Biarkan fungsinya y=f(X) kontinu pada segmen [ a, b]. Seperti diketahui, fungsi seperti itu mencapai nilai maksimum dan minimumnya pada interval ini. Fungsi dapat mengambil nilai-nilai ini baik pada titik interior segmen [ a, b], atau pada batas segmen.

Untuk menemukan nilai terbesar dan terkecil dari suatu fungsi pada segmen [ a, b] diperlukan:

1) temukan titik kritis fungsi dalam interval ( a, b);

2) menghitung nilai fungsi pada titik kritis yang ditemukan;

3) hitung nilai fungsi di ujung segmen, yaitu untuk x=sebuah dan x = b;

4) dari semua nilai fungsi yang dihitung, pilih yang terbesar dan terkecil.

Contoh. Menemukan nilai terbesar dan terkecil dari suatu fungsi

pada segmen.

Menemukan titik kritis:

Titik-titik ini terletak di dalam segmen; kamu(1) = ‒ 3; kamu(2) = ‒ 4; kamu(0) = ‒ 8; kamu(3) = 1;

pada intinya x= 3 dan pada titik x= 0.

Penyelidikan fungsi kecembungan dan titik belok.

Fungsi kamu = f (x) ditelepon cembung diantara (sebuah, b) , jika grafiknya terletak di bawah garis singgung yang ditarik pada sembarang titik dari interval ini, dan disebut cembung ke bawah (cekung) jika grafiknya terletak di atas garis singgung.

Titik transisi dimana kecembungan digantikan oleh kecekungan atau sebaliknya disebut titik belok.

Algoritma untuk mempelajari konveksitas dan titik belok:

1. Temukan titik kritis jenis kedua, yaitu titik di mana turunan kedua sama dengan nol atau tidak ada.

2. Letakkan titik-titik kritis pada garis bilangan, pecah menjadi beberapa interval. Temukan tanda turunan kedua pada setiap interval; jika , maka fungsi tersebut cembung ke atas, jika, maka fungsi tersebut cembung ke bawah.

3. Jika pada saat melewati titik kritis jenis kedua berubah tanda dan pada titik ini turunan kedua sama dengan nol, maka titik tersebut merupakan absis dari titik belok. Temukan ordinatnya.

Asimtot dari grafik suatu fungsi. Penyelidikan fungsi menjadi asimtot.

Definisi. Asimtot dari grafik suatu fungsi disebut lurus, yang memiliki sifat bahwa jarak dari sembarang titik grafik ke garis ini cenderung nol dengan penghilangan titik grafik yang tidak terbatas dari titik asal.

Ada tiga jenis asimtot: vertikal, horizontal dan miring.

Definisi. Panggilan langsung asimtot vertikal grafik fungsi y = f(x), jika setidaknya salah satu batas satu sisi dari fungsi pada titik ini sama dengan tak terhingga, yaitu

di mana adalah titik diskontinuitas fungsi, yaitu tidak termasuk dalam domain definisi.

Contoh.

D( kamu) = (‒ ∞; 2) (2; + ∞)

x= 2 - titik putus.

Definisi. Lurus y=A ditelepon asimtot horizontal grafik fungsi y = f(x) di , jika

Contoh.

x
kamu

Definisi. Lurus y=kx +b (k 0) disebut asimtot miring grafik fungsi y = f(x) dimana

Skema umum untuk mempelajari fungsi dan plot.

Algoritma penelitian fungsiy = f(x) :

1. Temukan domain dari fungsi D (kamu).

2. Temukan (jika mungkin) titik potong grafik dengan sumbu koordinat (dengan x= 0 dan di kamu = 0).

3. Selidiki fungsi genap dan ganjil ( kamu (‒ x) = kamu (x) ‒ keseimbangan; kamu(‒ x) = ‒ kamu (x) ‒ aneh).

4. Temukan asimtot dari grafik fungsi tersebut.

5. Temukan interval kemonotonan fungsi tersebut.

6. Temukan ekstrem dari fungsi tersebut.

7. Carilah interval kecembungan (concavity) dan titik belok dari grafik fungsi tersebut.

8. Berdasarkan penelitian yang dilakukan, buatlah grafik fungsi tersebut.

Contoh. Selidiki fungsi dan plot grafiknya.

