Untuk mempelajari cara menemukan pembagi persekutuan terbesar dari dua bilangan atau lebih, Anda perlu memahami apa itu bilangan asli, prima, dan kompleks.
Bilangan asli adalah bilangan yang digunakan untuk menghitung bilangan bulat.
Jika bilangan asli hanya dapat dibagi dengan dirinya sendiri dan satu, maka itu disebut prima.
Semua bilangan asli dapat dibagi dengan diri mereka sendiri dan satu, tetapi satu-satunya bilangan prima yang genap adalah 2, semua yang lain dapat dibagi dua. Oleh karena itu, hanya bilangan ganjil yang bisa menjadi prima.
Ada banyak bilangan prima, tidak ada daftar lengkapnya. Untuk menemukan GCD, akan lebih mudah menggunakan tabel khusus dengan angka seperti itu.
Sebagian besar bilangan asli tidak hanya dapat dibagi satu, tetapi juga dengan bilangan lain. Jadi, misalnya, angka 15 dapat dibagi dengan 3 dan 5. Semuanya disebut pembagi dari angka 15.
Jadi, pembagi dari sembarang A adalah bilangan yang dapat dibagi tanpa sisa. Jika suatu bilangan memiliki lebih dari dua pembagi alami, itu disebut komposit.
Angka 30 memiliki pembagi seperti 1, 3, 5, 6, 15, 30.
Anda dapat melihat bahwa 15 dan 30 memiliki pembagi yang sama 1, 3, 5, 15. Pembagi persekutuan terbesar dari kedua bilangan ini adalah 15.
Jadi, pembagi persekutuan dari bilangan A dan B adalah bilangan yang dapat digunakan untuk membaginya secara lengkap. Maksimum dapat dianggap sebagai jumlah total maksimum yang dengannya mereka dapat dibagi.
Untuk mengatasi masalah, prasasti singkatan berikut digunakan:
GCD (A; B).
Misalnya, FPB (15; 30) = 30.
Untuk menuliskan semua pembagi bilangan asli, digunakan notasi:
D(15) = (1, 3, 5, 15)
gcd (9; 15) = 1
Dalam contoh ini, bilangan asli hanya memiliki satu pembagi yang sama. Mereka disebut koprima, masing-masing, unit adalah pembagi bersama terbesar mereka.
Cara mencari pembagi persekutuan terbesar dari bilangan
Untuk menemukan GCD dari beberapa angka, Anda perlu:
Temukan semua pembagi dari setiap bilangan asli secara terpisah, yaitu, uraikan menjadi faktor-faktor (bilangan prima);
Pilih semua faktor yang sama untuk angka yang diberikan;
Kalikan mereka bersama-sama.
Misalnya, untuk menghitung pembagi persekutuan terbesar dari 30 dan 56, Anda akan menulis sebagai berikut:
Agar tidak bingung dengan , akan lebih mudah untuk menulis pengali menggunakan kolom vertikal. Di sisi kiri garis, Anda perlu menempatkan dividen, dan di sebelah kanan - pembagi. Di bawah dividen, Anda harus menunjukkan hasil bagi yang dihasilkan.
Jadi, di kolom kanan akan ada semua faktor yang dibutuhkan untuk solusi.
Pembagi identik (faktor yang ditemukan) dapat digarisbawahi untuk kenyamanan. Mereka harus ditulis ulang dan dikalikan dan pembagi persekutuan terbesar harus ditulis.
KPK (30; 56) = 2 * 5 = 10
Ini benar-benar sederhana untuk menemukan pembagi umum terbesar dari angka. Dengan sedikit latihan, Anda dapat melakukannya hampir secara otomatis.
Bilangan asli terbesar dimana bilangan a dan b habis dibagi tanpa sisa disebut pembagi persekutuan terbesar angka-angka ini. Tunjukkan GCD (a, b).
Pertimbangkan untuk mencari KPK menggunakan contoh dua bilangan asli 18 dan 60:
18 = 2×3×3
60 = 2×2×3×5
18 = 2×3×3
60 = 2×2×3×5
324 , 111 dan 432
Mari kita uraikan bilangan tersebut menjadi faktor prima:
324 = 2×2×3×3×3×3
111 = 3 × 37
432 = 2×2×2×2×3×3×3
Hapus dari angka pertama, yang faktor-faktornya tidak ada dalam angka kedua dan ketiga, kita mendapatkan:
2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 3 = 3
Akibat GCD( 324 , 111 , 432 )=3
Menemukan GCD dengan Algoritma Euclid
Cara kedua untuk menemukan pembagi persekutuan terbesar menggunakan Algoritma Euclid. Algoritma Euclid adalah cara yang paling efisien untuk menemukan GCD, menggunakannya Anda harus terus-menerus menemukan sisa pembagian angka dan menerapkan rumus berulang.
Rumus berulang untuk GCD, gcd(a, b)=gcd(b, a mod b), di mana a mod b adalah sisa pembagian a dengan b.
Algoritma Euclid
Contoh Menemukan Pembagi Persekutuan Terbesar dari Bilangan 7920 dan 594
Mari kita cari GCD( 7920 , 594 ) menggunakan algoritma Euclid, kita akan menghitung sisa pembagian menggunakan kalkulator.
- 7920 mod 594 = 7920 - 13 × 594 = 198
- 594 mod 198 = 594 - 3 × 198 = 0
Akibatnya, kita mendapatkan GCD( 7920 , 594 ) = 198
Kelipatan persekutuan terkecil
Untuk menemukan penyebut yang sama saat menjumlahkan dan mengurangkan pecahan dengan penyebut yang berbeda, Anda perlu mengetahui dan dapat menghitung kelipatan persekutuan terkecil(NOC).
Kelipatan bilangan "a" adalah bilangan yang habis dibagi bilangan "a" tanpa sisa.
Bilangan yang merupakan kelipatan 8 (yaitu bilangan yang akan dibagi 8 tanpa sisa): ini adalah bilangan 16, 24, 32 ...
Kelipatan 9: 18, 27, 36, 45…
Ada banyak kelipatan tak terhingga dari bilangan a yang diberikan, berbeda dengan pembagi dari bilangan yang sama. Pembagi - angka yang terbatas.
Kelipatan persekutuan dua bilangan asli adalah bilangan yang habis dibagi oleh kedua bilangan tersebut..
Kelipatan persekutuan terkecil(KPK) dari dua atau lebih bilangan asli adalah bilangan asli terkecil yang habis dibagi oleh masing-masing bilangan tersebut.
Bagaimana menemukan NOC
KPK dapat ditemukan dan ditulis dalam dua cara.
Cara pertama mencari KPK
Cara ini biasanya digunakan untuk jumlah yang kecil.
- Kami menulis kelipatan untuk masing-masing angka dalam satu baris sampai ada kelipatan yang sama untuk kedua angka.
- Kelipatan angka "a" dilambangkan dengan huruf kapital "K".
Contoh. Cari KPK 6 dan 8.
Cara kedua untuk mencari KPK
Metode ini mudah digunakan untuk mencari KPK dari tiga bilangan atau lebih.
Banyaknya faktor yang identik dalam pemuaian bilangan dapat berbeda.
KPK (24, 60) = 2 2 3 5 2
Jawaban: KPK (24, 60) = 120
Anda juga dapat memformalkan menemukan kelipatan persekutuan terkecil (KPK) sebagai berikut. Mari kita cari KPK (12, 16, 24) .
24 = 2 2 2 3
Seperti yang kita lihat dari pemuaian bilangan, semua faktor dari 12 termasuk dalam perluasan 24 (bilangan terbesar), jadi kita hanya menambahkan satu 2 dari perluasan bilangan 16 ke KPK.
KPK (12, 16, 24) = 2 2 2 3 2 = 48
Jawaban: KPK (12, 16, 24) = 48
Kasus khusus untuk menemukan NOC
Misal KPK(60, 15) = 60
Karena bilangan koprima tidak memiliki pembagi prima yang sama, kelipatan persekutuan terkecilnya sama dengan produk dari bilangan-bilangan ini.
