2. Modifikasi metode Gauss
Metode Gauss dengan pemilihan elemen utama. Keterbatasan utama dari metode Gaussian adalah asumsi bahwa semua elemen di mana pembagian dilakukan pada setiap langkah dari gerakan maju tidak sama dengan nol. Elemen-elemen ini disebut elemen utama dan terletak pada diagonal utama matriks A.
Jika pada beberapa langkah maju elemen utama = 0, maka solusi lebih lanjut dari sistem tidak mungkin. Jika elemen utama memiliki nilai kecil mendekati nol, maka peningkatan kesalahan yang kuat dimungkinkan karena peningkatan tajam dalam nilai absolut dari koefisien yang diperoleh sebagai hasil pembagian. Dalam situasi seperti itu, metode Gauss menjadi tidak stabil.
Metode Gauss dengan pilihan elemen utama memungkinkan untuk mengecualikan terjadinya kasus tersebut.
Ide di balik metode ini adalah sebagai berikut. Pada beberapa langkah ke-k dari langkah maju, bukan variabel berikutnya x k yang dikeluarkan dari persamaan, tetapi variabel semacam itu, yang koefisiennya terbesar dalam nilai absolut. Ini menjamin tidak adanya pembagian dengan nol dan stabilitas metode.
Jika pada langkah ke-k dipilih sebagai elemen utama, maka baris dengan angka k dan p dan kolom dengan angka k dan q harus ditukar dalam matriks A¢.
Permutasi baris tidak mempengaruhi solusi, karena sesuai dengan permutasi persamaan dalam sistem, tetapi permutasi kolom berarti perubahan penomoran variabel. Oleh karena itu, informasi tentang semua kolom permutasi harus dipertahankan sehingga setelah selesainya langkah mundur, penomoran awal variabel dapat dipulihkan.
Ada dua modifikasi sederhana dari metode Gauss:
Dengan pilihan elemen utama per kolom;
Dengan pilihan elemen utama per baris.
Dalam kasus pertama, elemen terbesar dari baris ke-k (di antara elemen , i = ) dipilih sebagai elemen utama. Di bagian kedua - elemen nilai absolut terbesar dari kolom ke-k (di antara elemen , i = ). Pendekatan pertama adalah yang paling luas, karena penomoran variabel tidak berubah di sini.
Perlu dicatat bahwa modifikasi yang ditunjukkan hanya menyangkut jalur langsung dari metode Gaussian. Langkah sebaliknya dilakukan tanpa perubahan, tetapi setelah mendapatkan solusi, mungkin perlu mengembalikan penomoran awal variabel.
dekomposisi LU. Dalam perangkat lunak komputer modern, metode Gaussian diimplementasikan menggunakan dekomposisi LU, yang dipahami sebagai representasi dari matriks koefisien A sebagai produk A = LU dari dua matriks L dan U, di mana L adalah matriks segitiga bawah, U adalah matriks segitiga atas
Jika dekomposisi LU diperoleh, maka solusi dari sistem asli persamaan (2) direduksi menjadi solusi berurutan dari dua sistem persamaan berikut dengan matriks koefisien segitiga
persamaan aljabar linier numerik
dimana Y = - vektor variabel pembantu.
Pendekatan ini memungkinkan untuk berulang kali menyelesaikan sistem persamaan linier dengan sisi kanan B yang berbeda. Dalam hal ini, bagian yang paling memakan waktu (penguraian LU dari matriks A) dilakukan hanya sekali. Prosedur ini sesuai dengan metode Gaussian langsung dan memiliki estimasi input tenaga kerja O(n 3). Solusi lebih lanjut dari sistem persamaan (6) dan (7) dapat dilakukan berulang kali (untuk B yang berbeda), dan solusi masing-masing sesuai dengan kebalikan dari metode Gauss dan memiliki perkiraan kompleksitas komputasi O (n2).
Untuk mendapatkan dekomposisi LU, Anda dapat menggunakan algoritma berikut.
1. Untuk sistem asli (1), lakukan metode Gauss langsung dan dapatkan sistem persamaan segitiga (5).
2. Tentukan elemen-elemen matriks U sesuai dengan aturan
u ij = C ij (i = ; j = )
3. Hitung elemen matriks L sesuai aturan
Rumus perhitungan untuk sistem penyelesaian (6) adalah sebagai berikut:
y 1 \u003d b 1 / l 11;
Rumus perhitungan untuk sistem penyelesaian (7)
(i = n - 1, n - 2, ..., 1).
Pada saat yang sama, sebenarnya menemukan matriks terbalik adalah proses yang agak melelahkan, dan pemrogramannya hampir tidak dapat disebut sebagai tugas dasar. Oleh karena itu, dalam praktiknya, metode numerik untuk menyelesaikan sistem persamaan linier lebih sering digunakan. Metode numerik untuk menyelesaikan sistem persamaan linier meliputi seperti: metode Gauss, metode Cramer, metode iteratif. Dalam metode Gauss, misalnya, seseorang bekerja pada ...
35437 x4=0.58554 5 x1=1.3179137 x2=-1.59467 x3=0.35371 x4=0.58462 6 x1=1.3181515 x2=-1.59506 x3=0.35455 x4=0.58557 metode Asumsikan bahwa, di sekitar titik xi, fungsi F (x) terdiferensialkan beberapa kali. ...
Pada Turbo Pascal 7.0 untuk penyelesaian sistem persamaan aljabar linier menggunakan metode iterasi sederhana. 1.2 Rumusan matematis masalah Biarkan A menjadi matriks nonsingular dan kita perlu menyelesaikan sistem di mana elemen diagonal dari matriks A bukan nol. 1.3 Tinjauan metode numerik yang ada untuk menyelesaikan masalah Metode Gauss Dalam metode Gauss, matriks SLAE menggunakan matriks ekuivalen ...
Angka). Selanjutnya, menurut rumus (2), xn-1 , xn-2 ,…, x1 secara berurutan ditemukan untuk i=n-1, n-2,...,1, masing-masing. Jadi, solusi persamaan bentuk (1) dijelaskan dengan metode yang disebut metode sapuan, yang direduksi menjadi perhitungan menggunakan tiga rumus sederhana: mencari yang disebut koefisien sapuan i, i menggunakan rumus (3) untuk i= 1,2,…,n (sapuan langsung) dan kemudian tidak diketahui xi oleh...
(SLAE), terdiri dari persamaan dengan yang tidak diketahui:
Diasumsikan bahwa ada solusi unik untuk sistem, yaitu .
Artikel ini akan mempertimbangkan penyebab kesalahan yang terjadi selama penyelesaian sistem menggunakan metode Gauss, cara untuk mengidentifikasi dan menghilangkan (mengurangi) kesalahan ini.
Deskripsi metode
Proses penyelesaian sistem persamaan linear
menurut metode Gauss terdiri dari 2 tahap :
1. Kami berasumsi bahwa . Kemudian kita membagi persamaan pertama sistem dengan koefisien , sebagai hasilnya kita memperoleh persamaan . Kemudian, dari masing-masing persamaan yang tersisa, yang pertama dikurangi, dikalikan dengan koefisien yang sesuai. Akibatnya, sistem ditransformasikan ke bentuk: 2. Dengan asumsi bahwa , kita membagi persamaan kedua dengan koefisien dan mengecualikan yang tidak diketahui dari semua persamaan berikutnya, dll. 3. Kami mendapatkan sistem persamaan dengan matriks segitiga:- Penentuan Langsung Mundur dari Tidak Diketahui
Analisis Metode
Metode ini termasuk dalam kelas metode langsung untuk memecahkan sistem persamaan, yang berarti bahwa solusi eksak dapat diperoleh dalam sejumlah langkah yang terbatas, asalkan data input (matriks dan ruas kanan persamaan - ) adalah ditentukan dengan tepat dan perhitungan dilakukan tanpa pembulatan. Untuk memperoleh penyelesaian, diperlukan perkalian dan pembagian, yaitu orde operasi.
