Perkalian dan pembagian pecahan.

Perhatian!
Ada tambahan
materi dalam Bagian Khusus 555.
Bagi mereka yang sangat "tidak terlalu..."
Dan bagi mereka yang "sangat banyak...")

Operasi ini jauh lebih bagus daripada penjumlahan-pengurangan! Karena lebih mudah. Saya ingatkan Anda: untuk mengalikan pecahan dengan pecahan, Anda perlu mengalikan pembilangnya (ini akan menjadi pembilang hasilnya) dan penyebutnya (ini akan menjadi penyebutnya). Yaitu:

Sebagai contoh:

Semuanya sangat sederhana. Dan tolong jangan mencari penyebut yang sama! Tidak perlu di sini ...

Untuk membagi pecahan dengan pecahan, Anda perlu membalik kedua(ini penting!) pecahan dan kalikan, yaitu:

Sebagai contoh:

Jika perkalian atau pembagian dengan bilangan bulat dan pecahan tertangkap, tidak apa-apa. Seperti halnya penjumlahan, kita membuat pecahan dari bilangan bulat dengan penyebut satuan - dan lanjutkan! Sebagai contoh:

Di sekolah menengah, Anda sering kali harus berurusan dengan pecahan tiga tingkat (atau bahkan empat tingkat!). Sebagai contoh:

Bagaimana cara membawa pecahan ini ke bentuk yang layak? Ya, sangat mudah! Gunakan pembagian melalui dua titik:

Tapi jangan lupa tentang urutan pembagiannya! Tidak seperti perkalian, ini sangat penting di sini! Tentu saja, kita tidak akan mengacaukan 4:2 atau 2:4. Tetapi dalam pecahan tiga lantai mudah untuk membuat kesalahan. Harap dicatat, misalnya:

Dalam kasus pertama (ekspresi di sebelah kiri):

Di yang kedua (ekspresi di sebelah kanan):

Rasakan perbedaan nya? 4 dan 1/9!

Bagaimana urutan pembagiannya? Atau kurung, atau (seperti di sini) panjang garis horizontal. Kembangkan mata. Dan jika tidak ada tanda kurung atau tanda hubung, seperti:

lalu bagi-kalikan berurutan, kiri ke kanan!

Dan trik lain yang sangat sederhana dan penting. Dalam tindakan dengan derajat, itu akan berguna untuk Anda! Mari kita bagi unit dengan pecahan apa pun, misalnya, dengan 13/15:

Tembakan telah berbalik! Dan itu selalu terjadi. Saat membagi 1 dengan pecahan apa pun, hasilnya adalah pecahan yang sama, hanya terbalik.

Itu semua tindakan dengan pecahan. Masalahnya cukup sederhana, tetapi memberikan lebih dari cukup kesalahan. Perhatikan saran praktis, dan akan ada lebih sedikit dari mereka (kesalahan)!

Tip Praktis:

1. Hal terpenting saat bekerja dengan ekspresi pecahan adalah akurasi dan perhatian! Ini bukan kata-kata umum, bukan harapan baik! Ini adalah kebutuhan yang parah! Lakukan semua perhitungan pada ujian sebagai tugas penuh, dengan konsentrasi dan kejelasan. Lebih baik menulis dua baris ekstra dalam konsep daripada mengacaukan saat menghitung di kepala Anda.

2. Dalam contoh dengan berbagai jenis pecahan - buka pecahan biasa.

3. Kami mengurangi semua pecahan sampai berhenti.

4. Kami mengurangi ekspresi pecahan multi-level menjadi yang biasa menggunakan pembagian melalui dua titik (kami mengikuti urutan pembagian!).

5. Kami membagi unit menjadi pecahan dalam pikiran kami, cukup dengan membalik pecahan itu.

Berikut adalah tugas yang harus Anda selesaikan. Jawaban diberikan setelah semua tugas. Gunakan materi topik ini dan saran praktis. Perkirakan berapa banyak contoh yang dapat Anda selesaikan dengan benar. Pertama kali! Tanpa kalkulator! Dan menarik kesimpulan yang benar...

Ingat jawaban yang benar diperoleh dari kedua (terutama yang ketiga) waktu - tidak masuk hitungan! Begitulah kerasnya hidup.

Jadi, selesaikan dalam mode ujian ! Omong-omong, ini adalah persiapan untuk ujian. Kami memecahkan sebuah contoh, kami memeriksa, kami memecahkan yang berikut ini. Kami memutuskan segalanya - kami memeriksa lagi dari yang pertama hingga yang terakhir. Hanya setelah lihat jawabannya.

Menghitung:

Apa anda sudah memutuskan?

Mencari jawaban yang cocok dengan Anda. Saya secara khusus menuliskannya dalam kekacauan, jauh dari godaan, sehingga untuk berbicara ... Ini dia, jawabannya, ditulis dengan titik koma.

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

Dan sekarang kita menarik kesimpulan. Jika semuanya berhasil - senang untuk Anda! Perhitungan dasar dengan pecahan bukan masalah Anda! Anda dapat melakukan hal-hal yang lebih serius. Jika tidak...

Jadi Anda memiliki satu dari dua masalah. Atau keduanya sekaligus.) Kurangnya pengetahuan dan (atau) kurangnya perhatian. Tapi ini larut Masalah.

Jika Anda menyukai situs ini...

Omong-omong, saya punya beberapa situs yang lebih menarik untuk Anda.)

Anda dapat berlatih memecahkan contoh dan mengetahui level Anda. Pengujian dengan verifikasi instan. Belajar - dengan penuh minat!)

Anda bisa berkenalan dengan fungsi dan turunannya.

) dan penyebut dengan penyebut (kita mendapatkan penyebut dari produk).

Rumus perkalian pecahan:

Sebagai contoh:

Sebelum melanjutkan dengan perkalian pembilang dan penyebut, perlu untuk memeriksa kemungkinan pengurangan pecahan. Jika Anda berhasil mengurangi pecahan, maka akan lebih mudah bagi Anda untuk terus melakukan perhitungan.

Pembagian pecahan biasa dengan pecahan.

Pembagian pecahan yang melibatkan bilangan asli.

Ini tidak menakutkan seperti kelihatannya. Seperti halnya penjumlahan, kita mengubah bilangan bulat menjadi pecahan dengan penyebut satuan. Sebagai contoh:

Perkalian pecahan campuran.

Aturan perkalian pecahan (campuran):

• mengubah pecahan campuran menjadi tidak wajar;
• mengalikan pembilang dan penyebut pecahan;
• kami mengurangi fraksi;
• jika kita mendapatkan pecahan biasa, maka kita ubah pecahan biasa menjadi pecahan campuran.

Catatan! Untuk mengalikan pecahan campuran dengan pecahan campuran lainnya, Anda harus terlebih dahulu mengubahnya ke bentuk pecahan biasa, lalu mengalikannya sesuai dengan aturan perkalian pecahan biasa.

Cara kedua untuk mengalikan pecahan dengan bilangan asli.

Lebih mudah menggunakan metode kedua untuk mengalikan pecahan biasa dengan angka.

Catatan! Untuk mengalikan pecahan dengan bilangan asli, penyebut pecahan harus dibagi dengan bilangan ini, dan pembilangnya tidak berubah.

Dari contoh di atas, jelas bahwa opsi ini lebih mudah digunakan bila penyebut suatu pecahan dibagi tanpa sisa dengan bilangan asli.

Pecahan bertingkat.

Di sekolah menengah, pecahan tiga tingkat (atau lebih) sering ditemukan. Contoh:

Untuk membawa pecahan seperti itu ke bentuk biasanya, pembagian melalui 2 poin digunakan:

Catatan! Saat membagi pecahan, urutan pembagian sangat penting. Hati-hati, mudah bingung di sini.

Catatan, Sebagai contoh:

Saat membagi satu dengan pecahan apa pun, hasilnya akan menjadi pecahan yang sama, hanya terbalik:

Tips praktis perkalian dan pembagian pecahan:

1. Hal terpenting dalam bekerja dengan ekspresi pecahan adalah akurasi dan perhatian. Lakukan semua perhitungan dengan cermat dan akurat, terkonsentrasi dan jelas. Lebih baik menuliskan beberapa baris tambahan dalam draft daripada bingung dalam perhitungan di kepala Anda.

2. Dalam tugas dengan berbagai jenis pecahan - buka jenis pecahan biasa.

3. Kami mengurangi semua pecahan sampai tidak mungkin lagi untuk mengurangi.

4. Kami membawa ekspresi pecahan multi-level menjadi yang biasa, menggunakan pembagian melalui 2 poin.

5. Kami membagi unit menjadi pecahan dalam pikiran kami, cukup dengan membalik pecahan itu.

Kami terus mempelajari tindakan dengan pecahan biasa. Sekarang dalam sorotan perkalian pecahan biasa. Pada artikel ini, kami akan memberikan aturan untuk mengalikan pecahan biasa, pertimbangkan penerapan aturan ini saat menyelesaikan contoh. Kami juga akan fokus mengalikan pecahan biasa dengan bilangan asli. Sebagai kesimpulan, pertimbangkan bagaimana perkalian tiga pecahan atau lebih dilakukan.

Navigasi halaman.

Mengalikan pecahan biasa dengan pecahan biasa

Mari kita mulai dengan kata-katanya aturan perkalian pecahan biasa: mengalikan pecahan dengan pecahan menghasilkan pecahan yang pembilangnya sama dengan hasil kali pembilangnya, dan penyebutnya sama dengan hasil kali penyebutnya.

Artinya, rumusnya sesuai dengan perkalian pecahan biasa a / b dan c / d.

Mari kita berikan contoh yang menggambarkan aturan perkalian pecahan biasa. Pertimbangkan persegi dengan sisi 1 unit. , sedangkan luasnya adalah 1 satuan 2 . Bagilah persegi ini menjadi persegi panjang yang sama dengan sisi 1/4 unit. dan 1/8 satuan. , sedangkan persegi semula terdiri dari 4 8 ​​= 32 persegi panjang, maka luas setiap persegi panjang adalah 1/32 dari luas persegi semula, yaitu sama dengan 1/32 satuan 2. Sekarang mari kita melukis di atas bagian dari persegi asli. Semua tindakan kita tercermin dalam gambar di bawah ini.

Sisi-sisi persegi panjang yang terisi adalah 5/8 satuan. dan 3/4 satuan. , yang berarti luasnya sama dengan hasil kali pecahan 5/8 dan 3/4, yaitu satuan 2. Tetapi persegi panjang yang terisi terdiri dari 15 persegi panjang "kecil", jadi luasnya adalah 15/32 satuan 2 . Karena itu, . Sejak 5 3=15 dan 8 4=32 , persamaan terakhir dapat ditulis ulang sebagai , yang menegaskan rumus untuk mengalikan pecahan biasa dari bentuk .

Perhatikan bahwa dengan bantuan aturan perkalian bersuara, Anda dapat mengalikan pecahan biasa dan pecahan biasa, dan pecahan dengan penyebut yang sama, dan pecahan dengan penyebut berbeda.

Mempertimbangkan contoh perkalian pecahan biasa.

Kalikan pecahan biasa 7/11 dengan pecahan biasa 9/8.

Hasil kali pembilang dari pecahan perkalian 7 dan 9 adalah 63, dan hasil kali penyebut 11 dan 8 adalah 88. Jadi, mengalikan pecahan biasa 7/11 dan 9/8 menghasilkan pecahan 63/88.

Berikut ini ringkasan solusinya: .

Kita tidak boleh melupakan pengurangan fraksi yang dihasilkan, jika sebagai hasil perkalian diperoleh fraksi yang dapat direduksi, dan tentang pemilihan seluruh bagian dari fraksi yang tidak tepat.

Kalikan pecahan 4/15 dan 55/6.

Mari kita terapkan aturan perkalian pecahan biasa: .

Jelas, pecahan yang dihasilkan dapat direduksi (tanda pembagian dengan 10 memungkinkan kita untuk menyatakan bahwa pembilang dan penyebut pecahan 220/90 memiliki faktor persekutuan 10). Mari kita kurangi pecahan 220/90: FPB(220, 90)=10 dan . Tetap memilih bagian bilangan bulat dari pecahan tidak wajar yang dihasilkan: .

Perhatikan bahwa pengurangan pecahan dapat dilakukan sebelum menghitung produk dari pembilang dan produk dari penyebut dari pecahan yang dikalikan, yaitu, ketika pecahan memiliki bentuk . Untuk bilangan ini, a, b, c, dan d diganti dengan faktorisasi primanya, setelah itu faktor pembilang dan penyebutnya yang sama dibatalkan.

Untuk memperjelas, mari kembali ke contoh sebelumnya.

Hitung produk dari pecahan bentuk .

Dengan rumus untuk mengalikan pecahan biasa, kita memiliki .

Karena 4=2 2 , 55=5 11 , 15=3 5 dan 6=2 3 , maka . Sekarang kita batalkan faktor prima persekutuan: .

Tetap hanya menghitung produk dalam pembilang dan penyebut, dan kemudian memilih bagian bilangan bulat dari pecahan yang tidak tepat: .

Perlu dicatat bahwa perkalian pecahan dicirikan oleh sifat komutatif, yaitu, pecahan yang dikalikan dapat dipertukarkan: .

Mengalikan pecahan dengan bilangan asli

Mari kita mulai dengan kata-katanya aturan untuk mengalikan pecahan biasa dengan bilangan asli: mengalikan pecahan dengan bilangan asli menghasilkan pecahan yang pembilangnya sama dengan hasil kali pembilang dari pecahan yang dikalikan dengan bilangan asli, dan penyebutnya sama dengan penyebut pecahan yang dikalikan.

Dengan bantuan huruf, aturan untuk mengalikan pecahan a / b dengan bilangan asli n memiliki bentuk .

Rumus berikut dari rumus untuk mengalikan dua pecahan biasa dari bentuk . Memang, mewakili bilangan asli sebagai pecahan dengan penyebut 1, kami memperoleh .

Perhatikan contoh perkalian pecahan dengan bilangan asli.

Kalikan pecahan 2/27 dengan 5.

Mengalikan pembilang 2 dengan angka 5 menghasilkan 10, oleh karena itu, berdasarkan aturan mengalikan pecahan dengan bilangan asli, produk dari 2/27 dengan 5 sama dengan pecahan 10/27.

Seluruh solusi dapat dengan mudah ditulis sebagai berikut: .

Saat mengalikan pecahan dengan bilangan asli, pecahan yang dihasilkan sering kali harus dikurangi, dan jika itu juga salah, maka nyatakan sebagai bilangan campuran.

Kalikan pecahan 5/12 dengan angka 8.

Menurut rumus untuk mengalikan pecahan dengan bilangan asli, kita memiliki . Jelas, pecahan yang dihasilkan dapat direduksi (tanda habis dibagi 2 menunjukkan pembagi umum 2 dari pembilang dan penyebut). Mari kita kurangi pecahan 40/12: karena KPK(40, 12)=4, maka . Tetap memilih seluruh bagian: .

Inilah solusi lengkapnya: .