Di situs kami, Anda juga dapat menggunakan kalkulator khusus untuk menemukan kelipatan persekutuan terkecil secara online untuk memeriksa perhitungan Anda.
Jika bilangan asli hanya habis dibagi 1 dan dirinya sendiri, maka disebut prima.
Setiap bilangan asli selalu habis dibagi 1 dan dirinya sendiri.
Bilangan 2 adalah bilangan prima terkecil. Ini adalah satu-satunya bilangan prima genap, sisa bilangan prima ganjil.
Ada banyak bilangan prima, dan yang pertama adalah bilangan 2. Namun, tidak ada bilangan prima terakhir. Di bagian "Untuk Belajar", Anda dapat mengunduh tabel bilangan prima hingga 997.
Tetapi banyak bilangan asli yang habis dibagi dengan bilangan asli lainnya.
- angka 12 habis dibagi 1, 2, 3, 4, 6, 12;
- 36 habis dibagi 1, 2, 3, 4, 6, 12, 18, 36.
- menguraikan pembagi bilangan menjadi faktor prima;
Angka-angka di mana angka tersebut dapat dibagi secara merata (untuk 12 ini adalah 1, 2, 3, 4, 6 dan 12) disebut pembagi dari angka tersebut.
Pembagi bilangan asli a adalah bilangan asli yang membagi bilangan "a" yang diberikan tanpa sisa.
Bilangan asli yang memiliki lebih dari dua faktor disebut bilangan komposit.
Perhatikan bahwa angka 12 dan 36 memiliki pembagi yang sama. Ini adalah angka: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Pembagi terbesar dari bilangan-bilangan ini adalah 12.
Pembagi persekutuan dari dua bilangan yang diberikan "a" dan "b" adalah bilangan yang membagi kedua bilangan "a" dan "b" tanpa sisa.
Pembagi Umum Terbesar(PBK) dari dua bilangan yang diberikan "a" dan "b" adalah bilangan terbesar dimana kedua bilangan "a" dan "b" habis dibagi tanpa sisa.
Secara singkat, pembagi persekutuan terbesar dari angka "a" dan "b" ditulis sebagai berikut::
Contoh: gcd (12; 36) = 12 .
Pembagi angka dalam catatan solusi dilambangkan dengan huruf kapital "D".
Angka 7 dan 9 hanya memiliki satu pembagi yang sama - angka 1. Angka seperti itu disebut bilangan koprima.
bilangan koprima adalah bilangan asli yang hanya memiliki satu pembagi yang sama - nomor 1. GCD mereka adalah 1.
Bagaimana menemukan pembagi persekutuan terbesar
Untuk menemukan gcd dari dua atau lebih bilangan asli yang Anda butuhkan:
Perhitungan mudah ditulis menggunakan bilah vertikal. Di sebelah kiri baris, pertama-tama tuliskan dividen, di sebelah kanan - pembagi. Selanjutnya di kolom kiri kita tuliskan nilai-nilai private.
Mari kita jelaskan segera dengan sebuah contoh. Mari kita faktorkan bilangan 28 dan 64 menjadi faktor prima.
- Garis bawahi faktor prima yang sama pada kedua bilangan tersebut.
28 = 2 2 7
64 = 2 2 2 2 2 2
Kami menemukan produk dari faktor prima yang identik dan menuliskan jawabannya;
KPK (28; 64) = 2 2 = 4
Jawaban: KPK (28; 64) = 4
Anda dapat mengatur lokasi GCD dengan dua cara: di kolom (seperti yang dilakukan di atas) atau "dalam satu baris".
Cara pertama untuk menulis GCD
Cari KPK 48 dan 36.
KPK (48; 36) = 2 2 3 = 12
Cara kedua untuk menulis GCD
Sekarang mari kita tulis solusi pencarian GCD dalam satu baris. Cari KPK 10 dan 15.
Di situs informasi kami, Anda juga dapat menemukan pembagi umum terbesar secara online menggunakan program pembantu untuk memeriksa perhitungan Anda.
Menemukan kelipatan persekutuan terkecil, metode, contoh mencari KPK.
Materi yang disajikan di bawah ini merupakan kelanjutan logis dari teori dari artikel di bawah judul KPK - Kelipatan Persekutuan Terkecil, definisi, contoh, hubungan KPK dan KPK. Di sini kita akan berbicara tentang mencari kelipatan persekutuan terkecil (KPK), dan memberikan perhatian khusus untuk memecahkan contoh. Mari kita tunjukkan terlebih dahulu bagaimana KPK dari dua bilangan dihitung dalam bentuk FPB dari bilangan-bilangan ini. Selanjutnya, pertimbangkan untuk menemukan kelipatan persekutuan terkecil dengan memfaktorkan bilangan menjadi faktor prima. Setelah itu kita akan fokus mencari KPK dari tiga bilangan atau lebih, dan juga memperhatikan perhitungan KPK dari bilangan negatif.
Navigasi halaman.
Perhitungan kelipatan persekutuan terkecil (KPK) melalui gcd
Salah satu cara untuk mencari kelipatan persekutuan terkecil adalah berdasarkan hubungan antara KPK dan KPK. Hubungan yang ada antara KPK dan PKS memungkinkan Anda menghitung kelipatan persekutuan terkecil dari dua bilangan bulat positif melalui pembagi persekutuan terbesar yang diketahui. Rumus yang sesuai memiliki bentuk KPK(a, b)=a b: KPK(a, b). Perhatikan contoh mencari KPK menurut rumus di atas.
Tentukan kelipatan persekutuan terkecil dari dua bilangan 126 dan 70 .
Dalam contoh ini a=126 , b=70 . Mari kita gunakan link KPK dengan KPK, yang dinyatakan dengan rumus KPK(a, b)=a b: GCM(a, b) . Artinya, pertama-tama kita harus mencari pembagi persekutuan terbesar dari angka 70 dan 126, setelah itu kita dapat menghitung KPK dari angka-angka tersebut sesuai dengan rumus tertulis.
Temukan gcd(126, 70) menggunakan algoritma Euclid: 126=70 1+56 , 70=56 1+14 , 56=14 4 , maka gcd(126, 70)=14 .
Sekarang kita menemukan kelipatan persekutuan terkecil yang diperlukan: LCM(126, 70)=126 70:GCD(126, 70)= 126 70:14=630 .
Apa KPK(68, 34) ?
Karena 68 habis dibagi 34 , maka gcd(68, 34)=34 . Sekarang kita menghitung kelipatan persekutuan terkecil: KPK(68, 34)=68 34:GCD(68, 34)= 68 34:34=68 .
Perhatikan bahwa contoh sebelumnya sesuai dengan aturan berikut untuk mencari KPK untuk bilangan bulat positif a dan b: jika bilangan a habis dibagi b , maka kelipatan persekutuan terkecil dari bilangan-bilangan ini adalah a .
Mencari KPK dengan Memfaktorkan Bilangan Menjadi Faktor Prima
Cara lain untuk mencari kelipatan persekutuan terkecil adalah dengan memfaktorkan bilangan menjadi faktor prima. Jika kita membuat produk dari semua faktor prima dari angka-angka ini, setelah itu kita mengecualikan dari produk ini semua faktor prima umum yang ada dalam perluasan angka-angka ini, maka produk yang dihasilkan akan sama dengan kelipatan persekutuan terkecil dari angka-angka ini.
Aturan yang diumumkan untuk mencari KPK mengikuti persamaan LCM(a, b)=a b: GCD(a, b) . Memang, produk dari angka a dan b sama dengan produk dari semua faktor yang terlibat dalam ekspansi angka a dan b. Pada gilirannya, gcd(a, b) sama dengan produk dari semua faktor prima yang secara bersamaan hadir dalam ekspansi bilangan a dan b (yang dijelaskan pada bagian tentang menemukan gcd menggunakan penguraian bilangan menjadi faktor prima ).
