Sesuai dengan definisi pembagian bilangan real, ditetapkan definisi berikut.

Definisi. Membagi bilangan kompleks a + bi dengan bilangan kompleks a "+ b" i berarti menemukan bilangan seperti itu x + yi, yang jika dikalikan dengan pembagi, akan memberikan dividen.

Kami memperoleh aturan pembagian tertentu dengan menulis hasil bagi sebagai pecahan dan mengalikan pembilang dan penyebut pecahan ini dengan jumlah konjugasi penyebut: (a + bi): (c + di) =

Contoh 1. Temukan hasil bagi (7 - 4i):(3 + 2i).

Setelah menuliskan pecahan (7 - 4i)/(3 + 2i), kita perluas dengan bilangan 3 - 2i yang dikonjugasikan menjadi 3 + 2i. Kita mendapatkan:

((7 - 4i)(3 - 2i))/((3 + 2i)(3 - 2i)) = (13 - 26i)/13 = 1 - 2i.

Contoh 1 paragraf sebelumnya memberikan tanda centang.

Contoh 2. (-2 +5i)/(-3 -4i) = ((-2 + 5i)(-3 - 4i))/((-3 - 4i)(-3 + 4i)) = (-14 -23i)/25 = -0,56 - 0,92i.

Untuk membuktikan bahwa ruas kanan memang merupakan hasil bagi, cukup dengan mengalikannya dengan a" + b". Kami mendapatkan a + bi.

Memecahkan Persamaan dengan Variabel Kompleks

variabel penjumlahan bilangan kompleks

Pertimbangkan terlebih dahulu persamaan kuadrat paling sederhana z2 = a, di mana a adalah bilangan tertentu, z adalah bilangan yang tidak diketahui. Pada himpunan bilangan real, persamaan ini adalah:

• 1) memiliki satu akar z = 0 jika a = 0;
• 2) memiliki dua akar real z1,2 = jika a>0;
• 3) tidak memiliki akar real jika a

Pada himpunan bilangan kompleks, persamaan ini selalu memiliki akar.

Tugas 1. Temukan akar kompleks dari persamaan z2 = a jika:

• 1) a = -1; 2) a = -25; 3) a = -3.
• 1) z2 = -1. Karena i2 = -1, persamaan ini dapat ditulis sebagai z2 = i2, atau z2 - i2 = 0. Jadi, dengan memfaktorkan ruas kiri, diperoleh (z-i)(z+i) = 0, z1 = i, z2 = - saya menjawab. z1,2 = i.
• 2) z2 = -25. Mengingat bahwa i2 = -1, kami mengubah persamaan ini:

z2 = i2 52, z2 - 52 i2= 0, (z-5i)(z+5i) = 0, dimana z1 = 5i, z2 = -5i Jawaban:

3) z2 = -3, z2 = i2()2, z2 - ()2i2 = 0, (z - i)(z + i) = 0

Jawaban: z1,2 = i.

Secara umum, persamaan z2 = a, di mana a< 0 имеет два комплексных корня: Z1,2= i.

Menggunakan persamaan i2 \u003d -1, biasanya menulis akar kuadrat dari bilangan negatif sebagai berikut: \u003d i, \u003d 2i, \u003d i.

Jadi, itu didefinisikan untuk setiap bilangan real a (positif, negatif dan nol). Oleh karena itu, setiap persamaan kuadrat az2 + bz + c = 0, di mana a, b, c adalah bilangan real, dan 0, memiliki akar-akar. Akar ini ditemukan sesuai dengan rumus terkenal:

Tugas 2. Memecahkan persamaan z2-4z+13=0. Menurut rumus kita menemukan: z1,2 = = = 2 3i.

Perhatikan bahwa akar-akar yang ditemukan dalam soal ini adalah konjugat: z1=2+3i dan z2=2-3i. Mari kita cari jumlah dan produk dari akar-akar ini: z1+z2=(2+3i)+(2-3i)=4, z1z2=(2+3i)(2-3i)=13.

Angka 4 adalah koefisien ke-2 dari persamaan z2-4z+13=0, diambil dengan tanda yang berlawanan, dan angka 13 adalah suku bebas, yaitu dalam hal ini teorema Vieta valid. Ini valid untuk semua persamaan kuadrat: jika z1 dan z2 adalah akar-akar persamaan az2+bz+c = 0, z1+z2 = , z1z2 = .

Tugas 3. Menyusun persamaan kuadrat tereduksi dengan koefisien real yang memiliki akar z1=-1-2i.

Akar kedua z2 dari persamaan adalah konjugat dari akar yang diberikan z1, yaitu, z2=-1+2i. Dengan teorema Vieta kita temukan

P=-(z1+z2)=2, q=z1z2=5. Jawabannya adalah z2-2z+5=0.

