Bayangkan sebuah pesawat terbang: sayap, badan pesawat, ekor, semua ini bersama-sama - sebuah pesawat yang sangat besar, sangat besar, utuh. Dan Anda dapat membuat model pesawat terbang, kecil, tetapi semuanya nyata, sayap yang sama, dll, tetapi kompak. Begitu juga dengan model matematikanya. Ada masalah teks, ribet, bisa dilihat, dibaca, tapi kurang paham, apalagi cara penyelesaiannya tidak jelas. Tetapi bagaimana jika kita membuat model kecilnya, model matematika, dari tugas verbal yang besar? Apa yang dimaksud dengan matematika? Jadi, dengan menggunakan aturan dan hukum notasi matematika, buat kembali teks menjadi representasi yang benar secara logis menggunakan angka dan tanda aritmatika. Jadi, Model matematika adalah representasi dari situasi nyata dengan menggunakan bahasa matematika.
Mari kita mulai dengan sederhana: Angka lebih besar dari angka by. Kita perlu menuliskannya tanpa menggunakan kata-kata, hanya bahasa matematika. Jika lebih, maka ternyata jika kita kurangi, maka selisih angka-angka tersebut akan tetap sama. Itu. atau. Dapatkan intinya?
Sekarang lebih rumit, sekarang akan ada teks yang harus Anda coba sajikan dalam bentuk model matematika, sampai Anda membaca bagaimana saya akan melakukannya, coba sendiri! Ada empat angka: , dan. Sebuah produk dan lebih banyak produk dan dua kali.
Apa yang terjadi?
Dalam bentuk model matematika, akan terlihat seperti ini:
Itu. produk terkait dengan dua banding satu, tetapi ini dapat disederhanakan lebih lanjut:
Nah, dengan contoh sederhana, Anda mengerti maksudnya. Mari kita beralih ke tugas penuh di mana model matematika ini juga perlu diselesaikan! Berikut adalah tugas.
Model matematika dalam praktek
Tugas 1
Setelah hujan, ketinggian air di sumur bisa naik. Anak laki-laki itu mengukur waktu jatuhnya kerikil kecil ke dalam sumur dan menghitung jarak ke air menggunakan rumus, di mana jarak dalam meter dan waktu jatuh dalam detik. Sebelum hujan, waktu jatuhnya kerikil adalah s. Berapa tinggi air yang harus naik setelah hujan agar waktu terukur berubah menjadi s? Nyatakan jawaban Anda dalam meter.
Ya Tuhan! Formula apa, sumur seperti apa, apa yang terjadi, apa yang harus dilakukan? Apakah saya membaca pikiran Anda? Tenang, dalam tugas jenis ini, kondisinya bahkan lebih buruk, hal utama yang harus diingat adalah bahwa dalam tugas ini Anda tertarik pada rumus dan hubungan antar variabel, dan apa artinya semua ini dalam banyak kasus tidak terlalu penting. Apa yang Anda lihat berguna di sini? Saya pribadi melihat. Prinsip pemecahan masalah ini adalah sebagai berikut: ambil semua besaran yang diketahui dan substitusikan.Tapi terkadang Anda harus berpikir!
Mengikuti saran pertama saya, dan mensubstitusi semua yang diketahui ke dalam persamaan, kita mendapatkan:
Akulah yang menggantikan waktu detik, dan menemukan ketinggian batu yang terbang sebelum hujan. Dan sekarang kita perlu menghitung setelah hujan dan menemukan perbedaannya!
Sekarang dengarkan nasihat kedua dan pikirkan tentangnya, pertanyaannya menjelaskan, "berapa tinggi permukaan air harus naik setelah hujan agar waktu terukur berubah s." Harus segera dicari tahu ya soooo, setelah hujan ketinggian air naik, yang berarti waktu batu jatuh ke permukaan air lebih sedikit, dan di sini frasa hiasan "agar waktu yang terukur berubah" memakan waktu. pada arti tertentu: waktu jatuh tidak bertambah, tetapi berkurang dengan detik yang ditentukan. Ini berarti bahwa dalam kasus lemparan setelah hujan, kita hanya perlu mengurangkan c dari waktu awal c, dan kita mendapatkan persamaan untuk ketinggian batu akan terbang setelah hujan:
Dan akhirnya, untuk menemukan berapa banyak permukaan air yang harus naik setelah hujan, sehingga waktu yang diukur berubah dengan s, Anda hanya perlu mengurangi yang kedua dari ketinggian pertama jatuh!
Kami mendapatkan jawabannya: per meter.
Seperti yang Anda lihat, tidak ada yang rumit, yang terpenting, jangan terlalu repot-repot dari mana persamaan yang tidak dapat dipahami dan terkadang rumit itu berasal dari kondisi dan apa artinya, ambil kata-kata saya, sebagian besar persamaan ini adalah diambil dari fisika, dan di sana hutannya lebih buruk daripada di aljabar. Kadang-kadang tampak bagi saya bahwa tugas-tugas ini diciptakan untuk mengintimidasi siswa pada ujian dengan banyak rumus dan istilah yang rumit, dan dalam banyak kasus mereka hampir tidak memerlukan pengetahuan. Baca dengan cermat kondisinya dan substitusikan nilai yang diketahui ke dalam rumus!
Di sini ada masalah lain, tidak lagi dalam fisika, tetapi dari dunia teori ekonomi, meskipun pengetahuan tentang ilmu-ilmu selain matematika sekali lagi tidak diperlukan di sini.
Tugas 2
Ketergantungan volume permintaan (unit per bulan) untuk produk-produk perusahaan monopoli pada harga (ribuan rubel) diberikan oleh rumus
Pendapatan bulanan perusahaan (dalam ribuan rubel) dihitung menggunakan rumus. Tentukan harga tertinggi di mana pendapatan bulanan setidaknya seribu rubel. Berikan jawabannya dalam ribuan rubel.
Tebak apa yang akan saya lakukan sekarang? Ya, saya akan mulai mengganti apa yang kita ketahui, tetapi, sekali lagi, Anda masih harus berpikir sedikit. Mari kita pergi dari akhir, kita perlu menemukan di mana. Jadi, ada, sama dengan beberapa, kami menemukan apa lagi yang sama, dan itu sama, dan kami akan menuliskannya. Seperti yang Anda lihat, saya tidak terlalu mempermasalahkan arti dari semua besaran ini, saya hanya melihat dari kondisinya, apa yang sama dengan apa, itulah yang perlu Anda lakukan. Mari kembali ke tugas, Anda sudah memilikinya, tetapi seperti yang Anda ingat, dari satu persamaan dengan dua variabel, tidak ada satupun yang dapat ditemukan, apa yang harus dilakukan? Ya, kami masih memiliki partikel yang tidak terpakai dalam kondisi. Sekarang, sudah ada dua persamaan dan dua variabel, yang berarti sekarang kedua variabel dapat ditemukan - bagus!
Bisakah Anda memecahkan sistem seperti itu?
Kami menyelesaikannya dengan substitusi, kami telah menyatakannya, yang berarti kami akan mensubstitusikannya ke dalam persamaan pertama dan menyederhanakannya.
Ternyata begini persamaan kuadratnya : , kita selesaikan, akar-akarnya seperti ini, . Dalam tugas, diperlukan untuk menemukan harga tertinggi di mana semua kondisi yang kami perhitungkan saat kami menyusun sistem akan terpenuhi. Oh, ternyata itu harganya. Keren, jadi kami menemukan harga: dan. Harga tertinggi, katamu? Oke, yang terbesar dari mereka, tentu saja, kami menulisnya sebagai tanggapan. Nah, apakah sulit? Saya rasa tidak, dan Anda tidak perlu mempelajarinya terlalu jauh!