Mari kita ambil contoh. Diketahui bahwa 75=3 5 5 dan 210=2 3 5 7 . Buatlah produk dari semua faktor dari ekspansi ini: 2 3 3 5 5 5 7 . Sekarang kita mengecualikan dari produk ini semua faktor yang ada baik dalam perluasan angka 75 dan dalam perluasan angka 210 (faktor-faktor tersebut adalah 3 dan 5), maka produk akan berbentuk 2 3 5 5 7 . Nilai dari hasil kali ini sama dengan kelipatan persekutuan terkecil dari 75 dan 210 , yaitu KPK(75, 210)= 2 3 5 5 7=1 050 .
Setelah memfaktorkan bilangan 441 dan 700 menjadi faktor prima, tentukan kelipatan persekutuan terkecil dari bilangan-bilangan tersebut.
Mari kita uraikan bilangan 441 dan 700 menjadi faktor prima: 
Kami mendapatkan 441=3 3 7 7 dan 700=2 2 5 5 7 .
Sekarang mari kita buat perkalian dari semua faktor yang terlibat dalam pemuaian bilangan-bilangan ini: 2 2 3 3 5 5 7 7 7 . Mari kita keluarkan dari produk ini semua faktor yang secara bersamaan hadir di kedua ekspansi (hanya ada satu faktor seperti itu - ini adalah angka 7): 2 2 3 3 5 5 7 7 . Jadi KPK(441, 700)=2 2 3 3 5 5 7 7=44 100 .
KPK(441, 700)= 44 100 .
Aturan untuk mencari KPK menggunakan penguraian bilangan menjadi faktor prima dapat dirumuskan sedikit berbeda. Jika kita menambahkan faktor-faktor yang hilang dari perluasan bilangan b ke faktor-faktor dari perluasan bilangan a, maka nilai hasil perkaliannya akan sama dengan kelipatan persekutuan terkecil dari bilangan a dan b.
Sebagai contoh, mari kita ambil semua bilangan yang sama 75 dan 210, ekspansinya menjadi faktor prima adalah sebagai berikut: 75=3 5 5 dan 210=2 3 5 7 . Untuk faktor 3, 5 dan 5 dari perluasan bilangan 75, kita tambahkan faktor yang hilang 2 dan 7 dari perluasan bilangan 210, kita mendapatkan hasil kali 2 3 5 5 7 , yang nilainya adalah KPK(75 , 210).
Tentukan kelipatan persekutuan terkecil dari 84 dan 648.
Pertama-tama kita peroleh dekomposisi bilangan 84 dan 648 menjadi faktor prima. Mereka terlihat seperti 84=2 2 3 7 dan 648=2 2 2 3 3 3 3 . Untuk faktor 2 , 2 , 3 dan 7 dari penguraian bilangan 84 kita tambahkan faktor yang hilang 2 , 3 , 3 dan 3 dari penguraian bilangan 648 , kita peroleh hasil kali 2 2 2 3 3 3 3 7 , yang sama dengan 4 536 . Jadi, kelipatan persekutuan terkecil yang diinginkan dari bilangan 84 dan 648 adalah 4,536.
Mencari KPK dari tiga bilangan atau lebih
Kelipatan persekutuan terkecil dari tiga bilangan atau lebih dapat dicari dengan mencari KPK dari dua bilangan secara berurutan. Ingat teorema yang sesuai, yang memberikan cara untuk menemukan KPK dari tiga angka atau lebih.
Misalkan bilangan bulat positif a 1 , a 2 , …, a k diberikan, kelipatan persekutuan terkecil dari bilangan-bilangan ini ditemukan dalam perhitungan berurutan m 2 = KPK (a 1 , a 2) , m 3 = KPK (m 2 , a 3) , … , m k =LCM(m k−1 , a k) .
Pertimbangkan penerapan teorema ini pada contoh menemukan kelipatan persekutuan terkecil dari empat bilangan.
Tentukan KPK dari keempat bilangan tersebut 140 , 9 , 54 dan 250 .
Pertama kita cari m 2 = KPK (a 1 , a 2) = KPK (140, 9 ). Untuk melakukan ini, menggunakan algoritma Euclidean, kami menentukan gcd(140, 9 ), kami memiliki 140=9 15+5 , 9=5 1+4 , 5=4 1+1 , 4=1 4 , oleh karena itu, gcd( 140, 9)=1 , dari mana KPK(140, 9)=140 9: FPB(140, 9)= 140 9:1=1 260 . Yaitu, m 2 = 260 .
Sekarang kita cari m 3 = KPK (m 2 , a 3) = KPK (1 260, 54) . Mari kita hitung melalui gcd(1 260, 54) , yang juga ditentukan oleh algoritma Euclid: 1 260=54 23+18 , 54=18 3 . Kemudian gcd(1 260, 54)=18 , dari mana KPK(1 260, 54)= 1 260 54:gcd(1 260, 54)= 1 260 54:18=3 780 . Artinya, m 3 \u003d 3 780.
Tetap mencari m 4 = KPK (m 3 , a 4) = KPK (3780, 250) . Untuk melakukan ini, kami menemukan GCD(3 780, 250) menggunakan algoritma Euclid: 3 780=250 15+30 , 250=30 8+10 , 30=10 3 . Oleh karena itu, gcd(3 780, 250)=10 , maka KPK(3 780, 250)= 3 780 250:gcd(3 780, 250)= 3 780 250:10=94 500 . Artinya, m 4 \u003d 94 500.
Jadi kelipatan persekutuan terkecil dari empat bilangan asli adalah 94.500.
KPK(140, 9, 54, 250)=94500 .
Dalam banyak kasus, kelipatan persekutuan terkecil dari tiga bilangan atau lebih dapat ditemukan dengan mudah menggunakan faktorisasi prima dari bilangan-bilangan yang diberikan. Dalam hal ini, aturan berikut harus diikuti. Kelipatan persekutuan terkecil dari beberapa bilangan sama dengan hasil kali, yang tersusun sebagai berikut: faktor-faktor yang hilang dari perluasan bilangan kedua ditambahkan ke semua faktor dari perluasan bilangan pertama, faktor-faktor yang hilang dari perluasan angka ketiga ditambahkan ke faktor yang diperoleh, dan seterusnya.
Perhatikan contoh menemukan kelipatan persekutuan terkecil menggunakan penguraian bilangan menjadi faktor prima.
Tentukan kelipatan persekutuan terkecil dari lima bilangan 84 , 6 , 48 , 7 , 143 .
Pertama, kita peroleh penguraian bilangan-bilangan ini menjadi faktor prima: 84=2 2 3 7 , 6=2 3 , 48=2 2 2 2 3 , 7 (7 adalah bilangan prima, bertepatan dengan penguraiannya menjadi faktor prima) dan 143=11 13 .
Untuk mencari KPK dari bilangan-bilangan ini, ke faktor-faktor dari bilangan pertama 84 (yaitu 2 , 2 , 3 dan 7) Anda perlu menambahkan faktor-faktor yang hilang dari perluasan bilangan kedua 6 . Perluasan angka 6 tidak mengandung faktor yang hilang, karena 2 dan 3 sudah ada dalam perluasan angka pertama 84 . Selanjutnya faktor 2 , 2 , 3 dan 7 kita tambahkan faktor 2 dan 2 yang hilang dari pemuaian bilangan ketiga 48 , kita mendapatkan himpunan faktor 2 , 2 , 2 , 3 dan 7 . Tidak perlu menambahkan faktor ke set ini di langkah berikutnya, karena 7 sudah ada di dalamnya. Akhirnya, pada faktor 2 , 2 , 2 , 2 , 3 dan 7 kita tambahkan faktor yang hilang 11 dan 13 dari perluasan bilangan 143 . Kami mendapatkan produk 2 2 2 2 3 7 11 13 , yang sama dengan 48 048 .
Oleh karena itu, KPK(84, 6, 48, 7, 143)=48048 .
