Dengan permukaan orde 2, siswa paling sering bertemu di tahun pertama. Pada awalnya, tugas tentang topik ini mungkin tampak sederhana, tetapi ketika Anda mempelajari matematika yang lebih tinggi dan memperdalam sisi ilmiah, Anda akhirnya dapat berhenti mengarahkan diri Anda pada apa yang sedang terjadi. Untuk mencegah hal ini terjadi, perlu tidak hanya untuk menghafal, tetapi untuk memahami bagaimana permukaan ini atau itu diperoleh, bagaimana perubahan koefisien mempengaruhinya dan lokasinya relatif terhadap sistem koordinat asli, dan bagaimana menemukan sistem baru (satu di mana pusatnya bertepatan dengan koordinat asal, tetapi sejajar dengan salah satu sumbu koordinat). Mari kita mulai dari awal.

Definisi

Permukaan orde ke-2 adalah GMT, koordinatnya memenuhi persamaan umum dari bentuk berikut:

Jelas bahwa setiap titik milik permukaan harus memiliki tiga koordinat dalam beberapa dasar yang ditentukan. Meskipun dalam beberapa kasus tempat kedudukan titik dapat merosot, misalnya, menjadi bidang. Ini hanya berarti bahwa salah satu koordinat adalah konstan dan sama dengan nol di seluruh rentang nilai yang dapat diterima.

Bentuk penuh dari persamaan yang disebutkan di atas terlihat seperti ini:

A 11 x 2 +A 22 y 2 +A 33 z 2 +2A 12 xy+2A 23 yz+2A 13 xz+2A 14 x+2A 24 y+2A 34 z+A 44 =0.

A nm - beberapa konstanta, x, y, z - variabel yang sesuai dengan koordinat affine dari beberapa titik. Pada saat yang sama, setidaknya salah satu faktor konstan tidak boleh sama dengan nol, yaitu, tidak ada titik yang sesuai dengan persamaan.

Dalam sebagian besar contoh, banyak faktor numerik masih identik sama dengan nol, dan persamaannya sangat disederhanakan. Dalam praktiknya, menentukan apakah suatu titik termasuk dalam suatu permukaan tidaklah sulit (cukup dengan mengganti koordinatnya ke dalam persamaan dan memeriksa apakah identitasnya diamati). Poin kunci dalam pekerjaan tersebut adalah pengurangan yang terakhir ke bentuk kanonik.

Persamaan yang ditulis di atas mendefinisikan setiap (semua tercantum di bawah) permukaan orde ke-2. Kami akan mempertimbangkan contoh di bawah ini.

Jenis permukaan orde ke-2

Persamaan permukaan orde kedua hanya berbeda dalam nilai koefisien A nm . Dari pandangan umum, untuk nilai konstanta tertentu, dapat diperoleh berbagai permukaan, diklasifikasikan sebagai berikut:

1. silinder.
2. Tipe elips.
3. tipe hiperbolik.
4. Tipe kerucut.
5. tipe parabola.
6. Pesawat.

Masing-masing jenis yang terdaftar memiliki bentuk alami dan imajiner: dalam bentuk imajiner, tempat kedudukan titik-titik nyata merosot menjadi sosok yang lebih sederhana, atau tidak ada sama sekali.

silinder

Ini adalah tipe yang paling sederhana, karena kurva yang relatif kompleks hanya terletak di pangkalan, bertindak sebagai panduan. Generator adalah garis lurus yang tegak lurus terhadap bidang di mana alasnya berada.

Grafik menunjukkan silinder melingkar, kasus khusus dari silinder elips. Di bidang XY, proyeksinya akan menjadi elips (dalam kasus kami, lingkaran) - panduan, dan di XZ - persegi panjang - karena generator sejajar dengan sumbu Z. Untuk mendapatkannya dari persamaan umum, Anda perlu untuk memberikan koefisien nilai-nilai berikut:

Alih-alih sebutan biasa x, y, z, x dengan nomor seri digunakan - tidak masalah.

Faktanya, 1/a 2 dan konstanta lain yang ditunjukkan di sini adalah koefisien yang sama yang ditunjukkan dalam persamaan umum, tetapi biasanya ditulis dalam bentuk ini - ini adalah representasi kanonik. Berikut ini, hanya notasi seperti itu yang akan digunakan.

Ini adalah bagaimana silinder hiperbolik didefinisikan. Skemanya sama - hiperbola akan menjadi panduan.

Silinder parabola didefinisikan dengan cara yang sedikit berbeda: bentuk kanoniknya mencakup koefisien p, yang disebut parameter. Sebenarnya, koefisiennya sama dengan q=2p, tetapi biasanya dibagi menjadi dua faktor yang disajikan.

Ada jenis silinder lain: imajiner. Tidak ada titik nyata milik silinder seperti itu. Hal ini dijelaskan oleh persamaan silinder elips, tapi bukannya satu itu adalah -1.

Tipe elips

Ellipsoid dapat diregangkan di sepanjang salah satu sumbu (di mana itu tergantung pada nilai konstanta a, b, c, yang ditunjukkan di atas; jelas bahwa koefisien yang lebih besar akan sesuai dengan sumbu yang lebih besar).

Ada juga ellipsoid imajiner - asalkan jumlah koordinat dikalikan dengan koefisien adalah -1:

Hiperboloid

Ketika minus muncul di salah satu konstanta, persamaan ellipsoid berubah menjadi persamaan hiperboloid satu lembar. Harus dipahami bahwa minus ini tidak harus terletak di depan koordinat x 3! Ini hanya menentukan sumbu mana yang akan menjadi sumbu rotasi hiperboloid (atau sejajar dengannya, karena ketika istilah tambahan muncul di bujur sangkar (misalnya, (x-2) 2), pusat gambar bergeser, sebagai akibatnya, permukaan bergerak sejajar dengan sumbu koordinat). Ini berlaku untuk semua permukaan orde ke-2.

Selain itu, kita harus memahami bahwa persamaan disajikan dalam bentuk kanonik dan dapat diubah dengan memvariasikan konstanta (dengan tanda dipertahankan!); sedangkan bentuknya (hiperboloid, kerucut, dan sebagainya) akan tetap sama.

Persamaan seperti itu sudah diberikan oleh hiperboloid dua lembar.

permukaan kerucut

Tidak ada satuan dalam persamaan kerucut - persamaan dengan nol.

Hanya permukaan kerucut yang dibatasi yang disebut kerucut. Gambar di bawah ini menunjukkan bahwa, pada kenyataannya, akan ada dua yang disebut kerucut pada grafik.

Catatan penting: dalam semua persamaan kanonik yang dipertimbangkan, konstanta diasumsikan positif secara default. Jika tidak, tanda tersebut dapat mempengaruhi grafik akhir.

Bidang koordinat menjadi bidang simetri kerucut, pusat simetri terletak di titik asal.

Dalam persamaan kerucut imajiner, hanya ada plus; ia memiliki satu titik nyata tunggal.

Paraboloid

Permukaan orde ke-2 dalam ruang dapat mengambil bentuk yang berbeda bahkan dengan persamaan yang serupa. Misalnya, ada dua jenis paraboloid.

x 2 / a 2 + y 2 / b 2 \u003d 2z

Sebuah paraboloid elips, ketika sumbu Z tegak lurus terhadap gambar, akan diproyeksikan menjadi elips.

x 2 / a 2 -y 2 / b 2 \u003d 2z

Paraboloid hiperbolik: Bagian dengan bidang yang sejajar dengan ZY akan menghasilkan parabola, dan bagian dengan bidang yang sejajar dengan XY akan menghasilkan hiperbola.

Pesawat berpotongan

Ada kasus-kasus ketika permukaan orde ke-2 merosot menjadi bidang. Pesawat-pesawat ini dapat diatur dengan berbagai cara.

Pertama-tama perhatikan bidang-bidang yang berpotongan:

x 2 / a 2 -y 2 / b 2 \u003d 0

Modifikasi persamaan kanonik ini menghasilkan hanya dua bidang yang berpotongan (imajiner!); semua titik nyata berada pada sumbu koordinat yang tidak ada dalam persamaan (dalam kanonik - sumbu Z).

Pesawat paralel

Dengan adanya hanya satu koordinat, permukaan orde ke-2 berdegenerasi menjadi sepasang bidang paralel. Ingat, variabel lain dapat menggantikan Y; maka akan diperoleh bidang-bidang yang sejajar dengan sumbu lainnya.

Dalam hal ini, mereka menjadi imajiner.

Pesawat Kebetulan

Dengan persamaan sederhana seperti itu, sepasang bidang berdegenerasi menjadi satu - mereka bertepatan.

Jangan lupa bahwa dalam kasus basis tiga dimensi, persamaan di atas tidak mendefinisikan garis y=0! Itu tidak memiliki dua variabel lain, tetapi itu hanya berarti bahwa nilainya konstan dan sama dengan nol.

Bangunan

Salah satu tugas yang paling sulit bagi siswa adalah konstruksi permukaan orde 2. Bahkan lebih sulit untuk berpindah dari satu sistem koordinat ke sistem koordinat lainnya, mengingat sudut kemiringan kurva relatif terhadap sumbu dan offset pusat. Mari kita ulangi bagaimana menentukan secara berurutan tampilan gambar di masa depan secara analitis.

Untuk membangun permukaan orde ke-2, Anda perlu:

• bawa persamaan ke bentuk kanonik;
• menentukan jenis permukaan yang diteliti;
• membangun berdasarkan nilai-nilai koefisien.

Semua jenis yang dipertimbangkan tercantum di bawah ini:

Untuk mengkonsolidasikan, kami menjelaskan secara rinci satu contoh jenis tugas ini.

