Persamaan rasional pecahan adalah contoh tanpa solusi. Perlindungan informasi pribadi

Sederhananya, ini adalah persamaan di mana setidaknya ada satu variabel dengan penyebutnya.

Sebagai contoh:

\(\frac(9x^2-1)(3x)\) \(=0\)
\(\frac(1)(2x)+\frac(x)(x+1)=\frac(1)(2)\)
\(\frac(6)(x+1)=\frac(x^2-5x)(x+1)\)

Contoh bukan persamaan rasional pecahan:

\(\frac(9x^2-1)(3)\) \(=0\)
\(\frac(x)(2)\) \(+8x^2=6\)

Bagaimana penyelesaian persamaan rasional pecahan?

Hal utama yang perlu diingat tentang persamaan rasional fraksional adalah Anda harus menulis di dalamnya. Dan setelah menemukan akarnya, pastikan untuk memeriksanya untuk dapat diterima. Jika tidak, akar asing mungkin muncul, dan seluruh solusi akan dianggap salah.

Algoritma untuk menyelesaikan persamaan rasional pecahan:

Tulis dan "pecahkan" ODZ.

Kalikan setiap suku dalam persamaan dengan penyebut yang sama dan kurangi pecahan yang dihasilkan. Penyebutnya akan hilang.

Tulis persamaan tanpa kurung buka.

Selesaikan persamaan yang dihasilkan.

Periksa akar yang ditemukan dengan ODZ.

Tuliskan sebagai tanggapan akar yang lulus tes pada langkah 7.

Jangan menghafal algoritme, 3-5 persamaan yang diselesaikan - dan itu akan diingat dengan sendirinya.

Contoh . Memecahkan persamaan rasional pecahan \(\frac(x)(x-2) - \frac(7)(x+2)=\frac(8)(x^2-4)\)

Larutan:

Menjawab: \(3\).

Contoh . Cari akar persamaan rasional pecahan \(=0\)

Larutan:

\(\frac(x)(x+2) + \frac(x+1)(x+5)-\frac(7-x)(x^2+7x+10)\)\(=0\) ODZ: \(x+2≠0⇔x≠-2\) \(x+5≠0 x≠-5\) \(x^2+7x+10≠0\) \(D=49-4 \cdot 10=9\) \(x_1≠\frac(-7+3)(2)=-2\) \(x_2≠\frac(-7-3)(2)=-5\)		Kami menuliskan dan "memecahkan" ODZ. Luaskan \(x^2+7x+10\) ke dalam rumus: \(ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)\). Untungnya \(x_1\) dan \(x_2\) telah kami temukan.
\(\frac(x)(x+2) + \frac(x+1)(x+5)-\frac(7-x)((x+2)(x+5))\)\(=0\)		Jelas, penyebut pecahan: \((x+2)(x+5)\). Kami mengalikan seluruh persamaan dengannya.
\(\frac(x(x+2)(x+5))(x+2) + \frac((x+1)(x+2)(x+5))(x+5)-\) \(-\frac((7-x)(x+2)(x+5))((x+2)(x+5))\)\(=0\)		Kami mengurangi pecahan
\(x(x+5)+(x+1)(x+2)-7+x=0\)		Membuka kurung
\(x^2+5x+x^2+3x+2-7+x=0\)		Kami memberikan istilah suka
\(2x^2+9x-5=0\)		Mencari akar persamaan
\(x_1=-5;\) \(x_2=\frac(1)(2).\)		Salah satu akar tidak cocok di bawah ODZ, jadi sebagai tanggapan kami hanya menuliskan akar kedua.

Menjawab: \(\frac(1)(2)\).

Privasi Anda penting bagi kami. Untuk alasan ini, kami telah mengembangkan Kebijakan Privasi yang menjelaskan cara kami menggunakan dan menyimpan informasi Anda. Harap baca kebijakan privasi kami dan beri tahu kami jika Anda memiliki pertanyaan.

Pengumpulan dan penggunaan informasi pribadi

Informasi pribadi mengacu pada data yang dapat digunakan untuk mengidentifikasi atau menghubungi orang tertentu.

Anda mungkin diminta untuk memberikan informasi pribadi Anda kapan saja saat Anda menghubungi kami.

Berikut ini adalah beberapa contoh jenis informasi pribadi yang kami kumpulkan dan bagaimana kami dapat menggunakan informasi tersebut.

Informasi pribadi apa yang kami kumpulkan:

Saat Anda mengajukan aplikasi di situs, kami dapat mengumpulkan berbagai informasi, termasuk nama, nomor telepon, alamat email, dll.

Bagaimana kami menggunakan informasi pribadi Anda:

Informasi pribadi yang kami kumpulkan memungkinkan kami untuk menghubungi Anda dan memberi tahu Anda tentang penawaran unik, promosi, dan acara lainnya serta acara mendatang.
Dari waktu ke waktu, kami dapat menggunakan informasi pribadi Anda untuk mengirimkan pemberitahuan dan komunikasi penting kepada Anda.
Kami juga dapat menggunakan informasi pribadi untuk tujuan internal, seperti melakukan audit, analisis data, dan berbagai penelitian untuk meningkatkan layanan yang kami berikan dan memberi Anda rekomendasi terkait layanan kami.
Jika Anda mengikuti undian berhadiah, kontes, atau insentif serupa, kami dapat menggunakan informasi yang Anda berikan untuk mengelola program tersebut.

Pengungkapan kepada pihak ketiga

Kami tidak mengungkapkan informasi yang diterima dari Anda kepada pihak ketiga.

Pengecualian:

Jika perlu - sesuai dengan hukum, perintah pengadilan, dalam proses hukum, dan / atau berdasarkan permintaan publik atau permintaan dari badan-badan negara di wilayah Federasi Rusia - mengungkapkan informasi pribadi Anda. Kami juga dapat mengungkapkan informasi tentang Anda jika kami menentukan bahwa pengungkapan tersebut diperlukan atau sesuai untuk alasan keamanan, penegakan hukum, atau kepentingan publik lainnya.
Jika terjadi reorganisasi, merger, atau penjualan, kami dapat mentransfer informasi pribadi yang kami kumpulkan kepada penerus pihak ketiga yang relevan.

Perlindungan informasi pribadi

Kami mengambil tindakan pencegahan - termasuk administratif, teknis, dan fisik - untuk melindungi informasi pribadi Anda dari kehilangan, pencurian, dan penyalahgunaan, serta dari akses, pengungkapan, perubahan, dan penghancuran yang tidak sah.

Menjaga privasi Anda di tingkat perusahaan

Untuk memastikan bahwa informasi pribadi Anda aman, kami mengomunikasikan praktik privasi dan keamanan kepada karyawan kami dan secara ketat menegakkan praktik privasi.

