novel Sargsyan

Pekerjaan penelitian “Memotong masalah” diselesaikan oleh siswa kelas 8

Siswa diperkenalkan dan dieksplorasi teknik pemotongan angka dalam permainan “Pentamino”, “Tangrams”, teka-teki, dan pembuktian teorema.

Unduh:

Pratinjau:

Untuk menggunakan pratinjau presentasi, buat akun Google dan masuk ke akun tersebut: https://accounts.google.com

Keterangan slide:

Pratinjau:

Penelitian bekerja pada topik tersebut

"Memotong masalah"

Dilakukan oleh: Roman Sargsyan, Anastasia Shavrova,

siswa kelas 8

MBOU "Sekolah Menengah Severomuyskaya"

Kepala: guru matematika Ogarkova I.I.

1. Perkenalan
2. Referensi sejarah
3. Permainan "Pentamino"
4. Permainan "Tangram"
5. Masalah "Kue"
6. Tugas No. 4 - “Potong persegi panjang”
7. Tugas No. 5 - “Potong dua kotak”
8. Tugas No. 6 - “Potong dua kotak-2”
9. Masalah #7 – Salib
10. Tugas No. 8 – Silang -2
11. Soal No. 9 - Kotak 8*8
12. Soal No. 10 Luas Jajar Genjang
13. Soal No. 11 Luas trapesium
14. Soal No. 12 Luas segitiga
15. Kesimpulan
16. Literatur.

Perkenalan

“Pemecahan masalah adalah seni praktis

berenang, bermain ski atau bermain piano;

Anda dapat mempelajarinya hanya dengan meniru yang baik

sampel dan terus berlatih"

D.Poya

Ketertarikan pada matematika sering kali dimulai dengan memikirkan masalah yang sangat Anda sukai. Sumber utama masalah tersebut adalah berbagai Olimpiade - sekolah, kota, pembelajaran jarak jauh, internasional. Dalam persiapan untuk Olimpiade, kami melihat banyak tugas yang berbeda dan mengidentifikasi sekelompok masalah yang pendekatan penyelesaiannya tampak menarik dan orisinal bagi kami. Ini adalah tugas pemotongan. Kami memiliki pertanyaan: apa kekhasan masalah tersebut, apakah ada metode dan teknik khusus untuk menyelesaikan masalah pemotongan.

Relevansi (Slide 2)

1. Matematikawan menemukan hubungan baru antara objek matematika. Sebagai hasil dari pekerjaan ini, ditemukan metode umum untuk memecahkan berbagai masalah. Dan permasalahan tersebut mendapat metode penyelesaian yang standar, berpindah dari kategori kreatif ke kategori teknis, yaitu memerlukan penggunaan metode yang sudah diketahui untuk penyelesaiannya.
2. Tugas pemotongan membantu anak sekolah membentuk konsep geometri sedini mungkin dengan menggunakan berbagai bahan. Ketika memecahkan masalah seperti itu, timbul perasaan keindahan, hukum dan ketertiban di alam.

Objek studi: memotong tugas

Subyek studi: berbagai masalah pemotongan, metode dan teknik penyelesaiannya.

Metode penelitian: pemodelan, perbandingan, generalisasi, analogi, studi sumber daya sastra dan internet, analisis dan klasifikasi informasi.

(Slide3) Utamatujuan penelitianadalah untuk memperluas pengetahuan tentang macam-macam tugas pemotongan.

Untuk mencapai tujuan ini, kami membayangkan penyelesaian sebagai berikut tugas: (Slide 4)

1. pilih literatur yang diperlukan
2. belajar memotong bentuk geometris menjadi bagian-bagian yang diperlukan untuk menyusun bentuk geometris tertentu, dengan menggunakan sifat dan karakteristiknya;
3. belajar membuktikan bahwa luas bangun-bangun itu sama besar dengan cara memotongnya menjadi bagian-bagian tertentu dan membuktikan bahwa bangun-bangun tersebut mempunyai susunan yang sama;
4. melakukan penelitian dan desain geometri dalam memecahkan berbagai jenis masalah.
5. pilih bahan untuk penelitian, pilih informasi yang utama, menarik, dan dapat dipahami
6. menganalisis dan mensistematisasikan informasi yang diterima
7. menemukan berbagai metode dan teknik untuk menyelesaikan masalah pemotongan
8. mengklasifikasikan permasalahan yang diteliti
9. temukan cara untuk membentuk kembali: segitiga menjadi jajaran genjang ekuipartit; jajaran genjang menjadi segitiga sama sisi; trapesium menjadi segitiga sama sisi.
10. Buat presentasi elektronik karya Anda

Hipotesa: Mungkin beragamnya soal pemotongan, sifatnya yang “menghibur”, dan kurangnya aturan umum serta metode penyelesaiannya menyebabkan kesulitan bagi anak sekolah dalam mempertimbangkannya. Mari kita asumsikan bahwa dengan pemeriksaan lebih dekat terhadap tugas pemotongan, kita akan yakin akan relevansi, orisinalitas, dan kegunaannya.

Saat menyelesaikan soal pemotongan, kita tidak memerlukan pengetahuan dasar-dasar planimetri, tetapi kita memerlukan kecerdikan, imajinasi geometri, dan informasi geometri yang cukup sederhana yang diketahui semua orang.

(Slide 5) Latar belakang sejarah

Masalah pemotongan, sebagai salah satu jenis teka-teki, telah menarik perhatian sejak zaman kuno. Risalah pertama yang membahas tentang masalah pemotongan ditulis oleh astronom dan matematikawan Arab terkenal dari Khorasan, Abu al-Wefa (940 – 998 M). Pada awal abad ke-20, berkat pesatnya pertumbuhan majalah, pemecahan masalah pemotongan gambar menjadi sejumlah bagian tertentu dan kemudian menyusunnya menjadi gambar baru menarik perhatian sebagai sarana untuk menghibur sebagian besar masyarakat. Sekarang para ahli geometri telah menangani masalah ini dengan serius, terutama karena masalah ini didasarkan pada masalah kuno tentang bangun-bangun yang berukuran sama dan tersusun sama, yang sudah ada sejak zaman para ahli geometri kuno. Spesialis terkenal dalam cabang geometri ini adalah pembuat geometri dan teka-teki klasik terkenal Henry E. Dudeney dan Harry Lindgren.

Ensiklopedia untuk memecahkan berbagai masalah pemotongan adalah buku “Cutting Geometry” oleh Harry Lindgren. Dalam buku ini Anda dapat menemukan catatan untuk memotong poligon menjadi bentuk tertentu

Saat mempertimbangkan solusi untuk masalah pemotongan, Anda memahami bahwa tidak ada algoritma atau metode universal. Terkadang seorang ahli geometri pemula dapat secara signifikan melampaui orang yang lebih berpengalaman dalam penyelesaiannya. Kesederhanaan dan aksesibilitas inilah yang menjadi dasar popularitas game yang didasarkan pada penyelesaian masalah seperti itu, misalnya- (Slide 6) pentomino"kerabat" Tetris, tangram.

(Slide7) Permainan “Pentamino” Aturan mainnya

Inti dari permainan ini adalah membuat berbagai siluet objek di sebuah pesawat. Permainan ini melibatkan penambahan potongan berbeda dari satu set pentomino tertentu. Set pentomino berisi 12 gambar, yang masing-masing terdiri dari lima kotak identik, dan kotak-kotak tersebut “berdekatan” satu sama lain hanya pada sisi-sisinya.

Permainan "Tangram" (Slide 8)

Dalam permainan tangram, sejumlah besar figur dapat dibentuk dari tujuh elemen dasar.Semua bangun datar yang dirangkai harus mempunyai luas yang sama, karena dirakit dari elemen yang identik. Oleh karena itu:

1. Setiap figur yang dirangkai tentunya harus mencakup ketujuh elemen tersebut.
2. Saat menyusun suatu gambar, elemen-elemennya tidak boleh saling tumpang tindih, mis. ditempatkan hanya pada satu bidang.
3. Unsur-unsur gambar harus berdekatan satu sama lain.

