Trifanova Marina Anatolievna
Guru matematika, Gimnasium No. 48 (multiprofil)

Tujuan tritunggal dari pelajaran:

Pendidikan:
sistematisasi dan generalisasi pengetahuan tentang pemecahan persamaan derajat yang lebih tinggi.
Mengembangkan:
untuk mempromosikan pengembangan pemikiran logis, kemampuan untuk bekerja secara mandiri, keterampilan saling mengendalikan dan mengendalikan diri, kemampuan untuk berbicara dan mendengarkan.
Pengasuhan:
mengembangkan kebiasaan kerja terus-menerus, memupuk daya tanggap, ketekunan, dan akurasi.

Jenis pelajaran:

pelajaran dalam aplikasi yang kompleks dari pengetahuan, keterampilan dan kemampuan.

Formulir Pelajaran:

penayangan, menit fisik, berbagai bentuk pekerjaan.

Peralatan:

catatan referensi, kartu tugas, matriks pemantauan pelajaran.

SELAMA KELAS

I. Momen organisasi

1. Komunikasikan tujuan pelajaran kepada siswa.
2. Memeriksa pekerjaan rumah (Lampiran 1). Bekerja dengan abstrak dasar (Lampiran 2).

Persamaan dan jawaban untuk masing-masing ditulis di papan tulis. Siswa memeriksa jawaban dan memberikan analisis singkat solusi untuk setiap persamaan atau menjawab pertanyaan guru (survei frontal). Kontrol diri - siswa memberi nilai pada diri mereka sendiri dan menyerahkan buku catatan untuk diperiksa kepada guru untuk koreksi nilai atau persetujuan mereka. Nilai sekolah tertulis di papan tulis:

"5+" - 6 persamaan;
"5" - 5 persamaan;
"4" - 4 persamaan;
"3" - 3 persamaan.

Pertanyaan guru untuk pekerjaan rumah:

1 persamaan

1. Apa perubahan variabel dalam persamaan?
2. Persamaan apa yang diperoleh setelah perubahan variabel?

2 persamaan

1. Polinomial apa yang membagi kedua ruas persamaan?
2. Substitusi variabel apa yang diperoleh?

3 persamaan

1. Polinomial apa yang perlu dikalikan untuk menyederhanakan solusi persamaan ini?

4 persamaan

1. Namakan fungsi f(x).
2. Bagaimana akar lainnya ditemukan?

5 persamaan

1. Berapa interval yang diperoleh untuk menyelesaikan persamaan tersebut?

6 persamaan

1. Bagaimana persamaan ini dapat diselesaikan?
2. Solusi mana yang lebih rasional?

II. Kerja kelompok adalah bagian utama dari pelajaran.

Kelas dibagi menjadi 4 kelompok. Setiap kelompok diberikan kartu dengan pertanyaan teoretis dan praktis (Lampiran 3): "Bongkar metode yang diusulkan untuk menyelesaikan persamaan dan jelaskan menggunakan contoh ini."

1. Kerja kelompok 15 menit.
2. Contoh ditulis di papan tulis (papan dibagi menjadi 4 bagian).
3. Laporan kelompok membutuhkan waktu 2-3 menit.
4. Guru mengoreksi laporan kelompok dan membantu jika ada kesulitan.

Kerja kelompok dilanjutkan pada kartu No. 5 - 8. Untuk setiap persamaan diberikan waktu 5 menit untuk diskusi dalam kelompok. Kemudian papan tulis memiliki laporan tentang persamaan ini - analisis singkat dari solusinya. Persamaan mungkin tidak sepenuhnya diselesaikan - sedang diselesaikan di rumah, tetapi seluruh urutan penyelesaiannya di kelas dibahas.

AKU AKU AKU. Pekerjaan mandiri. Lampiran 4.