Tujuan Pelajaran:

tutorial:

pembentukan konsep persamaan rasional pecahan;
mempertimbangkan berbagai cara untuk menyelesaikan persamaan rasional pecahan;
pertimbangkan algoritme untuk menyelesaikan persamaan rasional pecahan, termasuk syarat bahwa pecahan sama dengan nol;
untuk mengajarkan solusi persamaan rasional fraksional sesuai dengan algoritma;
memeriksa tingkat asimilasi topik dengan melakukan tes kerja.

Mengembangkan:

pengembangan kemampuan untuk beroperasi dengan benar dengan pengetahuan yang diperoleh, untuk berpikir logis;
pengembangan keterampilan intelektual dan operasi mental - analisis, sintesis, perbandingan, dan generalisasi;
pengembangan inisiatif, kemampuan untuk membuat keputusan, tidak berhenti di situ;
pengembangan berpikir kritis;
pengembangan keterampilan riset.

Pengasuhan:

pendidikan minat kognitif dalam subjek;
pendidikan kemandirian dalam memecahkan masalah pendidikan;
pendidikan kemauan dan ketekunan untuk mencapai hasil akhir.

Jenis pelajaran: pelajaran - penjelasan materi baru.

Selama kelas

1. Momen organisasi.

Hallo teman-teman! Persamaan ditulis di papan tulis, perhatikan baik-baik. Bisakah kamu menyelesaikan semua persamaan ini? Mana yang tidak dan mengapa?

Persamaan di mana bagian kiri dan kanan adalah ekspresi rasional pecahan disebut persamaan rasional pecahan. Menurut Anda apa yang akan kita pelajari hari ini dalam pelajaran? Merumuskan topik pelajaran. Jadi, kami membuka buku catatan dan menuliskan topik pelajaran "Solusi persamaan rasional pecahan".

2. Aktualisasi pengetahuan. Survei frontal, pekerjaan lisan dengan kelas.

Dan sekarang kita akan mengulangi materi teoretis utama yang kita butuhkan untuk mempelajari topik baru. Jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut:

Apa itu persamaan? ( Kesetaraan dengan variabel atau variabel.)
Disebut apakah persamaan #1? ( Linier.) Metode untuk memecahkan persamaan linier. ( Pindahkan semua yang tidak diketahui ke sisi kiri persamaan, semua angka ke kanan. Membawa istilah seperti. Temukan pengganda yang tidak diketahui).
Disebut apakah persamaan 3? ( Kotak.) Metode untuk memecahkan persamaan kuadrat. ( Pemilihan persegi penuh, dengan rumus, menggunakan teorema Vieta dan konsekuensinya.)
Apa itu proporsi? ( Persamaan dua hubungan.) Properti utama proporsi. ( Jika proporsinya benar, maka hasil kali suku-suku ekstremnya sama dengan hasilkali suku-suku tengahnya.)
Sifat apa yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan? ( 1. Jika dalam persamaan kita mentransfer istilah dari satu bagian ke bagian lain, mengubah tandanya, maka kita mendapatkan persamaan yang setara dengan yang diberikan. 2. Jika kedua bagian persamaan dikalikan atau dibagi dengan bilangan bukan nol yang sama, maka akan diperoleh persamaan yang ekuivalen dengan yang diberikan.)
Kapan pecahan sama dengan nol? ( Pecahan adalah nol jika pembilangnya nol dan penyebutnya bukan nol.)

3. Penjelasan materi baru.

Selesaikan persamaan No. 2 di buku catatan dan di papan tulis.

Menjawab: 10.

Persamaan rasional pecahan apa yang dapat Anda coba selesaikan menggunakan sifat dasar proporsi? (Nomor 5).

(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)

x 2 -4x-2x + 8 \u003d x 2 + 3x + 2x + 6

x 2 -6x-x 2 -5x \u003d 6-8

Selesaikan persamaan No. 4 di buku catatan dan di papan tulis.

Menjawab: 1,5.

Persamaan rasional pecahan apa yang dapat Anda coba selesaikan dengan mengalikan kedua ruas persamaan dengan penyebutnya? (No. 6).

x 2 -7x+12 = 0

D=1>0, x 1 =3, x 2 =4.

Menjawab: 3;4.

Sekarang coba selesaikan persamaan #7 dengan salah satu cara.


(x 2 -2x-5)x(x-5)=x(x-5)(x+5)
(x 2 -2x-5)x(x-5)-x(x-5)(x+5)=0			x 2 -2x-5=x+5
x(x-5)(x 2 -2x-5-(x+5))=0			x 2 -2x-5-x-5=0
x(x-5)(x 2 -3x-10)=0
x=0 x-5=0 x 2 -3x-10=0
x 1 \u003d 0 x 2 \u003d 5 D \u003d 49
x 3 \u003d 5 x 4 \u003d -2			x 3 \u003d 5 x 4 \u003d -2
Menjawab: 0;5;-2.			Menjawab: 5;-2.

Jelaskan mengapa ini terjadi? Mengapa ada tiga akar dalam satu kasus dan dua dalam kasus lainnya? Bilangan apa yang merupakan akar dari persamaan rasional pecahan ini?

Sampai saat ini siswa dengan konsep extraneous root belum bertemu, sangat sulit bagi mereka untuk memahami mengapa hal ini terjadi. Jika tidak ada seorang pun di kelas yang dapat memberikan penjelasan yang jelas tentang situasi ini, maka guru mengajukan pertanyaan yang mengarah.

Bagaimana persamaan No. 2 dan 4 berbeda dari persamaan No. 5,6,7? ( Dalam persamaan No. 2 dan 4 dalam penyebut angka, No. 5-7 - ekspresi dengan variabel.)
Apa akar persamaannya? ( Nilai variabel di mana persamaan menjadi persamaan sejati.)
Bagaimana cara mengetahui apakah suatu bilangan adalah akar persamaan? ( Lakukan pemeriksaan.)

Saat mengerjakan tes, beberapa siswa memperhatikan bahwa mereka harus membagi dengan nol. Mereka menyimpulkan bahwa angka 0 dan 5 bukanlah akar dari persamaan ini. Timbul pertanyaan: apakah ada cara untuk menyelesaikan persamaan rasional pecahan yang menghilangkan kesalahan ini? Ya, metode ini didasarkan pada kondisi bahwa pecahan sama dengan nol.

x 2 -3x-10=0, D=49, x 1 =5, x 2 = -2.

Jika x=5, maka x(x-5)=0, jadi 5 adalah akar asing.

Jika x=-2, maka x(x-5)≠0.

Menjawab: -2.

Mari kita coba merumuskan algoritma untuk menyelesaikan persamaan rasional pecahan dengan cara ini. Anak-anak sendiri merumuskan algoritma.

