;
3. 
,
dimana matriks-matriksnya berbentuk persegi dan berdimensi sama. Secara umum, jika untuk matriks non-persegi dimungkinkan hasil kali berupa matriks persegi, maka dimungkinkan pula adanya matriks invers. ,
meskipun properti 3 dilanggar dalam kasus ini. Untuk mencari matriks invers, Anda dapat menggunakan metode transformasi baris dasar: 1. Buatlah matriks yang diperluas dengan menempatkan matriks identitas yang bersesuaian dimensinya di sebelah kanan matriks asal: 
. 2. Transformasi baris dasar matriks G mengarah ke bentuk: . 
− diperlukan peringkat Matriks · Minor matriks orde ke-k adalah determinan yang terdiri dari elemen-elemen matriks asli yang terletak pada perpotongan k baris dan k kolom. ( 
).
Komentar. Setiap elemen matriks adalah minor orde pertama. Dalil. Jika dalam matriks semua minor berorde k sama dengan nol, maka semua minor berorde lebih tinggi sama dengan nol. Kami memperluas minor (determinan) ( k+1)urutan ke-melalui elemen baris ke-1: . Penjumlahan aljabar pada dasarnya adalah penjumlahan di bawah umur k- orde ke-th, yang menurut asumsi teorema, sama dengan nol. Karena itu, . · Dalam matriks orde, minor orde disebut basa jika tidak sama dengan nol, dan semua minor orde ke atas sama dengan nol, atau tidak ada sama sekali, yaitu. cocok dengan angka yang lebih kecil atau . Kolom dan baris matriks yang membentuk minor dasar disebut dasar. Dalam suatu matriks, terdapat beberapa basis minor yang berbeda dan mempunyai orde yang sama. · Orde basis minor suatu matriks disebut pangkat matriks Dan dilambangkan: , .
Sudah jelas bahwa. Misalnya. 1. 
, .
2. 
. Matriks DI DALAM berisi satu-satunya elemen bukan nol yang merupakan minor orde pertama. Semua determinan orde tinggi akan memuat baris ke-0 dan karenanya sama dengan 0. Oleh karena itu, . matriks terbalik 4. Sistem persamaan linear. Konsep dasar. Sistem persamaan aljabar linier ( sistem linier, singkatan juga digunakan SLAU, SLN) adalah suatu sistem persamaan yang setiap persamaannya merupakan persamaan linier – aljabar derajat satu. Gambaran umum sistem persamaan aljabar linier: 
Berikut adalah jumlah persamaan, dan jumlah variabel, yang tidak diketahui yang harus ditentukan, koefisien dan suku bebas 
diasumsikan diketahui. Sistem itu disebut homogen, jika semua anggota bebasnya sama dengan nol (), jika tidak - heterogen. Penyelesaian sistem persamaan aljabar linier adalah himpunan bilangan sedemikian rupa sehingga dari substitusi yang bersesuaian, bukan ke dalam sistem, mengubah semua persamaannya menjadi identitas. Suatu sistem disebut konsisten jika mempunyai paling sedikit satu solusi, dan tidak konsisten jika tidak mempunyai solusi. Solusi dianggap berbeda jika setidaknya salah satu nilai variabel tidak cocok. Sistem gabungan dengan solusi tunggal disebut pasti, jika ada lebih dari satu solusi - underdetermined. Bentuk matriks Suatu sistem persamaan aljabar linier dapat direpresentasikan dalam bentuk matriks sebagai: 
atau: . Di sini, matriks sistem, kolom tak diketahui, dan kolom suku bebas. Jika kolom suku bebas ditempatkan pada matriks di sebelah kanan, maka matriks yang dihasilkan disebut matriks diperluas. Kronecker - Teorema Capelli Kronecker - Teorema Capelli menetapkan kondisi perlu dan cukup untuk kesesuaian sistem persamaan aljabar linier melalui sifat-sifat representasi matriks: sistem konsisten jika dan hanya jika pangkat matriksnya bertepatan dengan pangkat matriks yang diperluas. Metode penyelesaian sistem persamaan linear. Metode Matriks Biarkan sistem persamaan linier yang tidak diketahui diberikan (pada bidang sembarang): 
Mari kita tulis ulang dalam bentuk matriks: 
Kami menemukan solusi sistem dengan rumus Kami menemukan matriks invers dengan rumus: , di mana adalah matriks yang ditransposisikan dari komplemen aljabar dari elemen-elemen matriks yang bersesuaian . Jika , maka matriks inversnya tidak ada, dan tidak mungkin menyelesaikan sistem dengan metode matriks. Dalam hal ini, sistem diselesaikan dengan metode Gauss. Metode Cramer Metode Cramer (aturan Cramer) adalah metode penyelesaian SLAE dengan jumlah persamaan sama dengan jumlah yang tidak diketahui dengan determinan utama matriks yang bukan nol. Untuk sistem persamaan linear yang tidak diketahui 
Gantikan kolom ke-i matriks dengan kolom suku bebas b Contoh: Sistem persamaan linear dengan koefisien real: 
Kualifikasi: 
Dalam determinan, kolom koefisien untuk hal yang tidak diketahui terkait diganti dengan kolom suku bebas sistem. Larutan: 5. Metode Gaussian Algoritma penyelesaian: 1. Tuliskan matriks yang diperbesar 2. Ubah matriks tersebut menjadi bentuk bertahap dengan transformasi dasar 3. Gerakan terbalik, di mana kita menyatakan suku-suku dasar dalam bentuk suku-suku bebas. Matriks yang diperbesar diperoleh dengan menambahkan kolom suku bebas ke matriks. Ada transformasi dasar berikut: 1. Barisan matriks dapat disusun ulang. 2. Jika ada (atau muncul) baris proporsional (dalam kasus khusus - identik) dalam matriks, maka semua baris ini harus dihapus dari matriks kecuali satu. 3. Jika baris nol muncul pada matriks selama transformasi, maka baris tersebut juga harus dihapus. 4. Baris matriks dapat dikalikan (dibagi) dengan bilangan berapapun, bukan nol. 5. Pada baris matriks, Anda dapat menjumlahkan baris lain yang dikalikan dengan bilangan selain nol. Transformasi dasar tidak mengubah penyelesaian sistem persamaan Gerak terbalik: Biasanya, sebagai variabel dasar, diambil variabel-variabel yang terletak di tempat pertama pada baris bukan nol dari matriks transformasi sistem, yaitu. di tangga. Selanjutnya, ketentuan dasar dinyatakan dalam istilah bebas. Kita melakukan “dari bawah ke atas” dengan menyatakan suku dasar dan mensubstitusikan hasilnya ke dalam persamaan yang lebih tinggi. Contoh: Variabel dasar selalu "duduk" tepat di tangga matriks. Dalam contoh ini, variabel dasar adalah dan variabel Bebas adalah semua variabel sisa yang tidak mendapat langkah. Dalam kasus kami, ada dua di antaranya: - variabel bebas. Sekarang semuanya dibutuhkan variabel dasar ungkapkan hanya melalui variabel bebas. Langkah kebalikan dari algoritma Gaussian secara tradisional telah berhasil sejak awal abad ini
Penambahan matriks.
