Ketergantungan eksponensial dalam proses alam. Pertumbuhan eksponensial Evolusi eksponensial

Sebagaimana ditekankan pada bagian sebelumnya, setiap populasi pada prinsipnya mampu meningkatkan ukurannya secara eksponensial, dan inilah sebabnya model eksponensial digunakan untuk memperkirakan potensi pertumbuhan populasi. Namun dalam beberapa kasus, model eksponensial ternyata cocok untuk menggambarkan proses yang sebenarnya diamati. Jelasnya, hal ini dimungkinkan bila dalam jangka waktu yang cukup lama (relatif terhadap lamanya generasi) tidak ada yang membatasi pertumbuhan penduduk dan, oleh karena itu, indikator laju spesifiknya ( R) mempertahankan nilai positif yang konstan.

Misalnya, pada tahun 1937, 2 burung pegar jantan dan 6 burung betina dibawa ke pulau kecil Protekshi (di lepas pantai barat laut Amerika Serikat dekat Negara Bagian Washington). (Phasanius colchicus torqualus), sebelumnya tidak ditemui di pulau itu. Pada tahun yang sama, burung pegar mulai berkembang biak, dan 6 tahun kemudian populasinya, yang awalnya 8 ekor, sudah berjumlah 1.898 ekor. Sebagai berikut dari Gambar. 28 A, setidaknya selama 3-4 tahun pertama, peningkatan jumlah burung pegar digambarkan dengan baik oleh hubungan eksponensial (garis lurus pada skala ordinat logaritmik). Sayangnya, kemudian, karena pecahnya permusuhan, pasukan ditempatkan di pulau itu, penghitungan tahunan terhenti, dan sebagian besar populasi burung pegar itu sendiri dimusnahkan.

Kasus pertumbuhan populasi eksponensial lainnya yang terkenal adalah peningkatan ukuran populasi merpati cincin (Streptopelia decaocto) di Kepulauan Inggris pada akhir 1950an dan awal 1960an. (Gbr. 28, b). Pertumbuhan ini berhenti hanya setelah 8 tahun, setelah semua habitat yang sesuai telah dihuni.

Daftar contoh pertumbuhan penduduk secara eksponensial dapat dilanjutkan. Secara khusus, peningkatan jumlah rusa kutub beberapa kali lipat (atau setidaknya mendekati eksponensial) (Rangifer tarandus) diamati selama pengenalannya ke berbagai pulau. Jadi, dari 25 individu (4 jantan dan 21 betina), yang dibawa pada tahun 1911 ke Pulau St. Paul (bagian dari kepulauan Kepulauan Pribilof di Laut Bering), muncul populasi yang ukurannya pada tahun 1938 adalah . mencapai 2 ribu individu, tetapi kemudian terjadi penurunan tajam, dan pada tahun 1950 hanya 8 ekor rusa yang tersisa di pulau itu. Gambaran serupa diamati di Pulau St. Matthew (juga terletak di Laut Bering): 29 individu (5 jantan dan 24 betina) dimasukkan ke pulau itu pada tahun 1944 sehingga meningkatkan populasi 1.350 individu pada tahun 1957, dan pada tahun 1963. - sekitar 6 ribu individu (luas pulau ini 332 km 2, kira-kira tiga kali luas Pulau St. Paul). Namun pada tahun-tahun berikutnya, terjadi penurunan jumlah rusa yang sangat besar, dan pada tahun 1966 hanya tersisa 42 ekor.Dalam kedua kasus di atas, alasan penurunan tajam jumlah rusa adalah kurangnya makanan di musim dingin, yang terdiri dari hampir seluruhnya berasal dari lumut kerak.

Di laboratorium, dimungkinkan untuk menciptakan kondisi pertumbuhan eksponensial jika organisme budidaya disuplai dengan sumber daya yang berlebihan, yang biasanya membatasi perkembangannya, dan juga dengan menjaga nilai semua parameter fisikokimia lingkungan dalam batas toleransi yang diberikan. jenis. Seringkali, untuk mempertahankan pertumbuhan eksponensial, perlu untuk menghilangkan produk metabolisme organisme (menggunakan, misalnya, sistem aliran ketika membudidayakan berbagai hewan dan tumbuhan air) atau mengisolasi individu yang baru lahir satu sama lain untuk menghindari kepadatan (ini penting, karena misalnya ketika membudidayakan banyak hewan pengerat dan hewan lain yang perilakunya cukup kompleks). Dalam praktiknya, tidak sulit untuk memperoleh kurva pertumbuhan eksponensial secara eksperimental hanya untuk organisme yang sangat kecil (ragi, protozoa, alga uniseluler, dll.). Organisme besar sulit dibudidayakan dalam jumlah besar hanya karena alasan teknis. Apalagi hal ini memerlukan waktu yang tidak sedikit.