Perhatikan bahwa pengurangan dapat dilakukan dengan mengganti angka-angka dalam pembilang dan penyebut dengan ekspansi mereka menjadi faktor prima. Dalam hal ini, solusinya akan terlihat seperti ini:

Sebagai penutup paragraf ini, kami mencatat bahwa perkalian pecahan dengan bilangan asli memiliki sifat komutatif, yaitu, produk pecahan dengan bilangan asli sama dengan produk bilangan asli ini dengan pecahan: .

Kalikan tiga pecahan atau lebih

Cara kita mendefinisikan pecahan biasa dan operasi perkalian dengannya memungkinkan kita untuk menyatakan bahwa semua sifat perkalian bilangan asli berlaku untuk perkalian pecahan.

Sifat komutatif dan asosiatif perkalian memungkinkan untuk menentukan secara unik mengalikan tiga atau lebih pecahan dan bilangan asli. Dalam hal ini, semuanya terjadi dengan analogi dengan perkalian tiga atau lebih bilangan asli. Secara khusus, pecahan dan bilangan asli dalam produk dapat disusun ulang untuk memudahkan penghitungan, dan jika tidak ada tanda kurung yang menunjukkan urutan tindakan yang dilakukan, kita dapat mengatur tanda kurung sendiri dengan cara apa pun yang diizinkan.

Perhatikan contoh perkalian beberapa pecahan dan bilangan asli.

Kalikan tiga pecahan biasa 1/20, 12/5, 3/7 dan 5/8.

Mari kita tulis produk yang perlu kita hitung . Berdasarkan aturan perkalian pecahan, hasil kali tertulis sama dengan pecahan yang pembilangnya sama dengan hasil kali pembilang semua pecahannya, dan penyebutnya adalah hasil kali penyebutnya: .

Sebelum menghitung produk dalam pembilang dan penyebut, disarankan untuk mengganti semua faktor dengan ekspansi mereka menjadi faktor prima dan mengurangi (tentu saja, Anda dapat mengurangi pecahan setelah perkalian, tetapi dalam banyak kasus ini membutuhkan banyak upaya komputasi): .

.

Kalikan lima angka .

Dalam produk ini, lebih mudah untuk mengelompokkan pecahan 7/8 dengan angka 8, dan angka 12 dengan pecahan 5/36, ini akan menyederhanakan perhitungan, karena dengan pengelompokan seperti itu pengurangannya jelas. Kita punya
.

.

Perkalian pecahan

Kami akan mempertimbangkan perkalian pecahan biasa dalam beberapa cara yang mungkin.

Mengalikan pecahan dengan pecahan

Ini adalah kasus paling sederhana, di mana Anda perlu menggunakan yang berikut: aturan perkalian pecahan.

Ke perkalian pecahan dengan pecahan, diperlukan:

• kalikan pembilang pecahan pertama dengan pembilang pecahan kedua dan tulis hasil perkaliannya menjadi pembilang pecahan baru;
• kalikan penyebut pecahan pertama dengan penyebut pecahan kedua dan tulis hasil perkaliannya menjadi penyebut pecahan baru;

Sebelum mengalikan pembilang dan penyebut, periksa apakah pecahan dapat dikurangi. Mengurangi pecahan dalam perhitungan akan sangat memudahkan perhitungan Anda.

Mengalikan pecahan dengan bilangan asli

ke pecahan kalikan dengan bilangan asli Anda perlu mengalikan pembilang pecahan dengan angka ini, dan membiarkan penyebut pecahan tidak berubah.

Jika hasil perkaliannya adalah pecahan biasa, jangan lupa untuk mengubahnya menjadi bilangan campuran, yaitu pilih seluruh bagiannya.

Perkalian bilangan campuran

Untuk mengalikan bilangan campuran, Anda harus terlebih dahulu mengubahnya menjadi pecahan biasa dan kemudian mengalikannya sesuai dengan aturan perkalian pecahan biasa.

Cara lain untuk mengalikan pecahan dengan bilangan asli

Terkadang dalam perhitungan, lebih mudah menggunakan metode lain untuk mengalikan pecahan biasa dengan angka.

Untuk mengalikan pecahan dengan bilangan asli, Anda perlu membagi penyebut pecahan dengan bilangan ini, dan membiarkan pembilangnya tetap sama.

Seperti dapat dilihat dari contoh, akan lebih mudah untuk menggunakan versi aturan ini jika penyebut pecahan dapat dibagi tanpa sisa dengan bilangan asli.

Perkalian bilangan campuran: aturan, contoh, solusi.

Pada artikel ini, kami akan menganalisis perkalian bilangan campuran. Pertama, kami akan menyuarakan aturan untuk mengalikan angka campuran dan mempertimbangkan penerapan aturan ini saat menyelesaikan contoh. Selanjutnya, kita akan berbicara tentang perkalian bilangan campuran dan bilangan asli. Terakhir, kita akan belajar cara mengalikan bilangan campuran dan pecahan biasa.

Navigasi halaman.

Perkalian bilangan campuran.

Perkalian bilangan campuran dapat direduksi menjadi perkalian pecahan biasa. Untuk melakukan ini, cukup mengubah bilangan campuran menjadi pecahan biasa.

Ayo tulis aturan perkalian untuk bilangan campuran:

• Pertama, bilangan campuran yang akan dikalikan harus diganti dengan pecahan biasa;
• Kedua, Anda perlu menggunakan aturan mengalikan pecahan dengan pecahan.

Perhatikan contoh penerapan aturan ini saat mengalikan bilangan campuran dengan bilangan campuran.

Lakukan perkalian bilangan campuran dan .

Pertama, kami mewakili bilangan campuran yang dikalikan sebagai pecahan biasa: dan . Sekarang kita dapat mengganti perkalian pecahan campuran dengan perkalian pecahan biasa: . Menerapkan aturan perkalian pecahan, kita mendapatkan . Pecahan yang dihasilkan tidak dapat direduksi (lihat pecahan yang dapat direduksi dan tidak dapat direduksi), tetapi salah (lihat pecahan biasa dan tidak wajar), oleh karena itu, untuk mendapatkan jawaban akhir, tetap mengekstrak bagian bilangan bulat dari pecahan biasa: .

Mari kita tulis seluruh solusi dalam satu baris: .

.

Untuk mengkonsolidasikan keterampilan mengalikan angka campuran, pertimbangkan solusi dari contoh lain.

Lakukan perkalian.

Angka lucu dan sama dengan pecahan 13/5 dan 10/9, masing-masing. Kemudian . Pada tahap ini, saatnya untuk mengingat tentang pengurangan pecahan: kita akan mengganti semua bilangan dalam pecahan dengan pemuaiannya menjadi faktor prima, dan kita akan melakukan pengurangan faktor yang sama.

Perkalian bilangan campuran dan bilangan asli

Setelah mengganti bilangan campuran dengan pecahan biasa, mengalikan bilangan campuran dan bilangan asli direduksi menjadi perkalian pecahan biasa dan bilangan asli.

Kalikan bilangan campuran dan bilangan asli 45 .

Bilangan campuran adalah pecahan, maka . Mari kita ganti angka-angka dalam pecahan yang dihasilkan dengan ekspansinya menjadi faktor prima, buat pengurangan, setelah itu kita pilih bagian bilangan bulat: .

.

Perkalian bilangan campuran dan bilangan asli terkadang mudah dilakukan dengan menggunakan sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan. Dalam hal ini, produk dari bilangan campuran dan bilangan asli sama dengan jumlah produk dari bagian bilangan bulat dengan bilangan asli yang diberikan dan bagian pecahan dengan bilangan asli yang diberikan, yaitu, .

Hitung produk.

Kami mengganti nomor campuran dengan jumlah bagian bilangan bulat dan pecahan, setelah itu kami menerapkan sifat distributif perkalian: .

Mengalikan bilangan campuran dan pecahan biasa paling mudah untuk mengurangi ke perkalian pecahan biasa, mewakili bilangan campuran yang dikalikan sebagai pecahan biasa.

Kalikan bilangan campuran dengan pecahan biasa 4/15.

Mengganti bilangan campuran dengan pecahan, kita peroleh .

Perkalian bilangan pecahan

140. Definisi. 1) Perkalian suatu bilangan pecahan dengan bilangan bulat didefinisikan dengan cara yang sama seperti perkalian bilangan bulat, yaitu: mengalikan suatu bilangan (pengganda) dengan suatu bilangan bulat (pengganda) berarti menjumlahkan suku-suku yang identik, di mana setiap suku sama dengan pengali, dan banyaknya suku sama dengan pengali.

Jadi mengalikan dengan 5 berarti menemukan jumlah:
2) Mengalikan suatu bilangan (pengganda) dengan suatu pecahan (pengganda) berarti menemukan pecahan dari perkalian tersebut.

Jadi, menemukan pecahan dari bilangan tertentu, yang telah kita bahas sebelumnya, sekarang kita sebut perkalian dengan pecahan.

3) Mengalikan suatu bilangan (pengganda) dengan suatu bilangan campuran (faktor) berarti mengalikan dulu dengan bilangan bulat faktornya, kemudian dengan pecahan dari faktor tersebut, dan menjumlahkan hasil dari kedua perkalian tersebut.

Sebagai contoh:

Jumlah yang diperoleh setelah perkalian dalam semua kasus ini disebut kerja, yaitu, dengan cara yang sama seperti saat mengalikan bilangan bulat.

Dari definisi ini jelas bahwa perkalian bilangan pecahan adalah tindakan yang selalu mungkin dan selalu tidak ambigu.

141. Kegunaan definisi ini. Untuk memahami pentingnya memasukkan dua definisi terakhir dari perkalian ke dalam aritmatika, mari kita ambil masalah berikut:

Tugas. Kereta api, bergerak merata, menempuh 40 km per jam; bagaimana cara mengetahui berapa kilometer kereta ini akan menempuh perjalanan dalam jumlah jam tertentu?

Jika kita tetap pada satu definisi perkalian, yang ditunjukkan dalam aritmatika bilangan bulat (penjumlahan suku yang sama), maka masalah kita akan memiliki tiga solusi yang berbeda, yaitu:

Jika jumlah jam yang diberikan adalah bilangan bulat (misalnya, 5 jam), maka untuk menyelesaikan masalah, 40 km harus dikalikan dengan jumlah jam ini.

Jika jumlah jam tertentu dinyatakan sebagai pecahan (misalnya, jam), maka Anda harus menemukan nilai pecahan ini dari 40 km.

Akhirnya, jika jumlah jam yang diberikan dicampur (misalnya, jam), maka 40 km perlu dikalikan dengan bilangan bulat yang terkandung dalam bilangan campuran, dan tambahkan hasilnya seperti pecahan dari 40 km seperti di nomor campuran.

Definisi yang kami berikan memungkinkan kami untuk memberikan satu jawaban umum untuk semua kemungkinan kasus ini:

40 km harus dikalikan dengan jumlah jam yang diberikan, berapa pun itu.

Jadi, jika masalah disajikan dalam bentuk umum sebagai berikut:

Sebuah kereta api bergerak beraturan menempuh perjalanan v km/jam. Berapa kilometer jarak yang ditempuh kereta dalam t jam?

maka, berapapun bilangan v dan t, kita dapat menyatakan satu jawaban: bilangan yang diinginkan dinyatakan dengan rumus v · t.

Catatan. Menemukan beberapa pecahan dari angka tertentu, menurut definisi kami, berarti hal yang sama dengan mengalikan angka tertentu dengan pecahan ini; oleh karena itu, misalnya, untuk menemukan 5% (yaitu lima perseratus) dari angka yang diberikan berarti sama dengan mengalikan angka yang diberikan dengan atau dengan; menemukan 125% dari angka yang diberikan sama dengan mengalikan angka itu dengan atau dengan , dll.

142. Catatan tentang kapan suatu bilangan bertambah dan kapan berkurang dari perkalian.

Dari perkalian dengan pecahan biasa, jumlahnya berkurang, dan dari perkalian dengan pecahan biasa, jumlahnya bertambah jika pecahan biasa ini lebih besar dari satu, dan tetap tidak berubah jika sama dengan satu.
Komentar. Saat mengalikan bilangan pecahan, serta bilangan bulat, produk diambil sama dengan nol jika salah satu faktornya sama dengan nol, jadi,.

143. Derivasi aturan perkalian.

1) Mengalikan pecahan dengan bilangan bulat. Biarkan pecahan dikalikan 5. Artinya bertambah 5 kali lipat. Untuk menambah pecahan sebesar 5, cukup dengan menambah pembilangnya atau mengurangi penyebutnya sebanyak 5 kali (§ 127).

Jadi:
Aturan 1. Untuk mengalikan pecahan dengan bilangan bulat, Anda harus mengalikan pembilang dengan bilangan bulat ini, dan membiarkan penyebutnya tetap sama; sebagai gantinya, Anda juga dapat membagi penyebut pecahan dengan bilangan bulat yang diberikan (jika mungkin), dan membiarkan pembilangnya tetap sama.

Komentar. Hasil kali pecahan dan penyebutnya sama dengan pembilangnya.

Jadi:
Aturan 2. Untuk mengalikan bilangan bulat dengan pecahan, Anda perlu mengalikan bilangan bulat dengan pembilang pecahan dan menjadikan produk ini pembilangnya, dan menandatangani penyebut pecahan yang diberikan sebagai penyebut.
Aturan 3. Untuk mengalikan pecahan dengan pecahan, Anda perlu mengalikan pembilang dengan pembilang dan penyebut dengan penyebut dan membuat produk pertama pembilang dan penyebut kedua dari produk.

Komentar. Aturan ini juga dapat diterapkan pada perkalian pecahan dengan bilangan bulat dan bilangan bulat dengan pecahan, jika saja kita menganggap bilangan bulat sebagai pecahan dengan penyebut satu. Jadi:

Dengan demikian, ketiga aturan yang sekarang dinyatakan terkandung dalam satu, yang dapat dinyatakan secara umum sebagai berikut:
4) Perkalian bilangan campuran.

Aturan 4. Untuk mengalikan bilangan campuran, Anda perlu mengubahnya menjadi pecahan biasa dan kemudian mengalikannya sesuai dengan aturan perkalian pecahan. Sebagai contoh:
144. Pengurangan perkalian. Saat mengalikan pecahan, jika memungkinkan, pengurangan awal harus dilakukan, seperti yang dapat dilihat dari contoh berikut:

Pengurangan seperti itu dapat dilakukan karena nilai pecahan tidak akan berubah jika pembilang dan penyebutnya dikurangi dengan jumlah yang sama.

145. Perubahan produk dengan perubahan faktor. Ketika faktor berubah, produk bilangan pecahan akan berubah dengan cara yang persis sama dengan produk bilangan bulat (§ 53), yaitu: jika Anda menambah (atau mengurangi) faktor apa pun beberapa kali, maka produk akan bertambah (atau berkurang) dengan jumlah yang sama.

Jadi, jika dalam contoh:
untuk mengalikan beberapa pecahan, perlu untuk mengalikan pembilangnya di antara mereka sendiri dan penyebutnya di antara mereka sendiri dan menjadikan produk pertama pembilangnya dan penyebut kedua dari produk tersebut.

