Pada artikel ini, Anda akan mempelajari cara mencari luas bangun datar yang dibatasi oleh garis menggunakan perhitungan integral. Untuk pertama kalinya, kita menemukan rumusan masalah seperti itu di sekolah menengah, ketika studi integral tertentu baru saja selesai dan sekarang saatnya untuk memulai interpretasi geometris dari pengetahuan yang diperoleh dalam praktik.
Jadi, apa yang diperlukan untuk berhasil menyelesaikan masalah menemukan luas bangun menggunakan integral:
- Kemampuan menggambar dengan benar;
- Kemampuan untuk memecahkan integral tertentu menggunakan rumus Newton-Leibniz yang terkenal;
- Kemampuan untuk "melihat" solusi yang lebih menguntungkan - mis. untuk memahami bagaimana dalam kasus ini atau itu akan lebih mudah untuk melakukan integrasi? Sepanjang sumbu x (OX) atau sumbu y (OY)?
- Nah, di mana tanpa perhitungan yang benar?) Ini termasuk pemahaman bagaimana menyelesaikan jenis integral lain dan perhitungan numerik yang benar.
Algoritma untuk memecahkan masalah menghitung luas gambar yang dibatasi oleh garis:
1. Kami membuat gambar. Dianjurkan untuk melakukan ini pada selembar kertas di dalam sangkar, dalam skala besar. Kami menandatangani dengan pensil di atas setiap grafik nama fungsi ini. Tanda tangan grafik dilakukan semata-mata untuk kenyamanan perhitungan lebih lanjut. Setelah menerima grafik dari gambar yang diinginkan, dalam banyak kasus akan segera jelas batas integrasi mana yang akan digunakan. Jadi, kami memecahkan masalah secara grafis. Namun, kebetulan nilai batasnya pecahan atau irasional. Oleh karena itu, Anda dapat membuat perhitungan tambahan, lanjutkan ke langkah kedua.
2. Jika batas integrasi tidak ditetapkan secara eksplisit, maka kami menemukan titik perpotongan grafik satu sama lain, dan melihat apakah solusi grafis kami bertepatan dengan solusi analitik.
3. Selanjutnya, Anda perlu menganalisis gambar. Bergantung pada bagaimana grafik fungsi berada, ada berbagai pendekatan untuk menemukan luas gambar. Perhatikan berbagai contoh mencari luas bangun menggunakan integral.
3.1. Versi masalah yang paling klasik dan paling sederhana adalah ketika Anda perlu mencari luas trapesium lengkung. Apa itu trapesium lengkung? Ini adalah bangun datar yang dibatasi oleh sumbu x (y=0), lurus x = a, x = b dan setiap kurva kontinu pada interval dari sebuah sebelum b. Pada saat yang sama, angka ini non-negatif dan terletak tidak lebih rendah dari sumbu x. Dalam hal ini, luas trapesium lengkung secara numerik sama dengan integral tertentu yang dihitung menggunakan rumus Newton-Leibniz:
Contoh 1 y = x2 - 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.
Garis apa yang mendefinisikan gambar? Kami memiliki parabola y = x2 - 3x + 3, yang terletak di atas sumbu OH, tidak negatif, karena semua titik parabola ini positif. Selanjutnya, diberikan garis lurus x = 1 dan x = 3 yang berjalan sejajar dengan sumbu OU, adalah garis pembatas dari gambar di kiri dan kanan. Sehat y = 0, dia adalah sumbu x, yang membatasi gambar dari bawah. Angka yang dihasilkan diarsir, seperti yang terlihat pada gambar di sebelah kiri. Dalam hal ini, Anda dapat segera mulai menyelesaikan masalah. Di depan kita adalah contoh sederhana dari trapesium lengkung, yang kemudian kita selesaikan menggunakan rumus Newton-Leibniz.
3.2. Pada paragraf 3.1 sebelumnya, kasus dianalisis ketika trapesium lengkung terletak di atas sumbu x. Sekarang perhatikan kasus ketika kondisi masalahnya sama, kecuali bahwa fungsinya terletak di bawah sumbu x. Sebuah minus ditambahkan ke rumus standar Newton-Leibniz. Bagaimana mengatasi masalah seperti itu, kami akan mempertimbangkan lebih lanjut.
