Petunjuk
Pilih bilangan radikal dari faktor tersebut, yang dihilangkan dari bawah akar ekspresi yang valid - jika tidak, operasi akan hilang. Misalnya, jika di bawah tanda akar dengan eksponen sama dengan tiga (akar pangkat tiga) bernilai nomor 128, kemudian dari bawah tanda dapat diambil, misalnya, nomor 5. Pada saat yang sama, root nomor 128 harus dibagi dengan 5 pangkat tiga: 128 = 5∗³√(128/5³) = 5∗³√(128/125) = 5∗³√1.024. Jika kehadiran bilangan pecahan di bawah tanda akar tidak bertentangan dengan kondisi masalah, dimungkinkan dalam bentuk ini. Jika Anda memerlukan opsi yang lebih sederhana, maka pertama-tama pecahkan ekspresi radikal menjadi faktor bilangan bulat seperti itu, akar pangkat tiga dari salah satunya adalah bilangan bulat nomor m Contoh: 128 = (64∗2) = (4³∗2) = 4∗³√2.
Gunakan untuk memilih faktor dari bilangan akar, jika tidak mungkin untuk menghitung derajat bilangan dalam pikiran Anda. Hal ini terutama berlaku untuk akar m dengan eksponen lebih besar dari dua. Jika Anda memiliki akses ke Internet, maka Anda dapat membuat perhitungan menggunakan kalkulator yang ada di mesin pencari Google dan Nigma. Misalnya, jika Anda perlu mencari faktor bilangan bulat terbesar yang dapat diambil dari tanda kubik akar untuk nomor 250, lalu buka situs web Google dan masukkan kueri "6 ^ 3" untuk memeriksa apakah mungkin untuk mengambil dari bawah tanda akar enam. Mesin pencari akan menampilkan hasil yang sama dengan 216. Sayangnya, 250 tidak dapat dibagi tanpa sisa dengan ini nomor. Kemudian masukkan kueri 5^3. Hasilnya akan menjadi 125, dan ini memungkinkan Anda untuk membagi 250 menjadi faktor 125 dan 2, yang berarti mengeluarkannya dari tanda akar nomor 5 pergi dari sana nomor 2.
Sumber:
- cara mencabutnya dari bawah akar
- Akar kuadrat dari produk
Keluarkan dari bawah akar salah satu faktor diperlukan dalam situasi di mana Anda perlu menyederhanakan ekspresi matematika. Ada kasus-kasus di mana tidak mungkin untuk melakukan perhitungan yang diperlukan menggunakan kalkulator. Misalnya, jika huruf variabel digunakan sebagai pengganti angka.
Petunjuk
Dekomposisi ekspresi radikal menjadi faktor sederhana. Lihat faktor mana yang diulang dengan jumlah yang sama, yang ditunjukkan dalam indikator akar, atau lebih. Misalnya, Anda perlu mengambil akar dari angka a ke pangkat keempat. Dalam hal ini, bilangan tersebut dapat direpresentasikan sebagai a*a*a*a = a*(a*a*a)=a*a3. indikator akar dalam hal ini akan sesuai dengan faktor a3. Itu harus dikeluarkan dari tanda.
Ekstrak akar radikal yang dihasilkan secara terpisah, jika memungkinkan. ekstraksi akar adalah operasi aljabar kebalikan dari eksponensial. ekstraksi akar kekuatan arbitrer dari suatu angka, temukan angka yang, ketika dinaikkan ke kekuatan arbitrer ini, akan menghasilkan angka yang diberikan. Jika ekstraksi akar tidak dapat diproduksi, tinggalkan ekspresi radikal di bawah tanda akar cara itu. Sebagai hasil dari tindakan di atas, Anda akan melakukan penghapusan dari bawah tanda akar.
Video Terkait
catatan
Berhati-hatilah saat menulis ekspresi radikal sebagai faktor - kesalahan pada tahap ini akan menyebabkan hasil yang salah.
Saran yang bermanfaat
Saat mengekstraksi akar, akan lebih mudah untuk menggunakan tabel khusus atau tabel akar logaritmik - ini akan secara signifikan mengurangi waktu untuk menemukan solusi yang tepat.
Sumber:
- tanda ekstraksi akar pada tahun 2019
Penyederhanaan ekspresi aljabar diperlukan di banyak cabang matematika, termasuk solusi persamaan derajat yang lebih tinggi, diferensiasi dan integrasi. Ini menggunakan beberapa metode, termasuk faktorisasi. Untuk menerapkan metode ini, Anda perlu menemukan dan mengambil yang umum faktor di belakang tanda kurung.
Petunjuk
Mengeluarkan faktor persekutuan untuk tanda kurung- salah satu metode dekomposisi yang paling umum. Teknik ini digunakan untuk menyederhanakan struktur ekspresi aljabar panjang, mis. polinomial. Umum dapat berupa bilangan, monomial atau binomial, dan untuk menemukannya, digunakan sifat distributif perkalian.
Bilangan Perhatikan baik-baik koefisien dari setiap polinomial untuk melihat apakah mereka dapat dibagi dengan angka yang sama. Misalnya, dalam ekspresi 12 z³ + 16 z² - 4, yang jelas adalah faktor 4. Setelah konversi, Anda mendapatkan 4 (3 z³ + 4 z² - 1). Dengan kata lain, angka ini adalah pembagi bilangan bulat paling umum dari semua koefisien.
Mononomial Tentukan apakah variabel yang sama ada di setiap suku polinomial. Mari kita asumsikan bahwa ini masalahnya, sekarang lihat koefisiennya, seperti pada kasus sebelumnya. Contoh: 9 z^4 - 6 z³ + 15 z² - 3 z.
Setiap elemen polinomial ini mengandung variabel z. Selain itu, semua koefisien adalah kelipatan dari 3. Oleh karena itu, faktor persekutuannya adalah monomial 3 z: 3 z (3 z³ - 2 z² + 5 z - 1).
Binomial.Untuk tanda kurung umum faktor dari dua , variabel dan angka, yang merupakan polinomial umum. Oleh karena itu, jika faktor-binomial tidak jelas, maka Anda perlu menemukan setidaknya satu root. Sorot suku bebas polinomial, ini adalah koefisien tanpa variabel. Sekarang terapkan metode substitusi ke ekspresi umum semua pembagi bilangan bulat dari istilah bebas.
