- 05.10.2014
Jika tidak seharusnya menggunakan lebih dari dua sumber sinyal, masuk akal untuk menggunakan pemilih otomatis yang menghubungkan ke input dari sumber preamplifier pada output di mana sinyal muncul. Seperti dapat dilihat dari diagram, selektor berisi pemicu pada transistor VT1, VT2 dan dua generator sinyal yang mengendalikannya. Pada gilirannya, masing-masing pembentuk ...
- 29.10.2014
Chip - TDA2822 adalah amplifier stereo berdaya rendah, op-amp ini digunakan pada pemutar Walkman dan alat bantu dengar. TDA2822 dapat menghasilkan hingga 0,25W TDA2822 adalah solusi keluaran impedansi rendah yang sangat baik. Penulis — D. Mohankumar Sumber — http://electroschematics.com
- 04.10.2014
Sirkuit tanpa suplai choke lampu neon ditunjukkan pada gambar. Lampu pijar dihubungkan secara seri dengan penyearah (penyearah dirakit sesuai dengan rangkaian pengganda tegangan). Penggunaan lampu pijar alih-alih kapasitor pemberat lebih praktis, ia terbakar di lantai bercahaya, ketika salah satu kapasitor rusak, ia terbakar dalam panas penuh, sehingga menandakan kerusakan. Filamen...
- 06.10.2014
Preamplifier dibuat pada satu IC K1401UD2A, yang berisi 4 op-amp, dalam versi stereo, 2 op-amp per saluran. Koefisien transfer keseluruhan (gain) sama dengan 5, tegangan input maksimum adalah 0,5V, nominalnya adalah 0,2V. Impedansi masukan 100 kOhm. Rentang frekuensi adalah 30 ... 20000 Hz dengan ketidakrataan respons frekuensi 2 dB. Penyesuaian respons frekuensi 6-band dengan frekuensi tengah 60, 200, 1000, ...
Pada artikel ini, kita akan memahami apa itu derajat. Di sini kami akan memberikan definisi derajat suatu bilangan, sambil mempertimbangkan secara rinci semua kemungkinan eksponen derajat, dimulai dengan eksponen alami, diakhiri dengan eksponen irasional. Dalam materi Anda akan menemukan banyak contoh derajat yang mencakup semua seluk-beluk yang muncul.
Navigasi halaman.
Derajat dengan eksponen alami, kuadrat dari suatu bilangan, pangkat tiga dari suatu bilangan
Mari kita mulai dengan . Melihat ke depan, katakanlah definisi derajat a dengan eksponen alami n diberikan untuk a , yang akan kita sebut dasar derajat, dan n , yang akan kita sebut eksponen. Kami juga mencatat bahwa derajat dengan indikator alami ditentukan melalui produk, jadi untuk memahami materi di bawah ini, Anda harus memiliki gagasan tentang perkalian angka.
Definisi.
Kekuatan bilangan a dengan eksponen alami n adalah ekspresi dari bentuk a n , yang nilainya sama dengan produk dari n faktor, yang masing-masing sama dengan a , yaitu .
Secara khusus, derajat suatu bilangan a dengan eksponen 1 adalah bilangan a itu sendiri, yaitu a 1 =a.
Segera perlu disebutkan aturan untuk membaca derajat. Cara universal untuk membaca entri a n adalah: "a pangkat n". Dalam beberapa kasus, opsi tersebut juga dapat diterima: "a pangkat n" dan "pangkat n angka a". Sebagai contoh, mari kita ambil pangkat 8 12, ini adalah "delapan pangkat dua belas", atau "delapan pangkat dua belas", atau "kedua belas pangkat delapan".
Kekuatan kedua dari sebuah angka, serta kekuatan ketiga dari sebuah angka, memiliki nama mereka sendiri. pangkat dua suatu bilangan disebut kuadrat dari suatu bilangan, misalnya, 7 2 dibaca sebagai "kuadrat tujuh" atau "kuadrat dari angka tujuh". Kekuatan ketiga dari suatu bilangan disebut nomor kubus, misalnya, 5 3 dapat dibaca sebagai "lima pangkat tiga" atau ucapkan "kubus angka 5".
Saatnya membawa contoh derajat dengan indikator fisik. Mari kita mulai dengan pangkat 5 7 , di mana 5 adalah basis dari pangkat dan 7 adalah eksponen. Mari berikan contoh lain: 4,32 adalah basis, dan bilangan asli 9 adalah eksponen (4,32) 9 .
Harap dicatat bahwa dalam contoh terakhir, basis derajat 4.32 ditulis dalam tanda kurung: untuk menghindari perbedaan, kami akan mengambil dalam tanda kurung semua basis derajat yang berbeda dari bilangan asli. Sebagai contoh, kami memberikan derajat berikut dengan indikator alami 
, basisnya bukan bilangan asli, jadi ditulis dalam tanda kurung. Nah, untuk kejelasan lengkap pada titik ini, kami akan menunjukkan perbedaan yang terkandung dalam catatan bentuk (−2) 3 dan 2 3 . Ekspresi (−2) 3 adalah pangkat dari 2 dengan pangkat 3 alami, dan ekspresi 2 3 (dapat ditulis sebagai (2 3) ) sesuai dengan angka, nilai dari pangkat 2 3 .
Perhatikan bahwa ada notasi untuk derajat a dengan eksponen n dalam bentuk a^n . Selain itu, jika n adalah bilangan asli multinilai, maka eksponennya diambil dalam tanda kurung. Misalnya, 4^9 adalah notasi lain untuk pangkat 4 9 . Dan berikut adalah contoh penulisan derajat lainnya dengan menggunakan simbol “^”: 14^(21) , (−2,1)^(155) . Berikut ini, kita akan menggunakan notasi derajat dari bentuk a n .
Salah satu masalah, kebalikan dari eksponen dengan eksponen alami, adalah masalah menemukan basis derajat dari nilai derajat yang diketahui dan eksponen yang diketahui. Tugas ini mengarah ke .
Diketahui bahwa himpunan bilangan rasional terdiri dari bilangan bulat dan bilangan pecahan, dan setiap bilangan pecahan dapat direpresentasikan sebagai pecahan biasa positif atau negatif. Kami mendefinisikan derajat dengan eksponen bilangan bulat pada paragraf sebelumnya, oleh karena itu, untuk melengkapi definisi derajat dengan eksponen rasional, kami perlu memberikan arti derajat dari angka a dengan eksponen pecahan m / n, di mana m adalah bilangan bulat dan n adalah bilangan asli. Ayo lakukan.
Pertimbangkan gelar dengan eksponen pecahan dari bentuk . Agar properti derajat dalam derajat tetap berlaku, kesetaraan harus berlaku 
. Jika kita memperhitungkan persamaan yang dihasilkan dan bagaimana kita mendefinisikan , maka logis untuk menerimanya, asalkan untuk m, n dan a yang diberikan, ekspresinya masuk akal.
Sangat mudah untuk memverifikasi bahwa semua properti derajat dengan eksponen bilangan bulat valid untuk as (ini dilakukan di bagian properti derajat dengan eksponen rasional).
Alasan di atas memungkinkan kita untuk membuat yang berikut: kesimpulan: jika untuk m, n dan a yang diberikan ekspresi masuk akal, maka pangkat dari bilangan a dengan pangkat pecahan m / n disebut akar derajat ke-n dari a ke pangkat m.
Pernyataan ini membawa kita mendekati definisi derajat dengan eksponen pecahan. Tetap hanya untuk menggambarkan ekspresi m, n dan a yang masuk akal. Tergantung pada pembatasan yang dikenakan pada m , n dan a, ada dua pendekatan utama.
Cara termudah untuk membatasi a adalah dengan mengasumsikan a≥0 untuk m positif dan a>0 untuk m negatif (karena m≤0 tidak memiliki kekuatan 0 m). Kemudian kita mendapatkan definisi derajat berikut dengan eksponen pecahan.
