Artikel ini melanjutkan topik persamaan garis lurus pada bidang: pertimbangkan jenis persamaan seperti persamaan umum garis lurus. Mari kita definisikan sebuah teorema dan berikan buktinya; Mari kita cari tahu apa itu persamaan umum tidak lengkap dari garis lurus dan bagaimana membuat transisi dari persamaan umum ke jenis persamaan garis lurus lainnya. Kami akan mengkonsolidasikan seluruh teori dengan ilustrasi dan memecahkan masalah praktis.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Misalkan sistem koordinat persegi panjang O x y diberikan pada bidang.

Teorema 1

Setiap persamaan tingkat pertama, yang memiliki bentuk A x + B y + C \u003d 0, di mana A, B, C adalah beberapa bilangan real (A dan B tidak sama dengan nol pada saat yang sama) mendefinisikan garis lurus di sistem koordinat persegi panjang pada bidang. Pada gilirannya, setiap garis dalam sistem koordinat persegi panjang pada bidang ditentukan oleh persamaan yang berbentuk A x + B y + C = 0 untuk himpunan nilai tertentu A, B, C.

Bukti

Teorema ini terdiri dari dua poin, kami akan membuktikannya masing-masing.

1. Mari kita buktikan bahwa persamaan A x + B y + C = 0 mendefinisikan sebuah garis pada bidang.

Misalkan ada suatu titik M 0 (x 0 , y 0) yang koordinatnya sesuai dengan persamaan A x + B y + C = 0 . Jadi: A x 0 + B y 0 + C = 0 . Kurangi dari sisi kiri dan kanan persamaan A x + B y + C \u003d 0 sisi kiri dan kanan persamaan A x 0 + B y 0 + C \u003d 0, kita mendapatkan persamaan baru yang terlihat seperti A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 . Setara dengan A x + B y + C = 0 .

Persamaan yang dihasilkan A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 adalah syarat perlu dan cukup untuk tegak lurus vektor n → = (A, B) dan M 0 M → = (x - x 0, y - y 0 ) . Jadi, himpunan titik M (x, y) mendefinisikan dalam sistem koordinat persegi panjang sebuah garis lurus yang tegak lurus terhadap arah vektor n → = (A, B) . Kita dapat berasumsi bahwa ini tidak benar, tetapi vektor n → = (A, B) dan M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) tidak akan tegak lurus, dan persamaan A (x - x 0 ) + B (y - y 0) = 0 tidak akan benar.

Oleh karena itu, persamaan A (x - x 0) + B (y - y 0) \u003d 0 mendefinisikan garis tertentu dalam sistem koordinat persegi panjang pada bidang, dan oleh karena itu persamaan setara A x + B y + C \u003d 0 mendefinisikan baris yang sama. Jadi kami telah membuktikan bagian pertama dari teorema.

1. Mari kita buktikan bahwa setiap garis lurus dalam sistem koordinat persegi panjang pada bidang dapat diberikan oleh persamaan derajat pertama A x + B y + C = 0 .

Mari kita atur garis lurus a dalam sistem koordinat persegi panjang pada bidang; titik M 0 (x 0 , y 0) yang dilalui garis ini, serta vektor normal garis ini n → = (A , B) .

Biarkan ada juga beberapa titik M (x , y) - titik mengambang dari garis. Dalam hal ini, vektor n → = (A , B) dan M 0 M → = (x - x 0 , y - y 0) saling tegak lurus, dan produk skalarnya nol:

n → , M 0 M → = A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0

Mari kita tulis ulang persamaan A x + B y - A x 0 - B y 0 = 0 , tentukan C: C = - A x 0 - B y 0 dan akhirnya dapatkan persamaan A x + B y + C = 0 .

Jadi, kami telah membuktikan bagian kedua dari teorema, dan kami telah membuktikan seluruh teorema secara keseluruhan.

Definisi 1

Persamaan yang terlihat seperti A x + B y + C = 0 - Ini persamaan umum garis lurus pada bidang dalam sistem koordinat persegi panjangO x y .

Berdasarkan teorema terbukti, kita dapat menyimpulkan bahwa garis lurus yang diberikan pada sebuah bidang dalam sistem koordinat persegi panjang tetap dan persamaan umumnya terkait erat. Dengan kata lain, garis asli sesuai dengan persamaan umumnya; persamaan umum garis lurus sesuai dengan garis lurus yang diberikan.

Bukti dari teorema ini juga menunjukkan bahwa koefisien A dan B untuk variabel x dan y adalah koordinat vektor normal garis lurus, yang diberikan oleh persamaan umum garis lurus A x + B y + C = 0 .

Pertimbangkan contoh spesifik dari persamaan umum garis lurus.

Biarkan persamaan 2 x + 3 y - 2 = 0 diberikan, yang sesuai dengan garis lurus dalam sistem koordinat persegi panjang yang diberikan. Vektor normal dari garis ini adalah vektor n → = (2 , 3) ​​. Gambarlah garis lurus yang diberikan dalam gambar.

Berikut ini juga dapat diperdebatkan: garis lurus yang kita lihat dalam gambar ditentukan oleh persamaan umum 2 x + 3 y - 2 = 0, karena koordinat semua titik dari garis lurus yang diberikan sesuai dengan persamaan ini.

Kita dapat memperoleh persamaan · A x + · B y + · C = 0 dengan mengalikan kedua ruas persamaan garis lurus umum dengan bilangan bukan nol . Persamaan yang dihasilkan setara dengan persamaan umum asli, oleh karena itu, akan menggambarkan garis yang sama pada bidang.

Definisi 2

Menyelesaikan persamaan umum garis lurus- persamaan umum garis A x + B y + C \u003d 0, di mana angka A, B, C bukan nol. Jika tidak, persamaannya adalah tidak lengkap.