1. Setiap siswa menerima tugas individu.
2. Pekerjaan memakan waktu 20 menit.
3. 5 menit sebelum pelajaran berakhir, guru memberikan jawaban terbuka untuk setiap persamaan.
4. Siswa mengubah buku catatan dalam lingkaran dan memeriksa jawaban dengan teman. Memberi peringkat.
5. Buku catatan diserahkan kepada guru untuk diperiksa dan dikoreksi nilai.

IV. Ringkasan pelajaran.

Pekerjaan rumah.

Menyelesaikan solusi persamaan yang tidak lengkap. Siapkan untuk pemotongan kontrol.

Penilaian.

Penggunaan persamaan tersebar luas dalam kehidupan kita. Mereka digunakan dalam banyak perhitungan, konstruksi struktur dan bahkan olahraga. Persamaan telah digunakan oleh manusia sejak zaman kuno, dan sejak itu penggunaannya semakin meningkat. Dalam matematika, persamaan derajat yang lebih tinggi dengan koefisien bilangan bulat cukup umum. Untuk menyelesaikan persamaan semacam ini, Anda perlu:

Tentukan akar rasional persamaan;

Faktorkan polinomial yang ada di sisi kiri persamaan;

Temukan akar persamaan.

Misalkan kita diberikan persamaan dengan bentuk berikut:

Mari kita temukan semua akar aslinya. Kalikan ruas kiri dan kanan persamaan dengan \

Mari kita ubah variabel \

Dengan demikian, kami telah memperoleh persamaan tereduksi derajat keempat, yang diselesaikan sesuai dengan algoritma standar: kami memeriksa pembagi, melakukan pembagian, dan sebagai hasilnya kami menemukan bahwa persamaan memiliki dua akar real \ dan dua kompleks yang. Kami mendapatkan jawaban berikut untuk persamaan derajat keempat kami:

Di mana saya bisa memecahkan persamaan kekuatan yang lebih tinggi secara online dengan pemecah?

Anda dapat menyelesaikan persamaan di situs web kami https: // situs. Pemecah online gratis akan memungkinkan Anda untuk menyelesaikan persamaan online dengan kerumitan apa pun dalam hitungan detik. Yang harus Anda lakukan hanyalah memasukkan data Anda ke dalam solver. Anda juga dapat menonton instruksi video dan mempelajari cara menyelesaikan persamaan di situs web kami. Dan jika Anda memiliki pertanyaan, Anda dapat menanyakannya di grup Vkontakte kami http://vk.com/pocketteacher. Bergabunglah dengan grup kami, kami selalu senang membantu Anda.

"Metode untuk memecahkan persamaan derajat yang lebih tinggi"

( Bacaan Kiselevsky)

Guru matematika Afanasyeva L.A.

Sekolah menengah MKOU Verkhnekarachanskaya

Distrik Gribanovsky, wilayah Voronezh

2015

Pendidikan matematika yang diterima di sekolah pendidikan umum adalah komponen penting dari pendidikan umum dan budaya umum orang modern.

Ahli matematika Jerman yang terkenal Courant menulis: "Selama lebih dari dua ribu tahun, kepemilikan beberapa, tidak terlalu dangkal, pengetahuan di bidang matematika telah menjadi bagian penting dari inventaris intelektual setiap orang terpelajar." Dan di antara pengetahuan ini, bukan tempat terakhir yang dimiliki oleh kemampuan untuk memecahkan persamaan.

Sudah di zaman kuno, orang menyadari betapa pentingnya mempelajari cara menyelesaikan persamaan aljabar. Sekitar 4.000 tahun yang lalu, para ilmuwan Babilonia menguasai solusi persamaan kuadrat dan menyelesaikan sistem dua persamaan, salah satunya adalah tingkat kedua. Dengan bantuan persamaan, berbagai masalah survei tanah, arsitektur dan urusan militer diselesaikan, banyak dan beragam masalah praktik dan ilmu alam direduksi menjadi mereka, karena bahasa matematika yang tepat memungkinkan untuk hanya mengungkapkan fakta dan hubungan yang, dinyatakan dalam bahasa biasa, mungkin tampak membingungkan dan kompleks. Persamaan adalah salah satu konsep yang paling penting dalam matematika. Perkembangan metode penyelesaian persamaan, dimulai dari lahirnya matematika sebagai ilmu pengetahuan, telah lama menjadi pokok bahasan utama kajian aljabar. Dan hari ini, dalam pelajaran matematika, mulai dari tahap pertama pendidikan, banyak perhatian diberikan untuk menyelesaikan berbagai jenis persamaan.

