Dalam masalah B9, diberikan grafik fungsi atau turunan, yang darinya diperlukan untuk menentukan salah satu besaran berikut:

1. Nilai turunan di suatu titik x 0,
2. Titik tinggi atau rendah (titik ekstrem),
3. Interval fungsi naik dan turun (interval monotonisitas).

Fungsi dan turunan yang disajikan dalam masalah ini selalu kontinu, yang sangat menyederhanakan solusinya. Terlepas dari kenyataan bahwa tugas itu termasuk dalam bagian analisis matematis, itu cukup dalam kekuatan bahkan siswa yang paling lemah, karena tidak diperlukan pengetahuan teoretis yang mendalam di sini.

Untuk mencari nilai turunan, titik ekstrem dan interval monoton, ada algoritma sederhana dan universal - semuanya akan dibahas di bawah ini.

Baca dengan cermat kondisi masalah B9 agar tidak membuat kesalahan bodoh: terkadang teks yang cukup banyak muncul, tetapi ada beberapa kondisi penting yang memengaruhi jalannya solusi.

Perhitungan nilai turunan. Metode dua titik

Jika masalah diberikan grafik fungsi f(x), bersinggungan dengan grafik ini di beberapa titik x 0 , dan diperlukan untuk menemukan nilai turunan pada titik ini, algoritma berikut diterapkan:

1. Temukan dua titik "memadai" pada grafik singgung: koordinatnya harus bilangan bulat. Mari kita nyatakan titik-titik ini sebagai A (x 1 ; y 1) dan B (x 2 ; y 2). Tuliskan koordinat dengan benar - ini adalah poin kunci dari solusi, dan kesalahan apa pun di sini mengarah pada jawaban yang salah.
2. Mengetahui koordinat, mudah untuk menghitung kenaikan argumen x = x 2 x 1 dan kenaikan fungsi y = y 2 y 1 .
3. Akhirnya, kami menemukan nilai turunan D = y/x. Dengan kata lain, Anda perlu membagi kenaikan fungsi dengan kenaikan argumen - dan ini akan menjadi jawabannya.

Sekali lagi, kita perhatikan: titik A dan B harus dicari tepat pada garis singgung, dan bukan pada grafik fungsi f(x), seperti yang sering terjadi. Garis singgung harus mengandung setidaknya dua titik seperti itu, jika tidak, masalahnya dirumuskan secara tidak benar.

Pertimbangkan titik A (−3; 2) dan B (1; 6) dan temukan kenaikannya:
x \u003d x 2 - x 1 \u003d -1 - (-3) \u003d 2; y \u003d y 2 - y 1 \u003d 6 - 2 \u003d 4.

Mari kita cari nilai turunannya: D = y/Δx = 4/2 = 2.

Sebuah tugas. Gambar menunjukkan grafik fungsi y \u003d f (x) dan garis singgungnya pada titik dengan absis x 0. Tentukan nilai turunan fungsi f(x) di titik x 0 .

Perhatikan titik A (0; 3) dan B (3; 0), cari pertambahan:
x \u003d x 2 - x 1 \u003d 3 - 0 \u003d 3; y \u003d y 2 - y 1 \u003d 0 - 3 \u003d -3.

Sekarang kita cari nilai turunannya: D = y/Δx = 3/3 = 1.

Sebuah tugas. Gambar menunjukkan grafik fungsi y \u003d f (x) dan garis singgungnya pada titik dengan absis x 0. Tentukan nilai turunan fungsi f(x) di titik x 0 .

Pertimbangkan poin A (0; 2) dan B (5; 2) dan temukan kenaikannya:
x \u003d x 2 - x 1 \u003d 5 - 0 \u003d 5; y = y 2 - y 1 = 2 - 2 = 0.

Tetap mencari nilai turunannya: D = y/x = 0/5 = 0.

Dari contoh terakhir, kita dapat merumuskan aturan: jika garis singgung sejajar dengan sumbu OX, turunan dari fungsi pada titik kontak sama dengan nol. Dalam hal ini, Anda bahkan tidak perlu menghitung apa pun - lihat saja grafiknya.

