Elemen yang dapat dilepas.

elemen keluar.

• a) tidak memiliki kesamaan poin;

Dalil.

Penunjukan pemotongan

GOST 2.305-2008 menyediakan persyaratan berikut untuk penunjukan bagian:

1. Posisi bidang pemotongan ditunjukkan dalam gambar dengan garis bagian.

2. Garis terbuka harus digunakan untuk garis bagian (ketebalan dari S hingga 1,5S, panjang garis 8-20 mm).

3. Dengan potongan yang kompleks, goresan juga dilakukan pada perpotongan bidang garis potong satu sama lain.

4. Panah yang menunjukkan arah pandang harus ditempatkan pada pukulan awal dan akhir, panah harus diterapkan pada jarak 2-3 mm dari ujung luar pukulan.

5. Dimensi panah harus sesuai dengan yang ditunjukkan pada Gambar 14.

6. Goresan awal dan akhir tidak boleh melewati garis luar gambar yang bersangkutan.

7. Di awal dan akhir garis bagian, dan, jika perlu, di persimpangan bidang potong, letakkan huruf kapital yang sama dari alfabet Rusia. Huruf-huruf tersebut diterapkan di dekat panah yang menunjukkan arah pandang, dan di persimpangan dari sisi sudut luar (Gambar 24).

Gambar 24 - Contoh penunjukan bagian

8. Potongan harus ditandai dengan tulisan jenis "A-A" (selalu dua huruf dipisahkan oleh tanda hubung).

9. Ketika bidang potong bertepatan dengan bidang simetri objek secara keseluruhan, dan gambar yang sesuai terletak pada lembar yang sama dalam hubungan proyeksi langsung dan tidak dipisahkan oleh gambar lain, posisi bidang pemotongan tidak ditandai untuk bagian horizontal, frontal dan profil, dan sayatan tidak disertai dengan prasasti.

10. Bagian depan dan profil, sebagai suatu peraturan, diberi posisi yang sesuai dengan yang diadopsi untuk subjek tertentu dalam gambar utama gambar.

11. Bagian horizontal, frontal dan profil dapat ditempatkan di tempat tampilan utama yang sesuai.

12. Diperbolehkan untuk menempatkan potongan di mana saja di bidang gambar, serta dengan rotasi dengan penambahan simbol grafik konvensional - ikon "Diputar" (Gambar 25).

Gambar 25 - Penunjukan grafis bersyarat - ikon "Diputar"

Penunjukan bagian serupa penunjukan bagian dan terdiri dari jejak bidang garis potong dan panah yang menunjukkan arah pandang, serta huruf yang ditempelkan di bagian luar panah (Gambar 1c, Gambar 3). Bagian yang dilepas tidak diberi label dan bidang pemotongan tidak diperlihatkan jika garis bagian bertepatan dengan sumbu simetri bagian, dan bagian itu sendiri terletak pada kelanjutan jejak bidang pemotongan atau di celah antara bagian-bagian dari pandangan. Untuk penampang simetris, bidang potong juga tidak diperlihatkan. Jika bagian itu asimetris dan terletak di celah atau ditumpangkan (Gambar 2 b), garis bagian digambar dengan panah, tetapi tidak ditandai dengan huruf.

Bagian diperbolehkan untuk diputar, memberikan tulisan di atas bagian dengan kata "diputar". Untuk beberapa bagian identik yang terkait dengan objek yang sama, garis bagian ditandai dengan huruf yang sama dan menggambar satu bagian. Dalam kasus di mana bagian yang diperoleh terdiri dari bagian-bagian yang terpisah, pemotongan harus digunakan.

Garis umum

Garis lurus pada posisi umum (Gbr. 2.2) disebut garis lurus yang tidak sejajar dengan salah satu bidang proyeksi ini. Setiap segmen dari garis lurus seperti itu diproyeksikan dalam sistem bidang proyeksi tertentu secara terdistorsi. Sudut kemiringan garis lurus ini ke bidang proyeksi juga terdistorsi.

Beras. 2.2.

Penyediaan swasta langsung
Garis lurus pada posisi tertentu meliputi garis lurus yang sejajar dengan satu atau dua bidang proyeksi.
Setiap garis (lurus atau kurva) yang sejajar dengan bidang proyeksi disebut garis datar. Dalam grafik teknik, ada tiga garis tingkat utama: garis horizontal, garis depan dan garis profil.

Beras. 2.3-a

Horizontal adalah setiap garis yang sejajar dengan bidang proyeksi horizontal (Gbr. 2.3-a). Proyeksi frontal horizontal selalu tegak lurus terhadap jalur komunikasi. Setiap segmen horizontal ke bidang proyeksi horizontal diproyeksikan dalam nilai sebenarnya. Nilai sebenarnya diproyeksikan ke bidang ini dan sudut kemiringan horizontal (garis lurus) ke bidang proyeksi frontal. Sebagai contoh, pada Gambar. 2.Z-a, diberikan gambar visual dan gambar kompleks garis horizontal h, condong ke bidang P 2 pada sudut b .
Beras. 2.3-b

Bagian depan disebut garis yang sejajar dengan bidang proyeksi bagian depan (Gbr. 2.3-b). Proyeksi horizontal frontal selalu tegak lurus terhadap jalur komunikasi. Setiap segmen dari frontal ke bidang proyeksi frontal diproyeksikan dalam ukuran sebenarnya. Nilai sebenarnya diproyeksikan ke bidang ini dan sudut kemiringan frontal (lurus) ke bidang proyeksi horizontal (sudut sebuah).
Beras. 2,3-in

Garis profil adalah garis yang sejajar dengan bidang profil proyeksi (Gbr. 2.Z-c). Proyeksi horizontal dan frontal dari garis profil sejajar dengan jalur komunikasi proyeksi ini. Setiap segmen dari garis profil (lurus) diproyeksikan ke bidang profil dalam nilai sebenarnya. Pada bidang yang sama diproyeksikan dalam nilai sebenarnya dan sudut kemiringan profil garis lurus ke bidang proyeksi P 1 dan P 2. Saat menentukan garis profil dalam gambar kompleks, perlu untuk menentukan dua titik dari garis ini.

Garis sejajar yang sejajar dengan dua bidang proyeksi akan tegak lurus terhadap bidang proyeksi ketiga. Garis seperti itu disebut proyeksi. Ada tiga garis proyeksi utama: garis proyeksi horizontal, frontal dan profil.
Beras. 2,3-g Beras. 2.3-d Beras. 2.3

Garis lurus yang menjorok secara horizontal (Gbr. 2.3-d) disebut garis lurus yang tegak lurus bidang P satu . Setiap segmen dari garis ini diproyeksikan ke pesawat P P 1 - to the point.

Garis lurus yang menonjol ke depan (Gbr. 2.Z-e) disebut garis lurus yang tegak lurus bidang P 2. Setiap segmen dari garis ini diproyeksikan ke pesawat P 1 tanpa distorsi, tapi datar P 2 - to the point.

Garis proyeksi profil (Gbr. 2.Z-e) disebut garis lurus yang tegak lurus terhadap bidang P 3 , yaitu garis lurus sejajar dengan bidang proyeksi P 1 dan P 2. Setiap segmen dari garis ini diproyeksikan ke pesawat P 1 dan P 2 tanpa distorsi, tetapi datar P 3 - to the point.

Jalur utama di pesawat

Di antara garis-garis lurus milik pesawat, tempat khusus ditempati oleh garis lurus yang menempati posisi tertentu dalam ruang:

1. Horizontal h - garis lurus yang terletak pada bidang tertentu dan sejajar dengan bidang proyeksi horizontal (h / / P1) (Gbr. 6.4).

Gambar 6.4 Horisontal

2. Frontal f - garis lurus yang terletak di bidang dan sejajar dengan bidang proyeksi frontal (f / / P2) (Gbr. 6.5).

Gambar 6.5 Frontal

3. Profil garis lurus p - garis lurus yang berada pada bidang tertentu dan sejajar dengan bidang profil proyeksi (p / / P3) (Gbr. 6.6). Perlu dicatat bahwa jejak pesawat juga dapat dikaitkan dengan jalur utama. Jejak horizontal adalah bidang horizontal, bagian depan adalah bagian depan dan profil adalah garis profil bidang.

Gambar 6.6 Profil lurus

4. Garis kemiringan terbesar dan proyeksi horizontalnya membentuk sudut linier j, yang mengukur sudut dihedral yang dibuat oleh bidang ini dan bidang proyeksi horizontal (Gbr. 6.7). Jelas, jika sebuah garis tidak memiliki dua titik yang sama dengan sebuah bidang, maka garis itu sejajar dengan bidang atau memotongnya.

Gambar 6.7 Garis kemiringan terbesar

Cara kinematik pembentukan permukaan. Mengatur permukaan pada gambar.

Dalam grafik teknik, permukaan dianggap sebagai serangkaian posisi garis yang bergerak dalam ruang menurut hukum tertentu. Dalam proses pembentukan permukaan, garis 1 mungkin tetap tidak berubah atau berubah bentuknya.
Untuk kejelasan gambar permukaan pada gambar kompleks, disarankan untuk mengatur hukum perpindahan secara grafis dalam bentuk keluarga garis (a, b, c). Hukum perpindahan garis 1 dapat ditentukan oleh dua (a dan b) atau satu (a) garis dan kondisi tambahan yang menentukan hukum perpindahan 1.
Garis bergerak 1 disebut generatrix, garis tetap a, b, c adalah pemandu.
Kami akan mempertimbangkan proses pembentukan permukaan menggunakan contoh yang ditunjukkan pada Gambar. 3.1.
Di sini, garis 1 diambil sebagai generatriks.Hukum perpindahan generatriks diberikan oleh panduan a dan garis b. Ini berarti bahwa generatrix 1 meluncur sepanjang pemandu a, sepanjang waktu tetap sejajar dengan garis lurus b.
Cara membentuk permukaan ini disebut kinematik. Dengan itu, Anda dapat membuat dan mengatur berbagai permukaan pada gambar. Secara khusus, Gambar 3.1 menunjukkan kasus paling umum dari permukaan silinder.

Beras. 3.1.

Cara lain untuk membentuk permukaan dan gambarnya dalam gambar adalah dengan mengatur permukaan dengan sekumpulan titik atau garis yang dimilikinya. Dalam hal ini, titik dan garis dipilih sehingga memungkinkan untuk menentukan bentuk permukaan dengan tingkat akurasi yang cukup dan menyelesaikan berbagai masalah di atasnya.
Himpunan titik atau garis yang mendefinisikan permukaan disebut wireframe-nya.
Tergantung pada bagaimana bingkai permukaan ditentukan, berdasarkan titik atau garis, bingkai dibagi menjadi titik dan linier.
Gambar 3.2 menunjukkan kerangka permukaan yang terdiri dari dua famili garis a1, a2, a3, ..., an dan b1, b2, b3, ..., bn yang terletak secara ortogonal.

Beras. 3.2.

Bagian kerucut.

BAGIAN KONIK, kurva bidang, yang diperoleh dengan melintasi kerucut melingkar kanan dengan bidang yang tidak melewati puncaknya (Gbr. 1). Dari sudut pandang geometri analitik, bagian kerucut adalah tempat kedudukan titik-titik yang memenuhi persamaan orde kedua. Dengan pengecualian kasus degenerasi yang dibahas di bagian terakhir, bagian kerucut adalah elips, hiperbola, atau parabola.