Mari kita menganalisis semua variasi persamaan umum tidak lengkap dari garis lurus.

1. Ketika A \u003d 0, B 0, C 0, persamaan umumnya menjadi B y + C \u003d 0. Persamaan umum yang tidak lengkap tersebut mendefinisikan garis lurus dalam sistem koordinat persegi panjang O x y yang sejajar dengan sumbu O x, karena untuk setiap nilai nyata x, variabel y akan mengambil nilai - C B . Dengan kata lain, persamaan umum garis A x + B y + C \u003d 0, ketika A \u003d 0, B 0, mendefinisikan tempat kedudukan titik (x, y) yang koordinatnya sama dengan angka yang sama - C B .
2. Jika A \u003d 0, B 0, C \u003d 0, persamaan umumnya menjadi y \u003d 0. Persamaan yang tidak lengkap tersebut mendefinisikan sumbu x O x .
3. Ketika A 0, B \u003d 0, C 0, kita mendapatkan persamaan umum yang tidak lengkap A x + C \u003d 0, mendefinisikan garis lurus yang sejajar dengan sumbu y.
4. Misalkan A 0, B \u003d 0, C \u003d 0, maka persamaan umum yang tidak lengkap akan berbentuk x \u003d 0, dan ini adalah persamaan garis koordinat O y.
5. Akhirnya, ketika A 0, B 0, C \u003d 0, persamaan umum yang tidak lengkap mengambil bentuk A x + B y \u003d 0. Dan persamaan ini menggambarkan garis lurus yang melewati titik asal. Memang, pasangan angka (0 , 0) sesuai dengan persamaan A x + B y = 0 , karena A · 0 + B · 0 = 0 .

Mari kita ilustrasikan secara grafis semua jenis persamaan umum tidak lengkap dari garis lurus di atas.

Contoh 1

Diketahui bahwa garis lurus yang diberikan sejajar dengan sumbu y dan melalui titik 2 7 , - 11 . Hal ini diperlukan untuk menuliskan persamaan umum dari garis lurus yang diberikan.

Keputusan

Garis lurus yang sejajar dengan sumbu y diberikan oleh persamaan bentuk A x + C \u003d 0, di mana A 0. Kondisi tersebut juga menentukan koordinat titik yang dilalui garis, dan koordinat titik ini sesuai dengan kondisi persamaan umum yang tidak lengkap A x + C = 0 , yaitu. persamaan benar:

A 2 7 + C = 0

Dimungkinkan untuk menentukan C darinya dengan memberi A beberapa nilai bukan nol, misalnya, A = 7 . Dalam hal ini, kita mendapatkan: 7 2 7 + C \u003d 0 C \u003d - 2. Kita mengetahui kedua koefisien A dan C, substitusikan ke dalam persamaan A x + C = 0 dan dapatkan persamaan garis yang diperlukan: 7 x - 2 = 0

Menjawab: 7 x - 2 = 0

Contoh 2

Gambar menunjukkan garis lurus, perlu untuk menuliskan persamaannya.

Keputusan

Gambar yang diberikan memungkinkan kita dengan mudah mengambil data awal untuk memecahkan masalah. Kita lihat pada gambar bahwa garis yang diberikan sejajar dengan sumbu O x dan melalui titik (0 , 3) ​​.

Garis lurus yang sejajar dengan absis ditentukan oleh persamaan umum yang tidak lengkap B y + = 0. Tentukan nilai B dan C . Koordinat titik (0, 3), karena suatu garis lurus melaluinya, akan memenuhi persamaan garis lurus B y + = 0, maka persamaan tersebut valid: · 3 + = 0. Mari kita atur B ke beberapa nilai selain nol. Katakanlah B \u003d 1, dalam hal ini, dari persamaan B · 3 + C \u003d 0 kita dapat menemukan C: C \u003d - 3. Dengan menggunakan nilai B dan C yang diketahui, kami memperoleh persamaan garis lurus yang diperlukan: y - 3 = 0.

Menjawab: y - 3 = 0 .

Persamaan umum garis lurus yang melalui suatu titik tertentu pada bidang

Biarkan garis yang diberikan melalui titik M 0 (x 0, y 0), maka koordinatnya sesuai dengan persamaan umum garis, yaitu. persamaannya benar: A x 0 + B y 0 + C = 0 . Kurangi ruas kiri dan kanan persamaan ini dari ruas kiri dan kanan persamaan umum lengkap garis lurus. Kami mendapatkan: A (x - x 0) + B (y - y 0) + C \u003d 0, persamaan ini setara dengan persamaan umum asli, melewati titik M 0 (x 0, y 0) dan memiliki a vektor normal n → \u003d (A, B) .

Hasil yang diperoleh memungkinkan untuk menulis persamaan umum garis lurus dengan koordinat vektor normal garis lurus yang diketahui dan koordinat titik tertentu dari garis lurus ini.

Contoh 3

Diberikan titik M 0 (- 3, 4) yang dilalui garis, dan vektor normal garis ini n → = (1 , - 2) . Hal ini diperlukan untuk menuliskan persamaan garis lurus yang diberikan.