Tidak ada rumus universal untuk mencari akar persamaan aljabar derajat ke-n. Banyak, tentu saja, muncul dengan ide menggoda untuk mencari gelar apa pun n rumus yang akan menyatakan akar persamaan dalam hal koefisiennya, yaitu, akan menyelesaikan persamaan dalam bentuk radikal. Namun, "Abad Pertengahan yang suram" ternyata sesuram mungkin sehubungan dengan masalah yang sedang dibahas - selama tujuh abad penuh tidak ada yang menemukan formula yang diperlukan! Baru pada abad ke-16 matematikawan Italia berhasil melangkah lebih jauh - untuk menemukan formula untuk n =3 dan n =4 . Pada saat yang sama, Scipio Dal Ferro, muridnya Fiori, dan Tartaglia berurusan dengan pertanyaan tentang solusi umum persamaan tingkat ke-3. Pada tahun 1545, buku matematikawan Italia D Cardano "Seni Hebat, atau Aturan Aljabar" diterbitkan, di mana, bersama dengan masalah aljabar lainnya, metode umum untuk menyelesaikan persamaan kubik dipertimbangkan, serta metode untuk memecahkan persamaan derajat 4, ditemukan oleh muridnya L. Ferrari. Pemaparan lengkap masalah-masalah yang berkaitan dengan penyelesaian persamaan derajat 3 dan 4 disampaikan oleh F. Viet. Dan pada 20-an abad ke-19, matematikawan Norwegia N. Abel membuktikan bahwa akar persamaan derajat ke-5 dan lebih tinggi tidak dapat diungkapkan melalui radikal.

Proses menemukan solusi persamaan biasanya terdiri dari penggantian persamaan dengan persamaan yang setara. Mengganti persamaan dengan persamaan yang setara didasarkan pada penerapan empat aksioma:

1. Jika nilai yang sama ditambah dengan angka yang sama, maka hasilnya akan sama.

2. Jika angka yang sama dikurangkan dari nilai yang sama, maka hasilnya akan sama.

3. Jika nilai sama dikalikan dengan angka yang sama, maka hasilnya akan sama.

4. Jika nilai sama dibagi dengan angka yang sama, maka hasilnya akan sama.

Karena ruas kiri persamaan P(x) = 0 adalah polinomial derajat ke-n, akan berguna untuk mengingat pernyataan berikut:

Pernyataan tentang akar polinomial dan pembaginya:

1. Polinomial derajat ke-n memiliki jumlah akar tidak melebihi jumlah n, dan akar perkalian m terjadi tepat m kali.

2. Polinomial berderajat ganjil memiliki setidaknya satu akar real.

3. Jika adalah akar dari (х), maka n (х) = (х - )·Q n - 1 (x), dengan Q n - 1 (x) adalah polinomial berderajat (n - 1) .

4. Setiap akar bilangan bulat dari polinomial dengan koefisien bilangan bulat adalah pembagi dari istilah bebas.

5. Polinomial tereduksi dengan koefisien bilangan bulat tidak dapat memiliki akar rasional pecahan.

6. Untuk polinomial derajat ketiga

P 3 (x) \u003d ax 3 + bx 2 + cx + d salah satu dari dua hal yang mungkin: baik itu terurai menjadi produk dari tiga binomial

P 3 (x) \u003d a (x - ) (x - ) (x - ), atau terurai menjadi produk binomial dan trinomial persegi P 3 (x) \u003d a (x - ) ( x2 + x + ).

