- determinan matriks A dihitung;
- melalui penambahan aljabar, matriks invers A -1 ditemukan;
- templat solusi dibuat di Excel;
Petunjuk. Untuk mendapatkan solusi dengan metode matriks terbalik, perlu untuk menentukan dimensi matriks. Selanjutnya, pada kotak dialog baru, isikan matriks A dan vektor hasil B .
Lihat juga Solusi persamaan matriks.Algoritma solusi
- Determinan matriks A dihitung. Jika determinannya adalah nol, maka akhir dari solusi. Sistem memiliki jumlah solusi yang tidak terbatas.
- Ketika determinan berbeda dari nol, matriks invers A -1 ditemukan melalui penjumlahan aljabar.
- Vektor keputusan X =(x 1 , x 2 , ..., x n ) diperoleh dengan mengalikan matriks invers dengan vektor hasil B .
Penambahan aljabar.
| A 1.1 = (-1) 1+1 |
| ∆ 1,1 = (1 (-2)-0 2) = -2 |
| A 1,2 = (-1) 1+2 |
| ∆ 1,2 = -(3 (-2)-1 2) = 8 |
| A 1,3 = (-1) 1+3 |
| ∆ 1,3 = (3 0-1 1) = -1 |
| A 2.1 = (-1) 2+1 |
| ∆ 2,1 = -(-2 (-2)-0 1) = -4 |
| A 2.2 = (-1) 2+2 |
| ∆ 2,2 = (2 (-2)-1 1) = -5 |
| A 2,3 = (-1) 2+3 |
| ∆ 2,3 = -(2 0-1 (-2)) = -2 |
| A 3.1 = (-1) 3+1 |
| ∆ 3,1 = (-2 2-1 1) = -5 |
| 3 |
| -2 |
| -1 |
X T = (1,0,1)
x 1 = -21 / -21 = 1
x 2 = 0 / -21 = 0
x 3 = -21 / -21 = 1
Penyelidikan:
2 1+3 0+1 1 = 3
-2 1+1 0+0 1 = -2
1 1+2 0+-2 1 = -1
Topik 2. SISTEM PERSAMAAN ALJABAR LINEAR.
Konsep dasar.
Definisi 1. sistem m persamaan linier dengan n tidak diketahui adalah sistem dengan bentuk:
di mana dan adalah angka.
Definisi 2. Penyelesaian sistem (I) adalah himpunan yang tidak diketahui, di mana setiap persamaan sistem ini berubah menjadi identitas.
Definisi 3. Sistem (I) disebut persendian jika memiliki setidaknya satu solusi dan tidak cocok jika tidak memiliki solusi. Sistem gabungan disebut yakin jika memiliki solusi unik, dan tidak pasti sebaliknya.
Definisi 4. Ketik persamaan
ditelepon nol, dan persamaan bentuk
ditelepon tidak cocok. Jelas, sistem persamaan yang mengandung persamaan yang tidak konsisten adalah tidak konsisten.
Definisi 5. Kedua sistem persamaan linear disebut setara jika setiap solusi dari satu sistem adalah solusi dari yang lain dan, sebaliknya, setiap solusi dari sistem kedua adalah solusi dari yang pertama.
Notasi matriks untuk sistem persamaan linear.
Pertimbangkan sistem (I) (lihat 1).
Menunjukkan:
Matriks koefisien untuk yang tidak diketahui
Matriks - kolom anggota gratis
Matriks - kolom yang tidak diketahui
.
Definisi 1. Matriks disebut matriks utama sistem(I), dan matriksnya adalah matriks yang diperbesar dari sistem (I).
Dengan definisi kesetaraan matriks, sistem (I) sesuai dengan kesetaraan matriks:
.
Ruas kanan persamaan ini dengan definisi produk matriks ( lihat definisi 3 5 bab 1) dapat difaktorkan:
, yaitu
Persamaan (2) ditelepon notasi matriks sistem (I).
