Setelah menerima informasi umum tentang persamaan dalam matematika, kita beralih ke topik yang lebih sempit. Materi artikel ini akan memberikan gambaran tentang sifat-sifat persamaan numerik.

Apa itu persamaan numerik

Pertama kali kita jumpai persamaan numerik di sekolah dasar, ketika kita berkenalan dengan angka dan konsep "sama". Itu. persamaan numerik yang paling primitif adalah: 2 = 2, 5 = 5, dst. Dan pada tingkat studi itu, kami menyebutnya persamaan sederhana, tanpa menentukan "numerik", dan meletakkan di dalamnya makna kuantitatif atau ordinal (yang dibawa oleh bilangan asli). Misalnya, persamaan 2 = 2 akan sesuai dengan gambar dengan dua bunga dan dua lebah bertengger di masing-masing. Atau, misalnya, dua antrian, di mana Vasya dan Vanya berada di urutan kedua.

Ketika pengetahuan tentang operasi aritmatika muncul, persamaan numerik menjadi lebih rumit: 5 + 7 \u003d 12; 6 - 1 = 5; 2 1 = 2; 21: 7 = 3, dst. Kemudian kesetaraan mulai terjadi, dalam rekaman di mana ekspresi numerik dari berbagai jenis berpartisipasi. Misalnya, (2 + 2) + 5 = 2 + (5 + 2) ; 4 (4 (1 + 2)) + 12: 4 1 = 4 1 + 3 1, dst. Kemudian kita berkenalan dengan jenis angka lain, dan persamaan numerik menjadi semakin menarik dan beragam.

Definisi 1

Kesetaraan numerik adalah suatu persamaan yang kedua bagiannya terdiri dari bilangan dan/atau ekspresi numerik.

Sifat persamaan numerik

Sulit untuk melebih-lebihkan pentingnya sifat-sifat persamaan numerik dalam matematika: mereka adalah dasar untuk banyak hal, menentukan prinsip bekerja dengan persamaan numerik, metode penyelesaian, aturan untuk bekerja dengan rumus, dan banyak lagi. kebutuhan untuk studi rinci tentang sifat-sifat persamaan numerik.

Sifat persamaan numerik benar-benar konsisten dengan bagaimana tindakan dengan angka didefinisikan, serta dengan definisi angka yang sama melalui perbedaan: angka sebuah sama dengan bilangan b hanya ketika perbedaan a-b ada nol. Lebih lanjut dalam deskripsi masing-masing properti, kami akan melacak hubungan ini.

Sifat dasar persamaan numerik

Mari kita mulai mempelajari sifat-sifat persamaan numerik dengan tiga sifat dasar yang melekat pada semua persamaan. Kami mencantumkan properti utama persamaan numerik:

• sifat refleksivitas: a = a;
• sifat simetri: jika a = b, kemudian b = a;
• sifat transitivitas: jika a = b dan b=c, kemudian a = c, dimana a , b dan c adalah angka arbitrer.

Definisi 2

Sifat refleksivitas menunjukkan fakta bahwa suatu bilangan sama dengan dirinya sendiri: misalnya, 6 = 6, - 3 = - 3, 4 3 7 = 4 3 7, dll.

Bukti 1

Sangat mudah untuk menunjukkan validitas kesetaraan a a = 0 untuk nomor berapa pun sebuah: perbedaan A A dapat ditulis sebagai penjumlahan a + (− a), dan sifat penjumlahan bilangan memberi kita kesempatan untuk menyatakan bahwa bilangan apa pun sebuah sesuai dengan satu-satunya nomor yang berlawanan a, dan jumlah mereka adalah nol.

Definisi 3

Menurut properti simetri persamaan numerik: jika nomor sebuah sama dengan bilangan b,
nomor itu b sama dengan bilangan sebuah. Sebagai contoh, 4 3 = 64 , kemudian 64 = 4 3 .