Situasi yang memunculkan kondisi pertumbuhan eksponensial juga mungkin terjadi di alam, dan tidak hanya terjadi pada populasi pulau. Misalnya, di danau-danau dengan garis lintang sedang pada musim semi, setelah es mencair, lapisan permukaannya mengandung sejumlah besar unsur biogenik (fosfor, nitrogen, silikon) yang biasanya kekurangan alga planktonik, dan oleh karena itu tidak mengherankan jika segera setelah air memanas, terjadi peningkatan jumlah diatom atau ganggang hijau yang cepat (mendekati eksponensial). Ia berhenti hanya ketika semua unsur yang kekurangan terikat dalam sel alga atau ketika produksi populasi diimbangi dengan konsumsinya oleh berbagai hewan fitofag.

Meskipun terdapat contoh lain mengenai peningkatan jumlah secara eksponensial, namun jumlahnya tidak dapat dikatakan terlalu banyak. Jelasnya, jika jumlah penduduk bertambah menurut hukum eksponensial, hal itu hanya terjadi dalam waktu yang sangat singkat, diikuti dengan penurunan atau mencapai dataran tinggi (= tingkat stasioner). Pada prinsipnya, ada beberapa pilihan yang mungkin dilakukan untuk menghentikan pertumbuhan populasi eksponensial. Opsi pertama adalah pergantian periode pertumbuhan eksponensial dalam jumlah dengan periode penurunan tajam (bencana), hingga nilai yang sangat rendah. Regulasi seperti itu (dan yang kami maksud dengan regulasi populasi adalah tindakan mekanisme apa pun yang mengarah pada pembatasan pertumbuhan populasi) kemungkinan besar terjadi pada organisme dengan siklus hidup pendek yang hidup di tempat dengan fluktuasi nyata pada faktor pembatas utama, misalnya, pada serangga. tinggal di lintang tinggi. Jelas juga bahwa organisme tersebut harus memiliki tahap tidak aktif yang memungkinkan mereka bertahan hidup di musim yang tidak menguntungkan. Pilihan kedua adalah menghentikan pertumbuhan eksponensial secara tiba-tiba dan mempertahankan populasi pada tingkat yang konstan (=stasioner), yang memungkinkan terjadinya berbagai fluktuasi. Opsi ketiga adalah jalan keluar yang mulus ke dataran tinggi. Kurva berbentuk S yang dihasilkan menunjukkan bahwa seiring bertambahnya jumlah penduduk, laju pertumbuhannya tidak tetap, tetapi menurun. Pertumbuhan populasi berbentuk S sangat sering diamati baik dalam percobaan laboratorium maupun ketika spesies dimasukkan ke habitat baru.

Salah satu mitos besar yang mendasari perekonomian akhir abad ke-20 adalah mitos pertumbuhan eksponensial. Diasumsikan bahwa teknologi akan berubah lebih cepat lagi, sehingga perekonomian juga akan tumbuh secara eksponensial, menjadikan kita semua lebih kaya daripada orang tua kita dan jauh lebih kaya daripada kakek buyut kita. Namun, tampaknya ada yang tidak beres sejak tahun 2000, setidaknya secara ekonomi. Masalah ini sebagian disebabkan oleh pelarian modal ke negara-negara berkembang yang dimungkinkan oleh Internet dan komunikasi modern. Namun, di luar kenyataan yang tidak menyenangkan ini terdapat pemikiran yang meresahkan bahwa kemajuan teknologi, dan kemungkinan peningkatan standar hidup, mungkin tidak menghasilkan pertumbuhan eksponensial sama sekali.

Dalam visi beberapa peminat, keyakinan akan kemajuan teknologi yang eksponensial telah diubah menjadi sebuah singularitas yang sudah terjadi atau akan segera menyusul kita. Hal ini diharapkan akan mengarah pada percepatan kemajuan lebih lanjut, yang akan sangat dahsyat sehingga masa depan sejarah umat manusia akan sangat berbeda dengan masa lalu.

Namun sebelum kita menyambut baik kemunculan singularitas, perlu dicatat bahwa, menurut para pendukung teori ini, hal itu disebabkan oleh munculnya mesin yang lebih pintar dari manusia, yang selanjutnya akan lebih unggul, menciptakan robot yang lebih pintar, dan meninggalkannya. kemanusiaan di belakang. Dengan demikian, singularitas tidak akan mewakili peningkatan kualitas hidup umat manusia yang hampir tak terbatas, karena mungkin mesin super cerdas tersebut tidak akan terlalu tertarik pada standar hidup manusia - atau bahkan ingin menggunakan kita sebagai subjek uji atau hewan peliharaan. (Jika yang terakhir, saya pasti akan berada di garis depan kandidat untuk tersingkir - saya tidak mungkin memiliki kualitas hewan peliharaan yang sering ditampilkan oleh kucing kami Eudoxia).

Jika kita berpikir secara logis, kita dapat mengidentifikasi tiga hal yang telah terjadi dalam sejarah umat manusia: munculnya kemampuan berbicara, transisi dari kehidupan nomaden ke pertanian menetap, dan kemudian Revolusi Industri. Masing-masing fenomena ini mempercepat perkembangan umat manusia sepuluh kali lipat, sehingga perubahan yang memakan waktu jutaan tahun di bawah pengaruh evolusi saja mulai terjadi setelah munculnya pembicaraan dalam ratusan ribu tahun, dengan ditemukannya pertanian - dalam puluhan ribu tahun. tahun, dan hanya dalam dua atau tiga abad – setelah Revolusi Industri. Masing-masing perubahan ini benar-benar mengubah hidup; teknologi juga bergerak lebih cepat, dan sejak Revolusi Industri, kemajuan teknologi yang sangat besar terjadi hanya dalam waktu singkat.

