Primitif. Kata yang indah.) Untuk memulainya, sedikit bahasa Rusia. Ini adalah bagaimana kata itu diucapkan, bukan "purba" seperti yang terlihat. Antiturunan adalah konsep dasar dari seluruh kalkulus integral. Integral apa pun - tidak terbatas, pasti (Anda akan berkenalan dengannya di semester ini), serta permukaan ganda, rangkap tiga, lengkung, (dan ini adalah karakter utama tahun kedua) - dibangun di atas konsep kunci ini. Masuk akal untuk dikuasai. Pergi.)

Sebelum berkenalan dengan konsep antiturunan, mari kita ingat istilah paling umum yang paling umum turunan. Tanpa mempelajari teori limit yang membosankan, peningkatan argumen dan hal-hal lain, kita dapat mengatakan bahwa menemukan turunan (atau diferensiasi) hanyalah operasi matematika pada fungsi. Dan itu saja. Setiap fungsi diambil (misalnya, f(x) = x2) dan menurut aturan tertentu berubah menjadi fitur baru. Dan ini dia fitur baru dan disebut turunan.

Dalam kasus kami, sebelum diferensiasi ada fungsi f(x) = x2, dan setelah diferensiasi menjadi sudah fungsi lainnya f'(x) = 2x.

Turunan– karena fungsi baru kami f'(x) = 2x telah terjadi dari fungsi f(x) = x2. Sebagai hasil dari operasi diferensiasi. Dan terlebih lagi, itu darinya, dan bukan dari fungsi lain ( x 3, Sebagai contoh).

Secara kasar, f(x) = x2- ini ibu, f'(x) = 2x- putri kesayangannya.) Ini bisa dimengerti. Pindah.

Matematikawan adalah orang yang gelisah. Untuk setiap tindakan mereka mencoba untuk menemukan reaksi. :) Ada penambahan - ada juga pengurangan. Ada perkalian dan ada pembagian. Meningkatkan kekuatan berarti mengekstraksi akar. Sinus adalah arcsinus. Ada yang sama persis diferensiasi Artinya ada... integrasi.)

Dan sekarang mari kita ajukan masalah yang begitu menarik. Kami memiliki, misalnya, fungsi yang begitu sederhana f(x) = 1. Dan kita perlu menjawab pertanyaan ini:

Turunan dari fungsi APA memberi kita fungsif(x) = 1?

Dengan kata lain, melihat putrinya, menggunakan analisis DNA, mencari tahu siapa ibunya. :) Jadi dari apa asli fungsi (sebut saja F(x)) our turunan fungsi f(x) = 1? Atau, dalam bentuk matematika, untuk apa fungsi F(x) persamaan terpenuhi:

F'(x) = f(x) = 1?

Sebuah contoh dasar. Saya mencoba.) Kami hanya memilih fungsi F (x) agar persamaan berfungsi. :) Nah, bagaimana Anda mengambilnya? Oh tentu! F(x) = x. Karena:

F'(x) = x' = 1 = f(x).

Tentu saja, temukan ibu F(x) = x Anda harus menyebutnya sesuatu, ya.) Temui saya!

Sebuah antiturunan untuk suatu fungsif(x) adalah fungsi seperti ituF(x), yang turunannya sama denganf(x), yaitu yang persamaannyaF’(x) = f(x).

Itu saja. Tidak ada lagi trik ilmiah. Dalam definisi yang ketat, frasa tambahan ditambahkan "antara x". Tetapi kita tidak akan menyelidiki seluk-beluk ini untuk saat ini, karena tugas utama kita adalah mempelajari bagaimana menemukan hal-hal yang sangat primitif ini.

Dalam kasus kami, ternyata fungsinya F(x) = x adalah primitif untuk fungsi f(x) = 1.

Mengapa? karena F'(x) = f(x) = 1. Turunan dari x adalah kesatuan. Tidak ada objek.)

Istilah "primordial" secara filistin berarti "leluhur", "induk", "leluhur". Kami segera mengingat orang yang paling tersayang dan dekat.) Dan pencarian antiturunan itu sendiri adalah pemulihan fungsi aslinya dengan turunannya yang diketahui. Dengan kata lain, tindakan ini kebalikan dari diferensiasi. Dan itu saja! Proses menarik ini sendiri juga disebut cukup ilmiah - integrasi. Tapi tentang integral- nanti. Sabar, teman-teman!

Ingat:

Integrasi adalah operasi matematika pada suatu fungsi (seperti halnya diferensiasi).

Integrasi adalah kebalikan dari diferensiasi.

Antiturunan adalah hasil dari integrasi.

Sekarang mari kita memperumit tugas. Sekarang mari kita cari antiturunan untuk fungsi f(x) = x. Artinya, mari kita temukan fungsi seperti itu F(x) , ke turunannya akan sama dengan x:

F'(x) = x

Siapa yang berteman dengan derivatif, mungkin akan muncul di pikiran:

(x 2)' = 2x.

Nah, hormati dan hormati mereka yang mengingat tabel turunan!) Betul. Tapi ada satu masalah. Fungsi asli kami f(x) = x, sebuah (x2)' = 2 x. Dua X. Dan setelah diferensiasi, kita harus mendapatkan hanya x. Tidak baik. Tetapi…

Kami adalah orang-orang yang ilmiah. Kami menerima sertifikat.) Dan kami tahu dari sekolah bahwa kedua bagian dari persamaan apa pun dapat dikalikan dan dibagi dengan angka yang sama (kecuali nol, tentu saja)! Jadi diatur. Mari manfaatkan kesempatan ini.)

Lagi pula, kami ingin X yang bersih tetap di kanan, bukan? Dan deuce mengganggu ... Jadi kami mengambil rasio untuk turunan (x 2) '= 2x dan membagi kedua bagian itu untuk dua ini:

Jadi, itu menjernihkan beberapa hal. Pindah. Kita tahu bahwa konstanta apa pun dapat menjadi keluarkan dari tanda turunannya. Seperti ini:

Semua rumus dalam matematika bekerja baik dari kiri ke kanan dan sebaliknya - dari kanan ke kiri. Ini berarti bahwa, dengan keberhasilan yang sama, konstanta apa pun dapat menjadi masukkan di bawah tanda turunan:

Dalam kasus kami, kami menyembunyikan keduanya di penyebut (atau, yang sama, koefisien 1/2) di bawah tanda turunan:

Dan sekarang dengan penuh perhatian Mari kita lihat catatan kita. Apa yang kita lihat? Kita melihat persamaan yang mengatakan bahwa turunan dari sesuatu(Ini sesuatu- dalam kurung) sama dengan x.

Persamaan yang dihasilkan hanya berarti bahwa antiturunan yang diinginkan untuk fungsi tersebut f(x) = x melayani fungsi F(x) = x2/2 . Yang ada di dalam kurung di bawah goresan. Langsung sesuai dengan arti antiturunannya.) Nah, yuk kita cek hasilnya. Mari kita cari turunannya:

Bagus! Punya fungsi aslinya f(x) = x. Dari apa yang mereka tarian, untuk itu mereka kembali. Ini berarti antiturunan kami ditemukan dengan benar.)

