Pikiran cerdas datang hanya ketika hal-hal bodoh telah dilakukan.

Hanya mereka yang melakukan upaya absurd yang dapat mencapai hal yang mustahil. Albert Einstein

Teman baik, buku bagus, dan hati nurani yang tertidur adalah kehidupan yang ideal. Mark Twain

Anda tidak dapat kembali ke masa lalu dan mengubah awal Anda, tetapi Anda dapat memulai sekarang dan mengubah akhir Anda.

Setelah pemeriksaan lebih dekat, secara umum menjadi jelas bagi saya bahwa perubahan yang tampaknya datang dengan berlalunya waktu, pada kenyataannya, tidak ada perubahan sama sekali: hanya pandangan saya tentang hal-hal yang berubah. (Franz Kafka)

Dan meskipun godaannya besar untuk melewati dua jalan sekaligus, Anda tidak bisa bermain dengan setumpuk kartu yang sama dengan iblis dan Tuhan ...

Hargai mereka yang dengannya Anda bisa menjadi diri sendiri.
Tanpa topeng, kelalaian dan ambisi.
Dan jaga mereka, mereka dikirim kepada Anda oleh takdir.
Bagaimanapun, dalam hidup Anda hanya ada beberapa dari mereka

Untuk jawaban afirmatif, hanya satu kata yang cukup - "ya". Semua kata lain diciptakan untuk mengatakan tidak. Don Aminado

Tanyakan kepada seseorang: "Apakah kebahagiaan itu?" dan Anda akan menemukan apa yang paling dia rindukan.

Jika Anda ingin memahami kehidupan, maka berhentilah mempercayai apa yang mereka katakan dan tulis, tetapi amati dan rasakan. Anton Chekhov

Tidak ada di dunia ini yang lebih merusak, lebih tak tertahankan daripada tidak bertindak dan menunggu.

Ubah impian Anda menjadi kenyataan, kerjakan ide-ide. Mereka yang menertawakan Anda sebelumnya akan mulai iri.

Rekor ada untuk dipecahkan.

Jangan buang waktu, berinvestasilah di dalamnya.

Sejarah umat manusia adalah sejarah sejumlah kecil orang yang percaya pada diri mereka sendiri.

Apakah Anda mendorong diri Anda hingga batasnya? Apakah Anda tidak melihat gunanya hidup lagi? Jadi, Anda sudah dekat ... Dekat dengan keputusan untuk mencapai bagian bawah untuk mendorong darinya dan memutuskan untuk bahagia selamanya .. Jadi jangan takut bagian bawah - gunakan ....

Jika Anda jujur ​​dan terus terang, maka orang akan menipu Anda; tetap jujur ​​dan apa adanya.

Seseorang jarang berhasil dalam apa pun jika pekerjaannya tidak memberinya kesenangan. Dale Carnegie

Jika setidaknya satu cabang berbunga tetap ada di jiwa Anda, seekor burung bernyanyi akan selalu duduk di atasnya (Kebijaksanaan Timur)

Salah satu hukum kehidupan mengatakan bahwa begitu satu pintu tertutup, pintu lain terbuka. Tetapi masalahnya adalah kita melihat pintu yang terkunci dan tidak memperhatikan pintu yang terbuka. Andre Gide

Jangan menilai seseorang sampai Anda berbicara dengan mereka secara langsung, karena semua yang Anda dengar adalah desas-desus. Michael Jackson.

Pertama mereka mengabaikan Anda, lalu mereka menertawakan Anda, lalu mereka melawan Anda, lalu Anda menang. Mahatma Gandhi

Kehidupan manusia dibagi menjadi dua bagian: selama babak pertama mereka berusaha maju ke babak kedua, dan selama babak kedua kembali ke babak pertama.

Jika Anda tidak melakukan apa-apa sendiri, bagaimana Anda bisa dibantu? Anda hanya dapat mengendarai mobil yang bergerak

Semua akan menjadi. Hanya ketika Anda memutuskan untuk melakukannya.

Di dunia ini, kamu bisa mencari segalanya kecuali cinta dan kematian... Mereka akan menemukanmu ketika saatnya tiba.

Kepuasan batin terlepas dari dunia penderitaan di sekitarnya adalah aset yang sangat berharga. Sridhar Maharaj

Mulai sekarang untuk menjalani kehidupan yang Anda ingin lihat pada akhirnya. Marcus Aurelius

Kita harus menjalani setiap hari seolah-olah itu adalah saat-saat terakhir. Kami tidak memiliki latihan - kami memiliki kehidupan. Kami tidak memulainya dari hari Senin - kami hidup hari ini.

Setiap saat dalam hidup adalah kesempatan lain.

Setahun kemudian, Anda akan melihat dunia dengan mata yang berbeda, dan bahkan pohon yang tumbuh di dekat rumah Anda ini akan tampak berbeda bagi Anda.

Kebahagiaan tidak perlu dicari - itu harus. Osho

Hampir setiap kisah sukses yang saya tahu dimulai dengan seorang pria berbaring telentang, dikalahkan oleh kegagalan. Jim Rohn

Setiap perjalanan panjang dimulai dengan satu, langkah pertama.

Tidak ada yang lebih baik dari Anda. Tidak ada yang lebih pintar dari Anda. Mereka baru mulai lebih awal. Brian Tracy

Yang berlari jatuh. Dia yang merangkak tidak jatuh. Pliny the Elder

Cukuplah untuk memahami bahwa Anda hidup di masa depan, segera setelah Anda menemukan diri Anda di sana.

Saya memilih untuk hidup daripada hidup. James Alan Hetfield

Ketika kamu mensyukuri apa yang kamu miliki, dan tidak hidup untuk mencari cita-cita, maka kamu akan benar-benar menjadi bahagia..

Hanya mereka yang lebih buruk dari kita yang berpikir buruk tentang kita, dan mereka yang lebih baik dari kita tidak terserah kita. Umar Khayyam

Terkadang satu panggilan memisahkan kita dari kebahagiaan… Satu percakapan… Satu pengakuan…

Dengan mengakui kelemahan seseorang, seseorang menjadi kuat. Honre Balzac

Dia yang merendahkan semangatnya lebih kuat dari dia yang menaklukkan kota.

