Untuk menyelesaikan contoh dengan pecahan, Anda harus dapat menemukan penyebut umum terkecil. Di bawah ini adalah instruksi terperinci.

Bagaimana menemukan penyebut umum terendah - konsep

Penyebut terkecil (LCD) dalam kata-kata sederhana adalah jumlah minimum yang dapat dibagi oleh penyebut semua pecahan dari contoh yang diberikan. Dengan kata lain, ini disebut Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK). NOZ hanya digunakan jika penyebut pecahan berbeda.

Bagaimana menemukan penyebut umum terendah - contoh

Mari kita pertimbangkan contoh menemukan NOZ.

Hitung: 3/5 + 2/15.

Solusi (Urutan tindakan):

• Kami melihat penyebut pecahan, memastikan bahwa mereka berbeda dan ekspresinya dikurangi sebanyak mungkin.
• Kami menemukan bilangan terkecil yang habis dibagi 5 dan 15. Bilangan ini akan menjadi 15. Jadi, 3/5 + 2/15 = ?/15.
• Kami menemukan penyebutnya. Apa yang akan ada di pembilang? Pengganda tambahan akan membantu kami mengetahui hal ini. Faktor tambahan adalah angka yang diperoleh dengan membagi NOZ dengan penyebut pecahan tertentu. Untuk 3/5, faktor tambahannya adalah 3, karena 15/5 = 3. Untuk pecahan kedua, faktor tambahannya adalah 1, karena 15/15 = 1.
• Setelah menemukan faktor tambahan, kami mengalikannya dengan pembilang pecahan dan menambahkan nilai yang dihasilkan. 3/5 + 2/15 = (3*3+2*1)/15 = (9+2)/15 = 11/15.

Jawaban: 3/5 + 2/15 = 11/15.

Jika dalam contoh bukan 2, tetapi 3 atau lebih pecahan ditambahkan atau dikurangkan, maka NOZ harus dicari pecahan sebanyak yang diberikan.

Hitung: 1/2 - 5/12 + 3/6

Solusi (urutan tindakan):

• Menemukan penyebut umum terendah. Bilangan minimal yang habis dibagi 2, 12, dan 6 adalah 12.
• Didapatkan: 1/2 - 5/12 + 3/6 = ?/12.
• Kami mencari pengganda tambahan. Untuk 1/2 - 6; untuk 5/12 - 1; untuk 3/6 - 2.
• Kami mengalikan dengan pembilang dan menetapkan tanda yang sesuai: 1/2 - 5/12 + 3/6 = (1 * 6 - 5 * 1 + 2 * 3) / 12 = 7/12.

Jawaban: 1/2 - 5/12 + 3/6 = 7/12.

Ketika menjumlahkan dan mengurangkan pecahan aljabar dengan penyebut yang berbeda, pecahan tersebut terlebih dahulu menghasilkan faktor persekutuan. Ini berarti bahwa mereka menemukan penyebut tunggal, yang dibagi dengan penyebut asli dari setiap pecahan aljabar yang merupakan bagian dari ekspresi ini.

Seperti yang Anda ketahui, jika pembilang dan penyebut suatu pecahan dikalikan (atau dibagi) dengan angka yang sama selain nol, maka nilai pecahan tidak akan berubah. Ini adalah properti utama dari pecahan. Oleh karena itu, ketika pecahan mengarah ke penyebut yang sama, sebenarnya, penyebut asli dari setiap pecahan dikalikan dengan faktor yang hilang ke penyebut yang sama. Dalam hal ini, perlu untuk mengalikan dengan faktor ini dan pembilang pecahan (berbeda untuk setiap pecahan).

Misalnya, diberikan jumlah pecahan aljabar berikut:

Hal ini diperlukan untuk menyederhanakan ekspresi, yaitu menambahkan dua pecahan aljabar. Untuk melakukan ini, pertama-tama, perlu untuk mengurangi suku-pecahan menjadi penyebut yang sama. Langkah pertama adalah mencari monomial yang habis dibagi 3x dan 2y. Dalam hal ini, diinginkan bahwa itu menjadi yang terkecil, yaitu, mencari kelipatan persekutuan terkecil (KPK) untuk 3x dan 2y.