1) D (kamu) =

x= 4 - titik putus.

2) Kapan x = 0,

(0; – 5) – titik potong dengan oy.

Pada kamu = 0,

3) kamu(‒ x)= fungsi umum (tidak genap maupun ganjil).

4) Kami menyelidiki asimtot.

a) vertikal

b) mendatar

c) temukan asimtot miring di mana

persamaan asimtot miring

5) Dalam persamaan ini, tidak diperlukan untuk mencari interval kemonotonan fungsi.

6)

Titik-titik kritis ini mempartisi seluruh domain fungsi pada interval (˗∞; 2), (˗2; 4), (4; 10) dan (10; +∞). Lebih mudah untuk menyajikan hasil yang diperoleh dalam bentuk tabel berikut.

Proses menemukan nilai terkecil dan terbesar dari suatu fungsi pada suatu segmen mengingatkan pada penerbangan menarik di sekitar suatu objek (grafik fungsi) pada helikopter dengan menembakkan meriam jarak jauh pada titik-titik tertentu dan memilih dari titik-titik ini merupakan titik yang sangat istimewa untuk tembakan kontrol. Poin dipilih dengan cara tertentu dan menurut aturan tertentu. Dengan aturan apa? Kami akan membicarakan ini lebih lanjut.

Jika fungsi kamu = f(x) kontinu pada segmen [ sebuah, b] , lalu mencapai segmen ini paling sedikit dan nilai tertinggi . Ini bisa terjadi di titik ekstrim atau di ujung segmen. Oleh karena itu, untuk menemukan paling sedikit dan nilai terbesar dari fungsi , kontinu pada interval [ sebuah, b] , Anda perlu menghitung nilainya secara keseluruhan titik kritis dan di ujung segmen, lalu pilih yang terkecil dan terbesar.

Biarkan, misalnya, diperlukan untuk menentukan nilai maksimum fungsi f(x) pada segmen [ sebuah, b] . Untuk melakukan ini, temukan semua titik kritisnya terletak di [ sebuah, b] .

titik kritis disebut titik di mana fungsi didefinisikan, dan dia turunan adalah nol atau tidak ada. Maka Anda harus menghitung nilai fungsi pada titik-titik kritis. Dan, akhirnya, orang harus membandingkan nilai fungsi pada titik kritis dan di ujung segmen ( f(sebuah) dan f(b) ). Yang terbesar dari angka-angka ini adalah nilai terbesar dari fungsi pada interval [sebuah, b] .

Masalah menemukan nilai terkecil dari fungsi .

Kami mencari nilai terkecil dan terbesar dari fungsi bersama-sama

Contoh 1. Temukan nilai terkecil dan terbesar dari suatu fungsi pada segmen [-1, 2] .

Keputusan. Kami menemukan turunan dari fungsi ini. Samakan turunan dengan nol () dan dapatkan dua titik kritis: dan . Untuk menemukan nilai terkecil dan terbesar dari suatu fungsi pada segmen tertentu, cukup menghitung nilainya di ujung segmen dan di titik , karena titik bukan milik segmen [-1, 2] . Nilai fungsi tersebut adalah sebagai berikut: , , . Berikut ini nilai fungsi terkecil(ditandai dengan warna merah pada grafik di bawah), sama dengan -7, dicapai di ujung kanan segmen - di titik , dan terbesar(juga merah pada grafik), sama dengan 9, - pada titik kritis .

Jika fungsi kontinu dalam interval tertentu dan interval ini bukan segmen (tetapi, misalnya, interval; perbedaan antara interval dan segmen: titik batas interval tidak termasuk dalam interval, tetapi titik batas segmen termasuk dalam segmen), maka di antara nilai-nilai fungsi tidak boleh ada yang terkecil dan terbesar. Jadi, misalnya, fungsi yang digambarkan pada gambar di bawah ini kontinu pada ]-∞, +∞[ dan tidak memiliki nilai terbesar.