Definisi.
Pangkat bilangan positif a dengan pangkat pecahan m/n, di mana m adalah bilangan bulat, dan n adalah bilangan asli, disebut akar ke-n dari bilangan a pangkat m, yaitu .
Derajat pecahan nol juga didefinisikan dengan satu-satunya peringatan bahwa eksponen harus positif.
Definisi.
Pangkat nol dengan eksponen positif pecahan m/n, di mana m adalah bilangan bulat positif dan n adalah bilangan asli, didefinisikan sebagai 
.
Ketika derajat tidak ditentukan, yaitu derajat angka nol dengan eksponen negatif pecahan tidak masuk akal.
Perlu dicatat bahwa dengan definisi derajat seperti itu dengan eksponen pecahan, ada satu nuansa: untuk beberapa a negatif dan beberapa m dan n, ekspresi masuk akal, dan kami membuang kasus ini dengan memperkenalkan kondisi a≥0 . Misalnya, masuk akal untuk menulis 
atau , dan definisi di atas memaksa kita untuk mengatakan bahwa derajat dengan eksponen pecahan dari bentuk 
tidak ada artinya, karena basisnya tidak boleh negatif.
Pendekatan lain untuk menentukan derajat dengan pangkat pecahan m / n adalah dengan mempertimbangkan secara terpisah pangkat genap dan ganjil dari akar. Pendekatan ini memerlukan kondisi tambahan: derajat bilangan a, yang eksponennya , dianggap derajat bilangan a, eksponennya adalah pecahan tak tereduksi yang sesuai (pentingnya kondisi ini akan dijelaskan di bawah). Artinya, jika m/n adalah pecahan tak tereduksi, maka untuk sembarang bilangan asli k derajatnya terlebih dahulu diganti dengan .
Untuk n genap dan m positif, ekspresi masuk akal untuk sembarang a non-negatif (akar derajat genap dari bilangan negatif tidak masuk akal), untuk m negatif, bilangan a masih harus berbeda dari nol (jika tidak ada akan menjadi pembagian dengan nol). Dan untuk n ganjil dan m positif, bilangan a dapat berupa apa saja (akar derajat ganjil ditentukan untuk sembarang bilangan real), dan untuk m negatif, bilangan a harus berbeda dari nol (sehingga tidak ada pembagian dengan nol).
Alasan di atas membawa kita ke definisi derajat dengan eksponen pecahan.
Definisi.
Biarkan m/n menjadi pecahan tak tereduksi, m bilangan bulat, dan n bilangan asli. Untuk setiap pecahan biasa yang dapat direduksi, derajatnya diganti dengan . Pangkat a dengan pangkat pecahan tak tereduksi m / n adalah untuk
Mari kita jelaskan mengapa gelar dengan eksponen pecahan yang dapat direduksi pertama-tama diganti dengan gelar dengan eksponen yang tidak dapat direduksi. Jika kita hanya mendefinisikan derajat sebagai , dan tidak membuat reservasi tentang ireduksibilitas pecahan m / n , maka kita akan menghadapi situasi yang mirip dengan berikut: karena 6/10=3/5 , maka persamaan 
, tetapi 
, sebuah .
tujuan utama
Untuk memperkenalkan siswa dengan sifat-sifat derajat dengan indikator alami dan mengajari mereka untuk melakukan tindakan dengan derajat.
Topik “Gelar dan sifat-sifatnya” mencakup tiga pertanyaan:
- Penentuan derajat dengan indikator alami.
- Perkalian dan pembagian kekuasaan.
- Eksponensial produk dan derajat.
pertanyaan tes
- Rumuskan definisi derajat dengan eksponen natural lebih besar dari 1. Berikan contohnya.
- Rumuskan definisi derajat dengan indikator 1. Berikan contohnya.
- Apa urutan operasi saat mengevaluasi nilai ekspresi yang mengandung kekuatan?
- Merumuskan properti utama dari gelar. Berikan contoh.
- Merumuskan aturan untuk mengalikan kekuatan dengan basis yang sama. Berikan contoh.
- Merumuskan aturan untuk membagi kekuatan dengan basis yang sama. Berikan contoh.
- Rumuskan aturan eksponensial suatu produk. Berikan contoh. Buktikan identitas (ab) n = a n b n .
- Merumuskan aturan untuk menaikkan derajat ke kekuasaan. Berikan contoh. Buktikan identitas (a m) n = a m n .
Definisi gelar.
derajat bilangan sebuah dengan indikator alami n, lebih besar dari 1, disebut produk dari n faktor, yang masing-masing sama dengan sebuah. derajat bilangan sebuah dengan eksponen 1 bilangan itu sendiri disebut sebuah.
Gelar dengan basis sebuah dan indikator n ditulis seperti ini: sebuah. Itu berbunyi " sebuah sejauh n”; “ kekuatan ke-n dari sebuah angka sebuah ”.
Menurut definisi gelar:
a 4 = a a a a
. . . . . . . . . . . .
Mencari nilai derajat disebut eksponensial .
1. Contoh eksponensial:
3 3 = 3 3 3 = 27
0 4 = 0 0 0 0 = 0
(-5) 3 = (-5) (-5) (-5) = -125
25 ; 0,09 ;
25 = 5 2 ; 0,09 = (0,3) 2 ; .
27 ; 0,001 ; 8 .
27 = 3 3 ; 0,001 = (0,1) 3 ; 8 = 2 3 .
4. Temukan nilai ekspresi:
a) 3 10 3 = 3 10 10 10 = 3 1000 = 3000
b) -2 4 + (-3) 2 = 7
2 4 = 16
(-3) 2 = 9
-16 + 9 = 7
Pilihan 1
a) 0,3 0,3 0,3
c) b b b b b b b
d) (-x) (-x) (-x) (-x)
e) (ab) (ab) (ab)
2. Kuadratkan angka:
3. Kubus angka:
4. Temukan nilai ekspresi:
c) -1 4 + (-2) 3
d) -4 3 + (-3) 2
e) 100 - 5 2 4
Perkalian kekuatan.
Untuk sembarang bilangan a dan bilangan sembarang m dan n, berikut ini benar:
a m a n = a m + n .
Bukti:
aturan : Saat mengalikan pangkat dengan basis yang sama, basis tetap sama, dan eksponen ditambahkan.
a m a n a k = a m + n a k = a (m + n) + k = a m + n + k
a) x 5 x 4 = x 5 + 4 = x 9
b) y y 6 = y 1 y 6 = y 1 + 6 = y 7
c) b 2 b 5 b 4 \u003d b 2 + 5 + 4 \u003d b 11
d) 3 4 9 = 3 4 3 2 = 3 6
e) 0,01 0,1 3 = 0,1 2 0,1 3 = 0,1 5
a) 2 3 2 = 2 4 = 16
b) 3 2 3 5 = 3 7 = 2187
Pilihan 1
1. Hadir sebagai gelar:
a) x 3 x 4 e) x 2 x 3 x 4
b) a 6 a 2 g) 3 3 9
c) y 4 y h) 7 4 49
d) a 8 i) 16 2 7
e) 2 3 2 4 j) 0,3 3 0,09
2. Sajikan sebagai gelar dan temukan nilainya dalam tabel:
a) 2 2 2 3 c) 8 2 5
b) 3 4 3 2 d) 27 243
Pembagian derajat.
Untuk sembarang bilangan a0 dan bilangan asli sembarang m dan n sedemikian hingga m>n, berikut ini berlaku:
a m: a n = a m - n
Bukti:
a m - n a n = a (m - n) + n = a m - n + n = a m
menurut definisi pribadi:
a m: a n \u003d a m - n.
aturan: Saat membagi pangkat dengan basis yang sama, basis dibiarkan sama, dan eksponen pembagi dikurangkan dari eksponen dividen.