Pertimbangkan: z^4 – 2 z³ + z² - 4 z + 4. Periksa apakah ada pembagi bilangan bulat dari 4 z^4 – 2 z³ + z² - 4 z + 4 = 0. Temukan z1 dengan substitusi sederhana = 1 dan z2 = 2, jadi tanda kurung binomial (z - 1) dan (z - 2) dapat dihilangkan. Untuk menemukan ekspresi yang tersisa, gunakan pembagian berurutan ke dalam kolom.
Pada lingkaran dia menunjukkan bagaimana akar kuadrat dapat diekstraksi dalam sebuah kolom. Anda dapat menghitung akar dengan presisi sewenang-wenang, menemukan digit sebanyak yang Anda suka dalam notasi desimalnya, bahkan jika itu ternyata irasional. Algoritme diingat, tetapi pertanyaan tetap ada. Tidak jelas dari mana metode itu berasal dan mengapa memberikan hasil yang benar. Ini tidak ada di buku, atau mungkin saya hanya mencari di buku yang salah. Akibatnya, seperti banyak dari apa yang saya ketahui dan dapat lakukan hari ini, saya mengeluarkannya sendiri. Saya berbagi pengetahuan saya di sini. Omong-omong, saya masih tidak tahu di mana alasan untuk algoritme diberikan)))
Jadi, pertama, dengan sebuah contoh, saya memberi tahu Anda "cara kerja sistem", dan kemudian saya menjelaskan mengapa itu benar-benar berfungsi.
Mari kita ambil nomor (nomor itu diambil "dari langit-langit", baru saja terlintas dalam pikiran).
1. Kami membagi angkanya menjadi pasangan: yang ada di sebelah kiri titik desimal, kami mengelompokkan dua dari kanan ke kiri, dan yang ke kanan - dua dari kiri ke kanan. Kita mendapatkan .
2. Kami mengekstrak akar kuadrat dari kelompok digit pertama di sebelah kiri - dalam kasus kami (jelas bahwa akar yang tepat tidak dapat diekstraksi, kami mengambil nomor yang kuadratnya sedekat mungkin dengan nomor kami yang dibentuk oleh kelompok angka pertama, tetapi tidak melebihinya). Dalam kasus kami, ini akan menjadi angka. Kami menulis sebagai tanggapan - ini adalah digit tertinggi dari root.
3. Kami menaikkan angka yang sudah ada dalam jawaban - ini adalah - kuadrat dan kurangi dari kelompok angka pertama di sebelah kiri - dari angka tersebut. Dalam kasus kami, itu tetap
4. Kami menghubungkan grup dua angka berikut ke kanan: . Angka yang sudah ada di jawaban dikalikan dengan , kita dapatkan .
5. Sekarang perhatikan baik-baik. Kita perlu menambahkan satu angka ke angka di sebelah kanan, dan mengalikan angka tersebut dengan , yaitu dengan angka yang sama. Hasilnya harus sedekat mungkin dengan , tetapi sekali lagi tidak lebih dari angka ini. Dalam kasus kami, ini akan menjadi angka, kami menulisnya sebagai tanggapan di sebelah, di sebelah kanan. Ini adalah digit berikutnya dalam notasi desimal untuk akar kuadrat kita.
6. Mengurangi produk dari , kita dapatkan .
7. Selanjutnya, kami mengulangi operasi yang sudah dikenal: kami menetapkan kelompok digit berikut ke kanan, kalikan dengan, ke angka yang dihasilkan > tetapkan satu digit ke kanan, sehingga ketika dikalikan, kami mendapatkan angka yang lebih kecil, tetapi terdekat - ini adalah angka - digit berikutnya dalam notasi desimal dari akar.
Perhitungannya akan ditulis sebagai berikut:
Dan sekarang penjelasan yang dijanjikan. Algoritma ini didasarkan pada rumus
Komentar: 50
2 Anton:
Terlalu kacau dan membingungkan. Hancurkan semuanya dan beri nomor. Plus: jelaskan di mana dalam setiap tindakan kami mengganti nilai yang diperlukan. Saya belum pernah menghitung akar dalam kolom sebelumnya - saya menemukannya dengan susah payah.
5 Julia:
6 :
Julia, 23 saat ini ditulis di sebelah kanan, ini adalah dua (kiri) pertama yang sudah menerima digit akar yang ada di jawabannya. Kami mengalikan dengan 2 sesuai dengan algoritma. Kami mengulangi langkah-langkah yang dijelaskan dalam paragraf 4.
7zz:
kesalahan dalam “6. Dari 167 kita kurangi hasil kali 43 * 3 = 123 (129 nada), kita dapatkan 38.”
tidak jelas bagaimana setelah koma ternyata 08 ...9 Fedotov Alexander:
Dan bahkan di era pra-kalkulator, kami diajarkan di sekolah tidak hanya kuadrat, tetapi juga akar pangkat tiga dalam kolom untuk diekstraksi, tetapi ini adalah pekerjaan yang lebih membosankan dan melelahkan. Lebih mudah menggunakan tabel Bradis atau mistar, yang sudah kita pelajari di sekolah menengah.
10 :
Alexander, Anda benar, Anda dapat mengekstrak ke dalam kolom dan akar derajat besar. Saya akan menulis tentang bagaimana menemukan akar pangkat tiga.
12 Sergey Valentinovich:
Elizabeth Alexandrovna yang terhormat! Pada akhir 70-an, saya mengembangkan skema untuk otomatis (yaitu, bukan dengan seleksi) perhitungan kotak. root pada mesin penambahan Felix. Jika Anda tertarik, saya dapat mengirimkan deskripsi.
14 Vlad aus Engelsstadt:
(((Mengekstrak akar kuadrat ke dalam kolom)))
Algoritme disederhanakan jika Anda menggunakan sistem bilangan ke-2, yang dipelajari dalam ilmu komputer, tetapi juga berguna dalam matematika. SEBUAH. Kolmogorov mengutip algoritma ini dalam kuliah populer untuk anak sekolah. Artikelnya dapat ditemukan di "Koleksi Chebyshev" (Jurnal Matematika, cari tautannya di Internet)
Untuk kesempatan itu, katakan:
G. Leibniz pada suatu waktu terburu-buru tentang gagasan transisi dari sistem bilangan 10 ke biner karena kesederhanaan dan aksesibilitasnya untuk pemula (anak sekolah menengah). Tetapi melanggar tradisi yang sudah mapan seperti memecahkan gerbang benteng dengan dahi Anda: itu mungkin, tetapi tidak ada gunanya. Jadi ternyata, menurut filsuf berjanggut yang paling banyak dikutip di masa lalu: tradisi semua generasi yang mati menekan kesadaran yang hidup.Sampai jumpa lain waktu.