Contoh 2 . Hitung luas bangun yang dibatasi oleh garis y=x2+6x+2, x=-4, x=-1, y=0.
Dalam contoh ini, kita memiliki parabola y=x2+6x+2, yang berasal dari bawah sumbu OH, lurus x=-4, x=-1, y=0. Di Sini y = 0 membatasi angka yang diinginkan dari atas. Langsung x = -4 dan x = -1 ini adalah batas-batas di mana integral tertentu akan dihitung. Prinsip penyelesaian masalah menemukan luas gambar hampir sepenuhnya bertepatan dengan contoh nomor 1. Satu-satunya perbedaan adalah bahwa fungsi yang diberikan tidak positif, dan semuanya juga kontinu pada interval [-4; -1] . Apa artinya tidak positif? Seperti dapat dilihat dari gambar, gambar yang terletak di dalam x yang diberikan memiliki koordinat "negatif" eksklusif, yang perlu kita lihat dan ingat saat memecahkan masalah. Kami mencari luas gambar menggunakan rumus Newton-Leibniz, hanya dengan tanda minus di awal.
Artikel belum selesai.
Pada artikel ini, Anda akan mempelajari cara mencari luas bangun datar yang dibatasi oleh garis menggunakan perhitungan integral. Untuk pertama kalinya, kita menemukan rumusan masalah seperti itu di sekolah menengah, ketika studi integral tertentu baru saja selesai dan sekarang saatnya untuk memulai interpretasi geometris dari pengetahuan yang diperoleh dalam praktik.
Jadi, apa yang diperlukan untuk berhasil menyelesaikan masalah menemukan luas bangun menggunakan integral:
- Kemampuan menggambar dengan benar;
- Kemampuan untuk memecahkan integral tertentu menggunakan rumus Newton-Leibniz yang terkenal;
- Kemampuan untuk "melihat" solusi yang lebih menguntungkan - mis. untuk memahami bagaimana dalam kasus ini atau itu akan lebih mudah untuk melakukan integrasi? Sepanjang sumbu x (OX) atau sumbu y (OY)?
- Nah, di mana tanpa perhitungan yang benar?) Ini termasuk pemahaman bagaimana menyelesaikan jenis integral lain dan perhitungan numerik yang benar.
Algoritma untuk memecahkan masalah menghitung luas gambar yang dibatasi oleh garis:
1. Kami membuat gambar. Dianjurkan untuk melakukan ini pada selembar kertas di dalam sangkar, dalam skala besar. Kami menandatangani dengan pensil di atas setiap grafik nama fungsi ini. Tanda tangan grafik dilakukan semata-mata untuk kenyamanan perhitungan lebih lanjut. Setelah menerima grafik dari gambar yang diinginkan, dalam banyak kasus akan segera jelas batas integrasi mana yang akan digunakan. Jadi, kami memecahkan masalah secara grafis. Namun, kebetulan nilai batasnya pecahan atau irasional. Oleh karena itu, Anda dapat membuat perhitungan tambahan, lanjutkan ke langkah kedua.
2. Jika batas integrasi tidak ditetapkan secara eksplisit, maka kami menemukan titik perpotongan grafik satu sama lain, dan melihat apakah solusi grafis kami bertepatan dengan solusi analitik.
3. Selanjutnya, Anda perlu menganalisis gambar. Bergantung pada bagaimana grafik fungsi berada, ada berbagai pendekatan untuk menemukan luas gambar. Perhatikan berbagai contoh mencari luas bangun menggunakan integral.
3.1. Versi masalah yang paling klasik dan paling sederhana adalah ketika Anda perlu mencari luas trapesium lengkung. Apa itu trapesium lengkung? Ini adalah bangun datar yang dibatasi oleh sumbu x (y=0), lurus x = a, x = b dan setiap kurva kontinu pada interval dari sebuah sebelum b. Pada saat yang sama, angka ini non-negatif dan terletak tidak lebih rendah dari sumbu x. Dalam hal ini, luas trapesium lengkung secara numerik sama dengan integral tertentu yang dihitung menggunakan rumus Newton-Leibniz:
Contoh 1 y = x2 - 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.
