Banyak pembagi

Perhatikan soal berikut: carilah pembagi dari bilangan 140. Jelaslah bahwa bilangan 140 tidak memiliki satu pembagi, melainkan beberapa. Dalam kasus seperti itu, tugas dikatakan memiliki banyak solusi. Mari kita temukan mereka semua. Pertama-tama, kami menguraikan angka ini menjadi faktor prima:

140 = 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7.

Sekarang kita dapat dengan mudah menulis semua pembagi. Mari kita mulai dengan pembagi sederhana, yaitu yang ada dalam ekspansi di atas:

Kemudian kami menulis yang diperoleh dengan perkalian berpasangan dari pembagi prima:

2∙2 = 4, 2∙5 = 10, 2∙7 = 14, 5∙7 = 35.

Kemudian - yang berisi tiga pembagi sederhana:

2∙2∙5 = 20, 2∙2∙7 = 28, 2∙5∙7 = 70.

Terakhir, jangan lupakan unit dan angka yang dapat diurai itu sendiri:

Semua pembagi ditemukan oleh kami membentuk banyak pembagi dari angka 140, yang ditulis menggunakan kurung kurawal:

Himpunan pembagi dari angka 140 =

{1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70, 140}.

Untuk kenyamanan persepsi, kami telah menuliskan pembagi di sini ( mengatur elemen) dalam urutan menaik, tetapi secara umum, ini tidak perlu. Selain itu, kami memperkenalkan singkatan. Alih-alih "Rangkaian pembagi dari angka 140" kita akan menulis "D (140)". Lewat sini,

Demikian pula, seseorang dapat menemukan himpunan pembagi untuk bilangan asli lainnya. Misalnya, dari ekspansi

105 = 3 ∙ 5 ∙ 7

kita mendapatkan:

D(105) = (1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105).

Dari himpunan semua pembagi, kita harus membedakan himpunan pembagi prima, yang masing-masing untuk bilangan 140 dan 105 adalah sama:

PD(140) = (2, 5, 7).

PD(105) = (3, 5, 7).

Perlu ditekankan bahwa dalam penguraian bilangan 140 menjadi faktor prima, dua muncul dua kali, sedangkan pada himpunan PD(140) hanya satu. Himpunan PD(140) pada dasarnya adalah semua jawaban dari soal: "Temukan faktor prima dari bilangan 140". Jelas bahwa jawaban yang sama tidak boleh diulang lebih dari satu kali.

Pengurangan pecahan. Pembagi Umum Terbesar

Pertimbangkan pecahan

Kita tahu bahwa pecahan ini dapat diperkecil dengan suatu bilangan yang merupakan pembagi pembilang (105) dan pembagi penyebut (140). Mari kita lihat himpunan D(105) dan D(140) dan tuliskan elemen-elemen persekutuannya.

D(105) = (1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105);

D(140) = (1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70, 140).

Elemen persekutuan dari himpunan D(105) dan D(140) =

Persamaan terakhir dapat ditulis lebih pendek, yaitu:

D(105) D(140) = (1, 5, 7, 35).

Di sini, ikon khusus "∩" ("tas dengan lubang di bawah") hanya menunjukkan bahwa dari dua set yang tertulis di sisi yang berlawanan, hanya elemen umum yang harus dipilih. Entri "D (105) D (140)" berbunyi " persimpangan set Te dari 105 dan Te dari 140.

[Perhatikan bahwa Anda dapat melakukan berbagai operasi biner dengan himpunan, hampir seperti dengan angka. Operasi biner umum lainnya adalah sebuah asosiasi, yang ditandai dengan ikon "∪" ("kantong dengan lubang di atas"). Gabungan dua himpunan mencakup semua elemen dari kedua himpunan:

PD(105) = (3, 5, 7);

PD(140) = (2, 5, 7);

PD(105) PD(140) = (2, 3, 5, 7). ]

Jadi, kami menemukan bahwa pecahan

dapat direduksi menjadi salah satu angka yang termasuk dalam himpunan

D(105) D(140) = (1, 5, 7, 35)

dan tidak dapat direduksi dengan bilangan asli lainnya. Berikut adalah semua cara yang mungkin untuk mengurangi (kecuali pengurangan yang tidak menarik sebanyak satu):

Jelas bahwa paling praktis untuk mengurangi pecahan dengan angka, jika mungkin, yang lebih besar. Dalam hal ini, itu adalah nomor 35, yang dikatakan pembagi persekutuan terbesar (GCD) nomor 105 dan 140. Ini ditulis sebagai

gcd(105, 140) = 35.

Namun, dalam praktiknya, jika kita diberikan dua bilangan dan perlu mencari pembagi persekutuan terbesarnya, kita tidak perlu membangun himpunan sama sekali. Cukup dengan memfaktorkan kedua bilangan menjadi faktor prima dan menggarisbawahi faktor-faktor yang umum untuk kedua faktorisasi tersebut, misalnya:

105 = 3 ∙ 5 ∙ 7 ;

140 = 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7 .

Mengalikan angka yang digarisbawahi (dalam salah satu ekspansi), kita mendapatkan:

gcd(105, 140) = 5 ∙ 7 = 35.

Tentu saja, ada kemungkinan bahwa ada lebih dari dua faktor yang digarisbawahi:

168 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 7;

396 = 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 11.

Dari sini jelas bahwa

gcd(168, 396) = 2 ∙ 2 ∙ 3 = 12.

Disebutkan secara khusus layak untuk situasi ketika tidak ada faktor umum sama sekali dan tidak ada yang perlu ditekankan, misalnya:

42 = 2 ∙ 3 ∙ 7;

Pada kasus ini,

gcd(42, 55) = 1.

Dua bilangan asli yang gcdnya sama dengan satu disebut koprima. Jika Anda membuat pecahan dari angka tersebut, misalnya,

maka pecahan tersebut adalah tidak dapat direduksi.

Secara umum, aturan pengurangan pecahan dapat ditulis sebagai berikut:

		sebuah/ gcd( sebuah, b)
		b/ gcd( sebuah, b)

Di sini diasumsikan bahwa sebuah dan b adalah bilangan asli, dan semua pecahan positif. Jika kita sekarang memberikan tanda minus pada kedua sisi persamaan ini, kita mendapatkan aturan yang sesuai untuk pecahan negatif.

Penjumlahan dan pengurangan pecahan. Kelipatan persekutuan terkecil

Misalkan Anda ingin menghitung jumlah dua pecahan:

Kita sudah tahu bagaimana penyebut didekomposisi menjadi faktor prima:

105 = 3 ∙ 5 ∙ 7 ;

140 = 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7 .

Dari dekomposisi ini segera mengikuti bahwa, untuk membawa pecahan ke penyebut yang sama, cukup dengan mengalikan pembilang dan penyebut pecahan pertama dengan 2 2 (produk dari faktor prima tanpa tekanan dari penyebut kedua), dan pembilang dan penyebut pecahan kedua dengan 3 ("hasil" faktor prima yang tidak digarisbawahi dari penyebut pertama). Akibatnya, penyebut kedua pecahan akan menjadi sama dengan angka yang dapat direpresentasikan sebagai berikut:

2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7 = 105 ∙ 2 ∙ 2 = 140 ∙ 3 = 420.