Memecahkan sistem persamaan linear dengan metode Cramer.
Biarkan dalam sistem (I) (lihat 1) m=n, yaitu jumlah persamaan sama dengan jumlah yang tidak diketahui, dan matriks utama sistem adalah nondegenerate, mis. . Kemudian sistem (I) dari 1 memiliki solusi unik
dimana = det A disebut utama penentu sistem(saya), saya diperoleh dari determinan dengan mengganti saya kolom -th ke kolom anggota bebas sistem (I).
Contoh Memecahkan sistem dengan metode Cramer:
.
Dengan rumus (3)
.
Kami menghitung determinan sistem:
,
,
.
Untuk mendapatkan determinan, kita telah mengganti kolom pertama dalam determinan dengan kolom anggota bebas; mengganti kolom ke-2 dalam determinan dengan kolom anggota bebas, kita peroleh ; dengan cara yang sama, mengganti kolom ke-3 dalam determinan dengan kolom anggota bebas, kita peroleh . Solusi sistem:
Memecahkan sistem persamaan linier menggunakan matriks terbalik.
Biarkan dalam sistem (I) (lihat 1) m=n dan matriks utama sistem adalah nondegenerate. Kami menulis sistem (I) dalam bentuk matriks ( lihat 2):
karena matriks A tidak berdegenerasi, maka matriks tersebut memiliki matriks invers ( lihat Teorema 1 6 dari Bab 1). Kalikan kedua ruas persamaan (2) ke matriks, maka
Dengan definisi matriks terbalik . Dari kesetaraan (3) kita punya
Selesaikan sistem menggunakan matriks terbalik
.
Menunjukkan
Dalam contoh (§ 3) kami menghitung determinan , oleh karena itu, matriks A memiliki matriks terbalik. Kemudian berlaku (4) , yaitu
. (5)
Tentukan matriks ( lihat 6 bab 1)
, 
, 
,
, 
, 
,
,
.
metode Gauss.
Biarkan sistem persamaan linier diberikan:
. (SAYA)
Diperlukan untuk menemukan semua solusi dari sistem (I) atau untuk memastikan bahwa sistem tidak konsisten.
Definisi 1.Mari kita sebut transformasi dasar dari sistem(I) salah satu dari tiga tindakan:
1) penghapusan persamaan nol;
2) menambahkan ke kedua bagian persamaan bagian yang sesuai dari persamaan lainnya, dikalikan dengan angka l;
3) menukar suku-suku dalam persamaan sistem sehingga bilangan yang tidak diketahui dengan bilangan yang sama pada semua persamaan menempati tempat yang sama, yaitu. jika, misalnya, dalam persamaan ke-1 kita mengubah suku ke-2 dan ke-3, maka hal yang sama harus dilakukan di semua persamaan sistem.
Metode Gauss terdiri dari fakta bahwa sistem (I) dengan bantuan transformasi dasar direduksi menjadi sistem yang setara, yang solusinya ditemukan secara langsung atau ketidakterpecahannya ditetapkan.
Seperti dijelaskan dalam 2, sistem (I) ditentukan secara unik oleh matriks yang diperluas, dan setiap transformasi dasar dari sistem (I) sesuai dengan transformasi dasar dari matriks yang diperluas:
.
Transformasi 1) sesuai dengan menghapus baris nol dalam matriks , transformasi 2) setara dengan menambahkan ke baris yang sesuai dari matriks baris lainnya dikalikan dengan angka l, transformasi 3) setara dengan menata ulang kolom dalam matriks .
Sangat mudah untuk melihat bahwa, sebaliknya, setiap transformasi elementer dari matriks berhubungan dengan transformasi elementer dari sistem (I). Mengingat apa yang telah dikatakan, alih-alih operasi dengan sistem (I), kami akan bekerja dengan matriks yang diperbesar dari sistem ini.