15 Vlad aus Engelsstadt:
)) Sergey Valentinovich, ya, saya tertarik ... ((
Saya yakin ini adalah variasi Felix dari metode Babilonia dalam mengekstraksi kuda persegi dengan pendekatan yang berurutan. Algoritma ini ditimpa oleh metode Newton (metode tangen)
Saya ingin tahu apakah saya membuat kesalahan dalam ramalan?
18 :
2Vlad aus Engelsstadt
Ya, algoritma dalam biner harus lebih sederhana, itu cukup jelas.
Tentang metode Newton. Mungkin iya, tapi tetap menarik
20 Siril:
Terima kasih banyak. Tapi algoritmanya masih belum ada, tidak diketahui dari mana asalnya, tapi hasilnya benar. TERIMA KASIH BANYAK! Udah lama cari ini
21 Alexander:
Dan bagaimana ekstraksi akar dari nomor tersebut, di mana kelompok kedua dari kiri ke kanan sangat kecil? misalnya angka favorit semua orang adalah 4 398 046 511 104. setelah pengurangan pertama, tidak mungkin untuk melanjutkan semuanya sesuai dengan algoritma. Tolong jelaskan.
22 Alexey:
Ya, saya tahu cara ini. Saya ingat pernah membacanya di buku "Aljabar" edisi lama. Kemudian, dengan analogi, dia sendiri menyimpulkan cara mengekstrak akar pangkat tiga di kolom yang sama. Tapi itu sudah lebih rumit di sana: setiap digit tidak lagi ditentukan dalam satu (seperti untuk persegi), tetapi dalam dua pengurangan, dan bahkan di sana setiap kali Anda perlu mengalikan angka yang panjang.
23 Artikel:
Ada kesalahan ketik pada contoh pengambilan akar kuadrat dari 56789.321. Kelompok bilangan 32 ditetapkan dua kali pada bilangan 145 dan 243, pada bilangan 2388025 angka 8 kedua harus diganti dengan 3. Kemudian pengurangan terakhir harus ditulis sebagai berikut: 2431000 - 2383025 = 47975.
Selain itu, saat membagi sisanya dengan nilai jawaban yang digandakan (tidak termasuk koma), kita mendapatkan jumlah digit signifikan tambahan (47975/(2*238305) = 0.100658819…), yang harus ditambahkan ke jawaban (√56789.321 = 238.305… = 238.305100659).24 Sergei:
Ternyata algoritma tersebut berasal dari buku Isaac Newton “General arithmetic atau buku tentang sintesis dan analisis aritmatika”. Berikut kutipan darinya:
TENTANG AKAR
Untuk mengekstrak akar kuadrat dari suatu angka, pertama-tama, Anda harus meletakkan titik di atas angka-angkanya melalui satu, mulai dari unit. Maka perlu untuk menulis dalam hasil bagi atau pada akar angka yang kuadratnya sama dengan atau paling dekat cacatnya dengan angka atau angka yang mendahului titik pertama. Setelah mengurangkan kuadrat ini, sisa digit akar akan ditemukan secara berurutan dengan membagi sisanya dengan dua kali nilai bagian akar yang telah diekstraksi dan setiap kali mengurangkan dari sisa kuadrat digit terakhir yang ditemukan dan hasil kali sepuluh kali lipatnya dengan pembagi bernama.
25 Sergei:
Perbaiki judul buku “Aritmatika Umum atau buku tentang sintesis dan analisis aritmatika”
26 Alexander:
Terima kasih atas konten yang menarik. Tetapi metode ini menurut saya agak lebih rumit daripada yang diperlukan, misalnya, untuk anak sekolah. Saya menggunakan metode yang lebih sederhana berdasarkan perluasan fungsi kuadrat menggunakan dua turunan pertama. Formulanya adalah:
kuadrat(x)=A1+A2-A3 dimana
A1 adalah bilangan bulat yang kuadratnya paling dekat dengan x;
A2 adalah pecahan, dengan pembilang x-A1, penyebut 2*A1.
Untuk sebagian besar angka yang ditemukan di kursus sekolah, ini cukup untuk mendapatkan hasil yang akurat hingga seperseratus.
Jika Anda membutuhkan hasil yang lebih akurat, ambil
A3 adalah pecahan, dalam pembilang A2 kuadrat, dalam penyebut 2 * A1 + 1.
Tentu saja, Anda memerlukan tabel kuadrat bilangan bulat untuk diterapkan, tetapi ini bukan masalah di sekolah. Mengingat rumus ini cukup sederhana.
Namun, saya bingung bahwa saya mendapatkan A3 secara empiris sebagai hasil eksperimen dengan spreadsheet dan tidak begitu mengerti mengapa istilah ini memiliki bentuk seperti itu. Mungkin Anda bisa menyarankan?27 Alexander:
Ya, saya telah mempertimbangkan pertimbangan ini juga, tetapi iblis ada dalam detailnya. Anda menulis:
“karena a2 dan b sudah agak berbeda.” Pertanyaannya adalah seberapa sedikit.
Rumus ini bekerja dengan baik pada angka sepuluh kedua dan jauh lebih buruk (tidak sampai seperseratus, hanya sampai sepersepuluh) pada angka sepuluh pertama. Mengapa ini terjadi sudah sulit dipahami tanpa melibatkan turunan.28 Alexander:
Saya akan mengklarifikasi di mana saya melihat keuntungan dari formula yang saya usulkan. Itu tidak memerlukan pemisahan angka yang tidak wajar menjadi pasangan angka, yang, seperti yang ditunjukkan oleh pengalaman, sering dilakukan dengan kesalahan. Maknanya jelas, tetapi bagi orang yang akrab dengan analisis, itu sepele. Bekerja dengan baik pada angka dari 100 hingga 1000, yang paling umum di sekolah.
29 Alexander:
Omong-omong, saya melakukan penggalian dan menemukan ekspresi yang tepat untuk A3 dalam rumus saya:
A3= A22 /2(A1+A2)30 vasil stryzhak:
Di zaman kita, meluasnya penggunaan teknologi komputer, pertanyaan tentang mengekstraksi kuda persegi dari suatu angka dari sudut pandang praktis tidak sepadan. Namun bagi pecinta matematika, tentunya berbagai pilihan pemecahan masalah ini menarik. Dalam kurikulum sekolah, cara penghitungan ini tanpa menarik dana tambahan harus dilakukan setara dengan perkalian dan pembagian dalam satu kolom. Algoritma perhitungan tidak hanya harus dihafal, tetapi juga dimengerti. Metode klasik yang disediakan dalam materi ini untuk pembahasan dengan pengungkapan esensi sepenuhnya memenuhi kriteria di atas.
