Akhirnya, saya mendapatkan topik yang luas dan telah lama ditunggu-tunggu geometri analitik. Pertama, sedikit tentang bagian matematika tingkat tinggi ini…. Tentunya Anda sekarang ingat kursus geometri sekolah dengan banyak teorema, buktinya, gambarnya, dll. Apa yang harus disembunyikan, subjek yang tidak disukai dan sering kali tidak jelas bagi sebagian besar siswa. Geometri analitik, anehnya, mungkin tampak lebih menarik dan mudah diakses. Apa arti kata sifat "analitis"? Dua putaran matematika yang dicap segera muncul di benak: "metode solusi grafis" dan "metode solusi analitis". Metode grafis, tentu saja, terkait dengan konstruksi grafik, gambar. analitis sama metode melibatkan pemecahan masalah dominan melalui operasi aljabar. Dalam hal ini, algoritme untuk menyelesaikan hampir semua masalah geometri analitik sederhana dan transparan, seringkali cukup untuk menerapkan rumus yang diperlukan secara akurat - dan jawabannya sudah siap! Tidak, tentu saja, itu tidak akan berhasil tanpa gambar sama sekali, selain itu, untuk pemahaman materi yang lebih baik, saya akan mencoba membawanya melebihi kebutuhan.

Kursus terbuka pelajaran dalam geometri tidak mengklaim sebagai kelengkapan teoretis, itu difokuskan pada pemecahan masalah praktis. Saya akan memasukkan dalam kuliah saya hanya apa, dari sudut pandang saya, yang penting secara praktis. Jika Anda memerlukan referensi yang lebih lengkap tentang subbagian apa pun, saya merekomendasikan literatur yang cukup mudah diakses berikut ini:

1) Suatu hal yang, bukan lelucon, akrab bagi beberapa generasi: Buku sekolah tentang geometri, penulis- L.S. Atanasyan dan Perusahaan. Gantungan ruang ganti sekolah ini telah bertahan 20 (!) penerbitan ulang, yang tentu saja bukan batasnya.

2) Geometri dalam 2 volume. Para penulis L.S. Atanasyan, Bazylev V.T.. Ini adalah literatur untuk pendidikan tinggi, Anda akan membutuhkan volume pertama. Tugas yang jarang terjadi mungkin berada di luar jangkauan pandangan saya, dan tutorialnya akan sangat membantu.

Kedua buku ini gratis untuk diunduh secara online. Selain itu, Anda dapat menggunakan arsip saya dengan solusi siap pakai, yang dapat ditemukan di halaman Unduh contoh matematika yang lebih tinggi.

Dari alat, saya kembali menawarkan pengembangan saya sendiri - paket perangkat lunak pada geometri analitik, yang akan sangat menyederhanakan hidup dan menghemat banyak waktu.

Diasumsikan bahwa pembaca sudah familiar dengan konsep geometri dasar dan angka: titik, garis, bidang, segitiga, jajaran genjang, paralelepiped, kubus, dll. Dianjurkan untuk mengingat beberapa teorema, setidaknya teorema Pythagoras, hello repeater)

Dan sekarang kita akan mempertimbangkan secara berurutan: konsep vektor, tindakan dengan vektor, koordinat vektor. Selanjutnya saya sarankan membaca artikel terpenting Hasil kali titik dari vektor, sebaik Vektor dan produk campuran dari vektor. Tugas lokal tidak akan berlebihan - Pembagian segmen dalam hal ini. Berdasarkan informasi di atas, Anda dapat persamaan garis lurus pada bidang dengan contoh solusi paling sederhana, yang akan memungkinkan belajar bagaimana memecahkan masalah dalam geometri. Artikel berikut juga bermanfaat: Persamaan bidang di luar angkasa, Persamaan garis lurus dalam ruang, Masalah dasar pada garis dan bidang , bagian lain dari geometri analitik. Secara alami, tugas standar akan dipertimbangkan di sepanjang jalan.

Konsep vektor. vektor gratis

Pertama, mari kita ulangi definisi sekolah dari sebuah vektor. vektor ditelepon diarahkan segmen yang awal dan akhirnya ditunjukkan:

Dalam hal ini, awal segmen adalah titik, akhir segmen adalah titik. Vektor itu sendiri dilambangkan dengan . Arah sangat penting, jika Anda mengatur ulang panah ke ujung segmen yang lain, Anda mendapatkan vektor, dan ini sudah vektor yang sama sekali berbeda. Lebih mudah untuk mengidentifikasi konsep vektor dengan pergerakan tubuh fisik: Anda harus mengakui bahwa memasuki pintu institut atau meninggalkan pintu institut adalah hal yang sama sekali berbeda.

Lebih mudah untuk mempertimbangkan titik individu dari sebuah pesawat, ruang sebagai apa yang disebut vektor nol. Vektor semacam itu memiliki akhir dan awal yang sama.

!!! Catatan: Di sini dan di bawah, Anda dapat mengasumsikan bahwa vektor terletak pada bidang yang sama atau Anda dapat mengasumsikan bahwa mereka terletak di ruang - inti dari materi yang disajikan berlaku untuk bidang dan ruang.

Sebutan: Banyak yang segera menarik perhatian pada tongkat tanpa panah di penunjukan dan mengatakan bahwa mereka juga meletakkan panah di atas! Itu benar, Anda dapat menulis dengan panah: , tetapi dapat diterima dan catatan yang akan saya gunakan nanti. Mengapa? Rupanya, kebiasaan seperti itu berkembang dari pertimbangan praktis, penembak saya di sekolah dan universitas ternyata terlalu beragam dan lusuh. Dalam literatur pendidikan, kadang-kadang mereka tidak peduli dengan tulisan paku sama sekali, tetapi menonjolkan huruf yang dicetak tebal: , sehingga menyiratkan bahwa ini adalah vektor.

Itu gayanya, dan sekarang tentang cara menulis vektor:

1) Vektor dapat ditulis dalam dua huruf Latin kapital:
dll. Sedangkan huruf pertama perlu menunjukkan titik awal vektor, dan huruf kedua menunjukkan titik akhir vektor.

2) Vektor juga ditulis dalam huruf latin kecil:
Secara khusus, vektor kami dapat didesain ulang untuk singkatnya dengan huruf Latin kecil .

Panjang atau modul vektor tak nol disebut panjang segmen. Panjang vektor nol adalah nol. Logikanya.

Panjang suatu vektor dilambangkan dengan tanda modulo: ,

Bagaimana menemukan panjang vektor, kita akan belajar (atau ulangi, untuk seseorang bagaimana) nanti.

Itu tadi informasi dasar tentang vektor yang sudah tidak asing lagi bagi semua anak sekolah. Dalam geometri analitik, yang disebut vektor gratis.

Jika itu cukup sederhana - vektor dapat ditarik dari titik manapun:

Kami biasa menyebut vektor tersebut sama (definisi vektor yang sama akan diberikan di bawah), tetapi dari sudut pandang matematis murni, ini adalah VEKTOR SAMA atau vektor gratis. Mengapa gratis? Karena dalam memecahkan masalah, Anda dapat "melampirkan" satu atau beberapa vektor ke titik APAPUN dari bidang atau ruang yang Anda butuhkan. Ini adalah properti yang sangat keren! Bayangkan sebuah vektor dengan panjang dan arah yang berubah-ubah - itu dapat "dikloning" dalam jumlah tak terbatas dan pada titik mana pun di ruang angkasa, pada kenyataannya, itu ada DI MANA SAJA. Ada pepatah mahasiswa seperti itu: Setiap dosen di f**u di vektor. Lagi pula, bukan hanya sajak yang lucu, semuanya benar secara matematis - sebuah vektor juga dapat dilampirkan di sana. Tapi jangan buru-buru bergembira, siswa sendiri lebih sering menderita =)

Jadi, vektor gratis- Ini sekelompok segmen arah yang identik. Definisi sekolah vektor, diberikan di awal paragraf: "Segmen berarah disebut vektor ...", menyiratkan spesifik segmen diarahkan diambil dari set tertentu, yang melekat pada titik tertentu di pesawat atau ruang.

Perlu dicatat bahwa dari sudut pandang fisika, konsep vektor bebas umumnya salah, dan titik penerapan vektor penting. Memang, pukulan langsung dengan kekuatan yang sama di hidung atau di dahi sudah cukup untuk mengembangkan contoh bodoh saya memerlukan konsekuensi yang berbeda. Namun, tidak gratis vektor juga ditemukan dalam perjalanan vyshmat (jangan pergi ke sana :)).

Tindakan dengan vektor. Kolinearitas vektor

Dalam kursus geometri sekolah, sejumlah tindakan dan aturan dengan vektor dipertimbangkan: penjumlahan menurut aturan segitiga, penjumlahan menurut aturan genjang, aturan selisih vektor, perkalian vektor dengan bilangan, perkalian skalar vektor, dll. Sebagai benih, kami mengulangi dua aturan yang sangat relevan untuk memecahkan masalah geometri analitik.

Aturan penjumlahan vektor menurut aturan segitiga

Pertimbangkan dua vektor non-nol arbitrer dan:

Hal ini diperlukan untuk menemukan jumlah dari vektor-vektor ini. Karena kenyataan bahwa semua vektor dianggap bebas, kami menunda vektor dari akhir vektor :

Jumlah vektor adalah vektor . Untuk pemahaman yang lebih baik tentang aturan, disarankan untuk memasukkan makna fisik ke dalamnya: biarkan beberapa benda membuat jalur di sepanjang vektor , dan kemudian di sepanjang vektor . Maka jumlah vektornya adalah vektor lintasan yang dihasilkan mulai dari titik berangkat dan berakhir di titik kedatangan. Aturan serupa dirumuskan untuk jumlah sejumlah vektor. Seperti yang mereka katakan, tubuh dapat berjalan dengan kuat zigzag, atau mungkin dengan autopilot - di sepanjang vektor jumlah yang dihasilkan.

Omong-omong, jika vektor ditunda dari Mulailah vektor , maka kita mendapatkan ekuivalennya aturan jajaran genjang penambahan vektor.

Pertama, tentang kolinearitas vektor. Kedua vektor tersebut disebut kolinear jika mereka terletak pada garis yang sama atau pada garis sejajar. Secara kasar, kita berbicara tentang vektor paralel. Tetapi sehubungan dengan mereka, kata sifat "collinear" selalu digunakan.

Bayangkan dua vektor collinear. Jika panah-panah dari vektor-vektor ini diarahkan pada arah yang sama, maka vektor-vektor tersebut disebut searah. Jika panah melihat ke arah yang berbeda, maka vektornya adalah berlawanan arah.

Sebutan: kolinearitas vektor ditulis dengan ikon paralelisme biasa: , sementara perincian dimungkinkan: (vektor diarahkan bersama) atau (vektor diarahkan berlawanan).

kerja dari vektor bukan nol oleh nomor adalah vektor yang panjangnya sama dengan , dan vektor dan co-diarahkan dan berlawanan diarahkan pada .

Aturan untuk mengalikan vektor dengan angka lebih mudah dipahami dengan gambar:

Kami memahami lebih detail:

1 arah. Jika pengalinya negatif, maka vektor berubah arah ke sebaliknya.

2) Panjang. Jika faktor tersebut terdapat di dalam atau , maka panjang vektor berkurang. Jadi, panjang vektor adalah dua kali lebih kecil dari panjang vektor . Jika pengali modulo lebih besar dari satu, maka panjang vektor meningkat pada waktunya.

3) Harap dicatat bahwa semua vektor adalah collinear, sedangkan satu vektor diekspresikan melalui vektor lain, misalnya . Kebalikannya juga benar: jika satu vektor dapat dinyatakan dalam bentuk yang lain, maka vektor-vektor tersebut harus kolinear. Dengan demikian: jika kita mengalikan vektor dengan angka, kita mendapatkan collinear(relatif terhadap aslinya) vektor.

4) Vektor adalah codirectional. Vektor dan juga codirectional. Setiap vektor dari grup pertama berlawanan dengan vektor grup kedua.

Vektor apa yang sama?

Dua buah vektor adalah sama jika keduanya searah dan memiliki panjang yang sama. Perhatikan bahwa co-direction menyiratkan bahwa vektor-vektornya adalah collinear. Definisi tersebut akan menjadi tidak akurat (berlebihan) jika Anda mengatakan: "Dua vektor adalah sama jika mereka segaris, berarah bersama, dan memiliki panjang yang sama."

Dari sudut pandang konsep vektor bebas, vektor yang sama adalah vektor yang sama, yang telah dibahas pada paragraf sebelumnya.

Koordinat vektor di pesawat dan di luar angkasa

Poin pertama adalah mempertimbangkan vektor pada bidang. Gambarlah sistem koordinat persegi panjang Cartesian dan sisihkan dari titik asal lajang vektor dan :

Vektor dan ortogonal. Ortogonal = Tegak Lurus. Saya sarankan perlahan-lahan membiasakan diri dengan istilah: alih-alih paralelisme dan tegak lurus, kami menggunakan kata-kata masing-masing kolinearitas dan ortogonalitas.

Penamaan: ortogonalitas vektor ditulis dengan tanda tegak lurus biasa, misalnya: .

Vektor yang dipertimbangkan disebut koordinat vektor atau ort. Vektor-vektor ini membentuk dasar di permukaan. Apa dasarnya, saya pikir, secara intuitif jelas bagi banyak orang, informasi yang lebih rinci dapat ditemukan di artikel Linear (non) ketergantungan vektor. Dasar vektor.Dengan kata sederhana, dasar dan asal usul koordinat menentukan seluruh sistem - ini adalah semacam fondasi di mana kehidupan geometris yang penuh dan kaya mendidih.

Kadang-kadang dasar yang dibangun disebut ortonormal dasar bidang: "orto" - karena vektor koordinat ortogonal, kata sifat "dinormalisasi" berarti unit, mis. panjang vektor basis sama dengan satu.

Penamaan: dasarnya biasanya ditulis dalam tanda kurung, di dalamnya dalam urutan yang ketat vektor basis terdaftar, misalnya: . Vektor koordinat itu dilarang bertukar tempat.

Setiap vektor pesawat satu-satunya jalan diekspresikan sebagai:
, di mana - angka, yang disebut koordinat vektor dalam dasar ini. Tapi ekspresi itu sendiri ditelepon dekomposisi vektordasar .

Makan malam disajikan:

Mari kita mulai dengan huruf pertama dari alfabet: . Gambar dengan jelas menunjukkan bahwa ketika menguraikan vektor dalam hal basis, yang baru saja dipertimbangkan digunakan:
1) aturan perkalian vektor dengan angka: dan ;
2) penambahan vektor menurut aturan segitiga: .

Sekarang secara mental kesampingkan vektor dari titik lain di pesawat. Cukup jelas bahwa korupsinya akan "tanpa henti mengikutinya". Ini dia, kebebasan vektor - vektor "membawa segalanya bersamamu." Properti ini, tentu saja, berlaku untuk vektor apa pun. Lucu bahwa basis (gratis) vektor itu sendiri tidak harus dikesampingkan dari asalnya, satu dapat digambar, misalnya, di kiri bawah, dan yang lainnya di kanan atas, dan tidak ada yang akan berubah dari ini! Benar, Anda tidak perlu melakukan ini, karena guru juga akan menunjukkan orisinalitas dan memberi Anda "pass" di tempat yang tidak terduga.

Vektor , menggambarkan dengan tepat aturan untuk mengalikan vektor dengan angka, vektor diarahkan bersama dengan vektor basis , vektor diarahkan berlawanan dengan vektor basis . Untuk vektor-vektor ini, salah satu koordinatnya sama dengan nol, dapat ditulis dengan cermat sebagai berikut:


Dan vektor dasar, omong-omong, seperti ini: (sebenarnya, mereka diekspresikan melalui diri mereka sendiri).