Menghitung Poin Tinggi dan Rendah

Kadang-kadang alih-alih grafik fungsi dalam masalah B9, grafik turunan diberikan dan diperlukan untuk menemukan titik maksimum atau minimum dari fungsi tersebut. Dalam skenario ini, metode dua titik tidak berguna, tetapi ada algoritma lain yang lebih sederhana. Pertama, mari kita definisikan terminologinya:

1. Titik x 0 disebut titik maksimum dari fungsi f(x) jika pertidaksamaan berikut berlaku di beberapa lingkungan dari titik ini: f(x 0) f(x).
2. Titik x 0 disebut titik minimum dari fungsi f(x) jika pertidaksamaan berikut berlaku di beberapa lingkungan dari titik ini: f(x 0) f(x).

Untuk menemukan titik maksimum dan minimum pada grafik turunan, cukup melakukan langkah-langkah berikut:

1. Gambar ulang grafik turunan, hapus semua informasi yang tidak perlu. Seperti yang ditunjukkan oleh praktik, data tambahan hanya mengganggu keputusan. Oleh karena itu, kami menandai nol dari turunan pada sumbu koordinat - dan hanya itu.
2. Cari tahu tanda-tanda turunan pada interval antara nol. Jika untuk suatu titik x 0 diketahui f'(x 0) 0, maka hanya dua pilihan yang mungkin: f'(x 0) 0 atau f'(x 0) 0. Tanda turunannya adalah mudah ditentukan dari gambar aslinya: jika graf turunan terletak di atas sumbu OX, maka f'(x) 0. Sebaliknya, jika graf turunan terletak di bawah sumbu OX, maka f'(x) 0.
3. Kami kembali memeriksa nol dan tanda-tanda turunannya. Di mana tanda berubah dari minus ke plus, ada titik minimum. Sebaliknya, jika tanda turunannya berubah dari plus ke minus, ini adalah titik maksimumnya. Penghitungan selalu dilakukan dari kiri ke kanan.

Skema ini hanya berfungsi untuk fungsi kontinu - tidak ada yang lain dalam masalah B9.

Sebuah tugas. Gambar tersebut menunjukkan grafik turunan dari fungsi f(x) yang didefinisikan pada segmen [−5; 5]. Temukan titik minimum dari fungsi f(x) pada segmen ini.

Mari kita singkirkan informasi yang tidak perlu - kita hanya akan meninggalkan perbatasan [−5; 5] dan nol dari turunan x = 3 dan x = 2.5. Perhatikan juga tanda-tandanya:

Jelasnya, pada titik x = 3, tanda turunannya berubah dari minus menjadi plus. Ini adalah titik minimum.

Sebuah tugas. Gambar tersebut menunjukkan grafik turunan dari fungsi f(x) yang didefinisikan pada segmen [−3; 7]. Temukan titik maksimum fungsi f(x) pada segmen ini.

Mari kita menggambar ulang grafik, hanya menyisakan batas [−3; 7] dan nol dari turunan x = 1.7 dan x = 5. Perhatikan tanda-tanda turunan pada grafik yang dihasilkan. Kita punya:

Jelas, pada titik x = 5, tanda turunan berubah dari plus ke minus - ini adalah titik maksimum.

Sebuah tugas. Gambar tersebut menunjukkan grafik turunan dari fungsi f(x) yang didefinisikan pada segmen [−6; empat]. Tentukan jumlah titik maksimum dari fungsi f(x) yang termasuk dalam interval [−4; 3].

Dari kondisi masalah, maka cukup untuk mempertimbangkan hanya bagian dari grafik yang dibatasi oleh segmen [−4; 3]. Oleh karena itu, kami membangun grafik baru, di mana kami hanya menandai batas [−4; 3] dan nol turunan di dalamnya. Yaitu, titik x = 3.5 dan x = 2. Kita peroleh:

Pada grafik ini, hanya ada satu titik maksimum x = 2. Di dalamnya tanda turunan berubah dari plus ke minus.

Catatan kecil tentang titik dengan koordinat non-bilangan bulat. Sebagai contoh, pada soal terakhir, titik x = 3.5 dipertimbangkan, tetapi dengan keberhasilan yang sama kita dapat mengambil x = 3.4. Jika masalah dirumuskan dengan benar, perubahan seperti itu seharusnya tidak mempengaruhi jawaban, karena poin "tanpa tempat tinggal tetap" tidak terlibat langsung dalam menyelesaikan masalah. Tentu saja, dengan poin integer, trik seperti itu tidak akan berhasil.