Garis apa yang mendefinisikan gambar? Kami memiliki parabola y = x2 - 3x + 3, yang terletak di atas sumbu OH, tidak negatif, karena semua titik parabola ini positif. Selanjutnya, diberikan garis lurus x = 1 dan x = 3 yang berjalan sejajar dengan sumbu OU, adalah garis pembatas dari gambar di kiri dan kanan. Sehat y = 0, dia adalah sumbu x, yang membatasi gambar dari bawah. Angka yang dihasilkan diarsir, seperti yang terlihat pada gambar di sebelah kiri. Dalam hal ini, Anda dapat segera mulai menyelesaikan masalah. Di depan kita adalah contoh sederhana dari trapesium lengkung, yang kemudian kita selesaikan menggunakan rumus Newton-Leibniz.
3.2. Pada paragraf 3.1 sebelumnya, kasus dianalisis ketika trapesium lengkung terletak di atas sumbu x. Sekarang perhatikan kasus ketika kondisi masalahnya sama, kecuali bahwa fungsinya terletak di bawah sumbu x. Sebuah minus ditambahkan ke rumus standar Newton-Leibniz. Bagaimana mengatasi masalah seperti itu, kami akan mempertimbangkan lebih lanjut.
Contoh 2 . Hitung luas bangun yang dibatasi oleh garis y=x2+6x+2, x=-4, x=-1, y=0.
Dalam contoh ini, kita memiliki parabola y=x2+6x+2, yang berasal dari bawah sumbu OH, lurus x=-4, x=-1, y=0. Di Sini y = 0 membatasi angka yang diinginkan dari atas. Langsung x = -4 dan x = -1 ini adalah batas-batas di mana integral tertentu akan dihitung. Prinsip penyelesaian masalah menemukan luas gambar hampir sepenuhnya bertepatan dengan contoh nomor 1. Satu-satunya perbedaan adalah bahwa fungsi yang diberikan tidak positif, dan semuanya juga kontinu pada interval [-4; -1] . Apa artinya tidak positif? Seperti dapat dilihat dari gambar, gambar yang terletak di dalam x yang diberikan memiliki koordinat "negatif" eksklusif, yang perlu kita lihat dan ingat saat memecahkan masalah. Kami mencari luas gambar menggunakan rumus Newton-Leibniz, hanya dengan tanda minus di awal.
Artikel belum selesai.
Tugas nomor 3. Membuat gambar dan menghitung luas gambar yang dibatasi oleh garis
Penerapan integral untuk memecahkan masalah yang diterapkan
Perhitungan luas
Integral tentu dari fungsi tak-negatif kontinu f(x) secara numerik sama dengan luas trapesium lengkung yang dibatasi oleh kurva y \u003d f (x), sumbu O x dan garis lurus x \u003d a dan x \u003d b. Dengan demikian, rumus luas ditulis sebagai berikut:
Perhatikan beberapa contoh penghitungan luas bangun datar.
Tugas nomor 1. Hitung area yang dibatasi oleh garis y \u003d x 2 +1, y \u003d 0, x \u003d 0, x \u003d 2.
Keputusan. Mari kita buat sebuah gambar, luas yang harus kita hitung.
y \u003d x 2 + 1 adalah parabola yang cabang-cabangnya mengarah ke atas, dan parabola digeser ke atas satu unit relatif terhadap sumbu O y (Gambar 1).
Gambar 1. Grafik fungsi y = x 2 + 1
Tugas nomor 2. Hitung area yang dibatasi oleh garis y \u003d x 2 - 1, y \u003d 0 dalam kisaran dari 0 hingga 1.
 |
Keputusan. Grafik fungsi ini adalah parabola cabang, yang mengarah ke atas, dan parabola digeser ke bawah satu unit relatif terhadap sumbu Oy (Gambar 2).
Gambar 2. Grafik fungsi y \u003d x 2 - 1
Tugas nomor 3. Membuat gambar dan menghitung luas gambar yang dibatasi oleh garis
y = 8 + 2x - x 2 dan y = 2x - 4.