Tugas

Dalam permainan tangram terdapat 3 kategori tugas utama:

1. Menemukan satu atau lebih cara untuk membangun suatu bangun datar atau bukti elegan tentang ketidakmungkinan membangun suatu bangun.
2. Menemukan cara untuk menggambarkan siluet hewan, manusia, dan objek lain yang dapat dikenali dengan ekspresi atau humor terbesar (atau keduanya secara bersamaan).
3. Memecahkan berbagai masalah geometri kombinatorial yang timbul sehubungan dengan komposisi bangun ruang dari 7 tan.

Tugas 3 (Slide 9)

Kue , berhiaskan bunga mawar, dibagi menjadi beberapa bagian dengan tiga potongan lurus sehingga setiap bagian berisi tepat satu bunga mawar. Berapa jumlah bunga mawar terbanyak yang dapat ada pada kue tersebut?

Komentar. Pemecahan masalah didasarkan pada penerapan aksioma:“Garis lurus membagi sebuah bidang menjadi dua setengah bidang.”Semua kemungkinan kasus susunan tiga garis lurus harus digambarkan. Dari gambar tersebut terlihat jelas bahwa jumlah bagian terbesar - 7 - diperoleh ketika garis-garis berpotongan berpasangan. Oleh karena itu, tidak boleh ada lebih dari 7 mawar pada kue tersebut.

Tugas 4 (Slide 10)

Potong persegi panjang, ax2a menjadi bagian-bagian sedemikian rupa sehingga darinya dimungkinkan untuk membuat ukuran yang sama dengannya:

1) segitiga siku-siku;

2) persegi.

Solusi untuk masalah ini jelas dari Gambar 2 dan 3.

Tugas 5 (Slide 11)

Potong dua kotak1x1 dan 3x3 menjadi beberapa bagian sehingga dapat digunakan untuk membuat persegi yang berukuran sama.

Komentar. Tugasnya adalah membentuk kembali bangun datar yang terdiri dari dua buah persegi menjadi persegi yang berukuran sama. Luas persegi yang baru adalah 3 2 +1 2 , artinya sisi-sisi suatu persegi sama dengan jumlah persegi-persegi tersebut adalah sama, yaitu adalah sisi miring dari sebuah persegi panjang dengan kaki 3 dan 1. Konstruksi persegi tersebut jelas dari Gambar 4

Tugas 6 (Slide 12)

Potong dua kotak acakmenjadi beberapa bagian sehingga dapat digunakan untuk membentuk persegi dengan ukuran yang sama.

Penyelesaian permasalahan tersebut terlihat jelas pada Gambar 5. Luas persegi yang baru adalah a 2 + b 2 , artinya sisi-sisi suatu persegi sama dengan jumlah persegi-persegi tersebut

yaitu, ini adalah sisi miring dari segitiga siku-siku dengan kaki a dan b.

Tugas 7 (Slide 13)

Menyeberang terdiri dari lima kotak: satu kotak di tengah, dan empat lainnya berdekatan di sisinya. Potong-potong sehingga Anda bisa membuat persegi dengan ukuran yang sama.

Solusi untuk masalah ini jelas dari Gambar 6.

Tugas 8 (Slide 14)

Menyeberang terdiri dari lima kotak: satu kotak di tengah, dan empat lainnya berdekatan di sisinya. Cara menutupi permukaan kulit pohon dengan enam buah salib yang masing-masing mukanya sama besarnya dengan salib.

Komentar. Salib ditumpangkan di tepinya (Gbr. 7), tidak perlu memotong dan merekatkan kembali "telinga yang menonjol" - mereka pindah ke tepi yang berdekatan dan berakhir di tempat yang tepat. Dengan melilitkan “telinga yang menonjol” ke permukaan yang berdekatan, Anda dapat menutupi permukaan kubus dengan enam salib (Gbr. 8).

Tugas 9 (Slide 15)

Persegi 8x8 dipotong menjadi empat bagian, seperti yang ditunjukkan pada Gambar 9. Dari bagian yang dihasilkan dibuat persegi panjang berukuran 13x5. Luas sebuah persegi panjang adalah 65 dan luas persegi adalah 64. Jelaskan dimana letak kesalahannya.

Pidato pembukaan guru:

Sedikit latar belakang sejarah: Banyak ilmuwan yang tertarik untuk memecahkan masalah sejak zaman kuno. Solusi untuk banyak masalah pemotongan sederhana ditemukan oleh orang Yunani dan Cina kuno, namun risalah sistematis pertama tentang topik ini ditulis oleh Abul-Vef. Geometer mulai secara serius memecahkan masalah pemotongan angka menjadi beberapa bagian terkecil dan kemudian membuat angka lain pada awal abad ke-20. Salah satu pendiri bagian ini adalah pendiri teka-teki terkenal Henry E. Dudeney.

Saat ini, pecinta teka-teki sangat tertarik untuk memecahkan masalah pemotongan karena tidak ada metode universal untuk memecahkan masalah tersebut, dan setiap orang yang mencoba menyelesaikannya dapat sepenuhnya menunjukkan kecerdikan, intuisi, dan kemampuan berpikir kreatif mereka. (Selama pelajaran, kami hanya akan menunjukkan satu dari kemungkinan contoh pemotongan. Dapat diasumsikan bahwa siswa mungkin akan mendapatkan kombinasi lain yang benar - tidak perlu takut akan hal ini).

Pembelajaran ini hendaknya dilakukan dalam bentuk pembelajaran praktik. Bagilah peserta lingkaran menjadi kelompok-kelompok yang terdiri dari 2-3 orang. Berikan setiap kelompok gambar yang telah disiapkan sebelumnya oleh guru. Siswa memiliki penggaris (dengan pembagian), pensil, dan gunting. Hanya diperbolehkan membuat potongan lurus dengan menggunakan gunting. Setelah memotong gambar menjadi beberapa bagian, Anda perlu membuat gambar lain dari bagian yang sama.

Tugas pemotongan:

1). Coba potong gambar yang ditunjukkan pada gambar menjadi 3 bagian yang bentuknya sama:

Petunjuk: Bentuknya yang kecil sangat mirip dengan huruf T.

2). Sekarang potong gambar ini menjadi 4 bagian yang bentuknya sama:

Petunjuk: Mudah ditebak bahwa gambar kecil akan terdiri dari 3 sel, tetapi tidak banyak gambar yang memiliki tiga sel. Hanya ada dua jenis: sudut dan persegi panjang.

3). Bagilah gambar menjadi dua bagian yang sama, dan gunakan bagian yang dihasilkan untuk membentuk papan catur.

Petunjuk: Sarankan untuk memulai tugas dari bagian kedua, seperti mendapatkan papan catur. Ingat bentuk papan catur (persegi). Hitung jumlah sel yang tersedia panjang dan lebarnya. (Ingat bahwa harus ada 8 sel).

4). Cobalah memotong keju menjadi delapan bagian yang sama dengan tiga gerakan pisau.

Tip: coba potong keju memanjang.

Tugas untuk solusi mandiri:

1). Gunting selembar kertas dan lakukan hal berikut:

· potong menjadi 4 bagian yang dapat digunakan untuk membuat dua kotak yang sama kecilnya.

· potong menjadi lima bagian - empat segitiga sama kaki dan satu persegi - dan lipat sehingga diperoleh tiga kotak.

, Kompetisi "Presentasi untuk pelajaran"

Presentasi untuk pelajaran

Mundur ke depan

Perhatian! Pratinjau slide hanya untuk tujuan informasi dan mungkin tidak mewakili semua fitur presentasi. Jika Anda tertarik dengan karya ini, silakan unduh versi lengkapnya.