Properti tambahan:
SEBUAH + B = B + SEBUAH.
· (A + B) + C = A + (B + C) .
Mengalikan matriks dengan angka.
k(A + B) = kA + kB.
· (k + m)A = kA + mA.
Perkalian matriks.
Matriks terbalik.
Properti Kualifikasi
4. Teorema substitusi.
5. Teorema pembatalan.
tambahan pada elemen-elemen ini
dimana saya= , 
Transposisi matriks.
Matriks yang dialihkan
A T[ Saya, J] = A[J, Saya].
Misalnya,
Dan 
permukaan silinder.
Permukaan yang dibentuk oleh gerak garis lurus L, yang bergerak dalam ruang, mempertahankan arah tetap dan setiap kali memotong beberapa kurva K, disebut permukaan silinder atau silinder, sedangkan kurva K adalah pemandu silinder, dan L adalah generatrixnya.
Silinder elips
Persamaan elips: 
kasus spesial silinder elips adalah silinder melingkar, persamaannya adalah x 2 + y 2 = R 2 . Persamaan x 2 = 2pz ditentukan dalam ruang silinder parabola.
Persamaannya: 
mendefinisikan dalam ruang silinder hiperbolik.
Semua permukaan ini disebut silinder orde kedua, karena persamaannya adalah persamaan derajat kedua terhadap koordinat saat ini x, y, z.
62. Elipsoid.
Kami memeriksa permukaan yang diberikan oleh persamaan: 
Perhatikan bagian permukaan yang bidangnya sejajar dengan bidang xOy. Persamaan bidang tersebut: z=h, di mana h adalah bilangan apa pun. Garis yang diperoleh pada bagian tersebut ditentukan oleh dua persamaan:
Memeriksa permukaan:
Dan jika 
Itu 
Garis perpotongan permukaan dengan bidang z=h tidak ada.
B) jika 
, 
garis perpotongannya merosot menjadi dua titik (0,0,s) dan (0,0,-s). Bidang z = c, z = - c menyentuh permukaan tertentu.
B) jika 
, maka persamaannya dapat ditulis ulang menjadi: 
, seperti yang Anda lihat, garis potongnya adalah elips dengan sumbu semi a1 = 
, b1 = 
. Dalam hal ini, semakin kecil h, semakin besar sumbu seminya. Pada n=0 mereka mencapai nilai maksimumnya a1=a, b1=b. Persamaannya akan berbentuk: 
Bagian yang dipertimbangkan memungkinkan kita untuk menggambarkan permukaan sebagai permukaan oval tertutup. Permukaannya disebut ellipsoid.Jika ada titik tengah yang sama, ellipsoid triaksial berubah menjadi ellipsoid revolusi, dan jika a=b=c, maka menjadi bola. 
Hiperboloid.
1. Jelajahi permukaannya 
.
Melintasi permukaan dengan bidang z=h, diperoleh garis potong yang persamaannya adalah
z=h. atau z=hsetengah sumbu: a1= 
b1= 
semiaxes mencapai nilai terkecilnya pada h=0: a1=a, b1=b. Dengan bertambahnya h, sumbu elips akan bertambah. => 
x=0.
Analisis terhadap bagian-bagian ini menunjukkan bahwa permukaan yang ditentukan oleh persamaan tersebut berbentuk tabung yang mengembang tak terhingga. Permukaannya disebut hiperboloid satu lembar. 
2. 
-
persamaan permukaan.
Dan 
-
permukaan yang terdiri dari 2 rongga berbentuk mangkuk cembung tak terbatas. Permukaannya disebut hiperboloid dua lembar. 
64. paraboloid.
. -Ini paraboloid elips.
Persamaan kanonik: 
(p>0, q>0).
p = q adalah paraboloid revolusi di sekitar sumbu Oz.
Bagian paraboloid elips pada bidang bisa berupa elips, parabola, atau titik.
2. - paraboloid hiperbolik. 
