Selain rata-rata hukum daya dalam statistik, untuk karakteristik relatif dari besaran atribut yang bervariasi dan struktur internal deret distribusi, digunakan rata-rata struktural, yang terutama diwakili oleh modus dan median.

Mode- Ini adalah varian paling umum dari seri ini. Fashion digunakan, misalnya, dalam menentukan ukuran pakaian, sepatu, yang paling diminati pembeli. Modus untuk deret diskrit adalah varian dengan frekuensi tertinggi. Saat menghitung mode untuk seri variasi interval, Anda harus terlebih dahulu menentukan interval modal (dengan frekuensi maksimum), dan kemudian nilai nilai modal atribut sesuai dengan rumus:

median - ini adalah nilai fitur yang mendasari seri peringkat dan membagi seri ini menjadi dua bagian yang sama jumlahnya.

Untuk menentukan mediannya dalam deret diskrit di hadapan frekuensi, setengah jumlah frekuensi pertama-tama dihitung, dan kemudian ditentukan nilai varian apa yang jatuh padanya. (Jika baris yang diurutkan berisi jumlah fitur ganjil, maka jumlah median dihitung dengan rumus:

M e \u003d (n (jumlah fitur dalam agregat) + 1) / 2,

dalam kasus jumlah fitur genap, median akan sama dengan rata-rata dari dua fitur di tengah baris).

Saat menghitung median untuk seri variasi interval pertama-tama tentukan interval median di mana median berada, dan kemudian nilai median sesuai dengan rumus:

Contoh. Cari modus dan median.

Keputusan:
Dalam contoh ini, interval modal berada dalam kelompok usia 25-30 tahun, karena interval ini merupakan frekuensi tertinggi (1054).

Mari kita hitung nilai modusnya:

Artinya usia modal siswa adalah 27 tahun.

Mari kita hitung mediannya. Interval median berada pada kelompok umur 25-30 tahun, karena pada interval tersebut terdapat varian yang membagi penduduk menjadi dua bagian sama besar (Σf i /2 = 3462/2 = 1731). Selanjutnya, kami mengganti data numerik yang diperlukan ke dalam rumus dan mendapatkan nilai median:

Artinya, separuh siswa berusia di bawah 27,4 tahun, dan separuhnya lagi berusia di atas 27,4 tahun.

Selain mode dan median, indikator seperti kuartil yang membagi seri peringkat menjadi 4 bagian yang sama, desil - 10 bagian dan persentil - menjadi 100 bagian dapat digunakan.

Lyudmila Prokofievna Kalugina (atau hanya "Mymra") dalam film luar biasa "Office Romance" mengajar Novoseltsev: "Statistik adalah ilmu, tidak mentolerir perkiraan." Agar tidak jatuh di bawah tangan panas bos yang ketat Kalugina (dan pada saat yang sama dengan mudah menyelesaikan tugas-tugas dari Ujian Negara Bersatu dan Ujian Akademik Negara dengan elemen statistik), kami akan mencoba memahami beberapa konsep statistik yang dapat berguna tidak hanya di jalan berduri menaklukkan ujian di Unified State Examination, tetapi juga hanya dalam kehidupan sehari-hari.

Jadi apa itu statistik dan mengapa itu dibutuhkan? Kata “statistik” berasal dari kata latin “status” (status), yang berarti “keadaan dan keadaan/sesuatu”. Statistik berkaitan dengan studi tentang sisi kuantitatif fenomena dan proses sosial massa dalam bentuk numerik, mengungkapkan pola khusus. Saat ini, statistik digunakan di hampir semua bidang kehidupan publik, mulai dari mode, memasak, berkebun, dan diakhiri dengan astronomi, ekonomi, dan kedokteran.

Pertama-tama, ketika berkenalan dengan statistik, perlu mempelajari karakteristik statistik utama yang digunakan untuk analisis data. Nah, mari kita mulai dengan ini!

Karakteristik statistik

Karakteristik statistik utama dari sampel data (apa lagi "sampel"!? Jangan takut, semuanya terkendali, ini adalah kata yang tidak dapat dipahami hanya untuk intimidasi, pada kenyataannya, kata "sampel" berarti hanya data yang akan Anda periksa) meliputi:

1. ukuran sampel,
2. ukuran sampel,
3. rata-rata,
4. mode,
5. median,
6. frekuensi,
7. Frekuensi relatif.

Berhenti berhenti berhenti! Berapa banyak kata baru! Mari kita bicarakan semuanya secara berurutan.

Volume dan Rentang

Misalnya, tabel di bawah ini menunjukkan tinggi badan pemain sepak bola:

Sampel ini diwakili oleh elemen. Dengan demikian, ukuran sampelnya sama.

Rentang sampel yang disajikan adalah cm.

Rata-rata

Tidak terlalu jelas? Mari kita lihat contoh.

Tentukan tinggi rata-rata pemain.

Nah, mari kita mulai? Kami sudah mengetahuinya; .

Kami dapat segera mengganti semuanya dengan berani ke dalam rumus kami:

Jadi, rata-rata tinggi badan seorang pemain timnas adalah cm.

Nah, atau seperti ini contoh:

Selama seminggu, siswa kelas 9 diminta untuk memecahkan sebanyak mungkin contoh dari buku soal. Jumlah contoh yang diselesaikan oleh siswa dalam seminggu diberikan di bawah ini:

Temukan jumlah rata-rata masalah yang diselesaikan.

Jadi, dalam tabel kita disajikan dengan data siswa. Dengan demikian, . Baiklah, pertama-tama mari kita cari jumlah (jumlah total) dari semua masalah yang diselesaikan oleh dua puluh siswa:

Sekarang kita dapat dengan aman melanjutkan ke perhitungan rata-rata aritmatika dari masalah yang diselesaikan, mengetahui bahwa, a:

Jadi, rata-rata siswa kelas 9 menyelesaikan tugas.

Berikut contoh lain untuk memperkuat.

Contoh.