Menemukan interval kenaikan dan penurunan fungsi

Dalam masalah seperti itu, seperti titik maksimum dan minimum, diusulkan untuk menemukan area di mana fungsi itu sendiri meningkat atau menurun dari grafik turunan. Pertama, mari kita definisikan apa itu ascending dan descending:

1. Suatu fungsi f(x) disebut meningkat pada suatu ruas jika untuk sembarang dua titik x 1 dan x 2 dari ruas ini pernyataannya benar: x 1 x 2 f(x 1) f(x 2). Dengan kata lain, semakin besar nilai argumen, semakin besar nilai fungsinya.
2. Suatu fungsi f(x) disebut menurun pada suatu ruas jika untuk sembarang dua titik x 1 dan x 2 dari ruas ini pernyataannya benar: x 1 x 2 f(x 1) f(x 2). Itu. nilai argumen yang lebih besar sesuai dengan nilai fungsi yang lebih kecil.

Kami merumuskan kondisi yang cukup untuk naik dan turun:

1. Agar fungsi kontinu f(x) meningkat pada segmen , cukup turunannya di dalam segmen menjadi positif, mis. f'(x) 0.
2. Agar fungsi kontinu f(x) berkurang pada segmen , cukup turunannya di dalam segmen menjadi negatif, mis. f'(x) 0.

Kami menerima pernyataan ini tanpa bukti. Dengan demikian, kami memperoleh skema untuk menemukan interval kenaikan dan penurunan, yang dalam banyak hal mirip dengan algoritma untuk menghitung titik ekstrem:

1. Hapus semua informasi yang berlebihan. Pada grafik asli turunan, kami terutama tertarik pada nol dari fungsi, jadi kami hanya meninggalkannya.
2. Tandai tanda-tanda turunan pada interval antara nol. Dimana f'(x) 0, fungsi meningkat, dan dimana f'(x) 0, fungsi menurun. Jika masalah memiliki batasan pada variabel x, kami juga menandainya pada bagan baru.
3. Sekarang kita mengetahui perilaku fungsi dan kendala, tinggal menghitung nilai yang diperlukan dalam masalah.

Sebuah tugas. Gambar tersebut menunjukkan grafik turunan dari fungsi f(x) yang didefinisikan pada segmen [−3; 7.5]. Tentukan interval fungsi menurun f(x). Dalam jawaban Anda, tulis jumlah bilangan bulat yang termasuk dalam interval ini.

Seperti biasa, kita menggambar ulang grafik dan menandai batas [−3; 7.5], serta nol dari turunan x = 1.5 dan x = 5.3. Kemudian kita tandai tanda-tanda turunannya. Kita punya:

Karena turunannya negatif pada interval (− 1,5), ini adalah interval fungsi menurun. Tetap menjumlahkan semua bilangan bulat yang ada di dalam interval ini:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

Sebuah tugas. Gambar tersebut menunjukkan grafik turunan dari fungsi f(x) yang didefinisikan pada segmen [−10; empat]. Carilah interval dari peningkatan fungsi f(x). Dalam jawaban Anda, tuliskan panjang yang terbesar.

Mari kita singkirkan informasi yang berlebihan. Kami hanya meninggalkan batas [−10; 4] dan nol dari turunannya, yang kali ini menjadi empat: x = 8, x = 6, x = 3 dan x = 2. Perhatikan tanda-tanda turunan dan dapatkan gambar berikut:

Kami tertarik pada interval fungsi yang meningkat, yaitu di mana f'(x) 0. Ada dua interval seperti itu pada grafik: (−8; 6) dan (−3; 2). Mari kita hitung panjangnya:
l 1 = 6 (−8) = 2;
l 2 = 2 (−3) = 5.

Karena diperlukan untuk menemukan panjang interval terbesar, kami menulis nilai l 2 = 5 sebagai tanggapan.

Turunan dari suatu fungsi adalah salah satu topik yang paling sulit dalam kurikulum sekolah. Tidak setiap lulusan akan menjawab pertanyaan tentang apa itu turunan.

Artikel ini secara sederhana dan jelas menjelaskan apa itu derivatif dan mengapa itu diperlukan.. Kami sekarang tidak akan berusaha keras untuk presentasi matematika. Yang terpenting adalah memahami maknanya.

Mari kita ingat definisinya:

Turunan adalah laju perubahan fungsi.

Gambar tersebut menunjukkan grafik tiga fungsi. Mana yang menurut Anda tumbuh paling cepat?

Jawabannya jelas - yang ketiga. Ini memiliki tingkat perubahan tertinggi, yaitu turunan terbesar.

Berikut adalah contoh lain.