Kondisi di mana metode menghasilkan solusi eksak tidak layak dalam praktik - baik kesalahan input data maupun kesalahan pembulatan tidak dapat dihindari. Kemudian muncul pertanyaan: seberapa akurat suatu solusi dapat diperoleh dengan menggunakan metode Gauss, seberapa benar metode tersebut? Mari kita tentukan stabilitas solusi sehubungan dengan parameter input. Seiring dengan sistem aslinya, pertimbangkan sistem yang terganggu:
Biarkan beberapa norma diperkenalkan. - disebut bilangan kondisi matriks.
3 kasus yang mungkin:
Bilangan kondisi matriks selalu . Jika besar () , maka matriks tersebut dikatakan berkondisi tidak baik. Dalam hal ini, gangguan kecil pada sisi kanan sistem , yang disebabkan oleh ketidakakuratan dalam pengaturan data awal, atau disebabkan oleh kesalahan perhitungan, secara signifikan mempengaruhi solusi sistem. Secara kasar, jika kesalahan ruas kanan adalah , maka kesalahan penyelesaiannya adalah .
Mari kita ilustrasikan hasil yang diperoleh pada contoh numerik berikut: Diberikan sebuah sistem
Dia punya solusi.
Sekarang perhatikan sistem yang terganggu:
Solusi untuk sistem seperti itu adalah vektor .
Dengan gangguan yang sangat kecil di sisi kanan, kami memperoleh gangguan besar yang tidak proporsional dari solusi. Solusi "tidak dapat diandalkan" ini dapat dijelaskan oleh fakta bahwa matriksnya hampir merosot: garis-garis yang sesuai dengan dua persamaan hampir bertepatan, seperti yang dapat dilihat pada grafik:
Hasil seperti itu dapat diharapkan karena persyaratan matriks yang buruk:
Perhitungannya cukup rumit, sebanding dengan solusi seluruh sistem, oleh karena itu, untuk memperkirakan kesalahan, digunakan metode yang lebih kasar, tetapi mudah diterapkan.
Metode untuk Memperkirakan Kesalahan
1) Jumlah cek: biasanya digunakan untuk mencegah kesalahan acak dalam proses perhitungan tanpa bantuan komputer.Kami membuat kolom kontrol, yang terdiri dari elemen kontrol sistem:
Saat mentransformasi persamaan, operasi yang sama dilakukan pada elemen kontrol seperti pada anggota bebas persamaan. Akibatnya, elemen kontrol dari setiap persamaan baru harus sama dengan jumlah koefisien persamaan ini. Perbedaan besar di antara mereka menunjukkan kesalahan dalam perhitungan atau ketidakstabilan algoritma perhitungan dalam kaitannya dengan kesalahan komputasi.
2) Kesalahan relatif dari solusi yang diketahui memungkinkan tanpa biaya tambahan yang signifikan untuk mendapatkan penilaian tentang kesalahan solusi.
Sebuah vektor tertentu diberikan dengan komponen-komponen yang, jika mungkin, memiliki orde dan tanda yang sama dengan komponen-komponen solusi yang diinginkan . Vektor dihitung, dan bersama dengan sistem persamaan asli, sistem diselesaikan.
Biarkan dan akan benar-benar diperoleh solusi dari sistem ini. Penilaian kesalahan solusi yang diinginkan dapat diperoleh berdasarkan hipotesis: kesalahan relatif dalam penyelesaian dengan metode eliminasi sistem dengan matriks yang sama dan sisi kanan yang berbeda, yang masing-masing bernilai dan , berbeda tidak dengan jumlah yang sangat besar kali.
3) Penskalaan ulang - teknik yang digunakan untuk mendapatkan gambaran tentang nilai sebenarnya dari kesalahan yang terjadi karena pembulatan dalam perhitungan.
Seiring dengan sistem asli, sistem diselesaikan dengan metode yang sama
, dimana dan adalah bilanganJika tidak ada kesalahan pembulatan, maka persamaan akan berlaku untuk solusi sistem asli dan sistem berskala: . Oleh karena itu, untuk dan , yang bukan pangkat dua, perbandingan vektor dan memberikan gambaran tentang besarnya kesalahan komputasi
Peningkatan Eliminasi Gaussian
Modifikasi metode Gauss yang dipertimbangkan di bawah ini memungkinkan untuk mengurangi kesalahan hasil.
Memilih elemen utama
Peningkatan utama dalam kesalahan dalam metode ini terjadi selama gerakan maju, ketika baris terdepan dikalikan dengan koefisien. Jika koefisiennya adalah 1%20" alt=" >1 ">, maka kesalahan yang diperoleh pada langkah sebelumnya adalah akumulasi Gaussian dengan Pilihan Elemen Utama Pada setiap langkah, pilihan elemen maksimum menurut kolom ditambahkan ke skema biasa sebagai berikut:
Biarkan sistem persamaan berikut diperoleh selama menghilangkan yang tidak diketahui:
, .Temukan sehingga dan tukar persamaan -th dan -th.
Transformasi seperti itu dalam banyak kasus secara signifikan mengurangi sensitivitas solusi terhadap kesalahan pembulatan dalam perhitungan.
Peningkatan hasil berulang
Jika ada kecurigaan bahwa solusi yang diperoleh sangat terdistorsi, maka hasilnya dapat ditingkatkan sebagai berikut. Kuantitas disebut sisa. Kesalahan memenuhi sistem persamaan
.Memecahkan sistem ini, kami memperoleh perkiraan dan set
.Jika akurasi aproksimasi ini tidak memuaskan, maka kita ulangi operasi ini.
Proses dapat dilanjutkan sampai semua komponen cukup kecil. Dalam hal ini, perhitungan tidak dapat dihentikan hanya karena semua komponen vektor residual telah menjadi cukup kecil: ini mungkin merupakan hasil dari persyaratan matriks koefisien yang buruk.
Contoh numerik
Pertimbangkan misalnya matriks Vandermonde 7x7 dan 2 sisi kanan yang berbeda:
Sistem ini diselesaikan dengan dua cara. Tipe datanya adalah float. Hasilnya, kami mendapatkan hasil berikut:
| Metode konvensional | |||
|---|---|---|---|
| 1 | 2 | ||
| 1 | 2 | 1 | 2 |
| 0.999991 | 1 | 0.999996 | 1 |
| 1.00019 | 1 | 7.4774e-005 | 2.33e-008 |
| 0.998404 | 1 | 0.999375 | 1 |
| 1.00667 | 1 | 0.00263727 | 1.12e-006 |
| 0.985328 | 1 | 0.994149 | 1 |
| 1.01588 | 1 | 0.00637817 | 3.27e-006 |
| 0.993538 | 1 | 0.99739 | 1 |
| 0,045479 | 2.9826e-006 | 0,01818 | 8.8362e-006 |
| 0,006497 | 4.2608e-007 | 0,0045451 | 2.209e-006 |
| 0,040152 | 4.344e-005 | 0,083938 | 2.8654e-006 |
| Dengan pilihan elemen utama per baris | |||
|---|---|---|---|
| 1 | 2 | ||
| 1 | 2 | 1 | 2 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | -3.57628e-005 | 1.836e-007 |
| 1.00001 | 1 | 1.00031 | 1 |
| 0.999942 | 1 | -0.00133276 | 7.16e-006 |
| 1.00005 | 1 | 1.00302 | 0,99998 |
| 1.00009 | 1 | -0.0033505 | 1.8e-005 |
| 0.99991 | 1 | 1.00139 | 0,99999 |
| 0,000298 | 4.3835e-007 | 0,009439 | 5.0683e-005 |
| 4.2571e-005 | 6.2622e-008 | 0,0023542 | 1.2671e-005 |
| 0,010622 | 9.8016e-007 | 0,29402 | 1.4768e-006 |
Salah satu cara paling sederhana untuk menyelesaikan sistem persamaan linier adalah trik berdasarkan menghitung determinan ( Aturan Cramer). Keuntungannya adalah memungkinkan Anda untuk segera merekam solusi, sangat nyaman dalam kasus di mana koefisien sistem bukan angka, tetapi beberapa parameter. Kelemahannya adalah kerumitan perhitungan dalam kasus sejumlah besar persamaan, apalagi, aturan Cramer tidak secara langsung berlaku untuk sistem di mana jumlah persamaan tidak sesuai dengan jumlah yang tidak diketahui. Dalam kasus seperti itu, biasanya digunakan Metode Gauss.
