Setiap orang yang pernah belajar atau sedang belajar di sekolah pasti menghadapi berbagai kesulitan dalam mempelajari disiplin ilmu yang termasuk dalam program yang dikembangkan oleh Departemen Pendidikan.

Kesulitan apa yang Anda hadapi?

Studi bahasa disertai dengan menghafal aturan tata bahasa yang ada dan pengecualian utama untuk mereka. Pendidikan jasmani menuntut dari siswa perhitungan yang hebat, bentuk fisik yang baik dan kesabaran yang besar.

Namun, tidak ada yang sebanding dengan kesulitan yang muncul dalam studi disiplin ilmu eksakta. Aljabar, berisi cara-cara rumit untuk memecahkan masalah dasar. Fisika dengan seperangkat rumus yang kaya untuk hukum fisika. Geometri dan bagian-bagiannya, yang didasarkan pada teorema dan aksioma yang kompleks.

Contohnya adalah aksioma yang menjelaskan teori paralelisme bidang, yang harus diingat, karena mereka mendasari seluruh kurikulum sekolah tentang stereometri. Mari kita coba mencari tahu bagaimana hal ini dapat dilakukan dengan lebih mudah dan lebih cepat.

Pesawat paralel dengan contoh

Aksioma, yang menunjukkan paralelisme bidang, adalah sebagai berikut: " Dua bidang dianggap paralel hanya jika mereka tidak mengandung titik yang sama.”, yaitu tidak saling bersinggungan. Untuk membayangkan gambar ini secara lebih rinci, sebagai contoh dasar, kita dapat menyebutkan rasio langit-langit dan lantai atau dinding yang berlawanan dalam sebuah bangunan. Segera menjadi jelas apa yang dimaksud, dan fakta juga menegaskan bahwa pesawat-pesawat ini dalam kasus biasa tidak akan pernah berpotongan.

Contoh lain adalah jendela berlapis ganda, di mana lembaran kaca bertindak sebagai bidang. Mereka juga dalam keadaan apa pun tidak akan membentuk titik persimpangan satu sama lain. Selain itu, Anda dapat menambahkan rak buku, kubus Rubik, dengan bidang-bidang yang berhadapan, dan elemen kehidupan sehari-hari lainnya.

Bidang yang dipertimbangkan diberi tanda khusus berupa dua garis lurus "||", yang dengan jelas menggambarkan paralelisme bidang. Jadi, dengan menerapkan contoh-contoh nyata, seseorang dapat membentuk persepsi yang lebih jelas tentang topik tersebut, dan oleh karena itu, seseorang dapat melangkah lebih jauh ke pertimbangan konsep yang lebih kompleks.

Di mana dan bagaimana teori bidang paralel diterapkan?

Ketika mempelajari kursus geometri sekolah, siswa harus berurusan dengan tugas-tugas serbaguna, di mana seringkali perlu untuk menentukan paralelisme garis lurus, garis lurus dan bidang di antara mereka atau ketergantungan bidang satu sama lain. Menganalisis kondisi yang ada, setiap tugas dapat dikaitkan dengan empat kelas utama stereometri.

Kelas pertama mencakup tugas-tugas di mana perlu untuk menentukan paralelisme garis lurus dan bidang di antara mereka. Solusinya direduksi menjadi bukti teorema dengan nama yang sama. Untuk melakukan ini, Anda perlu menentukan apakah untuk garis yang tidak termasuk dalam bidang yang ditinjau, ada garis paralel yang terletak di bidang ini.

Kelas masalah kedua mencakup masalah di mana tanda bidang paralel digunakan. Ini digunakan untuk menyederhanakan proses pembuktian, sehingga secara signifikan mengurangi waktu untuk menemukan solusi.

Kelas berikutnya mencakup spektrum masalah pada korespondensi garis dengan sifat-sifat utama paralelisme bidang. Penyelesaian masalah kelas keempat adalah menentukan apakah kondisi bidang sejajar terpenuhi. Mengetahui dengan tepat bagaimana pembuktian masalah tertentu terjadi, menjadi lebih mudah bagi siswa untuk menavigasi ketika menerapkan gudang aksioma geometris yang ada.

Dengan demikian, tugas-tugas, yang kondisinya memerlukan pendefinisian dan pembuktian paralelisme garis lurus, garis lurus dan satu atau dua bidang satu sama lain, direduksi menjadi pemilihan teorema dan solusi yang benar sesuai dengan himpunan yang ada. aturan.

Pada paralelisme garis lurus dan bidang

Paralelisme garis lurus dan bidang adalah topik khusus dalam stereometri, karena justru inilah konsep dasar yang menjadi dasar semua sifat paralelisme angka geometris berikutnya.

