5. Mencari luas permukaan benda revolusi

Biarkan kurva AB menjadi grafik fungsi y = f(x) 0, di mana x [a; b], dan fungsi y \u003d f (x) dan turunannya y "\u003d f" (x) kontinu pada segmen ini.

Mari kita cari luas S dari permukaan yang dibentuk oleh rotasi kurva AB di sekitar sumbu Ox (Gbr. 8).

Kami menerapkan skema II (metode diferensial).

Melalui sembarang titik x [a; b] mari menggambar bidang P tegak lurus terhadap sumbu Ox. Bidang P memotong permukaan revolusi sepanjang lingkaran dengan jari-jari y - f(x). Nilai S dari permukaan bagian dari gambar revolusi yang terletak di sebelah kiri bidang adalah fungsi dari x, yaitu. s = s(x) (s(a) = 0 dan s(b) = S).

Mari kita berikan argumen x kenaikan = dх. Melalui titik x + dx [a; b] juga menggambar bidang yang tegak lurus terhadap sumbu x. Fungsi s = s(x) akan menerima kenaikan sebesar s, yang ditunjukkan pada gambar sebagai "sabuk".

Mari kita cari diferensial dari luas ds, menggantikan gambar yang dibentuk di antara bagian-bagian dengan kerucut terpotong, yang generatrixnya sama dengan dl, dan jari-jari alasnya sama dengan y dan y + dy. Luas permukaan lateralnya adalah: = 2ydl + dydl.

Membuang produk dу d1 sebagai orde yang sangat kecil dari ds, kita memperoleh ds = 2уdl, atau, karena d1 = dx.

Mengintegrasikan persamaan yang dihasilkan dalam rentang dari x = a ke x = b, kita peroleh

Jika kurva AB diberikan oleh persamaan parametrik x = x(t), y = y(t), t≤ t ≤ t, maka rumus luas permukaan revolusi menjadi

S=2 dt.

Contoh: Temukan luas permukaan bola dengan jari-jari R.

S=2 =

6. Menemukan pekerjaan gaya variabel

Kerja gaya variabel

Biarkan titik material M bergerak sepanjang sumbu Ox di bawah aksi gaya variabel F = F(x) yang diarahkan sejajar dengan sumbu ini. Usaha yang dilakukan oleh gaya ketika memindahkan titik M dari posisi x = a ke posisi x = b (a

Berapa usaha yang harus dilakukan untuk meregangkan pegas sebesar 0,05 m jika gaya 100 N meregangkan pegas sebesar 0,01 m?

Menurut hukum Hooke, gaya elastis yang meregangkan pegas sebanding dengan regangan x ini, yaitu. F = kx, di mana k adalah koefisien proporsionalitas. Sesuai dengan kondisi soal, gaya F = 100 N meregangkan pegas sebesar x = 0,01 m; oleh karena itu, 100 = k 0,01, dari mana k = 10.000; oleh karena itu, F = 10000x.

Pekerjaan yang diinginkan berdasarkan rumus

A =

Cari kerja yang harus dikeluarkan untuk memompa cairan melewati tepi tangki silinder vertikal dengan tinggi H m dan jari-jari alas R m (Gbr. 13).

Usaha yang dilakukan untuk menaikkan berat benda p ke ketinggian h sama dengan p H. Tetapi berbagai lapisan cairan dalam tangki berada pada kedalaman yang berbeda dan ketinggian kenaikan (ke tepi tangki) dari lapisan yang berbeda tidak sama.

Untuk mengatasi masalah tersebut, kami menerapkan skema II (metode diferensial). Kami memperkenalkan sistem koordinat.

1) Usaha yang dilakukan untuk memompa keluar lapisan zat cair dengan ketebalan x (0 x H) dari tangki merupakan fungsi dari x, yaitu A \u003d A (x), di mana (0 x H) (A (0) \u003d 0, A (H) \u003d A 0).

2) Kami menemukan bagian utama dari kenaikan A ketika x berubah dengan x = dx, yaitu. kita temukan dA diferensial dari fungsi A(x).