Komentar. Aturan ini juga dapat diterapkan pada produk-produk yang beberapa faktor bilangannya adalah bilangan bulat atau campuran, jika saja kita menganggap bilangan bulat sebagai pecahan yang penyebutnya satu, dan kita mengubah bilangan campuran menjadi pecahan biasa. Sebagai contoh:
147. Sifat dasar perkalian. Sifat-sifat perkalian yang telah kita tunjukkan untuk bilangan bulat (§ 56, 57, 59) juga termasuk dalam perkalian bilangan pecahan. Mari kita tentukan properti ini.

1) Produk tidak berubah dari perubahan tempat faktor.

Sebagai contoh:

Memang, menurut aturan paragraf sebelumnya, produk pertama sama dengan pecahan, dan yang kedua sama dengan pecahan. Tetapi pecahan-pecahan ini sama, karena anggotanya hanya berbeda dalam urutan faktor-faktor bilangan bulat, dan produk bilangan bulat tidak berubah ketika faktor-faktornya berpindah tempat.

2) Produk tidak akan berubah jika ada kelompok faktor yang diganti dengan produknya.

Sebagai contoh:

Hasilnya sama.

Dari sifat perkalian ini, kita dapat menarik kesimpulan sebagai berikut:

untuk mengalikan beberapa angka dengan produk, Anda dapat mengalikan angka ini dengan faktor pertama, mengalikan angka yang dihasilkan dengan yang kedua, dan seterusnya.

Sebagai contoh:
3) Hukum distributif perkalian (berkenaan dengan penambahan). Untuk mengalikan jumlah dengan beberapa angka, Anda dapat mengalikan setiap istilah dengan angka ini secara terpisah dan menambahkan hasilnya.

Hukum ini telah dijelaskan oleh kami (§ 59) sebagaimana diterapkan pada bilangan bulat. Itu tetap benar tanpa perubahan apa pun untuk bilangan pecahan.

Mari kita tunjukkan, pada kenyataannya, bahwa kesetaraan

(a + b + c + .)m = am + bm + cm + .

(hukum distributif perkalian sehubungan dengan penambahan) tetap benar bahkan ketika huruf berarti angka pecahan. Mari kita pertimbangkan tiga kasus.

1) Misalkan dulu faktor m adalah bilangan bulat, misalnya m = 3 (a, b, c adalah bilangan apa saja). Menurut definisi perkalian dengan bilangan bulat, seseorang dapat menulis (terbatas untuk penyederhanaan hingga tiga suku):

(a + b + c) * 3 = (a + b + c) + (a + b + c) + (a + b + c).

Berdasarkan hukum penjumlahan asosiatif, kita dapat menghilangkan semua tanda kurung di ruas kanan; menerapkan hukum komutatif penjumlahan, dan sekali lagi hukum kombinasi, kita jelas dapat menulis ulang ruas kanan sebagai berikut:

(a + a + a) + (b + b + b) + (c + c + c).

(a + b + c) * 3 = a * 3 + b * 3 + c * 3.

Oleh karena itu, hukum distributif dalam hal ini dikonfirmasi.

Pembagian pecahan dengan bilangan asli

Bagian: Matematika

T tipe kelas: ONZ (penemuan pengetahuan baru - sesuai dengan teknologi metode aktivitas pengajaran).

1. Deduksi metode pembagian pecahan dengan bilangan asli;
2. Untuk membentuk kemampuan melakukan pembagian pecahan dengan bilangan asli;
3. Ulangi dan konsolidasikan pembagian pecahan;
4. Melatih kemampuan mengurangi pecahan, menganalisis dan memecahkan masalah.

Materi demo peralatan:

1. Tugas untuk memperbarui pengetahuan:

2. Tugas percobaan (individu).

1. Lakukan pembagian:

2. Lakukan pembagian tanpa melakukan seluruh rangkaian perhitungan: .

• Saat membagi pecahan dengan bilangan asli, Anda dapat mengalikan penyebut dengan angka ini, dan membiarkan pembilangnya tetap sama.

• Jika pembilangnya habis dibagi dengan bilangan asli, maka saat membagi pecahan dengan angka ini, Anda dapat membagi pembilangnya dengan angka tersebut, dan membiarkan penyebutnya tetap sama.

I. Motivasi (penetapan diri) untuk kegiatan belajar.

1. Menyelenggarakan aktualisasi kebutuhan siswa pada bagian kegiatan pendidikan (“harus”);
2. Mengatur kegiatan siswa untuk membangun kerangka tematik (“Saya bisa”);
3. Untuk menciptakan kondisi bagi siswa untuk memiliki kebutuhan internal untuk dimasukkan dalam kegiatan pendidikan ("Saya ingin").

Organisasi proses pendidikan pada tahap I.

Halo! Saya senang melihat Anda semua di kelas matematika. Saya berharap itu saling menguntungkan.

Teman-teman, pengetahuan baru apa yang kamu peroleh di pelajaran terakhir? (Membagi pecahan).

Benar. Apa yang membantu Anda membagi pecahan? (Aturan, properti).

Di mana kita membutuhkan pengetahuan ini? (Dalam contoh, persamaan, tugas).

Sudah selesai dilakukan dengan baik! Anda melakukannya dengan baik di pelajaran terakhir. Apakah Anda ingin menemukan sendiri pengetahuan baru hari ini? (Ya).

Lalu - pergi! Dan moto pelajarannya adalah pernyataan “Matematika tidak dapat dipelajari dengan melihat bagaimana tetangga Anda melakukannya!”.

II. Aktualisasi pengetahuan dan fiksasi kesulitan individu dalam tindakan percobaan.

1. Untuk mengatur aktualisasi metode tindakan yang dipelajari, cukup untuk membangun pengetahuan baru. Perbaiki metode ini secara verbal (dalam ucapan) dan secara simbolis (standar) dan umumkan;
2. Mengatur aktualisasi operasi mental dan proses kognitif yang cukup untuk membangun pengetahuan baru;
3. Memotivasi untuk tindakan percobaan dan implementasi dan pembenarannya yang independen;
4. Menyajikan tugas individu untuk tindakan percobaan dan menganalisisnya untuk mengidentifikasi konten pendidikan baru;
5. Mengatur fiksasi tujuan pendidikan dan topik pelajaran;
6. Mengatur pelaksanaan tindakan percobaan dan memperbaiki kesulitan;
7. Mengatur analisis tanggapan yang diterima dan mencatat kesulitan individu dalam melakukan tindakan percobaan atau membenarkannya.

Organisasi proses pendidikan pada tahap II.

Secara frontal, menggunakan tablet (papan individu).

1. Bandingkan ekspresi:

(Ungkapan ini sama)

Hal menarik apa yang Anda perhatikan? (Pembilang dan penyebut bagi hasil, pembilang dan penyebut dari pembagi di setiap ekspresi bertambah dengan jumlah yang sama kali. Jadi, dividen dan pembagi dalam ekspresi diwakili oleh pecahan yang sama satu sama lain).

Temukan arti ungkapan itu dan tuliskan di tablet. (2)

Bagaimana cara menulis angka ini sebagai pecahan?

Bagaimana Anda melakukan tindakan pembagian? (Anak-anak mengucapkan aturan, guru menggantung huruf di papan tulis)

2. Hitung dan catat hanya hasilnya:

3. Jumlahkan hasil Anda dan tuliskan jawaban Anda. (2)

Apa nama angka yang diperoleh dalam tugas 3? (Alami)

Apakah Anda pikir Anda dapat membagi pecahan dengan bilangan asli? (Ya, kami akan mencoba)

Coba ini.

4. Tugas individu (percobaan).

Kerjakan pembagian: (contoh a saja)

Aturan apa yang Anda gunakan untuk membagi? (Menurut aturan pembagian pecahan dengan pecahan)

Dan sekarang bagi pecahan dengan bilangan asli dengan cara yang lebih sederhana, tanpa melakukan seluruh rangkaian perhitungan: (contoh b). Saya memberi Anda 3 detik untuk ini.

Siapa yang gagal menyelesaikan tugas dalam 3 detik?

Siapa yang membuatnya? (Tidak ada seperti itu)

Mengapa? (Kami tidak tahu jalannya)

Apa yang kamu dapatkan? (Kesulitan)

Menurutmu apa yang akan kita lakukan di kelas? (Membagi pecahan dengan bilangan asli)

Itu benar, buka buku catatan Anda dan tuliskan topik pelajaran "Membagi pecahan dengan bilangan asli."

Mengapa topik ini terdengar baru padahal Anda sudah tahu cara membagi pecahan? (Perlu cara baru)

Benar. Hari ini kita akan membuat teknik yang menyederhanakan pembagian pecahan dengan bilangan asli.

AKU AKU AKU. Identifikasi lokasi dan penyebab kesulitan.

1. Atur pemulihan operasi yang dilakukan dan perbaiki (verbal dan simbolis) tempat - langkah, operasi di mana kesulitan muncul;
2. Untuk mengatur korelasi tindakan siswa dengan metode (algoritma) yang digunakan dan fiksasi dalam pidato eksternal penyebab kesulitan - pengetahuan, keterampilan, atau kemampuan khusus yang tidak cukup untuk memecahkan masalah awal jenis ini.

Organisasi proses pendidikan pada tahap III.

Tugas apa yang harus Anda selesaikan? (Membagi pecahan dengan bilangan asli tanpa melakukan seluruh rangkaian perhitungan)

Apa yang menyebabkan Anda kesulitan? (Tidak dapat menyelesaikan dalam waktu singkat dengan cara yang cepat)

Apa tujuan pelajaran kita? (Temukan cara cepat untuk membagi pecahan dengan bilangan asli)

Apa yang akan membantu Anda? (Sudah diketahui aturan pembagian pecahan)

IV. Konstruksi proyek jalan keluar dari kesulitan.

1. Klarifikasi tujuan proyek;
2. Pilihan metode (klarifikasi);
3. Definisi dana (algoritma);
4. Membangun rencana untuk mencapai tujuan.

Organisasi proses pendidikan pada tahap IV.

Mari kita kembali ke kasus uji. Apakah Anda mengatakan bahwa Anda membagi dengan aturan pembagian pecahan? (Ya)

Untuk melakukan ini, ganti bilangan asli dengan pecahan? (Ya)

Langkah apa yang menurut Anda bisa Anda lewati?

(Rantai solusi terbuka di papan:

Menganalisis dan menarik kesimpulan. (Langkah 1)

Jika tidak ada jawaban, maka kami merangkum melalui pertanyaan:

Ke mana perginya pembagi alami? (ke penyebutnya)

Apakah pembilangnya berubah? (Bukan)

Jadi langkah apa yang bisa "dihilangkan"? (Langkah 1)

• Kalikan penyebut pecahan dengan bilangan asli.
• Pembilangnya tidak berubah.
• Kami mendapatkan pecahan baru.

V. Pelaksanaan proyek yang dibangun.

1. Mengatur interaksi komunikatif untuk mengimplementasikan proyek yang dibangun yang bertujuan untuk memperoleh pengetahuan yang hilang;
2. Atur fiksasi metode tindakan yang dibangun dalam ucapan dan tanda (dengan bantuan standar);
3. Mengatur solusi dari masalah asli dan merekam mengatasi kesulitan;
4. Mengatur klarifikasi sifat umum dari pengetahuan baru.

Organisasi proses pendidikan pada tahap V.

Sekarang jalankan test case dengan cara baru dengan cepat.

Apakah Anda dapat menyelesaikan tugas dengan cepat sekarang? (Ya)

Jelaskan bagaimana Anda melakukannya? (Anak-anak berbicara)

Ini berarti bahwa kami telah menerima pengetahuan baru: aturan untuk membagi pecahan dengan bilangan asli.

Sudah selesai dilakukan dengan baik! Ucapkan secara berpasangan.

Kemudian salah satu siswa berbicara di depan kelas. Kami memperbaiki aturan-algoritma secara lisan dan dalam bentuk standar di papan tulis.

Sekarang masukkan penunjukan huruf dan tuliskan rumus untuk aturan kita.

Siswa menulis di papan tulis, mengucapkan aturan: saat membagi pecahan dengan bilangan asli, Anda dapat mengalikan penyebut dengan angka ini, dan membiarkan pembilangnya sama.

(Semua orang menulis rumus di buku catatan).

Dan sekarang sekali lagi menganalisis rantai penyelesaian tugas percobaan, memberikan perhatian khusus pada jawabannya. Apa yang mereka lakukan? (Pembilang pecahan 15 dibagi (dikurangi) dengan angka 3)

Nomor apa ini? (Alami, pembagi)

Jadi bagaimana lagi Anda bisa membagi pecahan dengan bilangan asli? (Periksa: jika pembilang suatu pecahan habis dibagi dengan bilangan asli ini, maka pembilangnya dapat dibagi dengan bilangan ini, tulis hasilnya ke dalam pembilang pecahan baru, dan biarkan penyebutnya tetap sama)

Tulis metode ini dalam bentuk rumus. (Siswa menuliskan aturan di papan tulis. Semua orang menuliskan rumus di buku catatan.)

Mari kita kembali ke metode pertama. Bisakah itu digunakan jika a:n? (Ya, ini adalah cara umum)

Dan kapan metode kedua nyaman digunakan? (Bila pembilang suatu pecahan habis dibagi dengan bilangan asli tanpa sisa)

VI. Konsolidasi utama dengan pengucapan dalam pidato eksternal.

1. Untuk mengatur asimilasi oleh anak-anak dari metode tindakan baru ketika memecahkan masalah khas dengan pengucapan mereka dalam pidato eksternal (secara frontal, berpasangan atau kelompok).

Organisasi proses pendidikan pada tahap VI.

Hitung dengan cara baru:

• No. 363 (a; d) - tampil di papan tulis, mengucapkan aturan.
• No. 363 (d; f) - berpasangan dengan tanda centang pada sampel.

VII. Pekerjaan mandiri dengan self test sesuai standar.

1. Untuk mengatur pemenuhan tugas mandiri siswa untuk mode tindakan baru;
2. Menyelenggarakan tes mandiri berdasarkan perbandingan dengan standar;
3. Berdasarkan hasil kerja mandiri, atur refleksi tentang asimilasi mode tindakan baru.

Organisasi proses pendidikan pada tahap VII.

Hitung dengan cara baru:

Siswa memeriksa standar, mencatat kebenaran kinerja. Penyebab kesalahan dianalisis dan kesalahan diperbaiki.

Guru bertanya kepada siswa yang melakukan kesalahan, apa alasannya?

Pada tahap ini, penting bahwa setiap siswa secara mandiri memeriksa pekerjaan mereka.

Sebelum menyelesaikan tugas 8) pertimbangkan contoh dari buku teks:

IX. Refleksi kegiatan pembelajaran di kelas.

1. Mengatur fiksasi konten baru yang dipelajari dalam pelajaran;
2. Menyelenggarakan analisis reflektif kegiatan pendidikan dalam hal pemenuhan persyaratan yang diketahui peserta didik;
3. Mengatur penilaian siswa terhadap aktivitas mereka sendiri dalam pelajaran;
4. Mengatur fiksasi kesulitan yang belum terselesaikan dalam pelajaran sebagai arahan untuk kegiatan pembelajaran di masa depan;
5. Atur diskusi dan pencatatan pekerjaan rumah.

