Dengan perbedaan bahwa alih-alih grafik "datar", kita akan mempertimbangkan permukaan spasial yang paling umum, dan juga mempelajari cara membuatnya secara tangan secara kompeten. Saya menghabiskan waktu cukup lama dalam memilih perangkat lunak untuk membuat gambar tiga dimensi dan menemukan beberapa aplikasi yang bagus, namun meskipun mudah digunakan, program ini tidak menyelesaikan masalah praktis yang penting dengan baik. Faktanya adalah bahwa dalam sejarah masa depan yang dapat diperkirakan, siswa masih akan dipersenjatai dengan penggaris dan pensil, dan bahkan dengan gambar “mesin” berkualitas tinggi, banyak yang tidak akan dapat mentransfernya dengan benar ke kertas kotak-kotak. Oleh karena itu, dalam manual ini, perhatian khusus diberikan pada teknik konstruksi manual, dan sebagian besar ilustrasi halaman adalah produk buatan tangan.

Apa perbedaan bahan referensi ini dengan bahan analog?

Memiliki pengalaman praktis yang layak, saya tahu betul permukaan mana yang paling sering kita hadapi dalam masalah nyata matematika tingkat tinggi, dan saya berharap artikel ini akan membantu Anda dengan cepat mengisi kembali barang bawaan Anda dengan pengetahuan dan keterampilan terapan yang relevan, yang jumlahnya mencapai 90. -95% seharusnya ada cukup kasus.

Apa yang perlu Anda lakukan saat ini?

Yang paling mendasar:

Pertama, Anda harus bisa membangun dengan benar sistem koordinat kartesius spasial (lihat awal artikel Grafik dan sifat fungsi) .

Apa yang Anda dapatkan setelah membaca artikel ini?

Botol Setelah menguasai materi pelajaran, Anda akan belajar dengan cepat menentukan jenis permukaan berdasarkan fungsi dan/atau persamaannya, membayangkan letaknya dalam ruang, dan tentunya membuat gambar. Tidak apa-apa jika Anda tidak memikirkan semuanya setelah membaca pertama - Anda selalu dapat kembali ke paragraf mana pun nanti sesuai kebutuhan.

Informasi berada dalam kekuasaan setiap orang - untuk menguasainya Anda tidak memerlukan pengetahuan super, bakat seni khusus, atau visi spasial.

Mulai!

Dalam prakteknya, permukaan spasial biasanya diberikan fungsi dua variabel atau persamaan bentuk (konstanta di ruas kanan paling sering sama dengan nol atau satu). Sebutan pertama lebih khas untuk analisis matematis, yang kedua - untuk geometri analitik. Persamaannya pada dasarnya diberikan secara implisit fungsi dari 2 variabel, yang dalam kasus tertentu dapat dengan mudah direduksi menjadi bentuk . Izinkan saya mengingatkan Anda tentang contoh paling sederhana c:

–persamaan bidang baik .

– fungsi bidang di secara eksplisit .

Mari kita mulai dengan itu:

Persamaan umum bidang

Pilihan umum untuk susunan bidang dalam sistem koordinat persegi panjang dibahas secara rinci di awal artikel. Persamaan bidang. Namun, mari kita sekali lagi memikirkan persamaan yang sangat penting untuk latihan.

Pertama-tama, Anda harus mengenali secara otomatis persamaan bidang-bidang yang sejajar dengan bidang koordinat. Fragmen bidang biasanya digambarkan sebagai persegi panjang, yang dalam dua kasus terakhir terlihat seperti jajaran genjang. Secara default, Anda dapat memilih dimensi apa pun (tentu saja dalam batas wajar), tetapi sebaiknya titik di mana sumbu koordinat "menembus" bidang adalah pusat simetri:


Sebenarnya, sumbu koordinat harus digambarkan dengan garis putus-putus di beberapa tempat, namun untuk menghindari kebingungan kita akan mengabaikan nuansa ini.

– (gambar kiri) pertidaksamaan menentukan setengah ruang yang terjauh dari kita, tidak termasuk bidang itu sendiri;

– (gambar tengah) pertidaksamaan menentukan separuh ruang kanan, termasuk bidang;

– (gambar kanan) pertidaksamaan ganda mendefinisikan “lapisan” yang terletak di antara bidang-bidang tersebut, termasuk kedua bidang tersebut.

Untuk pemanasan diri:

Contoh 1

Gambarlah sebuah benda yang dibatasi oleh bidang-bidang
Ciptakan sistem ketidaksetaraan yang mendefinisikan suatu tubuh.

Seorang kenalan lama akan muncul dari balik pensil Anda. berbentuk kubus. Jangan lupa bahwa tepi dan permukaan yang tidak terlihat harus digambar dengan garis putus-putus. Selesai menggambar di akhir pelajaran.

Silakan, JANGAN MENGABAIKAN tugas belajar, meskipun tampak terlalu sederhana. Jika tidak, mungkin saja Anda melewatkannya sekali, melewatkannya dua kali, dan kemudian menghabiskan waktu berjam-jam mencoba memikirkan gambar tiga dimensi dalam beberapa contoh nyata. Selain itu, pekerjaan mekanis akan membantu Anda mempelajari materi dengan lebih efektif dan mengembangkan kecerdasan Anda! Bukan suatu kebetulan jika di taman kanak-kanak dan sekolah dasar anak-anak dibebani dengan menggambar, membuat model, mainan konstruksi, dan tugas-tugas lain untuk keterampilan motorik halus jari. Maaf atas penyimpangannya, tetapi dua buku catatan saya tentang psikologi perkembangan tidak boleh hilang =)

Kami secara kondisional akan menyebut kelompok bidang berikutnya sebagai "proporsionalitas langsung" - ini adalah bidang yang melalui sumbu koordinat:

2) persamaan bentuk menentukan bidang yang melalui sumbu ;

3) persamaan bentuk menentukan bidang yang melalui sumbu.

Meski tanda formalnya jelas (variabel mana yang hilang dari persamaan – bidang melewati sumbu itu), memahami esensi peristiwa yang terjadi selalu berguna:

Contoh 2

Bangun pesawat

Apa cara terbaik untuk membangun? Saya mengusulkan algoritma berikut:

Pertama, mari kita tulis ulang persamaan tersebut dalam bentuk , yang darinya terlihat jelas bahwa “y” dapat diambil setiap makna. Mari kita perbaiki nilainya, yaitu kita akan mempertimbangkan bidang koordinat. Persamaan ditetapkan garis spasial, terletak pada bidang koordinat tertentu. Mari kita gambarkan garis ini pada gambar. Garis lurus melewati titik asal koordinat, sehingga untuk membangunnya cukup mencari satu titik. Membiarkan . Sisihkan satu titik dan buat garis lurus.

Sekarang kita kembali ke persamaan bidang. Karena "Y" menerima setiap nilainya, maka garis lurus yang dibangun pada bidang tersebut terus menerus “direplikasi” ke kiri dan ke kanan. Ini adalah bagaimana bidang kita terbentuk, melewati porosnya. Untuk melengkapi gambar, kita meletakkan dua garis sejajar di kiri dan kanan garis lurus dan “menutup” jajaran genjang simbolis dengan segmen horizontal melintang:

Karena kondisi tersebut tidak memberikan batasan tambahan, sebuah fragmen bidang dapat digambarkan dalam ukuran yang sedikit lebih kecil atau sedikit lebih besar.

Mari kita ulangi sekali lagi pengertian ketimpangan linier spasial dengan menggunakan contoh. Bagaimana cara menentukan setengah ruang yang ditentukannya? Mari kita ambil beberapa poin bukan milik bidang, misalnya, suatu titik dari setengah ruang yang paling dekat dengan kita dan substitusikan koordinatnya ke dalam pertidaksamaan:

Diterima ketimpangan yang sebenarnya, artinya pertidaksamaan menentukan setengah ruang yang lebih rendah (relatif terhadap bidang), sedangkan bidang itu sendiri tidak termasuk dalam penyelesaian.