Bagian kerucut sering ditemukan di alam dan teknologi. Misalnya, orbit planet-planet yang mengelilingi Matahari berbentuk elips. Lingkaran adalah kasus khusus dari elips, di mana sumbu utama sama dengan sumbu kecil. Cermin parabola memiliki sifat bahwa semua sinar datang yang sejajar dengan sumbunya berkumpul di satu titik (fokus). Ini digunakan di sebagian besar teleskop pemantul yang menggunakan cermin parabola, serta di antena radar dan mikrofon khusus dengan reflektor parabola. Seberkas sinar sejajar memancar dari sumber cahaya yang ditempatkan pada fokus reflektor parabola. Oleh karena itu, cermin parabola digunakan dalam lampu sorot dan lampu mobil yang kuat. Hiperbola adalah grafik dari banyak hubungan fisik penting, seperti hukum Boyle (yang menghubungkan tekanan dan volume gas ideal) dan hukum Ohm, yang mendefinisikan arus listrik sebagai fungsi hambatan pada tegangan konstan.

SEJARAH AWAL

Penemu potongan kerucut diduga Menechmus (abad ke-4 SM), seorang murid Plato dan guru Alexander Agung. Menechmus menggunakan parabola dan hiperbola sama kaki untuk memecahkan masalah penggandaan kubus.

Risalah pada bagian kerucut yang ditulis oleh Aristaeus dan Euclid pada akhir abad ke-4. SM, hilang, tetapi bahan-bahan dari mereka dimasukkan dalam Bagian Kerucut Apollonius dari Perga yang terkenal (c. 260-170 SM), yang bertahan hingga zaman kita. Apollonius mengabaikan persyaratan bahwa bidang garis potong dari generatrix kerucut harus tegak lurus dan, dengan memvariasikan sudut kemiringannya, diperoleh semua bagian kerucut dari satu kerucut melingkar, lurus atau miring. Kami juga berutang kepada Apollonius nama modern kurva - elips, parabola dan hiperbola.

Dalam konstruksinya, Apollonius menggunakan kerucut melingkar dua lembar (seperti pada Gambar 1), jadi untuk pertama kalinya menjadi jelas bahwa hiperbola adalah kurva dengan dua cabang. Sejak zaman Apollonius, bagian kerucut telah dibagi menjadi tiga jenis, tergantung pada kemiringan bidang pemotongan ke generatrix kerucut. Elips (Gbr. 1, a) terbentuk ketika bidang potong memotong semua generator kerucut pada titik-titik salah satu rongganya; parabola (Gbr. 1, b) - ketika bidang potong sejajar dengan salah satu bidang singgung kerucut; hiperbola (Gbr. 1, c) - ketika bidang potong memotong kedua rongga kerucut.

KONSTRUKSI BAGIAN KONIK

Saat mempelajari bagian kerucut sebagai perpotongan bidang dan kerucut, matematikawan Yunani kuno juga menganggapnya sebagai lintasan titik pada bidang. Ditemukan bahwa elips dapat didefinisikan sebagai tempat kedudukan titik-titik, jumlah jarak dari mana ke dua titik tertentu adalah konstan; parabola - sebagai tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama dari titik tertentu dan garis tertentu; hiperbola - sebagai tempat kedudukan titik, perbedaan jarak dari dua titik tertentu adalah konstan.

Definisi bagian kerucut ini sebagai kurva bidang juga menyarankan cara untuk membangunnya menggunakan benang yang diregangkan.

Elips.

Jika ujung seutas benang dengan panjang tertentu ditetapkan pada titik F1 dan F2 (Gbr. 2), maka kurva yang digambarkan oleh ujung pensil yang meluncur di sepanjang benang yang diregangkan rapat berbentuk elips. Titik F1 dan F2 disebut fokus elips, dan ruas V1V2 dan v1v2 antara titik potong elips dengan sumbu koordinat disebut sumbu mayor dan minor. Jika titik F1 dan F2 bertepatan, maka elips berubah menjadi lingkaran.

Nasi. 2 Elipsis

Hiperbola.

Saat membuat hiperbola, titik P, titik pensil, dipasang pada seutas benang yang meluncur bebas di sepanjang pasak yang dipasang di titik F1 dan F2, seperti yang ditunjukkan pada Gambar. 3a. Jarak dipilih sehingga segmen PF2 lebih panjang dari segmen PF1 dengan jumlah yang tetap, yang lebih kecil dari jarak F1F2. Dalam hal ini, salah satu ujung benang melewati pasak F1 dan kedua ujung benang melewati pasak F2. (Ujung pensil tidak boleh meluncur di sepanjang benang, jadi harus diikat dengan membuat lingkaran kecil pada benang dan memasukkan ujungnya ke dalamnya.) Kami menggambar satu cabang hiperbola (PV1Q), memastikan bahwa benang tetap kencang sepanjang waktu, dan tarik kedua ujung benang ke bawah melewati titik F2, dan ketika titik P berada di bawah ruas F1F2, pegang benang pada kedua ujungnya dan lepaskan dengan hati-hati (yaitu melepaskannya). Kami menggambar cabang kedua hiperbola (PўV2Qў), setelah sebelumnya mengubah peran pin F1 dan F2.

Nasi. 3 hiperbola

Cabang-cabang hiperbola mendekati dua garis lurus yang berpotongan di antara cabang-cabang tersebut. Garis-garis ini, yang disebut asimtot hiperbola, dibangun seperti yang ditunjukkan pada Gambar. 3b. Kemiringan garis-garis ini sama dengan ± (v1v2)/(V1V2), di mana v1v2 adalah segmen garis-bagi dari sudut antara asimtot, tegak lurus dengan segmen F1F2; segmen v1v2 disebut sumbu konjugasi hiperbola, dan segmen V1V2 disebut sumbu transversal. Jadi, asimtotnya adalah diagonal-diagonal persegi panjang dengan sisi-sisi yang melalui empat titik v1, v2, V1, V2 sejajar dengan sumbu. Untuk membangun persegi panjang ini, Anda perlu menentukan lokasi titik v1 dan v2. Mereka berada pada jarak yang sama, sama dengan

dari titik potong sumbu O. Rumus ini melibatkan konstruksi segitiga siku-siku dengan kaki Ov1 dan V2O dan sisi miring F2O.

Jika asimtot hiperbola saling tegak lurus, maka hiperbola disebut sama kaki. Dua hiperbola yang memiliki asimtot yang sama, tetapi dengan sumbu transversal dan konjugat yang diatur ulang, disebut saling konjugasi.

Parabola.

Fokus elips dan hiperbola diketahui Apollonius, tetapi fokus parabola, tampaknya, pertama kali ditetapkan oleh Pappus (paruh ke-2 abad ke-3), yang mendefinisikan kurva ini sebagai tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama dari suatu titik tertentu ( fokus) dan garis lurus tertentu, yang disebut direktur. Konstruksi parabola menggunakan benang yang diregangkan, berdasarkan definisi Pappus, diusulkan oleh Isidore dari Miletus (abad ke-6). Mari kita susun penggaris sehingga ujungnya berimpit dengan direktriks LLў (Gbr. 4), dan pasang kaki AC dari segitiga gambar ABC ke tepi ini. Kami memperbaiki salah satu ujung benang dengan panjang AB di titik sudut B segitiga, dan yang lainnya di fokus parabola F. Tarik benang dengan ujung pensil, tekan ujung di titik variabel P ke titik bebas. kaki AB dari gambar segitiga. Saat segitiga bergerak di sepanjang penggaris, titik P akan menggambarkan busur parabola dengan fokus F dan directrix LLў, karena panjang total utas adalah AB, ruas utas berdekatan dengan kaki bebas segitiga, dan oleh karena itu sisa segmen ulir PF harus sama dengan sisa bagian kaki AB, yaitu. PA. Titik potong parabola V dengan sumbu disebut titik puncak parabola, garis lurus yang melalui F dan V disebut sumbu parabola. Jika garis lurus yang tegak lurus terhadap sumbu ditarik melalui fokus, maka ruas garis lurus yang dipotong oleh parabola ini disebut parameter fokus. Untuk elips dan hiperbola, parameter fokus didefinisikan dengan cara yang sama.

JAWABAN TIKET: No. 1 (tidak lengkap), 2 (tidak lengkap), 3 (tidak lengkap), 4, 5, 6, 7, 12, 13, 14 (tidak lengkap), 16, 17, 18, 20, 21 , 22, 23 , 26,

Elemen yang dapat dilepas.

Saat membuat gambar, dalam beberapa kasus menjadi perlu untuk membuat gambar terpisah tambahan dari bagian mana pun dari objek yang memerlukan penjelasan mengenai bentuk, dimensi, atau data lainnya. Gambar seperti itu disebut elemen keluar. Biasanya dilakukan pembesaran. Info dapat ditata sebagai tampilan atau sebagai bagian.

Saat membangun elemen jarak jauh, tempat yang sesuai pada gambar utama ditandai dengan garis tipis padat tertutup, biasanya oval atau lingkaran, dan ditunjukkan dengan huruf kapital alfabet Rusia di rak garis pemimpin. Elemen eksternal direkam menurut tipe A (5:1). pada gambar. 191 menunjukkan contoh elemen jarak jauh. Itu ditempatkan sedekat mungkin dengan tempat yang sesuai pada gambar subjek.

1. Metode proyeksi segi empat (ortogonal). Sifat dasar invarian proyeksi persegi panjang. Monge murni.

Proyeksi ortogonal (persegi panjang) adalah kasus khusus proyeksi paralel, ketika semua sinar proyeksi tegak lurus terhadap bidang proyeksi. Proyeksi ortogonal memiliki semua sifat proyeksi paralel, tetapi dengan proyeksi persegi panjang, proyeksi segmen, jika tidak sejajar dengan bidang proyeksi, selalu lebih kecil dari segmen itu sendiri (Gbr. 58). Ini dijelaskan oleh fakta bahwa segmen itu sendiri dalam ruang adalah sisi miring dari segitiga siku-siku, dan proyeksinya adalah kaki: A "B" \u003d ABcos a.

Dengan proyeksi persegi panjang, sudut siku-siku diproyeksikan dalam ukuran penuh ketika kedua sisinya sejajar dengan bidang proyeksi, dan ketika hanya salah satu sisinya yang sejajar dengan bidang proyeksi, dan sisi kedua tidak tegak lurus dengan bidang proyeksi ini.

Susunan bersama antara garis lurus dan bidang.

Garis lurus dan bidang dalam ruang dapat:

• a) tidak memiliki kesamaan poin;
• b) memiliki tepat satu titik yang sama;
• c) memiliki setidaknya dua titik yang sama.

pada gambar. 30 menunjukkan semua kemungkinan ini.

Dalam kasus a) garis b sejajar dengan bidang: b || .

Dalam kasus b) garis l memotong bidang di satu titik O; l = O

Dalam kasus c) garis a milik bidang: a atau a.

Dalil. Jika garis b sejajar dengan paling sedikit satu garis a yang termasuk dalam bidang , maka garis tersebut sejajar dengan bidang .

Misalkan garis m memotong bidang di titik Q. Jika m tegak lurus setiap garis bidang yang melalui titik Q, maka garis m disebut tegak lurus bidang.

Rel trem menggambarkan milik garis lurus ke bidang tanah. Garis-garis listrik sejajar dengan bidang tanah, dan batang pohon adalah contoh garis lurus yang melintasi tanah, ada yang tegak lurus dengan bidang tanah, ada juga yang tidak tegak lurus (miring).

Posisi timbal balik dari garis lurus dan bidang ditentukan oleh jumlah titik yang sama :

1) jika sebuah garis memiliki dua titik yang sama dengan sebuah pesawat, maka itu milik pesawat ini,

2) jika sebuah garis mempunyai satu titik yang sama dengan sebuah bidang, maka garis tersebut memotong bidang tersebut,

3) jika titik potong garis dengan bidang dihilangkan hingga tak terhingga, maka garis dan bidang itu sejajar.

Masalah di mana posisi relatif berbagai bentuk geometris relatif satu sama lain ditentukan disebut masalah posisi.