Namun, untuk interval apa pun (tertutup, terbuka, atau tak terbatas), properti fungsi kontinu berikut ini berlaku.

Contoh 4. Temukan nilai terkecil dan terbesar dari suatu fungsi pada segmen [-1, 3] .

Keputusan. Kami menemukan turunan dari fungsi ini sebagai turunan dari hasil bagi:

.

Kami menyamakan turunan dengan nol, yang memberi kami satu titik kritis: . Itu milik interval [-1, 3] . Untuk menemukan nilai terkecil dan terbesar dari suatu fungsi pada segmen tertentu, kami menemukan nilainya di ujung segmen dan pada titik kritis yang ditemukan:

Mari kita bandingkan nilai-nilai ini. Kesimpulan: sama dengan -5/13, pada titik dan nilai terbesar sama dengan 1 pada titik .

Kami terus mencari nilai terkecil dan terbesar dari fungsi bersama-sama

Ada guru yang, pada topik menemukan nilai terkecil dan terbesar dari suatu fungsi, tidak memberi siswa contoh yang lebih rumit dari yang baru saja dipertimbangkan, yaitu yang fungsinya adalah polinomial atau pecahan, pembilangnya dan penyebutnya adalah polinomial. Tetapi kami tidak akan membatasi diri pada contoh-contoh seperti itu, karena di kalangan guru ada pecinta membuat siswa berpikir secara utuh (tabel turunan). Oleh karena itu, logaritma dan fungsi trigonometri akan digunakan.

Contoh 6. Temukan nilai terkecil dan terbesar dari suatu fungsi pada segmen .

Keputusan. Kami menemukan turunan dari fungsi ini sebagai turunan produk :

Kami menyamakan turunan dengan nol, yang memberikan satu titik kritis: . Itu milik segmen. Untuk menemukan nilai terkecil dan terbesar dari suatu fungsi pada segmen tertentu, kami menemukan nilainya di ujung segmen dan pada titik kritis yang ditemukan:

Hasil dari semua tindakan: fungsi mencapai nilai minimumnya, sama dengan 0, pada suatu titik dan pada suatu titik dan nilai terbesar sama dengan e² , pada titik .

Contoh 7. Temukan nilai terkecil dan terbesar dari suatu fungsi pada segmen .

Keputusan. Kami menemukan turunan dari fungsi ini:

Samakan turunan dengan nol:

Satu-satunya titik kritis milik segmen. Untuk menemukan nilai terkecil dan terbesar dari suatu fungsi pada segmen tertentu, kami menemukan nilainya di ujung segmen dan pada titik kritis yang ditemukan:

Kesimpulan: fungsi mencapai nilai minimumnya, sama dengan , di titik dan nilai terbesar, sama dengan , pada titik .

Dalam masalah ekstrem yang diterapkan, menemukan nilai fungsi terkecil (terbesar), sebagai aturan, direduksi menjadi menemukan minimum (maksimum). Tetapi bukan minima atau maxima itu sendiri yang menjadi kepentingan praktis yang lebih besar, tetapi nilai-nilai argumen di mana mereka dicapai. Saat memecahkan masalah yang diterapkan, kesulitan tambahan muncul - kompilasi fungsi yang menggambarkan fenomena atau proses yang sedang dipertimbangkan.

Contoh 8 Tangki dengan kapasitas 4, berbentuk paralelepiped dengan alas persegi dan terbuka di bagian atas, harus dikalengkan. Berapakah ukuran tangki agar dapat menutupinya dengan bahan yang paling sedikit?