Dan jika f(x) = x2? Apa yang sama dengan primitifnya? Tidak masalah! Anda dan saya tahu (sekali lagi, dari aturan diferensiasi) bahwa:

3x2 = (x3)'

DAN, itu adalah,

Mengerti? Sekarang kami, tanpa terasa untuk diri kami sendiri, telah belajar menghitung antiturunan untuk apa pun fungsi daya f(x)=x n. Dalam pikiran.) Kami mengambil indikator awal n, tambah satu, dan sebagai kompensasi kami membagi seluruh struktur dengan n+1:

Rumus yang dihasilkan, omong-omong, valid tidak hanya untuk indikator alami derajat n, tetapi juga untuk yang lainnya - negatif, pecahan. Ini memudahkan untuk menemukan antiderivatif dari yang sederhana pecahan dan akar.

Sebagai contoh:

Tentu saja, n -1 , jika penyebut rumus adalah nol, dan rumus kehilangan artinya.) Tentang kasus khusus ini n=-1 sebentar lagi.)

Apa itu integral tak tentu? Tabel integral.

Katakanlah apa adalah turunan untuk fungsi F(x) = x? Nah, satu, satu - saya mendengar jawaban yang tidak puas ... Itu benar. Satuan. Tapi ... Untuk fungsinya G(x) = x+1 turunan juga akan sama dengan satu.:

Juga, turunannya akan sama dengan satu untuk fungsi x+1234 , dan untuk fungsi x-10 , dan untuk fungsi lain dari bentuk x+C , di mana Dengan adalah setiap konstan. Untuk turunan dari setiap konstanta sama dengan nol, dan dari penambahan / pengurangan nol, tidak ada yang dingin atau panas.)

Ternyata ambiguitas. Ternyata untuk fungsi f(x) = 1 berfungsi sebagai prototipe bukan hanya fungsi F(x) = x , tetapi juga fungsinya F 1 (x) = x+1234 dan fungsi F2 (x) = x-10 dll!

Ya. Itu benar.) Untuk semua orang ( kontinu pada interval) dari fungsi tersebut, tidak hanya ada satu antiturunan, tetapi banyak tak terhingga - seluruh keluarga! Bukan satu ibu atau ayah, tetapi seluruh silsilah, ya.)

Tetapi! Semua kerabat primitif kita memiliki satu kesamaan yang penting. Itu sebabnya mereka adalah kerabat.) Properti sangat penting sehingga dalam proses menganalisis metode integrasi, kita akan mengingatnya lebih dari sekali. Dan kami akan mengingatnya untuk waktu yang lama.)

Ini dia, properti ini:

Dua primitif apa pun F 1 (x) danF 2 (x) dari fungsi yang samaf(x) berbeda dengan konstanta:

F 1 (x) - F 2 (x) = C

Siapa yang peduli dengan bukti - pelajari literatur atau catatan kuliah.) Oke, biarlah, saya akan membuktikannya. Untungnya, buktinya di sini adalah dasar, dalam satu langkah. Kami mengambil kesetaraan

F 1 (x) - F 2 (x) = C

dan Mari kita bedakan kedua bagian tersebut. Artinya, kami dengan bodohnya memberikan pukulan:

Itu saja. Seperti yang mereka katakan, CTD. :)

Apa yang dikatakan properti ini? Dan dua primitif yang berbeda itu dari fungsi yang sama f(x) tidak bisa berbeda dengan beberapa ekspresi dengan x . Hanya ketat pada konstan! Dengan kata lain, jika kita memiliki semacam grafik salah satu pionir(misalkan F(x)), maka grafiknya semua orang lain antiturunan kami dibangun oleh terjemahan paralel dari grafik F(x) sepanjang sumbu y.

Mari kita lihat tampilannya pada contoh fungsi f(x) = x. Semua primitifnya, seperti yang telah kita ketahui, memiliki bentuk umum F(x) = x 2 /2+C . Di gambar terlihat seperti jumlah parabola tak terhingga diperoleh dari parabola "utama" y = x 2 /2 dengan menggeser ke atas atau ke bawah sepanjang sumbu OY tergantung pada nilai konstanta Dengan.

Ingat sekolah merencanakan suatu fungsi y=f(x)+a jadwal shift y=f(x) oleh unit "a" di sepanjang sumbu y?) Ini dia sama.)

Dan, perhatikan: parabola kami jangan menyeberang kemana-mana! Itu alami. Bagaimanapun, dua fungsi yang berbeda y 1 (x) dan y 2 (x) pasti akan berkorespondensi dua nilai konstanta yang berbeda – Dari 1 dan Dari 2.

Oleh karena itu, persamaan y 1 (x) = y 2 (x) tidak pernah memiliki solusi:

C1 = C2

x , sebagai C1 C2

Dan sekarang kita dengan lancar mendekati konsep landasan kedua dari kalkulus integral. Seperti yang baru saja kita tentukan, setiap fungsi f(x) memiliki himpunan antiturunan tak berhingga F(x) + C yang berbeda satu sama lain dengan konstanta. Himpunan paling tak terbatas ini juga memiliki nama khusus sendiri.) Ya, tolong cintai dan bantu!

Apa itu integral tak tentu?

Himpunan semua antiturunan untuk suatu fungsi f(x) disebut integral tak tentu dari fungsif(x).

Itulah definisi keseluruhan.)

"Tidak pasti" - karena himpunan semua antiturunan untuk fungsi yang sama tanpa henti. Terlalu banyak pilihan.)

"Integral" - kita akan berkenalan dengan decoding terperinci dari kata brutal ini di bagian besar berikutnya tentang integral tertentu. Sementara itu, dalam bentuk kasar, kami akan mempertimbangkan sebagai sesuatu yang tidak terpisahkan umum, satu, keseluruhan. Dan integrasi Persatuan, generalisasi, dalam hal ini transisi dari yang khusus (turunan) ke yang umum (antiturunan). Sesuatu seperti itu.

Integral tak tentu dilambangkan sebagai berikut:

Bunyinya sama seperti yang tertulis: integral eff dari x de x. Atau integral dari ef dari x de x. Nah, Anda mendapatkan idenya.)

Sekarang mari kita berurusan dengan notasi.

∫ - ikon integral. Artinya sama dengan guratan untuk turunannya.)

d - ikondiferensial. Kami tidak takut! Mengapa dibutuhkan di sana - sedikit lebih rendah.

f(x) - integral(melalui "s").

f(x)dx - integral Atau, secara kasar, "isian" integral.

Berdasarkan pengertian integral tak tentu,

Di Sini F(x)- yang sama anti turunan untuk fungsi f(x) yang kita entah bagaimana menemukan diri mereka sendiri. Bagaimana tepatnya mereka menemukan itu bukanlah intinya. Misalnya, kami telah menetapkan bahwa F(x) = x2/2 untuk f(x)=x.

"DENGAN" - konstanta sewenang-wenang. Atau, secara lebih ilmiah, konstanta integral. Atau konstanta integrasi. Semuanya adalah satu.)

Sekarang mari kembali ke contoh antiturunan pertama kita. Dalam hal integral tak tentu, kita sekarang dapat dengan aman menulis:

Apa itu konstanta integral dan mengapa diperlukan?

Pertanyaannya sangat menarik. Dan sangat (SANGAT!) penting. Konstanta integral dari seluruh himpunan tak hingga dari antiturunan memilih garis itu, yang melalui titik tertentu.

Apa intinya. Dari himpunan antiturunan tak terbatas asli (mis. integral tak tentu) perlu untuk memilih kurva yang akan melewati titik yang diberikan. Dengan beberapa koordinat tertentu. Tugas seperti itu selalu dan di mana-mana ditemui selama pengenalan awal dengan integral. Baik di sekolah maupun di universitas.

