Ketika menjumlahkan dan mengurangkan pecahan aljabar dengan penyebut yang berbeda, pecahan tersebut terlebih dahulu menghasilkan faktor persekutuan. Ini berarti bahwa mereka menemukan penyebut tunggal, yang dibagi dengan penyebut asli dari setiap pecahan aljabar yang merupakan bagian dari ekspresi ini.

Seperti yang Anda ketahui, jika pembilang dan penyebut suatu pecahan dikalikan (atau dibagi) dengan angka yang sama selain nol, maka nilai pecahan tidak akan berubah. Ini adalah properti utama dari pecahan. Oleh karena itu, ketika pecahan mengarah ke penyebut yang sama, sebenarnya, penyebut asli dari setiap pecahan dikalikan dengan faktor yang hilang ke penyebut yang sama. Dalam hal ini, perlu untuk mengalikan dengan faktor ini dan pembilang pecahan (berbeda untuk setiap pecahan).

Misalnya, diberikan jumlah pecahan aljabar berikut:

Hal ini diperlukan untuk menyederhanakan ekspresi, yaitu menambahkan dua pecahan aljabar. Untuk melakukan ini, pertama-tama, perlu untuk mengurangi suku-pecahan menjadi penyebut yang sama. Langkah pertama adalah mencari monomial yang habis dibagi 3x dan 2y. Dalam hal ini, diinginkan bahwa itu menjadi yang terkecil, yaitu, mencari kelipatan persekutuan terkecil (KPK) untuk 3x dan 2y.

Untuk koefisien numerik dan variabel, KPK dicari secara terpisah. KPK(3, 2) = 6 dan KPK(x, y) = xy. Selanjutnya, nilai yang ditemukan dikalikan: 6xy.

Sekarang kita perlu menentukan dengan faktor apa kita perlu mengalikan 3x untuk mendapatkan 6xy:
6xy 3x = 2y

Ini berarti bahwa ketika mereduksi pecahan aljabar pertama menjadi penyebut yang sama, pembilangnya harus dikalikan dengan 2y (penyebutnya sudah dikalikan saat direduksi menjadi penyebut yang sama). Faktor pembilang pecahan kedua juga dicari. Ini akan sama dengan 3x.

Dengan demikian, kita mendapatkan:

Selanjutnya, sudah dimungkinkan untuk bertindak sebagai pecahan dengan penyebut yang sama: pembilangnya ditambahkan, dan satu persamaan ditulis dalam penyebutnya:

Setelah transformasi, ekspresi yang disederhanakan diperoleh, yang merupakan satu fraksi aljabar, yang merupakan jumlah dari dua yang asli:

Pecahan aljabar dalam ekspresi asli dapat berisi penyebut yang polinomial daripada monomial (seperti dalam contoh di atas). Dalam hal ini, sebelum menemukan penyebut yang sama, faktorkan penyebutnya (jika mungkin). Selanjutnya, penyebut umum dikumpulkan dari faktor yang berbeda. Jika faktornya ada beberapa penyebut awal, maka diambil satu kali. Jika faktor tersebut memiliki derajat yang berbeda pada penyebut aslinya, maka diambil dengan yang lebih besar. Sebagai contoh:

Di sini polinomial a 2 - b 2 dapat direpresentasikan sebagai produk (a - b)(a + b). Faktor 2a – 2b diekspansi menjadi 2(a – b). Jadi, penyebutnya akan sama dengan 2(a - b)(a + b).

Saya awalnya ingin memasukkan metode penyebut umum dalam paragraf "Menambahkan dan Mengurangi Pecahan". Tetapi ada begitu banyak informasi, dan kepentingannya sangat besar (bagaimanapun, tidak hanya pecahan numerik yang memiliki penyebut yang sama), sehingga lebih baik untuk mempelajari masalah ini secara terpisah.

Jadi katakanlah kita memiliki dua pecahan dengan penyebut yang berbeda. Dan kami ingin memastikan bahwa penyebutnya sama. Properti utama pecahan datang untuk menyelamatkan, yang, izinkan saya mengingatkan Anda, terdengar seperti ini:

Pecahan tidak berubah jika pembilang dan penyebutnya dikalikan dengan bilangan yang sama bukan nol.

Jadi, jika Anda memilih faktor dengan benar, penyebut pecahan akan sama - proses ini disebut pengurangan ke penyebut yang sama. Dan angka-angka yang diinginkan, "meratakan" penyebut, disebut faktor tambahan.