Kostya, Grisha dan Matvey mendapat pekerjaan pada saat yang bersamaan. Mari kita lihat bagaimana pendapatan mereka berubah sepanjang tahun:

Anda dapat langsung melihat semua yang ada di grafik, bukan? Pendapatan Kostya meningkat lebih dari dua kali lipat dalam enam bulan. Dan pendapatan Grisha juga meningkat, tetapi hanya sedikit. Dan pendapatan Matthew turun menjadi nol. Kondisi awalnya sama, tetapi laju perubahan fungsi, mis. turunan, - berbeda. Adapun Matvey, turunan dari pendapatannya umumnya negatif.

Secara intuitif, kita dapat dengan mudah memperkirakan laju perubahan suatu fungsi. Tapi bagaimana kita melakukannya?

Apa yang sebenarnya kita lihat adalah seberapa curam grafik fungsi naik (atau turun). Dengan kata lain, seberapa cepat y berubah dengan x. Jelas, fungsi yang sama pada titik yang berbeda dapat memiliki nilai turunan yang berbeda - yaitu, dapat berubah lebih cepat atau lebih lambat.

Turunan suatu fungsi dilambangkan dengan .

Mari kita tunjukkan bagaimana menemukan menggunakan grafik.

Sebuah grafik dari beberapa fungsi digambarkan. Ambil titik di atasnya dengan absis. Gambarlah garis singgung grafik fungsi pada titik ini. Kami ingin mengevaluasi seberapa curam grafik fungsi naik. Nilai yang berguna untuk ini adalah tangen dari kemiringan tangen.

Turunan suatu fungsi di suatu titik sama dengan garis singgung kemiringan garis singgung yang ditarik ke grafik fungsi di titik tersebut.

Harap dicatat - sebagai sudut kemiringan garis singgung, kami mengambil sudut antara garis singgung dan arah positif sumbu.

Kadang-kadang siswa bertanya apa garis singgung grafik suatu fungsi. Ini adalah garis lurus yang memiliki satu-satunya titik yang sama dengan grafik di bagian ini, apalagi, seperti yang ditunjukkan pada gambar kami. Itu terlihat seperti garis singgung lingkaran.

Mari kita temukan. Kita ingat bahwa tangen sudut lancip dalam segitiga siku-siku sama dengan rasio kaki yang berlawanan dengan kaki yang berdekatan. Dari segitiga:

Kami menemukan turunannya menggunakan grafik tanpa mengetahui rumus fungsinya. Tugas seperti itu sering ditemukan dalam ujian matematika di bawah nomor.

Ada korelasi penting lainnya. Ingat bahwa garis lurus diberikan oleh persamaan

Besaran dalam persamaan ini disebut kemiringan garis lurus. Ini sama dengan tangen sudut kemiringan garis lurus terhadap sumbu.

.

Kami mengerti

Mari kita ingat rumus ini. Ini mengungkapkan makna geometris dari turunan.

Turunan suatu fungsi di suatu titik sama dengan kemiringan garis singgung yang ditarik ke grafik fungsi di titik tersebut.

Dengan kata lain, turunannya sama dengan garis singgung dari kemiringan garis singgung tersebut.

Kami telah mengatakan bahwa fungsi yang sama pada titik yang berbeda dapat memiliki turunan yang berbeda. Mari kita lihat bagaimana turunan terkait dengan perilaku fungsi.

Mari kita menggambar grafik dari beberapa fungsi. Biarkan fungsi ini meningkat di beberapa area, dan menurun di area lain, dan pada tingkat yang berbeda. Dan biarkan fungsi ini memiliki poin maksimum dan minimum.

Pada suatu titik, fungsinya meningkat. Garis singgung grafik, yang digambar di titik, membentuk sudut lancip dengan arah sumbu positif. Jadi turunannya positif pada titik tersebut.

Pada titik, fungsi kita menurun. Garis singgung di titik ini membentuk sudut tumpul dengan arah sumbu positif. Karena tangen sudut tumpul adalah negatif, turunan di titik tersebut negatif.

Inilah yang terjadi:

Jika suatu fungsi naik, turunannya positif.

Jika menurun, turunannya negatif.

Dan apa yang akan terjadi pada titik maksimum dan minimum? Kita melihat bahwa pada (titik maksimum) dan (titik minimum) garis singgungnya horizontal. Oleh karena itu, garis singgung dari kemiringan garis singgung pada titik-titik ini adalah nol, dan turunannya juga nol.

Titik adalah titik maksimum. Pada titik ini, peningkatan fungsi digantikan oleh penurunan. Akibatnya, tanda turunan berubah pada titik dari "plus" menjadi "minus".