Dalam matriks, kolom 1 terdiri dari koefisien di x 1, kolom ke-2 - dari koefisien di x 2 dll. Dalam hal penataan ulang kolom, harus diperhitungkan bahwa kondisi ini dilanggar. Misalnya, jika kita menukar kolom 1 dan 2, maka sekarang di kolom 1 akan ada koefisien di x 2, dan di kolom ke-2 - koefisien di x 1.
Kami akan menyelesaikan sistem (I) dengan metode Gauss.
1. Coret semua baris nol dalam matriks, jika ada (yaitu, coret semua persamaan nol dalam sistem (I).
2. Periksa apakah ada baris di antara baris-baris matriks di mana semua elemen kecuali yang terakhir sama dengan nol (sebut saja baris seperti itu tidak konsisten). Jelas, garis seperti itu sesuai dengan persamaan yang tidak konsisten dalam sistem (I), oleh karena itu, sistem (I) tidak memiliki solusi, dan di sinilah proses berakhir.
3. Biarkan matriks tidak mengandung baris yang tidak konsisten (sistem (I) tidak mengandung persamaan yang tidak konsisten). Jika sebuah a 11 = 0, kemudian kami menemukan di baris pertama beberapa elemen (kecuali yang terakhir) yang berbeda dari nol dan mengatur ulang kolom sehingga tidak ada nol di baris pertama di tempat pertama. Sekarang kita asumsikan bahwa (yaitu, kita menukar suku-suku yang bersesuaian dalam persamaan sistem (I)).
4. Kalikan baris ke-1 dengan dan tambahkan hasilnya ke baris ke-2, kemudian kalikan baris ke-1 dan tambahkan hasilnya ke baris ke-3, dst. Jelas, proses ini setara dengan menghilangkan yang tidak diketahui x 1 dari semua persamaan sistem (I), kecuali yang pertama. Dalam matriks baru, kita mendapatkan nol di kolom 1 di bawah elemen 11:
.
5. Coret semua baris nol dalam matriks, jika ada, periksa apakah ada baris yang tidak konsisten (jika ada, maka sistem tidak konsisten dan penyelesaiannya berakhir di sana). Mari kita periksa apakah a 22 / =0, jika ya, maka kami menemukan elemen di baris ke-2 yang berbeda dari nol dan mengatur ulang kolom sehingga . Selanjutnya, kita kalikan elemen baris ke-2 dengan 
dan tambahkan dengan elemen yang sesuai dari baris ke-3, lalu - elemen dari baris ke-2 dan tambahkan dengan elemen yang sesuai dari baris ke-4, dll., sampai kita mendapatkan nol di bawah sebuah 22 /
.
Tindakan yang dilakukan setara dengan penghapusan yang tidak diketahui x 2 dari semua persamaan sistem (I), kecuali persamaan pertama dan kedua. Karena jumlah baris terbatas, oleh karena itu, setelah sejumlah langkah yang terbatas, kita akan mendapatkan bahwa sistem tidak konsisten, atau kita akan sampai pada matriks langkah ( lihat definisi 2 7 bab 1) :
,
Mari kita tuliskan sistem persamaan yang bersesuaian dengan matriks . Sistem ini setara dengan sistem (I)
.
Dari persamaan terakhir kita nyatakan ; kita substitusikan ke persamaan sebelumnya, cari, dll., sampai kita dapatkan .
Catatan 1. Jadi, ketika memecahkan sistem (I) dengan metode Gauss, kita sampai pada salah satu kasus berikut.
1. Sistem (I) tidak konsisten.
2. Sistem (I) memiliki solusi unik jika jumlah baris dalam matriks sama dengan jumlah yang tidak diketahui ().
3. Sistem (I) memiliki jumlah solusi tak hingga jika jumlah baris dalam matriks kurang dari jumlah yang tidak diketahui ().
Oleh karena itu teorema berikut berlaku.
Dalil. Sistem persamaan linier tidak konsisten, atau memiliki solusi unik, atau ada himpunan solusi tak terbatas.