Contoh 3

Membangun pesawat
A) ;
B) .

Ini adalah tugas untuk konstruksi diri; jika ada kesulitan, gunakan alasan yang sama. Instruksi dan gambar singkat di akhir pelajaran.

Dalam praktiknya, bidang yang sejajar dengan sumbu sangat umum ditemukan. Kasus khusus ketika bidang melewati sumbu baru saja dibahas pada paragraf “menjadi”, dan sekarang kita akan menganalisis masalah yang lebih umum:

Contoh 4

Bangun pesawat

Larutan: variabel “z” tidak secara eksplisit dimasukkan ke dalam persamaan, artinya bidang tersebut sejajar dengan sumbu penerapan. Mari gunakan teknik yang sama seperti pada contoh sebelumnya.

Mari kita tulis ulang persamaan bidang dalam bentuk dari mana jelas bahwa "zet" dapat diambil setiap makna. Mari kita perbaiki dan gambar garis lurus “datar” biasa pada bidang “asli”. Untuk membangunnya, akan lebih mudah untuk mengambil titik referensi.

Karena "Z" menerima Semua nilainya, maka garis lurus yang dibangun terus menerus “berkembang biak” ke atas dan ke bawah, sehingga membentuk bidang yang diinginkan . Kami dengan hati-hati membuat jajaran genjang dengan ukuran yang wajar:

Siap.

Persamaan bidang dalam segmen

Variasi terapan yang paling penting. Jika Semua kemungkinan persamaan umum bidang bukan nol, maka dapat direpresentasikan dalam bentuk yang disebut persamaan bidang dalam segmen. Jelas sekali bahwa bidang tersebut memotong sumbu koordinat di titik-titik , dan keuntungan besar dari persamaan tersebut adalah kemudahan dalam membuat gambar:

Contoh 5

Bangun pesawat

Larutan: Pertama, mari kita buat persamaan bidang dalam segmen-segmen. Mari kita buang suku bebasnya ke kanan dan bagi kedua ruasnya dengan 12:

Tidak, tidak ada kesalahan ketik di sini dan semua hal terjadi di luar angkasa! Kami memeriksa permukaan yang diusulkan menggunakan metode yang sama yang baru-baru ini digunakan untuk pesawat terbang. Mari kita tulis ulang persamaan tersebut dalam bentuk , dari situlah kata "zet" diambil setiap makna. Mari kita perbaiki dan buat elips di bidang. Karena "zet" menerima Semua nilainya, maka elips yang dibangun terus menerus “direplikasi” ke atas dan ke bawah. Sangat mudah untuk memahami permukaan itu tak terbatas:

Permukaan ini disebut silinder elips. Elips (pada ketinggian berapa pun) disebut memandu silinder, dan garis sejajar yang melalui setiap titik elips disebut membentuk silinder (yang secara harfiah membentuknya). Sumbunya adalah sumbu simetri permukaan (tetapi bukan bagiannya!).

Koordinat titik mana pun yang termasuk dalam suatu permukaan tertentu harus memenuhi persamaan tersebut .

Spasial pertidaksamaan mendefinisikan “bagian dalam” dari “pipa” tak hingga, termasuk permukaan silinder itu sendiri, dan, oleh karena itu, pertidaksamaan sebaliknya mendefinisikan himpunan titik-titik di luar silinder.

Dalam permasalahan praktis, kasus khusus yang paling populer adalah kapan memandu silinder adalah lingkaran:

Contoh 8

Bangun permukaan yang diberikan oleh persamaan

Tidak mungkin menggambarkan “pipa” yang tak ada habisnya, sehingga seni biasanya hanya sebatas “pemangkasan”.

Pertama, akan lebih mudah untuk membuat lingkaran berjari-jari di bidang, dan kemudian beberapa lingkaran lagi di atas dan di bawah. Lingkaran yang dihasilkan ( panduan silinder) sambungkan dengan hati-hati dengan empat garis lurus sejajar ( membentuk silinder):

Jangan lupa gunakan garis putus-putus untuk garis yang tidak terlihat oleh kita.

Koordinat titik mana pun yang termasuk dalam silinder tertentu memenuhi persamaan tersebut . Koordinat titik mana pun yang terletak tepat di dalam “pipa” memenuhi pertidaksamaan , dan ketimpangan mendefinisikan sekumpulan titik dari bagian eksternal. Untuk pemahaman yang lebih baik, saya sarankan mempertimbangkan beberapa titik spesifik dalam ruang dan melihatnya sendiri.

Contoh 9

Bangunlah sebuah permukaan dan temukan proyeksinya pada bidang tersebut

Mari kita tulis ulang persamaan tersebut dalam bentuk dari situlah "x" diambil setiap makna. Mari kita perbaiki dan gambarkan di pesawat lingkaran– dengan pusat di titik asal, radius satuan. Karena "x" terus menerima Semua nilai, maka lingkaran yang dibangun menghasilkan silinder melingkar dengan sumbu simetri. Gambarlah lingkaran lain ( memandu silinder) dan hubungkan dengan hati-hati dengan garis lurus ( membentuk silinder). Di beberapa tempat ada tumpang tindih, tapi apa yang harus dilakukan, kemiringannya seperti itu:

Kali ini saya membatasi diri pada sepotong silinder di celahnya, dan ini bukan kebetulan. Dalam praktiknya, seringkali hanya perlu menggambarkan sebagian kecil permukaan saja.

Di sini, omong-omong, ada 6 generatrices - dua garis lurus tambahan “menutupi” permukaan dari sudut kiri atas dan kanan bawah.

Sekarang mari kita lihat proyeksi silinder ke bidang. Banyak pembaca yang memahami apa itu proyeksi, namun tetap saja, mari kita lakukan latihan fisik lima menit lagi. Silakan berdiri dan menundukkan kepala di atas gambar sehingga titik sumbunya tegak lurus dengan dahi Anda. Bentuk silinder dari sudut ini adalah proyeksinya pada bidang. Namun seolah-olah itu adalah sebuah garis tak berujung, tertutup di antara garis-garis lurus, termasuk garis-garis itu sendiri. Proyeksi ini tepat sekali domain fungsi (“talang” atas silinder), (“talang” bawah).

Ngomong-ngomong, mari kita perjelas situasinya dengan proyeksi ke bidang koordinat lain. Biarkan sinar matahari menyinari silinder dari ujung dan sepanjang porosnya. Bayangan (proyeksi) silinder ke suatu bidang adalah suatu garis tak terhingga yang serupa - bagian bidang yang dibatasi oleh garis lurus (- apa saja), termasuk garis lurus itu sendiri.

Namun proyeksi ke pesawat agak berbeda. Jika dilihat silinder dari ujung sumbunya, maka silinder tersebut akan diproyeksikan menjadi lingkaran yang berjari-jari satuan , yang dengannya kami memulai pembangunan.

Contoh 10

Bangunlah sebuah permukaan dan temukan proyeksinya pada bidang koordinat

Ini adalah tugas yang harus Anda selesaikan sendiri. Jika kondisinya kurang jelas, kuadratkan kedua sisinya dan analisis hasilnya; cari tahu bagian silinder mana yang ditentukan oleh fungsinya. Gunakan teknik konstruksi yang berulang kali digunakan di atas. Solusi singkat, gambar dan komentar di akhir pelajaran.

