Mengubah pecahan menjadi desimal

Katakanlah kita ingin mengubah pecahan biasa 11/4 menjadi desimal. Cara termudah untuk melakukannya adalah ini:

						2∙2∙5∙5

Kita berhasil karena dalam hal ini faktorisasi penyebut menjadi faktor prima hanya terdiri dari dua. Kami melengkapi ekspansi ini dengan dua angka lima lagi, mengambil keuntungan dari fakta bahwa 10 = 2∙5, dan mendapatkan pecahan desimal. Prosedur seperti itu jelas mungkin jika dan hanya jika penguraian penyebut menjadi faktor prima tidak mengandung apa pun kecuali dua dan lima. Jika ada bilangan prima lain dalam perluasan penyebut, maka pecahan seperti itu tidak dapat diubah menjadi desimal. Namun demikian, kami akan mencoba melakukan ini, tetapi hanya dengan cara yang berbeda, yang akan kami kenali pada contoh pecahan yang sama 11/4. Mari kita bagi 11 dengan 4 "sudut":

Di baris respons, kami mendapatkan bagian bilangan bulat ( 2 ), dan kami juga memiliki sisanya ( 3 ). Sebelumnya, kami mengakhiri pembagian ini, tetapi sekarang kami tahu bahwa koma dan beberapa nol dapat dikaitkan dengan dividen ( 11 ) di sebelah kanan, yang akan kami lakukan secara mental sekarang. Setelah titik desimal datang tempat kesepuluh. Nol, yang merupakan singkatan dari dividen dalam kategori ini, kami akan mengaitkannya dengan sisa yang dihasilkan (3):

Sekarang pembagian dapat berlanjut seolah-olah tidak ada yang terjadi. Anda hanya perlu ingat untuk meletakkan koma setelah bagian integer di baris jawaban:

Sekarang kita atribusikan ke sisa ( 2 ) nol, yang berada pada pembagian di tempat keseratus dan membawa pembagian ke akhir:

Akibatnya, kita mendapatkan, seperti sebelumnya,

Sekarang mari kita coba menghitung dengan cara yang persis sama dengan pecahan 27/11:

Kami mendapat nomor 2,45 di baris jawaban, dan nomor 5 di baris sisanya. Tetapi kita telah melihat sisa-sisa seperti itu sebelumnya. Oleh karena itu, kita dapat segera mengatakan bahwa jika kita melanjutkan pembagian kita dengan "sudut", maka angka berikutnya di baris jawaban adalah 4, kemudian angka 5 akan pergi, lalu lagi 4 dan lagi 5, dan seterusnya, ad infinitum :

27 / 11 = 2,454545454545...

Kami telah menerima apa yang disebut berkala pecahan desimal dengan periode 45. Untuk pecahan seperti itu, digunakan notasi yang lebih ringkas, di mana periode hanya ditulis satu kali, tetapi pada saat yang sama diapit dalam tanda kurung:

2,454545454545... = 2,(45).

Secara umum, jika kita membagi satu bilangan asli dengan "sudut", menulis jawabannya sebagai pecahan desimal, maka hanya dua hasil yang mungkin: (1) cepat atau lambat kita akan mendapatkan nol di garis sisa, (2) atau akan ada sisa seperti itu, yang telah kita temui sebelumnya (kumpulan residu yang mungkin terbatas, karena semuanya jelas lebih kecil dari pembagi). Dalam kasus pertama, hasil pembagian adalah pecahan desimal akhir, dalam kasus kedua, pecahan periodik.

Mengubah Desimal Berkala ke Pecahan Biasa

Mari kita diberikan pecahan desimal periodik positif dengan bagian bilangan bulat nol, misalnya:

sebuah = 0,2(45).

Bagaimana cara mengubah pecahan ini kembali ke pecahan biasa?

Mari kita kalikan dengan 10 k, di mana k adalah jumlah digit antara koma dan kurung buka yang menunjukkan awal periode. Pada kasus ini k= 1 dan 10 k = 10:

sebuah∙ 10 k = 2,(45).