Sangat mudah untuk melihat bahwa kedua penyebut asli (baik 105 dan 140) adalah pembagi dari angka 420, dan angka 420, pada gilirannya, adalah kelipatan dari kedua penyebut - dan bukan hanya kelipatan, itu adalah kelipatan persekutuan terkecil (NOC) nomor 105 dan 140. Ini ditulis seperti ini:

KPK(105, 140) = 420.

Melihat lebih dekat pada perluasan angka 105 dan 140, kita melihat bahwa

105 140 = KPK(105, 140) KPK(105, 140).

Demikian pula, untuk bilangan asli arbitrer b dan d:

b ∙ d= KPK( b, d) KPK( b, d).

Sekarang mari kita selesaikan penjumlahan pecahan kita:

3 ∙ 5 ∙ 7		2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7

2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7		2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7

2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7

2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7

2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5

Catatan. Untuk menyelesaikan beberapa masalah, Anda perlu mengetahui apa itu kuadrat dari suatu bilangan. Kuadrat angka sebuah disebut nomor sebuah dikalikan dengan dirinya sendiri, yaitu sebuah∙sebuah. (Seperti yang Anda lihat, itu sama dengan luas persegi dengan sisi sebuah).

Tanda-tanda pembagian bilangan asli.

Bilangan yang habis dibagi 2 tanpa sisa disebutbahkan .

Bilangan yang habis dibagi 2 disebutaneh .

Tanda habis dibagi 2

Jika pencatatan suatu bilangan berakhir dengan angka genap, maka bilangan tersebut habis dibagi 2 tanpa sisa, dan jika pencatatan suatu bilangan diakhiri dengan angka ganjil, maka bilangan ini tidak habis dibagi 2 tanpa sisa.

Misalnya, angka 60 , 30 8 , 8 4 habis dibagi 2, dan bilangan 51 , 8 5 , 16 7 tidak habis dibagi 2 tanpa sisa.

Tanda habis dibagi 3

Jika jumlah angka-angka suatu bilangan habis dibagi 3, maka bilangan tersebut juga habis dibagi 3; Jika jumlah angka-angka suatu bilangan tidak habis dibagi 3, maka bilangan tersebut tidak habis dibagi 3.

Misalnya, mari kita cari tahu apakah bilangan 2772825 habis dibagi 3. Untuk melakukannya, kita menghitung jumlah angka dari bilangan ini: 2+7+7+2+8+2+5 = 33 - habis dibagi 3 Jadi, bilangan 2772825 habis dibagi 3.

Tanda habis dibagi 5

Jika pencatatan suatu bilangan diakhiri dengan angka 0 atau 5, maka bilangan tersebut habis dibagi 5 tanpa sisa. Jika pencatatan suatu bilangan diakhiri dengan angka yang berbeda, maka bilangan tanpa sisa tersebut tidak habis dibagi 5.

Misalnya, nomor 15 , 3 0 , 176 5 , 47530 0 habis dibagi 5, dan bilangan 17 , 37 8 , 9 1 Jangan berbagi.

Tanda habis dibagi 9

Jika jumlah angka-angka suatu bilangan habis dibagi 9, maka bilangan tersebut juga habis dibagi 9; Jika jumlah angka-angka suatu bilangan tidak habis dibagi 9, maka bilangan tersebut tidak habis dibagi 9.

Sebagai contoh, mari kita cari tahu apakah bilangan 5402070 habis dibagi 9. Untuk melakukannya, kita menghitung jumlah angka dari bilangan ini: 5+4+0+2+0+7+0 = 16 - tidak habis dibagi 9. Artinya bilangan 5402070 tidak habis dibagi 9.

Tanda habis dibagi 10

Jika suatu bilangan asli diakhiri dengan angka 0, maka bilangan tersebut habis dibagi 10 tanpa sisa.Jika suatu bilangan asli diakhiri dengan angka lain, maka tidak habis dibagi 10 tanpa sisa.

Misalnya, angka 40 , 17 0 , 1409 0 habis dibagi tanpa sisa dengan 10, dan angka 17 , 9 3 , 1430 7 - Jangan berbagi.

Aturan untuk menemukan pembagi persekutuan terbesar (gcd).

Untuk menemukan pembagi persekutuan terbesar dari beberapa bilangan asli, Anda perlu:

2) dari faktor-faktor yang termasuk dalam pemuaian salah satu bilangan tersebut, coretlah yang tidak termasuk dalam pemuaian bilangan lainnya;

3) menemukan produk dari faktor-faktor yang tersisa.

Contoh. Mari kita cari GCD (48;36). Mari kita gunakan aturan.

1. Kami menguraikan angka 48 dan 36 menjadi faktor prima.

48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3

36 = 2 · 2 · 3 · 3

2. Dari faktor-faktor yang termasuk dalam pemuaian angka 48, kami hapus yang tidak termasuk dalam pemuaian angka 36.

48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3

Ada faktor 2, 2 dan 3.

3. Kalikan faktor sisanya dan dapatkan 12. Angka ini adalah pembagi persekutuan terbesar dari angka 48 dan 36.

KPK (48; 36) = 2· 2 · 3 = 12.

Aturan untuk mencari kelipatan persekutuan terkecil (KPK).

Untuk menemukan kelipatan persekutuan terkecil dari beberapa bilangan asli, Anda perlu:

1) menguraikannya menjadi faktor prima;

2) tuliskan faktor-faktor yang termasuk dalam pemuaian salah satu bilangan;

3) tambahkan kepada mereka faktor-faktor yang hilang dari perluasan angka-angka yang tersisa;

4) temukan produk dari faktor-faktor yang dihasilkan.

Contoh. Mari kita cari KPK (75;60). Mari kita gunakan aturan.

1. Kami menguraikan angka 75 dan 60 menjadi faktor prima.

75 = 3 · 5 · 5

60 = 2 · 2 · 3 · 3

2. Tuliskan faktor-faktor yang termasuk dalam pemuaian bilangan 75 : 3, 5, 5.

NOC (75; 60) = 3 · 5 · 5 · …

3. Tambahkan kepada mereka faktor-faktor yang hilang dari penguraian angka 60, mis. 2, 2.

NOC (75; 60) = 3 · 5 · 5 · 2 · 2

4. Temukan produk dari faktor-faktor yang dihasilkan

NOC (75; 60) = 3 · 5 · 5 · 2 · 2 = 300.

Mari kita selesaikan masalahnya. Kami memiliki dua jenis cookie. Ada yang coklat dan ada yang polos. Ada 48 keping cokelat, dan 36 keping sederhana. Penting untuk membuat hadiah sebanyak mungkin dari kue ini, dan semuanya harus digunakan.

Pertama, mari kita tuliskan semua pembagi dari masing-masing dua angka ini, karena kedua angka ini harus habis dibagi dengan jumlah hadiah.

Kita mendapatkan

• 48: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48.
• 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.

Mari kita temukan di antara pembagi yang umum yang dimiliki oleh angka pertama dan kedua.

Pembagi umum adalah: 1, 2, 3, 4, 6, 12.

Pembagi persekutuan terbesar dari semuanya adalah 12. Angka ini disebut pembagi persekutuan terbesar dari 36 dan 48.

Berdasarkan hasil tersebut, kita dapat menyimpulkan bahwa 12 hadiah dapat dibuat dari semua cookie. Satu hadiah tersebut akan berisi 4 kue coklat dan 3 kue biasa.