Bagian paraboloid hiperbolik pada bidang dapat berupa hiperbola, atau parabola, atau sepasang garis lurus (generator bujursangkar).
65. Permukaan kanonik.
Persamaan kanonik: 
a = b - kerucut revolusi (lurus melingkar)
Bagian kerucut menurut bidang: pada bidang yang memotong semua generator bujursangkar - elips; pada bidang yang sejajar dengan satu generatrix bujursangkar - parabola; di bidang yang sejajar dengan dua generator bujursangkar - hiperbola; pada bidang yang melalui titik sudut kerucut, sepasang garis berpotongan atau suatu titik (titik).
66. Fungsi. Konsep dasar. Cara mengaturnya.
Fungsi adalah hukum yang menyatakan bahwa bilangan x dari himpunan X tertentu dikaitkan hanya dengan satu bilangan y, tulis mereka, sedangkan x disebut argumen fungsi, y
disebut nilai fungsi.
1. Metode analisis.
2. Cara grafis.
3. Cara lisan.
4. Metode tabel.
Teorema perbandingan.
dalam teori persamaan diferensial, teorema yang menyatakan adanya sifat tertentu dari solusi persamaan diferensial (atau sistem persamaan diferensial) dengan asumsi bahwa persamaan bantu atau pertidaksamaan (sistem persamaan atau pertidaksamaan diferensial) memiliki beberapa Properti.
1) Teorema Shturm: setiap solusi non-trivial dari suatu persamaan akan hilang pada suatu segmen tidak lebih dari m kali jika persamaan tersebut memiliki sifat ini dan pada.
2) Pertidaksamaan diferensial: penyelesaian suatu permasalahan bersifat non-negatif komponen jika sifat ini mempunyai penyelesaian permasalahan dan pertidaksamaan terpenuhi
Yang pertama adalah batas yang luar biasa.
Saat menghitung limit ekspresi yang mengandung fungsi trigonometri, limit sering digunakan 
ditelepon batas luar biasa pertama.
Bunyinya: limit perbandingan sinus terhadap argumennya sama dengan satu jika argumennya cenderung nol.
Bukti:
Ambil lingkaran berjari-jari 1, nyatakan ukuran radian sudut MOB sebagai x. biarkan 0 
. Jelas sekali kita punya. Berdasarkan rumus geometri yang sesuai, kita peroleh 
. Bagilah pertidaksamaan tersebut dengan 
>0, Dapatkan 1< 
Karena 
, maka dengan tanda (pada limit suatu fungsi perantara) adanya limit 
.
Bagaimana jika x<0 => 
, dimana –x>0 => 
83. Batas luar biasa kedua.
Seperti yang Anda ketahui, limit suatu barisan bilangan 
, memiliki limit sama dengan e. 
. 1.Biarkan 
. Setiap nilai x diapit di antara dua bilangan bulat positif: 
, di mana n=[x] adalah bagian bilangan bulat dari x. Oleh karena itu, berikut ini 
. Jika , Itu 
. Itu sebabnya: 
,
Atas dasar adanya batasan: . 2. Biarkan 
. Substitusi –x=t, maka = 
. 
Dan 
disebut batas luar biasa kedua. Mereka banyak digunakan dalam menghitung batasan. Dalam penerapan analisis, fungsi eksponensial dengan basis e memegang peranan penting. Fungsi 
disebut eksponensial, notasi juga digunakan 
.
Bukti.
(dengan mempertimbangkan fakta bahwa jika Dx®0, maka Du®0, karena u = g(x) adalah fungsi kontinu)
Kemudian 
. Teorema tersebut telah terbukti.
teorema Cauchy
Teorema Cauchy:
Jika fungsi f(x) dan 
kontinu pada interval , terdiferensialkan pada interval (a,b), dan 
Untuk 
, maka setidaknya ada satu poin 
, sedemikian rupa sehingga kesetaraan 
.
Matriks. Konsep dasar. Operasi linier pada matriks dan sifat-sifatnya.
Matriks berukuran m kali n adalah himpunan mn bilangan real (kompleks) atau unsur struktur lain (polinomial, fungsi, dsb), ditulis dalam bentuk tabel persegi panjang, terdiri dari m baris dan n kolom dan merupakan diambil dalam tanda kurung bulat atau persegi panjang atau dalam tanda kurung lurus ganda. Dalam hal ini, bilangan itu sendiri disebut elemen matriks, dan setiap elemen diberi dua nomor - nomor baris dan nomor kolom.
Matriks yang semua elemennya sama dengan nol disebut matriks nol
Matriks n kali n disebut matriks persegi orde ke-n, mis. jumlah baris sama dengan jumlah kolom.
Suatu matriks persegi dikatakan diagonal jika semua entri di luar diagonalnya sama dengan nol.
Matriks diagonal yang semua entri diagonalnya sama dengan 1 disebut matriks identitas
Penambahan matriks.
Properti tambahan:
SEBUAH + B = B + SEBUAH.
· (A + B) + C = A + (B + C) .
Jika O matriks nol, maka A + O = O + A = A
Catatan 1. Validitas sifat-sifat ini mengikuti definisi operasi penjumlahan matriks.
Catatan 2. Perhatikan lagi bahwa hanya matriks dengan dimensi yang sama yang dapat dijumlahkan.
Mengalikan matriks dengan angka.
Sifat-sifat mengalikan matriks dengan suatu bilangan
k(A + B) = kA + kB.
· (k + m)A = kA + mA.
Catatan 1. Validitas sifat mengikuti Definisi 3.4 dan 3.5.