Masalah umum:

Di antara himpunan semua antiturunan dari fungsi f=x pilih salah satu yang melewati titik (2;2).

Kami mulai berpikir dengan kepala kami ... Himpunan semua primitif - ini berarti Anda harus terlebih dahulu mengintegrasikan fungsi asli kami. Yaitu, x(x). Kami melakukan ini sedikit lebih tinggi dan mendapatkan jawaban berikut:

Dan sekarang kami mengerti apa yang sebenarnya kami dapatkan. Kami telah menerima tidak hanya satu fungsi, tetapi seluruh keluarga fungsi. Yang mana? Vida y=x 2 /2+C . Tergantung pada nilai konstanta C. Dan sekarang kita harus "menangkap" nilai konstanta ini.) Nah, mari kita tangkap?)

pancing kami - keluarga kurva (parabola) y=x2/2+C.

Konstanta - ini adalah ikan. Banyak banyak. Tetapi masing-masing memiliki kail dan umpannya sendiri.)

Dan apa umpannya? Benar! Poin kami adalah (-2;2).

Jadi kita ganti koordinat titik kita dalam bentuk umum antiturunan! Kita mendapatkan:

y(2) = 2

Dari sini mudah ditemukan C=0.

Apa yang dimaksud dengan siyo? Ini berarti bahwa dari seluruh himpunan parabola tak berhingga dari bentuky=x 2 /2+Chanya parabola dengan konstanta C=0 cocok untuk kita! Yaitu:y=x2/2. Dan hanya dia. Hanya parabola ini yang akan melewati titik yang kita butuhkan (-2; 2). Dan masuksemua parabola lain dari keluarga kami melewati titik ini tidak akan lagi. Melalui beberapa titik lain dari pesawat - ya, tetapi melalui titik (2; 2) - tidak lagi. Mengerti?

Untuk kejelasan, berikut adalah dua gambar untuk Anda - seluruh keluarga parabola (yaitu, integral tak tentu) dan beberapa parabola beton sesuai dengan nilai spesifik dari konstanta dan melewati titik tertentu:

Lihat betapa pentingnya mempertimbangkan konstanta Dengan ketika mengintegrasikan! Jadi jangan abaikan huruf "C" ini dan jangan lupa untuk memberikan jawaban akhir.

Dan sekarang mari kita cari tahu mengapa simbol itu ada di mana-mana di dalam integral dx . Siswa sering melupakannya ... Dan ini, omong-omong, juga merupakan kesalahan! Dan cukup kasar. Intinya adalah bahwa integrasi adalah kebalikan dari diferensiasi. Dan apa sebenarnya? hasil diferensiasi? Turunan? Benar, tapi tidak juga. Diferensial!

Dalam kasus kami, untuk fungsi f(x) diferensial dari antiturunannya F(x), akan:

Siapa pun yang tidak memahami rantai ini - segera ulangi definisi dan makna diferensial dan bagaimana tepatnya terungkap! Jika tidak, Anda akan melambat tanpa ampun dalam integral ....

Biarkan saya mengingatkan Anda, dalam bentuk filistin yang paling kasar, bahwa diferensial dari setiap fungsi f (x) hanyalah produk f'(x)dx. Dan itu saja! Ambil turunannya dan kalikan dengan diferensial argumen(yaitu dx). Artinya, diferensial apa pun, pada kenyataannya, direduksi menjadi perhitungan biasa turunan.

Oleh karena itu, secara tegas, integralnya "diambil" bukan dari fungsi f(x), seperti yang diyakini secara umum, dan diferensial f(x)dx! Tetapi, dalam versi yang disederhanakan, biasanya dikatakan bahwa integral diambil dari fungsi. Atau: "Mengintegrasikan fungsi f(x)". Ini sama. Dan kami akan mengatakan hal yang sama. Tapi tentang ikon dx Jangan lupa! :)

Dan sekarang saya akan memberi tahu Anda bagaimana tidak melupakannya saat merekam. Bayangkan terlebih dahulu bahwa Anda menghitung turunan biasa terhadap variabel x. Bagaimana Anda biasanya menulisnya?

Seperti ini: f’(x), y’(x), y’x. Atau lebih tepatnya, melalui rasio diferensial: dy/dx. Semua catatan ini menunjukkan kepada kita bahwa turunan diambil tepat oleh x. Dan bukan dengan "y", "te" atau variabel lain.)

Hal yang sama berlaku untuk integral. Rekaman f(x)dx kami juga seolah olah menunjukkan bahwa integrasi dilakukan tepat dengan variabel x. Tentu saja, ini semua sangat sederhana dan kasar, tetapi jelas, saya harap. Dan kemungkinannya lupa atribut di mana-mana dx turun tajam.)

Jadi, apa itu integral tak tentu yang sama - temukan jawabannya. Bagus.) Sekarang akan menyenangkan untuk mempelajari integral tak tentu ini menghitung. Atau, sederhananya, "ambil". :) Dan di sini para siswa sedang menunggu dua berita - baik dan tidak begitu baik. Untuk saat ini, mari kita mulai dengan yang baik.)

Beritanya bagus. Untuk integral, serta untuk turunan, ada tabel. Dan semua integral yang akan kita temui di sepanjang jalan, bahkan yang paling mengerikan dan mewah, kita menurut aturan tertentu kami entah bagaimana akan menguranginya menjadi yang sangat tabular ini.)

Jadi ini dia tabel integral!

Berikut adalah tabel integral yang indah dari fungsi paling populer. Saya sarankan untuk memberi perhatian khusus pada kelompok formula 1-2 (fungsi konstan dan daya). Ini adalah rumus yang paling umum dalam integral!

Kelompok rumus ketiga (trigonometri), seperti yang Anda duga, diperoleh hanya dengan membalik rumus yang sesuai untuk turunan.

Sebagai contoh:

Dengan kelompok rumus keempat (fungsi eksponensial) - semuanya serupa.

Dan inilah empat kelompok formula terakhir (5-8) untuk kita baru. Dari mana asalnya dan untuk apa fungsi eksotik ini tiba-tiba masuk ke tabel integral dasar? Mengapa kelompok fungsi ini sangat menonjol dari fungsi lainnya?

Jadi itu terjadi secara historis dalam proses pembangunan metode integrasi . Ketika kita berlatih untuk mengambil integral yang paling beragam, Anda akan memahami bahwa integral dari fungsi yang tercantum dalam tabel sangat, sangat umum. Seringkali matematikawan mengklasifikasikannya sebagai tabel.) Sangat banyak integral lain yang diekspresikan melaluinya, dari konstruksi yang lebih kompleks.

Demi kepentingan, Anda dapat mengambil salah satu formula mengerikan ini dan membedakannya. :) Misalnya, formula ke-7 yang paling brutal.

Semuanya baik-baik saja. Matematikawan tidak menipu. :)

Diinginkan untuk mengetahui tabel integral, serta tabel turunan, dengan hati. Bagaimanapun, empat kelompok formula pertama. Ini tidak sesulit kelihatannya pada pandangan pertama. Hafalkan empat kelompok terakhir (dengan pecahan dan akar) Selamat tinggal tidak layak. Pokoknya awalnya bingung mau nulis logaritma dimana, dimana arc tangen, dimana arc sinus, dimana 1/a, dimana 1/2a... Hanya ada satu jalan keluar - untuk menyelesaikan lebih lanjut contoh. Kemudian meja secara bertahap akan diingat dengan sendirinya, dan keraguan akan berhenti menggigit.)