Dan inilah fisika yang menakutkan untuk Anda, atau lebih tepatnya, masalah lain:
Tugas 3
Untuk menentukan suhu efektif bintang, hukum Stefan–Boltzmann digunakan, yang menurutnya, di mana kekuatan pancaran bintang, adalah konstanta, adalah luas permukaan bintang, dan adalah suhu. Diketahui bahwa luas permukaan bintang tertentu sama, dan kekuatan radiasinya sama dengan W. Temukan suhu bintang ini dalam derajat Kelvin.
Mana yang jelas? Ya, kondisi mengatakan apa sama dengan apa. Sebelumnya, saya merekomendasikan agar semua yang tidak diketahui segera diganti, tetapi di sini lebih baik untuk mengungkapkan yang tidak diketahui terlebih dahulu. Lihat betapa sederhananya semuanya: ada formula dan mereka dikenal di dalamnya, dan (ini adalah huruf Yunani "sigma". Secara umum, fisikawan menyukai huruf Yunani, terbiasa dengannya). Suhu tidak diketahui. Mari kita nyatakan dalam bentuk rumus. Bagaimana cara melakukannya, saya harap Anda tahu? Penugasan seperti itu untuk GIA di kelas 9 biasanya memberikan:
Sekarang tinggal mengganti angka alih-alih huruf di sisi kanan dan sederhanakan:
Inilah jawabannya: derajat Kelvin! Dan betapa mengerikan tugas itu!
Kami terus menyiksa masalah dalam fisika.
Tugas 4
Ketinggian bola di atas permukaan tanah berubah menurut hukum, dimana tinggi dalam meter adalah waktu dalam detik yang telah berlalu sejak lemparan. Berapa detik bola berada pada ketinggian minimal tiga meter?
Itu semua persamaan, tetapi di sini perlu untuk menentukan seberapa banyak bola berada di ketinggian setidaknya tiga meter, yang berarti pada ketinggian. Apa yang akan kita buat? Ketimpangan, ya! Kami memiliki fungsi yang menggambarkan bagaimana bola terbang, di mana ketinggian yang sama persis dalam meter, kami membutuhkan ketinggian. Cara
Dan sekarang Anda tinggal menyelesaikan pertidaksamaan tersebut, yang terpenting, jangan lupa untuk mengubah tanda pertidaksamaan dari lebih atau sama dengan lebih kecil atau sama dengan saat Anda mengalikan kedua bagian pertidaksamaan tersebut untuk menghilangkan minus di depan.
Berikut adalah akarnya, kami membangun interval untuk ketidaksetaraan:
Kami tertarik pada interval di mana tandanya minus, karena ketidaksetaraan mengambil nilai negatif di sana, ini dari ke keduanya inklusif. Dan sekarang kita menghidupkan otak dan berpikir dengan hati-hati: untuk ketidaksetaraan, kami menggunakan persamaan yang menggambarkan penerbangan bola, entah bagaimana ia terbang di sepanjang parabola, mis. lepas landas, mencapai puncak dan jatuh, bagaimana memahami berapa lama pada ketinggian setidaknya meter? Kami menemukan 2 titik balik, yaitu. saat melayang di atas meter dan saat mencapai tanda yang sama saat jatuh, kedua titik ini dinyatakan dalam bentuk kita dalam bentuk waktu, yaitu. kita tahu pada detik penerbangan apa ia memasuki zona yang menarik bagi kita (di atas meter) dan di mana ia meninggalkannya (jatuh di bawah tanda meteran). Berapa detik dia berada di zona ini? Adalah logis bahwa kita mengambil waktu keluar dari zona dan mengurangi waktu masuk ke zona ini. Oleh karena itu: - begitu banyak dia berada di zona di atas meter, inilah jawabannya.
Anda sangat beruntung bahwa sebagian besar contoh pada topik ini dapat diambil dari kategori masalah dalam fisika, jadi tangkap satu lagi, ini adalah yang terakhir, jadi dorong diri Anda, hanya ada sedikit yang tersisa!
Tugas 5
Untuk elemen pemanas dari perangkat tertentu, ketergantungan suhu pada waktu operasi diperoleh secara eksperimental:
Dimana waktu dalam menit. Diketahui bahwa pada suhu elemen pemanas di atas perangkat dapat memburuk, sehingga harus dimatikan. Temukan waktu maksimum setelah mulai bekerja untuk mematikan perangkat. Ekspresikan jawaban Anda dalam hitungan menit.
Kami bertindak sesuai dengan skema yang sudah mapan, semua yang diberikan, pertama-tama kami tulis:
Sekarang kami mengambil rumus dan menyamakannya dengan nilai suhu di mana perangkat dapat dipanaskan sebanyak mungkin hingga terbakar, yaitu:
Sekarang kami mengganti angka alih-alih huruf di mana mereka diketahui:
Seperti yang Anda lihat, suhu selama pengoperasian perangkat dijelaskan oleh persamaan kuadrat, yang berarti bahwa itu didistribusikan di sepanjang parabola, mis. perangkat memanas hingga suhu tertentu, lalu mendingin. Kami menerima jawaban dan, oleh karena itu, selama dan selama beberapa menit pemanasan, suhunya kritis, tetapi antara dan menit itu bahkan lebih tinggi dari batas!
Jadi, Anda perlu mematikan perangkat setelah satu menit.
MODEL MATEMATIKA. SINGKAT TENTANG UTAMA
Paling sering, model matematika digunakan dalam fisika: lagi pula, Anda mungkin harus menghafal lusinan rumus fisika. Dan rumusnya adalah representasi matematis dari situasi tersebut.
Di OGE dan Unified State Examination ada tugas hanya pada topik ini. Di USE (profil) ini adalah tugas nomor 11 (sebelumnya B12). Di OGE - tugas nomor 20.
Skema solusinya jelas:
1) Dari teks kondisi, perlu untuk "mengisolasi" informasi yang berguna - apa yang kita tulis dalam masalah fisika di bawah kata "Diberikan". Informasi yang berguna ini adalah:
- Rumus
- Besaran fisis yang diketahui
Artinya, setiap huruf dari rumus harus diberi nomor tertentu.
2) Ambil semua besaran yang diketahui dan substitusikan ke dalam rumus. Nilai yang tidak diketahui tetap sebagai huruf. Sekarang Anda hanya perlu menyelesaikan persamaan (biasanya cukup sederhana), dan jawabannya sudah siap.
Nah, topiknya sudah berakhir. Jika Anda membaca baris-baris ini, maka Anda sangat keren.
Karena hanya 5% orang yang mampu menguasai sesuatu sendiri. Dan jika Anda telah membaca sampai akhir, maka Anda berada di 5%!
Sekarang hal yang paling penting.
Anda telah menemukan teori tentang topik ini. Dan, saya ulangi, itu ... itu luar biasa! Anda sudah lebih baik daripada sebagian besar rekan-rekan Anda.
Masalahnya adalah ini mungkin tidak cukup ...
Untuk apa?
Untuk kelulusan ujian yang berhasil, untuk masuk ke institut dengan anggaran terbatas dan, PALING PENTING, seumur hidup.
Saya tidak akan meyakinkan Anda tentang apa pun, saya hanya akan mengatakan satu hal ...