Contoh

Katakanlah kita memiliki persamaan:

3(x 2 -2x+1)+6y 2 +2z 2 +60y+144=0

Mari kita bawa ke bentuk kanonik. Mari kita pilih kotak penuh, yaitu, kita mengatur istilah yang tersedia sedemikian rupa sehingga mereka adalah perluasan kuadrat dari jumlah atau perbedaan. Contoh: jika (a+1) 2 =a 2 +2a+1, maka a 2 +2a+1=(a+1) 2 . Kami akan melakukan operasi kedua. Dalam hal ini, tidak perlu membuka tanda kurung, karena ini hanya akan memperumit perhitungan, tetapi perlu untuk menghilangkan faktor umum 6 (dalam tanda kurung dengan kuadrat penuh dari Y):

3(x-1) 2 +6(y+5) 2 +2z 2 =6

Variabel z terjadi dalam kasus ini hanya sekali - Anda dapat membiarkannya sendiri untuk sementara waktu.

Kami menganalisis persamaan pada tahap ini: semua yang tidak diketahui didahului oleh tanda tambah; ketika dibagi enam, satu tetap. Oleh karena itu, kami memiliki persamaan yang mendefinisikan ellipsoid.

Perhatikan bahwa 144 telah difaktorkan menjadi 150-6, setelah itu -6 dipindahkan ke kanan. Mengapa itu harus dilakukan dengan cara ini? Jelas bahwa pembagi terbesar dalam contoh ini adalah 6, oleh karena itu, agar unit tetap di sebelah kanan setelah membaginya, perlu untuk "menunda" tepat 6 dari 144 (keberadaan anggota bebas, a konstanta tidak dikalikan dengan yang tidak diketahui).

Bagi semuanya dengan enam dan dapatkan persamaan kanonik dari ellipsoid:

(x-1) 2 /2+(y+5) 2 /1+z 2 /3=1

Dalam klasifikasi permukaan orde ke-2 yang digunakan sebelumnya, kasus tertentu dipertimbangkan ketika pusat gambar berada di titik asal koordinat. Dalam contoh ini, itu diimbangi.

Kami berasumsi bahwa setiap braket dengan yang tidak diketahui adalah variabel baru. Yaitu: a=x-1, b=y+5, c=z. Dalam koordinat baru, pusat ellipsoid berimpit dengan titik (0,0,0), oleh karena itu, a=b=c=0, dari mana: x=1, y=-5, z=0. Pada koordinat awal, pusat gambar terletak di titik (1,-5,0).

Elipsoid akan diperoleh dari dua elips: yang pertama di bidang XY dan yang kedua di bidang XZ (atau YZ - tidak masalah). Koefisien yang digunakan untuk membagi variabel dikuadratkan dalam persamaan kanonik. Oleh karena itu, pada contoh di atas, akan lebih tepat untuk membagi dengan akar dua, satu dan akar tiga.

Sumbu minor dari elips pertama, sejajar dengan sumbu Y, adalah dua. Sumbu mayor yang sejajar dengan sumbu x adalah dua akar dari dua. Sumbu minor elips kedua, sejajar dengan sumbu Y, tetap sama - sama dengan dua. Dan sumbu utama, sejajar dengan sumbu Z, sama dengan dua akar tiga.

Menggunakan data yang diperoleh dari persamaan asli dengan mengubah ke bentuk kanonik, kita dapat menggambar ellipsoid.

Menyimpulkan

Topik yang dibahas dalam artikel ini cukup luas, tetapi, pada kenyataannya, seperti yang Anda lihat sekarang, tidak terlalu rumit. Perkembangannya, pada kenyataannya, berakhir pada saat Anda mengingat nama dan persamaan permukaan (dan, tentu saja, bagaimana tampilannya). Dalam contoh di atas, kami mempertimbangkan setiap langkah secara rinci, tetapi membawa persamaan ke bentuk kanonik membutuhkan pengetahuan minimal tentang matematika yang lebih tinggi dan tidak akan menimbulkan kesulitan bagi siswa.

Analisis jadwal masa depan menurut kesetaraan yang ada sudah merupakan tugas yang lebih sulit. Tetapi untuk solusi yang berhasil, cukup memahami bagaimana kurva orde kedua yang sesuai dibangun - elips, parabola, dan lainnya.

Kasus degenerasi adalah bagian yang lebih sederhana. Karena tidak adanya beberapa variabel, tidak hanya perhitungan yang disederhanakan, seperti yang disebutkan sebelumnya, tetapi juga konstruksi itu sendiri.

Segera setelah Anda dapat dengan percaya diri memberi nama semua jenis permukaan, memvariasikan konstanta, mengubah grafik menjadi satu atau lain gambar, topik akan dikuasai.

Sukses dalam belajar!

Informasi teoritis dasar

Permukaan silinder atau hanya silinder disebut permukaan apa pun yang dapat diperoleh dengan menggerakkan garis lurus, bergerak sejajar dengan beberapa vektor dan sepanjang waktu memotong garis tertentu, yang disebut memandu. Garis yang bergerak disebut generasi.

Permukaan meruncing atau hanya kerucut disebut permukaan yang dibentuk oleh gerak garis lurus melalui suatu titik tertentu, disebut kerucut atas, dan bergerak sepanjang kurva ini. Garis yang bergerak disebut generatrix kerucut, dan kurva di mana generatrix meluncur, - memandu.

Rotasi suatu bangun di sekitar garis lurus tertentu (sumbu rotasi) adalah gerakan di mana setiap titik pada gambar
menggambarkan sebuah lingkaran yang berpusat pada sumbu rotasi, terletak pada bidang yang tegak lurus terhadap sumbu rotasi.

Permukaan yang dibentuk oleh rotasi garis terhadap sumbu disebut permukaan revolusi.

Persamaan kanonik dari permukaan orde kedua

Permukaan orde kedua diberikan dalam koordinat persegi panjang dengan persamaan derajat kedua

(7.1)

Dengan mentransformasikan koordinat (dengan memutar sumbu dan translasi paralel), persamaan (7.1) direduksi menjadi bentuk kanonik. Dalam kasus ketika tidak ada istilah dengan produk koordinat dalam persamaan (7.1), persamaan ini adalah pemilihan kuadrat penuh dengan ,,dan terjemahan paralel dari sumbu koordinat direduksi menjadi bentuk kanonik dengan cara yang sama seperti yang dilakukan untuk garis orde kedua (lihat Studi persamaan umum garis orde kedua). Permukaan orde kedua dan persamaan kanoniknya disajikan pada Tabel. 3.

Bentuk dan susunan permukaan orde kedua biasanya dipelajari dengan metode penampang paralel. Inti dari metode ini terletak pada kenyataan bahwa permukaan berpotongan oleh beberapa bidang yang sejajar dengan bidang koordinat. Bentuk dan parameter bagian yang diperoleh memungkinkan untuk menentukan bentuk permukaan itu sendiri.

Meja 3

hiperboloid: rongga tunggal, bikameral,
Paraboloid: berbentuk bulat panjang, hiperbolis,

berbentuk bulat panjang, hiperbolis, parabola,

Contoh pemecahan masalah

Soal 7.1. Tulis persamaan untuk bola yang jari-jarinya adalah , dan pusatnya berada di titik
.

Keputusan. Bola adalah himpunan titik-titik yang jaraknya sama dari pusat. Oleh karena itu, dilambangkan dengan
koordinat titik sewenang-wenang
bidang dan mengekspresikan melalui mereka kesetaraan
, akan memiliki

Dengan mengkuadratkan kedua sisi persamaan, kita memperoleh persamaan kanonik bola yang diinginkan:

Jika pusat bola ditempatkan di titik asal, maka persamaan bola memiliki bentuk yang lebih sederhana:

.

Menjawab.
.

Soal 7.2. Tulis persamaan untuk permukaan kerucut dengan titik di titik asal dan pemandu

(7.1)

Keputusan. Persamaan kanonik generator melalui suatu titik
dan titik
panduan, memiliki bentuk

(7.2)

Mengecualikan ,,dari persamaan (7.1) dan (7.2). Untuk melakukan ini, dalam persamaan (7.2) kami mengganti pada dan tentukan dan :

;

Mengganti nilai-nilai ini dan ke dalam persamaan pertama sistem (7.1), kita akan memiliki:

atau

Persamaan yang dihasilkan mendefinisikan kerucut orde kedua (lihat Tabel 3)

Soal 7.3.

Keputusan. Permukaan ini adalah silinder hiperbolik dengan generator sejajar dengan sumbu
Memang, persamaan ini tidak mengandung , dan pemandu silinder adalah hiperbola

dengan pusat simetri di titik
dan sumbu nyata yang sejajar dengan sumbu
.

Soal 7.4. Jelajahi dan bangun permukaan yang diberikan oleh persamaan

Keputusan. Berpotongan permukaan dengan bidang
. Akibatnya, kami memiliki

di mana
. Ini adalah persamaan parabola di pesawat

Bagian dari permukaan yang diberikan oleh sebuah pesawat
ada parabola

bagian pesawat
ada sepasang garis yang berpotongan:

Bagian demi bidang yang sejajar dengan bidang
, terdapat hiperbola:

Pada
sumbu nyata hiperbola sejajar dengan sumbu
, pada
kapak
. Permukaan yang diselidiki adalah paraboloid hiperbolik (terkait dengan bentuk, permukaannya disebut "pelana").

Komentar. Sifat yang menarik dari paraboloid hiperbolik adalah adanya garis lurus yang terletak dengan semua titiknya di permukaannya. Garis seperti itu disebut generator bujursangkar dari paraboloid hiperbolik. Dua generator bujursangkar melewati setiap titik paraboloid hiperbolik.