Orang-orang yang sangat ingin tahu, melihat dari dekat ke meja, mungkin bertanya: di mana integral dari fungsi "sekolah" dasar lainnya - tangen, logaritma, "lengkungan" di tabel? Katakanlah mengapa ada integral sinus dalam tabel, tetapi TIDAK ada, katakanlah, integral dari garis singgung tg x? Atau tidak ada integral dari logaritma di x? Dari arcsinus arcsin x? Mengapa mereka lebih buruk? Tetapi penuh dengan beberapa fungsi "kiri" - dengan akar, pecahan, kuadrat ...

Menjawab. Tidak ada yang lebih buruk.) Hanya integral di atas (dari tangen, logaritma, arcsinus, dll.) tidak berbentuk tabel . Dan mereka ditemukan dalam praktik jauh lebih jarang daripada yang disajikan dalam tabel. jadi tahu dengan hati, yang sama dengan mereka, sama sekali tidak diperlukan. Cukup tahu bagaimana mereka dihitung.)

Apa, seseorang masih tak tertahankan? Jadilah itu, khusus untuk Anda!

Nah, bagaimana Anda akan belajar? :) Anda tidak akan? Dan jangan.) Tapi jangan khawatir, kita pasti akan menemukan semua integral seperti itu. dalam pelajaran yang relevan. :)

Nah, sekarang kita beralih ke sifat-sifat integral tak tentu. Ya, tidak ada yang bisa dilakukan! Sebuah konsep baru diperkenalkan, dan beberapa propertinya segera dipertimbangkan.

Sifat-sifat integral tak tentu.

Sekarang kabar yang tidak begitu baik.

Berbeda dengan diferensiasi, aturan integrasi standar umum, adil untuk semua kesempatan, tidak ada dalam matematika. Ini fantastis!

Misalnya, Anda semua tahu betul (saya harap!) setiap kerja setiap dua fungsi f(x) g(x) dibedakan seperti ini:

(f(x) g(x))’ = f’(x) g(x) + f(x) g’(x).

Setiap hasil bagi dibedakan seperti ini:

Dan fungsi kompleks apa pun, tidak peduli seberapa bengkoknya, dibedakan seperti ini:

Dan tidak peduli fungsi apa yang disembunyikan di bawah huruf f dan g, aturan umum akan tetap berfungsi dan turunannya, dengan satu atau lain cara, akan ditemukan.

Tetapi dengan integral, angka seperti itu tidak akan berfungsi lagi: untuk produk, hasil bagi (pecahan), serta fungsi kompleks dari rumus integrasi umum tidak ada! Tidak ada aturan standar! Sebaliknya, mereka. Saya menyinggung matematika dengan sia-sia.) Tetapi, pertama, jumlahnya jauh lebih sedikit daripada aturan umum untuk diferensiasi. Dan kedua, sebagian besar metode integrasi yang akan kita bicarakan dalam pelajaran berikutnya sangat, sangat spesifik. Dan mereka hanya valid untuk kelas fungsi tertentu yang sangat terbatas. Katakan saja untuk fungsi rasional pecahan. Atau beberapa lainnya.

Dan beberapa integral, meskipun ada di alam, umumnya tidak diekspresikan dengan cara apa pun melalui fungsi "sekolah" dasar! Ya, ya, dan ada banyak integral seperti itu! :)

Itulah sebabnya integrasi adalah tugas yang jauh lebih memakan waktu dan melelahkan daripada diferensiasi. Tapi ini punya semangatnya sendiri. Kegiatan ini kreatif dan sangat mengasyikkan.) Dan, jika Anda menguasai tabel integral dengan baik dan menguasai setidaknya dua teknik dasar, yang akan kita bahas nanti (dan), maka Anda akan sangat menyukai integrasi. :)

Dan sekarang mari kita berkenalan dengan sifat-sifat integral tak tentu. Mereka bukan apa-apa. Di sini mereka.

Dua sifat pertama sepenuhnya analog dengan sifat yang sama untuk turunan dan disebut sifat linearitas integral tak tentu . Semuanya sederhana dan logis di sini: integral dari jumlah / selisih sama dengan jumlah / selisih dari integral, dan faktor konstanta dapat dikeluarkan dari tanda integral.

Tetapi tiga properti berikut pada dasarnya baru bagi kami. Mari kita menganalisis mereka secara lebih rinci. Mereka terdengar dalam bahasa Rusia sebagai berikut.

Properti ketiga

Turunan integral sama dengan integral

Semuanya sederhana, seperti dalam dongeng. Jika Anda mengintegrasikan fungsi, dan kemudian menemukan turunan dari hasilnya kembali, maka ... Anda mendapatkan integran asli. :) Anda selalu dapat (dan harus) menggunakan properti ini untuk memeriksa hasil integrasi akhir. Kami menghitung integral - bedakan jawabannya! Kami mendapat integran - OK. Mereka tidak menerimanya, yang berarti mereka mengacaukan suatu tempat. Cari kesalahannya.)

Tentu saja dalam jawabannya bisa didapatkan fungsi-fungsi brutal dan ribet seperti itu sehingga enggan untuk membedakannya kembali, ya. Tetapi lebih baik, jika memungkinkan, untuk mencoba memeriksa diri sendiri. Setidaknya dalam contoh-contoh di mana itu mudah.)

Properti keempat

Diferensial integral sama dengan integral .

Tidak ada yang istimewa di sini. Esensinya sama, hanya dx yang muncul di akhir. Menurut properti sebelumnya dan aturan untuk memperluas diferensial.

Properti kelima

Integral diferensial dari beberapa fungsi sama dengan jumlah fungsi ini dan konstanta arbitrer .

Juga properti yang sangat sederhana. Kami juga akan menggunakannya secara teratur dalam proses penyelesaian integral. Khususnya - di dan.

Berikut adalah beberapa fitur yang berguna. Saya tidak akan bosan dengan bukti ketat mereka di sini. Saya menyarankan bahwa mereka yang ingin melakukan ini sendiri. Langsung sesuai dengan pengertian turunan dan diferensial. Saya akan membuktikan hanya yang terakhir, properti kelima, karena kurang jelas.

Jadi kita punya pernyataan:

Kami mengambil "isian" integral kami dan membukanya, sesuai dengan definisi diferensial:

Untuk jaga-jaga, saya mengingatkan Anda bahwa, menurut notasi turunan dan antiturunan kami, F’(x) = f(x) .

Kami sekarang memasukkan hasil kami kembali ke dalam integral:

Diterima dengan tepat definisi integral tak tentu (semoga bahasa Rusia memaafkan saya)! :)

Itu saja.)

Sehat. Mengenai hal ini, saya menganggap perkenalan awal kita dengan dunia integral yang misterius telah terjadi. Hari ini saya mengusulkan untuk membulatkan. Kami sudah cukup bersenjata untuk melakukan pengintaian. Jika tidak dengan senapan mesin, maka setidaknya dengan pistol air dengan sifat dasar dan meja. :) Dalam pelajaran berikutnya, kita sudah menunggu contoh integral tak berbahaya yang paling sederhana untuk penerapan langsung tabel dan sifat tertulisnya.

Sampai jumpa!

Target:

• Pembentukan konsep primitif.
• Persiapan untuk persepsi integral.
• Pembentukan keterampilan komputasi.
• Pendidikan rasa keindahan (kemampuan untuk melihat keindahan dalam hal yang tidak biasa).