Contoh. Selesaikan sistem persamaan dengan metode Gauss atau buktikan inkonsistensinya:
b) 
;
a) Mari kita tulis ulang sistem yang diberikan dalam bentuk:
.
Kami menukar persamaan 1 dan 2 dari sistem asli untuk menyederhanakan perhitungan (sebagai ganti pecahan, kami hanya akan beroperasi dengan bilangan bulat menggunakan permutasi seperti itu).
Kami membuat matriks yang diperluas:
.
Tidak ada baris nol; tidak ada garis yang tidak kompatibel, ; kami mengecualikan yang pertama tidak diketahui dari semua persamaan sistem, kecuali yang pertama. Untuk melakukan ini, kami mengalikan elemen baris ke-1 matriks dengan "-2" dan menambahkannya ke elemen yang sesuai dari baris ke-2, yang setara dengan mengalikan persamaan pertama dengan "-2" dan menambahkannya ke persamaan ke-2. Kemudian kami mengalikan elemen baris pertama dengan "-3" dan menambahkannya ke elemen yang sesuai dari baris ketiga, mis. kalikan persamaan ke-2 dari sistem yang diberikan dengan "-3" dan tambahkan ke persamaan ke-3. Mendapatkan
.
Matriks sesuai dengan sistem persamaan). - (lihat Definisi 3 7 dari Bab 1).
Sistem persamaan linier m dengan n tidak diketahui disebut sistem bentuk
di mana aij dan b saya (saya=1,…,m; b=1,…,n) adalah beberapa bilangan yang diketahui, dan x 1 ,…,x n- tidak dikenal. Dalam notasi koefisien aij indeks pertama saya menunjukkan jumlah persamaan, dan yang kedua j adalah jumlah yang tidak diketahui di mana koefisien ini berdiri.
Koefisien untuk yang tidak diketahui akan ditulis dalam bentuk matriks 
, yang akan kita sebut matriks sistem.
Angka-angka di sisi kanan persamaan b 1 ,…,b m ditelepon anggota gratis.
Agregat n angka c 1 ,…,c n ditelepon keputusan dari sistem ini, jika setiap persamaan sistem menjadi persamaan setelah memasukkan angka ke dalamnya c 1 ,…,c n alih-alih yang tidak diketahui yang sesuai x 1 ,…,x n.
Tugas kita adalah menemukan solusi untuk sistem. Dalam hal ini, tiga situasi mungkin muncul:
Sistem persamaan linear yang memiliki paling sedikit satu penyelesaian disebut persendian. Jika tidak, yaitu jika sistem tidak memiliki solusi, maka itu disebut tidak cocok.
Pertimbangkan cara untuk menemukan solusi untuk sistem.
METODE MATRIKS UNTUK MENYELESAIKAN SISTEM PERSAMAAN LINIER
Matriks memungkinkan untuk secara singkat menuliskan sistem persamaan linier. Biarkan sistem 3 persamaan dengan tiga tidak diketahui diberikan:
Perhatikan matriks sistem 
dan kolom matriks dari anggota yang tidak dikenal dan anggota bebas 
Ayo temukan produknya
itu. sebagai hasil dari produk, kami memperoleh sisi kiri dari persamaan sistem ini. Kemudian, dengan menggunakan definisi persamaan matriks, sistem ini dapat ditulis sebagai
atau lebih pendek A∙X=B.
Di sini matriks A dan B diketahui, dan matriks X tidak dikenal. Dia perlu ditemukan, karena. elemen-elemennya adalah solusi dari sistem ini. Persamaan ini disebut persamaan matriks.
Biarkan determinan matriks berbeda dari nol | A| 0. Kemudian persamaan matriks diselesaikan sebagai berikut. Kalikan kedua ruas persamaan di sebelah kiri dengan matriks A-1, invers matriks A: . Sejauh A -1 A = E dan E∙X=X, maka kita peroleh solusi persamaan matriks dalam bentuk X = A -1 B .