Soal 7.5. Permukaan mana yang mendefinisikan persamaan?

Keputusan. Untuk mereduksi persamaan ini ke bentuk kanonik, kami memilih kuadrat penuh dari variabel ,,:

Membandingkan persamaan yang dihasilkan dengan yang tabel (lihat Tabel 3), kita melihat bahwa ini adalah persamaan hiperboloid satu-lembar, yang pusatnya digeser ke titik
Dengan transfer paralel sistem koordinat sesuai dengan rumus

kami membawa persamaan ke bentuk kanonik:

Komentar. Sebuah hiperboloid satu-lembar, seperti hiperbolik, memiliki dua keluarga generator bujursangkar.

Isi artikel

BAGIAN KONIK, kurva bidang, yang diperoleh dengan melintasi kerucut melingkar kanan dengan bidang yang tidak melewati puncaknya (Gbr. 1). Dari sudut pandang geometri analitik, bagian kerucut adalah tempat kedudukan titik-titik yang memenuhi persamaan orde kedua. Dengan pengecualian kasus degenerasi yang dibahas di bagian terakhir, bagian kerucut adalah elips, hiperbola, atau parabola.

Bagian kerucut sering ditemukan di alam dan teknologi. Misalnya, orbit planet-planet yang mengelilingi Matahari berbentuk elips. Lingkaran adalah kasus khusus dari elips, di mana sumbu utama sama dengan sumbu kecil. Cermin parabola memiliki sifat bahwa semua sinar datang yang sejajar dengan sumbunya berkumpul di satu titik (fokus). Ini digunakan di sebagian besar teleskop pemantul yang menggunakan cermin parabola, serta di antena radar dan mikrofon khusus dengan reflektor parabola. Seberkas sinar sejajar memancar dari sumber cahaya yang ditempatkan pada fokus reflektor parabola. Oleh karena itu, cermin parabola digunakan dalam lampu sorot dan lampu mobil yang kuat. Hiperbola adalah grafik dari banyak hubungan fisik penting, seperti hukum Boyle (yang menghubungkan tekanan dan volume gas ideal) dan hukum Ohm, yang mendefinisikan arus listrik sebagai fungsi hambatan pada tegangan konstan.

SEJARAH AWAL

Penemu potongan kerucut diduga Menechmus (abad ke-4 SM), seorang murid Plato dan guru Alexander Agung. Menechmus menggunakan parabola dan hiperbola sama kaki untuk memecahkan masalah penggandaan kubus.

Risalah pada bagian kerucut yang ditulis oleh Aristaeus dan Euclid pada akhir abad ke-4. SM, hilang, tetapi bahan-bahannya termasuk dalam yang terkenal Bagian kerucut Apollonius dari Perga (c. 260-170 SM), yang bertahan hingga zaman kita. Apollonius mengabaikan persyaratan bahwa bidang garis potong dari generatrix kerucut harus tegak lurus dan, dengan memvariasikan sudut kemiringannya, diperoleh semua bagian kerucut dari satu kerucut melingkar, lurus atau miring. Kami juga berutang kepada Apollonius nama modern kurva - elips, parabola dan hiperbola.

Dalam konstruksinya, Apollonius menggunakan kerucut melingkar dua lembar (seperti pada Gambar 1), jadi untuk pertama kalinya menjadi jelas bahwa hiperbola adalah kurva dengan dua cabang. Sejak zaman Apollonius, bagian kerucut telah dibagi menjadi tiga jenis, tergantung pada kemiringan bidang pemotongan ke generatrix kerucut. Elips (Gbr. 1, sebuah) terbentuk ketika bidang potong memotong semua generatrix kerucut pada titik-titik salah satu rongganya; parabola (Gbr. 1, b) - ketika bidang potong sejajar dengan salah satu bidang singgung kerucut; hiperbola (Gbr. 1, di) - ketika bidang potong memotong kedua rongga kerucut.

KONSTRUKSI BAGIAN KONIK

Saat mempelajari bagian kerucut sebagai perpotongan bidang dan kerucut, matematikawan Yunani kuno juga menganggapnya sebagai lintasan titik pada bidang. Ditemukan bahwa elips dapat didefinisikan sebagai tempat kedudukan titik-titik, jumlah jarak dari mana ke dua titik tertentu adalah konstan; parabola - sebagai tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama dari titik tertentu dan garis tertentu; hiperbola - sebagai tempat kedudukan titik, perbedaan jarak dari dua titik tertentu adalah konstan.

Definisi bagian kerucut ini sebagai kurva bidang juga menyarankan cara untuk membangunnya menggunakan benang yang diregangkan.

Elips.

Jika ujung seutas benang dengan panjang tertentu ditetapkan pada titik-titik F 1 dan F 2 (Gbr. 2), maka kurva yang digambarkan oleh ujung pensil yang meluncur di sepanjang benang yang diregangkan dengan rapat berbentuk elips. poin F 1 dan F 2 disebut fokus elips, dan segmen V 1 V 2 dan v 1 v 2 antara titik perpotongan elips dengan sumbu koordinat – sumbu mayor dan minor. Jika poin F 1 dan F 2 bertepatan, maka elips berubah menjadi lingkaran.

Hiperbola.

Ketika membangun hiperbola, titik P, ujung pensil, dipasang pada seutas benang yang meluncur bebas di sepanjang pasak yang dipasang di titik F 1 dan F 2 seperti yang ditunjukkan pada gambar. 3, sebuah. Jarak dipilih sehingga segmen PF 2 lebih panjang dari segmen PF 1 dengan jumlah tetap kurang dari jarak F 1 F 2. Dalam hal ini, salah satu ujung benang lewat di bawah pasak F 1 dan kedua ujung benang melewati pasak F 2. (Ujung pensil tidak boleh meluncur di sepanjang benang, jadi Anda harus memperbaikinya dengan membuat lingkaran kecil pada benang dan memasukkan ujungnya ke dalamnya.) Salah satu cabang hiperbola ( PV 1 Q) kita menggambar, memastikan bahwa benang tetap kencang sepanjang waktu, dan menarik kedua ujung benang ke bawah melewati titik F 2 , dan ketika titik P akan berada di bawah garis F 1 F 2, pegang utas di kedua ujungnya dan lepaskan dengan hati-hati (yaitu melepaskannya). Cabang kedua hiperbola ( Pў V 2 Q) kami menggambar, setelah sebelumnya mengubah peran pasak F 1 dan F 2 .

Cabang-cabang hiperbola mendekati dua garis lurus yang berpotongan di antara cabang-cabang tersebut. Garis-garis ini, yang disebut asimtot hiperbola, dibangun seperti yang ditunjukkan pada Gambar. 3, b. Kemiringan garis-garis tersebut adalah ± ( v 1 v 2)/(V 1 V 2), dimana v 1 v 2 - segmen garis-bagi dari sudut antara asimtot, tegak lurus terhadap segmen F 1 F 2; segmen garis v 1 v 2 disebut sumbu konjugasi hiperbola, dan ruas V 1 V 2 - sumbu melintangnya. Jadi asimtotnya adalah diagonal-diagonal persegi panjang yang sisi-sisinya melalui empat titik v 1 , v 2 , V 1 , V 2 sejajar sumbu. Untuk membangun persegi panjang ini, Anda perlu menentukan lokasi titik v 1 dan v 2. Mereka berada pada jarak yang sama, sama dengan

dari titik perpotongan sumbu HAI. Rumus ini melibatkan konstruksi segitiga siku-siku dengan kaki Ov 1 dan V 2 HAI dan sisi miring F 2 HAI.

Jika asimtot hiperbola saling tegak lurus, maka hiperbola disebut sama kaki. Dua hiperbola yang memiliki asimtot yang sama, tetapi dengan sumbu transversal dan konjugasi yang diatur ulang, disebut saling konjugasi.

Parabola.

Fokus elips dan hiperbola diketahui Apollonius, tetapi fokus parabola, tampaknya, pertama kali ditetapkan oleh Pappus (paruh ke-2 abad ke-3), yang mendefinisikan kurva ini sebagai tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama dari suatu titik tertentu ( fokus) dan garis lurus tertentu, yang disebut direktur. Konstruksi parabola menggunakan benang yang diregangkan, berdasarkan definisi Pappus, diusulkan oleh Isidore dari Miletus (abad ke-6). Posisikan penggaris sehingga ujungnya bertepatan dengan direktriks II(Gbr. 4), dan pasang kaki ke tepi ini AC menggambar segitiga ABC. Kami memperbaiki salah satu ujung utas dengan panjang AB di atas B segitiga dan yang lainnya di fokus parabola F. Tarik benang dengan ujung pensil, tekan ujungnya pada titik variabel P ke skate gratis AB menggambar segitiga. Saat segitiga bergerak sepanjang penggaris, titik P akan menggambarkan busur parabola dengan fokus F dan kepala sekolah II, karena total panjang utas sama dengan AB, segmen utas berdekatan dengan kaki bebas segitiga, dan oleh karena itu segmen utas yang tersisa PF harus sama dengan kaki lainnya AB, yaitu PA. Titik persimpangan V parabola dengan sumbu disebut titik sudut parabola, garis lurus yang melalui F dan V, adalah sumbu parabola. Jika garis lurus yang tegak lurus terhadap sumbu ditarik melalui fokus, maka ruas garis lurus yang dipotong oleh parabola ini disebut parameter fokus. Untuk elips dan hiperbola, parameter fokus didefinisikan dengan cara yang sama.

SIFAT-SIFAT BAGIAN KONIK

Definisi papua.