Penting untuk melihat lebih dekat keunikan Revolusi Industri. Ini berlangsung selama sekitar 200 tahun, dan tidak ada inovasi awal yang membawa perubahan signifikan dalam hidup. Mobil Pendatang baru untuk memompa air di tambang, ditemukan pada tahun 1712, tidak menyebabkan perubahan besar secara langsung, dan tidak diikuti oleh mesin yang jauh lebih maju, seperti mesin James Watt, hingga tahun 1769 (dan mesin Watt baru digunakan secara luas pada tahun 1790-an). Namun, revolusi teknologi juga disertai dengan revolusi pemikiran manusia yang sama pentingnya, yang dimulai sekitar berdirinya Royal Society pada tahun 1662 dan berlanjut hingga saat ini. Kekayaan Bangsa» Adam Smith(tahun 1776) hingga awal abad ke-19.

Jadi, meskipun warga negara tahun 1785 tidak terlalu menikmati kemajuan teknologi dibandingkan nenek moyangnya tahun 1660, sementara satu abad sebelumnya para alkemis diejek dalam lukisan orang terkenal itu. Joseph Wright sekarang berfungsi sebagai sampul untuk " Kerugian para alkemis" Hasil teknis pertama yang sangat besar dari Revolusi Industri terjadi kemudian—produksi tekstil baru berkembang pesat pada tahun 1790-an, dan jaringan kereta api baru muncul setelah tahun 1830—tetapi perubahan mental yang membentuk singularitas telah terjadi sekitar tahun 1785.

Dalam hal ini, kita belum terancam oleh singularitas apa pun. Internet, yang telah mengubah komunikasi dunia dan cara hidup kita secara radikal, tidak lebih merupakan perubahan revolusioner dibandingkan lampu listrik, telepon, atau mobil. Kehidupan di tahun 2010 sebenarnya berbeda dengan kehidupan di tahun 1995. Saat ini, kita dapat mengatur perusahaan manufaktur atau jasa global dengan lebih efisien dibandingkan pada tahun 1995. Kaum muda menghabiskan sebagian besar waktu mereka selain tidur untuk berselancar di Internet atau berbicara di ponsel, sesuatu yang tidak dapat mereka lakukan sebelum tahun 1995.

Namun, hal ini juga terjadi 15-20 tahun setelah kemunculan teknologi penting sebelumnya. Pada tahun 1845, setelah ditemukannya kereta api, pola perjalanan sudah berbeda dengan tahun 1830. Pada tahun 1905, setelah penemuan listrik, pola kerja malam dan hiburan perkotaan sangat berbeda dengan pola tahun 1890. Demikian pula, kehidupan di pedesaan Amerika pada tahun 1925 dengan munculnya Tin Lizzie (Ford Model T) benar-benar berbeda dibandingkan pada tahun 1910.

Dengan demikian, masing-masing penemuan ini secara radikal mengubah beberapa aspek cara hidup, namun pada saat yang sama tetap tidak mempercepat proses penemuan dan kemajuan, seperti Revolusi Industri. Setelah penyebaran penemuan, kehidupan menjadi berbeda, namun laju kemajuan teknologi sangat moderat. Internet serupa dengan jenis inovasi ini: ia telah mengubah kehidupan kita secara signifikan, namun ia belum mempercepat perubahan seperti Revolusi Industri, dan tidak ada prasyarat untuk hal ini. Memang benar, ada yang berpendapat bahwa generasi yang menyaksikan sebagian besar perubahan revolusioner adalah generasi bibi buyut saya Beatrice, yang lahir pada tahun 1889 dan meninggal pada tahun 1973. Selama masa kecilnya, penerangan gas dan kuda penarik digunakan, dan di usia tuanya dia menerbangkan pesawat dengan sekuat tenaga dan mengunjungi bulan.

Ke depan, ada tiga kemajuan teknologi yang berpotensi mempercepat laju perubahan, meskipun kemajuan tersebut tidak menyebabkan singularitas. Di antaranya adalah: penciptaan mesin yang lebih pintar dari manusia, penemuan metode manipulasi gen yang dapat meningkatkan kemampuan kognitif manusia, serta penemuan yang bersifat teknis, medis, atau genetik yang dapat meningkatkan harapan hidup manusia secara signifikan. .

Kemungkinan adanya robot super telah dianggap sebagai alasan paling populer atas dugaan singularitas, namun jika diamati lebih dekat, ternyata hal tersebut tidak mungkin mengarah ke sana. Para ahli teori singularitas suka mengutip hukum Moore, sebuah teori yang diajukan Gordon Moore pada tahun 1965, dimana kecepatan pemrosesan komputer meningkat dua kali lipat setiap dua tahun. Namun, kenyataannya kita sedang mendekati batas kemajuan ini; Faktor pembatasnya adalah kecepatan cahaya, energi yang dibutuhkan untuk mengoperasikan mikroprosesor (yang menghasilkan panas), panjang gelombang radiasi elektromagnetik, dan ukuran struktur atom.