Mengapa Anda perlu membawa pecahan ke penyebut yang sama? Berikut ini beberapa alasannya:

1. Penjumlahan dan pengurangan pecahan dengan penyebut berbeda. Tidak ada cara lain untuk melakukan operasi ini;
2. Perbandingan pecahan. Terkadang pengurangan menjadi penyebut yang sama sangat menyederhanakan tugas ini;
3. Memecahkan masalah pada saham dan persentase. Persentase sebenarnya adalah ekspresi biasa yang mengandung pecahan.

Ada banyak cara untuk menemukan bilangan yang menyamakan penyebutnya saat dikalikan. Kami hanya akan mempertimbangkan tiga di antaranya - untuk meningkatkan kompleksitas dan, dalam arti tertentu, efisiensi.

Perkalian "silang-silang"

Cara paling sederhana dan paling andal yang dijamin menyamakan penyebutnya. Kami akan bertindak "di depan": kami mengalikan pecahan pertama dengan penyebut pecahan kedua, dan yang kedua dengan penyebut yang pertama. Akibatnya, penyebut kedua pecahan akan menjadi sama dengan produk dari penyebut aslinya. Lihatlah:

Sebagai faktor tambahan, pertimbangkan penyebut pecahan tetangga. Kita mendapatkan:

Ya, sesederhana itu. Jika Anda baru mulai belajar pecahan, lebih baik bekerja dengan metode ini - dengan cara ini Anda akan memastikan diri Anda dari banyak kesalahan dan dijamin akan mendapatkan hasilnya.

Satu-satunya kelemahan dari metode ini adalah Anda harus menghitung banyak, karena penyebutnya dikalikan "depan", dan sebagai hasilnya, Anda dapat memperoleh angka yang sangat besar. Itulah harga kehandalan.

Metode pembagi umum

Teknik ini sangat membantu mengurangi perhitungan, tetapi sayangnya, ini jarang digunakan. Metodenya adalah sebagai berikut:

1. Lihatlah penyebutnya sebelum Anda pergi "melalui" (yaitu, "saling silang"). Mungkin salah satunya (yang lebih besar) dapat dibagi oleh yang lain.
2. Bilangan yang dihasilkan dari pembagian tersebut akan menjadi faktor tambahan untuk pecahan yang penyebutnya lebih kecil.
3. Pada saat yang sama, pecahan dengan penyebut besar tidak perlu dikalikan dengan apa pun - ini adalah penghematannya. Pada saat yang sama, kemungkinan kesalahan berkurang tajam.

Tugas. Temukan nilai ekspresi:

Perhatikan bahwa 84: 21 = 4; 72:12 = 6. Karena dalam kedua kasus satu penyebut habis dibagi tanpa sisa oleh yang lain, kami menggunakan metode faktor persekutuan. Kita punya:

Perhatikan bahwa pecahan kedua tidak dikalikan dengan apa pun. Faktanya, kami telah memotong jumlah perhitungan menjadi dua!

Omong-omong, saya mengambil pecahan dalam contoh ini karena suatu alasan. Jika Anda tertarik, coba hitung menggunakan metode silang. Setelah pengurangan, jawabannya akan sama, tetapi akan ada lebih banyak pekerjaan.

Ini adalah kekuatan dari metode pembagi umum, tetapi, sekali lagi, ini hanya dapat diterapkan ketika salah satu penyebut dibagi dengan yang lain tanpa sisa. Yang cukup jarang terjadi.

Metode kelipatan yang paling tidak umum

Ketika kita mereduksi pecahan menjadi penyebut yang sama, pada dasarnya kita mencoba mencari bilangan yang habis dibagi oleh masing-masing penyebutnya. Kemudian kami membawa penyebut kedua pecahan ke nomor ini.

Ada banyak angka seperti itu, dan yang terkecil tidak selalu sama dengan produk langsung dari penyebut pecahan asli, seperti yang diasumsikan dalam metode "lintas-bijaksana".

Misalnya, untuk penyebut 8 dan 12, angka 24 cukup cocok, karena 24: 8 = 3; 24:12 = 2. Jumlah ini jauh lebih kecil dari hasil kali 8 12 = 96 .

Bilangan terkecil yang habis dibagi setiap penyebutnya disebut kelipatan persekutuan terkecil (KPK).

Notasi: Kelipatan persekutuan terkecil dari a dan b dinotasikan dengan KPK(a ; b ) . Misalnya, KPK(16; 24) = 48 ; KPK(8; 12) = 24 .