Kelemahan signifikan dari metode yang diusulkan oleh Alexander adalah penggunaan tabel kuadrat bilangan bulat. Dengan apa mayoritas nomor yang ditemui di sekolah saja itu terbatas, penulis diam. Adapun rumusnya, secara keseluruhan sangat mengesankan saya mengingat akurasi perhitungannya yang relatif tinggi.31 Alexander:
untuk 30 vasil stryzhak
Saya tidak melewatkan apa pun. Tabel kuadrat seharusnya sampai 1000. Waktu saya di sekolah, mereka hanya menghafalnya di sekolah dan itu ada di semua buku pelajaran matematika. Saya secara eksplisit menamai interval ini.
Sedangkan untuk teknologi komputer tidak digunakan terutama dalam pelajaran matematika, kecuali ada topik khusus menggunakan kalkulator. Kalkulator sekarang dibangun ke dalam perangkat yang dilarang untuk digunakan dalam ujian.32 vasil stryzhak:
Alexander, terima kasih atas klarifikasinya! Saya pikir untuk metode yang diusulkan secara teoritis perlu untuk mengingat atau menggunakan tabel kuadrat dari semua bilangan dua digit. Kemudian untuk bilangan radikal yang tidak termasuk dalam interval dari 100 hingga 10.000, Anda dapat menggunakan metode menambah atau menguranginya dengan jumlah pesanan yang diperlukan dengan memindahkan koma.
33 vasil stryzhak:
39 ALEXANDER:
PROGRAM PERTAMA SAYA DALAM BAHASA "YAMB" PADA MESIN SOVIET "ISKRA 555" DITULIS UNTUK EKSTRAK AKAR KOTAK DARI NOMOR MENURUT EKSTRAKSI KE ALGORITMA KOLOM! dan sekarang saya lupa cara mengekstraknya secara manual!
Mari kita pertimbangkan algoritma ini dengan sebuah contoh. Ayo temukan
langkah pertama. Kami membagi angka di bawah akar menjadi dua digit (dari kanan ke kiri):
langkah ke-2. Kami mengekstrak akar kuadrat dari wajah pertama, yaitu, dari angka 65, kami mendapatkan angka 8. Di bawah wajah pertama, kami menulis kuadrat dari angka 8 dan mengurangi. Kami menghubungkan wajah kedua (59) dengan sisanya:
(angka 159 adalah sisa pertama).
langkah ke-3. Kami menggandakan akar yang ditemukan dan menulis hasilnya di sebelah kiri:
langkah ke-4. Kami memisahkan sisanya (159) satu digit di sebelah kanan, di sebelah kiri kami mendapatkan jumlah puluhan (sama dengan 15). Kemudian kita membagi 15 dengan digit pertama dua kali lipat dari akar, yaitu dengan 16, karena 15 tidak habis dibagi 16, maka dalam hasil bagi kita mendapatkan nol, yang kita tulis sebagai digit kedua dari akar. Jadi, dalam hasil bagi kami mendapatkan angka 80, yang kami gandakan lagi, dan hancurkan wajah berikutnya
(angka 15901 adalah sisa kedua).
langkah ke-5. Kami memisahkan satu digit dari kanan di sisa kedua dan membagi angka yang dihasilkan 1590 dengan 160. Hasilnya (angka 9) ditulis sebagai digit ketiga dari akar dan ditetapkan ke angka 160. Angka yang dihasilkan 1609 dikalikan dengan 9 dan kami menemukan sisa berikut (1420):
Tindakan lebih lanjut dilakukan dalam urutan yang ditunjukkan dalam algoritma (akar dapat diekstraksi dengan tingkat akurasi yang diperlukan).
Komentar. Jika ekspresi akar adalah pecahan desimal, maka bagian bilangan bulatnya dibagi menjadi dua digit dari kanan ke kiri, bagian pecahan dibagi menjadi dua digit dari kiri ke kanan, dan akar diekstraksi sesuai dengan algoritma yang ditentukan.
BAHAN DIDAKTIS
1. Ambil akar kuadrat dari bilangan: a) 32; b) 32,45; c) 249,5; d) 0,9511.
Apa itu akar kuadrat?
Perhatian!
Ada tambahan
materi dalam Bagian Khusus 555.
Bagi mereka yang sangat "tidak terlalu ..."
Dan bagi mereka yang "sangat banyak...")
Konsep ini sangat sederhana. Alam, saya akan mengatakan. Matematikawan mencoba menemukan reaksi untuk setiap tindakan. Ada penambahan dan ada pengurangan. Ada perkalian dan ada pembagian. Ada kuadrat... Jadi ada juga mengekstrak akar kuadrat! Itu saja. Aksi ini ( mengambil akar kuadrat) dalam matematika dilambangkan dengan ikon ini:
Ikon itu sendiri disebut kata indah " radikal".
Bagaimana cara mengekstrak root? Lebih baik untuk mempertimbangkan contoh.
Berapakah akar kuadrat dari 9? Dan bilangan kuadrat berapa yang memberi kita 9? 3 kuadrat memberi kita 9! Itu:
Apa akar kuadrat dari nol? Tidak masalah! Berapa angka kuadrat nol yang diberikan? Ya, dia sendiri memberikan nol! Cara:
Tertangkap apa itu akar kuadrat? Kemudian kita pertimbangkan contoh:
Jawaban (berantakan): 6; satu; 4; sembilan; 5.
Diputuskan? Sungguh, itu jauh lebih mudah!
Tapi... Apa yang dilakukan seseorang ketika dia melihat beberapa tugas dengan akar?
Seseorang mulai mendambakan ... Dia tidak percaya pada kesederhanaan dan ringannya akar. Meskipun dia sepertinya tahu apa itu akar kuadrat...
Ini karena seseorang telah mengabaikan beberapa poin penting ketika mempelajari akarnya. Kemudian mode ini secara brutal membalas dendam pada tes dan ujian ...
Poin satu. Akar harus dikenali dengan penglihatan!
Berapakah akar kuadrat dari 49? Tujuh? Benar! Bagaimana Anda tahu ada tujuh? Kuadratkan tujuh dan dapatkan 49? Benar! Harap dicatat bahwa ekstrak akarnya dari 49, kami harus melakukan operasi sebaliknya - kotak 7! Dan pastikan kita tidak ketinggalan. Atau mereka bisa melewatkan...