Permukaan elips dan permukaan silinder lainnya dapat diimbangi relatif terhadap sumbu koordinat, misalnya:

(berdasarkan motif familiar dari artikel tentang baris pesanan ke-2) – silinder berjari-jari satuan dengan simetri lipat yang melalui suatu titik sejajar sumbu. Namun, dalam praktiknya, silinder seperti itu jarang ditemui, dan sungguh luar biasa menemukan permukaan silinder yang “miring” terhadap sumbu koordinat.

Silinder parabola

Seperti namanya, memandu silinder seperti itu parabola.

Contoh 11

Bangunlah sebuah permukaan dan temukan proyeksinya pada bidang koordinat.

Saya tidak bisa menolak contoh ini =)

Larutan: Mari kita ikuti jalan yang dilalui. Mari kita tulis ulang persamaan tersebut dalam bentuk yang berarti "zet" dapat mengambil nilai berapa pun. Mari kita perbaiki dan buat parabola biasa pada bidang tersebut, setelah sebelumnya menandai titik-titik tumpuan sepele. Karena "Z" menerima Semua nilainya, maka parabola yang dibangun terus menerus “direplikasi” ke atas dan ke bawah hingga tak terbatas. Kami meletakkan parabola yang sama, katakanlah, pada ketinggian (di bidang) dan dengan hati-hati menghubungkannya dengan garis lurus paralel ( membentuk silinder):

Saya mengingatkan Anda teknik yang berguna: jika pada awalnya Anda ragu dengan kualitas gambarnya, lebih baik menggambar garis tipis-tipis terlebih dahulu dengan pensil. Kemudian kita mengevaluasi kualitas sketsa, mencari tahu area di mana permukaannya tersembunyi dari mata kita, dan baru kemudian memberikan tekanan pada stylus.

Proyeksi.

1) Proyeksi silinder pada bidang datar adalah parabola. Perlu dicatat bahwa dalam kasus ini tidak mungkin untuk membicarakan hal ini domain definisi fungsi dua variabel– karena persamaan silinder tidak dapat direduksi menjadi bentuk fungsional.

2) Proyeksi silinder pada suatu bidang adalah setengah bidang, termasuk sumbunya

3) Dan terakhir, proyeksi silinder ke bidang adalah keseluruhan bidang.

Contoh 12

Membangun silinder parabola:

a) membatasi diri Anda pada bagian permukaan di dekat setengah ruang;

b) dalam interval

Jika ada kesulitan, kami tidak terburu-buru dan bernalar dengan analogi contoh-contoh sebelumnya, untungnya, teknologi telah berkembang secara menyeluruh. Tidaklah penting jika permukaannya menjadi sedikit kikuk - penting untuk menampilkan gambaran mendasar dengan benar. Saya sendiri tidak terlalu mempermasalahkan keindahan garisnya, jika saya mendapatkan gambar yang lumayan dengan nilai C, biasanya saya tidak mengulanginya. Omong-omong, solusi sampel menggunakan teknik lain untuk meningkatkan kualitas gambar ;-)

Silinder hiperbolik

Panduan silinder seperti itu adalah hiperbola. Jenis permukaan ini, menurut pengamatan saya, jauh lebih jarang dibandingkan jenis sebelumnya, jadi saya akan membatasi diri pada satu gambar skema silinder hiperbolik:

Prinsip penalaran di sini sama persis – biasa hiperbola sekolah dari pesawat terus menerus “berkembang biak” naik turun hingga tak terhingga.

Silinder yang dipertimbangkan termasuk dalam apa yang disebut permukaan orde ke-2, dan sekarang kita akan terus berkenalan dengan perwakilan lain dari grup ini:

Elipsoid. Bola dan bola

Persamaan kanonik ellipsoid dalam sistem koordinat persegi panjang memiliki bentuk , dimana bilangan positif ( poros gandar ellipsoid), yang dalam kasus umum berbeda. Ellipsoid disebut permukaan, Jadi tubuh, dibatasi oleh permukaan tertentu. Tubuh, seperti dugaan banyak orang, ditentukan oleh ketidaksetaraan dan koordinat titik interior mana pun (serta titik permukaan mana pun) harus memenuhi pertidaksamaan ini. Desainnya simetris terhadap sumbu koordinat dan bidang koordinat:

Asal usul istilah “ellipsoid” juga jelas: jika permukaannya “dipotong” oleh bidang koordinat, maka potongan tersebut akan menghasilkan tiga potongan yang berbeda (dalam kasus umum)

1.7.1. Pesawat.

Pertimbangkan dalam basis Cartesian sebuah bidang sembarang P dan vektor normal (tegak lurus) terhadapnya `n (A, B, C). Mari kita ambil titik tetap sembarang M0(x0, y0, z0) dan titik arus M(x, y, z) pada bidang ini.

Jelas bahwa ?`n = 0 (1,53)

(lihat (1.20) untuk j = p /2). Ini adalah persamaan bidang dalam bentuk vektor. Pindah ke koordinat, kita memperoleh persamaan umum bidang

A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0 ?Ах + Ву + Сz + D = 0 (1,54).

(D = –Ах0– Ву0 – Сz0; А2 + В2 + С2 ? 0).

Dapat ditunjukkan bahwa dalam koordinat Kartesius, setiap bidang ditentukan oleh persamaan derajat pertama dan, sebaliknya, setiap persamaan derajat pertama menentukan sebuah bidang (yaitu, bidang adalah permukaan orde pertama dan permukaan orde pertama). urutan pertama adalah pesawat).

Mari kita perhatikan beberapa kasus khusus lokasi bidang yang ditentukan oleh persamaan umum:

A = 0 – sejajar dengan sumbu Sapi; B = 0 – sejajar dengan sumbu Oy; C = 0 – sejajar dengan sumbu Oz. (Bidang yang tegak lurus terhadap salah satu bidang koordinat disebut bidang proyeksi); D = 0 – melewati titik asal; A = B = 0 – tegak lurus sumbu Oz (sejajar dengan bidang xOy); A = B = D = 0 – bertepatan dengan bidang xOy (z = 0). Semua kasus lainnya dianalisis dengan cara yang sama.

Jika D? 0, maka dengan membagi kedua ruas (1,54) dengan -D, kita dapat mengubah persamaan bidang tersebut menjadi bentuk: (1,55),

a = – D /A, b = –D/B, c = –D /C. Hubungan (1,55) disebut persamaan bidang dalam segmen-segmen; a, b, c – absis, ordinat dan penerapan titik potong bidang dengan sumbu Ox, Oy, Oz, dan |a|, |b|, |c| – panjang segmen yang dipotong oleh bidang pada sumbu yang bersesuaian dari titik asal koordinat.

Mengalikan kedua ruas (1,54) dengan faktor normalisasi (mD xcosa + ycosb + zcosg – p = 0 (1.56)

dimana cosa = Am, cosb = Bm, cosg = Cm adalah cosinus arah garis normal ke bidang, p adalah jarak bidang dari titik asal.

Mari kita pertimbangkan hubungan dasar yang digunakan dalam perhitungan. Sudut antara bidang A1x + B1y + C1z + D1 = 0 dan A2x + B2y + C2z + D2 = 0 dapat dengan mudah didefinisikan sebagai sudut antara normal bidang-bidang ini `n1 (A1, B1, C1) dan

`n2 (A2, B2, C2): (1.57)

Dari (1.57) mudah untuk memperoleh kondisi tegak lurus

A1A2 + B1 B2 + C1 C2 = 0 (1,58)

dan paralelisme (1.59) bidang dan kenormalannya.

Jarak dari titik sembarang M0(x0, y0, z0) ke bidang (1.54)

ditentukan oleh ekspresi: (1.60)

Persamaan bidang yang melalui tiga titik tertentu M1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2), M3(x3, y3, z3) paling mudah ditulis menggunakan kondisi koplanaritas (1,25) dari vektor-vektor tersebut dimana M(x, y , z) – titik bidang saat ini.