Definisi: Derajat bilangan bukan nol dengan eksponen nol sama dengan satu:
karena a n: a n = 1 untuk a0 .
a) x 4: x 2 \u003d x 4 - 2 \u003d x 2
b) y 8: y 3 = y 8 - 3 = y 5
c) a 7: a \u003d a 7: a 1 \u003d a 7 - 1 \u003d a 6
d) s 5: s 0 = s 5:1 = s 5
a) 5 7:5 5 = 5 2 = 25
b) 10 20:10 17 = 10 3 = 1000
di)
G)
e)
Pilihan 1
1. Nyatakan hasil bagi sebagai kekuatan:
2. Temukan nilai ekspresi:
Meningkatkan kekuatan produk.
Untuk setiap a dan b dan bilangan asli sembarang n:
(ab) n = a n b n
Bukti:
Menurut definisi derajat
(ab) n = 
Pengelompokan faktor a dan faktor b secara terpisah, kita peroleh:
= 
Properti terbukti dari tingkat produk meluas ke tingkat produk dari tiga atau lebih faktor.
Sebagai contoh:
(a b c) n = a n b n c n ;
(a b c d) n = a n b n c n d n .
aturan: Saat menaikkan produk ke kekuatan, setiap faktor dinaikkan ke kekuatan itu dan hasilnya dikalikan.
1. Naikkan ke kekuatan:
a) (a b) 4 = a 4 b 4
b) (2 x y) 3 \u003d 2 3 x 3 y 3 \u003d 8 x 3 y 3
c) (3 a) 4 = 3 4 a 4 = 81 a 4
d) (-5 y) 3 \u003d (-5) 3 y 3 \u003d -125 y 3
e) (-0,2 x y) 2 \u003d (-0,2) 2 x 2 y 2 \u003d 0,04 x 2 y 2
f) (-3 a b c) 4 = (-3) 4 a 4 b 4 c 4 = 81 a 4 b 4 c 4
2. Temukan nilai ekspresi:
a) (2 10) 4 = 2 4 10 4 = 16 1000 = 16000
b) (3 5 20) 2 = 3 2 100 2 = 9 10000= 90000
c) 2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10000
d) 0,25 11 4 11 = (0,25 4) 11 = 1 11 = 1
e)
Pilihan 1
1. Naikkan ke kekuatan:
b) (2 a c) 4
e) (-0,1 x y) 3
2. Temukan nilai ekspresi:
b) (5 7 20) 2
Eksponen.
Untuk sembarang bilangan a dan bilangan asli sembarang m dan n:
(a m) n = a m n
Bukti:
Menurut definisi derajat
(a m) n = 
Aturan: Saat menaikkan pangkat menjadi pangkat, basisnya dibiarkan sama, dan eksponennya dikalikan.
1. Naikkan ke kekuatan:
(a 3) 2 = a 6 (x 5) 4 = x 20
(y 5) 2 = y 10 (b 3) 3 = b 9
2. Sederhanakan ekspresi:
a) a 3 (a 2) 5 = a 3 a 10 = a 13
b) (b 3) 2 b 7 \u003d b 6 b 7 \u003d b 13
c) (x 3) 2 (x 2) 4 \u003d x 6 x 8 \u003d x 14
d) (y y 7) 3 = (y 8) 3 = y 24
sebuah)
b)
Pilihan 1
1. Naikkan ke kekuatan:
a) (a 4) 2 b) (x 4) 5
c) (y 3) 2 d) (b 4) 4
2. Sederhanakan ekspresi:
a) a 4 (a 3) 2
b) (b 4) 3 b 5+
c) (x 2) 4 (x 4) 3
d) (y y 9) 2
3. Temukan arti ungkapan:
Lampiran
Definisi gelar.
pilihan 2
1 Tulis produk dalam bentuk gelar:
a) 0,4 0,4 0,4
c) a a a a a a a a
d) (-y) (-y) (-y) (-y)
e) (sm) (sm) (sm)
2. Kuadratkan angka:
3. Kubus angka:
4. Temukan nilai ekspresi:
c) -1 3 + (-2) 4
d) -6 2 + (-3) 2
e) 4 5 2 – 100
Opsi 3
1. Tulis produk sebagai derajat:
a) 0,5 0,5 0,5
c) c c c c c c c c c
d) (-x) (-x) (-x) (-x)
e) (ab) (ab) (ab)
2. Hadir dalam bentuk persegi dengan jumlah: 100; 0,49; .
3. Kubus angka:
4. Temukan nilai ekspresi:
c) -1 5 + (-3) 2
d) -5 3 + (-4) 2
e) 5 4 2 - 100
Opsi 4
1. Tulis produk sebagai derajat:
a) 0,7 0,7 0,7
c) x x x x x x
d) (-а) (-а) (-а)
e) (bc) (bc) (bc) (sm)
2. Kuadratkan angka:
3. Kubus angka:
4. Temukan nilai ekspresi:
c) -1 4 + (-3) 3
d) -3 4 + (-5) 2
e) 100 - 3 2 5
Perkalian kekuatan.
pilihan 2
1. Hadir sebagai gelar:
a) x 4 x 5 e) x 3 x 4 x 5
b) a 7 a 3 g) 2 3 4
c) y 5 y h) 4 3 16
d) a a 7 i) 4 2 5
e) 2 2 2 5 j) 0,2 3 0,04
2. Sajikan sebagai gelar dan temukan nilainya dalam tabel:
a) 3 2 3 3 c) 16 2 3
b) 2 4 2 5 d) 9 81
Opsi 3
1. Hadir sebagai gelar:
a) a 3 a 5 e) y 2 y 4 y 6
b) x 4 x 7 g) 3 5 9
c) b 6 b h) 5 3 25
d) y 8 i) 49 7 4
e) 2 3 2 6 j) 0,3 4 0,27
2. Sajikan sebagai gelar dan temukan nilainya dalam tabel:
a) 3 3 3 4 c) 27 3 4
b) 2 4 2 6 d) 16 64
Opsi 4
1. Hadir sebagai gelar:
a) a 6 a 2 e) x 4 x x 6
b) x 7 x 8 g) 3 4 27
c) y 6 y h) 4 3 16
d) x x 10 i) 36 6 3
e) 2 4 2 5 j) 0,2 2 0,008
2. Sajikan sebagai gelar dan temukan nilainya dalam tabel:
a) 2 6 2 3 c) 64 2 4
b) 3 5 3 2 d) 81 27
Pembagian derajat.
pilihan 2
1. Nyatakan hasil bagi sebagai kekuatan:
2. Temukan arti ungkapan.
dapat dicari dengan menggunakan perkalian. Misalnya: 5+5+5+5+5+5=5x6. Mereka mengatakan tentang ekspresi sedemikian rupa sehingga jumlah istilah yang sama telah dilipat menjadi produk. Dan sebaliknya, jika kita membaca persamaan ini dari kanan ke kiri, kita mendapatkan bahwa kita telah memperluas jumlah suku yang sama. Demikian pula, Anda dapat melipat produk dari beberapa faktor yang sama 5x5x5x5x5x5=5 6 .
Artinya, alih-alih mengalikan enam faktor identik 5x5x5x5x5x5, mereka menulis 5 6 dan mengatakan "lima pangkat enam."
Ekspresi 5 6 adalah kekuatan angka, di mana:
5 - dasar derajat;
6 - eksponen.
Operasi di mana produk dari faktor-faktor yang sama dilipat menjadi kekuatan disebut eksponensial.