Garis lurus milik pesawat telah dipertimbangkan sebelumnya.

Garis sejajar bidang, jika sejajar dengan beberapa garis lurus yang terletak di bidang ini. Untuk membangun garis lurus seperti itu, perlu untuk menentukan garis lurus apa pun di bidang dan menggambar garis yang diperlukan sejajar dengannya.

Beras. 1.53 Gambar. 1.54 Gbr.1.55

Biarkan melalui titik TETAPI(Gbr. 1.53) perlu untuk menggambar garis lurus AB, sejajar bidang Q, diberikan oleh segitiga CDF. Untuk melakukan ini, melalui proyeksi depan titik sebuah / poin TETAPI membuat proyeksi frontal sebuah / dalam / garis yang diinginkan sejajar dengan proyeksi frontal dari setiap garis yang terletak di pesawat R, misalnya lurus CD (a / dalam /!!s / d /). Melalui proyeksi horizontal sebuah poin TETAPI paralel SD membuat proyeksi horizontal av garis yang diinginkan AB (av11 sd). Lurus AB sejajar dengan bidang R, diberikan oleh segitiga CDF.

Dari semua kemungkinan posisi garis yang memotong bidang, kita perhatikan kasus ketika garis tegak lurus bidang. Pertimbangkan sifat-sifat proyeksi garis seperti itu.

Beras. 1.56 Gambar. 1.57

Garis tegak lurus bidang(kasus khusus perpotongan garis lurus dengan bidang) jika tegak lurus terhadap setiap garis lurus yang terletak di pesawat. Untuk membangun proyeksi tegak lurus terhadap bidang pada posisi umum, ini tidak cukup tanpa mengubah proyeksi. Oleh karena itu, kondisi tambahan diperkenalkan: sebuah garis tegak lurus terhadap sebuah bidang jika garis tersebut tegak lurus terhadap dua garis utama yang berpotongan(untuk membuat proyeksi, digunakan kondisi proyeksi sudut kanan). Dalam hal ini: proyeksi horizontal dan frontal dari tegak lurus adalah tegak lurus, masing-masing, terhadap proyeksi horizontal horizontal dan proyeksi frontal dari bidang tertentu pada posisi umum (Gbr. 1.54). Ketika sebuah pesawat ditentukan oleh jejak, proyeksi tegak lurus adalah tegak lurus, masing-masing, ke frontal - ke jejak frontal, horizontal - ke jejak horizontal pesawat (Gbr. 1.55).

Perpotongan garis lurus dengan bidang proyeksi. Mempertimbangkan garis lurus yang memotong bidang ketika pesawat berada pada posisi tertentu.

Sebuah bidang yang tegak lurus terhadap bidang proyeksi (bidang proyeksi) diproyeksikan ke atasnya sebagai garis lurus. Pada garis ini (proyeksi bidang) harus ada proyeksi yang sesuai dari titik di mana beberapa garis memotong bidang ini (Gbr. 1.56).

Pada Gambar 1.56, proyeksi frontal titik Ke persimpangan garis AB dengan segitiga CDE ditentukan di persimpangan proyeksi frontal mereka, karena segi tiga CDE diproyeksikan ke bidang frontal sebagai garis lurus. Kami menemukan proyeksi horizontal titik perpotongan garis dengan bidang (terletak pada proyeksi horizontal garis). Menggunakan metode poin bersaing, kami menentukan visibilitas garis AB relatif terhadap bidang segitiga CDE pada bidang proyeksi horizontal.

Gambar 1.59 menunjukkan bidang proyeksi horizontal P dan garis lurus dalam posisi umum AB. Karena pesawat terbang R tegak lurus terhadap bidang proyeksi horizontal, maka segala sesuatu yang ada di dalamnya diproyeksikan ke bidang proyeksi horizontal pada jejaknya, termasuk titik perpotongannya dengan garis AB. Oleh karena itu, dalam gambar kompleks kita memiliki proyeksi horizontal dari titik perpotongan garis dengan bidang R. Menurut milik titik ke garis lurus, kami menemukan proyeksi frontal dari titik perpotongan garis lurus AB dengan pesawat R. Tentukan visibilitas garis pada bidang proyeksi frontal.

Beras. 1.58 Gambar. 1.59

Gambar 1.58 menunjukkan gambar lengkap konstruksi proyeksi titik perpotongan garis AB dengan bidang datar horizontal G. Jejak bidang frontal G adalah proyeksi frontalnya. Proyeksi frontal dari titik perpotongan bidang G dengan garis lurus AB ditentukan di persimpangan proyeksi frontal dari garis lurus dan jejak frontal pesawat. Memiliki proyeksi frontal dari titik perpotongan, kami menemukan proyeksi horizontal dari titik perpotongan garis AB dengan pesawat G.

Gambar 1.57 menunjukkan bidang dalam posisi umum, diberikan oleh segitiga CDE dan garis proyeksi depan AB? memotong bidang di suatu titik K Proyeksi frontal suatu titik - k / cocok dengan poin sebuah / dan b/ . Untuk membuat proyeksi horizontal titik perpotongan, gambarlah melalui titik K di pesawat CDE garis lurus (mis. 1-2 ). Mari kita buat proyeksi frontalnya, dan kemudian horizontal. Dot K adalah titik potong garis AB dan 1-2. Itulah intinya K secara bersamaan milik garis AB dan bidang segitiga dan, oleh karena itu, adalah titik persimpangan mereka.

Persimpangan dua pesawat. Garis lurus yang memotong dua bidang ditentukan oleh dua titik, yang masing-masing dimiliki oleh kedua bidang, atau oleh satu titik, yang dimiliki oleh dua bidang, dan arah garis yang diketahui. Dalam kedua kasus, tugasnya adalah menemukan titik yang sama untuk dua bidang.

Persimpangan memproyeksikan pesawat. Dua bidang dapat sejajar satu sama lain atau berpotongan. Pertimbangkan kasus saling persimpangan pesawat.

Sebuah garis lurus yang diperoleh pada perpotongan antara dua bidang sepenuhnya ditentukan oleh dua titik, yang masing-masing milik kedua bidang, oleh karena itu, perlu dan cukup untuk menemukan dua titik ini yang termasuk dalam garis perpotongan dua bidang yang diberikan.

Oleh karena itu, dalam kasus umum, untuk membuat garis perpotongan dua bidang, perlu untuk menemukan dua titik, yang masing-masing milik kedua bidang. Titik-titik ini menentukan garis perpotongan bidang-bidang. Untuk menemukan masing-masing dari dua titik ini, Anda biasanya harus melakukan konstruksi khusus. Tetapi jika setidaknya satu dari bidang yang berpotongan tegak lurus (atau sejajar) dengan bidang proyeksi apa pun, maka konstruksi proyeksi garis perpotongannya disederhanakan.

Beras. 1.60 Gambar. 1.61

Jika bidang diberikan oleh jejak, maka wajar untuk mencari titik-titik yang menentukan garis perpotongan bidang-bidang di titik-titik persimpangan jejak bidang-bidang dengan nama yang sama secara berpasangan: garis yang melewati titik-titik ini adalah umum untuk kedua pesawat, yaitu garis persimpangan mereka.

Pertimbangkan kasus khusus lokasi salah satu (atau keduanya) bidang yang berpotongan.

Gambar kompleks (Gbr. 1.60) menunjukkan bidang proyeksi horizontal P dan Q. Kemudian proyeksi horizontal garis perpotongannya merosot menjadi satu titik, dan proyeksi frontal menjadi garis lurus yang tegak lurus terhadap sumbu sapi.

Gambar kompleks (Gbr. 1.61) menunjukkan bidang-bidang dengan posisi pribadi: bidang R tegak lurus terhadap bidang proyeksi horizontal (bidang proyeksi horizontal) dan bidang Q- bidang datar horizontal. Dalam hal ini, proyeksi horizontal dari garis perpotongannya akan bertepatan dengan jejak horizontal bidang R, dan frontal - dengan jejak frontal pesawat Q.

Dalam hal menentukan bidang dengan jejak, mudah untuk menetapkan bahwa bidang-bidang ini berpotongan: jika setidaknya satu pasang jejak dengan nama yang sama berpotongan, maka bidang-bidang tersebut saling berpotongan.

Hal di atas berlaku untuk bidang-bidang yang ditentukan oleh jejak-jejak yang berpotongan. Jika kedua bidang memiliki jejak yang sejajar satu sama lain pada bidang horizontal dan bidang frontal, maka bidang-bidang ini dapat sejajar atau berpotongan. Posisi timbal balik dari bidang-bidang tersebut dapat dinilai dengan membuat proyeksi ketiga (jejak ketiga). Jika jejak kedua bidang pada proyeksi ketiga juga sejajar, maka bidang-bidang itu sejajar satu sama lain. Jika jejak-jejak pada bidang ketiga berpotongan, maka bidang-bidang yang diberikan di ruang angkasa berpotongan.

Gambar kompleks (Gbr. 1.62) menunjukkan bidang proyeksi depan yang didefinisikan oleh segitiga ABC dan DEF. Proyeksi garis perpotongan pada bidang proyeksi frontal adalah suatu titik, yaitu Karena segitiga tegak lurus terhadap bidang proyeksi frontal, garis perpotongannya juga tegak lurus terhadap bidang proyeksi frontal. Oleh karena itu, proyeksi horizontal garis perpotongan segitiga ( 12 ) tegak lurus sumbu sapi. Visibilitas elemen segitiga pada bidang proyeksi horizontal ditentukan menggunakan titik bersaing (3,4).

Pada gambar kompleks (Gbr. 1.63), dua bidang diatur: salah satunya adalah segitiga ABC posisi umum, yang lain - segitiga DEF tegak lurus terhadap bidang proyeksi frontal, mis. terletak di posisi pribadi (front-projecting). Proyeksi frontal dari garis perpotongan segitiga ( 1 / 2 / ) ditemukan berdasarkan titik-titik umum yang secara bersamaan milik kedua segitiga (segala sesuatu yang ada di depan-memproyeksikan segitiga DEF pada proyeksi frontal akan menghasilkan garis – proyeksinya pada bidang frontal, termasuk garis perpotongannya dengan segitiga ABC. Menurut milik titik-titik persimpangan ke sisi-sisi segitiga ABC, kita menemukan proyeksi horizontal dari garis perpotongan segitiga. Dengan menggunakan metode titik bersaing, kami menentukan visibilitas elemen segitiga pada bidang proyeksi horizontal.

Beras. 1.63 Gambar. 1.64

Gambar 1.64 menunjukkan gambar kompleks dari dua bidang yang didefinisikan oleh segitiga dalam posisi umum ABC dan bidang proyeksi horizontal R, diberikan oleh jejak. Sejak pesawat R- mendatar, maka segala sesuatu yang ada di dalamnya, termasuk garis perpotongannya dengan bidang segitiga ABC, pada proyeksi horizontal akan bertepatan dengan

trek horizontal. Proyeksi frontal dari garis perpotongan bidang-bidang ini diperoleh dari syarat bahwa titik-titik elemen tersebut berada pada (sisi) bidang pada posisi umum.

Dalam hal menentukan bidang-bidang pada kedudukan umum bukan dengan jejak-jejak, maka untuk memperoleh garis perpotongan bidang-bidang tersebut dicari titik pertemuan sisi suatu segitiga dengan bidang segitiga lainnya secara berurutan. Jika bidang pada posisi umum tidak diberikan oleh segitiga, maka garis perpotongan bidang tersebut dapat ditemukan dengan memperkenalkan dua bidang garis potong tambahan secara bergantian - memproyeksikan (untuk menentukan bidang dengan segitiga) atau level untuk semua kasus lainnya.