Orang yang telah menerima pendidikan yang baik memperoleh lebih banyak daripada mereka yang tidak menerimanya. Ini adalah statistik.
Tapi ini bukan hal utama.
Yang utama adalah mereka LEBIH BAHAGIA (ada penelitian seperti itu). Mungkin karena lebih banyak peluang terbuka di hadapan mereka dan hidup menjadi lebih cerah? Tidak tahu...
Tapi pikirkan sendiri...
Apa yang diperlukan untuk memastikan menjadi lebih baik daripada yang lain dalam ujian dan pada akhirnya ... lebih bahagia?
ISI TANGAN ANDA, MENYELESAIKAN MASALAH PADA TOPIK INI.
Pada ujian, Anda tidak akan ditanya teori.
Anda akan perlu menyelesaikan masalah tepat waktu.
Dan, jika Anda belum menyelesaikannya (BANYAK!), Anda pasti akan membuat kesalahan bodoh di suatu tempat atau tidak akan berhasil tepat waktu.
Ini seperti dalam olahraga - Anda harus mengulang berkali-kali untuk menang dengan pasti.
Temukan koleksi di mana pun Anda mau tentu dengan solusi, analisis terperinci dan putuskan, putuskan, putuskan!
Anda dapat menggunakan tugas kami (belum tentu) dan kami pasti merekomendasikannya.
Untuk membantu tugas kami, Anda perlu membantu memperpanjang umur buku teks YouClever yang sedang Anda baca.
Bagaimana? Ada dua opsi:
- Buka kunci akses ke semua tugas tersembunyi di artikel ini -
- Buka kunci akses ke semua tugas tersembunyi di semua 99 artikel tutorial - Beli buku teks - 899 rubel
Ya, kami memiliki 99 artikel seperti itu di buku teks dan akses ke semua tugas dan semua teks tersembunyi di dalamnya dapat segera dibuka.
Akses ke semua tugas tersembunyi disediakan untuk seluruh masa pakai situs.
Kesimpulannya...
Jika Anda tidak menyukai tugas kami, cari yang lain. Hanya saja, jangan berhenti dengan teori.
"Dipahami" dan "Saya tahu bagaimana menyelesaikannya" adalah keterampilan yang sama sekali berbeda. Anda membutuhkan keduanya.
Temukan masalah dan selesaikan!
Model matematika
Model matematika - perkiraan opideskripsi objek pemodelan, dinyatakan dengansimbolisme matematika schyu.
Model matematika muncul bersama dengan matematika berabad-abad yang lalu. Dorongan besar untuk pengembangan pemodelan matematika diberikan oleh munculnya komputer. Penggunaan komputer memungkinkan untuk menganalisis dan mempraktikkan banyak model matematika yang sebelumnya tidak dapat digunakan untuk penelitian analitik. Matematika yang diimplementasikan komputermodel langit ditelepon model matematika komputer, sebuah melakukan perhitungan yang ditargetkan menggunakan model komputer ditelepon eksperimen komputasi.
Tahapan mo matematika komputerpenghapusan ditunjukkan pada gambar. Pertamapanggung - definisi tujuan pemodelan. Tujuan ini bisa berbeda:
- sebuah model diperlukan untuk memahami cara kerja objek tertentu, apa strukturnya, sifat dasarnya, hukum perkembangan dan interaksinya
dengan dunia luar (pemahaman); - sebuah model diperlukan untuk mempelajari bagaimana mengelola suatu objek (atau proses) dan menentukan cara terbaik untuk mengelola untuk tujuan dan kriteria tertentu (manajemen);
- model diperlukan untuk memprediksi akibat langsung dan tidak langsung dari penerapan metode dan bentuk dampak yang ditentukan pada objek (peramalan).
Contoh dari daerah yang sama sekali berbeda: hidup berdampingan secara damai dengan jumlah populasi yang stabil dari dua spesies individu dengan basis makanan yang sama, "tiba-tiba" mulai secara dramatis mengubah jumlah mereka. Dan di sini pemodelan matematika memungkinkan (dengan tingkat kepastian tertentu) untuk menetapkan penyebabnya (atau setidaknya untuk menyangkal hipotesis tertentu).
Pengembangan konsep manajemen objek adalah tujuan lain yang mungkin dari pemodelan. Mode penerbangan pesawat mana yang harus dipilih agar penerbangan menjadi aman dan paling menguntungkan secara ekonomi? Bagaimana menjadwalkan ratusan jenis pekerjaan pada pembangunan fasilitas yang besar agar bisa selesai secepat mungkin? Banyak masalah seperti itu secara sistematis muncul di hadapan para ekonom, perancang, dan ilmuwan.
Akhirnya, memprediksi konsekuensi dari dampak tertentu pada suatu objek dapat menjadi masalah yang relatif sederhana dalam sistem fisik sederhana, dan sangat kompleks - di ambang kelayakan - dalam sistem biologis, ekonomi, sosial. Jika relatif mudah untuk menjawab pertanyaan tentang perubahan mode perambatan panas dalam batang tipis dengan perubahan dalam paduan penyusunnya, maka jauh lebih sulit untuk melacak (memprediksi) konsekuensi lingkungan dan iklim dari konstruksi struktur. pembangkit listrik tenaga air besar atau konsekuensi sosial dari perubahan undang-undang perpajakan. Mungkin, di sini juga, metode pemodelan matematika akan memberikan bantuan yang lebih signifikan di masa depan.
Fase kedua: definisi parameter input dan output model; pembagian parameter input sesuai dengan tingkat kepentingan dampak perubahannya pada output. Proses ini disebut peringkat, atau pembagian berdasarkan peringkat (lihat di bawah). "Formalisation dan pemodelan").
Tahap ketiga: konstruksi model matematika. Pada tahap ini terjadi transisi dari rumusan abstrak model ke rumusan yang memiliki representasi matematis tertentu. Model matematika adalah persamaan, sistem persamaan, sistem pertidaksamaan, persamaan diferensial atau sistem persamaan semacam itu, dll.
Tahap keempat: pilihan metode untuk mempelajari model matematika. Paling sering, metode numerik digunakan di sini, yang cocok untuk pemrograman. Sebagai aturan, beberapa metode cocok untuk memecahkan masalah yang sama, berbeda dalam akurasi, stabilitas, dll. Keberhasilan seluruh proses pemodelan seringkali tergantung pada pilihan metode yang benar.
Tahap kelima: pengembangan algoritma, kompilasi dan debugging program komputer adalah proses yang sulit untuk diformalkan. Dari bahasa pemrograman, banyak profesional untuk pemodelan matematika lebih memilih FORTRAN: baik karena tradisi, dan karena efisiensi kompiler yang tak tertandingi (untuk pekerjaan komputasi) dan adanya perpustakaan besar, di-debug dengan hati-hati, dan dioptimalkan dari program standar metode matematika yang ditulis dalam dia. Bahasa seperti PASCAL, BASIC, C juga digunakan, tergantung pada sifat tugas dan kecenderungan programmer.
Tahap keenam: pengujian program. Pengoperasian program diuji pada masalah tes dengan jawaban yang diketahui. Ini hanyalah awal dari prosedur pengujian yang sulit dijelaskan secara formal. Biasanya, pengujian berakhir ketika pengguna, menurut karakteristik profesionalnya, menganggap program itu benar.