Kalikan hasilnya dengan 10 n, di mana n- "panjang" periode, yaitu jumlah digit yang diapit di antara tanda kurung. Pada kasus ini n= 2 dan 10 n = 100:

sebuah∙ 10 k ∙ 10 n = 245,(45).

Sekarang mari kita hitung selisihnya

sebuah∙ 10 k ∙ 10 n − sebuah∙ 10 k = 245,(45) − 2,(45).

Karena bagian pecahan dari minuend dan subtrahend adalah sama, maka bagian pecahan dari selisihnya adalah nol, dan kita sampai pada persamaan sederhana untuk sebuah:

sebuah∙ 10 k ∙ (10 n − 1) = 245 − 2.

Persamaan ini diselesaikan dengan menggunakan transformasi berikut:

sebuah∙ 10 ∙ (100 − 1) = 245 − 2.

sebuah∙ 10 ∙ 99 = 245 − 2.

	245 − 2
	10 ∙ 99

Kami sengaja tidak mengakhiri perhitungan, sehingga dapat dilihat dengan jelas bagaimana hasil ini dapat segera ditulis, menghilangkan argumen perantara. Pengurangan pada pembilang ( 245) adalah bagian pecahan dari bilangan tersebut

sebuah = 0,2(45)

jika Anda menghapus tanda kurung di entrinya. Pengurang pada pembilang (2) adalah bagian non-periodik dari bilangan tersebut sebuah, terletak di antara koma dan kurung buka. Faktor pertama pada penyebut ( 10 ) adalah satu, dimana angka nol diberikan sebanyak banyaknya angka pada bagian non-periodik ( k). Faktor kedua penyebut ( 99 ) adalah bilangan sembilan sebanyak jumlah angka pada periode ( n).

Sekarang perhitungan kami dapat diselesaikan:

Di sini ada titik pada pembilangnya, dan angka sembilan dalam penyebutnya sama banyaknya dengan jumlah angka pada titik tersebut. Setelah dikurangi 9, pecahan yang dihasilkan sama dengan

Di jalan yang sama,

Desimal memiliki dua bagian yang dipisahkan dengan koma. Bagian pertama adalah satuan bilangan bulat, bagian kedua adalah puluhan (jika angka setelah titik desimal adalah satu), ratusan (dua angka setelah titik desimal, seperti dua nol dalam seratus), seperseribu, dll. Mari kita lihat contoh desimal: 0, 2; 7, 54; 235.448; 5.1; 6.32; 0,5. Ini semua desimal. Bagaimana cara mengubah desimal menjadi pecahan biasa?

Contoh satu

Kami memiliki pecahan, misalnya, 0,5. Seperti disebutkan di atas, itu terdiri dari dua bagian. Angka pertama, 0, menunjukkan berapa banyak satuan bilangan bulat yang dimiliki pecahan tersebut. Dalam kasus kami, mereka tidak. Angka kedua menunjukkan puluhan. Pecahan itu bahkan membaca nol koma lima persepuluh. Angka desimal ubah ke pecahan sekarang tidak akan sulit, kami menulis 5/10. Jika Anda melihat bahwa angka-angka tersebut memiliki pembagi yang sama, Anda dapat mengurangi pecahannya. Kami memiliki angka 5 ini, membagi kedua bagian pecahan dengan 5, kami mendapatkan - 1/2.

Contoh dua

Mari kita ambil pecahan yang lebih kompleks - 2.25. Dibaca seperti ini - dua utuh dan dua puluh lima ratus. Perhatikan - perseratus, karena ada dua angka setelah titik desimal. Sekarang Anda dapat mengubahnya menjadi pecahan biasa. Kami menuliskan - 2 25/100. Bagian bilangan bulat adalah 2, bagian pecahan adalah 25/100. Seperti pada contoh pertama, bagian ini dapat dipersingkat. Pembagi persekutuan untuk 25 dan 100 adalah 25. Perhatikan bahwa kita selalu memilih pembagi persekutuan terbesar. Membagi kedua bagian pecahan dengan GCD, kami mendapat 1/4. Jadi 2, 25 adalah 2 1/4.