Catatan 2. Sebut saja selisih matriks A dan B sebagai matriks C, yang mana С+В=А, yaitu С=А+(-1)В.
Perkalian matriks.
Perkalian suatu matriks dengan matriks juga memerlukan terpenuhinya syarat-syarat tertentu untuk dimensi faktornya, yaitu: banyaknya kolom faktor pertama harus sama dengan jumlah baris faktor kedua.
Untuk matriks persegi berorde sama, hasil kali AB dan BA ada dan mempunyai dimensi yang sama, tetapi elemen-elemen yang bersesuaian pada umumnya tidak sama.
Namun, dalam beberapa kasus, hasil kali AB dan BA sama
Matriks terbalik.
Matriks persegi A disebut degenerate jika ∆A=0, dan non-degenerate jika ∆A≠0
Matriks persegi B disebut invers matriks persegi A berorde sama jika AB = BA = E. Dalam hal ini B dilambangkan dengan
Agar matriks invers ada, matriks aslinya harus nonsingular.
2. Penentu matriks. Sifat-sifat determinan.
Penentu (atau determinan) adalah salah satu konsep dasar aljabar linier. Penentu suatu matriks adalah polinomial pada elemen-elemen matriks persegi (yaitu matriks yang memiliki jumlah baris dan kolom yang sama). Secara umum, suatu matriks dapat didefinisikan pada ring komutatif mana pun, dalam hal ini determinannya adalah salah satu elemen dari ring yang sama. (∆A)
Properti Kualifikasi
· Penentunya adalah fungsi multilinear simetris miring dari baris (kolom) suatu matriks. Polilinearitas berarti determinannya linier pada semua baris (kolom): , dimana, dst. - baris matriks, - determinan matriks tersebut.
· Saat menambahkan kombinasi linier dari baris (kolom) lain ke baris (kolom) mana pun, determinannya tidak akan berubah.
· Jika dua baris (kolom) suatu matriks sama, maka determinannya sama dengan nol.
· Jika dua (atau beberapa) baris (kolom) suatu matriks bergantung linier, maka determinannya sama dengan nol.
· Jika dua baris (kolom) suatu matriks disusun ulang, maka determinannya dikalikan (-1).
· Faktor persekutuan unsur-unsur suatu deret determinan dapat dikeluarkan dari tanda determinan.
· Jika paling sedikit satu baris (kolom) matriks bernilai nol, maka determinannya sama dengan nol.
· Jumlah hasil kali semua elemen suatu string dan komplemen aljabarnya sama dengan determinan.
· Jumlah hasil kali semua elemen deret apa pun dan komplemen aljabar elemen-elemen yang bersesuaian pada deret paralel sama dengan nol.
· Penentu hasil kali matriks persegi berorde sama sama dengan hasil kali determinannya (lihat juga rumus Binet-Cauchy).
Dengan menggunakan notasi indeks, determinan matriks 3×3 dapat ditentukan dengan menggunakan simbol Levi-Civita dari hubungan:
3. Anak di bawah umur dan penjumlahan aljabar.
Minor suatu elemen matriks orde ke-n merupakan determinan matriks orde (n-1), yang diperoleh dari matriks A dengan menghapus baris ke-i dan kolom ke-j.
Saat menuliskan determinan (n-1) orde ke-th, pada determinan awal, unsur-unsur di bawah garis tidak diperhitungkan.
Komplemen aljabar Aij dari elemen aij matriks orde ke-n adalah minornya, diambil dengan tanda, bergantung pada nomor baris dan nomor kolom: yaitu, komplemen aljabar berimpit dengan minor jika dijumlahkan bilangan baris dan kolom adalah bilangan genap, dan berbeda tanda minornya jika jumlah bilangan baris dan kolomnya ganjil.
4. Teorema substitusi.
Jumlah hasil kali bilangan sembarang bi ,b2,...,b dan komplemen aljabar elemen-elemen kolom atau baris mana pun dari matriks berorde n sama dengan determinan matriks yang diperoleh dari matriks tertentu dengan mengganti elemen kolom (baris) ini dengan angka b1,b2,...,bn.
5. Teorema pembatalan.
Jumlah hasil kali elemen-elemen salah satu kolom (baris) matriks dan komplemen aljabar yang bersesuaian dari elemen-elemen kolom (baris) lainnya sama dengan nol.
6. Beberapa metode untuk menghitung determinan.
Teorema (Laplace). Penentu matriks berorde N = jumlah hasil kali semua minor orde ke-k, yang dapat terdiri dari k deret paralel yang dipilih secara sembarang dan komplemen aljabar dari minor-minor tersebut
Teorema (tentang penguraian determinan dalam unsur-unsur deret). Kuadrat determinan matriks = jumlah hasil kali unsur-unsur deret tertentu dan aljabar
tambahan pada elemen-elemen ini
7. Perkalian matriks. sifat perkalian.
Operasi perkalian dua matriks dilakukan hanya jika jumlah kolom matriks pertama sama dengan jumlah baris matriks kedua.
Hasil kali matriks А m * n = (ai , g) dan matriks B n * p = (bi , k) adalah matriks Сm*p = (с i , k) sehingga: ,
dimana saya= , , yaitu. elemen kolom ke-i dan ke-k dari hasil kali matriks C sama dengan jumlah hasil kali elemen-elemen pada baris ke-i dari matriks A dan elemen-elemen yang bersesuaian pada kolom ke-k dari matriks B .
Matriks A, n*m dan B, m*n, disebut. sepakat. (Jika A konsisten dengan B, bukan berarti B konsisten dengan A).
