Diketahui bahwa tanda akar adalah akar kuadrat dari suatu bilangan. Namun, tanda akar tidak hanya berarti operasi aljabar, tetapi juga digunakan dalam pengerjaan kayu - dalam perhitungan ukuran relatif.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Jika Anda ingin mempelajari cara mengalikan akar "dengan" atau "tanpa" faktor, maka artikel ini cocok untuk Anda. Di dalamnya, kami akan mempertimbangkan metode untuk mengalikan akar:

• tanpa pengganda;
• dengan pengganda;
• dengan indikator yang berbeda.

Metode perkalian root tanpa pengganda

Algoritma tindakan:

Pastikan bahwa akar memiliki eksponen (derajat) yang sama. Ingatlah bahwa derajat ditulis di sebelah kiri di atas tanda akar. Jika tidak ada penunjukan derajat, ini berarti bahwa akarnya adalah kuadrat, mis. dengan derajat 2, dan dapat dikalikan dengan akar lain dengan derajat 2.

Contoh

Contoh 1: 18 × 2 = ?

Contoh 2: 10 × 5 = ?

Contoh

Contoh 1: 18 × 2 = 36

Contoh 2: 10 × 5 = 50

Contoh 3: 3 3 × 9 3 = 27 3

Sederhanakan ekspresi akar. Ketika kita mengalikan akar satu sama lain, kita dapat menyederhanakan ekspresi radikal yang dihasilkan menjadi produk suatu bilangan (atau ekspresi) dengan kuadrat atau kubus penuh:

Contoh

Contoh 1: 36 = 6 . 36 adalah akar kuadrat dari enam (6 × 6 = 36).

Contoh 2: 50 = (25 × 2) = (5 × 5) × 2 = 5 2 . Kami menguraikan angka 50 menjadi produk dari 25 dan 2. Akar dari 25 adalah 5, jadi kami mengambil 5 dari bawah tanda akar dan menyederhanakan ekspresinya.

Contoh 3: 27 3 = 3 . Akar pangkat tiga dari 27 adalah 3: 3 × 3 × 3 = 27.

Metode mengalikan indikator dengan pengganda

Algoritma tindakan:

Mengalikan pengganda. Pengganda adalah angka yang muncul sebelum tanda akar. Dengan tidak adanya pengganda, itu, secara default, dianggap satu. Selanjutnya, Anda perlu mengalikan faktornya:

Contoh

Contoh 1: 3 2 × 10 = 3 ? 3 x 1 = 3

Contoh 2: 4 3 × 3 6 = 12 ? 4 x 3 = 12

Kalikan angka di bawah tanda akar. Setelah Anda mengalikan faktornya, jangan ragu untuk mengalikan angka di bawah tanda akar:

Contoh

Contoh 1: 3 2 × 10 = 3 (2 × 10) = 3 20

Contoh 2: 4 3 × 3 6 = 12 (3 × 6) = 12 18

Sederhanakan ekspresi akar. Selanjutnya, Anda harus menyederhanakan nilai yang ada di bawah tanda root - Anda harus mengeluarkan angka yang sesuai dari tanda root. Setelah itu, Anda perlu mengalikan angka dan faktor yang muncul sebelum tanda akar:

Contoh

Contoh 1: 3 20 = 3 (4 × 5) = 3 (2 × 2) × 5 = (3 × 2) 5 = 6 5

Contoh 2: 12 18 = 12 (9 × 2) = 12 (3 × 3) × 2 = (12 × 3) 2 = 36 2

Metode perkalian akar dengan eksponen berbeda

Algoritma tindakan:

Temukan kelipatan persekutuan terkecil (KPK) dari eksponen. Kelipatan persekutuan terkecil adalah bilangan terkecil yang habis dibagi kedua pangkat.

Contoh

Hal ini diperlukan untuk menemukan KPK dari indikator untuk ekspresi berikut:

Eksponennya adalah 3 dan 2 . Untuk kedua bilangan ini, kelipatan persekutuan terkecil adalah bilangan 6 (dapat dibagi tanpa sisa oleh 3 dan 2). Untuk mengalikan akar, eksponen 6 diperlukan.

Tulis setiap ekspresi dengan eksponen baru:

Temukan angka yang Anda perlukan untuk mengalikan indikator untuk mendapatkan KPK.