Keputusan. Biarlah x- sisi dasar h- tinggi tangki, S- luas permukaannya tanpa penutup, V- volumenya. Luas permukaan tangki dinyatakan dengan rumus , mis. adalah fungsi dari dua variabel. Untuk mengekspresikan S sebagai fungsi dari satu variabel, kami menggunakan fakta bahwa , dari mana . Mengganti ekspresi yang ditemukan h ke dalam rumus untuk S:

Mari kita periksa fungsi ini untuk ekstrem. Itu didefinisikan dan terdiferensiasi di mana-mana di ]0, +∞[ , dan

.

Kami menyamakan turunannya dengan nol () dan menemukan titik kritisnya. Selain itu, pada , turunannya tidak ada, tetapi nilai ini tidak termasuk dalam domain definisi dan oleh karena itu tidak dapat menjadi titik ekstrem. Jadi, - satu-satunya titik kritis. Mari kita periksa keberadaan ekstrem menggunakan kriteria cukup kedua. Mari kita cari turunan kedua. Ketika turunan kedua lebih besar dari nol (). Ini berarti bahwa ketika fungsi mencapai minimum . Karena ini minimum - satu-satunya ekstrem dari fungsi ini, ini adalah nilai terkecilnya. Jadi, sisi alas tangki harus sama dengan 2 m, dan tingginya.

Contoh 9 Dari paragraf A, terletak di jalur kereta api, to the point Dengan, pada jarak dari itu aku, barang harus diangkut. Biaya pengangkutan satuan berat per satuan jarak dengan kereta api sama dengan , dan melalui jalan raya sama dengan . Untuk titik apa? M jalur kereta api harus diadakan jalan raya untuk mengangkut kargo dari TETAPI di Dengan adalah yang paling ekonomis AB kereta api diasumsikan lurus)?

Pada artikel kali ini saya akan membahas tentang algoritma untuk menemukan nilai terbesar dan terkecil fungsi, titik minimum dan maksimum.

Dari teori, kita pasti akan membutuhkan tabel turunan dan aturan diferensiasi. Semuanya ada di papan ini:

Algoritma untuk mencari nilai terbesar dan terkecil.

Saya merasa lebih mudah untuk menjelaskan dengan contoh konkret. Mempertimbangkan:

Contoh: Temukan nilai terbesar dari fungsi y=x^5+20x^3–65x pada ruas [–4;0].

Langkah 1. Kami mengambil turunannya.

Y" = (x^5+20x^3–65x)" = 5x^4 + 20*3x^2 - 65 = 5x^4 + 60x^2 - 65

Langkah 2 Menemukan titik ekstrem.

titik ekstrim kita beri nama titik-titik di mana fungsi mencapai nilai maksimum atau minimumnya.

Untuk mencari titik ekstrem, perlu menyamakan turunan fungsi dengan nol (y "= 0)

5x^4 + 60x^2 - 65 = 0

Sekarang kita selesaikan persamaan biquadratic ini dan akar-akar yang ditemukan adalah titik ekstrem kita.

Saya memecahkan persamaan tersebut dengan mengganti t = x^2, lalu 5t^2 + 60t - 65 = 0.

Kurangi persamaan dengan 5, kita dapatkan: t^2 + 12t - 13 = 0

D = 12^2 - 4*1*(-13) = 196

T_(1) = (-12 + kuadrat(196))/2 = (-12 + 14)/2 = 1

T_(2) = (-12 - kuadrat(196))/2 = (-12 - 14)/2 = -13

Kami membuat substitusi terbalik x^2 = t:

X_(1 dan 2) = ±sqrt(1) = ±1
x_(3 dan 4) = ±sqrt(-13) (kami mengecualikan, tidak boleh ada bilangan negatif di bawah akar, kecuali tentu saja kita berbicara tentang bilangan kompleks)

Total: x_(1) = 1 dan x_(2) = -1 - ini adalah titik ekstrem kami.

Langkah 3 Tentukan nilai terbesar dan terkecil.

Metode substitusi.