Menurut aksioma yang tersedia, dalam kasus ketika dua titik dari garis lurus termasuk dalam bidang tertentu, kita dapat menyimpulkan bahwa garis lurus yang diberikan juga terletak di dalamnya. Dalam situasi ini, menjadi jelas bahwa ada tiga opsi untuk lokasi garis lurus relatif terhadap bidang di ruang angkasa:

1. Garis itu milik pesawat.
2. Untuk garis dan bidang ada satu titik perpotongan yang sama.
3. Tidak ada titik potong antara garis lurus dan bidang.

Kami, khususnya, tertarik pada varian terakhir, ketika tidak ada titik persimpangan. Hanya dengan demikian kita dapat mengatakan bahwa garis dan bidang relatif sejajar satu sama lain. Dengan demikian, kondisi teorema utama pada tanda paralelisme garis lurus dan bidang dikonfirmasi, yang menyatakan bahwa: "Jika sebuah garis yang bukan milik bidang yang bersangkutan sejajar dengan sembarang garis pada bidang itu, maka garis yang dimaksud juga sejajar dengan bidang yang diberikan."

Kebutuhan untuk menggunakan tanda paralelisme

Tanda paralelisme bidang biasanya digunakan untuk menemukan solusi yang disederhanakan untuk masalah tentang bidang. Inti dari tanda ini adalah sebagai berikut: Jika ada dua garis berpotongan yang terletak pada bidang yang sama, sejajar dengan dua garis yang termasuk dalam bidang lain, maka bidang-bidang tersebut dapat disebut sejajar».

Teorema tambahan

Selain menggunakan fitur yang membuktikan paralelisme bidang, dalam praktiknya seseorang dapat menemukan penggunaan dua teorema tambahan lainnya. Yang pertama disajikan dalam bentuk berikut: Jika salah satu dari dua bidang paralel sejajar dengan yang ketiga, maka bidang kedua juga sejajar dengan yang ketiga, atau sepenuhnya bertepatan dengannya».

Berdasarkan penggunaan teorema yang diberikan, selalu mungkin untuk membuktikan paralelisme bidang terhadap ruang yang dipertimbangkan. Teorema kedua menunjukkan ketergantungan bidang pada garis tegak lurus dan memiliki bentuk: “ Jika dua bidang tidak bertepatan tegak lurus terhadap suatu garis lurus, maka keduanya dianggap sejajar satu sama lain».

Konsep kondisi perlu dan cukup

Ketika berulang kali memecahkan masalah membuktikan paralelisme pesawat, kondisi yang diperlukan dan cukup untuk paralelisme pesawat diturunkan. Diketahui bahwa sembarang bidang diberikan oleh persamaan parametrik dalam bentuk: A 1 x+ B 1 y+ C 1 z+D 1 =0. Kondisi kami didasarkan pada penggunaan sistem persamaan yang menentukan lokasi pesawat di ruang angkasa, dan diwakili oleh formulasi berikut: Untuk membuktikan paralelisme dua bidang, perlu dan cukup bahwa sistem persamaan yang menggambarkan bidang-bidang ini tidak konsisten, yaitu, tidak memiliki solusi».

Sifat dasar

Namun, ketika memecahkan masalah geometri, menggunakan tanda paralelisme tidak selalu cukup. Kadang-kadang muncul situasi ketika perlu untuk membuktikan paralelisme dua atau lebih garis pada bidang yang berbeda atau kesetaraan segmen yang terdapat pada garis-garis ini. Untuk melakukan ini, gunakan properti bidang paralel. Dalam geometri, hanya ada dua dari mereka.

Properti pertama memungkinkan Anda untuk menilai paralelisme garis pada bidang tertentu dan disajikan dalam bentuk berikut: Jika dua bidang sejajar berpotongan sepertiga, maka garis-garis yang dibentuk oleh garis-garis perpotongan juga akan sejajar satu sama lain.».

Arti dari sifat kedua adalah membuktikan persamaan ruas-ruas yang terletak pada garis sejajar. Interpretasinya disajikan di bawah ini. " Jika kita mempertimbangkan dua bidang sejajar dan melampirkan daerah di antara mereka, maka dapat dikatakan bahwa panjang segmen yang dibentuk oleh daerah ini akan sama».

Paralelisme bidang adalah konsep yang pertama kali muncul dalam geometri Euclidean lebih dari dua ribu tahun yang lalu.