Perpotongan garis pada posisi umum dengan bidang pada posisi umum. Sebelumnya, kasus persimpangan pesawat dipertimbangkan, ketika salah satunya memproyeksikan. Berdasarkan ini, kita dapat menemukan titik perpotongan garis pada posisi umum dengan bidang pada posisi umum dengan memperkenalkan bidang mediator proyeksi tambahan.

Sebelum mempertimbangkan perpotongan bidang pada posisi umum, perhatikan perpotongan garis pada posisi umum dengan bidang pada posisi umum.

Untuk mencari titik temu garis pada posisi umum dengan bidang pada posisi umum, diperlukan:

1) melampirkan garis lurus di bidang proyeksi tambahan,

2) temukan garis perpotongan bidang yang diberikan dan bidang bantu,

tentukan titik bersama yang dimiliki secara bersamaan oleh dua bidang (ini adalah garis perpotongannya) dan garis lurus.

Beras. 1.65 Gambar. 1.66

Beras. 1.67 Gambar. 1.68

Gambar kompleks (Gbr. 1.65) menunjukkan segitiga CDE posisi umum dan langsung AB posisi umum. Untuk menemukan titik potong garis dengan bidang, kita simpulkan garis AB Q. Mari kita cari garis persimpangan ( 12 ) pesawat perantara Q dan diberikan pesawat CDE. Saat membuat proyeksi horizontal dari garis persimpangan, ada titik yang sama Ke, secara bersamaan milik dua bidang dan garis tertentu AB. Dari kepemilikan suatu titik ke garis lurus, kita menemukan proyeksi frontal dari titik perpotongan garis lurus dengan bidang tertentu. Visibilitas elemen garis lurus pada bidang proyeksi ditentukan dengan menggunakan titik bersaing.

Gambar 1.66 menunjukkan contoh menemukan titik pertemuan garis lurus AB, yang merupakan garis horizontal (garis sejajar dengan bidang proyeksi horizontal) dan bidang R, dalam posisi umum, diberikan oleh jejak. Untuk menemukan titik perpotongannya, garis AB terletak pada bidang proyeksi horizontal Q. Kemudian lanjutkan seperti pada contoh di atas.

Untuk menemukan titik pertemuan garis proyeksi horizontal AB dengan bidang pada posisi umum (Gbr. 1.67), melalui titik pertemuan garis lurus dengan bidang (proyeksi horizontalnya bertepatan dengan proyeksi horizontal dari garis lurus itu sendiri) kami menggambar garis horizontal (mis. perpotongan garis lurus dengan bidang ke bidang R). Setelah menemukan proyeksi frontal dari horizontal yang ditarik di pesawat R, tandai proyeksi depan dari titik pertemuan garis AB dengan pesawat R.

Untuk menemukan garis perpotongan bidang dalam posisi umum, yang diberikan oleh jejak, cukup dengan menandai dua titik umum yang secara bersamaan dimiliki oleh kedua bidang. Titik-titik tersebut adalah titik perpotongan jejaknya (Gbr. 1.68).

Untuk mencari garis perpotongan bidang-bidang pada posisi umum, yang diberikan oleh dua segitiga (Gbr. 1.69), kita mencari titik secara berurutan

pertemuan sisi satu segitiga dengan bidang segitiga lain. Mengambil dua sisi dari segitiga mana pun, melampirkannya dalam mediator yang memproyeksikan bidang, ditemukan dua titik yang secara bersamaan dimiliki oleh kedua segitiga - garis persimpangan mereka.

Gambar 1.69 menunjukkan gambar kompleks segitiga ABC dan DEF posisi umum. Untuk menemukan garis perpotongan bidang-bidang ini:

1. Kami menyimpulkan sisi matahari segi tiga ABC ke bidang proyeksi frontal S(pilihan pesawat benar-benar sewenang-wenang).

2. Tentukan garis potong bidang tersebut S dan pesawat DEF – 12 .

3. Kami menandai proyeksi horizontal titik pertemuan (titik umum dua segitiga) Ke dari persimpangan 12 dan matahari dan temukan proyeksi frontalnya pada proyeksi frontal garis Matahari.

4. Kami menggambar bidang proyeksi bantu kedua Q di seberang D.F. segi tiga DEF.

5. Temukan garis perpotongan bidang Q dan segitiga ABC - 3 4.

6. Tandai proyeksi horizontal titik tersebut L, yang merupakan titik pertemuan pesta D.F. dengan bidang segitiga ABC dan temukan proyeksi frontalnya.

7. Kami menghubungkan proyeksi titik dengan nama yang sama Ke dan L. ke L- garis perpotongan bidang pada posisi umum, diberikan oleh segitiga ABC dan DEF.

8. Dengan menggunakan metode titik bersaing, kami menentukan visibilitas elemen segitiga pada bidang proyeksi.

Karena di atas juga berlaku untuk garis utama bidang sejajar, kita dapat mengatakan bahwa bidang-bidang itu sejajar jika jejak-jejaknya dengan nama yang sama sejajar(Gbr. 1.71).
Gambar 1.72 menunjukkan konstruksi bidang yang sejajar dengan bidang yang diberikan dan melewati titik TETAPI. Dalam kasus pertama, melalui titik TETAPI garis lurus (depan) ditarik sejajar dengan bidang yang diberikan G. Jadi, sebuah pesawat digambar R mengandung garis yang sejajar dengan bidang tertentu G dan sejajar dengannya. Dalam kasus kedua, melalui titik TETAPI sebuah bidang ditarik, diberikan oleh garis-garis utama dari kondisi paralelisme garis-garis ini ke bidang tertentu G.

Bidang yang saling tegak lurus.Jika satu pesawat berisi

setidaknya satu garis tegak lurus terhadap bidang lain, maka seperti

pesawat tegak lurus. Gambar 1.73 bidang yang saling tegak lurus ditunjukkan. Gambar 1.74 menunjukkan konstruksi bidang yang tegak lurus dengan yang diberikan melalui titik TETAPI, menggunakan syarat tegak lurus garis lurus (dalam hal ini garis utama) terhadap bidang.

Dalam kasus pertama, melalui titik TETAPI sebuah frontal ditarik tegak lurus terhadap bidang R, jejak horizontalnya dibuat dan jejak horizontal bidang ditarik melaluinya Q , tegak lurus terhadap garis horizontal bidang R. Melalui titik hilang yang dihasilkan QX jejak frontal pesawat ditarik Q tegak lurus dengan jejak depan pesawat R.

Dalam kasus kedua, garis horizontal digambar pada bidang segitiga MENJADI dan frontal bf dan melalui titik tertentu TETAPI kita mengatur bidang dengan memotong garis lurus (garis utama) tegak lurus terhadap bidang segitiga. Untuk melakukan ini, gambarlah melalui titik TETAPI horisontal dan frontal. Proyeksi horizontal bidang horizontal yang diinginkan ( N) kita menggambar tegak lurus terhadap proyeksi horizontal horizontal segitiga, proyeksi frontal bagian depan bidang baru ( M) tegak lurus terhadap proyeksi frontal bagian depan segitiga.

Stereometri

Susunan garis dan bidang yang saling berhubungan

Di ruang hampa

Paralelisme garis dan bidang

Dua garis dalam ruang disebut paralel jika mereka terletak pada bidang yang sama dan tidak berpotongan.

Garis dan bidang disebut paralel jika mereka tidak berpotongan.

Kedua pesawat itu disebut paralel jika mereka tidak berpotongan.

Garis yang tidak berpotongan dan tidak terletak pada bidang yang sama disebut kawin silang .

Tanda paralelisme garis lurus dan bidang. Jika suatu garis yang bukan milik suatu bidang sejajar dengan suatu garis pada bidang itu, maka garis itu juga sejajar dengan bidang itu sendiri.

Tanda bidang sejajar. Jika dua garis berpotongan dari satu bidang masing-masing sejajar dengan dua garis pada bidang lain, maka bidang-bidang ini sejajar.

Tanda garis berpotongan. Jika salah satu dari dua garis terletak pada sebuah bidang, dan yang lainnya memotong bidang ini pada titik yang bukan milik garis pertama, maka garis-garis ini berpotongan.

Teorema garis sejajar dan bidang sejajar.

1. Dua garis yang sejajar dengan garis ketiga adalah sejajar.

2. Jika salah satu dari dua garis sejajar memotong bidang, maka garis lainnya juga memotong bidang ini.

3. Melalui sebuah titik di luar garis tertentu, seseorang dapat menggambar garis yang sejajar dengan garis yang diberikan, dan hanya satu.

4. Jika sebuah garis sejajar dengan masing-masing dari dua bidang yang berpotongan, maka garis itu sejajar dengan garis perpotongannya.

5. Jika dua bidang sejajar dipotong oleh bidang ketiga, maka garis-garis perpotongannya sejajar.

6. Melalui sebuah titik yang tidak terletak pada suatu bidang tertentu, seseorang dapat menggambar sebuah bidang yang sejajar dengan bidang tersebut, dan hanya satu.

7. Dua bidang yang sejajar dengan sepertiga adalah sejajar satu sama lain.

8. Ruas-ruas garis sejajar yang terletak di antara bidang-bidang sejajar adalah sama besar.

Sudut antara garis dan bidang

Sudut antara garis dan bidang sudut antara garis dan proyeksinya ke bidang disebut (sudut pada Gambar 1).

Sudut antara garis miring adalah sudut antara garis berpotongan yang sejajar masing-masing terhadap garis miring yang diberikan.

sudut dihedral Sosok yang dibentuk oleh dua setengah bidang dengan garis lurus yang sama disebut. Setengah bidang disebut wajah , garis lurus tepian sudut dihedral.

Sudut linier sudut dihedral adalah sudut antara setengah garis milik wajah sudut dihedral, berasal dari satu titik di tepi dan tegak lurus ke tepi (sudut pada Gambar. 2).

Besaran derajat (radian) sudut dihedral sama dengan derajat (radian) sudut liniernya.

Tegak lurus garis dan bidang

Kedua garis tersebut disebut tegak lurus jika mereka berpotongan tegak lurus.

Garis yang memotong bidang disebut tegak lurus bidang ini jika tegak lurus terhadap sembarang garis pada bidang yang melalui titik perpotongan garis ini dan bidang.

Kedua pesawat itu disebut tegak lurus , jika berpotongan, mereka membentuk sudut dihedral siku-siku.

Tanda tegak lurus garis lurus dan bidang. Jika sebuah garis yang memotong sebuah bidang tegak lurus terhadap dua garis yang berpotongan pada bidang tersebut, maka garis tersebut tegak lurus terhadap bidang tersebut.

Tanda tegak lurus dua bidang. Jika sebuah bidang melewati garis yang tegak lurus terhadap bidang lain, maka bidang-bidang tersebut tegak lurus.

Teorema pada garis tegak lurus dan bidang.

1. Jika sebuah bidang tegak lurus terhadap salah satu dari dua garis sejajar, maka bidang tersebut juga tegak lurus terhadap yang lain.

2. Jika dua garis tegak lurus pada bidang yang sama, maka keduanya sejajar.

3. Jika sebuah garis tegak lurus terhadap salah satu dari dua bidang sejajar, maka garis tersebut juga tegak lurus terhadap yang lain.

4. Jika dua bidang tegak lurus terhadap garis yang sama, maka keduanya sejajar.

Tegak lurus dan miring

Dalil. Jika sebuah garis tegak lurus dan miring ditarik dari satu titik di luar bidang, maka:

1) cenderung, memiliki proyeksi yang sama, adalah sama;

2) dari dua yang miring, yang proyeksinya lebih besar lebih besar;

3) miring yang sama memiliki proyeksi yang sama;

4) dari dua proyeksi, salah satu yang sesuai dengan kemiringan yang lebih besar lebih besar.

Teorema tiga tegak lurus. Agar garis lurus yang terletak pada bidang tegak lurus terhadap bidang miring, perlu dan cukup bahwa garis lurus ini tegak lurus terhadap proyeksi bidang miring (Gbr. 3).