Dan akhirnya: , . Omong-omong, apa itu pengurangan vektor, dan mengapa saya tidak memberi tahu Anda tentang aturan pengurangan? Di suatu tempat dalam aljabar linier, saya tidak ingat di mana, saya mencatat bahwa pengurangan adalah kasus khusus dari penambahan. Jadi, ekspansi dari vektor "de" dan "e" ditulis dengan tenang sebagai jumlah: . Susun ulang suku-suku di tempat dan ikuti gambar seberapa jelas penjumlahan lama yang baik dari vektor-vektor menurut aturan segitiga bekerja dalam situasi-situasi ini.

Dianggap dekomposisi bentuk kadang-kadang disebut dekomposisi vektor dalam sistem ort(yaitu dalam sistem vektor satuan). Tapi ini bukan satu-satunya cara untuk menulis vektor, opsi berikut ini umum:

Atau dengan tanda sama dengan:

Vektor basis itu sendiri ditulis sebagai berikut: dan

Artinya, koordinat vektor ditunjukkan dalam tanda kurung. Dalam tugas-tugas praktis, ketiga opsi perekaman digunakan.

Saya ragu apakah akan berbicara, tetapi saya tetap akan mengatakan: koordinat vektor tidak dapat diatur ulang. Benar-benar di tempat pertama tuliskan koordinat yang sesuai dengan vektor satuan , ketat di tempat kedua tuliskan koordinat yang sesuai dengan vektor satuan . Memang, dan adalah dua vektor yang berbeda.

Kami menemukan koordinat di pesawat. Sekarang perhatikan vektor dalam ruang tiga dimensi, semuanya hampir sama di sini! Hanya satu koordinat lagi yang akan ditambahkan. Sulit untuk melakukan gambar tiga dimensi, jadi saya akan membatasi diri pada satu vektor, yang, untuk kesederhanaan, akan saya tunda dari asal koordinat:

Setiap vektor ruang 3d satu-satunya jalan memperluas secara ortonormal:
, di mana adalah koordinat vektor (angka) dalam basis yang diberikan.

Contoh dari gambar: . Mari kita lihat bagaimana aturan tindakan vektor bekerja di sini. Pertama, mengalikan vektor dengan angka: (panah merah), (panah hijau) dan (panah magenta). Kedua, berikut adalah contoh penjumlahan beberapa, dalam hal ini tiga, vektor: . Jumlah vektor dimulai pada titik awal keberangkatan (awal vektor ) dan berakhir di titik akhir kedatangan (akhir vektor ).

Semua vektor ruang tiga dimensi, tentu saja, juga bebas, coba tunda vektor secara mental dari titik lain mana pun, dan Anda akan memahami bahwa ekspansinya "tetap bersamanya".

Sama halnya dengan case pesawat, selain tulisan versi dengan tanda kurung banyak digunakan: baik .

Jika satu (atau dua) vektor koordinat hilang dalam ekspansi, maka nol diletakkan sebagai gantinya. Contoh:
vektor (dengan cermat ) – tuliskan ;
vektor (dengan cermat ) – tuliskan ;
vektor (dengan cermat ) – tuliskan .

Vektor basis ditulis sebagai berikut:

Di sini, mungkin, adalah semua pengetahuan teoretis minimum yang diperlukan untuk memecahkan masalah geometri analitik. Mungkin ada terlalu banyak istilah dan definisi, jadi saya sarankan orang bodoh untuk membaca kembali dan memahami informasi ini lagi. Dan akan berguna bagi setiap pembaca untuk merujuk pada pelajaran dasar dari waktu ke waktu untuk asimilasi materi yang lebih baik. Kolinearitas, ortogonalitas, basis ortonormal, dekomposisi vektor - konsep ini dan lainnya akan sering digunakan dalam hal berikut. Saya perhatikan bahwa materi situs tidak cukup untuk lulus tes teoretis, seminar tentang geometri, karena saya dengan hati-hati mengenkripsi semua teorema (selain tanpa bukti) - dengan merugikan gaya presentasi ilmiah, tetapi nilai tambah untuk pemahaman Anda dari subjek. Untuk informasi teoretis yang terperinci, saya meminta Anda untuk tunduk pada Profesor Atanasyan.

Sekarang mari kita beralih ke bagian praktis:

Masalah paling sederhana dari geometri analitik.
Tindakan dengan vektor dalam koordinat

Tugas yang akan dipertimbangkan, sangat diinginkan untuk mempelajari cara menyelesaikannya sepenuhnya secara otomatis, dan rumusnya menghafal, bahkan tidak mengingatnya dengan sengaja, mereka akan mengingatnya sendiri =) Ini sangat penting, karena masalah geometri analitik lainnya didasarkan pada contoh dasar yang paling sederhana, dan menghabiskan waktu ekstra untuk memakan pion akan mengganggu. Anda tidak perlu mengencangkan kancing atas di baju Anda, banyak hal yang akrab bagi Anda dari sekolah.

Penyajian materi akan mengikuti kursus paralel - baik untuk bidang maupun untuk ruang. Karena semua rumus ... Anda akan lihat sendiri.

Bagaimana menemukan vektor yang diberikan dua titik?

Jika dua titik bidang dan diberikan, maka vektor memiliki koordinat sebagai berikut:

Jika dua titik dalam ruang dan diberikan, maka vektor memiliki koordinat berikut:

Yaitu, dari koordinat ujung vektor Anda perlu mengurangi koordinat yang sesuai awal vektor.

Latihan: Untuk titik yang sama, tuliskan rumus untuk mencari koordinat vektor. Rumus di akhir pelajaran.

Contoh 1

Diberikan dua titik di pesawat dan . Temukan koordinat vektor

Keputusan: sesuai dengan rumus yang sesuai:

Sebagai alternatif, notasi berikut dapat digunakan:

Estetika akan memutuskan seperti ini:

Secara pribadi, saya sudah terbiasa dengan versi pertama dari rekaman.

Menjawab:

Menurut kondisinya, tidak perlu membuat gambar (yang khas untuk masalah geometri analitik), tetapi untuk menjelaskan beberapa poin ke boneka, saya tidak akan terlalu malas:

Harus dipahami perbedaan antara koordinat titik dan koordinat vektor:

Koordinat titik adalah koordinat biasa dalam sistem koordinat persegi panjang. Saya pikir semua orang tahu cara memplot titik pada bidang koordinat sejak kelas 5-6. Setiap titik memiliki tempat yang ketat di pesawat, dan mereka tidak dapat dipindahkan ke mana pun.

Koordinat vektor yang sama adalah perluasannya terhadap basis, dalam hal ini. Vektor apa pun bebas, oleh karena itu, jika perlu, kita dapat dengan mudah menundanya dari titik lain di pesawat. Menariknya, untuk vektor, Anda tidak dapat membangun sumbu sama sekali, sistem koordinat persegi panjang, Anda hanya memerlukan basis, dalam hal ini, basis ortonormal pesawat.

Catatan koordinat titik dan koordinat vektor tampaknya serupa: , dan pengertian koordinat sangat berbeda, dan Anda harus menyadari perbedaan ini. Perbedaan ini, tentu saja, juga berlaku untuk ruang.

Hadirin sekalian, kami mengisi tangan kami:

Contoh 2

a) Diberikan poin dan . Cari vektor dan .
b) Poin diberikan dan . Cari vektor dan .
c) Diberikan poin dan . Cari vektor dan .
d) Poin diberikan. Temukan Vektor .

Mungkin cukup. Ini adalah contoh untuk keputusan independen, cobalah untuk tidak mengabaikannya, itu akan membuahkan hasil ;-). Gambar tidak diperlukan. Solusi dan jawaban di akhir pelajaran.

Apa yang penting dalam memecahkan masalah geometri analitik? Sangat penting untuk berhati-hati untuk menghindari kesalahan "dua tambah dua sama dengan nol". Sebelumnya saya mohon maaf jika ada kesalahan =)

Bagaimana cara mencari panjang segmen?

Panjangnya, sebagaimana telah dicatat, ditunjukkan oleh tanda modulus.

Jika dua titik bidang dan diberikan, maka panjang segmen dapat dihitung dengan rumus

Jika dua titik dalam ruang dan diberikan, maka panjang segmen dapat dihitung dengan rumus

Catatan: Rumus akan tetap benar jika koordinat yang sesuai ditukar: dan , tetapi opsi pertama lebih standar

Contoh 3

Keputusan: sesuai dengan rumus yang sesuai:

Menjawab:

Untuk kejelasan, saya akan membuat gambar

Segmen garis - itu bukan vektor, dan Anda tidak dapat memindahkannya ke mana pun, tentu saja. Selain itu, jika Anda menyelesaikan gambar untuk skala: 1 unit. \u003d 1 cm (dua sel tetrad), maka jawabannya dapat diperiksa dengan penggaris biasa dengan langsung mengukur panjang segmen.

Ya, solusinya singkat, tetapi ada beberapa poin penting di dalamnya yang ingin saya klarifikasi:

Pertama, dalam jawaban kami menetapkan dimensi: "unit". Kondisinya tidak mengatakan APA itu, milimeter, sentimeter, meter atau kilometer. Oleh karena itu, formulasi umum akan menjadi solusi yang kompeten secara matematis: "unit" - disingkat "unit".

Kedua, mari kita ulangi materi sekolah, yang berguna tidak hanya untuk masalah yang dipertimbangkan:

perhatikan trik teknis penting – mengeluarkan pengganda dari bawah root. Sebagai hasil dari perhitungan, kami mendapatkan hasil dan gaya matematika yang baik melibatkan menghilangkan pengali dari bawah akar (jika memungkinkan). Prosesnya terlihat seperti ini secara lebih rinci: . Tentu saja, meninggalkan jawaban dalam bentuk tidak akan menjadi kesalahan - tetapi jelas merupakan cacat dan argumen yang berat untuk nitpicking di pihak guru.

Berikut adalah kasus umum lainnya:

Seringkali jumlah yang cukup besar diperoleh di bawah root, misalnya. Bagaimana menjadi dalam kasus seperti itu? Pada kalkulator, kami memeriksa apakah angka tersebut habis dibagi 4:. Ya, pisahkan seluruhnya, jadi: . Atau mungkin angkanya bisa dibagi 4 lagi? . Dengan demikian: . Digit terakhir dari angka itu ganjil, jadi membagi dengan 4 untuk ketiga kalinya jelas tidak mungkin. Mencoba untuk membagi dengan sembilan: . Hasil dari:
Siap.

Kesimpulan: jika di bawah root kami mendapatkan angka yang sama sekali tidak dapat diekstraksi, maka kami mencoba mengambil faktor dari bawah root - pada kalkulator kami memeriksa apakah angka tersebut habis dibagi: 4, 9, 16, 25, 36, 49, dll.

Dalam menyelesaikan berbagai masalah, akar sering ditemukan, selalu mencoba untuk mengekstrak faktor dari bawah akar untuk menghindari skor yang lebih rendah dan masalah yang tidak perlu dengan menyelesaikan solusi Anda sesuai dengan komentar guru.

Mari kita ulangi kuadrat dari akar dan kekuatan lain secara bersamaan:

Aturan untuk tindakan dengan derajat dalam bentuk umum dapat ditemukan di buku teks sekolah tentang aljabar, tetapi saya pikir semuanya atau hampir semuanya sudah jelas dari contoh yang diberikan.

Tugas untuk solusi independen dengan segmen di luar angkasa:

Contoh 4

Diberikan poin dan . Cari panjang segmennya.

Solusi dan jawaban di akhir pelajaran.

Bagaimana cara mencari panjang vektor?

Jika vektor bidang diberikan, maka panjangnya dihitung dengan rumus.

Jika vektor ruang diberikan, maka panjangnya dihitung dengan rumus .

Proyeksi vektor aljabar pada setiap sumbu sama dengan produk dari panjang vektor dan kosinus sudut antara sumbu dan vektor:

Kanan a b = |b|cos(a,b) atau

Dimana a b adalah perkalian skalar dari vektor , |a| - modulus vektor a .

Petunjuk. Untuk mencari proyeksi vektor p a b online, Anda harus menentukan koordinat vektor a dan b . Dalam hal ini, vektor dapat diberikan dalam bidang (dua koordinat) dan dalam ruang (tiga koordinat). Solusi yang dihasilkan disimpan dalam file Word. Jika vektor diberikan melalui koordinat titik, maka Anda harus menggunakan kalkulator ini.

Diberikan :
dua koordinat vektor
vektor koordinat tiga
sebuah: ; ;
b: ; ;

Klasifikasi proyeksi vektor

Jenis proyeksi menurut definisi proyeksi vektor

Jenis proyeksi menurut sistem koordinat

Properti proyeksi vektor

1. Proyeksi geometris suatu vektor adalah vektor (memiliki arah).
2. Proyeksi aljabar suatu vektor adalah bilangan.

Teorema proyeksi vektor

Teorema 1. Proyeksi jumlah vektor pada sembarang sumbu sama dengan proyeksi suku-suku vektor pada sumbu yang sama.

Teorema 2. Proyeksi aljabar suatu vektor ke sembarang sumbu sama dengan hasil kali panjang vektor dan kosinus sudut antara sumbu dan vektor:

Kanan a b = |b|cos(a,b)

Jenis proyeksi vektor

1. proyeksi ke sumbu OX.
2. proyeksi ke sumbu OY.
3. proyeksi ke vektor.

Proyeksi ke sumbu OX	Proyeksi ke sumbu OY	Proyeksi ke vektor
Jika arah vektor A'B' bertepatan dengan arah sumbu OX, maka proyeksi vektor A'B' bertanda positif.	Jika arah vektor A'B' bertepatan dengan arah sumbu OY, maka proyeksi vektor A'B' bertanda positif.	Jika arah vektor A'B' bertepatan dengan arah vektor NM, maka proyeksi vektor A'B' bertanda positif.
Jika arah vektor berlawanan dengan arah sumbu OX, maka proyeksi vektor A'B' bertanda negatif.	Jika arah vektor A'B' berlawanan dengan arah sumbu OY, maka proyeksi vektor A'B' bertanda negatif.	Jika arah vektor A'B' berlawanan dengan arah vektor NM, maka proyeksi vektor A'B' bertanda negatif.
Jika vektor AB sejajar dengan sumbu OX, maka proyeksi vektor A'B' sama dengan modulus vektor AB.	Jika vektor AB sejajar dengan sumbu OY, maka proyeksi vektor A'B' sama dengan modulus vektor AB.	Jika vektor AB sejajar dengan vektor NM, maka proyeksi vektor A'B' sama dengan modulus vektor AB.
Jika vektor AB tegak lurus terhadap sumbu OX, maka proyeksi A'B' sama dengan nol (zero-vektor).	Jika vektor AB tegak lurus terhadap sumbu OY, maka proyeksi A'B' sama dengan nol (vektor nol).	Jika vektor AB tegak lurus terhadap vektor NM, maka proyeksi A'B' sama dengan nol (vektor nol).

1. Pertanyaan: Dapatkah proyeksi suatu vektor bertanda negatif. Jawaban: Ya, proyeksi vektor bisa negatif. Dalam hal ini, vektor memiliki arah yang berlawanan (lihat bagaimana sumbu OX dan vektor AB diarahkan)
2. Pertanyaan: Dapatkah proyeksi suatu vektor bertepatan dengan modulus vektor tersebut. Jawab: Ya, bisa. Dalam hal ini, vektor-vektornya sejajar (atau terletak pada garis yang sama).
3. Pertanyaan: Dapatkah proyeksi suatu vektor sama dengan nol (zero-vektor). Jawab: Ya, bisa. Dalam hal ini, vektor tegak lurus terhadap sumbu yang bersesuaian (vektor).

Contoh 1 . Vektor (Gbr. 1) membentuk sudut 60 o dengan sumbu OX (diberikan oleh vektor a). Jika OE adalah satuan skala, maka |b|=4, jadi .