Secara umum, pangkat dengan basis "a" dan eksponen "n" ditulis sebagai:
Menaikkan angka a ke pangkat n berarti mencari hasil kali n faktor, yang masing-masingnya sama dengan a
Jika basis derajat "a" adalah 1, maka nilai derajat untuk n alami apa pun akan sama dengan 1. Misalnya, 1 5 \u003d 1, 1 256 \u003d 1
Jika Anda menaikkan angka "a" menjadi gelar pertama, maka kita mendapatkan nomor itu sendiri: a 1 = a
Jika Anda menaikkan nomor berapa pun ke nol derajat, maka sebagai hasil perhitungan kami mendapatkan satu. 0 = 1
Kekuatan kedua dan ketiga dari suatu angka dianggap istimewa. Mereka datang dengan nama untuk mereka: gelar kedua disebut kuadrat dari suatu bilangan, ketiga - kubus nomor ini.
Angka apa pun dapat dipangkatkan - positif, negatif, atau nol. Namun, aturan berikut tidak digunakan:
Saat menemukan derajat bilangan positif, diperoleh bilangan positif.
Saat menghitung nol dalam bentuk barang, kami mendapatkan nol.
x m n = x m + n
misalnya: 7 1,7 7 - 0,9 = 7 1,7+(- 0,9) = 7 1,7 - 0,9 = 7 0,8
Ke membagi kekuatan dengan basis yang sama kami tidak mengubah basis, tetapi mengurangi eksponen:
x m / x n \u003d x m - n , di mana, m > n
misalnya: 13 3,8 / 13 -0,2 = 13 (3,8 -0,2) = 13 3,6
Saat menghitung eksponensial Kami tidak mengubah basis, tetapi kami mengalikan eksponen satu sama lain.
(di m )n = y m n
contoh: (2 3) 2 = 2 3 2 = 2 6
(X · y) tidak = x n · m ,
contoh: (2 3) 3 = 2 n 3 m ,
Saat melakukan perhitungan untuk pangkat dari pecahan kami menaikkan pembilang dan penyebut pecahan ke pangkat yang diberikan
(x/y)n = x n / tn
contoh: (2/5) 3 = (2/5) (2/5) (2/5) = 2 3/5 3 .
Urutan melakukan perhitungan saat bekerja dengan ekspresi yang mengandung gelar.
Saat melakukan perhitungan ekspresi tanpa tanda kurung, tetapi mengandung kekuatan, pertama-tama, eksponensial dilakukan, kemudian operasi perkalian dan pembagian, dan baru kemudian operasi penambahan dan pengurangan.
Jika perlu untuk mengevaluasi ekspresi yang mengandung tanda kurung, maka pertama, dalam urutan yang ditunjukkan di atas, kami melakukan perhitungan dalam tanda kurung, dan kemudian tindakan yang tersisa dalam urutan yang sama dari kiri ke kanan.
Sangat luas dalam perhitungan praktis, untuk menyederhanakan perhitungan, tabel derajat yang sudah jadi digunakan.
Tingkat pertama
Gelar dan sifat-sifatnya. Panduan Komprehensif (2019)
Mengapa diperlukan gelar? Di mana Anda membutuhkan mereka? Mengapa Anda perlu meluangkan waktu untuk mempelajarinya?
Untuk mempelajari segala sesuatu tentang gelar, untuk apa gelar itu, bagaimana menggunakan pengetahuan Anda dalam kehidupan sehari-hari, baca artikel ini.
Dan, tentu saja, mengetahui gelar akan membawa Anda lebih dekat untuk berhasil lulus OGE atau Unified State Examination dan memasuki universitas impian Anda.
Ayo ayo!)
Catatan penting! Jika alih-alih formula Anda melihat omong kosong, kosongkan cache Anda. Untuk melakukannya, tekan CTRL+F5 (di Windows) atau Cmd+R (di Mac).
TINGKAT PERTAMA
Eksponen adalah operasi matematika yang sama seperti penambahan, pengurangan, perkalian atau pembagian.
Sekarang saya akan menjelaskan semuanya dalam bahasa manusia menggunakan contoh yang sangat sederhana. Perhatian. Contohnya adalah dasar, tetapi jelaskan hal-hal penting.
Mari kita mulai dengan penambahan.
Tidak ada yang perlu dijelaskan di sini. Anda sudah tahu segalanya: ada delapan dari kita. Masing-masing memiliki dua botol cola. Berapa banyak cola? Itu benar - 16 botol.
Sekarang perkalian.
Contoh yang sama dengan cola dapat ditulis dengan cara yang berbeda: . Matematikawan adalah orang yang licik dan malas. Mereka pertama-tama memperhatikan beberapa pola, dan kemudian menemukan cara untuk "menghitung" mereka lebih cepat. Dalam kasus kami, mereka memperhatikan bahwa masing-masing dari delapan orang memiliki jumlah botol cola yang sama dan menghasilkan teknik yang disebut perkalian. Setuju, itu dianggap lebih mudah dan lebih cepat daripada.
Jadi, untuk menghitung lebih cepat, lebih mudah dan tanpa kesalahan, Anda hanya perlu mengingat tabel perkalian. Tentu saja, Anda dapat melakukan semuanya dengan lebih lambat, lebih keras, dan dengan kesalahan! Tetapi…
Berikut tabel perkaliannya. Ulang.
Dan satu lagi, yang lebih cantik:
Dan trik menghitung rumit apa lagi yang dibuat oleh matematikawan malas? dengan benar - menaikkan angka menjadi kekuatan.
Menaikkan angka menjadi kekuatan
Jika Anda perlu mengalikan angka dengan dirinya sendiri lima kali, maka ahli matematika mengatakan bahwa Anda perlu menaikkan angka ini menjadi kekuatan kelima. Sebagai contoh, . Matematikawan ingat bahwa dua pangkat lima adalah. Dan mereka memecahkan masalah seperti itu dalam pikiran mereka - lebih cepat, lebih mudah, dan tanpa kesalahan.
Untuk melakukan ini, Anda hanya perlu ingat apa yang disorot dalam warna dalam tabel pangkat angka. Percayalah, itu akan membuat hidup Anda jauh lebih mudah.
Ngomong-ngomong, mengapa derajat kedua disebut kotak angka, dan yang ketiga kubus? Apa artinya? Sebuah pertanyaan yang sangat bagus. Sekarang Anda akan memiliki kotak dan kubus.
Contoh kehidupan nyata #1
Mari kita mulai dengan kuadrat atau pangkat dua dari suatu bilangan.
Bayangkan sebuah kolam persegi berukuran meter demi meter. Kolam renang ada di halaman belakang Anda. Panas sekali dan saya sangat ingin berenang. Tapi ... kolam tanpa dasar! Hal ini diperlukan untuk menutupi bagian bawah kolam dengan ubin. Berapa banyak ubin yang Anda butuhkan? Untuk menentukannya, Anda perlu mengetahui luas dasar kolam.
Anda cukup menghitung dengan menusukkan jari Anda bahwa dasar kolam terdiri dari kubus meter demi meter. Jika ubin Anda berukuran meter demi meter, Anda akan membutuhkan potongan. Sangat mudah... Tapi di mana Anda melihat ubin seperti itu? Ubinnya akan berukuran cm demi cm, dan kemudian Anda akan tersiksa dengan "menghitung dengan jari Anda". Maka Anda harus memperbanyak. Jadi, di satu sisi dasar kolam, kami akan memasang ubin (potongan) dan di sisi lain juga ubin. Mengalikan dengan, Anda mendapatkan ubin ().
Apakah Anda memperhatikan bahwa kami mengalikan angka yang sama dengan sendirinya untuk menentukan luas dasar kolam? Apa artinya? Karena bilangan yang sama dikalikan, kita dapat menggunakan teknik eksponensial. (Tentu saja, ketika Anda hanya memiliki dua angka, Anda masih perlu mengalikannya atau menaikkannya ke pangkat. Tetapi jika Anda memiliki banyak, maka menaikkan ke pangkat jauh lebih mudah dan kesalahan dalam perhitungan juga lebih sedikit. Untuk ujian, ini sangat penting).