Yang dimaksud dengan konsistensi adalah jumlah kolom matriks ke-1 sama dengan jumlah baris matriks ke-2. Untuk matriks yang konsisten, operasi perkalian dapat didefinisikan.
Jika matriks A dan B berbentuk persegi dan berukuran sama, maka A*B dan B*A selalu ada. Transposisi adalah penggantian seluruh elemen kolom dengan elemen baris yang bersesuaian. Jika A T = A, maka matriks A disebut. simetris (harus persegi).
Transposisi matriks.
Matriks yang dialihkan- matriks diperoleh dari matriks asli dengan mengganti baris dengan kolom.
Secara formal, matriks yang ditransposisikan untuk matriks ukuran adalah matriks ukuran, yang didefinisikan sebagai A T[ Saya, J] = A[J, Saya].
Misalnya,
Dan
Matriks terbalik. Kondisi perlu dan cukup bagi keberadaan matriks invers. Menemukan matriks invers.
Misalkan ada matriks A - nondegenerasi. 
A -1 , A -1 *A=A*A -1 =E, dimana E adalah matriks identitas. A -1 mempunyai dimensi yang sama dengan A.
Algoritma untuk mencari matriks invers:
1. Sebagai pengganti setiap elemen matriks a ij, kita tuliskan komplemen aljabarnya.
A* - matriks gabungan.
2. mengubah urutan matriks gabungan yang dihasilkan. PADA
3. membagi setiap elemen matriks gabungan dengan determinan matriks A.
SEBUAH -1 = SEBUAH *T
Teorema: (tentang pemusnahan determinan):
jumlah hasil kali unsur-unsur suatu deret determinan dan komplemen aljabar unsur-unsur deret sejajar lainnya selalu sama dengan nol.
10. Notasi matriks sistem persamaan linear dan penyelesaiannya.
Matriks memungkinkan untuk menuliskan secara singkat sistem persamaan linier. Misalkan diberikan sistem yang terdiri dari 3 persamaan dengan tiga hal yang tidak diketahui:
Pertimbangkan matriks sistem 
dan kolom matriks anggota yang tidak diketahui dan bebas 
Ayo temukan produknya
itu. sebagai hasil perkalian, kita memperoleh ruas kiri persamaan sistem ini. Kemudian, dengan menggunakan definisi persamaan matriks, sistem ini dapat ditulis sebagai
atau lebih pendek A∙X=B.
Di sini matriks A Dan B diketahui, dan matriksnya X tidak dikenal. Dia perlu ditemukan, karena. elemen-elemennya adalah solusi dari sistem ini. Persamaan ini disebut persamaan matriks.
Biarkan determinan matriks berbeda dari nol | A| ≠ 0. Kemudian persamaan matriks diselesaikan sebagai berikut. Kalikan kedua ruas persamaan di sebelah kiri dengan matriks A-1, kebalikan dari matriks A: . Karena SEBUAH -1 SEBUAH = E Dan E∙X = X, maka kita memperoleh solusi persamaan matriks dalam bentuk X = SEBUAH -1B.
Perhatikan bahwa karena matriks invers hanya dapat ditemukan untuk matriks persegi, metode matriks hanya dapat menyelesaikan sistem yang memiliki matriks persegi jumlah persamaan sama dengan jumlah yang tidak diketahui. Namun, notasi matriks dari sistem juga dimungkinkan jika jumlah persamaan tidak sama dengan jumlah persamaan yang tidak diketahui, maka matriksnya A tidak persegi dan oleh karena itu tidak mungkin menemukan solusi sistem dalam bentuk X = SEBUAH -1B.
11. Solusi sistem linier tak berdegenerasi, rumus Cramer.
SLAE biasanya ditulis dalam bentuk matriks, ketika hal-hal yang tidak diketahui itu sendiri tidak ditunjukkan, tetapi hanya matriks sistem A dan kolom suku bebas B yang ditunjukkan.
Penyelesaian SLAE non-degenerasi dengan metode Cramer:
SEBUAH -1 = 
X1= (A 11 b 1 + A 21 b 2 + …+A n 1 bn)
Teorema: (Cramer):
penyelesaian persamaan non-degenerasi AX=B, 
dapat ditulis seperti ini:
, Ak diperoleh dari A dengan mengganti kolom ke-k dengan kolom suku bebas B.
12. Peringkat matriks. Properti peringkat matriks. Menghitung pangkat suatu matriks menggunakan transformasi dasar.
Banyaknya baris maksimum yang bergantung linier pada matriks A disebut. rank matriks dan dilambangkan dengan r(a). Orde minor terbesar dari suatu matriks selain 0 disebut peringkat matriks.
Properti:
1) saat mengubah posisi rang=const.
2) jika Anda mencoret baris nol, maka rang=const;
3) peringkat=biaya, dengan transformasi dasar.
3) menghitung rank menggunakan transformasi elemen matriks A-transformasi ke matriks B yang ranknya mudah ditemukan.
4) pangkat segitiga matriks = banyaknya elemen bukan nol yang terletak pada diagonal utama.
Cara mencari rank suatu matriks:
1) cara membatasi anak di bawah umur
2) metode transformasi dasar
Metode Kecil Fringing:
metode membatasi anak di bawah umur memungkinkan untuk mengalgoritmekan proses pencarian matriks peringkat dan memungkinkan meminimalkan jumlah penghitungan anak di bawah umur.
1) jika matriks memiliki semua elemen nol, maka rangking = 0
2) jika paling sedikit ada satu elemen bukan nol => r(a)>0
sekarang kita akan berbatasan dengan M1 minor, yaitu. kita akan membuat semua kemungkinan anak di bawah umur dari orde ke-2, ktr. berisi baris ke-i dan kolom ke-j, sampai kita menemukan minor bukan nol orde ke-2.