Memang, panjang vektor (proyeksi geometri b) sama dengan 2, dan arahnya bertepatan dengan arah sumbu OX.

Contoh 2 . Vektor (Gbr. 2) membentuk sudut dengan sumbu OX (dengan vektor a) (a,b) = 120 o . Panjang |b| vektor b sama dengan 4, jadi pr a b=4 cos120 o = -2.

Memang, panjang vektor sama dengan 2, dan arahnya berlawanan dengan arah sumbu.

Tingkat pertama

Koordinat dan vektor. Panduan Komprehensif (2019)

Dalam artikel ini, Anda dan saya akan memulai diskusi tentang satu "tongkat ajaib" yang memungkinkan Anda mengurangi banyak masalah dalam geometri menjadi aritmatika sederhana. "Tongkat" ini dapat membuat hidup Anda lebih mudah, terutama ketika Anda merasa tidak aman dalam membangun figur spasial, bagian, dll. Semua ini membutuhkan imajinasi dan keterampilan praktis tertentu. Metode, yang akan kita mulai pertimbangkan di sini, akan memungkinkan Anda untuk mengabstraksi hampir sepenuhnya dari semua jenis konstruksi dan penalaran geometris. Metode tersebut disebut "metode koordinat". Dalam artikel ini, kami akan mempertimbangkan pertanyaan-pertanyaan berikut:

1. bidang koordinat
2. Titik dan vektor pada bidang
3. Membangun sebuah vektor dari dua titik​
4. Panjang vektor (jarak antara dua titik)​
5. Koordinat titik tengah
6. Hasil kali titik dari vektor
7. Sudut antara dua vektor

Saya pikir Anda sudah menebak mengapa metode koordinat disebut demikian? Memang benar bahwa ia mendapat nama seperti itu, karena ia tidak beroperasi dengan objek geometris, tetapi dengan karakteristik numeriknya (koordinat). Dan transformasi itu sendiri, yang memungkinkan perpindahan dari geometri ke aljabar, terdiri dari pengenalan sistem koordinat. Jika gambar aslinya datar, maka koordinatnya adalah dua dimensi, dan jika gambar tersebut tiga dimensi, maka koordinatnya adalah tiga dimensi. Dalam artikel ini, kami hanya akan mempertimbangkan kasus dua dimensi. Dan tujuan utama artikel ini adalah untuk mengajari Anda cara menggunakan beberapa teknik dasar metode koordinat (kadang-kadang ternyata berguna ketika memecahkan masalah dalam planimetri di bagian B dari Unified State Examination). Dua bagian berikut pada topik ini dikhususkan untuk diskusi tentang metode untuk memecahkan masalah C2 (masalah stereometri).

Di mana logis untuk mulai membahas metode koordinat? Mungkin dengan konsep sistem koordinat. Ingat saat pertama kali bertemu dengannya. Tampak bagi saya bahwa di kelas 7, ketika Anda belajar tentang keberadaan fungsi linier, misalnya. Biarkan saya mengingatkan Anda bahwa Anda membangunnya poin demi poin. Apakah kamu ingat? Anda memilih nomor arbitrer, menggantinya ke dalam rumus dan menghitung dengan cara ini. Misalnya, jika, maka, jika, maka, dll. Apa yang Anda dapatkan sebagai hasilnya? Dan Anda menerima poin dengan koordinat: dan. Kemudian Anda menggambar "salib" (sistem koordinat), memilih skala di atasnya (berapa banyak sel yang akan Anda miliki sebagai satu segmen) dan menandai titik-titik yang Anda terima di atasnya, yang kemudian Anda hubungkan dengan garis lurus, garis yang dihasilkan adalah grafik fungsi.

Ada beberapa hal yang perlu dijelaskan kepada Anda sedikit lebih detail:

1. Anda memilih satu segmen untuk alasan kenyamanan, sehingga semuanya pas dan kompak dalam gambar

2. Diasumsikan bahwa sumbu bergerak dari kiri ke kanan, dan sumbu bergerak dari bawah ke atas

3. Mereka berpotongan di sudut kanan, dan titik persimpangan mereka disebut titik asal. Itu ditandai dengan surat.

4. Dalam catatan koordinat suatu titik, misalnya, di sebelah kiri dalam tanda kurung adalah koordinat titik di sepanjang sumbu, dan di sebelah kanan, di sepanjang sumbu. Secara khusus, hanya berarti bahwa intinya

5. Untuk menetapkan titik mana pun pada sumbu koordinat, Anda perlu menentukan koordinatnya (2 angka)

6. Untuk sembarang titik yang terletak pada sumbu,

7. Untuk sembarang titik yang terletak pada sumbu,

8. Sumbu disebut sumbu x

9. Sumbu disebut sumbu y

Sekarang mari kita ambil langkah berikutnya bersama Anda: tandai dua poin. Hubungkan kedua titik ini dengan sebuah garis. Dan kami akan menempatkan panah seolah-olah kami sedang menggambar segmen dari titik ke titik: yaitu, kami akan membuat segmen kami diarahkan!

Ingat apa nama lain untuk segmen terarah? Itu benar, itu disebut vektor!

Jadi, jika kita menghubungkan titik ke titik, dan awalnya akan menjadi titik A, dan akhirnya akan menjadi titik B, maka kita mendapatkan sebuah vektor. Anda juga melakukan konstruksi ini di kelas 8, ingat?

Ternyata vektor, seperti titik, dapat dilambangkan dengan dua angka: angka-angka ini disebut koordinat vektor. Pertanyaan: menurut Anda apakah cukup bagi kita untuk mengetahui koordinat awal dan akhir vektor untuk menemukan koordinatnya? Ternyata iya! Dan itu sangat mudah dilakukan:

Jadi, karena dalam vektor titik adalah awal dan akhir, vektor memiliki koordinat berikut:

Misalnya, jika, maka koordinat vektor

Sekarang mari kita lakukan yang sebaliknya, cari koordinat vektornya. Apa yang perlu kita ubah untuk ini? Ya, Anda perlu menukar awal dan akhir: sekarang awal vektor akan berada di satu titik, dan akhir di satu titik. Kemudian:

Perhatikan baik-baik, apa perbedaan antara vektor dan? Satu-satunya perbedaan mereka adalah tanda-tanda di koordinat. Mereka berlawanan. Fakta ini ditulis seperti ini:

Kadang-kadang, jika tidak disebutkan secara spesifik titik mana yang merupakan awal dari vektor, dan mana yang merupakan akhir, maka vektor-vektor tersebut dilambangkan bukan dengan dua huruf kapital, tetapi dengan satu huruf kecil, misalnya:, dst.

Sekarang sedikit praktek dan tentukan koordinat vektor-vektor berikut:

Penyelidikan:

Sekarang selesaikan masalahnya sedikit lebih sulit:

Sebuah torus vektor dengan on-cha-scrap pada suatu titik memiliki co-or-di-on-you. Temukan-di-te abs-cis-su poin.

Semua sama cukup membosankan: Membiarkan menjadi koordinat titik. Kemudian

Saya menyusun sistem dengan menentukan koordinat vektor. Maka titik tersebut memiliki koordinat. Kami tertarik pada absis. Kemudian

Menjawab:

Apa lagi yang bisa Anda lakukan dengan vektor? Ya, hampir semuanya sama dengan bilangan biasa (kecuali bahwa Anda tidak dapat membagi, tetapi Anda dapat mengalikan dengan dua cara, salah satunya akan kita bahas di sini nanti)

1. Vektor dapat ditumpuk satu sama lain
2. Vektor dapat dikurangkan satu sama lain
3. Vektor dapat dikalikan (atau dibagi) dengan angka bukan nol yang berubah-ubah
4. Vektor dapat dikalikan satu sama lain

Semua operasi ini memiliki representasi geometris yang cukup visual. Misalnya, aturan segitiga (atau jajaran genjang) untuk penambahan dan pengurangan:

Sebuah vektor membentang atau menyusut atau berubah arah ketika dikalikan atau dibagi dengan angka:

Namun, di sini kita akan tertarik pada pertanyaan tentang apa yang terjadi pada koordinat.

1. Saat menambahkan (mengurangi) dua vektor, kita menambahkan (mengurangi) koordinatnya elemen demi elemen. Yaitu:

2. Saat mengalikan (membagi) vektor dengan angka, semua koordinatnya dikalikan (dibagi) dengan angka ini:

Sebagai contoh:

· Cari-di-jumlah ko-atau-di-nat abad-ke-ra.

Pertama-tama mari kita cari koordinat masing-masing vektor. Keduanya memiliki asal yang sama – titik asal. Ujung mereka berbeda. Kemudian, . Sekarang kita menghitung koordinat vektor Kemudian jumlah koordinat vektor yang dihasilkan sama dengan.

Menjawab:

Sekarang selesaikan sendiri masalah berikut:

· Temukan jumlah koordinat vektor

Kami memeriksa:

Sekarang mari kita perhatikan masalah berikut: kita memiliki dua titik pada bidang koordinat. Bagaimana cara mencari jarak antara keduanya? Biarkan poin pertama menjadi, dan yang kedua. Mari kita nyatakan jarak antara mereka sebagai . Mari kita membuat gambar berikut untuk kejelasan:

Apa yang telah kulakukan? Saya, pertama, menghubungkan titik-titik dan, dan juga menggambar garis yang sejajar dengan sumbu dari titik, dan menggambar garis yang sejajar dengan sumbu dari titik tersebut. Apakah mereka berpotongan pada suatu titik, membentuk sosok yang indah? Mengapa dia luar biasa? Ya, Anda dan saya hampir tahu segalanya tentang segitiga siku-siku. Nah, teorema Pythagoras, pasti. Segmen yang diinginkan adalah sisi miring dari segitiga ini, dan segmen tersebut adalah kaki-kakinya. Berapakah koordinat titik tersebut? Ya, mereka mudah ditemukan dari gambar: Karena segmen sejajar dengan sumbu dan, masing-masing, panjangnya mudah ditemukan: jika kita menunjukkan panjang segmen, masing-masing, melalui, maka

Sekarang mari kita gunakan teorema Pythagoras. Kita tahu panjang kakinya, kita akan menemukan sisi miringnya:

Jadi, jarak antara dua titik adalah jumlah akar dari selisih kuadrat dari koordinat. Atau - jarak antara dua titik adalah panjang segmen yang menghubungkannya. Sangat mudah untuk melihat bahwa jarak antara titik-titik tidak bergantung pada arahnya. Kemudian:

Dari sini kami menarik tiga kesimpulan:

Mari kita sedikit berlatih menghitung jarak antara dua titik:

Misalnya, jika, maka jarak antara dan adalah

Atau mari kita pergi secara berbeda: temukan koordinat vektor

Dan cari panjang vektornya:

Seperti yang Anda lihat, itu sama!

Sekarang berlatih sedikit sendiri:

Tugas: temukan jarak antara titik-titik yang diberikan:

Kami memeriksa:

Berikut adalah beberapa masalah lagi untuk rumus yang sama, meskipun terdengar sedikit berbeda:

1. Cari-di-te kuadrat panjang kelopak mata-ke-ra.

2. Nai-di-te persegi panjang kelopak mata-ke-ra

Saya kira Anda dapat menanganinya dengan mudah? Kami memeriksa:

1. Dan ini untuk perhatian) Kami telah menemukan koordinat vektor sebelumnya: . Maka vektor tersebut memiliki koordinat. Kuadrat panjangnya adalah:

2. Tentukan koordinat vektor

Maka kuadrat panjangnya adalah

Tidak ada yang rumit, kan? Aritmatika sederhana, tidak lebih.

Teka-teki berikut tidak dapat diklasifikasikan dengan jelas, melainkan untuk pengetahuan umum dan kemampuan menggambar gambar sederhana.

1. Temukan-di-sinus sudut pada-clo-on-from-cut, hubungkan-titik ke-n-ke-, dengan sumbu absis.

dan

Bagaimana kita akan melakukannya di sini? Anda perlu menemukan sinus sudut antara dan sumbu. Dan di mana kita bisa mencari sinus? Itu benar, dalam segitiga siku-siku. Jadi apa yang perlu kita lakukan? Bangun segitiga ini!

Karena koordinat titik dan, maka segmen adalah sama, dan segmen. Kita perlu mencari sinus sudut. Biarkan saya mengingatkan Anda bahwa sinus adalah rasio kaki yang berlawanan dengan sisi miring, maka

Apa yang tersisa untuk kita lakukan? Temukan sisi miringnya. Anda dapat melakukannya dengan dua cara: menggunakan teorema Pythagoras (kaki diketahui!) atau menggunakan rumus jarak antara dua titik (sebenarnya sama dengan metode pertama!). Saya akan menggunakan cara kedua:

Menjawab:

Tugas berikutnya akan tampak lebih mudah bagi Anda. Dia - pada koordinat titik.

Tugas 2. Dari titik tersebut, per-pen-di-ku-lar diturunkan ke sumbu absis. Nai-di-te abs-cis-su os-no-va-niya per-pen-di-ku-la-ra.

Mari kita membuat gambar:

Dasar dari garis tegak lurus adalah titik yang memotong sumbu x (sumbu) bagi saya ini adalah titik. Gambar tersebut menunjukkan bahwa ia memiliki koordinat: . Kami tertarik pada absis - yaitu, komponen "X". Dia setara.

Menjawab: .

Tugas 3. Di bawah kondisi masalah sebelumnya, temukan jumlah jarak dari titik ke sumbu koordinat.

Tugas ini umumnya bersifat dasar jika Anda mengetahui jarak dari suatu titik ke sumbu. Kamu tahu? Saya harap, tapi saya tetap mengingatkan Anda:

Jadi, dalam gambar saya, yang terletak sedikit lebih tinggi, saya telah menggambarkan satu tegak lurus seperti itu? sumbu apa itu? ke sumbu. Dan berapa panjangnya? Dia setara. Sekarang gambar sendiri tegak lurus terhadap sumbu dan temukan panjangnya. Ini akan menjadi sama, kan? Maka jumlah mereka sama.

Menjawab: .

Tugas 4. Dalam kondisi masalah 2, temukan ordinat titik yang simetris dengan titik terhadap sumbu x.

Saya pikir Anda secara intuitif memahami apa itu simetri? Sangat banyak objek yang memilikinya: banyak bangunan, meja, bidang, banyak bentuk geometris: bola, silinder, persegi, belah ketupat, dll. Secara kasar, simetri dapat dipahami sebagai berikut: bangun terdiri dari dua (atau lebih) bagian yang identik. Simetri ini disebut aksial. Lalu apa itu sumbu? Ini persis garis di mana gambar itu, secara relatif, dapat "dipotong" menjadi dua bagian yang identik (dalam gambar ini, sumbu simetri lurus):

Sekarang mari kita kembali ke tugas kita. Kita tahu bahwa kita sedang mencari titik yang simetris terhadap sumbu. Maka sumbu ini adalah sumbu simetri. Jadi, kita perlu menandai suatu titik sehingga sumbu memotong segmen menjadi dua bagian yang sama. Cobalah untuk menandai titik seperti itu sendiri. Sekarang bandingkan dengan solusi saya:

Apakah Anda melakukan hal yang sama? Sehat! Pada titik yang ditemukan, kami tertarik pada ordinat. Dia setara

Menjawab:

Sekarang beri tahu saya, setelah berpikir sejenak, berapa absis titik simetris ke titik A terhadap sumbu y? Apa jawabanmu? Jawaban yang benar: .

Secara umum, aturan dapat ditulis seperti ini:

Suatu titik yang simetris dengan suatu titik terhadap sumbu-x memiliki koordinat:

Suatu titik yang simetris dengan suatu titik terhadap sumbu y memiliki koordinat:

Nah, sekarang benar-benar menakutkan. tugas: Menemukan koordinat suatu titik yang simetris terhadap suatu titik, relatif terhadap titik asal. Anda pertama-tama berpikir untuk diri sendiri, dan kemudian lihat gambar saya!