Di pasaran, tomat dijual oleh penjual, dan harga per kg didistribusikan sebagai berikut (dalam rubel): . Berapa harga rata-rata satu kilogram tomat di pasaran?

Keputusan.

Jadi, apa yang setara dalam contoh ini? Itu benar: tujuh penjual menawarkan tujuh harga, yang berarti ! . Nah, kita sudah mengetahui semua komponennya, sekarang kita bisa mulai menghitung harga rata-ratanya:

Nah, apakah Anda mengerti? Kemudian hitung sendiri rata-rata dalam contoh berikut:

Jawaban: .

Modus dan median

Mari kita kembali ke contoh tim sepak bola kita:

Apa modus dalam contoh ini? Berapakah bilangan yang paling umum dalam sampel ini? Itu benar, ini adalah angka, karena dua pemain tingginya cm; pertumbuhan pemain lain tidak terulang. Semuanya harus jelas dan dapat dimengerti di sini, dan kata itu akrab, bukan?

Mari kita beralih ke median, Anda harus mengetahuinya dari kursus geometri. Tetapi tidak sulit bagi saya untuk mengingatnya dalam geometri median(diterjemahkan dari bahasa Latin - "tengah") - segmen di dalam segitiga yang menghubungkan titik sudut segitiga dengan bagian tengah sisi yang berlawanan. Kata kunci TENGAH. Jika Anda mengetahui definisi ini, maka akan mudah bagi Anda untuk mengingat apa itu median dalam statistik.

Nah, kembali ke contoh pemain sepak bola kita?

Apakah Anda memperhatikan poin penting dalam definisi median yang belum kita temui di sini? Tentu saja, "jika baris ini dipesan"! Haruskah kita mengatur semuanya? Untuk memiliki urutan dalam rangkaian angka, dimungkinkan untuk mengatur nilai tinggi pemain baik dalam urutan menurun maupun dalam urutan menaik. Lebih mudah bagi saya untuk membangun seri ini dalam urutan menaik (dari terkecil ke terbesar). Inilah yang saya dapatkan:

Jadi deret sudah diurutkan, apa lagi poin penting dalam menentukan median? Jumlah anggota sampel yang benar, genap dan ganjil. Perhatikan bahwa definisi genap berbeda untuk bilangan genap dan ganjil? Ya, Anda benar, sulit untuk tidak menyadarinya. Dan jika demikian, maka kita perlu memutuskan apakah jumlah pemain dalam sampel kita genap atau ganjil? Itu benar - pemain, jadi jumlahnya ganjil! Sekarang kita dapat menerapkan pada sampel kita definisi median yang tidak terlalu rumit untuk jumlah anggota ganjil dalam sampel. Kami mencari nomor yang ternyata berada di tengah dalam seri pesanan kami:

Nah, kami memiliki angka, yang berarti bahwa lima angka tetap berada di tepi, dan tinggi cm akan menjadi median dalam sampel kami. Tidak begitu sulit, bukan?

Dan sekarang mari kita lihat contoh dengan orang-orang putus asa kita dari kelas 9, yang memecahkan contoh selama seminggu:

Siap mencari mode dan median di seri ini?

Pertama, mari kita susun barisan bilangan ini (urutkan dari bilangan terkecil hingga terbesar). Hasilnya adalah baris ini:

Sekarang kita dapat dengan aman menentukan mode dalam sampel ini. Nomor mana yang paling umum? Betul sekali! Dengan demikian, mode dalam sampel ini adalah sama.

Kami menemukan mode, sekarang kami dapat mulai menemukan median. Tapi pertama-tama, beri tahu saya: berapa ukuran sampel yang dimaksud? Apakah Anda menghitung? Itu benar, ukuran sampelnya sama. A adalah bilangan genap. Jadi, kami menerapkan definisi median untuk deret bilangan dengan jumlah elemen genap. Artinya, kita perlu menemukan dalam seri pesanan kita rata-rata dua angka di tengah. Berapa dua angka yang berada di tengah? Itu benar, dan!

Jadi median dari deret ini adalah rata-rata angka dan:

- median sampel yang dipertimbangkan.

Frekuensi dan frekuensi relatif

Yaitu frekuensi menentukan seberapa sering satu atau nilai lain diulang dalam sampel.

Mari kita lihat contoh kita dengan pemain sepak bola. Di depan kita ada barisan yang teratur:

Frekuensi adalah jumlah pengulangan beberapa nilai parameter. Dalam kasus kami, itu dapat dianggap seperti ini. Berapa banyak pemain yang tinggi? Itu benar, satu pemain. Jadi, frekuensi bertemu pemain dengan tinggi badan dalam sampel kami adalah sama. Berapa banyak pemain yang tinggi? Ya, sekali lagi, satu pemain. Frekuensi pertemuan pemain dengan tinggi dalam sampel kami adalah sama. Dengan mengajukan pertanyaan-pertanyaan ini dan menjawabnya, Anda dapat membuat tabel seperti ini:

Yah, semuanya cukup sederhana. Ingat bahwa jumlah frekuensi harus sama dengan jumlah elemen dalam sampel (ukuran sampel). Yaitu, dalam contoh kita:

Mari kita beralih ke karakteristik berikutnya - frekuensi relatif.

Mari kembali ke contoh pemain sepak bola kita. Kami menghitung frekuensi untuk setiap nilai, kami juga mengetahui jumlah total data dalam seri. Kami menghitung frekuensi relatif untuk setiap nilai pertumbuhan dan mendapatkan tabel berikut:

Dan sekarang buat sendiri tabel frekuensi dan frekuensi relatif sebagai contoh dengan siswa kelas 9 memecahkan masalah.

Tampilan grafis dari data

Sangat sering, untuk kejelasan, data disajikan dalam bentuk bagan/grafik. Mari kita lihat yang utama:

1. grafik batang,
2. Pie chart,
3. grafik batang,
4. poligon

grafik batang

Bagan kolom digunakan ketika ingin menunjukkan dinamika perubahan data dari waktu ke waktu atau distribusi data yang diperoleh sebagai hasil studi statistik.