Pada titik – titik minimum – turunannya juga sama dengan nol, tetapi tandanya berubah dari “minus” menjadi “plus”.

Kesimpulan: dengan bantuan turunan, Anda dapat mengetahui semua yang menarik minat kami tentang perilaku fungsi.

Jika turunannya positif, maka fungsinya naik.

Jika turunannya negatif, maka fungsinya menurun.

Pada titik maksimum, turunannya adalah nol dan berubah tanda dari plus ke minus.

Pada titik minimum, turunannya juga nol dan berubah tanda dari minus menjadi plus.

Kami menulis temuan ini dalam bentuk tabel:

	meningkat	titik maksimum	berkurang	titik minimum	meningkat
+	0	-	0	+

Mari kita buat dua klarifikasi kecil. Anda akan membutuhkan salah satunya saat menyelesaikan soal ujian. Lain - di tahun pertama, dengan studi fungsi dan turunan yang lebih serius.

Suatu kasus dimungkinkan jika turunan suatu fungsi di suatu titik sama dengan nol, tetapi fungsi tersebut tidak memiliki maksimum maupun minimum pada titik ini. Ini disebut :

Di suatu titik, garis singgung grafik mendatar dan turunannya nol. Namun, sebelum titik fungsinya meningkat - dan setelah titik itu terus meningkat. Tanda turunannya tidak berubah - tetap positif seperti semula.

Juga terjadi bahwa pada titik maksimum atau minimum, turunannya tidak ada. Pada grafik, ini sesuai dengan jeda yang tajam, ketika tidak mungkin untuk menggambar garis singgung pada titik tertentu.

Tetapi bagaimana menemukan turunannya jika fungsinya tidak diberikan oleh grafik, tetapi oleh rumus? Dalam hal ini, itu berlaku

Sergei Nikiforov

Jika turunan suatu fungsi bertanda konstan pada suatu interval, dan fungsi itu sendiri kontinu pada batas-batasnya, maka titik-titik batas dilampirkan pada interval naik dan turun, yang sepenuhnya sesuai dengan definisi fungsi naik dan turun.

Farit Yamaev 26.10.2016 18:50

Halo. Bagaimana (atas dasar apa) dapat dikatakan bahwa pada titik di mana turunannya sama dengan nol, fungsi meningkat. Berikan alasan. Jika tidak, itu hanya keinginan seseorang. Dengan teorema apa? Dan juga bukti. Terima kasih.

Mendukung

Nilai turunan di suatu titik tidak berhubungan langsung dengan kenaikan fungsi pada interval. Pertimbangkan, misalnya, fungsi - semuanya meningkat pada segmen

Vladlen Pisarev 02.11.2016 22:21

Jika suatu fungsi meningkat pada interval (a;b) dan didefinisikan dan kontinu pada titik a dan b, maka fungsi tersebut meningkat pada segmen . Itu. titik x=2 termasuk dalam interval yang diberikan.

Meskipun, sebagai suatu peraturan, kenaikan dan penurunan tidak dianggap pada segmen, tetapi pada interval.

Tetapi pada titik x=2, fungsi tersebut memiliki minimum lokal. Dan bagaimana menjelaskan kepada anak-anak bahwa ketika mereka mencari titik-titik kenaikan (penurunan), maka kita tidak menghitung titik-titik ekstrem lokal, tetapi mereka masuk ke dalam interval kenaikan (penurunan).

Mengingat bahwa bagian pertama dari ujian adalah untuk "kelompok menengah taman kanak-kanak", maka nuansa seperti itu mungkin berlebihan.

Secara terpisah, terima kasih banyak atas "Saya akan menyelesaikan ujian" untuk semua karyawan - panduan yang sangat baik.

Sergei Nikiforov

Penjelasan sederhana dapat diperoleh jika kita mulai dari definisi fungsi naik/turun. Biarkan saya mengingatkan Anda bahwa kedengarannya seperti ini: suatu fungsi disebut naik/turun pada interval jika argumen fungsi yang lebih besar sesuai dengan nilai fungsi yang lebih besar/kecil. Definisi seperti itu tidak menggunakan konsep turunan dengan cara apa pun, jadi pertanyaan tentang titik-titik di mana turunan menghilang tidak dapat muncul.