Perhatikan bahwa karena matriks invers hanya dapat ditemukan untuk matriks persegi, metode matriks hanya dapat menyelesaikan sistem di mana jumlah persamaan sama dengan jumlah yang tidak diketahui. Namun, notasi matriks sistem juga dimungkinkan dalam kasus ketika jumlah persamaan tidak sama dengan jumlah yang tidak diketahui, maka matriks A tidak persegi dan oleh karena itu tidak mungkin untuk menemukan solusi untuk sistem dalam bentuk X = A -1 B.
Contoh. Memecahkan sistem persamaan.
ATURAN CRAMER
Pertimbangkan sistem 3 persamaan linier dengan tiga tidak diketahui:
Determinan orde ketiga yang sesuai dengan matriks sistem, yaitu. terdiri dari koefisien yang tidak diketahui,
ditelepon penentu sistem.
Kami menyusun tiga determinan lagi sebagai berikut: kami mengganti berturut-turut 1, 2 dan 3 kolom dalam determinan D dengan kolom istilah bebas
Kemudian kita dapat membuktikan hasil berikut.
Teorema (aturan Cramer). Jika determinan sistem adalah 0, maka sistem yang ditinjau memiliki satu dan hanya satu solusi, dan
Bukti. Jadi, pertimbangkan sistem 3 persamaan dengan tiga tidak diketahui. Kalikan persamaan pertama sistem dengan komplemen aljabar A 11 elemen 11, persamaan ke-2 - pada A21 dan ke-3 - pada 31:
Mari kita tambahkan persamaan ini:
Perhatikan masing-masing tanda kurung dan ruas kanan persamaan ini. Dengan teorema tentang perluasan determinan dalam hal elemen-elemen kolom ke-1
Demikian pula, dapat ditunjukkan bahwa dan .
Akhirnya, mudah untuk melihatnya 
Dengan demikian, kita mendapatkan persamaan: .
Karena itu, .
Persamaan dan diturunkan dengan cara yang sama, dari mana penegasan teorema berikut.
Jadi, kita perhatikan bahwa jika determinan sistem adalah 0, maka sistem tersebut memiliki solusi unik dan sebaliknya. Jika determinan sistem sama dengan nol, maka sistem tersebut memiliki himpunan solusi tak hingga atau tidak memiliki solusi, mis. tidak kompatibel.
Contoh. Memecahkan sistem persamaan
METODE GAUSS
Metode yang dipertimbangkan sebelumnya hanya dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem di mana jumlah persamaan bertepatan dengan jumlah yang tidak diketahui, dan determinan sistem harus berbeda dari nol. Metode Gaussian lebih universal dan cocok untuk sistem dengan sejumlah persamaan. Ini terdiri dari penghapusan berturut-turut yang tidak diketahui dari persamaan sistem.
Pertimbangkan lagi sistem tiga persamaan dengan tiga tidak diketahui:
.
Kami membiarkan persamaan pertama tidak berubah, dan dari persamaan ke-2 dan ke-3 kami mengecualikan suku-suku yang mengandung x 1. Untuk melakukan ini, kita membagi persamaan kedua dengan sebuah 21 dan kalikan dengan - sebuah 11 lalu dijumlahkan dengan persamaan pertama. Demikian pula, kami membagi persamaan ketiga menjadi sebuah 31 dan kalikan dengan - sebuah 11 dan kemudian tambahkan ke yang pertama. Akibatnya, sistem asli akan berbentuk:
Sekarang, dari persamaan terakhir, kami menghilangkan istilah yang mengandung x2. Untuk melakukannya, bagi persamaan ketiga dengan , kalikan dengan dan tambahkan ke persamaan kedua. Maka kita akan memiliki sistem persamaan:
Oleh karena itu dari persamaan terakhir mudah untuk menemukan x 3, maka dari persamaan ke-2 x2 dan akhirnya dari tanggal 1 - x 1.
Saat menggunakan metode Gaussian, persamaan dapat dipertukarkan jika perlu.