Teorema pada area proyeksi ortogonal poligon ke bidang. Luas proyeksi ortogonal poligon ke bidang sama dengan produk luas poligon dikalikan kosinus sudut antara bidang poligon dan bidang proyeksi.

Konstruksi.

1. Di pesawat sebuah menggambar garis lurus sebuah.

3. Di pesawat b melalui satu titik TETAPI mari kita menggambar garis lurus b, sejajar dengan garis sebuah.

4. Membangun garis lurus b sejajar dengan bidang sebuah.

Bukti. Berdasarkan kesejajaran garis lurus dan bidang, garis lurus b sejajar dengan bidang sebuah, karena sejajar dengan garis sebuah milik pesawat sebuah.

Belajar. Masalahnya memiliki jumlah solusi yang tak terbatas, karena garis sebuah di pesawat sebuah dipilih secara sewenang-wenang.

Contoh 2 Tentukan jarak suatu titik dari bidang TETAPI jika lurus AB memotong bidang pada sudut 45º, jarak dari titik TETAPI ke titik PADA, milik pesawat, sama dengan cm?

Keputusan. Mari kita membuat gambar (Gbr. 5):

AC- tegak lurus bidang sebuah, AB- miring, sudut ABC- sudut antara garis AB dan pesawat sebuah. Segi tiga ABC- persegi panjang sebagai AC- tegak lurus. Jarak yang diinginkan dari suatu titik TETAPI ke pesawat - ini kakinya AC segitiga siku-siku. Mengetahui sudut dan sisi miring cm, kami menemukan kaki AC:

Menjawab: 3 cm

Contoh 3 Tentukan berapa jauh dari bidang segitiga sama kaki adalah titik 13 cm dari setiap titik sudut segitiga jika alas dan tinggi segitiga masing-masing 8 cm?

Keputusan. Mari kita membuat gambar (Gbr. 6). Dot S jauh dari poin TETAPI, PADA dan Dengan ke jarak yang sama. Sangat cenderung SA, SB dan SC setara, JADI- tegak lurus umum dari miring ini. Dengan teorema miring dan proyeksi AO = BO = CO

Dot HAI- pusat lingkaran yang dibatasi segitiga ABC. Mari kita cari radiusnya:

di mana matahari- basis;

IKLAN adalah tinggi segitiga sama kaki yang diberikan.

Mencari sisi segitiga ABC dari segitiga siku-siku ABD sesuai dengan teorema Pythagoras:

Sekarang kita temukan OV:

Pertimbangkan segitiga MENANGIS: SB= 13cm, OV= = 5 cm. Hitunglah panjang garis tegak lurus tersebut JADI sesuai dengan teorema Pythagoras:

Menjawab: 12 cm

Contoh 4 Diberikan bidang paralel sebuah dan b. Melalui titik M, yang bukan milik salah satu dari mereka, garis lurus ditarik sebuah dan b, yang menyeberang sebuah di titik-titik TETAPI 1 dan PADA 1 , dan pesawat b- di titik TETAPI 2 dan PADA 2. Mencari TETAPI 1 PADA 1 jika diketahui MA 1 = 8cm, TETAPI 1 TETAPI 2 = 12cm, TETAPI 2 PADA 2 = 25cm.

Keputusan. Karena kondisinya tidak mengatakan bagaimana titik itu terletak relatif terhadap kedua bidang M, maka dua opsi dimungkinkan: (Gbr. 7, a) dan (Gbr. 7, b). Mari kita pertimbangkan masing-masing. Dua garis berpotongan sebuah dan b menentukan pesawat. Bidang ini memotong dua bidang sejajar sebuah dan b sepanjang garis paralel TETAPI 1 PADA 1 dan TETAPI 2 PADA 2 menurut Teorema 5 tentang garis sejajar dan bidang sejajar.

segitiga MA 1 PADA 1 dan MA 2 PADA 2 sebangun (sudut TETAPI 2 MV 2 dan TETAPI 1 MV 1 - vertikal, sudut MA 1 PADA 1 dan MA 2 PADA 2 - salib internal berbaring dengan garis paralel TETAPI 1 PADA 1 dan TETAPI 2 PADA 2 dan garis potong TETAPI 1 TETAPI 2). Dari kesejajaran segitiga berikut proporsionalitas sisi-sisinya:

Opsi a):

Opsi b):

Menjawab: 10cm dan 50cm.

Contoh 5 Melalui titik TETAPI pesawat terbang g langsung AB membentuk sudut dengan bidang sebuah. Melalui garis lurus AB pesawat ditarik r, membentuk dengan pesawat g injeksi b. Tentukan sudut antara proyeksi garis AB ke pesawat g dan pesawat r.

Keputusan. Mari kita membuat gambar (Gbr. 8). Dari satu titik PADA jatuhkan tegak lurus terhadap bidang g. Sudut dihedral linier antara bidang g dan r adalah sudut IKLAN DBC, atas dasar tegak lurus garis dan bidang, karena dan atas dasar tegak lurus bidang, bidang r tegak lurus bidang segitiga DBC, karena melewati garis IKLAN. Kami membangun sudut yang diinginkan dengan menjatuhkan tegak lurus dari titik Dengan ke pesawat r, tunjukkan itu Temukan sinus sudut segitiga siku-siku ini SAYA SENDIRI. Kami memperkenalkan segmen tambahan a = matahari. Dari segitiga ABC: Dari segitiga Angkatan laut Temukan

Maka sudut yang dibutuhkan

Menjawab:

Tugas untuk solusi independen

saya tingkat

1.1. Melalui sebuah titik, buatlah garis yang tegak lurus terhadap dua garis miring yang diberikan.

1.2. Tentukan berapa banyak bidang berbeda yang dapat digambar:

1) melalui tiga titik yang berbeda;

2) melalui empat titik berbeda, tidak ada tiga titik yang terletak pada bidang yang sama?

1.3. melalui titik sudut segitiga ABC, terletak di salah satu dari dua bidang sejajar, ditarik garis sejajar yang memotong bidang kedua di titik-titik TETAPI 1 , PADA 1 , Dengan satu . Buktikan segitiga-segitiga itu sama besar ABC dan TETAPI 1 PADA 1 Dengan 1 .

1.4. Dari atas TETAPI empat persegi panjang ABCD tegak lurus SAYA ke pesawatnya.

1) buktikan segitiga MBC dan MDC- persegi panjang;

2) tunjukkan di antara segmen MB, MC, MD dan MA segmen dengan panjang terbesar dan terkecil.

1.5. Wajah-wajah dari satu sudut dihedral masing-masing sejajar dengan wajah-wajah yang lain. Tentukan apa hubungan antara nilai-nilai sudut dihedral ini.

1.6. Hitunglah nilai sudut dihedral jika jarak dari titik yang diambil pada satu sisi ke tepi adalah 2 kali jarak dari titik ke bidang pada sisi kedua.

1.7. Dari suatu titik yang dipisahkan dari bidang oleh suatu jarak, dua garis miring yang sama ditarik, membentuk sudut 60º. Proyeksi bidang miring saling tegak lurus. Temukan panjang miring.

1.8. Dari atas PADA kotak ABCD tegak lurus MENJADI ke bidang persegi. Sudut kemiringan bidang segitiga KARTU AS terhadap bidang persegi adalah j, sisi persegi adalah sebuah KARTU AS.

tingkat II

2.1. Melalui sebuah titik yang tidak termasuk dalam salah satu dari dua garis yang berpotongan, buatlah sebuah garis yang memotong kedua garis tersebut.

2.2. Garis sejajar sebuah, b dan dengan tidak terletak pada bidang yang sama. Melalui titik TETAPI pada garis lurus sebuah ditarik tegak lurus terhadap garis b dan dengan, memotongnya masing-masing di titik PADA dan Dengan. Buktikan bahwa garis matahari tegak lurus terhadap garis lurus b dan dengan.

2.3. Melalui bagian atas TETAPI segitiga siku-siku ABC sebuah bidang yang ditarik sejajar dengan matahari. Kaki segitiga AC= 20cm, matahari\u003d 15 cm Proyeksi salah satu kaki pada bidang adalah 12 cm Temukan proyeksi sisi miring.

2.4. Di salah satu wajah sudut dihedral yang sama dengan 30º, ada sebuah titik M. Jaraknya ke tepi sudut adalah 18 cm. Hitung jarak dari proyeksi titik M di tepi kedua ke tepi pertama.

2.5. Garis berakhir AB milik wajah sudut dihedral sama dengan 90º. Jarak dari titik TETAPI dan PADA sampai ke tepi adalah sama masing-masing A A 1 = 3cm, BB 1 \u003d 6 cm, jarak antara titik di tepi Temukan panjang segmen AB.

2.6. Dari suatu titik yang dipisahkan dari bidang oleh suatu jarak sebuah, dua bidang miring digambar, membentuk sudut 45º dan 30º dengan bidang, dan sudut 90º di antara keduanya. Cari jarak antara dasar lereng.

2.7. Sisi-sisi segitiga tersebut adalah 15 cm, 21 cm, dan 24 cm M dijauhkan dari bidang segitiga sebesar 73 cm dan berada pada jarak yang sama dari simpul-simpulnya. Temukan jarak ini.

2.8. Dari pusat HAI lingkaran tertulis dalam segitiga ABC, tegak lurus terhadap bidang segitiga om. Tentukan jarak dari suatu titik M ke sisi segitiga, jika AB = BC = 10 cm AC= 12cm, om= 4cm

2.9. Jarak dari suatu titik M sisi dan titik sudut siku-siku masing-masing 4 cm, 7 cm dan 8 cm. Tentukan jarak dari titik tersebut M ke bidang sudut siku-siku.

2.10. Melalui pangkalan AB segitiga sama kaki ABC bidang yang ditarik membentuk sudut b ke bidang segitiga. Puncak Dengan dikeluarkan dari pesawat pada suatu jarak sebuah. Cari luas segitiga ABC jika dasar AB segitiga sama kaki sama dengan tinggi.

tingkat III

3.1. Tata letak persegi panjang ABCD dengan pihak sebuah dan b dilipat secara diagonal BD sehingga bidang-bidang segitiga buruk dan BCD menjadi saling tegak lurus. Tentukan panjang segmen AC.

3.2. Dua buah trapesium persegi panjang dengan sudut 60º terletak pada bidang yang tegak lurus dan memiliki alas persekutuan yang lebih besar. Sisi-sisi lateral yang besar adalah 4 cm dan 8 cm. Hitunglah jarak antara simpul-simpul garis lurus dan simpul-simpul sudut tumpul trapesium jika simpul-simpul sudut lancipnya berhimpitan.

3.3 Kubus diberikan ABCDA 1 B 1 C 1 D satu . Tentukan sudut antara garis CD 1 dan pesawat bdc 1 .

3.4. gelisah AB Kuba ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 poin diambil R adalah tengah tepi ini. Bangun bagian kubus dengan bidang yang melalui titik-titik C 1 PD dan cari luas bagian ini jika rusuk kubus adalah sebuah.

3.5. Di seberang IKLAN empat persegi panjang ABCD pesawat ditarik sebuah sehingga diagonalnya BD membuat sudut 30 derajat dengan bidang ini. Tentukan sudut antara bidang persegi panjang dan bidang sebuah, jika AB = sebuah, AD=b. Tentukan berapa rasio sebuah dan b masalah memiliki solusi.

3.6. Temukan tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama dari garis-garis yang ditentukan oleh sisi-sisi segitiga.

Prisma. Paralelipiped

prisma disebut polihedron yang dua wajahnya sama n-gons (dasar) , terletak pada bidang paralel, dan n wajah yang tersisa adalah jajaran genjang (tepi samping) . rusuk samping prisma adalah sisi wajah lateral yang bukan milik alas.