Jadi, tiga puluh derajat ke dua adalah (). Atau Anda dapat mengatakan bahwa tiga puluh kuadrat akan menjadi. Dengan kata lain, pangkat dua suatu bilangan selalu dapat direpresentasikan sebagai persegi. Dan sebaliknya, jika Anda melihat persegi, itu SELALU pangkat kedua dari beberapa angka. Persegi adalah gambaran pangkat dua suatu bilangan.
Contoh kehidupan nyata #2
Berikut tugas untuk Anda, hitung berapa banyak kotak di papan catur menggunakan kuadrat angka ... Di satu sisi sel dan di sisi lain juga. Untuk menghitung jumlahnya, Anda perlu mengalikan delapan dengan delapan, atau ... jika Anda memperhatikan bahwa papan catur berbentuk bujur sangkar dengan satu sisi, maka Anda dapat mengkuadratkan delapan. Dapatkan sel. () Jadi?
Contoh kehidupan nyata #3
Sekarang kubus atau pangkat tiga dari suatu bilangan. Kolam yang sama. Tetapi sekarang Anda perlu mencari tahu berapa banyak air yang harus dituangkan ke dalam kolam ini. Anda perlu menghitung volumenya. (Omong-omong, volume dan cairan diukur dalam meter kubik. Tidak terduga, bukan?) Gambarlah sebuah kolam: bagian bawah berukuran satu meter dan dalamnya satu meter dan coba hitung berapa meter demi meter kubus yang akan masuk ke kolam Anda.
Cukup arahkan jari Anda dan hitung! Satu, dua, tiga, empat… dua puluh dua, dua puluh tiga… Berapa hasilnya? Tidak tersesat? Apakah sulit untuk menghitung dengan jari Anda? Maka! Ambil contoh dari ahli matematika. Mereka malas, jadi mereka memperhatikan bahwa untuk menghitung volume kolam, Anda perlu mengalikan panjang, lebar, dan tingginya satu sama lain. Dalam kasus kami, volume kolam akan sama dengan kubus ... Lebih mudah, bukan?
Sekarang bayangkan betapa malas dan liciknya matematikawan jika mereka membuatnya terlalu mudah. Mengurangi semuanya menjadi satu tindakan. Mereka memperhatikan bahwa panjang, lebar dan tinggi adalah sama dan angka yang sama dikalikan dengan dirinya sendiri ... Dan apa artinya ini? Ini berarti Anda dapat menggunakan gelar. Jadi, apa yang pernah Anda hitung dengan jari, mereka lakukan dalam satu tindakan: tiga dalam kubus sama. Ini ditulis seperti ini:
Hanya tersisa menghafal tabel derajat. Kecuali, tentu saja, Anda sama malas dan liciknya dengan ahli matematika. Jika Anda suka bekerja keras dan membuat kesalahan, Anda dapat terus menghitung dengan jari Anda.
Nah, untuk akhirnya meyakinkan Anda bahwa gelar diciptakan oleh sepatu dan orang-orang licik untuk memecahkan masalah hidup mereka, dan bukan untuk menciptakan masalah bagi Anda, berikut adalah beberapa contoh lagi dari kehidupan.
Contoh kehidupan nyata #4
Anda memiliki satu juta rubel. Pada awal setiap tahun, Anda mendapatkan satu juta lagi untuk setiap satu juta. Artinya, setiap satu juta Anda di awal setiap tahun berlipat ganda. Berapa banyak uang yang akan Anda miliki dalam beberapa tahun? Jika Anda sekarang duduk dan "menghitung dengan jari", maka Anda adalah orang yang sangat pekerja keras dan .. bodoh. Tetapi kemungkinan besar Anda akan memberikan jawaban dalam beberapa detik, karena Anda pintar! Jadi, di tahun pertama - dua kali dua ... di tahun kedua - apa yang terjadi, dua kali lagi, di tahun ketiga ... Berhenti! Anda perhatikan bahwa angka tersebut dikalikan dengan dirinya sendiri satu kali. Jadi dua pangkat lima adalah satu juta! Sekarang bayangkan Anda memiliki kompetisi dan orang yang menghitung lebih cepat akan mendapatkan jutaan ini ... Apakah perlu mengingat derajat angka, bagaimana menurut Anda?
Contoh kehidupan nyata #5
Anda memiliki satu juta. Pada awal setiap tahun, Anda mendapatkan dua lagi untuk setiap satu juta. Ini bagus kan? Setiap juta tiga kali lipat. Berapa banyak uang yang akan Anda miliki dalam setahun? Mari berhitung. Tahun pertama - kalikan dengan, lalu hasilnya dengan yang lain ... Ini sudah membosankan, karena Anda sudah mengerti segalanya: tiga dikalikan dengan dirinya sendiri kali. Jadi kekuatan keempat adalah satu juta. Anda hanya perlu mengingat bahwa tiga pangkat empat adalah atau.
Sekarang Anda tahu bahwa dengan menaikkan angka menjadi kekuatan, Anda akan membuat hidup Anda lebih mudah. Mari kita lihat lebih jauh apa yang dapat Anda lakukan dengan gelar dan apa yang perlu Anda ketahui tentangnya.
Syarat dan konsep...agar tidak bingung
Jadi, pertama, mari kita definisikan konsepnya. Bagaimana menurutmu, apa itu eksponen? Ini sangat sederhana - ini adalah angka yang "di atas" dari kekuatan angka. Tidak ilmiah, tapi jelas dan mudah diingat...
Nah, pada saat yang sama, apa dasar derajat seperti itu? Bahkan lebih sederhana adalah nomor yang ada di bawah, di pangkalan.
Berikut gambar untuk Anda pastikan.
Nah, secara umum, untuk menggeneralisasi dan mengingat lebih baik ... Gelar dengan basis "" dan indikator "" dibaca sebagai "dalam derajat" dan ditulis sebagai berikut:
Kekuatan angka dengan eksponen alami
Anda mungkin sudah menebak: karena eksponen adalah bilangan asli. Ya, tapi apa itu bilangan asli? Dasar! Bilangan asli adalah bilangan yang digunakan dalam penghitungan saat membuat daftar item: satu, dua, tiga ... Saat kami menghitung item, kami tidak mengatakan: "minus lima", "minus enam", "minus tujuh". Kami juga tidak mengatakan "sepertiga" atau "nol koma lima persepuluh". Ini bukan bilangan asli. Menurut Anda apa angka-angka ini?
Angka-angka seperti "minus lima", "minus enam", "minus tujuh" mengacu pada bilangan bulat. Secara umum, bilangan bulat mencakup semua bilangan asli, bilangan yang berlawanan dengan bilangan asli (yaitu, diambil dengan tanda minus), dan sebuah bilangan. Nol mudah dimengerti - ini adalah saat tidak ada apa-apa. Dan apa arti angka negatif ("minus")? Tetapi mereka diciptakan terutama untuk menunjukkan hutang: jika Anda memiliki saldo di ponsel Anda dalam rubel, ini berarti Anda berutang rubel operator.
Semua pecahan adalah bilangan rasional. Bagaimana mereka muncul, menurut Anda? Sangat sederhana. Beberapa ribu tahun yang lalu, nenek moyang kita menemukan bahwa mereka tidak memiliki cukup bilangan asli untuk mengukur panjang, berat, luas, dll. Dan mereka datang dengan angka rasional… Menarik, bukan?
Ada juga bilangan irasional. Apa angka-angka ini? Singkatnya, pecahan desimal tak terbatas. Misalnya, jika Anda membagi keliling lingkaran dengan diameternya, maka Anda mendapatkan bilangan irasional.
Ringkasan:
Mari kita definisikan konsep derajat, yang eksponennya adalah bilangan asli (yaitu, bilangan bulat dan positif).
- Setiap nomor pangkat pertama sama dengan dirinya sendiri:
- Mengkuadratkan suatu bilangan berarti mengalikannya dengan dirinya sendiri:
- Untuk pangkat tiga angka adalah mengalikannya dengan dirinya sendiri tiga kali:
Definisi. Menaikkan angka ke kekuatan alami adalah mengalikan angka dengan dirinya sendiri dikalikan:
.
Properti gelar
Dari mana properti ini berasal? Saya akan tunjukkan sekarang.
Mari kita lihat apa itu dan ?
Prioritas-A:
Berapa banyak pengganda yang ada secara total?
Ini sangat sederhana: kami menambahkan faktor ke faktor, dan hasilnya adalah faktor.
Tetapi menurut definisi, ini adalah derajat suatu bilangan dengan eksponen, yaitu: , yang harus dibuktikan.
Contoh: Sederhanakan ekspresi.
Keputusan:
Contoh: Sederhanakan ekspresi.
Keputusan: Penting untuk dicatat bahwa dalam aturan kami perlu pasti alasannya sama!
Oleh karena itu, kami menggabungkan derajat dengan basis, tetapi tetap menjadi faktor terpisah:
hanya untuk produk kekuatan!
Dalam situasi apa pun Anda tidak boleh menulis itu.
2. yaitu -kekuatan suatu bilangan
Sama seperti properti sebelumnya, mari kita beralih ke definisi derajat:
Ternyata ekspresi dikalikan dengan dirinya sendiri satu kali, yaitu, menurut definisi, ini adalah kekuatan nomor:
Sebenarnya, ini bisa disebut "bracketing indikator". Tetapi Anda tidak pernah dapat melakukan ini secara total:
Mari kita ingat kembali rumus untuk perkalian yang disingkat: berapa kali kita ingin menulis?
Tapi itu tidak benar, sungguh.
Gelar dengan basis negatif
Sampai saat ini, kita hanya membahas apa yang seharusnya menjadi eksponen.
Tapi apa yang harus menjadi dasar?
Dalam derajat dari indikator alami dasarnya mungkin nomor berapa saja. Memang, kita dapat mengalikan angka apa pun dengan satu sama lain, apakah itu positif, negatif, atau genap.
Mari kita pikirkan tanda-tanda (" " atau "") apa yang akan memiliki derajat bilangan positif dan negatif?
Misalnya, apakah angkanya akan positif atau negatif? TETAPI? ? Dengan yang pertama, semuanya jelas: tidak peduli berapa banyak angka positif yang kita kalikan satu sama lain, hasilnya akan positif.
Tetapi yang negatif sedikit lebih menarik. Lagi pula, kita ingat aturan sederhana dari kelas 6: "minus dikalikan minus memberi nilai plus." Yaitu, atau. Tapi jika kita kalikan dengan, ternyata.
Tentukan sendiri tanda apa yang akan dimiliki oleh ekspresi berikut:
| 1) | 2) | 3) |
| 4) | 5) | 6) |
Apakah Anda berhasil?
Inilah jawabannya: Dalam empat contoh pertama, saya harap semuanya jelas? Kami hanya melihat basis dan eksponen, dan menerapkan aturan yang sesuai.
1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .
Dalam contoh 5), semuanya juga tidak seseram yang terlihat: tidak peduli apa dasarnya sama - derajatnya genap, yang berarti hasilnya akan selalu positif.
Yah, kecuali jika basisnya nol. Dasarnya tidak sama, kan? Jelas tidak, karena (karena).
Contoh 6) tidak lagi sesederhana itu!
6 contoh latihan
Analisis solusi 6 contoh
Jika kita tidak memperhatikan derajat kedelapan, apa yang kita lihat di sini? Mari kita lihat program kelas 7. Jadi, ingat? Ini adalah rumus perkalian yang disingkat, yaitu selisih kuadrat! Kita mendapatkan:
Kami dengan hati-hati melihat penyebutnya. Ini sangat mirip dengan salah satu faktor pembilang, tapi apa yang salah? Urutan istilah yang salah. Jika mereka ditukar, aturan itu bisa berlaku.
Tapi bagaimana melakukannya? Ternyata sangat mudah: tingkat penyebut yang genap membantu kita di sini.
Istilah-istilah itu secara ajaib telah mengubah tempat. "Fenomena" ini berlaku untuk ekspresi apa pun hingga derajat genap: kita dapat dengan bebas mengubah tanda dalam tanda kurung.
Tetapi penting untuk diingat: semua tanda berubah pada saat yang sama!
Mari kita kembali ke contoh:
Dan lagi rumusnya:
utuh kami memberi nama bilangan asli, lawannya (yaitu, diambil dengan tanda "") dan nomornya.
bilangan bulat positif, dan tidak berbeda dengan alam, maka semuanya terlihat persis seperti di bagian sebelumnya.
Sekarang mari kita lihat kasus baru. Mari kita mulai dengan indikator yang sama dengan.
Setiap angka pangkat nol sama dengan satu:
Seperti biasa, kami bertanya pada diri sendiri: mengapa demikian?
Pertimbangkan beberapa kekuatan dengan basis. Ambil, misalnya, dan kalikan dengan:
Jadi, kami mengalikan angkanya, dan hasilnya sama seperti -. Berapa angka yang harus dikalikan agar tidak ada yang berubah? Itu benar, pada. Cara.
Kita dapat melakukan hal yang sama dengan nomor arbitrer:
Mari kita ulangi aturannya:
Setiap angka pangkat nol sama dengan satu.
Tetapi ada pengecualian untuk banyak aturan. Dan di sini juga ada - ini adalah angka (sebagai basis).
Di satu sisi, itu harus sama dengan derajat apa pun - tidak peduli berapa banyak Anda mengalikan nol dengan dirinya sendiri, Anda masih mendapatkan nol, ini jelas. Tetapi di sisi lain, seperti angka apa pun dengan derajat nol, itu harus sama. Jadi apa kebenaran ini? Matematikawan memutuskan untuk tidak terlibat dan menolak menaikkan pangkat nol ke nol. Artinya, sekarang kita tidak hanya bisa membagi dengan nol, tetapi juga menaikkannya ke pangkat nol.
Mari kita pergi lebih jauh. Selain bilangan asli dan bilangan, bilangan bulat termasuk bilangan negatif. Untuk memahami apa itu derajat negatif, mari kita lakukan hal yang sama seperti sebelumnya: kita mengalikan beberapa bilangan normal dengan bilangan yang sama dalam derajat negatif:
Dari sini sudah mudah untuk mengungkapkan yang diinginkan:
Sekarang kami memperluas aturan yang dihasilkan ke tingkat yang sewenang-wenang:
Jadi, mari kita rumuskan aturannya:
Suatu bilangan dengan pangkat negatif adalah kebalikan bilangan yang sama dengan pangkat positif. Tapi diwaktu yang sama basis tidak boleh nol:(karena tidak mungkin untuk membagi).
Mari kita rangkum:
I. Ekspresi tidak didefinisikan dalam kasus. Jika kemudian.
II. Setiap angka pangkat nol sama dengan satu: .
AKU AKU AKU. Bilangan yang tidak sama dengan nol pangkat negatif adalah kebalikan bilangan yang sama dengan pangkat positif: .
Tugas untuk solusi independen:
Nah, seperti biasa, contoh untuk solusi independen:
Analisis tugas untuk solusi independen:
Saya tahu, saya tahu, angka-angka itu menakutkan, tetapi pada ujian Anda harus siap untuk apa pun! Selesaikan contoh-contoh ini atau analisis solusinya jika Anda tidak dapat menyelesaikannya dan Anda akan belajar cara mengatasinya dengan mudah dalam ujian!
Mari kita lanjutkan untuk memperluas lingkaran angka yang "cocok" sebagai eksponen.
Sekarang pertimbangkan angka rasional. Bilangan apa yang disebut rasional?
Jawaban: semua yang dapat direpresentasikan sebagai pecahan, di mana dan adalah bilangan bulat, apalagi.
Untuk memahami apa itu "derajat pecahan" Mari kita pertimbangkan pecahan:
Mari kita naikkan kedua sisi persamaan ke pangkat:
Sekarang ingat aturannya "derajat ke gelar":
Berapa angka yang harus dipangkatkan untuk mendapatkan?
Rumusan ini adalah definisi dari akar derajat.
Izinkan saya mengingatkan Anda: akar pangkat dari suatu bilangan () adalah bilangan yang, jika dipangkatkan, adalah sama.
Artinya, akar dari derajat ke-th adalah operasi kebalikan dari eksponensial: .
Ternyata itu. Jelas, kasus khusus ini dapat diperpanjang: .
Sekarang tambahkan pembilangnya: apa itu? Jawabannya mudah didapat dengan aturan power-to-power:
Tapi bisakah basisnya berupa angka apa saja? Lagi pula, root tidak dapat diekstraksi dari semua angka.
Tidak ada!
Ingat aturannya: bilangan apa pun yang dipangkatkan genap adalah bilangan positif. Artinya, tidak mungkin mengekstrak akar derajat genap dari bilangan negatif!
Dan ini berarti bahwa angka-angka seperti itu tidak dapat dinaikkan ke pangkat pecahan dengan penyebut genap, yaitu, ekspresinya tidak masuk akal.
Bagaimana dengan ekspresi?
Tapi di sini muncul masalah.
Angka tersebut dapat direpresentasikan sebagai pecahan lain yang dikurangi, misalnya, atau.
Dan ternyata itu ada, tetapi tidak ada, dan ini hanyalah dua catatan berbeda dari nomor yang sama.
Atau contoh lain: sekali, maka Anda bisa menuliskannya. Tetapi segera setelah kami menulis indikator dengan cara yang berbeda, kami kembali mendapatkan masalah: (yaitu, kami mendapat hasil yang sama sekali berbeda!).
Untuk menghindari paradoks seperti itu, pertimbangkan hanya eksponen basis positif dengan eksponen pecahan.
Jadi jika:
- - bilangan asli;
- adalah bilangan bulat;
Contoh:
Perpangkatan dengan eksponen rasional sangat berguna untuk mentransformasi ekspresi dengan akar, misalnya:
5 contoh latihan
Analisis 5 contoh untuk pelatihan
Nah, sekarang - yang paling sulit. Sekarang kita akan menganalisis derajat dengan eksponen irasional.
Semua aturan dan sifat derajat di sini sama persis dengan derajat dengan eksponen rasional, kecuali
Memang, menurut definisi, bilangan irasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan sebagai pecahan, di mana dan adalah bilangan bulat (yaitu, bilangan irasional adalah semua bilangan real kecuali bilangan rasional).
Saat mempelajari derajat dengan indikator alami, bilangan bulat, dan rasional, setiap kali kami membuat "gambar", "analogi", atau deskripsi tertentu dalam istilah yang lebih akrab.
Misalnya, gelar dengan indikator alami adalah angka yang dikalikan beberapa kali dengan dirinya sendiri;
...kekuatan nol- ini adalah, seolah-olah, angka yang dikalikan dengan dirinya sendiri sekali, yaitu, itu belum mulai dikalikan, yang berarti bahwa angka itu sendiri bahkan belum muncul - oleh karena itu, hasilnya hanya "persiapan" tertentu angka”, yaitu angka;
...eksponen bilangan bulat negatif- seolah-olah "proses terbalik" tertentu telah terjadi, yaitu, jumlahnya tidak dikalikan dengan dirinya sendiri, tetapi dibagi.
Ngomong-ngomong, dalam sains, gelar dengan eksponen kompleks sering digunakan, yaitu eksponen genap bukan bilangan real.
Tetapi di sekolah, kami tidak memikirkan kesulitan seperti itu; Anda akan memiliki kesempatan untuk memahami konsep-konsep baru ini di institut.
KEMANA KAMI YAKIN ANDA AKAN PERGI! (jika Anda belajar bagaimana memecahkan contoh seperti itu :))
Sebagai contoh:
Putuskan sendiri:
Analisis solusi:
1. Mari kita mulai dengan aturan yang sudah biasa untuk menaikkan gelar ke gelar:
Sekarang lihat skornya. Apakah dia mengingatkanmu pada sesuatu? Kami mengingat rumus untuk perkalian singkat dari selisih kuadrat:
Pada kasus ini,
Ternyata:
Menjawab: .
2. Kami membawa pecahan dalam eksponen ke bentuk yang sama: baik desimal atau keduanya biasa. Kami mendapatkan, misalnya:
Jawaban: 16
3. Tidak ada yang istimewa, kami menerapkan sifat derajat yang biasa:
TINGKAT LANJUT
definisi derajat
Derajat adalah ekspresi dari bentuk: , di mana:
- — dasar derajat;
- - eksponen.
Gelar dengan eksponen alami (n = 1, 2, 3,...)
Menaikkan angka ke pangkat alami n berarti mengalikan angka dengan dirinya sendiri dikalikan:
Daya dengan eksponen bilangan bulat (0, ±1, ±2,...)
Jika eksponennya adalah bilangan bulat positif nomor:
pemasangan ke kekuatan nol:
Ekspresi tidak terbatas, karena, di satu sisi, untuk tingkat apa pun adalah ini, dan di sisi lain, angka apa pun hingga derajat ke- adalah ini.
Jika eksponennya adalah bilangan bulat negatif nomor:
(karena tidak mungkin untuk membagi).
Sekali lagi tentang nulls: ekspresi tidak didefinisikan dalam kasus ini. Jika kemudian.
Contoh:
Derajat dengan eksponen rasional
- - bilangan asli;
- adalah bilangan bulat;
Contoh:
Properti gelar
Untuk mempermudah menyelesaikan masalah, mari kita coba memahami: dari mana sifat-sifat ini berasal? Mari kita buktikan.
Mari kita lihat: apa itu dan?
Prioritas-A:
Jadi, di sisi kanan ekspresi ini, produk berikut diperoleh:
Tetapi menurut definisi, ini adalah kekuatan angka dengan eksponen, yaitu:
Q.E.D.
Contoh : Sederhanakan ekspresi.
Keputusan : .
Contoh : Sederhanakan ekspresi.
Keputusan : Penting untuk dicatat bahwa dalam aturan kami perlu harus atas dasar yang sama. Oleh karena itu, kami menggabungkan derajat dengan basis, tetapi tetap menjadi faktor terpisah:
Catatan penting lainnya: aturan ini - hanya untuk produk kekuatan!
Dalam keadaan apa pun saya tidak boleh menulis itu.
Sama seperti properti sebelumnya, mari kita beralih ke definisi derajat:
Mari kita atur ulang seperti ini:
Ternyata ekspresi dikalikan dengan dirinya sendiri sekali, yaitu, menurut definisi, ini adalah pangkat -th dari angka:
Sebenarnya, ini bisa disebut "bracketing indikator". Tapi Anda tidak pernah bisa melakukan ini secara total :!
Mari kita ingat kembali rumus untuk perkalian yang disingkat: berapa kali kita ingin menulis? Tapi itu tidak benar, sungguh.
Kekuasaan dengan basis negatif.
Sampai saat ini, kita hanya membahas apa yang seharusnya indikator derajat. Tapi apa yang harus menjadi dasar? Dalam derajat dari alami indikator dasarnya mungkin nomor berapa saja .