7. Setiap polinomial derajat keempat berekspansi menjadi produk dari dua trinomial persegi.

8. Suatu polinomial f(x) habis dibagi oleh polinomial g(x) tanpa sisa jika terdapat polinomial q(x) sedemikian rupa sehingga f(x) = g(x) q(x). Untuk membagi polinomial, aturan "pembagian dengan sudut" diterapkan.

9. Agar polinomial P(x) habis dibagi oleh binomial (x – c), perlu dan cukup bahwa c adalah akar dari P(x) (Sesuai dengan teorema Bezout).

10. Teorema Vieta: Jika x 1, x 2, ..., x n adalah akar-akar real dari polinomial

P (x) = a 0 x n + a 1 x n - 1 + ... + a n, maka persamaan berikut berlaku:

x 1 + x 2 + ... + x n \u003d -a 1 / a 0,

x 1 x 2 + x 1 x 3 + ... + x n - 1 x n \u003d a 2 / a 0,

x 1 x 2 x 3 + ... + x n - 2 x n - 1 x n \u003d -a 3 / a 0,

x 1 x 2 x 3 x n \u003d (-1) n a n / a 0.

Solusi dari contoh

Contoh 1 . Temukan sisanya setelah membagi P (x) \u003d x 3 + 2/3 x 2 - 1/9 dengan (x - 1/3).

Larutan. Menurut akibat wajar dari teorema Bezout: "Sisa pembagian polinomial dengan binomial (x - c) sama dengan nilai polinomial di c." Mari kita cari P(1/3) = 0. Oleh karena itu, sisanya adalah 0 dan angka 1/3 adalah akar dari polinomial.

Jawab: R = 0.

Contoh 2 . Bagilah "sudut" 2x 3 + 3x 2 - 2x + 3 dengan (x + 2). Cari sisa dan hasil bagi tidak lengkap.

Larutan:

2x 3 + 3x 2 – 2x + 3| x + 2

2x 3 + 4x 2 2x 2 – x

X 2 - 2x

X 2 - 2x

Jawaban: R = 3; hasil bagi: 2x 2 - x.

Metode dasar untuk memecahkan persamaan derajat yang lebih tinggi

1. Pengenalan variabel baru

Metode memasukkan variabel baru adalah untuk menyelesaikan persamaan f (x) \u003d 0, variabel baru (substitusi) t \u003d x n atau t \u003d g (x) diperkenalkan dan f (x) dinyatakan melalui t , memperoleh persamaan baru r (t) . Selesaikan persamaan r(t), cari akar-akarnya: (t 1 , t 2 , …, t n). Setelah itu, himpunan n persamaan q(x) = t 1 , q(x) = t 2 , ... , q(x) = t n diperoleh, dari mana akar-akar persamaan asli ditemukan.

Contoh;(x 2 + x + 1) 2 - 3x 2 - 3x - 1 = 0.

Solusi: (x 2 + x + 1) 2 - 3x 2 - 3x - 1 = 0.

(x 2 + x + 1) 2 - 3 (x 2 + x + 1) + 3 - 1 = 0.

Penggantian (x 2 + x + 1) = t.

t 2 - 3t + 2 = 0.

t 1 \u003d 2, t 2 \u003d 1. Penggantian terbalik:

x 2 + x + 1 = 2 atau x 2 + x + 1 = 1;

x 2 + x - 1 \u003d 0 atau x 2 + x \u003d 0;

Dari persamaan pertama: x 1, 2 = (-1 ± 5) / 2, dari yang kedua: 0 dan -1.

Metode memperkenalkan variabel baru menemukan aplikasi dalam memecahkan dapat dikembalikan persamaan, yaitu, persamaan dalam bentuk a 0 x n + a 1 x n - 1 + .. + a n - 1 x + a n \u003d 0, di mana koefisien suku-suku persamaan, berjarak sama dari awal dan akhir , adalah sama.