Prisma yang sisi-sisinya tegak lurus terhadap bidang alas disebut lurus prisma (Gbr. 1). Jika sisi-sisinya tidak tegak lurus bidang alasnya, maka prisma disebut miring . Benar Prisma adalah prisma lurus yang alasnya merupakan poligon beraturan.

Tinggi prisma disebut jarak antara bidang alas. Diagonal Prisma adalah segmen yang menghubungkan dua simpul yang tidak memiliki wajah yang sama. bagian diagonal Bagian prisma oleh bidang yang melalui dua sisi sisi yang tidak berhadap-hadapan disebut. Bagian tegak lurus disebut bagian prisma oleh bidang yang tegak lurus terhadap tepi lateral prisma.

Luas permukaan samping prisma adalah jumlah luas semua sisi sisinya. Luas permukaan penuh jumlah luas semua permukaan prisma disebut (yaitu, jumlah luas permukaan sisi dan luas alas).

Untuk prisma sewenang-wenang, rumusnya benar:

di mana aku adalah panjang rusuk samping;

H- tinggi;

P

Q

sisi S

S penuh

S utama adalah luas pangkalan;

V adalah volume prisma.

Untuk prisma lurus, rumus berikut ini benar:

di mana p- keliling pangkalan;

aku adalah panjang rusuk samping;

H- tinggi.

Paralelipiped Prisma yang alasnya jajar genjang disebut. Paralelepiped yang tepi lateralnya tegak lurus dengan alasnya disebut langsung (Gbr. 2). Jika sisi-sisinya tidak tegak lurus dengan alasnya, maka paralelepiped disebut miring . Sejajar siku-siku yang alasnya berbentuk persegi panjang disebut persegi panjang. Sejajar persegi panjang yang semua sisinya sama disebut kubus.

Wajah paralelepiped yang tidak memiliki simpul yang sama disebut di depan . Panjang rusuk yang keluar dari satu titik disebut pengukuran paralelipiped. Karena kotak adalah prisma, elemen utamanya didefinisikan dengan cara yang sama seperti yang didefinisikan untuk prisma.

Teorema.

1. Diagonal dari parallelepiped berpotongan di satu titik dan membagi duanya.

2. Dalam parallelepiped persegi panjang, kuadrat dari panjang diagonal sama dengan jumlah kuadrat dari tiga dimensinya:

3. Keempat diagonal dari parallelepiped persegi panjang adalah sama satu sama lain.

Untuk parallelepiped sewenang-wenang, rumus berikut ini benar:

di mana aku adalah panjang rusuk samping;

H- tinggi;

P adalah keliling penampang tegak lurus;

Q– Luas bagian tegak lurus;

sisi S adalah luas permukaan lateral;

S penuh adalah luas permukaan total;

S utama adalah luas pangkalan;

V adalah volume prisma.

Untuk paralelepiped kanan, rumus berikut ini benar:

di mana p- keliling pangkalan;

aku adalah panjang rusuk samping;

H adalah ketinggian parallelepiped kanan.

Untuk parallelepiped persegi panjang, rumus berikut ini benar:

di mana p- keliling pangkalan;

H- tinggi;

d- diagonal;

a,b,c– pengukuran paralelepiped.

Rumus kubus yang benar adalah:

di mana sebuah adalah panjang rusuk;

d adalah diagonal kubus.

Contoh 1 Diagonal sebuah balok persegi panjang adalah 33 dm, dan pengukurannya berhubungan dengan 2:6:9.Temukan ukuran balok tersebut.

Keputusan. Untuk menemukan dimensi parallelepiped, kami menggunakan rumus (3), yaitu. fakta bahwa kuadrat sisi miring sebuah kubus sama dengan jumlah kuadrat dimensinya. Dilambangkan dengan k koefisien proporsionalitas. Maka dimensi parallelepiped akan sama dengan 2 k, 6k dan 9 k. Kami menulis rumus (3) untuk data masalah:

Memecahkan persamaan ini untuk k, kita mendapatkan:

Jadi, dimensi paralelepiped adalah 6 dm, 18 dm dan 27 dm.

Menjawab: 6 dm, 18 dm, 27 dm.

Contoh 2 Hitunglah volume prisma segitiga miring yang alasnya merupakan segitiga sama sisi dengan sisi 8 cm, jika sisi sisinya sama dengan sisi alasnya dan miring membentuk sudut 60º terhadap alasnya.

Keputusan . Mari kita membuat gambar (Gbr. 3).

Untuk menemukan volume prisma miring, Anda perlu mengetahui luas alas dan tingginya. Luas alas prisma ini adalah luas segitiga sama sisi yang panjang sisinya 8 cm, mari kita hitung:

Tinggi prisma adalah jarak antara alasnya. Dari atas TETAPI 1 dari alas atas kita turunkan tegak lurus terhadap bidang alas bawah TETAPI 1 D. Panjangnya akan menjadi tinggi prisma. Pertimbangkan D TETAPI 1 IKLAN: karena ini adalah sudut kemiringan rusuk samping TETAPI 1 TETAPI ke pesawat dasar TETAPI 1 TETAPI= 8 cm Dari segitiga ini kita temukan TETAPI 1 D:

Sekarang kita menghitung volume menggunakan rumus (1):

Menjawab: 192 cm3.

Contoh 3 Tepi samping prisma segi enam beraturan adalah 14 cm, luas penampang diagonal terbesar adalah 168 cm 2. Temukan luas permukaan total prisma.

Keputusan. Mari kita membuat gambar (Gbr. 4)

Bagian diagonal terbesar adalah persegi panjang A A 1 DD 1 , karena diagonalnya IKLAN segi enam biasa ABCDEF adalah yang terbesar. Untuk menghitung luas permukaan lateral prisma, perlu diketahui sisi alas dan panjang rusuk lateral.

Mengetahui luas bagian diagonal (persegi panjang), kami menemukan diagonal alasnya.

Karena , maka

Dari dulu AB= 6cm

Maka keliling alasnya adalah:

Temukan luas permukaan lateral prisma:

Luas segi enam beraturan dengan sisi 6 cm adalah:

Temukan luas permukaan total prisma:

Menjawab:

Contoh 4 Dasar dari parallelepiped kanan adalah belah ketupat. Luas penampang diagonalnya adalah 300 cm 2 dan 875 cm 2. Temukan luas permukaan sisi paralelepiped.

Keputusan. Mari kita membuat gambar (Gbr. 5).

Tunjukkan sisi belah ketupat dengan sebuah, diagonal-diagonal belah ketupat d 1 dan d 2, tinggi kotak h. Untuk menemukan luas permukaan lateral dari paralelepiped lurus, perlu untuk mengalikan keliling alas dengan tingginya: (rumus (2)). Perimeter dasar p = AB + BC + CD + DA = 4AB = 4a, sebagai ABCD- belah ketupat. H = AA 1 = h. Itu. Perlu menemukan sebuah dan h.

Pertimbangkan bagian diagonal. A A 1 SS 1 - persegi panjang, satu sisinya adalah diagonal belah ketupat AC = d 1 , tepi sisi kedua A A 1 = h, kemudian

Demikian pula untuk bagian BB 1 DD 1 kita mendapatkan:

Menggunakan properti jajar genjang sehingga jumlah kuadrat diagonal sama dengan jumlah kuadrat semua sisinya, kita mendapatkan persamaan Kita mendapatkan yang berikut:

Dari dua persamaan pertama, kita nyatakan dan substitusikan ke persamaan ketiga. Kita dapatkan: maka

1.3. Pada prisma segitiga miring, sebuah penampang ditarik tegak lurus dengan panjang sisinya sama dengan 12 cm. Pada segitiga yang dihasilkan, dua sisi dengan panjang cm dan 8 cm membentuk sudut 45 °. Temukan luas permukaan lateral prisma.

1.4. Alas jajar genjang siku-siku adalah belah ketupat dengan sisi 4 cm dan sudut lancip 60°. Hitunglah diagonal-diagonal paralelepiped jika panjang sisi sampingnya 10 cm.

1.5. Alas paralelepiped siku adalah persegi dengan diagonal sama dengan cm. Sisi sisi paralelepiped adalah 5 cm. Temukan total luas permukaan paralelepiped.

1.6. Alas sebuah paralelepiped miring adalah persegi panjang dengan sisi 3 cm dan 4 cm. Sebuah sisi yang sama dengan cm dimiringkan ke bidang alas dengan sudut 60 °. Temukan volume paralelepiped.

1.7. Hitunglah luas permukaan balok jika dua buah rusuk dan sebuah diagonal yang keluar dari titik yang sama berturut-turut adalah 11 cm, cm dan 13 cm.

1.8. Tentukan berat sebuah kolom batu yang berbentuk persegi panjang sejajar, dengan dimensi 0,3 m, 0,3 m dan 2,5 m, jika berat jenis bahan adalah 2,2 g/cm3.

1.9. Hitunglah luas penampang kubus jika diagonal permukaannya dm.

1.10. Hitunglah volume kubus jika jarak antara dua simpulnya yang tidak terletak pada muka yang sama adalah cm.

tingkat II

2.1. Alas prisma miring adalah segitiga sama sisi dengan sisi cm. Tepi lateralnya miring ke bidang alas dengan sudut 30°. Hitunglah luas penampang prisma yang melalui tepi samping dan tinggi prisma, jika diketahui salah satu simpul alas atas diproyeksikan ke tengah sisi alas bawah.

2.2. Alas prisma miring adalah segitiga sama sisi ABC dengan sisi sama dengan 3 cm. Titik sudut A1 diproyeksikan ke pusat segitiga ABC. Rusuk AA 1 membentuk sudut 45° dengan bidang alas. Temukan luas permukaan lateral prisma.

2.3. Hitung volume prisma segitiga miring jika sisi alasnya adalah 7 cm, 5 cm dan 8 cm, dan tinggi prisma sama dengan tinggi alas segitiga.

2.4. Diagonal prisma segi empat beraturan miring ke samping dengan sudut 30°. Temukan sudut kemiringan ke bidang dasar.

2.5. Alas prisma lurus adalah trapesium sama kaki, alasnya 4 cm dan 14 cm, dan diagonalnya 15 cm. Kedua sisi sisi prisma adalah persegi. Temukan luas permukaan total prisma.

2.6. Diagonal prisma segi enam beraturan adalah 19 cm dan 21 cm. Hitunglah volumenya.

2.7. Hitunglah ukuran suatu jajar genjang yang diagonalnya 8 dm dan yang membentuk sudut 30° dan 40° dengan sisi-sisinya menghadap.

2.8. Diagonal alas sebuah paralelepiped lurus adalah 34 cm dan 38 cm, dan luas sisi-sisinya adalah 800 cm 2 dan 1200 cm 2. Temukan volume paralelepiped.

2.9. Tentukan volume balok yang diagonal sisi-sisinya keluar dari salah satu titik sudutnya adalah 4 cm dan 5 cm dan membentuk sudut 60°.

2.10. Hitunglah volume kubus jika jarak diagonalnya ke rusuk yang tidak memotongnya adalah mm.

tingkat III

3.1. Pada prisma segitiga beraturan, sebuah penampang digambar melalui sisi alas dan bagian tengah sisi yang berhadapan. Luas alasnya adalah 18 cm2, dan diagonal permukaan sampingnya miring ke alas dengan sudut 60°. Temukan luas penampang.

3.2. Alas prisma adalah persegi ABCD, semua simpulnya berjarak sama dari puncak A 1 alas atas. Sudut antara tepi samping dan bidang alas adalah 60°. Sisi alasnya adalah 12 cm. Buatlah bagian prisma dengan sebuah bidang yang melalui titik sudut C, tegak lurus dengan sisi AA 1 dan tentukan luasnya.