Bukti 2

Anda dapat membenarkan properti ini melalui perbedaan angka. kondisi a = b sesuai dengan kesetaraan a b = 0. Ayo buktikan b a = 0.

Yuk tulis perbedaannya b - a sebagai - (a - b), mengandalkan aturan untuk membuka tanda kurung yang didahului dengan tanda minus. Entri baru untuk ekspresi adalah - 0 , dan lawan dari nol adalah nol. Dengan demikian, b a = 0, karena itu: b = a.

Definisi 4

Sifat transitivitas persamaan numerik menyatakan bahwa dua angka sama satu sama lain jika mereka secara bersamaan sama dengan angka ketiga. Misalnya, jika 81 = 9 dan 9 = 3 2 , kemudian 81 = 3 2 .

Sifat transitivitas juga sesuai dengan definisi bilangan yang sama melalui perbedaan dan sifat operasi dengan bilangan. persamaan a = b dan b=c sesuai dengan persamaan a b = 0 dan b c = 0.

Bukti 3

Mari kita buktikan persamaannya a c = 0, dari mana persamaan angka akan mengikuti sebuah dan c. Karena menambahkan angka ke nol tidak mengubah angka itu sendiri, maka a - c tulis dalam bentuk a + 0 c. Alih-alih nol, kami mengganti jumlah angka yang berlawanan b dan b, maka ekspresi akhirnya menjadi: a + (− b + b) c. Mari kita kelompokkan istilah: (a b) + (b c). Selisih dalam kurung sama dengan nol, maka jumlah (a b) + (b c) ada nol. Ini membuktikan bahwa ketika a b = 0 dan b c = 0, persamaan a c = 0, di mana a = c.

Sifat penting lainnya dari persamaan numerik

Sifat utama persamaan numerik yang dibahas di atas adalah dasar untuk sejumlah sifat tambahan yang cukup berharga dalam konteks praktik. Mari kita daftar mereka:

Definisi 5

Dengan menjumlahkan (atau mengurangkan) kedua bagian persamaan numerik, yang benar, bilangan yang sama, kita memperoleh persamaan numerik yang benar. Mari kita tulis secara harfiah: jika a = b, di mana sebuah dan b adalah beberapa angka, maka a + c = b + c untuk apa saja c.

Bukti 4

Sebagai pembenaran, kami menulis perbedaannya (a + c) (b + c).
Ekspresi ini dapat dengan mudah diubah menjadi bentuk (a b) + (c c).
Dari a = b dengan syarat maka a b = 0 dan c c = 0, kemudian (a - b) + (c - c) = 0 + 0 = 0. Ini membuktikan bahwa (a + c) (b + c) = 0, karena itu, a + c = b + c;

Definisi 6

Jika kedua bagian dari persamaan numerik yang benar dikalikan dengan angka apa pun atau dibagi dengan angka yang tidak sama dengan nol, maka kita mendapatkan persamaan numerik yang benar.
Mari kita tuliskan secara harfiah: kapan a = b, kemudian a c = b c untuk nomor berapa pun c. Jika c 0 maka dan a:c = b:c.

Bukti 5

Kesetaraan itu benar: a c b c = (a b) c = 0 c = 0, dan itu menyiratkan kesetaraan produk sebuah c dan b c. Dan pembagian dengan bilangan bukan nol c dapat ditulis sebagai perkalian dengan kebalikan dari 1 c ;

Definisi 7

Pada sebuah dan b, berbeda dari nol dan sama satu sama lain, timbal baliknya juga sama.
Mari kita tulis: ketika a 0 , b 0 dan a = b, kemudian 1 a = 1 b. Persamaan ekstrim tidak sulit untuk dibuktikan: untuk tujuan ini, kami membagi kedua sisi persamaan a = b dengan angka yang sama dengan produk a b dan tidak sama dengan nol.