Seringkali, alih-alih menulis sistem persamaan baru, mereka membatasi diri untuk menulis matriks yang diperluas dari sistem:
dan kemudian membawanya ke bentuk segitiga atau diagonal menggunakan transformasi dasar.
Ke transformasi dasar matriks termasuk transformasi berikut:
- permutasi baris atau kolom;
- mengalikan string dengan angka bukan nol;
- menambahkan ke satu baris baris lainnya.
Contoh: Memecahkan sistem persamaan menggunakan metode Gauss.
Dengan demikian, sistem memiliki jumlah solusi yang tak terbatas.
Mempertimbangkan sistem persamaan aljabar linier(SLOW) tentang n tidak dikenal x 1 , x 2 , ..., x n :
Sistem ini dalam bentuk "dilipat" dapat ditulis sebagai berikut:
S n saya = 1 sebuah aku j x j = b saya , i=1,2, ..., n.
Sesuai dengan aturan perkalian matriks, sistem persamaan linear yang dipertimbangkan dapat ditulis dalam bentuk matriks kapak = b, di mana
,
,.
Matriks A, yang kolom-kolomnya adalah koefisien untuk yang tidak diketahui yang bersesuaian, dan baris-barisnya adalah koefisien untuk yang tidak diketahui dalam persamaan yang sesuai disebut matriks sistem. matriks kolom b, yang elemen-elemennya merupakan bagian kanan dari persamaan sistem, disebut matriks bagian kanan atau secara sederhana sisi kanan sistem. matriks kolom x , yang unsur-unsurnya tidak diketahui tidak diketahui, disebut solusi sistem.
Sistem persamaan aljabar linier ditulis sebagai kapak = b, adalah persamaan matriks.
Jika matriks sistem tidak merosot, maka ia memiliki matriks terbalik, dan kemudian solusi dari sistem kapak = b diberikan oleh rumus:
x=A -1 b.
Contoh Memecahkan sistem 
metode matriks.
Keputusan temukan matriks invers untuk matriks koefisien sistem
Hitung determinan dengan memperluas baris pertama:
Sejauh Δ ≠ 0 , kemudian A -1 ada.
Matriks terbalik ditemukan dengan benar.
Mari kita cari solusi untuk sistem 
Karena itu, x 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = 3 .
Penyelidikan: 
7. Teorema Kronecker-Capelli tentang kompatibilitas sistem persamaan aljabar linier.
Sistem persamaan linear seperti:
a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2 , (5.1)
a m1 x 1 + a m1 x 2 +... + a mn x n = b m .
Di sini a i j dan b i (i = ; j = ) diberikan, dan x j adalah bilangan real yang tidak diketahui. Dengan menggunakan konsep perkalian matriks, kita dapat menulis ulang sistem (5.1) dalam bentuk:
di mana A = (a i j) adalah matriks yang terdiri dari koefisien yang tidak diketahui dari sistem (5.1), yang disebut matriks sistem, X = (x 1 , x 2 ,..., x n) T , B = (b 1 , b 2 ,..., b m) Vektor kolom T terdiri dari x j dan suku bebas b i .
Koleksi yang dipesan n bilangan real (c 1 , c 2 ,..., c n) disebut solusi sistem(5.1) jika sebagai akibat dari substitusi angka-angka ini, bukan variabel yang sesuai x 1 , x 2 ,..., x n setiap persamaan sistem berubah menjadi identitas aritmatika; dengan kata lain, jika terdapat sebuah vektor C= (c 1 , c 2 ,..., c n) T sedemikian sehingga AC B.
Sistem (5.1) disebut persendian, atau larut jika memiliki setidaknya satu solusi. Sistem tersebut disebut tidak kompatibel, atau tidak larut jika tidak memiliki solusi.
,
dibentuk dengan memberikan kolom istilah bebas ke matriks A di sebelah kanan, disebut sistem matriks yang diperluas.