Ketika sebuah peluang muncul dengan sendirinya, Anda harus memanfaatkannya. Dan ketika Anda meraihnya, raih kesuksesan - nikmatilah. Rasakan kegembiraannya. Dan biarkan semua orang di sekitar menyedot selang Anda karena menjadi kambing, ketika mereka bahkan tidak memberi Anda sepeser pun. Dan kemudian pergi. Cantik. Dan membuat semua orang shock.

Jangan pernah putus asa. Dan jika Anda sudah jatuh dalam keputusasaan, maka teruslah bekerja dengan putus asa.

Langkah maju yang menentukan adalah hasil dari tendangan yang bagus dari belakang!

Di Rusia, Anda harus menjadi terkenal atau kaya untuk diperlakukan seperti orang Eropa diperlakukan. Konstantin Raikin

Itu semua tergantung pada sikap Anda. (Chuck Norris)

Tidak ada alasan yang dapat menunjukkan kepada seorang pria jalan yang dia tidak ingin melihat Romain Rolland

Apa yang Anda yakini menjadi dunia Anda. Richard Matheson

Ini bagus di mana kita tidak berada. Kita tidak lagi berada di masa lalu, dan karena itu tampak indah. Anton Chekhov

Orang kaya menjadi lebih kaya karena mereka belajar mengatasi kesulitan keuangan. Mereka melihat mereka sebagai kesempatan untuk belajar, tumbuh, berkembang, dan makmur.

Setiap orang memiliki nerakanya sendiri - tidak harus api dan tar! Neraka kita adalah kehidupan yang sia-sia! Kemana Mimpi Mengarah

Tidak peduli seberapa keras Anda bekerja, yang utama adalah hasilnya.

Hanya ibu yang memiliki tangan paling penuh kasih sayang, senyum paling lembut, dan hati paling penuh kasih ...

Pemenang dalam hidup selalu berpikir dalam semangat: Saya bisa, saya mau, saya. Pecundang, di sisi lain, memusatkan pikiran mereka yang tersebar pada apa yang bisa mereka miliki, bisa lakukan, atau apa yang tidak bisa mereka lakukan. Dengan kata lain, pemenang selalu bertanggung jawab atas diri mereka sendiri, dan yang kalah menyalahkan kegagalan mereka pada keadaan atau orang lain. Denis Waitley.

Hidup adalah mendaki gunung perlahan, turun dengan cepat. Guy de Maupassant

Orang-orang begitu takut untuk mengambil langkah menuju kehidupan baru sehingga mereka siap untuk menutup mata terhadap segala sesuatu yang tidak cocok untuk mereka. Tapi itu bahkan lebih menakutkan: untuk bangun suatu hari dan menyadari bahwa semuanya tidak benar, salah, salah ... Bernard Shaw

Persahabatan dan kepercayaan tidak bisa dibeli atau dijual.

Selalu, di setiap menit hidup Anda, bahkan ketika Anda benar-benar bahagia, miliki satu sikap terhadap orang-orang di sekitar Anda: - Bagaimanapun, saya akan melakukan apa yang saya inginkan, dengan atau tanpa Anda.

Di dunia, hanya satu yang bisa memilih antara kesepian dan vulgar. Arthur Schopenhauer

Seseorang hanya perlu melihat sesuatu secara berbeda, dan hidup akan mengalir ke arah yang berbeda.

Besi berkata kepada magnet: Yang terpenting, aku membencimu karena kamu menarik, tidak memiliki kekuatan yang cukup untuk menyeretmu! Friedrich Nietzsche

Tahu bagaimana hidup bahkan ketika hidup menjadi tak tertahankan. N. Ostrovsky

Gambaran yang Anda lihat dalam pikiran Anda pada akhirnya akan menjadi hidup Anda.

"Paruh pertama hidup Anda, Anda bertanya pada diri sendiri apa yang Anda mampu, tetapi yang kedua - dan siapa yang membutuhkannya?"

Tidak ada kata terlambat untuk menetapkan tujuan baru atau menemukan mimpi baru.

Kendalikan nasib Anda atau orang lain akan melakukannya.

melihat keindahan dalam keburukan
untuk melihat sungai di sungai…
siapa yang tahu bagaimana bahagia di hari kerja,
dia benar-benar pria yang beruntung! E. Asadov

Orang bijak ditanya:

Ada berapa jenis persahabatan?

Empat, jawabnya.
Ada teman, seperti makanan - setiap hari Anda membutuhkannya.
Ada teman, seperti obat, Anda mencarinya ketika Anda merasa tidak enak.
Ada teman, seperti penyakit, mereka sendiri mencari Anda.
Tetapi ada teman seperti udara - mereka tidak terlihat, tetapi mereka selalu bersama Anda.

Saya akan menjadi orang yang saya inginkan - jika saya percaya bahwa saya akan menjadi seseorang. Gandhi

Buka hatimu dan dengarkan apa yang diimpikannya. Ikuti impian Anda, karena hanya melalui orang yang tidak malu pada dirinya sendiri kemuliaan Tuhan akan dinyatakan. Paulo Coelho

Disangkal bukanlah apa-apa untuk ditakuti; seseorang harus takut pada yang lain - disalahpahami. Immanuel Kanto

Bersikaplah realistis - tuntut yang tidak mungkin! Che Guevara

Jangan tunda rencana Anda jika di luar sedang hujan.
Jangan menyerah pada impian Anda jika orang tidak percaya pada Anda.
Melawan alam, orang-orang. Anda adalah orang. Kamu kuat.
Dan ingat - tidak ada tujuan yang tidak dapat dicapai - ada koefisien kemalasan yang tinggi, kurangnya kecerdikan dan banyak alasan.