Tahap ketujuh: eksperimen komputasi yang sebenarnya, di mana ditemukan apakah model sesuai dengan objek nyata (proses). Model tersebut cukup memadai untuk proses nyata jika beberapa karakteristik dari proses yang diperoleh pada komputer bertepatan dengan karakteristik yang diperoleh secara eksperimental dengan tingkat akurasi tertentu. Jika model tidak sesuai dengan proses sebenarnya, kita kembali ke salah satu tahap sebelumnya.
Klasifikasi model matematika
Klasifikasi model matematika dapat didasarkan pada berbagai prinsip. Dimungkinkan untuk mengklasifikasikan model berdasarkan cabang ilmu pengetahuan (model matematika dalam fisika, biologi, sosiologi, dll.). Ini dapat diklasifikasikan menurut peralatan matematika yang diterapkan (model berdasarkan penggunaan persamaan diferensial biasa, persamaan diferensial parsial, metode stokastik, transformasi aljabar diskrit, dll.). Akhirnya, jika kita melanjutkan dari tugas umum pemodelan dalam ilmu yang berbeda, terlepas dari peralatan matematika, klasifikasi berikut paling alami:
- model deskriptif (deskriptif);
- model optimasi;
- model multikriteria;
- model permainan.
Mari kita jelaskan ini dengan contoh.
Model deskriptif (deskriptif). Misalnya, simulasi gerak komet yang menyerang tata surya dibuat untuk memprediksi jalur terbangnya, jarak yang akan dilaluinya dari Bumi, dan sebagainya. Dalam hal ini, tujuan pemodelan bersifat deskriptif, karena tidak ada cara untuk mempengaruhi gerakan komet, untuk mengubah sesuatu di dalamnya.
Model Pengoptimalan digunakan untuk menggambarkan proses yang dapat dipengaruhi dalam upaya untuk mencapai tujuan tertentu. Dalam hal ini, model mencakup satu atau lebih parameter yang dapat dipengaruhi. Misalnya, dengan mengubah rezim termal di lumbung, seseorang dapat menetapkan tujuan untuk memilih rezim seperti itu untuk mencapai pelestarian biji-bijian maksimum, mis. mengoptimalkan proses penyimpanan.
Model multikriteria. Seringkali perlu untuk mengoptimalkan proses dalam beberapa parameter secara bersamaan, dan tujuannya bisa sangat kontradiktif. Misalnya, mengetahui harga pangan dan kebutuhan seseorang akan makanan, perlu untuk mengatur makanan untuk kelompok besar orang (di tentara, perkemahan musim panas anak-anak, dll.) Secara fisiologis dengan benar dan, pada saat yang sama, semurah mungkin. Jelas bahwa tujuan-tujuan ini tidak sama sekali; ketika pemodelan, beberapa kriteria akan digunakan, di antaranya harus dicari keseimbangan.
Model permainan dapat dikaitkan tidak hanya dengan permainan komputer, tetapi juga dengan hal-hal yang sangat serius. Misalnya, sebelum pertempuran, dengan adanya informasi yang tidak lengkap tentang pasukan lawan, seorang komandan harus mengembangkan rencana: dalam rangka apa membawa unit-unit tertentu ke dalam pertempuran, dll., Dengan mempertimbangkan kemungkinan reaksi musuh. Ada bagian khusus matematika modern - teori permainan - yang mempelajari metode pengambilan keputusan dalam kondisi informasi yang tidak lengkap.
Dalam kursus sekolah ilmu komputer, siswa menerima ide awal pemodelan matematika komputer sebagai bagian dari kursus dasar. Di sekolah menengah, pemodelan matematika dapat dipelajari secara mendalam dalam kursus pendidikan umum untuk kelas fisika dan matematika, serta dalam kursus pilihan khusus.
Bentuk utama pengajaran pemodelan matematika komputer di sekolah menengah adalah kuliah, laboratorium dan kelas kredit. Biasanya, pekerjaan membuat dan mempersiapkan studi setiap model baru membutuhkan 3-4 pelajaran. Selama presentasi materi, tugas-tugas ditetapkan, yang di masa depan harus diselesaikan oleh siswa sendiri, secara umum, cara-cara untuk menyelesaikannya diuraikan. Pertanyaan dirumuskan, jawaban yang harus diperoleh saat melakukan tugas. Literatur tambahan ditunjukkan, yang memungkinkan memperoleh informasi tambahan untuk penyelesaian tugas yang lebih berhasil.
Bentuk penyelenggaraan kelas dalam mempelajari materi baru biasanya berupa kuliah. Setelah selesai pembahasan model selanjutnya siswa memiliki informasi teoretis yang diperlukan dan serangkaian tugas untuk pekerjaan lebih lanjut. Dalam persiapan tugas, siswa memilih metode solusi yang sesuai, menggunakan beberapa solusi pribadi yang diketahui, mereka menguji program yang dikembangkan. Dalam kasus kesulitan yang sangat mungkin dalam pelaksanaan tugas, konsultasi diberikan, proposal dibuat untuk mengerjakan bagian-bagian ini secara lebih rinci dalam literatur.
Yang paling relevan dengan bagian praktis dari pengajaran pemodelan komputer adalah metode proyek. Tugas dirumuskan untuk siswa dalam bentuk proyek pendidikan dan dilakukan selama beberapa pelajaran, dan bentuk organisasi utama dalam hal ini adalah pekerjaan laboratorium komputer. Pembelajaran model menggunakan metode learning project dapat dilaksanakan pada level yang berbeda. Yang pertama adalah pernyataan masalah dari proses pelaksanaan proyek, yang dipimpin oleh guru. Yang kedua adalah pelaksanaan proyek oleh siswa di bawah bimbingan seorang guru. Yang ketiga adalah implementasi mandiri oleh siswa dari proyek penelitian pendidikan.
Hasil pekerjaan harus disajikan dalam bentuk numerik, dalam bentuk grafik, diagram. Jika memungkinkan, proses tersebut ditampilkan di layar komputer secara dinamis. Setelah menyelesaikan perhitungan dan menerima hasil, mereka dianalisis, dibandingkan dengan fakta yang diketahui dari teori, keandalan dikonfirmasi dan interpretasi yang berarti dilakukan, yang kemudian tercermin dalam laporan tertulis.
Jika hasilnya memuaskan siswa dan guru, maka pekerjaan menghitung selesai, dan tahap terakhir adalah penyusunan laporan. Laporan ini mencakup informasi teoretis singkat tentang topik yang dipelajari, rumusan masalah matematika, algoritme solusi dan pembenarannya, program komputer, hasil program, analisis hasil dan kesimpulan, daftar referensi.
Ketika semua laporan telah disusun, pada sesi tes, siswa membuat laporan singkat tentang pekerjaan yang dilakukan, mempertahankan proyek mereka. Ini adalah bentuk efektif dari laporan tim proyek ke kelas, termasuk menetapkan masalah, membangun model formal, memilih metode untuk bekerja dengan model, menerapkan model pada komputer, bekerja dengan model yang sudah jadi, menafsirkan hasil, peramalan. Akibatnya, siswa dapat menerima dua nilai: yang pertama - untuk elaborasi proyek dan keberhasilan pertahanannya, yang kedua - untuk program, optimalitas algoritme, antarmuka, dll. Siswa juga menerima nilai dalam kursus survei teori.
Pertanyaan penting adalah alat apa yang digunakan dalam kursus informatika sekolah untuk pemodelan matematika? Implementasi model komputer dapat dilakukan:
- menggunakan spreadsheet (biasanya MS Excel);
- dengan membuat program dalam bahasa pemrograman tradisional (Pascal, BASIC, dll.), serta dalam versi modernnya (Delphi, Visual
Dasar untuk Aplikasi, dll.); - menggunakan paket perangkat lunak khusus untuk memecahkan masalah matematika (MathCAD, dll.).