Pengalaman menunjukkan bahwa ketika menggunakan metode pengajaran praktis, dimungkinkan untuk membentuk dalam diri siswa sejumlah teknik mental yang diperlukan untuk mengidentifikasi dengan benar ciri-ciri esensial dan non-esensial ketika membiasakan diri dengan bangun-bangun geometris. intuisi matematika, pemikiran logis dan abstrak berkembang, budaya bicara matematika terbentuk, kemampuan matematika dan desain dikembangkan, aktivitas kognitif meningkat, minat kognitif terbentuk, potensi intelektual dan kreatif berkembang.Artikel ini memberikan sejumlah tugas praktis pemotongan geometris bentuk menjadi potongan-potongan untuk menyusun bagian-bagian ini membuat gambar baru. Siswa mengerjakan tugas secara berkelompok. Setiap kelompok kemudian mempertahankan proyeknya.

Dua bangun datar disebut tersusun sama jika, dengan memotong salah satunya dengan cara tertentu menjadi sejumlah bagian yang berhingga, dimungkinkan (dengan menyusun bagian-bagian tersebut secara berbeda) untuk membentuk bangun kedua dari bangun tersebut. Jadi, metode partisi didasarkan pada fakta bahwa dua poligon yang tersusun sama memiliki ukuran yang sama. Wajar jika mengajukan pertanyaan sebaliknya: apakah ada dua poligon yang mempunyai luas yang sama dan berukuran sama? Jawaban atas pertanyaan ini diberikan (hampir bersamaan) oleh ahli matematika Hongaria Farkas Bolyai (1832) dan perwira Jerman dan penggila matematika Gerwin (1833): dua poligon yang mempunyai luas yang sama mempunyai perbandingan yang sama.

Teorema Bolyai-Gerwin menyatakan bahwa setiap poligon dapat dipotong-potong sehingga potongan-potongan tersebut dapat dibentuk menjadi persegi.

Latihan 1.

Potong persegi panjang A X 2a menjadi beberapa bagian sehingga dapat dibuat menjadi persegi.

Kita potong persegi panjang ABCD menjadi tiga bagian sepanjang garis MD dan MC (M adalah titik tengah AB)

Gambar 1

Segitiga AMD kita pindahkan sehingga titik sudut M berimpit dengan titik sudut C, kaki AM berpindah ke ruas DC. Kita gerakkan segitiga MVS ke kiri dan ke bawah sehingga kaki MV tumpang tindih dengan separuh ruas DC. (Gambar 1)

Tugas 2.

Potong segitiga sama sisi menjadi beberapa bagian agar bisa dilipat menjadi persegi.

Mari kita nyatakan segitiga beraturan ABC ini. Segitiga ABC perlu dipotong menjadi poligon agar dapat dilipat menjadi persegi. Maka poligon ini harus memiliki setidaknya satu sudut siku-siku.

Misalkan K titik tengah CB, T titik tengah AB, pilihlah titik M dan E pada sisi AC sehingga ME=AT=TV=BK=SC= A, AM=EC= A/2.

Gambar 2

Mari kita gambar ruas MK dan ruas EP dan TN tegak lurus padanya. Mari kita potong segitiga menjadi beberapa bagian di sepanjang garis yang dibuat. Kita memutar segi empat KRES searah jarum jam relatif terhadap titik sudut K sehingga SC sejajar dengan ruas KV. Mari kita putar segi empat AMNT searah jarum jam relatif terhadap titik sudut T sehingga AT sejajar dengan TV. Mari kita pindahkan segitiga MEP sehingga hasilnya berbentuk persegi. (Gambar 2)

Tugas 3.

Potong persegi menjadi beberapa bagian sehingga dapat dilipat dua persegi.

Mari kita nyatakan persegi asli ABCD. Mari kita tandai titik tengah sisi-sisi persegi - titik M, N, K, H. Mari kita menggambar segmen MT, HE, KF dan NP - masing-masing bagian dari segmen MC, HB, KA dan ND.

Dengan memotong persegi ABCD sepanjang garis yang ditarik, kita memperoleh persegi PTEF dan empat segiempat MDHT, HCKE, KBNF dan NAMP.

Gambar 3

PTEF adalah kotak yang sudah jadi. Dari segi empat yang tersisa kita akan membentuk persegi kedua. Simpul A, B, C dan D kompatibel pada satu titik, segmen AM dan BC, MD dan KS, BN dan CH, DH dan AN kompatibel. Titik P, T, E dan F akan menjadi titik sudut persegi baru. (Gambar 3)

Tugas 4.

Segitiga sama sisi dan persegi dipotong dari kertas tebal. Potong gambar-gambar ini menjadi poligon sehingga dapat dilipat menjadi satu persegi, dan bagian-bagiannya harus memenuhi penuh dan tidak berpotongan.

Potong segitiga menjadi beberapa bagian dan buatlah persegi seperti yang ditunjukkan pada tugas 2. Panjang sisi segitiga – 2a. Sekarang Anda harus membagi persegi menjadi poligon sehingga dari bagian-bagian ini dan persegi yang keluar dari segitiga, Anda membuat persegi baru. Ambil persegi dengan sisi 2 A, mari kita nyatakan itu LRSD. Mari kita menggambar segmen UG dan VF yang saling tegak lurus sehingga DU=SF=RG=LV. Mari kita potong persegi menjadi segi empat.

Gambar 4

Mari kita ambil persegi yang terdiri dari bagian-bagian segitiga. Mari kita gambarkan segi empat – bagian persegi, seperti yang ditunjukkan pada Gambar 4.

Tugas 5.

Salib terdiri dari lima kotak: satu kotak di tengah, dan empat lainnya berdekatan di sisinya. Potong menjadi beberapa bagian sehingga Anda bisa membuat persegi.

Mari kita hubungkan titik-titik sudut persegi seperti yang ditunjukkan pada Gambar 5. Potong segitiga “luar” dan pindahkan ke ruang kosong di dalam persegi ABC.

Gambar 5

Tugas 6.

Gambar ulang dua kotak sembarang menjadi satu.

Gambar 6 menunjukkan cara memotong dan memindahkan potongan persegi.

Serangkaian kelas pilihan dengan topik “Memecahkan masalah pemotongan”

Catatan penjelasan

Dasar sasaran yang kami tempatkan pada kelas pilihan adalah sebagai berikut:

Mempresentasikan materi tentang jenis-jenis pemotongan poligon;

Untuk mempromosikan pembentukan keterampilan pada siswa untuk melakukan transformasi mental seperti:

• transfer paralel,

  berbelok,

  simetri pusat dan berbagai komposisi transformasi ini.

DAN tujuan utama dari semua kelas: mencapai perubahan positif dalam kemampuan berpikir spasial.

Tugas-tugas yang ditawarkan di kelas pilihan bersifat kreatif, penyelesaiannya mengharuskan siswa untuk: keterampilan:

kemampuan untuk melakukan transformasi mental yang mengubah lokasi gambaran yang ada dalam pikiran siswa, strukturnya, strukturnya;

kemampuan untuk mengubah gambar baik lokasi maupun strukturnya secara bersamaan dan berulang kali melakukan komposisi operasi individu.

Perencanaan tematik:

1. Kuesioner No. 1 – 1 jam.

2. Masalah pemotongan. Pemotongan tipe R – 1 jam.

3. Pemotongan tipe P – 1 jam.

4. Pemotongan tipe Q – 1 jam.

5. Pemotongan tipe S – 1 jam.

6. Pemotongan tipe T – 1 jam.

7. Kuesioner No. 2 – 1 jam.

Saat menyusun serangkaian kelas pilihan, masalah dari majalah “Kvant”, “Mathematics at School” dan buku karya G. Lindgren digunakan.