(1.61)

Mari kita sajikan persamaan sekumpulan bidang (yaitu.

Kumpulan bidang yang melewati satu garis lurus) - mudah digunakan dalam sejumlah soal.

(A1x + B1y + C1z + D1) + l(A2x + B2y + C2z + D2) = 0 (1,62)

Dimana l О R, dan dalam tanda kurung adalah persamaan dua bidang balok.

Pertanyaan kontrol.

1) Bagaimana cara memeriksa bahwa suatu titik terletak pada permukaan yang ditentukan oleh persamaan ini?

2) Apa ciri ciri yang membedakan persamaan bidang pada sistem koordinat kartesius dengan persamaan permukaan lainnya?

3) Bagaimana letak bidang terhadap sistem koordinat jika persamaannya tidak memuat: a) suku bebas; b) salah satu koordinat; c) dua koordinat; d) salah satu koordinat dan suku bebas; d) dua koordinat dan suku bebas?

1) Diberikan titik M1(0,-1,3) dan M2(1,3,5). Tuliskan persamaan bidang yang melalui titik M1 dan tegak lurus terhadap vektor Pilih jawaban yang benar:

A) ; B) .

2) Tentukan sudut antara bidang dan . Pilih jawaban yang benar:

a) 135o, b) 45o

1.7.2. Lurus. Bidang yang normalnya tidak segaris atau berpotongan, dengan jelas mendefinisikan garis lurus sebagai garis perpotongannya, yang ditulis sebagai berikut:

Bidang-bidang yang jumlahnya tak terhingga dapat ditarik melalui garis ini (kumpulan bidang-bidang (1.62)), termasuk bidang-bidang yang memproyeksikannya ke bidang-bidang koordinat. Untuk memperoleh persamaannya, cukup dengan mentransformasikan (1,63), menghilangkan satu hal yang tidak diketahui dari setiap persamaan dan mereduksinya, misalnya ke bentuk (1.63`).

Mari kita atur tugas - menggambar melalui titik M0(x0,y0,z0) sebuah garis lurus yang sejajar dengan vektor `S (l, m, n) (disebut garis pengarah). Mari kita ambil titik sembarang M(x,y,z) pada garis yang diinginkan. Vektor dan harus segaris, dari sana kita memperoleh persamaan garis kanonik.

(1.64) atau (1.64`)

dimana cosa, cosb, cosg adalah cosinus arah dari vektor `S. Dari (1.64) mudah untuk memperoleh persamaan garis lurus yang melalui titik tertentu M1(x1, y1, z1) dan M2(x2, y2, z2) (sejajar )

Atau (1,64``)

(Nilai pecahan pada (1,64) adalah sama untuk setiap titik pada garis dan dapat dinotasikan dengan t, dimana t R. Ini memungkinkan Anda memasukkan persamaan parametrik garis

Setiap nilai parameter t sesuai dengan himpunan koordinat x, y, z dari suatu titik pada suatu garis atau (jika tidak) - nilai yang tidak diketahui yang memenuhi persamaan garis).

Dengan menggunakan sifat-sifat vektor yang sudah diketahui dan operasinya serta persamaan kanonik garis lurus, mudah untuk mendapatkan rumus berikut:

Sudut antar garis lurus: (1.65)

Kondisi paralelisme (1.66).

tegak lurus l1l2 + m1m2 + n1n2 = 0 (1,67) garis lurus.

Sudut antara garis lurus dan bidang (mudah diperoleh dengan mencari sudut antara garis lurus dan garis normal bidang, yang jumlahnya mencapai p/2 yang diinginkan)

(1.68)

Dari (1.66) kita peroleh kondisi paralelisme Al + Bm + Cn = 0 (1.69)

dan tegak lurus (1,70) garis lurus dan bidang. Kondisi perlu dan cukup agar dua garis berada pada bidang yang sama dapat dengan mudah diperoleh dari kondisi koplanaritas (1.25).

(1.71)

Pertanyaan kontrol.

1) Apa saja cara mendefinisikan garis lurus dalam ruang?

1) Tuliskan persamaan garis lurus yang melalui titik A(4,3,0) dan sejajar dengan vektor Tunjukkan jawaban yang benar:

A) ; B) .

2) Tuliskan persamaan garis lurus yang melalui titik A(2,-1,3) dan B(2,3,3). Tunjukkan jawaban yang benar.

A) ; B) .

3) Temukan titik potong garis dengan bidang: , . Tunjukkan jawaban yang benar:

a) (6,4,5); b) (6,-4,5).

1.7.3. Permukaan orde kedua. Jika persamaan linier dalam basis Cartesian tiga dimensi secara unik mendefinisikan suatu bidang, persamaan nonlinier apa pun yang mengandung x, y, z akan menjelaskan permukaan lainnya. Jika persamaannya berbentuk

Ax2 + Ву2 + Cz2 + 2Dxy + 2Exz + 2Fyz + 2Gx + 2Hy + 2Kz + L = 0, maka menggambarkan permukaan orde kedua (persamaan umum permukaan orde kedua). Dengan memilih atau mentransformasikan koordinat Kartesius, persamaan tersebut dapat disederhanakan semaksimal mungkin, sehingga menghasilkan salah satu bentuk berikut yang menggambarkan permukaan yang bersangkutan.

1. Persamaan kanonik silinder orde kedua, yang generatornya sejajar dengan sumbu Oz, dan kurva orde kedua yang terletak pada bidang xOy berfungsi sebagai panduan:

(1.72), (1,73), y2 = 2 piksel (1,74)

silinder elips, hiperbolik, dan parabola.

(Ingatlah bahwa permukaan silinder adalah permukaan yang diperoleh dengan menggerakkan garis lurus, yang disebut generatrix, sejajar dengan dirinya sendiri. Garis perpotongan permukaan ini dengan bidang yang tegak lurus terhadap generatrix disebut pemandu - garis ini menentukan bentuk permukaan).

Dengan analogi, kita dapat menuliskan persamaan permukaan silinder yang sama dengan generatrik yang sejajar dengan sumbu Oy dan sumbu Ox. Panduan dapat didefinisikan sebagai garis perpotongan permukaan silinder dan bidang koordinat yang bersesuaian, yaitu. sistem persamaan bentuk:

2. Persamaan kerucut orde kedua dengan titik sudut di titik asal:

(1.75)

(sumbu kerucut masing-masing adalah sumbu Oz, Oy, dan Ox)

3. Persamaan kanonik ellipsoid: (1.76);

Kasus khusus adalah ellipsoid revolusi, misalnya – permukaan diperoleh dengan memutar elips di sekitar sumbu Oz (At

a > c ellipsoid terkompresi, dengan a x2 + y2+ z2 + = r2 – persamaan bola berjari-jari r yang berpusat di titik asal).

4. Persamaan kanonik hiperboloid satu lembar

(tanda “–” dapat muncul di depan salah satu dari tiga suku di sisi kiri - ini hanya mengubah posisi permukaan dalam ruang). Kasus khusus adalah hiperboloid revolusi satu lembar, misalnya – permukaan diperoleh dengan memutar hiperbola di sekitar sumbu Oz (sumbu imajiner hiperbola).

5. Persamaan kanonik hiperboloid dua lembar

(tanda “–” dapat muncul di depan salah satu dari tiga suku di sebelah kiri).

Kasus khusus adalah hiperboloid revolusi dua lembar, misalnya, permukaan yang diperoleh dengan memutar hiperbola di sekitar sumbu Oz (sumbu nyata hiperbola).

6. Persamaan kanonik paraboloid elips

(p >0, q >0) (1,79)

7. Persamaan kanonik paraboloid hiperbolik

(p >0, q >0) (1,80)

(variabel z dapat berpindah tempat dengan salah satu variabel x dan y - posisi permukaan dalam ruang akan berubah).