Keputusan

Kondisi awal memungkinkan kami memperoleh data yang diperlukan untuk menyusun persamaan: A \u003d 1, B \u003d - 2, x 0 \u003d - 3, y 0 \u003d 4. Kemudian:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 1 (x - (- 3)) - 2 y (y - 4) = 0 x - 2 y + 22 = 0

Masalahnya bisa diselesaikan secara berbeda. Persamaan umum garis lurus memiliki bentuk A x + B y + C = 0 . Vektor normal yang diberikan memungkinkan Anda untuk mendapatkan nilai koefisien A dan B , lalu:

A x + B y + C = 0 1 x - 2 y + C = 0 x - 2 y + C = 0

Sekarang mari kita cari nilai C, menggunakan titik M 0 (- 3, 4) yang diberikan oleh kondisi masalah, yang dilalui garis. Koordinat titik ini sesuai dengan persamaan x - 2 · y + C = 0 , yaitu. - 3 - 2 4 + C \u003d 0. Jadi C = 11. Persamaan garis lurus yang diperlukan berbentuk: x - 2 · y + 11 = 0 .

Menjawab: x - 2 y + 11 = 0 .

Contoh 4

Diberikan garis 2 3 x - y - 1 2 = 0 dan sebuah titik M 0 terletak pada garis ini. Hanya absis titik ini yang diketahui, dan sama dengan - 3. Hal ini diperlukan untuk menentukan ordinat dari titik yang diberikan.

Keputusan

Mari kita atur penunjukan koordinat titik M 0 sebagai x 0 dan y 0 . Data awal menunjukkan bahwa x 0 \u003d - 3. Karena titik tersebut milik garis tertentu, maka koordinatnya sesuai dengan persamaan umum garis ini. Maka persamaan berikut akan benar:

2 3 x 0 - y 0 - 1 2 = 0

Tentukan y 0: 2 3 (- 3) - y 0 - 1 2 = 0 - 5 2 - y 0 = 0 y 0 = - 5 2

Menjawab: - 5 2

Transisi dari persamaan umum garis lurus ke jenis persamaan garis lurus lainnya dan sebaliknya

Seperti yang kita ketahui, ada beberapa jenis persamaan garis lurus yang sama pada bidang. Pilihan jenis persamaan tergantung pada kondisi masalah; dimungkinkan untuk memilih salah satu yang lebih nyaman untuk solusinya. Di sinilah keterampilan mengubah suatu persamaan menjadi persamaan jenis lain sangat berguna.

Pertama, pertimbangkan transisi dari persamaan umum bentuk A x + B y + C = 0 ke persamaan kanonik x - x 1 a x = y - y 1 a y .

Jika A 0, maka kita pindahkan suku B y ke ruas kanan persamaan umum. Di sisi kiri, kami mengambil A dari tanda kurung. Hasilnya, kita mendapatkan: A x + C A = - B y .

Persamaan ini dapat ditulis sebagai proporsi: x + C A - B = y A .

Jika B 0, kami hanya meninggalkan istilah A x di sisi kiri persamaan umum, kami mentransfer yang lain ke sisi kanan, kami mendapatkan: A x \u003d - B y - C. Kami mengeluarkan - B dari tanda kurung, lalu: A x \u003d - B y + C B.

Mari kita tulis ulang persamaan sebagai proporsi: x - B = y + C B A .

Tentu saja, tidak perlu menghafal rumus yang dihasilkan. Cukup mengetahui algoritme tindakan selama transisi dari persamaan umum ke persamaan kanonik.

Contoh 5

Persamaan umum dari garis 3 y - 4 = 0 diberikan. Itu perlu dikonversi ke persamaan kanonik.

Keputusan

Kami menulis persamaan aslinya sebagai 3 y - 4 = 0 . Selanjutnya, kami bertindak sesuai dengan algoritme: suku 0 x tetap di sisi kiri; dan di sisi kanan kami mengeluarkan - 3 dari tanda kurung; kita peroleh: 0 x = - 3 y - 4 3 .

Mari kita tulis persamaan yang dihasilkan sebagai proporsi: x - 3 = y - 4 3 0 . Dengan demikian, kami telah memperoleh persamaan bentuk kanonik.

Jawaban: x - 3 = y - 4 3 0.

Untuk mengubah persamaan umum garis lurus menjadi persamaan parametrik, pertama, transisi ke bentuk kanonik dilakukan, dan kemudian transisi dari persamaan kanonik garis lurus ke persamaan parametrik.

Contoh 6

Garis lurus diberikan oleh persamaan 2 x - 5 y - 1 = 0 . Tuliskan persamaan parametrik dari garis ini.

Keputusan

Mari kita buat transisi dari persamaan umum ke persamaan kanonik:

2 x - 5 y - 1 = 0 2 x = 5 y + 1 2 x = 5 y + 1 5 x 5 = y + 1 5 2

Sekarang mari kita ambil kedua bagian dari persamaan kanonik yang dihasilkan sama dengan , maka:

x 5 = y + 1 5 2 = ⇔ x = 5 y = - 1 5 + 2 , R

Menjawab:x = 5 y = - 1 5 + 2 , R

Persamaan umum dapat diubah menjadi persamaan garis lurus dengan kemiringan y = k x + b, tetapi hanya jika B 0. Untuk transisi di ruas kiri, kita tinggalkan suku B y , sisanya dipindahkan ke kanan. Kami mendapatkan: B y = - A x - C . Mari kita bagi kedua bagian dari persamaan yang dihasilkan dengan B , yang berbeda dari nol: y = - A B x - C B .

Contoh 7

Persamaan umum garis lurus diberikan: 2 x + 7 y = 0 . Anda perlu mengubah persamaan itu menjadi persamaan kemiringan.

Keputusan

Mari kita lakukan tindakan yang diperlukan sesuai dengan algoritme:

2 x + 7 y = 0 7 y - 2 x y = - 2 7 x

Menjawab: y = - 2 7 x .