Misalnya, kami memiliki data berikut tentang nilai tes tertulis di satu kelas:

Jumlah mereka yang menerima penilaian seperti itu adalah yang kita miliki frekuensi. Mengetahui hal ini, kita dapat membuat tabel seperti ini:

Sekarang kita dapat membuat grafik batang visual berdasarkan indikator seperti frekuensi(sumbu horizontal menunjukkan nilai; sumbu vertikal menunjukkan jumlah siswa yang menerima nilai yang sesuai):

Atau kita dapat memplot grafik batang yang sesuai berdasarkan frekuensi relatif:

Perhatikan contoh jenis tugas B3 dari ujian.

Contoh.

Diagram menunjukkan distribusi produksi minyak di negara-negara di dunia (dalam ton) untuk tahun 2011. Di antara negara-negara, tempat pertama dalam produksi minyak ditempati oleh Arab Saudi, tempat ketujuh - oleh Uni Emirat Arab. Di mana AS?

Menjawab: ketiga.

Pie chart

Untuk representasi visual dari hubungan antara bagian-bagian sampel yang diteliti, akan lebih mudah untuk menggunakan diagram lingkaran.

Dari pelat kita dengan frekuensi relatif dari distribusi nilai di kelas, kita dapat membuat diagram lingkaran dengan memecah lingkaran menjadi sektor-sektor yang sebanding dengan frekuensi relatif.

Diagram lingkaran mempertahankan visibilitas dan ekspresinya hanya dengan sejumlah kecil bagian dari populasi. Dalam kasus kami, ada empat bagian seperti itu (menurut perkiraan yang mungkin), sehingga penggunaan diagram jenis ini cukup efektif.

Perhatikan contoh jenis tugas 18 dari GIA.

Contoh.

Diagram menunjukkan distribusi pengeluaran keluarga selama liburan di tepi pantai. Tentukan apa yang paling banyak dihabiskan keluarga?

Menjawab: akomodasi.

Poligon

Dinamika perubahan data statistik dari waktu ke waktu sering digambarkan menggunakan poligon. Untuk membuat poligon, titik ditandai pada bidang koordinat, yang absisnya adalah titik waktu, dan ordinatnya adalah data statistik yang sesuai. Dengan menghubungkan titik-titik ini secara seri dengan segmen, diperoleh garis putus-putus, yang disebut poligon.

Di sini, misalnya, kami diberikan suhu udara rata-rata bulanan di Moskow.

Mari buat data yang diberikan lebih visual - mari kita buat poligon.

Bulan ditampilkan pada sumbu horizontal, suhu ditampilkan pada sumbu vertikal. Kami membangun poin yang sesuai dan menghubungkannya. Inilah yang terjadi:

Setuju, itu segera menjadi lebih jelas!

Sebuah poligon juga digunakan untuk memvisualisasikan distribusi data yang diperoleh sebagai hasil dari studi statistik.

Berikut adalah poligon yang dibangun berdasarkan contoh kami dengan distribusi skor:

Pertimbangkan tugas khas B3 dari ujian.

Contoh.

Titik-titik tebal pada gambar menunjukkan harga aluminium pada penutupan perdagangan bursa pada semua hari kerja dari Agustus hingga Agustus. Tanggal bulan ditunjukkan secara horizontal, harga satu ton aluminium dalam dolar AS ditunjukkan secara vertikal. Untuk kejelasan, titik-titik tebal pada gambar dihubungkan dengan garis. Tentukan dari angka pada tanggal berapa harga aluminium pada penutupan perdagangan adalah yang terendah untuk periode tertentu.

Menjawab: .

grafik batang

Seri data interval digambarkan menggunakan histogram. Histogram adalah sosok melangkah yang terdiri dari persegi panjang tertutup. Alas setiap persegi panjang sama dengan panjang interval, dan tingginya sama dengan frekuensi atau frekuensi relatif. Jadi, dalam histogram, tidak seperti diagram batang biasa, alas persegi panjang tidak dipilih secara sembarangan, tetapi ditentukan secara ketat oleh panjang interval.

Di sini, misalnya, kami memiliki data berikut tentang pertumbuhan pemain yang dipanggil ke tim nasional:

Jadi kita diberikan frekuensi(jumlah pemain dengan tinggi badan yang sesuai). Kita dapat melengkapi tabel dengan menghitung frekuensi relatif:

Nah, sekarang kita bisa membangun histogram. Pertama, kita akan membangun berdasarkan frekuensi. Inilah yang terjadi:

Sekarang, berdasarkan data frekuensi relatif:

Contoh.

Perwakilan perusahaan datang ke pameran tentang teknologi inovatif. Diagram menunjukkan distribusi perusahaan-perusahaan ini dengan jumlah karyawan. Garis horizontal menunjukkan jumlah karyawan di perusahaan, dan garis vertikal menunjukkan jumlah perusahaan dengan jumlah karyawan tertentu.

Berapa persentase perusahaan dengan jumlah karyawan lebih banyak orang?

Menjawab: .

Ringkasan singkat

Ukuran sampel- jumlah elemen dalam sampel.

Rentang sampel- perbedaan antara nilai maksimum dan minimum elemen sampel.

Rata-rata aritmatika dari serangkaian angka adalah hasil bagi membagi jumlah angka-angka ini dengan jumlah mereka (ukuran sampel).

Mode seri angka- nomor yang paling sering ditemukan di seri ini.

medianbarisan bilangan berurutan dengan jumlah anggota ganjil adalah nomor di tengah.

Median deret bilangan berurutan dengan jumlah anggota genap- rata-rata aritmatika dari dua angka yang ditulis di tengah.

Frekuensi- jumlah pengulangan nilai parameter tertentu dalam sampel.

Frekuensi relatif

Untuk kejelasan, akan lebih mudah untuk menyajikan data dalam bentuk bagan / grafik yang sesuai

• UNSUR STATISTIK. SINGKAT TENTANG UTAMA.