Menetapkan fokus parabola membawa Pappus pada gagasan memberikan definisi alternatif bagian kerucut secara umum. Biarlah F adalah titik tertentu (fokus), dan L adalah suatu garis lurus (directrix) yang tidak melalui F, dan D F dan D L- jarak dari titik bergerak P untuk fokus F dan direktur L masing-masing. Kemudian, seperti yang ditunjukkan Papp, bagian kerucut didefinisikan sebagai tempat kedudukan titik P, yang rasionya D F/D L adalah konstanta non-negatif. Rasio ini disebut eksentrisitas e bagian kerucut. Pada e e > 1 adalah hiperbola; pada e= 1 adalah parabola. Jika sebuah F terletak pada L, maka lokus berbentuk garis (nyata atau khayal), yang merupakan bagian kerucut yang mengalami degenerasi.

Kesimetrisan elips dan hiperbola yang mencolok menunjukkan bahwa masing-masing kurva ini memiliki dua directrix dan dua fokus, dan keadaan ini membawa Kepler pada tahun 1604 pada gagasan bahwa parabola juga memiliki fokus kedua dan directrix kedua - sebuah titik di tak terhingga dan lurus. Demikian pula, lingkaran dapat dianggap sebagai elips, yang fokusnya bertepatan dengan pusat, dan directrix berada di tak terhingga. Keanehan e dalam hal ini adalah nol.

desain Dandelin.

Fokus dan arah dari bagian kerucut dapat ditunjukkan dengan jelas menggunakan bola yang tertulis dalam kerucut dan disebut bola Dandelin (bola) untuk menghormati ahli matematika dan insinyur Belgia J. Dandelin (1794–1847), yang mengusulkan konstruksi berikut. Biarkan bagian kerucut dibentuk oleh perpotongan beberapa bidang p dengan kerucut melingkar kanan dua rongga dengan puncak pada suatu titik HAI. Mari kita tuliskan dua bola di kerucut ini S 1 dan S 2 yang menyentuh pesawat p di titik-titik F 1 dan F 2 masing-masing. Jika bagian kerucut adalah elips (Gbr. 5, sebuah), maka kedua bola berada di dalam rongga yang sama: satu bola terletak di atas bidang p dan yang lainnya di bawahnya. Setiap generatrix kerucut menyentuh kedua bola, dan tempat kedudukan titik kontak berbentuk dua lingkaran C 1 dan C 2 terletak di bidang paralel p 1 dan p 2. Biarlah P adalah titik sembarang pada penampang kerucut. Ayo menggambar lurus PF 1 , PF 2 dan perpanjang garis PO. Garis-garis ini bersinggungan dengan bola di titik-titik F 1 , F 2 dan R 1 , R 2. Karena semua garis singgung yang ditarik ke bola dari satu titik adalah sama, maka PF 1 = PR 1 dan PF 2 = PR 2. Karena itu, PF 1 + PF 2 = PR 1 + PR 2 = R 1 R 2. Sejak pesawat p 1 dan p 2 paralel, segmen R 1 R 2 panjangnya tetap. Jadi, nilai PR 1 + PR 2 adalah sama untuk semua posisi titik P, dan titik P termasuk tempat kedudukan titik-titik yang jumlah jaraknya dari P sebelum F 1 dan F 2 adalah konstan. Oleh karena itu, poin F 1 dan F 2 - fokus bagian elips. Selain itu, dapat ditunjukkan bahwa garis-garis di mana bidang p melintasi pesawat p 1 dan p 2 , adalah directrix dari elips yang dibangun. Jika sebuah p melintasi kedua rongga kerucut (Gbr. 5, b), maka dua bola Dandelin terletak pada sisi bidang yang sama p, satu bola di setiap rongga kerucut. Dalam hal ini, perbedaan antara PF 1 dan PF 2 adalah konstan, dan tempat kedudukan titik P berbentuk hiperbola dengan fokus F 1 dan F 2 dan garis lurus - garis persimpangan p dengan p 1 dan p 2 - sebagai direktur. Jika bagian kerucut adalah parabola, seperti yang ditunjukkan pada Gambar. 5, di, maka hanya satu bola Dandelin yang dapat dituliskan dalam kerucut.

properti lainnya.

Sifat-sifat bagian kerucut benar-benar tidak ada habisnya, dan salah satu dari mereka dapat dianggap sebagai penentu. tempat penting di pertemuan matematika Pappa (c.300), geometri Descartes (1637) dan Awal Newton (1687) berkaitan dengan masalah tempat kedudukan titik-titik terhadap empat garis. Jika empat garis lurus diberikan di pesawat L 1 , L 2 , L 3 dan L 4 (dua di antaranya bisa cocok) dan sebuah titik P sedemikian rupa sehingga produk jarak dari P sebelum L 1 dan L 2 sebanding dengan produk jarak dari P sebelum L 3 dan L 4 , maka tempat kedudukan titik P adalah bagian kerucut. Keliru percaya bahwa Apollonius dan Pappus gagal memecahkan masalah lokus titik sehubungan dengan empat garis, Descartes, untuk mendapatkan solusi dan menggeneralisasinya, menciptakan geometri analitik.

PENDEKATAN ANALITIS

Klasifikasi aljabar.

Dalam istilah aljabar, bagian kerucut dapat didefinisikan sebagai kurva bidang yang koordinat Cartesiannya memenuhi persamaan derajat kedua. Dengan kata lain, persamaan semua bagian kerucut dapat ditulis dalam bentuk umum sebagai

dimana tidak semua koefisien A, B dan C sama dengan nol. Dengan bantuan translasi paralel dan rotasi sumbu, persamaan (1) dapat direduksi menjadi bentuk

kapak 2 + oleh 2 + c = 0

px 2 + qy = 0.

Persamaan pertama diperoleh dari persamaan (1) dengan B 2 № AC, yang kedua - at B 2 = AC. Bagian kerucut yang persamaannya direduksi menjadi bentuk pertama disebut pusat. Bagian kerucut diberikan oleh persamaan tipe kedua dengan q No 0, disebut non-pusat. Dalam dua kategori ini, ada sembilan jenis bagian kerucut yang berbeda, tergantung pada tanda-tanda koefisien.

2831) saya sebuah, b dan c memiliki tanda yang sama, maka tidak ada titik nyata yang koordinatnya memenuhi persamaan. Bagian kerucut seperti itu disebut elips imajiner (atau lingkaran imajiner jika sebuah = b).

2) Jika sebuah dan b memiliki satu tanda, dan c- berlawanan, maka bagian kerucut adalah elips (Gbr. 1, sebuah); pada sebuah = b- lingkaran (Gbr. 6, b).

3) Jika sebuah dan b memiliki tanda yang berbeda, maka bagian kerucut adalah hiperbola (Gbr. 1, di).

4) Jika sebuah dan b memiliki tanda yang berbeda dan c= 0, maka bagian kerucut terdiri dari dua garis lurus yang berpotongan (Gbr. 6, sebuah).

5) Jika sebuah dan b memiliki satu tanda dan c= 0, maka hanya ada satu titik nyata pada kurva yang memenuhi persamaan, dan bagian kerucut adalah dua garis imajiner yang berpotongan. Dalam hal ini, seseorang juga berbicara tentang elips yang dikontrak ke suatu titik atau, jika sebuah = b, dikontrak ke titik lingkaran (Gbr. 6, b).

6) Jika keduanya sebuah, atau b sama dengan nol, dan koefisien yang tersisa memiliki tanda yang berbeda, maka bagian kerucut terdiri dari dua garis sejajar.

7) Jika keduanya sebuah, atau b sama dengan nol, dan koefisien yang tersisa memiliki tanda yang sama, maka tidak ada titik nyata yang memenuhi persamaan. Dalam hal ini, bagian kerucut dikatakan terdiri dari dua garis paralel imajiner.

8) Jika c= 0, dan keduanya sebuah, atau b juga sama dengan nol, maka bagian kerucut terdiri dari dua garis yang saling berhadapan. (Persamaan tidak mendefinisikan bagian kerucut apa pun di sebuah = b= 0, karena dalam kasus ini persamaan awal (1) bukan derajat kedua.)

9) Persamaan tipe kedua mendefinisikan parabola jika p dan q berbeda dari nol. Jika sebuah p No. 0, dan q= 0, kita peroleh kurva dari butir 8. Jika sebaliknya, p= 0, maka persamaan tidak mendefinisikan bagian kerucut apa pun, karena persamaan asli (1) bukan derajat kedua.

Turunan dari persamaan bagian kerucut.

Setiap bagian kerucut juga dapat didefinisikan sebagai kurva di mana sebuah bidang berpotongan dengan permukaan kuadrat, mis. dengan permukaan yang diberikan oleh persamaan derajat kedua f (x, kamu, z) = 0. Rupanya, bagian kerucut pertama kali dikenali dalam bentuk ini, dan namanya ( Lihat di bawah) terkait dengan fakta bahwa mereka diperoleh dengan melintasi bidang dengan kerucut z 2 = x 2 + kamu 2. Biarlah ABCD- alas kerucut melingkar kanan (Gbr. 7) dengan sudut siku-siku di atas V. Biarkan pesawat FDC memotong generatrix VB pada intinya F, alasnya berbentuk garis lurus CD dan permukaan kerucut - sepanjang kurva DFPC, di mana P adalah sembarang titik pada kurva. Gambarlah melalui tengah segmen CD- titik E- langsung EF dan diameter AB. Melalui titik P gambarlah sebuah bidang yang sejajar dengan alas kerucut, memotong kerucut dalam sebuah lingkaran RPS dan langsung EF pada intinya Q. Kemudian QF dan QP dapat diambil, masing-masing, untuk absis x dan ordinat kamu poin P. Kurva yang dihasilkan akan berbentuk parabola.