Irina Ishmakova 20.11.2017 11:46

Selamat sore. Di sini, di komentar saya melihat keyakinan bahwa perbatasan harus dimasukkan. Katakanlah saya setuju dengan ini. Tapi lihat, tolong, pada solusi Anda untuk masalah 7089. Di sana, ketika menentukan interval kenaikan, batas-batasnya tidak disertakan. Dan itu mempengaruhi responnya. Itu. solusi tugas 6429 dan 7089 saling bertentangan. Tolong jelaskan situasi ini.

Alexander Ivanov

Tugas 6429 dan 7089 memiliki pertanyaan yang sama sekali berbeda.

Di satu, ada interval kenaikan, dan di sisi lain, ada interval dengan turunan positif.

Tidak ada kontradiksi.

Ekstrem termasuk dalam interval naik dan turun, tetapi titik di mana turunannya sama dengan nol tidak masuk ke interval di mana turunannya positif.

A Z 28.01.2019 19:09

Rekan-rekan, ada konsep meningkat pada suatu titik

(lihat Fichtenholtz misalnya)

dan pemahaman Anda tentang kenaikan pada titik x=2 bertentangan dengan definisi klasik.

Menambah dan mengurangi adalah sebuah proses dan saya ingin mematuhi prinsip ini.

Dalam sembarang interval yang memuat titik x=2, fungsi tersebut tidak bertambah. Oleh karena itu, pencantuman titik x=2 yang diberikan adalah proses khusus.

Biasanya, untuk menghindari kebingungan, penyertaan ujung-ujung interval dikatakan secara terpisah.

Alexander Ivanov

Fungsi y=f(x) disebut meningkat pada beberapa interval jika nilai argumen yang lebih besar dari interval ini sesuai dengan nilai fungsi yang lebih besar.

Di titik x = 2, fungsi terdiferensialkan, dan pada interval (2; 6) turunannya positif, yang berarti bahwa nilainya benar-benar positif pada interval, yang berarti bahwa fungsi hanya meningkat dalam bagian ini, jadi nilai fungsi di ujung kiri x = 3 lebih kecil dari nilainya di ujung kanan x = −2.

Menjawab: φ 2 (−3) φ 2 (−2)

2) Menggunakan grafik antiturunan Φ 2 (x ) (dalam kasus kami ini adalah grafik biru), tentukan mana dari 2 nilai fungsi yang lebih besar φ 2 (−1) atau φ 2 (4)?

Dari grafik antiturunan dapat diketahui bahwa titik x = 1 berada di area yang meningkat, maka nilai turunan yang sesuai adalah positif. Dot x = 4 berada di daerah yang menurun dan nilai turunan yang sesuai adalah negatif. Karena nilai positif lebih besar daripada nilai negatif, kami menyimpulkan bahwa nilai fungsi yang tidak diketahui, yang merupakan turunannya, lebih kecil di titik 4 daripada di titik 1.

Menjawab: φ 2 (−1) > φ 2 (4)

Anda dapat mengajukan banyak pertanyaan serupa pada grafik yang hilang, yang mengarah ke berbagai macam masalah dengan jawaban singkat, dibangun sesuai dengan skema yang sama. Cobalah untuk memecahkan beberapa dari mereka.

Tugas untuk menentukan karakteristik turunan menurut grafik suatu fungsi.

Gambar 1.

Gambar 2.

Tugas 1

kamu = f (x ) didefinisikan pada interval (−10.5;19). Tentukan jumlah titik bilangan bulat yang turunan fungsinya positif.

Turunan dari fungsi positif di daerah-daerah di mana fungsi meningkat. Dapat dilihat dari gambar bahwa ini adalah interval (−10.5;−7.6), (−1;8.2) dan (15,7;19). Mari kita daftarkan poin bilangan bulat di dalam interval ini: "−10", "−9", "−8", "0", "1", "2", "3", "4", "5", "6" , "7", "8", "16", "17", "18". Total ada 15 poin.

Menjawab: 15

Catatan.
1. Ketika dalam tugas tentang grafik fungsi diharuskan untuk menyebutkan "titik", sebagai aturan, hanya nilai argumen yang dimaksud x , yang merupakan absis dari titik-titik yang bersesuaian yang terletak pada grafik. Koordinat titik-titik ini adalah nilai fungsi, mereka bergantung dan dapat dengan mudah dihitung jika perlu.
2. Saat membuat daftar titik, kami tidak memperhitungkan tepi interval, karena fungsi pada titik ini tidak bertambah atau berkurang, tetapi "terbuka". Turunan pada titik-titik tersebut tidak positif atau negatif, sama dengan nol, oleh karena itu disebut titik stasioner. Selain itu, kami tidak mempertimbangkan batas domain di sini, karena kondisinya mengatakan bahwa ini adalah interval.