Sistem persamaan linear yang memiliki himpunan penyelesaian yang sama disebut setara. Jelas bahwa himpunan solusi sistem linier tidak akan berubah jika ada persamaan yang dipertukarkan, atau jika salah satu persamaan dikalikan dengan beberapa bilangan bukan nol, atau jika satu persamaan ditambahkan ke persamaan lainnya.
Metode Gauss (metode eliminasi berturut-turut dari yang tidak diketahui) terletak pada kenyataan bahwa, dengan bantuan transformasi dasar, sistem direduksi menjadi sistem bertahap yang setara. Pertama, dengan bantuan persamaan 1, x 1 dari semua persamaan sistem berikutnya. Kemudian, dengan menggunakan persamaan ke-2, kita eliminasi x 2 dari 3 dan semua persamaan berikutnya. Proses ini disebut metode Gauss langsung, berlanjut sampai hanya satu yang tidak diketahui yang tersisa di sisi kiri persamaan terakhir x n. Setelah itu dibuat Kebalikan Gauss– memecahkan persamaan terakhir, kami menemukan x n; setelah itu, dengan menggunakan nilai ini, dari persamaan kedua dari belakang kita hitung x n-1 dll. Terakhir kita temukan x 1 dari persamaan pertama.
Lebih mudah untuk melakukan transformasi Gaussian dengan melakukan transformasi tidak dengan persamaan itu sendiri, tetapi dengan matriks koefisiennya. Perhatikan matriks:
ditelepon sistem matriks diperpanjang, karena selain matriks utama sistem, itu termasuk kolom anggota bebas. Metode Gaussian didasarkan pada membawa matriks utama sistem ke bentuk segitiga (atau bentuk trapesium dalam kasus sistem non-persegi) menggunakan transformasi baris elementer (!) dari matriks diperpanjang sistem.
Contoh 5.1. Selesaikan sistem menggunakan metode Gauss:
Keputusan. Mari kita tuliskan matriks yang diperbesar dari sistem dan, dengan menggunakan baris pertama, setelah itu kita akan mengatur elemen-elemen lainnya menjadi nol:
kita mendapatkan nol di baris ke-2, ke-3 dan ke-4 dari kolom pertama:
Sekarang kita membutuhkan semua elemen di kolom kedua di bawah baris ke-2 agar sama dengan nol. Untuk melakukan ini, Anda dapat mengalikan baris kedua dengan -4/7 dan menambahkan ke baris ke-3. Namun, agar tidak berurusan dengan pecahan, kami akan membuat unit di baris ke-2 dari kolom kedua dan hanya
Sekarang, untuk mendapatkan matriks segitiga, Anda perlu menghilangkan elemen baris keempat dari kolom ke-3, untuk ini Anda dapat mengalikan baris ketiga dengan 8/54 dan menambahkannya ke yang keempat. Namun, agar tidak berurusan dengan pecahan, kami akan menukar baris ke-3 dan ke-4 dan kolom ke-3 dan ke-4, dan hanya setelah itu kami akan mengatur ulang elemen yang ditentukan. Perhatikan bahwa ketika kolom disusun ulang, variabel terkait akan ditukar, dan ini harus diingat; transformasi dasar lainnya dengan kolom (penjumlahan dan perkalian dengan angka) tidak dapat dilakukan!
Matriks sederhana terakhir sesuai dengan sistem persamaan yang setara dengan yang asli:
Dari sini, dengan menggunakan kebalikan dari metode Gauss, kita temukan dari persamaan keempat x 3 = -1; dari yang ketiga x 4 = -2, dari detik x 2 = 2 dan dari persamaan pertama x 1 = 1. Dalam bentuk matriks, jawabannya ditulis sebagai
Kami telah mempertimbangkan kasus ketika sistem pasti, yaitu. ketika hanya ada satu solusi. Mari kita lihat apa yang terjadi jika sistem tidak konsisten atau tak tentu.
Contoh 5.2. Jelajahi sistem menggunakan metode Gaussian:
Keputusan. Kami menulis dan mengubah matriks yang diperbesar dari sistem
Kami menulis sistem persamaan yang disederhanakan:
Di sini, dalam persamaan terakhir, ternyata 0=4, yaitu. kontradiksi. Oleh karena itu, sistem tidak memiliki solusi, mis. dia adalah tidak cocok. à
Contoh 5.3. Jelajahi dan selesaikan sistem menggunakan metode Gaussian:
Keputusan. Kami menulis dan mengubah matriks yang diperluas dari sistem:
Sebagai hasil dari transformasi, hanya nol yang diperoleh di baris terakhir. Ini berarti bahwa jumlah persamaan berkurang satu:
Jadi, setelah penyederhanaan, dua persamaan tetap ada, dan empat tidak diketahui, yaitu. dua "ekstra" yang tidak diketahui. Biarkan "berlebihan", atau, seperti yang mereka katakan, variabel bebas, akan x 3 dan x 4 . Kemudian
Asumsi x 3 = 2sebuah dan x 4 = b, kita mendapatkan x 2 = 1–sebuah dan x 1 = 2b–sebuah; atau dalam bentuk matriks
Solusi yang ditulis dengan cara ini disebut umum, karena, dengan memberikan parameter sebuah dan b nilai yang berbeda, adalah mungkin untuk menggambarkan semua solusi yang mungkin dari sistem. sebuah
Metode Gauss, juga disebut metode eliminasi berturut-turut dari yang tidak diketahui, terdiri dari berikut ini. Dengan menggunakan transformasi dasar, sistem persamaan linier dibuat sedemikian rupa sehingga matriks koefisiennya menjadi trapesium (sama seperti segitiga atau loncatan) atau dekat dengan trapesium (jalan langsung dari metode Gauss, lalu - hanya gerakan langsung). Contoh dari sistem tersebut dan solusinya ditunjukkan pada gambar di atas.
Dalam sistem seperti itu, persamaan terakhir hanya berisi satu variabel dan nilainya dapat ditemukan secara unik. Kemudian nilai variabel ini disubstitusikan ke persamaan sebelumnya ( Kebalikan Gauss , lalu - hanya gerakan terbalik), dari mana variabel sebelumnya ditemukan, dan seterusnya.
Dalam sistem trapesium (segitiga), seperti yang kita lihat, persamaan ketiga tidak lagi mengandung variabel kamu dan x, dan persamaan kedua - variabel x .
Setelah matriks sistem berbentuk trapesium, tidak lagi sulit untuk menyelesaikan pertanyaan kompatibilitas sistem, menentukan jumlah solusi, dan menemukan solusi itu sendiri.