Algoritma untuk menyelesaikan persamaan rasional pecahan:

Pindahkan semuanya ke kiri.
Bawa pecahan ke penyebut yang sama.
Buatlah sistem: pecahan adalah nol jika pembilangnya nol dan penyebutnya bukan nol.
Memecahkan persamaan.
Periksa ketidaksetaraan untuk mengecualikan akar asing.
Tuliskan jawabannya.

Pembahasan: Bagaimana cara memformulasi penyelesaian jika menggunakan sifat dasar proporsi dan perkalian kedua ruas persamaan dengan penyebut yang sama. (Tambahan solusinya: singkirkan dari akarnya yang mengubah penyebut bersama menjadi nol).

4. Pemahaman utama dari materi baru.

Bekerja berpasangan. Siswa memilih cara menyelesaikan persamaan sendiri, tergantung pada jenis persamaannya. Tugas dari buku teks "Aljabar 8", Yu.N. Makarychev, 2007: No. 600 (b, c, i); No. 601 (a, e, g). Guru mengontrol kinerja tugas, menjawab pertanyaan yang muncul, dan memberikan bantuan kepada siswa yang berkinerja buruk. Tes mandiri: Jawaban ditulis di papan tulis.

b) 2 adalah akar asing. Jawaban:3.

c) 2 adalah akar asing. Jawaban: 1.5.

a) Jawaban: -12.5.

g) Jawaban: 1; 1.5.

5. Pernyataan pekerjaan rumah.

Baca item 25 dari buku teks, analisis contoh 1-3.
Pelajari algoritma untuk memecahkan persamaan rasional pecahan.
Selesaikan dalam buku catatan No. 600 (a, d, e); 601 (g, jam).
Coba selesaikan #696(a) (opsional).

6. Pemenuhan tugas kontrol pada topik yang dipelajari.

Pekerjaan dilakukan pada lembaran.

Contoh pekerjaan:

A) Manakah dari persamaan yang rasional fraksional?

B. Suatu pecahan bernilai nol jika pembilangnya _________ dan penyebutnya adalah ____________.

Q) Apakah angka -3 akar dari Persamaan #6?

D) Selesaikan persamaan No. 7.

Kriteria evaluasi tugas:

"5" diberikan jika siswa menyelesaikan lebih dari 90% tugas dengan benar.
"4" - 75% -89%
"3" - 50% -74%
"2" diberikan kepada siswa yang menyelesaikan kurang dari 50% tugas.
Grade 2 tidak dimasukkan ke dalam jurnal, 3 adalah opsional.

7. Refleksi.

Pada selebaran dengan pekerjaan mandiri, letakkan:

1 - jika pelajaran itu menarik dan dapat dimengerti oleh Anda;
2 - menarik, tetapi tidak jelas;
3 - tidak menarik, tetapi dapat dimengerti;
4 - tidak menarik, tidak jelas.

8. Menyimpulkan pelajaran.

Jadi, hari ini dalam pelajaran kita berkenalan dengan persamaan rasional fraksional, belajar bagaimana menyelesaikan persamaan ini dengan berbagai cara, menguji pengetahuan kita dengan bantuan pekerjaan mandiri pendidikan. Anda akan mempelajari hasil kerja mandiri di pelajaran berikutnya, di rumah Anda akan memiliki kesempatan untuk mengkonsolidasikan pengetahuan yang diperoleh.

Metode penyelesaian persamaan rasional pecahan apa yang menurut Anda lebih mudah, lebih mudah diakses, lebih rasional? Terlepas dari metode penyelesaian persamaan rasional pecahan, apa yang tidak boleh dilupakan? Apa "kelicikan" dari persamaan rasional fraksional?

Terima kasih semuanya, pelajaran sudah selesai.

"Penyelesaian persamaan rasional pecahan"

Tujuan Pelajaran:

tutorial:

pembentukan konsep persamaan rasional pecahan; mempertimbangkan berbagai cara untuk menyelesaikan persamaan rasional pecahan; pertimbangkan algoritme untuk menyelesaikan persamaan rasional pecahan, termasuk syarat bahwa pecahan sama dengan nol; untuk mengajarkan solusi persamaan rasional fraksional sesuai dengan algoritma; memeriksa tingkat asimilasi topik dengan melakukan tes kerja.

Mengembangkan:

pengembangan kemampuan untuk beroperasi dengan benar dengan pengetahuan yang diperoleh, untuk berpikir logis; pengembangan keterampilan intelektual dan operasi mental - analisis, sintesis, perbandingan, dan generalisasi; pengembangan inisiatif, kemampuan untuk membuat keputusan, tidak berhenti di situ; pengembangan berpikir kritis; pengembangan keterampilan riset.

Pengasuhan:

pendidikan minat kognitif dalam subjek; pendidikan kemandirian dalam memecahkan masalah pendidikan; pendidikan kemauan dan ketekunan untuk mencapai hasil akhir.

Jenis pelajaran: pelajaran - penjelasan materi baru.

Selama kelas

1. Momen organisasi.

Hallo teman-teman! Persamaan ditulis di papan tulis, perhatikan baik-baik. Bisakah kamu menyelesaikan semua persamaan ini? Mana yang tidak dan mengapa?

2. Aktualisasi pengetahuan. Survei frontal, pekerjaan lisan dengan kelas.

Dan sekarang kita akan mengulangi materi teoretis utama yang kita butuhkan untuk mempelajari topik baru. Jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut:

1. Apa itu persamaan? ( Kesetaraan dengan variabel atau variabel.)

2. Disebut apakah Persamaan #1? ( Linier.) Metode untuk memecahkan persamaan linier. ( Pindahkan semua yang tidak diketahui ke sisi kiri persamaan, semua angka ke kanan. Membawa istilah seperti. Temukan pengganda yang tidak diketahui).

3. Disebut apakah Persamaan #3? ( Kotak.) Metode untuk memecahkan persamaan kuadrat. ( Pemilihan persegi penuh, dengan rumus, menggunakan teorema Vieta dan konsekuensinya.)

4. Apa yang dimaksud dengan proporsi? ( Persamaan dua hubungan.) Properti utama proporsi. ( Jika proporsinya benar, maka hasil kali suku-suku ekstremnya sama dengan hasilkali suku-suku tengahnya.)

5. Sifat apa yang digunakan dalam menyelesaikan persamaan? ( 1. Jika dalam persamaan kita mentransfer istilah dari satu bagian ke bagian lain, mengubah tandanya, maka kita mendapatkan persamaan yang setara dengan yang diberikan. 2. Jika kedua bagian persamaan dikalikan atau dibagi dengan bilangan bukan nol yang sama, maka akan diperoleh persamaan yang ekuivalen dengan yang diberikan.)