Contoh tiga

Dan untuk mengkonsolidasikan materi, mari kita ambil pecahan desimal 4.112 - empat utuh dan seratus dua belas ribu. Mengapa seperseribu, saya pikir, sudah jelas. Sekarang kita tulis 4 112/1000. Menurut algoritme, kami menemukan GCD dari angka 112 dan 1000. Dalam kasus kami, ini adalah angka 6. Kami mendapatkan 4 14/125.

Kesimpulan

1. Kami memecah pecahan menjadi bagian bilangan bulat dan pecahan.
2. Kami melihat berapa banyak digit setelah titik desimal. Jika satu adalah puluhan, dua adalah ratusan, tiga adalah seperseribu, dll.
3. Kami menulis pecahan dalam bentuk biasa.
4. Kami mengurangi pembilang dan penyebut pecahan.
5. Tuliskan pecahan yang dihasilkan.
6. Kami melakukan pemeriksaan, membagi bagian atas pecahan dengan bagian bawah. Jika ada bagian bilangan bulat, tambahkan ke pecahan desimal yang dihasilkan. Ternyata versi aslinya - hebat, jadi Anda melakukan segalanya dengan benar.

Dengan menggunakan contoh, saya menunjukkan bagaimana Anda dapat mengubah pecahan desimal menjadi pecahan biasa. Seperti yang Anda lihat, sangat mudah dan sederhana untuk melakukan ini.

Pecahan dapat diubah menjadi bilangan bulat atau desimal. Pecahan tak wajar, yang pembilangnya lebih besar dari penyebutnya dan habis dibagi tanpa sisa, diubah menjadi bilangan bulat, misalnya: 20/5. Bagilah 20 dengan 5 dan dapatkan angka 4. Jika pecahan benar yaitu pembilangnya lebih kecil dari penyebutnya, maka ubahlah menjadi bilangan (pecahan desimal). Anda dapat mempelajari lebih lanjut tentang pecahan dari bagian kami -.

Cara mengubah pecahan menjadi bilangan

• Cara pertama mengubah pecahan menjadi bilangan cocok untuk pecahan yang dapat diubah menjadi bilangan yaitu pecahan desimal. Pertama, mari kita cari tahu apakah mungkin untuk mengubah pecahan tertentu menjadi pecahan desimal. Untuk melakukan ini, perhatikan penyebutnya (angka yang berada di bawah garis atau di sebelah kanan miring). Jika penyebut dapat diurai menjadi faktor-faktor (dalam contoh kita - 2 dan 5), yang dapat diulang, maka pecahan ini benar-benar dapat diubah menjadi pecahan desimal akhir. Misalnya: 11/40 =11/(2∙2∙2∙5). Pecahan biasa ini akan diubah menjadi angka (pecahan desimal) dengan jumlah tempat desimal yang terbatas. Tetapi pecahan 17/60 =17/(5∙2∙2∙3) akan diterjemahkan ke dalam bilangan dengan jumlah tempat desimal yang tak terhingga. Artinya, ketika menghitung nilai numerik secara akurat, cukup sulit untuk menentukan tanda akhir setelah titik desimal, karena ada jumlah tak terbatas dari tanda-tanda tersebut. Oleh karena itu, untuk menyelesaikan masalah, Anda biasanya perlu membulatkan nilainya ke perseratus atau perseribu. Selanjutnya, pembilang dan penyebut perlu dikalikan dengan bilangan sedemikian rupa sehingga penyebutnya memiliki angka 10, 100, 1000, dst. Contoh: 11/40 = (11∙25)/(40∙25) =275/1000 = 0,275
• Cara kedua untuk mengubah pecahan menjadi angka lebih sederhana: Anda perlu membagi pembilang dengan penyebut. Untuk menerapkan metode ini, kita cukup melakukan pembagian, dan angka yang dihasilkan akan menjadi pecahan desimal yang diinginkan. Misalnya, Anda perlu mengubah pecahan 2/15 menjadi angka. Kami membagi 2 dengan 15. Kami mendapatkan 0, 1333 ... - pecahan tak terbatas. Kami menuliskannya seperti ini: 0.13(3). Jika pecahan salah, yaitu pembilangnya lebih besar dari penyebutnya (misalnya, 345/100), maka sebagai hasil dari mengubahnya menjadi angka, nilai numerik bilangan bulat atau pecahan desimal dengan bagian pecahan bilangan bulat akan didapat. Dalam contoh kita, ini akan menjadi 3,45. Untuk mengubah pecahan campuran seperti 3 2 / 7 menjadi angka, Anda harus terlebih dahulu mengubahnya menjadi pecahan biasa: (3∙7+2)/7 =23/7. Selanjutnya, kita bagi 23 dengan 7 dan mendapatkan angka 3.2857143, yang kita kurangi menjadi 3.29.