Dalam beberapa generasi, menurut hukum Moore, kita akan mendekati penghalang sementara, yang akan mempersulit kemajuan secara signifikan, dan dalam 5-6 generasi, menurut hukum yang sama, kita akan mendekati penghalang permanen, yang di luarnya, dengan kondisi yang saat ini bisa dibayangkan. teknologi, kemajuan tidak akan mungkin terjadi. Harus diakui bahwa kemajuan lebih lanjut di bidang kecerdasan komputer diwujudkan melalui peningkatan pemrograman dan arsitektur dengan paralelisme yang masif, namun kenyataannya setelah kemajuan tahun 2015-2020 di bidang ini akan terjadi Perlambatan yang signifikan, bukan percepatan. Sama seperti perubahan revolusioner terakhir dalam desain mobil adalah penemuan transmisi otomatis pada tahun 1939, jelas bahwa kemajuan tanpa akhir dalam desain mekanis secara bertahap akan mencapai batas alaminya.

Rekayasa genetika untuk meningkatkan kemampuan mental manusia tentu saja akan mengubah dunia kita, namun hal ini mungkin tidak akan terjadi dalam waktu dekat, karena perubahan tersebut akan ditentang keras oleh sebagian besar kelompok agama dan pemerintah di Barat. Bahkan kloning sederhana, yang hanya mereproduksi individu yang sudah ada, belum mengalami banyak kemajuan dalam sepuluh tahun, dan mungkin tertunda untuk satu generasi di masa depan. Bahkan dengan persetujuan pemerintah, uji keamanan yang diperlukan sebelum eksperimen peningkatan otak dapat dimulai, ada kemungkinan bahwa uji coba pertama hanya akan menghasilkan peningkatan kapasitas otak ke tingkat yang ada, bukan peningkatan kapasitas otak. Selain itu, karena kebutuhan biologis anak-anak tersebut untuk menjadi dewasa sebelum usia 15 tahun, memperoleh pendidikan tinggi dalam 5-10 tahun ke depan, maka akibat dari perubahan tersebut baru akan terlihat 50 tahun ke depan. Dalam hal ini, robot super, meskipun nyata, dapat diciptakan lebih cepat, karena ia akan segera menjadi dewasa! Mengingat fakta bahwa manusia yang Ditingkatkan (Enhanced Man) yang pertama kali muncul hanyalah sebagian kecil dari jumlah manusia/ras manusia baru, jelas bahwa tidak ada percepatan makro yang diharapkan terjadi hingga abad berikutnya.

Teknologi potensial ketiga, perpanjangan hidup, lebih menarik. Secara teknis, dampak signifikan apa pun (selain kemajuan medis yang meningkatkan persentase orang yang hidup hingga usia 90-100 tahun) kemungkinan besar memerlukan keterampilan serupa untuk menghasilkan kehidupan dengan kecerdasan yang lebih tinggi. Namun, wilayah ini akan menghadapi lebih sedikit perlawanan Luddite dari para politisi dan pemimpin agama, karena manfaat umur yang lebih panjang sudah jelas dan secara teoritis bersifat universal. Di sisi lain, meningkatkan angka harapan hidup bagi mereka yang sudah hidup akan jauh lebih sulit dibandingkan menciptakan manusia baru yang berumur panjang, dan kemungkinan besar hal ini akan terjadi di kemudian hari.

Ternyata pada tahun 2050 kita mungkin akan dapat memiliki anak yang akan hidup 150-200 tahun (yaitu, lebih lama dari waktu yang diperlukan untuk mengatasi faktor-faktor pembatas yang belum kita ketahui, karena faktor-faktor tersebut tidak mempengaruhi hal-hal non- centenarian). Beberapa waktu setelah ini, kita akan belajar untuk setidaknya meningkatkan sebagian harapan hidup masyarakat yang ada. Mengingat potensi permintaan massal terhadap teknologi tersebut, teknologi tersebut harus segera menyebar ke sebagian besar masyarakat, karena produksi massal akan mengurangi biaya hingga tingkat yang dapat diterima.

Namun, meskipun peningkatan siklus hidup akan sangat meningkatkan kehidupan seseorang, namun hal tersebut tidak akan mempercepat kemajuan. Para centenarian tidak akan mulai bekerja sampai usia minimal 25 tahun, karena mereka akan menerima pendidikan yang lebih komprehensif daripada kita. Begitu mereka kembali bekerja, mereka tidak akan terlalu menghindari risiko dan lebih sabar dibandingkan kita, karena penundaan akan menghabiskan lebih sedikit sisa hidup mereka. Pada gilirannya, bahkan tanpa percepatan lebih lanjut, mereka tetap memerlukan pendidikan berulang setiap 20-25 tahun agar keterampilan kerja mereka tidak menjadi ketinggalan jaman. Karena kerugian bagi mereka dalam kondisi perubahan yang cepat akan lebih besar dibandingkan bagi kita, dan manfaatnya akan lebih kecil, maka mereka sendiri akan ingin memperlambat kemajuan. Hanya jika dikombinasikan dengan tingkat kecerdasan yang lebih tinggi, mereka akan mampu menerima laju perubahan pasca-revolusioner yang sangat cepat.