6. Kapan pecahan sama dengan nol? ( Pecahan adalah nol jika pembilangnya nol dan penyebutnya bukan nol.)

3. Penjelasan materi baru.

Selesaikan persamaan No. 2 di buku catatan dan di papan tulis.

Menjawab: 10.

Persamaan rasional pecahan apa yang dapat Anda coba selesaikan menggunakan sifat dasar proporsi? (Nomor 5).

(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)

x2-4x-2x+8 = x2+3x+2x+6

x2-6x-x2-5x = 6-8

Selesaikan persamaan No. 4 di buku catatan dan di papan tulis.

Menjawab: 1,5.

Persamaan rasional pecahan apa yang dapat Anda coba selesaikan dengan mengalikan kedua ruas persamaan dengan penyebutnya? (No. 6).

D=1>0, x1=3, x2=4.

Menjawab: 3;4.

Sekarang coba selesaikan persamaan #7 dengan salah satu cara.


(x2-2x-5)x(x-5)=x(x-5)(x+5)
(x2-2x-5)x(x-5)-x(x-5)(x+5)=0
x(x-5)(x2-2x-5-(x+5))=0			x2-2x-5-x-5=0
x(x-5)(x2-3x-10)=0
x=0 x-5=0 x2-3x-10=0
x1=0 x2=5 D=49

Menjawab: 0;5;-2.			Menjawab: 5;-2.

Jelaskan mengapa ini terjadi? Mengapa ada tiga akar dalam satu kasus dan dua dalam kasus lainnya? Bilangan apa yang merupakan akar dari persamaan rasional pecahan ini?

Dalam persamaan No. 2 dan 4 dalam penyebut angka, No. 5-7 - ekspresi dengan variabel

Nilai variabel di mana persamaan menjadi persamaan sejati

Lakukan pemeriksaan

x2-3x-10=0, D=49, x1=5, x2=-2.

Jika x=5, maka x(x-5)=0, jadi 5 adalah akar asing.

Jika x=-2, maka x(x-5)≠0.

Menjawab: -2.

Mari kita coba merumuskan algoritma untuk menyelesaikan persamaan rasional pecahan dengan cara ini. Anak-anak sendiri merumuskan algoritma.

Algoritma untuk menyelesaikan persamaan rasional pecahan:

1. Pindahkan semuanya ke sisi kiri.

2. Bawa pecahan ke penyebut yang sama.

3. Buatlah sistem: pecahan sama dengan nol jika pembilangnya sama dengan nol, dan penyebutnya tidak sama dengan nol.

4. Selesaikan persamaan.

5. Periksa ketidaksetaraan untuk mengecualikan akar asing.

6. Tuliskan jawabannya.

4. Pemahaman utama dari materi baru.

Bekerja berpasangan. Siswa memilih cara menyelesaikan persamaan sendiri, tergantung pada jenis persamaannya. Tugas dari buku teks "Aljabar 8", 2007: No. 000 (b, c, i); Nomor 000 (a, e, g). Guru mengontrol kinerja tugas, menjawab pertanyaan yang muncul, dan memberikan bantuan kepada siswa yang berkinerja buruk. Tes mandiri: Jawaban ditulis di papan tulis.

b) 2 adalah akar asing. Jawaban:3.

c) 2 adalah akar asing. Jawaban: 1.5.

a) Jawaban: -12.5.

g) Jawaban: 1; 1.5.

5. Pernyataan pekerjaan rumah.

2. Pelajari algoritma untuk memecahkan persamaan rasional pecahan.

3. Selesaikan dalam buku catatan No. 000 (a, d, e); Nomor 000 (g, jam).

4. Coba selesaikan No. 000(a) (opsional).

6. Pemenuhan tugas kontrol pada topik yang dipelajari.

Pekerjaan dilakukan pada lembaran.

Contoh pekerjaan:

A) Manakah dari persamaan yang rasional fraksional?

B. Suatu pecahan bernilai nol jika pembilangnya _________ dan penyebutnya adalah ____________.

Q) Apakah angka -3 akar dari Persamaan #6?

D) Selesaikan persamaan No. 7.

Kriteria evaluasi tugas:

"5" diberikan jika siswa menyelesaikan lebih dari 90% tugas dengan benar. "4" - 75% -89% "3" - 50% -74% "2" diberikan kepada siswa yang menyelesaikan kurang dari 50% tugas. Grade 2 tidak dimasukkan ke dalam jurnal, 3 adalah opsional.

7. Refleksi.

Pada selebaran dengan pekerjaan mandiri, letakkan:

1 - jika pelajaran itu menarik dan dapat dimengerti oleh Anda; 2 - menarik, tetapi tidak jelas; 3 - tidak menarik, tetapi dapat dimengerti; 4 - tidak menarik, tidak jelas.

8. Menyimpulkan pelajaran.

Terima kasih semuanya, pelajaran sudah selesai.

Kami terus berbicara tentang solusi persamaan. Dalam artikel ini, kami akan fokus pada persamaan rasional dan prinsip-prinsip untuk memecahkan persamaan rasional dengan satu variabel. Pertama, mari kita cari tahu jenis persamaan apa yang disebut rasional, berikan definisi persamaan rasional bilangan bulat dan rasional pecahan, dan berikan contohnya. Selanjutnya, kita akan memperoleh algoritme untuk menyelesaikan persamaan rasional, dan, tentu saja, mempertimbangkan solusi dari contoh tipikal dengan semua penjelasan yang diperlukan.

Navigasi halaman.

Berdasarkan definisi yang terdengar, kami memberikan beberapa contoh persamaan rasional. Misalnya, x=1 , 2 x−12 x 2 y z 3 =0 , , adalah semua persamaan rasional.

Dari contoh-contoh yang ditunjukkan, dapat dilihat bahwa persamaan rasional, serta persamaan jenis lain, dapat berupa satu variabel, atau dengan dua, tiga, dll. variabel. Dalam paragraf berikut, kita akan berbicara tentang menyelesaikan persamaan rasional dalam satu variabel. Memecahkan persamaan dengan dua variabel dan jumlah mereka yang besar patut mendapat perhatian khusus.

Selain membagi persamaan rasional dengan jumlah variabel yang tidak diketahui, mereka juga dibagi menjadi bilangan bulat dan pecahan. Mari kita berikan definisi yang sesuai.

Definisi.

Persamaan rasional disebut utuh, jika kedua bagian kiri dan kanannya adalah ekspresi rasional bilangan bulat.

Definisi.

Jika setidaknya salah satu bagian dari persamaan rasional adalah ekspresi pecahan, maka persamaan tersebut disebut rasional fraksional(atau rasional fraksional).