Keputusan. Garis pertama dari dua garis ini adalah parabola dengan cabang-cabang mengarah ke bawah, karena koefisien pada x 2 adalah negatif, dan garis kedua adalah garis lurus yang melintasi kedua sumbu koordinat.
Untuk membuat parabola, cari koordinat titik puncaknya: y'=2 – 2x; 2 – 2x = 0, x = 1 – simpul absis; y(1) = 8 + 2∙1 – 1 2 = 9 adalah ordinatnya, N(1;9) adalah verteksnya.
Sekarang kita menemukan titik potong parabola dan garis dengan menyelesaikan sistem persamaan:
Menyamakan ruas kanan persamaan yang ruas kirinya sama.
Kami mendapatkan 8 + 2x - x 2 \u003d 2x - 4 atau x 2 - 12 \u003d 0, dari mana 
.
Jadi, titik-titik tersebut adalah titik potong parabola dan garis lurus (Gambar 1).
Gambar 3 Grafik fungsi y = 8 + 2x – x 2 dan y = 2x – 4
Mari kita buat garis lurus y = 2x - 4. Melalui titik (0;-4), (2; 0) pada sumbu koordinat.
Untuk membuat parabola, Anda juga dapat memiliki titik potongnya dengan sumbu 0x, yaitu akar dari persamaan 8 + 2x - x 2 = 0 atau x 2 - 2x - 8 = 0. Berdasarkan teorema Vieta, adalah mudah dicari akarnya : x 1 = 2, x 2 = 4.
Gambar 3 menunjukkan gambar (segmen parabola M 1 N M 2) dibatasi oleh garis-garis ini.
Bagian kedua dari masalah adalah menemukan luas dari gambar ini. Luasnya dapat dicari dengan integral tentu dengan menggunakan rumus 
.
Berkenaan dengan kondisi ini, kami memperoleh integral: 
2 Perhitungan volume benda revolusi
Volume tubuh yang diperoleh dari rotasi kurva y \u003d f (x) di sekitar sumbu O x dihitung dengan rumus:
Saat berputar di sekitar sumbu O y, rumusnya terlihat seperti:
Tugas nomor 4. Tentukan volume benda yang diperoleh dari rotasi trapesium lengkung yang dibatasi oleh garis lurus x \u003d 0 x \u003d 3 dan kurva y \u003d di sekitar sumbu O x.
Keputusan. Mari kita membuat gambar (Gambar 4).
Gambar 4. Grafik fungsi y =
Volume yang diinginkan sama dengan 
Tugas nomor 5. Hitung volume tubuh yang diperoleh dari rotasi trapesium lengkung yang dibatasi oleh kurva y = x 2 dan garis lurus y = 0 dan y = 4 mengelilingi sumbu O y .
Keputusan. Kita punya:
Tinjau pertanyaan
sebuah)
Keputusan.
Momen pertama dan terpenting dari keputusan adalah konstruksi gambar.
Mari kita membuat gambar:
persamaan y=0 mengatur sumbu x;
- x=-2 dan x=1 - lurus, sejajar dengan sumbu OU;
- y \u003d x 2 +2 - sebuah parabola yang cabang-cabangnya mengarah ke atas, dengan titik di titik (0;2).
Komentar. Untuk membuat parabola, cukup menemukan titik potongnya dengan sumbu koordinat, mis. menempatkan x=0 tentukan perpotongan dengan sumbu OU dan menyelesaikan persamaan kuadrat yang sesuai, temukan persimpangan dengan sumbu Oh .
Titik puncak parabola dapat ditemukan dengan menggunakan rumus: 
Anda dapat menggambar garis dan titik demi titik.
Pada interval [-2;1] grafik fungsi y=x2 +2 terletak di atas sumbu Sapi , Itu sebabnya:
Menjawab: S \u003d 9 unit persegi
Setelah tugas selesai, selalu berguna untuk melihat gambar dan mencari tahu apakah jawabannya nyata. Dalam hal ini, "dengan mata" kami menghitung jumlah sel dalam gambar - yah, sekitar 9 akan diketik, sepertinya itu benar. Cukup jelas bahwa jika kita memiliki, katakanlah, jawabannya: 20 unit persegi, maka, jelas, kesalahan dibuat di suatu tempat - 20 sel jelas tidak sesuai dengan gambar yang dimaksud, paling banyak selusin. Jika jawabannya ternyata negatif, maka tugas itu juga diselesaikan dengan tidak benar.