Cara termudah untuk mengubah pecahan menjadi angka adalah dengan menggunakan kalkulator atau perangkat komputasi lainnya. Kami pertama-tama menunjukkan pembilang pecahan, lalu tekan tombol dengan ikon "bagi" dan ketik penyebutnya. Setelah menekan tombol "=", kami mendapatkan nomor yang diinginkan.

Angka desimal seperti 0.2; 1,05; 3.017 dll. seperti yang didengar, demikian pula yang tertulis. Nol koma dua, kita mendapatkan pecahan. Satu seluruh lima ratus, kita mendapatkan pecahan. Tiga seluruh tujuh belas ribu, kita mendapatkan pecahan. Digit sebelum titik desimal dalam bilangan desimal adalah bagian bilangan bulat dari pecahan. Angka setelah koma adalah pembilang dari pecahan yang akan datang. Jika ada angka satu digit setelah titik desimal, penyebutnya adalah 10, jika dua digit - 100, tiga digit - 1000, dll. Beberapa pecahan yang dihasilkan dapat direduksi. Dalam contoh kami

Mengubah pecahan menjadi bilangan desimal

Ini adalah kebalikan dari transformasi sebelumnya. Apa itu pecahan desimal? Penyebutnya selalu 10, atau 100, atau 1000, atau 10.000, dan seterusnya. Jika pecahan biasa Anda memiliki penyebut seperti itu, tidak ada masalah. Misalnya, atau

Jika pecahan, misalnya . Dalam hal ini, Anda perlu menggunakan sifat dasar pecahan dan mengubah penyebutnya menjadi 10 atau 100, atau 1000 ... Dalam contoh kita, jika kita mengalikan pembilang dan penyebutnya dengan 4, kita mendapatkan pecahan yang dapat ditulis sebagai bilangan desimal 0,12.

Beberapa pecahan lebih mudah dibagi daripada mengubah penyebutnya. Sebagai contoh,

Beberapa pecahan tidak dapat dikonversi ke angka desimal!
Sebagai contoh,

Mengubah pecahan campuran menjadi pecahan biasa

Pecahan campuran, seperti , mudah diubah menjadi pecahan biasa. Untuk melakukan ini, Anda perlu mengalikan bagian bilangan bulat dengan penyebut (bawah) dan menambahkannya ke pembilang (atas), membiarkan penyebut (bawah) tidak berubah. Yaitu

Saat mengubah pecahan campuran menjadi pecahan biasa, ingatlah bahwa Anda dapat menggunakan penjumlahan pecahan

Mengubah pecahan biasa menjadi pecahan campuran (menyoroti seluruh bagian)

Pecahan biasa dapat diubah menjadi pecahan campuran dengan menyorot seluruh bagian. Perhatikan sebuah contoh, . Tentukan berapa kali bilangan bulat "3" yang cocok dengan "23". Atau kita bagi 23 dengan 3 pada kalkulator, bilangan bulat hingga titik desimal adalah yang diinginkan. Ini adalah "7". Selanjutnya, kami menentukan pembilang dari pecahan masa depan: kami mengalikan "7" yang dihasilkan dengan penyebut "3" dan mengurangi hasil dari pembilang "23". Bagaimana kita menemukan kelebihan yang tersisa dari pembilang "23", jika kita menghilangkan jumlah maksimum "3". Penyebutnya dibiarkan tidak berubah. Semuanya sudah selesai, tuliskan hasilnya