Disitulah letak kesulitannya ekstraksi akar. Mengkuadratkan nomor berapa pun dimungkinkan tanpa masalah. Kalikan angka itu sendiri dalam sebuah kolom - dan itu saja. Tapi untuk ekstraksi akar tidak ada teknologi yang sederhana dan bebas masalah. akun untuk menjemput jawab dan periksa apakah terkena kuadrat.
Proses kreatif yang rumit ini - memilih jawaban - sangat disederhanakan jika Anda ingat kuadrat dari angka-angka populer. Seperti tabel perkalian. Jika, katakanlah, Anda perlu mengalikan 4 dengan 6 - Anda tidak menambahkan empat 6 kali, bukan? Jawabannya langsung muncul 24. Walaupun tidak semua orang memilikinya ya...
Untuk pekerjaan gratis dan sukses dengan akar, cukup mengetahui kuadrat angka dari 1 hingga 20. Selain itu, di sana dan kembali. Itu. Anda harus dapat dengan mudah menyebutkan keduanya, katakanlah, 11 kuadrat dan akar kuadrat dari 121. Untuk mencapai hafalan ini, ada dua cara. Yang pertama adalah mempelajari tabel kuadrat. Ini akan banyak membantu dengan contoh. Yang kedua adalah untuk memecahkan lebih banyak contoh. Sangat bagus untuk mengingat tabel kuadrat.
Dan tidak ada kalkulator! Untuk verifikasi saja. Jika tidak, Anda akan melambat tanpa ampun selama ujian ...
Jadi, apa itu akar kuadrat Dan bagaimana ekstrak akar- Saya pikir itu bisa dimengerti. Sekarang mari kita cari tahu DARI APA Anda dapat mengekstraknya.
Poin dua. Akar, aku tidak mengenalmu!
Dari bilangan apa kamu bisa mengambil akar kuadrat? Ya, hampir semua. Lebih mudah untuk memahami apa itu dilarang ekstrak mereka.
Mari kita coba menghitung akar ini:
Untuk melakukan ini, Anda perlu mengambil angka yang dikuadratkan akan memberi kita -4. Kami memilih.
Apa yang tidak dipilih? 2 2 memberi +4. (-2) 2 memberi +4 lagi! Itu saja ... Tidak ada angka yang, ketika dikuadratkan, akan memberi kita angka negatif! Padahal aku tahu angkanya. Tapi aku tidak akan memberitahumu.) Pergi ke perguruan tinggi dan cari tahu sendiri.
Cerita yang sama akan terjadi dengan angka negatif apa pun. Maka kesimpulannya:
Ekspresi di mana angka negatif berada di bawah tanda akar kuadrat - tidak masuk akal! Ini adalah operasi terlarang. Dilarang seperti pembagian dengan nol. Ingatlah fakta ini! Atau, dengan kata lain:
Anda tidak dapat mengekstrak akar kuadrat dari angka negatif!
Tetapi dari semua yang lain - Anda bisa. Misalnya, adalah mungkin untuk menghitung
Pada pandangan pertama, ini sangat sulit. Ambil pecahan, tapi kuadratkan ... Jangan khawatir. Ketika kita berurusan dengan sifat-sifat akar, contoh-contoh seperti itu akan direduksi menjadi tabel kuadrat yang sama. Hidup akan menjadi lebih mudah!
Oke pecahan. Tapi kami masih menemukan ekspresi seperti:
Tidak apa-apa. Semua sama. Akar kuadrat dari dua adalah angka yang, jika dikuadratkan, akan memberi kita deuce. Hanya jumlahnya yang benar-benar tidak merata... Ini dia:
Menariknya, pecahan ini tidak pernah berakhir... Angka seperti itu disebut irasional. Dalam akar kuadrat, ini adalah hal yang paling umum. Omong-omong, inilah mengapa ekspresi dengan akar disebut irasional. Jelas bahwa menulis pecahan tak terhingga sepanjang waktu itu tidak nyaman. Oleh karena itu, alih-alih pecahan tak terbatas, mereka membiarkannya seperti ini:
Jika, saat memecahkan contoh, Anda mendapatkan sesuatu yang tidak dapat diekstraksi, seperti:
lalu kita biarkan seperti itu. Ini akan menjadi jawabannya.
Anda perlu memahami dengan jelas apa yang ada di bawah ikon
Tentu saja, jika akar bilangan diambil mulus, Anda harus melakukannya. Jawaban tugas dalam bentuk, misalnya
jawaban yang cukup lengkap.
Dan, tentu saja, Anda perlu mengetahui nilai perkiraan dari memori:
Pengetahuan ini banyak membantu untuk menilai situasi dalam tugas-tugas yang kompleks.
Poin tiga. Yang paling licik.
Kebingungan utama dalam bekerja dengan akar hanya dibawa oleh mode ini. Dialah yang memberikan keraguan diri ... Mari kita hadapi mode ini dengan benar!
Untuk memulainya, kita kembali mengekstrak akar kuadrat dari keempatnya. Apa, apakah saya sudah mendapatkan Anda dengan root ini?) Tidak ada, sekarang ini akan menarik!
Berapa angka yang akan diberikan pada kuadrat 4? Nah, dua, dua - saya mendengar jawaban yang tidak puas ...
Benar. Dua. Tetapi juga dikurangi dua akan memberikan 4 kuadrat ... Sementara itu, jawabannya
benar dan jawabannya
kesalahan terberat. Seperti ini.
Jadi apa masalahnya?
Memang, (-2) 2 = 4. Dan di bawah definisi akar kuadrat dari empat dikurangi dua cukup cocok... Ini juga merupakan akar kuadrat dari empat.
Tetapi! Dalam kursus matematika sekolah, biasanya mempertimbangkan akar kuadrat hanya bilangan non-negatif! Yaitu nol dan semua positif. Bahkan istilah khusus diciptakan: dari nomor sebuah- Ini non-negatif bilangan yang kuadratnya sebuah. Hasil negatif saat mengekstrak akar kuadrat aritmatika dibuang begitu saja. Di sekolah, semua akar kuadrat - hitung. Meski tidak disebutkan secara spesifik.
Oke, itu bisa dimengerti. Bahkan lebih baik tidak dipusingkan dengan hasil negatif ... Ini belum kebingungan.
Kebingungan dimulai ketika memecahkan persamaan kuadrat. Misalnya, Anda perlu menyelesaikan persamaan berikut.