Entah Anda yang menciptakan dunia, atau dunia yang menciptakan Anda. Jack Nicholson

Saya suka ketika orang hanya tersenyum. Anda pergi, misalnya, di bus dan Anda melihat seseorang melihat ke luar jendela atau mengirim SMS dan tersenyum. Rasanya sangat enak di jiwa. Dan aku juga ingin tersenyum.

penyataan Kalimat deklaratif yang dapat dikatakan benar atau salah. Dalam aljabar, pernyataan sederhana dikaitkan dengan variabel logis (A, B, C, dll.)

variabel boolean merupakan pernyataan sederhana.
Variabel Boolean dilambangkan dengan huruf Latin besar dan kecil (a-z, A-Z) dan hanya dapat mengambil dua nilai - 1 jika pernyataan itu benar, atau 0 jika pernyataan itu salah.

Mengatakan contoh:

Fungsi Boolean- ini adalah pernyataan kompleks, yang diperoleh sebagai hasil dari melakukan operasi logis pada pernyataan sederhana.

Untuk pembentukan pernyataan kompleks, yang paling umum digunakan operasi logika dasar, dinyatakan dengan menggunakan penghubung logis "dan", "atau", "tidak".
Sebagai contoh,

Banyak orang tidak menyukai cuaca basah..

Misal A = "Banyak orang menyukai cuaca basah." Kami mendapatkan fungsi logis F(A) = bukan A

bundel “TIDAK”, “DAN”, “ATAU” digantikan oleh operasi logika inversi , konjungsi , pemisahan . Ini operasi logika dasar, yang dapat digunakan untuk menulis ekspresi logika apa pun.

rumus Boolean (ekspresi logis) - formula yang hanya berisi nilai logis dan tanda-tanda operasi logis. Hasil evaluasi rumus logika adalah TRUE (1) atau FALSE (0).

Nilai dari sebuah fungsi logika tergantung pada nilai dari variabel logika yang ada di dalamnya. Oleh karena itu, nilai fungsi logika dapat ditentukan dengan menggunakan tabel khusus ( tabel kebenaran), yang mencantumkan semua nilai yang mungkin dari variabel boolean input dan nilai fungsinya yang sesuai.

Operasi logika dasar (dasar):

1. Perkalian logis (konjungsi), dari lat. konjunctio - Saya menghubungkan:
Menggabungkan dua (atau beberapa) pernyataan menjadi satu menggunakan gabungan AND;
dalam bahasa pemrograman - Dan.
Notasi konvensional: /\ , , dan, dan.
Dalam aljabar himpunan, konjungsi berhubungan dengan operasi perpotongan himpunan.

Konjungsi bernilai benar jika dan hanya jika semua pernyataan di dalamnya benar.

Contoh:
Perhatikan pernyataan majemuk "2 2 = 4 dan 3 3 = 10". Mari kita lihat beberapa pernyataan sederhana:

B \u003d "3 3 \u003d 10" \u003d 0 (karena ini adalah pernyataan yang salah)
Oleh karena itu, fungsi logika F(A, B) = A /\ B = 1 /\ 0 = 0 (menurut tabel kebenaran), yaitu, pernyataan majemuk ini salah.

2. Penjumlahan logis (disjungsi), dari lat. disjunctio - saya membedakan:
Menggabungkan dua (atau lebih) pernyataan menjadi satu menggunakan gabungan OR;
dalam bahasa pemrograman - Atau.
Notasi: \/, +, atau, atau.
Dalam aljabar himpunan, disjungsi berhubungan dengan operasi persatuan himpunan.

Disjungsi salah jika dan hanya jika semua pernyataan yang termasuk di dalamnya salah.

Contoh:
Pertimbangkan pernyataan majemuk "2 2 = 4 atau 2 2 = 5". Mari kita pilih pernyataan sederhana:
A \u003d "2 2 \u003d 4" \u003d 1 (karena ini adalah pernyataan yang benar)
B \u003d "2 2 \u003d 5" \u003d 0 (karena ini adalah pernyataan yang salah)
Oleh karena itu, fungsi logis F(A, B) = A \/ B = 1 \/ 0 = 1 (menurut tabel kebenaran), yaitu, pernyataan majemuk ini benar.

3. Negasi (inversi), dari lat. InVersion - saya membalik:

Sesuai dengan partikel NOT, frasanya SALAH, APA atau TIDAK BENAR, APA;
dalam bahasa pemrograman - Tidak;
Sebutan: bukan A, A, bukan
Dalam aljabar himpunan, negasi logis sesuai dengan operasi komplemen ke himpunan universal.

terbalik i dari variabel boolean benar jika variabel itu sendiri salah, dan sebaliknya, kebalikannya salah jika variabel itu benar.

Contoh:

A \u003d (dua kali dua adalah empat) \u003d 1.

A= ( Tidak benar itu dua kali dua sama dengan empat = 0.

Perhatikan pernyataan A: Bulan adalah satelit bumi“; maka A akan dirumuskan sebagai berikut: “ Bulan bukan satelit bumi“.

Perhatikan pernyataan: "Tidak benar bahwa 4 habis dibagi 3." Dilambangkan dengan A pernyataan sederhana "4 habis dibagi 3". Maka bentuk logis dari negasi dari pernyataan ini berbentuk A

Prioritas operasi logika:

Operasi dalam ekspresi boolean dilakukan dari kiri ke kanan, termasuk tanda kurung di Selanjutnya baik:
1. inversi;
2. konjungsi;
3. disjungsi;
Tanda kurung digunakan untuk mengubah urutan tertentu dari operasi logis.

Ekspresi logika majemuk aljabar proposisi disebut rumus.
Nilai benar atau salah dari suatu rumus dapat ditentukan dengan hukum-hukum aljabar logika, tanpa mengacu pada artinya:
F = (0 \/ 1) /\ (¬0 \/ 1) = (0 \/ 1) /\ (1 \/ 0) =1 /\ 1=1 - benar
F = (¬0 /\ 1) \/ (¬1 \/ 1) = (1 /\ 0) \/ (0 \/ 0) = 0 \/ 0 = 0 - salah

Negasi, konjungsi, disjungsi.

Alasan kami terdiri dari pernyataan. Misalnya, dalam kesimpulan “Beberapa burung terbang; oleh karena itu, beberapa burung terbang " mencakup dua pernyataan yang berbeda.