Dari persamaan umum garis lurus, cukup dengan mendapatkan persamaan dalam bentuk segmen x a + y b \u003d 1. Untuk membuat transisi seperti itu, kami mentransfer angka C ke sisi kanan persamaan, membagi kedua bagian dari persamaan yang dihasilkan dengan - dan, akhirnya, mentransfer koefisien untuk variabel x dan y ke penyebut:

A x + B y + C = 0 A x + B y = - C ⇔ A - C x + B - C y = 1 x - C A + y - C B = 1

Contoh 8

Persamaan umum garis lurus x - 7 y + 1 2 = 0 diubah menjadi persamaan garis lurus dalam segmen-segmen.

Keputusan

Mari pindahkan 1 2 ke ruas kanan: x - 7 y + 1 2 = 0 x - 7 y = - 1 2 .

Bagi dengan -1/2 kedua ruas persamaan: x - 7 y = - 1 2 1 - 1 2 x - 7 - 1 2 y = 1 .

Menjawab: x - 1 2 + y 1 14 = 1 .

Secara umum, transisi terbalik juga mudah: dari jenis persamaan lain ke persamaan umum.

Persamaan garis lurus dalam segmen dan persamaan dengan kemiringan dapat dengan mudah diubah menjadi persamaan umum hanya dengan mengumpulkan semua suku di ruas kiri persamaan:

x a + y b ⇔ 1 a x + 1 b y - 1 = 0 A x + B y + C = 0 y = k x + b y - k x - b = 0 A x + B y + C = 0

Persamaan kanonik diubah menjadi persamaan umum menurut skema berikut:

x - x 1 a x = y - y 1 a y a y (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ a y x - a x y - a y x 1 + a x y 1 = 0 A x + B y + C = 0

Untuk beralih dari parametrik, pertama-tama transisi ke kanonik dilakukan, dan kemudian ke yang umum:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y A x + B y + C = 0

Contoh 9

Persamaan parametrik dari garis lurus x = - 1 + 2 · y = 4 diberikan. Hal ini diperlukan untuk menuliskan persamaan umum dari garis ini.

Keputusan

Mari kita buat transisi dari persamaan parametrik ke kanonik:

x = - 1 + 2 y = 4 x = - 1 + 2 y = 4 + 0 ⇔ = x + 1 2 = y - 4 0 x + 1 2 = y - 4 0

Mari kita beralih dari kanonik ke umum:

x + 1 2 = y - 4 0 0 (x + 1) = 2 (y - 4) y - 4 = 0

Menjawab: y - 4 = 0

Contoh 10

Persamaan garis lurus pada segmen x 3 + y 1 2 = 1 diberikan. Hal ini diperlukan untuk melakukan transisi ke bentuk umum persamaan.

Keputusan:

Mari kita tulis ulang persamaan dalam bentuk yang diperlukan:

x 3 + y 1 2 = 1 1 3 x + 2 y - 1 = 0

Menjawab: 1 3 x + 2 y - 1 = 0 .

Membuat persamaan umum garis lurus

Di atas, kami mengatakan bahwa persamaan umum dapat ditulis dengan koordinat yang diketahui dari vektor normal dan koordinat titik yang dilalui garis. Garis lurus tersebut didefinisikan oleh persamaan A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 . Di tempat yang sama kami menganalisis contoh yang sesuai.

Sekarang mari kita lihat contoh yang lebih kompleks di mana, pertama, perlu untuk menentukan koordinat vektor normal.

Contoh 11

Diketahui sebuah garis yang sejajar dengan garis 2 x - 3 y + 3 3 = 0 . Juga dikenal adalah titik M 0 (4 , 1) yang melaluinya garis yang diberikan. Hal ini diperlukan untuk menuliskan persamaan garis lurus yang diberikan.

Keputusan

Kondisi awal menyatakan bahwa garis-garis tersebut sejajar, maka, sebagai vektor normal dari garis yang persamaannya perlu ditulis, kita ambil vektor pengarah garis n → = (2, - 3) : 2 x - 3 y + 3 3 = 0. Sekarang kita tahu semua data yang diperlukan untuk menyusun persamaan umum garis lurus:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 2 (x - 4) - 3 (y - 1) = 0 2 x - 3 y - 5 = 0

Menjawab: 2 x - 3 y - 5 = 0 .

Contoh 12

Garis yang diberikan melalui titik asal tegak lurus terhadap garis x - 2 3 = y + 4 5 . Hal ini diperlukan untuk menulis persamaan umum dari garis lurus yang diberikan.

Keputusan

Vektor normal dari garis yang diberikan akan menjadi vektor pengarah dari garis x - 2 3 = y + 4 5 .

Maka n → = (3 , 5) . Garis lurus melewati titik asal, mis. melalui titik O (0,0) . Mari kita buat persamaan umum dari garis lurus yang diberikan:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 3 (x - 0) + 5 (y - 0) = 0 3 x + 5 y = 0

Menjawab: 3 x + 5 y = 0 .

Jika Anda melihat kesalahan dalam teks, harap sorot dan tekan Ctrl+Enter

Dalam banyak kasus, memplot fungsi lebih mudah jika Anda terlebih dahulu memplot asimtot kurva.

Definisi 1. Asimtot disebut garis seperti itu, di mana grafik fungsi mendekati sedekat yang diinginkan ketika variabel cenderung plus tak terhingga atau minus tak terhingga.

Definisi 2. Garis lurus disebut asimtot dari grafik suatu fungsi jika jarak dari titik variabel M grafik fungsi hingga garis ini cenderung nol karena titik bergerak menjauh tanpa batas M dari titik asal koordinat sepanjang cabang mana pun dari grafik fungsi.

Ada tiga jenis asimtot: vertikal, horizontal, dan miring.

asimtot vertikal

Definisi. Lurus x = sebuah adalah asimtot vertikal dari grafik fungsi jika titik x = sebuah adalah titik putus jenis kedua untuk fitur ini.