Di tingkat sekolah dasar, obat pertama tampaknya lebih disukai. Namun, di sekolah menengah, ketika pemrograman, bersama dengan pemodelan, merupakan topik utama ilmu komputer, sangat diharapkan untuk melibatkannya sebagai alat pemodelan. Dalam proses pemrograman, rincian prosedur matematika menjadi tersedia bagi siswa; apalagi, mereka hanya dipaksa untuk menguasainya, dan ini juga berkontribusi pada pendidikan matematika. Adapun penggunaan paket perangkat lunak khusus, ini sesuai dalam profil kursus ilmu komputer sebagai pelengkap alat lain.
Latihan :
- Garis besar konsep-konsep kunci.
Dalam artikel yang menarik perhatian Anda, kami menawarkan contoh model matematika. Selain itu, kita akan memperhatikan tahapan membuat model dan menganalisis beberapa masalah yang terkait dengan pemodelan matematika.
Masalah kami yang lain adalah model matematika di bidang ekonomi, contoh yang akan kami pertimbangkan definisinya nanti. Kami mengusulkan untuk memulai percakapan kami dengan konsep "model", secara singkat mempertimbangkan klasifikasi mereka dan beralih ke pertanyaan utama kami.
Konsep "model"
Kita sering mendengar kata "model". Apa itu? Istilah ini memiliki banyak definisi, berikut adalah tiga di antaranya:
- objek tertentu yang dibuat untuk menerima dan menyimpan informasi, yang mencerminkan beberapa sifat atau karakteristik, dan seterusnya, dari objek asli ini (objek khusus ini dapat diekspresikan dalam berbagai bentuk: mental, deskripsi menggunakan tanda, dan sebagainya);
- model juga berarti tampilan situasi, kehidupan, atau manajemen tertentu;
- salinan kecil dari suatu objek dapat berfungsi sebagai model (mereka dibuat untuk studi dan analisis yang lebih rinci, karena model mencerminkan struktur dan hubungan).
Berdasarkan semua yang dikatakan sebelumnya, kita dapat menarik kesimpulan kecil: model memungkinkan Anda untuk mempelajari secara rinci sistem atau objek yang kompleks.
Semua model dapat diklasifikasikan menurut sejumlah kriteria:
- berdasarkan bidang penggunaan (pendidikan, eksperimental, ilmiah dan teknis, permainan, simulasi);
- oleh dinamika (statis dan dinamis);
- menurut cabang pengetahuan (fisika, kimia, geografis, sejarah, sosiologis, ekonomi, matematika);
- sesuai dengan cara penyajiannya (materi dan informasional).
Model informasi, pada gilirannya, dibagi menjadi tanda dan verbal. Dan ikonik - di komputer dan non-komputer. Sekarang mari kita beralih ke pertimbangan rinci contoh model matematika.
Model matematika
Seperti yang Anda duga, model matematika mencerminkan beberapa fitur dari suatu objek atau fenomena menggunakan simbol matematika khusus. Matematika diperlukan untuk memodelkan hukum-hukum dunia dalam bahasanya sendiri yang spesifik.
Metode pemodelan matematika sudah ada sejak lama, ribuan tahun yang lalu, seiring dengan munculnya ilmu ini. Namun, dorongan untuk pengembangan metode pemodelan ini diberikan oleh munculnya komputer (komputer elektronik).
Sekarang mari kita beralih ke klasifikasi. Itu juga dapat dilakukan sesuai dengan beberapa tanda. Mereka disajikan dalam tabel di bawah ini.
Kami mengusulkan untuk berhenti dan melihat lebih dekat pada klasifikasi terakhir, karena ini mencerminkan pola umum pemodelan dan tujuan model yang dibuat.
Model Deskriptif
Dalam bab ini, kami mengusulkan untuk membahas lebih detail tentang model matematika deskriptif. Untuk memperjelas semuanya, sebuah contoh akan diberikan.
Untuk memulainya, pandangan ini bisa disebut deskriptif. Ini karena fakta bahwa kami hanya membuat perhitungan dan prakiraan, tetapi kami tidak dapat memengaruhi hasil acara dengan cara apa pun.
Contoh mencolok dari model matematika deskriptif adalah perhitungan jalur terbang, kecepatan, jarak dari Bumi sebuah komet yang menyerbu hamparan tata surya kita. Model ini deskriptif, karena semua hasil yang diperoleh hanya dapat memperingatkan kita tentang beberapa jenis bahaya. Sayangnya, kami tidak dapat memengaruhi hasil acara. Namun, berdasarkan perhitungan yang diperoleh, dimungkinkan untuk mengambil tindakan apa pun untuk melestarikan kehidupan di Bumi.
Model Pengoptimalan
Sekarang kita akan berbicara sedikit tentang model ekonomi dan matematika, contohnya bisa dalam berbagai situasi. Dalam hal ini, kita berbicara tentang model yang membantu menemukan jawaban yang tepat dalam kondisi tertentu. Mereka harus memiliki beberapa parameter. Untuk membuatnya sangat jelas, perhatikan sebuah contoh dari bagian agraris.
Kami memiliki lumbung, tetapi biji-bijian sangat cepat rusak. Dalam hal ini, kita perlu memilih rezim suhu yang tepat dan mengoptimalkan proses penyimpanan.
Dengan demikian, kita dapat mendefinisikan konsep "model optimasi". Dalam pengertian matematis, ini adalah sistem persamaan (baik linier maupun tidak), solusinya membantu menemukan solusi optimal dalam situasi ekonomi tertentu. Kami telah mempertimbangkan contoh model matematika (optimasi), tetapi saya ingin menambahkan satu hal lagi: jenis ini termasuk dalam kelas masalah ekstrem, mereka membantu menggambarkan fungsi sistem ekonomi.
Kami mencatat satu nuansa lagi: model dapat memiliki sifat yang berbeda (lihat tabel di bawah).
Model multikriteria
Sekarang kami mengundang Anda untuk berbicara sedikit tentang model matematika optimasi multiobjektif. Sebelum itu, kami memberikan contoh model matematika untuk mengoptimalkan proses menurut salah satu kriteria, tetapi bagaimana jika ada banyak?
Contoh mencolok dari tugas multikriteria adalah pengorganisasian nutrisi yang tepat, sehat dan pada saat yang sama ekonomis dari kelompok besar orang. Tugas seperti itu sering ditemui di tentara, kantin sekolah, perkemahan musim panas, rumah sakit, dan sebagainya.
Kriteria apa yang diberikan kepada kita dalam tugas ini?
- Makanan harus sehat.
- Biaya makan harus ditekan seminimal mungkin.
Seperti yang Anda lihat, tujuan-tujuan ini tidak bertepatan sama sekali. Artinya dalam memecahkan suatu masalah perlu dicari solusi yang optimal, keseimbangan antara kedua kriteria tersebut.
Model permainan
Berbicara tentang model permainan, perlu dipahami konsep “teori permainan”. Sederhananya, model-model ini mencerminkan model matematika dari konflik nyata. Perlu dipahami bahwa, tidak seperti konflik nyata, model matematika permainan memiliki aturan spesifiknya sendiri.
Sekarang saya akan memberikan sedikit informasi dari teori permainan, yang akan membantu Anda memahami apa itu model permainan. Jadi, dalam model pasti ada pihak (dua atau lebih), yang biasanya disebut pemain.