Organisasi proses pendidikan pada tahap IX.

Guys, pengetahuan baru apa yang kamu temukan hari ini? (Kami belajar membagi pecahan dengan bilangan asli dengan cara yang sederhana)

Merumuskan cara umum. (Mereka bilang)

Dengan cara apa, dan dalam kasus apa Anda masih dapat menggunakannya? (Mereka bilang)

Apa keuntungan dari metode baru?

Sudahkah kita mencapai tujuan pelajaran kita? (Ya)

Pengetahuan apa yang Anda gunakan untuk mencapai tujuan? (Mereka bilang)

Apakah Anda berhasil?

Apa kesulitannya?

87. Penjumlahan pecahan.

Penjumlahan pecahan memiliki banyak kesamaan dengan penjumlahan bilangan bulat. Penjumlahan pecahan adalah tindakan yang terdiri dari fakta bahwa beberapa bilangan (suku) yang diberikan digabungkan menjadi satu bilangan (jumlah), yang berisi semua satuan dan pecahan dari satuan suku.

Kami akan mempertimbangkan tiga kasus secara bergantian:

1. Penjumlahan pecahan dengan penyebut yang sama.
2. Penjumlahan pecahan dengan penyebut berbeda.
3. Penjumlahan bilangan campuran.

1. Penjumlahan pecahan dengan penyebut yang sama.

Pertimbangkan sebuah contoh: 1 / 5 + 2 / 5 .

Ambil ruas AB (Gbr. 17), ambil satu kesatuan dan bagi menjadi 5 bagian yang sama, maka bagian AC ruas ini akan sama dengan 1/5 ruas AB, dan bagian CD yang sama akan sama dengan 2/5 AB.

Dapat dilihat dari gambar bahwa jika kita mengambil segmen AD, maka akan sama dengan 3/5 AB; tetapi segmen AD justru merupakan penjumlahan dari segmen AC dan CD. Jadi, kita dapat menulis:

1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5

Dengan mempertimbangkan suku-suku ini dan jumlah yang dihasilkan, kita melihat bahwa pembilang dari jumlah tersebut diperoleh dengan menambahkan pembilang dari suku-suku tersebut, dan penyebutnya tetap tidak berubah.

Dari sini kita mendapatkan aturan berikut: Untuk menjumlahkan pecahan dengan penyebut yang sama, Anda harus menjumlahkan pembilangnya dan meninggalkan penyebut yang sama.

Pertimbangkan sebuah contoh:

2. Penjumlahan pecahan dengan penyebut berbeda.

Mari kita menjumlahkan pecahan: 3/4 + 3/8 Pertama, mereka perlu direduksi menjadi penyebut persekutuan terendah:

Tautan perantara 6/8 + 3/8 tidak dapat ditulis; kami telah menulisnya di sini untuk kejelasan yang lebih besar.

Jadi, untuk menjumlahkan pecahan dengan penyebut yang berbeda, Anda harus terlebih dahulu membawanya ke penyebut yang paling rendah, menambahkan pembilangnya dan menandatangani penyebut yang sama.

Pertimbangkan sebuah contoh (kami akan menulis faktor tambahan untuk pecahan yang sesuai):

3. Penjumlahan bilangan campuran.

Mari kita tambahkan angkanya: 2 3/8 + 3 5/6.

Mari kita pertama-tama membawa bagian pecahan dari angka kita ke penyebut yang sama dan menulis ulang lagi:

Sekarang tambahkan bagian bilangan bulat dan pecahan secara berurutan:

88. Pengurangan pecahan.

Pengurangan pecahan didefinisikan dengan cara yang sama seperti pengurangan bilangan bulat. Ini adalah tindakan di mana, mengingat jumlah dari dua istilah dan salah satunya, istilah lain ditemukan. Mari kita pertimbangkan tiga kasus secara bergantian:

1. Pengurangan pecahan dengan penyebut yang sama.
2. Pengurangan pecahan dengan penyebut berbeda.
3. Pengurangan bilangan campuran.

1. Pengurangan pecahan dengan penyebut yang sama.

Pertimbangkan sebuah contoh:

13 / 15 - 4 / 15

Mari kita ambil segmen AB (Gbr. 18), ambil sebagai satu kesatuan dan bagi menjadi 15 bagian yang sama; maka bagian AC dari segmen ini akan menjadi 1/15 AB, dan bagian AD dari segmen yang sama akan sesuai dengan 13/15 AB. Mari kita sisihkan segmen lain ED, sama dengan 4/15 AB.

Kita perlu mengurangi 4/15 dari 13/15. Dalam gambar, ini berarti bahwa segmen ED harus dikurangi dari segmen AD. Akibatnya, segmen AE akan tetap ada, yaitu 9/15 segmen AB. Jadi kita bisa menulis:

Contoh yang kami buat menunjukkan bahwa pembilang dari selisih diperoleh dengan mengurangkan pembilangnya, dan penyebutnya tetap sama.

Oleh karena itu, untuk mengurangkan pecahan dengan penyebut yang sama, Anda perlu mengurangkan pembilang dari pengurangan dari pembilangnya dan meninggalkan penyebut yang sama.

2. Pengurangan pecahan dengan penyebut berbeda.

Contoh. 3/4 - 5/8

Pertama, mari kita kurangi pecahan ini menjadi penyebut bersama terkecil:

Tautan perantara 6 / 8 - 5 / 8 ditulis di sini untuk kejelasan, tetapi dapat dilewati di masa mendatang.

Jadi, untuk mengurangkan pecahan dari pecahan, Anda harus terlebih dahulu membawanya ke penyebut bersama terkecil, kemudian mengurangkan pembilang dari pengurangan dari pembilang dari minuend dan menandatangani penyebut yang sama di bawah perbedaan mereka.

Pertimbangkan sebuah contoh:

3. Pengurangan bilangan campuran.

Contoh. 10 3 / 4 - 7 2 / 3 .

Mari kita bawa bagian pecahan dari minuend dan subtrahend ke penyebut umum terendah:

Kami mengurangi keseluruhan dari keseluruhan dan pecahan dari pecahan. Tetapi ada kasus ketika bagian pecahan dari subtrahend lebih besar dari bagian pecahan dari minuend. Dalam kasus seperti itu, Anda perlu mengambil satu unit dari bagian bilangan bulat dari yang dikurangi, membaginya menjadi bagian-bagian di mana bagian pecahan dinyatakan, dan menambahkan bagian pecahan dari yang dikurangi. Dan kemudian pengurangan akan dilakukan dengan cara yang sama seperti pada contoh sebelumnya:

89. Perkalian pecahan.

Saat mempelajari perkalian pecahan, kita akan mempertimbangkan pertanyaan-pertanyaan berikut:

1. Mengalikan pecahan dengan bilangan bulat.
2. Menemukan pecahan dari bilangan tertentu.
3. Perkalian bilangan bulat dengan pecahan.
4. Mengalikan pecahan dengan pecahan.
5. Perkalian bilangan campuran.
6. Konsep bunga.
7. Menemukan persentase dari angka yang diberikan. Mari kita pertimbangkan mereka secara berurutan.

1. Mengalikan pecahan dengan bilangan bulat.

Mengalikan pecahan dengan bilangan bulat memiliki arti yang sama dengan mengalikan bilangan bulat dengan bilangan bulat. Mengalikan pecahan (multiplicand) dengan bilangan bulat (multiplier) berarti menyusun jumlah suku yang identik, di mana setiap suku sama dengan perkalian, dan jumlah suku sama dengan pengali.

Jadi, jika Anda perlu mengalikan 1/9 dengan 7, maka ini bisa dilakukan seperti ini:

Kami dengan mudah mendapatkan hasilnya, karena aksinya dikurangi menjadi penjumlahan pecahan dengan penyebut yang sama. Karena itu,

Pertimbangan tindakan ini menunjukkan bahwa mengalikan pecahan dengan bilangan bulat sama dengan meningkatkan pecahan ini sebanyak unit dalam bilangan bulat. Dan karena peningkatan pecahan dicapai dengan meningkatkan pembilangnya

atau dengan mengurangi penyebutnya , maka kita dapat mengalikan pembilang dengan bilangan bulat, atau membagi penyebutnya, jika pembagian seperti itu memungkinkan.

Dari sini kita mendapatkan aturan:

Untuk mengalikan pecahan dengan bilangan bulat, Anda perlu mengalikan pembilangnya dengan bilangan bulat ini dan membiarkan penyebutnya sama atau, jika mungkin, membagi penyebutnya dengan angka ini, membiarkan pembilangnya tidak berubah.

Saat mengalikan, singkatan dimungkinkan, misalnya:

2. Menemukan pecahan dari bilangan tertentu. Ada banyak masalah di mana Anda harus menemukan, atau menghitung, bagian dari angka yang diberikan. Perbedaan antara tugas-tugas ini dan yang lain adalah bahwa mereka memberikan jumlah beberapa objek atau unit pengukuran dan Anda perlu menemukan bagian dari angka ini, yang juga ditunjukkan di sini dengan pecahan tertentu. Untuk memudahkan pemahaman, pertama-tama kami akan memberikan contoh masalah tersebut, dan kemudian memperkenalkan metode penyelesaiannya.

Tugas 1. Saya punya 60 rubel; 1/3 dari uang ini saya habiskan untuk pembelian buku. Berapa harga buku-buku itu?

Tugas 2. Kereta api harus menempuh jarak antara kota A dan B, sama dengan 300 km. Dia telah menempuh 2/3 dari jarak itu. Berapa kilometer ini?

Tugas 3. Ada 400 rumah di desa ini, 3/4nya terbuat dari batu bata, sisanya dari kayu. Ada berapa rumah bata?

Berikut adalah beberapa dari banyak masalah yang harus kita tangani untuk menemukan pecahan dari bilangan tertentu. Mereka biasanya disebut masalah untuk menemukan sebagian kecil dari angka yang diberikan.

Solusi masalah 1. Dari 60 rubel. Saya menghabiskan 1/3 untuk buku; Jadi, untuk mencari harga buku, kamu harus membagi angka 60 dengan 3:

Soal 2 solusi. Arti masalahnya adalah Anda harus menemukan 2 / 3 dari 300 km. Hitung 1/3 pertama dari 300; ini dicapai dengan membagi 300 km dengan 3:

300: 3 = 100 (itu 1/3 dari 300).

Untuk menemukan dua pertiga dari 300, Anda perlu menggandakan hasil bagi, yaitu, kalikan dengan 2:

100 x 2 = 200 (itu 2/3 dari 300).

Solusi masalah 3. Di sini Anda perlu menentukan jumlah rumah bata, yaitu 3/4 dari 400. Mari kita cari dulu 1/4 dari 400,

400: 4 = 100 (itu 1/4 dari 400).

Untuk menghitung tiga perempat dari 400, hasil bagi yang dihasilkan harus dikalikan tiga kali lipat, yaitu dikalikan 3:

100 x 3 = 300 (itu 3/4 dari 400).

Berdasarkan solusi dari masalah ini, kita dapat memperoleh aturan berikut:

Untuk menemukan nilai pecahan dari bilangan tertentu, Anda perlu membagi bilangan ini dengan penyebut pecahan dan mengalikan hasil bagi yang dihasilkan dengan pembilangnya.

3. Perkalian bilangan bulat dengan pecahan.

Sebelumnya (§ 26) ditetapkan bahwa perkalian bilangan bulat harus dipahami sebagai penambahan suku yang identik (5 x 4 \u003d 5 + 5 + 5 + 5 \u003d 20). Dalam paragraf ini (paragraf 1) ditetapkan bahwa mengalikan pecahan dengan bilangan bulat berarti menemukan jumlah suku identik yang sama dengan pecahan ini.

Dalam kedua kasus, perkalian terdiri dari menemukan jumlah suku yang identik.

Sekarang kita beralih ke mengalikan bilangan bulat dengan pecahan. Di sini kita akan bertemu dengan, misalnya, perkalian: 9 2 / 3. Jelas sekali bahwa definisi perkalian sebelumnya tidak berlaku untuk kasus ini. Ini terbukti dari fakta bahwa kita tidak dapat mengganti perkalian seperti itu dengan menambahkan angka yang sama.

Karena itu, kita harus memberikan definisi baru tentang perkalian, yaitu dengan kata lain, untuk menjawab pertanyaan tentang apa yang harus dipahami dengan perkalian dengan pecahan, bagaimana tindakan ini harus dipahami.

Arti mengalikan bilangan bulat dengan pecahan jelas dari definisi berikut: mengalikan bilangan bulat (pengganda) dengan pecahan (pengganda) berarti menemukan pecahan pengali ini.

Yaitu, mengalikan 9 dengan 2/3 berarti menemukan 2/3 dari sembilan unit. Dalam paragraf sebelumnya, masalah seperti itu diselesaikan; jadi mudah untuk mengetahui bahwa kita berakhir dengan 6.

Tetapi sekarang muncul pertanyaan yang menarik dan penting: mengapa tindakan yang tampaknya berbeda seperti menemukan jumlah bilangan yang sama dan menemukan pecahan suatu bilangan disebut sebagai kata yang sama "perkalian" dalam aritmatika?

Hal ini terjadi karena tindakan sebelumnya (mengulang bilangan dengan suku beberapa kali) dan tindakan baru (mencari pecahan suatu bilangan) memberikan jawaban atas pertanyaan yang homogen. Ini berarti bahwa kami melanjutkan di sini dari pertimbangan bahwa pertanyaan atau tugas yang homogen diselesaikan dengan satu tindakan yang sama.

Untuk memahami ini, pertimbangkan masalah berikut: “1 m kain berharga 50 rubel. Berapa harga 4 m kain tersebut?

Masalah ini diselesaikan dengan mengalikan jumlah rubel (50) dengan jumlah meter (4), yaitu 50 x 4 = 200 (rubel).

Mari kita ambil masalah yang sama, tetapi di dalamnya jumlah kain akan dinyatakan sebagai bilangan pecahan: “1 m kain berharga 50 rubel. Berapa harga 3/4 m kain tersebut?

Masalah ini juga perlu diselesaikan dengan mengalikan jumlah rubel (50) dengan jumlah meter (3/4).

Anda juga dapat mengubah angka di dalamnya beberapa kali tanpa mengubah arti soal, misalnya, ambil 9/10 m atau 2 3/10 m, dll.

Karena masalah ini memiliki konten yang sama dan hanya berbeda dalam jumlah, kami menyebut tindakan yang digunakan dalam menyelesaikannya dengan kata yang sama - perkalian.

Bagaimana bilangan bulat dikalikan dengan pecahan?

Mari kita ambil angka yang ditemui dalam masalah terakhir:

Menurut definisi, kita harus menemukan 3/4 dari 50. Pertama kita menemukan 1/4 dari 50, lalu 3/4.

1/4 dari 50 adalah 50/4;

3/4 dari 50 adalah .

Karena itu.

Perhatikan contoh lain: 12 5 / 8 = ?

1/8 dari 12 adalah 12/8,

5/8 dari bilangan 12 adalah .

Karena itu,

Dari sini kita mendapatkan aturan:

Untuk mengalikan bilangan bulat dengan pecahan, Anda perlu mengalikan bilangan bulat dengan pembilang pecahan dan menjadikan produk ini pembilangnya, dan menandatangani penyebut pecahan yang diberikan sebagai penyebut.