Pernyataan adalah formasi yang lebih kompleks daripada nama. Saat menguraikan pernyataan menjadi bagian yang lebih sederhana, kami selalu mendapatkan satu atau nama lain. Misalkan pernyataan “Matahari adalah bintang” mencantumkan nama “Matahari” dan “bintang” sebagai bagian-bagiannya.

Pernyataan adalah kalimat yang secara tata bahasa benar, diambil bersama dengan makna (isi) yang diungkapkan olehnya, dan yang benar atau salah.

Konsep pernyataan adalah salah satu konsep awal dan kunci logika. Dengan demikian, tidak memungkinkan untuk definisi yang tepat yang sama-sama berlaku di berbagai bagian. Jelas bahwa setiap pernyataan menggambarkan situasi tertentu, menegaskan atau menyangkal sesuatu tentangnya, dan benar atau salah.

Suatu pernyataan dianggap benar jika deskripsi yang diberikan sesuai dengan keadaan sebenarnya, dan salah jika tidak sesuai dengan keadaan. "Benar" dan "salah" disebut nilai kebenaran dari proposisi.

Dari pernyataan individu dengan cara yang berbeda, Anda dapat membangun pernyataan baru. Jadi, dari pernyataan “Angin bertiup” dan “Hujan”, pernyataan yang lebih kompleks dapat dibentuk “Angin bertiup dan hujan”, “Angin bertiup atau hujan”, “Jika adalah hujan, angin bertiup”, dll. Ekspresi "dan", "baik, atau", "jika, maka", dll., yang berfungsi untuk membentuk pernyataan kompleks, disebut penghubung logis.

Suatu pernyataan disebut sederhana jika tidak menyertakan pernyataan lain sebagai bagian-bagiannya.

Suatu pernyataan dikatakan kompleks jika diperoleh dengan bantuan penghubung logis dari pernyataan lain yang lebih sederhana.

Bagian logika itu, yang menjelaskan hubungan logis pernyataan yang tidak bergantung pada struktur pernyataan sederhana, disebut teori deduksi umum.

Negasi adalah penghubung logis, yang dengannya pernyataan baru diperoleh dari pernyataan yang diberikan, sehingga jika pernyataan asli benar, negasinya salah, dan sebaliknya. Pernyataan negatif terdiri dari pernyataan asli dan negasi, biasanya diungkapkan dengan kata-kata “tidak”, “tidak benar itu”. Dengan demikian, proposisi negatif adalah proposisi majemuk: proposisi itu mencakup proposisi yang berbeda darinya sebagai bagiannya. Misalnya, negasi dari pernyataan "10 bilangan genap" adalah pernyataan "10 bukan bilangan genap" (atau: "Tidak benar 10 bilangan genap").

Sebagai hasil dari menghubungkan dua pernyataan dengan bantuan kata "dan", kami mendapatkan pernyataan kompleks yang disebut konjungsi. Pernyataan yang terhubung dengan cara ini disebut anggota konjungsi. Misalnya, jika pernyataan "Hari ini panas" dan "Kemarin dingin" digabungkan dengan cara ini, konjungsi "Hari ini panas dan kemarin dingin" diperoleh.

Konjungsi benar hanya jika kedua pernyataan di dalamnya benar; jika setidaknya salah satu istilahnya salah, maka seluruh konjungsinya salah.

Definisi konjungsi, serta definisi penghubung logis lainnya yang berfungsi untuk membentuk pernyataan kompleks, didasarkan pada dua asumsi berikut:

setiap proposisi (baik sederhana maupun kompleks) memiliki satu dan hanya satu dari dua nilai kebenaran: itu benar atau salah;

nilai kebenaran dari suatu pernyataan majemuk hanya bergantung pada nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan yang termasuk di dalamnya dan cara mereka terhubung secara logis satu sama lain.

Asumsi ini tampak sederhana. Namun, setelah menerimanya, seseorang harus membuang gagasan bahwa, bersama dengan pernyataan benar dan salah, dapat juga ada pernyataan yang tidak tentu dalam hal nilai kebenarannya (seperti, katakanlah, "Dalam lima tahun saat ini akan turun hujan). dengan guntur” dll). Penting juga untuk menyangkal fakta bahwa nilai kebenaran dari suatu pernyataan majemuk juga bergantung pada "hubungan makna" dari pernyataan-pernyataan yang digabungkan.

Dalam bahasa biasa, dua pernyataan dihubungkan oleh persatuan "dan" ketika mereka terkait dalam konten atau makna. Sifat hubungan ini tidak sepenuhnya jelas, tetapi jelas bahwa kita tidak akan menganggap konjungsi "Dia mengenakan mantel dan saya pergi ke universitas" sebagai ungkapan yang masuk akal dan bisa benar atau salah. Meskipun pernyataan “2 adalah bilangan prima” dan “Moskow adalah kota besar” adalah benar, kita tidak cenderung menganggap konjungsi mereka “2 adalah bilangan prima dan Moskow adalah kota besar” juga benar, karena konstituennya pernyataan tidak berhubungan dalam arti.

Menyederhanakan arti dari konjungsi dan penghubung logis lainnya dan untuk ini, mengabaikan konsep yang tidak jelas tentang "hubungan pernyataan dengan makna", logika membuat arti dari penghubung ini menjadi lebih luas dan lebih jelas pada saat yang bersamaan.

Dengan menghubungkan dua pernyataan dengan kata "atau", kita mendapatkan disjungsi dari pernyataan-pernyataan ini. Pernyataan yang membentuk disjungsi disebut anggota disjungsi.

Kata “atau” dalam bahasa sehari-hari memiliki dua arti yang berbeda. Kadang-kadang itu berarti "satu atau yang lain, atau keduanya," dan kadang-kadang "satu atau yang lain, tetapi tidak keduanya bersama-sama." Pernyataan "Musim ini saya ingin pergi ke Ratu Sekop atau ke Aida" memungkinkan kemungkinan mengunjungi opera dua kali. Dalam pernyataan "Dia belajar di Moskow atau Universitas Leningrad", dipahami bahwa orang yang bersangkutan hanya belajar di salah satu universitas ini.