Persamaannya sederhana, kami menulis jawabannya (seperti yang diajarkan):
Jawaban ini (omong-omong, cukup benar) hanyalah notasi yang disingkat dua jawaban:
Berhenti berhenti! Sedikit lebih tinggi saya menulis bahwa akar kuadrat adalah angka selalu non-negatif! Dan inilah salah satu jawabannya - negatif! Kekacauan. Ini adalah masalah pertama (tetapi bukan yang terakhir) yang menyebabkan ketidakpercayaan pada akarnya ... Mari kita selesaikan masalah ini. Mari kita tuliskan jawabannya (semata-mata untuk pemahaman!) seperti ini:
Tanda kurung tidak mengubah esensi jawaban. Saya hanya memisahkan dengan tanda kurung tanda-tanda dari akar. Sekarang terlihat jelas bahwa akar itu sendiri (dalam tanda kurung) masih merupakan bilangan non-negatif! Dan tanda-tandanya adalah hasil penyelesaian persamaan. Lagi pula, ketika menyelesaikan persamaan apa pun, kita harus menulis semua x, yang jika disubstitusikan ke persamaan awal, akan memberikan hasil yang benar. Akar lima (positif!) cocok untuk persamaan kita dengan plus dan minus.
Seperti ini. Jika kamu ambil saja akar kuadratnya dari apapun kamu selalu Dapatkan satu non-negatif hasil. Sebagai contoh:
Karena itu - akar kuadrat aritmatika.
Tetapi jika Anda memecahkan beberapa persamaan kuadrat seperti:
kemudian selalu ternyata dua jawaban (dengan plus dan minus):
Karena itu adalah solusi dari persamaan.
Harapan, apa itu akar kuadrat Anda melakukannya dengan benar dengan poin Anda. Sekarang tinggal mencari tahu apa yang bisa dilakukan dengan akarnya, apa sifat-sifatnya. Dan apa mode dan kotak bawah air ... permisi, batu!)
Semua ini - dalam pelajaran berikutnya.
Jika Anda menyukai situs ini...
Omong-omong, saya punya beberapa situs yang lebih menarik untuk Anda.)
Anda dapat berlatih memecahkan contoh dan mengetahui level Anda. Pengujian dengan verifikasi instan. Belajar - dengan penuh minat!)
Anda bisa berkenalan dengan fungsi dan turunannya.
Fakta 1.
\(\bullet\) Ambil beberapa bilangan non-negatif \(a\) (yaitu \(a\geqslant 0\) ). Kemudian (aritmatika) akar pangkat dua dari bilangan \(a\) bilangan non-negatif \(b\) disebut, ketika mengkuadratkannya kita mendapatkan bilangan \(a\) : \[\sqrt a=b\quad \text(sama dengan )\quad a=b^2\] Ini mengikuti dari definisi bahwa \(a\geqslant 0, b\geqslant 0\). Pembatasan ini merupakan syarat penting bagi keberadaan akar kuadrat dan harus diingat!
Ingatlah bahwa bilangan apa pun ketika dikuadratkan memberikan hasil non-negatif. Yaitu, \(100^2=10000\geqslant 0\) dan \((-100)^2=10000\geqslant 0\) .
\(\bullet\) Apa itu \(\sqrt(25)\) ? Kita tahu bahwa \(5^2=25\) dan \((-5)^2=25\) . Karena menurut definisi kita harus mencari bilangan non-negatif, \(-5\) tidak cocok, maka \(\sqrt(25)=5\) (sejak \(25=5^2\) ).
Mencari nilai \(\sqrt a\) disebut mengambil akar kuadrat dari bilangan \(a\) , dan bilangan \(a\) disebut ekspresi akar.
\(\bullet\) Berdasarkan definisi, ekspresi \(\sqrt(-25)\) , \(\sqrt(-4)\) , dll. tidak masuk akal.
Fakta 2.
Untuk perhitungan cepat, akan berguna untuk mempelajari tabel kuadrat bilangan asli dari \(1\) hingga \(20\) : \[\begin(array)(|ll|) \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13 ^2=169\\ 4^2=16 & \quad14^2=196\\ 5^2=25 & \quad15^2=225\\ 6^2=36 & \quad16^2=256\\ 7^ 2=49 & \quad17^2=289\\ 8^2=64 & \quad18^2=324\\ 9^2=81 & \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2= 400\\ \hline \end(array)\]
Fakta 3.
Apa yang bisa dilakukan dengan akar kuadrat?
\(\peluru\) Jumlah atau selisih akar kuadrat TIDAK SAMA dengan akar kuadrat dari jumlah atau selisih, mis. \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt(a\pm b)\] Jadi, jika Anda perlu menghitung, misalnya \(\sqrt(25)+\sqrt(49)\) , maka awalnya Anda harus mencari nilai \(\sqrt(25)\) dan \(\sqrt (49)\ ) lalu tambahkan. Karena itu, \[\sqrt(25)+\sqrt(49)=5+7=12\] Jika nilai \(\sqrt a\) atau \(\sqrt b\) tidak dapat ditemukan saat menambahkan \(\sqrt a+\sqrt b\), maka ekspresi tersebut tidak dikonversi lebih lanjut dan tetap seperti apa adanya. Misalnya, dalam penjumlahan \(\sqrt 2+ \sqrt (49)\) kita dapat menemukan \(\sqrt(49)\) - ini adalah \(7\) , tetapi \(\sqrt 2\) tidak dapat dikonversi dengan cara apapun, Itu sebabnya \(\sqrt 2+\sqrt(49)=\sqrt 2+7\). Lebih lanjut, ungkapan ini, sayangnya, tidak dapat disederhanakan dengan cara apa pun.\(\bullet\) Hasil kali/hasil bagi akar kuadrat sama dengan akar kuadrat dari hasil kali/hasil bagi, mis. \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt(ab)\quad \text(s)\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt(a:b)\] (asalkan kedua bagian persamaan itu masuk akal)
Contoh: \(\sqrt(32)\cdot \sqrt 2=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8\);
\(\sqrt(768):\sqrt3=\sqrt(768:3)=\sqrt(256)=16\);
\(\sqrt((-25)\cdot (-64))=\sqrt(25\cdot 64)=\sqrt(25)\cdot \sqrt(64)= 5\cdot 8=40\). \(\bullet\) Dengan menggunakan sifat-sifat ini, akan lebih mudah untuk menemukan akar kuadrat dari bilangan besar dengan memfaktorkannya.