Soal kompatibilitas sistem (5.1) diselesaikan dengan teorema berikut.
Teorema Kronecker-Capelli . Sistem persamaan linear konsisten jika dan hanya jika barisan matriks A dan A bertepatan, yaitu. r(A) = r(A) = r.
Untuk himpunan M solusi sistem (5.1), ada tiga kemungkinan:
1) M = (dalam hal ini sistem tidak konsisten);
2) M terdiri dari satu elemen, yaitu sistem memiliki solusi unik (dalam hal ini sistem disebut yakin);
3) M terdiri dari lebih dari satu elemen (maka sistem ini disebut tidak pasti). Dalam kasus ketiga, sistem (5.1) memiliki jumlah solusi yang tak terbatas.
Sistem memiliki solusi unik hanya jika r(A) = n. Dalam hal ini, jumlah persamaan tidak kurang dari jumlah yang tidak diketahui (mn); jika m>n, maka persamaan m-n adalah konsekuensi dari yang lainnya. Jika 0 Untuk menyelesaikan sistem persamaan linear arbitrer, seseorang harus dapat menyelesaikan sistem yang jumlah persamaannya sama dengan jumlah yang tidak diketahui, yang disebut Sistem tipe Cramer: a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 , a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2 , (5.3) ...
... ... ...
... ... a n1 x 1 + a n1 x 2 +... + a nn x n = b n . Sistem (5.3) diselesaikan dengan salah satu cara berikut: 1) dengan metode Gauss, atau dengan metode menghilangkan yang tidak diketahui; 2) menurut rumus Cramer; 3) dengan metode matriks. Contoh 2.12. Selidiki sistem persamaan dan selesaikan jika kompatibel: 5x 1 - x 2 + 2x 3 + x 4 = 7, 2x1 + x2 + 4x3 - 2x4 = 1, x 1 - 3x 2 - 6x 3 + 5x 4 = 0. Keputusan. Kami menulis matriks yang diperluas dari sistem:
Mari kita hitung rank matriks utama dari sistem. Jelas bahwa, misalnya, minor orde kedua di sudut kiri atas = 7 0; minor orde ketiga yang mengandungnya sama dengan nol: Oleh karena itu, pangkat dari matriks utama sistem adalah 2, yaitu. r(A) = 2. Untuk menghitung pangkat dari matriks yang diperluas A, pertimbangkan minor pembatas maka, pangkat dari matriks yang diperluas adalah r(A) = 3. Karena r(A) r(A), sistem tidak konsisten. (kadang-kadang metode ini juga disebut metode matriks atau metode matriks terbalik) memerlukan pengenalan terlebih dahulu dengan konsep seperti bentuk matriks penulisan SLAE. Metode matriks terbalik dimaksudkan untuk menyelesaikan sistem persamaan aljabar linier yang determinan matriks sistemnya bukan nol. Secara alami, ini menyiratkan bahwa matriks sistem adalah persegi (konsep determinan hanya ada untuk matriks persegi). Inti dari metode matriks terbalik dapat dinyatakan dalam tiga poin: Setiap SLAE dapat ditulis dalam bentuk matriks sebagai $A\cdot X=B$, di mana $A$ adalah matriks sistem, $B$ adalah matriks suku bebas, $X$ adalah matriks yang tidak diketahui. Biarkan matriks $A^(-1)$ ada. Kalikan kedua ruas persamaan $A\cdot X=B$ dengan matriks $A^(-1)$ di sebelah kiri: $$A^(-1)\cdot A\cdot X=A^(-1)\cdot B.$$ Karena $A^(-1)\cdot A=E$ ($E$ adalah matriks identitas), maka persamaan yang ditulis di atas menjadi: $$E\cdot X=A^(-1)\cdot B.$$ Karena $E\cdot X=X$, maka: $$X=A^(-1)\cdot B.$$ Contoh 1 Selesaikan SLAE $ \left \( \begin(aligned) & -5x_1+7x_2=29;\\ & 9x_1+8x_2=-11. \end(aligned) \right.