Menemukan Pembagi Persekutuan Terbesar

• Bilangan asli terbesar di mana dua bilangan a dan b habis dibagi tanpa sisa disebut pembagi persekutuan terbesar dari bilangan-bilangan ini.

Terkadang singkatan GCD digunakan untuk menyingkat entri.

Beberapa pasangan bilangan memiliki satu sebagai pembagi persekutuan terbesarnya. Angka seperti itu disebut bilangan koprima. Misal bilangan 24 dan 35. Memiliki KPK =1.

Bagaimana menemukan pembagi persekutuan terbesar

Untuk menemukan pembagi persekutuan terbesar, tidak perlu menuliskan semua pembagi bilangan-bilangan ini.

Anda dapat melakukan sebaliknya. Pertama, faktorkan kedua bilangan tersebut menjadi faktor prima.

• 48 = 2*2*2*2*3,
• 36 = 2*2*3*3.

Nah, dari faktor-faktor yang termasuk dalam pemuaian bilangan pertama, kita hapus semua yang tidak termasuk dalam pemuaian bilangan kedua. Dalam kasus kami, ini adalah dua deuces.

• 48 = 2*2*2*2*3 ,
• 36 = 2*2*3 *3.

Faktor 2, 2, dan 3. Hasil kali mereka adalah 12. Angka ini akan menjadi pembagi persekutuan terbesar dari angka 48 dan 36.

Aturan ini dapat diperluas untuk kasus tiga, empat, dan seterusnya. angka.

Skema umum untuk menemukan pembagi persekutuan terbesar

• 1. Uraikan bilangan menjadi faktor prima.
• 2. Dari faktor-faktor yang termasuk dalam pemuaian salah satu bilangan tersebut, coretlah faktor-faktor yang tidak termasuk dalam pemuaian bilangan lainnya.
• 3. Hitung produk dari faktor-faktor yang tersisa.

Untuk mempelajari cara menemukan pembagi persekutuan terbesar dari dua bilangan atau lebih, Anda perlu memahami apa itu bilangan asli, prima, dan kompleks.

Bilangan asli adalah bilangan yang digunakan untuk menghitung bilangan bulat.

Jika bilangan asli hanya dapat dibagi dengan dirinya sendiri dan satu, maka itu disebut prima.

Semua bilangan asli dapat dibagi dengan diri mereka sendiri dan satu, tetapi satu-satunya bilangan prima yang genap adalah 2, semua yang lain dapat dibagi dua. Oleh karena itu, hanya bilangan ganjil yang bisa menjadi prima.

Ada banyak bilangan prima, tidak ada daftar lengkapnya. Untuk menemukan GCD, akan lebih mudah menggunakan tabel khusus dengan angka seperti itu.

Sebagian besar bilangan asli tidak hanya dapat dibagi satu, tetapi juga dengan bilangan lain. Jadi, misalnya, angka 15 dapat dibagi dengan 3 dan 5. Semuanya disebut pembagi dari angka 15.

Jadi, pembagi dari sembarang A adalah bilangan yang dapat dibagi tanpa sisa. Jika suatu bilangan memiliki lebih dari dua pembagi alami, itu disebut komposit.

Angka 30 memiliki pembagi seperti 1, 3, 5, 6, 15, 30.

Anda dapat melihat bahwa 15 dan 30 memiliki pembagi yang sama 1, 3, 5, 15. Pembagi persekutuan terbesar dari kedua bilangan ini adalah 15.

Jadi, pembagi persekutuan dari bilangan A dan B adalah bilangan yang dapat digunakan untuk membaginya secara lengkap. Maksimum dapat dianggap sebagai jumlah total maksimum yang dengannya mereka dapat dibagi.

Untuk mengatasi masalah, prasasti singkatan berikut digunakan:

GCD (A; B).

Misalnya, FPB (15; 30) = 30.

Untuk menuliskan semua pembagi bilangan asli, digunakan notasi:

D(15) = (1, 3, 5, 15)

gcd (9; 15) = 1

Dalam contoh ini, bilangan asli hanya memiliki satu pembagi yang sama. Mereka disebut koprima, masing-masing, unit adalah pembagi bersama terbesar mereka.

Cara mencari pembagi persekutuan terbesar dari bilangan

Untuk menemukan GCD dari beberapa angka, Anda perlu:

Temukan semua pembagi dari setiap bilangan asli secara terpisah, yaitu, uraikan menjadi faktor-faktor (bilangan prima);

Pilih semua faktor yang sama untuk angka yang diberikan;

Kalikan mereka bersama-sama.

Misalnya, untuk menghitung pembagi persekutuan terbesar dari angka 30 dan 56, Anda akan menulis yang berikut:

Agar tidak bingung dengan , akan lebih mudah untuk menulis pengali menggunakan kolom vertikal. Di sisi kiri garis, Anda perlu menempatkan dividen, dan di sebelah kanan - pembagi. Di bawah dividen, Anda harus menunjukkan hasil bagi yang dihasilkan.

Jadi, di kolom kanan akan ada semua faktor yang dibutuhkan untuk solusi.

Pembagi identik (faktor yang ditemukan) dapat digarisbawahi untuk kenyamanan. Mereka harus ditulis ulang dan dikalikan dan pembagi persekutuan terbesar harus ditulis.

KPK (30; 56) = 2 * 5 = 10

Ini benar-benar sederhana untuk menemukan pembagi umum terbesar dari angka. Dengan sedikit latihan, Anda dapat melakukannya hampir secara otomatis.

Bilangan asli terbesar dimana bilangan a dan b habis dibagi tanpa sisa disebut pembagi persekutuan terbesar angka-angka ini. Tunjukkan GCD (a, b).

Pertimbangkan untuk mencari KPK menggunakan contoh dua bilangan asli 18 dan 60:

1 Mari kita uraikan bilangan-bilangan tersebut menjadi faktor prima:
18 = 2×3×3
60 = 2×2×3×5

2 Hapus dari pemuaian bilangan pertama semua faktor yang tidak termasuk dalam pemuaian bilangan kedua, kita peroleh 2×3×3 .

3 Kami mengalikan faktor prima yang tersisa setelah mencoret dan mendapatkan pembagi persekutuan terbesar dari angka: gcd ( 18 , 60 )=2 × 3= 6 .

4 Perhatikan bahwa tidak masalah dari angka pertama atau kedua kita mencoret faktor, hasilnya akan sama:
18 = 2×3×3
60 = 2×2×3×5

324 , 111 dan 432

Mari kita uraikan bilangan tersebut menjadi faktor prima:

324 = 2×2×3×3×3×3

111 = 3 × 37

432 = 2×2×2×2×3×3×3

Hapus dari angka pertama, yang faktor-faktornya tidak ada dalam angka kedua dan ketiga, kita mendapatkan:

2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 3 = 3

Akibat GCD( 324 , 111 , 432 )=3

Menemukan GCD dengan Algoritma Euclid

Cara kedua untuk menemukan pembagi persekutuan terbesar menggunakan Algoritma Euclid. Algoritma Euclid adalah cara yang paling efisien untuk menemukan GCD, menggunakannya Anda harus terus-menerus menemukan sisa pembagian angka dan menerapkan rumus berulang.