Ini mengikuti dari definisi bahwa garis x = sebuah adalah asimtot vertikal dari grafik fungsi f(x) jika setidaknya salah satu dari kondisi berikut terpenuhi:

Pada saat yang sama, fungsi f(x) tidak dapat didefinisikan sama sekali, masing-masing, untuk x ≥ sebuah dan x ≤ sebuah .

Komentar:

Contoh 1 Grafik Fungsi kamu= ln x memiliki asimtot vertikal x= 0 (yaitu, bertepatan dengan sumbu Oy) pada batas domain definisi, karena limit fungsi sebagai x cenderung nol di sebelah kanan sama dengan minus tak terhingga:

(gbr. di atas).

sendiri dan kemudian lihat solusinya

Contoh 2 Temukan asimtot dari grafik fungsi .

Contoh 3 Menemukan asimtot dari grafik fungsi

asimtot horisontal

Jika (batas fungsi ketika argumen cenderung plus atau minus tak terhingga sama dengan beberapa nilai b), kemudian kamu = b – asimtot horizontal bengkok kamu = f(x ) (kanan ketika x cenderung bertambah tak hingga, kiri ketika x cenderung minus tak terhingga, dan dua sisi jika batas ketika x cenderung plus atau minus tak terhingga adalah sama).

Contoh 5 Grafik Fungsi

pada sebuah> 1 memiliki asimtot horizontal kiri kamu= 0 (yaitu, bertepatan dengan sumbu Sapi), karena limit fungsi ketika "x" cenderung minus tak terhingga sama dengan nol:

Kurva tidak memiliki asimtot horizontal kanan, karena limit fungsi ketika x cenderung ditambah tak terhingga sama dengan tak terhingga:

Asimtot miring

Asimtot vertikal dan horizontal yang kami pertimbangkan di atas sejajar dengan sumbu koordinat, oleh karena itu, untuk membangunnya, kami hanya membutuhkan sejumlah tertentu - titik pada sumbu absis atau ordinat yang dilalui asimtot. Lebih banyak dibutuhkan untuk asimtot miring - kemiringan k, yang menunjukkan sudut kemiringan garis lurus, dan intersep b, yang menunjukkan seberapa banyak garis di atas atau di bawah titik asal. Mereka yang tidak punya waktu untuk melupakan geometri analitik, dan darinya - persamaan garis lurus, akan melihat bahwa untuk asimtot miring mereka temukan persamaan kemiringan. Keberadaan asimtot miring ditentukan oleh teorema berikut, yang menjadi dasar pencarian koefisien yang baru saja disebutkan.

Dalil. Untuk membuat kurva kamu = f(x) memiliki asimtot kamu = kx + b , perlu dan cukup bahwa ada batas yang terbatas k dan b dari fungsi yang sedang dipertimbangkan karena variabel cenderung x ke plus infinity dan minus infinity:

(1)

(2)

Angka-angka yang ditemukan k dan b dan adalah koefisien dari asimtot miring.

Dalam kasus pertama (ketika x cenderung ditambah tak terhingga), asimtot miring kanan diperoleh, dalam kasus kedua (ketika x cenderung minus tak terhingga), asimtot kiri diperoleh. Asimtot miring kanan ditunjukkan pada Gambar. dari bawah.

Ketika menemukan persamaan asimtot miring, perlu untuk memperhitungkan kecenderungan x ke plus tak terhingga dan minus tak terhingga. Untuk beberapa fungsi, misalnya, untuk rasional fraksional, batas-batas ini bertepatan, tetapi untuk banyak fungsi batas-batas ini berbeda, dan hanya satu yang bisa ada.

Ketika batas bertepatan dengan x cenderung plus tak terhingga dan minus tak terhingga, garis lurus kamu = kx + b adalah asimtot dua sisi dari kurva.

Jika setidaknya salah satu batas yang mendefinisikan asimtot kamu = kx + b , tidak ada, maka grafik fungsi tidak memiliki asimtot miring (tetapi mungkin memiliki asimtot vertikal).

Sangat mudah untuk melihat bahwa asimtot horizontal kamu = b adalah kasus khusus miring kamu = kx + b pada k = 0 .

Oleh karena itu, jika suatu kurva memiliki asimtot horizontal ke segala arah, maka tidak ada asimtot miring dalam arah itu, dan sebaliknya.

Contoh 6 Menemukan asimtot dari grafik fungsi

Keputusan. Fungsi didefinisikan pada seluruh garis bilangan kecuali x= 0 , yaitu

Oleh karena itu, pada titik puncak x= 0 kurva mungkin memiliki asimtot vertikal. Memang, limit fungsi karena x cenderung ke nol dari kiri adalah plus tak terhingga:

Karena itu, x= 0 adalah asimtot vertikal dari grafik fungsi ini.

Grafik fungsi ini tidak memiliki asimtot horizontal, karena limit fungsi ketika x cenderung ditambah tak hingga sama dengan plus tak hingga:

Mari kita cari tahu keberadaan asimtot miring:

Punya batas terbatas k= 2 dan b= 0 . Lurus kamu = 2x adalah asimtot miring dua sisi dari grafik fungsi ini (gbr. di dalam contoh).

Contoh 7 Menemukan asimtot dari grafik fungsi

Keputusan. Fungsi memiliki satu titik istirahat x= 1 . Mari kita menghitung batas satu sisi dan menentukan jenis diskontinuitas:

Kesimpulan: x= 1 adalah titik diskontinuitas jenis kedua, jadi garis x= 1 adalah asimtot vertikal dari grafik fungsi ini.