Proses akan berlanjut hingga salah satu peristiwa:
1. ukuran minor akan mencapai angka k.
2. pada tahap tertentu, semua anak di bawah umur yang berbatasan akan menjadi = 0.
Dalam kedua kasus tersebut, nilai matriks peringkat akan sama dengan orde minor bukan nol yang lebih besar.
Metode transformasi dasar:
seperti diketahui, konsep matriks segitiga hanya didefinisikan untuk matriks persegi. Untuk matriks persegi panjang, analoginya adalah konsep matriks trapesium.
Misalnya: 
peringkat = 2.
Invers matriks dari matriks yang diberikan.
Tidak semua matriks mempunyai invers.
Teorema 1. Sifat paling sederhana dari matriks invers.
1°. Suatu matriks dapat mempunyai paling banyak satu invers.
2°. E –1 = E.
3°. ( A –1) –1 = A.
4°. ( AB) –1 = B –1 A –1 .
Matriks persegi yang mengalami degenerasi dan nondegenerasi.
Teorema 2. Kriteria invertibilitas matriks.
Suatu matriks dapat dibalik jika dan hanya jika matriks tersebut tidak berdegenerasi.
Lemma 1. Transformasi dasar baris (kolom) apa pun dari suatu matriks dapat dilakukan dengan mengalikan matriks ini dari kiri (kanan) dengan matriks dasar yang bersesuaian.
Lemma 2. Agar suatu matriks menjadi nonsingular, matriks tersebut perlu dan cukup untuk direduksi menjadi matriks identitas hanya dengan menggunakan transformasi elementer baris.
Lemma 3. Jika baris (kolom) dari matriks A (B) bergantung linier dan C = AB, maka ketergantungan linier yang sama berlaku untuk baris (kolom) matriks DENGAN.
Cara praktis menghitung matriks invers:
A|E ... E|A –1 .
Persamaan matriks.
Notasi SLE berupa persamaan matriks tunggal yang berbentuk khusus. Terem Cramer dalam bentuk matriks.
Permutasi dan substitusi
Permutasi. Catatan permutasi. Jumlah permutasi N elemen. Inversi. Permutasi genap dan ganjil. Transposisi.
Dalil. Sifat-sifat transposisi.
1°. Dari permutasi apa pun, Anda dapat beralih ke permutasi lainnya dengan bantuan beberapa transposisi.
2°. Setiap transposisi mengubah paritas permutasi.
Pergantian pemain. S n. Rekaman pergantian pemain. Paritas substitusi. Kebenaran definisi paritas suatu substitusi. karakter pengganti. (–1) s (hal) .
Definisi determinan
Definisi determinan.
Contoh penghitungan determinan matriks orde kedua dan ketiga, determinan matriks segitiga atas (bawah), determinan matriks yang semua elemen di bawah (di atas) diagonal sekunder sama dengan nol.
Sifat determinan
Dalil. Sifat determinan.
1°. itu t A= itu A.
2°.det = det + det .
3°. det = l×det .
4°. det = -det.
5°. Jika salah satu baris matriks bernilai nol, maka determinan matriks tersebut adalah nol.
6°. Jika ada dua baris matriks yang sama, maka determinan matriks tersebut adalah nol.
7°. Jika ada dua baris matriks yang proporsional, maka determinan matriks tersebut adalah nol.
8°. Jika salah satu baris matriks dikalikan dengan suatu bilangan dan dijumlahkan dengan baris lainnya, maka determinannya tidak akan berubah.
9°. Penentu matriks yang mengalami degenerasi adalah nol.
10°. Penentu matriks nonsingular adalah bukan nol.
Catatan. Properti 1°–4° dibuktikan menurut definisi, properti lainnya diturunkan menggunakan properti 1°–4°.
Akibat wajar 1. Kriteria Nonsingularitas Matriks.
Suatu matriks persegi adalah nondegenerasi jika dan hanya jika determinannya bukan nol.
Konsekuensi 2. Sistem persamaan linear homogen, terdiri dari N persamaan dengan N tidak diketahui, mempunyai solusi bukan nol jika dan hanya jika determinan matriks sistem sama dengan nol.
Anak di bawah umur dan penjumlahan aljabar. Perluasan baris dan kolom determinan
Minor M ij matriks persegi. Penjumlahan aljabar Sebuah ij elemen aij matriks persegi.
Dalil tentang dekomposisi.
det A = sebuah k 1 Sebuah k 1 +sebuah k 2 Sebuah k 2 + ... +sebuah kn A kn, det A = A 1k A 1k +A 2k A 2k + ... +sebuah nk Sebuah nk
untuk apa pun k =
Tahapan pembuktian
1. Untuk matriks dimana Sebuah = e n, menurut definisi det.
2. Untuk matriks dimana dan saya = ej, dengan mereduksi ke kasus 1, dengan memperhatikan tandanya dan saya dan kekekalan M ij.
3. Kasus umum berdasarkan representasi dan saya sebagai jumlah N vektor dan reduksi ke kasus 2.
Properti lain dari determinan
11°. sebuah k 1 Aplikasi 1 +sebuah k 2 Aplikasi 2 + ... +sebuah kn A hal,A 1 ka 1 P+A 2 ka 2 P+ ... +a nk A np, Jika k ¹ P.
Matriks A -1 disebut balik terhadap matriks persegi A, jika matriks tersebut dikalikan dengan matriks A, baik di kanan maupun di kiri, diperoleh matriks identitas: A -1 * A = A * A -1 = E.