Pedoman: Saat mengenalkan siswa pada masalah, kami menyarankan untuk mempertimbangkan masalah ini secara tepat sesuai dengan jenis pemotongan yang diusulkan oleh G. Lindgren, yang memungkinkan, di satu sisi, untuk mengklasifikasikan masalah ini, di sisi lain, di dalam kelas untuk memecahkan masalah yang melibatkan spasial. transformasi berbagai tingkat kompleksitas (tipe kedua dan ketiga beroperasi dengan gambar, menurut I.S. Yakimanskaya). Kami merekomendasikan penggunaan tugas kelas pilihan saat menangani siswa di kelas 7–9.

Pelajaran No.1

Topik: Masalah pemotongan. Pemotongan tipe R (pemotongan rasional).

Target: Memperkenalkan siswa pada konsep masalah pemotongan, menjelaskan hakikat pemotongan tipe R, menganalisis penyelesaian masalah pemotongan jenis ini, dalam proses penyelesaian masalah, mendorong pembentukan keterampilan mental melakukan operasi (memotong, menambah, memotong ulang, memutar, memindahkan secara paralel), sehingga mendorong pengembangan pemikiran spasial.

Peralatan: kertas, pasta berwarna, gunting, poster.

Metode: penjelasan - ilustratif.

Guru: poster di papan:

Skema: Masalah pemotongan

Masalah pemotongan

1) Potong gambar menjadi beberapa gambar

3) Membentuk kembali satu atau lebih bentuk menjadi bentuk lain

2) Lipatlah sebuah gambar dari gambar-gambar yang diberikan

Di antara semua masalah pemotongan, sebagian besar merupakan masalah pemotongan rasional. Hal ini disebabkan oleh fakta bahwa potongan seperti itu mudah dibuat dan teka-teki berdasarkan potongan tersebut tidak terlalu sederhana dan tidak terlalu rumit.

Masalah di R - pemotongan

1) Potonglah gambar tersebut menjadi beberapa gambar (yang sebagian besar sama).

3) Membentuk kembali satu atau lebih bentuk menjadi bentuk tertentu

2) Tambahkan angka dari angka-angka yang diberikan (kebanyakan sama).

3.1. Menggunakan pemotongan langkah

3.2. Tanpa menggunakan pemotongan langkah

Mari kita berkenalan dengan penyelesaian masalah untuk setiap jenis pemotongan R.

Tahap II: Tahap pemecahan masalah

Metode: pencarian parsial

Tugas No.1(AII) : Potonglah sebuah persegi dengan sisi empat persegi menjadi dua bagian yang sama besar. Temukan sebanyak mungkin cara untuk memotong.

Catatan: Anda hanya dapat memotong sepanjang sisi sel.

Larutan:

Siswa mencari potongan tersebut di buku catatannya, kemudian guru merangkum semua metode pemotongan yang ditemukan siswa.

Masalah No.2(AII) : Potong bentuk-bentuk ini menjadi dua bagian yang sama.

Catatan: Anda tidak hanya dapat memotong sepanjang sisi sel, tetapi juga secara diagonal.

Siswa mencari potongan tersebut di buku catatan mereka dengan bantuan guru.

Alun-alun ini memiliki banyak properti indah. Sudut siku-siku, sisi-sisi yang sama, simetri memberikan kesederhanaan dan kesempurnaan bentuk. Ada banyak teka-teki melipat kotak dari bagian-bagian yang bentuknya sama dan berbeda.

KE contoh tugas nomor 3(BII) : Anda diberikan empat bagian yang identik. Buatlah persegi secara mental, gunakan keempat bagian setiap kali. Lakukan semua tes di atas kertas. Sajikan hasil penyelesaian Anda dalam bentuk gambar yang digambar tangan.

Larutan:

Papan catur yang dipotong-potong dan harus dilipat dengan benar merupakan salah satu teka-teki yang populer dan terkenal. Kompleksitas perakitan tergantung pada berapa banyak bagian papan yang dibagi.

Saya mengusulkan tugas berikut:

Soal No.4(BII) : Rakitlah papan catur dari bagian-bagian yang ditunjukkan pada gambar.

Larutan:

Masalah #5(VII) : Potong “Perahu” menjadi dua bagian sehingga Anda bisa melipatnya menjadi persegi.

Larutan:

1) potong menjadi dua bagian seperti pada gambar

balikkan salah satu bagian (yaitu memutar)

Soal No.6(VII): Salah satu dari tiga gambar tersebut dapat dipotong menjadi dua bagian, sehingga mudah untuk melipat persegi. Temukan potongan seperti itu.

A) B)

V)

Larutan:

transfer paralel bagian 1 relatif terhadap bagian 2

rotasi bagian 1 relatif terhadap bagian 2

) B) V)

Soal No.7(VII): Sebuah persegi panjang dengan sisi 4 dan 9 satuan dipotong menjadi dua bagian yang sama besar, yang bila dilipat dengan benar akan diperoleh persegi.

potongannya dibuat dalam bentuk anak tangga yang tinggi dan lebarnya sama;

gambar tersebut dibagi menjadi beberapa bagian dan satu bagian dipindahkan satu (atau beberapa) langkah, menempatkannya pada bagian lain.

Larutan:

transfer paralel bagian 1

Soal No.9(VII): Setelah gambar pada gambar dipotong menjadi dua bagian, lipatlah menjadi persegi sehingga persegi yang berwarna simetris terhadap semua sumbu simetri persegi.

Larutan:

transfer paralel bagian 1

Soal No.9(ВIII): Bagaimana cara memotong dua buah persegi berukuran 3 x 3 dan 4 x 4 agar bagian-bagiannya dapat dilipat menjadi satu persegi? Temukan beberapa cara. Cobalah bertahan dengan bagian sesedikit mungkin.

Larutan:

transfer bagian secara paralel

Jalan:

Jalan:

terjemahan paralel dan rotasi

jalan:

4 cara:

transfer paralel dan rotasi bagian

Siswa, dengan bantuan guru, mencari potongan.

Soal No.10(AIII): Gambar yang ditunjukkan pada gambar harus dibagi menjadi 6 bagian yang sama, dengan membuat potongan hanya sepanjang garis kisi. Dalam berapa cara Anda dapat melakukan hal ini?

Larutan: Dua solusi yang mungkin.

Soal No.11(BII): Bangunlah papan catur dari bidak-bidak yang diberikan.

Larutan:

Soal No.12(BIII): Ubah persegi panjang 3 x 5 menjadi persegi panjang 5 x 3 tanpa memutar bagian-bagian yang bersesuaian.

Catatan: Gunakan pemotongan bertahap.

Larutan:(transfer paralel)

Soal No.13(BIII): Potong bentuk menjadi 2 bagian dengan satu potong membentuk persegi 8 x 8.

Larutan:

rotasi bagian 2 relatif terhadap bagian 1

Pedoman: Masalah pemotongan tipe R adalah salah satu yang paling mudah dan menarik. Banyak permasalahan untuk jenis pemotongan ini melibatkan beberapa metode penyelesaian, dan penyelesaian mandiri siswa terhadap permasalahan ini dapat membantu mengidentifikasi semua metode penyelesaian. Tugas 1, 2, 3, 6, 7, 8, 10, 12, 13 melibatkan siswa bekerja dengan gambar gambar, melalui transformasi mental (“memotong”, menambahkan, memutar, memindahkan paralel). Soal 4, 5, 9, 11 melibatkan siswa mengerjakan model (terbuat dari kertas), dengan cara memotong langsung bangun tersebut dengan gunting dan melakukan transformasi matematis (rotasi, translasi paralel) untuk mencari solusi dari soal. Tugas 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 11, 13 - untuk jenis operasi kedua dengan gambar, tugas 9, 10, 12 - untuk jenis operasi ketiga dengan gambar.