Mencari asimtot miring. Karena fungsi ini rasional fraksional, batas untuk dan untuk akan bertepatan. Jadi, kami menemukan koefisien untuk mensubstitusi garis lurus - asimtot miring ke dalam persamaan:

Mensubstitusikan koefisien yang ditemukan ke dalam persamaan garis lurus dengan kemiringan, kita memperoleh persamaan asimtot miring:

kamu = −3x + 5 .

Pada gambar, grafik fungsi ditandai dengan warna merah anggur, dan asimtotnya berwarna hitam.

Contoh 8 Menemukan asimtot dari grafik fungsi

Keputusan. Karena fungsi ini kontinu, grafiknya tidak memiliki asimtot vertikal. Kami mencari asimtot miring:

.

Jadi, grafik fungsi ini memiliki asimtot kamu= 0 di dan tidak memiliki asimtot di .

Contoh 9 Menemukan asimtot dari grafik fungsi

Keputusan. Pertama, kami mencari asimtot vertikal. Untuk melakukan ini, kami menemukan domain fungsi. Fungsi didefinisikan ketika pertidaksamaan berlaku dan . tanda variabel x cocok dengan tandanya. Oleh karena itu, pertimbangkan pertidaksamaan ekuivalen . Dari sini kita mendapatkan ruang lingkup fungsi: . Asimtot vertikal hanya dapat berada pada batas domain fungsi. Tetapi x= 0 tidak bisa menjadi asimtot vertikal, karena fungsinya didefinisikan untuk x = 0 .

Pertimbangkan batas kanan di (batas kiri tidak ada):

.

Dot x= 2 adalah titik diskontinuitas jenis kedua, jadi garis x= 2 - asimtot vertikal dari grafik fungsi ini.

Kami mencari asimtot miring:

Jadi, kamu = x+ 1 - asimtot miring dari grafik fungsi ini di . Kami mencari asimtot miring untuk:

Jadi, kamu = −x − 1 - asimtot miring di .

Contoh 10 Menemukan asimtot dari grafik fungsi

Keputusan. Fungsi memiliki ruang lingkup . Karena asimtot vertikal dari grafik fungsi ini hanya dapat berada pada batas domain definisi, kita akan menemukan batas satu sisi dari fungsi di .

Sifat-sifat garis lurus dalam geometri Euclidean.

Ada banyak garis tak terhingga yang dapat ditarik melalui titik mana pun.

Melalui dua titik yang tidak bertepatan, hanya ada satu garis lurus.

Dua garis yang tidak bertepatan pada bidang berpotongan di satu titik, atau

paralel (mengikuti dari yang sebelumnya).

Dalam ruang tiga dimensi, ada tiga opsi untuk posisi relatif dua garis:

• garis berpotongan;

• garis lurus sejajar;

• garis lurus berpotongan.

Lurus garis- kurva aljabar orde pertama: dalam sistem koordinat Cartesian, garis lurus

diberikan pada bidang dengan persamaan derajat pertama (persamaan linier).

Persamaan umum garis lurus.

Definisi. Setiap garis pada bidang dapat diberikan oleh persamaan orde pertama

Ah + Wu + C = 0,

dan konstan A, B tidak sama dengan nol pada saat yang bersamaan. Persamaan orde pertama ini disebut umum

persamaan garis lurus. Tergantung pada nilai konstanta A, B dan Dengan Kasus khusus berikut mungkin terjadi:

. C = 0, A 0, B 0- garis melewati titik asal

. A = 0, B 0, C 0 ( By + C = 0)- garis lurus sejajar sumbu Oh

. B = 0, A 0, C 0 ( Ax + C = 0)- garis lurus sejajar sumbu OU

. B = C = 0, A 0- garis bertepatan dengan sumbu OU

. A = C = 0, B 0- garis bertepatan dengan sumbu Oh

Persamaan garis lurus dapat direpresentasikan dalam berbagai bentuk tergantung pada yang diberikan

kondisi awal.

Persamaan garis lurus dengan titik dan vektor normal.

Definisi. Dalam sistem koordinat persegi panjang Cartesian, vektor dengan komponen (A, B)

tegak lurus terhadap garis yang diberikan oleh persamaan

Ah + Wu + C = 0.

Contoh. Tentukan persamaan garis lurus yang melalui suatu titik A(1, 2) tegak lurus terhadap vektor (3, -1).

Keputusan. Mari kita buat di A \u003d 3 dan B \u003d -1 persamaan garis lurus: 3x - y + C \u003d 0. Untuk menemukan koefisien C

kami mengganti koordinat titik A yang diberikan ke dalam ekspresi yang dihasilkan, kami mendapatkan: 3 - 2 + C = 0, oleh karena itu

C = -1. Total: persamaan yang diinginkan: 3x - y - 1 \u003d 0.

Persamaan garis lurus yang melalui dua titik.

Biarkan dua poin diberikan dalam ruang M 1 (x 1 , y 1 , z 1) dan M2 (x 2, y 2 , z 2), kemudian persamaan garis lurus,

melewati titik-titik ini:

Jika salah satu penyebutnya sama dengan nol, pembilangnya harus sama dengan nol. pada

bidang, persamaan garis lurus yang ditulis di atas disederhanakan:

jika x 1 x 2 dan x = x 1, jika x 1 = x 2 .

Pecahan = k ditelepon faktor kemiringan lurus.

Contoh. Tentukan persamaan garis lurus yang melalui titik A(1, 2) dan B(3, 4).

Keputusan. Menerapkan rumus di atas, kita mendapatkan:

Persamaan garis lurus dengan titik dan kemiringan.

Jika persamaan umum garis lurus Ah + Wu + C = 0 bawa ke formulir:

dan menunjuk , maka persamaan yang dihasilkan disebut

persamaan garis lurus dengan kemiringan k.