Rumus berulang untuk GCD, gcd(a, b)=gcd(b, a mod b), di mana a mod b adalah sisa pembagian a dengan b.

Algoritma Euclid

Contoh Menemukan Pembagi Persekutuan Terbesar dari Bilangan 7920 dan 594

Mari kita cari GCD( 7920 , 594 ) menggunakan algoritma Euclid, kita akan menghitung sisa pembagian menggunakan kalkulator.

KPK( 7920 , 594 )

KPK( 594 , 7920 mod 594 ) = gcd( 594 , 198 )

KPK( 198 , 594 mod 198 ) = gcd( 198 , 0 )

KPK( 198 , 0 ) = 198

• 7920 mod 594 = 7920 - 13 × 594 = 198
• 594 mod 198 = 594 - 3 × 198 = 0

Akibatnya, kita mendapatkan GCD( 7920 , 594 ) = 198

Kelipatan persekutuan terkecil

Untuk menemukan penyebut yang sama saat menjumlahkan dan mengurangkan pecahan dengan penyebut yang berbeda, Anda perlu mengetahui dan dapat menghitung kelipatan persekutuan terkecil(NOC).

Kelipatan bilangan "a" adalah bilangan yang habis dibagi bilangan "a" tanpa sisa.

Bilangan yang merupakan kelipatan 8 (yaitu bilangan yang akan dibagi 8 tanpa sisa): ini adalah bilangan 16, 24, 32 ...

Kelipatan 9: 18, 27, 36, 45…

Ada banyak kelipatan tak terhingga dari bilangan a yang diberikan, berbeda dengan pembagi dari bilangan yang sama. Pembagi - angka yang terbatas.

Kelipatan persekutuan dua bilangan asli adalah bilangan yang habis dibagi oleh kedua bilangan tersebut..

Kelipatan persekutuan terkecil(KPK) dari dua atau lebih bilangan asli adalah bilangan asli terkecil yang habis dibagi oleh masing-masing bilangan tersebut.

Bagaimana menemukan NOC

KPK dapat ditemukan dan ditulis dalam dua cara.

Cara pertama mencari KPK

Cara ini biasanya digunakan untuk jumlah yang kecil.

1. Kami menulis kelipatan untuk masing-masing angka dalam satu baris sampai ada kelipatan yang sama untuk kedua angka.
2. Kelipatan angka "a" dilambangkan dengan huruf kapital "K".

Contoh. Cari KPK 6 dan 8.

Cara kedua untuk mencari KPK

Metode ini mudah digunakan untuk mencari KPK dari tiga bilangan atau lebih.

Banyaknya faktor yang identik dalam pemuaian bilangan dapat berbeda.

Dalam pemuaian bilangan yang lebih kecil (bilangan yang lebih kecil), garis bawahi faktor-faktor yang tidak termasuk dalam pemuaian bilangan yang lebih besar (dalam contoh kita adalah 2) dan tambahkan faktor-faktor ini pada pemuaian bilangan yang lebih besar.
KPK (24, 60) = 2 2 3 5 2

Catat pekerjaan yang dihasilkan sebagai tanggapan.
Jawaban: KPK (24, 60) = 120

Anda juga dapat memformalkan menemukan kelipatan persekutuan terkecil (KPK) sebagai berikut. Mari kita cari KPK (12, 16, 24) .

24 = 2 2 2 3

Seperti yang kita lihat dari pemuaian bilangan, semua faktor dari 12 termasuk dalam perluasan 24 (bilangan terbesar), jadi kita hanya menambahkan satu 2 dari perluasan bilangan 16 ke KPK.

KPK (12, 16, 24) = 2 2 2 3 2 = 48

Jawaban: KPK (12, 16, 24) = 48

Kasus khusus untuk menemukan NOC

Jika salah satu bilangan habis dibagi dengan bilangan lainnya, maka kelipatan persekutuan terkecil dari bilangan tersebut adalah sama dengan bilangan tersebut.

Misal KPK(60, 15) = 60
Karena bilangan koprima tidak memiliki pembagi prima yang sama, kelipatan persekutuan terkecilnya sama dengan produk dari bilangan-bilangan ini.

Di situs kami, Anda juga dapat menggunakan kalkulator khusus untuk menemukan kelipatan persekutuan terkecil secara online untuk memeriksa perhitungan Anda.

Jika bilangan asli hanya habis dibagi 1 dan dirinya sendiri, maka disebut prima.

Setiap bilangan asli selalu habis dibagi 1 dan dirinya sendiri.

Bilangan 2 adalah bilangan prima terkecil. Ini adalah satu-satunya bilangan prima genap, sisa bilangan prima ganjil.

Ada banyak bilangan prima, dan yang pertama adalah bilangan 2. Namun, tidak ada bilangan prima terakhir. Di bagian "Untuk Belajar", Anda dapat mengunduh tabel bilangan prima hingga 997.

Tetapi banyak bilangan asli yang habis dibagi dengan bilangan asli lainnya.

• angka 12 habis dibagi 1, 2, 3, 4, 6, 12;
• 36 habis dibagi 1, 2, 3, 4, 6, 12, 18, 36.

Angka-angka di mana angka tersebut dapat dibagi secara merata (untuk 12 ini adalah 1, 2, 3, 4, 6 dan 12) disebut pembagi dari angka tersebut.

Pembagi bilangan asli a adalah bilangan asli yang membagi bilangan "a" yang diberikan tanpa sisa.

Bilangan asli yang memiliki lebih dari dua faktor disebut bilangan komposit.

Perhatikan bahwa angka 12 dan 36 memiliki pembagi yang sama. Ini adalah angka: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Pembagi terbesar dari bilangan-bilangan ini adalah 12.

Pembagi persekutuan dari dua bilangan yang diberikan "a" dan "b" adalah bilangan yang membagi kedua bilangan "a" dan "b" tanpa sisa.

Pembagi Umum Terbesar(PBK) dari dua bilangan yang diberikan "a" dan "b" adalah bilangan terbesar dimana kedua bilangan "a" dan "b" habis dibagi tanpa sisa.

Secara singkat, pembagi persekutuan terbesar dari angka "a" dan "b" ditulis sebagai berikut::

Contoh: gcd (12; 36) = 12 .

Pembagi angka dalam catatan solusi dilambangkan dengan huruf kapital "D".

Angka 7 dan 9 hanya memiliki satu pembagi yang sama - angka 1. Angka-angka seperti itu disebut bilangan koprima.

bilangan koprima adalah bilangan asli yang hanya memiliki satu pembagi yang sama - nomor 1. GCD mereka adalah 1.

Bagaimana menemukan pembagi persekutuan terbesar

Untuk menemukan gcd dari dua atau lebih bilangan asli yang Anda butuhkan:

• menguraikan pembagi bilangan menjadi faktor prima;

Perhitungan mudah ditulis menggunakan bilah vertikal. Di sebelah kiri baris, pertama-tama tuliskan dividen, di sebelah kanan - pembagi. Selanjutnya di kolom kiri kita tuliskan nilai-nilai private.

Mari kita jelaskan segera dengan sebuah contoh. Mari kita faktorkan bilangan 28 dan 64 menjadi faktor prima.