Jelas bahwa persamaan bilangan bulat tidak mengandung pembagian dengan variabel; sebaliknya, persamaan rasional pecahan harus mengandung pembagian oleh variabel (atau variabel dalam penyebut). Jadi 3 x+2=0 dan (x+y) (3 x 2 1)+x=−y+0,5 adalah seluruh persamaan rasional, kedua bagiannya adalah ekspresi bilangan bulat. A dan x:(5 x 3 +y 2)=3:(x−1):5 adalah contoh persamaan rasional pecahan.

Sebagai penutup paragraf ini, mari kita perhatikan fakta bahwa persamaan linier dan persamaan kuadrat yang diketahui saat ini adalah persamaan rasional keseluruhan.

Memecahkan persamaan bilangan bulat

Salah satu pendekatan utama untuk menyelesaikan seluruh persamaan adalah pengurangannya menjadi setara persamaan aljabar. Ini selalu dapat dilakukan dengan melakukan transformasi setara berikut dari persamaan:

pertama, ekspresi dari sisi kanan persamaan bilangan bulat asli dipindahkan ke sisi kiri dengan tanda yang berlawanan untuk mendapatkan nol di sisi kanan;
setelah itu, di sisi kiri persamaan, dihasilkan bentuk standar.

Hasilnya adalah persamaan aljabar yang setara dengan seluruh persamaan asli. Jadi dalam kasus paling sederhana, solusi seluruh persamaan direduksi menjadi solusi persamaan linier atau kuadrat, dan dalam kasus umum - ke solusi persamaan aljabar derajat n. Untuk kejelasan, mari kita menganalisis solusi dari contoh.

Contoh.

Temukan akar dari seluruh persamaan 3 (x+1) (x−3)=x (2 x−1)−3.

Larutan.

Mari kita kurangi solusi seluruh persamaan ini menjadi solusi persamaan aljabar ekivalen. Untuk melakukan ini, pertama, kami mentransfer ekspresi dari sisi kanan ke kiri, sebagai hasilnya kami sampai pada persamaan 3 (x+1) (x−3)−x (2 x−1)+3=0. Dan, kedua, kami mengubah ekspresi yang terbentuk di sisi kiri menjadi polinomial dari bentuk standar dengan melakukan hal yang diperlukan: 3 (x+1) (x−3)−x (2 x−1)+3= (3 x+3) (x−3)−2 x 2 +x+3= 3 x 2 9 x+3 x−9−2 x 2 +x+3=x 2 5 x−6. Jadi, solusi persamaan bilangan bulat asli direduksi menjadi solusi persamaan kuadrat x 2 5·x−6=0 .

Hitung diskriminannya D=(−5) 2 4 1 (−6)=25+24=49, itu positif, yang berarti bahwa persamaan tersebut memiliki dua akar real, yang kita temukan dengan rumus akar-akar persamaan kuadrat:

Untuk benar-benar yakin, mari kita lakukan memeriksa akar yang ditemukan dari persamaan. Pertama, kami memeriksa akar 6, menggantinya dengan variabel x dalam persamaan bilangan bulat asli: 3 (6+1) (6−3)=6 (2 6−1)−3, yang sama, 63=63 . Ini adalah persamaan numerik yang valid, jadi x=6 memang akar persamaan. Sekarang kita periksa root 1 , kita punya 3 (−1+1) (−1−3)=(−1) (2 (−1)−1)−3, dimana, 0=0 . Untuk x=−1, persamaan asli juga berubah menjadi persamaan numerik sejati, oleh karena itu, x=−1 juga merupakan akar persamaan.

Menjawab:

6 , −1 .

Di sini juga harus dicatat bahwa istilah "kekuatan seluruh persamaan" dikaitkan dengan representasi seluruh persamaan dalam bentuk persamaan aljabar. Kami memberikan definisi yang sesuai:

Definisi.

Derajat seluruh persamaan sebut derajat persamaan aljabar yang setara dengannya.

Menurut definisi ini, seluruh persamaan dari contoh sebelumnya memiliki derajat kedua.

Yang ini bisa menyelesaikan dengan solusi seluruh persamaan rasional, jika bukan untuk satu tapi .... Seperti diketahui, solusi persamaan aljabar dengan derajat yang lebih tinggi dari yang kedua dikaitkan dengan kesulitan yang signifikan, dan untuk persamaan dengan derajat yang lebih tinggi dari yang keempat, tidak ada rumus umum untuk akar sama sekali. Oleh karena itu, untuk menyelesaikan seluruh persamaan derajat ketiga, keempat, dan yang lebih tinggi, seseorang sering kali harus menggunakan metode penyelesaian lain.

Dalam kasus seperti itu, terkadang pendekatan untuk menyelesaikan seluruh persamaan rasional didasarkan pada metode faktorisasi. Pada saat yang sama, algoritma berikut diikuti:

pertama mereka berusaha untuk memiliki nol di sisi kanan persamaan, untuk ini mereka mentransfer ekspresi dari sisi kanan seluruh persamaan ke kiri;
kemudian, ekspresi yang dihasilkan di sisi kiri disajikan sebagai produk dari beberapa faktor, yang memungkinkan Anda untuk pergi ke serangkaian persamaan yang lebih sederhana.

Algoritma di atas untuk menyelesaikan seluruh persamaan melalui faktorisasi memerlukan penjelasan rinci menggunakan contoh.

Contoh.

Selesaikan seluruh persamaan (x 2 1) (x 2 10 x+13)= 2 x (x 2 10 x+13) .

Larutan.

Pertama, seperti biasa, kita pindahkan ekspresi dari ruas kanan ke ruas kiri persamaan, jangan lupa ubah tandanya, kita peroleh (x 2 1) (x 2 10 x+13) 2 x (x 2 10 x+13)=0 . Cukup jelas di sini bahwa tidak disarankan untuk mengubah ruas kiri persamaan yang dihasilkan menjadi polinomial bentuk standar, karena ini akan memberikan persamaan aljabar derajat keempat bentuk x 4 12 x 3 +32 x 2 16 x−13=0, yang solusinya sulit.

Di sisi lain, jelas bahwa x 2 10·x+13 dapat ditemukan di sisi kiri persamaan yang dihasilkan, sehingga mewakilinya sebagai produk. Kita punya (x 2 10 x+13) (x 2 2 x−1)=0. Persamaan yang dihasilkan ekuivalen dengan seluruh persamaan semula, dan selanjutnya dapat diganti dengan dua persamaan kuadrat x 2 −10·x+13=0 dan x 2 2·x−1=0 . Menemukan akar-akarnya menggunakan rumus akar yang diketahui melalui diskriminan tidaklah sulit, akar-akarnya sama. Mereka adalah akar yang diinginkan dari persamaan asli.

Menjawab:

Ini juga berguna untuk menyelesaikan seluruh persamaan rasional. metode untuk memperkenalkan variabel baru. Dalam beberapa kasus, ini memungkinkan seseorang untuk melewati persamaan yang derajatnya lebih rendah dari derajat persamaan bilangan bulat aslinya.