Kami juga menunjukkan beberapa properti yang memungkinkan penambahan dan perkalian bagian yang sesuai dari persamaan numerik yang benar:

Definisi 8

Dengan penambahan suku demi suku dari persamaan numerik yang benar, persamaan yang benar diperoleh. Properti ini ditulis sebagai berikut: jika a = b dan c = d, kemudian a + c = b + d untuk sembarang bilangan a , b , c dan d.

Bukti 6

Hal ini dimungkinkan untuk mendukung properti yang berguna ini berdasarkan properti yang disebutkan sebelumnya. Kita tahu bahwa angka berapa pun dapat ditambahkan ke kedua sisi persamaan sejati.
Menuju kesetaraan a = b tambahkan nomornya c, dan persamaan c = d- nomor b, hasilnya akan menjadi persamaan numerik yang benar: a + c = b + c dan c + b = d + b. Kami menulis yang terakhir dalam bentuk: b + c = b + d. Dari persamaan a + c = b + c dan b + c = b + d sesuai dengan sifat transitivitas, persamaan berikut: a + c = b + d. Itu yang perlu dibuktikan.

Perlu untuk memperjelas bahwa istilah demi istilah dimungkinkan untuk menambahkan tidak hanya dua persamaan numerik yang benar, tetapi juga tiga atau lebih;

Definisi 7

Akhirnya, kami menggambarkan properti seperti itu: perkalian suku demi suku dari dua persamaan numerik yang benar memberikan persamaan yang benar. Mari kita menulis dalam huruf: jika a = b dan c = d, kemudian a c = b d.

Bukti 7

Bukti properti ini mirip dengan bukti yang sebelumnya. Kalikan kedua ruas persamaan dengan angka berapa pun, kalikan a = b pada c, sebuah c = d pada b, kita mendapatkan persamaan numerik yang benar a c = b c dan c b = d b. Kami menulis yang terakhir sebagai b c = b d. Properti transitivitas memungkinkan dari kesetaraan a c = b c dan b c = b d dapatkan persamaan a c = b d yang perlu kami buktikan.

Dan sekali lagi, kami mengklarifikasi bahwa properti ini berlaku untuk dua, tiga atau lebih persamaan numerik.
Dengan demikian, seseorang dapat menulis: jika a = b, kemudian a n = b n untuk bilangan apa saja sebuah dan b, dan bilangan asli apa pun n.

Mari selesaikan artikel ini dengan mengumpulkan semua properti yang dipertimbangkan untuk kejelasan:

Jika a = b , maka b = a .

Jika a = b dan b = c , maka a = c .

Jika a = b , maka a + c = b + c .

Jika a = b, maka a c = b c.

Jika a = b dan c 0, maka a: c = b: c.

Jika a = b , a = b , a 0 dan b 0 , maka 1 a = 1 b .

Jika a = b dan c = d, maka a c = b d.

Jika a = b , maka a n = b n .

Jika Anda melihat kesalahan dalam teks, harap sorot dan tekan Ctrl+Enter

Memiliki gambaran umum tentang persamaan dalam matematika, kita dapat melanjutkan ke studi yang lebih rinci tentang masalah ini. Pada artikel ini, pertama-tama kita akan menjelaskan apa itu persamaan numerik, dan kedua, kita akan mempelajarinya.

Navigasi halaman.

Apa itu persamaan numerik?

Perkenalan dengan persamaan numerik dimulai pada tahap awal belajar matematika di sekolah. Ini biasanya terjadi di kelas 1 tepat setelah angka pertama dari 1 hingga 9 diketahui dan setelah frasa "sama" menjadi bermakna. Kemudian persamaan numerik pertama muncul, misalnya, 1=1, 3=3, dst., yang pada tahap ini biasanya disebut persamaan sederhana tanpa definisi yang jelas tentang "numerik".