2. Faktorisasi dengan metode pengelompokan dan rumus perkalian disingkat

Dasar dari metode ini adalah mengelompokkan suku-suku sedemikian rupa sehingga setiap kelompok mengandung faktor persekutuan. Untuk melakukan ini, terkadang Anda harus menggunakan beberapa trik buatan.

Contoh: x 4 - 3x 2 + 4x - 3 = 0.

Larutan. Bayangkan - 3x 2 \u003d -2x 2 - x 2 dan kelompokkan:

(x 4 - 2x 2) - (x 2 - 4x + 3) = 0.

(x 4 - 2x 2 +1 - 1) - (x 2 - 4x + 3 + 1 - 1) = 0.

(x 2 - 1) 2 - 1 - (x - 2) 2 + 1 = 0.

(x 2 - 1) 2 - (x - 2) 2 \u003d 0.

(x 2 - 1 - x + 2) (x 2 - 1 + x - 2) = 0.

(x 2 - x + 1) (x 2 + x - 3) = 0.

x 2 - x + 1 \u003d 0 atau x 2 + x - 3 \u003d 0.

Tidak ada akar dalam persamaan pertama, dari persamaan kedua: x 1, 2 = (-1 ± 13) / 2.

3. Faktorisasi dengan metode koefisien tak tentu

Inti dari metode ini adalah bahwa polinomial asli didekomposisi menjadi faktor-faktor dengan koefisien yang tidak diketahui. Menggunakan properti bahwa polinomial sama jika koefisiennya sama pada pangkat yang sama, koefisien ekspansi yang tidak diketahui ditemukan.

Contoh: x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = 0.

Larutan. Sebuah polinomial derajat 3 dapat didekomposisi menjadi produk faktor linier dan kuadrat.

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 \u003d (x - a) (x 2 + bx + c),

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 \u003d x 3 + bx 2 + cx - ax 2 - abx - ac,

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = x 3 + (b - a) x 2 + (c - ab) x - ac.

Memecahkan sistem:

kita mendapatkan

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 \u003d (x + 1) (x 2 + 3x + 2).

Akar persamaan (x + 1) (x 2 + 3x + 2) = 0 mudah ditemukan.

Jawaban 1; -2.

4. Metode pemilihan akar dengan koefisien tertinggi dan bebas

Metode ini didasarkan pada penerapan teorema:

1) Setiap akar bilangan bulat dari polinomial dengan koefisien bilangan bulat adalah pembagi dari istilah bebas.

2) Agar pecahan tak tereduksi p / q (p adalah bilangan bulat, q natural) menjadi akar persamaan dengan koefisien bilangan bulat, perlu bahwa bilangan p adalah pembagi bilangan bulat dari suku bebas a 0 , dan q adalah pembagi alami dari koefisien tertinggi.

Contoh: 6x3 + 7x2 - 9x + 2 = 0.

Larutan:

2: p = ±1, ±2

6: q = 1, 2, 3, 6.

Jadi p/q = ±1, ±2, ±1/2, ±1/3, ±2/3, ±1/6.

Setelah menemukan satu akar, misalnya - 2, kami akan menemukan akar lain menggunakan pembagian dengan sudut, metode koefisien tak tentu atau skema Horner.

Jawaban: -2; 1/2; 1/3.

5. Metode grafik.

Metode ini terdiri dari memplot grafik dan menggunakan sifat-sifat fungsi.

Contoh: x 5 + x - 2 = 0

Mari kita nyatakan persamaan dalam bentuk x 5 \u003d - x + 2. Fungsi y \u003d x 5 meningkat, dan fungsi y \u003d - x + 2 menurun. Ini berarti bahwa persamaan x 5 + x - 2 \u003d 0 memiliki akar tunggal -1.