Contoh.

Tentukan akar real dari persamaan rasional (x 2 +3 x+1) 2 +10=−2 (x 2 +3 x−4).

Larutan.

Mengurangi seluruh persamaan rasional ini menjadi persamaan aljabar, secara halus, bukanlah ide yang sangat baik, karena dalam kasus ini kita akan menemukan kebutuhan untuk menyelesaikan persamaan derajat keempat yang tidak memiliki akar rasional. Karena itu, Anda harus mencari solusi lain.

Sangat mudah untuk melihat di sini bahwa Anda dapat memasukkan variabel baru y dan mengganti ekspresi x 2 +3 x dengannya. Penggantian seperti itu membawa kita ke seluruh persamaan (y+1) 2 +10=−2 (y−4) , yang, setelah mentransfer ekspresi 2 (y−4) ke sisi kiri dan transformasi selanjutnya dari ekspresi yang terbentuk di sana, direduksi menjadi persamaan y 2 +4 y+3=0 . Akar persamaan ini y=−1 dan y=−3 mudah ditemukan, misalnya, mereka dapat ditemukan berdasarkan teorema kebalikan dari teorema Vieta.

Sekarang mari kita beralih ke bagian kedua dari metode memasukkan variabel baru, yaitu membuat substitusi terbalik. Setelah melakukan substitusi terbalik, kita memperoleh dua persamaan x 2 +3 x=−1 dan x 2 +3 x=−3 , yang dapat ditulis ulang sebagai x 2 +3 x+1=0 dan x 2 +3 x+3 =0 . Menurut rumus akar persamaan kuadrat, kita menemukan akar persamaan pertama. Dan persamaan kuadrat kedua tidak memiliki akar real, karena diskriminannya negatif (D=3 2 4 3=9−12=−3 ).

Menjawab:

Secara umum, ketika kita berurusan dengan seluruh persamaan derajat tinggi, kita harus selalu siap untuk mencari metode non-standar atau teknik buatan untuk menyelesaikannya.

Penyelesaian persamaan rasional fraksional

Pertama, akan berguna untuk memahami bagaimana menyelesaikan persamaan rasional fraksional dari bentuk , di mana p(x) dan q(x) adalah ekspresi bilangan bulat rasional. Dan kemudian kami akan menunjukkan cara mengurangi solusi dari persamaan rasional fraksional yang tersisa menjadi solusi persamaan bentuk yang ditunjukkan.

Salah satu pendekatan untuk memecahkan persamaan didasarkan pada pernyataan berikut: pecahan numerik u / v, di mana v adalah bilangan bukan-nol (jika tidak, kita akan menemukan , yang tidak ditentukan), adalah nol jika dan hanya jika pembilangnya adalah nol, maka adalah, jika dan hanya jika u=0 . Berdasarkan pernyataan ini, solusi persamaan direduksi menjadi pemenuhan dua kondisi p(x)=0 dan q(x)≠0 .

Kesimpulan ini sesuai dengan yang berikut: algoritma untuk memecahkan persamaan rasional fraksional. Menyelesaikan persamaan rasional pecahan berbentuk

selesaikan seluruh persamaan rasional p(x)=0 ;
dan periksa apakah kondisi q(x)≠0 terpenuhi untuk setiap akar yang ditemukan, while

jika benar, maka akar ini adalah akar dari persamaan awal;
jika tidak, maka akar ini asing, yaitu, itu bukan akar dari persamaan asli.

Mari kita menganalisis contoh penggunaan algoritme bersuara saat menyelesaikan persamaan rasional pecahan.

Contoh.

Temukan akar persamaan.

Larutan.

Ini adalah persamaan rasional fraksional dari bentuk , di mana p(x)=3 x−2 , q(x)=5 x 2 2=0 .

Menurut algoritma untuk menyelesaikan persamaan rasional fraksional semacam ini, pertama-tama kita harus menyelesaikan persamaan 3·x−2=0 . Ini adalah persamaan linier yang akarnya adalah x=2/3 .

Tetap memeriksa akar ini, yaitu, untuk memeriksa apakah memenuhi kondisi 5·x 2 2≠0 . Kami mengganti angka 2/3 alih-alih x ke dalam ekspresi 5 x 2 2, kami mendapatkan . Kondisi terpenuhi, jadi x=2/3 adalah akar dari persamaan awal.

Menjawab:

2/3 .

Solusi persamaan rasional pecahan dapat didekati dari posisi yang sedikit berbeda. Persamaan ini ekuivalen dengan seluruh persamaan p(x)=0 pada variabel x dari persamaan awal. Artinya, Anda bisa mengikuti ini algoritma untuk memecahkan persamaan rasional fraksional :

selesaikan persamaan p(x)=0 ;
temukan variabel ODZ x ;
ambil akar yang termasuk dalam wilayah nilai yang dapat diterima - mereka adalah akar yang diinginkan dari persamaan rasional fraksional asli.

Sebagai contoh, mari kita selesaikan persamaan rasional pecahan menggunakan algoritma ini.

Contoh.

Memecahkan persamaan.

Larutan.

Pertama, kita selesaikan persamaan kuadrat x 2 2·x−11=0 . Akarnya dapat dihitung menggunakan rumus akar untuk koefisien kedua genap, kita peroleh D 1 =(−1) 2 1 (−11)=12, dan .

Kedua, kami menemukan ODZ dari variabel x untuk persamaan asli. Ini terdiri dari semua angka yang x 2 +3 x≠0 , yang sama dengan x (x+3)≠0 , dari mana x≠0 , x≠−3 .

Tetap memeriksa apakah akar yang ditemukan pada langkah pertama termasuk dalam ODZ. Jelas ya. Oleh karena itu, persamaan rasional fraksional asli memiliki dua akar.

Menjawab:

Perhatikan bahwa pendekatan ini lebih menguntungkan daripada yang pertama jika ODZ mudah ditemukan, dan terutama bermanfaat jika akar persamaan p(x)=0 adalah irasional, misalnya , atau rasional, tetapi dengan pembilang dan/atau penyebut, misalnya 127/1101 dan -31/59 . Hal ini disebabkan fakta bahwa dalam kasus seperti itu, memeriksa kondisi q(x)≠0 akan membutuhkan upaya komputasi yang signifikan, dan lebih mudah untuk mengecualikan akar asing dari ODZ.

Dalam kasus lain, saat menyelesaikan persamaan, terutama jika akar persamaan p(x)=0 adalah bilangan bulat, akan lebih menguntungkan untuk menggunakan yang pertama dari algoritma di atas. Artinya, disarankan untuk segera menemukan akar seluruh persamaan p(x)=0 , dan kemudian memeriksa apakah kondisi q(x)≠0 terpenuhi untuk mereka, dan tidak menemukan ODZ, dan kemudian menyelesaikan persamaan p(x)=0 pada ODZ ini. Hal ini disebabkan fakta bahwa dalam kasus seperti itu biasanya lebih mudah untuk melakukan pemeriksaan daripada menemukan ODZ.