Apa yang harus dilakukan jika trapesium lengkung terletak di bawah as Oh?
b) Hitung luas bangun yang dibatasi oleh garis y=-e x , x=1 dan sumbu koordinat.
Keputusan.
Mari kita membuat gambar.
Jika trapesium lengkung sepenuhnya di bawah poros Oh , maka luasnya dapat dicari dengan rumus :
Menjawab: S=(e-1) satuan persegi" 1,72 satuan persegi
Perhatian! Jangan bingung antara dua jenis tugas:
1) Jika Anda diminta untuk menyelesaikan integral tertentu saja tanpa makna geometris, maka itu bisa negatif.
2) Jika Anda diminta untuk mencari luas bangun menggunakan integral tertentu, maka luasnya selalu positif! Itu sebabnya minus muncul dalam rumus yang baru saja dipertimbangkan.
Dalam praktiknya, paling sering sosok itu terletak di setengah bidang atas dan bawah.
dengan) Temukan luas bangun datar yang dibatasi oleh garis y \u003d 2x-x 2, y \u003d -x.
Keputusan.
Pertama, Anda perlu membuat gambar. Secara umum, ketika membuat gambar dalam masalah luas, kita paling tertarik pada titik potong garis. Tentukan titik potong parabola 
dan langsung 
Hal ini dapat dilakukan dengan dua cara. Cara pertama adalah analitis.
Kami memecahkan persamaan:
Jadi batas bawah integrasi a=0 , batas atas integrasi b=3 .
|
Kami membangun garis yang diberikan: 1. Parabola - titik di titik (1;1); persimpangan sumbu Oh - poin (0;0) dan (0;2). 2. Garis lurus - garis bagi sudut koordinat ke-2 dan ke-4. Dan sekarang Perhatian! Jika pada segmen [ a;b] beberapa fungsi kontinu f(x) lebih besar dari atau sama dengan beberapa fungsi kontinu g(x), maka luas gambar yang sesuai dapat ditemukan dengan rumus: Dan tidak masalah di mana gambar itu berada - di atas sumbu atau di bawah sumbu, tetapi penting bagan mana yang LEBIH TINGGI (relatif terhadap bagan lain), dan mana yang BAWAH. Dalam contoh yang sedang dipertimbangkan, jelas bahwa pada segmen parabola terletak di atas garis lurus, dan oleh karena itu perlu dikurangi dari |
.Hal ini dimungkinkan untuk membangun garis titik demi titik, sedangkan batas-batas integrasi ditemukan seolah-olah "sendiri". Namun demikian, metode analitik untuk menemukan batas terkadang masih harus digunakan jika, misalnya, grafiknya cukup besar, atau konstruksi berulir tidak mengungkapkan batas integrasi (dapat berupa pecahan atau irasional).
Angka yang diinginkan dibatasi oleh parabola dari atas dan garis lurus dari bawah.
Di segmen 
, sesuai dengan rumus yang sesuai:
Menjawab: S \u003d 4,5 unit persegi
Tugas 1(pada perhitungan luas trapesium lengkung).
Dalam sistem koordinat persegi panjang Cartesian xOy, sebuah gambar diberikan (lihat gambar), dibatasi oleh sumbu x, garis lurus x \u003d a, x \u003d b (trapesium lengkung. Diperlukan untuk menghitung luas \ u200b\u200b trapesium lengkung.
Keputusan. Geometri memberi kita resep untuk menghitung luas poligon dan beberapa bagian lingkaran (sektor, segmen). Dengan menggunakan pertimbangan geometris, kita hanya akan dapat menemukan nilai perkiraan dari luas yang diperlukan, dengan alasan sebagai berikut.
Mari kita bagi segmen [a; b] (alas trapesium lengkung) menjadi n bagian yang sama; partisi ini layak dengan bantuan titik x 1 , x 2 , ... x k , ... x n-1 . Mari kita menggambar garis melalui titik-titik ini sejajar dengan sumbu y. Kemudian trapesium lengkung yang diberikan akan dibagi menjadi n bagian, menjadi n kolom sempit. Luas seluruh trapesium sama dengan jumlah luas kolom.