Karakteristik utama geometri klasik

Kelahiran disiplin ilmu ini dikaitkan dengan karya terkenal pemikir Yunani kuno Euclid, yang menulis pamflet "Awal" pada abad ketiga SM. Dibagi menjadi tiga belas buku, Elemen adalah pencapaian tertinggi dari semua matematika kuno dan menetapkan postulat dasar yang terkait dengan sifat-sifat bangun datar.

Kondisi paralelisme klasik untuk bidang dirumuskan sebagai berikut: dua bidang dapat disebut paralel jika mereka tidak memiliki titik persekutuan satu sama lain. Ini adalah postulat kelima dari kerja Euclidean.

Sifat Pesawat Paralel

Dalam geometri Euclidean, biasanya ada lima di antaranya:

• Properti satu(menjelaskan paralelisme bidang dan keunikannya). Melalui satu titik yang terletak di luar bidang tertentu, kita dapat menggambar satu dan hanya satu bidang yang sejajar dengannya

• Properti tiga(Dengan kata lain, itu disebut properti garis lurus yang memotong paralelisme bidang). Jika satu garis lurus memotong salah satu bidang paralel ini, maka garis itu akan memotong yang lain.

• Properti empat(sifat garis lurus yang dipotong pada bidang yang sejajar satu sama lain). Ketika dua bidang sejajar berpotongan dengan bidang ketiga (pada sembarang sudut), garis perpotongannya juga sejajar

• Properti kelima(properti yang menggambarkan segmen garis paralel yang berbeda yang diapit di antara bidang yang sejajar satu sama lain). Segmen garis sejajar yang diapit antara dua bidang sejajar harus sama.

Paralelisme bidang dalam geometri non-Euclidean

Pendekatan tersebut, khususnya, geometri Lobachevsky dan Riemann. Jika geometri Euclid direalisasikan pada ruang datar, maka geometri Lobachevsky diwujudkan dalam ruang melengkung negatif (cukup melengkung), dan dalam geometri Riemann ia menemukan realisasinya dalam ruang melengkung positif (dengan kata lain, bola). Ada pendapat stereotip yang sangat luas bahwa di Lobachevsky bidang paralel (dan juga garis) berpotongan.

Namun, ini tidak benar. Memang, kelahiran geometri hiperbolik dikaitkan dengan bukti postulat kelima Euclid dan perubahan pandangan tentangnya, tetapi definisi bidang dan garis paralel menyiratkan bahwa mereka tidak dapat berpotongan baik di Lobachevsky atau Riemann, tidak peduli di ruang apa mereka direalisasikan. Dan perubahan pandangan dan rumusan tersebut adalah sebagai berikut. Postulat bahwa hanya satu bidang sejajar yang dapat ditarik melalui suatu titik yang tidak terletak pada suatu bidang tertentu telah diganti dengan rumusan lain: melalui suatu titik yang tidak terletak pada suatu bidang tertentu, setidaknya dua garis yang terletak di bidang yang sama dengan yang diberikan dan tidak memotongnya.

Artikel ini akan mempelajari masalah paralelisme pesawat. Mari kita beri definisi pesawat yang sejajar satu sama lain; kami menunjukkan tanda-tanda dan kondisi paralelisme yang memadai; Mari kita lihat teori melalui ilustrasi dan contoh praktis.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Definisi 1

Pesawat paralel adalah bidang-bidang yang tidak memiliki titik-titik persekutuan.

Untuk menunjukkan paralelisme, simbol berikut digunakan: . Jika dua bidang diberikan: dan , yang sejajar, catatan singkat tentang ini akan terlihat seperti ini: ‖ .

Dalam gambar, sebagai aturan, bidang yang sejajar satu sama lain ditampilkan sebagai dua jajaran genjang yang sama diimbangi satu sama lain.

Dalam pidato, paralelisme dapat dilambangkan sebagai berikut: bidang α dan sejajar, dan juga - bidang sejajar dengan bidang atau bidang sejajar dengan bidang α.

Paralelisme pesawat: tanda dan kondisi paralelisme

Dalam proses penyelesaian masalah geometri, pertanyaan yang sering muncul: apakah bidang yang diberikan sejajar satu sama lain? Untuk menjawab pertanyaan ini, digunakan tanda paralelisme, yang juga merupakan syarat cukup untuk paralelisme bidang. Mari kita tuliskan sebagai teorema.

Teorema 1

Bidang dikatakan sejajar jika dua garis berpotongan dari satu bidang masing-masing sejajar dengan dua garis berpotongan pada bidang lain.

Bukti teorema ini diberikan dalam program geometri untuk kelas 10 - 11.

Dalam prakteknya, untuk membuktikan paralelisme, antara lain digunakan dua teorema berikut.