Mengingat kecilnya dx, kita asumsikan bahwa lapisan cairan "dasar" berada pada kedalaman yang sama x (dari tepi reservoir). Maka dА = dрх, di mana dр adalah berat lapisan ini; itu sama dengan g AV, di mana g adalah percepatan gravitasi, adalah kerapatan cairan, dv adalah volume lapisan cairan "dasar" (disorot pada gambar), mis. dr = g. Volume lapisan cairan ini jelas sama dengan , di mana dx adalah ketinggian silinder (lapisan), adalah luas alasnya, mis. dv = .

Jadi, dр = . dan

3) Mengintegrasikan kesetaraan yang dihasilkan dalam rentang dari x \u003d 0 hingga x \u003d H, kami menemukan

A

8. Perhitungan integral menggunakan paket MathCAD

Ketika memecahkan beberapa masalah yang diterapkan, diperlukan untuk menggunakan operasi integrasi simbolik. Dalam hal ini, program MathCad dapat bermanfaat baik pada tahap awal (ada baiknya untuk mengetahui jawabannya terlebih dahulu atau mengetahui bahwa itu ada) dan pada tahap akhir (ada baiknya untuk memeriksa hasil yang diperoleh dengan menggunakan jawaban dari orang lain. sumber atau solusi orang lain).

Saat memecahkan sejumlah besar masalah, Anda dapat melihat beberapa fitur pemecahan masalah menggunakan program MathCad. Mari kita coba memahami dengan beberapa contoh cara kerja program ini, menganalisis solusi yang diperoleh dengan bantuannya dan membandingkan solusi ini dengan solusi yang diperoleh dengan cara lain.

Masalah utama saat menggunakan program MathCad adalah sebagai berikut:

a) program memberikan jawaban tidak dalam bentuk fungsi dasar yang sudah dikenal, tetapi dalam bentuk fungsi khusus yang jauh dari diketahui semua orang;

b) dalam beberapa kasus "menolak" untuk memberikan jawaban, meskipun masalah memiliki solusi;

c) terkadang tidak mungkin untuk menggunakan hasil yang diperoleh karena ukurannya yang besar;

d) memecahkan masalah tidak lengkap dan tidak menganalisis solusi.

Untuk mengatasi masalah ini, perlu menggunakan kekuatan dan kelemahan program.

Dengan bantuannya, mudah dan sederhana untuk menghitung integral dari fungsi rasional pecahan. Oleh karena itu, disarankan untuk menggunakan metode substitusi variabel, yaitu mempersiapkan integral untuk solusi. Untuk tujuan ini, substitusi yang dibahas di atas dapat digunakan. Juga harus diingat bahwa hasil yang diperoleh harus diperiksa untuk kebetulan dari domain definisi fungsi asli dan hasil yang diperoleh. Selain itu, beberapa solusi yang diperoleh memerlukan penelitian tambahan.

Program MathCad membebaskan siswa atau peneliti dari pekerjaan rutin, tetapi tidak dapat membebaskannya dari analisis tambahan baik saat menetapkan masalah maupun saat memperoleh hasil apa pun.

Dalam makalah ini, ketentuan utama yang berkaitan dengan studi aplikasi integral tertentu dalam pelajaran matematika dipertimbangkan.

– analisis dasar teoretis untuk memecahkan integral dilakukan;

- materi menjadi sasaran sistematisasi dan generalisasi.

Selama pekerjaan kursus, contoh masalah praktis di bidang fisika, geometri, mekanika dipertimbangkan.

Kesimpulan

Contoh-contoh masalah praktis yang dipertimbangkan di atas memberi kita gambaran yang jelas tentang pentingnya integral tertentu untuk solvabilitasnya.