Analisis matematika - satu set bagian matematika yang ditujukan untuk mempelajari fungsi dan generalisasinya dengan metode kalkulus diferensial dan integral.

Sampai saat ini, kita telah mempelajari bagian analisis matematika yang disebut kalkulus diferensial, yang intinya adalah mempelajari fungsi dalam "kecil".

Itu. studi tentang fungsi di lingkungan yang cukup kecil dari setiap titik definisi. Salah satu operasi diferensiasi adalah mencari turunan (diferensial) dan menerapkannya pada studi fungsi.

Sama pentingnya adalah masalah kebalikannya. Jika perilaku suatu fungsi diketahui di sekitar setiap titik definisinya, lalu bagaimana mengembalikan fungsi secara keseluruhan, mis. atas seluruh rentang definisinya. Masalah ini adalah subjek studi dari apa yang disebut kalkulus integral.

Integrasi adalah kebalikan dari diferensiasi. Atau pemulihan fungsi f(x) dari turunan f`(x) yang diberikan. Kata Latin “integro” berarti pemulihan.

Contoh 1.

Misalkan (x)`=3x 2 .
Temukan f(x).

Keputusan:

Berdasarkan aturan diferensiasi, mudah ditebak bahwa f (x) \u003d x 3, karena (x 3)` \u003d 3x 2
Namun, mudah untuk melihat bahwa f(x) ditemukan secara ambigu.
Sebagai f(x) kita dapat mengambil
f (x) \u003d x 3 +1
f (x) \u003d x 3 +2
f (x) \u003d x 3 -3, dll.

Karena turunannya masing-masing adalah 3x2. (Turunan dari konstanta adalah 0). Semua fungsi ini berbeda satu sama lain dengan istilah yang konstan. Oleh karena itu, solusi umum dari masalah tersebut dapat ditulis sebagai f(x)= x 3 +C, di mana C adalah sembarang bilangan real konstan.

Salah satu fungsi yang ditemukan f(x) disebut UTAMA untuk fungsi F`(x) = 3x 2

Definisi. Fungsi F(x) disebut antiturunan untuk fungsi f(x) pada interval tertentu J, jika untuk semua x dari interval ini F`(x) = f(x). Jadi fungsi F (x) \u003d x 3 adalah antiturunan untuk f (x) \u003d 3x 2 pada (- ; ).
Karena, untuk semua x ~ R, persamaannya benar: F`(x)=(x 3)`=3x 2

Seperti yang telah kita perhatikan, fungsi ini memiliki himpunan antiturunan tak terhingga (lihat contoh No. 1).

Contoh #2. Fungsi F(x)=x adalah antiturunan untuk semua f(x)= 1/x pada interval (0; +), karena untuk semua x dari interval ini, persamaan berlaku.
F`(x)=(x 1/2)`=1/2x -1/2=1/2x

Contoh #3 Fungsi F(x)=tg3x adalah antiturunan untuk f(x)=3/cos3x pada interval (-n/ 2; P/ 2),
karena F`(x)=(tg3x)`= 3/cos 2 3x

Contoh #4 Fungsi F(x)=3sin4x+1/x-2 adalah antiturunan untuk f(x)=12cos4x-1/x 2 pada interval (0;∞)
karena F`(x)=(3sin4x)+1/x-2)`= 4cos4x-1/x 2

Kuliah 2

Topik: Primordial. Properti utama dari fungsi antiturunan.

Saat mempelajari antiturunan, kita akan mengandalkan pernyataan berikut. Tanda kekonstanan fungsi: Jika pada interval J turunan (х) dari fungsi sama dengan 0, maka pada interval ini fungsi (х) adalah konstan.

Pernyataan ini dapat ditunjukkan secara geometris.

Diketahui bahwa `(x)=tgα, γde -sudut kemiringan garis singgung grafik fungsi (x) di titik dengan absis x 0 . Jika `(υ)=0 pada sembarang titik dalam interval J, maka tgα=0 untuk sembarang garis singgung pada grafik fungsi (x). Ini berarti bahwa garis singgung grafik fungsi di sembarang titik sejajar dengan sumbu x. Oleh karena itu, pada interval yang ditunjukkan, grafik fungsi (x) berimpit dengan ruas garis lurus y=C.

Jadi, fungsi f(x)=c konstan pada interval J jika f`(x)=0 pada interval ini.

Memang, untuk arbitrer x 1 dan x 2 dari interval J, menurut teorema pada nilai rata-rata fungsi, kita dapat menulis:
f (x 2) - f (x 1) \u003d f` (c) (x 2 - x 1), karena f`(c)=0, lalu f(x 2)= f(x 1)

Teorema: (Sifat dasar fungsi antiturunan)

Jika F(x) adalah salah satu antiturunan untuk fungsi f(x) pada interval J, maka himpunan semua antiturunan dari fungsi ini memiliki bentuk: F(x)+C, di mana C adalah sembarang bilangan real.

Bukti:

Misalkan F`(x) = f(x), maka (F(x)+C)`= F`(x)+C`= f(x), untuk x J.
Misalkan terdapat (x) - antiturunan lain untuk f (x) pada interval J, yaitu. `(x) = f(x),
maka (Φ(х) - F(х))` = f (х) - f (х) = 0, untuk x J.
Ini berarti bahwa (x) - F(x) konstan pada interval J.
Oleh karena itu, (x) - F(x) = C.
Dimana (x)= F(x)+C.
Ini berarti bahwa jika F(x) adalah antiturunan untuk fungsi f(x) pada interval J, maka himpunan semua antiturunan dari fungsi ini memiliki bentuk: F(x)+C, di mana C adalah sembarang bilangan real.
Oleh karena itu, setiap dua antiturunan dari fungsi yang diberikan berbeda satu sama lain dengan suku yang konstan.

Contoh: Tentukan himpunan antiturunan dari fungsi f (x) = cos x. Gambarlah grafik dari tiga yang pertama.

Keputusan: Sin x - salah satu antiturunan untuk fungsi f (x) = cos x
F(x) = Sin x + C adalah himpunan semua antiturunan.

F 1 (x) = Sin x-1
F 2 (x) = Sin x
F 3 (x) \u003d Sin x + 1

Ilustrasi geometris: Grafik antiturunan F(x)+C dapat diperoleh dari grafik antiturunan F(x) menggunakan terjemahan paralel r (0;c).

Contoh: Untuk fungsi f (x) \u003d 2x, temukan antiturunan, yang grafiknya melewati t.M (1; 4)

Keputusan: F(х)=х 2 +С adalah himpunan semua antiturunan, F(1)=4 - sesuai dengan kondisi masalah.
Oleh karena itu, 4 \u003d 1 2 +C
C = 3
F (x) \u003d x 2 +3

Salah satu operasi diferensiasi adalah mencari turunan (diferensial) dan menerapkannya pada studi fungsi.

Sama pentingnya adalah masalah kebalikannya. Jika perilaku suatu fungsi diketahui di sekitar setiap titik definisinya, lalu bagaimana mengembalikan fungsi secara keseluruhan, mis. atas seluruh rentang definisinya. Masalah ini adalah subjek studi dari apa yang disebut kalkulus integral.

Integrasi adalah kebalikan dari diferensiasi. Atau pemulihan fungsi f(x) dari turunan f`(x) yang diberikan. Kata Latin “integro” berarti pemulihan.