3.3. Dasar prisma siku-siku adalah trapesium sama kaki. Luas penampang diagonal dan luas sisi sejajar masing-masing adalah 320 cm 2 , 176 cm 2 dan 336 cm 2 . Temukan luas permukaan lateral prisma.

3.4. Luas alas prisma segitiga lurus adalah 9 cm 2, luas sisi-sisinya adalah 18 cm 2, 20 cm 2 dan 34 cm 2. Carilah volume prisma tersebut.

3.5. Hitunglah diagonal-diagonal sebuah balok jika diketahui diagonal-diagonal sisi-sisinya adalah 11 cm, 19 cm, dan 20 cm.

3.6. Sudut-sudut yang dibentuk oleh diagonal alas jajar genjang dengan sisi alas dan diagonal jajar genjang masing-masing sama dengan a dan b. Temukan luas permukaan lateral paralelepiped jika diagonalnya d.

3.7. Luas bagian kubus yang merupakan segi enam beraturan adalah cm2. Cari luas permukaan kubus.

kaleng langsung milik pesawat, jadilah dia paralel atau menyeberang pesawat terbang. Suatu garis termasuk dalam suatu bidang jika dua titik yang termasuk dalam garis dan bidang tersebut mempunyai ketinggian yang sama. Akibat wajar dari apa yang telah dikatakan: suatu titik termasuk dalam bidang jika itu termasuk dalam garis yang terletak di bidang itu.

Suatu garis dikatakan sejajar dengan suatu bidang jika garis tersebut sejajar dengan suatu garis pada bidang tersebut.

Garis lurus yang memotong bidang. Untuk menemukan titik potong garis lurus dengan bidang, perlu (Gbr. 3.28):

1) menggambar bidang bantu melalui garis yang diberikan m T;

2) membuat garis n perpotongan bidang yang diberikan dengan bidang bantu T;

3) tandai titik persimpangan R, garis yang diberikan m dengan garis potong n.

Perhatikan soal (Gbr. 3.29) Garis m diberikan pada denah dengan titik A 6 dan sudut kemiringan 35°. Sebuah bidang vertikal bantu ditarik melalui garis ini. T, yang memotong bidang sepanjang garis n (B2C3). Dengan demikian, mereka bergerak dari posisi timbal balik dari garis lurus dan bidang ke posisi timbal balik dari dua garis lurus yang terletak pada bidang vertikal yang sama. Masalah ini diselesaikan dengan membangun profil garis lurus ini. Persimpangan garis m dan n mendefinisikan titik yang diinginkan pada profil R. Ketinggian titik R ditentukan oleh skala vertikal.

Garis lurus yang tegak lurus bidang. Sebuah garis lurus tegak lurus terhadap sebuah bidang jika garis tersebut tegak lurus terhadap dua garis yang berpotongan pada bidang tersebut. Gambar 3.30 menunjukkan garis lurus m, tegak lurus terhadap bidang dan berpotongan di titik A. Pada bidang proyeksi garis lurus m dan garis horizontal bidang saling tegak lurus (sudut siku-siku, satu sisinya sejajar dengan bidang proyeksi, diproyeksikan tanpa distorsi. Kedua garis terletak pada bidang vertikal yang sama, oleh karena itu, posisi garis-garis tersebut berlawanan besarnya satu sama lain: aku m = II kamu Tetapi aku uΣ = aku, maka aku m = II, yaitu peletakan garis lurus m berbanding terbalik dengan peletakan bidang. Jatuh pada garis lurus dan bidang diarahkan ke arah yang berbeda.

3.4. Proyeksi dengan tanda numerik. permukaan

3.4.1 Permukaan polihedra dan lengkung. permukaan topografi

Di alam, banyak zat memiliki struktur kristal dalam bentuk polihedra. Polihedron adalah kumpulan poligon bidang yang tidak terletak pada bidang yang sama, di mana setiap sisi dari salah satu dari mereka pada saat yang sama merupakan sisi yang lain. Saat menggambarkan polihedron, cukup untuk menunjukkan proyeksi simpulnya, menghubungkannya dalam urutan tertentu dengan garis lurus - proyeksi tepi. Dalam hal ini, tepi yang terlihat dan tidak terlihat harus ditunjukkan pada gambar. pada gambar. 3.31 menunjukkan prisma dan piramida, serta menemukan tanda titik milik permukaan ini.

Kelompok khusus poligon cembung adalah kelompok poligon beraturan di mana semua wajah adalah poligon beraturan yang sama satu sama lain dan semua sudut poligonal adalah sama. Ada lima jenis poligon beraturan.

Segi empat- sebuah segi empat beraturan yang dibatasi oleh segitiga sama sisi memiliki 4 titik sudut dan 6 sisi (Gbr. 3.32 a).

Pigur berenam segi- segi enam biasa (kubus) - 8 simpul, 12 tepi (Gbr. 3.32b).

Segi delapan- segi delapan biasa, dibatasi oleh delapan segitiga sama sisi - 6 simpul, 12 tepi (Gbr. 3.32c).

Pigura berduabelas segi- sebuah dodecahedron biasa, dibatasi oleh dua belas segilima biasa, dihubungkan oleh tiga di dekat setiap simpul.

Ini memiliki 20 simpul dan 30 tepi (Gbr. 3.32 d).

ikosahedron- segitiga beraturan dua puluh sisi, dibatasi oleh dua puluh segitiga sama sisi, dihubungkan oleh lima di dekat setiap simpul 12 simpul dan 30 tepi (Gbr. 3.32 e).

Saat membangun sebuah titik yang terletak di wajah polihedron, perlu untuk menggambar garis milik wajah ini dan menandai proyeksi titik pada proyeksinya.

Permukaan kerucut dibentuk dengan menggerakkan generatrix bujursangkar di sepanjang pemandu lengkung sehingga di semua posisi generatrix melewati titik tetap - bagian atas permukaan. Permukaan kerucut dari pandangan umum pada rencana digambarkan sebagai panduan horizontal dan simpul. pada gambar. 3.33 menunjukkan menemukan tanda suatu titik pada permukaan permukaan kerucut.

Kerucut lingkaran lurus digambarkan sebagai rangkaian lingkaran konsentris yang digambar dengan selang waktu tertentu (Gbr. 3.34a). Kerucut elips dengan alas melingkar - serangkaian lingkaran eksentrik (Gbr. 3.34 b)

permukaan bola. Permukaan bola disebut sebagai permukaan revolusi. Itu dibentuk dengan memutar lingkaran di sekitar diameternya. Pada denah, permukaan bola ditentukan oleh pusatnya Ke dan proyeksi salah satu konturnya (ekuator bola) (Gbr. 3.35).

permukaan topografi. Permukaan topografi disebut sebagai permukaan yang tidak teratur secara geometris, karena tidak memiliki hukum pembentukan geometris. Untuk mengkarakterisasi permukaan, posisi titik karakteristiknya relatif terhadap bidang proyeksi ditentukan. pada gambar. 3.3 b dan contoh bagian permukaan topografi diberikan, yang menunjukkan proyeksi titik-titik individualnya. Meskipun rencana semacam itu memungkinkan untuk mendapatkan gambaran tentang bentuk permukaan yang digambarkan, itu tidak terlalu jelas. Untuk memberikan gambar yang lebih jelas dan dengan demikian memudahkan pembacaannya, proyeksi titik-titik dengan tanda yang sama dihubungkan oleh garis lengkung halus, yang disebut garis kontur (garis kontur) (Gbr. 3.36 b).

Horizontal dari permukaan topografi kadang-kadang juga didefinisikan sebagai garis perpotongan permukaan ini dengan bidang horizontal yang berjarak satu sama lain dengan jarak yang sama (Gbr. 3.37). Selisih antara elevasi dua horizontal yang berdekatan disebut tinggi penampang.

Citra permukaan topografi semakin akurat, semakin kecil perbedaan elevasi antara dua garis kontur yang berdekatan. Pada denah, garis kontur ditutup di dalam gambar atau di luarnya. Pada kemiringan permukaan yang lebih curam, proyeksi garis kontur bertemu, di lereng yang landai, proyeksinya menyimpang.

Jarak terpendek antara proyeksi dua horizontal yang berdekatan pada denah disebut peletakan. pada gambar. 3.38 melalui titik TETAPI permukaan topografi beberapa segmen garis lurus digambar DAN KAU dan IKLAN. Semuanya memiliki sudut datang yang berbeda. Sudut datang terbesar memiliki ruas AC, yang posisinya memiliki nilai minimum. Oleh karena itu, itu akan menjadi proyeksi garis datang dari permukaan di lokasi tertentu.

pada gambar. 3.39 adalah contoh membangun proyeksi garis jatuh melalui titik tertentu TETAPI. Dari satu titik 100, seperti dari pusat, gambarlah busur lingkaran yang bersinggungan dengan horizontal terdekat di titik Pada 90. Dot Pada 90, berbaring horizontal jam 90 , akan menjadi bagian dari garis jatuh. Dari satu titik Pada 90 gambarlah busur yang bersinggungan dengan horizontal berikutnya di suatu titik Dari 80, dst. Dapat dilihat dari gambar bahwa garis datang dari permukaan topografi adalah garis putus-putus, yang masing-masing ruasnya tegak lurus terhadap horizontal melalui ujung bawah ruas yang mempunyai elevasi lebih rendah.

3.4.2 Perpotongan permukaan kerucut dengan bidang

Jika bidang potong melewati puncak permukaan kerucut, maka bidang itu memotongnya sepanjang garis lurus yang membentuk permukaan. Dalam semua kasus lain, garis bagian akan menjadi kurva datar: lingkaran, elips, dll. Pertimbangkan kasus perpotongan permukaan kerucut dengan bidang.

Contoh 1. Buatlah proyeksi garis perpotongan kerucut lingkaran ( h o , S5) dengan bidang sejajar dengan generatrix permukaan kerucut.

Permukaan kerucut di lokasi tertentu dari bidang berpotongan di sepanjang parabola. Setelah menginterpolasi generatrix t kami membangun horizontal kerucut melingkar - lingkaran konsentris dengan pusat S 5 . Kemudian kami menentukan titik potong dari bidang horizontal dengan nama yang sama dan kerucut (Gbr. 3.40).

3.4.3. Perpotongan permukaan topografi dengan bidang dan garis lurus

Kasus perpotongan permukaan topografi dengan bidang paling sering dijumpai dalam memecahkan masalah geologi. pada gambar. 3.41 memberikan contoh konstruksi perpotongan permukaan topografi dengan bidang . Kurva yang diinginkan m ditentukan oleh titik potong dari garis kontur bidang dengan nama yang sama dan permukaan topografi.

pada gambar. 3.42 memberikan contoh membangun pandangan sebenarnya dari permukaan topografi dengan bidang vertikal . Garis m yang diinginkan ditentukan oleh titik A, B, C… perpotongan garis kontur permukaan topografi dengan bidang potong . Pada denah, proyeksi kurva merosot menjadi garis lurus bertepatan dengan proyeksi bidang: m. Profil kurva m dibangun dengan mempertimbangkan lokasi pada rencana proyeksi titik-titiknya, serta ketinggiannya.

3.4.4. Permukaan lereng yang sama

Permukaan dengan kemiringan yang sama adalah permukaan yang diatur, semua generator bujursangkar yang membuat sudut konstan dengan bidang horizontal. Anda bisa mendapatkan permukaan seperti itu dengan menggerakkan kerucut melingkar kanan dengan sumbu tegak lurus terhadap bidang rencana, sehingga bagian atasnya meluncur di sepanjang beberapa pemandu, dan sumbu tetap vertikal di posisi apa pun.

pada gambar. 3.43 menunjukkan permukaan dengan kemiringan yang sama (i \u003d 1/2), yang dipandu oleh kurva spasial A, B, C, D

wisuda pesawat. Sebagai contoh, perhatikan bidang lereng jalan raya.