Saat ini saya sedang mempertimbangkan kemungkinan percepatan perubahan positif. Namun, ada kemungkinan terjadinya perubahan negatif yang dapat membawa kembali peradaban, standar hidup, dan pengetahuan ke tingkat yang lebih primitif. Salah satu kemungkinan penyebabnya adalah perang dunia, yang mungkin berbeda dengan perang 50 tahun lalu. Faktor lainnya bisa jadi adalah bencana lingkungan. Tidak ada hal baik yang diharapkan di sini. Pertumbuhan penduduk yang tidak dapat dielakkan saat ini, yang diperkirakan akan melambat namun tidak berhenti pada tahun 2050, akan diperburuk oleh penemuan-penemuan yang telah meningkatkan angka harapan hidup hingga 200 tahun, baik karena penurunan jumlah kematian maupun peningkatan angka kelahiran akibat penyakit. fakta bahwa kemampuan bereproduksi akan dipertahankan selama 100 tahun. Apakah pemanasan global merupakan masalah serius di dunia yang berpenduduk 7 hingga 10 miliar jiwa adalah sebuah pertanyaan, namun hal ini pasti akan menjadi masalah serius di dunia yang berpenduduk 20 miliar jiwa (dan penipisan sumber daya akan menjadi bahaya yang lebih nyata). Oleh karena itu, prioritas utama yang harus diambil adalah langkah-langkah untuk memperlambat pertumbuhan populasi atau, bahkan lebih baik lagi, kembali menurun. Lagi pula, sebelum singularitas terakhir, populasi dunia hanya berjumlah 1 miliar; dengan kecepatan seperti ini, permasalahan lingkungan dan sumber daya kita akan hilang.

Selain kemungkinan keruntuhan, dua atau tiga kemungkinan perkembangan teknologi dalam 50 tahun ke depan—yang mencapai batas Hukum Moore dan meningkatkan harapan hidup—kemungkinan akan memperlambat laju perubahan, bukan mempercepatnya. Hanya pilihan ketiga – kecerdasan yang ditingkatkan secara genetis – yang berpotensi mempercepat kemajuan, namun penolakan sistemik terhadap teknologi ini kemungkinan akan menundanya dalam waktu yang sangat lama. Dengan demikian, kurva pembangunan manusia di abad ke-21 akan bersifat asimtotik [terbatas] dan bukannya eksponensial.

Ungkapan “pertumbuhan eksponensial” telah memasuki leksikon kita yang berarti peningkatan yang cepat dan biasanya tidak terkendali. Kata ini sering digunakan, misalnya, untuk menggambarkan pesatnya pertumbuhan kota atau peningkatan populasi. Namun, dalam matematika istilah ini memiliki arti yang tepat dan menunjukkan jenis pertumbuhan tertentu.

Pertumbuhan eksponensial terjadi pada populasi dimana pertambahan penduduk (jumlah kelahiran dikurangi jumlah kematian) sebanding dengan jumlah individu dalam populasi. Untuk suatu populasi manusia, misalnya, angka kelahiran kira-kira sebanding dengan jumlah pasangan reproduksi, dan angka kematian kira-kira sebanding dengan jumlah orang dalam suatu populasi (kami menyatakannya sebagai N). Kemudian, dengan perkiraan yang masuk akal,

pertumbuhan penduduk = jumlah kelahiran - jumlah kematian

(Di Sini R- yang disebut faktor proporsionalitas, yang memungkinkan kita menulis ekspresi proporsionalitas sebagai persamaan.)

Biarkan d N— jumlah individu yang ditambahkan ke populasi selama waktu d T, maka jika dalam populasi total N individu, maka kondisi pertumbuhan eksponensial akan terpenuhi jika

D N = rN D T

Sejak Isaac Newton menemukan kalkulus diferensial pada abad ke-17, kita mengetahui cara menyelesaikan persamaan ini N— ukuran populasi pada waktu tertentu. (Sebagai referensi: persamaan ini disebut diferensial.) Ini solusinya:

N=N0 e rt

Di mana N 0 adalah jumlah individu dalam populasi pada awal hitungan mundur, dan T- waktu yang telah berlalu sejak saat ini. Simbol e melambangkan bilangan khusus yang disebut dasar logaritma natural(dan kira-kira sama dengan 2,7), dan seluruh ruas kanan persamaan disebut Fungsi eksponensial.

Untuk lebih memahami apa yang dimaksud dengan pertumbuhan eksponensial, bayangkan suatu populasi yang awalnya terdiri dari satu bakteri. Setelah waktu tertentu (beberapa jam atau menit), bakteri membelah menjadi dua, sehingga menggandakan ukuran populasinya. Setelah jangka waktu berikutnya, masing-masing bakteri ini akan kembali terpecah menjadi dua, dan ukuran populasi akan berlipat ganda lagi - kini akan terdapat empat bakteri. Setelah sepuluh penggandaan seperti itu, akan ada lebih dari seribu bakteri, setelah dua puluh - lebih dari satu juta, dan seterusnya. Jika populasi bertambah dua kali lipat pada setiap divisi, pertumbuhannya akan terus berlanjut tanpa batas.

Ada sebuah legenda (kemungkinan besar tidak benar) bahwa orang yang menemukan catur memberikan kesenangan kepada Sultannya sehingga dia berjanji untuk memenuhi semua permintaannya. Laki-laki itu meminta Sultan untuk meletakkan satu butir gandum di kotak pertama papan catur, dua butir di kotak kedua, empat di kotak ketiga, dan seterusnya. Sultan, yang menganggap permintaan ini tidak signifikan dibandingkan dengan pelayanan yang telah diberikannya, meminta rakyatnya untuk mengajukan permintaan lain, namun dia menolak. Tentu saja, pada penggandaan ke-64, jumlah biji-bijian menjadi sedemikian rupa sehingga gandum di seluruh dunia tidak akan cukup untuk memenuhi permintaan ini. Dalam versi legenda yang saya ketahui, Sultan saat itu memerintahkan agar kepala penemunya dipenggal. Pesan moralnya, seperti yang saya katakan kepada murid-murid saya, adalah: terkadang Anda tidak boleh terlalu pintar!

Contoh papan catur (dan juga bakteri imajiner) menunjukkan kepada kita bahwa tidak ada populasi yang dapat tumbuh selamanya. Cepat atau lambat, ia akan kehabisan sumber daya – ruang, energi, air, apa pun. Oleh karena itu, populasi hanya dapat tumbuh secara eksponensial untuk sementara waktu, dan cepat atau lambat pertumbuhannya akan melambat. Untuk melakukan ini, Anda perlu mengubah persamaan sehingga ketika ukuran populasi mendekati jumlah maksimum yang mungkin (yang dapat didukung oleh lingkungan eksternal), laju pertumbuhan akan melambat. Sebut saja ukuran populasi maksimum ini K. Maka persamaan yang dimodifikasi akan terlihat seperti ini:

D N = rN(1 — (N/K)) D T

Kapan N apalagi K, anggota Tidak ada dapat diabaikan, dan kita kembali ke persamaan awal pertumbuhan eksponensial biasa. Namun, kapan N mendekati nilai maksimumnya K, nilai 1 - ( N/K) cenderung nol, sehingga pertumbuhan penduduk cenderung nol. Jumlah total populasi dalam hal ini stabil dan tetap pada tingkat yang sama K. Kurva yang dijelaskan oleh persamaan ini, serta persamaan itu sendiri, memiliki beberapa nama - kurva S, persamaan logistik, Persamaan Volterra, Persamaan Lotka – Volterra. (Vito Volt e RRA, 1860-1940 - ahli matematika dan guru Italia yang luar biasa; Alfred Lotka, 1880-1949 - Ahli matematika dan analis asuransi Amerika.) Apa pun namanya, ini adalah ekspresi yang cukup sederhana dari ukuran populasi yang tumbuh secara eksponensial, dan kemudian melambat ketika mendekati batas tertentu. Dan ini mencerminkan pertumbuhan populasi riil jauh lebih baik dibandingkan fungsi eksponensial biasanya.

Manusia bukanlah peramal yang baik mengenai masa depan. Sepanjang sejarah, pengalaman kami bersifat “lokal dan linier”: kami menggunakan peralatan yang sama, mengonsumsi makanan yang sama, dan tinggal di tempat tertentu. Hasilnya, kemampuan prediksi kita didasarkan pada intuisi dan pengalaman masa lalu. Ini seperti sebuah tangga: setelah menaiki beberapa langkah, kita memahami seperti apa jalan yang tersisa di sepanjang tangga ini. Saat kita menjalani hidup, kita berharap setiap hari baru akan serupa dengan hari sebelumnya. Namun, kini semuanya berubah.

Penemu dan futuris terkenal Amerika Raymond Kurzweil dalam bukunya “The Singularity Is Near” menulis bahwa lompatan perkembangan teknologi yang kita lihat dalam beberapa dekade terakhir telah menyebabkan percepatan kemajuan di berbagai bidang. Hal ini menyebabkan perubahan teknologi dan sosial yang tidak terduga, tidak hanya terjadi antar generasi, namun juga di dalam generasi tersebut. Sekarang pendekatan intuitif untuk memprediksi masa depan tidak berhasil. Masa depan tidak lagi terbentang secara linier, namun secara eksponensial: semakin sulit untuk memprediksi apa yang akan terjadi selanjutnya dan kapan hal itu akan terjadi. Laju kemajuan teknologi terus-menerus mengejutkan kita, dan untuk mengikutinya dan belajar memprediksi masa depan, pertama-tama kita harus belajar berpikir secara eksponensial.

Apa itu pertumbuhan eksponensial?

Berbeda dengan pertumbuhan linier yang merupakan hasil penjumlahan konstanta berulang kali, pertumbuhan eksponensial merupakan hasil perkalian berulang. Jika pertumbuhan linier adalah garis lurus yang stabil sepanjang waktu, maka garis pertumbuhan eksponensial mirip dengan lepas landas. Semakin besar nilainya, semakin cepat pertumbuhannya.

Bayangkan Anda sedang berjalan di sepanjang jalan, dan setiap langkah yang Anda ambil panjangnya satu meter. Anda mengambil enam langkah dan sekarang Anda telah bergerak enam meter. Setelah Anda mengambil 24 langkah lagi, Anda akan berada 30 meter dari tempat Anda memulai. Ini adalah pertumbuhan linier.

Sekarang bayangkan (meskipun tubuh Anda tidak dapat melakukan ini, bayangkan) bahwa setiap kali panjang langkah Anda menjadi dua kali lipat. Artinya, pertama Anda melangkah satu meter, lalu dua, lalu empat, lalu delapan, dan seterusnya. Dalam enam langkah seperti itu Anda akan menempuh jarak 32 meter - ini jauh lebih banyak daripada enam langkah satu meter. Sulit dipercaya, tetapi jika Anda melanjutkan dengan kecepatan yang sama, maka setelah langkah ketiga puluh Anda akan menemukan diri Anda berjarak satu miliar meter dari titik awal. Itu berarti 26 perjalanan mengelilingi bumi. Dan ini adalah pertumbuhan eksponensial.

Menariknya, setiap langkah baru dengan pertumbuhan sebesar itu merupakan penjumlahan dari langkah-langkah sebelumnya. Artinya, setelah 29 langkah Anda telah menempuh jarak 500 juta meter, dan Anda menempuh jumlah yang sama dalam satu langkah berikutnya, ketiga puluh. Artinya, setiap langkah Anda sebelumnya sangatlah kecil jika dibandingkan dengan beberapa langkah pertumbuhan eksplosif berikutnya, dan sebagian besar terjadi dalam periode waktu yang relatif singkat. Jika Anda menganggap pertumbuhan ini sebagai perpindahan dari titik A ke titik B, kemajuan terbesar dalam pergerakan akan terjadi pada tahap terakhir.

Kita sering melewatkan tren eksponensial pada tahap awal karena laju awal pertumbuhan eksponensial lambat dan bertahap serta sulit dibedakan dengan pertumbuhan linier. Selain itu, seringkali prediksi yang didasarkan pada asumsi bahwa suatu fenomena akan berkembang secara eksponensial mungkin tampak luar biasa, dan kita menolaknya.

“Ketika pemindaian genom manusia dimulai pada tahun 1990, para kritikus mencatat bahwa, mengingat kecepatan proses awalnya, diperlukan waktu ribuan tahun untuk memindai genom. Namun, proyek tersebut sudah selesai pada tahun 2003,”- Raymond Kurzweil mencontohkan.

Akhir-akhir ini, perkembangan teknologi sangatlah eksponensial: setiap dekade, setiap tahun, kita dapat melakukan lebih banyak hal dibandingkan sebelumnya.

Bisakah pertumbuhan eksponensial berakhir?

Dalam praktiknya, tren eksponensial tidak bertahan selamanya. Namun, beberapa diantaranya dapat berlanjut dalam jangka waktu yang lama jika kondisinya tepat untuk perkembangan yang eksplosif.

Biasanya, tren eksponensial terdiri dari serangkaian siklus hidup teknologi berbentuk S atau kurva berbentuk S yang berurutan. Setiap kurva terlihat seperti huruf "S" karena tiga tahap pertumbuhan yang ditunjukkan: pertumbuhan awal yang lambat, pertumbuhan eksplosif, dan mendatar seiring dengan semakin matangnya teknologi. Kurva S ini berpotongan, dan ketika salah satu teknologi melambat, teknologi baru mulai meningkat. Dengan setiap pengembangan baru berbentuk S, jumlah waktu yang diperlukan untuk mencapai tingkat kinerja yang lebih tinggi menjadi lebih singkat.

Misalnya, ketika membahas perkembangan teknologi pada abad terakhir, Kurzweil menyebutkan lima paradigma komputasi: elektromekanis, relay, tabung vakum, transistor diskrit, dan sirkuit terpadu. Ketika suatu teknologi kehabisan potensinya, teknologi berikutnya mulai mengalami kemajuan, dan kemajuannya terjadi lebih cepat dibandingkan pendahulunya.

Merencanakan masa depan yang eksponensial

Dalam kondisi perkembangan eksponensial, sangat sulit untuk memprediksi apa yang menanti kita di masa depan. Membuat grafik berdasarkan perkembangan geometri adalah satu hal, namun memperkirakan bagaimana kehidupan akan berubah dalam sepuluh hingga dua puluh tahun adalah hal lain. Namun aturan sederhana yang harus diikuti adalah: perkirakan hidup akan memberikan kejutan besar bagi Anda, dan rencanakan kejutan-kejutan yang Anda harapkan. Dengan kata lain, Anda dapat mengasumsikan hasil yang paling luar biasa dan mempersiapkannya seolah-olah hal itu benar-benar terjadi.

“Masa depan akan jauh lebih menakjubkan dari yang dibayangkan kebanyakan orang. Hanya sedikit orang yang benar-benar memahami fakta bahwa laju perubahan itu sendiri semakin cepat.”- tulis Raymond Kurzweil.

Seperti apa kehidupan kita dalam lima tahun ke depan? Salah satu cara untuk membuat perkiraan adalah dengan melihat lima tahun terakhir dan membawa pengalaman tersebut ke lima tahun berikutnya, namun ini adalah pemikiran “linier”, yang, seperti yang kami temukan, tidak selalu berhasil. Laju perubahan terus berubah, sehingga kemajuan yang dicapai dalam lima tahun terakhir akan memakan waktu lebih lama di masa depan. Kemungkinan besar perubahan yang Anda harapkan dalam lima tahun akan benar-benar terjadi dalam tiga atau dua tahun. Dengan sedikit latihan, kita akan menjadi lebih mampu memprediksi perkembangan kehidupan di masa depan, belajar melihat prospek pertumbuhan eksponensial, dan mampu merencanakan masa depan kita sendiri dengan lebih baik.

Ini bukan hanya konsep yang menarik. Pemikiran kita, yang seringkali diarahkan pada perkembangan linier, dapat membawa kita ke jalan buntu. Pemikiran linierlah yang membuat sebagian pengusaha dan politisi menolak perubahan; mereka tidak memahami bahwa pembangunan terjadi secara eksponensial, dan mereka khawatir akan semakin sulit mengendalikan masa depan. Tapi justru inilah arena persaingan. Untuk mengikuti perubahan ini, kita harus selalu selangkah lebih maju dan tidak melakukan apa yang relevan saat ini, melainkan apa yang akan relevan dan dibutuhkan di masa depan, mengingat pembangunan tidak terjadi secara linier, melainkan secara eksponensial.

Berpikir eksponensial mengurangi stres destruktif yang berasal dari ketakutan kita akan masa depan dan membuka kemungkinan-kemungkinan baru. Jika kita dapat merencanakan masa depan dengan lebih baik dan berpikir secara eksponensial, kita akan memudahkan transisi dari satu paradigma ke paradigma lain dan menghadapi masa depan dengan tenang.

Jika pertumbuhan penduduk sebanding dengan jumlah individu, maka jumlah penduduk akan bertambah secara eksponensial.

pertumbuhan penduduk = jumlah kelahiran - jumlah kematian

(Di Sini R- yang disebut koefisien proporsionalitas, yang memungkinkan kita menulis ekspresi proporsionalitas dalam bentuk persamaan.)

Biarkan d N- jumlah individu yang ditambahkan ke populasi selama waktu tertentu d T, maka jika dalam populasi total N individu, maka kondisi pertumbuhan eksponensial akan terpenuhi jika

Sejak Isaac Newton menemukan kalkulus diferensial pada abad ke-17, kita mengetahui cara menyelesaikan persamaan ini N- ukuran populasi pada waktu tertentu. (Sebagai referensi: persamaan seperti itu disebut persamaan diferensial.) Berikut penyelesaiannya:

dimana N 0 adalah jumlah individu dalam populasi pada awal hitungan mundur, T- waktu yang telah berlalu sejak saat ini. Simbol e menunjukkan bilangan khusus seperti itu, disebut dasar logaritma natural(dan kira-kira sama dengan 2,7), dan seluruh ruas kanan persamaan disebut Fungsi eksponensial.

Contoh papan catur (dan juga bakteri imajiner) menunjukkan kepada kita bahwa tidak ada populasi yang dapat tumbuh selamanya. Cepat atau lambat ia akan kehabisan sumber daya – ruang, energi, air, apa pun. Oleh karena itu, populasi hanya dapat tumbuh secara eksponensial untuk sementara waktu, dan cepat atau lambat pertumbuhannya akan melambat. Untuk melakukan ini, Anda perlu mengubah persamaan sehingga ketika ukuran populasi mendekati jumlah maksimum yang mungkin (yang dapat didukung oleh lingkungan eksternal), laju pertumbuhan akan melambat. Sebut saja ukuran populasi maksimum ini K. Maka persamaan yang dimodifikasi akan terlihat seperti ini:

dN = rN(1 - (N/K)) dt

Kapan N apalagi K, anggota Tidak ada dapat diabaikan, dan kita kembali ke persamaan awal pertumbuhan eksponensial biasa. Namun, kapan N mendekati nilai maksimumnya K, arti 1 - (T/K) cenderung nol, dan karenanya pertumbuhan penduduk cenderung nol. Jumlah total populasi dalam hal ini stabil dan tetap pada tingkat yang sama K. Kurva yang dijelaskan oleh persamaan ini, serta persamaan itu sendiri, memiliki beberapa nama - kurva S, persamaan logistik, Persamaan Volterra, Persamaan Lotka-Volterra. (Vito Volterra, 1860–1940 - ahli matematika dan guru terkemuka Italia; Alfred Lotka, 1880–1949 - ahli matematika dan analis asuransi Amerika.) Apapun namanya, ini adalah ekspresi yang cukup sederhana dari ukuran populasi yang tumbuh tajam secara eksponensial dan kemudian melambat saat mendekati batas tertentu. Dan ini mencerminkan pertumbuhan populasi riil jauh lebih baik dibandingkan fungsi eksponensial biasanya.

Portal untuk anak sekolah. Persiapan diri

ARTIKEL TERKAIT