Pengambilan sampel statistik- sejumlah objek tertentu untuk penelitian yang dipilih dari jumlah total objek.

Ukuran sampel adalah jumlah item dalam sampel.

Rentang sampel adalah perbedaan antara nilai maksimum dan minimum dari elemen sampel.

Atau, rentang sampel

Rata-rata deret bilangan adalah hasil bagi pembagian jumlah bilangan-bilangan tersebut dengan bilangannya

Modus suatu deret bilangan adalah bilangan yang paling sering muncul pada suatu deret tertentu.

Median deret bilangan yang anggotanya genap adalah rata-rata aritmatika dari dua bilangan yang ditulis di tengah, jika deret tersebut diurutkan.

Frekuensi adalah jumlah pengulangan, berapa kali selama periode tertentu suatu peristiwa terjadi, properti tertentu dari suatu objek memanifestasikan dirinya, atau parameter yang diamati mencapai nilai tertentu.

Frekuensi relatif adalah rasio frekuensi dengan jumlah total data dalam seri.

Nah, topiknya sudah berakhir. Jika Anda membaca baris-baris ini, maka Anda sangat keren.

Karena hanya 5% orang yang mampu menguasai sesuatu sendiri. Dan jika Anda telah membaca sampai akhir, maka Anda berada di 5%!

Sekarang hal yang paling penting.

Anda telah menemukan teori tentang topik ini. Dan, saya ulangi, itu ... itu luar biasa! Anda sudah lebih baik daripada sebagian besar rekan-rekan Anda.

Masalahnya adalah ini mungkin tidak cukup ...

Untuk apa?

Untuk kelulusan ujian yang berhasil, untuk masuk ke institut dengan anggaran terbatas dan, PALING PENTING, seumur hidup.

Saya tidak akan meyakinkan Anda tentang apa pun, saya hanya akan mengatakan satu hal ...

Orang-orang yang telah menerima pendidikan yang baik mendapatkan lebih banyak daripada mereka yang tidak menerimanya. Ini adalah statistik.

Tapi ini bukan hal utama.

Yang utama adalah mereka LEBIH BAHAGIA (ada penelitian seperti itu). Mungkin karena lebih banyak peluang terbuka di hadapan mereka dan hidup menjadi lebih cerah? Tidak tahu...

Tapi pikirkan sendiri...

Apa yang diperlukan untuk memastikan menjadi lebih baik daripada yang lain dalam ujian dan pada akhirnya ... lebih bahagia?

ISI TANGAN ANDA, MENYELESAIKAN MASALAH PADA TOPIK INI.

Pada ujian, Anda tidak akan ditanya teori.

Anda akan perlu menyelesaikan masalah tepat waktu.

Dan, jika Anda belum menyelesaikannya (BANYAK!), Anda pasti akan membuat kesalahan bodoh di suatu tempat atau tidak akan berhasil tepat waktu.

Ini seperti dalam olahraga - Anda harus mengulang berkali-kali untuk menang dengan pasti.

Temukan koleksi di mana pun Anda mau tentu dengan solusi, analisis terperinci dan putuskan, putuskan, putuskan!

Anda dapat menggunakan tugas kami (tidak perlu) dan kami pasti merekomendasikannya.

Untuk membantu tugas kami, Anda perlu membantu memperpanjang umur buku teks YouClever yang sedang Anda baca.

Bagaimana? Ada dua opsi:

1. Buka kunci akses ke semua tugas tersembunyi di artikel ini -
2. Buka kunci akses ke semua tugas tersembunyi di semua 99 artikel tutorial - Beli buku teks - 899 rubel

Ya, kami memiliki 99 artikel seperti itu di buku teks dan akses ke semua tugas dan semua teks tersembunyi di dalamnya dapat segera dibuka.

Akses ke semua tugas tersembunyi disediakan untuk seluruh masa pakai situs.

Kesimpulannya...

Jika Anda tidak menyukai tugas kami, cari yang lain. Hanya saja, jangan berhenti dengan teori.

"Dipahami" dan "Saya tahu bagaimana menyelesaikannya" adalah keterampilan yang sama sekali berbeda. Anda membutuhkan keduanya.

Temukan masalah dan selesaikan!

Ketika mempelajari beban mengajar siswa, sekelompok 12 siswa kelas tujuh diidentifikasi. Mereka diminta untuk menandai waktu (dalam menit) yang dihabiskan pada hari tertentu untuk mengerjakan pekerjaan rumah aljabar mereka. Kami mendapatkan data berikut: 23, 18, 25, 20, 25, 25, 32, 37, 34, 26, 34, 25. Ketika mempelajari beban kerja siswa, sekelompok 12 siswa kelas tujuh diidentifikasi. Mereka diminta untuk menandai waktu (dalam menit) yang dihabiskan pada hari tertentu untuk mengerjakan pekerjaan rumah aljabar mereka. Kami mendapat data berikut: 23, 18, 25, 20, 25, 25, 32, 37, 34, 26, 34, 25.

Rata-rata aritmatika dari deret tersebut. Rata-rata aritmatika dari serangkaian angka adalah hasil bagi membagi jumlah angka-angka ini dengan jumlah suku. Rata-rata aritmatika dari serangkaian angka adalah hasil bagi dari jumlah angka-angka ini dengan jumlah suku.(): 12=27

Rentang baris. Jangkauan suatu deret adalah selisih antara bilangan terbesar dan terkecil dari bilangan-bilangan tersebut. Jangkauan suatu deret adalah selisih antara bilangan terbesar dan terkecil dari bilangan-bilangan tersebut. Konsumsi waktu terbesar adalah 37 menit, dan yang terkecil adalah 18 menit. Temukan rentang deret: 37 - 18 = 19 (mnt)

Mode baris. Modus suatu deret bilangan adalah bilangan yang muncul pada deret ini lebih sering daripada yang lain. Modus suatu deret bilangan adalah bilangan yang muncul pada deret ini lebih sering daripada yang lain. Modus deret kita adalah angka - 25. Modus deret kita adalah angka - 25. Serangkaian angka mungkin atau mungkin tidak memiliki lebih dari satu mode. 1) 47,46,50,47,52,49,45,43,53,53,47,52 - dua mode 47 dan 52. 2) 69,68,66,70,67,71,74,63, 73,72 - tidak ada mode.

Rata-rata aritmatika, jangkauan dan mode, digunakan dalam statistik - ilmu yang berhubungan dengan memperoleh, memproses dan menganalisis data kuantitatif pada berbagai fenomena massa yang terjadi di alam dan masyarakat. Rata-rata aritmatika, jangkauan dan mode, digunakan dalam statistik - ilmu yang berhubungan dengan memperoleh, memproses dan menganalisis data kuantitatif pada berbagai fenomena massa yang terjadi di alam dan masyarakat. Statistik mempelajari jumlah kelompok individu populasi negara dan wilayahnya, produksi dan konsumsi berbagai jenis produk, pengangkutan barang dan penumpang dengan berbagai moda transportasi, sumber daya alam, dll. Statistik mempelajari jumlah individu kelompok penduduk negara dan wilayahnya, produksi dan konsumsi berbagai jenis produk , pengangkutan barang dan penumpang dengan berbagai moda transportasi, sumber daya alam, dll.

1. Tentukan mean dan jangkauan aritmatika dari deret bilangan: a) 24,22,27,20,16,37; b) 30,5,23,5,28, Cari mean aritmatika, jangkauan dan modus dari serangkaian angka: a) 32,26,18,26,15,21,26; b) -21, -33, -35, -19, -20, -22; b) -21, -33, -35, -19, -20, -22; c) 61,64,64,83,61,71,70; c) 61,64,64,83,61,71,70; d) -4, -6, 0, 4, 0, 6, 8, -12. d) -4, -6, 0, 4, 0, 6, 8, Satu bilangan hilang pada barisan bilangan 3, 8, 15, 30, __, 24. Tentukan jika: a) rata-rata aritmatika dari seri adalah 18; a) rata-rata aritmatika dari deret tersebut adalah 18; b) jarak deret adalah 40; b) jarak deret adalah 40; c) modus deret adalah 24. c) modus deret adalah 24.

4. Dalam sertifikat pendidikan menengah, empat teman - lulusan sekolah - memiliki tanda sebagai berikut: Ilyin: 4,4,5,5,4,4,4,5,5,5,4,4,5, 4,4; Ilyin: 4,4,5,5,4,4,4,5,5,5,4,4,5,4,4; Semyonov: 3,4,3,3,3,3,4,3,3,3,3,4,4,5,4; Semyonov: 3,4,3,3,3,3,4,3,3,3,3,4,4,5,4; Popov: 5,5,5,5,5,4,4,5,5,5,5,5,4,4,4; Popov: 5,5,5,5,5,4,4,5,5,5,5,5,4,4,4; Romanov: 3,3,4,4,4,4,4,3,4,4,4,5,3,4,4. Romanov: 3,3,4,4,4,4,4,3,4,4,4,5,3,4,4. Berapa rata-rata IPK yang dimiliki oleh masing-masing lulusan SMA tersebut? Tunjukkan nilai paling khas untuk masing-masing dari mereka dalam sertifikat. Statistik apa yang Anda gunakan dalam jawaban Anda? Berapa rata-rata IPK yang dimiliki oleh masing-masing lulusan SMA tersebut? Tunjukkan nilai paling khas untuk masing-masing dari mereka dalam sertifikat. Statistik apa yang Anda gunakan dalam jawaban Anda?

Pekerjaan independen Opsi 1. Opsi Serangkaian angka diberikan: 35, 44, 37, 31, 41, 40, 31, 29. Temukan mean aritmatika, jangkauan dan modus rad. 2. Pada deret angka 4, 9, 16, 31, _, 25 4, 9, 16, 31, _, 25, satu angka hilang. kehilangan satu nomor. Temukan jika: Temukan jika: a) rata-rata aritmatika a) rata-rata aritmatika adalah 19; yaitu 19; b) jangkauan deret - 41. b) jangkauan deret - 41. Opsi Serangkaian angka diberikan: 38, 42, 36, 45, 48, 45.45, 42. Temukan rata-rata aritmatika, jangkauan dan modus dari rad. 2. Pada deret angka 5, 10, 17, 32, _, 26, satu angka hilang. Temukan jika: a) rata-rata aritmatika adalah 19; b) jangkauan deret tersebut adalah 41.

Median barisan bilangan bernomor ganjil adalah bilangan yang ditulis di tengah, dan median barisan bilangan berurut dengan bilangan genap adalah rata-rata aritmatika dari dua bilangan yang ditulis di tengah. Median barisan bilangan bernomor ganjil adalah bilangan yang ditulis di tengah, dan median barisan bilangan berurut dengan bilangan genap adalah rata-rata aritmatika dari dua bilangan yang ditulis di tengah. Tabel menunjukkan konsumsi listrik pada bulan Januari oleh penghuni sembilan apartemen: Tabel menunjukkan konsumsi listrik pada bulan Januari oleh penghuni sembilan apartemen: Nomor apartemen Konsumsi listrik

Mari kita buat deret berurutan: 64, 72, 72, 75, 78, 82, 85, 91,93. 64, 72, 72, 75, 78, 82, 85, 91 - median deret ini. 78 adalah median dari deret ini. Deret terurut diberikan: Deret terurut diberikan: 64, 72, 72, 75, 78, 82, 85, 88, 91, 93. (): 2 = 80 - median. ():2 = 80 – median.

1. Tentukan median barisan bilangan: a) 30, 32, 37, 40, 41, 42, 45, 49, 52; a) 30, 32, 37, 40, 41, 42, 45, 49, 52; b) 102, 104, 205, 207, 327, 408, 417; b) 102, 104, 205, 207, 327, 408, 417; c) 16, 18, 20, 22, 24, 26; c) 16, 18, 20, 22, 24, 26; d) 1.2, 1.4, 2.2, 2.6, 3.2, 3.8, 4.4, 5.6. d) 1.2, 1.4, 2.2, 2.6, 3.2, 3.8, 4.4, 5.6. 2. Tentukan mean dan median aritmatika dari deret bilangan: a) 27, 29, 23, 31,21,34; a) 27, 29, 23, 31,21,34; b) 56, 58, 64, 66, 62, 74; b) 56, 58, 64, 66, 62, 74; c) 3.8, 7.2, 6.4, 6.8, 7.2; c) 3.8, 7.2, 6.4, 6.8, 7.2; d) 21,6, 37,3, 16,4, 12, 6. d) 21,6, 37,3, 16,4, 12, 6.

3. Tabel menunjukkan jumlah pengunjung pameran pada hari yang berbeda dalam seminggu: Temukan median dari seri data yang ditentukan. Pada hari apa dalam seminggu jumlah pengunjung pameran lebih besar dari median? Hari dalam seminggu Sen Sen Sel Rab Rab Kam Kam Jum Sab Sab Min Min Jumlah pengunjung

4. Di bawah ini adalah rata-rata pengolahan gula harian (dalam ribuan sen) oleh pabrik gula di suatu wilayah: (dalam ribuan sen) oleh pabrik gula di wilayah tertentu: 12.2, 13.2, 13.7, 18.0, 18.6 , 12.2, 18.5, 12.4, 12.2, 13.2, 13.7, 18.0, 18.6, 12.2, 18.5, 12.4, 14, 2, 17 ,delapan. 14, 2, 17.8. Untuk deret yang diberikan, cari mean aritmatika, modus, jangkauan, dan median. Untuk deret yang diberikan, cari mean aritmatika, modus, jangkauan, dan median. 5. Organisasi menyimpan catatan harian surat yang diterima selama bulan tersebut. Hasilnya, kami menerima rangkaian data berikut: 39, 43, 40, 0, 56, 38, 24, 21, 35, 38, 0, 58, 31, 49, 38, 25, 34, 0, 52, 40, 42, 40 , 39, 54, 0, 64, 44, 50, 38, 37, 43, 40, 0, 56, 38, 24, 21, 35, 38, 0, 58, 31, 49, 38, 25, 34, 0 , 52, 40, 42, 40, 39, 54, 0, 64, 44, 50, 38, 37, 32. Untuk deret yang disajikan, temukan mean aritmatika, modus, jangkauan dan median. Untuk deret yang diberikan, cari mean aritmatika, modus, jangkauan, dan median.

Pekerjaan rumah. Pada kompetisi figure skating, prestasi atlet dinilai dengan poin-poin berikut: Pada kompetisi figure skating, performa atlet dinilai dengan poin-poin berikut: 5.2; 5.4; 5.5; 5.4; 5.1; 5.1; 5.4; 5.5; 5.3. 5.2; 5.4; 5.5; 5.4; 5.1; 5.1; 5.4; 5.5; 5.3. Untuk deret angka yang dihasilkan, temukan mean aritmatika, rentang, dan mode. Untuk deret angka yang dihasilkan, temukan mean aritmatika, rentang, dan mode.

Memecahkan masalah dengan topik: “Karakteristik statistik. Rata-rata aritmatika, jangkauan, modus dan median

Aljabar-

kelas 7

Informasi sejarah

• Rata-rata aritmatika, jangkauan dan modus digunakan dalam statistik - ilmu yang berhubungan dengan memperoleh, memproses dan menganalisis data kuantitatif pada berbagai fenomena massa yang terjadi di alam dan masyarakat.
• Kata "statistik" berasal dari kata Latin status, yang berarti "negara, keadaan". Statistik mempelajari jumlah kelompok individu populasi negara dan wilayahnya, produksi dan konsumsi
• berbagai jenis produk, transportasi barang dan penumpang dengan berbagai moda transportasi, sumber daya alam, dll.
• Hasil studi statistik banyak digunakan untuk kesimpulan praktis dan ilmiah.

Rata-rata- hasil bagi dari membagi jumlah semua angka dengan jumlah istilah

• cakupan- selisih bilangan terbesar dan terkecil dari deret ini
• Mode adalah bilangan yang paling sering muncul dalam himpunan bilangan
• median- barisan bilangan berurut dengan jumlah anggota ganjil adalah bilangan yang ditulis di tengah, dan median barisan bilangan berurut dengan jumlah anggota genap adalah rata-rata aritmatika dari dua bilangan yang ditulis di tengah. Median deret bilangan arbitrer adalah median deret berurutan yang bersesuaian.

• Rata-rata ,

• ruang lingkup dan mode
• temukan aplikasi dalam statistik - sains,
• yang berhubungan dengan memperoleh

pemrosesan dan analisis

data kuantitatif pada berbagai

• acara massal berlangsung

di alam dan

• Masyarakat.

Tugas 1

• Baris angka:
• 18 ; 13; 20; 40; 35.
• Temukan mean aritmatika dari deret ini:

• Keputusan:
• (18+13+20+40+35):5=25,5
• Jawaban: 25.5 - rata-rata aritmatika

Tugas #2

• Baris angka:
• 35;16;28;5;79;54.

• Cari jangkauan deret:

• Keputusan:

• Jumlah terbesar adalah 79,
• bilangan terkecil adalah 5.
• Rentang baris: 79 - 5 = 74.
• Jawaban: 74

Tugas #3

• Baris angka:
• 23; 18; 25; 20; 25; 25; 32; 37; 34; 26; 34; 2535;16;28;5;79;54.

• Cari jangkauan deret:

• Keputusan:
• Konsumsi waktu terbesar - 37 menit,
• dan yang terkecil - 18 menit.
• Cari jangkauan deret:
• 37 - 18 = 19 (menit)

Tugas #4

• Baris angka:
• 65; 12; 48; 36; 7; 12
• Temukan mode seri:

• Keputusan:

• Mode seri ini: 12.
• Jawaban: 12

Tugas nomor 5

• Serangkaian angka dapat memiliki lebih dari satu mode,
• atau mungkin tidak memiliki.