Dalam ekspresi 5 3 Anda perlu mengalikan 3 dengan 2 untuk mendapatkan 6 . Dan dalam ekspresi 2 2 - sebaliknya, perlu dikalikan dengan 3 untuk mendapatkan 6.

Naikkan angka di bawah tanda akar ke pangkat yang sama dengan angka yang ditemukan pada langkah sebelumnya. Untuk ekspresi pertama, 5 perlu dipangkatkan 2, dan yang kedua - 2 dipangkatkan 3:

2 → 5 6 = 5 2 6 3 → 2 6 = 2 3 6

Naikkan ke kekuatan ekspresi dan tulis hasilnya di bawah tanda akar:

5 2 6 = (5 × 5) 6 = 25 6 2 3 6 = (2 × 2 × 2) 6 = 8 6

Kalikan angka di bawah akar:

(8×25) 6

Tulis hasil:

(8 × 25) 6 = 200 6

Jika memungkinkan, sederhanakan ekspresi, tetapi dalam kasus ini tidak disederhanakan.

Jika Anda melihat kesalahan dalam teks, harap sorot dan tekan Ctrl+Enter

Privasi Anda penting bagi kami. Untuk alasan ini, kami telah mengembangkan Kebijakan Privasi yang menjelaskan cara kami menggunakan dan menyimpan informasi Anda. Harap baca kebijakan privasi kami dan beri tahu kami jika Anda memiliki pertanyaan.

Pengumpulan dan penggunaan informasi pribadi

Informasi pribadi mengacu pada data yang dapat digunakan untuk mengidentifikasi atau menghubungi orang tertentu.

Anda mungkin diminta untuk memberikan informasi pribadi Anda kapan saja saat Anda menghubungi kami.

Berikut ini adalah beberapa contoh jenis informasi pribadi yang kami kumpulkan dan bagaimana kami dapat menggunakan informasi tersebut.

Informasi pribadi apa yang kami kumpulkan:

• Saat Anda mengajukan aplikasi di situs, kami dapat mengumpulkan berbagai informasi, termasuk nama, nomor telepon, alamat email, dll.

Bagaimana kami menggunakan informasi pribadi Anda:

• Informasi pribadi yang kami kumpulkan memungkinkan kami untuk menghubungi Anda dan memberi tahu Anda tentang penawaran unik, promosi, dan acara lainnya serta acara mendatang.
• Dari waktu ke waktu, kami dapat menggunakan informasi pribadi Anda untuk mengirimkan pemberitahuan dan pesan penting kepada Anda.
• Kami juga dapat menggunakan informasi pribadi untuk tujuan internal, seperti melakukan audit, analisis data, dan berbagai penelitian untuk meningkatkan layanan yang kami berikan dan memberi Anda rekomendasi terkait layanan kami.
• Jika Anda mengikuti undian berhadiah, kontes, atau insentif serupa, kami dapat menggunakan informasi yang Anda berikan untuk mengelola program tersebut.

Pengungkapan kepada pihak ketiga

Kami tidak mengungkapkan informasi yang diterima dari Anda kepada pihak ketiga.

Pengecualian:

• Jika perlu - sesuai dengan hukum, perintah pengadilan, dalam proses hukum, dan / atau berdasarkan permintaan publik atau permintaan dari badan-badan negara di wilayah Federasi Rusia - mengungkapkan informasi pribadi Anda. Kami juga dapat mengungkapkan informasi tentang Anda jika kami menentukan bahwa pengungkapan tersebut diperlukan atau sesuai untuk alasan keamanan, penegakan hukum, atau kepentingan publik lainnya.
• Jika terjadi reorganisasi, merger, atau penjualan, kami dapat mentransfer informasi pribadi yang kami kumpulkan kepada penerus pihak ketiga yang relevan.

Perlindungan informasi pribadi

Kami mengambil tindakan pencegahan - termasuk administratif, teknis, dan fisik - untuk melindungi informasi pribadi Anda dari kehilangan, pencurian, dan penyalahgunaan, serta dari akses, pengungkapan, perubahan, dan penghancuran yang tidak sah.