Dalam kondisi tersebut, kami diberi segmen [b][–4;0]. Titik x=1 tidak termasuk dalam segmen ini. Jadi kami tidak menganggapnya. Namun selain titik x=-1, kita juga perlu mempertimbangkan batas kiri dan kanan segmen kita, yaitu titik -4 dan 0. Untuk melakukan ini, kita substitusikan ketiga titik tersebut ke dalam fungsi aslinya. Perhatikan bahwa yang asli adalah yang diberikan dalam kondisi (y=x^5+20x^3–65x), beberapa mulai mensubstitusi ke turunan...

Y(-1) = (-1)^5 + 20*(-1)^3 - 65*(-1) = -1 - 20 + 65 = [b]44
y(0) = (0)^5 + 20*(0)^3 - 65*(0) = 0
y(-4) = (-4)^5 + 20*(-4)^3 - 65*(-4) = -1024 - 1280 + 260 = -2044

Artinya nilai maksimum fungsi adalah [b]44 dan dicapai pada titik [b]-1, yang disebut titik maksimum fungsi pada segmen [-4; 0].

Kami memutuskan dan mendapat jawaban, kami hebat, Anda bisa santai. Tapi berhenti! Tidakkah menurutmu menghitung y(-4) terlalu rumit? Dalam kondisi waktu yang terbatas, lebih baik menggunakan metode lain, saya menyebutnya seperti ini:

Melalui interval keteguhan.

Kesenjangan ini ditemukan untuk turunan fungsi, yaitu, untuk persamaan biquadratic kami.

Saya melakukannya dengan cara berikut. Saya menggambar garis arah. Saya menetapkan poin: -4, -1, 0, 1. Terlepas dari kenyataan bahwa 1 tidak termasuk dalam segmen yang diberikan, tetap harus diperhatikan untuk menentukan interval keteguhan dengan benar. Mari kita ambil beberapa bilangan yang lebih besar dari 1, misalkan 100, substitusikan secara mental ke dalam persamaan bikuadrat kita 5(100)^4 + 60(100)^2 - 65. Bahkan tanpa menghitung apa pun, menjadi jelas bahwa pada titik 100 fungsi memiliki tanda plus. Artinya untuk interval 1 sampai 100 memiliki tanda plus. Saat melewati 1 (dari kanan ke kiri), fungsi akan berubah tanda menjadi minus. Ketika melewati titik 0, fungsi akan mempertahankan tandanya, karena ini hanya batas segmen, dan bukan akar persamaan. Saat melewati -1, fungsi akan kembali berubah tanda menjadi plus.

Dari teori, kita tahu bahwa di mana turunan dari fungsi itu (dan kita menggambar ini untuk itu) perubahan tanda dari plus ke minus (poin -1 dalam kasus kami) fungsi mencapai maksimum lokalnya (y(-1)=44 seperti yang dihitung sebelumnya) pada segmen ini (ini secara logis sangat jelas, fungsinya telah berhenti meningkat, karena mencapai maksimum dan mulai berkurang).

Dengan demikian, di mana turunan dari fungsi perubahan tanda dari minus ke plus, tercapai minimum lokal dari suatu fungsi. Ya, ya, kami juga menemukan titik minimum lokal, yaitu 1, dan y(1) adalah nilai minimum dari fungsi pada segmen, misalkan dari -1 hingga +∞. Harap diperhatikan bahwa ini hanya MINIMUM LOKAL, yaitu minimum pada segmen tertentu. Karena fungsi minimum aktual (global) akan mencapai suatu tempat di sana, di -∞.

Menurut pendapat saya, metode pertama lebih sederhana secara teoritis, dan yang kedua lebih sederhana dalam hal operasi aritmatika, tetapi jauh lebih sulit dalam hal teori. Lagi pula, terkadang ada kasus ketika fungsi tidak berubah tanda saat melewati akar persamaan, dan memang Anda bisa bingung dengan maxima dan minima lokal, global ini, meskipun Anda harus menguasai ini dengan baik jika Anda berencana untuk memasuki universitas teknik (dan untuk apa lagi mengikuti ujian profil dan menyelesaikan tugas ini). Tetapi latihan dan hanya latihan yang akan mengajarkan Anda bagaimana memecahkan masalah seperti itu untuk selamanya. Dan Anda dapat berlatih di situs web kami. Di Sini .