Untuk koefisien numerik dan variabel, KPK dicari secara terpisah. KPK(3, 2) = 6 dan KPK(x, y) = xy. Selanjutnya, nilai yang ditemukan dikalikan: 6xy.

Sekarang kita perlu menentukan dengan faktor apa kita perlu mengalikan 3x untuk mendapatkan 6xy:
6xy 3x = 2y

Ini berarti bahwa ketika mereduksi pecahan aljabar pertama menjadi penyebut yang sama, pembilangnya harus dikalikan dengan 2y (penyebutnya sudah dikalikan saat direduksi menjadi penyebut yang sama). Faktor pembilang pecahan kedua juga dicari. Ini akan sama dengan 3x.

Dengan demikian, kita mendapatkan:

Selanjutnya, sudah dimungkinkan untuk bertindak sebagai pecahan dengan penyebut yang sama: pembilangnya ditambahkan, dan satu persamaan ditulis dalam penyebutnya:

Setelah transformasi, ekspresi yang disederhanakan diperoleh, yang merupakan satu fraksi aljabar, yang merupakan jumlah dari dua yang asli:

Pecahan aljabar dalam ekspresi asli dapat berisi penyebut yang polinomial dan bukan monomial (seperti pada contoh di atas). Dalam hal ini, sebelum menemukan penyebut yang sama, faktorkan penyebutnya (jika mungkin). Selanjutnya, penyebut umum dikumpulkan dari faktor yang berbeda. Jika faktornya ada beberapa penyebut awal, maka diambil satu kali. Jika faktor tersebut memiliki derajat yang berbeda pada penyebut aslinya, maka diambil dengan yang lebih besar. Sebagai contoh:

Di sini polinomial a 2 - b 2 dapat direpresentasikan sebagai produk (a - b)(a + b). Faktor 2a – 2b diekspansi menjadi 2(a – b). Jadi, penyebutnya akan sama dengan 2(a - b)(a + b).

Untuk membawa pecahan ke penyebut persekutuan terkecil, Anda harus: 1) menemukan kelipatan persekutuan terkecil dari pecahan ini, itu akan menjadi penyebut persekutuan terkecil. 2) temukan faktor tambahan untuk setiap pecahan, yang penyebutnya kita bagi dengan penyebut masing-masing pecahan. 3) kalikan pembilang dan penyebut setiap pecahan dengan faktor tambahannya.

Contoh. Kurangi pecahan berikut ke penyebut persekutuan terkecil.

Kami menemukan kelipatan persekutuan terkecil dari penyebut: KPK(5; 4) = 20, karena 20 adalah bilangan terkecil yang habis dibagi 5 dan 4. Kami menemukan untuk pecahan pertama faktor tambahan 4 (20 : 5=4). Untuk pecahan ke-2, pengali tambahannya adalah 5 (20 : 4=5). Kami mengalikan pembilang dan penyebut pecahan pertama dengan 4, dan pembilang dan penyebut pecahan ke-2 dengan 5. Kami mengurangi pecahan ini menjadi penyebut umum terendah ( 20 ).

Penyebut persekutuan terkecil dari pecahan ini adalah 8, karena 8 habis dibagi 4 dan dirinya sendiri. Tidak akan ada faktor tambahan untuk pecahan ke-1 (atau kita dapat mengatakan bahwa itu sama dengan satu), pada pecahan ke-2 faktor tambahannya adalah 2 (8 : 4=2). Kami mengalikan pembilang dan penyebut pecahan ke-2 dengan 2. Kami mengurangi pecahan ini menjadi penyebut persekutuan terendah ( 8 ).

Fraksi ini tidak dapat direduksi.