Pertimbangkan sebuah contoh. Temukan \(\sqrt(44100)\) . Karena \(44100:100=441\) , maka \(44100=100\cdot 441\) . Menurut kriteria pembagian, bilangan \(441\) habis dibagi \(9\) (karena jumlah angka-angkanya adalah 9 dan habis dibagi 9), oleh karena itu, \(441:9=49\) , yaitu, \(441=9\ cdot 49\) .
Jadi, kami mendapat: \[\sqrt(44100)=\sqrt(9\cdot 49\cdot 100)= \sqrt9\cdot \sqrt(49)\cdot \sqrt(100)=3\cdot 7\cdot 10=210\] Mari kita lihat contoh lain: \[\sqrt(\dfrac(32\cdot 294)(27))= \sqrt(\dfrac(16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2)(9\cdot 3))= \sqrt( \ dfrac(16\cdot4\cdot49)(9))=\dfrac(\sqrt(16)\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt(49))(\sqrt9)=\dfrac(4\cdot 2\cdot 7)3 =\dfrac(56)3\]
\(\bullet\) Mari kita tunjukkan cara memasukkan angka di bawah tanda akar kuadrat menggunakan contoh ekspresi \(5\sqrt2\) (kependekan dari ekspresi \(5\cdot \sqrt2\) ). Karena \(5=\sqrt(25)\) , maka \
Perhatikan juga bahwa, misalnya,
1) \(\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2\) ,
2) \(5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3\)
3) \(\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a\) .
Mengapa demikian? Mari kita jelaskan dengan contoh 1). Seperti yang sudah Anda pahami, entah bagaimana kami tidak dapat mengonversi angka \(\sqrt2\) . Bayangkan \(\sqrt2\) adalah beberapa angka \(a\) . Dengan demikian, ekspresi \(\sqrt2+3\sqrt2\) tidak lain adalah \(a+3a\) (satu angka \(a\) ditambah tiga angka yang sama \(a\) ). Dan kita tahu bahwa ini sama dengan empat bilangan \(a\) , yaitu \(4\sqrt2\) .
Fakta 4.
\(\bullet\) Sering dikatakan “tidak dapat mengekstrak akar” ketika tidak mungkin menghilangkan tanda \(\sqrt () \ \) dari akar (radikal) ketika mencari nilai suatu bilangan. Misalnya, Anda dapat melakukan root pada bilangan \(16\) karena \(16=4^2\) , jadi \(\sqrt(16)=4\) . Tetapi untuk mengekstrak akar dari angka \(3\) , yaitu, untuk menemukan \(\sqrt3\) , tidak mungkin, karena tidak ada angka yang akan diberikan kuadrat \(3\) .
Angka-angka seperti itu (atau ekspresi dengan angka-angka seperti itu) tidak rasional. Misalnya bilangan \(\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt(15)\) dll. tidak rasional.
Juga irasional adalah bilangan \(\pi\) (bilangan “pi”, kira-kira sama dengan \(3,14\) ), \(e\) (bilangan ini disebut bilangan Euler, kira-kira sama dengan \(2 ,7\) ) dll.
\(\bullet\) Harap dicatat bahwa setiap angka akan menjadi rasional atau irasional. Dan bersama-sama semua bilangan rasional dan irasional membentuk himpunan yang disebut himpunan bilangan real (nyata). Himpunan ini dilambangkan dengan huruf \(\mathbb(R)\) .
Ini berarti bahwa semua bilangan yang kita kenal sekarang disebut bilangan real.
Fakta 5.
\(\bullet\) Modulus bilangan real \(a\) adalah bilangan non-negatif \(|a|\) sama dengan jarak dari titik \(a\) ke \(0\) pada real garis. Misalnya, \(|3|\) dan \(|-3|\) sama dengan 3, karena jarak dari titik \(3\) dan \(-3\) ke \(0\) adalah sama dan sama dengan \(3 \) .
\(\bullet\) Jika \(a\) adalah bilangan non-negatif, maka \(|a|=a\) .
Contoh: \(|5|=5\) ; \(\qquad |\sqrt2|=\sqrt2\) . \(\bullet\) Jika \(a\) adalah bilangan negatif, maka \(|a|=-a\) .
Contoh: \(|-5|=-(-5)=5\) ; \(\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3\).
Mereka mengatakan bahwa untuk angka negatif, modul "memakan" angka minus, dan angka positif, serta angka \(0\) , modul tidak berubah.
TETAPI aturan ini hanya berlaku untuk angka. Jika Anda memiliki \(x\) yang tidak dikenal (atau yang tidak dikenal lainnya) di bawah tanda modul, misalnya, \(|x|\) , yang kita tidak tahu apakah itu positif, sama dengan nol atau negatif, maka menyingkirkan modul kita tidak bisa. Dalam hal ini, ekspresi ini tetap demikian: \(|x|\) . \(\bullet\) Rumus berikut berlaku: \[(\large(\sqrt(a^2)=|a|))\] \[(\large((\sqrt(a))^2=a)), \text( disediakan ) a\geqslant 0\] Kesalahan berikut sering dibuat: mereka mengatakan bahwa \(\sqrt(a^2)\) dan \((\sqrt a)^2\) adalah hal yang sama. Ini benar hanya jika \(a\) adalah bilangan positif atau nol. Tetapi jika \(a\) adalah bilangan negatif, maka ini tidak benar. Cukuplah untuk mempertimbangkan contoh seperti itu. Mari kita ambil angka \(-1\) alih-alih \(a\). Kemudian \(\sqrt((-1)^2)=\sqrt(1)=1\) , tetapi ekspresi \((\sqrt (-1))^2\) tidak ada sama sekali (karena tidak mungkin di bawah tanda root masukkan angka negatif!).
Oleh karena itu, kami menarik perhatian Anda pada fakta bahwa \(\sqrt(a^2)\) tidak sama dengan \((\sqrt a)^2\) ! Contoh 1) \(\sqrt(\left(-\sqrt2\right)^2)=|-\sqrt2|=\sqrt2\), karena \(-\sqrt2<0\)
;
\(\phantom(00000)\) 2) \((\sqrt(2))^2=2\) . \(\bullet\) Sejak \(\sqrt(a^2)=|a|\) , maka \[\sqrt(a^(2n))=|a^n|\] (ekspresi \(2n\) menunjukkan bilangan genap)
Artinya, ketika mengekstraksi akar dari angka yang ada dalam derajat tertentu, derajat ini dibelah dua.