Kesetaraan dari jenis yang ditentukan pada tahap ini diberi makna kuantitatif atau ordinal, yang tertanam dalam . Misalnya, persamaan numerik 3=3 sesuai dengan gambar, yang menunjukkan dua cabang pohon, yang masing-masing memiliki 3 burung duduk di atasnya. Atau ketika rekan kita Petya dan Kolya berada di urutan ketiga dalam dua baris.

Setelah mempelajari operasi aritmatika, catatan persamaan numerik yang lebih beragam muncul, misalnya, 3+1=4, 7−2=5, 3 2=6, 8:4=2, dll. Selanjutnya, persamaan numerik dari bentuk yang lebih menarik mulai terjadi, yang mengandung berbagai bagian di bagiannya, misalnya, (2+1)+3=2+(1+3) , 4 (4−(1+2))+12:4−1=4 1+3−1 dan sejenisnya. Lalu ada kenalan dengan jenis angka lain, dan persamaan numerik menjadi semakin beragam.

Jadi, cukup bertele-tele, saatnya memberikan definisi kesetaraan numerik:

Definisi.

Kesetaraan numerik adalah persamaan, di kedua bagian yang ada angka dan / atau ekspresi numerik.

Sifat persamaan numerik

Prinsip-prinsip bekerja dengan persamaan numerik ditentukan oleh sifat-sifatnya. Dan banyak yang terkait dengan sifat-sifat persamaan numerik dalam matematika: dari sifat-sifat penyelesaian persamaan dan beberapa metode untuk memecahkan sistem persamaan hingga aturan untuk bekerja dengan rumus yang menghubungkan berbagai jumlah. Ini menjelaskan perlunya studi rinci tentang sifat-sifat persamaan numerik.

Sifat-sifat persamaan numerik sepenuhnya sesuai dengan bagaimana operasi dengan bilangan didefinisikan, dan juga sesuai dengan definisi bilangan yang sama melalui selisih: bilangan a sama dengan bilangan b jika dan hanya jika selisih a−b sama dengan nol. Di bawah ini, saat menjelaskan setiap properti, kami akan melacak koneksi ini.

Sifat dasar persamaan numerik

Tinjauan tentang sifat-sifat persamaan numerik harus dimulai dengan tiga sifat dasar yang menjadi ciri semua persamaan tanpa kecuali. Jadi, sifat dasar persamaan numerik Ini:

• sifat refleksivitas: a=a ;
• sifat simetri: jika a=b , maka b=a ;
• dan sifat transitivitas: jika a=b dan b=c , maka a=c ,

di mana a , b dan c adalah bilangan arbitrer.

Sifat refleksivitas persamaan numerik mengacu pada fakta bahwa suatu bilangan sama dengan dirinya sendiri. Misalnya, 5=5 , 2=−2 , dst.

Sangat mudah untuk menunjukkan bahwa untuk sembarang bilangan a persamaan a−a=0 adalah benar. Memang, perbedaan a−a dapat ditulis ulang sebagai jumlah a+(−a) , dan dari sifat-sifat penambahan angka kita tahu bahwa untuk setiap angka a ada unik a , dan jumlah angka yang berlawanan sama dengan nol .

Sifat simetri persamaan bilangan menyatakan bahwa jika bilangan a sama dengan bilangan b, maka bilangan b sama dengan bilangan a. Misalnya, jika 2 3 =8 (lihat ), maka 8=2 3 .

Kami membenarkan properti ini melalui perbedaan angka. Kondisi a=b sesuai dengan persamaan a−b=0 . Mari kita tunjukkan bahwa b−a=0 . Aturan untuk membuka kurung didahului dengan tanda minus memungkinkan kita untuk menulis ulang perbedaan b−a sebagai (a−b) , yang pada gilirannya sama dengan 0 , dan angka yang berlawanan dengan nol adalah nol. Oleh karena itu, b−a=0 , yang menyiratkan bahwa b=a .

Sifat transitivitas persamaan numerik menyatakan bahwa dua bilangan adalah sama jika keduanya sama dengan bilangan ketiga. Misalnya, berikut dari persamaan (lihat ) dan 4=2 2 itu .