Perhatikan bahwa gambaran tentang ciri-ciri (bentuk) permukaan-permukaan ini dapat dengan mudah diperoleh dengan mempertimbangkan bagian-bagian permukaan ini dengan bidang-bidang yang tegak lurus terhadap sumbu koordinat.

Pertanyaan kontrol.

1) Kumpulan titik dalam ruang manakah yang menentukan persamaan tersebut?

2) Apa persamaan kanonik silinder orde dua; kerucut urutan kedua; elipsoid; hiperboloid satu lembar; hiperboloid dua lembar; paraboloid elips; parabola hiperbolik?

1) Temukan pusat dan jari-jari bola dan tunjukkan jawaban yang benar:

a) C(1,5;-2,5;2), ; b) C(1.5;2.5;2), ;

2) Tentukan jenis permukaan yang diberikan oleh persamaan: . Tunjukkan jawaban yang benar:

a) hiperboloid satu lembar; paraboloid hiperbolik; paraboloid elips; kerucut.

b) hiperboloid dua lembar; paraboloid hiperbolik; paraboloid elips; kerucut.

Di ruang angkasa, geometri analitik mempelajari permukaan yang ditentukan dalam koordinat kartesius persegi panjang dengan persamaan aljabar pertama, kedua, dan seterusnya. derajat relatif terhadap X,Y,Z:

Kapak+Oleh+Cz+D=0 (1)

Ax²+Oleh²+Cz²+2Dxy+2Exz+2Fyz+2Mx+2Ny+2Lz+K=0 (2)

dan seterusnya. Orde suatu persamaan disebut orde permukaan yang didefinisikannya. Kita telah melihat persamaannya pesanan pertama(linier) (1) selalu menentukan pesawat adalah satu-satunya permukaan orde pertama. Sudah ada banyak permukaan orde kedua. Mari kita lihat yang paling penting.

§2. Permukaan silinder dengan generatrices sejajar dengan salah satu sumbu koordinat.

Misalkan, suatu garis L diberikan pada bidang XОY, persamaannya adalah F(x,y)=0 (1) . Kemudian himpunan garis lurus yang sejajar sumbu oz (generator) dan melalui titik-titik di L membentuk suatu permukaan S yang disebut permukaan silinder.

Mari kita tunjukkan bahwa persamaan (1), yang tidak mengandung variabel z, adalah persamaan permukaan silinder S. Ambil titik sembarang M(x,y,z) milik S. Misalkan matriks generatrik yang melalui M berpotongan L di titik N. Titik N mempunyai koordinat N(x,y,0), memenuhi persamaan (1), karena (·)N milik L. Namun koordinat (x,y,z,) juga memenuhi (1), karena itu tidak mengandung z. Artinya koordinat titik mana pun pada permukaan silinder S memenuhi persamaan (1). Artinya F(x,y)=0 adalah persamaan permukaan silinder tersebut. Kurva L disebut panduan (kurva) permukaan silinder. Perhatikan bahwa dalam sistem spasial L secara umum harus diberikan oleh dua persamaan F(x,y)=0, z=0, sebagai garis perpotongan.

Contoh:

Panduan pada bidang howe adalah elips, parabola, hiperbola. Jelasnya, persamaan F=(y,z)=0 dan F(x,z)=0 masing-masing mendefinisikan permukaan silinder dengan generator yang sejajar dengan sumbu OX dan OY. Panduan mereka masing-masing terletak di pesawat YOZ dan XOZ.

Komentar. Permukaan silinder belum tentu merupakan permukaan orde kedua. Misalnya, ada permukaan silinder orde ke-3, dan persamaan y=sin(x) menentukan silinder sinusoidal, yang tidak diberi urutan; ini sama sekali bukan permukaan aljabar.

§3. Persamaan permukaan revolusi.

Beberapa permukaan orde ke-2 merupakan permukaan revolusi. Misalkan beberapa kurva L F(y,z)=0(1) terletak pada bidang YOZ. Mari kita cari tahu persamaan permukaan S yang dibentuk dengan memutar kurva (1) mengelilingi sumbu oz.

Mari kita ambil titik sembarang M(x,y,z) di permukaan S. Dapat dianggap diperoleh dari (.) N milik L, maka penerapan titik M dan N adalah sama (=z). Ordinat titik N di sini adalah jari-jari rotasi, karena .Tetapi C(0,0,z) dan karena . Tetapi titik N terletak pada kurva dan oleh karena itu koordinatnya memenuhi kurva tersebut. Cara (2) . Persamaan (2) dipenuhi oleh koordinat permukaan revolusi S. Artinya (2) merupakan persamaan permukaan revolusi. Tanda “+” atau “-” diambil tergantung di bagian mana kurva bidang YOZ (1) berada, di mana y>0 atau .

Jadi, aturannya: Untuk mencari persamaan permukaan yang dibentuk dengan memutar kurva L pada sumbu OZ, Anda perlu mengganti variabel y pada persamaan kurva tersebut.

Persamaan permukaan revolusi di sekitar sumbu OX dan OY dibuat dengan cara yang sama.

Kuliah 2. Bidang sebagai permukaan orde pertama. Persamaan bidang dan kajiannya. Garis lurus dalam ruang, kedudukan relatif garis lurus dalam ruang, bidang dan garis lurus dalam ruang. Garis lurus pada bidang, persamaan garis lurus pada bidang, jarak suatu titik ke garis lurus pada bidang. Kurva orde kedua; derivasi persamaan kanonik, studi persamaan dan konstruksi kurva. Permukaan orde kedua, studi persamaan permukaan kanonik. Metode bagian. 1

Elemen geometri analitik § 1. Bidang. Kita mempunyai OXYZ dan beberapa permukaan S F(x, y, z) = 0 z x (S) О y Definisi 1: persamaan dengan tiga variabel disebut persamaan permukaan S dalam ruang jika persamaan ini dipenuhi oleh koordinat masing-masing suatu titik yang terletak di permukaan dan tidak puas dengan koordinatnya, tidak ada satu titik pun yang terletak di atasnya. 2

Contoh. Persamaan (x - a)2 + (y - b)2 + (z - c)2 = R 2 (R > 0) kita definisikan sebuah bola yang berpusat di titik C(a, b, c) dan berjari-jari R. M M (x , y, z) – titik variabel M ϵ (S) |CM| = R C 3

Definisi 2: Suatu permukaan S disebut permukaan orde ke-n jika dalam suatu sistem koordinat Kartesius diberikan oleh persamaan aljabar derajat ke-n F(x, y, z) = 0 (1) Pada contoh (S) - lingkaran, permukaan orde kedua . Jika S adalah permukaan berorde ke-n, maka F(x, y, z) adalah polinomial berderajat ke-n terhadap (x, y, z). Anggaplah satu-satunya permukaan berorde ke-1 - sebuah bidang. Mari kita buat persamaan bidang yang melalui titik M (x, y, z), dengan vektor normal 4

Misalkan M(x, y, z) adalah titik sembarang (saat ini) pada bidang tersebut. M M 0 O α atau dalam bentuk koordinat: (2) Persamaan (2) adalah persamaan bidang yang melalui titik M dengan vektor normal tertentu. 5

D (*) (3) - persamaan bidang lengkap Persamaan bidang tidak lengkap. Jika pada persamaan (3) beberapa koefisien (tetapi bukan A, B, C sekaligus) = 0, maka persamaan tersebut disebut tidak lengkap dan bidang mempunyai ciri pada lokasinya. Misalnya, jika D = 0, maka α melewati titik asal. 6

Jarak titik M 1 ke bidang α M 1(x 1, y 1, z 1) α: M 1 d α M 0 diterapkan pada titik M 0 K 7