Menjawab:

Sekarang masalah jajaran genjang:

Tugas 5: Poinnya adalah ver-shi-na-mi-pa-ral-le-lo-gram-ma. Temukan-dee-te atau-dee-on-tu poin.

Anda dapat memecahkan masalah ini dengan dua cara: logika dan metode koordinat. Pertama-tama saya akan menerapkan metode koordinat, dan kemudian saya akan memberi tahu Anda bagaimana Anda dapat memutuskan sebaliknya.

Cukup jelas bahwa absis titiknya sama. (terletak pada garis tegak lurus yang ditarik dari titik ke sumbu x). Kita perlu menemukan ordinatnya. Mari kita manfaatkan fakta bahwa sosok kita adalah jajaran genjang, yang berarti itu. Cari panjang segmen menggunakan rumus jarak antara dua titik:

Kami menurunkan tegak lurus yang menghubungkan titik dengan sumbu. Titik potong dilambangkan dengan huruf.

Panjang segmen adalah sama. (cari sendiri masalahnya, di mana kita membahas momen ini), maka kita akan menemukan panjang segmen menggunakan teorema Pythagoras:

Panjang segmen persis sama dengan ordinatnya.

Menjawab: .

Solusi lain (saya hanya akan memberikan gambar yang menggambarkannya)

Kemajuan solusi:

1. Belanjakan

2. Temukan koordinat titik dan panjangnya

3. Buktikan itu.

Yang lainnya masalah panjang potong:

Poinnya adalah-la-yut-xia top-shi-on-mi tri-angle-no-ka. Temukan panjang garis tengahnya, par-ral-lel-noy.

Masih ingatkah kamu apa yang dimaksud dengan garis tengah segitiga? Maka bagi Anda tugas ini adalah dasar. Jika Anda tidak ingat, maka saya akan mengingatkan Anda: garis tengah segitiga adalah garis yang menghubungkan titik tengah sisi yang berlawanan. Itu sejajar dengan alas dan sama dengan setengahnya.

Basisnya adalah segmen. Kami harus mencari panjangnya sebelumnya, itu sama. Maka panjang garis tengah adalah setengah panjang dan sama.

Menjawab: .

Komentar: Masalah ini dapat diselesaikan dengan cara lain, yang akan kita bahas nanti.

Sementara itu, berikut adalah beberapa tugas untuk Anda, praktikkan, cukup sederhana, tetapi membantu "mengisi tangan Anda" menggunakan metode koordinat!

1. Poin muncul-la-yut-xia top-shi-on-mi tra-pe-tion. Cari panjang garis tengahnya.

2. Poin dan yav-la-yut-xia ver-shi-na-mi pa-ral-le-lo-gram-ma. Temukan-dee-te atau-dee-on-tu poin.

3. Temukan panjang dari potongan, hubungkan titik kedua dan

4. Temukan area untuk fi-gu-ry-shen-noy fi-gu-ry pada bidang ko-or-di-nat-noy.

5. Sebuah lingkaran berpusat di na-cha-le ko-or-di-nat melalui sebuah titik. Temukan-de-te ra-di-kumisnya.

6. Nai-di-te ra-di-us lingkaran-no-sti, jelaskan-san-noy dekat sudut kanan-no-ka, puncak-shi-ny dari sesuatu-ro-go memiliki co-or - di-na-kamu bersama-dari-balas-tapi

Solusi:

1. Diketahui bahwa garis tengah trapesium sama dengan setengah jumlah alasnya. Basisnya sama, tetapi alasnya. Kemudian

Menjawab:

2. Cara termudah untuk menyelesaikan masalah ini adalah dengan memperhatikan itu (aturan jajar genjang). Hitung koordinat vektor dan tidak sulit: . Saat menambahkan vektor, koordinat ditambahkan. Kemudian memiliki koordinat. Titik tersebut memiliki koordinat yang sama, karena awal dari vektor adalah titik dengan koordinat. Kami tertarik pada ordinatnya. Dia setara.

Menjawab:

3. Kami bertindak segera sesuai dengan rumus jarak antara dua titik:

Menjawab:

4. Perhatikan gambar dan katakan, di antara dua gambar manakah daerah yang diarsir “diperas”? Itu diapit di antara dua kotak. Maka luas bangun yang diinginkan sama dengan luas persegi besar dikurangi luas persegi kecil. Sisi persegi kecil adalah segmen yang menghubungkan titik-titik dan panjangnya adalah

Maka luas persegi kecil adalah

Kami melakukan hal yang sama dengan persegi besar: sisinya adalah segmen yang menghubungkan titik-titik dan panjangnya sama dengan

Maka luas persegi besar adalah

Area gambar yang diinginkan ditemukan dengan rumus:

Menjawab:

5. Jika lingkaran memiliki titik asal sebagai pusatnya dan melalui suatu titik, maka jari-jarinya akan sama persis dengan panjang segmen tersebut (buatlah gambar dan Anda akan mengerti mengapa hal ini jelas). Cari panjang segmen ini:

Menjawab:

6. Diketahui bahwa jari-jari lingkaran yang dibatasi pada persegi panjang sama dengan setengah dari diagonalnya. Mari kita cari panjang salah satu dari dua diagonal (setelah semua, dalam persegi panjang mereka sama!)

Menjawab:

Nah, apakah Anda mengatur semuanya? Tidak sulit untuk mengetahuinya, bukan? Hanya ada satu aturan di sini - untuk dapat membuat gambar visual dan cukup "membaca" semua data darinya.

Kami memiliki sangat sedikit yang tersisa. Ada dua poin lagi yang ingin saya diskusikan.

Mari kita coba selesaikan masalah sederhana ini. Biarkan dua poin dan diberikan. Temukan koordinat tengah segmen. Solusi untuk masalah ini adalah sebagai berikut: biarkan titik menjadi tengah yang diinginkan, maka ia memiliki koordinat:

Yaitu: koordinat tengah segmen = mean aritmatika dari koordinat yang sesuai dari ujung segmen.

Aturan ini sangat sederhana dan biasanya tidak menimbulkan kesulitan bagi siswa. Mari kita lihat dalam masalah apa dan bagaimana menggunakannya:

1. Temukan-di-te atau-di-na-tu se-re-di-us from-cut, hubungkan-nya-yu-th-th point dan

2. Poinnya adalah yav-la-yut-xia ver-shi-na-mi-che-you-reh-coal-no-ka. Temukan-di-te atau-di-na-tu poin dari re-re-se-che-niya dari dia-go-on-lei-nya.

3. Temukan-di-te abs-cis-su dari pusat lingkaran, jelaskan-san-noy di dekat persegi panjang-no-ka, bagian atasnya-shi-kita punya sesuatu-ro-go co-or-di- na-Anda co-dari-dokter hewan-stvenno-tapi.

Solusi:

1. Tugas pertama hanya klasik. Kami bertindak segera dengan menentukan titik tengah segmen. Dia memiliki koordinat. ordinatnya sama.

Menjawab:

2. Sangat mudah untuk melihat bahwa segi empat yang diberikan adalah jajar genjang (bahkan belah ketupat!). Anda dapat membuktikannya sendiri dengan menghitung panjang sisi-sisinya dan membandingkannya satu sama lain. Apa yang saya ketahui tentang jajaran genjang? Diagonalnya dibagi dua oleh titik potong! Ah! Jadi titik potong diagonalnya adalah? Ini adalah bagian tengah dari salah satu diagonal! Saya akan memilih, khususnya, diagonal. Maka titik tersebut memiliki koordinat, ordinat titik tersebut sama dengan.

Menjawab:

3. Berapakah pusat lingkaran yang dibatasi oleh persegi panjang? Itu bertepatan dengan titik perpotongan diagonal-diagonalnya. Apa yang kamu ketahui tentang diagonal persegi panjang? Mereka sama dan titik persimpangan dibagi dua. Tugas telah dikurangi ke yang sebelumnya. Ambil, misalnya, diagonal. Kemudian jika adalah pusat dari lingkaran yang dibatasi, maka adalah bagian tengahnya. Saya mencari koordinat: Absis sama.

Menjawab:

Sekarang latihan sedikit sendiri, saya hanya akan memberikan jawaban untuk setiap masalah sehingga Anda dapat memeriksanya sendiri.

1. Temukan-di-te ra-di-us lingkaran-no-sti, jelaskan-san-noy dekat segitiga-no-ka, puncak-shi-ny dari sesuatu-ro-go memiliki ko-or-di - tidak ada tuan

2. Temukan-di-te atau-di-na-tu pusat lingkaran, gambarkan san-noy di dekat segitiga-no-ka, puncak-shi-kita memiliki koordinat something-ro-go

3. Di mana ra-di-y-sa harus ada lingkaran dengan pusat di suatu titik sehingga menyentuh sumbu absis?

4. Temukan-di-te atau-di-pada-titik itu dari re-se-che-ing sumbu dan dari-potong, sambungkan-nya-yu-ke-titik dan

Jawaban:

Apakah semuanya berhasil? Saya sangat berharap untuk itu! Sekarang - dorongan terakhir. Sekarang berhati-hatilah. Materi yang akan saya jelaskan sekarang tidak hanya relevan dengan masalah metode koordinat sederhana di Bagian B, tetapi juga ada di mana-mana di Soal C2.

Manakah dari janji saya yang belum saya tepati? Ingat operasi apa pada vektor yang saya janjikan untuk diperkenalkan dan mana yang akhirnya saya perkenalkan? Apakah saya yakin saya tidak melupakan apa pun? Lupa! Saya lupa menjelaskan apa yang dimaksud dengan perkalian vektor.

Ada dua cara untuk mengalikan vektor dengan vektor. Bergantung pada metode yang dipilih, kita akan mendapatkan objek dengan sifat yang berbeda:

Produk vektor cukup rumit. Bagaimana melakukannya dan mengapa itu diperlukan, kami akan membahasnya dengan Anda di artikel berikutnya. Dan dalam hal ini kita akan fokus pada produk skalar.

Sudah ada dua cara yang memungkinkan kita menghitungnya:

Seperti yang Anda tebak, hasilnya harus sama! Jadi mari kita lihat cara pertama dulu:

Produk titik melalui koordinat

Temukan: - notasi umum untuk produk titik

Rumus untuk perhitungannya adalah sebagai berikut:

Artinya, produk titik = jumlah produk dari koordinat vektor!

Contoh:

Temukan-dee-te

Keputusan:

Tentukan koordinat masing-masing vektor:

Kami menghitung produk skalar dengan rumus:

Menjawab:

Anda lihat, sama sekali tidak ada yang rumit!

Nah, sekarang coba sendiri:

Temukan-di-te skalar-noe pro-dari-ve-de-nie abad ke parit dan

Apakah Anda berhasil? Mungkin dia memperhatikan sedikit trik? Mari kita periksa:

Koordinat vektor, seperti pada tugas sebelumnya! Menjawab: .

Selain koordinat, ada cara lain untuk menghitung produk skalar, yaitu melalui panjang vektor dan kosinus sudut di antara mereka:

Menyatakan sudut antara vektor dan.

Artinya, produk skalar sama dengan produk dari panjang vektor dan kosinus sudut di antara mereka.

Mengapa kita membutuhkan rumus kedua ini, jika kita memiliki yang pertama, yang jauh lebih sederhana, setidaknya tidak ada kosinus di dalamnya. Dan itu diperlukan agar dari rumus pertama dan kedua kita dapat menyimpulkan bagaimana mencari sudut antar vektor!

Biarkan Kemudian ingat rumus untuk panjang vektor!

Kemudian jika saya memasukkan data ini ke dalam rumus produk titik, saya mendapatkan:

Tapi di sisi lain:

Jadi apa yang kita punya? Kami sekarang memiliki rumus untuk menghitung sudut antara dua vektor! Kadang-kadang, untuk singkatnya, juga ditulis seperti ini:

Artinya, algoritma untuk menghitung sudut antar vektor adalah sebagai berikut:

1. Kami menghitung produk skalar melalui koordinat
2. Temukan panjang vektor dan kalikan mereka
3. Bagi hasil poin 1 dengan hasil poin 2

Mari berlatih dengan contoh:

1. Temukan sudut antara kelopak mata-ke-ra-mi dan. Berikan jawaban Anda dalam derajat.

2. Berdasarkan kondisi dari masalah sebelumnya, carilah kosinus antara vektor-vektor tersebut

Mari kita lakukan ini: Saya akan membantu Anda memecahkan masalah pertama, dan mencoba melakukan yang kedua sendiri! Saya setuju? Kalau begitu mari kita mulai!

1. Vektor ini adalah teman lama kita. Kami telah mempertimbangkan produk skalar mereka dan itu sama. Koordinatnya adalah: , . Kemudian kami menemukan panjangnya:

Kemudian kita mencari kosinus antara vektor:

Berapakah kosinus sudut tersebut? Ini adalah sudut.

Menjawab:

Nah, sekarang selesaikan sendiri soal kedua, lalu bandingkan! Saya hanya akan memberikan solusi yang sangat singkat:

2. memiliki koordinat, memiliki koordinat.

Membiarkan menjadi sudut antara vektor dan, maka

Menjawab:

Perlu dicatat bahwa tugas langsung pada vektor dan metode koordinat di bagian B kertas ujian cukup jarang. Namun, sebagian besar masalah C2 dapat dengan mudah diselesaikan dengan memperkenalkan sistem koordinat. Jadi Anda dapat mempertimbangkan artikel ini sebagai fondasi, atas dasar itu kami akan membuat konstruksi yang cukup rumit yang kami perlukan untuk menyelesaikan masalah yang rumit.

KOORDINAT DAN VEKTOR. TINGKAT MENENGAH

Anda dan saya terus mempelajari metode koordinat. Di bagian terakhir, kami memperoleh sejumlah rumus penting yang memungkinkan:

1. Temukan koordinat vektor
2. Temukan panjang vektor (sebagai alternatif: jarak antara dua titik)
3. Tambahkan, kurangi vektor. Kalikan dengan bilangan real
4. Temukan titik tengah segmen
5. Hitung perkalian titik dari vektor
6. Tentukan sudut antara vektor

Tentu saja, seluruh metode koordinat tidak cocok dengan 6 titik ini. Ini mendasari ilmu seperti geometri analitik, yang akan Anda kenal di universitas. Saya hanya ingin membangun fondasi yang memungkinkan Anda menyelesaikan masalah dalam satu keadaan. ujian. Kami menemukan tugas bagian B di Sekarang saatnya untuk pindah ke tingkat yang baru secara kualitatif! Artikel ini akan dikhususkan untuk metode untuk memecahkan masalah C2 di mana akan masuk akal untuk beralih ke metode koordinat. Kewajaran ini ditentukan oleh apa yang perlu ditemukan dalam masalah, dan angka apa yang diberikan. Jadi, saya akan menggunakan metode koordinat jika pertanyaannya adalah:

1. Tentukan sudut antara dua bidang
2. Tentukan sudut antara garis dan bidang
3. Tentukan sudut antara dua garis
4. Cari jarak dari titik ke bidang
5. Hitunglah jarak titik ke garis
6. Hitunglah jarak dari garis lurus ke bidang
7. Hitunglah jarak antara dua garis

Jika gambar yang diberikan dalam kondisi masalah adalah tubuh revolusi (bola, silinder, kerucut ...)

Angka yang cocok untuk metode koordinat adalah:

1. berbentuk kubus
2. Piramida (segitiga, segi empat, heksagonal)

Juga dalam pengalaman saya tidak pantas menggunakan metode koordinat untuk:

1. Menemukan luas bagian
2. Perhitungan volume benda

Namun, harus segera dicatat bahwa tiga situasi "tidak menguntungkan" untuk metode koordinat cukup jarang dalam praktiknya. Dalam sebagian besar tugas, itu bisa menjadi penyelamat Anda, terutama jika Anda tidak terlalu kuat dalam konstruksi tiga dimensi (yang terkadang cukup rumit).

