada awalnya Anda tidak akan tahu harus mulai dari mana dengan transformasi matriks, tetapi setelah latihan yang tepat Anda akan mendapatkannya dan akan mengklik Gaussian SLAE seperti kacang. Dan jika Anda tiba-tiba menemukan SLAU, yang ternyata terlalu sulit untuk dipecahkan, hubungi penulis kami! Anda bisa dengan meninggalkan aplikasi di Korespondensi. Bersama-sama kita akan menyelesaikan masalah apa pun!

Salah satu cara paling sederhana untuk menyelesaikan sistem persamaan linear adalah metode yang didasarkan pada penghitungan determinan ( Aturan Cramer). Keuntungannya adalah memungkinkan Anda untuk segera merekam solusi, sangat nyaman dalam kasus di mana koefisien sistem bukan angka, tetapi beberapa parameter. Kelemahannya adalah kerumitan perhitungan dalam kasus sejumlah besar persamaan, apalagi, aturan Cramer tidak secara langsung berlaku untuk sistem di mana jumlah persamaan tidak sesuai dengan jumlah yang tidak diketahui. Dalam kasus seperti itu, biasanya digunakan Metode Gauss.

Sistem persamaan linear yang memiliki himpunan penyelesaian yang sama disebut setara. Jelas, himpunan solusi sistem linier tidak akan berubah jika ada persamaan yang dipertukarkan, atau jika salah satu persamaan dikalikan dengan beberapa bilangan bukan nol, atau jika satu persamaan ditambahkan ke persamaan lainnya.

Metode Gauss (metode eliminasi berturut-turut dari yang tidak diketahui) terletak pada kenyataan bahwa, dengan bantuan transformasi dasar, sistem direduksi menjadi sistem bertahap yang setara. Pertama, dengan bantuan persamaan 1, x 1 dari semua persamaan sistem berikutnya. Kemudian, dengan menggunakan persamaan ke-2, kita eliminasi x 2 dari 3 dan semua persamaan berikutnya. Proses ini disebut metode Gauss langsung, berlanjut sampai hanya satu yang tidak diketahui yang tersisa di sisi kiri persamaan terakhir x n. Setelah itu dibuat Kebalikan Gauss– memecahkan persamaan terakhir, kami menemukan x n; setelah itu, dengan menggunakan nilai ini, dari persamaan kedua dari belakang kita hitung x n-1 dll. Terakhir kita temukan x 1 dari persamaan pertama.

Lebih mudah untuk melakukan transformasi Gaussian dengan melakukan transformasi tidak dengan persamaan itu sendiri, tetapi dengan matriks koefisiennya. Pertimbangkan matriks:

ditelepon sistem matriks diperpanjang, karena selain matriks utama sistem, itu termasuk kolom anggota bebas. Metode Gaussian didasarkan pada membawa matriks utama sistem ke bentuk segitiga (atau bentuk trapesium dalam kasus sistem non-persegi) menggunakan transformasi baris elementer (!) dari matriks diperpanjang sistem.

Contoh 5.1. Selesaikan sistem menggunakan metode Gauss:

Keputusan. Mari kita tuliskan matriks yang diperbesar dari sistem dan, dengan menggunakan baris pertama, setelah itu kita akan mengatur elemen-elemen lainnya menjadi nol:

kita mendapatkan nol di baris ke-2, ke-3 dan ke-4 dari kolom pertama:

Sekarang kita membutuhkan semua elemen di kolom kedua di bawah baris ke-2 agar sama dengan nol. Untuk melakukan ini, Anda dapat mengalikan baris kedua dengan -4/7 dan menambahkan ke baris ke-3. Namun, agar tidak berurusan dengan pecahan, kami akan membuat unit di baris ke-2 dari kolom kedua dan hanya

Sekarang, untuk mendapatkan matriks segitiga, Anda perlu meniadakan elemen baris keempat dari kolom ke-3, untuk ini Anda dapat mengalikan baris ketiga dengan 8/54 dan menambahkannya ke yang keempat. Namun, agar tidak berurusan dengan pecahan, kami akan menukar baris ke-3 dan ke-4 dan kolom ke-3 dan ke-4, dan hanya setelah itu kami akan mengatur ulang elemen yang ditentukan. Perhatikan bahwa ketika kolom disusun ulang, variabel terkait akan ditukar, dan ini harus diingat; transformasi dasar lainnya dengan kolom (penjumlahan dan perkalian dengan angka) tidak dapat dilakukan!