Sifat ini juga konsisten dengan definisi bilangan sama melalui selisih dan sifat operasi bilangan. Memang, persamaan a=b dan b=c sesuai dengan persamaan a−b=0 dan b−c=0 . Tunjukkan bahwa a−c=0 , maka angka a dan c akan sama. Karena menambahkan nol tidak mengubah angka, a−c dapat ditulis ulang sebagai a+0−c . Nol diganti dengan jumlah bilangan berlawanan b dan b , sedangkan ekspresi terakhir berbentuk a+(−b+b)−c . Sekarang kita dapat mengelompokkan suku-sukunya sebagai berikut: (a−b)+(b−c) . Dan selisih dalam kurung adalah nol, maka jumlah (a−b)+(b−c) sama dengan nol. Ini membuktikan bahwa, pada kondisi a−b=0 dan b−c=0, persamaan a−c=0 berlaku, dimana a=c .

Properti penting lainnya

Dari sifat-sifat utama persamaan numerik, dianalisis pada paragraf sebelumnya, sejumlah sifat yang memiliki nilai praktis nyata mengikuti. Mari kita hancurkan mereka.

Mari kita mulai dengan properti ini: jika Anda menambahkan (atau mengurangi) angka yang sama ke kedua bagian dari persamaan numerik yang sebenarnya, maka Anda mendapatkan persamaan numerik yang benar. Menggunakan huruf, dapat ditulis seperti ini: jika a=b , di mana a dan b adalah beberapa angka, maka a+c=b+c untuk sembarang angka c .

Untuk membenarkan, kami membuat perbedaan (a+c)−(b+c) . Dapat diubah ke bentuk (a−b)+(c−c) . Karena a=b dengan konvensi, maka a−b=0 , dan c−c=0 , jadi (a−b)+(c−c)=0+0=0 . Ini membuktikan bahwa (a+c)−(b+c)=0 , maka a+c=b+c .

Kami melangkah lebih jauh: jika kedua bagian dari persamaan numerik sejati dikalikan dengan angka apa pun atau dibagi dengan angka bukan nol, maka kami mendapatkan kesetaraan numerik yang benar. Yaitu, jika a=b , maka a c=b c untuk sembarang bilangan c , dan jika c adalah bilangan bukan nol, maka a:c=b:c .

Memang, a·c−b·c=(a−b)·c=0·c=0 , yang menyiratkan bahwa produk a·c dan b·c adalah sama. Dan pembagian dengan bilangan bukan nol c dapat dianggap sebagai perkalian dengan 1/c.

Dari sifat persamaan numerik yang dianalisis, satu konsekuensi yang berguna berikut ini: jika a dan b berbeda dari nol dan bilangan yang sama, maka kebalikannya juga sama. Artinya, jika a≠0 , b≠0 dan a=b , maka 1/a=1/b . Persamaan terakhir mudah dibuktikan: untuk ini, cukup untuk membagi kedua bagian dari persamaan asli a=b dengan angka bukan-nol yang sama dengan produk a b .

Dan mari kita membahas dua properti lagi yang memungkinkan kita untuk menambahkan dan mengalikan bagian yang sesuai dari persamaan numerik yang benar.

Jika Anda menambahkan suku persamaan numerik yang benar dengan suku, maka Anda mendapatkan kesetaraan yang benar. Yaitu, jika a=b dan c=d , maka a+c=b+d untuk sembarang bilangan a , b , c dan d .

Mari kita membenarkan properti persamaan numerik ini, mulai dari properti yang sudah kita ketahui. Diketahui bahwa kita dapat menjumlahkan bilangan apa saja pada kedua bagian persamaan sejati. Dalam persamaan a=b kita tambahkan angka c, dan dalam persamaan c+d kita tambahkan angka b, sebagai hasilnya kita mendapatkan persamaan numerik yang benar a+c=b+c dan c+b=d+b, yang terakhir kita tulis ulang sebagai b+c= b+d. Dari persamaan a+c=b+c dan b+c=b+d, dengan sifat transitivitas, persamaan a+c=b+d berikut, yang harus dibuktikan.