Konstruksi yang ditunjukkan pada gambar. 7 dapat digunakan untuk menurunkan persamaan umum untuk bagian kerucut. Kuadrat panjang segmen tegak lurus, dipulihkan dari setiap titik diameter ke persimpangan dengan lingkaran, selalu sama dengan produk dari panjang segmen diameter. Jadi

kamu 2 = RQ H QS.

Untuk parabola, segmen RQ memiliki panjang konstan (karena untuk setiap posisi titik P itu sama dengan segmen AE), dan panjang segmen QS sebanding x(dari relasi QS/EB = QF/F.E.). Oleh karena itu berikut ini

di mana sebuah adalah koefisien konstan. Nomor sebuah menyatakan panjang parameter fokus parabola.

Jika sudut pada puncak kerucut lancip, maka ruas RQ tidak sama dengan memotong AE; tapi rasionya kamu 2 = RQ H QS setara dengan persamaan bentuk

di mana sebuah dan b adalah konstanta, atau, setelah menggeser sumbu, ke persamaan

yang merupakan persamaan elips. Titik potong elips dengan sumbu x (x = sebuah dan x = –sebuah) dan titik potong elips dengan sumbu kamu (kamu = b dan kamu = –b) masing-masing menentukan sumbu mayor dan minor. Jika sudut di puncak kerucut tumpul, maka kurva perpotongan kerucut dan bidang berbentuk hiperbola, dan persamaannya menjadi sebagai berikut:

atau, setelah menggerakkan sumbu,

Dalam hal ini, titik potong dengan sumbu x, diberikan oleh relasi x 2 = sebuah 2 , tentukan sumbu transversal, dan titik potong dengan sumbu kamu, diberikan oleh relasi kamu 2 = –b 2 menentukan sumbu kawin. Jika konstan sebuah dan b dalam persamaan (4a) adalah sama, maka hiperbola tersebut disebut sama kaki. Dengan memutar sumbu, persamaannya direduksi menjadi bentuk

xy = k.

Sekarang dari persamaan (3), (2) dan (4) kita dapat memahami arti dari nama-nama yang diberikan oleh Apollonius pada tiga bagian kerucut utama. Istilah "elips", "parabola" dan "hiperbola" berasal dari kata Yunani yang berarti "kurang", "sama" dan "unggul". Dari persamaan (3), (2) dan (4) jelas bahwa untuk elips kamu 2 b 2 / sebuah) x, untuk parabola kamu 2 = (sebuah) x dan untuk hiperbola kamu 2 > (2b 2 /sebuah) x. Dalam setiap kasus, nilai yang diapit dalam tanda kurung sama dengan parameter fokus kurva.

Apollonius sendiri menganggap hanya tiga jenis umum bagian kerucut (tipe 2, 3, dan 9 yang tercantum di atas), tetapi pendekatannya mengakui generalisasi yang memungkinkan seseorang untuk mempertimbangkan semua kurva orde kedua nyata. Jika bidang potong dipilih sejajar dengan dasar lingkaran kerucut, maka bagian tersebut akan menjadi lingkaran. Jika bidang pemotongan hanya memiliki satu titik yang sama dengan kerucut, titik puncaknya, maka bagian tipe 5 akan diperoleh; jika mengandung simpul dan garis singgung kerucut, maka kita mendapatkan bagian tipe 8 (Gbr. 6, b); jika bidang pemotongan berisi dua generator kerucut, maka kurva tipe 4 diperoleh pada bagian tersebut (Gbr. 6, sebuah); ketika titik dipindahkan hingga tak terhingga, kerucut berubah menjadi silinder, dan jika bidang berisi dua generator, maka bagian tipe 6 diperoleh.

Jika dilihat dari sudut miring, lingkaran terlihat seperti elips. Hubungan antara lingkaran dan elips, yang diketahui Archimedes, menjadi jelas jika lingkaran X 2 + kamu 2 = sebuah 2 menggunakan substitusi X = x, kamu = (sebuah/b) kamu ubah menjadi elips yang diberikan oleh persamaan (3a). transformasi X = x, kamu = (ai/b) kamu, di mana saya 2 = -1, memungkinkan kita untuk menulis persamaan lingkaran dalam bentuk (4a). Ini menunjukkan bahwa hiperbola dapat dilihat sebagai elips dengan sumbu minor imajiner, atau, sebaliknya, elips dapat dilihat sebagai hiperbola dengan sumbu konjugasi imajiner.

Hubungan antara ordinat lingkaran x 2 + kamu 2 = sebuah 2 dan elips ( x 2 /sebuah 2) + (kamu 2 /b 2) = 1 mengarah langsung ke rumus Archimedes A = p ab untuk luas elips. Kepler tahu rumus perkiraan p(sebuah + b) untuk keliling elips yang dekat dengan lingkaran, tetapi ekspresi yang tepat hanya diperoleh pada abad ke-18. setelah pengenalan integral elips. Seperti yang ditunjukkan Archimedes, luas segmen parabola adalah empat pertiga dari luas segitiga bertulis, tetapi panjang busur parabola hanya dapat dihitung setelah abad ke-17. kalkulus diferensial ditemukan.

PENDEKATAN PROYEKTIF

Geometri proyektif berkaitan erat dengan konstruksi perspektif. Jika Anda menggambar lingkaran pada selembar kertas transparan dan meletakkannya di bawah sumber cahaya, maka lingkaran ini akan diproyeksikan ke bidang di bawahnya. Dalam hal ini, jika sumber cahaya terletak tepat di atas pusat lingkaran, dan bidang serta lembaran transparan sejajar, maka proyeksi juga akan menjadi lingkaran (Gbr. 8). Posisi sumber cahaya disebut titik hilang. Ditandai dengan huruf V. Jika sebuah V terletak tidak di atas pusat lingkaran, atau jika bidang tidak sejajar dengan lembaran kertas, maka proyeksi lingkaran berbentuk elips. Dengan kemiringan bidang yang lebih besar, sumbu utama elips (proyeksi lingkaran) memanjang, dan elips secara bertahap berubah menjadi parabola; pada bidang yang sejajar dengan garis lurus wakil presiden, proyeksi terlihat seperti parabola; dengan kemiringan yang lebih besar, proyeksi mengambil bentuk salah satu cabang hiperbola.

Setiap titik pada lingkaran asli sesuai dengan beberapa titik pada proyeksi. Jika proyeksi berbentuk parabola atau hiperbola, maka dikatakan bahwa titik tersebut bersesuaian dengan titik P, berada di tak terhingga atau tak terhingga.

Seperti yang telah kita lihat, dengan pilihan titik hilang yang sesuai, sebuah lingkaran dapat diproyeksikan menjadi elips dengan berbagai ukuran dan dengan berbagai eksentrisitas, dan panjang sumbu utama tidak secara langsung berhubungan dengan diameter lingkaran yang diproyeksikan. Oleh karena itu, geometri proyektif tidak berurusan dengan jarak atau panjang semata, tugasnya adalah mempelajari rasio panjang yang dipertahankan di bawah proyeksi. Hubungan ini dapat ditemukan dengan menggunakan konstruksi berikut. melalui titik manapun P pesawat kami menggambar dua garis singgung ke lingkaran apa pun dan menghubungkan titik-titik kontak dengan garis lurus p. Biarkan garis lain melewati titik P, memotong lingkaran di titik C 1 dan C 2 , tapi garis lurus p- pada intinya Q(Gbr. 9). Planimetri membuktikan bahwa komputer 1 /komputer 2 = –QC 1 /QC 2. (Tanda minus terjadi karena arah segmen QC 1 berlawanan dengan arah segmen lain.) Dengan kata lain, titik P dan Q membagi segmen C 1 C 2 secara eksternal dan internal dalam hal yang sama; mereka juga mengatakan bahwa rasio harmonik dari empat segmen adalah - 1. Jika lingkaran diproyeksikan menjadi bagian kerucut dan sebutan yang sama disimpan untuk titik-titik yang sesuai, maka rasio harmonik ( komputer 1)(QC 2)/(komputer 2)(QC 1) akan tetap sama - 1. Poin P disebut kutub garis p sehubungan dengan bagian kerucut, dan garis lurus p- titik kutub P sehubungan dengan bagian kerucut.

kapan titik P mendekati bagian kerucut, kutub cenderung mengambil posisi garis singgung; jika titik P terletak pada bagian kerucut, maka kutubnya berimpit dengan garis singgung bagian kerucut di titik P. Jika titik P terletak di dalam bagian kerucut, maka kutubnya dapat dibangun sebagai berikut. Mari kita lewati intinya P setiap garis lurus yang memotong bagian kerucut di dua titik; menggambar garis singgung ke bagian kerucut di titik-titik persimpangan; misalkan garis singgung ini berpotongan di suatu titik P satu . Mari kita lewati intinya P garis lurus lain yang memotong bagian kerucut di dua titik lainnya; anggaplah bahwa garis singgung pada bagian kerucut di titik-titik baru ini berpotongan di titik P 2 (Gbr. 10). Garis yang melalui titik P 1 dan P 2 , dan ada kutub yang diinginkan p. Jika titik P mendekati pusat HAI bagian kerucut pusat, maka kutub p menjauh dari HAI. kapan titik P bertepatan dengan HAI, maka kutubnya menjadi tak terhingga, atau ideal, lurus pada bidang.