Kami menulis aturan ini menggunakan huruf:

Untuk memperjelas aturan ini, harus diingat bahwa pecahan dapat dianggap sebagai hasil bagi. Oleh karena itu, berguna untuk membandingkan aturan yang ditemukan dengan aturan untuk mengalikan angka dengan hasil bagi, yang ditetapkan dalam 38

Harus diingat bahwa sebelum melakukan perkalian, Anda harus melakukan (jika memungkinkan) pemotongan, Sebagai contoh:

4. Mengalikan pecahan dengan pecahan. Mengalikan pecahan dengan pecahan memiliki arti yang sama dengan mengalikan bilangan bulat dengan pecahan, yaitu, ketika mengalikan pecahan dengan pecahan, Anda perlu menemukan pecahan di pengali dari pecahan pertama (pengganda).

Yaitu, mengalikan 3/4 dengan 1/2 (setengah) berarti menemukan setengah dari 3/4.

Bagaimana cara mengalikan pecahan dengan pecahan?

Mari kita ambil contoh: 3/4 kali 5/7. Ini berarti Anda harus mencari 5 / 7 dari 3 / 4 . Cari 1/7 pertama dari 3/4 lalu 5/7

1/7 dari 3/4 akan dinyatakan seperti ini:

5/7 angka 3/4 akan dinyatakan sebagai berikut:

Dengan demikian,

Contoh lain: 5/8 kali 4/9.

1/9 dari 5/8 adalah ,

4/9 bilangan 5/8 adalah .

Dengan demikian,

Dari contoh-contoh ini, aturan berikut dapat ditarik:

Untuk mengalikan pecahan dengan pecahan, Anda perlu mengalikan pembilang dengan pembilang, dan penyebut dengan penyebut dan membuat produk pertama pembilang dan produk kedua penyebut produk.

Aturan ini dapat ditulis secara umum sebagai berikut:

Saat mengalikan, perlu untuk membuat (jika mungkin) pengurangan. Pertimbangkan contoh:

5. Perkalian bilangan campuran. Karena bilangan campuran dapat dengan mudah diganti dengan pecahan biasa, keadaan ini biasanya digunakan untuk mengalikan bilangan campuran. Ini berarti bahwa dalam kasus di mana perkalian, atau pengali, atau kedua faktor dinyatakan sebagai bilangan campuran, maka mereka diganti dengan pecahan biasa. Kalikan, misalnya, angka campuran: 2 1/2 dan 3 1/5. Kami mengubah masing-masing menjadi pecahan biasa dan kemudian kami akan mengalikan pecahan yang dihasilkan sesuai dengan aturan mengalikan pecahan dengan pecahan:

Aturan. Untuk mengalikan bilangan campuran, Anda harus terlebih dahulu mengubahnya menjadi pecahan biasa dan kemudian mengalikannya sesuai dengan aturan perkalian pecahan dengan pecahan.

Catatan. Jika salah satu faktornya adalah bilangan bulat, maka perkalian dapat dilakukan berdasarkan hukum distribusi sebagai berikut:

6. Konsep bunga. Saat memecahkan masalah dan saat melakukan berbagai perhitungan praktis, kami menggunakan semua jenis pecahan. Tetapi kita harus ingat bahwa banyak kuantitas tidak mengakui apa pun, tetapi pembagian alami untuk mereka. Misalnya, Anda dapat mengambil seperseratus (1/100) rubel, itu akan menjadi satu sen, dua perseratus adalah 2 kopek, tiga perseratus adalah 3 kopek. Anda dapat mengambil 1/10 rubel, itu akan menjadi "10 kopeck, atau sepeser pun. Anda dapat mengambil seperempat rubel, yaitu 25 kopeck, setengah rubel, yaitu 50 kopeck (lima puluh kopeck). Tetapi mereka praktis tidak 't mengambil, misalnya , 2/7 rubel karena rubel tidak dibagi menjadi tujuh.

Satuan ukuran untuk berat, mis., kilogram, memungkinkan, pertama-tama, pembagian desimal, misalnya, 1/10 kg, atau 100 g. Dan pecahan kilogram seperti 1/6, 1/11, 1/ 13 jarang terjadi.

Secara umum ukuran (metrik) kami adalah desimal dan memungkinkan pembagian desimal.

Namun, perlu dicatat bahwa sangat berguna dan nyaman dalam berbagai kasus untuk menggunakan metode pembagian kuantitas yang sama (seragam). Pengalaman bertahun-tahun telah menunjukkan bahwa pembagian yang dapat dibenarkan seperti itu adalah pembagian "keseratus". Mari kita pertimbangkan beberapa contoh yang terkait dengan area praktik manusia yang paling beragam.

1. Harga buku turun 12/100 dari harga sebelumnya.

Contoh. Harga buku sebelumnya adalah 10 rubel. Dia turun 1 rubel. 20 kop.

2. Bank tabungan membayar selama setahun kepada deposan 2/100 dari jumlah yang dimasukkan ke dalam tabungan.

Contoh. 500 rubel dimasukkan ke meja kas, pendapatan dari jumlah ini untuk tahun ini adalah 10 rubel.

3. Jumlah lulusan satu sekolah adalah 5/100 dari jumlah siswa.

CONTOH Hanya 1.200 siswa yang belajar di sekolah tersebut, 60 di antaranya tamat sekolah.

Perseratus dari suatu bilangan disebut persentase..

Kata "persen" dipinjam dari bahasa Latin dan akarnya "sen" berarti seratus. Bersama dengan kata depan (pro centum), kata ini berarti "untuk seratus." Arti ungkapan ini mengikuti fakta bahwa pada awalnya di Roma kuno, bunga adalah uang yang dibayarkan debitur kepada pemberi pinjaman "untuk setiap seratus". Kata "sen" terdengar dengan kata-kata yang begitu akrab: centner (seratus kilogram), sentimeter (mereka mengatakan sentimeter).

Misalnya, alih-alih mengatakan bahwa pabrik memproduksi 1/100 dari semua produk yang dihasilkannya selama sebulan terakhir, kita akan mengatakan ini: pabrik menghasilkan satu persen dari produk yang ditolak selama sebulan terakhir. Alih-alih mengatakan: pabrik menghasilkan 4/100 produk lebih banyak dari rencana yang ditetapkan, kita akan mengatakan: pabrik melebihi rencana sebesar 4 persen.

Contoh di atas dapat dinyatakan secara berbeda:

1. Harga buku turun 12 persen dari harga sebelumnya.

2. Bank tabungan membayar deposan 2 persen per tahun dari jumlah yang dimasukkan ke dalam tabungan.

3. Jumlah lulusan satu sekolah adalah 5 persen dari jumlah seluruh siswa di sekolah tersebut.

Untuk mempersingkat surat, biasanya ditulis tanda % alih-alih kata "persentase".

Namun, harus diingat bahwa tanda % biasanya tidak tertulis dalam perhitungan, dapat ditulis dalam rumusan masalah dan pada hasil akhir. Saat melakukan perhitungan, Anda perlu menulis pecahan dengan penyebut 100 alih-alih bilangan bulat dengan ikon ini.

Anda harus dapat mengganti bilangan bulat dengan ikon yang ditentukan dengan pecahan dengan penyebut 100:

Sebaliknya, Anda perlu membiasakan diri menulis bilangan bulat dengan ikon yang ditunjukkan alih-alih pecahan dengan penyebut 100:

7. Menemukan persentase dari angka yang diberikan.

Tugas 1. Sekolah menerima 200 meter kubik. m kayu bakar, dengan kayu bakar birch terhitung 30%. Berapa banyak kayu birch di sana?

Arti dari soal ini adalah kayu bakar birch hanya sebagian dari kayu bakar yang dikirimkan ke sekolah, dan bagian ini dinyatakan dalam pecahan 30/100. Jadi, kita dihadapkan pada tugas menemukan pecahan dari suatu bilangan. Untuk menyelesaikannya, kita harus mengalikan 200 dengan 30/100 (tugas untuk menemukan pecahan suatu bilangan diselesaikan dengan mengalikan suatu bilangan dengan pecahan.).

Jadi 30% dari 200 sama dengan 60.

Pecahan 30/100 yang ditemukan dalam soal ini dapat dikurangi 10. Pengurangan ini dapat dilakukan sejak awal; solusi untuk masalah tidak akan berubah.

Tugas 2. Ada 300 anak dari berbagai usia di kamp. Anak usia 11 tahun sebanyak 21%, anak usia 12 tahun sebanyak 61% dan terakhir anak usia 13 tahun sebanyak 18%. Berapa banyak anak dari setiap usia berada di kamp?

Dalam soal ini, Anda perlu melakukan tiga perhitungan, yaitu mencari jumlah anak yang berusia 11 tahun, kemudian 12 tahun, dan akhirnya 13 tahun.

Jadi, di sini perlu menemukan pecahan dari angka tiga kali. Ayo lakukan:

1) Berapa banyak anak yang berumur 11 tahun?

2) Berapa banyak anak yang berumur 12 tahun?

3) Berapa banyak anak yang berumur 13 tahun?

Setelah menyelesaikan masalah, akan berguna untuk menjumlahkan angka yang ditemukan; jumlah mereka harus 300:

63 + 183 + 54 = 300

Anda juga harus memperhatikan fakta bahwa jumlah persentase yang diberikan dalam kondisi masalah adalah 100:

21% + 61% + 18% = 100%

Hal ini menunjukkan bahwa jumlah anak di kamp diambil sebagai 100%.

3 a da cha 3. Pekerja menerima 1.200 rubel per bulan. Dari jumlah tersebut, ia menghabiskan 65% untuk makanan, 6% untuk apartemen dan pemanas, 4% untuk gas, listrik, dan radio, 10% untuk kebutuhan budaya, dan 15% untuk tabungan. Berapa banyak uang yang dihabiskan untuk kebutuhan yang ditunjukkan dalam tugas?

Untuk menyelesaikan soal ini, kamu perlu mencari pecahan dari bilangan 1.200 sebanyak 5 kali.

1) Berapa banyak uang yang dihabiskan untuk makan? Tugas mengatakan bahwa pengeluaran ini adalah 65% dari semua pendapatan, yaitu 65/100 dari angka 1.200. Mari kita lakukan perhitungan:

2) Berapa banyak uang yang dibayarkan untuk apartemen dengan pemanas? Berdebat seperti yang sebelumnya, kita sampai pada perhitungan berikut:

3) Berapa banyak uang yang Anda bayarkan untuk gas, listrik dan radio?

4) Berapa banyak uang yang dihabiskan untuk kebutuhan budaya?

5) Berapa banyak uang yang dihemat oleh pekerja tersebut?

Untuk verifikasi, ada baiknya menambahkan angka yang ditemukan dalam 5 pertanyaan ini. Jumlahnya harus 1.200 rubel. Semua penghasilan diambil sebagai 100%, yang mudah diperiksa dengan menjumlahkan persentase yang diberikan dalam pernyataan masalah.

Kami telah memecahkan tiga masalah. Terlepas dari kenyataan bahwa tugas-tugas ini adalah tentang hal-hal yang berbeda (pengiriman kayu bakar untuk sekolah, jumlah anak dari berbagai usia, biaya pekerja), mereka diselesaikan dengan cara yang sama. Ini terjadi karena dalam semua tugas perlu menemukan beberapa persen dari angka yang diberikan.

90. Pembagian pecahan.

Saat mempelajari pembagian pecahan, kami akan mempertimbangkan pertanyaan-pertanyaan berikut:

1. Bagilah bilangan bulat dengan bilangan bulat.
2. Pembagian pecahan dengan bilangan bulat
3. Pembagian bilangan bulat dengan pecahan.
4. Pembagian pecahan dengan pecahan.
5. Pembagian bilangan campuran.
6. Menemukan bilangan yang diberikan pecahannya.
7. Menemukan angka berdasarkan persentasenya.

Mari kita pertimbangkan mereka secara berurutan.

1. Bagilah bilangan bulat dengan bilangan bulat.

Seperti yang ditunjukkan pada bagian bilangan bulat, pembagian adalah tindakan yang terdiri dari fakta bahwa, mengingat produk dari dua faktor (dividen) dan salah satu faktor ini (pembagi), faktor lain ditemukan.

Pembagian bilangan bulat dengan bilangan bulat yang kami pertimbangkan di departemen bilangan bulat. Kami bertemu di sana dua kasus pembagian: pembagian tanpa sisa, atau "seluruhnya" (150: 10 = 15), dan pembagian dengan sisa (100: 9 = 11 dan 1 sisanya). Oleh karena itu, kita dapat mengatakan bahwa dalam bidang bilangan bulat, pembagian eksak tidak selalu mungkin, karena dividen tidak selalu merupakan produk dari pembagi dan bilangan bulat. Setelah pengenalan perkalian dengan pecahan, kita dapat mempertimbangkan setiap kasus pembagian bilangan bulat mungkin (hanya pembagian dengan nol yang dikecualikan).

Misalnya, membagi 7 dengan 12 berarti menemukan bilangan yang hasil kali 12 adalah 7. Bilangan ini adalah pecahan 7/12 karena 7/12 12 = 7. Contoh lain: 14:25 = 14/25 karena 14/25 25 = 14.

Jadi, untuk membagi bilangan bulat dengan bilangan bulat, Anda perlu membuat pecahan, yang pembilangnya sama dengan pembagiannya, dan penyebutnya adalah pembaginya.

2. Pembagian pecahan dengan bilangan bulat.

Bagilah pecahan 6 / 7 dengan 3. Menurut definisi pembagian yang diberikan di atas, kita mendapatkan hasil kali (6 / 7) dan salah satu faktornya (3); diperlukan untuk menemukan faktor kedua sehingga, ketika dikalikan dengan 3, akan menghasilkan produk yang diberikan 6/7. Jelas, itu harus tiga kali lebih kecil dari produk ini. Ini berarti tugas yang diberikan kepada kita adalah mengurangi pecahan 6/7 sebanyak 3 kali.

Kita sudah tahu bahwa pengurangan suatu pecahan dapat dilakukan dengan mengurangi pembilangnya atau dengan meningkatkan penyebutnya. Karena itu, Anda dapat menulis:

Dalam hal ini, pembilang 6 habis dibagi 3, jadi pembilangnya harus dikurangi 3 kali.

Mari kita ambil contoh lain: 5 / 8 dibagi 2. Di sini pembilang 5 tidak habis dibagi 2, yang berarti penyebutnya harus dikalikan dengan angka ini:

Berdasarkan ini, kita dapat menyatakan aturan: Untuk membagi pecahan dengan bilangan bulat, Anda perlu membagi pembilang pecahan dengan bilangan bulat itu(jika memungkinkan), meninggalkan penyebut yang sama, atau mengalikan penyebut pecahan dengan angka ini, meninggalkan pembilang yang sama.