Semua model memiliki karakteristik tertentu.
Model permainan bisa berpasangan atau berganda. Jika kita memiliki dua subjek, maka konfliknya berpasangan, jika lebih - kelipatan. Permainan antagonis juga dapat dibedakan, disebut juga permainan zero-sum. Ini adalah model di mana keuntungan salah satu peserta sama dengan kerugian yang lain.
model simulasi
Pada bagian ini, kita akan fokus pada simulasi model matematika. Contoh tugas adalah:
- model dinamika jumlah mikroorganisme;
- model gerak molekul, dan sebagainya.
Dalam hal ini, kita berbicara tentang model yang sedekat mungkin dengan proses nyata. Pada umumnya, mereka meniru manifestasi apa pun di alam. Dalam kasus pertama, misalnya, kita dapat memodelkan dinamika jumlah semut dalam satu koloni. Dalam hal ini, Anda dapat mengamati nasib setiap individu. Dalam hal ini, deskripsi matematis jarang digunakan, lebih sering ada kondisi tertulis:
- setelah lima hari, betina bertelur;
- setelah dua puluh hari semut mati, dan seterusnya.
Jadi, digunakan untuk menggambarkan sistem yang besar. Kesimpulan matematis adalah pengolahan data statistik yang diterima.
Persyaratan
Sangat penting untuk mengetahui bahwa ada beberapa persyaratan untuk jenis model ini, di antaranya adalah yang diberikan dalam tabel di bawah ini.
keserbagunaan | Properti ini memungkinkan Anda untuk menggunakan model yang sama saat mendeskripsikan grup objek dengan tipe yang sama. Penting untuk dicatat bahwa model matematika universal sepenuhnya independen dari sifat fisik objek yang diteliti. |
Kecukupan | Di sini penting untuk dipahami bahwa properti ini memungkinkan reproduksi proses nyata yang paling benar. Dalam masalah operasi, sifat pemodelan matematika ini sangat penting. Contoh model adalah proses optimasi penggunaan sistem gas. Dalam hal ini, indikator yang dihitung dan yang sebenarnya dibandingkan, sebagai hasilnya, kebenaran model yang dikompilasi diperiksa. |
Ketepatan | Persyaratan ini menyiratkan kebetulan nilai yang kami peroleh saat menghitung model matematika dan parameter input dari objek nyata kami |
Ekonomi | Persyaratan ekonomi untuk setiap model matematika ditandai dengan biaya implementasi. Jika pekerjaan dengan model dilakukan secara manual, maka perlu untuk menghitung berapa banyak waktu yang diperlukan untuk menyelesaikan satu masalah dengan menggunakan model matematika ini. Jika kita berbicara tentang desain berbantuan komputer, maka indikator waktu dan memori komputer dihitung |
Langkah-langkah pemodelan
Secara total, merupakan kebiasaan untuk membedakan empat tahap dalam pemodelan matematika.
- Perumusan hukum yang menghubungkan bagian-bagian dari model.
- Studi masalah matematika.
- Mencari tahu kebetulan hasil praktis dan teoritis.
- Analisis dan modernisasi model.
Model ekonomi dan matematika
Di bagian ini, kami akan menyoroti masalah ini secara singkat.Contoh tugas dapat berupa:
- pembentukan program produksi untuk produksi produk daging, memastikan keuntungan produksi maksimum;
- memaksimalkan keuntungan organisasi dengan menghitung jumlah optimal meja dan kursi yang akan diproduksi di pabrik mebel, dan sebagainya.
Model ekonomi-matematis menampilkan abstraksi ekonomi, yang diekspresikan dengan menggunakan istilah dan tanda matematika.
Model matematika komputer
Contoh model matematika komputer adalah:
- tugas hidrolika menggunakan diagram alur, diagram, tabel, dan sebagainya;
- masalah pada mekanika padat, dan sebagainya.
Model komputer adalah gambar dari suatu objek atau sistem, disajikan sebagai:
- tabel;
- diagram blok;
- diagram;
- grafis, dan sebagainya.
Pada saat yang sama, model ini mencerminkan struktur dan interkoneksi sistem.
Membangun model ekonomi dan matematika
Kita telah membicarakan apa itu model ekonomi-matematis. Contoh pemecahan masalah akan dipertimbangkan sekarang. Kita perlu menganalisis program produksi untuk mengidentifikasi cadangan untuk meningkatkan keuntungan dengan pergeseran dalam bermacam-macam.
Kami tidak akan sepenuhnya mempertimbangkan masalah, tetapi hanya membangun model ekonomi dan matematis. Kriteria tugas kami adalah memaksimalkan keuntungan. Maka fungsi tersebut berbentuk: =р1*х1+р2*х2… cenderung maksimal. Dalam model ini, p adalah keuntungan per unit, x adalah jumlah unit yang diproduksi. Selanjutnya, berdasarkan model yang dibangun, perlu dilakukan perhitungan dan ringkasan.
Contoh membangun model matematika sederhana
Sebuah tugas. Nelayan kembali dengan hasil tangkapan sebagai berikut:
- 8 ikan - penghuni laut utara;
- 20% dari tangkapan - penghuni laut selatan;
- tidak ada satu ikan pun yang ditemukan dari sungai setempat.
Berapa banyak ikan yang dia beli di toko?
Jadi, contoh membangun model matematika dari masalah ini adalah sebagai berikut. Kami menyatakan jumlah total ikan sebagai x. Mengikuti kondisi tersebut, 0,2x adalah jumlah ikan yang hidup di garis lintang selatan. Sekarang kita menggabungkan semua informasi yang tersedia dan mendapatkan model matematika dari masalah: x=0.2x+8. Kami memecahkan persamaan dan mendapatkan jawaban untuk pertanyaan utama: dia membeli 10 ikan di toko.
Dasar untuk memecahkan masalah ekonomi adalah model matematika.
Menyusun model matematika meliputi:model matematika masalah adalah seperangkat hubungan matematis yang menggambarkan esensi masalah.
- pemilihan variabel tugas
- menyusun sistem pembatasan
- pilihan fungsi tujuan
Variabel tugas disebut kuantitas X1, X2, Xn, yang sepenuhnya mencirikan proses ekonomi. Biasanya ditulis sebagai vektor: X=(X 1 , X 2 ,...,X n).
Sistem pembatasan tugas adalah seperangkat persamaan dan ketidaksetaraan yang menggambarkan sumber daya yang terbatas dalam masalah yang sedang dipertimbangkan.
fungsi sasaran tugas disebut fungsi variabel tugas yang mencirikan kualitas tugas dan ekstrem yang diperlukan untuk ditemukan.
Secara umum, masalah program linier dapat ditulis sebagai berikut:
Entri ini berarti sebagai berikut: temukan ekstrem dari fungsi tujuan (1) dan variabel yang sesuai X=(X 1 , X 2 ,...,X n) asalkan variabel-variabel ini memenuhi sistem kendala (2) dan non -kondisi negatif (3) .
Solusi yang Dapat Diterima(rencana) dari masalah program linier adalah setiap vektor n-dimensi X=(X 1 , X 2 ,...,X n) yang memenuhi sistem kendala dan kondisi non-negatif.
Himpunan solusi yang layak (rencana) dari bentuk masalah berbagai solusi yang layak(ODR).
Solusi optimal(rencana) dari masalah program linier adalah solusi yang layak (rencana) dari masalah, di mana fungsi tujuan mencapai ekstrem.