Pelajaran No.2

Topik: Pemotongan tipe P (pergeseran jajar genjang P).

Target: Menjelaskan esensi pemotongan tipe P, dalam proses menganalisis pemecahan masalah untuk jenis pemotongan ini, sekaligus mendorong pembentukan keterampilan untuk melakukan operasi secara mental (memotong, menambah, memotong ulang, memindahkan paralel), sehingga mendorong pengembangan pemikiran spasial.

Peralatan:

Tahap I: Tahap berorientasi

Metode: presentasi yang bermasalah.

Guru mengajukan masalah (memecahkan masalah No. 1) dan menunjukkan solusinya.

Tugas No.1(BIII): Ubahlah jajar genjang yang panjang sisinya 3 dan 5 cm menjadi jajar genjang baru yang sudutnya sama dengan jajar genjang semula yang salah satu sisinya 4 cm.

Larutan: 1)

4)

ABC D – jajaran genjang

AB = 3, SEBUAH D=5

potong AO VO = D K = 4;

pindahkan bagian 1 ke atas (terjemahan paralel) ke kanan sepanjang garis potong sampai titik O jatuh pada kelanjutan sisi DC;

potong KA' sehingga KA' || DC;

dan Δ AA'K kita masukkan ke dalam ceruk yang terletak di bawah titik O (perpindahan paralel Δ AA'K sepanjang garis lurus AO).

KVO D adalah jajar genjang yang diinginkan (КD = 4)

KDO=  A.D.C.  BURUK =  1 +  4,

1 =  2 dan  4 =  3 – terletak melintang pada garis sejajar.

Oleh karena itu,  BURUK =  2 + 3 =  Dewan Komisaris =  BKD,  BURUK =  BKD, dst.

kamu

Masalah pada shift P

Bentuk ulang satu atau lebih bentuk menjadi bentuk lain

pembaca:

Inti dari pemotongan tipe P:

kami membuat bagian dari gambar ini yang memenuhi persyaratan tugas;

kita melakukan perpindahan paralel bagian yang dipotong sepanjang garis potongan sampai bagian atas bagian yang dipotong bertepatan dengan kelanjutan sisi lain dari gambar aslinya (jajar genjang);

buat potongan kedua sejajar dengan sisi jajar genjang, kita dapatkan bagian lainnya;

Kami melakukan perpindahan paralel dari bagian yang baru dipotong di sepanjang garis potongan pertama sampai simpul-simpulnya bertepatan (kami memasukkan bagian itu ke dalam ceruk).

Tahap II: Tahap pemecahan masalah

Metode: penjelasan - ilustratif

Masalah No.2(BII): Ubah persegi 5 x 5 menjadi persegi panjang dengan lebar 3.

Larutan:

1) 2) – 3) 4)

bagian AO / VO = D T = 3

perpindahan paralel ΔABO sepanjang garis lurus AO sampai titik O  (DC)

potong TA' / TA' || CD

Δ AA 'T dengan perpindahan paralel sepanjang garis lurus AO.

TBOD adalah persegi panjang yang diinginkan (TB = 3).

Soal No.3(VIII): Lipat tiga kotak identik menjadi satu kotak besar.

Catatan: Lipat tiga kotak menjadi persegi panjang lalu terapkan pergeseran P.

Larutan:

S pr = 1,5 * 4,5 = 6,75

kv = 6,75 =

1) 2) – 3)

4)

Soal No.4(BIII): Potong persegi panjang berukuran 5 x 1 menjadi persegi

Catatan: buat sayatan AB (A W =
), terapkan pergeseran P pada persegi panjang XYWA.

Larutan:

1)

2) – 3) 4) 5)

Soal No.5(ВIII): Ubah Н Rusia menjadi persegi.

Catatan: buat potongan seperti terlihat pada gambar, lipat bagian yang dihasilkan menjadi persegi panjang.

Larutan:

Soal No.6(BIII): Ubahlah segitiga menjadi trapesium.

Catatan: Buat potongan seperti pada gambar.

Larutan:

putar bagian 1;

bagian AB;

ΔАВС perpindahan paralel sepanjang AB sampai titik B  (FM)

potong ATAU / ATAU || FM;

ΔAOR dengan transpor paralel sepanjang AB. Titik P berimpit dengan titik B;

OFBC adalah trapesium yang diinginkan.

Soal No.7(ВIII): Buatlah satu kotak dari tiga salib Yunani yang sama besar.

Larutan:

Soal No.8(BIII): Ubah huruf T menjadi persegi.

Catatan: Pertama, potong persegi panjang dari huruf t.

Larutan: S t = 6 (satuan 2), Skv = (
) 2

berbelok

komposisi tanda hubung paralel

MV = KS =

Soal No.9(VIII): Gambar ulang bendera yang ditunjukkan pada gambar menjadi persegi.

Catatan: Pertama ubah bendera menjadi persegi panjang

Larutan:

berbelok

S fl = 6,75 AB = C D =
Skv = (
) 2

transfer paralel

Pedoman: Saat memperkenalkan siswa pada masalah pemotongan tipe P, kami menyarankan agar mereka menyajikan inti dari jenis pemotongan ini ketika memecahkan masalah tertentu. Sebaiknya selesaikan masalah terlebih dahulu pada model (terbuat dari kertas), dengan langsung memotong gambar dengan gunting dan melakukan transfer paralel, kemudian, dalam proses penyelesaian masalah, dari model gambar hingga beralih ke mengerjakan gambar bentuk geometris, dengan melakukan transformasi mental (pemotongan, transfer paralel).

Pelajaran No.3

Topik: Pemotongan tipe Q (Q adalah pergeseran segi empat).

Target: Mari kita uraikan inti dari pemotongan tipe Q, dalam proses penyelesaian masalah untuk jenis pemotongan ini, sambil mempromosikan pembentukan keterampilan untuk melakukan operasi secara mental (pemotongan, penambahan, simetri pusat, rotasi, transfer paralel), sehingga mempromosikan pengembangan pemikiran spasial.

Peralatan: kertas, pasta berwarna, gunting.

Tahap I: Tahap berorientasi

Metode: presentasi yang bermasalah.

Guru mengajukan masalah kepada siswa (memecahkan masalah No. 1) dan menunjukkan solusinya.

Tugas No.1(BIII): Ubah segi empat ini menjadi segi empat baru.

Larutan:

kita potong HPnya sehingga VN = MN, PF = DF;

potong AKU / AKU || Matahari;

potong RT/RT || IKLAN;

Δ 3 dan Δ 1 diputar searah jarum jam relatif terhadap bagian 2;

Bagian 1 dengan perpindahan paralel sepanjang garis lurus HF sampai titik T  AR;

AMCP adalah segiempat wajib (dengan sisi CP dan AM (dapat ditentukan dalam kondisi)).

Masalah No.2(BIII): Mengubah segi empat menjadi segi empat baru (segi empat panjang).

Larutan:

(putar bagian 1 relatif terhadap titik O hingga OU bertepatan dengan AO);

(memutar bagian (1 – 2) relatif terhadap titik T hingga VT berimpit dengan WT);

XAZW adalah segi empat yang diperlukan.

Dalam soal yang menggunakan pemotongan Q, pemotongan dibuat dan potongan-potongan tersebut mengalami transformasi rotasi.

Tugas untuk pemotongan Q

mengubah bentuk tertentu (segi empat) menjadi bentuk lain (segi empat)

Dalam banyak soal, elemen pergeseran Q digunakan untuk mengubah segitiga menjadi segi empat atau sebaliknya (segitiga sebagai "segi empat" yang salah satu sisinya panjangnya nol).

Tahap II: Tahap pemecahan masalah

Soal No.3(VII): Sebuah segitiga kecil dipotong dari segitiga tersebut, seperti terlihat pada gambar. Susun kembali segitiga kecil tersebut menjadi jajar genjang.