Perhatikan bahwa adalah mungkin untuk menjumlahkan suku demi suku tidak hanya dua persamaan numerik yang benar, tetapi juga tiga, dan empat, dan bilangan apa pun darinya.

Kami menyelesaikan ulasan properti persamaan numerik dengan properti berikut: jika kita mengalikan dua persamaan numerik yang benar istilah demi istilah, kita mendapatkan kesetaraan yang benar. Mari kita rumuskan secara formal: jika a=b dan c=d , maka a c=b d .

Bukti properti ini mirip dengan bukti yang sebelumnya. Kita dapat mengalikan kedua sisi persamaan dengan angka berapa pun, mengalikan a=b dengan c, dan c=d dengan b, kita mendapatkan persamaan numerik yang benar a c=b c dan c b=d b , yang terakhir kita tulis ulang sebagai b c=b d . Kemudian, berdasarkan sifat transitivitas, persamaan a·c=b·c dan b·c=b·d menyiratkan persamaan yang diperlukan a·c=b·d .

Perhatikan bahwa properti bersuara benar untuk perkalian suku demi suku dari tiga atau lebih persamaan numerik yang benar. Dari pernyataan ini dapat disimpulkan bahwa jika a=b , maka a n =b n untuk sembarang bilangan a dan b , dan sembarang bilangan asli n .

Di akhir artikel ini, kami menulis semua properti yang dianalisis dari persamaan numerik dalam sebuah tabel:

Bibliografi.

• Moro M.I.. Matematika. Prok. untuk 1 kl. lebih awal sekolah Pada 2 hal. Bagian 1. (Setengah tahun pertama) / M. I. Moro, S. I. Volkova, S. V. Stepanova. - edisi ke-6. - M.: Pencerahan, 2006. - 112 hal.: sakit + App. (2 terpisah l. sakit.). - ISBN 5-09-014951-8.
• Aljabar: buku pelajaran untuk 7 sel. pendidikan umum institusi / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; ed. S.A. Telyakovsky. - edisi ke-17. - M. : Pendidikan, 2008. - 240 hal. : Saya akan. - ISBN 978-5-09-019315-3.

Dan sekarang mari kita menganalisis tugas ini secara rinci.

Pertimbangkan sel berikutnya dalam piramida.

Kita tahu bahwa 11 adalah jumlah dari 7 dan angka lain yang tidak diketahui. Jelas, angka kedua adalah 4, jadi kita bisa mengisi sel di sebelah kanan di baris pertama.

Ada satu sel kosong yang tersisa di piramida. Itu harus berisi angka, menambahkan 7 harus mendapatkan 12. Jadi. di sel kosong di sebelah kiri di baris pertama harus menjadi nomor 5.

Pertimbangkan sel di baris kedua. Seharusnya ada dua angka yang jumlahnya harus sama dengan 24. Pada saat yang sama, perhatikan bahwa untuk mendapatkan dua angka yang diinginkan di kolom kedua, Anda perlu menambahkan 3 dan 5 ke beberapa nomor yang tidak dikenal, yaitu terletak di sel tengah baris pertama, yaitu, perbedaan kedua angka ini harus sama dengan 2. Angka 11 dan 13 cocok untuk kondisi ini, karena 11 + 13 \u003d 24, dan di sisi lain 13 - 11 \ u003d 2. Dengan demikian, kita dapat mengisi sel-sel baris ke-2.

Dan tetap menemukan nomor terakhir di baris pertama. Angka ini dapat diperoleh jika ditambahkan ke 3 dan kemudian kita mendapatkan 11. Jadi. nomor ini adalah 8.