Teorema 2

Jika salah satu bidang paralel sejajar dengan bidang ketiga, maka bidang lainnya juga sejajar dengan bidang ini atau bertepatan dengannya.

Teorema 3

Jika dua bidang yang tidak berpotongan tegak lurus terhadap suatu garis, maka keduanya sejajar.

Berdasarkan teorema-teorema ini dan tanda paralelisme itu sendiri, fakta paralelisme dari dua bidang terbukti.

Mari kita pertimbangkan secara lebih rinci kondisi perlu dan cukup untuk paralelisme bidang dan , yang diberikan dalam sistem koordinat persegi panjang ruang tiga dimensi.

Mari kita asumsikan bahwa dalam beberapa sistem koordinat persegi panjang diberikan bidang , yang sesuai dengan persamaan umum A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0, dan juga bidang diberikan, yang didefinisikan oleh persamaan umum bentuk A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 .

Teorema 4

Agar bidang dan yang diberikan sejajar, sistem persamaan linier A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 tidak memiliki solusi (tidak kompatibel).

Bukti

Misalkan bidang-bidang yang ditentukan oleh persamaan A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 dan A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 adalah paralel, dan karena itu tidak memiliki poin umum. Dengan demikian, tidak ada satu titik pun dalam sistem koordinat persegi panjang ruang tiga dimensi, yang koordinatnya akan sesuai dengan kondisi kedua persamaan bidang secara bersamaan, yaitu. sistem A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 tidak memiliki solusi. Jika sistem yang ditentukan tidak memiliki solusi, maka tidak ada satu titik pun dalam sistem koordinat persegi panjang ruang tiga dimensi, yang koordinatnya secara bersamaan akan memenuhi kondisi kedua persamaan sistem. Oleh karena itu, bidang yang diberikan oleh persamaan A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 dan A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 tidak memiliki titik yang sama, yaitu. mereka sejajar.

Mari kita menganalisis penggunaan kondisi perlu dan cukup untuk paralelisme bidang.

Contoh 1

Diberikan dua bidang: 2 x + 3 y + z - 1 = 0 dan 2 3 x + y + 1 3 z + 4 = 0 . Anda perlu menentukan apakah mereka paralel.

Keputusan

Kami menuliskan sistem persamaan dari kondisi yang diberikan:

2 x + 3 y + z - 1 = 0 2 3 x + y + 1 3 z + 4 = 0

Mari kita periksa apakah mungkin untuk menyelesaikan sistem persamaan linier yang dihasilkan.

Rank dari matriks 2 3 1 2 3 1 1 3 sama dengan satu, karena minor orde kedua sama dengan nol. Rank dari matriks 2 3 1 1 2 3 1 1 3 - 4 sama dengan dua, karena minor dari 2 1 2 3 - 4 bukan nol. Dengan demikian, pangkat matriks utama dari sistem persamaan lebih kecil dari pangkat matriks yang diperluas dari sistem.

Bersamaan dengan ini, berikut dari teorema Kronecker-Capelli: sistem persamaan 2 x + 3 y + z - 1 = 0 2 3 x + y + 1 3 z + 4 = 0 tidak memiliki solusi. Fakta ini membuktikan bahwa bidang 2 x + 3 y + z - 1 = 0 dan 2 3 x + y + 1 3 z + 4 = 0 adalah sejajar.

Perhatikan bahwa jika kita menerapkan metode Gauss untuk menyelesaikan sistem persamaan linier, ini akan memberikan hasil yang sama.

Menjawab: bidang yang diberikan sejajar.

Kondisi perlu dan cukup agar bidang sejajar dapat dijelaskan dengan cara lain.

Teorema 5

Agar dua bidang tidak bertepatan dan sejajar satu sama lain, vektor-vektor normal bidang dan adalah kolinear.

Pembuktian kondisi yang dirumuskan didasarkan pada definisi vektor normal bidang.

Asumsikan bahwa n 1 → = (A 1 , B 1 , C 1) dan n 2 → = (A 2 , B 2 , C 2) masing-masing adalah vektor normal dari bidang dan . Mari kita tuliskan kondisi kolinearitas dari vektor-vektor ini:

n 1 → = t n 2 A 1 = t A 2 B 1 = t B 2 C 1 = t C 2, di mana t adalah bilangan real.