KPK(84, 6, 48, 7, 143)=48048 .
Menemukan Kelipatan Persekutuan Terkecil dari Bilangan Negatif
Terkadang ada tugas di mana Anda perlu menemukan kelipatan bilangan persekutuan terkecil, di antaranya satu, beberapa, atau semua bilangan negatif. Dalam kasus ini, semua bilangan negatif harus diganti dengan bilangan yang berlawanan, setelah itu KPK dari bilangan positif harus ditemukan. Ini adalah cara mencari KPK dari bilangan negatif. Misalnya, KPK(54, 34)=LCM(54, 34) dan KPK(−622, 46, 54, 888)= KPK(622, 46, 54, 888) .
Kita dapat melakukan ini karena himpunan kelipatan dari a sama dengan himpunan kelipatan a (a dan a adalah bilangan berlawanan). Memang, misalkan b suatu kelipatan dari a , maka b habis dibagi a , dan konsep keterbagian menegaskan keberadaan suatu bilangan bulat q sehingga b=a q . Tetapi persamaan b=(−a)·(−q) juga akan benar, yang, berdasarkan konsep pembagian yang sama, berarti b habis dibagi a , yaitu, b adalah kelipatan dari a . Pernyataan sebaliknya juga benar: jika b adalah kelipatan dari a , maka b juga merupakan kelipatan dari a .
Tentukan kelipatan persekutuan terkecil dari bilangan negatif 145 dan 45.
Mari kita ganti bilangan negatif 145 dan 45 dengan bilangan lawannya 145 dan 45 . Kita memiliki KPK(−145, 45)=LCM(145, 45) . Setelah menentukan gcd(145, 45)=5 (misalnya, menggunakan algoritma Euclid), kita menghitung KPK(145, 45)=145 45:gcd(145, 45)= 145 45:5=1 305 . Jadi, kelipatan persekutuan terkecil dari bilangan bulat negatif 145 dan 45 adalah 1,305 .
www.cleversstudents.ru
Kami terus belajar divisi. Dalam pelajaran ini, kita akan melihat konsep-konsep seperti GCD dan NOC.
GCD adalah pembagi persekutuan terbesar.
NOC adalah kelipatan persekutuan terkecil.
Topiknya agak membosankan, tetapi perlu dipahami. Tanpa memahami topik ini, Anda tidak akan dapat bekerja secara efektif dengan pecahan, yang merupakan hambatan nyata dalam matematika.
Pembagi Umum Terbesar
Definisi. Pembagi Umum Terbesar dari Bilangan sebuah dan b sebuah dan b dibagi tanpa sisa.
Untuk memahami definisi ini dengan baik, kami mengganti bukan variabel sebuah dan b dua angka apa pun, misalnya, alih-alih variabel sebuah gantikan angka 12, dan bukan variabel b nomor 9. Sekarang mari kita coba membaca definisi ini:
Pembagi Umum Terbesar dari Bilangan 12 dan 9 adalah bilangan terbesar dimana 12 dan 9 dibagi tanpa sisa.
Jelas dari definisi bahwa kita berbicara tentang pembagi umum dari angka 12 dan 9, dan pembagi ini adalah yang terbesar dari semua pembagi yang ada. Pembagi persekutuan terbesar (gcd) ini harus ditemukan.
Untuk menemukan pembagi persekutuan terbesar dari dua angka, tiga metode digunakan. Metode pertama cukup memakan waktu, tetapi memungkinkan Anda untuk memahami esensi topik dengan baik dan merasakan seluruh maknanya.
Metode kedua dan ketiga cukup sederhana dan memungkinkan untuk menemukan GCD dengan cepat. Kami akan mempertimbangkan ketiga metode tersebut. Dan apa yang harus diterapkan dalam praktik - Anda pilih.
Cara pertama adalah menemukan semua kemungkinan pembagi dari dua bilangan dan memilih yang terbesar. Mari kita pertimbangkan metode ini dalam contoh berikut: tentukan pembagi persekutuan terbesar dari bilangan 12 dan 9.
Pertama, kami menemukan semua kemungkinan pembagi dari angka 12. Untuk melakukan ini, kami membagi 12 menjadi semua pembagi dalam rentang dari 1 hingga 12. Jika pembagi memungkinkan kami untuk membagi 12 tanpa sisa, maka kami akan menyorotnya dengan warna biru dan buatlah penjelasan yang sesuai dalam tanda kurung.
12: 1 = 12
(12 dibagi 1 tanpa sisa, jadi 1 adalah pembagi dari 12)
12: 2 = 6
(12 dibagi 2 tanpa sisa, jadi 2 adalah pembagi dari 12)
12: 3 = 4
(12 dibagi 3 tanpa sisa, jadi 3 adalah pembagi dari 12)
12: 4 = 3
(12 dibagi 4 tanpa sisa, jadi 4 adalah pembagi dari 12)
12:5 = 2 (2 kiri)
(12 tidak dibagi 5 tanpa sisa, jadi 5 bukan pembagi 12)
12: 6 = 2
(12 dibagi 6 tanpa sisa, jadi 6 adalah pembagi dari 12)
12: 7 = 1 (5 kiri)
(12 tidak dibagi 7 tanpa sisa, jadi 7 bukan pembagi 12)
12: 8 = 1 (4 kiri)
(12 tidak dibagi 8 tanpa sisa, jadi 8 bukan pembagi 12)
12:9 = 1 (3 kiri)
(12 tidak dibagi 9 tanpa sisa, jadi 9 bukan pembagi 12)
12: 10 = 1 (2 kiri)
(12 tidak dibagi 10 tanpa sisa, jadi 10 bukan pembagi 12)
12:11 = 1 (1 kiri)
(12 tidak dibagi 11 tanpa sisa, jadi 11 bukan pembagi 12)
12: 12 = 1
(12 dibagi 12 tanpa sisa, jadi 12 adalah pembagi dari 12)
Sekarang mari kita cari pembagi dari angka 9. Untuk melakukan ini, periksa semua pembagi dari 1 hingga 9
9: 1 = 9
(9 dibagi 1 tanpa sisa, jadi 1 adalah pembagi dari 9)
9: 2 = 4 (1 kiri)
(9 tidak dibagi 2 tanpa sisa, jadi 2 bukan pembagi 9)
9: 3 = 3
(9 dibagi 3 tanpa sisa, jadi 3 adalah pembagi dari 9)
9: 4 = 2 (1 kiri)
(9 tidak dibagi 4 tanpa sisa, jadi 4 bukan pembagi 9)
9:5 = 1 (4 kiri)
(9 tidak dibagi 5 tanpa sisa, jadi 5 bukan pembagi 9)
9: 6 = 1 (3 kiri)
(9 tidak habis dibagi 6 tanpa sisa, jadi 6 bukan pembagi 9)
9:7 = 1 (2 kiri)
(9 tidak dibagi 7 tanpa sisa, jadi 7 bukan pembagi 9)
9:8 = 1 (1 kiri)
(9 tidak dibagi 8 tanpa sisa, jadi 8 bukan pembagi 9)
9: 9 = 1
(9 dibagi 9 tanpa sisa, jadi 9 adalah pembagi dari 9)
Sekarang tuliskan pembagi kedua bilangan tersebut. Angka-angka yang disorot dengan warna biru adalah pembagi. Mari kita tuliskan:
Setelah menuliskan pembagi, Anda dapat segera menentukan mana yang terbesar dan paling umum.
Menurut definisi, pembagi persekutuan terbesar dari 12 dan 9 adalah angka yang dengannya 12 dan 9 habis dibagi. Pembagi terbesar dan persekutuan dari bilangan 12 dan 9 adalah bilangan 3
Baik angka 12 dan angka 9 habis dibagi 3 tanpa sisa:
Jadi gcd (12 dan 9) = 3
Cara kedua untuk menemukan GCD
Sekarang perhatikan cara kedua untuk menemukan pembagi persekutuan terbesar. Inti dari metode ini adalah menguraikan kedua bilangan menjadi faktor prima dan mengalikan yang umum.