Jika Anda memiliki pertanyaan, atau ada sesuatu yang tidak jelas, pastikan untuk bertanya. Saya akan dengan senang hati menjawab Anda, dan membuat perubahan, penambahan artikel. Ingat kita membuat situs ini bersama!

Bagaimana cara menemukan nilai terbesar dan terkecil dari suatu fungsi pada suatu segmen?

Untuk ini kami mengikuti algoritma yang terkenal:

1 . Kami menemukan fungsi ODZ.

2 . Mencari turunan dari suatu fungsi

3 . Samakan turunannya dengan nol

4 . Kami menemukan interval di mana turunan mempertahankan tandanya, dan dari mereka kami menentukan interval kenaikan dan penurunan fungsi:

Jika pada interval I turunan dari fungsi 0" title="(!LANG:f^(prime)(x)>0">, то функция !} meningkat selama interval ini.

Jika pada interval I turunan dari fungsi , maka fungsi menurun selama interval ini.

5 . Kami menemukan titik maksimum dan minimum dari fungsi.

PADA titik maksimum fungsi, turunannya berubah tanda dari "+" menjadi "-".

PADA titik minimum dari fungsiturunan perubahan tanda dari "-" menjadi "+".

6 . Kami menemukan nilai fungsi di ujung segmen,

• kemudian kami membandingkan nilai fungsi di ujung segmen dan di titik maksimum, dan pilih yang terbesar dari mereka jika Anda perlu mencari nilai terbesar dari fungsi
• atau kita bandingkan nilai fungsi di ujung segmen dan di titik minimum, dan pilih yang terkecil dari mereka jika Anda perlu mencari nilai terkecil dari fungsinya

Namun, tergantung pada bagaimana fungsi berperilaku pada interval, algoritme ini dapat dikurangi secara signifikan.

Pertimbangkan fungsinya . Grafik fungsi ini terlihat seperti ini:

Mari kita perhatikan beberapa contoh penyelesaian masalah dari Open Task Bank untuk

satu . Tugas B15 (#26695)

Di potong.

1. Fungsi didefinisikan untuk semua nilai riil x

Jelas, persamaan ini tidak memiliki solusi, dan turunannya positif untuk semua nilai x. Oleh karena itu, fungsi meningkat dan mengambil nilai terbesar di ujung kanan interval, yaitu pada x=0.

Jawaban: 5.

2 . Tugas B15 (No. 26702)

Tentukan nilai terbesar dari suatu fungsi pada segmen.

1.fungsi ODZ title="(!LANG:x(pi)/2+(pi)k, k(dalam)(bbZ)">!}

Turunan adalah nol pada , Namun, pada titik-titik ini tidak berubah tanda:

Oleh karena itu, title="(!LANG:3/(cos^2(x))>=3">, значит, title="3/(cos^2(x))-3>=0">, то есть производная при всех допустимых значених х неотрицательна, следовательно, функция !} meningkat dan mengambil nilai terbesar di ujung kanan interval, di .

Untuk memperjelas mengapa turunan tidak berubah tanda, kita ubah ekspresi turunannya sebagai berikut:

Title="(!LANG:y^(prima)=3/(cos^2(x))-3=(3-3cos^2(x))/(cos^2(x))=(3sin^2 (x))/(cos^2(x))=3tg^2(x)>=0">!}

Jawaban: 5.

3 . Tugas B15 (#26708)

Temukan nilai terkecil dari fungsi pada interval tersebut.

1. Fungsi ODZ: title="(!LANG:x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

Mari kita tempatkan akar persamaan ini pada lingkaran trigonometri.

Interval berisi dua angka: dan

Mari kita pasang tanda-tandanya. Untuk melakukan ini, kami menentukan tanda turunan pada titik x=0: . Ketika melewati titik-titik dan turunannya berubah tanda.