Apakah semua angka yang saya sebutkan di atas? Mereka tidak lagi datar, seperti persegi, segitiga, lingkaran, tetapi tebal! Oleh karena itu, kita perlu mempertimbangkan bukan sistem koordinat dua dimensi, tetapi tiga dimensi. Itu dibangun dengan cukup mudah: hanya di samping absis dan ordinat, kami akan memperkenalkan sumbu lain, sumbu aplikasi. Gambar secara skematis menunjukkan posisi relatif mereka:

Semuanya saling tegak lurus, berpotongan di satu titik, yang akan kita sebut titik asal. Sumbu absis, seperti sebelumnya, akan dilambangkan, sumbu ordinat - , dan sumbu aplikasi yang diperkenalkan - .

Jika sebelumnya setiap titik pada bidang dicirikan oleh dua angka - absis dan ordinat, maka setiap titik dalam ruang sudah dijelaskan oleh tiga angka - absis, ordinat, aplikasi. Sebagai contoh:

Dengan demikian, absis titik adalah sama, ordinatnya adalah , dan aplikasinya adalah .

Terkadang absis suatu titik disebut juga proyeksi titik ke sumbu absis, ordinatnya adalah proyeksi titik ke sumbu y, dan aplikasi adalah proyeksi titik ke sumbu aplikasi. Dengan demikian, jika sebuah titik diberikan maka, sebuah titik dengan koordinat:

disebut proyeksi suatu titik pada bidang

disebut proyeksi suatu titik pada bidang

Sebuah pertanyaan alami muncul: apakah semua rumus yang diturunkan untuk kasus dua dimensi valid di ruang angkasa? Jawabannya adalah ya, mereka adil dan memiliki penampilan yang sama. Untuk detail kecil. Saya pikir Anda sudah menebak yang mana. Di semua rumus, kita harus menambahkan satu istilah lagi yang bertanggung jawab untuk sumbu aplikasi. Yaitu.

1. Jika diberikan dua titik: , maka:

• Koordinat vektor:
• Jarak antara dua titik (atau panjang vektor)
• Bagian tengah segmen memiliki koordinat

2. Jika dua vektor diberikan: dan, maka:

• Produk titik mereka adalah:
• Kosinus sudut antara vektor adalah:

Namun, ruang tidak sesederhana itu. Seperti yang Anda pahami, penambahan satu koordinat lagi memperkenalkan variasi signifikan dalam spektrum angka "hidup" di ruang ini. Dan untuk narasi lebih lanjut, saya perlu memperkenalkan beberapa, secara kasar, "generalisasi" dari garis lurus. Ini "generalisasi" akan menjadi pesawat. Apa yang kamu ketahui tentang pesawat? Coba jawab pertanyaannya, apa itu pesawat? Sangat sulit untuk mengatakannya. Namun, kita semua secara intuitif membayangkan seperti apa:

Secara kasar, ini adalah semacam "daun" tak berujung yang didorong ke luar angkasa. "Tak terhingga" harus dipahami bahwa bidang memanjang ke segala arah, yaitu luasnya sama dengan tak terhingga. Namun, penjelasan "di jari" ini tidak memberikan gambaran sedikit pun tentang struktur pesawat. Dan kita akan tertarik padanya.

Mari kita ingat salah satu aksioma dasar geometri:

• Sebuah garis lurus melewati dua titik yang berbeda pada sebuah bidang, apalagi hanya satu:

Atau analognya di luar angkasa:

Tentu saja, Anda ingat bagaimana menurunkan persamaan garis lurus dari dua titik yang diberikan, ini sama sekali tidak sulit: jika titik pertama memiliki koordinat: dan yang kedua, maka persamaan garis lurus adalah sebagai berikut:

Anda mengalami ini di kelas 7. Di ruang angkasa, persamaan garis lurus terlihat seperti ini: mari kita memiliki dua titik dengan koordinat: , maka persamaan garis lurus yang melewatinya memiliki bentuk:

Sebagai contoh, sebuah garis melalui titik-titik:

Bagaimana ini harus dipahami? Ini harus dipahami sebagai berikut: sebuah titik terletak pada garis jika koordinatnya memenuhi sistem berikut:

Kita tidak akan terlalu tertarik dengan persamaan garis lurus, tetapi kita perlu memperhatikan konsep yang sangat penting dari vektor pengarah garis lurus. - setiap vektor bukan nol yang terletak pada garis tertentu atau sejajar dengannya.

Misalnya, kedua vektor adalah vektor arah dari garis lurus. Membiarkan menjadi titik yang terletak pada garis lurus, dan menjadi vektor pengarahnya. Maka persamaan garis lurus dapat ditulis dalam bentuk berikut:

Sekali lagi, saya tidak akan terlalu tertarik dengan persamaan garis lurus, tetapi saya benar-benar membutuhkan Anda untuk mengingat apa itu vektor arah! Lagi: itu adalah SETIAP vektor bukan nol yang terletak pada garis, atau sejajar dengannya.

Menarik persamaan tiga titik bidang tidak lagi begitu sepele, dan biasanya tidak tercakup dalam kursus sekolah menengah. Tapi sia-sia! Teknik ini sangat penting ketika kita menggunakan metode koordinat untuk memecahkan masalah yang kompleks. Namun, saya berasumsi bahwa Anda penuh dengan keinginan untuk mempelajari sesuatu yang baru? Selain itu, Anda akan dapat mengesankan guru Anda di universitas ketika ternyata Anda sudah tahu cara menggunakan teknik yang biasanya dipelajari dalam kursus geometri analitik. Jadi mari kita mulai.

Persamaan bidang tidak jauh berbeda dengan persamaan garis lurus pada bidang, yaitu berbentuk:

beberapa angka (tidak semuanya sama dengan nol), tetapi variabel, misalnya: dll. Seperti yang Anda lihat, persamaan bidang tidak jauh berbeda dengan persamaan garis lurus (fungsi linier). Namun, ingat apa yang kami perdebatkan dengan Anda? Kami mengatakan bahwa jika kami memiliki tiga titik yang tidak terletak pada satu garis lurus, maka persamaan bidang secara unik dipulihkan dari mereka. Tapi bagaimana caranya? Saya akan mencoba menjelaskan kepada Anda.

Karena persamaan bidangnya adalah:

Dan titik-titik itu termasuk dalam bidang ini, maka ketika memasukkan koordinat setiap titik ke dalam persamaan bidang, kita harus mendapatkan identitas yang benar:

Jadi, ada kebutuhan untuk menyelesaikan tiga persamaan dengan yang tidak diketahui! Dilema! Namun, kita selalu dapat berasumsi bahwa (untuk ini kita perlu membaginya dengan). Jadi, kita mendapatkan tiga persamaan dengan tiga yang tidak diketahui:

Namun, kami tidak akan menyelesaikan sistem seperti itu, tetapi menulis ekspresi samar yang mengikutinya:

Persamaan bidang yang melalui tiga titik tertentu

\\[\kiri| (\begin(array)(*(20)(c))(x - (x_0))&((x_1) - (x_0))&((x_2) - (x_0))\\(y - (y_0) )&((y_1) - (y_0))&((y_2) - (y_0))\\(z - (z_0))&((z_1) - (z_0))&((z_2) - (z_0)) \end(array)) \kanan| = 0\]

Berhenti! Apa lagi ini? Beberapa modul yang sangat tidak biasa! Namun, objek yang Anda lihat di depan Anda tidak ada hubungannya dengan modul. Objek ini disebut determinan orde ketiga. Mulai sekarang, ketika Anda berurusan dengan metode koordinat di pesawat, Anda akan sering menemukan determinan ini. Apa yang dimaksud dengan determinan orde ketiga? Anehnya, itu hanya angka. Tetap memahami nomor spesifik apa yang akan kita bandingkan dengan determinan.

Mari kita tulis dulu determinan orde ketiga dalam bentuk yang lebih umum:

Di mana beberapa nomor. Selain itu, dengan indeks pertama yang kami maksud adalah nomor baris, dan dengan indeks - nomor kolom. Misalnya, itu berarti angka yang diberikan berada di persimpangan baris kedua dan kolom ketiga. Mari kita ajukan pertanyaan berikut: bagaimana tepatnya kita akan menghitung determinan seperti itu? Artinya, dengan nomor spesifik apa kita akan membandingkannya? Untuk determinan tepat orde ketiga, ada aturan segitiga heuristik (visual), tampilannya seperti ini:

1. Hasil kali elemen diagonal utama (dari kiri atas ke kanan bawah) hasil kali elemen yang membentuk segitiga pertama "tegak lurus" dengan diagonal utama produk dari elemen yang membentuk segitiga kedua "tegak lurus" ke utama diagonal
2. Hasil kali elemen-elemen diagonal sekunder (dari kanan atas ke kiri bawah) hasil kali elemen-elemen yang membentuk segitiga pertama "tegak lurus" dengan diagonal sekunder produk dari elemen-elemen yang membentuk segitiga kedua "tegak lurus" dengan diagonal sekunder
3. Maka determinannya sama dengan selisih antara nilai yang diperoleh pada langkah dan

Jika kita menulis semua ini dalam angka, maka kita mendapatkan ekspresi berikut:

Namun, Anda tidak perlu menghafal metode perhitungan dalam formulir ini, cukup simpan segitiga di kepala Anda dan gagasan tentang apa yang ditambahkan ke apa dan apa yang kemudian dikurangi dari apa).

Mari kita ilustrasikan metode segitiga dengan sebuah contoh:

1. Hitung determinannya:

Mari kita cari tahu apa yang kita tambahkan dan apa yang kita kurangi:

Istilah yang datang dengan "plus":

Ini adalah diagonal utama: produk dari elemen-elemennya adalah

Segitiga pertama, "tegak lurus dengan diagonal utama: produk dari elemen-elemennya adalah

Segitiga kedua, "tegak lurus dengan diagonal utama: produk dari elemen-elemennya adalah

Kami menambahkan tiga angka:

Istilah yang datang dengan "minus"

Ini adalah diagonal sisi: produk dari elemen-elemennya adalah

Segitiga pertama, "tegak lurus dengan diagonal sekunder: produk dari elemen-elemennya adalah

Segitiga kedua, "tegak lurus dengan diagonal sekunder: produk dari elemen-elemennya adalah

Kami menambahkan tiga angka:

Yang tersisa untuk dilakukan adalah mengurangkan dari jumlah suku-suku plus jumlah dari suku-suku minus:

Dengan demikian,

Seperti yang Anda lihat, tidak ada yang rumit dan supernatural dalam perhitungan determinan orde ketiga. Penting untuk diingat tentang segitiga dan tidak membuat kesalahan aritmatika. Sekarang coba hitung sendiri:

Kami memeriksa:

1. Segitiga pertama tegak lurus dengan diagonal utama:
2. Segitiga kedua tegak lurus dengan diagonal utama:
3. Jumlah dari suku-suku plus:
4. Segitiga pertama tegak lurus dengan sisi diagonal:
5. Segitiga kedua, tegak lurus dengan sisi diagonal:
6. Jumlah suku dengan minus:
7. Jumlah suku plus dikurangi jumlah suku minus:

Berikut adalah beberapa faktor penentu untuk Anda, hitung sendiri nilainya dan bandingkan dengan jawabannya:

Jawaban:

Nah, apakah semuanya cocok? Hebat, maka Anda bisa melanjutkan! Jika ada kesulitan, maka saran saya adalah ini: di Internet ada banyak program untuk menghitung determinan secara online. Yang Anda butuhkan hanyalah membuat determinan Anda sendiri, menghitungnya sendiri, dan kemudian membandingkannya dengan apa yang dihitung oleh program. Begitu seterusnya hingga hasilnya mulai cocok. Saya yakin momen ini tidak akan lama datang!

Sekarang mari kembali ke determinan yang saya tulis ketika saya berbicara tentang persamaan bidang yang melewati tiga titik yang diberikan:

Yang harus Anda lakukan adalah menghitung nilainya secara langsung (menggunakan metode segitiga) dan mengatur hasilnya sama dengan nol. Secara alami, karena mereka adalah variabel, Anda akan mendapatkan beberapa ekspresi yang bergantung padanya. Ekspresi inilah yang akan menjadi persamaan bidang yang melewati tiga titik tertentu yang tidak terletak pada satu garis lurus!

Mari kita ilustrasikan ini dengan contoh sederhana:

1. Buatlah persamaan bidang yang melalui titik-titik

Kami membuat determinan untuk tiga poin ini:

Menyederhanakan:

Sekarang kita menghitungnya secara langsung sesuai dengan aturan segitiga:

\[(\left| (\begin(array)(*(20)(c)))(x + 3)&2&6\\(y - 2)&0&1\\(z + 1)&5&0\end(array)) \ kanan| = \kiri((x + 3) \kanan) \cdot 0 \cdot 0 + 2 \cdot 1 \cdot \kiri((z + 1) \kanan) + \kiri((y - 2) \kanan) \cdot 5 \cdot 6 - )\]

Jadi, persamaan bidang yang melalui titik-titik adalah:

Sekarang cobalah untuk memecahkan satu masalah sendiri, dan kemudian kita akan membahasnya:

2. Tentukan persamaan bidang yang melalui titik-titik

Nah, sekarang kita bahas solusinya:

Kami membuat penentu:

Dan hitung nilainya:

Maka persamaan bidang memiliki bentuk:

Atau, dikurangi dengan, kita mendapatkan:

Sekarang dua tugas untuk pengendalian diri:

1. Buatlah persamaan bidang yang melalui tiga titik:

Jawaban:

Apakah semuanya cocok? Sekali lagi, jika ada kesulitan tertentu, maka saran saya adalah ini: Anda mengambil tiga poin dari kepala Anda (dengan tingkat probabilitas tinggi mereka tidak akan terletak pada satu garis lurus), buatlah sebuah pesawat di atasnya. Dan kemudian periksa diri Anda secara online. Misalnya, di situs:

Namun, dengan bantuan determinan, kita tidak hanya akan membangun persamaan bidang. Ingat, saya katakan bahwa untuk vektor, tidak hanya produk titik yang didefinisikan. Ada juga vektor, serta produk campuran. Dan jika produk skalar dari dua vektor akan menjadi angka, maka produk vektor dari dua vektor akan menjadi vektor, dan vektor ini akan tegak lurus dengan yang diberikan:

Selain itu, modulusnya akan sama dengan luas jajaran genjang yang dibangun di atas vektor dan. Kita akan membutuhkan vektor ini untuk menghitung jarak dari titik ke garis. Bagaimana kita dapat menghitung perkalian silang dari vektor-vektor dan jika koordinatnya diberikan? Penentu urutan ketiga kembali membantu kita. Namun, sebelum saya beralih ke algoritma untuk menghitung perkalian silang, saya harus membuat penyimpangan lirik kecil.

Penyimpangan ini menyangkut vektor basis.

Secara skematis mereka ditunjukkan pada gambar:

Menurut Anda mengapa mereka disebut dasar? Faktanya adalah bahwa:

Atau di gambar:

Keabsahan rumus ini jelas, karena:

produk vektor

Sekarang saya dapat mulai memperkenalkan produk silang:

Produk vektor dua vektor adalah vektor yang dihitung menurut aturan berikut:

Sekarang mari kita berikan beberapa contoh menghitung perkalian silang:

Contoh 1: Temukan produk silang vektor:

Solusi: Saya membuat determinan:

Dan saya menghitungnya:

Sekarang, dari menulis hingga vektor basis, saya akan kembali ke notasi vektor biasa:

Dengan demikian:

Sekarang coba.