Contoh 1. Tentukan KPK dari bilangan 24 dan 18
Pertama, mari faktorkan kedua bilangan tersebut menjadi faktor prima:
Sekarang kita kalikan faktor persekutuannya. Agar tidak bingung, faktor-faktor umum dapat digarisbawahi.
Kami melihat penguraian angka 24. Faktor pertamanya adalah 2. Kami mencari faktor yang sama dalam penguraian angka 18 dan melihat bahwa itu juga ada. Kami menggarisbawahi keduanya:
Sekali lagi kita melihat penguraian angka 24. Faktor keduanya juga 2. Kami mencari faktor yang sama dalam penguraian angka 18 dan melihat bahwa itu tidak ada untuk kedua kalinya. Kemudian kami tidak menyoroti apa pun.
Dua berikutnya dalam perluasan nomor 24 juga hilang dalam perluasan nomor 18.
Kami melewati faktor terakhir dalam penguraian angka 24. Ini adalah faktor 3. Kami mencari faktor yang sama dalam penguraian angka 18 dan kami melihat bahwa itu juga ada. Kami menekankan ketiganya:
Jadi, faktor persekutuan dari bilangan 24 dan 18 adalah faktor 2 dan 3. Untuk mendapatkan FPB, faktor-faktor ini harus dikalikan:
Jadi gcd (24 dan 18) = 6
Cara ketiga untuk menemukan GCD
Sekarang perhatikan cara ketiga untuk menemukan pembagi persekutuan terbesar. Inti dari metode ini terletak pada kenyataan bahwa bilangan-bilangan yang akan dicari pembagi persekutuan terbesarnya didekomposisi menjadi faktor-faktor prima. Kemudian, dari penguraian bilangan pertama, faktor-faktor yang tidak termasuk dalam penguraian bilangan kedua dihilangkan. Angka yang tersisa di ekspansi pertama dikalikan dan mendapatkan GCD.
Sebagai contoh, mari kita cari KPK untuk angka 28 dan 16 dengan cara ini. Pertama-tama, kami menguraikan angka-angka ini menjadi faktor prima:
Kami mendapat dua ekspansi: dan
Sekarang, dari pemuaian bilangan pertama, kita hapus faktor-faktor yang tidak termasuk dalam pemuaian bilangan kedua. Perluasan bilangan kedua tidak termasuk tujuh. Kami akan menghapusnya dari ekspansi pertama:
Sekarang kita kalikan faktor yang tersisa dan dapatkan GCD:
Angka 4 adalah pembagi persekutuan terbesar dari angka 28 dan 16. Kedua angka ini habis dibagi 4 tanpa sisa:
Contoh 2 Tentukan KPK dari bilangan 100 dan 40
Memfaktorkan bilangan 100
Memfaktorkan bilangan 40
Kami mendapat dua ekspansi:
Sekarang, dari pemuaian bilangan pertama, kita hapus faktor-faktor yang tidak termasuk dalam pemuaian bilangan kedua. Perluasan bilangan kedua tidak termasuk satu lima (hanya ada satu lima). Kami menghapusnya dari dekomposisi pertama
Kalikan angka yang tersisa:
Jawabannya adalah 20. Jadi, bilangan 20 adalah pembagi persekutuan terbesar dari bilangan 100 dan 40. Kedua bilangan ini habis dibagi 20 tanpa sisa:
KPK (100 dan 40) = 20.
Contoh 3 Tentukan gcd dari bilangan 72 dan 128
Memfaktorkan bilangan 72
Memfaktorkan bilangan 128
2×2×2×2×2×2×2
Sekarang, dari pemuaian bilangan pertama, kita hapus faktor-faktor yang tidak termasuk dalam pemuaian bilangan kedua. Perluasan bilangan kedua tidak termasuk dua kembar tiga (tidak ada sama sekali). Kami menghapusnya dari ekspansi pertama:
Kita mendapatkan jawabannya 8. Jadi, angka 8 adalah pembagi persekutuan terbesar dari angka 72 dan 128. Kedua angka ini habis dibagi 8 tanpa sisa:
KPK (72 dan 128) = 8
Menemukan KPK untuk Banyak Angka
Pembagi persekutuan terbesar dapat ditemukan untuk beberapa bilangan, dan bukan hanya untuk dua. Untuk ini, angka-angka yang akan dicari untuk pembagi persekutuan terbesar didekomposisi menjadi faktor-faktor prima, kemudian produk dari faktor-faktor prima umum dari angka-angka ini ditemukan.
Sebagai contoh, mari kita cari KPK untuk bilangan 18, 24 dan 36
Memfaktorkan bilangan 18
Memfaktorkan bilangan 24
Memfaktorkan bilangan 36
Kami mendapat tiga ekspansi:
Sekarang kita memilih dan menggarisbawahi faktor persekutuan dalam angka-angka ini. Faktor persekutuan harus dimasukkan dalam ketiga bilangan:
Kita melihat bahwa faktor persekutuan dari bilangan 18, 24 dan 36 adalah faktor 2 dan 3. Dengan mengalikan faktor-faktor ini, kita mendapatkan FPB yang kita cari:
Jawabannya kita dapatkan 6. Jadi bilangan 6 adalah pembagi persekutuan terbesar dari bilangan 18, 24 dan 36. Ketiga bilangan ini habis dibagi 6 tanpa sisa:
KPK (18, 24 dan 36) = 6
Contoh 2 Cari gcd untuk nomor 12, 24, 36 dan 42
Mari kita memfaktorkan setiap angka. Kemudian kami menemukan produk dari faktor-faktor persekutuan dari angka-angka ini.
Memfaktorkan bilangan 12
Memfaktorkan bilangan 42
Kami mendapat empat ekspansi:
Sekarang kita memilih dan menggarisbawahi faktor persekutuan dalam angka-angka ini. Faktor persekutuan harus dimasukkan dalam keempat bilangan:
Kita melihat bahwa faktor persekutuan dari bilangan 12, 24, 36, dan 42 adalah faktor 2 dan 3. Dengan mengalikan faktor-faktor ini, kita mendapatkan FPB yang kita cari:
Kita mendapatkan jawabannya 6. Jadi, angka 6 adalah pembagi persekutuan terbesar dari angka 12, 24, 36 dan 42. Angka-angka ini habis dibagi 6 tanpa sisa:
gcd(12, 24, 36 dan 42) = 6
Dari pelajaran sebelumnya, kita mengetahui bahwa jika suatu bilangan dibagi dengan bilangan lain tanpa sisa, maka bilangan tersebut disebut kelipatan.
Ternyata kelipatan bisa menjadi persekutuan beberapa bilangan. Dan sekarang kita akan tertarik pada kelipatan dua angka, sementara itu harus sekecil mungkin.
Definisi. Kelipatan persekutuan terkecil (KPK) dari bilangan sebuah dan b- sebuah dan b sebuah dan nomor b.
Definisi mengandung dua variabel sebuah dan b. Mari kita substitusikan dua angka untuk variabel-variabel ini. Misalnya, alih-alih variabel sebuah gantikan angka 9, dan bukannya variabel b mari kita ganti dengan angka 12. Sekarang coba kita baca definisinya:
Kelipatan persekutuan terkecil (KPK) dari bilangan 9 dan 12 - adalah bilangan terkecil yang merupakan kelipatan dari 9 dan 12 . Dengan kata lain, itu adalah bilangan yang sangat kecil yang habis dibagi tanpa sisa oleh bilangan tersebut 9 dan pada nomor 12 .
Jelas dari definisi bahwa KPK adalah bilangan terkecil yang habis dibagi 9 dan 12. KPK ini harus dicari.
Ada dua cara untuk mencari kelipatan persekutuan terkecil (KPK). Cara pertama adalah Anda dapat menuliskan kelipatan pertama dari dua angka, dan kemudian memilih di antara kelipatan tersebut suatu angka yang akan umum untuk kedua angka dan kecil. Mari kita terapkan cara ini.