6. Perkalian persamaan dengan fungsi.

Terkadang penyelesaian persamaan aljabar sangat dipermudah dengan mengalikan kedua bagiannya dengan beberapa fungsi - polinomial yang tidak diketahui. Pada saat yang sama, harus diingat bahwa akar tambahan dapat muncul - akar polinomial yang dengannya persamaan dikalikan. Oleh karena itu, seseorang harus mengalikan dengan polinomial yang tidak memiliki akar dan memperoleh persamaan yang setara, atau mengalikan dengan polinomial dengan akar, dan kemudian masing-masing akar ini harus disubstitusikan ke persamaan asli dan menentukan apakah bilangan ini adalah akarnya.

Contoh. Selesaikan persamaan:

X 8 – X 6 + X 4 – X 2 + 1 = 0. (1)

Larutan: Mengalikan kedua ruas persamaan dengan polinomial X 2 + 1, yang tidak memiliki akar, kita mendapatkan persamaan:

(X 2 + 1) (X 8 - X 6 + X 4 - X 2 + 1) \u003d 0 (2)
setara dengan persamaan (1). Persamaan (2) dapat ditulis sebagai:

X 10 + 1 = 0 (3)
Jelas bahwa persamaan (3) tidak memiliki akar real, jadi persamaan (1) tidak memilikinya.

Menjawab: tidak ada solusi.

Selain metode di atas untuk memecahkan persamaan derajat yang lebih tinggi, ada yang lain. Misalnya, pemilihan persegi penuh, skema Horner, representasi pecahan dalam bentuk dua pecahan. Dari metode umum untuk memecahkan persamaan derajat yang lebih tinggi, yang paling sering digunakan, mereka menggunakan: metode memfaktorkan ruas kiri persamaan menjadi faktor;

metode penggantian variabel (metode memasukkan variabel baru); cara grafis. Kami memperkenalkan metode ini kepada siswa kelas 9 ketika mempelajari topik "Seluruh persamaan dan akarnya". Dalam buku teks Aljabar 9 (penulis Yu.N. Makarychev, N.G. Mindyuk, dan lainnya) tahun-tahun terakhir publikasi, metode utama untuk menyelesaikan persamaan derajat yang lebih tinggi dipertimbangkan secara cukup rinci. Selain itu, di bagian "Bagi mereka yang ingin tahu lebih banyak", menurut saya, materi disajikan dengan cara yang dapat diakses tentang penerapan teorema pada akar polinomial dan akar bilangan bulat dari seluruh persamaan ketika menyelesaikan persamaan yang lebih tinggi derajat. Siswa yang dipersiapkan dengan baik mempelajari materi ini dengan penuh minat, dan kemudian menyajikan persamaan yang diselesaikan kepada teman sekelas mereka.

Hampir segala sesuatu yang mengelilingi kita terhubung dalam satu atau lain cara dengan matematika. Prestasi di bidang fisika, teknik, teknologi informasi hanya menegaskan hal ini. Dan yang sangat penting - solusi dari banyak masalah praktis adalah menyelesaikan berbagai jenis persamaan yang perlu Anda pelajari cara menyelesaikannya.

Mempertimbangkan memecahkan persamaan dengan satu variabel derajat lebih tinggi dari yang kedua.

Derajat persamaan P(x) = 0 adalah derajat polinomial P(x), yaitu. pangkat terbesar dari suku-sukunya dengan koefisien bukan nol.

Jadi, misalnya, persamaan (x 3 - 1) 2 + x 5 \u003d x 6 - 2 memiliki derajat kelima, karena setelah operasi membuka kurung dan membawa yang serupa, kami memperoleh persamaan yang setara x 5 - 2x 3 + 3 \u003d 0 dari derajat kelima.

Ingat aturan yang akan diperlukan untuk menyelesaikan persamaan derajat yang lebih tinggi dari yang kedua.

Pernyataan tentang akar polinomial dan pembaginya:

1. Polinomial derajat ke-n memiliki jumlah akar tidak melebihi jumlah n, dan akar perkalian m terjadi tepat m kali.

2. Polinomial berderajat ganjil memiliki setidaknya satu akar real.

3. Jika adalah akar dari (х), maka n (х) = (х – ) · Q n – 1 (x), dengan Q n – 1 (x) adalah polinomial berderajat (n – 1) .