Sulit untuk menyebutkan bidang ilmiah di mana metode kalkulus integral, secara umum, dan sifat-sifat integral tertentu, khususnya, tidak akan diterapkan. Maka dalam proses pengerjaan tugas mata kuliah tersebut, kami mempertimbangkan contoh-contoh masalah praktis di bidang fisika, geometri, mekanika, biologi dan ekonomi. Tentu saja, ini sama sekali bukan daftar lengkap ilmu yang menggunakan metode integral untuk menemukan nilai yang ditetapkan saat memecahkan masalah tertentu, dan untuk menetapkan fakta teoretis.

Juga, integral tertentu digunakan untuk mempelajari matematika itu sendiri. Misalnya, ketika memecahkan persamaan diferensial, yang, pada gilirannya, memberikan kontribusi yang sangat diperlukan untuk memecahkan masalah konten praktis. Kita dapat mengatakan bahwa integral tertentu adalah semacam dasar untuk studi matematika. Oleh karena itu pentingnya mengetahui bagaimana menyelesaikannya.

Dari semua hal di atas, jelas mengapa pengenalan integral tertentu terjadi bahkan dalam rata-rata sekolah Menengah, dimana siswa belajar tidak hanya konsep integral dan sifat-sifatnya, tetapi juga beberapa penerapannya.

literatur

1. Volkov E.A. Metode numerik. M., Nauka, 1988.

2. Piskunov N.S. Kalkulus Diferensial dan Integral. M., Integral-Press, 2004. T. 1.

3. Shipachev V.S. Matematika Tinggi. M., Sekolah Tinggi, 1990.

I. Volume badan revolusi. Pelajari terlebih dahulu bab XII, p°p° 197, 198, menurut buku teks karya G. M. Fikhtengol'ts* Analisislah secara mendetail contoh-contoh yang diberikan pada p° 198.

508. Hitung volume benda yang dibentuk oleh rotasi elips di sekitar sumbu x.

Dengan demikian,

530. Temukan luas permukaan yang dibentuk oleh rotasi di sekitar sumbu Ox dari busur sinusoida y \u003d sin x dari titik X \u003d 0 ke titik X \u003d It.

531. Hitung luas permukaan kerucut dengan tinggi h dan jari-jari r.

532. Hitung luas permukaan yang dibentuk oleh

rotasi astroid x3 -) - y* - a3 mengelilingi sumbu x.

533. Hitung luas permukaan yang dibentuk oleh inversi loop dari kurva 18 y-x(6-x)r di sekitar sumbu x.

534. Temukan permukaan torus yang dihasilkan oleh rotasi lingkaran X2 - j - (y-3)2 = 4 mengelilingi sumbu x.

535. Hitung luas permukaan yang dibentuk oleh rotasi lingkaran X = a cost, y = asint di sekitar sumbu Ox.

536. Hitung luas permukaan yang dibentuk oleh rotasi loop dari kurva x = 9t2, y = St - 9t3 di sekitar sumbu Ox.

537. Temukan luas permukaan yang dibentuk oleh rotasi busur kurva x = e * sint, y = biaya el di sekitar sumbu Ox

dari t = 0 sampai t = -.

538. Tunjukkan bahwa permukaan yang dihasilkan oleh rotasi busur sikloid x = a (q> - sin ), y = a (I - cos ) di sekitar sumbu Oy, sama dengan 16 u2 o2.

539. Temukan permukaan yang diperoleh dengan memutar cardioid di sekitar sumbu kutub.

540. Temukan luas permukaan yang dibentuk oleh rotasi lemniscate sekitar sumbu kutub.

Tugas Tambahan untuk Bab IV

Luas bangun datar

541. Temukan seluruh luas daerah yang dibatasi oleh kurva Dan sumbu Oh.

542. Temukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva

Dan sumbu Oh.

543. Temukan bagian luas daerah yang terletak di kuadran pertama dan dibatasi oleh kurva

l sumbu koordinat.

544. Temukan luas area yang terdapat di dalamnya

loop:

545. Temukan luas daerah yang dibatasi oleh satu lingkaran kurva:

546. Temukan luas area yang terdapat di dalam lingkaran:

547. Temukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva

Dan sumbu Oh.

548. Temukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva

Dan sumbu Oh.