Jadi, untuk bidang yang tidak bertepatan dan dengan vektor-vektor normal yang diberikan di atas menjadi paralel, perlu dan cukup bahwa bilangan real t terjadi, yang persamaannya benar:

n 1 → = t n 2 A 1 = t A 2 B 1 = t B 2 C 1 = t C 2

Contoh 2

Bidang dan diberikan dalam sistem koordinat persegi panjang ruang tiga dimensi. Bidang melewati titik-titik: A (0 , 1 , 0 , B (- 3 , 1 , 1) , C (- 2 , 2 , - 2) . Bidang dijelaskan oleh persamaan x 12 + y 3 2 + z 4 = 1 Hal ini diperlukan untuk membuktikan paralelisme bidang yang diberikan.

Keputusan

Mari kita pastikan bahwa pesawat yang diberikan tidak bertepatan. Memang benar, karena koordinat titik A tidak sesuai dengan persamaan bidang .

Langkah selanjutnya adalah menentukan koordinat vektor normal n 1 → dan n 2 → yang bersesuaian dengan bidang dan . Kami juga memeriksa kondisi kolinearitas dari vektor-vektor ini.

Vektor n 1 → dapat ditentukan dengan mengambil perkalian silang dari vektor A B → dan A C → . Koordinatnya masing-masing adalah: (- 3 , 0 , 1) dan (- 2 , 2 , - 2) . Kemudian:

n 1 → = A B → × A C → = i → j → k → - 3 0 1 - 2 1 - 2 = - i → - 8 j → - 3 k → n 1 → = (- 1 , - 8 , - 3)

Untuk memperoleh koordinat vektor normal bidang x 12 + y 3 2 + z 4 = 1, kita kurangi persamaan ini menjadi persamaan umum bidang:

x 12 + y 3 2 + z 4 = 1 1 12 x + 2 3 y + 1 4 z - 1 = 0

Jadi: n 2 → = 1 12 , 2 3 , 1 4 .

Mari kita periksa apakah kondisi kolinaritas vektor n 1 → = (- 1 , - 8 , - 3) dan n 2 → = 1 12 , 2 3 , 1 4

Karena - 1 \u003d t 1 12 - 8 \u003d t 2 3 - 3 \u003d t 1 4 t \u003d - 12, maka vektor n 1 → dan n 2 → berhubungan dengan persamaan n 1 → = - 12 n 2 → , yaitu adalah kolinear.

Menjawab: pesawat dan tidak bertepatan; vektor normalnya adalah kolinear. Jadi, bidang dan sejajar.

Jika Anda melihat kesalahan dalam teks, harap sorot dan tekan Ctrl+Enter

Tujuan Pelajaran:

• Memperkenalkan konsep bidang sejajar.
• Pertimbangkan dan buktikan teorema yang mengungkapkan tanda paralelisme bidang dan sifat-sifat bidang paralel.
• Ikuti penerapan teorema ini dalam memecahkan masalah.

Rencana pelajaran (tulis di papan tulis):

I. Pekerjaan lisan persiapan.

II. Mempelajari materi baru:

1. Saling mengatur dua pesawat di ruang angkasa.
2. Definisi bidang sejajar.
3. Tanda bidang sejajar.
4. Properti bidang paralel.

AKU AKU AKU. Ringkasan pelajaran.

IV. Pekerjaan rumah.

SELAMA KELAS

I. Pekerjaan lisan

Saya ingin memulai pelajaran dengan kutipan dari surat filosofis Chaadaev:

“Dari mana datangnya kekuatan analisis dalam matematika yang ajaib ini? Faktanya adalah bahwa pikiran di sini bekerja dalam kepatuhan penuh pada aturan ini.

Kami akan mempertimbangkan subordinasi aturan ini dalam tugas berikutnya. Untuk mengasimilasi materi baru, perlu untuk mengulang beberapa pertanyaan. Untuk melakukan ini, Anda perlu membuat pernyataan yang mengikuti dari pernyataan ini dan membenarkan jawaban Anda:

II. Mempelajari materi baru

1. Bagaimana bisa dua pesawat berada di luar angkasa? Apa himpunan titik milik kedua pesawat?

Menjawab:

a) bertepatan (maka kita akan berurusan dengan satu pesawat, tidak puas);
b) berpotongan, ;
c) tidak berpotongan (tidak ada titik yang sama sama sekali).

2. Definisi: Jika dua bidang tidak berpotongan, maka mereka disebut paralel.

3. Penamaan:

4. Berikan contoh bidang sejajar dari lingkungan!

5. Bagaimana cara mengetahui apakah ada dua bidang di ruang angkasa yang sejajar?

Menjawab:

Anda dapat menggunakan definisi, tetapi ini tidak praktis, karena tidak selalu mungkin untuk menetapkan perpotongan bidang. Oleh karena itu, perlu untuk mempertimbangkan kondisi yang cukup untuk menyatakan paralelisme bidang.