$ menggunakan matriks invers. $$ A=\left(\begin(array) (cc) -5 & 7\\ 9 & 8 \end(array)\right);\; B=\left(\begin(array) (c) 29\\ -11 \end(array)\right);\; X=\kiri(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \end(array)\kanan). $$ Mari kita cari matriks invers ke matriks sistem, mis. hitung $A^(-1)$. Dalam contoh #2 $$ A^(-1)=-\frac(1)(103)\cdot\left(\begin(array)(cc) 8 & -7\\ -9 & -5\end(array)\right) . $$ Sekarang mari kita substitusikan ketiga matriks ($X$, $A^(-1)$, $B$) ke dalam persamaan $X=A^(-1)\cdot B$. Kemudian kita melakukan perkalian matriks $$ \left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \end(array)\right)= -\frac(1)(103)\cdot\left(\begin(array)(cc) 8 & -7\\ -9 & -5\end(array)\right)\cdot \left(\begin(array) (c) 29\\ -11 \end(array)\right)=\\ =-\frac (1)(103)\cdot \left(\begin(array) (c) 8\cdot 29+(-7)\cdot (-11)\\ -9\cdot 29+(-5)\cdot (- 11) \end(array)\right)= -\frac(1)(103)\cdot \left(\begin(array) (c) 309\\ -206 \end(array)\right)=\left( \begin(array) (c) -3\\ 2\end(array)\kanan). $$ Jadi kita mendapatkan $\left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \end(array)\right)=\left(\begin(array) (c) -3\\ 2\end(array )\ kanan)$. Dari persamaan ini kita mendapatkan: $x_1=-3$, $x_2=2$. Menjawab: $x_1=-3$, $x_2=2$. Contoh #2 Memecahkan SLAE $ \left\(\begin(aligned) & x_1+7x_2+3x_3=-1;\\ & -4x_1+9x_2+4x_3=0;\\ & 3x_2+2x_3=6. \end(aligned)\right .$ dengan metode matriks terbalik. Mari kita tuliskan matriks sistem $A$, matriks suku bebas $B$ dan matriks yang tidak diketahui $X$. $$ A=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 7 & 3\\ -4 & 9 & 4 \\0 & 3 & 2\end(array)\right);\; B=\kiri(\begin(array) (c) -1\\0\\6\end(array)\kanan);\; X=\kiri(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(array)\kanan). $$ Sekarang saatnya mencari matriks invers dari matriks sistem, yaitu temukan $A^(-1)$. Pada contoh #3 pada halaman yang didedikasikan untuk mencari matriks invers, matriks invers telah ditemukan. Mari kita gunakan hasil yang sudah jadi dan tulis $A^(-1)$: $$ A^(-1)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & - 3 & 37\end(array)\kanan). $$ Sekarang kita substitusikan ketiga matriks ($X$, $A^(-1)$, $B$) menjadi persamaan $X=A^(-1)\cdot B$, setelah itu kita lakukan perkalian matriks di sebelah kanan sisi kesetaraan ini. $$ \left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(array)\right)= \frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(array) \kanan)\cdot \left(\begin(array) (c) -1\\0\ \6\end(array)\right)=\\ =\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (c) 6\cdot(-1)+(-5)\cdot 0 +1\cdot 6 \\ 8\cdot (-1)+2\cdot 0+(-16)\cdot 6 \\ -12\cdot (-1)+(-3)\cdot 0+37\cdot 6 \end(array)\right)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (c) 0\\-104\\234\end(array)\right)=\left( \begin(array) (c) 0\\-4\\9\end(array)\right) $$ Jadi kita mendapatkan $\left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(array)\right)=\left(\begin(array) (c) 0\\-4\ \9 \end(array)\kanan)$. Dari persamaan ini kita mendapatkan: $x_1=0$, $x_2=-4$, $x_3=9$.
.