4.

5. Polinomial tereduksi dengan koefisien bilangan bulat tidak dapat memiliki akar rasional pecahan.

6. Untuk polinomial derajat ketiga

P 3 (x) \u003d ax 3 + bx 2 + cx + d salah satu dari dua hal yang mungkin: baik itu terurai menjadi produk dari tiga binomial

P 3 (x) \u003d a (x - ) (x - ) (x - ), atau terurai menjadi produk binomial dan trinomial persegi P 3 (x) \u003d a (x - ) ( x2 + x + ).

7. Setiap polinomial derajat keempat berekspansi menjadi produk dari dua trinomial persegi.

8. Suatu polinomial f(x) habis dibagi oleh polinomial g(x) tanpa sisa jika terdapat polinomial q(x) sedemikian rupa sehingga f(x) = g(x) q(x). Untuk membagi polinomial, aturan "pembagian dengan sudut" diterapkan.

9. Agar polinomial P(x) habis dibagi oleh binomial (x – c), perlu dan cukup bahwa bilangan c adalah akar dari P(x) (Sesuai dengan teorema Bezout).

10. Teorema Vieta: Jika x 1, x 2, ..., x n adalah akar-akar real dari polinomial

P (x) = a 0 x n + a 1 x n - 1 + ... + a n, maka persamaan berikut berlaku:

x 1 + x 2 + ... + x n \u003d -a 1 / a 0,

x 1 x 2 + x 1 x 3 + ... + x n - 1 x n \u003d a 2 / a 0,

x 1 x 2 x 3 + ... + x n - 2 x n - 1 x n \u003d -a 3 / a 0,

x 1 x 2 x 3 x n \u003d (-1) n a n / a 0.

Solusi dari contoh

Contoh 1

Temukan sisanya setelah membagi P (x) \u003d x 3 + 2/3 x 2 - 1/9 dengan (x - 1/3).

Larutan.

Menurut akibat wajar dari teorema Bezout: "Sisa pembagian polinomial dengan binomial (x - c) sama dengan nilai polinomial di c." Mari kita cari P(1/3) = 0. Oleh karena itu, sisanya adalah 0 dan angka 1/3 adalah akar dari polinomial.

Jawab: R = 0.

Contoh 2

Bagilah "sudut" 2x 3 + 3x 2 - 2x + 3 dengan (x + 2). Cari sisa dan hasil bagi tidak lengkap.

Larutan:

2x 3 + 3x 2 – 2x + 3| x + 2

2x 3 + 4x 2 2x 2 – x

X 2 – 2 x

Jawaban: R = 3; hasil bagi: 2x 2 - x.

Metode dasar untuk memecahkan persamaan derajat yang lebih tinggi

1. Pengenalan variabel baru

Metode memasukkan variabel baru sudah familiar dari contoh persamaan biquadratic. Terdiri dari fakta bahwa untuk menyelesaikan persamaan f (x) \u003d 0, variabel baru (substitusi) t \u003d x n atau t \u003d g (x) diperkenalkan dan f (x) dinyatakan melalui t, memperoleh a persamaan baru r (t). Kemudian selesaikan persamaan r(t), cari akar-akarnya:

(t 1 , t 2 , …, t n). Setelah itu, himpunan n persamaan q(x) = t 1 , q(x) = t 2 , ... , q(x) = t n diperoleh, dari mana akar-akar persamaan asli ditemukan.

Contoh 1

(x 2 + x + 1) 2 - 3x 2 - 3x - 1 = 0.

Larutan:

(x 2 + x + 1) 2 - 3 (x 2 + x) - 1 = 0.

(x 2 + x + 1) 2 - 3 (x 2 + x + 1) + 3 - 1 = 0.