Keuntungan dari metode:
- ketika memecahkan sistem persamaan linier dengan lebih dari tiga persamaan dan tidak diketahui, metode Gauss tidak rumit seperti metode Cramer, karena lebih sedikit perhitungan yang diperlukan saat memecahkan metode Gauss;
- menggunakan metode Gauss, Anda dapat menyelesaikan sistem persamaan linier tak tentu, yaitu, memiliki solusi umum (dan kami akan menganalisisnya dalam pelajaran ini), dan menggunakan metode Cramer, Anda hanya dapat menyatakan bahwa sistem tersebut tidak pasti;
- Anda dapat memecahkan sistem persamaan linier di mana jumlah yang tidak diketahui tidak sama dengan jumlah persamaan (kami juga akan menganalisisnya dalam pelajaran ini);
- metode ini didasarkan pada metode dasar (sekolah) - metode substitusi yang tidak diketahui dan metode penambahan persamaan, yang kami sentuh dalam artikel yang sesuai.
Agar setiap orang diilhami dengan kesederhanaan yang dengannya sistem persamaan linier trapesium (segitiga, langkah) diselesaikan, kami menyajikan solusi dari sistem seperti itu menggunakan pukulan terbalik. Solusi cepat untuk sistem ini ditunjukkan pada gambar di awal pelajaran.
Contoh 1 Memecahkan sistem persamaan linier menggunakan langkah mundur:
Keputusan. Dalam sistem trapesium ini, variabel z secara unik ditemukan dari persamaan ketiga. Kami mengganti nilainya ke persamaan kedua dan mendapatkan nilai variabel kamu:
Sekarang kita tahu nilai dua variabel - z dan kamu. Kami menggantinya ke persamaan pertama dan mendapatkan nilai variabel x:
Dari langkah sebelumnya, kami menulis solusi dari sistem persamaan:
Untuk mendapatkan sistem persamaan linier trapesium seperti itu, yang kita selesaikan dengan sangat sederhana, diperlukan gerakan langsung yang terkait dengan transformasi dasar dari sistem persamaan linier. Ini juga tidak terlalu sulit.
Transformasi dasar dari sistem persamaan linear
Mengulangi metode sekolah penjumlahan aljabar dari persamaan sistem, kami menemukan bahwa persamaan lain dari sistem dapat ditambahkan ke salah satu persamaan sistem, dan setiap persamaan dapat dikalikan dengan beberapa angka. Sebagai hasilnya, kami memperoleh sistem persamaan linier yang setara dengan yang diberikan. Di dalamnya, satu persamaan sudah hanya berisi satu variabel, menggantikan nilainya dengan persamaan lain, kami sampai pada solusi. Penambahan tersebut adalah salah satu jenis transformasi dasar dari sistem. Saat menggunakan metode Gauss, kita dapat menggunakan beberapa jenis transformasi.
Animasi di atas menunjukkan bagaimana sistem persamaan secara bertahap berubah menjadi trapesium. Yaitu, yang Anda lihat di animasi pertama dan memastikan bahwa mudah untuk menemukan nilai semua yang tidak diketahui darinya. Bagaimana melakukan transformasi seperti itu dan, tentu saja, contoh, akan dibahas lebih lanjut.
Ketika memecahkan sistem persamaan linier dengan sejumlah persamaan dan tidak diketahui dalam sistem persamaan dan dalam matriks diperluas dari sistem bisa:
- swap lines (ini disebutkan di awal artikel ini);
- jika sebagai akibat dari transformasi lain muncul garis yang sama atau proporsional, mereka dapat dihapus, kecuali satu;
- hapus baris "null", di mana semua koefisien sama dengan nol;
- kalikan atau bagi string apa pun dengan beberapa angka;
- tambahkan ke baris mana pun baris lain dikalikan dengan beberapa angka.
Sebagai hasil dari transformasi, kami memperoleh sistem persamaan linier yang setara dengan yang diberikan.
Algoritma dan contoh penyelesaian dengan metode Gauss sistem persamaan linier dengan matriks persegi sistem
Pertimbangkan terlebih dahulu solusi sistem persamaan linier di mana jumlah yang tidak diketahui sama dengan jumlah persamaan. Matriks dari sistem semacam itu adalah persegi, yaitu, jumlah baris di dalamnya sama dengan jumlah kolom.
Contoh 2 Memecahkan sistem persamaan linier menggunakan metode Gauss
Memecahkan sistem persamaan linier menggunakan metode sekolah, kami mengalikan suku dengan suku salah satu persamaan dengan angka tertentu, sehingga koefisien variabel pertama dalam dua persamaan adalah angka yang berlawanan. Saat menambahkan persamaan, variabel ini dihilangkan. Metode Gauss bekerja dengan cara yang sama.
Untuk menyederhanakan tampilan solusi buat matriks yang diperbesar dari sistem:
Dalam matriks ini, koefisien yang tidak diketahui terletak di sebelah kiri sebelum garis vertikal, dan suku bebas terletak di sebelah kanan setelah garis vertikal.
Untuk kenyamanan membagi koefisien variabel (untuk mendapatkan pembagian dengan satu) tukar baris pertama dan kedua dari matriks sistem. Kami memperoleh sistem yang setara dengan yang diberikan, karena dalam sistem persamaan linier seseorang dapat mengatur ulang persamaan:
Dengan persamaan pertama yang baru menghilangkan variabel x dari persamaan kedua dan semua persamaan berikutnya. Untuk melakukan ini, tambahkan baris pertama dikalikan dengan (dalam kasus kami dengan ) ke baris kedua dari matriks, dan baris pertama dikalikan dengan (dalam kasus kami dengan ) ke baris ketiga.
Hal ini dimungkinkan karena
Jika ada lebih dari tiga persamaan dalam sistem kami, maka baris pertama harus ditambahkan ke semua persamaan berikutnya, dikalikan dengan rasio koefisien yang sesuai, diambil dengan tanda minus.
Akibatnya, kami memperoleh matriks yang setara dengan sistem yang diberikan dari sistem persamaan baru, di mana semua persamaan, mulai dari yang kedua tidak mengandung variabel x :
Untuk menyederhanakan baris kedua dari sistem yang dihasilkan, kami mengalikannya dengan dan lagi mendapatkan matriks sistem persamaan yang setara dengan sistem ini:
Sekarang, menjaga persamaan pertama dari sistem yang dihasilkan tidak berubah, menggunakan persamaan kedua, kami menghilangkan variabel kamu dari semua persamaan berikutnya. Untuk melakukan ini, tambahkan baris kedua dikalikan dengan (dalam kasus kami, dengan ) ke baris ketiga dari matriks sistem.
Jika ada lebih dari tiga persamaan dalam sistem kami, maka baris kedua harus ditambahkan ke semua persamaan berikutnya, dikalikan dengan rasio koefisien yang sesuai, diambil dengan tanda minus.
Sebagai hasilnya, kita mendapatkan kembali matriks dari sistem yang ekuivalen dengan sistem persamaan linear yang diberikan:
Kami telah memperoleh sistem trapesium persamaan linier yang setara dengan yang diberikan:
Jika jumlah persamaan dan variabel lebih besar dari pada contoh kita, maka proses eliminasi variabel secara berurutan berlanjut hingga matriks sistem menjadi trapesium, seperti pada contoh demo kita.
Kami akan menemukan solusi "dari akhir" - sebaliknya. Untuk ini dari persamaan terakhir kita tentukan z:
.
Substitusikan nilai ini ke persamaan sebelumnya, Temukan kamu:
Dari persamaan pertama Temukan x:
Jawaban: solusi dari sistem persamaan ini - 
.