Contoh:
1) \(\sqrt(4^6)=|4^3|=4^3=64\)
2) \(\sqrt((-25)^2)=|-25|=25\) (perhatikan jika modul tidak disetel, maka ternyata akar bilangan sama dengan \(-25 \) ; tapi kita ingat , yang, menurut definisi akar, ini tidak bisa: ketika mengekstrak akar, kita harus selalu mendapatkan angka positif atau nol)
3) \(\sqrt(x^(16))=|x^8|=x^8\) (karena setiap bilangan pangkat genap adalah non-negatif)
Fakta 6.
Bagaimana cara membandingkan dua akar kuadrat?
\(\bullet\) Benar untuk akar kuadrat: jika \(\sqrt a<\sqrt b\)
, то \(a
1) bandingkan \(\sqrt(50)\) dan \(6\sqrt2\) . Pertama, kita ubah ekspresi kedua menjadi \(\sqrt(36)\cdot \sqrt2=\sqrt(36\cdot 2)=\sqrt(72)\). Jadi, karena \(50<72\)
, то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\)
. Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\)
.
2) Di antara bilangan bulat manakah \(\sqrt(50)\) ?
Karena \(\sqrt(49)=7\) , \(\sqrt(64)=8\) , dan \(49<50<64\)
, то \(7<\sqrt{50}<8\)
, то есть число \(\sqrt{50}\)
находится между числами \(7\)
и \(8\)
.
3) Bandingkan \(\sqrt 2-1\) dan \(0,5\) . Misalkan \(\sqrt2-1>0.5\) : \[\begin(aligned) &\sqrt 2-1>0.5 \ \big| +1\quad \text((tambahkan satu ke kedua sisi))\\ &\sqrt2>0,5+1 \ \big| \ ^2 \quad\text((persegi kedua bagian))\\ &2>1,5^2\\ &2>2,25 \end(selaras)\] Kami melihat bahwa kami telah memperoleh ketidaksetaraan yang salah. Oleh karena itu, asumsi kami salah dan \(\sqrt 2-1<0,5\)
.
Perhatikan bahwa menambahkan angka tertentu ke kedua sisi pertidaksamaan tidak mempengaruhi tandanya. Mengalikan/membagi kedua ruas pertidaksamaan dengan bilangan positif juga tidak mengubah tandanya, tetapi mengalikan/membagi dengan bilangan negatif membalikkan tanda pertidaksamaan!
Kedua ruas persamaan/pertidaksamaan dapat dikuadratkan HANYA JIKA kedua ruas tidak negatif. Misalnya, dalam pertidaksamaan dari contoh sebelumnya, Anda dapat mengkuadratkan kedua sisi, dalam pertidaksamaan \(-3<\sqrt2\)
нельзя (убедитесь в этом сами)!
\(\bullet\) Perhatikan bahwa \[\begin(aligned) &\sqrt 2\approx 1,4\\ &\sqrt 3\approx 1,7 \end(aligned)\] Mengetahui arti perkiraan angka-angka ini akan membantu Anda saat membandingkan angka! \(\bullet\) Untuk mengekstrak akar (jika diekstraksi) dari beberapa nomor besar yang tidak ada dalam tabel kuadrat, Anda harus terlebih dahulu menentukan antara "ratusan" itu, lalu di antara yang "puluhan", dan kemudian tentukan digit terakhir dari nomor ini. Mari kita tunjukkan cara kerjanya dengan sebuah contoh.
Ambil \(\sqrt(28224)\) . Kita tahu bahwa \(100^2=10\,000\) , \(200^2=40\,000\) dan seterusnya. Perhatikan bahwa \(28224\) berada di antara \(10\,000\) dan \(4\,000\) . Oleh karena itu, \(\sqrt(28224)\) berada di antara \(100\) dan \(200\) .
Sekarang mari kita tentukan di antara “puluhan” nomor kita yang mana (yaitu, misalnya, antara \(120\) dan \(130\) ). Kita juga mengetahui dari tabel kuadrat bahwa \(11^2=121\) , \(12^2=144\) dll., maka \(110^2=12100\) , \(120^2=14400 \ ) , \(130^2=16900\) , \(140^2=19600\) , \(150^2=22500\) , \(160^2=25600\) , \(170^2=28900 \ ) . Jadi kita melihat bahwa \(28224\) berada di antara \(160^2\) dan \(170^2\) . Oleh karena itu, bilangan \(\sqrt(28224)\) berada di antara \(160\) dan \(170\) .
Mari kita coba menentukan angka terakhir. Mari kita ingat apa angka satu digit ketika mengkuadratkan memberi di akhir \ (4 \) ? Ini adalah \(2^2\) dan \(8^2\) . Oleh karena itu, \(\sqrt(28224)\) akan berakhir dengan 2 atau 8. Mari kita periksa ini. Temukan \(162^2\) dan \(168^2\) :
\(162^2=162\cdot 162=26224\)
\(168^2=168\cdot 168=28224\) .
Oleh karena itu \(\sqrt(28224)=168\) . Voila!
Untuk menyelesaikan ujian matematika secara memadai, pertama-tama, perlu mempelajari materi teoretis, yang memperkenalkan banyak teorema, rumus, algoritma, dll. Pada pandangan pertama, tampaknya ini cukup sederhana. Namun, menemukan sumber di mana teori Unified State Examination dalam matematika disajikan dengan cara yang mudah dan dapat dipahami oleh siswa dengan tingkat persiapan apa pun, pada kenyataannya, merupakan tugas yang agak sulit. Buku pelajaran sekolah tidak selalu dapat disimpan di tangan. Dan menemukan rumus dasar untuk ujian matematika bisa jadi sulit bahkan di Internet.
Mengapa begitu penting mempelajari teori dalam matematika, tidak hanya bagi mereka yang mengikuti ujian?
- Karena itu memperluas wawasanmu. Kajian materi teori dalam matematika bermanfaat bagi siapa saja yang ingin mendapatkan jawaban atas berbagai pertanyaan yang berkaitan dengan pengetahuan dunia. Segala sesuatu di alam ini tertata dan memiliki logika yang jelas. Inilah tepatnya yang tercermin dalam sains, yang melaluinya dimungkinkan untuk memahami dunia.
- Karena itu mengembangkan kecerdasan. Mempelajari bahan referensi untuk ujian matematika, serta memecahkan berbagai masalah, seseorang belajar berpikir dan bernalar secara logis, merumuskan pikiran dengan benar dan jelas. Ia mengembangkan kemampuan untuk menganalisis, menggeneralisasi, menarik kesimpulan.
Kami mengundang Anda untuk secara pribadi mengevaluasi semua keuntungan dari pendekatan kami terhadap sistematisasi dan presentasi materi pendidikan.