Siap? Kami memeriksa:

Dan secara tradisional dua tugas untuk mengontrol:

1. Tentukan perkalian silang dari vektor-vektor berikut:
2. Tentukan perkalian silang dari vektor-vektor berikut:

Jawaban:

Produk campuran dari tiga vektor

Konstruksi terakhir yang saya butuhkan adalah produk campuran dari tiga vektor. Ini, seperti skalar, adalah angka. Ada dua cara untuk menghitungnya. - melalui determinan, - melalui produk campuran.

Yaitu, katakanlah kita memiliki tiga vektor:

Kemudian hasil kali campuran dari tiga vektor, dilambangkan dengan dapat dihitung sebagai:

1. - yaitu, produk campuran adalah produk skalar dari sebuah vektor dan produk vektor dari dua vektor lainnya

Misalnya, produk campuran dari tiga vektor adalah:

Coba hitung sendiri menggunakan perkalian vektor dan pastikan hasilnya cocok!

Dan lagi - dua contoh untuk solusi independen:

Jawaban:

Pilihan sistem koordinat

Nah, sekarang kita memiliki semua dasar pengetahuan yang diperlukan untuk memecahkan masalah stereometrik yang kompleks dalam geometri. Namun, sebelum melanjutkan langsung ke contoh dan algoritme untuk menyelesaikannya, saya yakin akan berguna untuk memikirkan pertanyaan berikut: bagaimana tepatnya memilih sistem koordinat untuk gambar tertentu. Bagaimanapun, itu adalah pilihan posisi relatif dari sistem koordinat dan sosok di ruang angkasa yang pada akhirnya akan menentukan betapa rumitnya perhitungannya.

Saya mengingatkan Anda bahwa di bagian ini kita sedang mempertimbangkan bentuk-bentuk berikut:

1. berbentuk kubus
2. Prisma lurus (segitiga, heksagonal ...)
3. Piramida (segitiga, segi empat)
4. Tetrahedron (sama dengan piramida segitiga)

Untuk balok atau kubus, saya merekomendasikan konstruksi berikut:

Artinya, saya akan menempatkan gambar "di sudut". Kubus dan kotak adalah sosok yang sangat bagus. Bagi mereka, Anda selalu dapat dengan mudah menemukan koordinat simpulnya. Misalnya, jika (seperti yang ditunjukkan pada gambar)

maka koordinat titiknya adalah:

Tentu saja, Anda tidak perlu mengingat ini, tetapi mengingat cara terbaik untuk memposisikan kubus atau kotak persegi panjang sangat diinginkan.

prisma lurus

Prisma adalah sosok yang lebih berbahaya. Anda dapat mengaturnya di luar angkasa dengan berbagai cara. Namun, saya pikir berikut ini adalah pilihan terbaik:

Prisma segitiga:

Artinya, kami menempatkan salah satu sisi segitiga seluruhnya pada sumbu, dan salah satu simpul bertepatan dengan titik asal.

Prisma segi enam:

Artinya, salah satu simpul bertepatan dengan titik asal, dan salah satu sisinya terletak pada sumbu.

Piramida segi empat dan heksagonal:

Situasi yang mirip dengan kubus: kami menggabungkan dua sisi alas dengan sumbu koordinat, kami menggabungkan salah satu simpul dengan titik asal. Satu-satunya kesulitan kecil adalah menghitung koordinat titik.

Untuk piramida heksagonal - sama seperti untuk prisma heksagonal. Tugas utama lagi adalah menemukan koordinat titik.

Tetrahedron (piramida segitiga)

Situasinya sangat mirip dengan yang saya berikan untuk prisma segitiga: satu simpul bertepatan dengan titik asal, satu sisi terletak pada sumbu koordinat.

Nah, sekarang Anda dan saya akhirnya hampir mulai menyelesaikan masalah. Dari apa yang saya katakan di awal artikel, Anda dapat menarik kesimpulan berikut: sebagian besar masalah C2 terbagi dalam 2 kategori: masalah sudut dan masalah jarak. Pertama, kita akan mempertimbangkan masalah untuk menemukan sudut. Mereka, pada gilirannya, dibagi ke dalam kategori berikut (dengan meningkatnya kompleksitas):

Masalah untuk menemukan sudut

1. Mencari sudut antara dua garis
2. Mencari sudut antara dua bidang

Mari kita pertimbangkan masalah ini secara berurutan: mari kita mulai dengan mencari sudut antara dua garis lurus. Ayo, ingat, apakah Anda dan saya pernah memecahkan contoh serupa sebelumnya? Anda ingat, karena kami sudah memiliki sesuatu yang serupa ... Kami sedang mencari sudut antara dua vektor. Saya ingatkan Anda, jika dua vektor diberikan: dan, maka sudut di antara mereka ditemukan dari hubungan:

Sekarang kita memiliki tujuan - menemukan sudut antara dua garis lurus. Mari kita beralih ke "gambar datar":

Berapa banyak sudut yang kita peroleh ketika dua garis berpotongan? Sudah barang. Benar, hanya dua dari mereka yang tidak sama, sementara yang lain vertikal (dan karenanya bertepatan dengan mereka). Jadi sudut apa yang harus kita pertimbangkan sebagai sudut antara dua garis lurus: atau? Di sini aturannya adalah: sudut antara dua garis lurus selalu tidak lebih dari derajat. Artinya, dari dua sudut, kita akan selalu memilih sudut dengan ukuran derajat terkecil. Artinya, pada gambar ini, sudut antara dua garis sama besar. Agar tidak repot mencari yang terkecil dari dua sudut setiap saat, matematikawan licik menyarankan menggunakan modul. Jadi, sudut antara dua garis lurus ditentukan oleh rumus:

Anda, sebagai pembaca yang penuh perhatian, seharusnya memiliki pertanyaan: di mana, sebenarnya, kita mendapatkan angka-angka ini yang kita perlukan untuk menghitung kosinus suatu sudut? Jawaban: kita akan mengambilnya dari vektor arah garis! Jadi, algoritma untuk mencari sudut antara dua garis adalah sebagai berikut:

1. Kami menerapkan rumus 1.

Atau lebih detail:

1. Kami mencari koordinat vektor arah garis lurus pertama
2. Kami mencari koordinat vektor arah garis kedua
3. Hitung modulus produk skalar mereka
4. Kami mencari panjang vektor pertama
5. Kami mencari panjang vektor kedua
6. Kalikan hasil poin 4 dengan hasil poin 5
7. Kami membagi hasil poin 3 dengan hasil poin 6. Kami mendapatkan kosinus sudut antara garis
8. Jika hasil ini memungkinkan kami menghitung sudut dengan tepat, kami mencarinya
9. Jika tidak, kami menulis melalui arccosine

Nah, sekarang saatnya untuk beralih ke tugas: Saya akan menunjukkan solusi dari dua yang pertama secara rinci, saya akan menyajikan solusi yang lain secara singkat, dan saya hanya akan memberikan jawaban untuk dua tugas terakhir, Anda harus melakukan semua perhitungan untuk mereka sendiri.

Tugas:

1. Di sisi kanan tet-ra-ed-re, temukan-di-te sudut antara Anda-jadi-itu tet-ra-ed-ra dan sisi me-di-a-noy bo-ko-how.

2. Dalam enam batu bara-pi-ra-mi-de kanan-depan, seratus-ro-na-os-no-va-niya entah bagaimana sama, dan rusuk sampingnya sama, temukan sudut antara garis lurus garis dan.

3. Panjang semua sisi dari empat tangan kanan empat-anda-batubara-noy pi-ra-mi-dy adalah sama satu sama lain. Temukan sudut antara garis lurus dan jika dari-re-zok - Anda-jadi-yang diberikan pi-ra-mi-dy, intinya adalah se-re-di-pada rusuk bo-ko-nya

4. Pada rusuk kubus dari-me-che-ke suatu titik sehingga Cari-di-te sudut antara garis lurus dan

5. Titik - atur ulang tepi kubus Nai-di-te sudut antara garis lurus dan.

Bukan kebetulan bahwa saya menempatkan tugas dalam urutan ini. Meskipun Anda belum punya waktu untuk mulai menavigasi metode koordinat, saya sendiri akan menganalisis angka yang paling "bermasalah", dan saya akan meninggalkan Anda untuk berurusan dengan kubus paling sederhana! Secara bertahap Anda harus belajar bagaimana bekerja dengan semua angka, saya akan meningkatkan kompleksitas tugas dari topik ke topik.

Mari kita mulai memecahkan masalah:

1. Gambarlah sebuah tetrahedron, letakkan di sistem koordinat seperti yang saya sarankan sebelumnya. Karena tetrahedron beraturan, maka semua mukanya (termasuk alasnya) adalah segitiga beraturan. Karena panjang sisinya tidak diketahui, saya dapat menganggapnya sama. Saya pikir Anda mengerti bahwa sudut tidak akan benar-benar tergantung pada seberapa banyak tetrahedron kita akan "diregangkan" ?. Saya juga akan menggambar tinggi dan median dalam tetrahedron. Sepanjang jalan, saya akan menggambar dasarnya (itu juga akan berguna bagi kita).

Saya perlu menemukan sudut antara dan. Apa yang kita ketahui? Kita hanya tahu koordinat titiknya. Jadi, kita perlu menemukan lebih banyak koordinat titik. Sekarang kita berpikir: titik adalah titik perpotongan ketinggian (atau garis bagi atau median) dari sebuah segitiga. Titik adalah titik yang ditinggikan. Titik adalah titik tengah segmen. Kemudian akhirnya kita perlu mencari: koordinat titik: .

Mari kita mulai dengan yang paling sederhana: koordinat titik. Perhatikan gambar: Jelas bahwa penerapan suatu titik sama dengan nol (titik terletak pada bidang). Oordinatnya sama (karena merupakan median). Lebih sulit untuk menemukan absisnya. Namun, ini mudah dilakukan berdasarkan teorema Pythagoras: Pertimbangkan sebuah segitiga. Sisi miringnya sama, dan salah satu kakinya sama.

Akhirnya kami memiliki:

Sekarang mari kita cari koordinat titiknya. Jelas bahwa penerapannya sekali lagi sama dengan nol, dan ordinatnya sama dengan titik, yaitu. Mari kita cari absisnya. Ini dilakukan dengan agak sepele jika seseorang mengingatnya tinggi segitiga sama sisi dibagi dengan titik potong dalam proporsi menghitung dari atas. Karena :, maka absis titik yang diinginkan, sama dengan panjang ruas, sama dengan :. Jadi, koordinat titiknya adalah:

Mari kita cari koordinat titiknya. Jelas bahwa absis dan ordinatnya bertepatan dengan absis dan ordinat titik tersebut. Dan applique sama dengan panjang segmen. - ini adalah salah satu kaki segitiga. Sisi miring segitiga adalah segmen - kaki. Itu dicari karena alasan yang saya soroti dalam huruf tebal:

Titik adalah titik tengah segmen. Maka kita perlu mengingat rumus untuk koordinat tengah segmen:

Itu dia, sekarang kita bisa mencari koordinat vektor arah:

Nah, semuanya sudah siap: kami mengganti semua data ke dalam rumus:

Dengan demikian,

Menjawab:

Anda tidak perlu takut dengan jawaban yang "mengerikan" seperti itu: untuk masalah C2 ini adalah praktik yang umum. Saya lebih suka terkejut dengan jawaban "indah" di bagian ini. Juga, seperti yang Anda catat, saya praktis tidak menggunakan apa pun selain teorema Pythagoras dan properti ketinggian segitiga sama sisi. Artinya, untuk memecahkan masalah stereometri, saya menggunakan stereometri yang sangat minimum. Keuntungan dalam hal ini sebagian "padam" dengan perhitungan yang agak rumit. Tapi mereka cukup algoritmik!

2. Gambarlah piramida heksagonal beraturan beserta sistem koordinatnya, serta alasnya:

Kita perlu mencari sudut antara garis dan. Dengan demikian, tugas kita dikurangi menjadi menemukan koordinat titik: . Kami akan menemukan koordinat tiga terakhir dari gambar kecil, dan kami akan menemukan koordinat titik melalui koordinat titik. Banyak pekerjaan, tetapi harus mulai!

a) Koordinat: jelas aplikasi dan ordinatnya nol. Mari kita temukan absisnya. Untuk melakukan ini, pertimbangkan segitiga siku-siku. Sayangnya, di dalamnya kita hanya tahu sisi miring, yang sama dengan. Kami akan mencoba menemukan kaki (karena jelas bahwa dua kali panjang kaki akan memberi kami titik absis). Bagaimana kita bisa mencarinya? Mari kita ingat sosok seperti apa yang kita miliki di dasar piramida? Ini adalah segi enam biasa. Apa artinya? Ini berarti bahwa semua sisi dan semua sudut adalah sama. Kita perlu menemukan satu sudut seperti itu. Ada ide? Ada banyak ide, tetapi ada formula:

Jumlah sudut n-gon beraturan adalah .

Jadi, jumlah sudut segi enam beraturan adalah derajat. Maka masing-masing sudut sama dengan:

Mari kita lihat lagi gambarnya. Jelas bahwa segmen adalah garis-bagi dari sudut. Maka sudutnya adalah derajat. Kemudian:

Lalu dimana.

Jadi memiliki koordinat

b) Sekarang kita dapat dengan mudah menemukan koordinat titik: .

c. Tentukan koordinat titik tersebut. Karena absisnya bertepatan dengan panjang segmen, itu sama. Menemukan ordinat juga tidak terlalu sulit: jika kita menghubungkan titik-titik dan dan menunjukkan titik perpotongan garis, katakanlah untuk. (lakukan sendiri konstruksi sederhana). Jadi, ordinat titik B sama dengan jumlah panjang segmen. Mari kita lihat segitiga lagi. Kemudian

Kemudian sejak Kemudian titik tersebut memiliki koordinat

d) Sekarang cari koordinat titik tersebut. Perhatikan sebuah persegi panjang dan buktikan bahwa Dengan demikian, koordinat titiknya adalah:

e) Tetap mencari koordinat titik. Jelas bahwa absis dan ordinatnya bertepatan dengan absis dan ordinat titik tersebut. Mari temukan aplikasi. Dari dulu. Pertimbangkan segitiga siku-siku. Dengan kondisi masalah, tepi lateral. Ini adalah hipotenusa segitiga saya. Maka tinggi piramida adalah kaki.

Maka titik tersebut memiliki koordinat:

Itu saja, saya memiliki koordinat semua tempat menarik bagi saya. Saya mencari koordinat vektor pengarah garis lurus:

Kami mencari sudut antara vektor-vektor ini:

Menjawab:

Sekali lagi, ketika memecahkan masalah ini, saya tidak menggunakan trik canggih apa pun, kecuali rumus jumlah sudut n-gon beraturan, serta definisi kosinus dan sinus segitiga siku-siku.

3. Karena kita sekali lagi tidak diberikan panjang tepi dalam piramida, saya akan menganggapnya sama dengan satu. Jadi, karena SEMUA tepi, dan bukan hanya sisi, adalah sama satu sama lain, maka di dasar piramida dan saya terletak sebuah bujur sangkar, dan sisi-sisinya adalah segitiga biasa. Mari kita gambarkan piramida seperti itu, serta pangkalannya di pesawat, menandai semua data yang diberikan dalam teks masalah:

Kami mencari sudut antara dan. Saya akan membuat perhitungan yang sangat singkat ketika saya mencari koordinat titik. Anda perlu "mendekripsi" mereka:

b) - bagian tengah segmen. Koordinat dia:

c) Saya akan menemukan panjang segmen menggunakan teorema Pythagoras dalam segitiga. Saya akan menemukan dengan teorema Pythagoras dalam segitiga.