6. Pertimbangkan situasi:

b) jika ?

c) jika ?

Mengapa di a) dan b) jawabannya adalah: "tidak selalu", tetapi dalam c) "ya"? (Garis berpotongan mendefinisikan bidang dengan cara yang unik, yang berarti mereka didefinisikan secara unik!)

Situasi 3 adalah tanda paralelisme dua bidang.

7. Dalil: Jika dua garis berpotongan dari satu bidang masing-masing sejajar dengan dua garis pada bidang lain, maka bidang-bidang ini sejajar.

Diberikan:

Membuktikan:

Bukti:

(Notasi pada gambar diterapkan oleh siswa).

1. Catatan: . Demikian pula:
2. Biarkan: .
3. Kami memiliki: Demikian pula:
4. Kami mendapatkan: kontradiksi dengan aksioma planimetri melewati M.
5. Jadi: salah, lalu h., dst.

8. Memecahkan No. 51 (Siswa menerapkan sebutan untuk gambar).

Diberikan:

Membuktikan:

Bukti:

1 cara

1. Mari membangun

2 jalan

Masuk melalui.

9. Pertimbangkan dua sifat bidang paralel:

Dalil: Jika dua bidang sejajar dipotong oleh sepertiga, maka garis perpotongannya sejajar.

(Siswa sendiri menyelesaikan dan menandai gambar).

Diberikan:

( Sayadengan baik)

Guru matematika PU 3

Tuaeva Z.S.

2015

Topik pelajaran “Paralelisme pesawat”

Jenis pelajaran: pelajaran dalam mempelajari materi baru.

Tujuan utama:

Memperkenalkan konsep bidang sejajar.

Buktikan kriteria untuk paralelisme dua bidang.

Perhatikan sifat-sifat bidang sejajar.

Tugas:

pendidikan :

Membentuk keterampilan menerapkan tanda paralelisme dua bidang dan mempelajari sifat-sifat bidang sejajar dalam memecahkan masalah.

pendidikan :

Pengembangan imajinasi spasial siswa,

Pengembangan aktivitas mental siswa.

Pengembangan kemampuan berpikir logis, rasional, kritis, kreatif dan kognitif siswa.

pendidikan :

Pendidikan akurasi, literasi grafis.

Penggunaan teknologi pendidikan baru: menggunakan teknologi pembelajaran masalah.

Rencana belajar

II. Mempelajari materi baru di papan tulis interaktif dengan model:

Definisi bidang sejajar.

Tanda paralelisme dua bidang.

Sifat-sifat bidang sejajar.

Percakapan dengan siswa tentang masalah di mana guru, secara sistematis menciptakan situasi masalah dan mengatur aktivitas siswa untuk memecahkan masalah pendidikan, memastikan kombinasi optimal dari aktivitas pencarian mandiri mereka dengan asimilasi kesimpulan sains yang sudah jadi.

AKU AKU AKU. Pembentukan keterampilan dan kemampuan

Memecahkan masalah untuk digunakan siswatanda paralelisme dua bidang dan sifat-sifat bidang sejajar. Pekerjaan independen untuk mengontrol perolehan dan melakukan konsolidasi utama material

IV. Pekerjaan rumah

Komentar guru tentang pekerjaan rumah

Selama kelas:

1. Pesan topik dan tujuan pelajaran. Pesan rencana pelajaran.

2. Tahap memperbarui pengetahuan.

Pertanyaan untuk siswa:

1. Garis apa di ruang angkasa yang disebut sejajar?

(Dua garis dalam ruang disebut sejajar jika terletak pada bidang yang sama dan tidak memiliki titik yang sama)

2. Merumuskan definisi paralelisme garis lurus dan bidang?

(Garis dan bidang disebut sejajar jika tidak memiliki titik yang sama)

3. Merumuskan aksioma ketiga stereometri?

(Jika dua pesawat memiliki titik yang sama, maka mereka memiliki garis yang sama di mana semua titik umum dari pesawat ini terletak)

4. Bagaimana bisa dua pesawat berada di luar angkasa?

(Dua bidang berpotongan pada garis lurus (Gbr. 1, a) atau tidak berpotongan (Gbr. 1, b))

Gbr.1, a Gbr.1, b

3. Mempelajari materi baru.

1. Masalah belajar : Definisi bidang paralel.

Situasi belajar :

Pertanyaan untuk siswa:

1. Berapa banyak titik persekutuan yang dimiliki oleh dua bidang yang tidak berpotongan?

(Tidak satu titik umum)

2. Apa saja nama-nama bidang yang tidak memiliki satu titik persekutuan?

(Pesawat paralel)

3. Rumuskan definisi bidang-bidang sejajar, jika diketahui jumlah titik persekutuannya?

Dua bidang disebut sejajar jika tidak memiliki titik persekutuan.