Pertimbangkan solusi dari dua contoh untuk menggambarkan nuansa yang ditentukan.

Contoh.

Temukan akar persamaan.

Larutan.

Pertama kita cari akar dari seluruh persamaan (2 x−1) (x−6) (x 2 5 x+14) (x+1)=0, disusun menggunakan pembilang pecahan. Ruas kiri persamaan ini adalah produk, dan ruas kanan adalah nol, oleh karena itu, menurut metode penyelesaian persamaan melalui faktorisasi, persamaan ini setara dengan himpunan empat persamaan 2 x−1=0 , x−6= 0 , x 2 5 x+ 14=0 , x+1=0 . Tiga dari persamaan ini linier dan satu kuadrat, kita dapat menyelesaikannya. Dari persamaan pertama kita temukan x=1/2, dari persamaan kedua - x=6, dari persamaan ketiga - x=7, x=−2, dari persamaan keempat - x=−1.

Dengan akar yang ditemukan, cukup mudah untuk memeriksanya untuk melihat apakah penyebut pecahan di sisi kiri persamaan asli tidak hilang, dan tidak mudah untuk menentukan ODZ, karena ini harus menyelesaikan sebuah persamaan aljabar derajat kelima. Oleh karena itu, kami akan menolak untuk menemukan ODZ demi memeriksa akarnya. Untuk melakukan ini, kami menggantinya secara bergantian sebagai ganti variabel x dalam ekspresi x 5 15 x 4 +57 x 3 13 x 2 +26 x+112, diperoleh setelah substitusi, dan bandingkan dengan nol: (1/2) 5 15 (1/2) 4 + 57 (1/2) 3 13 (1/2) 2 +26 (1/2)+112= 1/32−15/16+57/8−13/4+13+112= 122+1/32≠0 ;
6 5 15 6 4 +57 6 3 13 6 2 +26 6+112= 448≠0 ;
7 5 15 7 4 +57 7 3 13 7 2 +26 7+112=0;
(−2) 5 15 (−2) 4 +57 (−2) 3 13 (−2) 2 + 26 (−2)+112=−720≠0 ;
(−1) 5 15 (−1) 4 +57 (−1) 3 13 (−1) 2 + 26·(−1)+112=0 .

Jadi, 1/2, 6 dan 2 adalah akar-akar yang diinginkan dari persamaan rasional fraksional asli, dan 7 dan 1 adalah akar-akar asing.

Menjawab:

1/2 , 6 , −2 .

Contoh.

Temukan akar-akar persamaan rasional pecahan.

Larutan.

Pertama kita cari akar persamaan (5x2 7x−1)(x−2)=0. Persamaan ini ekuivalen dengan dua persamaan: kuadrat 5·x 2 7·x−1=0 dan linear x−2=0 . Menurut rumus akar persamaan kuadrat, kita menemukan dua akar, dan dari persamaan kedua kita memiliki x=2.

Memeriksa apakah penyebut tidak hilang pada nilai x yang ditemukan agak tidak menyenangkan. Dan untuk menentukan kisaran nilai yang dapat diterima dari variabel x dalam persamaan aslinya cukup sederhana. Oleh karena itu, kami akan bertindak melalui ODZ.

Dalam kasus kita, ODZ variabel x dari persamaan rasional pecahan asli terdiri dari semua bilangan, kecuali bilangan yang memenuhi syarat x 2 +5·x−14=0. Akar persamaan kuadrat ini adalah x=−7 dan x=2, dari sini kita menyimpulkan tentang ODZ: ODZ terdiri dari semua x sehingga .

Tetap memeriksa apakah akar yang ditemukan dan x=2 termasuk dalam wilayah nilai yang dapat diterima. Akar - milik, oleh karena itu, mereka adalah akar dari persamaan asli, dan x=2 bukan milik, oleh karena itu, itu adalah akar asing.

Menjawab:

Juga akan berguna untuk membahas secara terpisah kasus-kasus di mana suatu bilangan ada dalam pembilangnya dalam bentuk persamaan rasional pecahan, yaitu, ketika p (x) diwakili oleh suatu bilangan. Di mana

jika bilangan ini berbeda dengan nol, maka persamaan tersebut tidak memiliki akar, karena pecahan adalah nol jika dan hanya jika pembilangnya nol;
jika angka ini nol, maka akar persamaannya adalah angka apa pun dari ODZ.

Contoh.

Larutan.

Karena ada bilangan bukan-nol pada pembilang pecahan di sisi kiri persamaan, untuk tidak ada x dapat nilai pecahan ini sama dengan nol. Oleh karena itu, persamaan ini tidak memiliki akar.

Menjawab:

tidak ada akar.

Contoh.

Memecahkan persamaan.

Larutan.

Pembilang pecahan di ruas kiri persamaan rasional pecahan ini adalah nol, jadi nilai pecahan ini adalah nol untuk setiap x yang masuk akal. Dengan kata lain, solusi persamaan ini adalah sembarang nilai x dari DPV variabel ini.

Tetap menentukan kisaran nilai yang dapat diterima ini. Ini mencakup semua nilai x yang x 4 +5 x 3 0. Solusi dari persamaan x 4 +5 x 3 \u003d 0 adalah 0 dan 5, karena persamaan ini setara dengan persamaan x 3 (x + 5) \u003d 0, dan, pada gilirannya, setara dengan kombinasi dari dua persamaan x 3 \u003d 0 dan x +5=0 , dari mana akar-akar ini terlihat. Oleh karena itu, rentang nilai yang dapat diterima yang diinginkan adalah x , kecuali untuk x=0 dan x=−5 .

Jadi, persamaan rasional fraksional memiliki banyak solusi, yang merupakan bilangan apa pun kecuali nol dan minus lima.

Menjawab:

Akhirnya, saatnya berbicara tentang menyelesaikan persamaan rasional fraksional arbitrer. Mereka dapat ditulis sebagai r(x)=s(x) , di mana r(x) dan s(x) adalah ekspresi rasional, dan setidaknya salah satunya adalah pecahan. Ke depan, kami mengatakan bahwa solusi mereka direduksi menjadi penyelesaian persamaan bentuk yang sudah akrab bagi kami.

Diketahui bahwa perpindahan suku dari satu bagian persamaan ke bagian lain yang berlawanan tanda menghasilkan persamaan yang ekivalen, sehingga persamaan r(x)=s(x) ekuivalen dengan persamaan r(x)−s (x)=0 .