Menjaga privasi Anda di tingkat perusahaan

Untuk memastikan bahwa informasi pribadi Anda aman, kami mengomunikasikan praktik privasi dan keamanan kepada karyawan kami dan secara ketat menegakkan praktik privasi.

Halo kucing! Terakhir kali kami menganalisis secara rinci apa itu root (jika Anda tidak ingat, saya sarankan membaca). Kesimpulan utama dari pelajaran itu: hanya ada satu definisi universal tentang akar, yang perlu Anda ketahui. Sisanya adalah omong kosong dan buang-buang waktu.

Hari ini kita melangkah lebih jauh. Kita akan belajar mengalikan akar, kita akan mempelajari beberapa masalah yang berhubungan dengan perkalian (jika masalah ini tidak diselesaikan, maka bisa berakibat fatal pada ujian) dan kita akan berlatih dengan benar. Jadi siapkan popcorn, buat diri Anda nyaman - dan kita akan mulai. :)

Anda belum merokok, kan?

Pelajarannya ternyata cukup besar, jadi saya membaginya menjadi dua bagian:

1. Pertama, kita akan melihat aturan perkalian. Tutupnya tampaknya mengisyaratkan: ini adalah ketika ada dua akar, ada tanda "kalikan" di antara mereka - dan kami ingin melakukan sesuatu dengannya.
2. Kemudian kami akan menganalisis situasi sebaliknya: ada satu akar besar, dan kami tidak sabar untuk menyajikannya sebagai produk dari dua akar dengan cara yang lebih sederhana. Dengan ketakutan apa itu perlu adalah pertanyaan terpisah. Kami hanya akan menganalisis algoritma.

Bagi yang sudah tidak sabar untuk langsung masuk ke Bagian 2, sama-sama. Mari kita mulai dengan sisanya secara berurutan.

Aturan perkalian dasar

Mari kita mulai dengan yang paling sederhana - akar kuadrat klasik. Yang dilambangkan dengan $\sqrt(a)$ dan $\sqrt(b)$. Bagi mereka, semuanya umumnya jelas:

aturan perkalian. Untuk mengalikan satu akar kuadrat dengan akar kuadrat lainnya, Anda hanya perlu mengalikan ekspresi radikalnya, dan menulis hasilnya di bawah akar umum:

\[\sqrt(a)\cdot \sqrt(b)=\sqrt(a\cdot b)\]

Tidak ada batasan tambahan yang dikenakan pada angka di kanan atau kiri: jika akar pengali ada, maka produk juga ada.

Contoh. Pertimbangkan empat contoh dengan angka sekaligus:

\[\begin(align) & \sqrt(25)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(25\cdot 4)=\sqrt(100)=10; \\ & \sqrt(32)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8; \\ & \sqrt(54)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(54\cdot 6)=\sqrt(324)=18; \\ & \sqrt(\frac(3)(17))\cdot \sqrt(\frac(17)(27))=\sqrt(\frac(3)(17)\cdot \frac(17)(27 ))=\sqrt(\frac(1)(9))=\frac(1)(3). \\ \end(sejajarkan)\]

Seperti yang Anda lihat, arti utama dari aturan ini adalah untuk menyederhanakan ekspresi irasional. Dan jika dalam contoh pertama kita akan mengekstrak akar dari 25 dan 4 tanpa aturan baru, maka kaleng dimulai: $\sqrt(32)$ dan $\sqrt(2)$ tidak dihitung sendiri, tetapi hasil kali mereka adalah kuadrat eksak, jadi akarnya sama dengan bilangan rasional.

Secara terpisah, saya ingin mencatat baris terakhir. Di sana, kedua ekspresi radikal adalah pecahan. Berkat produk, banyak faktor yang dibatalkan, dan seluruh ekspresi berubah menjadi jumlah yang memadai.

Tentu saja, tidak semuanya akan selalu begitu indah. Kadang-kadang akan ada omong kosong lengkap di bawah akar - tidak jelas apa yang harus dilakukan dengannya dan bagaimana mengubahnya setelah perkalian. Beberapa saat kemudian, ketika Anda mulai mempelajari persamaan dan pertidaksamaan irasional, akan ada berbagai macam variabel dan fungsi secara umum. Dan sangat sering, penyusun masalah hanya mengandalkan fakta bahwa Anda akan menemukan beberapa persyaratan atau faktor kontrak, setelah itu tugas akan sangat disederhanakan.