- jarak titik M 1 ke bidang α Persamaan bidang “dalam segmen” Mari kita buat persamaan bidang yang memotong segmen bukan nol pada sumbu koordinat dengan nilai C(0, 0, c) a, b, C. Mari kita ambil B(0, b, 0) sebagai nilainya. Mari kita buat persamaan untuk titik A dengan A(a, 0, 0) 8

-persamaan bidang α "dalam segmen" -persamaan bidang yang melalui titik A tegak lurus vektor normal 9

§ 2. Persamaan umum garis lurus. Garis lurus dalam ruang dapat ditentukan oleh perpotongan 2 bidang. (1) persamaan garis lurus Suatu sistem tipe (1) mendefinisikan garis lurus dalam ruang jika koefisien A 1, B 1, C 1 sekaligus tidak proporsional dengan A 2, B 2, C 2. 10

Persamaan parametrik dan kanonik suatu garis lurus - titik sembarang dari suatu garis lurus titik M M 0 Persamaan parametrik t - parameter 11

Dengan menghilangkan t, kita memperoleh: - Persamaan kanonik Sistem (3) menentukan gerak suatu titik material, bujursangkar dan seragam dari posisi awal M 0 (x 0, y 0, z 0) dengan kecepatan searah vektor. 12

Sudut antara garis lurus dalam ruang. Kondisi paralelisme dan tegak lurus. Misalkan ada dua garis L 1, L 2 dalam ruang yang diberikan oleh persamaan kanoniknya: Maka tugas menentukan sudut antara garis-garis ini direduksi menjadi menentukan sudut

vektor arahnya: Dengan menggunakan definisi hasil kali skalar dan ekspresi koordinat hasil kali skalar yang ditentukan serta panjang vektor q 1 dan q 2, kita peroleh: 15

Syarat paralelisme garis lurus l 1 dan l 2 sesuai dengan kolinearitas q 1 dan q 2, terletak pada proporsionalitas koordinat vektor-vektor tersebut, yaitu berbentuk: Syarat tegak lurus mengikuti definisi dari hasil kali skalar dan persamaannya dengan nol (at cos = 0) dan berbentuk : l 1 l 2 + m 1 m 2 + n 1 n 2 = 0. 16

Sudut antara garis lurus dan bidang: syarat-syarat kesejajaran dan tegak lurus garis lurus dan bidang Perhatikan bidang P, ditentukan oleh persamaan umum: Ax + By + Cz + D = 0, dan garis lurus L, ditentukan oleh persamaan kanonik: 17

Karena sudut antara garis lurus L dan bidang P berkomplemen dengan sudut antara vektor pengarah garis lurus q = (l, m, n) dan vektor normal bidang n = (A, B, C) , maka dari definisi hasil kali skalar q n = q n cos dan persamaan cos = sin (= 90 -), kita peroleh: 18

Syarat paralelisme garis lurus L dan bidang П (termasuk fakta bahwa L termasuk dalam П) ekuivalen dengan syarat tegak lurus vektor q dan n dan dinyatakan dengan = 0 hasil kali skalar vektor-vektor berikut: q n = 0: Аl + Bm + Cn = 0. Syarat tegak lurus garis lurus L dan bidang P ekuivalen dengan syarat paralelisme vektor n dan q dan dinyatakan dengan proporsionalitas koordinat vektor-vektor berikut: 19

Syarat dua garis berada pada bidang yang sama. Dua garis pada ruang L 1 dan L 2 dapat: 1) berpotongan; 2) sejajar; 3) kawin silang. Dalam dua kasus pertama, garis L 1 dan L 2 terletak pada bidang yang sama. Mari kita tetapkan kondisi agar dua garis lurus yang ditentukan oleh persamaan kanonik berada pada bidang yang sama: 20

Jelasnya, agar dua garis yang ditunjukkan berada pada bidang yang sama, tiga vektor harus dan cukup = (x2 - x1, y2 - y1, z 2 - z 1); q 1 = (l 1, m 1, n 1) dan q 2 = (l 2, m 2, n 2), adalah koplanar, yang pada gilirannya perlu dan cukup bahwa hasil kali campuran ketiga vektor ini = 0.21

Dengan menuliskan hasil kali campuran vektor-vektor yang ditunjukkan dalam koordinat, kita memperoleh syarat perlu dan cukup agar dua garis lurus L 1 dan L 2 berada pada bidang yang sama: 22

Syarat suatu garis lurus termasuk dalam bidang Misalkan ada garis lurus dan bidang Ax + Bi + Cz + D = 0. Syarat tersebut berbentuk: Ax1 + Bi1 + Cz 1 + D = 0 dan Al + Bm + Cn = 0, yang pertama berarti titik M 1(x1, y1, z 1) yang dilalui garis adalah milik bidang, dan yang kedua adalah syarat paralelisme garis dan bidang. 23

Kurva orde kedua. § 1. Konsep persamaan garis pada bidang. Persamaan f(x,y) = 0 disebut persamaan garis L pada sistem koordinat yang dipilih jika persamaan tersebut dipenuhi oleh koordinat titik mana pun yang terletak pada garis dan tidak dipenuhi oleh koordinat titik mana pun yang tidak terletak pada garis tersebut. 24

Src="https://present5.com/presentation/-127141277_437875303/image-25.jpg" alt="Contoh: (x - a)2 + (y - b)2 = R 2 (R > 0)"> Пример: (x - a)2 + (y - b)2 = R 2 (R > 0) – уравнение окружности радиуса R и центром в точке С(a, b). Если 1.) 25!}

Garis L disebut garis orde ke-n jika dalam suatu sistem koordinat Kartesius diberikan oleh persamaan aljabar derajat ke-n terhadap x dan y. Kita mengetahui satu-satunya garis berorde 1 - garis lurus: Ax + By + D = 0 Kita akan perhatikan kurva orde 2: elips, hiperbola, parabola. Persamaan umum garis orde 2 adalah: Ax 2 + By 2 + Cxy + Dy + Ex + F = 0 26

Definisi Elips (E). Elips adalah himpunan semua titik pada bidang, jumlah jarak ke dua titik tetap pada bidang F 1 dan F 2 disebut fokus, bernilai konstan dan jarak antar fokusnya besar. Mari kita menyatakan konstanta sebagai 2 a, jarak antara fokus sebagai 2 c. Gambarkan sumbu X melalui fokus, (a > c, a > 0, c > 0). Sumbu Y melalui titik tengah panjang fokus. Misalkan M adalah titik sembarang pada elips, t. M ϵ E r 1 + r 2 = 2 a (1), dengan r 1, r 2 adalah 27 jari-jari fokus E.