549. Temukan luas daerah yang dibatasi oleh sumbu Oxr

lurus dan melengkung

Jika kurva diberikan oleh persamaan parametrik, maka luas permukaan yang diperoleh dengan memutar kurva ini di sekitar sumbu dihitung dengan rumus . Pada saat yang sama, "arah menggambar" dari garis, yang tentangnya begitu banyak salinan dipatahkan dalam artikel, acuh tak acuh. Tapi, seperti pada paragraf sebelumnya, penting bahwa kurva terletak lebih tinggi sumbu absis - jika tidak, fungsi "bertanggung jawab untuk y" akan mengambil nilai negatif dan Anda harus meletakkan tanda minus di depan integral.

Contoh 3

Hitung luas bola yang diperoleh dengan memutar lingkaran terhadap sumbu.

Keputusan: dari bahan artikel tentang luas dan volume dengan garis yang diberikan secara parametrik Anda tahu bahwa persamaan mendefinisikan lingkaran yang berpusat di titik asal dengan jari-jari 3.

baik dan bola , bagi yang lupa, adalah permukaannya bola(atau permukaan bulat).

Kami mematuhi skema solusi yang dikembangkan. Mari kita cari turunannya:

Mari kita buat dan sederhanakan akar "rumus":

Tak perlu dikatakan, ternyata permen. Lihat perbandingan bagaimana Fikhtengoltz berbenturan dengan kotak elipsoid revolusi.

Menurut pernyataan teoretis, kami mempertimbangkan setengah lingkaran atas. Itu "ditarik" ketika mengubah nilai parameter di dalamnya (mudah untuk melihat bahwa pada interval ini), dengan demikian:

Menjawab:

Jika kita memecahkan masalah secara umum, kita mendapatkan dengan tepat rumus sekolah untuk luas bola, di mana jari-jarinya.

Sesuatu yang menyakitkan masalah sederhana, bahkan merasa malu .... Saya sarankan Anda memperbaiki bug ini =)

Contoh 4

Hitung luas permukaan yang diperoleh dengan memutar busur pertama cycloid di sekitar sumbu.

Tugasnya kreatif. Cobalah untuk menyimpulkan atau menggunakan rumus untuk menghitung luas permukaan yang diperoleh dengan memutar kurva di sekitar sumbu y. Dan, tentu saja, keuntungan dari persamaan parametrik harus diperhatikan lagi - mereka tidak perlu dimodifikasi entah bagaimana; tidak perlu repot mencari batasan integrasi lainnya.

Grafik cycloid dapat dilihat di halaman Luas dan volume jika garis diatur secara parametrik. Permukaan rotasi akan menyerupai ... Saya bahkan tidak tahu harus membandingkannya dengan apa ... sesuatu yang tidak wajar - bulat dengan depresi runcing di tengahnya. Di sini, untuk kasus rotasi cycloid di sekitar sumbu, asosiasi langsung muncul di benak - bola rugby lonjong.

Solusi dan jawaban di akhir pelajaran.

Kami menyimpulkan ulasan menarik kami dengan sebuah kasus koordinat kutub. Ya, ini adalah ulasan, jika Anda melihat ke dalam buku teks tentang analisis matematika (oleh Fikhtengolts, Bohan, Piskunov, dan penulis lain), Anda bisa mendapatkan selusin (atau bahkan lebih) contoh standar, di antaranya sangat mungkin Anda akan menemukan masalah yang Anda butuhkan.

Cara menghitung luas permukaan revolusi,
jika garis diberikan dalam sistem koordinat kutub?

Jika kurva diatur ke koordinat kutub persamaan , dan fungsi memiliki turunan kontinu pada interval tertentu, maka luas permukaan yang diperoleh dengan memutar kurva ini di sekitar sumbu kutub dihitung dengan rumus , di mana adalah nilai sudut yang sesuai dengan ujung kurva.