• Baris: 47, 46, 50, 47, 52, 49, 45, 43, 53, 47, 52
• dua mode - 47 dan 52.

• Baris: 69, 68, 66, 70, 67, 71, 74, 63, 73, 72 - tidak ada mode.

Tugas nomor 5

• Baris angka:
• 28; 17; 51; 13; 39
• Carilah median dari deret ini:

• Keputusan:

• Pertama menempatkan nomor dalam urutan:
• 13; 17; 28; 39; 51.
• Median - 28.
• Jawaban: 28

Tugas nomor 6

Organisasi menyimpan catatan harian surat yang diterima selama bulan tersebut.

Hasilnya, kami menerima serangkaian data berikut:

39, 42, 40, 0, 56, 36, 24, 21, 35, 0, 58, 31, 49, 38, 24, 35, 0, 52, 40, 42, 40,

39, 54, 0, 64, 44, 50, 37, 32, 38.

Untuk deret data yang diberikan, cari mean aritmatika,

Apa arti praktis dari indikasi ini?

Tugas nomor 7

Biaya (dalam rubel) sebungkus mentega Nezhenka di toko-toko distrik mikro dicatat: 26, 32, 31, 33, 24, 27, 37.

Berapa perbedaan rata-rata dari kumpulan angka ini dengan mediannya?

Keputusan.

Urutkan kumpulan angka ini dalam urutan menaik:

24, 26, 27, 31, 32, 33, 37.

Karena banyaknya anggota barisan tersebut ganjil, maka mediannya adalah

nilai yang menempati bagian tengah deret bilangan, yaitu M = 31.

Mari kita hitung rata-rata aritmatika dari kumpulan angka ini - m.

m= 24+ 26+ 27+ 31+ 32+ 33+ 37 = 210 ═ 30

M - m \u003d 31 - 30 \u003d 1

Kreatif

UJI

Pada topik: "Mode. Median. Metode untuk menghitungnya"

pengantar

Nilai rata-rata dan indikator variasi terkait memainkan peran yang sangat penting dalam statistik, karena subjek studinya. Oleh karena itu, topik ini menjadi salah satu sentral dalam mata kuliah tersebut.

Rata-rata adalah indikator generalisasi yang sangat umum dalam statistik. Ini dijelaskan oleh fakta bahwa hanya dengan bantuan rata-rata dimungkinkan untuk mengkarakterisasi populasi sesuai dengan atribut yang bervariasi secara kuantitatif. Nilai rata-rata dalam statistik adalah karakteristik umum dari serangkaian fenomena dari jenis yang sama menurut beberapa atribut yang bervariasi secara kuantitatif. Rata-rata menunjukkan tingkat atribut ini, terkait dengan unit populasi.

Mempelajari fenomena sosial dan berusaha mengidentifikasi karakteristiknya, ciri khasnya dalam kondisi tempat dan waktu tertentu, ahli statistik menggunakan nilai rata-rata secara ekstensif. Dengan bantuan rata-rata, populasi yang berbeda dapat dibandingkan satu sama lain sesuai dengan karakteristik yang berbeda.

Rata-rata yang digunakan dalam statistik termasuk dalam kelas rata-rata daya. Dari rata-rata daya, rata-rata aritmatika paling sering digunakan, lebih jarang rata-rata harmonik; rata-rata harmonik hanya digunakan saat menghitung laju rata-rata dinamika, dan kuadrat rata-rata - hanya saat menghitung indikator variasi.

Rata-rata aritmatika adalah hasil bagi membagi jumlah opsi dengan jumlah mereka. Ini digunakan dalam kasus di mana volume atribut variabel untuk seluruh populasi dibentuk sebagai jumlah dari nilai atribut untuk unit individualnya. Rata-rata aritmatika adalah jenis rata-rata yang paling umum, karena sesuai dengan sifat fenomena sosial, di mana volume berbagai tanda dalam agregat paling sering dibentuk tepat sebagai jumlah nilai atribut dalam unit individu dari populasi.

Menurut properti yang menentukan, rata-rata harmonik harus digunakan ketika volume total atribut dibentuk sebagai jumlah dari nilai timbal balik dari varian. Ini digunakan ketika, tergantung pada bahan yang tersedia, bobotnya tidak harus dikalikan, tetapi dibagi dengan opsi atau, yang sama, dikalikan dengan nilai kebalikannya. Rata-rata harmonik dalam kasus ini adalah kebalikan dari rata-rata aritmatika dari nilai-nilai timbal balik dari atribut.

Rata-rata harmonik harus digunakan dalam kasus-kasus ketika bukan unit populasi - pembawa atribut, tetapi produk dari unit-unit ini dan nilai atribut digunakan sebagai bobot.

1. Definisi mode dan median dalam statistik

Sarana aritmatika dan harmonik adalah karakteristik umum populasi menurut satu atau lain atribut yang bervariasi. Karakteristik deskriptif bantu dari distribusi atribut variabel adalah modus dan median.

Dalam statistik, fashion adalah nilai fitur (varian) yang paling sering ditemukan pada populasi tertentu. Pada seri variasi, ini akan menjadi varian dengan frekuensi tertinggi.

Median dalam statistik disebut varian, yang berada di tengah deret variasi. Median membagi deret menjadi dua, di kedua sisinya (atas dan bawah) ada jumlah unit populasi yang sama.

Modus dan median, berbeda dengan rata-rata power-law, adalah karakteristik khusus, nilainya adalah pilihan tertentu dalam rangkaian variasi.

Mode digunakan dalam kasus di mana perlu untuk mengkarakterisasi nilai fitur yang paling sering muncul. Jika perlu, misalnya, untuk mengetahui tingkat upah yang paling umum di perusahaan, harga pasar di mana jumlah barang paling banyak dijual, ukuran sepatu yang paling diminati di kalangan konsumen, dll., dalam hal ini kasus resor untuk fashion.