4. Sebutkan model-model bidang sejajar pada benda-benda kelas?

(Lantai dan langit-langit kabinet, dua dinding yang berlawanan, permukaan meja dan bidang lantai)

2. Masalah belajar : merumuskan dan membuktikan tanda paralelisme dua bidang.

Situasi belajar :

Siswa diberikan model parallelepiped.

Pertanyaan untuk siswa:

1. Apa posisi relatif pesawat? dan ?

(pesawat terbang dan paralel)

2. Sebutkan dua garis lurus yang berpotongan

(AB lurus, BC lurus)

3. Sebutkan bidang-bidang lurus , sejajar dengan garis lurusAB dan matahari ?

(
║
║

4. Apa posisi relatif dari garis lurus?AB dan pesawat ? Membenarkan jawabannya.

(AB║ atas dasar paralelisme garis lurus dan bidang: jika garis lurus yang tidak terletak pada bidang tertentu (
), sejajar dengan beberapa garis lurus yang terletak di bidang ini (
║

Jika siswa merasa sulit untuk membenarkan jawabannya, maka tarik perhatian mereka pada tanda paralelisme garis lurus dan bidang.

5. Apa posisi relatif dari garis?matahari dan pesawat ? Membenarkan jawabannya.

(Minggu atas dasar paralelisme garis lurus dan bidang: jika garis lurus yang tidak terletak pada bidang tertentu (
), sejajar dengan beberapa garis lurus yang terletak di bidang ini (
║
), maka itu sejajar dengan bidang itu sendiri)

6. Asumsikan Pesawat dan tidak paralel. Bagaimana mereka akan ditempatkan kemudian?

(pesawat akan berpotongan sepanjang garis lurus c)

7. Bagaimana garis ditempatkan dalam kasus ini?AB dandengan ?

(dengan AB, menurut properti
) sejajar dengan bidang lain (AB║
AB))

8. Bagaimana garis ditempatkan dalam kasus ini?matahari dandengan ?

(dengan BC, menurut properti : jika pesawat melewati garis yang diberikan (
) sejajar dengan bidang lain (BC║ ), dan memotong bidang ini (
), maka garis perpotongan bidang-bidang tersebut sejajar dengan garis yang diberikan (dengan VS))

9. Berapa banyak garis yang sejajar dengan sebuah garis?dengan , melalui titikPADA ?

(Dua garis: garis AB, garis BC)

10. Apakah mungkin?

(Ini tidak mungkin, karena menurut teorema garis sejajar: melalui titik mana pun dalam ruang yang tidak terletak pada garis tertentu, melewati garis yang sejajar dengan garis yang diberikan, dan terlebih lagi, hanya satu)

11. Kesimpulan apa yang dapat ditarik? Apakah asumsi kita benar?

(Asumsi kami tidak benar, tetap mengakui bahwa ║)

12. Berapa banyak garis lurus yang dibutuhkan dalam sebuah pesawat? ke pesawat dan apakah paralel?

(dua garis lurus)

13. Apa yang seharusnya ada di antara garis-garis ini?

(berpotongan)

14. Berapa banyak garis lurus yang harus sejajar dari bidang? ?

(dua)

15. Rumuskan tanda paralelisme dua bidang, dengan memperhitungkan jumlah garis satu bidang yang sejajar dengan garis-garis bidang lain?

Hasil kesimpulan siswa:

Jika dua garis berpotongan dari satu bidang masing-masing sejajar dengan dua garis pada bidang lain, maka bidang-bidang ini sejajar.

3. Masalah belajar : merumuskan dan membuktikan sifat-sifat bidang sejajar.

Situasi belajar :

Pertanyaan untuk siswa:

dan ?

(bidang sejajar)

dalam kaitannya dengan pesawat dan ?

(pesawat terbang melintasi pesawat dan )

3. Apa yang dapat Anda katakan tentang garis perpotongan bidang?

(garis-garis perpotongan bidang-bidang itu sejajar satu sama lain)

4. Buktikan jawaban Anda dengan menggunakan definisi garis sejajar dalam ruang.

(garis a dan b terletak pada bidang yang sama) dan tidak berpotongan, karena jika garis berpotongan, maka bidang dan akan memiliki titik yang sama, yang tidak mungkin, karena bidang ini sejajar)

5. Rumuskan sifat pertama bidang sejajar, dengan mempertimbangkan posisi relatif garis perpotongansebuah dan di ?

Hasil kesimpulan siswa:

Jika dua bidang sejajar dipotong oleh sepertiga, maka garis perpotongannya sejajar.