Mari kita gambarkan perubahan tanda turunan fungsi pada garis koordinat:

Jelas, titik adalah titik minimum (di mana turunannya berubah tanda dari "-" menjadi "+"), dan untuk menemukan nilai terkecil dari fungsi pada segmen, Anda perlu membandingkan nilai fungsi pada titik minimum dan di ujung kiri segmen, .

Dari segi praktis, yang paling menarik adalah penggunaan turunan untuk mencari nilai terbesar dan terkecil dari suatu fungsi. Apa hubungannya? Memaksimalkan keuntungan, meminimalkan biaya, menentukan beban peralatan yang optimal... Dengan kata lain, di banyak bidang kehidupan, seseorang harus memecahkan masalah pengoptimalan beberapa parameter. Dan ini adalah masalah menemukan nilai terbesar dan terkecil dari fungsi.

Perlu dicatat bahwa nilai terbesar dan terkecil dari suatu fungsi biasanya dicari pada beberapa interval X , yang merupakan domain seluruh fungsi atau bagian dari domain. Interval X itu sendiri dapat berupa segmen garis, interval terbuka , interval tak terbatas.

Pada artikel ini, kita akan berbicara tentang menemukan nilai terbesar dan terkecil dari fungsi yang diberikan secara eksplisit dari satu variabel y=f(x) .

Navigasi halaman.

Nilai terbesar dan terkecil dari suatu fungsi - definisi, ilustrasi.

Mari kita membahas definisi utama secara singkat.

Nilai terbesar dari fungsi , yang untuk setiap ketidaksetaraan itu benar.

Nilai terkecil dari fungsi y=f(x) pada interval X disebut nilai seperti itu , yang untuk setiap ketidaksetaraan itu benar.

Definisi ini intuitif: nilai terbesar (terkecil) dari suatu fungsi adalah nilai terbesar (terkecil) yang diterima dalam interval yang dipertimbangkan dengan absis.

Titik stasioner adalah nilai argumen di mana turunan dari fungsi tersebut hilang.

Mengapa kita membutuhkan titik stasioner saat mencari nilai terbesar dan terkecil? Jawaban atas pertanyaan ini diberikan oleh teorema Fermat. Dari teorema ini dapat disimpulkan bahwa jika suatu fungsi terdiferensiasi memiliki suatu ekstrem (minimum lokal atau maksimum lokal) di beberapa titik, maka titik ini stasioner. Jadi, fungsi sering mengambil nilai maksimum (terkecil) pada interval X di salah satu titik stasioner dari interval ini.

Juga, suatu fungsi sering kali dapat mengambil nilai terbesar dan terkecil pada titik di mana turunan pertama dari fungsi ini tidak ada, dan fungsi itu sendiri didefinisikan.

Mari kita segera menjawab salah satu pertanyaan paling umum tentang topik ini: "Apakah selalu mungkin untuk menentukan nilai terbesar (terkecil) dari suatu fungsi"? Tidak tidak selalu. Kadang-kadang batas-batas interval X bertepatan dengan batas-batas domain fungsi, atau interval X tidak terbatas. Dan beberapa fungsi pada tak hingga dan pada batas-batas domain definisi dapat mengambil nilai yang sangat besar dan sangat kecil. Dalam kasus ini, tidak ada yang bisa dikatakan tentang nilai terbesar dan terkecil dari fungsi tersebut.

Untuk kejelasan, kami memberikan ilustrasi grafis. Lihatlah gambar - dan banyak yang akan menjadi jelas.

Di segmen

Pada gambar pertama, fungsi mengambil nilai terbesar (max y ) dan terkecil (min y ) pada titik stasioner di dalam segmen [-6;6] .

Perhatikan kasus yang ditunjukkan pada gambar kedua. Ubah segmen menjadi . Dalam contoh ini, nilai fungsi terkecil dicapai pada titik stasioner, dan terbesar - pada titik dengan absis yang sesuai dengan batas kanan interval.