Garis bawahi faktor prima yang sama pada kedua bilangan tersebut.
28 = 2 2 7

64 = 2 2 2 2 2 2
Kami menemukan produk dari faktor prima yang identik dan menuliskan jawabannya;
KPK (28; 64) = 2 2 = 4

Jawaban: KPK (28; 64) = 4

Anda dapat mengatur lokasi GCD dengan dua cara: di kolom (seperti yang dilakukan di atas) atau "dalam satu baris".

Cara pertama untuk menulis GCD

Cari KPK 48 dan 36.

KPK (48; 36) = 2 2 3 = 12

Cara kedua untuk menulis GCD

Sekarang mari kita tulis solusi pencarian GCD dalam satu baris. Cari KPK 10 dan 15.

Di situs informasi kami, Anda juga dapat menemukan pembagi umum terbesar secara online menggunakan program pembantu untuk memeriksa perhitungan Anda.

Menemukan kelipatan persekutuan terkecil, metode, contoh mencari KPK.

Materi yang disajikan di bawah ini merupakan kelanjutan logis dari teori dari artikel di bawah judul KPK - Kelipatan Persekutuan Terkecil, definisi, contoh, hubungan KPK dan KPK. Di sini kita akan berbicara tentang mencari kelipatan persekutuan terkecil (KPK), dan memberikan perhatian khusus untuk memecahkan contoh. Mari kita tunjukkan terlebih dahulu bagaimana KPK dari dua bilangan dihitung dalam bentuk FPB dari bilangan-bilangan ini. Selanjutnya, pertimbangkan untuk menemukan kelipatan persekutuan terkecil dengan memfaktorkan bilangan menjadi faktor prima. Setelah itu, kita akan fokus mencari KPK dari tiga bilangan atau lebih, dan juga memperhatikan perhitungan KPK dari bilangan negatif.

Navigasi halaman.

Perhitungan kelipatan persekutuan terkecil (KPK) melalui gcd

Salah satu cara untuk mencari kelipatan persekutuan terkecil adalah berdasarkan hubungan antara KPK dan KPK. Hubungan yang ada antara KPK dan KPK memungkinkan Anda menghitung kelipatan persekutuan terkecil dari dua bilangan bulat positif melalui pembagi persekutuan terbesar yang diketahui. Rumus yang sesuai memiliki bentuk KPK(a, b)=a b: KPK(a, b). Perhatikan contoh mencari KPK menurut rumus di atas.

Tentukan kelipatan persekutuan terkecil dari dua bilangan 126 dan 70 .

Dalam contoh ini a=126 , b=70 . Mari kita gunakan link KPK dengan KPK, yang dinyatakan dengan rumus KPK(a, b)=a b: GCM(a, b) . Artinya, pertama-tama kita harus mencari pembagi persekutuan terbesar dari angka 70 dan 126, setelah itu kita dapat menghitung KPK dari angka-angka tersebut sesuai dengan rumus tertulis.

Temukan gcd(126, 70) menggunakan algoritma Euclid: 126=70 1+56 , 70=56 1+14 , 56=14 4 , maka gcd(126, 70)=14 .

Sekarang kita menemukan kelipatan persekutuan terkecil yang diperlukan: LCM(126, 70)=126 70:GCD(126, 70)= 126 70:14=630 .

Apa KPK(68, 34) ?

Karena 68 habis dibagi 34 , maka gcd(68, 34)=34 . Sekarang kita menghitung kelipatan persekutuan terkecil: KPK(68, 34)=68 34:GCD(68, 34)= 68 34:34=68 .

Perhatikan bahwa contoh sebelumnya sesuai dengan aturan berikut untuk mencari KPK untuk bilangan bulat positif a dan b: jika bilangan a habis dibagi b , maka kelipatan persekutuan terkecil dari bilangan-bilangan ini adalah a .

Mencari KPK dengan Memfaktorkan Bilangan Menjadi Faktor Prima

Cara lain untuk mencari kelipatan persekutuan terkecil adalah dengan memfaktorkan bilangan menjadi faktor prima. Jika kita membuat produk dari semua faktor prima dari angka-angka ini, setelah itu kita mengecualikan dari produk ini semua faktor prima umum yang ada dalam perluasan angka-angka ini, maka produk yang dihasilkan akan sama dengan kelipatan persekutuan terkecil dari angka-angka ini.

Aturan yang diumumkan untuk mencari KPK mengikuti persamaan LCM(a, b)=a b: GCD(a, b) . Memang, produk dari angka a dan b sama dengan produk dari semua faktor yang terlibat dalam ekspansi angka a dan b. Pada gilirannya, gcd(a, b) sama dengan produk dari semua faktor prima yang secara bersamaan hadir dalam ekspansi bilangan a dan b (yang dijelaskan pada bagian tentang menemukan gcd menggunakan penguraian bilangan menjadi faktor prima ).

Mari kita ambil contoh. Diketahui bahwa 75=3 5 5 dan 210=2 3 5 7 . Buatlah produk dari semua faktor dari ekspansi ini: 2 3 3 5 5 5 7 . Sekarang kita mengecualikan dari produk ini semua faktor yang ada baik dalam perluasan angka 75 dan dalam perluasan angka 210 (faktor-faktor tersebut adalah 3 dan 5), maka produk akan berbentuk 2 3 5 5 7 . Nilai dari hasil kali ini sama dengan kelipatan persekutuan terkecil dari 75 dan 210 , yaitu KPK(75, 210)= 2 3 5 5 7=1 050 .

Setelah memfaktorkan bilangan 441 dan 700 menjadi faktor prima, tentukan kelipatan persekutuan terkecil dari bilangan-bilangan tersebut.

Mari kita uraikan bilangan 441 dan 700 menjadi faktor prima:

Kami mendapatkan 441=3 3 7 7 dan 700=2 2 5 5 7 .

Sekarang mari kita buat perkalian dari semua faktor yang terlibat dalam pemuaian bilangan-bilangan ini: 2 2 3 3 5 5 7 7 7 . Mari kita keluarkan dari produk ini semua faktor yang secara bersamaan hadir di kedua ekspansi (hanya ada satu faktor seperti itu - ini adalah angka 7): 2 2 3 3 5 5 7 7 . Jadi KPK(441, 700)=2 2 3 3 5 5 7 7=44 100 .

KPK(441, 700)= 44 100 .

Aturan untuk mencari KPK menggunakan penguraian bilangan menjadi faktor prima dapat dirumuskan sedikit berbeda. Jika kita menambahkan faktor-faktor yang hilang dari perluasan bilangan b ke faktor-faktor dari perluasan bilangan a, maka nilai hasil perkaliannya akan sama dengan kelipatan persekutuan terkecil dari bilangan a dan b.

Sebagai contoh, mari kita ambil semua bilangan yang sama 75 dan 210, ekspansinya menjadi faktor prima adalah sebagai berikut: 75=3 5 5 dan 210=2 3 5 7 . Untuk faktor 3, 5 dan 5 dari pemuaian bilangan 75, kita tambahkan faktor yang hilang 2 dan 7 dari pemuaian bilangan 210, kita mendapatkan hasil kali 2 3 5 5 7 , yang nilainya adalah KPK(75 , 210).

Tentukan kelipatan persekutuan terkecil dari 84 dan 648.

Pertama-tama kita peroleh dekomposisi bilangan 84 dan 648 menjadi faktor prima. Mereka terlihat seperti 84=2 2 3 7 dan 648=2 2 2 3 3 3 3 . Untuk faktor 2 , 2 , 3 dan 7 dari perluasan bilangan 84 kita tambahkan faktor yang hilang 2 , 3 , 3 dan 3 dari perluasan bilangan 648 , kita peroleh hasil kali 2 2 2 3 3 3 3 7 , yang sama dengan 4 536 . Jadi, kelipatan persekutuan terkecil yang diinginkan dari bilangan 84 dan 648 adalah 4,536.

Mencari KPK dari tiga bilangan atau lebih

Kelipatan persekutuan terkecil dari tiga bilangan atau lebih dapat dicari dengan mencari KPK dari dua bilangan secara berurutan. Ingat teorema yang sesuai, yang memberikan cara untuk menemukan KPK dari tiga angka atau lebih.

Misalkan bilangan bulat positif a 1 , a 2 , …, a k diberikan, kelipatan persekutuan terkecil dari bilangan-bilangan ini ditemukan dalam perhitungan berurutan m 2 = KPK (a 1 , a 2) , m 3 = KPK (m 2 , a 3) , … , m k =LCM(m k−1 , a k) .

Pertimbangkan penerapan teorema ini pada contoh menemukan kelipatan persekutuan terkecil dari empat bilangan.

Tentukan KPK dari keempat bilangan tersebut 140 , 9 , 54 dan 250 .

Pertama kita cari m 2 = KPK (a 1 , a 2) = KPK (140, 9 ). Untuk melakukan ini, menggunakan algoritma Euclidean, kami menentukan gcd(140, 9 ), kami memiliki 140=9 15+5 , 9=5 1+4 , 5=4 1+1 , 4=1 4 , oleh karena itu, gcd( 140, 9)=1 , dari mana KPK(140, 9)=140 9: FPB(140, 9)= 140 9:1=1 260 . Yaitu, m 2 = 260 .

Sekarang kita cari m 3 = KPK (m 2 , a 3) = KPK (1 260, 54) . Mari kita hitung melalui gcd(1 260, 54) , yang juga ditentukan oleh algoritma Euclid: 1 260=54 23+18 , 54=18 3 . Kemudian gcd(1 260, 54)=18 , dari mana KPK(1 260, 54)= 1 260 54:gcd(1 260, 54)= 1 260 54:18=3 780 . Artinya, m 3 \u003d 3 780.

Tetap mencari m 4 = KPK (m 3 , a 4) = KPK (3780, 250) . Untuk melakukan ini, kami menemukan GCD(3 780, 250) menggunakan algoritma Euclid: 3 780=250 15+30 , 250=30 8+10 , 30=10 3 . Oleh karena itu, gcd(3 780, 250)=10 , maka KPK(3 780, 250)= 3 780 250:gcd(3 780, 250)= 3 780 250:10=94 500 . Artinya, m 4 \u003d 94 500.

Jadi kelipatan persekutuan terkecil dari empat bilangan asli adalah 94.500.

KPK(140, 9, 54, 250)=94500 .

Dalam banyak kasus, kelipatan persekutuan terkecil dari tiga atau lebih bilangan mudah ditemukan dengan menggunakan faktorisasi prima dari bilangan-bilangan yang diberikan. Dalam hal ini, aturan berikut harus diikuti. Kelipatan persekutuan terkecil dari beberapa bilangan sama dengan hasil kali, yang tersusun sebagai berikut: faktor-faktor yang hilang dari perluasan bilangan kedua ditambahkan ke semua faktor dari perluasan bilangan pertama, faktor-faktor yang hilang dari perluasan angka ketiga ditambahkan ke faktor yang diperoleh, dan seterusnya.

Perhatikan contoh menemukan kelipatan persekutuan terkecil menggunakan penguraian bilangan menjadi faktor prima.

Tentukan kelipatan persekutuan terkecil dari lima bilangan 84 , 6 , 48 , 7 , 143 .

Pertama, kita peroleh penguraian bilangan-bilangan ini menjadi faktor prima: 84=2 2 3 7 , 6=2 3 , 48=2 2 2 2 3 , 7 (7 adalah bilangan prima, bertepatan dengan penguraiannya menjadi faktor prima) dan 143=11 13 .

Untuk mencari KPK dari angka-angka ini, ke faktor-faktor dari angka pertama 84 (yaitu 2 , 2 , 3 dan 7) Anda perlu menambahkan faktor-faktor yang hilang dari perluasan angka kedua 6 . Perluasan angka 6 tidak mengandung faktor yang hilang, karena 2 dan 3 sudah ada dalam perluasan angka pertama 84 . Selanjutnya faktor 2 , 2 , 3 dan 7 kita tambahkan faktor 2 dan 2 yang hilang dari pemuaian bilangan ketiga 48 , kita mendapatkan himpunan faktor 2 , 2 , 2 , 3 dan 7 . Tidak perlu menambahkan faktor ke set ini di langkah berikutnya, karena 7 sudah ada di dalamnya. Akhirnya, pada faktor 2 , 2 , 2 , 2 , 3 dan 7 kita tambahkan faktor yang hilang 11 dan 13 dari perluasan bilangan 143 . Kami mendapatkan produk 2 2 2 2 3 7 11 13 , yang sama dengan 48 048 .

Oleh karena itu, KPK(84, 6, 48, 7, 143)=48048 .

KPK(84, 6, 48, 7, 143)=48048 .

Menemukan Kelipatan Persekutuan Terkecil dari Bilangan Negatif

Terkadang ada tugas di mana Anda perlu menemukan kelipatan bilangan persekutuan terkecil, di antaranya satu, beberapa atau semua bilangan negatif. Dalam kasus ini, semua bilangan negatif harus diganti dengan bilangan yang berlawanan, setelah itu KPK dari bilangan positif harus ditemukan. Ini adalah cara mencari KPK dari bilangan negatif. Misalnya, KPK(54, 34)=LCM(54, 34) dan KPK(−622, 46, 54, 888)= KPK(622, 46, 54, 888) .

Kita bisa melakukan ini karena himpunan kelipatan dari a sama dengan himpunan kelipatan a (a dan a adalah bilangan berlawanan). Memang, misalkan b suatu kelipatan dari a , maka b habis dibagi a , dan konsep keterbagian menegaskan keberadaan suatu bilangan bulat q sehingga b=a q . Tetapi persamaan b=(−a)·(−q) juga akan benar, yang, berdasarkan konsep pembagian yang sama, berarti b habis dibagi a , yaitu, b adalah kelipatan dari a . Pernyataan sebaliknya juga benar: jika b adalah kelipatan dari a , maka b juga merupakan kelipatan dari a .

Tentukan kelipatan persekutuan terkecil dari bilangan negatif 145 dan 45.

Mari kita ganti bilangan negatif 145 dan 45 dengan bilangan lawannya 145 dan 45 . Kita memiliki KPK(−145, 45)=LCM(145, 45) . Setelah menentukan gcd(145, 45)=5 (misalnya, menggunakan algoritma Euclid), kita menghitung KPK(145, 45)=145 45:gcd(145, 45)= 145 45:5=1 305 . Jadi, kelipatan persekutuan terkecil dari bilangan bulat negatif 145 dan 45 adalah 1,305 .

www.cleversstudents.ru

Kami terus belajar divisi. Dalam pelajaran ini, kita akan melihat konsep-konsep seperti GCD dan NOC.

GCD adalah pembagi persekutuan terbesar.

NOC adalah kelipatan persekutuan terkecil.

Topiknya agak membosankan, tetapi perlu dipahami. Tanpa memahami topik ini, Anda tidak akan dapat bekerja secara efektif dengan pecahan, yang merupakan hambatan nyata dalam matematika.

Pembagi Umum Terbesar

Definisi. Pembagi Umum Terbesar dari Bilangan sebuah dan b sebuah dan b dibagi tanpa sisa.

Untuk memahami definisi ini dengan baik, kami mengganti bukan variabel sebuah dan b dua angka apa pun, misalnya, alih-alih variabel sebuah gantikan angka 12, dan bukan variabel b nomor 9. Sekarang mari kita coba membaca definisi ini:

Pembagi Umum Terbesar dari Bilangan 12 dan 9 adalah bilangan terbesar dimana 12 dan 9 dibagi tanpa sisa.

Jelas dari definisi bahwa kita berbicara tentang pembagi umum dari angka 12 dan 9, dan pembagi ini adalah yang terbesar dari semua pembagi yang ada. Pembagi persekutuan terbesar (gcd) ini harus ditemukan.

Untuk menemukan pembagi persekutuan terbesar dari dua angka, tiga metode digunakan. Metode pertama cukup memakan waktu, tetapi memungkinkan Anda untuk memahami esensi topik dengan baik dan merasakan seluruh maknanya.

Metode kedua dan ketiga cukup sederhana dan memungkinkan untuk menemukan GCD dengan cepat. Kami akan mempertimbangkan ketiga metode tersebut. Dan apa yang harus diterapkan dalam praktik - Anda pilih.

Cara pertama adalah menemukan semua kemungkinan pembagi dari dua bilangan dan memilih yang terbesar. Mari kita pertimbangkan metode ini dalam contoh berikut: tentukan pembagi persekutuan terbesar dari bilangan 12 dan 9.

Pertama, kami menemukan semua kemungkinan pembagi dari angka 12. Untuk melakukan ini, kami membagi 12 menjadi semua pembagi dalam rentang dari 1 hingga 12. Jika pembagi memungkinkan kami untuk membagi 12 tanpa sisa, maka kami akan menyorotnya dengan warna biru dan buatlah penjelasan yang sesuai dalam tanda kurung.

12: 1 = 12
(12 dibagi 1 tanpa sisa, jadi 1 adalah pembagi dari 12)

12: 2 = 6
(12 dibagi 2 tanpa sisa, jadi 2 adalah pembagi dari 12)

12: 3 = 4
(12 dibagi 3 tanpa sisa, jadi 3 adalah pembagi dari 12)

12: 4 = 3
(12 dibagi 4 tanpa sisa, jadi 4 adalah pembagi dari 12)

12:5 = 2 (2 kiri)
(12 tidak dibagi 5 tanpa sisa, jadi 5 bukan pembagi 12)

12: 6 = 2
(12 dibagi 6 tanpa sisa, jadi 6 adalah pembagi dari 12)

12: 7 = 1 (5 kiri)
(12 tidak dibagi 7 tanpa sisa, jadi 7 bukan pembagi 12)

12: 8 = 1 (4 kiri)
(12 tidak dibagi 8 tanpa sisa, jadi 8 bukan pembagi 12)

12:9 = 1 (3 kiri)
(12 tidak dibagi 9 tanpa sisa, jadi 9 bukan pembagi 12)

12: 10 = 1 (2 kiri)
(12 tidak dibagi 10 tanpa sisa, jadi 10 bukan pembagi 12)

12:11 = 1 (1 kiri)
(12 tidak dibagi 11 tanpa sisa, jadi 11 bukan pembagi 12)

12: 12 = 1
(12 dibagi 12 tanpa sisa, jadi 12 adalah pembagi dari 12)

Sekarang mari kita cari pembagi dari angka 9. Untuk melakukan ini, periksa semua pembagi dari 1 hingga 9

9: 1 = 9
(9 dibagi 1 tanpa sisa, jadi 1 adalah pembagi dari 9)

9: 2 = 4 (1 kiri)
(9 tidak dibagi 2 tanpa sisa, jadi 2 bukan pembagi 9)

9: 3 = 3
(9 dibagi 3 tanpa sisa, jadi 3 adalah pembagi dari 9)

9: 4 = 2 (1 kiri)
(9 tidak dibagi 4 tanpa sisa, jadi 4 bukan pembagi 9)

9:5 = 1 (4 kiri)
(9 tidak dibagi 5 tanpa sisa, jadi 5 bukan pembagi 9)

9: 6 = 1 (3 kiri)
(9 tidak habis dibagi 6 tanpa sisa, jadi 6 bukan pembagi 9)

9:7 = 1 (2 kiri)
(9 tidak dibagi 7 tanpa sisa, jadi 7 bukan pembagi 9)

9:8 = 1 (1 kiri)
(9 tidak dibagi 8 tanpa sisa, jadi 8 bukan pembagi 9)

9: 9 = 1
(9 dibagi 9 tanpa sisa, jadi 9 adalah pembagi dari 9)

Sekarang tuliskan pembagi kedua bilangan tersebut. Angka-angka yang disorot dengan warna biru adalah pembagi. Mari kita tuliskan:

Setelah menuliskan pembagi, Anda dapat segera menentukan mana yang terbesar dan paling umum.

Menurut definisi, pembagi persekutuan terbesar dari 12 dan 9 adalah angka yang dengannya 12 dan 9 habis dibagi. Pembagi terbesar dan persekutuan dari bilangan 12 dan 9 adalah bilangan 3

Baik angka 12 dan angka 9 habis dibagi 3 tanpa sisa:

Jadi gcd (12 dan 9) = 3

Cara kedua untuk menemukan GCD

Sekarang perhatikan cara kedua untuk menemukan pembagi persekutuan terbesar. Inti dari metode ini adalah menguraikan kedua bilangan menjadi faktor prima dan mengalikan yang umum.

Contoh 1. Tentukan KPK dari bilangan 24 dan 18

Pertama, mari faktorkan kedua bilangan tersebut menjadi faktor prima:

Sekarang kita kalikan faktor persekutuannya. Agar tidak bingung, faktor-faktor umum dapat digarisbawahi.

Kami melihat penguraian angka 24. Faktor pertamanya adalah 2. Kami mencari faktor yang sama dalam penguraian angka 18 dan melihat bahwa itu juga ada. Kami menggarisbawahi keduanya:

Sekali lagi kita melihat penguraian angka 24. Faktor keduanya juga 2. Kami mencari faktor yang sama dalam penguraian angka 18 dan melihat bahwa itu tidak ada untuk kedua kalinya. Kemudian kami tidak menyoroti apa pun.

Dua berikutnya dalam perluasan nomor 24 juga hilang dalam perluasan nomor 18.

Kami melewati faktor terakhir dalam penguraian angka 24. Ini adalah faktor 3. Kami mencari faktor yang sama dalam penguraian angka 18 dan kami melihat bahwa itu juga ada. Kami menekankan ketiganya:

Jadi, faktor persekutuan dari bilangan 24 dan 18 adalah faktor 2 dan 3. Untuk mendapatkan FPB, faktor-faktor ini harus dikalikan:

Jadi gcd (24 dan 18) = 6

Cara ketiga untuk menemukan GCD

Sekarang perhatikan cara ketiga untuk menemukan pembagi persekutuan terbesar. Inti dari metode ini terletak pada kenyataan bahwa bilangan-bilangan yang akan dicari pembagi persekutuan terbesarnya didekomposisi menjadi faktor-faktor prima. Kemudian, dari penguraian bilangan pertama, faktor-faktor yang tidak termasuk dalam penguraian bilangan kedua dihapus. Angka yang tersisa di ekspansi pertama dikalikan dan mendapatkan GCD.

Sebagai contoh, mari kita cari KPK untuk angka 28 dan 16 dengan cara ini. Pertama-tama, kami menguraikan angka-angka ini menjadi faktor prima:

Kami mendapat dua ekspansi: dan

Sekarang, dari pemuaian bilangan pertama, kita hapus faktor-faktor yang tidak termasuk dalam pemuaian bilangan kedua. Perluasan bilangan kedua tidak termasuk tujuh. Kami akan menghapusnya dari ekspansi pertama:

Sekarang kita kalikan faktor yang tersisa dan dapatkan GCD:

Angka 4 adalah pembagi persekutuan terbesar dari angka 28 dan 16. Kedua angka ini habis dibagi 4 tanpa sisa:

Contoh 2 Tentukan KPK dari bilangan 100 dan 40

Memfaktorkan bilangan 100

Memfaktorkan bilangan 40

Kami mendapat dua ekspansi:

Sekarang, dari pemuaian bilangan pertama, kita hapus faktor-faktor yang tidak termasuk dalam pemuaian bilangan kedua. Perluasan bilangan kedua tidak termasuk satu lima (hanya ada satu lima). Kami menghapusnya dari dekomposisi pertama

Kalikan angka yang tersisa:

Jawabannya adalah 20. Jadi, angka 20 adalah pembagi persekutuan terbesar dari angka 100 dan 40. Kedua angka ini habis dibagi 20 tanpa sisa:

KPK (100 dan 40) = 20.

Contoh 3 Tentukan gcd dari bilangan 72 dan 128

Memfaktorkan bilangan 72

Memfaktorkan bilangan 128

2×2×2×2×2×2×2

Sekarang, dari pemuaian bilangan pertama, kita hapus faktor-faktor yang tidak termasuk dalam pemuaian bilangan kedua. Perluasan bilangan kedua tidak termasuk dua kembar tiga (tidak ada sama sekali). Kami menghapusnya dari dekomposisi pertama:

Kita mendapatkan jawabannya 8. Jadi, angka 8 adalah pembagi persekutuan terbesar dari angka 72 dan 128. Kedua angka ini habis dibagi 8 tanpa sisa:

KPK (72 dan 128) = 8

Menemukan KPK untuk Banyak Angka

Pembagi persekutuan terbesar dapat ditemukan untuk beberapa bilangan, dan bukan hanya untuk dua. Untuk ini, angka-angka yang ditemukan untuk pembagi persekutuan terbesar didekomposisi menjadi faktor-faktor prima, kemudian produk dari faktor-faktor prima umum dari angka-angka ini ditemukan.

Sebagai contoh, mari kita cari KPK untuk bilangan 18, 24 dan 36

Memfaktorkan bilangan 18

Memfaktorkan bilangan 24

Memfaktorkan bilangan 36

Kami mendapat tiga ekspansi:

Sekarang kita memilih dan menggarisbawahi faktor persekutuan dalam angka-angka ini. Faktor persekutuan harus dimasukkan dalam ketiga bilangan:

Kita melihat bahwa faktor persekutuan dari bilangan 18, 24 dan 36 adalah faktor 2 dan 3. Dengan mengalikan faktor-faktor ini, kita mendapatkan FPB yang kita cari:

Jawabannya kita dapatkan 6. Jadi bilangan 6 adalah pembagi persekutuan terbesar dari bilangan 18, 24 dan 36. Ketiga bilangan ini habis dibagi 6 tanpa sisa:

KPK (18, 24 dan 36) = 6

Contoh 2 Cari gcd untuk nomor 12, 24, 36 dan 42

Mari kita memfaktorkan setiap angka. Kemudian kami menemukan produk dari faktor-faktor persekutuan dari angka-angka ini.

Memfaktorkan bilangan 12

Memfaktorkan bilangan 42

Kami mendapat empat ekspansi:

Sekarang kita memilih dan menggarisbawahi faktor persekutuan dalam angka-angka ini. Faktor persekutuan harus dimasukkan dalam keempat bilangan:

Kita melihat bahwa faktor persekutuan dari bilangan 12, 24, 36, dan 42 adalah faktor 2 dan 3. Dengan mengalikan faktor-faktor ini, kita mendapatkan FPB yang kita cari:

Kita mendapatkan jawabannya 6. Jadi, angka 6 adalah pembagi persekutuan terbesar dari angka 12, 24, 36 dan 42. Angka-angka ini habis dibagi 6 tanpa sisa:

gcd(12, 24, 36 dan 42) = 6

Dari pelajaran sebelumnya, kita mengetahui bahwa jika suatu bilangan dibagi dengan bilangan lain tanpa sisa, maka bilangan tersebut disebut kelipatan.

Ternyata kelipatan bisa menjadi persekutuan beberapa bilangan. Dan sekarang kita akan tertarik pada kelipatan dua angka, sementara itu harus sekecil mungkin.

Definisi. Kelipatan persekutuan terkecil (KPK) dari bilangan sebuah dan b- sebuah dan b sebuah dan nomor b.

Definisi mengandung dua variabel sebuah dan b. Mari kita substitusikan dua angka untuk variabel-variabel ini. Misalnya, alih-alih variabel sebuah gantikan angka 9, dan bukannya variabel b mari kita ganti dengan angka 12. Sekarang coba kita baca definisinya:

Kelipatan persekutuan terkecil (KPK) dari bilangan 9 dan 12 - adalah bilangan terkecil yang merupakan kelipatan dari 9 dan 12 . Dengan kata lain, itu adalah bilangan yang sangat kecil yang habis dibagi tanpa sisa oleh bilangan tersebut 9 dan pada nomor 12 .

Jelas dari definisi bahwa KPK adalah bilangan terkecil yang habis dibagi 9 dan 12. KPK ini harus dicari.

Ada dua cara untuk mencari kelipatan persekutuan terkecil (KPK). Cara pertama adalah Anda dapat menuliskan kelipatan pertama dari dua angka, dan kemudian memilih di antara kelipatan tersebut suatu angka yang akan umum untuk kedua angka dan kecil. Mari kita terapkan cara ini.

Pertama-tama, mari kita cari kelipatan pertama dari angka 9. Untuk mencari kelipatan 9, Anda harus mengalikan sembilan ini dengan angka dari 1 sampai 9. Jawaban yang Anda dapatkan adalah kelipatan dari angka 9. Jadi, Ayo mulai. Kelipatan akan disorot dengan warna merah:

Sekarang kita menemukan kelipatan untuk angka 12. Untuk melakukan ini, kita mengalikan 12 dengan semua angka 1 sampai 12 secara bergantian.