Pertimbangkan secara terpisah kolom ke-k, mis. trapesium lengkung, yang dasarnya adalah segmen. Mari kita ganti dengan persegi panjang dengan alas dan tinggi yang sama dengan f(x k) (lihat gambar). Luas persegi panjang adalah \(f(x_k) \cdot \Delta x_k \), di mana \(\Delta x_k \) adalah panjang segmen; wajar untuk mempertimbangkan produk yang dikompilasi sebagai nilai perkiraan luas kolom ke-k. 
Jika sekarang kita melakukan hal yang sama dengan semua kolom lainnya, maka kita sampai pada hasil berikut: luas S dari trapesium lengkung yang diberikan kira-kira sama dengan luas S n dari bangun bertingkat yang terdiri dari n persegi panjang (lihat gambar):
\(S_n = f(x_0)\Delta x_0 + \titik + f(x_k)\Delta x_k + \titik + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) \)
Di sini, demi keseragaman notasi, kami menganggap bahwa a \u003d x 0, b \u003d x n; \(\Delta x_0 \) - panjang segmen , \(\Delta x_1 \) - panjang segmen , dll; sementara, seperti yang kita sepakati di atas, \(\Delta x_0 = \dots = \Delta x_(n-1) \)
Jadi, \(S \approx S_n \), dan persamaan perkiraan ini adalah semakin akurat, semakin besar n.
Menurut definisi, diasumsikan bahwa luas trapesium lengkung yang diinginkan sama dengan batas barisan (S n):
$$ S = \lim_(n \ke \infty) S_n $$
Tugas 2(tentang memindahkan titik)
Sebuah titik material bergerak dalam garis lurus. Ketergantungan kecepatan terhadap waktu dinyatakan dengan rumus v = v(t). Tentukan perpindahan suatu titik selama selang waktu [a; b].
Keputusan. Jika gerakannya seragam, maka masalahnya akan diselesaikan dengan sangat sederhana: s = vt, yaitu. s = v(b-a). Untuk gerakan yang tidak rata, kita harus menggunakan ide yang sama yang menjadi dasar pemecahan masalah sebelumnya.
1) Bagilah selang waktu [a; b] menjadi n bagian yang sama.
2) Pertimbangkan selang waktu dan asumsikan bahwa selama selang waktu ini kecepatannya konstan, seperti pada waktu t k . Jadi, kita asumsikan v = v(t k).
3) Temukan nilai perkiraan perpindahan titik selama interval waktu , nilai perkiraan ini akan dilambangkan dengan s k
\(s_k = v(t_k) \Delta t_k \)
4) Temukan nilai perkiraan perpindahan s:
\(s \kira-kira S_n \) di mana
\(S_n = s_0 + \titik + s_(n-1) = v(t_0)\Delta t_0 + \titik + v(t_(n-1)) \Delta t_(n-1) \)
5) Perpindahan yang diperlukan sama dengan limit barisan (S n):
$$ s = \lim_(n \ke \infty) S_n $$
Mari kita rangkum. Solusi dari berbagai masalah direduksi menjadi model matematika yang sama. Banyaknya permasalahan dari berbagai bidang ilmu pengetahuan dan teknologi mengarah pada model yang sama dalam proses penyelesaiannya. Jadi, model matematika ini harus dipelajari secara khusus.
Konsep integral tertentu
Mari kita berikan deskripsi matematis dari model yang dibangun dalam tiga masalah yang dipertimbangkan untuk fungsi y = f(x), yang kontinu (tetapi tidak harus non-negatif, seperti yang diasumsikan dalam masalah yang dipertimbangkan) pada segmen [ sebuah; b]:
1) membagi segmen [a; b] menjadi n bagian yang sama;
2) jumlah $$ S_n = f(x_0)\Delta x_0 + f(x_1)\Delta x_1 + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $$
3) menghitung $$ \lim_(n \ke \infty) S_n $$
Dalam proses analisis matematis, terbukti bahwa limit ini ada dalam kasus fungsi kontinu (atau kontinu sepotong-sepotong). Dia dipanggil integral tertentu dari fungsi y = f(x) pada ruas [a; b] dan dilambangkan seperti ini:
\(\int\limits_a^b f(x) dx \)
Bilangan a dan b disebut batas integral (masing-masing atas dan bawah).