Sesuai dengan arti geometris soal, integral , dan ini dicapai hanya jika ( dan diketahui non-negatif). Oleh karena itu, perlu untuk mempertimbangkan nilai sudut dari rentang, dengan kata lain, kurva harus ditempatkan lebih tinggi sumbu kutub dan ekstensinya. Seperti yang Anda lihat, cerita yang sama seperti dalam dua paragraf sebelumnya.

Contoh 5

Hitung luas permukaan yang dibentuk oleh rotasi cardioid di sekitar sumbu kutub.

Keputusan: grafik kurva ini dapat dilihat pada Contoh 6 pelajaran tentang sistem koordinat kutub. Kardioid adalah simetris terhadap sumbu kutub, jadi kami mempertimbangkan bagian atasnya pada celah (yang, pada kenyataannya, juga disebabkan oleh pernyataan di atas).

Permukaan rotasi akan menyerupai bullseye.

Teknik penyelesaiannya standar. Mari kita cari turunan sehubungan dengan "phi":

Buat dan sederhanakan akarnya:

Saya berharap dengan supernumerary rumus trigonometri tidak ada yang punya masalah.

Kami menggunakan rumus:

Diantara , karena itu: (Saya menjelaskan secara rinci cara menghilangkan root dengan benar di artikel Panjang busur kurva).

Menjawab:

Tugas yang menarik dan singkat untuk solusi independen:

Contoh 6

Hitung luas sabuk bola,

Apa itu sabuk bola? Tempatkan jeruk bulat yang belum dikupas di atas meja dan ambil pisau. Buat dua paralel potong, sehingga membagi buah menjadi 3 bagian dengan ukuran sewenang-wenang. Sekarang ambil bagian tengahnya, di mana daging buah yang berair terbuka di kedua sisinya. Tubuh ini disebut lapisan bola, dan permukaan pembatasnya (kulit jeruk) - sabuk bola.

Pembaca akrab dengan koordinat kutub, dengan mudah disajikan gambar masalah: persamaan mendefinisikan lingkaran yang berpusat di kutub jari-jari , dari mana sinar memotong lebih rendah busur. Busur ini berputar di sekitar sumbu kutub dan dengan demikian diperoleh sabuk bulat.

Sekarang Anda bisa makan jeruk dengan hati nurani yang bersih dan hati yang ringan, dengan catatan lezat ini kita akan menyelesaikan pelajaran, jangan merusak selera makan Anda dengan contoh lain =)

Solusi dan jawaban:

Contoh 2:Keputusan : hitung luas permukaan yang dibentuk oleh rotasi cabang atas sekitar sumbu x. Kami menggunakan rumus .
Pada kasus ini: ;

Dengan demikian:


Menjawab:

Contoh 4:Keputusan : gunakan rumus . Busur pertama cycloid didefinisikan pada segmen .
Mari kita cari turunannya:

Buat dan sederhanakan akarnya:

Jadi luas permukaan revolusi adalah:

Diantara , Itu sebabnya

integral pertamamengintegrasikan dengan bagian :

Dalam integral kedua kita menggunakanrumus trigonometri .


Menjawab:

Contoh 6:Keputusan : gunakan rumus:


Menjawab:

Matematika yang lebih tinggi untuk siswa korespondensi dan tidak hanya >>>

(Pergi ke halaman utama)

Bagaimana cara menghitung integral tertentu?
menggunakan rumus trapesium dan metode Simpson?

Metode numerik adalah bagian yang cukup besar dari matematika tingkat tinggi dan buku teks serius tentang topik ini memiliki ratusan halaman. Dalam praktiknya, dalam tes, beberapa tugas secara tradisional diusulkan untuk diselesaikan dengan metode numerik, dan salah satu tugas umum adalah perhitungan perkiraan integral tertentu. Pada artikel ini, saya akan mempertimbangkan dua metode untuk menghitung perkiraan integral tertentu metode trapesium dan metode simpson.