Situasi belajar :

Siswa diberikan model bidang sejajar yang berpotongan dengan bidang ketiga.

Pertanyaan untuk siswa:

1. Apa posisi relatif pesawat? dan ?

(bidang sejajar)

2. Bagaimana posisi pesawat dalam kaitannya dengan pesawat dan ?

(pesawat terbang melintasi pesawat dan )

3. Apa yang dapat Anda katakan tentang segmen?AB dan Dengan D ?

(segmen Sebuah band Dengan D sejajar satu sama lain)

4. Apa yang dapat Anda katakan tentang segmen?AC dan PADA D ?

(segmen AU dan PADA D sejajar satu sama lain oleh properti 1 )

5. Apa nama segi empat yang sisi-sisi berhadapannya sejajar berpasangan?

(genjang)

6. Sifat-sifat jajar genjang apa yang kamu ketahui?

pada jajar genjang sisi-sisi yang berhadapan dan sudut-sudutnya sama besar

Diagonal jajar genjang dibagi dua oleh titik potong

7. Apa yang dapat Anda katakan tentang segmen?AB dan Dengan D menggunakan properti pertama dari jajaran genjang?

(segmen Sebuah band Dengan D sama satu sama lain)

8. Rumuskan sifat kedua bidang sejajar menggunakan persamaan segmenAB dan Dengan D ?

Hasil kesimpulan siswa:

Ruas-ruas garis sejajar yang terletak di antara bidang-bidang sejajar adalah sama besar.

4. Pembentukan keterampilan dan kemampuan.

Penyelesaian masalah

Tugas nomor 1. (No. 54) (Untuk mengetahui tanda paralelisme dua bidang)

Diberikan :

Membuktikan :

║

Mencari :

Bukti:

1.
- garis tengah
M N ║ AC .

2. NP - garis tengah
NP ║ CD .

M N ║ AC
( MNP )║( ADC ) atas dasar paralelisme 2 pl.

NP ║ CD

4.
serupa
sesuai dengan tanda kesebangunan ketiga segitiga (jika tiga sisi dari satu segitiga sebanding dengan tiga sisi yang lain, maka segitiga tersebut sebangun)
(karena perbandingan luas dua segitiga sama besar sama dengan kuadrat koefisien keserupaan)

Menjawab :
.

Tugas nomor 2. (No. 63 (a)) (Untuk mengerjakan 1 sifat bidang sejajar)

Diberikan:

║

Mencari:

Keputusan:

1. Mari kita buktikan bahwa
║
.

Sebagai

║(berdasarkan kondisi)

║
.(Dengan 1 properti bidang paralel)

2. Mari kita buktikan bahwa
serupa
.

, sesuai dengan
║
.dan garis potong

, sesuai dengan
║
.dan garis potong

Cara,
serupa
di 2 sudut.

3. Temukan
.

Dengan kondisi

4. Temukan
.

Mari kita membuat proporsi:

Menjawab :

Tugas nomor 3. (No. 65) (Untuk mempraktekkan 2 sifat bidang sejajar)

Diberikan :

║

║
║

Mendefinisikan :

jenis segi empat

Membuktikan:

Keputusan:

1. Pertimbangkan segi empat
.

║
(berdasarkan kondisi)

=

berbentuk segi empat

2. Pertimbangkan segi empat
.

║
(berdasarkan kondisi)

=
(sebagai segmen garis paralel yang tertutup di antara bidang paralel, properti 2)
berbentuk segi empat
adalah jajaran genjang

3. Pertimbangkan segi empat
.

║
(berdasarkan kondisi)

=
(sebagai segmen garis paralel yang tertutup di antara bidang paralel, properti 2)
berbentuk segi empat
memotong segitiga serupa dengan yang diberikan. : Pekerjaan rumah.

10 (hal. 10-11) hal. (20-21)

No.53, No.63(b).

Buku teks: L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev, L. S. Kiseleva, E. G. Poznyak. Geometri 10, 11. Moskow“ Pendidikan ” , 2002.

6. Hasil pelajaran.

Hari ini dalam pelajaran kami memperkenalkan konsep bidang paralel, secara independen membuktikan tanda paralelisme dua bidang, mempertimbangkan sifat-sifat bidang paralel. Kami belajar memecahkan masalah untuk pembuktian menggunakan tanda paralelisme dua bidang, untuk menerapkan sifat-sifat bidang paralel yang dipelajari dalam memecahkan masalah.