Contoh menyusun model matematika
Tugas menggunakan sumber daya (bahan mentah)
Kondisi: Untuk pembuatan n jenis produk, m jenis sumber daya digunakan. Buatlah model matematikanya.
Diketahui:
- b i (i = 1,2,3,...,m) adalah cadangan setiap jenis sumber daya ke-i;
- a ij (i = 1,2,3,...,m; j=1,2,3,...,n) adalah biaya setiap jenis sumber daya ke-i untuk produksi satu unit volume jenis produk ke-j;
- c j (j = 1,2,3,...,n) adalah keuntungan dari penjualan satu unit volume produk jenis ke-j.
Diperlukan untuk menyusun rencana produksi produk yang memberikan keuntungan maksimum dengan pembatasan sumber daya (bahan baku) yang diberikan.
Larutan:
Kami memperkenalkan vektor variabel X=(X 1 , X 2 ,...,X n), di mana x j (j = 1,2,...,n) adalah volume produksi jenis ke-j dari produk.
Biaya jenis sumber daya ke-i untuk produksi volume tertentu x j produk sama dengan a ij x j , oleh karena itu, pembatasan penggunaan sumber daya untuk produksi semua jenis produk memiliki bentuk:
Keuntungan dari penjualan barang jenis ke-j sama dengan c j x j , sehingga fungsi tujuannya sama dengan:
Menjawab- Model matematika terlihat seperti:
Bentuk kanonik dari masalah pemrograman linier
Dalam kasus umum, masalah pemrograman linier ditulis sedemikian rupa sehingga persamaan dan pertidaksamaan adalah kendala, dan variabel dapat berupa non-negatif atau berubah sewenang-wenang.
Dalam kasus ketika semua kendala adalah persamaan dan semua variabel memenuhi kondisi non-negatif, masalah pemrograman linier disebut resmi.
Hal ini dapat direpresentasikan dalam koordinat, vektor dan matriks notasi.
Masalah program linier kanonik dalam notasi koordinat memiliki bentuk:
Masalah program linier kanonik dalam notasi matriks memiliki bentuk:
- A adalah matriks koefisien dari sistem persamaan
- X adalah matriks kolom variabel tugas
- Ao adalah matriks-kolom bagian kanan dari sistem kendala
Seringkali, masalah pemrograman linier digunakan, yang disebut masalah simetris, yang dalam notasi matriks berbentuk:
Pengurangan masalah pemrograman linier umum ke bentuk kanonik
Dalam kebanyakan metode untuk memecahkan masalah program linier, diasumsikan bahwa sistem kendala terdiri dari persamaan dan kondisi alami untuk variabel non-negatif. Namun, ketika menyusun model masalah ekonomi, kendala terutama terbentuk dalam bentuk sistem pertidaksamaan, sehingga perlu untuk dapat berpindah dari sistem pertidaksamaan ke sistem persamaan.
Ini dapat dilakukan seperti ini:Ambil pertidaksamaan linier a 1 x 1 +a 2 x 2 +...+a n x n b dan tambahkan beberapa nilai x n+1 ke sisi kirinya, sehingga pertidaksamaan menjadi persamaan a 1 x 1 +a 2 x 2 + ...+a n x n +x n+1 =b. Selain itu, nilai x n+1 ini non-negatif.
Mari kita pertimbangkan semuanya dengan sebuah contoh.
Contoh 26.1Kurangi masalah pemrograman linier ke bentuk kanonik:
Larutan:
Mari kita beralih ke masalah menemukan maksimum fungsi tujuan.
Untuk melakukan ini, kami mengubah tanda-tanda koefisien fungsi tujuan.
Untuk mengubah pertidaksamaan kedua dan ketiga dari sistem kendala menjadi persamaan, kami memperkenalkan variabel tambahan non-negatif x 4 x 5 (operasi ini ditandai dengan huruf D pada model matematika).
Variabel x 4 dimasukkan pada ruas kiri pertidaksamaan kedua dengan tanda "+", karena pertidaksamaan berbentuk "≤".
Variabel x 5 dimasukkan pada ruas kiri pertidaksamaan ketiga dengan tanda "-", karena pertidaksamaan berbentuk "≥".
Variabel x 4 x 5 dimasukkan ke dalam fungsi tujuan dengan koefisien. sama dengan nol.
Kami menulis masalah dalam bentuk kanonik.
Contoh 1.5.1.
Biarkan beberapa wilayah ekonomi menghasilkan beberapa (n) jenis produk secara eksklusif sendiri dan hanya untuk penduduk wilayah ini. Diasumsikan bahwa proses teknologi telah berhasil, dan permintaan penduduk akan barang-barang ini telah dipelajari. Penting untuk menentukan volume output produk tahunan, dengan mempertimbangkan fakta bahwa volume ini harus menyediakan konsumsi akhir dan industri.
Mari kita membuat model matematika dari masalah ini. Berdasarkan kondisinya, berikut ini diberikan: jenis produk, permintaannya, dan proses teknologinya; temukan volume output untuk setiap jenis produk.
Mari kita tunjukkan besaran yang diketahui:
c saya- permintaan publik untuk saya-produk ( saya=1,...,n); sebuah aku j- jumlah saya-produk ke-j diperlukan untuk menghasilkan satu unit produk ke-j menggunakan teknologi ini ( saya=1,...,n ; j=1,...,n);
X saya - volume keluaran saya-produk ( saya=1,...,n); keseluruhan Dengan =(c 1 ,..., c n ) disebut vektor permintaan, angka sebuah aku j– koefisien teknologi, dan himpunan X =(X 1 ,..., X n ) adalah vektor pelepasan.
Dengan kondisi masalah, vektor X dibagi menjadi dua bagian: untuk konsumsi akhir (vektor Dengan ) dan reproduksi (vektor x-s ). Hitung bagian vektor tersebut X yang pergi ke reproduksi. Menurut sebutan kami untuk produksi X j kuantitas produk ke-j pergi sebuah aku j · X j kuantitas saya-produk.
Kemudian jumlah sebuah i1 · X 1 +...+ sebuah di · X n menunjukkan nilai saya produk -th, yang dibutuhkan untuk seluruh output X =(X 1 ,..., X n ).
Oleh karena itu, kesetaraan harus berlaku:
Memperluas alasan ini ke semua jenis produk, kami sampai pada model yang diinginkan:
Memecahkan sistem n persamaan linier ini sehubungan dengan X 1 ,...,X n dan temukan vektor keluaran yang diperlukan.
Untuk menulis model ini dalam bentuk (vektor) yang lebih ringkas, kami memperkenalkan notasi:
Kotak ( 
) -matriks TETAPI disebut matriks teknologi. Sangat mudah untuk memeriksa bahwa model kita sekarang akan ditulis seperti ini: x-s=Ah atau
(1.6)
Kami mendapat model klasik " Input output ”, penulisnya adalah ekonom Amerika terkenal V. Leontiev.
Contoh 1.5.2.
Sebuah kilang minyak memiliki dua grade minyak: grade TETAPI dalam jumlah 10 unit, grade PADA- 15 unit. Saat memproses minyak, dua bahan diperoleh: bensin (kami menunjukkan B) dan bahan bakar minyak ( M). Ada tiga opsi untuk teknologi pemrosesan:
Saya: 1 unit TETAPI+ 2 unit PADA memberikan 3 unit. B+ 2 unit M
II: 2 unit TETAPI+ 1 satuan PADA memberikan 1 satuan. B+ 5 unit M
AKU AKU AKU: 2 unit TETAPI+ 2 unit PADA memberikan 1 satuan. B+ 2 unit M
Harga bensin adalah $ 10 per unit, bahan bakar minyak adalah $ 1 per unit.