Koordinat:

d) - bagian tengah segmen. Koordinatnya adalah

e) Koordinat vektor

f) Koordinat vektor

g) Mencari sudut:

Kubus adalah gambar paling sederhana. Saya yakin Anda bisa mengetahuinya sendiri. Jawaban soal nomor 4 dan 5 adalah sebagai berikut:

Mencari sudut antara garis dan bidang

Nah, waktu untuk teka-teki sederhana sudah berakhir! Sekarang contohnya akan lebih sulit. Untuk mencari sudut antara garis dan bidang, kita lakukan sebagai berikut:

1. Menggunakan tiga titik, kami membangun persamaan bidang
   ,
   menggunakan determinan orde ketiga.
2. Dengan dua titik kami mencari koordinat vektor pengarah garis lurus:
3. Kami menerapkan rumus untuk menghitung sudut antara garis lurus dan bidang:

Seperti yang Anda lihat, rumus ini sangat mirip dengan rumus yang kita gunakan untuk mencari sudut di antara dua garis. Struktur sisi kanan sama saja, dan di sebelah kiri kita sekarang mencari sinus, dan bukan kosinus, seperti sebelumnya. Nah, satu tindakan jahat ditambahkan - pencarian persamaan pesawat.

Jangan disimpan memecahkan contoh:

1. Os-no-va-ni-em lurus-hadiahku-kita-la-et-xia sama-tapi-miskin-ren-ny segitiga-nick you-dengan-hadiah itu-kita sama. Tentukan sudut antara garis lurus dan bidang

2. Dalam sebuah persegi panjang pa-ral-le-le-pi-pe-de dari Nai-di-te Barat, sudut antara garis lurus dan bidang

3. Pada prisma enam batu bara tangan kanan, semua rusuknya sama. Temukan sudut antara garis lurus dan bidang.

4. Pada segitiga siku-siku pi-ra-mi-de dengan os-but-va-ni-em dari barat rusuk sudut Nai-di-te, bidang ob-ra-zo-van -ny dari os -no-va-niya dan lurus-saya, melewati se-re-di-na dari tulang rusuk dan

5. Panjang semua sisi dari segi empat kanan pi-ra-mi-dy dengan bagian atas adalah sama satu sama lain. Temukan sudut antara garis lurus dan bidang, jika titiknya se-re-di-di tepi bo-ko-in-th dari pi-ra-mi-dy.

Sekali lagi, saya akan menyelesaikan dua masalah pertama secara rinci, yang ketiga - secara singkat, dan saya meninggalkan dua yang terakhir untuk Anda selesaikan sendiri. Selain itu, Anda sudah harus berurusan dengan piramida segitiga dan segi empat, tetapi belum dengan prisma.

Solusi:

1. Gambarlah prisma, serta alasnya. Mari kita gabungkan dengan sistem koordinat dan tandai semua data yang diberikan dalam pernyataan masalah:

Saya minta maaf untuk beberapa ketidakpatuhan terhadap proporsi, tetapi untuk memecahkan masalah ini, pada kenyataannya, tidak begitu penting. Pesawat hanyalah "dinding belakang" prisma saya. Cukup menebak bahwa persamaan bidang seperti itu memiliki bentuk:

Namun, ini juga dapat ditunjukkan secara langsung:

Kami memilih tiga titik sewenang-wenang pada bidang ini: misalnya, .

Mari kita buat persamaan bidangnya:

Latihan untuk Anda: hitung sendiri determinan ini. Apakah kamu berhasil? Maka persamaan bidang memiliki bentuk:

Atau sederhananya

Dengan demikian,

Untuk memecahkan contoh, saya perlu menemukan koordinat vektor pengarah garis lurus. Karena titik tersebut bertepatan dengan titik asal, maka koordinat vektor akan bertepatan dengan koordinat titik tersebut.Untuk melakukan ini, pertama-tama kita mencari koordinat titik tersebut.

Untuk melakukan ini, pertimbangkan sebuah segitiga. Mari kita menggambar ketinggian (juga merupakan median dan garis bagi) dari atas. Karena, maka ordinat titik tersebut adalah sama. Untuk menemukan absis titik ini, kita perlu menghitung panjang segmen. Dengan teorema Pythagoras kita memiliki:

Maka titik tersebut memiliki koordinat:

Sebuah titik adalah "mengangkat" pada sebuah titik:

Maka koordinat vektornya:

Menjawab:

Seperti yang Anda lihat, pada dasarnya tidak ada yang sulit dalam memecahkan masalah seperti itu. Faktanya, "kelurusan" sosok seperti prisma menyederhanakan prosesnya sedikit lebih banyak. Sekarang mari kita beralih ke contoh berikutnya:

2. Kami menggambar paralelepiped, menggambar bidang dan garis lurus di dalamnya, dan juga secara terpisah menggambar alas bawahnya:

Pertama, kita temukan persamaan bidangnya: Koordinat tiga titik yang terletak di dalamnya:

(dua koordinat pertama diperoleh dengan cara yang jelas, dan Anda dapat dengan mudah menemukan koordinat terakhir dari gambar dari titik). Kemudian kita buat persamaan bidangnya:

Kami menghitung:

Kami mencari koordinat vektor arah: Jelas koordinatnya bertepatan dengan koordinat titik, bukan? Bagaimana cara mencari koordinat? Ini adalah koordinat titik, dibangkitkan di sepanjang sumbu aplikasi satu per satu! . Kemudian kami mencari sudut yang diinginkan:

Menjawab:

3. Gambarlah sebuah piramida heksagonal beraturan, lalu gambar sebuah bidang dan garis lurus di dalamnya.

Di sini bahkan bermasalah untuk menggambar pesawat, belum lagi solusi dari masalah ini, tetapi metode koordinat tidak peduli! Dalam keserbagunaannya terletak keunggulan utamanya!

Pesawat melewati tiga titik: . Kami mencari koordinat mereka:

satu) . Tampilkan sendiri koordinat untuk dua titik terakhir. Anda perlu menyelesaikan masalah dengan piramida heksagonal untuk ini!

2) Kami membangun persamaan bidang:

Kami mencari koordinat vektor: . (Lihat masalah piramida segitiga lagi!)

3) Kami mencari sudut:

Menjawab:

Seperti yang Anda lihat, tidak ada yang sulit secara supernatural dalam tugas-tugas ini. Anda hanya perlu sangat berhati-hati dengan akarnya. Untuk dua masalah terakhir, saya hanya akan memberikan jawaban:

Seperti yang Anda lihat, teknik untuk memecahkan masalah sama di mana-mana: tugas utamanya adalah menemukan koordinat simpul dan menggantinya ke dalam beberapa rumus. Tetap bagi kita untuk mempertimbangkan satu kelas masalah lagi untuk menghitung sudut, yaitu:

Menghitung sudut antara dua bidang

Algoritma solusi akan menjadi sebagai berikut:

1. Untuk tiga titik kita mencari persamaan bidang pertama:
2. Untuk tiga titik lainnya, kami mencari persamaan bidang kedua:
3. Kami menerapkan rumus:

Seperti yang Anda lihat, rumusnya sangat mirip dengan dua rumus sebelumnya, yang dengannya kami mencari sudut antara garis lurus dan antara garis lurus dan bidang. Jadi mengingat yang satu ini tidak akan sulit bagi Anda. Langsung saja ke masalahnya:

1. Seratus-ro-atas dasar prisma segitiga siku-siku adalah sama, dan diagonal sisi mukanya sama. Temukan sudut antara bidang dan bidang alas hadiah.

2. Di kanan-maju empat-kamu-kembali-batubara-noy pi-ra-mi-de, semua tepi seseorang adalah sama, temukan sinus sudut antara bidang dan bidang Ko-Stu, melewati intinya per-pen-di-ku-lyar-tapi lurus-saya.

3. Dalam prisma empat batu bara beraturan, sisi-sisi os-no-va-nia adalah sama, dan sisi-sisinya sama. Di tepi dari-saya-che-to the point sehingga. Tentukan sudut antara bidang dan

4. Pada prisma segi empat siku-siku, sisi-sisi alasnya sama, dan sisi-sisinya sama. Di tepi dari-saya-che-ke suatu titik sehingga Temukan sudut antara bidang dan.

5. Dalam kubus, temukan co-si-nus sudut antara bidang dan

Solusi masalah:

1. Saya menggambar prisma segitiga biasa (di alasnya - segitiga sama sisi) dan menandai di atasnya bidang yang muncul dalam kondisi masalah:

Kita perlu menemukan persamaan dua bidang: Persamaan dasar diperoleh secara sepele: Anda dapat membuat determinan yang sesuai untuk tiga titik, tetapi saya akan segera membuat persamaannya:

Sekarang mari kita cari persamaan Titik memiliki koordinat Titik - Sejak - median dan tinggi segitiga, mudah untuk menemukan dengan teorema Pythagoras dalam segitiga. Maka titik tersebut memiliki koordinat: Temukan aplikasi titik Untuk melakukan ini, pertimbangkan segitiga siku-siku

Kemudian kami mendapatkan koordinat berikut: Kami membuat persamaan bidang.

Kami menghitung sudut antara bidang:

Menjawab:

2. Membuat gambar:

Hal yang paling sulit adalah memahami bidang misterius macam apa itu, melewati suatu titik secara tegak lurus. Nah, yang utama adalah apa itu? Yang utama adalah perhatian! Memang, garisnya tegak lurus. Garisnya juga tegak lurus. Kemudian bidang yang melalui kedua garis ini akan tegak lurus terhadap garis tersebut, dan akan melalui titik tersebut. Pesawat ini juga melewati puncak piramida. Kemudian pesawat yang diinginkan - Dan pesawat itu sudah diberikan kepada kita. Kami mencari koordinat titik.

Kami menemukan koordinat titik melalui titik. Dari gambar kecil mudah untuk menyimpulkan bahwa koordinat titik adalah sebagai berikut: Apa yang tersisa untuk ditemukan sekarang untuk menemukan koordinat puncak piramida? Masih perlu menghitung tingginya. Ini dilakukan dengan menggunakan teorema Pythagoras yang sama: pertama, buktikan bahwa (sepele dari segitiga kecil yang membentuk persegi di alasnya). Karena dengan syarat, kami memiliki:

Sekarang semuanya sudah siap: koordinat titik:

Kami membuat persamaan bidang:

Anda sudah ahli dalam menghitung determinan. Dengan mudah Anda akan menerima:

Atau sebaliknya (jika kita mengalikan kedua bagian dengan akar dua)

Sekarang mari kita cari persamaan bidangnya:

(Kamu tidak lupa bagaimana kita mendapatkan persamaan bidang, kan? Jika kamu tidak mengerti dari mana asal minus ini, kembali ke definisi persamaan bidang! Selalu seperti itu sebelumnya. bahwa pesawat saya milik asal!)

Kami menghitung determinan:

(Anda mungkin memperhatikan bahwa persamaan bidang bertepatan dengan persamaan garis lurus yang melalui titik-titik dan! Pikirkan mengapa!)

Sekarang kita hitung sudutnya:

Kita perlu mencari sinus:

Menjawab:

3. Sebuah pertanyaan rumit: apa itu prisma persegi panjang, bagaimana menurut Anda? Itu hanya paralelepiped terkenal untuk Anda! Menggambar segera! Anda bahkan tidak dapat menggambarkan pangkalan secara terpisah, ada sedikit gunanya di sini:

Pesawat, seperti yang kita catat sebelumnya, ditulis sebagai persamaan:

Sekarang kita membuat pesawat

Kami segera membuat persamaan bidang:

Mencari sudut

Sekarang jawaban untuk dua masalah terakhir:

Nah, sekarang saatnya untuk istirahat, karena Anda dan saya hebat dan telah melakukan pekerjaan yang hebat!

Koordinat dan vektor. Tingkat Lanjut

Pada artikel ini, kami akan membahas dengan Anda kelas masalah lain yang dapat diselesaikan dengan menggunakan metode koordinat: masalah jarak. Yaitu, kami akan mempertimbangkan kasus-kasus berikut:

1. Menghitung jarak antara garis miring.

Saya telah memesan tugas yang diberikan karena kompleksitasnya meningkat. Yang paling mudah adalah menemukan titik ke jarak bidang dan bagian tersulit adalah menemukan jarak antara garis berpotongan. Meskipun, tentu saja, tidak ada yang tidak mungkin! Jangan menunda-nunda dan segera lanjutkan ke pertimbangan kelas masalah pertama:

Menghitung jarak dari titik ke bidang

Apa yang kita butuhkan untuk menyelesaikan masalah ini?

1. Koordinat titik

Jadi, segera setelah kami mendapatkan semua data yang diperlukan, kami menerapkan rumus:

Anda seharusnya sudah tahu bagaimana kita membangun persamaan bidang dari masalah sebelumnya yang saya analisis di bagian terakhir. Mari kita turun ke bisnis segera. Skemanya adalah sebagai berikut: 1, 2 - Saya membantu Anda memutuskan, dan dalam beberapa detail, 3, 4 - hanya jawabannya, Anda membuat keputusan sendiri dan membandingkan. Dimulai!

Tugas:

1. Diberikan sebuah kubus. Panjang rusuk kubus adalah Cari-di-te jarak dari se-re-di-ny dari potong ke datar

2. Mengingat hak-vil-naya empat-you-rekh-batubara-naya pi-ra-mi-da Bo-ko-voe tepi ratus-ro-pada os-no-va-nia adalah sama. Cari-di-jarak itu dari titik ke bidang di mana - se-re-di-di tepi.

3. Pada segitiga siku-siku pi-ra-mi-de dengan os-but-va-ni-em, sisi lainnya sama, dan seratus-ro-on os-no-vaniya sama. Cari-di-mereka jarak dari atas ke pesawat.

4. Pada prisma enam batu bara tangan kanan, semua rusuknya sama. Cari-di-jarak itu dari suatu titik ke bidang.

Solusi:

1. Gambarlah sebuah kubus dengan satu sisi, buat segmen dan bidang, tunjukkan bagian tengah segmen dengan huruf

.

Pertama, mari kita mulai dengan yang mudah: temukan koordinat sebuah titik. Sejak itu (ingat koordinat tengah segmen!)

Sekarang kita buat persamaan bidang pada tiga titik

\\[\kiri| (\begin(array)(*(20)(c))x&0&1\\y&1&0\\z&1&1\end(array)) \kanan| = 0\]

Sekarang saya dapat mulai mencari jarak:

2. Kami mulai lagi dengan gambar, di mana kami menandai semua data!

Untuk piramida, akan berguna untuk menggambar alasnya secara terpisah.

Bahkan fakta bahwa saya menggambar seperti cakar ayam tidak akan mencegah kita menyelesaikan masalah ini dengan mudah!

Sekarang mudah untuk menemukan koordinat titik

Karena koordinat titik

2. Karena koordinat titik a berada di tengah ruas, maka

Kita dapat dengan mudah menemukan koordinat dua titik lagi pada bidang tersebut.Kami membuat persamaan bidang dan menyederhanakannya:

\\[\kiri| (\left| (\begin(array)(*(20)(c))x&1&(\frac(3)(2))\\y&0&(\frac(3)(2))\\z&0&(\frac( (\sqrt 3 ))(2))\end(array)) \kanan|) \kanan| = 0\]

Karena titik tersebut memiliki koordinat: , maka kita hitung jaraknya:

Jawaban (sangat jarang!):

Nah, apakah Anda mengerti? Sepertinya saya bahwa semuanya di sini sama teknisnya dengan contoh yang kami pertimbangkan bersama Anda di bagian sebelumnya. Jadi saya yakin jika Anda sudah menguasai materi tersebut, maka tidak akan sulit bagi Anda untuk menyelesaikan dua soal yang tersisa. Saya hanya akan memberi Anda jawaban:

Menghitung Jarak dari Garis ke Pesawat

Sebenarnya, tidak ada yang baru di sini. Bagaimana garis dan bidang dapat terletak relatif satu sama lain? Mereka memiliki semua kemungkinan: berpotongan, atau garis lurus sejajar dengan bidang. Menurut Anda berapa jarak dari garis ke bidang yang memotong garis yang diberikan? Tampak bagi saya bahwa jelas bahwa jarak seperti itu sama dengan nol. Kasus yang tidak menarik.