Memang, kita dapat mengalikan angka apa pun dengan satu sama lain, apakah itu positif, negatif, atau genap. Mari kita pikirkan tanda-tanda (" " atau "") apa yang akan memiliki derajat bilangan positif dan negatif?
Misalnya, apakah angkanya akan positif atau negatif? TETAPI? ?
Dengan yang pertama, semuanya jelas: tidak peduli berapa banyak angka positif yang kita kalikan satu sama lain, hasilnya akan positif.
Tetapi yang negatif sedikit lebih menarik. Lagi pula, kita ingat aturan sederhana dari kelas 6: "minus dikalikan minus memberi nilai plus." Yaitu, atau. Tetapi jika kita kalikan dengan (), kita mendapatkan -.
Dan seterusnya ad infinitum: dengan setiap perkalian berikutnya, tandanya akan berubah. Anda dapat merumuskan aturan sederhana ini:
- bahkan derajat, - nomor positif.
- Angka negatif dinaikkan menjadi aneh derajat, - nomor negatif.
- Angka positif untuk kekuatan apa pun adalah angka positif.
- Nol untuk kekuatan apa pun sama dengan nol.
Tentukan sendiri tanda apa yang akan dimiliki oleh ekspresi berikut:
| 1. | 2. | 3. |
| 4. | 5. | 6. |
Apakah Anda berhasil? Berikut adalah jawabannya:
1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .
Dalam empat contoh pertama, saya harap semuanya jelas? Kami hanya melihat basis dan eksponen, dan menerapkan aturan yang sesuai.
Dalam contoh 5), semuanya juga tidak seseram yang terlihat: tidak peduli apa dasarnya sama - derajatnya genap, yang berarti hasilnya akan selalu positif. Yah, kecuali jika basisnya nol. Dasarnya tidak sama, kan? Jelas tidak, karena (karena).
Contoh 6) tidak lagi sederhana. Di sini Anda perlu mencari tahu mana yang kurang: atau? Jika Anda ingat itu, menjadi jelas bahwa, yang berarti basisnya kurang dari nol. Artinya, kita menerapkan aturan 2: hasilnya akan negatif.
Dan sekali lagi kita menggunakan definisi derajat:
Semuanya seperti biasa - kami menuliskan definisi derajat dan membaginya menjadi satu sama lain, membaginya menjadi pasangan dan mendapatkan:
Sebelum menganalisis aturan terakhir, mari selesaikan beberapa contoh.
Hitung nilai ekspresi:
Solusi :
Jika kita tidak memperhatikan derajat kedelapan, apa yang kita lihat di sini? Mari kita lihat program kelas 7. Jadi, ingat? Ini adalah rumus perkalian yang disingkat, yaitu selisih kuadrat!
Kita mendapatkan:
Kami dengan hati-hati melihat penyebutnya. Ini sangat mirip dengan salah satu faktor pembilang, tapi apa yang salah? Urutan istilah yang salah. Jika mereka ditukar, aturan 3 dapat diterapkan, tetapi bagaimana melakukannya? Ternyata sangat mudah: tingkat penyebut yang genap membantu kita di sini.
Jika Anda mengalikannya, tidak ada yang berubah, kan? Tapi sekarang terlihat seperti ini:
Istilah-istilah itu secara ajaib telah mengubah tempat. "Fenomena" ini berlaku untuk ekspresi apa pun hingga derajat genap: kita dapat dengan bebas mengubah tanda dalam tanda kurung. Tetapi penting untuk diingat: semua tanda berubah pada saat yang sama! Itu tidak dapat diganti dengan hanya mengubah satu minus yang tidak menyenangkan bagi kita!
Mari kita kembali ke contoh:
Dan lagi rumusnya:
Jadi sekarang aturan terakhir:
Bagaimana kita akan membuktikannya? Tentu saja, seperti biasa: mari kita perluas konsep derajat dan sederhanakan:
Nah, sekarang mari kita buka tanda kurung. Berapa banyak huruf yang akan ada? kali dengan pengganda - seperti apa bentuknya? Ini tidak lain adalah definisi operasi perkalian: total ternyata ada pengganda. Artinya, menurut definisi, itu adalah kekuatan angka dengan eksponen:
Contoh:
Gelar dengan eksponen irasional
Selain informasi tentang derajat untuk tingkat rata-rata, kami akan menganalisis derajat dengan indikator irasional. Semua aturan dan sifat derajat di sini persis sama dengan derajat dengan eksponen rasional, dengan pengecualian - lagi pula, menurut definisi, bilangan irasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan sebagai pecahan, di mana dan adalah bilangan bulat (yaitu , bilangan irasional adalah semua bilangan real kecuali bilangan rasional).
Saat mempelajari derajat dengan indikator alami, bilangan bulat, dan rasional, setiap kali kami membuat "gambar", "analogi", atau deskripsi tertentu dalam istilah yang lebih akrab. Misalnya, gelar dengan indikator alami adalah angka yang dikalikan beberapa kali dengan dirinya sendiri; angka ke nol derajat adalah, seolah-olah, angka yang dikalikan dengan dirinya sendiri satu kali, yaitu, itu belum mulai dikalikan, yang berarti bahwa angka itu sendiri belum muncul - oleh karena itu, hasilnya hanya a “penyusunan suatu bilangan” tertentu, yaitu suatu bilangan; derajat dengan bilangan bulat negatif - seolah-olah "proses terbalik" tertentu telah terjadi, yaitu, angka itu tidak dikalikan dengan dirinya sendiri, tetapi dibagi.
Sangat sulit membayangkan derajat dengan eksponen irasional (seperti halnya sulit membayangkan ruang 4 dimensi). Sebaliknya, ini adalah objek matematika murni yang telah dibuat oleh ahli matematika untuk memperluas konsep derajat ke seluruh ruang angka.
Ngomong-ngomong, dalam sains, gelar dengan eksponen kompleks sering digunakan, yaitu eksponen genap bukan bilangan real. Tetapi di sekolah, kami tidak memikirkan kesulitan seperti itu; Anda akan memiliki kesempatan untuk memahami konsep-konsep baru ini di institut.
Jadi apa yang kita lakukan jika kita melihat eksponen irasional? Kami mencoba yang terbaik untuk menyingkirkannya! :)
Sebagai contoh:
Putuskan sendiri:
| 1) | 2) | 3) |
Jawaban:
- Ingat perbedaan rumus kuadrat. Menjawab: .
- Kami membawa pecahan ke bentuk yang sama: baik desimal, atau keduanya biasa. Kita dapatkan, misalnya: .
- Tidak ada yang istimewa, kami menerapkan sifat derajat yang biasa:
RINGKASAN BAGIAN DAN FORMULA DASAR
Derajat disebut ekspresi dari bentuk: , di mana:
Derajat dengan eksponen bilangan bulat
derajat, eksponennya adalah bilangan asli (yaitu bilangan bulat dan positif).
Derajat dengan eksponen rasional
derajat, yang indikatornya adalah bilangan negatif dan pecahan.
Gelar dengan eksponen irasional
eksponen yang eksponennya adalah pecahan desimal tak terhingga atau akar.
Properti gelar
Fitur derajat.
- Angka negatif dinaikkan menjadi bahkan derajat, - nomor positif.
- Angka negatif dinaikkan menjadi aneh derajat, - nomor negatif.
- Angka positif untuk kekuatan apa pun adalah angka positif.
- Nol sama dengan kekuatan apa pun.
- Setiap angka pangkat nol adalah sama.
SEKARANG ANDA PUNYA KATA...
Bagaimana Anda menyukai artikel tersebut? Beri tahu saya di komentar di bawah jika Anda menyukainya atau tidak.
Beritahu kami tentang pengalaman Anda dengan properti daya.
Mungkin Anda memiliki pertanyaan. Atau saran.
Tulis di komentar.
Dan semoga sukses dengan ujian Anda!