Diperlukan untuk menentukan kombinasi proses teknologi yang paling menguntungkan untuk memproses jumlah minyak yang tersedia.
Sebelum memodelkan, kami mengklarifikasi poin-poin berikut. Dari kondisi masalah tersebut maka “profitabilitas” proses teknologi untuk pabrik harus dipahami dalam arti memperoleh pendapatan maksimum dari penjualan produk jadinya (bensin dan bahan bakar minyak). Dalam hal ini, jelas bahwa "pilihan (membuat) keputusan" pabrik adalah menentukan teknologi mana dan berapa kali diterapkan. Jelas, ada banyak kemungkinan seperti itu.
Mari kita menunjukkan jumlah yang tidak diketahui:
X saya- jumlah penggunaan saya-proses teknologi (i=1,2,3). Parameter lain dari model (cadangan kadar minyak, harga bensin dan bahan bakar minyak) diketahui.
Sekarang satu keputusan spesifik tanaman direduksi menjadi pilihan satu vektor X =(x 1 ,X 2 ,X 3 ) , di mana pendapatan pabrik sama dengan (32x 1 +15x 2 +12x 3 ) dolar Di sini, 32 dolar adalah pendapatan yang diterima dari satu penerapan proses teknologi pertama (10 dolar 3 unit. B+ $1 2 unit M= $32). Koefisien 15 dan 12 memiliki arti yang sama untuk proses teknologi kedua dan ketiga. Akuntansi cadangan minyak mengarah pada kondisi berikut:
untuk variasi TETAPI:
untuk variasi PADA:,
di mana dalam ketidaksetaraan pertama koefisien 1, 2, 2 adalah tingkat konsumsi minyak kelas A untuk aplikasi satu kali proses teknologi Saya,II,AKU AKU AKU masing-masing. Koefisien ketidaksetaraan kedua memiliki arti yang sama untuk minyak kelas B.
Model matematika secara keseluruhan memiliki bentuk:
Temukan vektor seperti itu x = (x 1 ,X 2 ,X 3 ) untuk memaksimalkan
f(x) = 32x 1 +15x 2 +12x 3
ketika kondisi terpenuhi:
Bentuk singkatan dari entri ini adalah sebagai berikut:
di bawah batasan
(1.7)
Kami mendapat apa yang disebut masalah pemrograman linier.
Model (1.7.) adalah contoh model optimasi dari tipe deterministik (dengan elemen yang terdefinisi dengan baik).
Contoh 1.5.3.
Investor perlu menentukan seperangkat saham, obligasi, dan surat berharga lainnya yang terbaik untuk dibeli dengan jumlah tertentu guna memperoleh keuntungan tertentu dengan risiko minimal bagi dirinya sendiri. Pengembalian setiap dolar yang diinvestasikan dalam sekuritas j Tipe -th, dicirikan oleh dua indikator: keuntungan yang diharapkan dan keuntungan aktual. Bagi investor, diharapkan laba per dolar investasi untuk seluruh rangkaian sekuritas tidak lebih rendah dari nilai tertentu. b.
Perhatikan bahwa untuk pemodelan yang benar dari masalah ini, seorang ahli matematika memerlukan pengetahuan dasar tertentu di bidang teori portofolio sekuritas.
Mari kita tunjukkan parameter masalah yang diketahui:
n- jumlah jenis surat berharga; sebuah j– keuntungan aktual (angka acak) dari jenis sekuritas ke-j; 
adalah keuntungan yang diharapkan dari j jenis keamanan.
Tunjukkan jumlah yang tidak diketahui :
kamu j - dana yang dialokasikan untuk pembelian surat berharga sejenis j.
Dalam notasi kami, jumlah total yang diinvestasikan dinyatakan sebagai 
. Untuk menyederhanakan model, kami memperkenalkan kuantitas baru
.
Lewat sini, X saya- ini adalah bagian dari semua dana yang dialokasikan untuk pembelian sekuritas jenis j.
Sudah jelas itu 
Dari kondisi permasalahan tersebut terlihat bahwa tujuan investor adalah mencapai tingkat keuntungan tertentu dengan resiko yang minimal. Pada dasarnya, risiko adalah ukuran penyimpangan keuntungan aktual dari yang diharapkan. Oleh karena itu, dapat diidentifikasi dengan kovarians laba untuk sekuritas tipe i dan tipe j. Di sini M adalah penunjukan harapan matematis.
Model matematika dari masalah asli memiliki bentuk:
di bawah batasan
,
,
,
. (1.8)
Kami telah memperoleh model Markowitz yang terkenal untuk mengoptimalkan struktur portofolio sekuritas.
Model (1.8.) adalah contoh model optimasi dari tipe stokastik (dengan elemen keacakan).
Contoh 1.5.4.
Atas dasar organisasi perdagangan, ada n jenis salah satu produk dari bermacam-macam minimum. Hanya satu dari jenis produk ini yang harus dikirimkan ke toko. Hal ini diperlukan untuk memilih jenis barang yang disarankan untuk dibawa ke toko. Jika jenis produk j akan diminati, maka toko akan mendapat untung dari penjualannya R j, jika tidak diminati - rugi q j .
Sebelum pemodelan, kita akan membahas beberapa poin mendasar. Dalam masalah ini, pengambil keputusan (DM) adalah toko. Namun, hasilnya (mendapatkan keuntungan maksimum) tidak hanya tergantung pada keputusannya, tetapi juga pada apakah barang impor akan diminati, yaitu apakah mereka akan dibeli oleh penduduk (diasumsikan bahwa untuk beberapa alasan toko tidak menjualnya). tidak memiliki kesempatan untuk mempelajari permintaan penduduk). Oleh karena itu, penduduk dapat dianggap sebagai pengambil keputusan kedua, memilih jenis barang sesuai dengan preferensi mereka. "Keputusan" terburuk dari populasi untuk toko adalah: "barang impor tidak diminati." Jadi, untuk mempertimbangkan semua jenis situasi, toko perlu mempertimbangkan populasi sebagai "lawannya" (dengan syarat), mengejar tujuan yang berlawanan - untuk meminimalkan keuntungan toko.
Jadi, kami memiliki masalah keputusan dengan dua peserta mengejar tujuan yang berlawanan. Mari kita klarifikasi bahwa toko memilih salah satu jenis barang untuk dijual (ada n solusi), dan populasi memilih salah satu jenis barang yang paling banyak diminati ( n pilihan solusi).
Untuk menyusun model matematika, kami menggambar tabel dengan n garis dan n kolom (total n 2 sel) dan setuju bahwa baris sesuai dengan pilihan toko, dan kolom sesuai dengan pilihan populasi. Kemudian sel (aku j) sesuai dengan situasi ketika toko memilih saya-jenis barang ( saya-th line), dan populasi memilih j-jenis barang ( j- kolom ke-). Di setiap sel, kami menulis penilaian numerik (laba atau rugi) dari situasi yang sesuai dari sudut pandang toko:
angka q saya ditulis dengan minus untuk mencerminkan hilangnya toko; dalam setiap situasi, "imbalan" populasi (dengan syarat) sama dengan "hasil" toko, diambil dengan tanda yang berlawanan.
Tampilan singkat dari model ini adalah sebagai berikut:
(1.9)
Kami mendapat apa yang disebut permainan matriks. Model (1.9.) adalah contoh model pengambilan keputusan game.