BANGUNAN KHUSUS

Yang menarik bagi para astronom adalah konstruksi sederhana berikut dari titik-titik elips menggunakan kompas dan penggaris. Biarkan garis sewenang-wenang melewati suatu titik HAI(Gbr. 11, sebuah), berpotongan di titik Q dan R dua lingkaran konsentris berpusat di satu titik HAI dan jari-jari b dan sebuah, di mana b sebuah. Mari kita lewati intinya Q garis mendatar, dan R- garis vertikal, dan menunjukkan titik persimpangannya P P saat berputar lurus OQR sekitar titik HAI akan menjadi elips. Injeksi f antara garis OQR dan sumbu utama disebut sudut eksentrik, dan elips yang dibangun dengan mudah ditentukan oleh persamaan parametrik x = sebuah karena f, kamu = b dosa f. Tidak termasuk parameter f, kita memperoleh persamaan (3a).

Untuk hiperbola, konstruksinya sebagian besar mirip. Garis arbitrer yang melalui suatu titik HAI, memotong salah satu dari dua lingkaran di suatu titik R(Gbr. 11, b). Ke titik R satu lingkaran dan ke titik akhir S diameter horizontal lingkaran lain, kami menggambar garis singgung yang berpotongan OS pada intinya T dan ATAU- pada intinya Q. Biarkan garis vertikal melewati titik T, dan garis mendatar yang melalui titik Q, berpotongan di suatu titik P. Maka tempat kedudukan titik P saat memutar segmen ATAU sekitar HAI akan ada hiperbola yang diberikan oleh persamaan parametrik x = sebuah detik f, kamu = b tg f, di mana f- sudut eksentrik. Persamaan ini diperoleh oleh matematikawan Prancis A. Legendre (1752-1833). Dengan mengecualikan parameter f, kita mendapatkan persamaan (4a).

Sebuah elips, sebagaimana dicatat oleh N. Copernicus (1473-1543), dapat dibangun dengan menggunakan gerakan episiklik. Jika sebuah lingkaran menggelinding tanpa meluncur di sepanjang bagian dalam lingkaran lain yang diameternya dua kali lipat, maka setiap titik P, tidak terletak pada lingkaran yang lebih kecil, tetapi tetap relatif terhadapnya, akan menggambarkan elips. Jika titik P berada pada lingkaran yang lebih kecil, maka lintasan titik ini adalah kasus degenerasi elips - diameter lingkaran yang lebih besar. Konstruksi elips yang lebih sederhana diusulkan oleh Proclus pada abad ke-5. Jika berakhir A dan B segmen garis lurus AB dari panjang tertentu meluncur sepanjang dua garis lurus berpotongan tetap (misalnya, sepanjang sumbu koordinat), maka setiap titik internal P segmen akan menggambarkan elips; matematikawan Belanda F. van Schoten (1615-1660) menunjukkan bahwa setiap titik pada bidang garis berpotongan, tetap relatif terhadap segmen geser, juga akan menggambarkan elips.

B. Pascal (1623-1662) pada usia 16 tahun merumuskan teorema Pascal yang sekarang terkenal, yang mengatakan: tiga titik perpotongan dari sisi-sisi yang berlawanan dari segi enam yang tertulis di setiap bagian kerucut terletak pada satu garis lurus. Pascal menurunkan lebih dari 400 akibat wajar dari teorema ini.

Permukaan orde kedua adalah permukaan yang dalam sistem koordinat persegi panjang ditentukan oleh persamaan aljabar derajat kedua.

1. Ellipsoid.

Elipsoid adalah permukaan yang, dalam beberapa sistem koordinat persegi panjang, ditentukan oleh persamaan:

Persamaan (1) disebut persamaan kanonik ellipsoid.

Atur tampilan geometris ellipsoid. Untuk melakukan ini, pertimbangkan bagian dari ellipsoid yang diberikan oleh bidang yang sejajar dengan bidang Oky. Masing-masing bidang ini didefinisikan oleh persamaan bentuk z=h, di mana h- angka apa pun, dan garis yang diperoleh di bagian ditentukan oleh dua persamaan

(2)

Mari kita pelajari persamaan (2) untuk berbagai nilai h .

> c(c>0), maka persamaan (2) juga mendefinisikan elips imajiner, yaitu titik potong bidang z=h dengan ellipsoid yang diberikan tidak ada. , kemudian dan garis (2) merosot menjadi titik (0; 0; + c) dan (0; 0; - c) (bidang menyentuh ellipsoid). , maka persamaan (2) dapat direpresentasikan sebagai

dari mana pesawat itu z=h memotong ellipsoid sepanjang elips dengan setengah sumbu

dan . Ketika nilainya berkurang, dan bertambah dan mencapai nilai maksimumnya di , yaitu, di penampang ellipsoid oleh bidang koordinat oxy ternyata elips terbesar dengan semiaxes dan .

Gambar serupa diperoleh ketika permukaan yang diberikan berpotongan dengan bidang yang sejajar dengan bidang koordinat Oxz dan Oyz.

Dengan demikian, bagian yang dipertimbangkan memungkinkan untuk menggambarkan ellipsoid sebagai permukaan oval tertutup (Gbr. 156). Kuantitas a, b, c ditelepon poros gandar elips. Kapan a=b=c elips adalah bolath.

2. hiperboloid satu pita.

Sebuah hiperboloid satu jalur adalah permukaan yang, dalam beberapa sistem koordinat persegi panjang, didefinisikan oleh persamaan (3)

Persamaan (3) disebut persamaan kanonik dari hiperboloid satu pita.

Atur jenis permukaan (3). Untuk melakukan ini, pertimbangkan bagian dengan bidang koordinatnya oxy (y=0)danSapi(x=0). Kami memperoleh, masing-masing, persamaan

dan

Sekarang perhatikan bagian dari hiperboloid yang diberikan oleh bidang z=h sejajar dengan bidang koordinat oxy. Garis yang diperoleh pada bagian ditentukan oleh persamaan

atau (4)

dari mana kemudian bahwa bidang z=h memotong hiperboloid sepanjang elips dengan setengah sumbu

dan ,

mencapai nilai terendah pada h=0, yaitu pada bagian hiperboloid ini, sumbu koordinat Oxy menghasilkan elips terkecil dengan semi-sumbu a*=a dan b*=b. Dengan peningkatan tak terbatas

kuantitas a* dan b* meningkat tak terhingga.

Dengan demikian, bagian yang dipertimbangkan memungkinkan untuk menggambarkan hiperboloid satu jalur sebagai tabung tak terbatas, mengembang tak terbatas saat bergerak menjauh (di kedua sisi) dari bidang Oxy.

Besaran a, b, c disebut setengah sumbu hiperboloid satu lajur.

3. Hiperboloid dua lapis.

Sebuah hiperboloid dua-lembar adalah permukaan yang, dalam beberapa sistem koordinat persegi panjang, didefinisikan oleh persamaan:

Persamaan (5) disebut persamaan kanonik dari hiperboloid berlembar dua.

Mari kita tentukan bentuk geometris permukaan (5). Untuk melakukan ini, pertimbangkan bagian-bagiannya dengan bidang koordinat Oxy dan Oyz. Kami memperoleh, masing-masing, persamaan

dan

dari mana berikut bahwa hiperbola diperoleh di bagian.

Sekarang perhatikan bagian-bagian dari hiperboloid yang diberikan oleh bidang z=h sejajar dengan bidang koordinat Oxy. Garis yang diperoleh pada bagian ditentukan oleh persamaan

atau (6)

dari mana berikut ini

>c (c>0) bidang z=h memotong hiperboloid sepanjang elips dengan semi-sumbu dan . Ketika nilainya meningkat, a* dan b* juga meningkat. Persamaan (6) dipenuhi oleh koordinat hanya dua titik: (0; 0; + c) dan (0; 0; - c) (bidang menyentuh permukaan yang diberikan). persamaan (6) mendefinisikan elips imajiner, yaitu tidak ada titik potong bidang z=h dengan hiperboloid yang diberikan.

Besaran a, b dan c disebut setengah sumbu hiperboloid dua lapis.

4. Paraboloid berbentuk elips.

Paraboloid elips adalah permukaan yang, dalam beberapa sistem koordinat persegi panjang, didefinisikan oleh persamaan

(7)

dimana p>0 dan q>0.

Persamaan (7) disebut persamaan kanonik paraboloid elips.

Pertimbangkan bagian dari permukaan yang diberikan oleh bidang koordinat Oxy dan Oyz. Kami memperoleh, masing-masing, persamaan

dan

dari yang berikut bahwa di bagian, parabola diperoleh, simetris tentang sumbu Oz, dengan simpul di titik asal. (delapan)

dari yang berikut bahwa untuk . Ketika h meningkat, a dan b juga meningkat; untuk h=0 elips berdegenerasi menjadi sebuah titik (bidang z=0 menyentuh hiperboloid yang diberikan). untuk h<0 уравнения (8) определяют мнимый эллипс, т.е. точек пересечения плоскости z=h с данным гиперболоидом нет.

Dengan demikian, bagian yang dipertimbangkan memungkinkan untuk menggambarkan paraboloid elips dalam bentuk mangkuk cembung tanpa batas.

Titik (0;0;0) disebut titik paraboloid; angka p dan q adalah parameternya.

Dalam kasus p=q, persamaan (8) mendefinisikan sebuah lingkaran yang berpusat pada sumbu Oz, yaitu. Paraboloid elips dapat dilihat sebagai permukaan yang dibentuk oleh rotasi parabola di sekitar sumbunya (paraboloid revolusi).

5. Paraboloid hiperbolik.

Paraboloid hiperbolik adalah permukaan yang, dalam beberapa sistem koordinat persegi panjang, ditentukan oleh persamaan

(9)

Dengan perbedaan bahwa alih-alih grafik "datar", kami akan mempertimbangkan permukaan spasial yang paling umum, dan juga mempelajari cara membuatnya dengan tangan dengan benar. Saya telah mencari alat perangkat lunak untuk membuat gambar 3D selama beberapa waktu dan menemukan beberapa aplikasi yang bagus, tetapi terlepas dari semua kemudahan penggunaan, program ini tidak menyelesaikan masalah praktis yang penting dengan baik. Faktanya adalah bahwa di masa depan historis yang dapat diperkirakan, siswa masih akan dipersenjatai dengan penggaris dengan pensil, dan bahkan memiliki gambar "mesin" berkualitas tinggi, banyak yang tidak akan dapat mentransfernya dengan benar ke kertas kotak-kotak. Oleh karena itu, dalam manual pelatihan, perhatian khusus diberikan pada teknik konstruksi manual, dan sebagian besar ilustrasi pada halaman adalah produk buatan tangan.

Bagaimana bahan referensi ini berbeda dari analog?

Memiliki pengalaman praktis yang layak, saya tahu betul permukaan mana yang paling sering ditangani dalam masalah nyata matematika yang lebih tinggi, dan saya harap artikel ini akan membantu Anda dengan cepat mengisi kembali barang bawaan Anda dengan pengetahuan yang relevan dan keterampilan terapan, yaitu 90-95% kasus harus cukup.

Apa yang perlu Anda ketahui saat ini?

Yang paling dasar:

Pertama, Anda harus bisa membangun dengan benar sistem koordinat kartesius spasial (lihat awal artikel Grafik dan sifat-sifat fungsi) .

Apa yang akan Anda peroleh setelah membaca artikel ini?

Botol Setelah menguasai materi pelajaran, Anda akan belajar cara cepat menentukan jenis permukaan berdasarkan fungsi dan / atau persamaannya, membayangkan bagaimana letaknya di ruang angkasa, dan, tentu saja, membuat gambar. Tidak apa-apa jika tidak semuanya cocok di kepala Anda dari bacaan pertama - Anda selalu dapat kembali ke paragraf mana pun sesuai kebutuhan nanti.

Informasi ada dalam kekuatan semua orang - untuk pengembangannya Anda tidak memerlukan pengetahuan super, bakat artistik khusus, dan visi spasial.

Mulai!

Dalam praktiknya, permukaan spasial biasanya diberikan fungsi dua variabel atau persamaan bentuk (konstanta ruas kanan paling sering sama dengan nol atau satu). Penunjukan pertama lebih khas untuk analisis matematis, yang kedua - untuk geometri analitik. Persamaan, pada dasarnya, adalah diberikan secara implisit fungsi dari 2 variabel, yang dalam kasus-kasus tertentu dapat dengan mudah direduksi menjadi bentuk . Saya mengingatkan Anda tentang contoh paling sederhana c :

–persamaan bidang jenis.

adalah fungsi bidang dalam secara eksplisit .

Mari kita mulai dengan itu:

Persamaan Bidang Umum

Opsi tipikal untuk pengaturan bidang dalam sistem koordinat persegi panjang dibahas secara rinci di awal artikel. persamaan bidang. Namun demikian, sekali lagi kita akan membahas persamaan yang sangat penting untuk latihan.

Pertama-tama, Anda harus sepenuhnya mengenali persamaan bidang yang sejajar dengan bidang koordinat. Fragmen pesawat secara standar digambarkan sebagai persegi panjang, yang dalam dua kasus terakhir terlihat seperti jajaran genjang. Secara default, Anda dapat memilih dimensi apa pun (dalam batas yang wajar, tentu saja), sementara itu diinginkan bahwa titik di mana sumbu koordinat "menusuk" bidang adalah pusat simetri:


Sebenarnya, sumbu koordinat di beberapa tempat seharusnya digambarkan dengan garis putus-putus, tetapi untuk menghindari kebingungan, kami akan mengabaikan nuansa ini.

– (gambar kiri) ketidaksetaraan mendefinisikan setengah ruang terjauh dari kita, tidak termasuk bidang itu sendiri;

– (gambar sedang) ketidaksetaraan mendefinisikan setengah ruang kanan, termasuk bidang ;

– (gambar kanan) ketidaksetaraan ganda menentukan "lapisan" yang terletak di antara bidang , termasuk kedua bidang.

Untuk latihan mandiri:

Contoh 1

Gambarlah sebuah benda yang dibatasi oleh bidang-bidang
Buat sistem ketidaksetaraan yang mendefinisikan tubuh yang diberikan.

Seorang kenalan lama harus keluar dari bawah pensil Anda berbentuk kubus. Jangan lupa bahwa tepi dan wajah yang tidak terlihat harus digambar dengan garis putus-putus. Selesai menggambar di akhir pelajaran.

Sama sama, JANGAN LUPA tugas belajar, bahkan jika itu tampak terlalu sederhana. Jika tidak, ternyata mereka melewatkannya sekali, melewatkannya dua kali, dan kemudian menghabiskan satu jam mengerjakan gambar tiga dimensi dalam beberapa contoh nyata. Selain itu, pekerjaan mekanis akan membantu mempelajari materi lebih efisien dan mengembangkan kecerdasan! Bukan kebetulan bahwa di taman kanak-kanak dan sekolah dasar anak-anak dibebani dengan menggambar, membuat model, mendesain, dan tugas-tugas lain untuk keterampilan motorik halus jari. Maafkan saya untuk penyimpangan, tetapi dua buku catatan saya tentang psikologi perkembangan tidak boleh hilang =)

Kami secara kondisional akan menyebut kelompok bidang berikut "proporsi langsung" - ini adalah bidang yang melewati sumbu koordinat:

2) persamaan bentuk mendefinisikan bidang yang melalui sumbu;

3) persamaan bentuk mendefinisikan bidang yang melalui sumbu.

Meskipun tanda formalnya sudah jelas (variabel mana yang hilang dalam persamaan - pesawat melewati sumbu itu), itu selalu berguna untuk memahami esensi dari peristiwa yang terjadi:

Contoh 2

Bangun Pesawat

Apa cara terbaik untuk membangun? Saya mengusulkan algoritma berikut:

Pertama, kita menulis ulang persamaan dalam bentuk , dari mana terlihat jelas bahwa "y" dapat diambil setiap nilai-nilai. Kami memperbaiki nilainya , yaitu, kami akan mempertimbangkan bidang koordinat . persamaan ditetapkan garis spasial terletak pada bidang koordinat yang diberikan. Mari kita menggambar garis ini pada gambar. Garis melewati titik asal, jadi untuk membangunnya, cukup mencari satu titik. Biarlah. Sisihkan satu titik dan buat garis.

Sekarang kembali ke persamaan bidang. Karena "y" mengambil setiap nilai, maka garis lurus yang dibangun di pesawat terus-menerus "direplikasi" ke kiri dan ke kanan. Ini adalah bagaimana pesawat kita terbentuk, melewati sumbu. Untuk menyelesaikan gambar, di kiri dan kanan garis lurus, kami menyisihkan dua garis paralel dan "menutup" jajaran genjang simbolis dengan segmen horizontal melintang:

Karena kondisi tersebut tidak memberlakukan batasan tambahan, pecahan pesawat dapat digambarkan sedikit lebih kecil atau sedikit lebih besar.

Sekali lagi, kami mengulangi arti pertidaksamaan linier spasial menggunakan contoh. Bagaimana cara menentukan setengah ruang yang didefinisikannya? Ayo ambil poin tidak dimiliki pesawat, misalnya, sebuah titik dari setengah ruang yang paling dekat dengan kita dan substitusikan koordinatnya ke dalam ketidaksetaraan:

Diterima pertidaksamaan yang benar, yang berarti bahwa pertidaksamaan mendefinisikan ruang-setengah yang lebih rendah (terhadap bidang ), sedangkan bidang itu sendiri tidak termasuk dalam solusi.

Contoh 3

Bangun Pesawat
sebuah) ;
b) .

Ini adalah tugas untuk membangun diri, jika ada kesulitan, gunakan alasan yang sama. Instruksi dan gambar singkat di akhir pelajaran.

Dalam praktiknya, bidang yang sejajar dengan sumbu sangat umum. Kasus khusus, ketika pesawat melewati sumbu, hanya dalam paragraf "b", dan sekarang kita akan menganalisis masalah yang lebih umum:

Contoh 4

Bangun Pesawat

Keputusan: variabel "z" tidak secara eksplisit berpartisipasi dalam persamaan, yang berarti bahwa bidang sejajar dengan sumbu aplikasi. Mari kita gunakan teknik yang sama seperti pada contoh sebelumnya.

Mari kita tulis ulang persamaan bidang dalam bentuk dari mana jelas bahwa "Z" dapat diambil setiap nilai-nilai. Mari kita perbaiki dan di bidang "asli" gambarlah garis lurus "datar" yang biasa. Untuk membangunnya, akan lebih mudah untuk mengambil titik referensi.

Karena "Z" membutuhkan semua nilai, maka garis lurus yang dibangun terus menerus "berkali-kali" ke atas dan ke bawah, sehingga membentuk bidang yang diinginkan . Buat jajar genjang dengan ukuran yang wajar dengan hati-hati:

Siap.