Contoh 1.

Misal (f(x))' = 3x 2 . Temukan f(x).

Keputusan:

Berdasarkan aturan diferensiasi, mudah ditebak bahwa f (x) \u003d x 3, karena

(x 3) ' = 3x 2 Namun, mudah untuk melihat bahwa f (x) ditemukan secara ambigu. Sebagai f (x) Anda dapat mengambil f (x) \u003d x 3 +1 f (x) \u003d x 3 +2 f (x) \u003d x 3 -3, dll.

Karena turunan masing-masing adalah 3x2. (Turunan dari konstanta adalah 0). Semua fungsi ini berbeda satu sama lain dengan istilah yang konstan. Oleh karena itu, solusi umum dari masalah tersebut dapat ditulis sebagai f(x)= x 3 +C, di mana C adalah sembarang bilangan real konstan.

Salah satu fungsi yang ditemukan f(x) disebut primitif untuk fungsi F`(x) = 3x 2

Definisi.

Fungsi F(x) disebut antiturunan untuk fungsi f(x) pada interval tertentu J, jika untuk semua x dari interval ini F`(x) = f(x). Jadi fungsi F (x) \u003d x 3 adalah antiturunan untuk f (x) \u003d 3x 2 pada (- ; ). Karena, untuk semua x ~ R, persamaannya benar: F`(x)=(x 3)`=3x 2

Seperti yang telah kita perhatikan, fungsi ini memiliki himpunan antiturunan tak terhingga.

Contoh #2.

Fungsi tersebut antiturunan untuk semua pada interval (0; +∞), karena untuk semua h dari interval ini, persamaan berlaku.

Tugas integrasi adalah menemukan semua antiturunannya untuk fungsi tertentu. Pernyataan berikut memainkan peran penting dalam memecahkan masalah ini:

Tanda kekonstanan suatu fungsi. Jika F "(x) \u003d 0 pada beberapa interval I, maka fungsi F adalah konstanta pada interval ini.

Bukti.

Mari kita perbaiki beberapa x 0 dari interval I. Kemudian untuk sembarang bilangan x dari interval tersebut, berdasarkan rumus Lagrange, seseorang dapat menentukan suatu bilangan c antara x dan x 0 sehingga

F (x) - F (x 0) \u003d F "(c) (x-x 0).

Dengan syarat, F’ (c) = 0, karena c 1, oleh karena itu,

F(x) - F(x 0) = 0.

Jadi, untuk semua x dari interval I

yaitu fungsi F tetap konstan.

Semua fungsi antiturunan f dapat ditulis menggunakan satu rumus, yang disebut bentuk umum antiturunan untuk fungsi f. Teorema berikut ini benar ( sifat dasar primitif):

Dalil. Setiap antiturunan untuk fungsi f pada interval I dapat ditulis sebagai:

F(x) + C, (1) di mana F(x) adalah salah satu antiturunan untuk fungsi f(x) pada interval I, dan C adalah konstanta arbitrer.

Mari kita jelaskan pernyataan ini, di mana dua sifat antiturunan dirumuskan secara singkat:

1. nomor berapa pun yang kita masukkan ke dalam ekspresi (1) alih-alih C, kita mendapatkan antiturunan untuk f pada interval I;
2. antiturunan mana pun untuk f pada interval I yang diambil, seseorang dapat memilih bilangan C sedemikian rupa sehingga untuk semua x dari interval I persamaan akan terpenuhi

Bukti.

1. Dengan syarat, fungsi F adalah antiturunan untuk f pada interval I. Oleh karena itu, F "(x) \u003d f (x) untuk setiap x∈1, oleh karena itu (F (x) + C)" \u003d F "( x) + C" \u003d f(x)+0=f(x), yaitu F(x) + C adalah antiturunan untuk fungsi f.
2. Misalkan (х) adalah salah satu antiturunan untuk fungsi f pada interval I yang sama, yaitu "(x) = f (х) untuk semua x∈I.

Kemudian (Ф (x) - F (x)) "= " (x) - F '(x) = f (x) - f (x) \u003d 0.

Ini mengikuti dari sini. karena tanda kekonstanan fungsi, maka selisih (х) - F (х) adalah fungsi yang mengambil beberapa nilai konstanta C pada interval I.

Jadi, untuk semua x dari interval I, persamaan (х) - F(x)=С benar, yang harus dibuktikan. Properti utama antiturunan dapat diberikan arti geometris: grafik dari dua antiturunan untuk fungsi f diperoleh satu sama lain dengan terjemahan paralel sepanjang sumbu y

Pertanyaan untuk abstrak

Fungsi F(x) adalah antiturunan dari fungsi f(x). Carilah F(1) jika f(x)=9x2 - 6x + 1 dan F(-1) = 2.

Temukan semua antiturunan untuk suatu fungsi

Untuk fungsi (x) = cos2 * sin2x, cari antiturunan F(x) jika F(0) = 0.

Untuk suatu fungsi, tentukan antiturunan yang grafiknya melalui titik

Kita telah melihat bahwa turunan memiliki banyak aplikasi: turunan adalah kecepatan gerakan (atau, lebih umum, kecepatan proses apa pun); turunannya adalah kemiringan garis singgung grafik fungsi; menggunakan turunan, Anda dapat menyelidiki fungsi untuk monotonisitas dan ekstrem; Derivatif membantu untuk memecahkan masalah optimasi.

Tetapi dalam kehidupan nyata, kita juga harus memecahkan masalah kebalikan: misalnya, bersama dengan masalah menemukan kecepatan dari hukum gerak yang diketahui, ada juga masalah memulihkan hukum gerak dari kecepatan yang diketahui. Mari kita pertimbangkan salah satu masalah ini.

Contoh 1 Sebuah titik material bergerak sepanjang garis lurus, kecepatan gerakannya pada waktu t diberikan oleh rumus u = tg. Temukan hukum gerak.

Keputusan. Biarkan s = s(t) menjadi hukum gerak yang diinginkan. Diketahui bahwa s"(t) = u"(t). Jadi, untuk menyelesaikan masalah, kita perlu memilih fungsi s = s(t), yang turunannya sama dengan tg. Mudah ditebak itu

Kami segera mencatat bahwa contoh diselesaikan dengan benar, tetapi tidak lengkap. Kami telah memperoleh bahwa Faktanya, masalahnya memiliki banyak solusi tak terhingga: fungsi apa pun dari bentuk konstanta sewenang-wenang, dapat berfungsi sebagai hukum gerak, karena

Untuk membuat tugas lebih spesifik, kami harus memperbaiki situasi awal: tunjukkan koordinat titik bergerak di beberapa titik waktu, misalnya, pada t=0. Jika, katakanlah, s (0) \u003d s 0, maka dari persamaan kita memperoleh s (0) \u003d 0 + C, yaitu S 0 \u003d C. Sekarang hukum gerak didefinisikan secara unik:
Dalam matematika, operasi saling terbalik diberi nama yang berbeda, notasi khusus ditemukan: misalnya, mengkuadratkan (x 2) dan mengekstraksi akar kuadrat sinus (sinx) dan arcsinus(busur x), dll. Proses menemukan turunan sehubungan dengan fungsi yang diberikan disebut diferensiasi, dan operasi kebalikannya, yaitu. proses menemukan fungsi dengan turunan tertentu - dengan integrasi.
Istilah "turunan" itu sendiri dapat dibenarkan "secara duniawi": fungsi y - f (x) "menghasilkan ke dunia" fungsi baru y "= f" (x) Fungsi y \u003d f (x) bertindak seolah-olah sebagai "induk" , tetapi matematikawan, tentu saja, tidak menyebutnya "induk" atau "produser", mereka mengatakan bahwa itu, dalam kaitannya dengan fungsi y "=f" (x), gambar utama , atau, singkatnya, antiturunan.