: dalam hal ini, jawaban yang sama akan diberikan jika sistem memiliki solusi yang unik. Jika sistem memiliki jumlah solusi yang tak terbatas, maka jawabannya juga, dan ini adalah subjek dari bagian kelima dari pelajaran ini.
Selesaikan sendiri sistem persamaan linier menggunakan metode Gauss, lalu lihat solusinya
Di depan kita, sekali lagi, contoh sistem persamaan linier yang konsisten dan pasti, di mana jumlah persamaan sama dengan jumlah yang tidak diketahui. Perbedaan dari contoh demo kami dari algoritma adalah bahwa sudah ada empat persamaan dan empat yang tidak diketahui.
Contoh 4 Memecahkan sistem persamaan linier menggunakan metode Gauss:
Sekarang Anda perlu menggunakan persamaan kedua untuk mengecualikan variabel dari persamaan berikutnya. Mari kita lakukan beberapa pekerjaan persiapan. Untuk membuatnya lebih nyaman dengan rasio koefisien, Anda perlu mendapatkan unit di kolom kedua dari baris kedua. Untuk melakukan ini, kurangi baris ketiga dari baris kedua, dan kalikan baris kedua yang dihasilkan dengan -1.
Mari kita lakukan eliminasi aktual variabel dari persamaan ketiga dan keempat. Untuk melakukannya, tambahkan baris kedua, dikalikan dengan , ke baris ketiga, dan baris kedua, dikalikan dengan , ke baris keempat.
Sekarang, dengan menggunakan persamaan ketiga, kita menghilangkan variabel dari persamaan keempat. Untuk melakukan ini, ke baris keempat, tambahkan baris ketiga, dikalikan dengan . Kami mendapatkan matriks diperluas dari bentuk trapesium.
Kami telah memperoleh sistem persamaan, yang setara dengan sistem yang diberikan:
Oleh karena itu, sistem yang dihasilkan dan diberikan adalah konsisten dan pasti. Kami menemukan solusi akhir "dari akhir." Dari persamaan keempat, kita dapat langsung menyatakan nilai variabel "x keempat":
Kami mengganti nilai ini ke dalam persamaan ketiga dari sistem dan mendapatkan
,
,
Akhirnya, substitusi nilai
Dalam persamaan pertama memberikan
,
di mana kami menemukan "x pertama":
Jawaban: Sistem persamaan ini memiliki solusi yang unik. 
.
Anda juga dapat memeriksa solusi sistem pada kalkulator yang diselesaikan dengan metode Cramer: dalam hal ini, jawaban yang sama akan diberikan jika sistem memiliki solusi unik.
Solusi dengan metode Gauss dari masalah yang diterapkan pada contoh masalah untuk paduan
Sistem persamaan linier digunakan untuk memodelkan objek nyata dari dunia fisik. Mari kita selesaikan salah satu masalah ini - untuk paduan. Tugas serupa - tugas untuk campuran, biaya atau berat jenis barang individu dalam kelompok barang, dan sejenisnya.
Contoh 5 Tiga buah paduan memiliki massa total 150 kg. Paduan pertama mengandung 60% tembaga, yang kedua - 30%, yang ketiga - 10%. Pada saat yang sama, pada paduan kedua dan ketiga diambil bersama-sama, tembaga 28,4 kg lebih rendah dari pada paduan pertama, dan pada paduan ketiga, tembaga 6,2 kg lebih sedikit dari pada paduan kedua. Temukan massa masing-masing bagian dari paduan.
Keputusan. Kami menyusun sistem persamaan linier:
Mengalikan persamaan kedua dan ketiga dengan 10, kita memperoleh sistem persamaan linier yang setara:
Kami menyusun matriks yang diperluas dari sistem:
Perhatian, gerakan langsung. Dengan menambahkan (dalam kasus kami, mengurangi) satu baris, dikalikan dengan angka (kami menerapkannya dua kali), transformasi berikut terjadi dengan matriks sistem yang diperluas:
Jalan lurus sudah berakhir. Kami mendapat matriks diperluas dari bentuk trapesium.
Mari kita gunakan kebalikannya. Kami menemukan solusi dari akhir. Kami melihat itu.
Dari persamaan kedua kita temukan
Dari persamaan ketiga -
Anda juga dapat memeriksa solusi sistem pada kalkulator yang diselesaikan dengan metode Cramer: dalam hal ini, jawaban yang sama akan diberikan jika sistem memiliki solusi unik.
Kesederhanaan metode Gauss dibuktikan oleh fakta bahwa matematikawan Jerman Carl Friedrich Gauss hanya membutuhkan waktu 15 menit untuk menciptakannya. Selain metode namanya, dari karya Gauss, diktum "Kita tidak boleh mengacaukan apa yang tampak luar biasa dan tidak wajar bagi kita dengan yang sama sekali tidak mungkin" adalah semacam instruksi singkat untuk membuat penemuan.
Dalam banyak masalah yang diterapkan, mungkin tidak ada pembatasan ketiga, yaitu persamaan ketiga, maka perlu untuk menyelesaikan sistem dua persamaan dengan tiga yang tidak diketahui dengan metode Gauss, atau, sebaliknya, ada lebih sedikit yang tidak diketahui daripada persamaan. Sekarang kita mulai memecahkan sistem persamaan seperti itu.
Dengan menggunakan metode Gauss, Anda dapat menentukan apakah suatu sistem konsisten atau tidak konsisten n persamaan linier dengan n variabel.
Metode Gauss dan sistem persamaan linier dengan jumlah solusi tak terhingga
Contoh berikutnya adalah sistem persamaan linier yang konsisten tetapi tidak terbatas, yaitu memiliki jumlah solusi yang tidak terbatas.
Setelah melakukan transformasi dalam matriks yang diperluas dari sistem (mengubah baris, mengalikan dan membagi baris dengan angka tertentu, menambahkan satu baris ke baris lainnya), baris formulir
Jika dalam semua persamaan berbentuk
Anggota bebas sama dengan nol, ini berarti bahwa sistem tidak terbatas, yaitu, memiliki jumlah solusi yang tidak terbatas, dan persamaan jenis ini "berlebihan" dan dikeluarkan dari sistem.
Contoh 6
Keputusan. Mari kita buat matriks yang diperluas dari sistem. Kemudian, dengan menggunakan persamaan pertama, kita menghilangkan variabel dari persamaan berikutnya. Untuk melakukan ini, ke baris kedua, ketiga dan keempat, tambahkan baris pertama, dikalikan dengan , masing-masing:
Sekarang mari tambahkan baris kedua ke baris ketiga dan keempat.
Akibatnya, kami tiba di sistem
Dua persamaan terakhir telah menjadi persamaan bentuk . Persamaan ini dipenuhi untuk nilai apa pun yang tidak diketahui dan dapat dibuang.
Untuk memenuhi persamaan kedua, kita dapat memilih nilai arbitrer untuk dan , maka nilai untuk akan ditentukan dengan jelas: 
. Dari persamaan pertama, nilai untuk juga ditemukan secara unik: 
.
Baik sistem yang diberikan dan yang terakhir kompatibel tetapi tidak terbatas, dan rumusnya
untuk sewenang-wenang dan memberi kita semua solusi dari sistem yang diberikan.
Metode Gauss dan sistem persamaan linier yang tidak memiliki solusi
Contoh berikut adalah sistem persamaan linier yang tidak konsisten, yaitu tidak memiliki solusi. Jawaban atas masalah tersebut dirumuskan sebagai berikut: sistem tidak memiliki solusi.
Seperti yang telah disebutkan sehubungan dengan contoh pertama, setelah melakukan transformasi dalam matriks yang diperluas dari sistem, garis-garis bentuk
sesuai dengan persamaan bentuk
Jika di antara mereka ada setidaknya satu persamaan dengan istilah bebas bukan nol (yaitu ), maka sistem persamaan ini tidak konsisten, yaitu tidak memiliki solusi, dan ini melengkapi solusinya.
Contoh 7 Memecahkan sistem persamaan linier menggunakan metode Gauss:
Keputusan. Kami menyusun matriks diperpanjang dari sistem. Menggunakan persamaan pertama, kami mengecualikan variabel dari persamaan berikutnya. Untuk melakukan ini, tambahkan yang pertama dikalikan dengan baris kedua, yang pertama dikalikan dengan baris ketiga, dan yang pertama dikalikan dengan baris keempat.
Sekarang Anda perlu menggunakan persamaan kedua untuk mengecualikan variabel dari persamaan berikutnya. Untuk mendapatkan rasio bilangan bulat dari koefisien, kami menukar baris kedua dan ketiga dari matriks yang diperluas dari sistem.
Untuk mengecualikan dari persamaan ketiga dan keempat, tambahkan baris kedua, dikalikan dengan , ke baris ketiga, dan baris kedua, dikalikan dengan , ke baris keempat.
Sekarang, dengan menggunakan persamaan ketiga, kita menghilangkan variabel dari persamaan keempat. Untuk melakukan ini, ke baris keempat, tambahkan baris ketiga, dikalikan dengan .
Dengan demikian, sistem yang diberikan setara dengan yang berikut:
Sistem yang dihasilkan tidak konsisten, karena persamaan terakhirnya tidak dapat dipenuhi oleh nilai apa pun yang tidak diketahui. Oleh karena itu, sistem ini tidak memiliki solusi.
Metode Gauss bagus untuk memecahkan sistem persamaan aljabar linier (SLAE). Ini memiliki beberapa keunggulan dibandingkan metode lain:
- pertama, tidak perlu menyelidiki sistem persamaan untuk kompatibilitas;
- kedua, metode Gauss dapat digunakan untuk menyelesaikan tidak hanya SLAEs di mana jumlah persamaan bertepatan dengan jumlah variabel yang tidak diketahui dan matriks utama dari sistem adalah nondegenerate, tetapi juga sistem persamaan di mana jumlah persamaan tidak bertepatan dengan jumlah variabel yang tidak diketahui atau determinan matriks utama sama dengan nol;
- ketiga, metode Gauss menghasilkan hasil dengan jumlah operasi komputasi yang relatif kecil.
Review singkat artikel.
Pertama, kami memberikan definisi yang diperlukan dan memperkenalkan beberapa notasi.
Selanjutnya dijelaskan algoritma metode Gauss untuk kasus yang paling sederhana yaitu untuk sistem persamaan aljabar linier, banyaknya persamaan yang berimpit dengan banyaknya variabel yang tidak diketahui dan determinan matriks utama sistem tersebut tidak sama dengan nol. Saat memecahkan sistem persamaan seperti itu, esensi metode Gauss paling jelas terlihat, yang terdiri dari penghapusan variabel yang tidak diketahui secara berurutan. Oleh karena itu, metode Gaussian disebut juga metode eliminasi berurutan dari yang tidak diketahui. Mari kita tunjukkan solusi terperinci dari beberapa contoh.
Sebagai kesimpulan, kami mempertimbangkan solusi Gaussian dari sistem persamaan aljabar linier yang matriks utamanya adalah persegi panjang atau degenerasi. Solusi dari sistem tersebut memiliki beberapa fitur, yang akan kami analisis secara rinci menggunakan contoh.
Navigasi halaman.
Definisi dan notasi dasar.
Pertimbangkan sistem persamaan linier p dengan n tidak diketahui (p bisa sama dengan n ):
Dimana variabel yang tidak diketahui, adalah bilangan (nyata atau kompleks), adalah anggota bebas.
Jika sebuah 
, maka sistem persamaan aljabar linier disebut homogen, sebaliknya - heterogen.
Himpunan nilai variabel yang tidak diketahui, di mana semua persamaan sistem berubah menjadi identitas, disebut keputusan SLAU.
Jika setidaknya ada satu solusi untuk sistem persamaan aljabar linier, maka itu disebut persendian, sebaliknya - tidak cocok.
Jika SLAE memiliki solusi unik, maka itu disebut yakin. Jika terdapat lebih dari satu solusi, maka sistem tersebut disebut tidak pasti.
Sistem tersebut dikatakan ditulis dalam bentuk koordinat jika memiliki bentuk
.
Sistem ini di bentuk matriks catatan memiliki bentuk , di mana 
- matriks utama SLAE, - matriks kolom variabel yang tidak diketahui, - matriks anggota bebas.
Jika kita menambahkan ke matriks A sebagai (n + 1)-kolom kolom matriks suku bebas, maka kita mendapatkan apa yang disebut matriks diperluas sistem persamaan linier. Biasanya, matriks yang diperbesar dilambangkan dengan huruf T, dan kolom anggota bebas dipisahkan oleh garis vertikal dari kolom lainnya, yaitu, 
Matriks persegi A disebut merosot jika determinannya adalah nol. Jika , maka matriks A disebut tidak merosot.
Poin berikut harus diperhatikan.
Jika tindakan berikut dilakukan dengan sistem persamaan aljabar linier:
- tukar dua persamaan,
- kalikan kedua ruas persamaan apa pun dengan bilangan real (atau kompleks) sembarang dan bukan nol k,
- ke kedua bagian persamaan apa pun, tambahkan bagian-bagian yang sesuai dari persamaan lainnya, dikalikan dengan angka k yang berubah-ubah,
kemudian kita mendapatkan sistem ekuivalen yang memiliki solusi yang sama (atau, seperti yang asli, tidak memiliki solusi).
Untuk matriks yang diperluas dari sistem persamaan aljabar linier, tindakan ini akan berarti transformasi dasar dengan baris:
- menukar dua senar
- perkalian semua elemen dari setiap baris matriks T dengan bilangan bukan nol k ,
- menambahkan elemen dari setiap baris matriks elemen yang sesuai dari baris lain, dikalikan dengan angka k .
Sekarang kita dapat melanjutkan ke deskripsi metode Gauss.
Menyelesaikan sistem persamaan aljabar linier, di mana jumlah persamaan sama dengan jumlah yang tidak diketahui dan matriks utama dari sistem adalah nondegenerate, dengan metode Gauss.
Apa yang akan kita lakukan di sekolah jika kita diberi tugas untuk menemukan solusi sistem persamaan? 
.
Beberapa akan melakukannya.
Perhatikan bahwa dengan menambahkan ruas kiri persamaan pertama ke ruas kiri persamaan kedua, dan ruas kanan ke ruas kanan, Anda dapat menyingkirkan variabel yang tidak diketahui x 2 dan x 3 dan segera menemukan x 1: 
Kami mengganti nilai yang ditemukan x 1 \u003d 1 ke dalam persamaan pertama dan ketiga dari sistem: 
Jika kita mengalikan kedua bagian persamaan ketiga dari sistem dengan -1 dan menambahkannya ke bagian yang sesuai dari persamaan pertama, maka kita menyingkirkan variabel yang tidak diketahui x 3 dan dapat menemukan x 2: 
Kami mengganti nilai yang diperoleh x 2 \u003d 2 ke dalam persamaan ketiga dan menemukan variabel yang tidak diketahui yang tersisa x 3: 
Orang lain akan melakukan sebaliknya.