Arti pertama dari "atau" disebut non-eksklusif. Diambil dalam pengertian ini, disjungsi dua pernyataan hanya berarti bahwa, menurut paling sedikit salah satu dari pernyataan ini benar, apakah keduanya benar atau tidak. Diambil dalam pengertian eksklusif kedua, disjungsi dua pernyataan menegaskan bahwa salah satunya benar dan yang lain salah.

Simbol V akan menunjukkan disjungsi dalam arti non-eksklusif, untuk disjungsi dalam arti eksklusif, simbol V akan digunakan. Tabel untuk dua jenis disjungsi menunjukkan bahwa disjungsi non-eksklusif benar jika setidaknya salah satu pernyataan yang termasuk di dalamnya benar, dan salah hanya jika kedua anggotanya salah; Disjungsi eksklusif adalah benar jika hanya salah satu syaratnya yang benar, dan salah jika kedua syaratnya benar atau keduanya salah.

Dalam logika dan matematika, kata "atau" selalu digunakan dalam pengertian yang tidak eksklusif.

Penguraian beberapa pernyataan menjadi bagian-bagian sederhana yang tidak dapat didekomposisi memberikan dua jenis ekspresi, yang disebut simbol yang tepat dan yang tidak tepat. Keunikan simbol sendiri adalah bahwa mereka memiliki beberapa konten, bahkan diambil sendiri. Ini termasuk nama (menunjukkan beberapa volume), belum terselesaikan (mengacu pada beberapa area objek), pernyataan (menggambarkan beberapa situasi dan menjadi benar atau salah). Simbol yang tidak tepat tidak memiliki konten independen, tetapi dalam kombinasi dengan satu atau lebih simbol sendiri membentuk ekspresi kompleks yang sudah memiliki konten independen. Simbol yang tidak tepat termasuk, khususnya, penghubung logis yang digunakan untuk membentuk pernyataan kompleks dari yang sederhana: "... dan ...", "... atau ...", "baik ... atau ..." , " jika..., maka...", "... kemudian dan hanya ketika...", "tidak... tidak juga...", "tidak... tetapi... ”, “... tapi tidak ...", "tidak benar bahwa ...", dll. Kata itu sendiri, katakan "atau", tidak menunjukkan objek apa pun. Tetapi dalam kombinasi dengan dua simbol yang menunjukkan sendiri, kata ini memberikan simbol yang menunjukkan baru: dari dua pernyataan "Surat diterima" dan "Telegram terkirim" - pernyataan baru "Surat diterima atau telegram dikirim."

Tugas utama logika adalah pemisahan skema penalaran yang benar dari yang salah dan sistematisasi yang pertama. Kebenaran logis ditentukan oleh bentuk logis. Untuk mengungkapkannya, seseorang harus mengabstraksi dari bagian yang bermakna dari argumen (simbol yang tepat) dan fokus pada simbol yang tidak tepat yang mewakili bentuk ini dalam bentuknya yang paling murni. Oleh karena itu minat logika formal pada kata-kata yang biasanya tidak menarik perhatian, seperti “dan”, “atau”, “jika, maka”, dsb.

Pernyataan adalah formasi yang lebih kompleks daripada nama. Saat menguraikan pernyataan menjadi bagian yang lebih sederhana, kami selalu mendapatkan satu atau nama lain. Misalkan pernyataan “Matahari adalah bintang” mencantumkan nama “Matahari” dan “bintang” sebagai bagian-bagiannya.

Mengatakan - kalimat yang benar secara tata bahasa, diambil bersama dengan makna (isi) yang diungkapkan olehnya, dan mana yang benar atau salah.

Konsep ucapan adalah salah satu, konsep kunci awal logika modern. Dengan demikian, tidak memungkinkan untuk definisi yang tepat yang sama-sama berlaku di berbagai bagian.

Suatu pernyataan dianggap benar jika deskripsi yang diberikan sesuai dengan keadaan sebenarnya, dan salah jika tidak sesuai dengan keadaan. "Benar" dan "salah" disebut "nilai-kebenaran dari proposisi".

Dari pernyataan individu dengan cara yang berbeda, Anda dapat membangun pernyataan baru. Misalnya, dari pernyataan “Angin bertiup” dan “Hujan”, pernyataan yang lebih kompleks dapat dibentuk “Angin bertiup dan hujan”, “Angin bertiup atau hujan”, “Jika hujan, lalu angin bertiup”, dll.

Pernyataan tersebut disebut sederhana, jika tidak termasuk pernyataan lain sebagai bagiannya.

Pernyataan tersebut disebut rumit jika diperoleh dengan bantuan penghubung logis dari pernyataan lain yang lebih sederhana.

Mari kita pertimbangkan cara yang paling penting untuk membangun pernyataan yang kompleks.

pernyataan negatif terdiri dari pernyataan asli dan negasi, biasanya diungkapkan dengan kata-kata “tidak”, “tidak benar itu”. Dengan demikian, proposisi negatif adalah proposisi majemuk: proposisi itu mencakup proposisi yang berbeda darinya sebagai bagiannya. Misalnya, negasi dari pernyataan "10 bilangan genap" adalah pernyataan "10 bukan bilangan genap" (atau: "Tidak benar 10 bilangan genap").

Mari kita tunjukkan pernyataan dengan huruf A, B, C,... Makna penuh dari konsep negasi suatu pernyataan diberikan oleh kondisi: jika pernyataan tersebut TETAPI benar, negasinya salah, dan jika TETAPI salah, negasinya benar. Misalnya, karena pernyataan "1 adalah bilangan bulat positif" adalah benar, negasinya "1 bukan bilangan bulat positif" adalah salah, dan karena "1 adalah bilangan prima" adalah salah, negasinya "1 bukan bilangan prima " itu benar.

Menggabungkan dua pernyataan dengan kata "dan" menghasilkan pernyataan majemuk yang disebut konjungsi. Pernyataan yang terhubung dengan cara ini disebut "istilah konjungsi".

Misalnya, jika pernyataan "Hari ini panas" dan "Kemarin dingin" digabungkan dengan cara ini, konjungsi "Hari ini panas dan kemarin dingin" diperoleh.