Mari kita tulis (1) dalam bentuk koordinat: (2) Ini adalah persamaan elips pada sistem koordinat yang dipilih. Menyederhanakan (2) kita memperoleh: b 2 = a 2 - c 2 (3) – persamaan kanonik elips. Dapat ditunjukkan bahwa (2) dan (3) ekuivalen: 28

Kajian bentuk elips menggunakan persamaan kanonik 1) Elips adalah kurva orde 2 2) Simetri elips. karena x dan y termasuk dalam (3) hanya dalam pangkat genap, elips mempunyai 2 sumbu dan 1 pusat simetri, yang pada sistem koordinat yang dipilih berimpit dengan sumbu koordinat yang dipilih dan titik O. 29

3) Letak elips Artinya, seluruh E terletak di dalam persegi panjang yang sisi-sisinya adalah x = ± a dan y = ± b. 4) Persimpangan dengan sumbu. SEBUAH 1(-Sebuah; 0); SEBUAH 2(sebuah; 0); C OX: simpul elips C OU: B 1(0; b); B 2(0; -b); Karena simetri elips, kita akan mempertimbangkan perilakunya (↓) hanya pada kuartal pertama. tigapuluh

Src="https://present5.com/presentation/-127141277_437875303/image-31.jpg" alt=" Penyelesaian (3) terhadap y kita peroleh: pada kuartal pertama x > 0 dan elips berkurang."> Разрешив (3) относительно y получим: в I четверти x > 0 и эллипс убывает. Вывод: Э – замкнутая кривая, овальная, имеющая четыре вершины. План построения Э. 1) Строим прямоугольник со сторонами 2 a, 2 b 2) Вписываем выпуклую овальную линию 31!}

Hiperbola (Г) Definisi: Г adalah himpunan semua titik pada bidang, modulus selisih jarak ke 2 titik tetap pada bidang F 1, F 2 adalah nilai konstan dan

Penyederhanaan (1): (2) adalah persamaan kanonik G. (1) dan (2) ekuivalen. Mempelajari hiperbola menggunakan persamaan kanonik 1) Г adalah garis orde 2 2) Г memiliki dua sumbu dan satu pusat simetri, yang dalam kasus kita berimpit dengan sumbu koordinat dan titik asal. 3) Letak hiperbola. 34

Hiperbola terletak di luar garis antara garis x = a, x = -a. 4) Titik perpotongan dengan sumbu. OX: OY: tidak mempunyai solusi A 1(-a; 0); A 2(a; 0) – simpul nyata Г B 1(0; b); B 2(0; -b) – simpul imajiner Г 2 a – sumbu nyata Г 2 b – sumbu imajiner Г 35

5) Asimtot hiperbola. Karena simetri Г, kami mempertimbangkan bagiannya pada kuartal pertama. Setelah menyelesaikan (2) terhadap y, kita memperoleh: persamaan pada kuarter pertama x ≥ 0 Misalkan garis lurus: karena pada kuarter pertama x>0, yaitu pada kuarter pertama dengan absis yang sama, ordinatnya dari garis > ordinat titik yang bersesuaian Г, yaitu pada kuarter pertama Г terletak di bawah garis lurus ini. Seluruh G terletak di dalam sudut vertikal dengan sisi 36

6) Dapat ditunjukkan bahwa pada bagian pertama G bertambah 7) Rencana pembangunan G a) membangun persegi panjang 2 a, 2 b b) menggambar diagonalnya c) menandai A 1, A 2 - simpul nyata dari G dan 38 tulis cabang-cabang ini

Parabola (P) Perhatikan d (direktriks) dan F (fokus) pada bidang. Definisi. П – himpunan semua titik pada bidang yang berjarak sama dari garis d dan titik F (fokus) 39

d-directrix F-fokus XOY titik М П lalu, |MF| = |MN| (1) persamaan P, dipilih dalam sistem koordinat. Menyederhanakan (1) kita memperoleh y 2 = 2 px (2) – persamaan kanonik P. (1) dan (2) setara dengan 40

Kajian P menggunakan persamaan kanonik x 2=2 py x 2=-2 py y 2=2 px y 2=-2 px 41

§ 4. Silinder. Permukaan silinder dengan generatrix sejajar sumbu koordinat Melalui titik x garis L kita tarik garis lurus yang sejajar sumbu OZ. Permukaan yang dibentuk oleh garis lurus tersebut disebut permukaan silinder atau silinder (C). Setiap garis lurus yang sejajar dengan sumbu OZ disebut generatrix. l adalah pemandu permukaan silinder bidang XOY. Z(x, y) = 0 (1) 42

Misalkan M(x, y, z) adalah titik sembarang pada permukaan silinder. Mari kita proyeksikan ke L. M 0 ϵ L => Z(x 0, y 0) = 0 (2) x = x 0 => Z(x, y) = 0 Mϵ Ц y = y 0 M ϵL 0 yaitu , koordinat M memenuhi (1), jelas jika M C, maka tidak diproyeksikan ke titik M 0 ϵ L dan oleh karena itu, koordinat M tidak memenuhi persamaan (1), yang menentukan C dengan generatrix paralel ke sumbu OZ di ruang angkasa. Demikian pula dapat ditunjukkan bahwa: Ф(x, z) = 0 pada ruang Г || OY 43 (y, z) = 0 terdefinisi dalam spasi C || SAPI

Proyeksi garis spasial pada bidang koordinat Garis dalam ruang dapat didefinisikan secara parametrik dan perpotongan permukaan. Garis yang sama dapat didefinisikan sebagai ∩ permukaan yang berbeda. Misalkan garis spasial L diberikan ∩ dari dua permukaan α: S 1: Ф 1(x, y, z) = 0 S 2: Ф 2(x, y, z) = 0 persamaan L Ф 1(x, y, z) = 0 (1) Ф 2(x, y, z) = 0 Mari kita cari proyeksi L pada bidang XOY dari persamaan (1) dan kecualikan Z. Kita peroleh persamaannya: Z(x, y) = 0 – dalam ruang ini persamaan Ε dengan generator || OZ dan panduan L.46

Proyeksi: L xy Z(x, y) = 0 Z=0 Permukaan orde kedua Ellipsoid - persamaan kanonik suatu permukaan berbentuk: 1) Ellipsoid - permukaan orde kedua. 2) X, Y, Z masukkan persamaan hanya dalam pangkat genap => permukaannya mempunyai 3 bidang dan 1 pusat simetri, yang pada sistem koordinat yang dipilih berimpit dengan bidang koordinat dan titik asal. 47

3) Letak ellipsoidal Permukaannya tertutup antara || bidang dengan persamaan x = a, x = -a. Demikian pula, yaitu seluruh permukaan terkandung di dalam paralelepiped persegi panjang. x = ± a, y = ± b, z = ± c. Kita akan memeriksa permukaan menggunakan metode bagian - memotong permukaan dengan bidang koordinat || koordinat. Pada bagian tersebut kita akan mendapatkan garis-garis, berdasarkan bentuknya kita akan menilai bentuk permukaannya. 48

Mari kita potong permukaannya dengan bidang XOY. Di bagian tersebut kita mendapatkan garis. - elips a dan b – semi-sumbu Mirip dengan bidang YOZ - elips dengan semi-sumbu b dan c Bidang || XOY Jika h(0, c), maka sumbu elips mengecil dari a dan b menjadi 0. 49

a = b = c - Paraboloid bola a) Paraboloid hiperbolik - permukaan dengan persamaan kanonik: 1) Permukaan orde kedua 2) Karena x, y masuk ke dalam persamaan hanya dalam pangkat genap, maka permukaan tersebut mempunyai bidang simetri yang berimpit untuk pilihan koordinat tertentu dengan 50 bidang XOZ, YOZ.