Selain itu, tidak perlu mengalikan tepat dua akar. Anda dapat mengalikan tiga sekaligus, empat - ya bahkan sepuluh! Ini tidak akan mengubah aturan. Lihatlah:

\[\begin(align) & \sqrt(2)\cdot \sqrt(3)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(2\cdot 3\cdot 6)=\sqrt(36)=6; \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(2)\cdot \sqrt(0.001)=\sqrt(5\cdot 2\cdot 0.001)= \\ & =\sqrt(10\cdot \frac(1) (1000))=\sqrt(\frac(1)(100))=\frac(1)(10). \\ \end(sejajarkan)\]

Dan sekali lagi komentar kecil pada contoh kedua. Seperti yang Anda lihat, di pengganda ketiga, ada pecahan desimal di bawah akar - dalam proses perhitungan, kami menggantinya dengan yang biasa, setelah itu semuanya mudah dikurangi. Jadi: Saya sangat menyarankan untuk menyingkirkan pecahan desimal dalam ekspresi irasional apa pun (yaitu, mengandung setidaknya satu ikon radikal). Ini akan menghemat banyak waktu dan saraf di masa depan.

Tapi itu penyimpangan liris. Sekarang mari kita pertimbangkan kasus yang lebih umum - ketika eksponen root berisi angka arbitrer $n$, dan bukan hanya dua "klasik".

Kasus indikator arbitrer

Jadi, kami menemukan akar kuadrat. Dan apa yang harus dilakukan dengan kubus? Atau secara umum dengan akar derajat arbitrer $n$? Ya, semuanya sama. Aturannya tetap sama:

Untuk mengalikan dua akar derajat $n$, cukup dengan mengalikan ekspresi radikalnya, setelah itu hasilnya ditulis di bawah satu akar.

Secara umum, tidak ada yang rumit. Kecuali volume perhitungan bisa lebih. Mari kita lihat beberapa contoh:

Contoh. Hitung produk:

\[\begin(align) & \sqrt(20)\cdot \sqrt(\frac(125)(4))=\sqrt(20\cdot \frac(125)(4))=\sqrt(625)= 5; \\ & \sqrt(\frac(16)(625))\cdot \sqrt(0,16)=\sqrt(\frac(16)(625)\cdot \frac(16)(100))=\sqrt (\frac(64)(((25)^(2))\cdot 25))= \\ & =\sqrt(\frac(((4)^(3))))(((25)^(3 ))))=\sqrt(((\left(\frac(4)(25) \kanan))^(3)))=\frac(4)(25). \\ \end(sejajarkan)\]

Dan sekali lagi perhatikan ekspresi kedua. Kami mengalikan akar pangkat tiga, menyingkirkan pecahan desimal, dan sebagai hasilnya kami mendapatkan produk dari angka 625 dan 25 dalam penyebut Ini adalah angka yang agak besar - secara pribadi, saya tidak akan segera menghitung apa yang sama ke.

Oleh karena itu, kami hanya memilih kubus yang tepat di pembilang dan penyebut, dan kemudian menggunakan salah satu properti kunci (atau, jika Anda suka, definisi) dari akar tingkat $n$:

\[\begin(align) & \sqrt(((a)^(2n+1)))=a; \\ & \sqrt(((a)^(2n)))=\left| a\benar|. \\ \end(sejajarkan)\]

"Penipuan" semacam itu dapat menghemat banyak waktu Anda dalam ujian atau ujian, jadi ingatlah:

Jangan terburu-buru mengalikan angka dalam ekspresi radikal. Pertama, periksa: bagaimana jika tingkat yang tepat dari ekspresi apa pun "dienkripsi" di sana?

Dengan semua kejelasan pernyataan ini, saya harus mengakui bahwa sebagian besar siswa yang tidak siap tidak melihat derajat yang tepat. Sebaliknya, mereka mengalikan semuanya di depan, dan kemudian bertanya-tanya: mengapa mereka mendapatkan angka yang begitu brutal? :)

Namun, semua ini adalah permainan anak-anak dibandingkan dengan apa yang akan kita pelajari sekarang.