Putar bagian 1 relatif terhadap titik P hingga KR berimpit dengan MR.

AOO'M adalah jajaran genjang yang diperlukan.

Soal No.4(BII, BIII): Segitiga manakah yang dapat diubah menjadi persegi panjang dengan membuat satu (dua) potongan dan menata ulang bagian-bagian yang dihasilkan?

1) 2) 3) 4)

5)

Larutan:

1)

5)

1), 5) satu potong (potong – garis tengah segitiga)

2)

3)

4)

2), 3), 4) dua potongan (potongan pertama – garis tengah, potongan kedua – tinggi dari titik sudut segitiga).

Soal No.5(VII): Bangun kembali trapesium menjadi segitiga.

Larutan:

bagian KS (AK = KB)

rotasi ΔKVS di sekitar titik K sehingga ruas KV dan KA sejajar.

Δ FCD segitiga yang diinginkan.

Soal No.6(VIII): Bagaimana cara memecah trapesium menjadi bentuk-bentuk yang dapat membuat persegi panjang?

Larutan:

1) Bagian OR (AO = OB, OR┴AD)

2) memotong TF (CT = TD, TF ┴AD)

rotasi bagian 1 relatif terhadap titik O sehingga AO dan BO sejajar.

Putar bagian 2 relatif terhadap titik T sehingga DT dan CT sejajar.

PLMF – persegi panjang.

Tahap III: menetapkan pekerjaan rumah.

Soal No.7(VIII) : mengubah segitiga apa pun menjadi segitiga siku-siku.

Komentar:

1) pertama-tama ubah segitiga sembarang menjadi persegi panjang.

2) persegi panjang menjadi segitiga siku-siku.

Larutan:

berbelok

Soal No.8(VII): Ubah jajar genjang sembarang menjadi segitiga hanya dengan membuat satu potongan.

Larutan:

berbelok

Putar bagian 2 mengelilingi titik O sebesar 180º (pusat simetri)

Pedoman: Ringkasan esensi pemotongan Q yang kami rekomendasikan

melaksanakan dalam proses pemecahan masalah tertentu. Transformasi matematika utama yang digunakan dalam menyelesaikan masalah pemotongan jenis ini adalah: rotasi (khususnya, simetri pusat, translasi paralel). Tugas 1, 2, 7 – untuk tindakan praktis dengan model bentuk geometris; tugas 3, 4, 5, 6, 8 melibatkan pengerjaan dengan gambar bentuk geometris. Tugas 3, 4, 5, 8 – untuk jenis operasi gambar kedua, tugas 1, 2, 4, 6, 7 – untuk jenis operasi gambar ketiga.

Pelajaran No.4.

Topik: Pemotongan tipe S.

Target: Jelaskan inti dari pemotongan tipe S, dalam proses penyelesaian masalah untuk jenis pemotongan ini, sambil mendorong pembentukan keterampilan untuk melakukan operasi secara mental (memotong, menambah, menumpuk, memutar, memindahkan paralel, simetri pusat), sehingga mendorong pengembangan pemikiran spasial.

Peralatan: kertas, pasta berwarna, gunting, kode positif.

SAYA panggung: Tahap berorientasi.

Metode: penjelasan dan ilustratif.

Tugas No.1(VII): bagaimana cara memotong jajar genjang yang panjang sisinya 3,5 cm dan 5 cm menjadi jajar genjang yang panjang sisinya 3,5 cm dan 5,5 cm sehingga hanya dibuat satu kali “potongan”?

Larutan:

1) gambarlah ruas (potong) CO = 5,5 cm, bagi jajar genjang menjadi dua bagian.

2) kita tempelkan segitiga COM pada sisi berlawanan dari jajar genjang AK. (yaitu transfer paralel ∆ COM ke segmen SA ke arah SA).

3) CAOO` adalah jajar genjang yang diinginkan (CO = 5,5 cm, CA = 3,5 cm).

Tugas No.1(VIII): tunjukkan bagaimana cara memotong persegi menjadi 3 bagian sehingga dapat digunakan untuk membuat persegi panjang yang salah satu sisinya dua kali ukuran sisi lainnya.

Larutan:

Buatlah persegi ABCD

mari kita menggambar diagonal AC

Mari kita menggambar setengah diagonal BD segmen OD (OD ┴AC), OD = ½ AC. Bangun persegi panjang dari 3 bagian yang dihasilkan (panjang AC, lebar AD

Untuk ini:

melakukan perpindahan paralel bagian 1 dan 2. bagian 1 (∆1) searah D A, ∆2 arah AB ke ruas AB.

AOO`C adalah persegi panjang yang diinginkan (dengan sisi AC, OA = ½ AC).

Guru: Kita telah melihat solusi dari 2 permasalahan; jenis pemotongan yang digunakan dalam menyelesaikan permasalahan ini secara kiasan disebut pemotongan S.

S -pemotongan pada dasarnya adalah transformasi satu jajar genjang menjadi jajar genjang lainnya.

Inti dari potongan ini berikut ini:

kami membuat potongan yang panjangnya sama dengan sisi jajaran genjang yang diperlukan;

kita melakukan perpindahan paralel dari bagian yang dipotong sampai sisi-sisi yang berlawanan dari jajar genjang bertepatan (yaitu, kita menerapkan bagian yang dipotong ke sisi yang berlawanan dari jajar genjang)

Jumlah pemotongan akan tergantung pada persyaratan tugas.

Mari pertimbangkan tugas-tugas berikut:

Tugas No.3(BII): membagi jajaran genjang menjadi dua bagian yang dapat Anda tambahkan persegi panjang.

Mari kita menggambar jajaran genjang sembarang.

Larutan:

dari titik B, turunkan ketinggian VN (VN┴AD)

Mari kita lakukan perpindahan paralel AVN ke ruas BC searah BC.

Gambarlah gambar persegi panjang yang dihasilkan.

VNRS – persegi panjang.

Tugas No.4(BIII) : Panjang sisi jajar genjang adalah 3 dan 4 cm. Ubah menjadi jajar genjang dengan panjang sisi 3,5 cm dengan membuat dua potongan.

Larutan:

1)

2)

Jajar genjang yang diinginkan.

Secara umum, pemotongan S didasarkan pada metode pelapisan strip, yang memungkinkan pemecahan masalah transformasi poligon apa pun.

Dalam permasalahan di atas, karena kemudahannya, kami membuang metode penerapan garis, meskipun semua solusi ini dapat diperoleh dengan menggunakan metode ini. Namun dalam tugas yang lebih kompleks Anda tidak dapat melakukannya tanpa garis.

Secara singkat metode garis intinya begini:

1) Potong (jika perlu) setiap poligon (poligon yang akan diubah dan poligon yang menjadi tujuan transformasi poligon aslinya) menjadi bagian-bagian yang dapat dilipat menjadi dua strip.

2) Tempatkan strip di atas satu sama lain pada sudut yang sesuai, dengan tepi salah satu strip selalu ditempatkan secara merata terhadap elemen strip lainnya.

3) Dalam hal ini, semua garis yang terletak di bagian umum dari 2 strip akan menunjukkan tempat pemotongan yang diperlukan.

Surat S, digunakan dalam istilah “S-cut”, berasal dari bahasa Inggris Strip – strip.

Tahap II: Tahap pemecahan masalah

Dengan menggunakan contoh soal 3, mari kita verifikasi bahwa metode penerapan garis memberikan solusi yang diinginkan.

Soal No.3(VII): Bagilah jajar genjang menjadi dua bagian yang dapat ditambah persegi panjang.

Larutan:

1)

2)

3)

1) kita mendapatkan strip dari jajaran genjang

2) garis-garis persegi panjang

3) letakkan strip 2 pada strip 1, seperti yang ditunjukkan pada Gambar 3

4) kami memperoleh tugas yang diperlukan.