Definisi 1. Fungsi y \u003d F (x) disebut antiturunan untuk fungsi y \u003d f (x) pada interval X yang diberikan, jika untuk semua x dari X persamaan F "(x) \u003d f (x) benar .

Dalam praktiknya, interval X biasanya tidak ditentukan, tetapi tersirat (sebagai domain alami dari fungsi).

Berikut beberapa contohnya:

1) Fungsi y \u003d x 2 adalah antiturunan untuk fungsi y \u003d 2x, karena untuk semua x persamaan (x 2) "\u003d 2x benar.
2) fungsi y - x 3 adalah antiturunan untuk fungsi y-3x 2, karena untuk semua x persamaan (x 3)" \u003d 3x 2 adalah benar.
3) Fungsi y-sinx adalah antiturunan dari fungsi y=cosx, karena untuk semua x persamaan (sinx) "=cosx benar.
4) Fungsi tersebut antiturunan untuk fungsi pada interval karena untuk semua x > 0 persamaannya benar
Secara umum, mengetahui rumus mencari turunan, tidaklah sulit untuk menyusun tabel rumus mencari antiturunan.

Kami harap Anda mengerti bagaimana tabel ini dikompilasi: turunan dari fungsi yang ditulis di kolom kedua sama dengan fungsi yang ditulis di baris yang sesuai dari kolom pertama (lihat, jangan malas, itu sangat berguna). Misalnya, untuk fungsi y \u003d x 5, antiturunan, seperti yang Anda buat, adalah fungsi (lihat baris keempat tabel).

Catatan: 1. Di bawah ini kita buktikan teorema bahwa jika y = F(x) adalah antiturunan untuk suatu fungsi y = f(x), maka fungsi y = f(x) memiliki banyak antiturunan dan semuanya berbentuk y = F (x ) + C. Oleh karena itu, akan lebih tepat untuk menambahkan suku C di mana-mana di kolom kedua tabel, di mana C adalah bilangan real arbitrer.
2. Untuk singkatnya, terkadang alih-alih frasa "fungsi y = F(x) adalah antiturunan dari fungsi y = f(x)", mereka mengatakan F(x) adalah antiturunan untuk f(x) ".

2. Aturan untuk mencari antiturunan

Saat mencari antiturunan, serta saat mencari turunan, tidak hanya rumus yang digunakan (terdaftar dalam tabel di halaman 196), tetapi juga beberapa aturan. Mereka terkait langsung dengan aturan yang sesuai untuk menghitung turunan.

Kita tahu bahwa turunan suatu jumlah sama dengan jumlah turunannya. Aturan ini menghasilkan aturan yang sesuai untuk menemukan antiturunan.

Aturan 1 Antiturunan suatu jumlah sama dengan jumlah antiturunan.

Kami menarik perhatian Anda pada beberapa "ringan" dari kata-kata ini. Nyatanya, kita perlu merumuskan teorema: jika fungsi y = f(x) dan y=g(x) masing-masing memiliki antiturunan pada interval X, y-F(x) dan y-G(x), maka jumlah dari fungsi y = f(x) + g(x) memiliki antiturunan pada interval X, dan antiturunan ini adalah fungsi y = F(x) + G(x). Tetapi biasanya, ketika merumuskan aturan (dan bukan teorema), hanya kata kunci yang tersisa - ini lebih nyaman untuk menerapkan aturan dalam praktik.

Contoh 2 Tentukan antiturunan dari fungsi y = 2x + cos x.

Keputusan. Antiturunan untuk 2x adalah x "; antiturunan untuk cosx adalah sin x. Oleh karena itu, antiturunan untuk fungsi y \u003d 2x + cos x akan menjadi fungsi y \u003d x 2 + sin x (dan secara umum setiap fungsi dari bentuk Y \u003d x 1 + sinx + C) .
Kita tahu bahwa faktor konstanta dapat dikeluarkan dari tanda turunan. Aturan ini menghasilkan aturan yang sesuai untuk menemukan antiturunan.

Aturan 2 Faktor konstanta dapat dikeluarkan dari tanda antiturunan.

Contoh 3

Keputusan. a) Antiturunan untuk sin x adalah -cos x; maka, untuk fungsi y \u003d 5 sin x, antiturunannya adalah fungsi y \u003d -5 cos x.

b) Antiturunan untuk cos x adalah sin x; maka, untuk fungsi antiturunan akan ada fungsi
c) Antiturunan untuk x 3 adalah antiturunan untuk x adalah antiturunan untuk fungsi y \u003d 1 adalah fungsi y \u003d x. Menggunakan aturan pertama dan kedua untuk menemukan antiturunan, kita mendapatkan bahwa antiturunan untuk fungsi y \u003d 12x 3 + 8x-1 adalah fungsi
Komentar. Seperti yang Anda ketahui, turunan produk tidak sama dengan produk turunan (aturan untuk membedakan produk lebih rumit) dan turunan dari hasil bagi tidak sama dengan hasil bagi turunan. Oleh karena itu, tidak ada aturan untuk menemukan antiturunan produk atau antiturunan hasil bagi dua fungsi. Hati-hati!
Kami memperoleh satu aturan lagi untuk menemukan antiturunan. Kita tahu bahwa turunan dari fungsi y \u003d f (kx + m) dihitung dengan rumus

Aturan ini menghasilkan aturan yang sesuai untuk menemukan antiturunan.
Aturan 3 Jika y \u003d F (x) adalah antiturunan untuk fungsi y \u003d f (x), maka antiturunan untuk fungsi y \u003d f (kx + m) adalah fungsi

Memang,

Ini berarti merupakan antiturunan untuk fungsi y \u003d f (kx + m).
Arti dari aturan ketiga adalah sebagai berikut. Jika Anda tahu bahwa antiturunan untuk fungsi y \u003d f (x) adalah fungsi y \u003d F (x), dan Anda perlu menemukan antiturunan dari fungsi y \u003d f (kx + m), maka lanjutkan sebagai berikut: ambil fungsi yang sama F, tetapi alih-alih argumen x, gantikan ekspresi xx+m; selain itu, jangan lupa untuk menulis "faktor koreksi" sebelum tanda fungsi
Contoh 4 Temukan antiturunan untuk fungsi yang diberikan:

Keputusan, a) Antiturunan untuk sin x adalah -cos x; ini berarti bahwa untuk fungsi y \u003d sin2x, antiturunannya adalah fungsi
b) Antiturunan untuk cos x adalah sin x; maka, untuk fungsi antiturunan akan ada fungsi

c) Antiturunan untuk x 7 Oleh karena itu, untuk fungsi y \u003d (4-5x) 7, antiturunan akan menjadi fungsi

3. Integral tak tentu

Kami telah mencatat di atas bahwa masalah menemukan antiturunan untuk fungsi yang diberikan y = f(x) memiliki lebih dari satu solusi. Mari kita bahas masalah ini lebih detail.