Semua pecahan dibagi menjadi dua jenis: biasa dan desimal. Pecahan jenis ini disebut biasa: 9 / 8.3 / 4.1 / 2.1 3/4. Mereka membedakan angka atas (pembilang) dan angka bawah (penyebut). Bila pembilangnya lebih kecil dari penyebutnya, maka pecahan tersebut disebut wajar, jika tidak maka pecahan tersebut tidak wajar. Pecahan seperti 1 7/8 terdiri dari bagian bilangan bulat (1) dan bagian pecahan (7/8) dan disebut campuran.

Jadi pecahannya adalah:

1. Biasa
   1. Benar
   2. Salah
   3. Campuran
2. Desimal

Cara mengubah pecahan biasa ke desimal

Bagaimana mengubah pecahan biasa menjadi desimal, mengajarkan kursus matematika sekolah dasar. Semuanya sangat sederhana: Anda perlu membagi pembilang dengan penyebut "secara manual" atau, jika Anda benar-benar malas, maka pada mikrokalkulator. Berikut ini contohnya: 2/5=0,4; 3/4=0,75; 1/2 = 0,5. Mengonversi ke pecahan biasa desimal tidaklah sulit. Contoh: 1 3/4= 7/4= 1,75. Hasil terakhir dapat diperoleh tanpa pembagian, jika kita memperhitungkan bahwa 3/4 = 0,75 dan menambahkan satu: 1 + 0,75 = 1,75.

Namun, tidak semua pecahan biasa begitu sederhana. Sebagai contoh, mari kita coba mengubah 1/3 dari pecahan biasa ke desimal. Bahkan mereka yang memiliki tiga kali lipat dalam matematika (menurut sistem lima poin) akan memperhatikan bahwa tidak peduli berapa lama pembagian berlanjut, setelah nol dan koma akan ada jumlah tiga kali lipat yang tak terbatas 1/3 = 0,3333 .... . Biasanya dibaca sebagai berikut: nol bilangan bulat, tiga dalam satu periode. Hal ini ditulis sesuai sebagai berikut: 1/3=0,(3). Situasi serupa akan terjadi jika Anda mencoba mengubah 5/6 menjadi pecahan desimal: 5/6=0,8(3). Pecahan seperti itu disebut periodik tak terhingga. Berikut adalah contoh untuk pecahan 3/7: 3/7= 0.42857142857142857142857142857143…, yaitu 3/7=0,(428571).

Jadi, sebagai hasil dari transformasi pecahan biasa menjadi desimal, seseorang dapat memperoleh:

1. desimal non-periodik;
2. desimal periodik.

Perlu dicatat bahwa ada juga pecahan non-periodik tak terbatas, yang diperoleh dengan melakukan tindakan seperti itu: mengambil akar derajat ke-n, mengambil logaritma, mempotensiasi. Misalnya, 3= 1.732050807568877…. Nomor terkenal 3.1415926535897932384626433832795…. .

Sekarang, kalikan 3 dengan 0,(3): 3×0,(3)=0,(9)=1. Ternyata 0,(9) adalah bentuk kesatuan tulisan yang berbeda. Demikian pula, 9=9/9.16=16.0, dst.

Pertanyaan yang berlawanan dengan yang diberikan dalam judul artikel ini juga sah: "bagaimana mengubah pecahan desimal menjadi pecahan biasa". Jawaban atas pertanyaan ini memberikan contoh: 0,5= 5/10=1/2. Dalam contoh terakhir, kami mengurangi pembilang dan penyebut pecahan 5/10 dengan 5. Artinya, untuk mengubah pecahan desimal menjadi pecahan biasa, Anda harus menyatakannya sebagai pecahan dengan penyebut 10.

Akan menarik untuk menonton video tentang apa itu pecahan secara umum:

Untuk mempelajari cara mengubah desimal menjadi pecahan biasa, lihat di sini: