Baru-baru ini saya belajar tentang objek menarik di dunia matematika seperti fraktal. Tapi mereka tidak hanya ada dalam matematika. Mereka mengelilingi kita di mana-mana. Fraktal itu alami. Tentang apa itu fraktal, tentang jenis-jenis fraktal, tentang contoh benda-benda tersebut dan penerapannya akan saya bahas pada artikel kali ini. Untuk memulainya, saya akan memberi tahu Anda secara singkat apa itu fraktal.
Fraktal (Latin fractus - hancur, pecah, pecah) adalah bangun datar geometris kompleks yang mempunyai sifat kesamaan diri, yaitu terdiri dari beberapa bagian yang masing-masing mirip dengan keseluruhan gambar. Dalam pengertian yang lebih luas, fraktal dipahami sebagai kumpulan titik-titik dalam ruang Euclidean yang memiliki dimensi metrik pecahan (dalam pengertian Minkowski atau Hausdorff), atau dimensi metrik yang berbeda dari dimensi topologi. Sebagai contoh, saya akan menyisipkan gambar yang menggambarkan empat fraktal berbeda.
Saya akan bercerita sedikit tentang sejarah fraktal. Konsep geometri fraktal dan fraktal, yang muncul pada akhir tahun 70an, telah menjadi mapan di kalangan matematikawan dan pemrogram sejak pertengahan tahun 80an. Kata "fraktal" diciptakan oleh Benoit Mandelbrot pada tahun 1975 untuk merujuk pada struktur tidak beraturan namun mirip dengan dirinya. Kelahiran geometri fraktal biasanya dikaitkan dengan terbitnya buku Mandelbrot The Fractal Geometry of Nature pada tahun 1977. Karya-karyanya menggunakan hasil ilmiah ilmuwan lain yang bekerja pada periode 1875-1925 di bidang yang sama (Poincaré, Fatou, Julia, Cantor, Hausdorff). Namun hanya di zaman kita yang memungkinkan untuk menggabungkan pekerjaan mereka ke dalam satu sistem.
Ada banyak sekali contoh fraktal, karena seperti yang saya katakan, fraktal ada di mana-mana. Menurut pendapat saya, bahkan seluruh alam semesta kita adalah satu fraktal yang sangat besar. Bagaimanapun, segala sesuatu di dalamnya, mulai dari struktur atom hingga struktur Alam Semesta itu sendiri, saling mengulangi satu sama lain. Namun tentu saja ada contoh fraktal yang lebih spesifik dari berbagai bidang. Fraktal, misalnya, hadir dalam dinamika yang kompleks. Mereka disana muncul secara alami ketika mempelajari nonlinier sistem dinamis. Kasus yang paling banyak dipelajari adalah ketika sistem dinamik ditentukan oleh iterasi polinomial atau holomorfik fungsi dari suatu kompleks variabel di permukaan. Beberapa fraktal paling terkenal dari jenis ini adalah himpunan Julia, himpunan Mandelbrot, dan kumpulan Newton. Di bawah ini, secara berurutan, gambar-gambar tersebut menggambarkan masing-masing fraktal di atas.
Contoh lain dari fraktal adalah kurva fraktal. Cara terbaik untuk menjelaskan cara membuat fraktal menggunakan contoh kurva fraktal. Salah satu kurva ini disebut Kepingan Salju Koch. Ada yang sederhanaprosedur untuk mendapatkan kurva fraktal pada bidang. Mari kita definisikan garis putus-putus sembarang dengan jumlah tautan terbatas, yang disebut generator. Selanjutnya kita ganti setiap segmen yang ada di dalamnya dengan generator (lebih tepatnya garis putus-putus mirip generator). Pada garis putus-putus yang dihasilkan, kami kembali mengganti setiap segmen dengan generator. Melanjutkan hingga tak terhingga, pada batasnya kita mendapatkan kurva fraktal. Di bawah ini adalah Kepingan Salju Koch (atau Kurva).
Ada juga berbagai macam kurva fraktal. Yang paling terkenal adalah Kepingan Salju Koch yang telah disebutkan, serta kurva Levy, kurva Minkowski, garis putus-putus Naga, kurva Piano, dan pohon Pythagoras. Saya rasa Anda dapat dengan mudah menemukan gambar fraktal ini dan sejarahnya di Wikipedia jika Anda mau.
Contoh atau jenis fraktal yang ketiga adalah fraktal stokastik. Fraktal tersebut mencakup lintasan gerak Brown di pesawat dan di luar angkasa, evolusi Schramm-Löwner, berbagai jenis fraktal acak, yaitu fraktal yang diperoleh menggunakan prosedur rekursif di mana parameter acak dimasukkan pada setiap langkah.
Ada juga fraktal matematika murni. Misalnya saja himpunan Cantor, spons Menger, Segitiga Sierpinski dan lain-lain.
Namun mungkin fraktal yang paling menarik adalah fraktal alami. Fraktal alam adalah benda-benda di alam yang mempunyai sifat fraktal. Dan di sini daftarnya sudah banyak. Saya tidak akan mencantumkan semuanya, karena mungkin mustahil untuk mencantumkan semuanya, tetapi saya akan memberi tahu Anda beberapa di antaranya. Misalnya, di alam yang hidup, fraktal tersebut mencakup sistem peredaran darah dan paru-paru kita. Dan juga tajuk dan daun pohon. Ini juga termasuk bintang laut, bulu babi, karang, kerang laut, dan beberapa tumbuhan seperti kubis atau brokoli. Beberapa fraktal alami dari alam yang hidup ditunjukkan dengan jelas di bawah ini.
Jika kita memperhatikan alam mati, maka ada lebih banyak contoh menarik di sana daripada di alam hidup. Petir, kepingan salju, awan, yang diketahui semua orang, pola di jendela pada hari yang dingin, kristal, pegunungan - semua ini adalah contoh fraktal alami dari alam mati.
Kami melihat contoh dan jenis fraktal. Adapun kegunaan fraktal digunakan dalam berbagai bidang ilmu. Dalam fisika, fraktal secara alami muncul saat memodelkan proses nonlinier, seperti aliran fluida turbulen, proses adsorpsi difusi kompleks, api, awan, dll. Fraktal digunakan saat memodelkan material berpori, misalnya dalam petrokimia. Dalam biologi, mereka digunakan untuk memodelkan populasi dan menggambarkan sistem organ dalam (sistem pembuluh darah). Setelah kurva Koch dibuat, diusulkan untuk menggunakannya dalam menghitung panjang garis pantai. Fraktal juga aktif digunakan dalam bidang teknik radio, ilmu informasi dan teknologi komputer, telekomunikasi dan bahkan ekonomi. Dan, tentu saja, visi fraktal digunakan secara aktif dalam seni dan arsitektur modern. Berikut adalah salah satu contoh pola fraktal:
Jadi, dengan ini saya berpikir untuk melengkapi cerita saya tentang fenomena matematika yang tidak biasa seperti fraktal. Hari ini kita belajar tentang apa itu fraktal, bagaimana tampilannya, tentang jenis-jenis dan contoh fraktal. Saya juga berbicara tentang penerapannya dan mendemonstrasikan beberapa fraktal secara visual. Saya harap Anda menikmati perjalanan kecil ini ke dunia objek fraktal yang menakjubkan dan mempesona.
Diselesaikan oleh siswa kelas 7 Polina Karpyuk
Prioda tercipta dari sosok yang mirip diri, hanya saja kita tidak menyadarinya. Di galeri ini kami telah mengumpulkan gambar-gambar yang fraktalitasnya terlihat jelas.
Unduh:
Pratinjau:
Untuk menggunakan pratinjau presentasi, buat akun Google dan masuk ke akun tersebut: https://accounts.google.com
Keterangan slide:
Fraktal di alam Diselesaikan oleh: Siswa kelas “B” 7 Polina Karpyuk Pembimbing: Molchanova Irina Pavlovna Rubtsovsk-2015
Matematika, jika dilihat dengan benar, tidak hanya mencerminkan kebenaran, tetapi juga keindahan yang tiada tara. Bertrand Russel
Apa persamaan pohon, pantai, awan, atau pembuluh darah di tangan kita? Ada satu properti struktur yang melekat pada semua objek yang terdaftar: mereka serupa. Dari cabang, seperti dari batang pohon, tunas-tunas yang lebih kecil memanjang, bahkan lebih kecil lagi darinya, dan seterusnya, yaitu cabang yang mirip dengan keseluruhan pohon. Sistem peredaran darah disusun dengan cara yang sama: arteriol berangkat dari arteri, dan dari sana kapiler terkecil yang melaluinya oksigen memasuki organ dan jaringan. Matematikawan Amerika Benoit Mandelbrot menyebut properti objek ini sebagai fraktalitas, dan objek tersebut sendiri - fraktal. Kata “fraktal” sendiri diterjemahkan dari bahasa Latin sebagai “parsial”, “terbagi”, “terfragmentasi”, dan mengenai isi istilah ini, tidak ada rumusan seperti itu. Biasanya diartikan sebagai himpunan yang serupa diri, bagian dari keseluruhan, yang mengulangi strukturnya pada tingkat mikro. .
Foto lanskap bumi dari luar angkasa sering kali memberikan contoh fraktal yang sangat baik.
Garis pantai biasanya mempunyai bentuk fraktal, tetapi tingkat kekasarannya berbeda-beda. Contoh ini menunjukkan dua sifat karakteristik fraktal alami: Masing-masing saluran tidak merupakan salinan satu sama lain, namun memiliki garis lengkung yang serupa, seolah-olah saluran tersebut digambar dengan pola yang sama. Saluran besar memiliki garis besar yang mirip dengan saluran kecil dan sangat kecil. Jika kita memperbesar misalnya pojok kiri bawah gambar, kita akan mendapatkan sesuatu yang mirip dengan keseluruhan gambar
Interaksi air dan tanah memunculkan struktur fraktal dalam lanskap - baik itu pegunungan, sungai, atau garis pantai.
Mungkin semua orang tahu lukisan karya seniman Jepang Hokusai “The Great Wave”, yang menggambarkan gelombang tsunami dengan latar belakang Fuji. Jika Anda perhatikan lebih dekat gambar ini, Anda akan melihat bahwa saat menggambar puncak gelombang, sang seniman menggunakan fraktal, seolah-olah terdiri dari banyak cakar air predator. Oleh karena itu, gambar ini sering digunakan sebagai ilustrasi untuk buku-buku tentang teori chaos dan fraktal.
Ketika bukit pasir terkikis oleh air, dalam skala kecil ia akan mereplikasi bentuk fraktal pada lanskap Bumi yang lebih besar.
Pelepasan petir adalah salah satu contoh fraktal alami.
Gambar ini tidak hanya mengilustrasikan sifat fraktal tajuk pohon, namun juga memberikan pertimbangan menarik lainnya: hutan sebagai komunitas biologis juga merupakan fraktal. Masing-masing pohon - besar dan kecil - kemudian bertindak sebagai cabang fraktal. Mereka serupa, tetapi tidak saling mengulangi.
Urat daun adalah fraktal alami yang datar. Setiap tumbuhan memiliki ciri khas polanya yang unik, sama seperti pola papiler di tangan seseorang yang unik. Goethe (penyair dan ilmuwan) percaya bahwa daun adalah bagian tanaman yang paling ekspresif, yang mencerminkan keseluruhan morfologinya.
Pakis merupakan salah satu contoh fraktal alam yang sangat mirip dengan fraktal komputer. Selain itu, pakis juga menarik karena pakis merupakan salah satu tumbuhan purba yang paling berevolusi secara evolusioner, bersama dengan berbagai lumut dan tumbuhan tingkat rendah lainnya.
Ini adalah contoh fraktal alami yang terkenal dan sangat mengesankan yang memiliki bentuk yang jelas secara matematis. Setidaknya ada tiga tingkat piramida cerdik yang serupa dengan kubis Romanesco
Fraktal yang sangat indah dan dapat menginspirasi beberapa seniman. Sementara itu, perhatikan lebih dekat: ini hanyalah seikat daun kubis yang rapat.
Ini adalah contoh menarik dari struktur fraktal di dunia mineral. Nugget Emas Karbonat Apatite adalah harta karun indah yang dibuat oleh alam itu sendiri.
Pernahkah Anda berpikir bahwa kita benar-benar berpikir dalam fraktal? Ada sesuatu yang perlu dipikirkan di sini - siapa yang berpendapat bahwa otak adalah salah satu ciptaan alam yang paling menakjubkan dan unik. Dan ternyata secara lahiriah ia memiliki ciri fraktal yang sama dengan awan atmosfer atau sistem akar jelatang.
Di sini segalanya menjadi lebih rumit: dua pohon fraktal terpisah saling terkait - darah vena disuplai ke satu pohon, dan darah arteri yang kaya oksigen dibuang ke yang lain. Dan secara keseluruhan, paru-paru adalah sistem yang luar biasa kompleks yang terdiri dari tiga fraktal - satu pernafasan dan dua peredaran darah.
Retina mengandung sel peka cahaya yang memungkinkan kita melihat. Di foto ini warnanya hijau kekuningan. Mereka memang membentuk jaringan (retina), namun jaringan ini kacau dan fraktal.
Ini adalah perut babi. Bintik-bintik warnanya juga tampaknya mengikuti aturan fraktal. Ini adalah topik yang menarik dan, yang paling penting, memiliki banyak penerapan, termasuk kepentingan militer. Dengan aturan apa pola kamuflase harus dibuat agar pemakainya menyatu dengan bentuk alam - lanskap dan tumbuh-tumbuhan?
Terima kasih atas perhatian Anda!!!
Bentuk matematika yang dikenal sebagai fraktal berasal dari kejeniusan ilmuwan terkemuka Benoit Mandelbrot. Dia menghabiskan sebagian besar hidupnya di Amerika Serikat, tempat dia mengajar matematika di Universitas Yale. Pada tahun 1977 dan 1982, Mandelbrot menerbitkan karya ilmiah yang ditujukan untuk studi "geometri fraktal" atau "geometri alam", di mana ia memecah bentuk matematika yang tampaknya acak menjadi elemen-elemen penyusunnya yang, jika diamati lebih dekat, ternyata berulang - yang mana membuktikan adanya semacam pola penyalinan. Penemuan Mandelbrot membawa dampak positif yang signifikan bagi perkembangan fisika, astronomi dan biologi.
Bagaimana cara kerja fraktal?
Fraktal (dari bahasa Latin "fractus" - pecah, hancur, pecah) adalah bangun geometri kompleks yang terdiri dari beberapa rangkaian bagian tak terhingga, yang masing-masing mirip dengan keseluruhan gambar, dan diulang seiring dengan penurunan skala.
Struktur fraktal pada semua skala tidaklah sepele. Di sini kita perlu memperjelas apa yang dimaksud. Jadi, bangun-bangun beraturan, seperti lingkaran, elips, atau grafik fungsi halus, disusun sedemikian rupa sehingga bila memperhatikan suatu penggalan kecil dari suatu bangun datar dalam skala yang cukup besar, maka akan serupa dengan penggalan. sebuah garis lurus. Untuk fraktal, peningkatan skala tidak menyederhanakan struktur gambar, dan pada semua skala kita melihat gambaran kompleks yang seragam.
Di alam banyak benda yang mempunyai sifat fraktal, misalnya: tajuk pohon, kembang kol, awan, sistem peredaran darah dan alveolar manusia dan hewan, kristal, kepingan salju yang unsur-unsurnya tersusun menjadi satu struktur yang kompleks, garis pantai (konsep fraktal diperbolehkan ilmuwan untuk mengukur garis pantai Kepulauan Inggris dan objek lain yang sebelumnya tidak dapat diukur).
Mari kita lihat struktur kembang kol. Jika Anda memotong salah satu bunganya, terlihat jelas kembang kol yang sama tetap ada di tangan Anda, hanya saja ukurannya lebih kecil. Kita dapat terus memotongnya berulang kali, bahkan di bawah mikroskop – namun yang kita dapatkan hanyalah salinan kecil dari kembang kol. Dalam kasus paling sederhana ini, bahkan sebagian kecil dari fraktal berisi informasi tentang keseluruhan struktur akhir.
Contoh mencolok dari fraktal di alam adalah “Romanescu”, juga dikenal sebagai “brokoli Romanescu” atau “kembang kol karang”. Sayuran eksotis ini pertama kali disebutkan berasal dari Italia pada abad ke-16. Tunas kubis ini tumbuh dalam spiral logaritmik. Seniman, desainer, dan koki 3D tidak pernah berhenti mengaguminya. Terlebih lagi, yang terakhir ini sangat menghargai sayuran karena rasanya yang paling halus (manis dan pedas, bukan belerang) yang dimiliki kubis, dan karena tidak terlalu rapuh dibandingkan kembang kol biasa. Selain itu, brokoli romaine kaya akan vitamin C, antioksidan, dan karotenoid.
Fraktal dalam teknologi digital
Geometri fraktal telah memberikan kontribusi yang sangat berharga bagi perkembangan teknologi baru di bidang musik digital, dan juga memungkinkan kompresi gambar digital. Algoritma kompresi gambar fraktal yang ada didasarkan pada prinsip menyimpan gambar terkompresi, bukan gambar digital itu sendiri. Untuk gambar terkompresi, gambar utama tetap berupa titik tetap. Microsoft menggunakan salah satu varian algoritma ini ketika menerbitkan ensiklopedianya, namun karena satu dan lain hal ide ini tidak digunakan secara luas.
Prinsip kompresi fraktal informasi untuk penyimpanan kompak informasi tentang node jaringan “Netsukuku” digunakan oleh sistem untuk menetapkan alamat IP. Setiap node menyimpan 4 kilobyte informasi tentang status node tetangga. Setiap node baru terhubung ke Internet umum tanpa memerlukan peraturan pusat tentang distribusi alamat IP. Kita dapat menyimpulkan bahwa prinsip kompresi fraktal informasi memastikan operasi seluruh jaringan terdesentralisasi, dan oleh karena itu pekerjaan di dalamnya berlangsung sestabil mungkin.
Fraktal banyak digunakan dalam grafik komputer - saat membuat gambar pohon, semak, permukaan laut, lanskap gunung, dan objek alam lainnya. Berkat grafik fraktal, cara efektif ditemukan untuk mengimplementasikan objek non-Euclidean kompleks yang gambarnya mirip dengan gambar alami: ini adalah algoritme untuk mensintesis koefisien fraktal, yang memungkinkan untuk mereproduksi salinan gambar apa pun sedekat mungkin dengan gambar. asli. Menariknya, selain “lukisan” fraktal, ada juga musik fraktal dan animasi fraktal. Dalam seni rupa, ada arahan yang berhubungan dengan perolehan gambaran fraktal acak - “fraktal monotipe” atau “stochatypy”.
Dasar matematika dari grafik fraktal adalah geometri fraktal, dimana prinsip pewarisan dari “objek induk” asli menjadi dasar metode untuk membangun “gambar pewaris”. Konsep geometri fraktal dan grafik fraktal baru muncul sekitar 30 tahun yang lalu, namun telah tertanam kuat dalam kehidupan sehari-hari para perancang komputer dan matematikawan.
Konsep dasar grafik komputer fraktal adalah:
- Segitiga fraktal - gambar fraktal - objek fraktal (hierarki dalam urutan menurun)
- Garis fraktal
- Komposisi fraktal
- “Objek induk” dan “Objek penerus”
Bagaimana cara membuat fraktal?
Pencipta fraktal berperan sebagai seniman, fotografer, pematung, dan ilmuwan-penemu pada saat yang bersamaan. Apa saja tahapan selanjutnya dalam membuat gambar dari awal?
- mengatur bentuk gambar menggunakan rumus matematika
- menyelidiki konvergensi proses dan memvariasikan parameternya
- pilih jenis gambar
- pilih palet warna
Di antara editor grafis fraktal dan program grafis lainnya yang dapat kami soroti:
"Penikmat Seni"
“Pelukis” (tanpa komputer, tidak ada seniman yang akan mencapai kemampuan yang ditetapkan oleh programmer hanya melalui pensil dan kuas)
"Adobe Photoshop" (tetapi di sini gambar tidak dibuat "dari awal", tetapi biasanya hanya diproses)
Alam adalah ciptaan yang sempurna, yakin para ilmuwan, yang menemukan proporsi bagian emas dalam struktur tubuh manusia, dan figur fraktal di kepala kembang kol.
“Studi dan pengamatan terhadap alam melahirkan ilmu pengetahuan,” tulis Cicero pada abad pertama SM. Di kemudian hari, dengan berkembangnya ilmu pengetahuan dan semakin menjauhkannya dari studi tentang alam, para ilmuwan terkejut menemukan apa yang diketahui nenek moyang kita, namun tidak dikonfirmasi oleh metode ilmiah.
Menarik untuk menemukan formasi serupa di mikro dan makrokosmos; juga menginspirasi bahwa sains dapat menggambarkan geometri formasi ini. Sistem peredaran darah, sungai, petir, dahan pohon... semuanya adalah sistem yang serupa, terdiri dari partikel yang berbeda dan skala yang berbeda.
Proporsi “rasio emas”
Bahkan orang Yunani kuno, dan mungkin orang Mesir, mengetahui proporsi “bagian emas”. Luca Pacioli, seorang matematikawan Renaisans, menyebut rasio ini sebagai “proporsi ilahi”. Belakangan, para ilmuwan menemukan bahwa rasio emas, yang sangat memanjakan mata manusia dan sering ditemukan dalam arsitektur klasik, seni, dan bahkan puisi, dapat ditemukan di mana pun di alam.
Rasio emas adalah pembagian suatu ruas menjadi dua bagian yang tidak sama, dimana bagian yang pendek berhubungan dengan bagian yang panjang, sedangkan bagian yang panjang berhubungan dengan keseluruhan ruas. Perbandingan bagian panjang dengan seluruh ruas adalah bilangan tak terhingga, pecahan irasional 0,618..., perbandingan bagian pendek adalah 0,382...
Jika Anda membuat sebuah persegi panjang dengan sisi-sisi yang perbandingannya sama dengan proporsi “rasio emas”, dan menuliskan “persegi panjang emas” yang lain ke dalamnya, persegi panjang lain ke dalam persegi itu, dan seterusnya ad infinitum ke dalam dan ke luar, maka sebuah spiral dapat digambar sepanjang titik sudut persegi panjang. Menariknya, spiral semacam itu akan bertepatan dengan potongan cangkang nautilus, serta spiral lain yang ditemukan di alam.
Ilustrasi: Homk/wikipedia.org
Fosil Nautilus.
Foto: Studio-Annika/Photos.com
Cangkang Nautilus.
Foto: Chris 73/en.wikipedia.org
Proporsi rasio emas dianggap indah dan harmonis oleh mata manusia. Dan proporsi 0,618... sama dengan rasio angka sebelumnya dan berikutnya dalam deret Fibonacci. Angka Fibonacci muncul di mana-mana di alam: ini adalah spiral di mana cabang-cabang tanaman berdampingan dengan batang, spiral di mana sisik tumbuh pada kerucut pinus, atau butiran pada bunga matahari. Menariknya, jumlah baris yang berputar berlawanan arah jarum jam dan searah jarum jam merupakan angka yang berdekatan dalam deret Fibonacci.
Kepala kubis brokoli dan tanduk domba jantan berputar membentuk spiral... Dan di dalam tubuh manusia itu sendiri, tentu saja, sehat dan proporsinya normal, terdapat rasio rasio emas.
Manusia Vitruvian. Gambar oleh Leonardo da Vinci.
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ... adalah bilangan-bilangan dalam deret Fibonacci yang setiap suku berikutnya diperoleh dari penjumlahan dua suku sebelumnya. Galaksi spiral jauh yang difoto oleh satelit juga berputar dalam spiral Fibonacci.
Galaksi spiral.
Foto: NASA
Tiga siklon tropis.
Foto: NASA
Molekul DNA dipelintir dalam heliks ganda.
DNA manusia yang terpelintir.
Ilustrasi: Zephyris/en.wikipedia.org
Badai berputar dalam bentuk spiral, laba-laba menjalin jaringnya dalam bentuk spiral.
Jaring laba-laba silang.
Foto: Vincent de Groot/videgro.net
“Proporsi emas” juga terlihat pada struktur tubuh kupu-kupu, pada bagian dada dan perut, serta pada capung. Dan sebagian besar telur cocok, jika tidak ke dalam persegi panjang bagian emas, maka ke dalam turunannya.
Ilustrasi: Adolf Millot
Fraktal
Bentuk menarik lainnya yang bisa kita lihat di mana pun di alam adalah fraktal. Fraktal adalah gambar yang terdiri dari bagian-bagian, yang masing-masing mirip dengan keseluruhan gambar - bukankah ini mengingatkan Anda pada prinsip rasio emas?
Pohon, petir, bronkus, dan sistem peredaran darah manusia memiliki bentuk fraktal; pakis dan brokoli juga disebut ilustrasi fraktal alami yang ideal. “Semuanya begitu rumit, semuanya begitu sederhana” begitulah cara alam bekerja, orang-orang memperhatikannya, mendengarkannya dengan hormat.
“Alam telah menganugerahi manusia keinginan untuk menemukan kebenaran,” tulis Cicero, yang dengan kata-katanya saya ingin mengakhiri bagian pertama artikel tentang geometri di alam.
Brokoli adalah ilustrasi alami fraktal yang sempurna.
Foto: pdphoto.org
Daun pakis berbentuk figur fraktal - mirip dengan dirinya sendiri.
Foto: Stockbyte/Photos.com
Fraktal hijau: daun pakis.
Foto: John Foxx/Photos.com
Pembuluh darah pada daun yang menguning, berbentuk seperti fraktal.
Foto: Diego Barucco/Photos.com
Retakan pada batu: fraktal dalam makro.
Foto: Bob Beale/Photos.com
Cabang-cabang sistem peredaran darah di telinga kelinci.
Foto: Lusoimages/Photos.com
Sambaran petir - cabang fraktal.
Foto: John R. Southern/flickr.com
Cabang arteri pada tubuh manusia.
Sungai berkelok-kelok dan cabang-cabangnya.
Foto: Jupiterimages/Photos.com
Es yang dibekukan di atas kaca memiliki pola serupa.
Foto: Schnobby/en.wikipedia.org
Daun ivy dengan urat bercabang - berbentuk fraktal.
Foto: Wojciech Plonka/Photos.com
Bagaimana fraktal ditemukan
Bentuk matematika yang dikenal sebagai fraktal berasal dari kejeniusan ilmuwan terkemuka Benoit Mandelbrot. Hampir sepanjang hidupnya ia mengajar matematika di Universitas Yale di Amerika. Pada tahun 1977 - 1982, Mandelbrot menerbitkan karya ilmiah yang ditujukan untuk studi "geometri fraktal" atau "geometri alam", di mana ia memecah bentuk-bentuk matematika yang tampaknya acak menjadi elemen-elemen komponen yang, setelah diperiksa lebih dekat, ternyata berulang - yang mana membuktikan adanya model penyalinan tertentu. Penemuan Mandelbrot mempunyai dampak yang signifikan terhadap perkembangan fisika, astronomi dan biologi.
Fraktal di alam
Di alam banyak benda yang mempunyai sifat fraktal, misalnya: tajuk pohon, kembang kol, awan, sistem peredaran darah dan alveolar manusia dan hewan, kristal, kepingan salju yang unsur-unsurnya tersusun menjadi satu struktur yang kompleks, garis pantai (konsep fraktal diperbolehkan ilmuwan untuk mengukur garis pantai Kepulauan Inggris dan objek lain yang sebelumnya tidak dapat diukur).
Mari kita lihat struktur kembang kol. Jika Anda memotong salah satu bunganya, terlihat jelas kembang kol yang sama tetap ada di tangan Anda, hanya saja ukurannya lebih kecil. Kita dapat terus memotongnya berulang kali, bahkan di bawah mikroskop – namun yang kita dapatkan hanyalah salinan kecil dari kembang kol. Dalam kasus paling sederhana ini, bahkan sebagian kecil dari fraktal berisi informasi tentang keseluruhan struktur akhir.
Fraktal dalam teknologi digital
Geometri fraktal telah memberikan kontribusi yang sangat berharga bagi perkembangan teknologi baru di bidang musik digital, dan juga memungkinkan kompresi gambar digital. Algoritma kompresi gambar fraktal yang ada didasarkan pada prinsip menyimpan gambar terkompresi, bukan gambar digital itu sendiri. Untuk gambar terkompresi, gambar utama tetap berupa titik tetap. Microsoft menggunakan salah satu varian algoritma ini ketika menerbitkan ensiklopedianya, namun karena satu dan lain hal ide ini tidak digunakan secara luas.
Dasar matematika dari grafik fraktal adalah geometri fraktal, dimana prinsip pewarisan dari “objek induk” asli menjadi dasar metode untuk membangun “gambar pewaris”. Konsep geometri fraktal dan grafik fraktal baru muncul sekitar 30 tahun yang lalu, namun telah tertanam kuat dalam kehidupan sehari-hari para perancang komputer dan matematikawan.
Konsep dasar grafik komputer fraktal adalah:
- Segitiga fraktal - gambar fraktal - objek fraktal (hierarki dalam urutan menurun)
- Garis fraktal
- Komposisi fraktal
- “Objek induk” dan “Objek penerus”
Sama seperti grafik vektor dan tiga dimensi, pembuatan gambar fraktal dihitung secara matematis. Perbedaan utama dari dua jenis grafik pertama adalah bahwa gambar fraktal dibuat berdasarkan persamaan atau sistem persamaan - Anda tidak perlu menyimpan apa pun selain rumus di memori komputer untuk melakukan semua perhitungan - dan ini kekompakan peralatan matematika memungkinkan penggunaan ide ini dalam grafik komputer. Cukup dengan mengubah koefisien persamaan, Anda dapat dengan mudah mendapatkan gambar fraktal yang benar-benar berbeda - menggunakan beberapa koefisien matematika, permukaan dan garis dengan bentuk yang sangat kompleks ditentukan, yang memungkinkan Anda menerapkan teknik komposisi seperti horizontal dan vertikal, simetri dan asimetri , arah diagonal dan banyak lagi.
Bagaimana cara membuat fraktal?
Pencipta fraktal berperan sebagai seniman, fotografer, pematung, dan ilmuwan-penemu pada saat yang bersamaan. Apa saja tahapan selanjutnya dalam membuat gambar dari awal?
- mengatur bentuk gambar menggunakan rumus matematika
- menyelidiki konvergensi proses dan memvariasikan parameternya
- pilih jenis gambar
- pilih palet warna
Di antara editor grafis fraktal dan program grafis lainnya yang dapat kami soroti:
- "Penikmat Seni"
- “Pelukis” (tanpa komputer, tidak ada seniman yang akan mencapai kemampuan yang ditetapkan oleh programmer hanya melalui pensil dan kuas)
- "Adobe Photoshop" (tetapi di sini gambar tidak dibuat "dari awal", tetapi biasanya hanya diproses)
Mari kita perhatikan struktur bangun geometri fraktal sembarang. Di tengahnya terdapat elemen paling sederhana - segitiga sama sisi, yang menerima nama yang sama: "fraktal". Pada ruas tengah sisi-sisinya, kita akan membuat segitiga sama sisi dengan sisi yang sama dengan sepertiga sisi segitiga fraktal aslinya. Dengan menggunakan prinsip yang sama, segitiga penerus yang lebih kecil dari generasi kedua dibangun - dan seterusnya hingga tak terhingga. Objek yang dihasilkan disebut “gambar fraktal”, dari urutannya kita memperoleh “komposisi fraktal”.
Sumber: http://www.iknowit.ru/
Fraktal dan mandala kuno
Pada prinsipnya, mandala adalah simbol geometris dari suatu struktur kompleks, yang diartikan sebagai model Alam Semesta, sebuah “peta kosmos”. Ini adalah tanda pertama dari fraktalitas!
Mereka disulam di atas kain, dilukis di atas pasir, dibuat dengan bubuk berwarna dan terbuat dari logam, batu, kayu. Tampilannya yang cerah dan mempesona menjadikannya dekorasi yang indah untuk lantai, dinding, dan langit-langit kuil di India. Dalam bahasa India kuno, “mandala” berarti lingkaran mistik hubungan antara energi spiritual dan material Alam Semesta, atau dengan kata lain, bunga kehidupan.
Saya ingin menulis ulasan singkat tentang mandala fraktal, dengan paragraf minimal, yang menunjukkan bahwa hubungannya jelas ada. Namun, saat mencoba memahami dan menghubungkan informasi tentang fraktal dan mandala menjadi satu kesatuan, saya merasakan lompatan kuantum ke ruang yang tidak saya ketahui.
Saya menunjukkan besarnya topik ini dengan kutipan: “Komposisi fraktal atau mandala seperti itu dapat digunakan dalam bentuk lukisan, elemen desain ruang hidup dan kerja, jimat yang dapat dikenakan, dalam bentuk kaset video, program komputer…” Dalam Secara umum, topik studi fraktal sangatlah besar.
Satu hal yang dapat saya katakan dengan pasti adalah bahwa dunia ini jauh lebih beragam dan kaya dibandingkan dengan gagasan buruk yang kita miliki tentang dunia.
Hewan laut fraktal
Dugaan saya tentang hewan laut fraktal bukannya tidak berdasar. Inilah perwakilan pertama. Gurita adalah hewan laut yang hidup di dasar laut dari ordo cephalopoda.
Melihat foto ini, struktur fraktal tubuhnya dan pengisap pada kedelapan tentakel hewan ini menjadi jelas bagi saya. Jumlah pengisap pada tentakel gurita dewasa mencapai hingga 2000.
Fakta menarik adalah gurita memiliki tiga jantung: satu (yang utama) menggerakkan darah biru ke seluruh tubuh, dan dua lainnya - insang - mendorong darah melalui insang. Beberapa jenis fraktal laut dalam beracun.
Dengan beradaptasi dan menyamarkan diri terhadap lingkungannya, gurita memiliki kemampuan yang sangat berguna untuk mengubah warna.
Gurita dianggap yang paling “pintar” dari semua invertebrata. Mereka mengenal orang-orang dan terbiasa dengan orang yang memberi mereka makan. Menarik sekali melihat gurita yang mudah dilatih, memiliki daya ingat yang baik, dan bahkan mengenali bentuk geometris. Namun umur hewan fraktal ini pendek - maksimal 4 tahun.
Manusia menggunakan tinta fraktal hidup dan cephalopoda lainnya. Mereka dicari oleh para seniman karena daya tahannya dan warna coklatnya yang indah. Dalam masakan Mediterania, gurita merupakan sumber vitamin B3, B12, potasium, fosfor dan selenium. Namun menurut saya Anda perlu mengetahui cara memasak fraktal laut ini agar dapat menikmati memakannya sebagai makanan.
Omong-omong, perlu dicatat bahwa gurita adalah predator. Dengan tentakel fraktalnya, mereka memangsa mangsa berupa moluska, krustasea, dan ikan. Sangat disayangkan jika moluska cantik seperti itu menjadi makanan para fraktal laut tersebut. Menurut pendapat saya, dia juga merupakan perwakilan khas fraktal kerajaan laut.
Ini adalah kerabat siput, gastropoda nudibranch Glaucus, juga dikenal sebagai Glaucus, juga dikenal sebagai Glaucus atlanticus, juga dikenal sebagai Glaucilla marginata. Fraktal ini juga tidak biasa karena ia hidup dan bergerak di bawah permukaan air, tertahan oleh tegangan permukaan. Karena moluska bersifat hermafrodit, kemudian setelah kawin kedua “pasangan” bertelur. Fraktal ini ditemukan di semua lautan di zona tropis.
Fraktal kerajaan laut
Masing-masing dari kita, setidaknya sekali dalam hidup kita, memegang kerang laut di tangan kita dan memeriksanya dengan minat kekanak-kanakan yang tulus.
Biasanya kerang menjadi oleh-oleh cantik yang mengingatkan kita pada perjalanan ke laut. Jika Anda melihat formasi spiral moluska invertebrata ini, tidak ada keraguan tentang sifat fraktalnya.
Kita manusia mirip dengan moluska bertubuh lunak, tinggal di rumah fraktal beton yang ditata apik, menempatkan dan menggerakkan tubuh kita di dalam mobil cepat.
Perwakilan khas lain dari dunia bawah laut fraktal adalah karang.
Ada lebih dari 3.500 jenis karang yang dikenal di alam, dengan palet hingga 350 corak warna.
Karang merupakan bahan kerangka koloni polip karang, juga dari famili invertebrata. Akumulasi besar mereka membentuk seluruh terumbu karang, yang metode pembentukan fraktalnya jelas.
Karang dengan penuh keyakinan dapat disebut sebagai fraktal dari kerajaan laut.
Selain itu juga digunakan manusia sebagai souvenir atau bahan baku perhiasan dan ornamen. Namun sangat sulit untuk meniru keindahan dan kesempurnaan alam fraktal.
Sekali lagi, melakukan ritual di dapur dengan pisau dan talenan, lalu mencelupkan pisau ke dalam air dingin, saya menangis dan sekali lagi menemukan cara mengatasi fraktal air mata yang muncul di depan mata saya hampir setiap hari. .
Prinsip fraktalitas sama dengan prinsip boneka bersarang yang terkenal - bersarang. Inilah sebabnya mengapa fraktalitas tidak segera diperhatikan. Selain itu, cahaya, warna seragam dan kemampuan alaminya untuk menimbulkan sensasi tidak menyenangkan tidak berkontribusi pada pengamatan dekat terhadap alam semesta dan identifikasi pola matematika fraktal.
Namun bawang selada berwarna ungu, karena warnanya dan tidak adanya fitoncides penghasil air mata, membuat saya berpikir tentang fraktalitas alami sayuran ini. Tentu saja, ini adalah fraktal sederhana, lingkaran biasa dengan diameter berbeda, bahkan bisa dikatakan fraktal paling primitif. Namun tidak ada salahnya untuk mengingat bahwa bola dianggap sebagai sosok geometris ideal di Alam Semesta kita.
Banyak artikel telah dipublikasikan di Internet tentang khasiat bawang bombay yang bermanfaat, namun entah bagaimana belum ada yang mencoba mempelajari spesimen alami ini dari sudut pandang fraktalitas. Saya hanya bisa menyatakan kegunaan fraktal berbentuk bawang di dapur saya.
P.S. Saya sudah membeli pemotong sayur untuk memotong fraktal. Sekarang kita harus memikirkan betapa fraktalnya sayuran sehat seperti kubis putih biasa. Prinsip bersarang yang sama.
Fraktal dalam kesenian rakyat
Kisah mainan Matryoshka yang terkenal di dunia menarik perhatian saya. Jika dicermati, kita dapat mengatakan dengan yakin bahwa mainan suvenir ini adalah tipikal fraktal.
Prinsip fraktalitas terlihat jelas ketika semua figur mainan kayu disusun berjajar dan tidak saling bersarang.
Penelitian kecil saya tentang sejarah kemunculan mainan fraktal ini di pasar dunia menunjukkan bahwa akar dari keindahan ini adalah Jepang. Boneka matryoshka selalu dianggap sebagai suvenir asli Rusia. Tapi ternyata dia adalah prototipe patung Jepang dari orang bijak tua Fukuruma, yang pernah dibawa ke Moskow dari Jepang.
Namun industri mainan Rusia-lah yang membuat patung Jepang ini terkenal di dunia. Dari mana ide pembuatan sarang fraktal pada sebuah mainan berasal masih menjadi misteri bagi saya pribadi. Kemungkinan besar, penulis mainan ini menggunakan prinsip figur bersarang di dalam satu sama lain. Dan cara termudah untuk berinvestasi adalah angka serupa dengan ukuran berbeda, dan ini sudah menjadi fraktal.
Objek kajian yang tak kalah menarik adalah lukisan mainan fraktal. Ini lukisan dekoratif - Khokhloma. Elemen tradisional Khokhloma adalah pola herbal bunga, buah beri, dan ranting.
Sekali lagi semua tanda-tanda fraktalitas. Bagaimanapun, elemen yang sama dapat diulang beberapa kali dalam versi dan proporsi yang berbeda. Hasilnya adalah lukisan fraktal rakyat.
Dan jika Anda tidak akan mengejutkan siapa pun dengan lukisan mouse komputer, sampul laptop, dan telepon bermodel baru, maka penyetelan fraktal mobil dengan gaya rakyat adalah sesuatu yang baru dalam desain otomotif. Kita hanya bisa takjub melihat perwujudan dunia fraktal dalam hidup kita dengan cara yang tidak biasa dalam hal-hal yang biasa bagi kita.
Fraktal di dapur
Perwakilan khas fraktal dari dunia tumbuhan ada di meja dapur saya.
Dengan segenap kecintaan saya pada kembang kol, saya selalu menemukan spesimen dengan permukaan seragam tanpa tanda-tanda fraktalitas yang terlihat, dan bahkan sejumlah besar bunga yang bersarang satu sama lain tidak memberi saya alasan untuk melihat fraktal dalam sayuran yang bermanfaat ini.
Namun permukaan spesimen khusus ini, dengan geometri fraktal yang terdefinisi dengan jelas, tidak meninggalkan keraguan sedikit pun tentang asal usul fraktal kubis jenis ini.
Perjalanan lain ke hypermarket hanya mengkonfirmasi status fraktal kubis. Di antara sejumlah besar sayuran eksotik terdapat sekotak fraktal. Itu adalah brokoli Romanescu, atau brokoli Romawi, kembang kol.
Ternyata para desainer dan seniman 3D mengagumi bentuk fraktalnya yang eksotis.
Tunas kubis tumbuh dalam spiral logaritmik. Kubis Romanescu pertama kali disebutkan berasal dari Italia pada abad ke-16.
Dan kubis brokoli jarang menjadi menu makanan saya, meskipun berkali-kali lipat lebih unggul dari kembang kol dalam hal kandungan nutrisi dan unsur mikro. Namun permukaan dan bentuknya sangat seragam sehingga tidak pernah terpikir oleh saya untuk melihat fraktal sayuran di dalamnya.
Fraktal dalam quilling
Setelah melihat kerajinan kerawang menggunakan teknik quilling, saya tidak pernah kehilangan perasaan bahwa itu mengingatkan saya pada sesuatu. Pengulangan elemen yang sama dalam ukuran berbeda tentu saja merupakan prinsip fraktalitas.
Setelah menonton kelas master quilling lainnya, tidak ada keraguan lagi tentang sifat fraktal quilling. Memang, untuk membuat berbagai elemen kerajinan quilling, digunakan penggaris khusus dengan lingkaran dengan diameter berbeda. Terlepas dari semua keindahan dan keunikan produknya, ini adalah teknik yang sangat sederhana.
Hampir semua elemen utama kerajinan quilling terbuat dari kertas. Untuk menyimpan kertas quilling gratis, lihat rak buku Anda di rumah. Pastinya, Anda akan menemukan beberapa majalah mengkilap cerah di sana.
Alat quilling sederhana dan murah. Semua yang Anda perlukan untuk melakukan pekerjaan quilling amatir dapat ditemukan di antara perlengkapan alat tulis rumah Anda.
Dan sejarah quilling dimulai pada abad ke-18 di Eropa. Selama masa Renaisans, para biksu dari biara-biara Perancis dan Italia menggunakan quilling untuk menghias sampul buku dan bahkan tidak menyadari sifat fraktal dari teknik menggulung kertas yang mereka temukan. Gadis-gadis dari kalangan atas bahkan mengikuti kursus quilling di sekolah khusus. Dari sinilah teknik ini mulai menyebar ke seluruh negara dan benua.
Video kelas master quilling tentang cara membuat bulu yang mewah ini bahkan bisa disebut “fraktal do-it-yourself”. Dengan bantuan fraktal kertas, diperoleh kartu Valentine eksklusif yang indah dan banyak hal menarik lainnya. Bagaimanapun, fantasi, seperti alam, tidak ada habisnya.
Bukan rahasia lagi bahwa orang Jepang sangat terbatas dalam ruang hidup, dan oleh karena itu mereka harus berusaha semaksimal mungkin untuk menggunakannya secara efektif. Takeshi Miyakawa menunjukkan bagaimana hal ini dapat dilakukan secara efektif dan estetis. Kabinet fraktalnya menegaskan bahwa penggunaan fraktal dalam desain tidak hanya sebagai penghormatan terhadap fashion, tetapi juga solusi desain yang harmonis dalam kondisi ruang terbatas.
Contoh penggunaan fraktal dalam kehidupan nyata, dalam kaitannya dengan desain furnitur, menunjukkan kepada saya bahwa fraktal itu nyata tidak hanya di atas kertas dalam rumus matematika dan program komputer.
Dan sepertinya alam menggunakan prinsip fraktalitas dimana-mana. Anda hanya perlu melihatnya lebih dekat, dan itu akan terwujud dalam segala kelimpahannya yang luar biasa dan keberadaannya yang tak terbatas.