Jika Anda berhasil menemukan angka seperti itu, jumlah total perhitungan akan menjadi minimal. Lihat contohnya:

Tugas. Temukan nilai ekspresi:

Perhatikan bahwa 234 = 117 2; 351 = 117 3 . Faktor 2 dan 3 adalah koprima (tidak memiliki pembagi persekutuan kecuali 1), dan faktor 117 adalah persekutuan. Jadi KPK(234; 351) = 117 2 3 = 702.

Demikian pula, 15 = 5 3; 20 = 5 4 . Faktor 3 dan 4 relatif prima, dan faktor 5 biasa. Jadi KPK(15; 20) = 5 3 4 = 60.

Sekarang mari kita bawa pecahan ke penyebut yang sama:

Perhatikan betapa bergunanya faktorisasi penyebut aslinya:

1. Setelah menemukan faktor yang sama, kami segera mencapai kelipatan persekutuan terkecil, yang, secara umum, adalah masalah non-sepele;
2. Dari ekspansi yang dihasilkan, Anda dapat mengetahui faktor mana yang "hilang" untuk masing-masing pecahan. Misalnya, 234 3 \u003d 702, oleh karena itu, untuk pecahan pertama, faktor tambahannya adalah 3.

Untuk menghargai berapa banyak kemenangan yang diberikan oleh metode kelipatan paling tidak umum, coba hitung contoh yang sama menggunakan metode berselang-seling. Tentu saja, tanpa kalkulator. Saya pikir setelah itu komentar akan berlebihan.

Jangan berpikir bahwa pecahan kompleks seperti itu tidak akan ada dalam contoh nyata. Mereka bertemu sepanjang waktu, dan tugas-tugas di atas bukanlah batasnya!

Satu-satunya masalah adalah bagaimana menemukan NOC ini. Terkadang semuanya ditemukan dalam beberapa detik, secara harfiah "dengan mata", tetapi secara umum ini adalah masalah komputasi yang kompleks yang memerlukan pertimbangan terpisah. Di sini kita tidak akan menyentuh ini.

Untuk menyelesaikan contoh dengan pecahan, Anda harus dapat menemukan penyebut umum terkecil. Di bawah ini adalah instruksi terperinci.

Bagaimana menemukan penyebut umum terendah - konsep

Penyebut terkecil (LCD) dalam kata-kata sederhana adalah jumlah minimum yang dapat dibagi oleh penyebut semua pecahan dari contoh yang diberikan. Dengan kata lain, ini disebut Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK). NOZ hanya digunakan jika penyebut pecahan berbeda.

Bagaimana menemukan penyebut umum terendah - contoh

Mari kita pertimbangkan contoh menemukan NOZ.

Hitung: 3/5 + 2/15.

Solusi (Urutan tindakan):

• Kami melihat penyebut pecahan, memastikan bahwa mereka berbeda dan ekspresinya dikurangi sebanyak mungkin.
• Kami menemukan bilangan terkecil yang habis dibagi 5 dan 15. Bilangan ini akan menjadi 15. Jadi, 3/5 + 2/15 = ?/15.
• Kami menemukan penyebutnya. Apa yang akan ada di pembilang? Pengganda tambahan akan membantu kami mengetahui hal ini. Faktor tambahan adalah angka yang diperoleh dengan membagi NOZ dengan penyebut pecahan tertentu. Untuk 3/5, faktor tambahannya adalah 3, karena 15/5 = 3. Untuk pecahan kedua, faktor tambahannya adalah 1, karena 15/15 = 1.
• Setelah menemukan faktor tambahan, kami mengalikannya dengan pembilang pecahan dan menambahkan nilai yang dihasilkan. 3/5 + 2/15 = (3*3+2*1)/15 = (9+2)/15 = 11/15.

Jawaban: 3/5 + 2/15 = 11/15.

Jika dalam contoh bukan 2, tetapi 3 atau lebih pecahan ditambahkan atau dikurangkan, maka NOZ harus dicari pecahan sebanyak yang diberikan.

Hitung: 1/2 - 5/12 + 3/6

Solusi (urutan tindakan):

• Menemukan penyebut umum terendah. Bilangan minimal yang habis dibagi 2, 12, dan 6 adalah 12.
• Didapatkan: 1/2 - 5/12 + 3/6 = ?/12.
• Kami mencari pengganda tambahan. Untuk 1/2 - 6; untuk 5/12 - 1; untuk 3/6 - 2.
• Kami mengalikan dengan pembilang dan menetapkan tanda yang sesuai: 1/2 - 5/12 + 3/6 = (1 * 6 - 5 * 1 + 2 * 3) / 12 = 7/12.

Jawaban: 1/2 - 5/12 + 3/6 = 7/12.