Soal No.5(BIII): Pada segitiga sama kaki, titik tengah sisi lateral dan proyeksinya ke alasnya ditandai. Dua garis lurus ditarik melalui titik-titik yang ditandai. Tunjukkan bahwa potongan yang dihasilkan dapat digunakan untuk membentuk belah ketupat.

Larutan:

bagian 2, 3 – rotasi di sekitar suatu titik

bagian 4 - transfer paralel

Dalam soal ini, pemotongan segitiga telah ditunjukkan; kita dapat memverifikasi bahwa ini adalah pemotongan S.

Soal No.6(BIII): Ubah tiga salib Yunani menjadi persegi (menggunakan garis).

Larutan:

1)

Kita letakkan selembar bujur sangkar pada potongan salib sehingga titik A dan titik C berada pada tepi potongan salib tersebut.

∆АВН = ∆СD B, jadi persegi terdiri dari ∆АВС dan ∆АВМ.

Tahap III: Menetapkan pekerjaan rumah

Soal No.7(BIII): Ubahlah persegi panjang ini menjadi persegi panjang lain yang sisi-sisinya berbeda dengan sisi-sisi persegi panjang aslinya.

Catatan: Lihatlah solusi masalah 4.

Larutan:

bagian AO (AO – lebar persegi panjang yang dibutuhkan);

potong DP / DP  AO (DP – panjang persegi panjang yang dibutuhkan);

transfer paralel ∆AVO searah pesawat ke segmen pesawat;

transfer paralel ∆АPD ke segmen AO ke arah AO;

PFED membutuhkan persegi panjang.

Soal No.8(BIII): Suatu segitiga beraturan dibagi menjadi beberapa bagian berdasarkan suatu ruas; dari bagian-bagian tersebut dibuatlah persegi.

Catatan: Anda dapat memverifikasi dengan melapisi strip bahwa ini adalah potongan S.

rotasi bagian 2 di sekitar titik O;

rotasi bagian 3 di sekitar titik C;

transfer paralel bagian 4

Tugas tambahan No.9(BII): Potonglah jajar genjang sepanjang garis lurus yang melewati bagian tengahnya, sehingga dua bagian yang dihasilkan dapat dilipat menjadi belah ketupat.

Larutan:

HAI  QT

potongan QT;

bagian 1 dengan transfer paralel ke segmen BC searah BC (CD dan AB digabungkan).

Pedoman: S – pemotongan – salah satu jenis pemotongan yang paling sulit. Kami merekomendasikan agar inti dari pemotongan ini diuraikan dalam tugas-tugas tertentu. Pada kelas penyelesaian soal pemotongan S, sebaiknya gunakan soal yang didalamnya diberikan gambar pemotongan dan perlu dijumlahkan gambar yang diperlukan dari bagian-bagian yang dihasilkan, hal ini disebabkan oleh sulitnya siswa secara mandiri menerapkan metode penerapan strip, yang merupakan inti dari pemotongan S. Pada saat yang sama, pada tugas-tugas yang lebih mudah diakses oleh siswa (misalnya, pada tugas 3, 5, 8), guru dapat menunjukkan bagaimana metode penerapan strip memungkinkan seseorang memperoleh potongan yang diberikan dalam kondisi tugas. Tugas 4, 5, 6, 8, 9 – untuk tindakan praktis dengan model bentuk geometris, tugas 1, 2, 3, 7 – untuk bekerja dengan gambar bentuk geometris. Tugas 1, 3, 9 – untuk jenis operasi gambar kedua, tugas 2, 4, 5, 6, 7, 8 – untuk jenis operasi gambar ketiga.

Pelajaran No.5

Topik: Pemotongan tipe T.

Target: Menjelaskan esensi pemotongan tipe S, dalam proses menganalisis pemecahan masalah untuk jenis pemotongan ini, sekaligus mendorong pembentukan keterampilan untuk melakukan operasi secara mental (memotong, menambah, memutar, transfer paralel), sehingga mendorong pengembangan dari pemikiran spasial.

Peralatan: kertas, pasta berwarna, gunting, pasta berwarna, kode positif.

Tahap I: Tahap berorientasi

Metode: penjelasan dan ilustratif

Guru: Penggunaan T-cutting untuk memecahkan masalah melibatkan pembuatan mosaik dan pelapisan berikutnya. Strip yang digunakan dalam pemotongan S dapat diperoleh dari mosaik. Oleh karena itu, metode ubin menggeneralisasi metode strip.

Mari kita pertimbangkan esensi dari T-cutting menggunakan contoh pemecahan masalah.

Tugas No.1(BIII): Ubah salib Yunani menjadi persegi.

1) langkah pertama adalah mengubah poligon asli menjadi elemen mosaik (dan ini perlu);

2) dari elemen-elemen ini kami membuat mosaik No. 1 (kami membuat mosaik dari salib Yunani);

5) semua garis yang terletak di bagian umum kedua mosaik akan menunjukkan tempat pemotongan yang diperlukan.

Tahap II: Tahap pemecahan masalah

Metode: sebagian - cari

Masalah No.2(BIII): Potong salib Yunani menjadi tiga bagian, lipat bagian tersebut menjadi persegi panjang.

Catatan: kami dapat memverifikasi bahwa potongan ini adalah potongan tipe T.

Larutan:

rotasi bagian 1 di sekitar titik O;

putar bagian 2 di sekitar titik A.

Soal No.3(BIII): Potonglah segi empat cembung sepanjang dua garis lurus yang menghubungkan titik tengah sisi-sisi yang berhadapan. Tunjukkan bahwa dari empat buah yang dihasilkan selalu dapat dijumlahkan jajar genjang.

bagian 2 rotasi di sekitar titik O (atau pusat simetri) sebesar 180;

bagian 3 rotasi di sekitar titik C (atau pusat simetri) sebesar 180;

bagian 1 – transfer paralel.

Mari kita tunjukkan mosaik dari mana potongan ini diperoleh.

Soal No.4(BIII): Tiga segitiga identik dipotong sepanjang median yang berbeda. Lipat enam bagian yang dihasilkan menjadi satu segitiga.

Larutan:

1) dari segitiga-segitiga tersebut kita membuat segitiga seperti pada Gambar 1 (simetri pusat);

2) kita membuat segitiga lain dari tiga segitiga baru (sisi-sisi yang sama berhimpitan).

Mari kita tunjukkan bagaimana bagian-bagian ini dibuat menggunakan mosaik.

Soal No.5(BIII): Salib Yunani dipotong-potong, dan dari potongan-potongan ini dibuat segitiga sama kaki siku-siku.

Larutan:

bagian 1 simetri pusat;

bagian 3 simetri pusat;

bagian 3 dan 4 – putar.

Soal No.6(BIII): Potonglah gambar ini menjadi persegi.

Larutan:

bagian 1 rotasi di sekitar titik O;

bagian 3 belokan 90 di sekitar titik A.

Soal No.7(BIII): Potong salib Yunani menjadi jajar genjang (diberikan potongan).

Larutan:

bagian 2 – transfer paralel relatif terhadap bagian 1;

bagian 3 transfer paralel sepanjang garis potong.

Tahap III: Menetapkan pekerjaan rumah.

Soal No.8(BIII): Dua segi empat cembung kertas identik dengan potongan: yang pertama sepanjang salah satu diagonalnya, dan yang kedua sepanjang diagonal lainnya. Buktikan bahwa bagian-bagian yang dihasilkan dapat digunakan untuk membentuk jajar genjang.

Larutan: komposisi belokan.

Soal No.9(BIII): Buatlah persegi dari dua salib Yunani yang identik.