Persamaan bidang dalam segmen

Varietas terapan yang paling penting. Jika sebuah semua kemungkinan persamaan umum bidang berbeda dari nol, maka dapat direpresentasikan sebagai , yang disebut persamaan bidang dalam segmen. Jelas, pesawat memotong sumbu koordinat di titik , dan keuntungan besar dari persamaan tersebut adalah kemudahan menggambar:

Contoh 5

Bangun Pesawat

Keputusan: pertama, kita buat persamaan bidang dalam segmen-segmen. Lemparkan suku bebas ke kanan dan bagi kedua bagian dengan 12:

Tidak, ini bukan salah ketik dan semua hal terjadi di luar angkasa! Kami memeriksa permukaan yang diusulkan dengan cara yang sama yang baru-baru ini kami gunakan untuk pesawat. Kami menulis ulang persamaan dalam bentuk , dari mana "Z" diambil setiap nilai-nilai. Kami memperbaiki dan membangun elips di pesawat. Karena "Z" membutuhkan semua nilai, maka elips yang dibangun terus "direplikasi" ke atas dan ke bawah. Sangat mudah untuk memahami bahwa permukaan tak berujung:

Permukaan ini disebut silinder elips. Sebuah elips (pada ketinggian berapa pun) disebut memandu silinder, dan garis sejajar yang melalui setiap titik elips disebut menghasilkan silinder (yang secara harfiah membentuknya). sumbu adalah sumbu simetri permukaan (tetapi bukan bagian darinya!).

Koordinat titik mana pun yang termasuk dalam permukaan tertentu harus memenuhi persamaan .

spasial ketidaksetaraan mendefinisikan "bagian dalam" dari "pipa" tak terbatas, termasuk permukaan silinder itu sendiri, dan, karenanya, ketidaksetaraan yang berlawanan mendefinisikan himpunan titik di luar silinder.

Dalam masalah praktis, kasus yang paling populer adalah ketika memandu silinder adalah lingkaran:

Contoh 8

Bangun permukaan yang diberikan oleh persamaan

Mustahil untuk menggambarkan "pipa" tanpa akhir, oleh karena itu seni terbatas, sebagai suatu peraturan, untuk "memotong".

Pertama, lebih mudah untuk membangun lingkaran radius di pesawat, dan kemudian beberapa lingkaran lagi di atas dan di bawah. Lingkaran yang dihasilkan ( panduan silinder) dihubungkan dengan rapi oleh empat garis lurus paralel ( menghasilkan silinder):

Jangan lupa untuk menggunakan garis putus-putus untuk garis yang tidak terlihat.

Koordinat titik mana pun milik silinder tertentu memenuhi persamaan . Koordinat titik mana pun yang terletak tepat di dalam "pipa" memenuhi ketidaksetaraan , dan pertidaksamaan mendefinisikan satu set poin dari bagian luar. Untuk pemahaman yang lebih baik, saya sarankan untuk mempertimbangkan beberapa poin spesifik dalam ruang dan lihat sendiri.

Contoh 9

Bangun permukaan dan temukan proyeksinya pada bidang

Kami menulis ulang persamaan dalam bentuk dari mana diambil "x" setiap nilai-nilai. Mari kita perbaiki dan gambar di pesawat lingkaran– berpusat di titik asal, radius satuan. Karena "x" terus menerus mengambil semua nilai, maka lingkaran yang dibangun menghasilkan silinder melingkar dengan sumbu simetri . Gambar lingkaran lain memandu silinder) dan hati-hati menghubungkannya dengan garis lurus ( menghasilkan silinder). Di beberapa tempat, overlay ternyata, tetapi apa yang harus dilakukan, kemiringan seperti itu:

Kali ini saya membatasi diri pada sepotong silinder di celah dan ini bukan kebetulan. Dalam praktiknya, seringkali perlu untuk menggambarkan hanya sebagian kecil dari permukaan.

Omong-omong, di sini ternyata 6 generasi - dua garis lurus tambahan "menutup" permukaan dari sudut kiri atas dan kanan bawah.

Sekarang mari kita berurusan dengan proyeksi silinder ke pesawat. Banyak pembaca memahami apa itu proyeksi, tetapi, bagaimanapun, mari kita luangkan waktu lima menit lagi untuk pendidikan jasmani. Silakan berdiri dan miringkan kepala Anda di atas gambar sehingga ujung sumbu terlihat tegak lurus dengan dahi Anda. Seperti apa silinder dari sudut ini adalah proyeksinya ke bidang. Tapi tampaknya menjadi strip tak berujung, tertutup di antara garis lurus, termasuk garis lurus itu sendiri. Proyeksi ini persis domain fungsi ("talang" atas silinder), ("talang" bawah).

Omong-omong, mari kita perjelas situasinya dengan proyeksi ke bidang koordinat lainnya. Biarkan sinar matahari menyinari silinder dari sisi ujung dan sepanjang sumbu. Bayangan (proyeksi) silinder ke bidang adalah strip tak terbatas yang serupa - bagian dari bidang yang dibatasi oleh garis lurus ( - apa saja), termasuk garis lurus itu sendiri.

Tapi proyeksi di pesawat agak berbeda. Jika Anda melihat silinder dari ujung sumbu, maka diproyeksikan menjadi lingkaran dengan radius satuan dengan mana kami memulai konstruksi.

Contoh 10

Bangun permukaan dan temukan proyeksinya pada bidang koordinat

Ini adalah tugas untuk keputusan independen. Jika kondisinya tidak terlalu jelas, kuadratkan kedua sisi dan analisis hasilnya; cari tahu dengan tepat bagian silinder mana yang ditentukan oleh fungsi tersebut. Gunakan teknik konstruksi yang telah berulang kali digunakan di atas. Solusi singkat, gambar dan komentar di akhir pelajaran.

Permukaan elips dan silindris lainnya dapat diimbangi relatif terhadap sumbu koordinat, misalnya:

(dengan alasan yang sudah dikenal dari sebuah artikel tentang baris urutan ke-2) - silinder dengan jari-jari satuan dengan sumbu simetri melalui titik yang sejajar dengan sumbu. Namun, dalam praktiknya, silinder seperti itu sangat jarang ditemukan, dan benar-benar sulit dipercaya untuk memenuhi permukaan silinder "miring" sehubungan dengan sumbu koordinat.

Silinder parabola

Seperti namanya, memandu silinder seperti itu adalah parabola.

Contoh 11

Bangun permukaan dan temukan proyeksinya pada bidang koordinat.

Tidak bisa menolak contoh ini =)

Keputusan: Kami mengikuti jalan yang dilalui. Mari kita tulis ulang persamaan dalam bentuk , dari mana "Z" dapat mengambil nilai apa pun. Mari kita perbaiki dan buat parabola biasa pada bidang , setelah sebelumnya menandai titik referensi sepele . Karena "Z" membutuhkan semua nilai, maka parabola yang dibangun terus "direplikasi" ke atas dan ke bawah hingga tak terhingga. Kami menyisihkan parabola yang sama, katakanlah, pada ketinggian (di bidang) dan dengan hati-hati menghubungkannya dengan garis paralel ( generator silinder):

saya mengingatkan teknik yang berguna: jika awalnya tidak ada kepercayaan pada kualitas gambar, maka lebih baik menggambar garis tipis dan tipis terlebih dahulu dengan pensil. Kemudian kami mengevaluasi kualitas sketsa, mencari tahu area di mana permukaan tersembunyi dari mata kami, dan baru kemudian kami memberikan tekanan pada stylus.

Proyeksi.

1) Proyeksi silinder ke bidang adalah parabola. Perlu dicatat bahwa dalam hal ini tidak mungkin untuk dibicarakan domain dari fungsi dua variabel- karena persamaan silinder tidak dapat direduksi menjadi bentuk fungsional .

2) Proyeksi silinder ke bidang adalah setengah bidang, termasuk sumbu

3) Dan, akhirnya, proyeksi silinder ke bidang adalah seluruh bidang.

Contoh 12

Bangun silinder parabola:

a) , membatasi diri pada fragmen permukaan di ruang setengah dekat;

b) di antara

Dalam hal kesulitan, kami tidak terburu-buru dan berdebat dengan analogi dengan contoh sebelumnya, untungnya, teknologinya telah dikerjakan secara menyeluruh. Tidaklah penting jika permukaannya menjadi sedikit kikuk - penting untuk menampilkan gambar dasar dengan benar. Saya sendiri tidak terlalu mempermasalahkan keindahan garis-garisnya, jika saya mendapatkan gambar “kelas C” yang lumayan, saya biasanya tidak mengulanginya. Dalam larutan sampel, omong-omong, satu teknik lagi digunakan untuk meningkatkan kualitas gambar ;-)

Silinder hiperbolik

panduan silinder seperti itu adalah hiperbola. Jenis permukaan ini, menurut pengamatan saya, jauh lebih jarang daripada jenis sebelumnya, jadi saya akan membatasi diri pada gambar skema tunggal silinder hiperbolik:

Prinsip penalaran di sini persis sama - biasa hiperbola sekolah dari pesawat terus menerus "berkali-kali" ke atas dan ke bawah hingga tak terhingga.

Silinder yang dipertimbangkan milik apa yang disebut permukaan orde ke-2, dan sekarang kami akan terus berkenalan dengan perwakilan lain dari grup ini:

Ellipsoid. Bola dan bola

Persamaan kanonik ellipsoid dalam sistem koordinat persegi panjang memiliki bentuk: , dimana adalah bilangan positif ( poros gandar ellipsoid), yang dalam kasus umum berbeda. Elipsoid disebut permukaan, dan tubuh dibatasi oleh permukaan ini. Tubuh, seperti yang diduga banyak orang, diberikan oleh ketidaksetaraan dan koordinat titik interior mana pun (serta titik permukaan mana pun) pasti memenuhi ketidaksetaraan ini. Desainnya simetris terhadap sumbu koordinat dan bidang koordinat:

Asal usul istilah "ellipsoid" juga jelas: jika permukaan "dipotong" oleh bidang koordinat, maka di bagian akan ada tiga yang berbeda (dalam kasus umum)