Persamaan garis lurus pada suatu titik dan vektor pengarah.

Dengan analogi dengan titik yang mempertimbangkan persamaan garis lurus melalui vektor normal, Anda dapat memasukkan tugas

garis lurus melalui suatu titik dan vektor arah garis lurus.

Definisi. Setiap vektor bukan nol (α 1 , 2), yang komponennya memenuhi kondisi

Aα 1 + Bα 2 = 0 ditelepon vektor arah garis lurus.

Ah + Wu + C = 0.

Contoh. Tentukan persamaan garis lurus dengan vektor arah (1, -1) dan melalui titik A(1, 2).

Keputusan. Kami akan mencari persamaan garis lurus yang diinginkan dalam bentuk: Ax + By + C = 0. Menurut definisi,

koefisien harus memenuhi kondisi:

1 * A + (-1) * B = 0, mis. A = B

Maka persamaan garis lurus berbentuk : Ax + Ay + C = 0, atau x + y + C / A = 0.

pada x=1, y=2 kita mendapatkan C/A = -3, yaitu persamaan yang diinginkan:

x + y - 3 = 0

Persamaan garis lurus dalam segmen.

Jika dalam persamaan umum garis lurus Ah + Wu + C = 0 C≠0, maka, dibagi dengan -C, diperoleh:

atau dimana

Arti geometris dari koefisien adalah bahwa koefisien a adalah koordinat titik perpotongan

lurus dengan poros Oh, sebuah b- koordinat titik potong garis dengan sumbu OU.

Contoh. Persamaan umum garis lurus diberikan x - y + 1 = 0. Temukan persamaan garis lurus ini dalam segmen.

C \u003d 1, , a \u003d -1, b \u003d 1.

Persamaan normal garis lurus.

Jika kedua ruas persamaan Ah + Wu + C = 0 bagi dengan angka , yang disebut

faktor normalisasi, maka kita dapatkan

xcosφ + ysinφ - p = 0 -persamaan normal garis lurus.

Tanda ± dari faktor normalisasi harus dipilih sehingga * C< 0.

R- panjang tegak lurus turun dari titik asal ke garis,

sebuah φ - sudut yang dibentuk oleh tegak lurus ini dengan arah sumbu positif Oh.

Contoh. Diberikan persamaan umum garis lurus 12x - 5y - 65 = 0. Diperlukan untuk menulis berbagai jenis persamaan

garis lurus ini.

Persamaan garis lurus ini dalam segmen:

Persamaan garis ini dengan kemiringan: (bagi 5)

Persamaan garis lurus:

cos = 13/12; dosa = -5/13; p=5.

Perlu dicatat bahwa tidak setiap garis lurus dapat diwakili oleh persamaan dalam segmen, misalnya, garis lurus,

sejajar dengan sumbu atau melewati titik asal.

Sudut antar garis pada bidang.

Definisi. Jika diberikan dua garis y \u003d k 1 x + b 1, y \u003d k 2 x + b 2, maka sudut lancip antara garis-garis tersebut

akan didefinisikan sebagai

Dua garis sejajar jika k1 = k2. Dua garis tegak lurus

jika k 1 \u003d -1 / k 2 .

Dalil.

Langsung Ah + Wu + C = 0 dan A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 sejajar jika koefisiennya proporsional

A 1 \u003d A, B 1 \u003d B. Jika juga 1 \u003d, maka garis bertepatan. Koordinat titik potong dua garis

ditemukan sebagai solusi untuk sistem persamaan garis-garis ini.

Persamaan garis yang melalui suatu titik tertentu tegak lurus terhadap garis tertentu.

Definisi. Garis yang melalui suatu titik M 1 (x 1, y 1) dan tegak lurus terhadap garis y = kx + b

diwakili oleh persamaan:

Jarak dari titik ke garis.

Dalil. Jika poin diberikan M(x 0, y 0), maka jarak ke garis Ah + Wu + C = 0 didefinisikan sebagai:

Bukti. Biar intinya M 1 (x 1, y 1)- alas tegak lurus turun dari titik M untuk yang diberikan

langsung. Maka jarak antar titik M dan M 1:

(1)

Koordinat x 1 dan 1 dapat ditemukan sebagai solusi untuk sistem persamaan:

Persamaan kedua dari sistem adalah persamaan garis lurus yang melalui titik tertentu M 0 tegak lurus

garis yang diberikan. Jika kita mengubah persamaan pertama dari sistem ke bentuk:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + Oleh 0 + C = 0,

maka, pemecahannya, kita peroleh:

Mensubstitusikan ekspresi ini ke dalam persamaan (1), kami menemukan:

Teorema telah terbukti.

persamaan

Ah+Wu+C=0

(di mana A, B, C dapat memiliki nilai apa pun, selama koefisien A, B tidak nol keduanya sekaligus) mewakili garis lurus. Setiap garis lurus dapat diwakili oleh persamaan jenis ini. Oleh karena itu disebut persamaan umum garis lurus.

Jika sebuah TETAPI X sejajar sumbu x.

Jika sebuah PADA=0, yaitu persamaan tidak mengandung pada, maka itu mewakili garis, sejajar dengan sumbu OY.

Kogla PADA tidak sama dengan nol, maka persamaan umum garis lurus dapat menjadi menyelesaikan relatif terhadap ordinatpada , kemudian diubah menjadi bentuk

(di mana a=-A/B; b=-C/B).

Demikian pula, ketika TETAPI berbeda dari nol, persamaan umum garis lurus dapat diselesaikan sehubungan dengan X.