3. Pembagian bilangan bulat dengan pecahan.

Biarkan diperlukan untuk membagi 5 dengan 1/2, yaitu menemukan angka yang, setelah dikalikan dengan 1/2, akan menghasilkan produk 5. Jelas, angka ini harus lebih besar dari 5, karena 1/2 adalah pecahan biasa, dan ketika mengalikan suatu bilangan dengan pecahan biasa, hasil kali harus lebih kecil dari perkalian. Agar lebih jelas, mari kita tulis tindakan kita sebagai berikut: 5:1 / 2 = X , jadi x 1/2 \u003d 5.

Kita harus menemukan nomor seperti itu X , yang, jika dikalikan dengan 1/2, akan menghasilkan 5. Karena mengalikan suatu bilangan dengan 1/2 berarti menemukan 1/2 dari bilangan ini, maka, oleh karena itu, 1/2 dari bilangan yang tidak diketahui X adalah 5, dan bilangan bulat X dua kali lipat, yaitu 5 2 \u003d 10.

Jadi 5: 1/2 = 5 2 = 10

Mari kita periksa:

Mari kita pertimbangkan satu contoh lagi. Biarkan diperlukan untuk membagi 6 dengan 2 / 3 . Mari kita coba mencari hasil yang diinginkan dengan menggunakan gambar (Gbr. 19).

Gbr.19

Gambarlah segmen AB, sama dengan 6 dari beberapa unit, dan bagi setiap unit menjadi 3 bagian yang sama. Di setiap unit, tiga pertiga (3 / 3) di seluruh segmen AB adalah 6 kali lebih besar, mis. e.18/3. Kami menghubungkan dengan bantuan kurung kecil 18 diperoleh segmen 2; Hanya akan ada 9 segmen. Artinya, pecahan 2/3 terdapat dalam b satuan sebanyak 9 kali, atau dengan kata lain pecahan 2/3 adalah 9 kali lebih kecil dari 6 satuan bilangan bulat. Karena itu,

Bagaimana cara mendapatkan hasil ini tanpa menggambar hanya menggunakan perhitungan? Kami akan berargumentasi sebagai berikut: 6 harus dibagi 2 / 3, yaitu, diminta untuk menjawab pertanyaan, berapa kali 2 / 3 terkandung dalam 6. Mari kita cari tahu dulu: berapa kali 1/3 terkandung dalam 6? Dalam satu unit - 3 pertiga, dan dalam 6 unit - 6 kali lebih banyak, yaitu 18 pertiga; untuk menemukan bilangan ini, kita harus mengalikan 6 dengan 3. Jadi, 1/3 terdapat dalam satuan b sebanyak 18 kali, dan 2/3 terdapat dalam b bukan 18 kali, tetapi setengahnya, yaitu 18: 2 = 9. Oleh karena itu , saat membagi 6 dengan 2 / 3 kami melakukan hal berikut:

Dari sini kita mendapatkan aturan untuk membagi bilangan bulat dengan pecahan. Untuk membagi bilangan bulat dengan pecahan, Anda perlu mengalikan bilangan bulat ini dengan penyebut dari pecahan yang diberikan dan, menjadikan produk ini pembilangnya, membaginya dengan pembilang dari pecahan yang diberikan.

Kami menulis aturan menggunakan huruf:

Untuk memperjelas aturan ini, harus diingat bahwa pecahan dapat dianggap sebagai hasil bagi. Oleh karena itu, berguna untuk membandingkan aturan yang ditemukan dengan aturan untuk membagi angka dengan hasil bagi, yang ditetapkan dalam 38. Perhatikan bahwa rumus yang sama diperoleh di sana.

Saat membagi, singkatan dimungkinkan, misalnya:

4. Pembagian pecahan dengan pecahan.

Biarkan diperlukan untuk membagi 3/4 dengan 3/8. Apa yang akan menunjukkan nomor yang akan diperoleh sebagai hasil dari pembagian? Ini akan menjawab pertanyaan berapa kali pecahan 3/8 terdapat dalam pecahan 3/4. Untuk memahami masalah ini, mari kita membuat gambar (Gbr. 20).

Ambil segmen AB, ambil sebagai satu kesatuan, bagi menjadi 4 bagian yang sama dan tandai 3 bagian tersebut. Ruas AC akan sama dengan 3/4 ruas AB. Sekarang mari kita bagi masing-masing dari empat segmen awal menjadi dua, kemudian segmen AB akan dibagi menjadi 8 bagian yang sama dan setiap bagian tersebut akan sama dengan 1/8 dari segmen AB. Kami menghubungkan 3 segmen tersebut dengan busur, maka masing-masing segmen AD dan DC akan sama dengan 3/8 dari segmen AB. Gambar tersebut menunjukkan bahwa ruas yang sama dengan 3/8 terdapat dalam ruas yang sama dengan 3/4 tepat 2 kali; Sehingga hasil pembagiannya dapat dituliskan seperti ini:

3 / 4: 3 / 8 = 2

Mari kita pertimbangkan satu contoh lagi. Misalkan diperlukan untuk membagi 15/16 dengan 3/32:

Kita dapat bernalar seperti ini: kita perlu menemukan angka yang, setelah dikalikan dengan 3 / 32, akan menghasilkan produk yang sama dengan 15 / 16. Mari kita tulis perhitungannya seperti ini:

15 / 16: 3 / 32 = X

3 / 32 X = 15 / 16

3/32 nomor tidak dikenal X make up 15/16

1/32 nomor tidak dikenal X adalah ,

32/32 angka X dandan .

Karena itu,

Jadi, untuk membagi pecahan dengan pecahan, Anda perlu mengalikan pembilang pecahan pertama dengan penyebut kedua, dan mengalikan penyebut pecahan pertama dengan pembilang kedua dan menjadikan produk pertama pembilang dan kedua penyebutnya.

Mari kita menulis aturan menggunakan huruf:

Saat membagi, singkatan dimungkinkan, misalnya:

5. Pembagian bilangan campuran.

Saat membagi bilangan campuran, mereka harus terlebih dahulu diubah menjadi pecahan biasa, dan kemudian pecahan yang dihasilkan harus dibagi sesuai dengan aturan pembagian bilangan pecahan. Pertimbangkan sebuah contoh:

Ubah pecahan campuran menjadi pecahan biasa:

Sekarang mari kita pisahkan:

Jadi, untuk membagi bilangan campuran, Anda perlu mengubahnya menjadi pecahan biasa dan kemudian membaginya sesuai dengan aturan pembagian pecahan.

6. Menemukan bilangan yang diberikan pecahannya.

Di antara berbagai tugas pada pecahan, kadang-kadang ada tugas di mana nilai beberapa pecahan dari bilangan yang tidak diketahui diberikan dan diperlukan untuk menemukan nomor ini. Soal jenis ini akan berbanding terbalik dengan soal menemukan pecahan dari bilangan tertentu; ada nomor yang diberikan dan itu diperlukan untuk menemukan beberapa pecahan dari nomor ini, di sini sebagian kecil dari nomor diberikan dan diperlukan untuk menemukan nomor ini sendiri. Ide ini akan menjadi lebih jelas jika kita beralih ke solusi dari jenis masalah ini.

Tugas 1. Pada hari pertama, tukang kaca melapisi 50 jendela, yang merupakan 1/3 dari semua jendela rumah yang dibangun. Berapa banyak jendela di rumah ini?

Keputusan. Soal mengatakan bahwa 50 jendela kaca membuat 1/3 dari semua jendela rumah, yang berarti ada 3 kali lebih banyak jendela, yaitu.

Rumah itu memiliki 150 jendela.

Tugas 2. Toko tersebut menjual 1.500 kg tepung, yang merupakan 3/8 dari total stok tepung di toko. Berapa persediaan awal tepung dari toko tersebut?

Keputusan. Terlihat dari kondisi permasalahan bahwa 1.500 kg tepung terigu yang terjual merupakan 3/8 dari total stok; ini berarti 1/8 dari stok ini akan menjadi 3 kali lebih sedikit, yaitu, untuk menghitungnya, Anda perlu mengurangi 1500 sebanyak 3 kali:

1.500: 3 = 500 (itu 1/8 dari stok).

Jelas, seluruh stok akan menjadi 8 kali lebih besar. Karena itu,

500 8 \u003d 4,000 (kg).

Pasokan awal tepung di toko adalah 4.000 kg.

Dari pertimbangan masalah ini, aturan berikut dapat ditarik.

Untuk menemukan bilangan dengan nilai pecahan tertentu, cukup membagi nilai ini dengan pembilang pecahan dan mengalikan hasilnya dengan penyebut pecahan.

Kami memecahkan dua masalah dalam menemukan angka yang diberikan pecahannya. Masalah seperti itu, seperti yang terlihat jelas dari yang terakhir, diselesaikan dengan dua tindakan: pembagian (ketika satu bagian ditemukan) dan perkalian (ketika seluruh bilangan ditemukan).

Namun, setelah kita mempelajari pembagian pecahan, masalah di atas dapat diselesaikan dalam satu tindakan, yaitu: pembagian dengan pecahan.

Misalnya, tugas terakhir dapat diselesaikan dalam satu tindakan seperti ini:

Di masa depan, kami akan memecahkan masalah menemukan angka dengan fraksinya dalam satu tindakan - pembagian.

7. Menemukan angka berdasarkan persentasenya.

Dalam tugas ini, Anda perlu menemukan angka, mengetahui beberapa persen dari angka ini.

Tugas 1. Pada awal tahun ini, saya menerima 60 rubel dari bank tabungan. pendapatan dari jumlah yang saya masukkan ke dalam tabungan setahun yang lalu. Berapa banyak uang yang saya simpan di bank tabungan? (Kantor kas memberikan deposan 2% dari pendapatan per tahun.)

Maksud dari soal tersebut adalah bahwa sejumlah uang telah saya masukkan ke dalam bank tabungan dan disimpan di sana selama satu tahun. Setelah satu tahun, saya menerima 60 rubel darinya. penghasilan, yaitu 2/100 dari uang yang saya masukkan. Berapa banyak uang yang saya setorkan?

Oleh karena itu, mengetahui bagian dari uang ini, dinyatakan dalam dua cara (dalam rubel dan dalam pecahan), kita harus menemukan jumlah keseluruhan, yang belum diketahui. Ini adalah masalah biasa untuk menemukan bilangan yang diberikan pecahannya. Tugas-tugas berikut diselesaikan dengan pembagian:

Jadi, 3.000 rubel dimasukkan ke dalam bank tabungan.

Tugas 2. Dalam dua minggu, nelayan memenuhi rencana bulanan sebesar 64%, dengan menyiapkan 512 ton ikan. Apa rencana mereka?

Dari kondisi permasalahan tersebut diketahui bahwa para nelayan telah menyelesaikan sebagian dari rencana tersebut. Bagian ini sama dengan 512 ton, yaitu 64% dari rencana. Berapa ton ikan yang perlu dipanen sesuai rencana, kami belum tahu. Solusi dari masalah akan terdiri dalam menemukan nomor ini.

Tugas-tugas tersebut diselesaikan dengan membagi:

Jadi, menurut rencana, Anda perlu menyiapkan 800 ton ikan.

Tugas 3. Kereta pergi dari Riga ke Moskow. Saat melewati kilometer ke-276, salah satu penumpang bertanya kepada kondektur yang lewat berapa jarak yang telah mereka tempuh. Untuk ini kondektur menjawab: "Kami telah menutupi 30% dari seluruh perjalanan." Berapa jarak dari Riga ke Moskow?

Dari kondisi permasalahan tersebut terlihat bahwa 30% perjalanan dari Riga ke Moskow adalah 276 km. Kita perlu menemukan seluruh jarak antara kota-kota ini, yaitu, untuk bagian ini, temukan keseluruhannya:

91. Bilangan timbal balik. Mengganti pembagian dengan perkalian.

Ambil pecahan 2/3 dan atur ulang pembilangnya ke tempat penyebut, kita mendapatkan 3/2. Kami mendapat pecahan, kebalikan dari yang satu ini.

Untuk mendapatkan kebalikan pecahan dari yang diberikan, Anda harus menempatkan pembilangnya di tempat penyebut, dan penyebut di tempat pembilangnya. Dengan cara ini, kita bisa mendapatkan pecahan yang merupakan kebalikan dari pecahan apa pun. Sebagai contoh:

3/4, mundur 4/3; 5/6 , mundur 6/5

Dua pecahan yang memiliki sifat pembilang pertama adalah penyebut kedua dan penyebut pertama adalah pembilang kedua disebut saling terbalik.

Sekarang mari kita pikirkan pecahan apa yang merupakan kebalikan dari 1/2. Jelas, itu akan menjadi 2 / 1, atau hanya 2. Mencari kebalikan dari ini, kami mendapat bilangan bulat. Dan kasus ini tidak terisolasi; sebaliknya, untuk semua pecahan yang pembilangnya 1 (satu), kebalikannya adalah bilangan bulat, contoh:

1/3, kebalikan 3; 1 / 5, mundur 5

Karena ketika menemukan timbal balik kita juga bertemu dengan bilangan bulat, di masa depan kita tidak akan berbicara tentang timbal balik, tetapi tentang timbal balik.

Mari kita cari tahu cara menulis kebalikan dari bilangan bulat. Untuk pecahan, ini diselesaikan secara sederhana: Anda harus meletakkan penyebut di tempat pembilang. Dengan cara yang sama, Anda bisa mendapatkan kebalikan dari bilangan bulat, karena bilangan bulat apa pun dapat memiliki penyebut 1. Jadi kebalikan dari 7 adalah 1 / 7, karena 7 \u003d 7 / 1; untuk angka 10 kebalikannya adalah 1/10 karena 10 = 10 / 1

Ide ini dapat diungkapkan dengan cara lain: kebalikan dari angka yang diberikan diperoleh dengan membagi satu dengan angka yang diberikan. Pernyataan ini berlaku tidak hanya untuk bilangan bulat, tetapi juga untuk pecahan. Memang, jika Anda ingin menulis angka yang merupakan kebalikan dari pecahan 5 / 9, maka kita dapat mengambil 1 dan membaginya dengan 5 / 9, yaitu.

Sekarang mari kita tunjukkan satu Properti angka yang saling timbal balik, yang akan berguna bagi kita: hasil kali bilangan yang saling timbal balik sama dengan satu. Memang:

Dengan menggunakan properti ini, kita dapat menemukan timbal balik dengan cara berikut. Mari kita cari kebalikan dari 8.

Mari kita tunjukkan dengan huruf X , lalu 8 X = 1, maka X = 1 / 8 . Mari kita cari angka lain, kebalikan dari 7/12, dilambangkan dengan huruf X , lalu 7 / 12 X = 1, maka X = 1:7 / 12 atau X = 12 / 7 .

Kami memperkenalkan di sini konsep bilangan timbal balik untuk sedikit melengkapi informasi tentang pembagian pecahan.

Saat kita membagi angka 6 dengan 3 / 5, maka kita lakukan hal berikut:

Berikan perhatian khusus pada ekspresi dan bandingkan dengan yang diberikan: .

Jika kita mengambil ekspresi secara terpisah, tanpa koneksi dengan yang sebelumnya, maka tidak mungkin untuk menyelesaikan pertanyaan dari mana asalnya: dari membagi 6 dengan 3/5 atau dari mengalikan 6 dengan 5/3. Dalam kedua kasus, hasilnya sama. Jadi kita bisa mengatakan bahwa membagi satu angka dengan yang lain dapat diganti dengan mengalikan dividen dengan kebalikan dari pembagi.