3) kita memeriksa permukaannya dengan menggunakan metode saddle section. XOZ Pada penampang parabola simetris terhadap sumbu OZ, menaik. hal. YOZ 51

Src="https://present5.com/presentation/-127141277_437875303/image-53.jpg" alt=" area ||XOY untuk h > 0 hiperbola, dengan sumbu semi nyata sepanjang OX, untuk h"> пл. ||XOY при h > 0 гиперболы, с действительной полуосью вдоль OX, при h z ≥ 0, то есть, вся поверхность расположена над XOY. 4) исследуем поверхность методом сечения 53!}

b) Hiperboloid dua lembar 1) permukaan orde dua 2) mempunyai 3 bidang dan 1 pusat simetri 3) letak permukaan x 2 ≥ a 2; |x| ≥ sebuah; (a, b, c > 0) Permukaan terdiri dari dua bagian yang terletak di luar garis antara bidang dengan persamaan x = a, x = -a 4) kita pelajari metode bagian (Sendiri!) 57

Kerucut orde kedua Kerucut orde kedua adalah suatu permukaan yang persamaan kanoniknya berbentuk: 1) permukaan orde kedua 2) mempunyai 3 bidang dan 1 pusat simetri 3) kita mempelajari metode bagian persegi. XOY 58

Src="https://present5.com/presentation/-127141277_437875303/image-59.jpg" alt=" persegi ||XOY |h| –>∞ dari 0 sampai ∞ persegi YOZ sepasang garis lurus, melewati"> пл. ||XOY |h| –>∞ от 0 до ∞ пл. YOZ пара прямых, проходящих через начало координат пл. XOZ пара прямых, проходящих через начало координат 59!}

60

§7. Bidang sebagai permukaan orde pertama. Persamaan umum bidang. Persamaan bidang yang melalui suatu titik tertentu yang tegak lurus terhadap vektor tertentu. Mari kita perkenalkan sistem koordinat Cartesian persegi panjang Oxyz dalam ruang dan perhatikan persamaan derajat pertama (atau persamaan linier) untuk x, y, z: (7.1) Ax  Oleh  Cz  D  0, A2  B2  C 2  0 . Teorema 7.1. Bidang apa pun dapat ditentukan dalam sistem koordinat Cartesius persegi panjang yang berubah-ubah dengan persamaan bentuk (7.1). Dengan cara yang persis sama seperti pada kasus garis pada bidang, kebalikan dari Teorema 7.1 juga berlaku. Teorema 7.2. Persamaan apa pun dalam bentuk (7.1) mendefinisikan sebuah bidang di ruang angkasa. Pembuktian Teorema 7.1 dan 7.2 dapat dilakukan serupa dengan pembuktian Teorema 2.1, 2.2. Dari Teorema 7.1 dan 7.2 dapat disimpulkan bahwa bidang dan hanya bidang tersebut merupakan permukaan orde pertama. Persamaan (7.1) disebut persamaan bidang umum. Koefisien nya A, B, C diinterpretasikan secara geometris sebagai koordinat vektor n yang tegak lurus bidang yang ditentukan oleh persamaan ini. Vektor  n(A, B, C) ini disebut vektor normal pada bidang tertentu. Persamaan (7.2) A(x  x0)  B(y  y0)  C (z  z0)  0 untuk semua kemungkinan nilai koefisien A, B, C mendefinisikan semua bidang yang melalui titik M 0 ( x0 , y0 , z0) . Ini disebut persamaan sekumpulan bidang. Pemilihan nilai spesifik A, B, C pada (7.2) berarti pemilihan bidang P dari sambungan yang melalui titik M 0 tegak lurus terhadap vektor yang diberikan n(A, B, C) (Gbr. 7.1 ). Contoh 7.1. Tuliskan persamaan bidang P yang melalui titik   A(1, 2, 0) sejajar dengan vektor a  (1, 2,–1), b  (2, 0, 1) .    Vektor normal n ke P ortogonal terhadap vektor a dan b (Gbr. 7.2),   oleh karena itu untuk n kita dapat mengambil hasil perkalian vektornya n: A    P i j k    2 1  1 1   2 n  a  b  1 2  1  i  j 2 1  k 12 0  0 1 2 0 1 n   a    b 2i  3 j  4k . Mari kita substitusikan koordinat Gambar. 7.2. Misalnya 7.1 P M0  titik M 0 dan vektor n ke persamaan (7.2), kita peroleh Gambar. 7.1. Persamaan bidang dari sekumpulan bidang P: 2(x  1)  3(y  2)  4z  0 atau P: 2x  3y  4z  4  0 .◄ 1 Jika dua koefisien A, B, C persamaan (7.1) sama dengan nol, menentukan bidang yang sejajar dengan salah satu bidang koordinat. Misalnya, ketika A  B  0, C  0 – bidang P1: Cz  D  0 atau P1: z   D / C (Gbr. 7.3). Bidang ini sejajar dengan bidang Oxy, karena vektor normalnya  n1(0, 0, C) tegak lurus bidang ini. Untuk A  C  0, B  0 atau B  C  0, A  0, persamaan (7. 1) mendefinisikan bidang P2: Oleh  D  0 dan P3: Ax  D  0, sejajar dengan bidang koordinat Oxz dan Oyz, karena   vektor normalnya n2(0, B, 0) dan n3(A, 0 , 0 ) tegak lurus terhadapnya (Gbr. 7.3). Jika hanya salah satu koefisien A, B, C dari persamaan (7.1) yang sama dengan nol, maka persamaan tersebut menentukan bidang yang sejajar dengan salah satu sumbu koordinat (atau memuatnya jika D  0). Jadi, bidang P: Ax  By  D  0 sejajar dengan sumbu Oz, z z  n1  n  n2 P1 L P O  n3 x y O P2 y P3 x Gambar. 7.4. Bidang P: Ax  B y  D  0, sejajar sumbu Oz Gambar. 7.3. Bidang-bidang tersebut sejajar dengan bidang koordinat  karena vektor normalnya n(A, B, 0) tegak lurus terhadap sumbu Oz. Perhatikan bahwa ia melewati garis lurus L: Ax  By  D  0 yang terletak pada bidang Oxy (Gbr. 7.4). Untuk D  0, persamaan (7.1) menentukan sebuah bidang yang melalui titik asal koordinat. Contoh 7.2. Tentukan nilai parameter  yang persamaan x  (2  2) y  (2    2)z    3  0 mendefinisikan bidang P: a) sejajar satu dari bidang koordinat; b) sejajar dengan salah satu sumbu koordinat; c) melewati titik asal koordinat. Mari kita tulis persamaan ini dalam bentuk x  (  2) y  (  2)(  1) z    3  0 . (7.3) Untuk nilai apa pun , persamaan (7.3) mendefinisikan bidang tertentu, karena koefisien x, y, z pada (7.3) tidak hilang secara bersamaan. a) Untuk   0, persamaan (7.3) mendefinisikan bidang P sejajar bidang Oxy, P: z  3 / 2, dan untuk   2 mendefinisikan bidang P 2 sejajar bidang Oyz, P: x  5/ 2. Jika tidak ada nilai , bidang P yang ditentukan oleh persamaan (7.3) sejajar dengan bidang Oxz, karena koefisien x, z pada (7.3) tidak hilang secara bersamaan. b) Untuk   1, persamaan (7.3) mendefinisikan bidang P sejajar sumbu Oz, P: x  3y  2  0. Untuk nilai parameter  lainnya, tidak mendefinisikan bidang yang sejajar dengan salah satu sumbu koordinat saja. c) Untuk   3, persamaan (7.3) mendefinisikan bidang P yang melalui titik asal, P: 3x  15 y  10 z  0 . ◄ Contoh 7.3. Tuliskan persamaan bidang P yang melalui: a) titik M (1,  3, 2) sejajar sumbu bidang Oxy; b) sumbu Sapi dan titik M (2, – 1, 3).   a) Untuk vektor normal n ke P di sini kita dapat mengambil vektor k (0, 0,1) - vektor satuan sumbu Oz, karena tegak lurus terhadap bidang Oxy. Substitusikan koordinat titik  M (1,  3, 2) dan vektor n ke dalam persamaan (7.2), kita peroleh persamaan bidang P: z 3  0.   b) Vektor normal n ke P ortogonal terhadap vektor i (1, 0, 0) dan OM (2,  1, 3) ,  oleh karena itu kita dapat mengambil hasil kali vektornya sebagai n:    i j k       n  i  OM  1 0 0   j 12 03  k 12 01   3 j  k . 2 1 3  Substitusikan koordinat titik O dan vektor n ke dalam persamaan (7.2), diperoleh persamaan bidang P:  3(y  0)  (z  0)  0 atau P: 3 y  z  0 .◄ 3