Mari kembali ke tugas yang dibahas di atas. Definisi luas yang diberikan dalam masalah 1 sekarang dapat ditulis ulang sebagai berikut:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx \)
di sini S adalah luas trapesium lengkung yang ditunjukkan pada gambar di atas. ini adalah apa pengertian geometri dari integral tertentu.
Definisi perpindahan s dari suatu titik yang bergerak dalam garis lurus dengan kecepatan v = v(t) selama selang waktu dari t = a ke t = b, diberikan dalam Soal 2, dapat ditulis ulang sebagai berikut:
rumus Newton - Leibniz
Untuk memulainya, mari kita jawab pertanyaan: apa hubungan antara integral tertentu dan antiturunan?
Jawabannya dapat ditemukan pada soal 2. Di satu sisi, perpindahan s dari sebuah titik yang bergerak sepanjang garis lurus dengan kecepatan v = v(t) selama selang waktu dari t = a ke t = b dan dihitung dengan rumusnya
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt \)
Di sisi lain, koordinat titik bergerak adalah antiturunan untuk kecepatan - mari kita nyatakan s(t); maka perpindahan s dinyatakan dengan rumus s = s(b) - s(a). Hasilnya, kita mendapatkan:
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt = s(b)-s(a) \)
di mana s(t) adalah antiturunan untuk v(t).
Teorema berikut ini dibuktikan dalam proses analisis matematis.
Dalil. Jika fungsi y = f(x) kontinu pada ruas [a; b], maka rumusnya
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) \)
di mana F(x) adalah antiturunan untuk f(x).
Rumus ini biasanya disebut rumus Newton-Leibniz untuk menghormati fisikawan Inggris Isaac Newton (1643-1727) dan filsuf Jerman Gottfried Leibniz (1646-1716), yang menerimanya secara independen satu sama lain dan hampir bersamaan.
Dalam praktiknya, alih-alih menulis F(b) - F(a), mereka menggunakan notasi \(\left. F(x)\right|_a^b \) (kadang-kadang disebut substitusi ganda) dan, karenanya, tulis ulang rumus Newton-Leibniz dalam bentuk ini:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = \kiri. F(x)\kanan|_a^b \)
Menghitung integral tertentu, pertama cari antiturunannya, lalu lakukan substitusi ganda.
Berdasarkan rumus Newton-Leibniz, dapat diperoleh dua sifat integral tertentu.
Properti 1. Integral jumlah fungsi sama dengan jumlah integral:
\(\int\limits_a^b (f(x) + g(x))dx = \int\limits_a^b f(x)dx + \int\limits_a^b g(x)dx \)
Properti 2. Faktor konstanta dapat dikeluarkan dari tanda integral:
\(\int\limits_a^b kf(x)dx = k \int\limits_a^b f(x)dx \)
Menghitung luas bangun datar menggunakan integral tertentu
Dengan menggunakan integral, Anda dapat menghitung luas tidak hanya trapesium lengkung, tetapi juga bangun datar dari jenis yang lebih kompleks, seperti yang ditunjukkan pada gambar. Gambar P dibatasi oleh garis lurus x = a, x = b dan grafik fungsi kontinu y = f(x), y = g(x), dan pada ruas [a; b] ketidaksamaan \(g(x) \leq f(x) \) berlaku. Untuk menghitung luas S dari gambar tersebut, kita akan melanjutkan sebagai berikut:
\(S = S_(ABCD) = S_(aDCb) - S_(aABb) = \int\limits_a^b f(x) dx - \int\limits_a^b g(x) dx = \)
\(= \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)
Jadi, luas S dari gambar yang dibatasi oleh garis lurus x = a, x = b dan grafik fungsi y = f(x), y = g(x), kontinu pada segmen dan sedemikian rupa sehingga untuk setiap x dari segmen [a; b] pertidaksamaan \(g(x) \leq f(x) \) dipenuhi, dihitung dengan rumus
\(S = \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)