Larutan:

Pedoman: T - pemotongan - jenis pemotongan paling rumit, membentuk potongan tipe S. Kami menyarankan Anda menjelaskan esensi T-cutting dalam proses pemecahan masalah. Karena rumitnya penerapan metode mozaik bagi siswa yang merupakan inti dari pemotongan T, maka di dalam kelas sebaiknya digunakan tugas-tugas yang ditentukan pemotongannya dan diperlukan untuk memperoleh gambar yang diinginkan dari bagian-bagian gambar yang dihasilkan dengan menggunakan transformasi matematika (rotasi, translasi paralel). Sementara itu, pada tugas-tugas yang lebih mudah diakses oleh siswa, guru dapat menunjukkan cara memperoleh data pemotongan dengan menggunakan metode mosaik. Tugas yang diusulkan dalam pelajaran No. 5 adalah untuk jenis operasi gambar ketiga dan melibatkan siswa bekerja dengan model bangun ruang dengan melakukan rotasi dan translasi paralel.

Di depan Anda ada selembar kertas bergambar: a) segitiga, b) bintang berujung lima, c) poligon berbentuk angsa berenang. Dalam setiap kasus datang dengan, caranya melipat kertas sehingga bentuknya sesuai, kemudian dapat dipotong lurus terus menerus dengan gunting.

Petunjuk

Dalam semua kasus, solusinya hampir seluruhnya terdiri dari dua jenis langkah: Anda perlu menjumlahkan beberapa sudut yang terkait dengan gambar di sepanjang garis bagi (untuk "mengurangi" jumlah segmen yang tersisa tidak pada garis yang sama) , atau sepanjang tegak lurus salah satu segmen (untuk “menyesuaikan » panjangnya dengan panjang yang diinginkan).

Larutan

Gambar di bawah ini menunjukkan cara melipat bentuk-bentuk dari rumusan masalah untuk kemudian dipotong masing-masing dengan satu potongan.

Dengan segitiga, semuanya kurang lebih jelas: kita menjumlahkan satu garis bagi, lalu sepanjang garis bagi lainnya (Gbr. 1).

Bintangnya juga cukup mudah untuk ditangani. Pertama, Anda perlu melipatnya menjadi dua di sepanjang sumbu simetri (tindakan yang sepenuhnya alami - karena Anda dapat "membelah dua" gambar dalam satu gerakan). Kemudian - gabungkan kedua sinar bintang satu sama lain, tambahkan sepanjang garis bagi sudut "luarnya". Setelah ini, hanya tersisa tiga segmen dari kontur, yang mudah digabungkan (Gbr. 2).

Angsa adalah hal yang paling sulit. Hal ini dapat dimengerti: bangun datar tanpa simetri, dengan banyak sisi; oleh karena itu, diperlukan lipatan dalam jumlah besar. Diagram untuk melipat ditunjukkan pada Gambar. 3. Garis putus-putus sederhana melambangkan lipatan ke bawah, garis putus-putus melambangkan lipatan ke atas. Pertama, Anda perlu menandai lipatan-lipatan ini secara terpisah agar lembarannya berbentuk atap rumah, baru kemudian lipat lembaran itu menjadi bentuk datar.

Serangkaian foto menunjukkan keseluruhan proses pelipatan:

Baca tentang dari mana sistem lipatan yang cerdik ini berasal di kata penutup.

Kata penutup

Semua opsi yang diusulkan dalam kondisi ini hanyalah kasus khusus dari pertanyaan umum, yang berbunyi seperti ini:

Diberikan sebuah poligon pada selembar kertas datar, apakah lembaran tersebut dapat dilipat sehingga poligon tersebut dapat dipotong dengan sekali potong lurus?

Ternyata, apapun bentuk poligonnya, jawaban atas pertanyaan ini selalu positif: ya, bisa. (Tentu saja, kita sekarang membahas masalah ini dari sudut pandang matematika dan tidak menyentuh sisi “fisik” dari masalah ini: tidak mungkin melipat selembar kertas terlalu banyak. Hal ini diyakini sebagai hal yang benar. tidak mungkin melipat kertas yang sangat tipis sekalipun lebih dari 7-8 kali. Hal ini hampir terjadi: dengan sedikit usaha, Anda dapat membuat 12 lipatan, tetapi kecil kemungkinannya Anda dapat melipat lebih banyak.)

Apalagi jika digambar beberapa poligon, maka lembaran tersebut masih dapat dilipat sehingga semuanya dapat dipotong dengan sekali potong (dan tidak ada tambahan yang terpotong). Intinya adalah hal berikut ini benar dalil:

Biarkan grafik sembarang digambar di selembar kertas. Kemudian lembaran ini dapat dilipat sehingga grafik ini dapat dipotong dengan sekali potong, dan tidak ada kelebihan yang terpotong.

Teorema ini memiliki bukti algoritmik. Artinya, pembuktiannya memberikan resep yang jelas tentang bagaimana membangun sistem lipatan yang diperlukan.

Secara singkat intinya adalah ini. Pertama kita harus membangun kerangka lurus. Ini adalah sekumpulan garis - lintasan simpul poligon asli - yang sepanjang garis tersebut bergerak selama kompresi khususnya. Cara kerja kompresi seperti ini: kita menggerakkan sisi-sisi poligon “ke dalam” dengan kecepatan konstan, sehingga setiap sisi bergerak tanpa mengubah arahnya. Seperti yang dapat Anda lihat dengan mudah, mula-mula simpul akan merayap di sepanjang garis bagi sudut poligon. Artinya, konstruksi aneh ini pada pandangan pertama hanya menggeneralisasi gagasan yang diajukan dalam petunjuk: bahwa Anda harus mencoba menjumlahkan sepanjang garis bagi sudut-sudut poligon. Perhatikan bahwa selama proses kompresi, poligon dapat “berantakan” menjadi beberapa bagian, seperti yang terjadi pada Gambar. 5.

Setelah kerangka diperoleh, dari masing-masing simpulnya perlu untuk menggambar sinar-sinar yang tegak lurus terhadap sisi-sisi gambar asli tempat mereka dapat digambar. Jika sinar bertemu dengan garis dari kerangka, maka setelah melintasinya, sinar itu tidak boleh lurus, tetapi sepanjang bayangan cerminnya relatif terhadap garis ini. Sistem lipatan terdiri dari garis-garis yang ditarik.

Informasi lebih lanjut mengenai hal ini dan cara menentukan arah lipatan (“atas” atau “bawah”) dapat ditemukan dalam artikel E. D. Demaine, M. L. Demaine, A. Lubiw, 1998. Melipat dan Memotong Kertas. Sejarah singkat dan pendekatan lain untuk memecahkan masalah dapat ditemukan di halaman Eric Demain, salah satu penulis pembuktian teorema. Anda juga dapat membaca cerita yang lebih populer tentang teorema ini (sayangnya, juga dalam bahasa Inggris). Dan terakhir, saya menyarankan Anda untuk menonton kartun “Etudes Matematika”, di mana Anda dapat dengan jelas melihat cara melipat segitiga dan bintang lalu memotongnya dengan satu potongan.

Terakhir, saya perhatikan bahwa pertanyaan serupa dengan yang dibahas di atas telah diajukan cukup lama. Misalnya, dalam buku Jepang tahun 1721, sebagai salah satu soal, pembaca diminta untuk memotong sebuah gambar dari tiga belah ketupat yang bersatu dengan menggunakan satu potongan (Gbr. 6). Belakangan, ilusionis terkenal Harry Houdini menjelaskan metode pemotongan bintang dalam bukunya. Ngomong-ngomong, menurut legenda, justru karena bintang seperti itu dapat dengan cepat dipotong dari kertas atau kain, kita sekarang melihat bintang berujung lima di bendera AS: penjahit Betsy Ross, yang menurut legenda, menjahit bendera pertama, mampu meyakinkan George Washington bahwa mereka lebih baik digunakan untuk bendera daripada yang berujung enam yang awalnya ingin digunakan Washington.