Bukti. 1. Biarkan y \u003d F (x) menjadi antiturunan untuk fungsi y \u003d f (x) pada interval X. Ini berarti bahwa untuk semua x dari X persamaan x "(x) \u003d f (x) adalah benar Temukan turunan dari fungsi apa pun dalam bentuk y \u003d F (x) + C:
(F (x) + C) \u003d F "(x) + C \u003d f (x) + 0 \u003d f (x).

Jadi, (F(x)+C) = f(x). Ini berarti y \u003d F (x) + C adalah antiturunan untuk fungsi y \u003d f (x).
Jadi, kami telah membuktikan bahwa jika fungsi y \u003d f (x) memiliki antiturunan y \u003d F (x), maka fungsi (f \u003d f (x) memiliki banyak antiturunan, misalnya, fungsi apa pun dari bentuk y \u003d F (x) +C adalah antiturunan.
2. Sekarang mari kita buktikan bahwa seluruh himpunan antiturunan habis oleh jenis fungsi yang ditunjukkan.

Misalkan y=F 1 (x) dan y=F(x) adalah dua antiturunan untuk fungsi Y = f(x) pada interval X. Ini berarti bahwa untuk semua x dari interval X, hubungan berikut berlaku: F^( x) = f (X); F "(x) \u003d f (x).

Pertimbangkan fungsi y \u003d F 1 (x) -.F (x) dan temukan turunannya: (F, (x) -F (x)) "\u003d F [(x) - F (x) \u003d f (x) - f(x) = 0.
Diketahui bahwa jika turunan suatu fungsi pada interval X identik sama dengan nol, maka fungsi tersebut konstan pada interval X (lihat Teorema 3 pada 35). Karenanya, F 1 (x) -F (x) \u003d C, mis. Fx) \u003d F (x) + C.

Teorema telah terbukti.

Contoh 5 Hukum perubahan kecepatan dari waktu v = -5sin2t ditetapkan. Temukan hukum gerak s = s(t) jika diketahui bahwa pada saat t=0 koordinat titik sama dengan angka 1,5 (yaitu s(t) = 1,5).

Keputusan. Karena kelajuan adalah turunan dari koordinat sebagai fungsi waktu, pertama-tama kita perlu mencari antiturunan dari kelajuan, yaitu antiturunan untuk fungsi v = -5sin2t. Salah satu antiturunan tersebut adalah fungsi , dan himpunan semua antiturunan berbentuk:

Untuk menemukan nilai tertentu dari konstanta C, kita menggunakan kondisi awal, yang menurutnya, s(0) = 1,5. Substitusi ke rumus (1) nilai t=0, S = 1,5, kita dapatkan:

Mengganti nilai C yang ditemukan ke dalam rumus (1), kami memperoleh hukum gerak yang menarik bagi kami:

Definisi 2. Jika suatu fungsi y = f(x) memiliki antiturunan y = F(x) pada interval X, maka himpunan semua antiturunan, mis. himpunan fungsi bentuk y \u003d F (x) + C, disebut integral tak tentu dari fungsi y \u003d f (x) dan dinotasikan:

(mereka membaca: "ef integral tak tentu dari x de x").
Pada bagian selanjutnya, kita akan mengetahui apa arti tersembunyi dari notasi ini.
Berdasarkan tabel antiturunan yang tersedia dalam paragraf ini, kami akan menyusun tabel integral tak tentu dasar:

Berdasarkan tiga aturan di atas untuk menemukan antiturunan, kita dapat merumuskan aturan integrasi yang sesuai.

Aturan 1 Integral jumlah fungsi sama dengan jumlah integral fungsi berikut:

Aturan 2 Faktor konstanta dapat diambil dari tanda integral:

Aturan 3 Jika sebuah

Contoh 6 Cari integral tak tentu:

Keputusan, a) Dengan menggunakan aturan integrasi pertama dan kedua, kita peroleh:

Sekarang kita menggunakan rumus integrasi ke-3 dan ke-4:

Hasilnya, kita mendapatkan:

b) Menggunakan aturan integrasi ketiga dan rumus 8, kita mendapatkan:

c) Untuk penentuan langsung integral yang diberikan, kita tidak memiliki rumus yang bersesuaian maupun aturan yang bersesuaian. Dalam kasus seperti itu, transformasi identik awal dari ekspresi yang terkandung di bawah tanda integral terkadang membantu.

Mari kita gunakan rumus trigonometri untuk menurunkan derajat:

Kemudian berturut-turut kita menemukan:

A.G. Aljabar Mordkovich Tingkat 10

Perencanaan tematik kalender dalam matematika, video dalam matematika online , Matematika di sekolah

Pengertian anti turunan.

Fungsi antiturunan f(x) pada interval (a; b) adalah suatu fungsi F(x) yang persamaannya berlaku untuk setiap x dari interval tertentu.

Jika kita memperhitungkan fakta bahwa turunan dari konstanta C sama dengan nol, maka persamaan . Jadi, fungsi f(x) memiliki himpunan antiturunan F(x)+C , untuk konstanta sembarang C , dan antiturunan ini berbeda satu sama lain dengan nilai konstanta sembarang.

Definisi integral tak tentu.

Seluruh himpunan antiturunan dari fungsi f(x) disebut integral tak tentu dari fungsi ini dan dinotasikan .

Ungkapan tersebut disebut integral, dan f(x) integral. Integran adalah diferensial dari fungsi f(x) .

Tindakan menemukan fungsi yang tidak diketahui dengan diferensial yang diberikan disebut tidak pasti integrasi, karena hasil integrasinya bukan satu fungsi F(x) , tetapi himpunan antiturunannya F(x)+C .

Berdasarkan sifat-sifat turunannya, dapat dirumuskan dan dibuktikan sifat-sifat integral tak tentu(sifat antiturunan).

Persamaan antara dari sifat pertama dan kedua dari integral tak tentu diberikan untuk klarifikasi.

Untuk membuktikan sifat ketiga dan keempat, cukup dengan mencari turunan dari ruas kanan persamaan:

Turunan ini sama dengan integran, yang merupakan bukti berdasarkan sifat pertama. Ini juga digunakan dalam transisi terakhir.

Jadi, masalah integrasi adalah masalah kebalikan dari diferensiasi, dan ada hubungan yang sangat erat antara masalah ini:

• properti pertama memungkinkan pengecekan integrasi. Untuk memeriksa kebenaran integrasi yang dilakukan, cukup menghitung turunan dari hasil yang diperoleh. Jika fungsi yang diperoleh dari hasil diferensiasi ternyata sama dengan integran, maka ini berarti integrasi telah dilakukan dengan benar;
• properti kedua dari integral tak tentu memungkinkan kita untuk menemukan antiturunannya dari diferensial yang diketahui dari suatu fungsi. Perhitungan langsung integral tak tentu didasarkan pada sifat ini.

Pertimbangkan sebuah contoh.

Contoh.

Tentukan antiturunan dari fungsi yang nilainya sama dengan satu di x = 1.

Keputusan.

Kita tahu dari kalkulus diferensial bahwa (lihat saja tabel turunan dari fungsi dasar dasar). Dengan demikian, . Dengan properti kedua . Artinya, kami memiliki satu set antiderivatif. Untuk x = 1 kita mendapatkan nilai . Dengan syarat, nilai ini harus sama dengan satu, oleh karena itu, = 1. Antiturunan yang diinginkan akan berbentuk .

Contoh.

Tentukan integral tak tentu dan periksa hasilnya dengan diferensiasi.

Keputusan.

Menurut rumus sinus sudut ganda dari trigonometri , Itu sebabnya