Pada gambar No. 3, titik-titik batas segmen [-3; 2] adalah absis dari titik-titik yang bersesuaian dengan nilai fungsi terbesar dan terkecil.

Dalam rentang terbuka

Pada gambar keempat, fungsi mengambil nilai terbesar (max y ) dan terkecil (min y ) pada titik-titik stasioner dalam interval terbuka (-6;6) .

Pada interval , tidak ada kesimpulan yang dapat ditarik tentang nilai terbesar.

di tak terhingga

Dalam contoh yang ditunjukkan pada gambar ketujuh, fungsi mengambil nilai terbesar (max y ) pada titik stasioner dengan absis x=1 , dan nilai terkecil (min y ) dicapai pada batas kanan interval. Pada minus tak terhingga, nilai-nilai fungsi secara asimtotik mendekati y=3 .

Pada interval, fungsi tidak mencapai nilai terkecil atau terbesar. Karena x=2 cenderung ke kanan, nilai fungsi cenderung minus tak terhingga (garis lurus x=2 adalah asimtot vertikal), dan karena absis cenderung plus tak terhingga, nilai fungsi mendekati y=3 . Ilustrasi grafis dari contoh ini ditunjukkan pada Gambar 8.

Algoritma untuk mencari nilai terbesar dan terkecil dari fungsi kontinu pada segmen.

Kami menulis algoritma yang memungkinkan kami menemukan nilai terbesar dan terkecil dari suatu fungsi pada suatu segmen.

1. Kami menemukan domain fungsi dan memeriksa apakah itu berisi seluruh segmen.
2. Kami menemukan semua titik di mana turunan pertama tidak ada dan yang terkandung dalam segmen (biasanya titik-titik tersebut terjadi pada fungsi dengan argumen di bawah tanda modul dan dalam fungsi pangkat dengan eksponen rasional fraksional). Jika tidak ada poin seperti itu, maka lanjutkan ke poin berikutnya.
3. Kami menentukan semua titik stasioner yang termasuk dalam segmen. Untuk melakukan ini, kami menyamakannya dengan nol, menyelesaikan persamaan yang dihasilkan dan memilih akar yang sesuai. Jika tidak ada titik stasioner atau tidak ada satupun yang masuk ke dalam segmen, maka lanjutkan ke langkah berikutnya.
4. Kami menghitung nilai fungsi pada titik stasioner yang dipilih (jika ada), pada titik di mana turunan pertama tidak ada (jika ada), dan juga pada x=a dan x=b .
5. Dari nilai fungsi yang diperoleh, kami memilih yang terbesar dan terkecil - masing-masing akan menjadi nilai fungsi maksimum dan terkecil yang diinginkan.

Mari kita menganalisis algoritme saat memecahkan contoh untuk menemukan nilai terbesar dan terkecil dari suatu fungsi pada suatu segmen.

Contoh.

Tentukan nilai terbesar dan terkecil dari suatu fungsi

• pada segmen;
• pada interval [-4;-1] .

Keputusan.

Domain dari fungsi tersebut adalah seluruh himpunan bilangan real, kecuali nol, yaitu . Kedua segmen termasuk dalam domain definisi.

Kami menemukan turunan dari fungsi sehubungan dengan:

Jelas, turunan dari fungsi ada di semua titik segmen dan [-4;-1] .

Titik stasioner ditentukan dari persamaan . Satu-satunya akar real adalah x=2 . Titik stasioner ini jatuh ke segmen pertama.

Untuk kasus pertama, kami menghitung nilai fungsi di ujung segmen dan di titik stasioner, yaitu untuk x=1 , x=2 dan x=4 :

Jadi, nilai terbesar dari fungsi dicapai pada x=1 , dan nilai terkecil – pada x=2 .

Untuk kasus kedua, kami menghitung nilai fungsi hanya di ujung segmen [-4;-1] (karena tidak mengandung titik stasioner):