Contoh-contoh yang kami berikan di bawah ini sepenuhnya mengkonfirmasi kesimpulan ini.

perkalian desimal berlangsung dalam tiga tahap.

Desimal ditulis dalam kolom dan dikalikan dengan bilangan biasa.

Kami menghitung jumlah tempat desimal untuk desimal pertama dan kedua. Kami menambahkan nomor mereka.

Pada hasil yang diperoleh, kami menghitung dari kanan ke kiri sebanyak angka yang ditemukan pada paragraf di atas dan memberi koma.

Cara mengalikan desimal

Kami menulis pecahan desimal dalam kolom dan mengalikannya sebagai bilangan asli, mengabaikan koma. Artinya, kami menganggap 3,11 sebagai 311, dan 0,01 sebagai 1.

Diterima 311 . Sekarang kita menghitung jumlah tanda (digit) setelah titik desimal untuk kedua pecahan. Desimal pertama memiliki dua digit dan desimal kedua memiliki dua. Jumlah digit setelah koma:

Kami menghitung dari kanan ke kiri 4 karakter (angka) dari angka yang dihasilkan. Ada lebih sedikit angka dalam hasil daripada yang perlu Anda pisahkan dengan koma. Dalam hal ini, Anda perlu kiri menetapkan jumlah nol yang hilang.

Kami kehilangan satu digit, jadi kami menghubungkan satu nol ke kiri.

Saat mengalikan pecahan desimal apa pun pada 10; 100; 1000 dll. titik desimal bergerak ke kanan sebanyak angka nol setelah satu.

• 70,1 10 = 701
• 0,023 100 = 2,3
• 5,6 1000 = 5600

Untuk mengalikan desimal dengan 0,1; 0,01; 0,001, dst., koma harus dipindahkan ke kiri dalam pecahan ini sebanyak digit karena ada nol di depan unit.

Kami menghitung nol bilangan bulat!

• 12 0,1 = 1,2
• 0,05 0,1 = 0,005
• 1,256 0,01 = 0,012 56

Perkalian pecahan

Kami akan mempertimbangkan perkalian pecahan biasa dalam beberapa cara yang mungkin.

Mengalikan pecahan dengan pecahan

Ini adalah kasus paling sederhana, di mana Anda perlu menggunakan yang berikut: aturan perkalian pecahan.

Ke perkalian pecahan dengan pecahan, diperlukan:

• kalikan pembilang pecahan pertama dengan pembilang pecahan kedua dan tulis hasil perkaliannya menjadi pembilang pecahan baru;
• kalikan penyebut pecahan pertama dengan penyebut pecahan kedua dan tulis hasil perkaliannya menjadi penyebut pecahan baru;

Sebelum mengalikan pembilang dan penyebut, periksa apakah pecahan dapat dikurangi. Mengurangi pecahan dalam perhitungan akan sangat memudahkan perhitungan Anda.

Mengalikan pecahan dengan bilangan asli

ke pecahan kalikan dengan bilangan asli Anda perlu mengalikan pembilang pecahan dengan angka ini, dan membiarkan penyebut pecahan tidak berubah.

Jika hasil perkaliannya adalah pecahan biasa, jangan lupa untuk mengubahnya menjadi bilangan campuran, yaitu pilih seluruh bagiannya.

Perkalian bilangan campuran

Untuk mengalikan bilangan campuran, Anda harus terlebih dahulu mengubahnya menjadi pecahan biasa dan kemudian mengalikannya sesuai dengan aturan perkalian pecahan biasa.

Cara lain untuk mengalikan pecahan dengan bilangan asli

Terkadang dalam perhitungan, lebih mudah menggunakan metode lain untuk mengalikan pecahan biasa dengan angka.

Untuk mengalikan pecahan dengan bilangan asli, Anda perlu membagi penyebut pecahan dengan bilangan ini, dan membiarkan pembilangnya tetap sama.

Seperti dapat dilihat dari contoh, akan lebih mudah untuk menggunakan versi aturan ini jika penyebut pecahan dapat dibagi tanpa sisa dengan bilangan asli.

Cara mengalikan pecahan dengan aturan bilangan bulat

SAYA. Untuk mengalikan pecahan desimal dengan bilangan asli, Anda perlu mengalikannya dengan angka ini, mengabaikan koma, dan dalam produk yang dihasilkan, pisahkan sebanyak mungkin digit di sebelah kanan setelah titik desimal dalam pecahan yang diberikan.

Contoh. Lakukan perkalian: 1) 1.25 7; 2) 0,345 8; 3) 2.391 14.

Keputusan.

II. Untuk mengalikan satu pecahan desimal dengan pecahan desimal lainnya, Anda perlu melakukan perkalian, mengabaikan koma, dan dalam hasil yang dihasilkan, pisahkan sebanyak mungkin angka dengan koma di sebelah kanan seperti halnya setelah koma di kedua faktor secara bersamaan.

Contoh. Lakukan perkalian: 1) 18,2 0,09; 2) 3,2 0,065; 3) 0,54 12,3.

Keputusan.

AKU AKU AKU. Untuk mengalikan desimal dengan 10, 100, 1000, dst., Anda perlu memindahkan titik desimal ke kanan dengan 1, 2, 3, dst. digit.

Contoh. Lakukan perkalian: 1) 3.25 10; 2) 0,637 100; 3) 4.307 1000; 4) 2.04 1000; 5) 0,00031 10000.

Keputusan.

IV. Untuk mengalikan desimal dengan 0,1; 0,01; 0,001, dst., Anda perlu memindahkan koma ke kiri sebanyak 1, 2, 3, dst. digit.

Contoh. Lakukan perkalian: 1) 28,3 0,1; 2) 324,7 0,01; 3) 6,85 0,01; 4) 6179,5 0,001; 5) 92,1 0,0001.

www.mathematics-repetition.com

Perkalian pecahan desimal, aturan, contoh, solusi.

Kami beralih ke studi tindakan selanjutnya dengan pecahan desimal, sekarang kami akan mempertimbangkan secara komprehensif perkalian desimal. Pertama, mari kita bahas prinsip umum perkalian pecahan desimal. Setelah itu, mari kita beralih ke mengalikan pecahan desimal dengan pecahan desimal, menunjukkan bagaimana perkalian pecahan desimal dengan kolom dilakukan, pertimbangkan solusi dari contoh. Selanjutnya, kita akan menganalisis perkalian pecahan desimal dengan bilangan asli, khususnya dengan 10, 100, dst. Sebagai kesimpulan, mari kita bicara tentang mengalikan pecahan desimal dengan pecahan biasa dan bilangan campuran.

Katakanlah segera bahwa dalam artikel ini kita hanya akan berbicara tentang mengalikan pecahan desimal positif (lihat angka positif dan negatif). Kasus yang tersisa dianalisis dalam artikel perkalian bilangan rasional dan perkalian bilangan real.

Navigasi halaman.

Prinsip umum untuk mengalikan desimal

Mari kita bahas prinsip umum yang harus diikuti saat melakukan perkalian dengan pecahan desimal.

Karena desimal akhir dan pecahan periodik tak terbatas adalah bentuk desimal dari pecahan biasa, mengalikan desimal tersebut pada dasarnya mengalikan pecahan biasa. Dengan kata lain, perkalian desimal akhir, perkalian pecahan desimal akhir dan periodik, sebaik perkalian desimal periodik turun ke mengalikan pecahan biasa setelah mengubah pecahan desimal menjadi pecahan biasa.

Pertimbangkan contoh penerapan prinsip bersuara untuk mengalikan pecahan desimal.

Lakukan perkalian desimal 1,5 dan 0,75.

Mari kita ganti pecahan desimal yang dikalikan dengan pecahan biasa yang sesuai. Karena 1,5=15/10 dan 0,75=75/100, maka. Anda dapat mengurangi pecahan, dan kemudian memilih seluruh bagian dari pecahan yang tidak tepat, dan lebih mudah untuk menulis pecahan biasa yang dihasilkan 1 125/1000 sebagai pecahan desimal 1,125.

Perlu dicatat bahwa mudah untuk mengalikan pecahan desimal akhir dalam kolom, kita akan berbicara tentang metode mengalikan pecahan desimal ini di paragraf berikutnya.

Perhatikan contoh perkalian pecahan desimal periodik.

Hitung produk dari desimal periodik 0,(3) dan 2,(36) .

Mari kita ubah pecahan desimal periodik menjadi pecahan biasa:

Kemudian. Anda dapat mengubah pecahan biasa yang dihasilkan menjadi pecahan desimal:

Jika ada pecahan tak berhingga di antara pecahan desimal yang dikalikan, maka semua pecahan yang dikalikan, termasuk pecahan hingga dan periodik, harus dibulatkan ke atas hingga satu angka tertentu (lihat pembulatan angka), lalu lakukan perkalian pecahan desimal akhir yang diperoleh setelah pembulatan.

Kalikan desimal 5.382… dan 0.2.

Pertama, kami membulatkan pecahan desimal non-periodik tak terbatas, pembulatan dapat dilakukan hingga perseratus, kami memiliki 5.382 ... 5.38. Pecahan desimal akhir 0,2 tidak perlu dibulatkan ke ratusan. Jadi, 5.382… 0.2≈5.38 0.2. Tetap menghitung produk pecahan desimal akhir: 5,38 0,2 \u003d 538 / 100 2 / 10 \u003d 1,076/1.000 \u003d 1,076.

Perkalian pecahan desimal dengan kolom

Perkalian pecahan desimal hingga dapat dilakukan dengan kolom, mirip dengan perkalian dengan kolom bilangan asli.

Mari kita merumuskan aturan perkalian untuk pecahan desimal. Untuk mengalikan pecahan desimal dengan kolom, Anda perlu:

• mengabaikan koma, melakukan perkalian menurut semua aturan perkalian dengan kolom bilangan asli;
• dalam angka yang dihasilkan, pisahkan sebanyak mungkin digit di sebelah kanan dengan titik desimal karena ada tempat desimal di kedua faktor bersama-sama, dan jika tidak ada cukup angka dalam produk, maka jumlah nol yang diperlukan harus ditambahkan di sebelah kiri.

Perhatikan contoh perkalian pecahan desimal dengan kolom.

Kalikan desimal 63,37 dan 0,12.

Mari kita lakukan perkalian pecahan desimal dengan kolom. Pertama, kami mengalikan angkanya, mengabaikan koma:

Tetap memberi koma pada produk yang dihasilkan. Dia perlu memisahkan 4 digit di sebelah kanan, karena ada empat tempat desimal di faktor (dua di pecahan 3,37 dan dua di pecahan 0,12). Ada cukup banyak angka di sana, jadi Anda tidak perlu menambahkan angka nol di sebelah kiri. Mari selesaikan rekamannya:

Hasilnya, kami memiliki 3,37 0,12 = 7,6044.

Hitung produk desimal 3,2601 dan 0,0254 .

Setelah melakukan perkalian dengan kolom tanpa memperhitungkan koma, kami mendapatkan gambar berikut:

Sekarang dalam produk Anda perlu memisahkan 8 digit di sebelah kanan dengan koma, karena jumlah total tempat desimal dari pecahan yang dikalikan adalah delapan. Tetapi hanya ada 7 digit dalam produk, oleh karena itu, Anda perlu menetapkan nol sebanyak mungkin di sebelah kiri sehingga 8 digit dapat dipisahkan dengan koma. Dalam kasus kami, kami perlu menetapkan dua nol:

Ini melengkapi perkalian pecahan desimal dengan kolom.

Mengalikan desimal dengan 0,1, 0,01, dst.

Cukup sering Anda harus mengalikan desimal dengan 0,1, 0,01, dan seterusnya. Oleh karena itu, disarankan untuk merumuskan aturan untuk mengalikan pecahan desimal dengan angka-angka ini, yang mengikuti prinsip perkalian pecahan desimal yang dibahas di atas.

Jadi, mengalikan desimal yang diberikan dengan 0,1, 0,01, 0,001, dan seterusnya memberikan pecahan, yang diperoleh dari yang asli, jika dalam entrinya koma dipindahkan ke kiri masing-masing oleh 1, 2, 3 dan seterusnya, dan jika tidak ada cukup angka untuk memindahkan koma, maka Anda perlu menambahkan jumlah nol yang diperlukan ke kiri.

Misalnya, untuk mengalikan pecahan desimal 54,34 dengan 0,1, Anda perlu memindahkan titik desimal ke kiri dengan 1 digit dalam pecahan 54,34, dan Anda mendapatkan pecahan 5,434, yaitu, 54,34 0,1 \u003d 5,434. Mari kita ambil contoh lain. Kalikan pecahan desimal 9,3 dengan 0,0001. Untuk melakukan ini, kita perlu memindahkan koma 4 digit ke kiri dalam pecahan desimal yang dikalikan 9,3, tetapi catatan pecahan 9,3 tidak berisi jumlah karakter seperti itu. Oleh karena itu, kita perlu menetapkan nol sebanyak mungkin dalam catatan pecahan 9,3 di sebelah kiri sehingga kita dapat dengan mudah mentransfer koma ke 4 digit, kita memiliki 9,3 0,0001 \u003d 0,00093.

Perhatikan bahwa aturan yang diumumkan untuk mengalikan pecahan desimal dengan 0,1, 0,01, ... juga berlaku untuk pecahan desimal tak terbatas. Misalnya, 0,(18) 0,01=0,00(18) atau 93.938… 0,1=9,3938… .

Mengalikan desimal dengan bilangan asli

Pada intinya mengalikan desimal dengan bilangan asli tidak berbeda dengan mengalikan desimal dengan desimal.

Paling mudah untuk mengalikan pecahan desimal hingga dengan bilangan asli dengan kolom, sementara Anda harus mengikuti aturan untuk mengalikan dengan kolom pecahan desimal yang dibahas di salah satu paragraf sebelumnya.

Hitung produk 15 2.27 .

Mari kita lakukan perkalian bilangan asli dengan pecahan desimal dalam kolom:

Saat mengalikan pecahan desimal periodik dengan bilangan asli, pecahan periodik harus diganti dengan pecahan biasa.

Kalikan pecahan desimal 0,(42) dengan bilangan asli 22.

Pertama, mari kita ubah desimal periodik menjadi pecahan biasa:

Sekarang mari kita lakukan perkalian: . Hasil desimal ini adalah 9,(3) .

Dan ketika mengalikan pecahan desimal non-periodik tak terbatas dengan bilangan asli, Anda harus membulatkannya terlebih dahulu.

Kerjakan perkalian 4 2.145….

Membulatkan hingga seperseratus pecahan desimal tak terbatas asli, kita akan sampai pada perkalian bilangan asli dan pecahan desimal akhir. Kami memiliki 4 2.145…≈4 2.15=8.60.

Mengalikan desimal dengan 10, 100, ...

Cukup sering Anda harus mengalikan pecahan desimal dengan 10, 100, ... Oleh karena itu, disarankan untuk memikirkan kasus-kasus ini secara rinci.