Konjungsi benar hanya jika kedua pernyataan di dalamnya benar; jika setidaknya salah satu istilahnya salah, maka seluruh konjungsinya salah.

Dalam bahasa biasa, dua pernyataan dihubungkan oleh persatuan "dan" ketika mereka terkait dalam konten atau makna. Sifat hubungan ini tidak sepenuhnya jelas, tetapi jelas bahwa kita tidak akan menganggap konjungsi "Dia pergi ke mantel, dan saya pergi ke universitas" sebagai ungkapan yang masuk akal dan bisa benar atau salah. Meskipun pernyataan “2 adalah bilangan prima” dan “Moskow adalah kota besar” adalah benar, kita tidak cenderung menganggap konjungsi mereka “2 adalah bilangan prima dan Moskow adalah kota besar” juga benar, karena komponen dari pernyataan-pernyataan ini tidak terkait dalam arti. Menyederhanakan arti konjungsi dan penghubung logis lainnya dan untuk ini, mengabaikan konsep samar "hubungan pernyataan dengan makna", logika membuat arti penghubung ini lebih luas dan lebih spesifik.

Menghubungkan dua kalimat dengan kata "atau" memberi pemisahan pernyataan-pernyataan ini. Pernyataan yang membentuk disjungsi disebut "anggota disjungsi".

Kata “atau” dalam bahasa sehari-hari memiliki dua arti yang berbeda. Kadang-kadang itu berarti "satu atau yang lain, atau keduanya," dan kadang-kadang "satu atau yang lain, tetapi tidak keduanya bersama-sama." Misalnya, pernyataan "Musim ini saya ingin pergi ke Ratu Sekop atau ke Aida" memungkinkan kemungkinan mengunjungi kehormatan dua kali. Dalam pernyataan "Dia belajar di Moskow atau Universitas Yaroslavl", tersirat bahwa orang yang disebutkan hanya belajar di salah satu universitas ini.

Arti pertama dari "atau" disebut non-eksklusif. Diambil dalam pengertian ini, disjungsi dua pernyataan berarti bahwa setidaknya satu dari pernyataan ini benar, baik keduanya benar atau tidak. Diambil di detik eksklusif atau dalam arti sempit, disjungsi dua proposisi menyatakan bahwa salah satu proposisi itu benar dan yang lainnya salah.

Disjungsi non-eksklusif benar jika setidaknya salah satu pernyataannya benar, dan salah hanya jika kedua istilahnya salah.

Disjungsi eksklusif adalah benar jika hanya salah satu syaratnya yang benar, dan salah jika kedua syaratnya benar atau keduanya salah.

Dalam logika dan matematika, kata "atau" hampir selalu digunakan dalam pengertian non-eksklusif.

Pernyataan bersyarat - pernyataan kompleks, biasanya dirumuskan menggunakan tautan "jika ..., maka ..." dan menetapkan satu peristiwa, keadaan, dll. dalam satu hal atau yang lain merupakan dasar atau kondisi bagi yang lain.

Misalnya: “Jika ada api, maka ada asap”, “Jika suatu bilangan habis dibagi 9, maka habis dibagi 3”, dsb.

Pernyataan bersyarat terdiri dari dua pernyataan yang lebih sederhana. Yang awalan kata "jika" disebut dasar, atau mendahului(sebelumnya), pernyataan yang muncul setelah kata "itu" disebut konsekuensi, atau konsekuensial(setelah).

Dengan menegaskan suatu pernyataan bersyarat, pertama-tama kami bermaksud bahwa tidak mungkin apa yang dikatakan pada dasarnya terjadi, tetapi apa yang dikatakan sebagai akibatnya tidak ada. Dengan kata lain, tidak mungkin terjadi anteseden benar dan konsekuen salah.

Dalam hal pernyataan bersyarat, konsep kondisi yang cukup dan perlu biasanya didefinisikan: anteseden (basis) adalah kondisi yang cukup untuk konsekuen (konsekuen), dan konsekuen adalah kondisi yang diperlukan untuk anteseden. Misalnya, kebenaran pernyataan kondisional "Jika pilihannya rasional, maka alternatif terbaik yang tersedia dipilih" berarti rasionalitas adalah alasan yang cukup untuk memilih opsi terbaik yang tersedia, dan bahwa memilih opsi seperti itu adalah kondisi yang diperlukan untuknya. rasionalitas.

Fungsi khas dari pernyataan bersyarat adalah untuk mendukung satu pernyataan dengan mengacu pada pernyataan lain. Misalnya, fakta bahwa perak adalah konduktif listrik dapat dibenarkan dengan mengacu pada fakta bahwa itu adalah logam: "Jika perak adalah logam, itu adalah konduktif listrik."

Hubungan antara pembenaran dan pembenaran (alasan dan konsekuensi) yang diungkapkan oleh pernyataan bersyarat sulit untuk dicirikan secara umum, dan hanya kadang-kadang sifatnya relatif jelas. Hubungan ini dapat berupa, pertama, hubungan konsekuensi logis yang terjadi antara premis-premis dan kesimpulan dari kesimpulan yang benar (“Jika semua makhluk hidup multiseluler adalah fana, dan ubur-ubur adalah makhluk seperti itu, maka itu fana”); kedua, oleh hukum alam ("Jika tubuh mengalami gesekan, itu akan mulai memanas"); ketiga, dengan kausalitas ("Jika Bulan berada di simpul orbitnya di bulan baru, terjadi gerhana matahari"); keempat, keteraturan sosial, aturan, tradisi, dll. (“Jika masyarakat berubah, orangnya juga berubah”, “Jika nasihat itu masuk akal, itu harus dilakukan”).

Hubungan yang diungkapkan oleh pernyataan bersyarat biasanya dihubungkan dengan keyakinan bahwa konsekuensi harus "mengikuti" dari alasan dan bahwa ada beberapa hukum umum, setelah dapat merumuskan yang, secara logis kita dapat menyimpulkan konsekuensi dari alasan.

