URUTAN NUMERIK VI

l48. Jumlah dari deret geometri yang semakin menurun

Sampai sekarang, berbicara tentang jumlah, kami selalu berasumsi bahwa jumlah istilah dalam jumlah ini terbatas (misalnya, 2, 15, 1000, dll.). Tetapi ketika memecahkan beberapa masalah (terutama matematika yang lebih tinggi), kita harus berurusan dengan jumlah dari sejumlah istilah yang tak terbatas

S = sebuah 1 + sebuah 2 + ... + sebuah n + ... . (1)

Berapa jumlah ini? Menurut definisi jumlah dari sejumlah istilah yang tak terbatas sebuah 1 , sebuah 2 , ..., sebuah n , ... disebut limit jumlah S n pertama P angka kapan P -> ∞ :

S=S n = (sebuah 1 + sebuah 2 + ... + sebuah n ). (2)

Batas (2), tentu saja, mungkin ada atau tidak ada. Dengan demikian, jumlah (1) dikatakan ada atau tidak ada.

Bagaimana cara mengetahui apakah jumlah (1) ada dalam setiap kasus tertentu? Solusi umum untuk pertanyaan ini jauh melampaui cakupan program kami. Namun, ada satu kasus khusus penting yang harus kita pertimbangkan sekarang. Kita akan berbicara tentang penjumlahan suku-suku suatu barisan geometri yang menurun tak hingga.

Membiarkan sebuah 1 , sebuah 1 q , sebuah 1 q 2 , ... adalah deret geometri menurun tak terhingga. Ini berarti | q |< 1. Сумма первых P anggota perkembangan ini sama dengan

Dari teorema dasar tentang batas-batas variabel (lihat 136) kita peroleh:

Tapi 1 = 1, a q n = 0. Oleh karena itu

Jadi, jumlah dari barisan geometri yang menurun tak terhingga sama dengan suku pertama dari kemajuan ini dibagi dengan satu dikurangi penyebut dari barisan ini.

1) Jumlah barisan geometri 1, 1/3, 1/9, 1/27, ... adalah

dan jumlah suatu barisan geometri adalah 12; -6; 3; - 3 / 2 , ... sama dengan

2) Pecahan periodik sederhana 0,454545 ... berubah menjadi pecahan biasa.

Untuk memecahkan masalah ini, kami menyatakan pecahan ini sebagai jumlah tak terhingga:

Ruas kanan persamaan ini adalah jumlah dari barisan geometri yang menurun tak hingga, suku pertamanya adalah 45/100, dan penyebutnya adalah 1/100. Itu sebabnya

Dengan cara yang dijelaskan, aturan umum untuk mengubah pecahan periodik sederhana menjadi pecahan biasa juga dapat diperoleh (lihat Bab II, 38):

Untuk mengubah pecahan periodik sederhana menjadi pecahan biasa, Anda perlu melanjutkan sebagai berikut: masukkan periode pecahan desimal ke pembilang, dan penyebut - angka yang terdiri dari sembilan diambil sebanyak angka dalam periode dari pecahan desimal.

3) Pecahan periodik campuran 0,58333 .... berubah menjadi pecahan biasa.

Mari kita nyatakan pecahan ini sebagai jumlah tak terbatas:

Di ruas kanan persamaan ini, semua suku, mulai dari 3/1000, membentuk barisan geometri menurun tak hingga, suku pertamanya adalah 3/1000, dan penyebutnya 1/10. Itu sebabnya

Dengan cara yang dijelaskan, aturan umum untuk konversi pecahan periodik campuran menjadi pecahan biasa juga dapat diperoleh (lihat Bab II, 38). Kami sengaja tidak mencantumkannya di sini. Tidak perlu menghafal aturan yang rumit ini. Jauh lebih berguna untuk mengetahui bahwa setiap pecahan periodik campuran dapat direpresentasikan sebagai jumlah dari deret geometri yang menurun tak terhingga dan suatu bilangan. Dan rumusnya

untuk jumlah deret geometri yang menurun tak terhingga, tentu saja kita harus ingat.

Sebagai latihan, kami mengundang Anda, selain soal No. 995-1000 di bawah ini, untuk sekali lagi beralih ke soal No. 301 38.

Latihan

995. Apa yang disebut jumlah deret geometri yang menurun tak berhingga?

996. Temukan jumlah deret geometri yang menurun tak terhingga:

997. Untuk nilai apa? X kemajuan

berkurang tak terhingga? Temukan jumlah dari perkembangan seperti itu.

998. Dalam segitiga sama sisi dengan sisi sebuah segitiga baru ditulis dengan menghubungkan titik tengah sisi-sisinya; sebuah segitiga baru dituliskan dalam segitiga ini dengan cara yang sama, dan seterusnya tanpa batas.

a) jumlah keliling semua segitiga ini;

b) jumlah luasnya.

999. Dalam bujur sangkar dengan sisi sebuah sebuah bujur sangkar baru ditorehkan dengan menghubungkan titik tengah sisi-sisinya; sebuah bujur sangkar tertulis di bujur sangkar ini dengan cara yang sama, dan seterusnya ad infinitum. Tentukan jumlah keliling semua persegi tersebut dan jumlah luasnya.