Apa yang perlu Anda ketahui untuk menguasai metode ini? Kedengarannya lucu, tetapi Anda mungkin tidak dapat mengambil integral sama sekali. Dan bahkan tidak mengerti apa itu integral. Dari sarana teknis, Anda memerlukan mikrokalkulator. Ya, ya, kami sedang menunggu perhitungan sekolah rutin. Lebih baik lagi, unduh my kalkulator semi-otomatis untuk metode trapesium dan metode Simpson. Kalkulator ditulis dalam Excel dan akan memungkinkan Anda mengurangi waktu untuk menyelesaikan dan memproses tugas sepuluh kali lipat. Panduan video disertakan untuk teko Excel! Omong-omong, video pertama dengan suara saya.

Pertama, mari kita bertanya pada diri sendiri, mengapa kita membutuhkan perhitungan perkiraan sama sekali? Tampaknya mungkin untuk menemukan antiturunan fungsi dan menggunakan rumus Newton-Leibniz, menghitung nilai eksak dari integral tertentu. Sebagai jawaban atas pertanyaan tersebut, mari kita langsung mempertimbangkan contoh demo dengan gambar.

Hitung integral tertentu

Semuanya akan baik-baik saja, tetapi dalam contoh ini integral tidak diambil - sebelum Anda tidak diambil, yang disebut logaritma integral. Apakah integral ini ada? Mari kita gambarkan grafik integran pada gambar:

Semuanya baik-baik saja. integral kontinu pada segmen dan integral tertentu secara numerik sama dengan daerah yang diarsir. Ya, itu hanya satu halangan - integral tidak diambil. Dan dalam kasus seperti itu, metode numerik datang untuk menyelamatkan. Dalam hal ini, masalah terjadi dalam dua formulasi:

1) Hitung integral tertentu kira-kira , membulatkan hasilnya ke tempat desimal tertentu. Misalnya, hingga dua tempat desimal, hingga tiga tempat desimal, dll. Katakanlah Anda mendapatkan jawaban perkiraan 5.347. Sebenarnya, itu mungkin tidak sepenuhnya benar (sebenarnya, katakanlah jawaban yang lebih akurat adalah 5.343). Tugas kita adalah hanya di itu untuk membulatkan hasilnya ke tiga tempat desimal.

2) Hitung integral tertentu kira-kira, dengan presisi tertentu. Misalnya, hitung integral tentu dengan ketelitian 0,001. Apa artinya? Artinya jika diperoleh perkiraan jawaban 5,347, maka semua angka harus beton bertulang benar. Untuk lebih tepatnya, jawaban 5.347 harus berbeda dari modulo kebenaran (dalam satu arah atau lainnya) tidak lebih dari 0,001.

Ada beberapa metode dasar untuk perhitungan perkiraan integral tertentu yang terjadi pada masalah:

Metode persegi panjang. Segmen integrasi dibagi menjadi beberapa bagian dan gambar langkah dibangun ( grafik batang), yang dekat di area ke area yang diinginkan:

Jangan menilai secara ketat dengan gambar, akurasinya tidak sempurna - mereka hanya membantu untuk memahami esensi dari metode ini.

Dalam contoh ini, segmen integrasi dibagi menjadi tiga segmen:
. Jelas, semakin sering partisi (segmen perantara yang lebih kecil), semakin tinggi akurasinya. Metode persegi panjang memberikan perkiraan kasar area, tampaknya, oleh karena itu, sangat jarang dalam praktiknya (saya hanya mengingat satu contoh praktis). Dalam hal ini, saya tidak akan mempertimbangkan metode persegi panjang, dan bahkan tidak akan memberikan formula sederhana. Bukan karena kemalasan, tetapi karena prinsip buku solusi saya: apa yang sangat jarang dalam tugas-tugas praktis tidak dipertimbangkan.