Kita juga tahu bahwa any bisa identik sama dengan ekspresi ini. Jadi, kita selalu dapat mengubah ekspresi rasional di ruas kiri persamaan r(x)−s(x)=0 menjadi pecahan rasional yang identik dengan bentuk .

Jadi, kita beralih dari persamaan rasional pecahan asli r(x)=s(x) ke persamaan , dan solusinya, seperti yang kita temukan di atas, direduksi menjadi penyelesaian persamaan p(x)=0 .

Tetapi di sini perlu untuk mempertimbangkan fakta bahwa ketika mengganti r(x)−s(x)=0 dengan , dan kemudian dengan p(x)=0 , rentang nilai yang diizinkan dari variabel x dapat diperluas .

Oleh karena itu, persamaan asli r(x)=s(x) dan persamaan p(x)=0 , yang kita dapatkan, mungkin tidak setara, dan dengan menyelesaikan persamaan p(x)=0 , kita dapat memperoleh akar yang akan menjadi akar asing dari persamaan asli r(x)=s(x) . Dimungkinkan untuk mengidentifikasi dan tidak memasukkan akar asing dalam jawaban, baik dengan melakukan pemeriksaan, atau dengan memeriksa apakah akar tersebut termasuk dalam ODZ dari persamaan asli.

Kami merangkum informasi ini dalam algoritma untuk memecahkan persamaan rasional pecahan r(x)=s(x). Untuk menyelesaikan persamaan rasional pecahan r(x)=s(x) , kita harus

Dapatkan nol di sebelah kanan dengan memindahkan ekspresi dari sisi kanan dengan tanda yang berlawanan.
Lakukan tindakan dengan pecahan dan polinomial di sisi kiri persamaan, sehingga mengubahnya menjadi bentuk pecahan rasional.
Selesaikan persamaan p(x)=0 .
Identifikasi dan singkirkan akar-akar asing, yang dilakukan dengan mensubstitusinya ke dalam persamaan asli atau dengan memeriksa kepemilikannya pada ODZ dari persamaan asli.

Untuk kejelasan yang lebih besar, kami akan menunjukkan seluruh rantai penyelesaian persamaan rasional pecahan:
.

Mari kita membahas solusi dari beberapa contoh dengan penjelasan rinci tentang solusi untuk memperjelas blok informasi yang diberikan.

Contoh.

Memecahkan persamaan rasional pecahan.

Larutan.

Kami akan bertindak sesuai dengan algoritma solusi yang baru saja diperoleh. Dan pertama-tama kita mentransfer istilah dari sisi kanan persamaan ke kiri, sebagai hasilnya, kita beralih ke persamaan.

Pada langkah kedua, kita perlu mengubah ekspresi rasional pecahan di ruas kiri persamaan yang dihasilkan ke dalam bentuk pecahan. Untuk melakukan ini, kami melakukan pengurangan pecahan rasional ke penyebut yang sama dan menyederhanakan ekspresi yang dihasilkan: . Jadi kita sampai pada persamaan.

Pada langkah berikutnya, kita perlu menyelesaikan persamaan 2·x−1=0 . Cari x=−1/2 .

Tetap memeriksa apakah angka yang ditemukan 1/2 adalah akar asing dari persamaan asli. Untuk melakukan ini, Anda dapat memeriksa atau menemukan variabel ODZ x dari persamaan asli. Mari kita tunjukkan kedua pendekatan tersebut.

Mari kita mulai dengan cek. Kami mengganti angka 1/2 alih-alih variabel x ke dalam persamaan asli, kami mendapatkan , yang sama, 1=−1. Substitusi memberikan persamaan numerik yang benar, oleh karena itu, x=−1/2 adalah akar dari persamaan aslinya.

Sekarang kita akan menunjukkan bagaimana langkah terakhir dari algoritma dilakukan melalui ODZ. Rentang nilai yang dapat diterima dari persamaan asli adalah himpunan semua bilangan, kecuali untuk 1 dan 0 (untuk x=−1 dan x=0, penyebut pecahan hilang). Akar x=−1/2 yang ditemukan pada langkah sebelumnya termasuk dalam ODZ, oleh karena itu, x=−1/2 adalah akar dari persamaan aslinya.

Menjawab:

−1/2 .

Mari kita pertimbangkan contoh lain.

Contoh.

Temukan akar persamaan.

Larutan.

Kita perlu memecahkan persamaan rasional fraksional, mari kita lihat semua langkah algoritmanya.

Pertama, kita pindahkan suku dari ruas kanan ke kiri, kita peroleh .

Kedua, kami mengubah ekspresi yang terbentuk di sisi kiri: . Akibatnya, kita sampai pada persamaan x=0 .

Akarnya jelas - nol.

Pada langkah keempat, masih mencari tahu apakah akar yang ditemukan bukan akar luar untuk persamaan rasional fraksional asli. Ketika disubstitusikan ke persamaan asli, ekspresi diperoleh. Jelas, itu tidak masuk akal, karena mengandung pembagian dengan nol. Dari mana kita menyimpulkan bahwa 0 adalah akar asing. Oleh karena itu, persamaan asli tidak memiliki akar.

7 , yang mengarah ke persamaan . Dari sini kita dapat menyimpulkan bahwa ekspresi penyebut ruas kiri harus sama dengan ruas kanan, yaitu . Sekarang kita kurangi dari kedua bagian triple: . Dengan analogi, dari mana, dan selanjutnya.

Pemeriksaan menunjukkan bahwa kedua akar yang ditemukan adalah akar dari persamaan rasional pecahan asli.

Menjawab:

Bibliografi.

Aljabar: buku pelajaran untuk 8 sel. pendidikan umum institusi / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; ed. S.A. Telyakovsky. - edisi ke-16. - M. : Pendidikan, 2008. - 271 hal. : Saya akan. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Mordkovich A.G. Aljabar. kelas 8. Pukul 2 siang Bagian 1. Buku teks untuk siswa lembaga pendidikan / A. G. Mordkovich. - Edisi ke-11, terhapus. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 hal.: sakit. ISBN 978-5-346-01155-2.
Aljabar: Kelas 9: buku teks. untuk pendidikan umum institusi / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; ed. S.A. Telyakovsky. - edisi ke-16. - M. : Pendidikan, 2009. - 271 hal. : Saya akan. - ISBN 978-5-09-021134-5.

Portal untuk siswa. Latihan mandiri

Bagaimana penyelesaian persamaan rasional pecahan?

Pengumpulan dan penggunaan informasi pribadi

Pengungkapan kepada pihak ketiga

Perlindungan informasi pribadi

Menjaga privasi Anda di tingkat perusahaan

Memecahkan persamaan bilangan bulat

Penyelesaian persamaan rasional fraksional

ARTIKEL TERKAIT