Pertama-tama, mari kita cari kelipatan pertama dari angka 9. Untuk mencari kelipatan 9, Anda harus mengalikan sembilan ini dengan angka dari 1 sampai 9. Jawaban yang Anda dapatkan adalah kelipatan dari angka 9. Jadi, Ayo mulai. Kelipatan akan disorot dengan warna merah:
Sekarang kita menemukan kelipatan untuk angka 12. Untuk melakukan ini, kita mengalikan 12 dengan semua angka 1 sampai 12 secara bergantian.
Pertimbangkan dua cara untuk menemukan pembagi persekutuan terbesar.
Menemukan dengan Memfaktorkan
Cara pertama adalah menemukan pembagi persekutuan terbesar dengan memfaktorkan bilangan-bilangan yang diberikan menjadi faktor prima.
Untuk menemukan KPK dari beberapa bilangan, cukup dengan menguraikannya menjadi faktor prima dan mengalikan di antara mereka yang umum untuk semua bilangan yang diberikan.
Contoh 1 Mari kita cari GCD (84, 90).
Kami menguraikan angka 84 dan 90 menjadi faktor prima:
Jadi, kami telah menggarisbawahi semua faktor prima yang sama, tetap mengalikannya di antara mereka sendiri: 1 2 3 = 6.
Jadi gcd(84, 90) = 6.
Contoh 2 Mari kita cari GCD (15, 28).
Kami menguraikan 15 dan 28 menjadi faktor prima:
Bilangan 15 dan 28 adalah koprima karena pembagi persekutuan terbesarnya adalah satu.
gcd (15, 28) = 1.
Algoritma Euclid
Metode kedua (atau disebut metode Euclid) adalah menemukan GCD dengan pembagian yang berurutan.
Pertama, kita akan melihat metode ini seperti yang diterapkan hanya pada dua angka yang diberikan, dan kemudian kita akan mencari cara untuk menerapkannya pada tiga angka atau lebih.
Jika bilangan yang lebih besar dari dua bilangan yang diberikan habis dibagi dengan bilangan yang lebih kecil, maka bilangan yang lebih kecil akan menjadi pembagi persekutuan terbesarnya.
Contoh 1 Ambil dua bilangan 27 dan 9. Karena 27 habis dibagi 9 dan 9 habis dibagi 9, maka 9 adalah pembagi biasa dari bilangan 27 dan 9. Pembagi ini juga yang terbesar, karena 9 tidak habis dibagi bilangan apa pun, lebih besar dari 9. Oleh karena itu, gcd (27, 9) = 9.
Dalam kasus lain, untuk menemukan pembagi persekutuan terbesar dari dua bilangan, prosedur berikut digunakan:
- Dari dua bilangan yang diberikan, bilangan yang lebih besar dibagi dengan bilangan yang lebih kecil.
- Kemudian, bilangan yang lebih kecil dibagi dengan sisa yang dihasilkan dari pembagian bilangan yang lebih besar dengan yang lebih kecil.
- Selanjutnya, sisa pertama dibagi dengan sisa kedua, yang diperoleh dengan membagi bilangan yang lebih kecil dengan sisa pertama.
- Sisa kedua dibagi dengan yang ketiga, yang diperoleh dengan membagi sisa pertama dengan yang kedua, dan seterusnya.
- Dengan demikian, pembagian berlanjut sampai sisanya nol. Pembagi terakhir akan menjadi pembagi persekutuan terbesar.
Contoh 2 Mari kita cari pembagi persekutuan terbesar dari angka 140 dan 96:
1) 140: 96 = 1 (sisa 44)
2) 96: 44 = 2 (sisa 8)
3) 44: 8 = 5 (sisa 4)
Pembagi terakhir adalah 4, yang berarti gcd(140, 96) = 4.
Pembagian berurutan juga dapat ditulis dalam kolom:
Untuk menemukan pembagi persekutuan terbesar dari tiga atau lebih bilangan yang diberikan, gunakan prosedur berikut:
- Pertama, temukan pembagi persekutuan terbesar dari dua bilangan apa pun dari beberapa kumpulan data.
- Kemudian kami menemukan GCD dari pembagi yang ditemukan dan beberapa nomor yang diberikan ketiga.
- Kemudian kami menemukan GCD dari pembagi yang ditemukan terakhir dan nomor yang diberikan keempat, dan seterusnya.
Contoh 3 Mari kita cari pembagi persekutuan terbesar dari bilangan 140, 96 dan 48. Kita telah menemukan KPK dari bilangan 140 dan 96 pada contoh sebelumnya (ini adalah bilangan 4). Tetap menemukan pembagi persekutuan terbesar dari angka 4 dan angka ketiga yang diberikan - 48:
48 habis dibagi 4 tanpa sisa. Jadi gcd(140, 96, 48) = 4.
Ingat!
Jika bilangan asli hanya habis dibagi 1 dan dirinya sendiri, maka disebut prima.
Setiap bilangan asli selalu habis dibagi 1 dan dirinya sendiri.
Bilangan 2 adalah bilangan prima terkecil. Ini adalah satu-satunya bilangan prima genap, sisa bilangan prima ganjil.
Ada banyak bilangan prima, dan yang pertama adalah bilangan 2. Namun, tidak ada bilangan prima terakhir. Di bagian "Untuk Belajar", Anda dapat mengunduh tabel bilangan prima hingga 997.
Tetapi banyak bilangan asli yang habis dibagi dengan bilangan asli lainnya.
Sebagai contoh:
- angka 12 habis dibagi 1, 2, 3, 4, 6, 12;
- 36 habis dibagi 1, 2, 3, 4, 6, 12, 18, 36.
Angka-angka di mana angka tersebut dapat dibagi secara merata (untuk 12 ini adalah 1, 2, 3, 4, 6 dan 12) disebut pembagi dari angka tersebut.
Ingat!
Pembagi bilangan asli a adalah bilangan asli yang membagi bilangan "a" yang diberikan tanpa sisa.
Bilangan asli yang memiliki lebih dari dua faktor disebut bilangan komposit.
Perhatikan bahwa angka 12 dan 36 memiliki pembagi yang sama. Ini adalah angka: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Pembagi terbesar dari bilangan-bilangan ini adalah 12.
Pembagi persekutuan dari dua bilangan yang diberikan "a" dan "b" adalah bilangan yang membagi kedua bilangan "a" dan "b" tanpa sisa.
Ingat!
Pembagi Umum Terbesar(GCD) dari dua angka yang diberikan "a" dan "b" - ini adalah angka terbesar yang membagi kedua angka "a" dan "b" tanpa sisa.
Secara singkat, pembagi persekutuan terbesar dari angka "a" dan "b" ditulis sebagai berikut::
gcd (a; b).
Contoh: gcd (12; 36) = 12 .
Pembagi angka dalam catatan solusi dilambangkan dengan huruf kapital "D".
D(7) = (1, 7)
D(9) = (1, 9)
gcd (7; 9) = 1
Angka 7 dan 9 hanya memiliki satu pembagi yang sama - angka 1. Angka seperti itu disebut bilangan koprima.
Ingat!
bilangan koprima adalah bilangan asli yang hanya memiliki satu pembagi yang sama - nomor 1. GCD mereka adalah 1.
Bagaimana menemukan pembagi persekutuan terbesar
Untuk menemukan gcd dari dua atau lebih bilangan asli yang Anda butuhkan:
- menguraikan pembagi bilangan menjadi faktor prima;
Perhitungan mudah ditulis menggunakan bilah vertikal. Di sebelah kiri baris, pertama-tama tuliskan dividen, di sebelah kanan - pembagi. Selanjutnya di kolom kiri kita tuliskan nilai-nilai private.
Mari kita jelaskan segera dengan sebuah contoh. Mari kita faktorkan bilangan 28 dan 64 menjadi faktor prima.