Ayo bersuara aturan untuk mengalikan desimal dengan 10, 100, 1.000, dll. Saat mengalikan pecahan desimal dengan 10, 100, ... dalam entrinya, Anda harus memindahkan koma ke kanan dengan masing-masing 1, 2, 3, ... digit, dan membuang nol ekstra di sebelah kiri; jika tidak ada cukup angka dalam catatan pecahan yang dikalikan untuk mentransfer koma, maka Anda perlu menambahkan jumlah nol yang diperlukan ke kanan.

Kalikan desimal 0,0783 dengan 100.

Mari kita pindahkan pecahan 0,0783 dua digit ke kanan ke dalam catatan, dan kita mendapatkan 007,83. Menjatuhkan dua nol di sebelah kiri, kita mendapatkan pecahan desimal 7,38. Jadi, 0,0783 100 = 7,83.

Kalikan pecahan desimal 0,02 dengan 10.000.

Untuk mengalikan 0,02 dengan 10.000 kita perlu memindahkan koma 4 digit ke kanan. Jelas, dalam catatan pecahan 0,02 tidak ada cukup digit untuk mentransfer koma ke 4 digit, jadi kami akan menambahkan beberapa nol ke kanan sehingga koma dapat ditransfer. Dalam contoh kami, cukup dengan menambahkan tiga nol, kami memiliki 0,02000. Setelah memindahkan koma, kami mendapatkan entri 00200,0 . Menjatuhkan nol di sebelah kiri, kita memiliki angka 200.0, yang sama dengan bilangan asli 200, itu adalah hasil perkalian pecahan desimal 0,02 dengan 10.000.

Aturan tersebut juga berlaku untuk mengalikan pecahan desimal tak hingga dengan 10, 100, ... Saat mengalikan pecahan desimal periodik, Anda harus berhati-hati dengan periode pecahan yang merupakan hasil perkalian.

Kalikan desimal periodik 5,32(672) dengan 1000 .

Sebelum perkalian, kita menulis pecahan desimal periodik sebagai 5.32672672672 ..., ini akan memungkinkan kita untuk menghindari kesalahan. Sekarang mari kita pindahkan koma ke kanan sebanyak 3 digit, kita memiliki 5 326.726726 ... . Jadi, setelah perkalian, pecahan desimal periodik diperoleh 5 326, (726) .

5.32(672) 1000=5326,(726) .

Saat mengalikan pecahan non-periodik tak terhingga dengan 10, 100, ..., Anda harus membulatkan pecahan tak hingga ke angka tertentu terlebih dahulu, lalu melakukan perkalian.

Mengalikan Desimal dengan Pecahan Biasa atau Angka Campuran

Untuk mengalikan pecahan desimal hingga atau pecahan desimal periodik tak terbatas dengan pecahan biasa atau bilangan campuran, Anda perlu menyatakan pecahan desimal sebagai pecahan biasa, dan kemudian melakukan perkalian.

Kalikan pecahan desimal 0,4 dengan bilangan campuran.

Karena 0,4=4/10=2/5 dan kemudian. Angka yang dihasilkan dapat ditulis sebagai pecahan desimal periodik 1.5(3) .

Saat mengalikan pecahan desimal non-periodik tak hingga dengan pecahan biasa atau bilangan campuran, pecahan biasa atau bilangan campuran harus diganti dengan pecahan desimal, lalu bulatkan pecahan yang dikalikan dan selesaikan perhitungannya.

Sejak 2/3 \u003d 0.6666 ..., maka. Setelah membulatkan pecahan yang dikalikan menjadi seperseribu, kita sampai pada hasil kali dua pecahan desimal akhir 3,568 dan 0,667. Mari kita lakukan perkalian dalam kolom:

Hasil yang diperoleh harus dibulatkan ke seperseribu, karena pecahan yang dikalikan diambil dengan akurasi seperseribu, kami memiliki 2.379856≈2.380.

www.cleversstudents.ru

Perkalian pecahan biasa: aturan, contoh, solusi.

Kami terus mempelajari tindakan dengan pecahan biasa. Sekarang dalam sorotan perkalian pecahan biasa. Pada artikel ini, kami akan memberikan aturan untuk mengalikan pecahan biasa, pertimbangkan penerapan aturan ini saat menyelesaikan contoh. Kami juga akan fokus mengalikan pecahan biasa dengan bilangan asli. Sebagai kesimpulan, pertimbangkan bagaimana perkalian tiga pecahan atau lebih dilakukan.

Navigasi halaman.

Mengalikan pecahan biasa dengan pecahan biasa

Mari kita mulai dengan kata-katanya aturan perkalian pecahan biasa: mengalikan pecahan dengan pecahan menghasilkan pecahan yang pembilangnya sama dengan hasil kali pembilangnya, dan penyebutnya sama dengan hasil kali penyebutnya.

Artinya, rumusnya sesuai dengan perkalian pecahan biasa a / b dan c / d.

Mari kita berikan contoh yang menggambarkan aturan perkalian pecahan biasa. Pertimbangkan persegi dengan sisi 1 unit. , sedangkan luasnya adalah 1 satuan 2 . Bagilah persegi ini menjadi persegi panjang yang sama dengan sisi 1/4 unit. dan 1/8 satuan. , sedangkan persegi semula terdiri dari 4 8 ​​= 32 persegi panjang, maka luas setiap persegi panjang adalah 1/32 dari luas persegi semula, yaitu sama dengan 1/32 satuan 2. Sekarang mari kita melukis di atas bagian dari persegi asli. Semua tindakan kita tercermin dalam gambar di bawah ini.

Sisi-sisi persegi panjang yang terisi adalah 5/8 satuan. dan 3/4 satuan. , yang berarti luasnya sama dengan hasil kali pecahan 5/8 dan 3/4, yaitu satuan 2. Tetapi persegi panjang yang terisi terdiri dari 15 persegi panjang "kecil", jadi luasnya adalah 15/32 satuan 2 . Karena itu, . Sejak 5 3=15 dan 8 4=32 , persamaan terakhir dapat ditulis ulang sebagai , yang menegaskan rumus untuk mengalikan pecahan biasa dari bentuk .

Perhatikan bahwa dengan bantuan aturan perkalian bersuara, Anda dapat mengalikan pecahan biasa dan pecahan biasa, dan pecahan dengan penyebut yang sama, dan pecahan dengan penyebut berbeda.

Mempertimbangkan contoh perkalian pecahan biasa.

Kalikan pecahan biasa 7/11 dengan pecahan biasa 9/8.

Hasil kali pembilang dari pecahan perkalian 7 dan 9 adalah 63, dan hasil kali penyebut 11 dan 8 adalah 88. Jadi, mengalikan pecahan biasa 7/11 dan 9/8 menghasilkan pecahan 63/88.

Berikut ini ringkasan solusinya: .

Kita tidak boleh melupakan pengurangan fraksi yang dihasilkan, jika sebagai hasil perkalian diperoleh fraksi yang dapat direduksi, dan tentang pemilihan seluruh bagian dari fraksi yang tidak tepat.

Kalikan pecahan 4/15 dan 55/6.

Mari kita terapkan aturan perkalian pecahan biasa: .

Jelas, pecahan yang dihasilkan dapat direduksi (tanda pembagian dengan 10 memungkinkan kita untuk menyatakan bahwa pembilang dan penyebut pecahan 220/90 memiliki faktor persekutuan 10). Mari kita kurangi pecahan 220/90: FPB(220, 90)=10 dan . Tetap memilih bagian bilangan bulat dari pecahan tidak wajar yang dihasilkan: .

Perhatikan bahwa pengurangan pecahan dapat dilakukan sebelum menghitung produk dari pembilang dan produk dari penyebut dari pecahan yang dikalikan, yaitu, ketika pecahan memiliki bentuk . Untuk bilangan ini, a, b, c, dan d diganti dengan faktorisasi primanya, setelah itu faktor pembilang dan penyebutnya yang sama dibatalkan.

Untuk memperjelas, mari kembali ke contoh sebelumnya.

Hitung produk dari pecahan bentuk .

Dengan rumus untuk mengalikan pecahan biasa, kita memiliki .

Karena 4=2 2 , 55=5 11 , 15=3 5 dan 6=2 3 , maka . Sekarang kita batalkan faktor prima persekutuan: .

Tetap hanya menghitung produk dalam pembilang dan penyebut, dan kemudian memilih bagian bilangan bulat dari pecahan yang tidak tepat: .

Perlu dicatat bahwa perkalian pecahan dicirikan oleh sifat komutatif, yaitu, pecahan yang dikalikan dapat dipertukarkan: .

Mengalikan pecahan dengan bilangan asli

Mari kita mulai dengan kata-katanya aturan untuk mengalikan pecahan biasa dengan bilangan asli: mengalikan pecahan dengan bilangan asli menghasilkan pecahan yang pembilangnya sama dengan hasil kali pembilang dari pecahan yang dikalikan dengan bilangan asli, dan penyebutnya sama dengan penyebut pecahan yang dikalikan.

Dengan bantuan huruf, aturan untuk mengalikan pecahan a / b dengan bilangan asli n memiliki bentuk .

Rumus berikut dari rumus untuk mengalikan dua pecahan biasa dari bentuk . Memang, mewakili bilangan asli sebagai pecahan dengan penyebut 1, kami memperoleh .

Perhatikan contoh perkalian pecahan dengan bilangan asli.

Kalikan pecahan 2/27 dengan 5.

Mengalikan pembilang 2 dengan angka 5 menghasilkan 10, oleh karena itu, berdasarkan aturan mengalikan pecahan dengan bilangan asli, produk dari 2/27 dengan 5 sama dengan pecahan 10/27.

Seluruh solusi dapat dengan mudah ditulis sebagai berikut: .

Saat mengalikan pecahan dengan bilangan asli, pecahan yang dihasilkan sering kali harus dikurangi, dan jika itu juga salah, maka nyatakan sebagai bilangan campuran.

Kalikan pecahan 5/12 dengan angka 8.

Menurut rumus untuk mengalikan pecahan dengan bilangan asli, kita memiliki . Jelas, pecahan yang dihasilkan dapat direduksi (tanda habis dibagi 2 menunjukkan pembagi umum 2 dari pembilang dan penyebut). Mari kita kurangi pecahan 40/12: karena KPK(40, 12)=4, maka . Tetap memilih seluruh bagian: .

Inilah solusi lengkapnya: .

Perhatikan bahwa pengurangan dapat dilakukan dengan mengganti angka-angka dalam pembilang dan penyebut dengan ekspansi mereka menjadi faktor prima. Dalam hal ini, solusinya akan terlihat seperti ini:

Sebagai penutup paragraf ini, kami mencatat bahwa perkalian pecahan dengan bilangan asli memiliki sifat komutatif, yaitu, produk pecahan dengan bilangan asli sama dengan produk bilangan asli ini dengan pecahan: .

Kalikan tiga pecahan atau lebih

Cara kita mendefinisikan pecahan biasa dan operasi perkalian dengannya memungkinkan kita untuk menyatakan bahwa semua sifat perkalian bilangan asli berlaku untuk perkalian pecahan.

Sifat komutatif dan asosiatif perkalian memungkinkan untuk menentukan secara unik mengalikan tiga atau lebih pecahan dan bilangan asli. Dalam hal ini, semuanya terjadi dengan analogi dengan perkalian tiga atau lebih bilangan asli. Secara khusus, pecahan dan bilangan asli dalam produk dapat disusun ulang untuk memudahkan penghitungan, dan jika tidak ada tanda kurung yang menunjukkan urutan tindakan yang dilakukan, kita dapat mengatur tanda kurung sendiri dengan cara apa pun yang diizinkan.

Perhatikan contoh perkalian beberapa pecahan dan bilangan asli.

Kalikan tiga pecahan biasa 1/20, 12/5, 3/7 dan 5/8.

Mari kita tulis produk yang perlu kita hitung . Berdasarkan aturan perkalian pecahan, hasil kali tertulis sama dengan pecahan yang pembilangnya sama dengan hasil kali pembilang semua pecahannya, dan penyebutnya adalah hasil kali penyebutnya: .

Sebelum menghitung produk dalam pembilang dan penyebut, disarankan untuk mengganti semua faktor dengan ekspansi mereka menjadi faktor prima dan mengurangi (tentu saja, Anda dapat mengurangi pecahan setelah perkalian, tetapi dalam banyak kasus ini membutuhkan banyak upaya komputasi): .

.

Kalikan lima angka .

Dalam produk ini, lebih mudah untuk mengelompokkan pecahan 7/8 dengan angka 8, dan angka 12 dengan pecahan 5/36, ini akan menyederhanakan perhitungan, karena dengan pengelompokan seperti itu pengurangannya jelas. Kita punya
.

.

www.cleversstudents.ru

Populer:

• Saat melamar ke pengadilan distrik Pengunjung situs yang terhormat! Departemen Keuangan Federal untuk St. Petersburg (IFTS Antar Distrik Rusia No. 10 untuk St. Petersburg) NPWP dari otoritas pajak Nomor rekening penerima NORTH-WEST […]
• Perhitungan tugas negara untuk mengurangi jumlah tunjangan Pengadilan mematuhi posisi berikut: Tugas negara dihitung dari jumlah pengurangan jumlah tunjangan (dari nilai klaim). Contoh penghitungan besarnya kewajiban negara ke pengadilan saat [...]
• Pembagian pecahan desimal, aturan, contoh, solusi. Kami terus mempelajari tindakan dengan pecahan desimal, saatnya berbicara tentang membagi pecahan desimal. Mari kita mulai dengan prinsip umum pembagian desimal. Lebih jauh […]
• Pasal 333.19 dari Kode Pajak Federasi Rusia. Ukuran biaya negara dalam kasus yang dipertimbangkan oleh Mahkamah Agung Federasi Rusia, pengadilan yurisdiksi umum, hakim perdamaian ST 333.19 dari Kode Pajak Federasi Rusia. 1. Dalam kasus-kasus di hadapan Mahkamah Agung […]
• Peraturan model tentang komisi (diotorisasi) untuk asuransi sosial N 556a "Peraturan model tentang komisi (diotorisasi) untuk asuransi sosial" DISETUJUI oleh Ketua Dana Asuransi Sosial Federasi Rusia [...]
• Rincian untuk membayar bea negara Angkatan Bersenjata Federasi Rusia, serta Pengadilan Arbitrase Moskow dan Pengadilan Arbitrase Distrik Moskow, telah mengubah rincian bank baru untuk membayar bea negara dalam kasus-kasus yang sedang dipertimbangkan di Mahkamah Agung Pengadilan Federasi Rusia, Pengadilan Arbitrase kota Moskow dan […]
• Reservoir dalam pengeboran adalah batuan dengan porositas dan permeabilitas tinggi, yang mengandung minyak dan gas dalam jumlah yang dapat diperoleh kembali. Fitur klasifikasi utama reservoir adalah kondisi filtrasi dan akumulasi di [...]
• Grup kami di VK Dapatkan diskon untuk pelatihan. Cepat dapatkan diskon 1000 rubel! Pendaftaran di sekolah mengemudi Isi formulir ini, kami akan menghubungi Anda dan mengundang Anda ke kelas. Selamat datang! 1. Rambu peringatan Peringatan […]