Median menarik karena menunjukkan batas kuantitatif nilai karakteristik variabel, yang dicapai oleh setengah dari anggota populasi. Biarkan gaji rata-rata karyawan bank berjumlah 650.000 rubel. per bulan. Karakteristik ini dapat ditambahkan jika kita mengatakan bahwa setengah dari pekerja menerima gaji 700.000 rubel. dan lebih tinggi, yaitu mari kita ambil mediannya. Modus dan median adalah ciri khas dalam kasus di mana populasinya homogen dan jumlahnya banyak.

2. Mencari Modus dan Median dalam Deret Variasi Diskrit

Menemukan modus dan median dalam deret variasi, di mana nilai atribut diberikan oleh angka-angka tertentu, tidak terlalu sulit. Perhatikan tabel 1. dengan distribusi keluarga dengan jumlah anak.

Tabel 1. Distribusi keluarga menurut jumlah anak

Jelas, dalam contoh ini, mode akan menjadi keluarga dengan dua anak, karena nilai opsi ini sesuai dengan jumlah keluarga terbesar. Mungkin ada distribusi di mana semua varian sama-sama sering, dalam hal ini tidak ada mode, atau dengan kata lain, semua varian dapat dikatakan sama-sama modal. Dalam kasus lain, bukan hanya satu, tetapi dua opsi mungkin merupakan frekuensi tertinggi. Kemudian akan ada dua mode, distribusinya akan bimodal. Distribusi bimodal dapat menunjukkan heterogenitas kualitatif populasi menurut sifat yang diteliti.

Untuk menemukan median dalam deret variasi diskrit, Anda perlu membagi jumlah frekuensi menjadi dua dan menambahkan ke hasilnya. Jadi, dalam distribusi 185 keluarga dengan jumlah anak, mediannya adalah: 185/2 + = 93, mis. Opsi ke-93, yang membagi baris yang dipesan menjadi dua. Apa arti dari opsi ke-93? Untuk mengetahuinya, Anda perlu mengumpulkan frekuensi, mulai dari opsi terkecil. Jumlah frekuensi opsi 1 dan 2 adalah 40. Jelas bahwa tidak ada 93 opsi di sini. Jika kita menambahkan frekuensi opsi ke-3 menjadi 40, maka kita mendapatkan jumlah yang sama dengan 40 + 75 = 115. Oleh karena itu, opsi ke-93 sesuai dengan nilai ketiga dari atribut variabel, dan median adalah keluarga dengan dua anak .

Modus dan median dalam contoh ini bertepatan. Jika kita memiliki jumlah frekuensi yang genap (misalnya, 184), kemudian menerapkan rumus di atas, kita mendapatkan jumlah opsi median, 184/2 + = 92,5. Karena tidak ada opsi pecahan, hasilnya menunjukkan bahwa median berada di tengah antara 92 dan 93 opsi.

3. Perhitungan modus dan median dalam deret variasi interval

Sifat deskriptif dari modus dan median adalah karena fakta bahwa mereka tidak mengkompensasi penyimpangan individu. Mereka selalu sesuai dengan varian tertentu. Oleh karena itu, modus dan median tidak memerlukan perhitungan untuk menemukannya jika semua nilai fitur diketahui. Namun, dalam deret variasi interval, perhitungan digunakan untuk mencari nilai perkiraan modus dan median dalam interval tertentu.

Untuk menghitung nilai tertentu dari nilai modal suatu tanda yang diapit suatu interval, digunakan rumus sebagai berikut:

M o \u003d X Mo + i Mo * (f Mo - f Mo-1) / ((f Mo - f Mo-1) + (f Mo - f Mo + 1)),

Dimana X Mo adalah batas minimum interval modal;

i Mo adalah nilai interval modal;

fMo adalah frekuensi interval modal;

f Mo-1 - frekuensi interval sebelum modal;

f Mo+1 adalah frekuensi interval yang mengikuti modal.

Kami akan menunjukkan perhitungan mode menggunakan contoh yang diberikan pada Tabel 2.

Tabel 2. Distribusi tenaga kerja perusahaan menurut penerapan standar produksi

Untuk mencari modus, pertama-tama kita tentukan interval modal dari deret yang diberikan. Dapat dilihat dari contoh bahwa frekuensi tertinggi sesuai dengan interval di mana varian terletak pada kisaran 100 hingga 105. Ini adalah interval modal. Nilai interval modal adalah 5.

Mengganti nilai numerik dari tabel 2. ke dalam rumus di atas, kita mendapatkan:

M o \u003d 100 + 5 * (104 -12) / ((104 - 12) + (104 - 98)) \u003d 108,8

Arti dari rumus ini adalah sebagai berikut: nilai bagian dari interval modal, yang harus ditambahkan ke batas minimumnya, ditentukan tergantung pada besarnya frekuensi interval sebelumnya dan berikutnya. Dalam hal ini, kami menambahkan 8,8 hingga 100, mis. lebih dari setengah interval, karena frekuensi interval sebelumnya lebih kecil dari frekuensi interval berikutnya.

Mari kita hitung median sekarang. Untuk menemukan median dalam deret variasi interval, pertama-tama kita menentukan interval di mana ia berada (interval median). Interval seperti itu akan menjadi interval yang frekuensi kumulatifnya sama dengan atau lebih besar dari setengah jumlah frekuensi. Frekuensi kumulatif dibentuk dengan penjumlahan frekuensi secara bertahap, dimulai dari interval dengan nilai fitur terkecil. Setengah jumlah frekuensi yang kita miliki adalah 250 (500:2). Oleh karena itu, menurut tabel 3. interval median akan menjadi interval dengan nilai upah dari 350.000 rubel. hingga 400.000 rubel.

Tabel 3. Perhitungan median dalam deret variasi interval

Sebelum interval ini, jumlah frekuensi yang terakumulasi adalah 160. Oleh karena itu, untuk mendapatkan nilai median, perlu menambahkan 90 unit lagi (250 - 160).