Matriks sederhana terakhir sesuai dengan sistem persamaan yang setara dengan yang asli:

Dari sini, dengan menggunakan kebalikan dari metode Gauss, kita temukan dari persamaan keempat x 3 = -1; dari yang ketiga x 4 = -2, dari detik x 2 = 2 dan dari persamaan pertama x 1 = 1. Dalam bentuk matriks, jawabannya ditulis sebagai

Kami telah mempertimbangkan kasus ketika sistem pasti, yaitu. ketika hanya ada satu solusi. Mari kita lihat apa yang terjadi jika sistem tidak konsisten atau tak tentu.

Contoh 5.2. Jelajahi sistem menggunakan metode Gaussian:

Keputusan. Kami menulis dan mengubah matriks yang diperbesar dari sistem

Kami menulis sistem persamaan yang disederhanakan:

Di sini, dalam persamaan terakhir, ternyata 0=4, yaitu. kontradiksi. Oleh karena itu, sistem tidak memiliki solusi, mis. dia adalah tidak cocok. à

Contoh 5.3. Jelajahi dan selesaikan sistem menggunakan metode Gaussian:

Keputusan. Kami menulis dan mengubah matriks yang diperluas dari sistem:

Sebagai hasil dari transformasi, hanya nol yang diperoleh di baris terakhir. Ini berarti bahwa jumlah persamaan berkurang satu:

Jadi, setelah penyederhanaan, dua persamaan tetap ada, dan empat tidak diketahui, yaitu. dua "ekstra" yang tidak diketahui. Biarkan "berlebihan", atau, seperti yang mereka katakan, variabel bebas, akan x 3 dan x 4 . Kemudian

Asumsi x 3 = 2sebuah dan x 4 = b, kita mendapatkan x 2 = 1–sebuah dan x 1 = 2b–sebuah; atau dalam bentuk matriks

Solusi yang ditulis dengan cara ini disebut umum, karena, dengan memberikan parameter sebuah dan b nilai yang berbeda, adalah mungkin untuk menggambarkan semua solusi yang mungkin dari sistem. sebuah

Dua sistem persamaan linear dikatakan ekuivalen jika himpunan semua penyelesaiannya sama.

Transformasi dasar dari sistem persamaan adalah:

1. Penghapusan dari sistem persamaan trivial, mis. yang semua koefisiennya sama dengan nol;
2. Mengalikan persamaan apa pun dengan angka bukan nol;
3. Penjumlahan ke persamaan ke-i apa pun dari persamaan ke-j apa pun, dikalikan dengan angka apa pun.

Variabel x i disebut bebas jika variabel ini tidak diperbolehkan, dan seluruh sistem persamaan diperbolehkan.

Dalil. Transformasi dasar mengubah sistem persamaan menjadi setara.

Arti dari metode Gauss adalah untuk mengubah sistem persamaan asli dan mendapatkan sistem yang tidak konsisten yang setara atau setara.

Jadi, metode Gauss terdiri dari langkah-langkah berikut:

1. Perhatikan persamaan pertama. Kami memilih koefisien bukan nol pertama dan membagi seluruh persamaan dengannya. Kami memperoleh persamaan di mana beberapa variabel x i masuk dengan koefisien 1;
2. Mari kita kurangi persamaan ini dari yang lain, mengalikannya dengan angka sedemikian rupa sehingga koefisien untuk variabel x i dalam persamaan yang tersisa ditetapkan ke nol. Kami mendapatkan sistem yang diselesaikan sehubungan dengan variabel x i dan setara dengan yang asli;
3. Jika persamaan sepele muncul (jarang, tetapi itu terjadi; misalnya, 0 = 0), kami menghapusnya dari sistem. Akibatnya, persamaan menjadi kurang satu;
4. Kami mengulangi langkah sebelumnya tidak lebih dari n kali, di mana n adalah jumlah persamaan dalam sistem. Setiap kali kami memilih variabel baru untuk "diproses". Jika persamaan yang bertentangan muncul (misalnya, 0 = 8), sistem tidak konsisten.