Dari definisi tersebut dapat disimpulkan bahwa matriks invers adalah matriks persegi yang ordenya sama dengan matriks A.
Perlu diketahui bahwa konsep matriks invers mirip dengan konsep bilangan invers (yaitu bilangan yang jika dikalikan dengan bilangan tertentu akan menghasilkan satu: a * a -1 = a * (1 /a) = 1).
Semua bilangan kecuali nol mempunyai timbal balik.
Untuk menentukan apakah suatu matriks persegi mempunyai invers, perlu dicari determinannya. Jika determinan suatu matriks sama dengan nol, maka matriks tersebut disebut merosot, atau spesial.
Kondisi perlu dan cukup bagi keberadaan matriks invers: matriks invers ada dan unik jika dan hanya jika matriks aslinya nonsingular.
Mari kita buktikan perlunya. Misalkan matriks A mempunyai invers matriks A -1 , yaitu. A -1 * A = E. Maka |A -1 * A| = |SEBUAH -1 | * |SEBUAH| = |E| = 1. Oleh karena itu, |A|0.
Mari kita buktikan kecukupannya. Untuk membuktikannya, kita hanya perlu menjelaskan cara menghitung matriks invers, yang selalu dapat kita terapkan pada matriks non-singular.
Jadi biarkan |A| 0. Kita transposisi matriks A. Untuk setiap elemen A T kita mencari komplemen aljabar dan membentuk matriks dari elemen tersebut, yang disebut terlampir(saling, bersekutu): 
.
Temukan produk dari matriks terlampir dan aslinya 
. Mendapatkan 
. Jadi, matriks B adalah diagonal. Pada diagonal utamanya terdapat determinan matriks asli, dan semua elemen lainnya nol:
Demikian pula, seseorang dapat menunjukkan hal itu 
.
Jika semua elemen matriks dibagi dengan |A|, maka diperoleh matriks identitas E.
Dengan demikian 
, yaitu. 
.
Mari kita buktikan keunikan matriks invers. Asumsikan ada matriks invers lain untuk A selain A -1 . Kita nyatakan dengan X. Kemudian A * X = E. Kalikan kedua ruas persamaan di sebelah kiri dengan A -1.
A -1 * A * X = A -1 * E
Keunikannya terbukti.
Jadi, algoritma untuk menghitung matriks invers terdiri dari langkah-langkah berikut:
1. Tentukan determinan matriks |A| . Jika |A| = 0, maka matriks A mengalami degenerasi, dan matriks inversnya tidak dapat ditemukan. Jika |A| 0, lalu lanjutkan ke langkah berikutnya.
2. Bangunlah matriks yang ditransposisikan A T.
3. Temukan komplemen aljabar dari elemen-elemen matriks yang ditransposisikan dan buatlah matriks yang terkait 
.
4. Hitung invers matriks dengan membagi matriks terkait dengan |A|.
5. Anda dapat memeriksa kebenaran perhitungan matriks invers sesuai dengan definisi: A -1 * A = A * A -1 = E.
Mari kita cari determinan matriks ini dengan aturan segitiga:
Mari kita lewati pemeriksaannya.
Sifat inversi matriks berikut dapat dibuktikan:
1) |SEBUAH -1 | = 1/|SEBUAH|
2) (SEBUAH -1) -1 = SEBUAH
3) (A m) -1 = (A -1) m
4) (AB) -1 = B -1 * A -1
5) (A -1) T = (AT) -1
Peringkat matriks
Minorkurutan -th matriks A berukuran m x n disebut determinan matriks persegi orde ke-k, yang diperoleh dari matriks A dengan menghapus sembarang baris dan kolom.
Dari definisi tersebut dapat disimpulkan bahwa orde minor tidak melebihi dimensi terkecilnya, yaitu. kmin(m;n). Misalnya, dari matriks A 5x3, Anda bisa mendapatkan submatriks persegi orde pertama, kedua, dan ketiga (masing-masing, hitung minor orde tersebut).
pangkat matriks menyebutkan orde tertinggi dari anak di bawah umur bukan nol dari matriks ini (dilambangkan dengan rang A, atau r(A)).
Dari definisi tersebut dapat disimpulkan bahwa
1) pangkat suatu matriks tidak melebihi dimensi terkecilnya, yaitu. r(А)min(m;n);
2) r(А) = 0 jika dan hanya jika matriksnya nol (semua elemen matriks sama dengan nol), yaitu r(А) = 0А = 0;
3) untuk matriks persegi orde ke-n r(A) = n jika dan hanya jika matriks A tersebut tak berdegenerasi, yaitu r(A) = n|A|0.
Faktanya, untuk ini cukup menghitung hanya satu minor tersebut (yang diperoleh dengan menghapus kolom ketiga (karena sisanya akan berisi nol kolom ketiga, dan oleh karena itu sama dengan nol).
Menurut aturan segitiga 
= 1*2*(-3) + 3*1*2 + 3*(-1)*4 – 4*2*2 – 1*(-1)*1 – 3*3*(-3) =
-6 +6 – 12 – 16 + 1 +27 = 0.
Karena semua minor orde ketiga adalah nol, maka r(А)2. Karena ada minor orde kedua yang bukan nol, misalnya, 
Jelas sekali, metode yang kami gunakan (mempertimbangkan semua kemungkinan anak di bawah umur) tidak cocok untuk menentukan peringkat dalam kasus yang lebih kompleks karena kompleksitasnya yang tinggi. Biasanya untuk mencari rank suatu matriks digunakan beberapa transformasi yang disebut dasar:
1). Menghilangkan nol baris (kolom).