Jika sebuah Dengan=0, yaitu persamaan umum garis lurus tidak mengandung suku bebas, maka persamaan tersebut merupakan garis lurus yang melalui titik asal

5.

Persamaan garis yang melalui suatu titik tertentu A(x 1 , kamu 1) dalam arah tertentu, ditentukan oleh kemiringan k,

kamu - kamu 1 = k(x - x 1). (1)

Persamaan ini mendefinisikan sebuah pensil dari garis-garis yang melalui sebuah titik A(x 1 , kamu 1), yang disebut pusat balok.

. Persamaan garis lurus yang melalui dua titik: A(x 1 , kamu 1) dan B(x 2 , kamu 2) ditulis seperti ini:

Kemiringan garis lurus yang melalui dua titik tertentu ditentukan oleh rumus

7 Persamaan garis lurus dalam segmen

Jika dalam persamaan umum garis , maka membagi (1) dengan , kita memperoleh persamaan garis pada segmen

di mana , . Garis memotong sumbu di titik, sumbu di titik.

8Rumus: Sudut antar garis pada bidang

Pada Sasaran α antara dua garis lurus yang diberikan oleh persamaan: y=k 1 x+b 1 (baris pertama) dan y=k 2 x+b 2 (garis kedua), dapat dihitung dengan rumus (sudut diukur dari garis ke-1 ke garis ke-2 berlawanan arah jarum jam ):

tg(α)=(k 2 -k 1 )/(1+k 1 k 2 )

9 Susunan timbal balik dari dua garis lurus pada bidang.

Biarkan keduanya sekarang persamaan garis lurus ditulis dalam bentuk umum.

Dalil. Biarlah

- umum persamaan dua garis lurus koordinat pesawat oxy. Kemudian

1) jika , maka lurus dan cocok;

2) jika , maka garis dan

paralel;

3) jika , maka lurus memotong.

Bukti. Kondisi tersebut ekuivalen dengan kolinearitas normal vektor data langsung:

Oleh karena itu, jika , maka lurus memotong.

Jika , maka , , dan persamaan lurus mengambil bentuk:

Atau , yaitu lurus cocok. Perhatikan bahwa koefisien proporsionalitas , jika tidak semua koefisien total persamaan akan menjadi nol, yang tidak mungkin.

Jika lurus tidak bertepatan dan tidak berpotongan, maka kasusnya tetap, mis. lurus paralel.

Teorema telah terbukti.

Untuk menentukan jarak suatu titik ke garis, Anda perlu mengetahui persamaan garis dan koordinat titik dalam sistem koordinat Cartesius. Jarak suatu titik ke garis adalah garis tegak lurus yang ditarik dari titik tersebut ke garis.

Petunjuk

Persamaan umum garis lurus dalam koordinat Cartesian adalah Ax+By+C=0, di mana A, B, dan C adalah bilangan yang diketahui. Biarkan titik O memiliki koordinat (x1, y1) dalam sistem koordinat Cartesian.

Dalam hal ini, simpangan titik ini dari garis lurus adalah =(Ax1+By1+C)/sqrt((A^2)+(B^2)) jika C<0, и δ=(Ax1+By1+C)/(-sqrt((A^2)+(B^2))), если C>0.

Jarak suatu titik ke garis lurus adalah simpangan mutlak suatu titik dari garis lurus, yaitu, r=|(Ax1+By1+C)/sqrt((A^2)+(B^2))| , jika C<0, и δ=|(Ax1+By1+C)/(-sqrt((A^2)+(B^2)))|, если C>0.

Sekarang biarkan titik dengan koordinat (x1, y1, z1) diberikan dalam ruang tiga dimensi. Garis lurus dapat didefinisikan secara parametrik, dengan sistem tiga persamaan: x = x0+ta, y = y0+tb, z = z0+tc, di mana t adalah bilangan real. Jarak dari titik ke garis dapat ditemukan sebagai jarak minimum dari titik ini ke titik sembarang pada garis. Koefisien t titik ini adalah tmin=(a(x1-x0)+b(y1-y0)+c(z1-z0))/((a^2)+(b^2)+(c^2) )

Jarak dari titik (x1, y1) ke garis lurus juga dapat dihitung jika garis lurus diberikan oleh persamaan dengan kemiringan: y = kx+b. Maka persamaan garis lurus yang tegak lurus akan menjadi: y = (-1/k)x+a. Selanjutnya, Anda perlu memperhitungkan bahwa garis ini harus melewati titik (x1, y1). Dari sini nomor a ditemukan. Setelah transformasi, jarak antara titik dan garis juga ditemukan.

31 . Dasar di pesawat dan di luar angkasa

Definisi. Dasar di pesawat dua vektor bebas linier disebut.

setiap dua vektor non-kolinier membentuk basis. Biarlah sebuah vektor apa pun pada bidang, dan vektor b dan c membentuk dasar. Karena setiap tiga vektor bergantung secara linier pada bidang, maka vektor sebuah dinyatakan secara linier dalam bentuk vektor basis, yaitu, relasi

Definisi. dasar di luar angkasa sembarang tiga vektor bebas linier disebut. tiga vektor non-coplanar membentuk basis. Seperti dalam kasus pesawat, ditetapkan bahwa setiap vektor sebuah terurai menjadi vektor b, c dan d

Definisi umum (untuk memperjelas bagi semua orang) Basis pada bidang (dalam ruang) adalah pasangan terurut (triple) dari vektor-vektor non-kolinier (non-koplanar). Setiap vektor dapat diperluas secara unik berdasarkan basisnya. Koefisien ekspansi disebut koordinat vektor ini sehubungan dengan dasar yang diberikan. Vektor-vektor tersebut membentuk basis dalam ruang koordinat Cartesian Oxyz.