Perkalian akar dengan pangkat yang berbeda

Nah, sekarang kita bisa mengalikan akar dengan pangkat yang sama. Bagaimana jika skornya berbeda? Katakanlah, bagaimana Anda mengalikan $\sqrt(2)$ biasa dengan beberapa omong kosong seperti $\sqrt(23)$? Apakah mungkin untuk melakukan ini?

Ya, tentu saja kamu bisa. Semuanya dilakukan sesuai dengan rumus ini:

Aturan perkalian akar. Untuk mengalikan $\sqrt[n](a)$ dengan $\sqrt[p](b)$, lakukan saja transformasi berikut:

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]

Namun, rumus ini hanya berfungsi jika ekspresi radikal adalah non-negatif. Ini adalah komentar yang sangat penting, yang akan kami kembalikan nanti.

Untuk saat ini, mari kita lihat beberapa contoh:

\[\begin(align) & \sqrt(3)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(((3)^(4))\cdot ((2)^(3)))=\sqrt(81 \cdot8)=\sqrt(648); \\ & \sqrt(2)\cdot \sqrt(7)=\sqrt(((2)^(5))\cdot ((7)^(2)))=\sqrt(32\cdot 49)= \sqrt(1568); \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(625\cdot 9)= \sqrt(5625). \\ \end(sejajarkan)\]

Seperti yang Anda lihat, tidak ada yang rumit. Sekarang mari kita cari tahu dari mana persyaratan non-negatif itu berasal, dan apa yang akan terjadi jika kita melanggarnya. :)

Sangat mudah untuk mengalikan akar.

Mengapa ekspresi radikal harus non-negatif?

Tentu saja, Anda bisa menjadi seperti guru sekolah dan mengutip buku teks dengan tampilan yang cerdas:

Persyaratan non-negatif dikaitkan dengan definisi yang berbeda dari akar derajat genap dan ganjil (masing-masing, domain definisi mereka juga berbeda).

Nah, menjadi lebih jelas? Secara pribadi, ketika saya membaca omong kosong ini di kelas 8, saya memahami sendiri sesuatu seperti ini: "Persyaratan non-negatif terhubung dengan *#&^@(*#@^#)~%" - singkatnya, saya tidak mengerti apa-apa pada waktu itu. :)

Jadi sekarang saya akan menjelaskan semuanya dengan cara biasa.

Pertama, mari kita cari tahu dari mana rumus perkalian di atas berasal. Untuk melakukan ini, izinkan saya mengingatkan Anda tentang satu properti penting dari root:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

Dengan kata lain, kita dapat dengan aman menaikkan ekspresi root ke kekuatan alami $k$ - dalam hal ini, indeks root harus dikalikan dengan kekuatan yang sama. Oleh karena itu, kita dapat dengan mudah mengurangi akar apa pun menjadi indikator umum, setelah itu kita mengalikannya. Dari sinilah rumus perkalian berasal:

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p)))\cdot \sqrt(((b)^(n)))= \sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]

Tetapi ada satu masalah yang sangat membatasi penerapan semua formula ini. Pertimbangkan nomor ini:

Menurut rumus yang baru saja diberikan, kita dapat menambahkan derajat apa pun. Mari kita coba menambahkan $k=2$:

\[\sqrt(-5)=\sqrt(((\left(-5 \right))^(2)))=\sqrt(((5)^(2))))\]

Kami menghapus minus justru karena kotak membakar minus (seperti derajat genap lainnya). Dan sekarang mari kita lakukan transformasi terbalik: "kurangi" keduanya dalam eksponen dan derajat. Bagaimanapun, kesetaraan apa pun dapat dibaca dari kiri ke kanan dan kanan ke kiri:

\[\begin(align) & \sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\Rightarrow \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n ](sebuah); \\ & \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n](a)\Panah kanan \sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(((5)^( 2)))=\sqrt(5). \\ \end(sejajarkan)\]

Tapi kemudian sesuatu yang gila terjadi:

\[\sqrt(-5)=\sqrt(5)\]

Ini tidak mungkin karena $\sqrt(-5) \lt 0$ dan $\sqrt(5) \gt 0$. Ini berarti bahwa untuk pangkat genap dan bilangan negatif, rumus kita tidak lagi berfungsi. Setelah itu kami memiliki dua opsi:

1. Berjuang melawan tembok untuk menyatakan bahwa matematika adalah ilmu yang bodoh, di mana "ada beberapa aturan, tetapi ini tidak akurat";
2. Perkenalkan batasan tambahan di mana formula akan menjadi 100% berfungsi.

Pada opsi pertama, kita harus terus-menerus menangkap kasus "tidak berfungsi" - ini sulit, panjang, dan umumnya fu. Oleh karena itu, matematikawan lebih memilih opsi kedua. :)

Tapi jangan khawatir! Dalam praktiknya, pembatasan ini tidak mempengaruhi perhitungan dengan cara apa pun, karena semua masalah yang dijelaskan hanya menyangkut akar tingkat ganjil, dan minus dapat dihilangkan darinya.

Oleh karena itu, kami merumuskan aturan lain yang berlaku secara umum untuk semua tindakan dengan akar:

Sebelum mengalikan akar-akarnya, pastikan bahwa ekspresi radikal adalah non-negatif.

Contoh. Di nomor $\sqrt(-5)$, Anda dapat mengambil minus dari bawah tanda root - maka semuanya akan baik-baik saja:

\[\begin(align) & \sqrt(-5)=-\sqrt(5) \lt 0\Rightarrow \\ & \sqrt(-5)=-\sqrt(((5)^(2))) =-\sqrt(25)=-\sqrt(((5)^(2)))=-\sqrt(5) \lt 0 \\ \end(align)\]

Rasakan perbedaan nya? Jika Anda meninggalkan minus di bawah root, maka ketika ekspresi radikal dikuadratkan, itu akan hilang, dan omong kosong akan dimulai. Dan jika Anda pertama kali mengambil minus, maka Anda bahkan dapat menaikkan / menghapus kotak sampai wajah Anda biru - angkanya akan tetap negatif. :)

Jadi, cara yang paling benar dan paling dapat diandalkan untuk mengalikan akar adalah sebagai berikut:

1. Hapus semua minus dari bawah radikal. Minus hanya ada di akar multiplisitas ganjil - mereka dapat ditempatkan di depan root dan, jika perlu, dikurangi (misalnya, jika ada dua minus ini).
2. Lakukan perkalian menurut aturan yang dibahas di atas dalam pelajaran hari ini. Jika indeks akarnya sama, cukup kalikan ekspresi akarnya. Dan jika berbeda, kita menggunakan rumus jahat \[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b) ^(n) ))\].
3. 3. Kami menikmati hasil dan nilai bagus. :)

Sehat? Haruskah kita berlatih?

Contoh 1. Sederhanakan ekspresi:

\[\begin(align) & \sqrt(48)\cdot \sqrt(-\frac(4)(3))=\sqrt(48)\cdot \left(-\sqrt(\frac(4)(3 )) \kanan)=-\sqrt(48)\cdot \sqrt(\frac(4)(3))= \\ & =-\sqrt(48\cdot \frac(4)(3))=-\ kuadrat(64)=-4; \end(sejajarkan)\]

Ini adalah opsi paling sederhana: indikator akarnya sama dan ganjil, masalahnya hanya di minus pengali kedua. Kami menanggung minus nafig ini, setelah itu semuanya dengan mudah dipertimbangkan.

Contoh 2. Sederhanakan ekspresi:

\[\begin(align) & \sqrt(32)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(((2)^(5)))\cdot \sqrt(((2)^(2)))= \sqrt(((\left(((2)^(5)) \kanan))^(3))\cdot ((\left(((2)^(2)) \kanan))^(4) ))= \\ & =\sqrt(((2)^(15))\cdot ((2)^(8)))=\sqrt(((2)^(23))) \\ \end( meluruskan)\]

Di sini, banyak yang akan dibingungkan oleh fakta bahwa keluarannya ternyata merupakan bilangan irasional. Ya, itu terjadi: kami tidak dapat sepenuhnya menghilangkan root, tetapi setidaknya kami menyederhanakan ekspresi secara signifikan.

Contoh 3. Sederhanakan ekspresi:

\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((\left((( a)^(4)) \kanan))^(6)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((a)^(24)))= \\ & =\sqrt( ((a)^(27)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 9)))=\sqrt(((a)^(3))) \end(align)\]

Inilah yang saya ingin menarik perhatian Anda. Ada dua poin di sini:

1. Di bawah akar bukanlah angka atau derajat tertentu, tetapi variabel $a$. Sepintas, ini agak tidak biasa, tetapi pada kenyataannya, ketika memecahkan masalah matematika, Anda paling sering harus berurusan dengan variabel.
2. Pada akhirnya, kami berhasil "mengurangi" eksponen akar dan derajat dalam ekspresi radikal. Ini cukup sering terjadi. Dan ini berarti dimungkinkan untuk menyederhanakan perhitungan secara signifikan jika Anda tidak menggunakan rumus utama.

Misalnya, Anda dapat melakukan ini:

\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt((\left(((a)^( 4)) \kanan))^(2)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(8))) \\ & =\sqrt(a\cdot ((a)^( 8)))=\sqrt(((a)^(9)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 3)))=\sqrt(((a)^(3))) \ \ \end(sejajarkan)\]

Faktanya, semua transformasi dilakukan hanya dengan radikal kedua. Dan jika Anda tidak melukis secara rinci semua langkah perantara, maka pada akhirnya jumlah perhitungan akan berkurang secara signifikan.

Sebenarnya, kita telah menemukan tugas serupa di atas saat menyelesaikan contoh $\sqrt(5)\cdot \sqrt(3)$. Sekarang dapat ditulis lebih mudah:

\[\begin(align) & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(( (\left(((5)^(2))\cdot 3 \kanan))^(2)))= \\ & =\sqrt(((\left(75 \kanan))^(2))) =\sqrt(75). \end(sejajarkan)\]

Nah, kami menemukan perkalian dari akar-akarnya. Sekarang pertimbangkan operasi terbalik: apa yang harus dilakukan ketika ada pekerjaan di bawah root?

Rumus kekuatan digunakan dalam proses mereduksi dan menyederhanakan ekspresi kompleks, dalam memecahkan persamaan dan pertidaksamaan.

Nomor c adalah n-kekuatan suatu bilangan sebuah Kapan:

Operasi dengan derajat.

1. Mengalikan derajat dengan basis yang sama, indikatornya bertambah:

sayaa n = a m + n .

2. Dalam pembagian derajat dengan basis yang sama, indikatornya dikurangi:

3. Derajat perkalian 2 faktor atau lebih sama dengan perkalian derajat faktor-faktor ini:

(abc…) n = a n b n c n …

4. Derajat pecahan sama dengan rasio derajat pembagian dan pembagi:

(a/b) n = a n / b n .

5. Menaikkan pangkat ke pangkat, eksponen dikalikan:

(am) n = a m n .

Setiap rumus di atas benar dalam arah dari kiri ke kanan dan sebaliknya.

Misalnya. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Operasi dengan akar.

1. Akar perkalian beberapa faktor sama dengan hasil perkalian akar-akar faktor ini:

2. Akar rasio sama dengan rasio bagi hasil dan pembagi akar:

3. Saat menaikkan akar ke pangkat, cukup menaikkan nomor akar ke pangkat ini:

4. Jika kita meningkatkan derajat akar dalam n sekali dan pada saat yang sama naik ke n th power adalah nomor root, maka nilai root tidak akan berubah:

5. Jika kita menurunkan derajat akar dalam n root pada saat yang sama n derajat th dari bilangan akar, maka nilai akarnya tidak akan berubah:

Gelar dengan eksponen negatif. Derajat bilangan tertentu dengan eksponen non-positif (bilangan bulat) didefinisikan sebagai satu dibagi dengan derajat bilangan yang sama dengan eksponen yang sama dengan nilai absolut dari eksponen non-positif:

Rumus saya:a n = a m - n dapat digunakan tidak hanya untuk m> n, tetapi juga di m< n.

Misalnya. sebuah4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Untuk merumuskan saya:a n = a m - n menjadi adil di m=n, Anda membutuhkan kehadiran derajat nol.

Gelar dengan eksponen nol. Pangkat bilangan bukan nol dengan eksponen nol sama dengan satu.

Misalnya. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Gelar dengan eksponen pecahan. Untuk menaikkan bilangan asli sebuah sampai tingkat tertentu M N, Anda perlu mengekstrak root n derajat m kekuatan nomor ini sebuah.