Misalnya, pernyataan bersyarat "Jika bismut adalah logam, berarti plastik", seolah-olah, menyiratkan hukum umum "Di sini logam adalah plastik", yang menjadikan konsekuen dari pernyataan ini sebagai konsekuensi logis dari antesedennya.

Baik dalam bahasa sehari-hari maupun dalam bahasa ilmu pengetahuan, pernyataan bersyarat, selain fungsi pembenaran, juga dapat melakukan sejumlah tugas lain: untuk merumuskan suatu kondisi yang tidak terkait dengan hukum atau aturan umum yang tersirat (“Jika saya mau, saya akan memotong jubah saya”); perbaiki urutan apa pun ("Jika musim panas lalu kering, maka tahun ini hujan"); untuk mengungkapkan ketidakpercayaan dalam bentuk yang aneh ("Jika Anda memecahkan masalah ini, saya akan membuktikan teorema terakhir Fermat"); oposisi ("Jika elderberry tumbuh di kebun, maka seorang paman tinggal di Kyiv"), dll. Multiplisitas dan heterogenitas fungsi pernyataan bersyarat secara signifikan memperumit analisisnya.

Penggunaan pernyataan bersyarat dikaitkan dengan faktor psikologis tertentu. Jadi, kita biasanya merumuskan pernyataan seperti itu hanya jika kita tidak mengetahui dengan pasti apakah anteseden dan konsekuennya benar atau tidak. Jika tidak, penggunaannya tampak tidak alami ("Jika kapas adalah logam, itu adalah konduktor listrik").

Pernyataan bersyarat menemukan aplikasi yang sangat luas di semua bidang penalaran. Dalam logika, biasanya diwakili oleh pernyataan implikatif, atau implikasi. Pada saat yang sama, logika mengklarifikasi, mensistematisasikan, dan menyederhanakan penggunaan "jika ..., maka ...", membebaskannya dari pengaruh faktor psikologis.

Logika disarikan, khususnya, dari fakta bahwa, tergantung pada konteksnya, hubungan antara alasan dan konsekuensi, yang merupakan karakteristik dari pernyataan bersyarat, dapat diungkapkan dengan bantuan tidak hanya "jika ..., maka ...", tetapi juga sarana linguistik lainnya. Misalnya, "Karena air adalah cairan, ia mentransfer tekanan secara merata ke segala arah", "Meskipun plastisin bukan logam, itu adalah plastik", "Jika pohon adalah logam, itu akan menjadi konduktif listrik", dll. Pernyataan-pernyataan ini dan yang serupa direpresentasikan dalam bahasa logika melalui implikasi, meskipun penggunaan "jika ... maka ..." di dalamnya tidak akan sepenuhnya alami.

Dalam menegaskan implikasinya, kami menegaskan bahwa tidak mungkin terjadi bahwa fondasinya terjadi dan konsekuensinya tidak ada. Dengan kata lain, implikasi salah hanya jika alasannya benar dan konsekuensinya salah.

Definisi ini mengasumsikan, seperti definisi penghubung sebelumnya, bahwa setiap proposisi benar atau salah, dan bahwa nilai kebenaran dari proposisi majemuk hanya bergantung pada nilai kebenaran dari proposisi komponennya dan pada cara mereka terhubung.

Sebuah implikasi adalah benar ketika alasan dan konsekuensinya benar atau salah; itu benar jika alasannya salah dan konsekuensinya benar. Hanya dalam kasus keempat, ketika alasannya benar dan konsekuensinya salah, implikasinya salah.

Implikasinya tidak menyiratkan bahwa pernyataan TETAPI dan PADA entah bagaimana terkait satu sama lain dalam hal konten. Dalam hal kebenaran PADA mengatakan "jika TETAPI, kemudian PADA" benar terlepas dari apakah TETAPI benar atau salah, dan itu terhubung dalam arti dengan PADA atau tidak.

Misalnya, pernyataan berikut dianggap benar: "Jika ada kehidupan di Matahari, maka dua kali dua sama dengan empat", "Jika Volga adalah danau, maka Tokyo adalah desa besar", dll. Kondisinya juga benar ketika TETAPI salah, dan sekali lagi acuh tak acuh, benar PADA atau tidak, dan itu terkait dengan konten untuk TETAPI atau tidak. Pernyataan berikut ini benar: “Jika Matahari kubus, maka Bumi adalah segitiga”, “Jika dua kali dua sama dengan lima, maka Tokyo adalah kota kecil”, dll.

Dalam penalaran biasa, semua pernyataan ini tidak mungkin dianggap bermakna, dan bahkan kurang benar.

Meskipun implikasi berguna untuk banyak tujuan, itu tidak cukup cocok dengan pemahaman biasa tentang asosiasi bersyarat. Implikasinya mencakup banyak fitur penting dari perilaku logis dari pernyataan bersyarat, tetapi pada saat yang sama itu bukan deskripsi yang cukup memadai tentangnya.

Dalam setengah abad terakhir, upaya keras telah dilakukan untuk mereformasi teori implikasi. Pada saat yang sama, itu bukan masalah untuk meninggalkan konsep implikasi yang dijelaskan, tetapi memperkenalkan, bersama dengan itu, konsep lain yang memperhitungkan tidak hanya nilai kebenaran pernyataan, tetapi juga hubungannya dalam konten.

Berhubungan erat dengan implikasi persamaan derajatnya, kadang-kadang disebut "implikasi ganda".

Ekuivalensi adalah pernyataan kompleks "L jika dan hanya jika B", dibentuk dari pernyataan Lee V dan didekomposisi menjadi dua implikasi: "jika TETAPI, maka B", dan "jika B, maka TETAPI". Misalnya: "Segitiga sama sisi jika dan hanya jika segitiga sama sisi." Istilah "kesetaraan" juga menunjukkan tautan "..., jika dan hanya jika ...", yang dengannya pernyataan kompleks ini dibentuk dari dua pernyataan. Alih-alih "jika dan hanya jika", "jika dan hanya jika", "jika dan hanya jika", dll. dapat digunakan untuk tujuan ini.