Kami mengurangi pecahan pertama dengan 4, dan kami mengurangi pecahan ke-2 dengan 2. ( lihat contoh pengurangan pecahan biasa: Peta Situs → 5.4.2. Contoh pengurangan pecahan biasa). Cari KPK(16 ; 20)=2 4 · 5=16· 5=80. Pengganda tambahan untuk pecahan pertama adalah 5 (80 : 16=5). Pengganda tambahan untuk pecahan ke-2 adalah 4 (80 : 20=4). Kami mengalikan pembilang dan penyebut pecahan pertama dengan 5, dan pembilang dan penyebut pecahan ke-2 dengan 4. Kami mengurangi pecahan ini ke penyebut umum terendah ( 80 ).

Temukan penyebut terkecil dari NOC(5 ; 6 dan 15) = KPK(5 ; 6 dan 15)=30. Pengganda tambahan untuk pecahan pertama adalah 6 (30 : 5=6), pengali tambahan untuk pecahan ke-2 adalah 5 (30 : 6=5), pengali tambahan ke pecahan ke-3 adalah 2 (30 : 15=2). Kami mengalikan pembilang dan penyebut pecahan ke-1 dengan 6, pembilang dan penyebut pecahan ke-2 dengan 5, pembilang dan penyebut pecahan ke-3 dengan 2. Kami mengurangi pecahan-pecahan ini menjadi penyebut persekutuan terendah ( 30 ).

Halaman 1 dari 1 1

Penyebut suatu pecahan a/b adalah bilangan b, yang menunjukkan besar pecahan dari salah satu pembentuk pecahan tersebut. Penyebut pecahan aljabar A / B adalah ekspresi aljabar B. Untuk melakukan operasi aritmatika dengan pecahan, mereka harus direduksi menjadi penyebut persekutuan terkecil.

Anda akan perlu

• Untuk bekerja dengan pecahan aljabar ketika menemukan penyebut terkecil, Anda perlu mengetahui metode pemfaktoran polinomial.

Petunjuk

Pertimbangkan pengurangan ke penyebut terkecil dari dua pecahan aritmatika n/m dan s/t, di mana n, m, s, t adalah bilangan bulat. Jelas bahwa kedua pecahan ini dapat direduksi menjadi penyebut apa pun yang habis dibagi m dan t. Tapi mereka mencoba membawa ke common denominator terendah. Itu sama dengan kelipatan persekutuan terkecil dari penyebut m dan t dari pecahan yang diberikan. Kelipatan terkecil (KPK) bilangan adalah bilangan terkecil yang habis dibagi semua bilangan yang diberikan pada waktu yang bersamaan. Itu. dalam kasus kami, perlu untuk menemukan kelipatan persekutuan terkecil dari angka m dan t. Dilambangkan sebagai KPK (m, t). Selanjutnya, pecahan dikalikan dengan yang sesuai: (n/m) * (KPK (m, t) / m), (s/t) * (KPK (m, t) / t).

Mari kita cari penyebut terkecil dari tiga pecahan: 4/5, 7/8, 11/14. Pertama, kita perluas penyebut 5, 8, 14: 5 = 1 * 5, 8 = 2 * 2 * 2 = 2^3, 14 = 2 * 7. Selanjutnya kita hitung KPK (5, 8, 14), mengalikan semua angka yang termasuk dalam setidaknya satu dari ekspansi. KPK (5, 8, 14) = 5 * 2^3 * 7 = 280. Perhatikan bahwa jika faktor tersebut terjadi pada pemuaian beberapa bilangan (faktor 2 pada pemuaian penyebut 8 dan 14), maka kita ambil faktornya menjadi derajat yang lebih besar (2^3 dalam kasus kami).

Jadi, jenderal diterima. Itu sama dengan 280 = 5 * 56 = 8 * 35 = 14 * 20. Di sini kita mendapatkan angka yang dengannya pecahan dengan penyebut yang sesuai harus dikalikan untuk membawanya ke penyebut umum terendah. Kami mendapatkan 4/5 = 56 * (4/5) = 224 / 280, 7/8 = 35 * (7/8) = 245/280, 11/14 = 20 * (11/14) = 220/280.

Pengurangan ke penyebut terkecil dari pecahan aljabar dilakukan dengan analogi dengan aritmatika. Untuk kejelasan, pertimbangkan masalah pada contoh. Biarkan dua pecahan (2 * x) / (9 * y^2 + 6 * y + 1) dan (x^2 + 1) / (3 * y^2 + 4 * y + 1) diberikan. Mari kita faktorkan kedua penyebutnya. Perhatikan bahwa penyebut pecahan pertama adalah kuadrat sempurna: 9 * y^2 + 6 * y + 1 = (3 * y + 1)^2. Untuk

Dalam pelajaran ini, kita akan melihat pengurangan pecahan ke penyebut yang sama dan memecahkan masalah pada topik ini. Mari kita berikan definisi konsep penyebut yang sama dan faktor tambahan, ingat tentang bilangan koprima. Mari kita definisikan konsep penyebut terkecil (LCD) dan selesaikan sejumlah masalah untuk menemukannya.

Topik: Penjumlahan dan pengurangan pecahan dengan penyebut berbeda

Pelajaran: Mengurangi pecahan ke penyebut yang sama

Pengulangan. Sifat dasar pecahan.

Jika pembilang dan penyebut suatu pecahan dikalikan atau dibagi dengan bilangan asli yang sama, maka akan diperoleh pecahan yang sama dengannya.

Misalnya, pembilang dan penyebut suatu pecahan dapat dibagi 2. Kita mendapatkan pecahan. Operasi ini disebut pengurangan pecahan. Anda juga dapat melakukan transformasi terbalik dengan mengalikan pembilang dan penyebut pecahan dengan 2. Dalam kasus ini, kita katakan bahwa kita telah mereduksi pecahan menjadi penyebut baru. Angka 2 disebut faktor tambahan.

Kesimpulan. Suatu pecahan dapat direduksi menjadi sembarang penyebut yang merupakan kelipatan dari penyebut pecahan tersebut. Untuk membawa pecahan ke penyebut baru, pembilang dan penyebutnya dikalikan dengan faktor tambahan.

1. Bawa pecahan ke penyebut 35.

Bilangan 35 adalah kelipatan 7, yaitu 35 habis dibagi 7 tanpa sisa. Jadi transformasi ini mungkin. Mari kita cari faktor tambahan. Untuk melakukan ini, kami membagi 35 dengan 7. Kami mendapatkan 5. Kami mengalikan pembilang dan penyebut pecahan asli dengan 5.

2. Bawa pecahan ke penyebut 18.

Mari kita cari faktor tambahan. Untuk melakukan ini, kami membagi penyebut baru dengan yang asli. Kami mendapatkan 3. Kami mengalikan pembilang dan penyebut pecahan ini dengan 3.

3. Bawa pecahan ke penyebut 60.

Dengan membagi 60 dengan 15, kita mendapatkan pengali tambahan. Sama dengan 4. Mari kalikan pembilang dan penyebutnya dengan 4.

4. Bawa pecahan ke penyebut 24

Dalam kasus sederhana, pengurangan ke penyebut baru dilakukan dalam pikiran. Biasanya hanya menunjukkan faktor tambahan di belakang tanda kurung sedikit ke kanan dan di atas pecahan asli.

Sebuah pecahan dapat disederhanakan menjadi penyebut 15 dan sebuah pecahan dapat disederhanakan menjadi penyebut 15. Pecahan memiliki penyebut yang sama dari 15.

Penyebut umum pecahan dapat berupa kelipatan persekutuan dari penyebutnya. Untuk penyederhanaan, pecahan direduksi menjadi penyebut persekutuan terkecil. Itu sama dengan kelipatan persekutuan terkecil dari penyebut dari pecahan yang diberikan.

Contoh. Kurangi penyebut terkecil dari pecahan dan .

Pertama, cari kelipatan persekutuan terkecil dari penyebut pecahan-pecahan tersebut. Angka ini adalah 12. Mari kita cari faktor tambahan untuk pecahan pertama dan kedua. Untuk melakukan ini, kita membagi 12 dengan 4 dan 6. Tiga adalah faktor tambahan untuk pecahan pertama, dan dua untuk pecahan kedua. Kami membawa pecahan ke penyebut 12.

Kami mengurangi pecahan menjadi penyebut yang sama, yaitu, kami menemukan pecahan yang sama dengan mereka dan memiliki penyebut yang sama.

Aturan. Untuk membawa pecahan ke penyebut umum terendah,

Pertama, temukan kelipatan persekutuan terkecil dari pecahan-pecahan ini, yang akan menjadi penyebut persekutuan terkecilnya;

Kedua, bagi penyebut terkecil dengan penyebut pecahan ini, yaitu temukan faktor tambahan untuk setiap pecahan.

Ketiga, kalikan pembilang dan penyebut setiap pecahan dengan faktor tambahannya.

a) Mengurangi pecahan dan penyebut yang sama.

Penyebut persekutuan terendah adalah 12. Faktor tambahan untuk pecahan pertama adalah 4, untuk yang kedua - 3. Kami membawa pecahan ke penyebut 24.

b) Mengurangi pecahan dan penyebut yang sama.

Penyebut persekutuan terendah adalah 45. Membagi 45 dengan 9 dengan 15, kita mendapatkan masing-masing 5 dan 3. Kami membawa pecahan ke penyebut 45.

c) Mengurangi pecahan dan penyebut yang sama.

Penyebutnya adalah 24. Faktor tambahannya masing-masing adalah 2 dan 3.

Kadang-kadang sulit untuk secara verbal menemukan kelipatan persekutuan terkecil untuk penyebut pecahan yang diberikan. Kemudian penyebut umum dan faktor tambahan ditemukan dengan memfaktorkan ke faktor prima.

Kurangi menjadi penyebut yang sama dari pecahan dan .

Mari kita uraikan bilangan 60 dan 168 menjadi faktor prima. Mari kita tuliskan pemuaian bilangan 60 dan tambahkan faktor 2 dan 7 yang hilang dari pemuaian kedua. Kalikan 60 dengan 14 dan dapatkan penyebut yang sama dari 840. Faktor tambahan untuk pecahan pertama adalah 14. Faktor tambahan untuk pecahan kedua adalah 5. Mari kita kurangi pecahan menjadi penyebut yang sama dari 840.

Bibliografi

1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S. dan lain-lain.Matematika 6. - M.: Mnemozina, 2012.

2. Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Matematika kelas 6 SD. - Gimnasium, 2006.

3. Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. Di balik halaman buku teks matematika. - Pencerahan, 1989.

4. Rurukin A.N., Chaikovsky I.V. Tugas mata kuliah matematika kelas 5-6. - ZSH MEPHI, 2011.

5. Rurukin A.N., Sochilov S.V., Chaikovsky K.G. Matematika 5-6. Manual untuk siswa kelas 6 sekolah korespondensi MEPHI. - ZSH MEPHI, 2011.

6. Shevrin L.N., Gein A.G., Koryakov I.O. dan lain-lain.Matematika: Sebuah buku teks-teman bicara untuk kelas 5-6 SMA. Perpustakaan guru matematika. - Pencerahan, 1989.

Anda dapat mengunduh buku-buku yang ditentukan dalam klausa 1.2. pelajaran ini.

Pekerjaan rumah

Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S. dan lain-lain.Matematika 6. - M.: Mnemozina, 2012. (lihat link 1.2)

Pekerjaan rumah: No. 297, No. 298, No. 300.

Tugas lain: #270, #290