Akibatnya, setelah beberapa langkah kami memperoleh sistem yang diizinkan (mungkin dengan variabel bebas) atau yang tidak konsisten. Sistem yang diizinkan terbagi dalam dua kasus:

1. Banyaknya variabel sama dengan banyaknya persamaan. Jadi sistem didefinisikan;
2. Jumlah variabel lebih banyak daripada jumlah persamaan. Kami mengumpulkan semua variabel gratis di sebelah kanan - kami mendapatkan rumus untuk variabel yang diizinkan. Rumus ini ditulis dalam jawabannya.

Itu saja! Sistem persamaan linear diselesaikan! Ini adalah algoritma yang cukup sederhana, dan untuk menguasainya, Anda tidak perlu menghubungi tutor matematika. Pertimbangkan sebuah contoh:

Tugas. Memecahkan sistem persamaan:

Deskripsi langkah:

1. Kami mengurangi persamaan pertama dari persamaan kedua dan ketiga - kami mendapatkan variabel yang diizinkan x 1;
2. Kami mengalikan persamaan kedua dengan (−1), dan membagi persamaan ketiga dengan (−3) - kami mendapatkan dua persamaan di mana variabel x 2 masuk dengan koefisien 1;
3. Kami menambahkan persamaan kedua ke yang pertama, dan mengurangi dari yang ketiga. Mari kita dapatkan variabel yang diizinkan x 2 ;
4. Akhirnya, kami mengurangi persamaan ketiga dari yang pertama - kami mendapatkan variabel yang diizinkan x 3 ;
5. Kami telah menerima sistem yang berwenang, kami menuliskan jawabannya.

Solusi umum dari sistem gabungan persamaan linier adalah sistem baru, setara dengan yang asli, di mana semua variabel yang diizinkan dinyatakan dalam variabel bebas.

Kapan solusi umum diperlukan? Jika Anda harus mengambil langkah lebih sedikit dari k (k adalah berapa banyak persamaan total). Namun, alasan mengapa proses berakhir pada beberapa langkah l< k , может быть две:

1. Setelah langkah ke-l, kita mendapatkan sistem yang tidak memuat persamaan dengan bilangan (l + 1). Sebenarnya, ini bagus, karena. sistem yang diselesaikan tetap diterima - bahkan beberapa langkah sebelumnya.
2. Setelah langkah ke-l, diperoleh persamaan yang semua koefisien variabelnya sama dengan nol, dan koefisien bebasnya berbeda dengan nol. Ini adalah persamaan yang tidak konsisten, dan, oleh karena itu, sistemnya tidak konsisten.

Penting untuk dipahami bahwa munculnya persamaan yang tidak konsisten dengan metode Gauss adalah alasan yang cukup untuk inkonsistensi. Pada saat yang sama, kami mencatat bahwa sebagai hasil dari langkah ke-l, persamaan sepele tidak dapat dipertahankan - semuanya dihapus secara langsung dalam proses.

Deskripsi langkah:

1. Kurangi persamaan pertama kali 4 dari persamaan kedua. Dan juga tambahkan persamaan pertama ke persamaan ketiga - kami mendapatkan variabel yang diizinkan x 1;
2. Kami mengurangi persamaan ketiga, dikalikan dengan 2, dari yang kedua - kami mendapatkan persamaan kontradiktif 0 = 5.

Jadi, sistem tidak konsisten, karena persamaan yang tidak konsisten telah ditemukan.

Tugas. Selidiki kompatibilitas dan temukan solusi umum sistem:

Deskripsi langkah:

1. Kami mengurangi persamaan pertama dari yang kedua (setelah mengalikan dengan dua) dan yang ketiga - kami mendapatkan variabel yang diizinkan x 1;
2. Kurangi persamaan kedua dari persamaan ketiga. Karena semua koefisien dalam persamaan ini sama, persamaan ketiga menjadi sepele. Pada saat yang sama, kita kalikan persamaan kedua dengan (−1);
3. Kami mengurangi persamaan kedua dari persamaan pertama - kami mendapatkan variabel yang diizinkan x 2. Seluruh sistem persamaan sekarang juga diselesaikan;
4. Karena variabel x 3 dan x 4 bebas, kami memindahkannya ke kanan untuk menyatakan variabel yang diizinkan. Ini adalah jawabannya.

Jadi, sistemnya gabungan dan tak tentu, karena ada dua variabel yang diizinkan (x 1 dan x 2) dan dua variabel bebas (x 3 dan x 4).