Penggantian (x 2 + x + 1) = t.

t 2 - 3t + 2 = 0.

t 1 \u003d 2, t 2 \u003d 1. Penggantian terbalik:

x 2 + x + 1 = 2 atau x 2 + x + 1 = 1;

x 2 + x - 1 = 0 atau x 2 + x = 0;

Jawaban: Dari persamaan pertama: x 1, 2 = (-1 ± 5) / 2, dari persamaan kedua: 0 dan -1.

2. Faktorisasi dengan metode pengelompokan dan rumus perkalian disingkat

Dasar dari metode ini juga bukan hal baru dan terdiri dari pengelompokan istilah sedemikian rupa sehingga setiap kelompok mengandung faktor persekutuan. Untuk melakukan ini, terkadang Anda harus menggunakan beberapa trik buatan.

Contoh 1

x 4 - 3x 2 + 4x - 3 = 0.

Larutan.

Bayangkan - 3x 2 = -2x 2 - x 2 dan kelompokkan:

(x 4 - 2x 2) - (x 2 - 4x + 3) = 0.

(x 4 - 2x 2 +1 - 1) - (x 2 - 4x + 3 + 1 - 1) = 0.

(x 2 - 1) 2 - 1 - (x - 2) 2 + 1 = 0.

(x 2 - 1) 2 - (x - 2) 2 \u003d 0.

(x 2 - 1 - x + 2) (x 2 - 1 + x - 2) = 0.

(x 2 - x + 1) (x 2 + x - 3) = 0.

x 2 - x + 1 \u003d 0 atau x 2 + x - 3 \u003d 0.

Jawaban: Tidak ada akar dalam persamaan pertama, dari yang kedua: x 1, 2 \u003d (-1 ± 13) / 2.

3. Faktorisasi dengan metode koefisien tak tentu

Inti dari metode ini adalah bahwa polinomial asli didekomposisi menjadi faktor-faktor dengan koefisien yang tidak diketahui. Menggunakan properti bahwa polinomial sama jika koefisiennya sama pada pangkat yang sama, koefisien ekspansi yang tidak diketahui ditemukan.

Contoh 1

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = 0.

Larutan.

Sebuah polinomial derajat 3 dapat didekomposisi menjadi produk faktor linier dan kuadrat.

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 \u003d (x - a) (x 2 + bx + c),

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = x 3 + bx 2 + cx - ax 2 - abx - ac,

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 \u003d x 3 + (b - a) x 2 + (cx - ab) x - ac.

Memecahkan sistem:

(b – a = 4,
(c – ab = 5,
(-ac=2,

(a = -1,
(b=3,
(c = 2, mis.

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 \u003d (x + 1) (x 2 + 3x + 2).

Akar persamaan (x + 1) (x 2 + 3x + 2) = 0 mudah ditemukan.

Jawaban 1; -2.

4. Metode pemilihan akar dengan koefisien tertinggi dan bebas

Metode ini didasarkan pada penerapan teorema:

1) Setiap akar bilangan bulat dari polinomial dengan koefisien bilangan bulat adalah pembagi dari istilah bebas.

2) Agar pecahan tak tereduksi p / q (p adalah bilangan bulat, q natural) menjadi akar persamaan dengan koefisien bilangan bulat, perlu bahwa bilangan p adalah pembagi bilangan bulat dari suku bebas a 0, dan q adalah pembagi alami dari koefisien tertinggi.

Contoh 1

6x 3 + 7x 2 - 9x + 2 = 0.

Larutan:

6: q = 1, 2, 3, 6.

Jadi p/q = ±1, ±2, ±1/2, ±1/3, ±2/3, ±1/6.

Setelah menemukan satu akar, misalnya - 2, kami akan menemukan akar lain menggunakan pembagian dengan sudut, metode koefisien tak tentu atau skema Horner.

Jawaban: -2; 1/2; 1/3.

Apakah Anda memiliki pertanyaan? Tidak tahu cara menyelesaikan persamaan?
Untuk mendapatkan bantuan dari tutor -.
Pelajaran pertama gratis!

blog.site, dengan penyalinan materi secara penuh atau sebagian, diperlukan tautan ke sumbernya.