Contoh 1. Kemiringan memanjang jalan i=0, kemiringan tanggul i n = 1:1.5, (Gbr. 3.44a). Diperlukan untuk menggambar garis horizontal melalui 1m. Solusinya adalah sebagai berikut. Kami menggambar skala kemiringan bidang yang tegak lurus dengan tepi jalan raya, menandai titik-titik pada jarak yang sama dengan interval 1,5 m, diambil dari skala linier, dan menentukan tanda 49, 48 dan 47. kemiringan horizontal melalui titik-titik yang diperoleh sejajar dengan tepi jalan.

Contoh 2. Kemiringan memanjang jalan i≠0, kemiringan tanggul i n = 1:1.5, (Gbr. 3.44b). Pesawat jalan raya lulus. Kemiringan jalan diratakan sebagai berikut. Pada titik dengan simpul 50,00 (atau titik lain) kami menempatkan bagian atas kerucut, menggambarkan lingkaran dengan jari-jari yang sama dengan interval kemiringan tanggul (dalam contoh kami aku= 1,5 m). Ketinggian garis horizontal kerucut ini akan lebih kecil satu dari elevasi puncaknya, mis. 49m. Kami menggambar serangkaian lingkaran, kami mendapatkan tanda garis kontur 48, 47, garis singgung yang kami gambarkan garis horizontal kemiringan tanggul dari titik tepi dengan tanda 49, 48, 47.

Penilaian permukaan.

Contoh 3. Jika kemiringan memanjang jalan i=0 dan kemiringan tanggul i n=1:1,5, maka kemiringan mendatar digambar melalui titik-titik skala lereng, yang intervalnya sama dengan interval lereng tanggul, (Gbr. 3.45a). Jarak antara dua proyeksi horizontal yang berdekatan dalam arah norma umum (skala kemiringan) adalah sama di mana-mana.

Contoh 4. Jika kemiringan memanjang jalan i≠0, dan kemiringan tanggul i n \u003d 1: 1,5, (Gbr. 3.45b), maka horizontal dibuat dengan cara yang sama, kecuali kemiringan horizontal ditarik tidak dalam garis lurus, tetapi dalam kurva.

3.4.5. Penentuan garis batas penggalian

Karena sebagian besar tanah tidak dapat mempertahankan dinding vertikal, lereng (struktur buatan) harus dibangun. Kemiringan yang diberikan oleh kemiringan tergantung pada tanah.

Untuk memberikan potongan permukaan bumi tampilan bidang dengan kemiringan tertentu, Anda perlu mengetahui garis batas untuk penggalian dan pekerjaan nol. Garis ini, membatasi area yang direncanakan, diwakili oleh garis persimpangan lereng tanggul dan pemotongan dengan permukaan topografi tertentu.

Karena setiap permukaan (termasuk yang datar) digambarkan dengan menggunakan garis kontur, maka garis perpotongan permukaan tersebut dibuat sebagai himpunan titik potong garis kontur dengan tanda yang sama. Pertimbangkan contoh.

Contoh 1. Pada gambar. 3.46 diberikan struktur tanah, berbentuk piramida segi empat terpotong, berdiri di atas bidang H. Basis atas ABCD piramida memiliki tanda 4m dan dimensi samping 2×2,5 m. Wajah samping (lereng tanggul) memiliki kemiringan 2:1 dan 1:1, yang arahnya ditunjukkan oleh panah.

Perlu untuk membangun garis persimpangan lereng struktur dengan bidang H dan di antara mereka sendiri, serta membangun profil memanjang di sepanjang sumbu simetri.

Pertama, diagram lereng, interval dan skala pondasi, lereng yang diberikan dibangun. Tegak lurus ke setiap sisi situs, skala lereng lereng digambar pada interval tertentu, setelah itu proyeksi garis kontur dengan tanda yang sama dari wajah yang berdekatan adalah garis persimpangan lereng, yang merupakan proyeksi dari tepi samping piramida ini.

Basis bawah piramida bertepatan dengan garis kontur nol lereng. Jika pekerjaan tanah ini dilintasi oleh bidang vertikal Q, di bagian Anda mendapatkan garis putus-putus - profil memanjang struktur.

Contoh 2. Buatlah garis perpotongan antara lereng pit dengan kemiringan yang datar dan satu sama lain. dasar ( ABCD) dari lubang adalah area persegi panjang dengan tanda 10m dan dimensi 3 × 4m. Sumbu situs membentuk sudut 5 ° dengan garis selatan-utara. Kemiringan ceruk memiliki kemiringan yang sama yaitu 2:1 (Gbr. 3.47).

Garis pekerjaan nol ditetapkan sesuai dengan rencana medan. Itu dibangun sesuai dengan titik persimpangan dari proyeksi nama yang sama dari horizontal permukaan yang dipertimbangkan. Menurut titik perpotongan garis kontur lereng dan permukaan topografi dengan tanda yang sama, garis persimpangan lereng ditemukan, yang merupakan proyeksi tepi samping lubang yang diberikan.

Dalam hal ini, lereng samping ceruk berdampingan dengan bagian bawah lubang. Garis abcd adalah garis potong yang diperlukan. Aa, Bb, Cs, Dd- tepi lubang, garis persimpangan lereng satu sama lain.

4. Pertanyaan untuk pengendalian diri dan tugas untuk pekerjaan mandiri dengan topik "Proyeksi persegi panjang"

Dot

4.1.1. Inti dari metode proyeksi.

4.1.2. Apa itu proyeksi titik?

4.1.3. Apa yang disebut bidang proyeksi dan dilambangkan?

4.1.4. Apa garis sambungan proyeksi dalam gambar dan bagaimana letaknya dalam gambar dalam kaitannya dengan sumbu proyeksi?

4.1.5. Bagaimana cara membuat proyeksi (profil) ketiga dari suatu titik?

4.1.6. Bangun tiga proyeksi titik A, B, C pada gambar tiga gambar, tuliskan koordinatnya dan isi tabel.

4.1.7. Bangun sumbu proyeksi yang hilang, x A =25, y A =20. Buatlah proyeksi profil titik A.

4.1.8. Buatlah tiga proyeksi titik menurut koordinatnya: A(25,20,15), B(20,25,0) dan C(35,0,10). Tentukan posisi titik dalam kaitannya dengan bidang dan sumbu proyeksi. Manakah dari titik-titik yang lebih dekat ke bidang P3?

4.1.9. Titik material A dan B mulai turun secara bersamaan. Dimanakah titik B ketika titik A menyentuh tanah? Tentukan visibilitas poin. Membangun poin di posisi baru.

4.1.10. Buatlah tiga proyeksi titik A, jika titik tersebut terletak pada bidang P 3, dan jaraknya ke bidang P 1 adalah 20 mm, ke bidang P 2 - 30 mm. Tuliskan koordinat titik tersebut.

Lurus

4.2.1. Apa yang dimaksud dengan garis lurus dalam gambar?

4.2.2. Garis lurus manakah yang disebut garis lurus dalam kedudukan umum?

4.2.3. Posisi apa yang dapat ditempati oleh garis lurus relatif terhadap bidang proyeksi?

4.2.4. Kapan proyeksi garis lurus menjadi titik?

4.2.5. Apa yang khas untuk gambar kompleks dari tingkat lurus?

4.2.6. Tentukan posisi relatif garis-garis ini.

a … b a … b a … b

4.2.7. Buatlah proyeksi ruas garis lurus AB dengan panjang 20 mm sejajar bidang: a) P 2; b) P 1; c) sumbu sapi. Tentukan sudut kemiringan segmen terhadap bidang proyeksi.

4.2.8. Buatlah proyeksi segmen AB menurut koordinat ujungnya: A (30,10,10), B (10,15,30). Buat proyeksi titik C yang membagi segmen dalam kaitannya dengan AC:CB = 1:2.

4.2.9. Tentukan dan tuliskan jumlah tepi polihedron yang diberikan dan posisinya relatif terhadap bidang proyeksi.

4.2.10. Melalui titik A gambarlah garis mendatar dan garis depan yang memotong garis m.

4.2.11. Tentukan jarak antara garis b dan titik A

4.2.12. Buatlah proyeksi segmen AB dengan panjang 20 mm, melalui titik A dan tegak lurus bidang a) P 2; b) P 1; c.P3.

Susunan timbal balik dari dua garis lurus

Pernyataan berikut menyatakan kriteria perlu dan cukup untuk posisi relatif dua garis dalam ruang yang diberikan oleh persamaan kanonik:

sebuah) Garis berpotongan, mis. jangan berbaring di bidang yang sama.

b) Garis berpotongan.

Tetapi vektor dan tidak collinear (jika tidak, koordinatnya proporsional).

di) Garis-garisnya sejajar.

Vektor dan collinear, tetapi vektor tidak collinear dengan mereka.

G) Garis bertepatan.

Ketiga vektor: , adalah collinear.

Bukti. Mari kita buktikan kecukupan kriteria yang ditunjukkan

sebuah) Pertimbangkan vektor dan vektor arah dari garis yang diberikan

maka vektor-vektor ini non-coplanar, oleh karena itu, garis-garis ini tidak terletak pada bidang yang sama.

b) Jika, maka vektor-vektornya sebidang, oleh karena itu, garis-garis ini terletak pada bidang yang sama, dan karena dalam kasus ( b) vektor arah dari dan garis-garis ini diasumsikan non-kolinier, maka garis-garis tersebut berpotongan.

di) Jika vektor-vektor arah dan garis-garis yang diberikan adalah segaris, maka garis-garis tersebut sejajar atau berimpit. Kapan ( di) garisnya sejajar, karena dengan syarat, vektor, yang awalnya berada di titik garis pertama, dan ujung - di titik garis kedua, tidak segaris dan.

d) Jika semua vektor dan segaris, maka garis-garisnya berimpit.

Perlunya fitur dibuktikan dengan kontradiksi.

Kletenik No. 1007

Pernyataan berikut memberikan kondisi perlu dan cukup untuk posisi relatif garis yang diberikan oleh persamaan kanonik:

dan bidang yang diberikan oleh persamaan umum

relatif terhadap sistem koordinat Cartesian umum.

Sebuah bidang dan garis berpotongan:

Bidang dan garis sejajar:

Garis terletak pada bidang:

Mari kita buktikan terlebih dahulu kecukupan kriteria yang ditunjukkan. Kami menulis persamaan garis lurus ini dalam bentuk parametrik:

Mensubstitusi ke dalam persamaan (2 (bidang)) koordinat titik sembarang dari garis ini, diambil dari rumus (3), kita akan mendapatkan:

1. Jika, maka persamaan (4) memiliki relatif t hanya keputusan:

yang berarti bahwa garis yang diberikan dan bidang yang diberikan hanya memiliki satu titik yang sama, yaitu. memotong.

2. Jika, maka persamaan (4) tidak terpenuhi untuk sembarang nilai t, yaitu tidak ada titik pada garis tertentu yang terletak pada bidang tertentu, oleh karena itu, garis dan bidang yang diberikan sejajar.

3. Jika, maka persamaan (4) dipenuhi untuk sembarang nilai t, yaitu semua titik dari suatu garis terletak pada suatu bidang tertentu, sehingga garis yang diberikan terletak pada suatu bidang tertentu.

Kondisi cukup untuk posisi timbal balik dari garis dan bidang yang telah kita turunkan keduanya diperlukan dan dapat segera dibuktikan dengan kontradiksi.

Kondisi perlu dan cukup bahwa vektor adalah coplanar terhadap bidang yang diberikan oleh persamaan umum sehubungan dengan sistem koordinat Cartesian umum mengikuti dari apa yang telah dibuktikan.