Jika penghubung logis didefinisikan dalam istilah benar dan salah, suatu ekivalensi adalah benar jika dan hanya jika kedua pernyataan penyusunnya memiliki nilai kebenaran yang sama, mis. ketika keduanya benar atau keduanya salah. Dengan demikian, suatu ekivalensi adalah salah jika salah satu pernyataannya benar dan yang lainnya salah.

Kalimat sederhana dan kompleks. Penolakan sebuah pernyataan

Logika matematika, yang fondasinya diletakkan oleh G. Leibniz pada abad ke-17, dibentuk sebagai disiplin ilmu hanya pada pertengahan abad ke-19 berkat karya matematikawan J. Boole dan O. Morgan, yang menciptakan logika matematika. aljabar logika.

1. Tuturan adalah setiap kalimat deklaratif yang diketahui benar atau salah. Pernyataan dapat diungkapkan dengan menggunakan kata-kata, serta matematika, kimia, dan tanda-tanda lainnya. Berikut beberapa contohnya:

b) 2+6>8 (pernyataan salah),

c) jumlah angka 2 dan 6 lebih besar dari angka 8 (pernyataan salah);

d) II + VI > VII (pernyataan yang benar);

e) di dalam Galaksi kita terdapat peradaban luar angkasa (pernyataan ini tidak diragukan lagi benar atau salah, tetapi belum diketahui kemungkinan mana yang benar).

Jelaslah bahwa pernyataan b) dan c) memiliki arti yang sama, tetapi pernyataannya berbeda. Secara umum, kita akan menulis pernyataan seperti ini: a: (Bulan adalah satelit Bumi); b:(ada bilangan real x sehingga 2x+5=15); c: (semua segitiga sama kaki).

Tidak setiap kalimat adalah pernyataan. Misalnya, kalimat seru dan interogatif bukanlah pernyataan ("Apa warna rumah ini?", "Minum jus tomat!", "Berhenti!", dll.). Juga bukan pernyataan dan definisi, misalnya, "Mari kita sebut median segmen yang menghubungkan titik sudut segitiga dengan titik tengah sisi yang berlawanan." Di sini hanya nama beberapa objek yang ditetapkan. Jadi definisi tetapi mungkin benar atau salah, mereka hanya mencatat penggunaan istilah yang diterima. Kalimat "Dia bermata abu-abu" atau "x 2 - 4x + 3 \u003d 0" bukan pernyataan - mereka tidak menunjukkan orang seperti apa yang mereka bicarakan atau pada apa x yang mereka anggap setara. Kalimat seperti itu dengan anggota yang tidak diketahui (variabel) disebut pernyataan tak tentu. Perhatikan bahwa kalimat "Beberapa orang bermata abu-abu" atau "Untuk semua x persamaan x 2 - 4x + 3 = 0" sudah merupakan pernyataan (yang pertama benar, dan yang kedua salah).

2. Pernyataan yang dapat diuraikan menjadi bagian-bagian disebut kompleks, dan pernyataan yang tidak dapat diuraikan lebih lanjut disebut sederhana. Misalnya, pernyataan “Hari ini jam 4 sore saya di sekolah, dan jam 6 sore saya pergi ke arena skating” terdiri dari dua bagian “Hari ini jam 4 sore saya di sekolah” dan “Hari ini jam 6 sore saya pergi ke sekolah”. arena seluncur ". Atau pernyataan ini: "fungsi y \u003d ax 2 + bx + c kontinu dan dapat diturunkan untuk semua nilai X" terdiri dari dua pernyataan sederhana: "Fungsi y = ax 2 + bx + c kontinu untuk semua nilai x" dan "fungsi y = ax 2 + bx + c terdiferensiasi untuk semua nilai x".

Sama seperti bilangan lain yang dapat diperoleh dari bilangan yang diberikan menggunakan operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian, demikian pula pernyataan baru diperoleh dari pernyataan yang diberikan menggunakan operasi yang memiliki nama khusus: konjungsi, disjungsi, implikasi, ekivalensi, negasi. Meskipun nama-nama ini terdengar tidak biasa, mereka hanya berarti koneksi terkenal dari kalimat individu dengan penghubung "dan", "atau", "jika ... maka ...", "jika dan hanya jika ...", serta sebagai penambahan partikel "tidak" pada pernyataan,

3. Negasi dari proposisi a adalah proposisi sedemikian sehingga a salah jika a benar dan a benar jika a salah. Sebutan a dibaca seperti ini: “Bukan a”, atau “Tidak benar bahwa a”. Mari kita coba memahami definisi ini dengan contoh. Perhatikan pernyataan berikut:

a: (Hari ini jam 12 siang saya berada di arena skating);

b: (Hari ini saya berada di arena skating bukan jam 12 siang);

c: (Saya berada di arena skating jam 12 siang, bukan hari ini);

d:(Hari ini jam 12 siang aku di sekolah);

e: (Hari ini saya berada di arena skating jam 3 sore);

f:(Hari ini jam 12 siang saya tidak ada di arena skating);

Sepintas, semua proposisi b - f meniadakan proposisi a. Tapi sebenarnya tidak. Jika Anda hati-hati membaca arti dari pernyataan b, Anda akan melihat bahwa kedua pernyataan a dan b dapat berubah menjadi salah pada saat yang sama - ini akan terjadi jika hari ini saya tidak berada di arena skating sama sekali. Hal yang sama berlaku untuk pernyataan a dan c, a dan a. Dan pernyataan a dan e bisa menjadi benar (jika, misalnya, saya bermain skating dari pukul 11 ​​hingga 4 sore), dan pada saat yang sama salah (jika hari ini saya tidak berada di arena sama sekali). Dan hanya proposisi f yang memiliki sifat berikut: benar jika proposisi a salah, dan salah jika proposisi a benar. Jadi, pernyataan f adalah negasi dari pernyataan a, yaitu f = a. Tabel berikut menunjukkan hubungan antara pernyataan a dan ;

Huruf "i" dan "l" masing-masing adalah singkatan dari kata "benar" dan "salah". Kata-kata ini dalam logika disebut nilai kebenaran. Tabel tersebut disebut tabel kebenaran.