1000. Buatlah barisan geometri yang menurun tak hingga, sehingga jumlahnya sama dengan 25 / 4, dan jumlah kuadrat dari suku-sukunya sama dengan 625 / 24.

Deret geometri adalah barisan bilangan yang suku pertamanya bukan nol, dan setiap suku berikutnya sama dengan suku sebelumnya dikalikan dengan bilangan bukan nol yang sama.

Konsep deret geometri

Deret geometri dilambangkan dengan b1,b2,b3, …, bn, … .

Rasio setiap suku kesalahan geometrik dengan suku sebelumnya sama dengan bilangan yang sama, yaitu, b2/b1 = b3/b2 = b4/b3 = … = bn/b(n-1) = b(n+ 1)/bn = …. Ini mengikuti langsung dari definisi deret aritmatika. Bilangan ini disebut penyebut suatu barisan geometri. Biasanya penyebut suatu barisan geometri dilambangkan dengan huruf q.

Jumlah barisan geometri tak hingga untuk |q|<1

Salah satu cara untuk menentukan barisan geometri adalah dengan menetapkan suku pertamanya b1 dan penyebut galat geometri q. Misalnya, b1=4, q=-2. Kedua kondisi ini memberikan barisan geometri 4, -8, 16, -32, … .

Jika q>0 (q tidak sama dengan 1), maka barisan tersebut adalah barisan monoton. Misalnya, barisan 2, 4,8,16,32, ... adalah barisan yang naik secara monoton (b1=2, q=2).

Jika penyebut q=1 dalam galat geometri, maka semua anggota barisan geometri akan sama satu sama lain. Dalam kasus seperti itu, perkembangan dikatakan sebagai urutan konstan.

Agar barisan numerik (bn) menjadi barisan geometri, perlu bahwa setiap anggotanya, mulai dari yang kedua, menjadi rata-rata geometrik dari anggota tetangga. Artinya, perlu memenuhi persamaan berikut:
(b(n+1))^2 = bn * b(n+2), untuk sembarang n>0, di mana n termasuk dalam himpunan bilangan asli N.

Sekarang mari kita menempatkan (Xn) - deret geometri. Penyebut barisan geometri q, dengan |q|∞).
Jika sekarang kita menyatakan dengan S jumlah deret geometri tak hingga, maka rumus berikut akan berlaku:
S=x1/(1-q).

Pertimbangkan contoh sederhana:

Tentukan jumlah barisan geometri tak hingga 2, -2/3, 2/9, - 2/27, ... .

Untuk menemukan S, kami menggunakan rumus untuk jumlah deret aritmatika tak hingga. |-1/3|< 1. x1 = 2. S=2/(1-(-1/3)) = 3/2.

Jika setiap bilangan asli n cocok dengan bilangan asli sebuah , lalu mereka mengatakan bahwa diberikan urutan nomor :

sebuah 1 , sebuah 2 , sebuah 3 , . . . , sebuah , . . . .

Jadi, barisan numerik adalah fungsi dari argumen alami.

Nomor sebuah 1 ditelepon anggota pertama dari urutan , nomor sebuah 2 — anggota kedua dari urutan , nomor sebuah 3 — ketiga dan seterusnya. Nomor sebuah ditelepon anggota urutan ke-n , dan bilangan asli n — nomornya .

Dari dua anggota tetangga sebuah dan sebuah +1 urutan anggota sebuah +1 ditelepon setelah (menuju sebuah ), sebuah sebuah — sebelumnya (menuju sebuah +1 ).

Untuk menentukan urutan, Anda harus menentukan metode yang memungkinkan Anda menemukan anggota urutan dengan nomor apa pun.

Seringkali urutan diberikan dengan rumus suku ke-n , yaitu, rumus yang memungkinkan Anda menentukan anggota urutan berdasarkan nomornya.

Sebagai contoh,

barisan bilangan ganjil positif dapat diberikan dengan rumus

sebuah= 2n- 1,

dan urutan bolak-balik 1 dan -1 - rumus

b n = (-1)n +1 . ◄

Urutannya dapat ditentukan rumus berulang, yaitu, formula yang mengungkapkan setiap anggota dari urutan, dimulai dengan beberapa, melalui anggota sebelumnya (satu atau lebih).

Sebagai contoh,

jika sebuah 1 = 1 , sebuah sebuah +1 = sebuah + 5

sebuah 1 = 1,

sebuah 2 = sebuah 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

sebuah 3 = sebuah 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

sebuah 4 = sebuah 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

sebuah 5 = sebuah 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Jika sebuah sebuah 1= 1, sebuah 2 = 1, sebuah +2 = sebuah + sebuah +1 , maka tujuh anggota pertama dari urutan numerik ditetapkan sebagai berikut:

sebuah 1 = 1,

sebuah 2 = 1,

sebuah 3 = sebuah 1 + sebuah 2 = 1 + 1 = 2,

sebuah 4 = sebuah 2 + sebuah 3 = 1 + 2 = 3,

sebuah 5 = sebuah 3 + sebuah 4 = 2 + 3 = 5,

sebuah 6 = sebuah 4 + sebuah 5 = 3 + 5 = 8,

sebuah 7 = sebuah 5 + sebuah 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Urutan bisa terakhir dan tak berujung .

Urutannya disebut terakhir jika jumlah anggotanya terbatas. Urutannya disebut tak berujung jika memiliki banyak anggota yang tak terhingga.

Sebagai contoh,

barisan bilangan asli dua angka:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

terakhir.

Urutan bilangan prima:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

tak berujung. ◄

Urutannya disebut meningkat , jika masing-masing anggotanya, mulai dari yang kedua, lebih besar dari yang sebelumnya.

Urutannya disebut memudar , jika masing-masing anggotanya, mulai dari yang kedua, lebih kecil dari yang sebelumnya.

Sebagai contoh,

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . adalah urutan menaik;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . adalah barisan menurun. ◄

Barisan yang unsur-unsurnya tidak berkurang dengan bertambahnya jumlah, atau, sebaliknya, tidak bertambah, disebut urutan monoton .

Urutan monoton, khususnya, adalah urutan yang meningkat dan urutan yang menurun.

Deret aritmatika

Deret aritmatika urutan disebut, setiap anggota yang, mulai dari yang kedua, sama dengan yang sebelumnya, yang ditambahkan nomor yang sama.

sebuah 1 , sebuah 2 , sebuah 3 , . . . , sebuah, . . .

adalah barisan aritmatika jika untuk sembarang bilangan asli n kondisi terpenuhi:

sebuah +1 = sebuah + d,

di mana d - beberapa nomor.

Jadi, perbedaan antara anggota berikutnya dan anggota sebelumnya dari deret aritmatika yang diberikan selalu konstan:

sebuah 2 - sebuah 1 = sebuah 3 - sebuah 2 = . . . = sebuah +1 - sebuah = d.

Nomor d ditelepon perbedaan barisan aritmatika.

Untuk menentukan barisan aritmatika, cukup dengan menentukan suku pertama dan selisihnya.

Sebagai contoh,

jika sebuah 1 = 3, d = 4 , maka lima suku pertama barisan tersebut ditemukan sebagai berikut:

sebuah 1 =3,

sebuah 2 = sebuah 1 + d = 3 + 4 = 7,

sebuah 3 = sebuah 2 + d= 7 + 4 = 11,

sebuah 4 = sebuah 3 + d= 11 + 4 = 15,

sebuah 5 = sebuah 4 + d= 15 + 4 = 19. ◄

Untuk barisan aritmatika dengan suku pertama sebuah 1 dan perbedaan d dia n

sebuah = sebuah 1 + (n- 1)d.

Sebagai contoh,

tentukan suku ke tigapuluh suatu deret aritmatika

1, 4, 7, 10, . . .

sebuah 1 =1, d = 3,

30 = sebuah 1 + (30 - 1)d= 1 + 29· 3 = 88. ◄

sebuah n-1 = sebuah 1 + (n- 2)d,

sebuah= sebuah 1 + (n- 1)d,

sebuah +1 = sebuah 1 + dan,

maka jelas

sebuah=	a n-1 + a n+1
	2

setiap anggota deret aritmatika, mulai dari yang kedua, sama dengan rata-rata aritmatika dari anggota sebelumnya dan selanjutnya.

Bilangan a, b dan c adalah anggota berurutan dari beberapa barisan aritmatika jika dan hanya jika salah satunya sama dengan rata-rata aritmatika dari dua lainnya.

Sebagai contoh,

sebuah = 2n- 7 , adalah barisan aritmatika.

Mari kita gunakan pernyataan di atas. Kita punya:

sebuah = 2n- 7,

sebuah n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2n- 9,

n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2n- 5.

Akibatnya,

a n+1 + a n-1	=	2n- 5 + 2n- 9	= 2n- 7 = sebuah,
2		2

◄

Perhatikan bahwa n -Anggota deret aritmatika dapat ditemukan tidak hanya melalui sebuah 1 , tetapi juga sebelumnya sebuah k

sebuah = sebuah k + (n- k)d.

Sebagai contoh,

untuk sebuah 5 dapat ditulis

sebuah 5 = sebuah 1 + 4d,

sebuah 5 = sebuah 2 + 3d,

sebuah 5 = sebuah 3 + 2d,

sebuah 5 = sebuah 4 + d. ◄

sebuah = sebuah n-k + kd,

sebuah = sebuah n+k - kd,

maka jelas

sebuah=	sebuah n-k + a n+k
	2

setiap anggota deret aritmatika, mulai dari yang kedua, sama dengan setengah jumlah anggota deret aritmatika ini yang berjarak sama darinya.

Selain itu, untuk setiap deret aritmatika, persamaannya adalah benar:

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l.

Sebagai contoh,

dalam deret aritmatika

1) sebuah 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (sebuah 9 + sebuah 11 )/2;

2) 28 = 10 = sebuah 3 + 7d= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) 10= 28 = (19 + 37)/2 = (a 7 + a 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, karena

a 2 + a 12= 4 + 34 = 38,

a 5 + a 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= a1+a2+a3+ . . .+ sebuah,

pertama n anggota deret aritmatika sama dengan hasil kali setengah jumlah suku ekstrem dengan jumlah suku:

Dari sini, khususnya, dapat disimpulkan bahwa jika perlu untuk menjumlahkan persyaratan

sebuah k, sebuah k +1 , . . . , sebuah,

maka rumus sebelumnya mempertahankan strukturnya:

Sebagai contoh,

dalam deret aritmatika 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Jika suatu deret aritmatika diberikan, maka besarannya sebuah 1 , sebuah, d, n danS n dihubungkan oleh dua rumus:

Oleh karena itu, jika nilai tiga besaran ini diberikan, maka nilai yang sesuai dari dua besaran lainnya ditentukan dari rumus-rumus ini yang digabungkan menjadi sistem dua persamaan dengan dua yang tidak diketahui.

Barisan aritmatika adalah barisan monoton. Di mana:

• jika d > 0 , maka meningkat;
• jika d < 0 , maka menurun;
• jika d = 0 , maka barisan tersebut akan stasioner.

Perkembangan geometris

deret geometri urutan disebut, setiap istilah yang, mulai dari yang kedua, sama dengan yang sebelumnya, dikalikan dengan angka yang sama.

b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n, . . .

adalah deret geometri jika untuk sembarang bilangan asli n kondisi terpenuhi:

b n +1 = b n · q,

di mana q ≠ 0 - beberapa nomor.

Jadi, rasio suku berikutnya dari deret geometri ini dengan yang sebelumnya adalah bilangan konstan:

b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = q.

Nomor q ditelepon penyebut barisan geometri.

Untuk menentukan barisan geometri, cukup tentukan suku pertama dan penyebutnya.

Sebagai contoh,

jika b 1 = 1, q = -3 , maka lima suku pertama barisan tersebut ditemukan sebagai berikut:

b 1 = 1,

b 2 = b 1 · q = 1 · (-3) = -3,

b 3 = b 2 · q= -3 · (-3) = 9,

b 4 = b 3 · q= 9 · (-3) = -27,

b 5 = b 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄

b 1 dan penyebut q dia n suku -th dapat ditemukan dengan rumus:

b n = b 1 · q n -1 .

Sebagai contoh,

tentukan suku ketujuh suatu deret geometri 1, 2, 4, . . .

b 1 = 1, q = 2,

b 7 = b 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

bn-1 = b 1 · q n -2 ,

b n = b 1 · q n -1 ,

b n +1 = b 1 · q n,

maka jelas

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

setiap anggota deret geometri, mulai dari yang kedua, sama dengan rata-rata geometrik (proporsional) dari anggota sebelumnya dan selanjutnya.

Karena kebalikannya juga benar, maka pernyataan berikut berlaku:

bilangan a, b dan c adalah anggota berurutan dari beberapa deret ukur jika dan hanya jika kuadrat salah satunya sama dengan produk dari dua lainnya, yaitu, salah satu angka adalah rata-rata geometrik dari dua lainnya.

Sebagai contoh,

mari kita buktikan bahwa urutan yang diberikan oleh rumus b n= -3 2 n , adalah barisan geometri. Mari kita gunakan pernyataan di atas. Kita punya:

b n= -3 2 n,

b n -1 = -3 2 n -1 ,

b n +1 = -3 2 n +1 .

Akibatnya,

b n 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) (-3 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

yang membuktikan pernyataan yang diperlukan. ◄

Perhatikan bahwa n Suku ke deret geometri tidak hanya dapat ditemukan melalui b 1 , tetapi juga istilah sebelumnya b k , yang cukup untuk menggunakan rumus

b n = b k · q n - k.

Sebagai contoh,

untuk b 5 dapat ditulis

b 5 = b 1 · q 4 ,

b 5 = b 2 · q 3,

b 5 = b 3 · q2,

b 5 = b 4 · q. ◄

b n = b k · q n - k,

b n = b n - k · q k,

maka jelas

b n 2 = b n - k· b n + k

kuadrat dari setiap anggota deret geometri, mulai dari yang kedua, sama dengan produk dari anggota deret yang berjarak sama darinya.

Selain itu, untuk setiap deret geometri, persamaannya benar:

b m· b n= b k· b l,

m+ n= k+ aku.

Sebagai contoh,

secara eksponensial

1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;

2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;

4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , karena

b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,

b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n

pertama n anggota barisan geometri dengan penyebut q ≠ 0 dihitung dengan rumus:

Dan kapan q = 1 - menurut rumus

S n= n.b. 1

Perhatikan bahwa jika kita perlu menjumlahkan suku-sukunya

b k, b k +1 , . . . , b n,

maka rumus yang digunakan :

S n- S k -1 = b k + b k +1 + . . . + b n = b k ·	1 - q n - k +1	.
	1 - q

Sebagai contoh,

secara eksponensial 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Jika deret geometri diberikan, maka besarannya b 1 , b n, q, n dan S n dihubungkan oleh dua rumus:

Oleh karena itu, jika nilai dari tiga besaran ini diberikan, maka nilai yang sesuai dari dua besaran lainnya ditentukan dari rumus-rumus ini yang digabungkan menjadi sistem dua persamaan dengan dua yang tidak diketahui.

Untuk barisan geometri dengan suku pertama b 1 dan penyebut q berikut terjadi sifat monoton :

• progresi meningkat jika salah satu kondisi berikut terpenuhi:

b 1 > 0 dan q> 1;

b 1 < 0 dan 0 < q< 1;

• Sebuah kemajuan menurun jika salah satu kondisi berikut terpenuhi:

b 1 > 0 dan 0 < q< 1;

b 1 < 0 dan q> 1.

Jika sebuah q< 0 , maka deret geometrinya adalah bolak-balik tanda: suku-sukunya yang bernomor ganjil bertanda sama dengan suku pertamanya, dan suku-suku bernomor genap bertanda berlawanan. Jelaslah bahwa barisan geometri bolak-balik tidak monoton.

Produk pertama n suku-suku suatu barisan geometri dapat dihitung dengan rumus:

P n= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) n / 2 .

Sebagai contoh,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Deret geometri menurun tanpa batas

Deret geometri menurun tanpa batas disebut barisan geometri tak hingga yang modulus penyebutnya kurang dari 1 , itu adalah

|q| < 1 .

Perhatikan bahwa deret geometri menurun tak terhingga mungkin bukan deret menurun. Ini sesuai dengan kasusnya

1 < q< 0 .

Dengan penyebut seperti itu, barisannya adalah bolak-balik tanda. Sebagai contoh,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Jumlah dari deret geometri yang semakin menurun sebutkan bilangan yang dijumlahkan dengan bilangan pertama n hal perkembangan dengan peningkatan jumlah yang tidak terbatas n . Bilangan ini selalu berhingga dan dinyatakan dengan rumus

S= b 1 + b 2 + b 3 + . . . =	b 1	.
	1 - q

Sebagai contoh,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

Hubungan deret aritmatika dan deret geometri

Deret aritmatika dan geometri sangat erat hubungannya. Mari kita pertimbangkan dua contoh saja.

sebuah 1 , sebuah 2 , sebuah 3 , . . . d , kemudian

b a 1 , b a 2 , b a 3 , . . . b d .

Sebagai contoh,

1, 3, 5, . . . — deret aritmatika dengan perbedaan 2 dan

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . adalah barisan geometri dengan penyebut 7 2 . ◄

b 1 , b 2 , b 3 , . . . adalah barisan geometri dengan penyebut q , kemudian

log a b 1, log a b 2, log a b 3, . . . — deret aritmatika dengan perbedaan log aq .

Sebagai contoh,

2, 12, 72, . . . adalah barisan geometri dengan penyebut 6 dan

lg 2, lg 12, lg 72, . . . — deret aritmatika dengan perbedaan lg 6 . ◄

Beberapa masalah fisika dan matematika dapat diselesaikan dengan menggunakan sifat-sifat deret bilangan. Dua barisan bilangan paling sederhana yang diajarkan di sekolah adalah aljabar dan geometri. Pada artikel ini, kita akan mempertimbangkan lebih detail pertanyaan tentang bagaimana menemukan jumlah dari deret tak hingga dari deret geometrik yang menurun.

deret geometri

Kata-kata ini berarti serangkaian bilangan real, elemen a i yang memenuhi ekspresi:

Di sini i adalah jumlah elemen dalam deret, r adalah bilangan konstan, yang disebut penyebut.

Definisi ini menunjukkan bahwa, mengetahui suku apa pun dari perkembangan dan penyebutnya, adalah mungkin untuk mengembalikan seluruh rangkaian angka. Misalnya, jika elemen ke-10 diketahui, kemudian dibagi dengan r, kita mendapatkan elemen ke-9, kemudian membaginya lagi, kita mendapatkan yang ke-8 dan seterusnya. Argumen sederhana ini memungkinkan kita untuk menulis ekspresi yang valid untuk rangkaian angka yang dipertimbangkan:

Contoh deret dengan penyebut 2 adalah:

1, 2, 4, 8, 16, 32, ...

Jika penyebutnya -2, maka diperoleh deret yang sama sekali berbeda:

1, -2, 4, -8, 16, -32, ...

Deret geometri jauh lebih cepat daripada deret aljabar, yaitu, sukunya bertambah dengan cepat dan berkurang dengan cepat.

Jumlah i anggota perkembangan

Untuk memecahkan masalah praktis, seringkali perlu untuk menghitung jumlah beberapa elemen dari urutan numerik yang dipertimbangkan. Untuk kasus ini, rumus berikut ini valid:

S i \u003d a 1 * (r i -1) / (r-1)

Dapat dilihat bahwa untuk menghitung jumlah i suku, Anda hanya perlu mengetahui dua bilangan: a 1 dan r, yang logis, karena keduanya secara unik menentukan seluruh barisan.

Barisan menurun dan jumlah sukunya

Sekarang mari kita pertimbangkan kasus khusus. Kami akan mengasumsikan bahwa nilai absolut dari penyebut r tidak melebihi satu, yaitu -1

Deret geometri menurun menarik untuk dipertimbangkan karena jumlah tak hingga dari suku-sukunya cenderung ke bilangan real berhingga.

Mari kita dapatkan rumus penjumlahan Ini mudah dilakukan jika kita menuliskan ekspresi untuk S i yang diberikan pada paragraf sebelumnya. Kita punya:

S i \u003d a 1 * (r i -1) / (r-1)

Pertimbangkan kasus ketika i->∞. Karena modulus penyebut kurang dari 1, maka menaikkannya ke pangkat tak terbatas akan menghasilkan nol. Ini dapat diverifikasi menggunakan contoh r=0.5:

0,5 2 = 0,25; 0,5 3 = 0,125; ...., 0,5 20 = 0,0000009.

Akibatnya, jumlah suku deret geometri tak hingga dari penurunan akan berbentuk:

Rumus ini sering digunakan dalam praktik, misalnya untuk menghitung luas bangun. Hal ini juga digunakan dalam memecahkan paradoks Zeno dari Elea dengan kura-kura dan Achilles.

Jelas, dengan mempertimbangkan jumlah deret tak hingga dari kenaikan geometris (r>1), akan menghasilkan hasil S = +∞.

Masalah menemukan suku pertama dari perkembangan

Kami akan menunjukkan bagaimana rumus di atas harus diterapkan menggunakan contoh penyelesaian masalah. Diketahui jumlah barisan geometri tak hingga adalah 11. Selain itu, suku ke-7 adalah 6 kali lebih kecil dari suku ketiga. Apa elemen pertama untuk seri angka ini?

Untuk memulainya, kami menulis dua ekspresi untuk menentukan elemen ke-7 dan ke-3. Kita mendapatkan:

Membagi ekspresi pertama dengan yang kedua, dan menyatakan penyebutnya, kita mendapatkan:

a 7 / a 3 = r 4 => r = 4 (a 7 / a 3)

Karena rasio suku ketujuh dan ketiga diberikan dalam kondisi masalah, kita dapat menggantinya dan menemukan r:

r \u003d 4 (a 7 / a 3) \u003d 4 (1/6) 0,63894

Kami telah menghitung r dengan akurasi lima digit signifikan setelah titik desimal. Karena nilai yang dihasilkan kurang dari satu, itu berarti bahwa perkembangannya menurun, yang membenarkan penggunaan rumus untuk jumlah tak terbatasnya. Kami menulis ekspresi untuk suku pertama dalam hal jumlah S :

Kami mengganti nilai yang diketahui ke dalam rumus ini dan mendapatkan jawabannya:

a 1 \u003d 11 * (1-0.63894) \u003d 3.97166.

Paradoks Zeno yang terkenal dengan Achilles yang cepat dan kura-kura yang lambat

Zeno dari Elea adalah seorang filsuf Yunani terkenal yang hidup pada abad ke-5 SM. e. Sejumlah puncak atau paradoksnya telah mencapai saat ini, di mana masalah besar tak terhingga dan kecil tak terhingga dalam matematika dirumuskan.

Salah satu paradoks Zeno yang terkenal adalah persaingan antara Achilles dan kura-kura. Zeno percaya bahwa jika Achilles memberi kura-kura beberapa keuntungan dalam jarak, dia tidak akan pernah bisa menyalipnya. Misalnya, biarkan Achilles berlari 10 kali lebih cepat daripada hewan yang merangkak, yang, misalnya, 100 meter di depannya. Ketika prajurit berlari 100 meter, kura-kura merangkak mundur 10 meter. Berlari 10 meter lagi, Achilles akan melihat bahwa kura-kura telah merangkak 1 meter lagi. Anda bisa berdebat seperti ini tanpa batas, jarak antara pesaing akan benar-benar berkurang, tetapi kura-kura akan selalu berada di depan.

Dia membawa Zeno ke kesimpulan bahwa gerakan itu tidak ada, dan semua gerakan di sekitar objek adalah ilusi. Tentu saja, filosof Yunani kuno itu salah.

Solusi untuk paradoks terletak pada kenyataan bahwa jumlah tak terbatas dari segmen yang terus menurun cenderung ke jumlah yang terbatas. Dalam kasus di atas, untuk jarak yang ditempuh Achilles, kita mendapatkan:

100 + 10 + 1 + 0,1 + 0,01 + ...

Menerapkan rumus untuk jumlah deret geometri tak hingga, kita mendapatkan:

S \u003d 100 / (1-0,1) 111,111 meter

Hasil ini menunjukkan bahwa Achilles akan menyusul kura-kura yang hanya merangkak sejauh 11,111 meter.

Orang Yunani kuno tidak tahu bagaimana bekerja dengan jumlah tak terbatas dalam matematika. Namun, paradoks ini dapat diselesaikan jika kita tidak memperhatikan jumlah celah tak terbatas yang harus diatasi Achilles, tetapi pada jumlah langkah terbatas yang dibutuhkan pelari untuk mencapai tujuan.

Angka ini disebut penyebut deret geometri, yaitu, setiap suku berbeda dari yang sebelumnya sebanyak q kali. (Kami akan menganggap bahwa q 1, jika tidak semuanya terlalu sepele). Sangat mudah untuk melihat bahwa rumus umum anggota ke-n dari barisan geometri adalah b n = b 1 q n – 1 ; suku dengan bilangan b n dan b m berbeda q n – m kali.

Sudah di Mesir kuno, mereka tidak hanya tahu aritmatika, tetapi juga perkembangan geometris. Di sini, misalnya, adalah tugas dari papirus Rhind: “Tujuh wajah memiliki tujuh kucing; setiap kucing makan tujuh tikus, setiap tikus makan tujuh bulir jagung, setiap tongkol bisa menumbuhkan tujuh takaran jelai. Berapa besar angka-angka dalam deret ini dan jumlah mereka?

Beras. 1. Soal perkembangan geometri Mesir Kuno

Tugas ini diulang berkali-kali dengan variasi yang berbeda di antara orang-orang lain di waktu lain. Misalnya, dalam tulisan pada abad XIII. "Kitab sempoa" oleh Leonardo dari Pisa (Fibonacci) memiliki masalah di mana 7 wanita tua muncul dalam perjalanan ke Roma (jelas peziarah), yang masing-masing memiliki 7 bagal, yang masing-masing memiliki 7 tas, yang masing-masing memiliki 7 tas. berisi 7 buah roti yang masing-masing terdiri dari 7 buah pisau yang masing-masing terdiri dari 7 buah pelepah. Masalahnya menanyakan berapa banyak item yang ada.

Jumlah n anggota pertama barisan geometri S n = b 1 (q n - 1) / (q - 1) . Rumus ini dapat dibuktikan, misalnya, sebagai berikut: S n \u003d b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n - 1.

Mari kita tambahkan angka b 1 q n ke S n dan dapatkan:

S n + b 1 q n = b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n – 1 + b 1 q n = b 1 + (b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n –1) q = b 1 + S n q .

Oleh karena itu S n (q - 1) = b 1 (q n - 1), dan kami mendapatkan rumus yang diperlukan.

Sudah di salah satu tablet tanah liat Babel Kuno, berasal dari abad VI. SM e., berisi jumlah 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + ... + 2 9 = 2 10 - 1. Benar, seperti dalam sejumlah kasus lain, kita tidak tahu di mana fakta ini diketahui orang Babilonia .

Pesatnya pertumbuhan deret geometri di sejumlah budaya, khususnya di India, berulang kali digunakan sebagai simbol visual keluasan alam semesta. Dalam legenda terkenal tentang penampilan catur, penguasa memberi penemunya kesempatan untuk memilih hadiah sendiri, dan dia meminta sejumlah butir gandum seperti yang akan diperoleh jika ditempatkan di sel pertama papan catur. , dua pada yang kedua, empat pada yang ketiga, delapan pada yang keempat, dan seterusnya, setiap kali jumlahnya digandakan. Vladyka mengira itu, paling banyak, beberapa karung, tetapi dia salah menghitung. Sangat mudah untuk melihat bahwa untuk semua 64 kotak papan catur penemu seharusnya menerima (2 64 - 1) butir, yang dinyatakan sebagai angka 20 digit; bahkan jika seluruh permukaan bumi ditaburkan, dibutuhkan setidaknya 8 tahun untuk mengumpulkan jumlah biji-bijian yang dibutuhkan. Legenda ini terkadang diartikan sebagai referensi terhadap kemungkinan yang hampir tak terbatas yang tersembunyi dalam permainan catur.

Fakta bahwa angka ini benar-benar 20 digit mudah dilihat:

2 64 \u003d 2 4 (2 10) 6 \u003d 16 1024 6 16 1000 6 \u003d 1,6 10 19 (perhitungan yang lebih akurat menghasilkan 1,84 10 19). Tapi saya ingin tahu apakah Anda dapat mengetahui angka apa yang diakhiri dengan angka ini?

Suatu barisan geometri meningkat jika penyebutnya lebih besar dari 1 dalam nilai mutlak, atau menurun jika penyebutnya lebih kecil dari satu. Dalam kasus terakhir, jumlah q n dapat menjadi kecil sewenang-wenang untuk n yang cukup besar. Sementara eksponensial yang meningkat meningkat secara tak terduga dengan cepat, eksponensial yang menurun menurun dengan cepat.

Semakin besar n, semakin lemah angka q n berbeda dari nol, dan semakin dekat jumlah n anggota deret geometri S n \u003d b 1 (1 - q n) / (1 - q) ke angka S \u003d b 1 / (1 - q) . (Begitu beralasan, misalnya, F. Viet). Bilangan S disebut jumlah dari barisan geometri yang menurun tak berhingga. Namun, selama berabad-abad pertanyaan tentang apa arti penjumlahan dari deret geometri SEMUA, dengan jumlah suku yang tak terbatas, tidak cukup jelas bagi para matematikawan.

Perkembangan geometris yang menurun dapat dilihat, misalnya, dalam aporias Zeno "Menggigit" dan "Achilles dan kura-kura". Dalam kasus pertama, jelas ditunjukkan bahwa seluruh jalan (asumsikan panjang 1) adalah jumlah dari jumlah segmen yang tak terbatas 1/2, 1/4, 1/8, dll. Ini, tentu saja, adalah bagaimana dari sudut pandang ide tentang jumlah terbatas perkembangan geometris tak terbatas. Namun - bagaimana ini bisa terjadi?

Beras. 2. Kemajuan dengan faktor 1/2

Dalam aporia tentang Achilles, situasinya sedikit lebih rumit, karena di sini penyebut dari barisan tidak sama dengan 1/2, tetapi dengan beberapa nomor lain. Misalkan, Achilles berlari dengan kecepatan v, kura-kura bergerak dengan kecepatan u, dan jarak awal antara keduanya adalah l. Achilles akan berlari sejauh ini dalam waktu l / v , kura-kura akan bergerak sejauh lu / v selama waktu ini. Ketika Achilles berjalan melalui segmen ini, jarak antara dia dan kura-kura akan menjadi sama dengan l (u / v) 2, dst. Ternyata mengejar kura-kura berarti menemukan jumlah barisan geometri yang menurun tak terhingga dengan yang pertama suku l dan penyebut u / v. Jumlah ini - segmen yang akhirnya akan Achilles jalankan ke titik pertemuan dengan kura-kura - sama dengan l / (1 - u / v) = lv / (v - u) . Tetapi, sekali lagi, bagaimana hasil ini harus ditafsirkan dan mengapa itu masuk akal, tidak terlalu jelas untuk waktu yang lama.

Beras. 3. Deret geometri dengan koefisien 2/3

Jumlah deret geometri digunakan oleh Archimedes saat menentukan luas segmen parabola. Biarkan segmen parabola yang diberikan dibatasi oleh tali busur AB dan biarkan garis singgung di titik D parabola sejajar dengan AB . Misalkan C adalah titik tengah AB , E titik tengah AC , F titik tengah CB . Tarik garis sejajar DC melalui titik A , E , F , B ; biarkan garis singgung ditarik di titik D , garis-garis ini berpotongan di titik K , L , M , N . Mari kita juga menggambar segmen AD dan DB. Biarkan garis EL memotong garis AD di titik G, dan parabola di titik H; garis FM memotong garis DB di titik Q, dan parabola di titik R. Menurut teori umum bagian kerucut, DC adalah diameter parabola (yaitu, segmen yang sejajar dengan sumbunya); itu dan garis singgung di titik D dapat berfungsi sebagai sumbu koordinat x dan y, di mana persamaan parabola ditulis sebagai y 2 \u003d 2px (x adalah jarak dari D ke titik mana pun dengan diameter tertentu, y adalah panjang a segmen sejajar dengan garis singgung tertentu dari titik diameter ini ke beberapa titik pada parabola itu sendiri).

Berdasarkan persamaan parabola, DL 2 = 2 p LH , DK 2 = 2 p ∙ KA , dan karena DK = 2DL , maka KA = 4LH . Karena KA = 2LG , LH = HG . Luas ruas ADB parabola sama dengan luas segitiga ADB dan luas ruas gabungan AHD dan DRB. Pada gilirannya, luas segmen AHD sama dengan luas segitiga AHD dan segmen AH dan HD yang tersisa, dengan masing-masing operasi yang sama dapat dilakukan - dipecah menjadi segitiga (Δ) dan dua segmen yang tersisa (), dll .:

Luas segitiga AHD sama dengan setengah luas segitiga ALD (mereka memiliki alas yang sama AD, dan tingginya berbeda 2 kali), yang, pada gilirannya, sama dengan setengah luas segitiga AKD, dan karenanya setengah luas segitiga ACD. Jadi, luas segitiga AHD sama dengan seperempat luas segitiga ACD. Demikian juga luas segitiga DRB sama dengan seperempat luas segitiga DFB. Jadi, luas segitiga AHD dan DRB, jika dijumlahkan, sama dengan seperempat luas segitiga ADB. Mengulangi operasi ini seperti yang diterapkan pada segmen AH , HD , DR dan RB juga akan memilih segitiga dari mereka, luas yang, jika digabungkan, akan menjadi 4 kali lebih kecil dari luas segitiga AHD dan DRB , diambil bersama-sama, dan karena itu 16 kali lebih kecil dari luas segitiga ADB . Dan seterusnya:

Dengan demikian, Archimedes membuktikan bahwa "setiap ruas yang tertutup antara garis lurus dan parabola adalah empat pertiga dari sebuah segitiga, yang alasnya sama dan tingginya sama."