Tugas 2

Gambar 1 menunjukkan grafik fungsi kamu = f (x ) didefinisikan pada interval (−10.5;19). Tentukan jumlah titik bilangan bulat di mana turunan dari fungsi f" (x ) adalah negatif.

Turunan suatu fungsi negatif di daerah-daerah di mana fungsi tersebut menurun. Gambar menunjukkan bahwa ini adalah interval (−7.6;−1) dan (8.2;15.7). Poin bilangan bulat di dalam interval ini: "−7", "−6", "−5", "4", "−3", "−2", "9", "10", "11", "12 ", "13", "14", "15". Total ada 13 poin.

Menjawab: 13

Lihat catatan pada masalah sebelumnya.

Untuk memecahkan masalah berikut, kita perlu mengingat satu definisi lagi.

Titik maksimum dan minimum suatu fungsi digabungkan dengan nama umum - titik ekstrim .

Pada titik-titik ini, turunan dari fungsi tersebut hilang atau tidak ada ( kondisi yang diperlukan untuk ekstrim).
Namun, kondisi yang diperlukan adalah tanda, tetapi bukan jaminan keberadaan ekstrem dari fungsi. Kondisi yang cukup untuk ekstrem adalah perubahan tanda turunan: jika turunan pada suatu titik berubah tanda dari "+" menjadi "−", maka ini adalah titik maksimum fungsi; jika turunan pada suatu titik berubah tanda dari "−" menjadi "+", maka ini adalah titik minimum dari fungsi tersebut; jika pada suatu titik turunan fungsi sama dengan nol, atau tidak ada, tetapi tanda turunan tidak berubah menjadi kebalikannya ketika melewati titik ini, maka titik yang ditunjukkan bukan merupakan titik ekstrem dari fungsi tersebut. Ini bisa berupa titik belok, titik putus, atau titik putus dalam grafik fungsi.

Tugas 3

Gambar 1 menunjukkan grafik fungsi kamu = f (x ) didefinisikan pada interval (−10.5;19). Tentukan jumlah titik yang garis singgung grafik fungsi sejajar dengan garis kamu = 6 atau bertepatan dengan itu.

Ingatlah bahwa persamaan garis lurus memiliki bentuk kamu = kx + b , di mana k- koefisien kemiringan garis lurus ini ke sumbu Sapi. Dalam kasus kami k= 0, yaitu lurus kamu = 6 tidak miring, tetapi sejajar dengan sumbu Sapi. Jadi garis singgung yang diinginkan juga harus sejajar dengan sumbu Sapi dan juga harus memiliki koefisien kemiringan 0. Garis singgung memiliki sifat ini pada titik fungsi ekstrem. Karena itu, untuk menjawab pertanyaan, Anda hanya perlu menghitung semua titik ekstrem pada grafik. Ada 4 di antaranya - dua poin maksimum dan dua poin minimum.

Menjawab: 4

Tugas 4

Fungsi kamu = f (x ) didefinisikan pada interval (−11;23). Temukan jumlah titik ekstrem dari fungsi pada segmen .

Pada segmen yang ditentukan, kita melihat 2 titik ekstrem. Maksimum fungsi tercapai pada titik x 1 = 4, minimum di titik x 2 = 8.
x 1 + x 2 = 4 + 8 = 12.

Menjawab: 12

Tugas 5

Gambar 1 menunjukkan grafik fungsi kamu = f (x ) didefinisikan pada interval (−10.5;19). Tentukan jumlah titik di mana turunan dari fungsi f" (x ) sama dengan 0.

Turunan dari fungsi sama dengan nol pada titik ekstrem, dimana 4 dapat dilihat pada grafik:
2 tertinggi dan 2 terendah.

Menjawab: 4

Tugas untuk menentukan karakteristik suatu fungsi dari grafik turunannya.

Gambar 1.

Gambar 2.

Tugas 6

Gambar 2 menunjukkan grafik f" (x ) - turunan dari fungsi f (x ) didefinisikan pada interval (−11;23). Di titik mana segmen [−6;2] adalah fungsi f (x ) mengambil nilai terbesar.

Pada segmen yang ditentukan, turunannya tidak positif, oleh karena itu, fungsinya tidak meningkat. Itu menurun atau melewati titik-titik stasioner. Dengan demikian, fungsi tersebut mencapai nilai maksimumnya pada batas kiri segmen: x = −6.