- Garis bawahi faktor prima yang sama pada kedua bilangan tersebut.
28 = 2 2 764 = 2 2 2 2 2 2
- Kami menemukan produk dari faktor prima yang identik dan menuliskan jawabannya;
KPK (28; 64) = 2 2 = 4Jawaban: KPK (28; 64) = 4
Anda dapat mengatur lokasi GCD dengan dua cara: di kolom (seperti yang dilakukan di atas) atau "dalam satu baris".
Sekarang dan selanjutnya, kita akan berasumsi bahwa setidaknya satu dari angka-angka ini berbeda dari nol. Jika semua bilangan yang diberikan sama dengan nol, maka pembagi persekutuannya adalah bilangan bulat apa pun, dan karena ada banyak bilangan bulat, kita tidak dapat membicarakan yang terbesar di antara mereka. Oleh karena itu, orang tidak dapat berbicara tentang pembagi umum terbesar dari angka, yang masing-masing sama dengan nol.
Sekarang kita bisa memberi mencari pembagi persekutuan terbesar dua angka.
Definisi.
Pembagi Umum Terbesar dari dua bilangan bulat adalah bilangan bulat terbesar yang membagi dua bilangan bulat yang diberikan.
Singkatan GCD sering digunakan untuk memperpendek pembagi persekutuan terbesar - Pembagi Persekutuan Terbesar. Juga, pembagi persekutuan terbesar dari dua bilangan a dan b sering dilambangkan sebagai gcd(a, b) .
Ayo bawa Contoh Pembagi Persekutuan Terbesar (gcd) dua bilangan bulat. Pembagi persekutuan terbesar dari 6 dan 15 adalah 3 . Mari kita buktikan ini. Mari kita tuliskan semua pembagi bilangan enam: ±6, ±3, ±1, dan pembagi bilangan 15 adalah bilangan ±15, ±5, ±3 dan ±1. Sekarang Anda dapat menemukan semua pembagi umum dari angka 6 dan 15, ini adalah angka 3, 1, 1 dan 3. Sejak 3<−1<1<3 , то 3 – это наибольший общий делитель чисел 6 и −15 . То есть, НОД(6, −15)=3 .
Definisi pembagi persekutuan terbesar dari tiga bilangan bulat atau lebih mirip dengan definisi gcd dua bilangan.
Definisi.
Pembagi Umum Terbesar tiga atau lebih bilangan bulat adalah bilangan bulat terbesar yang secara bersamaan membagi semua bilangan yang diberikan.
Pembagi persekutuan terbesar dari n bilangan bulat a 1 , a 2 , …, a n kita akan menyatakan sebagai gcd(a 1 , a 2 , …, a n) . Jika nilai b dari pembagi persekutuan terbesar dari bilangan-bilangan ini ditemukan, maka kita dapat menulis: KPK(a 1 , a 2 , …, a n)=b.
Sebagai contoh, diberikan gcd dari empat bilangan bulat 8 , 52 , 16 dan 12 , itu sama dengan 4 , yaitu, gcd(−8, 52, 16, 12)=4 . Ini dapat diperiksa dengan menuliskan semua pembagi dari bilangan yang diberikan, memilih pembagi persekutuan dari mereka, dan menentukan pembagi persekutuan terbesar.
Perhatikan bahwa pembagi persekutuan terbesar dari bilangan bulat dapat sama dengan salah satu dari angka-angka ini. Pernyataan ini benar jika semua bilangan yang diberikan habis dibagi salah satunya (buktinya ada di paragraf berikutnya artikel ini). Misalnya, gcd(15, 60, 45)=15 . Hal ini benar karena 15 membagi 15 , 60 , dan 45 , dan tidak ada pembagi persekutuan dari 15 , 60 , dan 45 yang lebih besar dari 15 .
Yang menarik adalah apa yang disebut bilangan prima relatif, - bilangan bulat seperti itu, pembagi persekutuan terbesarnya sama dengan satu.
Sifat Pembagi Persekutuan Terbesar, Algoritma Euclid
Pembagi persekutuan terbesar memiliki sejumlah hasil karakteristik, dengan kata lain, sejumlah properti. Kami sekarang akan membuat daftar utama sifat-sifat pembagi persekutuan terbesar (gcd), kami akan merumuskannya dalam bentuk teorema dan segera memberikan bukti.
Kami akan merumuskan semua sifat dari pembagi persekutuan terbesar untuk bilangan bulat positif, sementara kami hanya akan mempertimbangkan pembagi positif dari angka-angka ini.
Pembagi persekutuan terbesar dari a dan b sama dengan pembagi persekutuan terbesar dari b dan a , yaitu, gcd(a, b)=gcd(a, b) .
Properti GCD ini mengikuti langsung dari definisi pembagi persekutuan terbesar.
Jika a habis dibagi b , maka himpunan pembagi persekutuan dari a dan b sama dengan himpunan pembagi b , khususnya gcd(a, b)=b .
Bukti.
Pembagi persekutuan dari bilangan a dan b adalah pembagi dari masing-masing bilangan tersebut, termasuk bilangan b. Di sisi lain, karena a adalah kelipatan dari b, maka setiap pembagi dari bilangan b juga merupakan pembagi dari bilangan a karena fakta bahwa pembagian memiliki sifat transitivitas, oleh karena itu, setiap pembagi dari bilangan b adalah a pembagi persekutuan bilangan a dan b. Hal ini membuktikan bahwa jika a habis dibagi b, maka himpunan pembagi bilangan a dan b bertepatan dengan himpunan pembagi satu bilangan b. Dan karena pembagi terbesar dari bilangan b adalah bilangan b itu sendiri, maka pembagi persekutuan terbesar dari bilangan a dan b juga sama dengan b , yaitu gcd(a, b)=b .
Khususnya, jika angka a dan b sama, maka gcd(a, b)=gcd(a, a)=gcd(b, b)=a=b. Misalnya, gcd(132, 132)=132 .
Properti pembagi terbesar yang terbukti memungkinkan kita untuk menemukan gcd dari dua bilangan ketika salah satunya habis dibagi yang lain. Dalam hal ini, GCD sama dengan salah satu dari angka-angka ini, yang dengannya angka lain dapat dibagi. Misalnya, gcd(8, 24)=8 karena 24 adalah kelipatan delapan.
Jika a=b q+c , di mana a , b , c dan q adalah bilangan bulat, maka himpunan pembagi persekutuan dari bilangan a dan b bertepatan dengan himpunan pembagi persekutuan dari bilangan b dan c , khususnya, gcd( a, b)=gcd (b, c) .
Mari kita membenarkan properti GCD ini.
Karena persamaan a=b·q+c berlaku, maka setiap pembagi umum dari bilangan a dan b juga membagi c (ini mengikuti sifat-sifat dapat dibagi). Untuk alasan yang sama, setiap pembagi persekutuan b dan c membagi a . Jadi, himpunan pembagi persekutuan dari bilangan a dan b adalah sama dengan himpunan pembagi persekutuan dari bilangan b dan c. Secara khusus, yang terbesar dari pembagi umum ini juga harus cocok, yaitu, persamaan berikut harus valid gcd(a, b)=gcd(b, c) .
Sekarang kita merumuskan dan membuktikan teorema, yaitu Algoritma Euclid. Algoritme Euclid memungkinkan Anda menemukan PPB dari dua bilangan (lihat mencari PPB menggunakan algoritma Euclid). Selain itu, algoritma Euclid akan memungkinkan kita untuk membuktikan sifat-sifat berikut dari pembagi persekutuan terbesar.
Sebelum memberikan pernyataan teorema, kami sarankan menyegarkan ingatan teorema dari bagian teori, yang menyatakan bahwa dividen a dapat direpresentasikan sebagai b q + r, di mana b adalah pembagi, q adalah bilangan bulat yang disebut hasil bagi sebagian, dan r adalah bilangan bulat yang memenuhi kondisi, disebut sisanya.