Metode trapesium. Idenya mirip. Segmen integrasi dibagi menjadi beberapa segmen menengah, dan grafik integran mendekati garis putus-putus garis:

Jadi luas kita (arsir biru) didekati dengan jumlah luas trapesium (merah). Oleh karena itu nama metode. Sangat mudah untuk melihat bahwa metode trapesium memberikan pendekatan yang jauh lebih baik daripada metode persegi panjang (dengan jumlah segmen partisi yang sama). Dan, tentu saja, semakin kecil segmen menengah yang kami pertimbangkan, semakin tinggi akurasinya. Metode trapesium ditemui dari waktu ke waktu dalam tugas-tugas praktis, dan dalam artikel ini beberapa contoh akan dianalisis.

Metode Simpson (metode parabola). Ini adalah cara yang lebih sempurna - grafik integran didekati bukan dengan garis putus-putus, tetapi dengan parabola kecil. Berapa banyak segmen menengah - begitu banyak parabola kecil. Jika kita mengambil tiga segmen yang sama, maka metode Simpson akan memberikan perkiraan yang lebih akurat daripada metode persegi panjang atau metode trapesium.

Saya tidak melihat gunanya membuat gambar, karena secara visual aproksimasi akan ditumpangkan pada grafik fungsi (garis putus-putus dari paragraf sebelumnya - dan itupun hampir bersamaan).

Tugas menghitung integral tertentu menggunakan rumus Simpson adalah tugas yang paling populer dalam praktik. Dan metode parabola akan mendapat banyak perhatian.

Permukaan revolusi- permukaan yang terbentuk selama rotasi di sekitar garis lurus (sumbu permukaan) dari garis sewenang-wenang (kurva lurus, datar atau spasial). Misalnya, jika garis lurus memotong sumbu rotasi, maka selama rotasi akan diperoleh permukaan kerucut, jika sejajar dengan sumbu - silinder, jika bersinggungan dengan sumbu - hiperboloid revolusi satu lembar. Permukaan yang sama dapat diperoleh dengan memutar berbagai macam kurva. Luas permukaan revolusi yang dibentuk oleh rotasi kurva bidang dengan panjang berhingga di sekitar sumbu yang terletak pada bidang kurva tetapi tidak memotong kurva sama dengan produk panjang kurva dan panjang lingkaran dengan jari-jari sama dengan jarak dari sumbu ke pusat massa kurva. Pernyataan ini disebut teorema kedua Hulden, atau teorema centroid Pappus.

Luas permukaan revolusi yang dibentuk oleh rotasi kurva terhadap suatu sumbu dapat dihitung dengan rumus

Untuk kasus ketika kurva diberikan dalam sistem koordinat kutub, rumusnya valid

Aplikasi mekanik dari integral tertentu (kerja gaya, momen statis, pusat gravitasi).

Perhitungan kerja gaya

Sebuah titik material bergerak sepanjang kurva terdiferensiasi terus menerus, sementara sebuah gaya bekerja padanya, diarahkan secara tangensial ke lintasan dalam arah gerakan. Usaha total yang dilakukan oleh gaya F(s):

Jika posisi suatu titik pada lintasan gerak dijelaskan oleh parameter lain, maka rumusnya berbentuk:

Perhitungan momen statis dan pusat gravitasi
Biarkan beberapa massa M terdistribusi pada bidang koordinat Oxy dengan kerapatan p = p(y) pada beberapa himpunan titik S (ini dapat berupa busur kurva atau bidang datar berbatas). Tunjukkan s(y) - ukuran himpunan yang ditentukan (panjang busur atau luas).

Definisi 2. Nomor disebut momen ke-k dari massa M terhadap sumbu Ox.
Pada k \u003d 0 M 0 \u003d M adalah massanya,
k \u003d 1 M 1 - momen statis,
k \u003d 2 M 2 - momen inersia.

Momen tentang sumbu Oy diperkenalkan dengan cara yang sama. Di ruang angkasa, konsep momen massa terhadap bidang koordinat diperkenalkan dengan cara yang sama.
Jika p = 1, maka momen-momen yang bersesuaian disebut geometris. Koordinat pusat gravitasi dari sosok datar homogen (p - const) ditentukan oleh rumus:

dimana M 1 y , M 1 x - momen statik geometris dari gambar terhadap sumbu Oy dan Ox; S adalah luas gambar.