Mari kita selesaikan persamaan pertama sistem sehubungan dengan variabel yang tidak diketahui x 1 dan substitusikan ekspresi yang dihasilkan ke dalam persamaan kedua dan ketiga dari sistem untuk mengecualikan variabel ini dari mereka: 
Sekarang mari selesaikan persamaan kedua sistem terhadap x 2 dan substitusikan hasil yang diperoleh ke persamaan ketiga untuk mengecualikan variabel x 2 yang tidak diketahui darinya: 
Dapat dilihat dari persamaan ketiga sistem bahwa x 3 =3. Dari persamaan kedua kita temukan 
, dan dari persamaan pertama kita peroleh .
Solusi yang familiar, bukan?
Hal yang paling menarik di sini adalah bahwa metode solusi kedua pada dasarnya adalah metode eliminasi sekuensial yang tidak diketahui, yaitu metode Gauss. Ketika kami menyatakan variabel yang tidak diketahui (pertama x 1 , berikutnya x 2 ) dan mensubstitusikannya ke dalam sisa persamaan sistem, dengan demikian kami mengecualikannya. Kami melakukan pengecualian sampai saat persamaan terakhir hanya menyisakan satu variabel yang tidak diketahui. Proses eliminasi berurutan dari yang tidak diketahui disebut metode Gauss langsung. Setelah langkah maju selesai, kita memiliki kesempatan untuk menghitung variabel yang tidak diketahui dalam persamaan terakhir. Dengan bantuannya, dari persamaan kedua dari belakang, kami menemukan variabel yang tidak diketahui berikutnya, dan seterusnya. Proses berturut-turut menemukan variabel yang tidak diketahui sambil berpindah dari persamaan terakhir ke persamaan pertama disebut metode Gauss terbalik.
Perlu dicatat bahwa ketika kita menyatakan x 1 dalam bentuk x 2 dan x 3 dalam persamaan pertama, dan kemudian mensubstitusi ekspresi yang dihasilkan ke dalam persamaan kedua dan ketiga, tindakan berikut menghasilkan hasil yang sama:
Memang, prosedur seperti itu juga memungkinkan kita untuk mengecualikan variabel yang tidak diketahui x 1 dari persamaan kedua dan ketiga dari sistem: 
Nuansa dengan penghapusan variabel yang tidak diketahui dengan metode Gauss muncul ketika persamaan sistem tidak mengandung beberapa variabel.
Misalnya, dalam SLAU 
pada persamaan pertama, tidak ada variabel x 1 yang tidak diketahui (dengan kata lain, koefisien di depannya adalah nol). Oleh karena itu, kita tidak dapat menyelesaikan persamaan pertama sistem terhadap x 1 untuk mengecualikan variabel yang tidak diketahui ini dari sisa persamaan. Jalan keluar dari situasi ini adalah dengan menukar persamaan sistem. Karena kita sedang mempertimbangkan sistem persamaan linier yang determinan matriks utamanya berbeda dari nol, selalu ada persamaan di mana variabel yang kita butuhkan ada, dan kita dapat mengatur ulang persamaan ini ke posisi yang kita butuhkan. Sebagai contoh kita, cukup menukar persamaan pertama dan kedua dari sistem 
, maka Anda dapat menyelesaikan persamaan pertama untuk x 1 dan mengecualikannya dari sisa persamaan sistem (walaupun x 1 sudah tidak ada dalam persamaan kedua).
Kami harap Anda mendapatkan intinya.
Mari kita uraikan algoritma metode Gauss.
Mari kita selesaikan sistem n persamaan aljabar linier dengan n variabel yang tidak diketahui bentuknya 
, dan biarkan determinan matriks utamanya bukan nol.
Kami akan mengasumsikan bahwa , karena kami selalu dapat mencapai ini dengan mengatur ulang persamaan sistem. Kami mengecualikan variabel yang tidak diketahui x 1 dari semua persamaan sistem, mulai dari yang kedua. Untuk melakukannya, tambahkan persamaan pertama dikalikan dengan persamaan kedua sistem, tambahkan persamaan pertama dikalikan dengan persamaan ketiga, dan seterusnya, tambahkan persamaan pertama dikalikan dengan persamaan ke-n. Sistem persamaan setelah transformasi tersebut akan berbentuk 
dimana 
.
Kita akan mendapatkan hasil yang sama jika kita menyatakan x 1 dalam bentuk variabel lain yang tidak diketahui dalam persamaan pertama sistem dan mensubstitusi ekspresi yang dihasilkan ke dalam semua persamaan lainnya. Dengan demikian, variabel x 1 dikeluarkan dari semua persamaan, mulai dari persamaan kedua.
Selanjutnya, kami bertindak serupa, tetapi hanya dengan bagian dari sistem yang dihasilkan, yang ditandai pada gambar 
Untuk melakukannya, tambahkan persamaan kedua dikalikan dengan persamaan ketiga sistem, tambahkan persamaan kedua dikalikan dengan persamaan keempat, dan seterusnya, tambahkan persamaan kedua dikalikan dengan persamaan ke-n. Sistem persamaan setelah transformasi tersebut akan berbentuk 
dimana 
. Dengan demikian, variabel x 2 dikeluarkan dari semua persamaan, mulai dari persamaan ketiga.
Selanjutnya, kita lanjutkan ke eliminasi x 3 yang tidak diketahui, sambil bertindak serupa dengan bagian sistem yang ditandai pada gambar 
Jadi kita lanjutkan perjalanan langsung dari metode Gauss sampai sistem mengambil bentuk 
Mulai saat ini, kita mulai kebalikan dari metode Gauss: kita menghitung x n dari persamaan terakhir sebagai , menggunakan nilai yang diperoleh dari x n kita menemukan x n-1 dari persamaan kedua dari belakang, dan seterusnya, kita menemukan x 1 dari persamaan pertama.
Mari kita menganalisis algoritma dengan sebuah contoh.
Contoh.
metode Gauss.
Keputusan.
Koefisien a 11 berbeda dari nol, jadi mari kita lanjutkan ke metode Gauss langsung, yaitu menghilangkan variabel yang tidak diketahui x 1 dari semua persamaan sistem, kecuali yang pertama. Untuk melakukan ini, ke bagian kiri dan kanan persamaan kedua, ketiga dan keempat, tambahkan bagian kiri dan kanan persamaan pertama, dikalikan dengan , masing-masing, 
dan : 
Variabel yang tidak diketahui x 1 telah dihilangkan, mari beralih ke pengecualian x 2 . Ke bagian kiri dan kanan persamaan ketiga dan keempat dari sistem, kami menambahkan bagian kiri dan kanan persamaan kedua, dikalikan dengan 
dan 
:
Untuk menyelesaikan jalur maju metode Gauss, kita perlu mengecualikan variabel yang tidak diketahui x 3 dari persamaan terakhir sistem. Tambahkan ke ruas kiri dan kanan persamaan keempat, masing-masing, ruas kiri dan kanan persamaan ketiga, dikalikan 
:
Anda dapat memulai kebalikan dari metode Gauss.
Dari persamaan terakhir kita memiliki 
,
dari persamaan ketiga kita peroleh ,
dari yang kedua
dari yang pertama.
Untuk memeriksa, Anda dapat mengganti nilai yang diperoleh dari variabel yang tidak diketahui ke dalam sistem persamaan asli. Semua persamaan berubah menjadi identitas, yang berarti bahwa solusi dengan metode Gauss ditemukan dengan benar.
Menjawab:
Dan sekarang kita akan memberikan solusi dari contoh yang sama dengan metode Gauss dalam bentuk matriks.
Contoh.
Temukan solusi untuk sistem persamaan metode Gauss.
Keputusan.
Matriks yang diperluas dari sistem memiliki bentuk 
. Di atas setiap kolom, variabel yang tidak diketahui ditulis, yang sesuai dengan elemen matriks.
Kursus langsung dari metode Gauss di sini melibatkan membawa matriks diperpanjang dari sistem ke bentuk trapesium menggunakan transformasi dasar. Proses ini mirip dengan pengecualian variabel yang tidak diketahui yang kami lakukan dengan sistem dalam bentuk koordinat. Sekarang Anda akan yakin akan hal itu.
Mari kita ubah matriks sehingga semua elemen di kolom pertama, mulai dari yang kedua, menjadi nol. Untuk melakukan ini, ke elemen baris kedua, ketiga dan keempat, tambahkan elemen yang sesuai dari baris pertama dikalikan dengan , dan pada masing-masing: 
Selanjutnya, kami mengubah matriks yang dihasilkan sehingga di kolom kedua, semua elemen, mulai dari yang ketiga, menjadi nol. Ini akan sesuai dengan mengecualikan variabel yang tidak diketahui x 2 . Untuk melakukan ini, tambahkan ke elemen baris ketiga dan keempat elemen yang sesuai dari baris pertama matriks, dikalikan dengan dan :
Tetap mengecualikan variabel yang tidak diketahui x 3 dari persamaan terakhir sistem. Untuk melakukan ini, ke elemen baris terakhir dari matriks yang dihasilkan, kami menambahkan elemen yang sesuai dari baris kedua dari belakang, dikalikan dengan :
Perlu dicatat bahwa matriks ini sesuai dengan sistem persamaan linier 
yang diperoleh lebih awal setelah direct move.
Saatnya untuk kembali. Dalam bentuk notasi matriks, kebalikan dari metode Gauss melibatkan transformasi matriks yang dihasilkan sedemikian rupa sehingga matriks yang ditandai pada gambar 
menjadi diagonal, yaitu, mengambil bentuk 
di mana beberapa angka.
Transformasi ini mirip dengan metode Gauss, tetapi tidak dilakukan dari baris pertama ke baris terakhir, tetapi dari baris terakhir ke baris pertama.
Tambahkan ke elemen baris ketiga, kedua dan pertama elemen yang sesuai dari baris terakhir, dikalikan dengan 
, terus menerus 
masing-masing: 
Sekarang mari kita tambahkan ke elemen baris kedua dan pertama elemen yang sesuai dari baris ketiga, masing-masing dikalikan dengan dan dengan: 
Pada langkah terakhir dari gerakan mundur metode Gaussian, kami menambahkan elemen yang sesuai dari baris kedua, dikalikan dengan , ke elemen baris pertama: 
Matriks yang dihasilkan sesuai dengan sistem persamaan 
, dari mana kita menemukan variabel yang tidak diketahui.
Menjawab:
CATATAN.
Ketika menggunakan metode Gauss untuk menyelesaikan sistem persamaan aljabar linier, perhitungan perkiraan harus dihindari, karena ini dapat menyebabkan hasil yang benar-benar salah. Kami menyarankan Anda untuk tidak membulatkan desimal. Lebih baik pindah dari pecahan desimal ke pecahan biasa.
Contoh.
Memecahkan Sistem Tiga Persamaan dengan Metode Gaussian 
.
Keputusan.
Perhatikan bahwa dalam contoh ini, variabel yang tidak diketahui memiliki penunjukan yang berbeda (bukan x 1 , x 2 , x 3 , tetapi x, y, z ). Mari kita beralih ke pecahan biasa: 
Hilangkan x yang tidak diketahui dari persamaan kedua dan ketiga dari sistem: 
Dalam sistem yang dihasilkan, tidak ada variabel y yang tidak diketahui dalam persamaan kedua, dan y ada dalam persamaan ketiga, oleh karena itu, kami menukar persamaan kedua dan ketiga: 
Pada titik ini, jalur langsung dari metode Gauss telah berakhir (Anda tidak perlu mengecualikan y dari persamaan ketiga, karena variabel yang tidak diketahui ini tidak ada lagi).
Ayo kembali.
Dari persamaan terakhir kita menemukan 
,
dari kedua dari belakang 
dari persamaan pertama yang kita miliki 
Menjawab:
X=10, y=5, z=-20.
Penyelesaian sistem persamaan aljabar linier, di mana jumlah persamaan tidak bertepatan dengan jumlah yang tidak diketahui, atau matriks utama dari sistem didegenerasi, dengan metode Gauss.
Sistem persamaan yang matriks utamanya adalah persegi panjang atau degenerasi persegi mungkin tidak memiliki solusi, mungkin memiliki solusi tunggal, atau mungkin memiliki jumlah solusi yang tidak terbatas.
Sekarang kita akan memahami bagaimana metode Gauss memungkinkan kita untuk menetapkan kompatibilitas atau inkonsistensi sistem persamaan linier, dan dalam kasus kompatibilitasnya, tentukan semua solusi (atau satu solusi tunggal).
Pada prinsipnya, proses menghilangkan variabel yang tidak diketahui dalam kasus SLAE tersebut tetap sama. Namun, ada baiknya memikirkan secara rinci beberapa situasi yang mungkin muncul.
Mari kita beralih ke langkah yang paling penting.
Jadi, mari kita asumsikan bahwa sistem persamaan aljabar linier setelah penyelesaian lari ke depan dari metode Gauss mengambil bentuk 
dan tidak ada persamaan yang direduksi menjadi (dalam hal ini, kami akan menyimpulkan bahwa sistem tidak konsisten). Sebuah pertanyaan logis muncul: "Apa yang harus dilakukan selanjutnya"?
Kami menulis variabel yang tidak diketahui yang berada di tempat pertama dari semua persamaan sistem yang dihasilkan: 
Dalam contoh kita, ini adalah x 1 , x 4 dan x 5 . Di bagian kiri persamaan sistem, kami meninggalkan hanya suku-suku yang berisi variabel yang tidak diketahui yang ditulis x 1, x 4 dan x 5, kami mentransfer suku yang tersisa ke sisi kanan persamaan dengan tanda yang berlawanan: 
Mari kita berikan nilai arbitrer ke variabel yang tidak diketahui yang berada di sisi kanan persamaan, di mana 
- nomor arbitrer: 
Setelah itu, angka-angka ditemukan di bagian kanan semua persamaan SLAE kami dan kami dapat melanjutkan ke kebalikan dari metode Gauss.
Dari persamaan terakhir dari sistem yang kita miliki , dari persamaan kedua dari belakang kita temukan , dari persamaan pertama kita peroleh 
Solusi dari sistem persamaan adalah himpunan nilai variabel yang tidak diketahui 
Memberi angka nilai yang berbeda, kita akan mendapatkan solusi yang berbeda untuk sistem persamaan. Artinya, sistem persamaan kami memiliki banyak solusi.
Menjawab:
di mana - angka sewenang-wenang.
Untuk mengkonsolidasikan materi, kami akan menganalisis secara rinci solusi dari beberapa contoh lagi.
Contoh.
Memecahkan Sistem Homogen Persamaan Aljabar Linier 
metode Gauss.
Keputusan.
Mari kita keluarkan variabel x yang tidak diketahui dari persamaan kedua dan ketiga dari sistem. Untuk melakukannya, tambahkan masing-masing bagian kiri dan kanan persamaan pertama ke bagian kiri dan kanan persamaan kedua, dikalikan dengan , dan ke bagian kiri dan kanan persamaan ketiga, bagian kiri dan kanan persamaan persamaan pertama, dikalikan dengan : 
Sekarang kami mengecualikan y dari persamaan ketiga dari sistem persamaan yang dihasilkan: 
SLAE yang dihasilkan setara dengan sistem 
.
Kami hanya meninggalkan istilah yang berisi variabel yang tidak diketahui x dan y di sisi kiri persamaan sistem, dan mentransfer istilah dengan variabel yang tidak diketahui z ke sisi kanan: 