Jadi, misalkan untuk dua bilangan bulat positif bukan-nol a dan b, deret persamaan adalah benar 
berakhir ketika r k+1 =0 (yang tidak dapat dihindari, karena b>r 1 >r 2 >r 3 , … adalah deret bilangan bulat menurun, dan deret ini tidak dapat memuat lebih dari bilangan positif berhingga), maka r k – adalah pembagi persekutuan terbesar dari a dan b , yaitu r k =gcd(a, b) .
Bukti.
Mari kita buktikan terlebih dahulu bahwa r k adalah pembagi persekutuan dari bilangan a dan b , setelah itu kita akan menunjukkan bahwa r k bukan hanya pembagi, tetapi pembagi persekutuan terbesar dari bilangan a dan b .
Kami akan bergerak di sepanjang persamaan tertulis dari bawah ke atas. Dari persamaan terakhir, kita dapat mengatakan bahwa r k−1 habis dibagi r k . Mengingat fakta ini, serta properti GCD sebelumnya, persamaan kedua dari belakang r k−2 =r k−1 q k +r k memungkinkan kita untuk menyatakan bahwa r k−2 habis dibagi r k , karena r k−1 habis dibagi r k dan r k habis dibagi oleh r k . Dengan analogi, dari persamaan ketiga dari bawah kita menyimpulkan bahwa r k−3 habis dibagi r k . Dan seterusnya. Dari persamaan kedua diperoleh bahwa b habis dibagi r k , dan dari persamaan pertama a habis dibagi r k . Oleh karena itu, r k adalah pembagi persekutuan dari a dan b.
Tetap membuktikan bahwa r k =gcd(a, b) . Karena, itu cukup untuk menunjukkan bahwa setiap pembagi umum dari bilangan a dan b (kami menyatakannya dengan r 0 ) membagi r k .
Kami akan bergerak di sepanjang persamaan awal dari atas ke bawah. Berdasarkan sifat sebelumnya, dari persamaan pertama diperoleh bahwa r 1 habis dibagi r 0 . Kemudian dari persamaan kedua diperoleh bahwa r 2 habis dibagi r 0 . Dan seterusnya. Dari persamaan terakhir kita mendapatkan bahwa r k habis dibagi r 0 . Jadi, r k =gcd(a, b) .
Dari sifat yang dipertimbangkan dari pembagi persekutuan terbesar, himpunan pembagi persekutuan dari angka-angka a dan b bertepatan dengan himpunan pembagi dari pembagi persekutuan terbesar dari bilangan-bilangan ini. Akibat wajar dari algoritma Euclid ini memungkinkan kita untuk menemukan semua pembagi umum dari dua bilangan sebagai pembagi dari gcd dari bilangan-bilangan ini.
Misalkan a dan b bilangan bulat yang tidak bersamaan sama dengan nol, maka ada bilangan bulat seperti u 0 dan v 0 , maka persamaan gcd(a, b)=a u 0 +b v 0 adalah benar. Persamaan terakhir adalah representasi linier dari pembagi persekutuan terbesar dari angka a dan b, persamaan ini disebut rasio Bezout, dan angka u 0 dan v 0 adalah koefisien Bezout.
Bukti.
Menurut algoritma Euclid, kita dapat menulis persamaan berikut:
Dari persamaan pertama kita mendapatkan r 1 =a−b q 1 , dan, menunjukkan 1=s 1 dan q 1 =t 1 , persamaan ini mengambil bentuk r 1 =s 1 a+t 1 b , dan bilangan s 1 dan t 1 adalah bilangan bulat. Kemudian dari persamaan kedua diperoleh r 2 =b−r 1 q 2 = b−(s 1 a+t 1 b) q 2 =−s 1 q 2 a+(1−t 1 q 2) b. Menyatakan s 1 q 2 =s 2 dan 1−t 1 q 2 =t 2 , persamaan terakhir dapat ditulis sebagai r 2 =s 2 a+t 2 b , dan s 2 dan t 2 adalah bilangan bulat (karena jumlah , selisih dan hasil kali bilangan bulat adalah bilangan bulat). Demikian pula, dari persamaan ketiga kita mendapatkan r 3 =s 3 ·a+t 3 ·b, dari persamaan keempat r 4 =s 4 ·a+t 4 ·b, dan seterusnya. Akhirnya, r k =s k ·a+t k ·b , di mana s k dan t k adalah bilangan bulat. Karena r k =gcd(a, b) , dan menyatakan s k =u 0 dan t k =v 0 , kami memperoleh representasi linier dari gcd dari bentuk yang diperlukan: gcd(a, b)=a u 0 +b v 0 .
Jika m adalah bilangan asli, maka gcd(m a, m b)=m gcd(a, b).
Alasan untuk sifat pembagi persekutuan terbesar ini adalah sebagai berikut. Jika kita mengalikan dengan m kedua sisi dari setiap persamaan dari algoritma Euclid, kita mendapatkan bahwa gcd(m a, m b)=m r k , dan r k adalah gcd(a, b) . Akibatnya, gcd(m a, m b)=m gcd(a, b).
Sifat dari pembagi persekutuan terbesar ini adalah dasar untuk metode mencari FPB menggunakan faktorisasi prima.
Misalkan p adalah sembarang pembagi bilangan a dan b , maka gcd(a:p, b:p)=gcd(a, b):p, khususnya, jika p=gcd(a, b) kita memiliki gcd(a:gcd(a, b), b:gcd(a, b))=1, yaitu, bilangan a:gcd(a, b) dan b:gcd(a, b) adalah koprima.
Karena a=p (a:p) dan b=p (b:p) , dan karena sifat sebelumnya, kita dapat menulis rantai persamaan dalam bentuk gcd(a, b)=gcd(p (a:p), p (b:p))= p·gcd(a:p, b:p) , dari mana persamaan yang akan dibuktikan berikut.
Properti pembagi persekutuan terbesar baru saja terbukti mendasari .
Sekarang mari kita suarakan properti GCD, yang mengurangi masalah menemukan pembagi persekutuan terbesar dari tiga angka atau lebih menjadi berturut-turut menemukan FPB dari dua angka.
Pembagi persekutuan terbesar dari bilangan a 1 , a 2 , ..., a k sama dengan bilangan d k , yang ditemukan dalam perhitungan berurutan dari FPB(a 1 , a 2)=d 2 , FPB(d 2 , a 3)=d 3 , KPK(d 3 , a 4)=d 4 , …, KPK(d k-1 , a k)=d k .
Buktinya didasarkan pada akibat wajar dari algoritma Euclid. Pembagi persekutuan dari bilangan a 1 dan a 2 adalah sama dengan pembagi dari d 2 . Kemudian pembagi umum dari angka a 1 , a 2 dan a 3 bertepatan dengan pembagi umum dari angka d 2 dan a 3 , oleh karena itu, mereka bertepatan dengan pembagi d 3 . Pembagi persekutuan dari bilangan a 1 , a 2 , a 3 dan a 4 adalah sama dengan pembagi persekutuan dari d 3 dan a 4 , maka sama dengan pembagi dari d 4 . Dan seterusnya. Akhirnya, pembagi umum dari angka a 1 , a 2 , …, a k bertepatan dengan pembagi dari d k . Dan karena pembagi terbesar dari bilangan d k adalah bilangan d k itu sendiri, maka KPK(a 1 , a 2 , …, a k)=d k.
Ini menyimpulkan tinjauan properti utama dari pembagi persekutuan terbesar.
Bibliografi.
- Vilenkin N.Ya. dll. Matematika. Kelas 6: buku teks untuk lembaga pendidikan.
- Vinogradov I.M. Dasar-dasar teori bilangan.
- Mikhelovich Sh.Kh. Teori bilangan.
- Kulikov L.Ya. dan lain-lain Kumpulan soal aljabar dan teori bilangan: Buku ajar untuk mahasiswa fiz.-mat. spesialisasi lembaga pedagogis.