Kasus kedua lebih rumit: di sini jaraknya sudah bukan nol. Namun, karena garisnya sejajar dengan bidang, maka setiap titik dari garis tersebut berjarak sama dari bidang ini:

Dengan demikian:

Dan ini berarti tugas saya telah dikurangi menjadi yang sebelumnya: kami mencari koordinat titik mana pun pada garis, kami mencari persamaan bidang, kami menghitung jarak dari titik ke bidang. Faktanya, tugas seperti itu dalam ujian sangat jarang. Saya hanya berhasil menemukan satu masalah, dan data di dalamnya sedemikian rupa sehingga metode koordinatnya tidak terlalu cocok untuk itu!

Sekarang mari kita beralih ke kelas masalah lain yang jauh lebih penting:

Menghitung Jarak Titik ke Garis

Apa yang akan kita butuhkan?

1. Koordinat titik dari mana kita mencari jarak:

2. Koordinat setiap titik yang terletak pada garis lurus

3. Koordinat vektor arah garis lurus

Apa rumus yang kita gunakan?

Apa arti penyebut pecahan ini bagi Anda dan karenanya harus jelas: ini adalah panjang vektor pengarah garis lurus. Ini adalah pembilang yang sangat rumit! Ekspresi berarti modul (panjang) dari produk vektor vektor dan Cara menghitung produk vektor, kita pelajari di bagian pekerjaan sebelumnya. Segarkan pengetahuan Anda, itu akan sangat berguna bagi kami sekarang!

Dengan demikian, algoritma untuk menyelesaikan masalah adalah sebagai berikut:

1. Kami mencari koordinat titik dari mana kami mencari jarak:

2. Kami mencari koordinat titik mana pun pada garis yang kami cari jaraknya:

3. Membangun sebuah vektor

4. Kami membangun vektor arah dari garis lurus

5. Hitung produk silang

6. Kami mencari panjang vektor yang dihasilkan:

7. Hitung jarak:

Kami memiliki banyak pekerjaan, dan contohnya akan sangat kompleks! Jadi sekarang fokuskan semua perhatian Anda!

1. Dana adalah segitiga tangan kanan pi-ra-mi-da dengan simpul. Seratus-ro-di os-no-va-niya pi-ra-mi-dy sama, kamu-jadi-ta sama. Cari-di-jarak itu dari se-re-di-ny tepi bo-ko-th ke garis lurus, di mana titik-titik dan adalah se-re-di-ny dari rusuk dan co-dari-vet -stven-tapi.

2. Panjang rusuk dan sudut siku-siku-no-para-ral-le-le-pi-pe-da masing-masing sama, dan Cari-di-te jarak dari atas-shi-ny ke lurus-saya

3. Pada prisma enam batu bara kanan, semua tepi segerombolan adalah sama temukan-di-jaraknya dari suatu titik ke garis lurus

Solusi:

1. Kami membuat gambar yang rapi, di mana kami menandai semua data:

Kami memiliki banyak pekerjaan untuk Anda! Pertama-tama saya ingin menjelaskan dengan kata-kata apa yang akan kita cari dan dalam urutan apa:

1. Koordinat titik dan

2. Koordinat titik

3. Koordinat titik dan

4. Koordinat vektor dan

5. Produk silang mereka

6. Panjang vektor

7. Panjang produk vektor

8. Jarak dari ke

Yah, kami memiliki banyak pekerjaan yang harus dilakukan! Mari menyingsingkan lengan baju kita!

1. Untuk mencari koordinat ketinggian piramida, kita perlu mengetahui koordinat titik, penerapannya adalah nol, dan ordinatnya sama dengan absisnya. Akhirnya, kami mendapatkan koordinat:

Koordinat titik

2. - tengah segmen

3. - bagian tengah segmen

titik tengah

4. Koordinat

Koordinat vektor

5. Hitung produk vektor:

6. Panjang vektor: cara termudah adalah dengan mengganti bahwa segmen adalah garis tengah segitiga, yang berarti sama dengan setengah alasnya. Maka.

7. Kami mempertimbangkan panjang produk vektor:

8. Akhirnya, cari jaraknya:

Fiuh, itu saja! Sejujurnya, saya akan memberi tahu Anda: menyelesaikan masalah ini dengan metode tradisional (melalui konstruksi) akan jauh lebih cepat. Tapi di sini saya mengurangi semuanya menjadi algoritma yang sudah jadi! Saya pikir algoritma solusi jelas bagi Anda? Karena itu, saya akan meminta Anda untuk menyelesaikan dua masalah yang tersisa sendiri. Bandingkan jawaban?

Sekali lagi, saya ulangi: lebih mudah (lebih cepat) untuk menyelesaikan masalah ini melalui konstruksi, daripada menggunakan metode koordinat. Saya mendemonstrasikan cara penyelesaian ini hanya untuk menunjukkan kepada Anda metode universal yang memungkinkan Anda untuk "tidak menyelesaikan apa pun".

Akhirnya, pertimbangkan kelas masalah terakhir:

Menghitung jarak antara garis miring

Di sini algoritma untuk memecahkan masalah akan mirip dengan yang sebelumnya. Apa yang kita miliki:

3. Setiap vektor yang menghubungkan titik-titik garis pertama dan kedua:

Bagaimana cara mencari jarak antar garis?

Rumusnya adalah:

Pembilang adalah modul dari produk campuran (kami memperkenalkannya di bagian sebelumnya), dan penyebut - seperti pada rumus sebelumnya (modul produk vektor dari vektor pengarah garis, jarak antara yang kita cari untuk).

Saya akan mengingatkan Anda bahwa

kemudian rumus jarak dapat ditulis ulang sebagai:

Bagilah determinan ini dengan determinan! Meskipun, sejujurnya, saya tidak ingin bercanda di sini! Rumus ini, pada kenyataannya, sangat rumit dan menyebabkan perhitungan yang agak rumit. Jika saya jadi Anda, saya hanya akan menggunakannya sebagai pilihan terakhir!

Mari kita coba selesaikan beberapa masalah dengan menggunakan metode di atas:

1. Pada prisma segitiga siku-siku, semua sisinya sama, tentukan jarak antara garis lurus dan.

2. Diketahui sebuah prisma segitiga siku-siku, semua rusuk os-no-va-niya seseorang sama dengan Se-che-tion, melewati rusuk yang lain dan rusuk se-re-di-nu adalah yav-la-et-sya persegi-ra-tom. Temukan-di-te dis-sto-I-nie antara straight-we-mi dan

Saya memutuskan yang pertama, dan berdasarkan itu, Anda memutuskan yang kedua!

1. Saya menggambar prisma dan menandai garis dan

Koordinat titik C: maka

Koordinat titik

Koordinat vektor

Koordinat titik

Koordinat vektor

Koordinat vektor

\[\left((B,\overrightarrow (A(A_1))) \overrightarrow (B(C_1)) ) \right) = \left| (\begin(array)(*(20)(l))(\begin(array)(*(20)(c))0&1&0\end(array))\\(\begin(array)(*(20) (c))0&0&1\end(array))\\(\begin(array)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \frac(1) (2))&1\end(array))\end(array)) \kanan| = \frac((\sqrt 3 ))(2)\]

Kami mempertimbangkan produk silang antara vektor dan

\[\overrightarrow (A(A_1)) \cdot \overrightarrow (B(C_1)) = \left| \begin(array)(l)\begin(array)(*(20)(c))(\overrightarrow i )&(\overrightarrow j )&(\overrightarrow k )\end(array)\\\begin(array )(*(20)(c))0&0&1\end(array)\\\mulai(array)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \ frac(1)(2))&1\end(array)\end(array) \kanan| - \frac((\sqrt 3 ))(2)\overrightarrow k + \frac(1)(2)\overrightarrow i \]

Sekarang kami mempertimbangkan panjangnya:

Menjawab:

Sekarang coba selesaikan tugas kedua dengan hati-hati. Jawabannya adalah:.

Koordinat dan vektor. Deskripsi singkat dan rumus dasar

Vektor adalah segmen berarah. - awal vektor, - akhir vektor.
Vektor dilambangkan dengan atau.

Nilai mutlak vektor - panjang segmen yang mewakili vektor. Ditunjuk sebagai.

Koordinat vektor:

,
di mana ujung vektor \displaystyle a .

Jumlah vektor: .

Hasil kali vektor:

Produk titik dari vektor:

Vektor adalah segmen yang memiliki arah tertentu. Baik awal dan akhir vektor memiliki posisi tetap, dengan bantuan arah vektor ditentukan. Mari kita lihat lebih dekat bagaimana membangun sebuah vektor dengan koordinat yang diberikan.

1. Gambar sistem koordinat (x, y, z) dalam ruang, tandai segmen tunggal pada sumbu.
2. Sisihkan koordinat yang diperlukan pada dua sumbu, tarik garis sejajar dengan sumbu dari mereka dengan garis putus-putus, hingga berpotongan. Titik potong akan dipelajari, yang harus dihubungkan dengan garis putus-putus ke titik asal.
3. Gambarlah sebuah vektor dari titik asal ke titik yang dihasilkan.
4. Sisihkan angka yang diinginkan pada sumbu ketiga, tarik garis putus-putus melalui titik ini, yang akan sejajar dengan vektor yang dibangun.
5. Dari ujung vektor, buatlah garis putus-putus yang sejajar dengan sumbu ketiga hingga berpotongan dengan garis dari titik sebelumnya.
6. Pada akhirnya, hubungkan asal koordinat dan titik yang dihasilkan.

Terkadang Anda perlu membuat vektor yang merupakan hasil penjumlahan atau pengurangan vektor lain. Oleh karena itu, sekarang kita akan melihat operasi dengan vektor, mempelajari cara menjumlahkan dan menguranginya.

Operasi pada vektor

Vektor geometris dapat ditambahkan dengan beberapa cara. Jadi, misalnya, cara paling umum untuk menjumlahkan vektor adalah aturan segitiga. Untuk menjumlahkan dua vektor menurut aturan ini, vektor-vektor tersebut perlu disusun sejajar satu sama lain sehingga awal vektor pertama bertepatan dengan akhir vektor kedua, sedangkan sisi ketiga dari segitiga yang dihasilkan akan menjadi vektor penjumlahan.

Dimungkinkan juga untuk menghitung jumlah vektor menggunakan aturan jajaran genjang. Vektor harus dimulai dari satu titik, sejajar dengan setiap vektor, Anda perlu menggambar garis sehingga Anda berakhir dengan jajaran genjang. Diagonal jajar genjang yang dibangun akan menjadi jumlah dari vektor-vektor ini.

Untuk mengurangi dua vektor, Anda perlu menambahkan vektor pertama dan vektor yang berlawanan dengan vektor kedua. Untuk ini, digunakan juga aturan segitiga, yang memiliki rumusan sebagai berikut: selisih vektor yang ditranslasikan sedemikian rupa sehingga awal mulanya bertepatan adalah vektor yang awalnya bertepatan dengan akhir vektor yang akan dikurangkan, serta akhir dari vektor tereduksi.

Vektor adalah segmen yang memiliki arah tertentu. Baik awal dan akhir vektor memiliki posisi tetap, dengan bantuan arah vektor ditentukan. Mari kita lihat lebih dekat bagaimana membangun sebuah vektor dengan koordinat yang diberikan.

1. Gambar sistem koordinat (x, y, z) dalam ruang, tandai segmen tunggal pada sumbu.
2. Sisihkan koordinat yang diperlukan pada dua sumbu, tarik garis sejajar dengan sumbu dari mereka dengan garis putus-putus, hingga berpotongan. Titik potong akan dipelajari, yang harus dihubungkan dengan garis putus-putus ke titik asal.
3. Gambarlah sebuah vektor dari titik asal ke titik yang dihasilkan.
4. Sisihkan angka yang diinginkan pada sumbu ketiga, tarik garis putus-putus melalui titik ini, yang akan sejajar dengan vektor yang dibangun.
5. Dari ujung vektor, buatlah garis putus-putus yang sejajar dengan sumbu ketiga hingga berpotongan dengan garis dari titik sebelumnya.
6. Pada akhirnya, hubungkan asal koordinat dan titik yang dihasilkan.

Terkadang Anda perlu membuat vektor yang merupakan hasil penjumlahan atau pengurangan vektor lain. Oleh karena itu, sekarang kita akan melihat operasi dengan vektor, mempelajari cara menjumlahkan dan menguranginya.

Operasi pada vektor

Vektor geometris dapat ditambahkan dengan beberapa cara. Jadi, misalnya, cara paling umum untuk menjumlahkan vektor adalah aturan segitiga. Untuk menjumlahkan dua vektor menurut aturan ini, vektor-vektor tersebut perlu disusun sejajar satu sama lain sehingga awal vektor pertama bertepatan dengan akhir vektor kedua, sedangkan sisi ketiga dari segitiga yang dihasilkan akan menjadi vektor penjumlahan.

Dimungkinkan juga untuk menghitung jumlah vektor menggunakan aturan jajaran genjang. Vektor harus dimulai dari satu titik, sejajar dengan setiap vektor, Anda perlu menggambar garis sehingga Anda berakhir dengan jajaran genjang. Diagonal jajar genjang yang dibangun akan menjadi jumlah dari vektor-vektor ini.

Untuk mengurangi dua vektor, Anda perlu menambahkan vektor pertama dan vektor yang berlawanan dengan vektor kedua. Untuk ini, digunakan juga aturan segitiga, yang memiliki rumusan sebagai berikut: selisih vektor yang ditranslasikan sedemikian rupa sehingga awal mulanya bertepatan adalah vektor yang awalnya bertepatan dengan akhir vektor yang akan dikurangkan, serta akhir dari vektor tereduksi.

Perhatian, hanya HARI INI!

LAINNYA

Untuk melakukan operasi penjumlahan vektor, ada beberapa cara yang, tergantung pada situasi ...

Vektor adalah objek matematika yang dicirikan oleh arah dan besaran. Dalam geometri, vektor adalah...

Dalam matematika, vektor dipahami sebagai segmen dengan panjang tertentu, memiliki arah dan koordinat pada sumbu X, Y, Z. Soal ...

Sudut antara dua vektor yang keluar dari titik yang sama adalah sudut terdekat, belokan yang olehnya vektor pertama...

Jika Anda mengetahui koordinat spasial dua titik atau lebih dalam sistem tertentu, maka tugasnya adalah: bagaimana menemukan panjang ...

Panjang segmen dapat ditentukan dengan berbagai cara. Untuk mengetahui cara mencari panjang segmen, cukup dengan ...

Percepatan adalah laju perubahan kecepatan. Besaran ini adalah vektor, memiliki arah sendiri dan diukur dalam m / s 2 (dalam ...

Dengan bantuan aturan gimlet, arah garis magnet ditentukan (dengan cara lain mereka juga disebut garis magnet ...

Dalam gambar, gambar benda geometris dibangun menggunakan metode proyeksi. Tapi untuk gambar yang satu ini...

Kata "ordinat" berasal dari bahasa Latin "ordinatus" - "diatur dalam urutan." Oordinatnya murni matematis ...

Modulus suatu bilangan disebut juga nilai mutlak dari bilangan tersebut. Dalam hal di bawah tanda modul adalah ...

Untuk mencari koordinat titik sudut segitiga sama sisi, jika koordinat dua titik lainnya diketahui, ...

Anda bertanya-tanya bagaimana Anda dapat menghitung dan menemukan garis tengah segitiga. Kalau begitu mari kita mulai bisnis. Temukan panjang garis tengah ...

Mari kita pertimbangkan lebih detail apa itu percepatan dalam fisika? Ini adalah pesan ke tubuh kecepatan tambahan per satuan waktu. ...

Sebelum kita mempelajari cara mencari luas jajar genjang, kita perlu mengingat apa itu jajar genjang dan apa…