Definisi:

Bilangan kompleks = x – yi disebut bilangan konjugasi terhadap w = x + yi.

Contoh bilangan kompleks konjugasi:

–1 + 5saya dan -1 - 5 saya, 2 – 3saya dan 2 + 3 saya.

Untuk membagi dua bilangan kompleks dalam bentuk aljabar, sebagai aturan, lebih mudah untuk mengalikan pembilang dan penyebut pecahan dengan konjugasi penyebut.

Contoh 4 Lakukan pembagian: = [kalikan pembilang dan penyebut pecahan dengan konjugat penyebutnya] =

perhatikan itu
adalah ekspresi, bukan angka, sehingga tidak dapat dianggap sebagai jawaban.

Contoh 5 Jalankan tindakan:
=

=


=
.

Contoh 6 Jalankan tindakan:
= [kalikan pembilang dan penyebut pecahan dengan bilangan konjugasi kedua bilangan penyebut] =

1. Mengekstrak akar kuadrat dari bilangan kompleks dalam bentuk aljabar

Definisi. Bilangan kompleks
disebut akar kuadrat dari bilangan kompleks z, jika
.

Contoh 7 Menghitung
.

Keputusan. Biarlah
= x + yi, kemudian

Kami memecahkan secara terpisah persamaan biquadratic:

Jawaban: (-3 + 4 saya; 3 ‑ 4saya}.

Solusi lain dimungkinkan setelah pengenalan bentuk trigonometri dari bilangan kompleks (lihat hal. 14).

1. Memecahkan persamaan linear dan kuadrat untuk bilangan kompleks

Di bidang bilangan kompleks, rumus yang sama untuk menyelesaikan persamaan linier dan kuadrat adalah benar seperti di bidang bilangan real.

Contoh 8 Selesaikan persamaan: (-2 - saya)z = 3 +saya.

Contoh 9 Selesaikan persamaan:
.

Keputusan. Mari kita gunakan rumus untuk mencari akar persamaan kuadrat:

Jawaban: (-2 + saya; ‑2 –saya} .

Contoh 10 Selesaikan persamaan:
.

Keputusan:

Jawaban: (1 - 2 saya; 1 –saya} .

Contoh 11 Selesaikan persamaan:
.

Keputusan:

Menghitung
:

Kami menyusun sistem dengan menyamakan bagian nyata dan imajiner dari bagian kiri dan kanan persamaan:

Jawaban:(2; saya} .

Contoh 12 Memecahkan sistem persamaan:

Keputusan. Kami menyatakan variabel dari persamaan pertama sistem x melalui sebuah variabel kamu:

Kami mengalikan pembilang dan penyebut pecahan dengan konjugat penyebut:

Dalam pembilang pecahan, buka tanda kurung dan berikan suku-suku sejenis:

Kami mengganti nilai yang diperoleh dari variabel x ke persamaan kedua dari sistem:

;

Jawaban: (1 + saya; saya}.

1. Notasi trigonometri bilangan kompleks

   1. Representasi geometris dari bilangan kompleks

Saat mempelajari sifat-sifat bilangan kompleks, interpretasi geometrisnya sangat nyaman. Karena bilangan kompleks didefinisikan sebagai pasangan bilangan real, maka setiap bilangan kompleks z = sebuah + dua diwakili oleh sebuah titik pada bidang ( x, kamu) dengan koordinat x = sebuah dan kamu = b. Pesawat seperti itu disebut pesawat yang kompleks, sumbu absisnya nyata (Re z), dan sumbu ordinat adalah sumbu imajiner (Im z).

Contoh 13 Gambarlah di bidang titik-titik yang sesuai dengan angka-angka:

R larutan. Nomor z 1, bagian real adalah -2, dan bagian imajiner adalah 0. Oleh karena itu, bayangan dari bilangan tersebut z 1 adalah titik (-2, 0) (Gbr. 1.1).

Nomor z 2, bagian real adalah 0, dan bagian imajiner adalah 3. Oleh karena itu, bayangan dari bilangan tersebut z 2 adalah titik (0, 3). Nomor z 3 bagian nyata adalah 1 dan imajiner adalah -4. Oleh karena itu, bayangan bilangan z 3 adalah titik (1, -4).

Nomor z 4 bagian nyata adalah 1 dan imajiner 1. Oleh karena itu, bayangan dari bilangan tersebut z 4 adalah titik (1, 1).

Nomor z 5 bagian nyata adalah -3 dan imajiner adalah -2. Oleh karena itu, bayangan bilangan z 5 adalah titik (-3, -2).

Bilangan konjugasi diwakili oleh titik-titik pada bidang kompleks, simetris terhadap sumbu nyata Re z.