Menjawab: −6

Komentar: Dari grafik turunan terlihat bahwa pada ruas [−6;2] sama dengan nol tiga kali: pada titik-titik x = −6, x = −2, x = 2. Tapi pada intinya x = 2, itu tidak berubah tanda, yang berarti bahwa pada titik ini tidak mungkin ada ekstrem dari fungsi tersebut. Kemungkinan besar ada titik belok dalam grafik fungsi aslinya.

Tugas 7

Gambar 2 menunjukkan grafik f" (x ) - turunan dari fungsi f (x ) didefinisikan pada interval (−11;23). Pada titik mana pada segmen fungsi tersebut mengambil nilai terkecil.

Pada segmen, turunannya sangat positif, oleh karena itu, fungsinya hanya meningkat pada segmen ini. Dengan demikian, fungsi mencapai nilai terendah pada batas kiri segmen: x = 3.

Menjawab: 3

Tugas 8

Gambar 2 menunjukkan grafik f" (x ) - turunan dari fungsi f (x ) didefinisikan pada interval (−11;23). Tentukan jumlah titik maksimum dari suatu fungsi f (x ) milik segmen [−5;10].

Menurut kondisi ekstrem yang diperlukan, fungsi maksimum mungkin pada titik-titik di mana turunannya sama dengan nol. Pada segmen tertentu, ini adalah poinnya: x = −2, x = 2, x = 6, x = 10. Tetapi menurut syarat cukup adalah itu pasti akan hanya pada mereka di mana tanda turunannya berubah dari "+" menjadi "−". Pada grafik turunan, kita melihat bahwa dari titik-titik yang terdaftar, hanya titik yang seperti itu x = 6.

Menjawab: 1

Tugas 9

Gambar 2 menunjukkan grafik f" (x ) - turunan dari fungsi f (x ) didefinisikan pada interval (−11;23). Tentukan jumlah titik ekstrem suatu fungsi f (x ) milik segmen .

Ekstrem dari fungsi dapat berada di titik-titik di mana turunannya sama dengan 0. Pada segmen tertentu dari grafik turunan, kita melihat 5 titik seperti itu: x = 2, x = 6, x = 10, x = 14, x = 18. Tapi pada intinya x = 14 turunan tidak berubah tanda, oleh karena itu harus dikeluarkan dari pertimbangan. Dengan demikian, 4 poin tersisa.

Menjawab: 4

Tugas 10

Gambar 1 menunjukkan grafik f" (x ) - turunan dari fungsi f (x ) didefinisikan pada interval (−10.5;19). Temukan interval fungsi yang meningkat f (x ). Dalam jawaban Anda, tuliskan panjang yang terbesar.

Interval kenaikan fungsi bertepatan dengan interval kepositifan turunan. Pada grafik, kita melihat tiga di antaranya - (−9;−7), (4;12), (18;19). Yang terpanjang di antara mereka adalah yang kedua. panjangnya aku = 12 − 4 = 8.

Menjawab: 8

Tugas 11

Gambar 2 menunjukkan grafik f" (x ) - turunan dari fungsi f (x ) didefinisikan pada interval (−11;23). Tentukan jumlah titik yang menyinggung grafik fungsi f (x ) sejajar dengan garis kamu = −2x − 11 atau mencocokkannya.

Koefisien kemiringan (alias tangen sudut kemiringan) dari garis lurus tertentu k = 2. Kami tertarik pada garis singgung paralel atau bertepatan, mis. garis lurus dengan kemiringan yang sama. Berdasarkan makna geometris turunan - kemiringan garis singgung pada titik yang dipertimbangkan dari grafik fungsi, kami menghitung ulang titik-titik di mana turunannya adalah 2. Ada 9 titik seperti itu pada Gambar 2. Lebih mudah untuk menghitungnya di persimpangan grafik dan garis kisi yang melewati nilai 2 pada sumbu Oy.

Menjawab: 9

Seperti yang Anda lihat, menggunakan grafik yang sama, Anda dapat mengajukan berbagai pertanyaan tentang perilaku suatu fungsi dan turunannya. Juga, pertanyaan yang sama dapat dikaitkan dengan grafik fungsi yang berbeda. Berhati-hatilah saat memecahkan masalah ini pada ujian, dan Anda akan menemukannya sangat mudah. Jenis tugas lain dari tugas ini - tentang makna geometris antiturunan - akan dibahas di bagian lain.