2). Mengalikan seluruh elemen baris atau kolom suatu matriks dengan bilangan selain nol.
3). Mengubah urutan baris (kolom) suatu matriks.
4). Menambahkan ke setiap elemen dari satu baris (kolom) elemen-elemen yang bersesuaian dari baris (kolom) lainnya, dikalikan dengan angka berapa pun.
5). Transposisi.
Jika matriks A diperoleh dari matriks B melalui transformasi elementer, maka matriks tersebut disebut setara dan dilambangkan dengan AB.
Dalil. Transformasi dasar suatu matriks tidak mengubah peringkatnya.
Pembuktian teorema berikut dari sifat-sifat determinan matriks. Memang benar, dalam transformasi ini, determinan matriks persegi dipertahankan atau dikalikan dengan bilangan bukan nol. Akibatnya, orde tertinggi dari minor bukan nol dari matriks asli tetap sama, yaitu. peringkatnya tidak berubah.
Dengan bantuan transformasi dasar, matriks dibawa ke bentuk bertahap (diubah menjadi matriks langkah), yaitu mereka mencapai bahwa dalam matriks ekuivalen di bawah diagonal utama hanya terdapat elemen nol, dan pada diagonal utama - bukan nol:
Pangkat suatu matriks langkah sama dengan r, karena dengan menghapus kolom-kolomnya, mulai dari (r + 1) dan selanjutnya, Anda bisa mendapatkan matriks segitiga orde ke-r, yang determinannya akan berbeda dari nol. , karena ia merupakan hasil kali unsur-unsur yang bukan nol (oleh karena itu, ada minor orde ke-r yang tidak sama dengan nol):
Contoh. Temukan pangkat suatu matriks
1). Jika a 11 = 0 (seperti dalam kasus kita), maka dengan menata ulang baris atau kolom kita akan mendapatkan a 11 0. Di sini kita menukar baris ke-1 dan ke-2 dari matriks:
2). Sekarang 11 0. Dengan transformasi dasar, kita akan memastikan bahwa semua elemen lain pada kolom pertama sama dengan nol. Pada baris kedua a 21 = 0. Pada baris ketiga a 31 = -4. Untuk mengganti (-4) dengan 0, tambahkan pada baris ketiga baris pertama dikalikan 2 (yaitu dengan (-а 31 /а 11) = -(-4)/2 = = 2). Demikian pula pada baris keempat, tambahkan baris pertama (dikalikan satu, yaitu dengan (-a 41 / a 11) = - (-2) / 2 = 1).
3). Dalam matriks yang dihasilkan, a 22 0 (jika a 22 = 0, maka kita dapat menyusun ulang baris-barisnya lagi). Kita akan memastikan bahwa di bawah diagonal pada kolom kedua juga terdapat angka nol. Caranya, tambahkan baris kedua dikalikan -3 ke baris ke-3 dan ke-4 ((-a 32 / a 22) = (-a 42 / a 22) = - (-3) / (-1) \ u003d - 3):
4). Dalam matriks yang dihasilkan, dua baris terakhir adalah nol, dan dapat dibuang:
Diperoleh matriks langkah yang terdiri dari dua baris. Oleh karena itu, r(A) = 2.
Matriks nonsingular disebut matriks persegi orde ke-n yang determinannya berbeda dari nol. Jika tidak, matriksnya disebut merosot.
Teorema ( keunikan keberadaan matriks invers): Jika suatu matriks mempunyai matriks invers, maka matriks tersebut unik.
Bukti.
Misalkan ada matriks yang dan matriks yang .
Lalu, itu adalah. Mengalikan kedua ruas persamaan dengan matriks , kita memperoleh , dimana dan .
Oleh karena itu, hal itu harus dibuktikan.
12. Persamaan matriks, penyelesaiannya menggunakan matriks invers.
Persamaan matriks dapat terlihat seperti:
KAPAK = B, XA = B, AXB = C,
dimana A, B, C diberi matriks, X adalah matriks yang diinginkan.
Persamaan matriks diselesaikan dengan mengalikan persamaan tersebut dengan matriks invers.
Misalnya, untuk mencari matriks suatu persamaan, Anda perlu mengalikan persamaan tersebut dengan yang ada di sebelah kiri.
Oleh karena itu, untuk mencari solusi persamaan tersebut, Anda perlu mencari matriks invers dan mengalikannya dengan matriks di sisi kanan persamaan.
13. Sistem persamaan linear kuadrat. aturan Cramer.
Sistem persamaan linier m dalam n yang tidak diketahui (atau, sistem linier) dalam aljabar linier adalah sistem persamaan berbentuk
 |
Metode Cramer (aturan Cramer) adalah metode untuk menyelesaikan sistem kuadrat persamaan aljabar linier dengan determinan matriks utama yang bukan nol (selain itu, untuk persamaan tersebut, solusinya ada dan unik). Dinamakan berdasarkan Gabriel Cramer (1704–1752), yang menemukan metode ini.
Untuk sistem yang terdiri dari n persamaan linier dengan n persamaan yang tidak diketahui (pada bidang sembarang)
dengan determinan matriks sistem Δ berbeda dari nol, solusinya ditulis sebagai
(kolom ke-i matriks sistem diganti dengan kolom suku bebas).
Dalam bentuk lain, aturan Cramer dirumuskan sebagai berikut: untuk sembarang koefisien c 1 , c 2 , ..., c n persamaannya benar:
Sistem persamaan linear:
