Pada domain fungsi pangkat y = x p, rumus berikut berlaku:
; ;
;
; ;
; ;
; .

Sifat-sifat fungsi pangkat dan grafiknya

Fungsi daya dengan eksponen sama dengan nol, p = 0

Jika eksponen fungsi daya y = x p sama dengan nol, p = 0 , maka fungsi daya didefinisikan untuk semua x 0 dan konstan, sama dengan satu:
y \u003d x p \u003d x 0 \u003d 1, x 0.

Fungsi pangkat dengan pangkat ganjil alami, p = n = 1, 3, 5, ...

Pertimbangkan fungsi pangkat y = x p = x n dengan eksponen ganjil alami n = 1, 3, 5, ... . Indikator seperti itu juga dapat ditulis sebagai: n = 2k + 1, di mana k = 0, 1, 2, 3, ... adalah bilangan bulat non-negatif. Di bawah ini adalah sifat dan grafik dari fungsi tersebut.

Grafik fungsi pangkat y = x n dengan pangkat ganjil alami untuk berbagai nilai pangkat n = 1, 3, 5, ... .

Domain: -∞ < x < ∞
Beberapa nilai: -∞ < y < ∞
Keseimbangan: ganjil, y(-x) = - y(x)
Nada datar: meningkat secara monoton
Ekstrem: Tidak
Cembung:
di -∞< x < 0 выпукла вверх
pada 0< x < ∞ выпукла вниз
Breakpoint: x=0, y=0
x=0, y=0
Batas:
;
Nilai pribadi:
di x = -1,
y(-1) = (-1) n (-1) 2k+1 = -1
untuk x = 0, y(0) = 0 n = 0
untuk x = 1, y(1) = 1 n = 1
Fungsi terbalik:
untuk n = 1 , fungsi invers terhadap dirinya sendiri: x = y
untuk n 1, fungsi invers adalah akar dari derajat n:

Fungsi pangkat dengan eksponen genap alami, p = n = 2, 4, 6, ...

Pertimbangkan fungsi pangkat y = x p = x n dengan eksponen genap alami n = 2, 4, 6, ... . Indikator seperti itu juga dapat ditulis sebagai: n = 2k, di mana k = 1, 2, 3, ... adalah bilangan asli. Properti dan grafik fungsi tersebut diberikan di bawah ini.

Grafik fungsi pangkat y = x n dengan pangkat genap alami untuk berbagai nilai pangkat n = 2, 4, 6, ... .

Domain: -∞ < x < ∞
Beberapa nilai: 0 y< ∞
Keseimbangan: genap, y(-x) = y(x)
Nada datar:
untuk x 0 menurun secara monoton
untuk x 0 meningkat secara monoton
Ekstrem: minimum, x=0, y=0
Cembung: cembung ke bawah
Breakpoint: Tidak
Titik potong dengan sumbu koordinat: x=0, y=0
Batas:
;
Nilai pribadi:
untuk x = -1, y(-1) = (-1) n (-1) 2k = 1
untuk x = 0, y(0) = 0 n = 0
untuk x = 1, y(1) = 1 n = 1
Fungsi terbalik:
untuk n = 2, akar kuadrat:
untuk n 2, akar derajat n:

Fungsi pangkat dengan eksponen negatif bilangan bulat, p = n = -1, -2, -3, ...

Pertimbangkan fungsi pangkat y = x p = x n dengan eksponen bilangan bulat negatif n = -1, -2, -3, ... . Jika kita menempatkan n = -k, di mana k = 1, 2, 3, ... adalah bilangan asli, maka dapat direpresentasikan sebagai:

Grafik fungsi pangkat y = x n dengan eksponen bilangan bulat negatif untuk berbagai nilai eksponen n = -1, -2, -3, ... .

Eksponen ganjil, n = -1, -3, -5, ...

Di bawah ini adalah sifat-sifat fungsi y = x n dengan eksponen negatif ganjil n = -1, -3, -5, ... .

Domain: x 0
Beberapa nilai: y 0
Keseimbangan: ganjil, y(-x) = - y(x)
Nada datar: berkurang secara monoton
Ekstrem: Tidak
Cembung:
di x< 0 : выпукла вверх
untuk x > 0 : cembung ke bawah
Breakpoint: Tidak
Titik potong dengan sumbu koordinat: Tidak
Tanda:
di x< 0, y < 0
untuk x > 0, y > 0
Batas:
; ; ;
Nilai pribadi:
untuk x = 1, y(1) = 1 n = 1
Fungsi terbalik:
untuk n = -1,
untuk n< -2 ,

Eksponen genap, n = -2, -4, -6, ...

Di bawah ini adalah sifat-sifat fungsi y = x n dengan pangkat genap negatif n = -2, -4, -6, ... .

Domain: x 0
Beberapa nilai: y > 0
Keseimbangan: genap, y(-x) = y(x)
Nada datar:
di x< 0 : монотонно возрастает
untuk x > 0 : menurun secara monoton
Ekstrem: Tidak
Cembung: cembung ke bawah
Breakpoint: Tidak
Titik potong dengan sumbu koordinat: Tidak
Tanda: y > 0
Batas:
; ; ;
Nilai pribadi:
untuk x = 1, y(1) = 1 n = 1
Fungsi terbalik:
untuk n = -2,
untuk n< -2 ,

Fungsi pangkat dengan eksponen rasional (pecahan)

Pertimbangkan fungsi pangkat y = x p dengan eksponen rasional (pecahan) , di mana n adalah bilangan bulat, m > 1 adalah bilangan asli. Selain itu, n, m tidak memiliki pembagi yang sama.

Penyebut dari indikator pecahan adalah ganjil

Biarkan penyebut dari eksponen pecahan menjadi ganjil: m = 3, 5, 7, ... . Dalam hal ini, fungsi daya x p didefinisikan untuk nilai x positif dan negatif. Pertimbangkan sifat-sifat fungsi daya tersebut ketika eksponen p berada dalam batas-batas tertentu.

p negatif, p< 0

Biarkan eksponen rasional (dengan penyebut ganjil m = 3, 5, 7, ... ) kurang dari nol: .

Grafik fungsi eksponen dengan eksponen negatif rasional untuk berbagai nilai eksponen , di mana m = 3, 5, 7, ... ganjil.

Pembilang ganjil, n = -1, -3, -5, ...

Berikut adalah sifat-sifat fungsi pangkat y = x p dengan pangkat negatif rasional , dimana n = -1, -3, -5, ... adalah bilangan bulat negatif ganjil, m = 3, 5, 7 ... bilangan asli ganjil.

Domain: x 0
Beberapa nilai: y 0
Keseimbangan: ganjil, y(-x) = - y(x)
Nada datar: berkurang secara monoton
Ekstrem: Tidak
Cembung:
di x< 0 : выпукла вверх
untuk x > 0 : cembung ke bawah
Breakpoint: Tidak
Titik potong dengan sumbu koordinat: Tidak
Tanda:
di x< 0, y < 0
untuk x > 0, y > 0
Batas:
; ; ;
Nilai pribadi:
untuk x = -1, y(-1) = (-1) n = -1
untuk x = 1, y(1) = 1 n = 1
Fungsi terbalik:

Pembilang genap, n = -2, -4, -6, ...

Sifat-sifat fungsi pangkat y = x p dengan pangkat negatif rasional , di mana n = -2, -4, -6, ... adalah bilangan bulat negatif genap, m = 3, 5, 7 ... adalah bilangan asli ganjil .

Domain: x 0
Beberapa nilai: y > 0
Keseimbangan: genap, y(-x) = y(x)
Nada datar:
di x< 0 : монотонно возрастает
untuk x > 0 : menurun secara monoton
Ekstrem: Tidak
Cembung: cembung ke bawah
Breakpoint: Tidak
Titik potong dengan sumbu koordinat: Tidak
Tanda: y > 0
Batas:
; ; ;
Nilai pribadi:
untuk x = -1, y(-1) = (-1) n = 1
untuk x = 1, y(1) = 1 n = 1
Fungsi terbalik:

Nilai p positif, kurang dari satu, 0< p < 1

Grafik fungsi pangkat dengan eksponen rasional (0< p < 1 ) при различных значениях показателя степени , где m = 3, 5, 7, ... - нечетное.

Pembilang ganjil, n = 1, 3, 5, ...

< p < 1 , где n = 1, 3, 5, ... - нечетное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

Domain: -∞ < x < +∞
Beberapa nilai: -∞ < y < +∞
Keseimbangan: ganjil, y(-x) = - y(x)
Nada datar: meningkat secara monoton
Ekstrem: Tidak
Cembung:
di x< 0 : выпукла вниз
untuk x > 0 : cembung ke atas
Breakpoint: x=0, y=0
Titik potong dengan sumbu koordinat: x=0, y=0
Tanda:
di x< 0, y < 0
untuk x > 0, y > 0
Batas:
;
Nilai pribadi:
untuk x = -1, y(-1) = -1
untuk x = 0, y(0) = 0
untuk x = 1, y(1) = 1
Fungsi terbalik:

Pembilang genap, n = 2, 4, 6, ...

Sifat-sifat fungsi pangkat y = x p dengan eksponen rasional , yang berada dalam 0 disajikan.< p < 1 , где n = 2, 4, 6, ... - четное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

Domain: -∞ < x < +∞
Beberapa nilai: 0 y< +∞
Keseimbangan: genap, y(-x) = y(x)
Nada datar:
di x< 0 : монотонно убывает
untuk x > 0 : naik secara monoton
Ekstrem: minimum pada x = 0, y = 0
Cembung: cembung ke atas pada x 0
Breakpoint: Tidak
Titik potong dengan sumbu koordinat: x=0, y=0
Tanda: untuk x 0, y > 0
Batas:
;
Nilai pribadi:
untuk x = -1, y(-1) = 1
untuk x = 0, y(0) = 0
untuk x = 1, y(1) = 1
Fungsi terbalik:

Eksponen p lebih besar dari satu, p > 1

Grafik fungsi pangkat dengan eksponen rasional (p > 1 ) untuk berbagai nilai eksponen , di mana m = 3, 5, 7, ... ganjil.

Pembilang ganjil, n = 5, 7, 9, ...

Sifat-sifat fungsi pangkat y = x p dengan pangkat rasional lebih besar dari satu: . Dimana n = 5, 7, 9, ... adalah bilangan asli ganjil, m = 3, 5, 7 ... adalah bilangan asli ganjil.

Domain: -∞ < x < ∞
Beberapa nilai: -∞ < y < ∞
Keseimbangan: ganjil, y(-x) = - y(x)
Nada datar: meningkat secara monoton
Ekstrem: Tidak
Cembung:
di -∞< x < 0 выпукла вверх
pada 0< x < ∞ выпукла вниз
Breakpoint: x=0, y=0
Titik potong dengan sumbu koordinat: x=0, y=0
Batas:
;
Nilai pribadi:
untuk x = -1, y(-1) = -1
untuk x = 0, y(0) = 0
untuk x = 1, y(1) = 1
Fungsi terbalik:

Pembilang genap, n = 4, 6, 8, ...

Sifat-sifat fungsi pangkat y = x p dengan pangkat rasional lebih besar dari satu: . Dimana n = 4, 6, 8, ... adalah bilangan asli genap, m = 3, 5, 7 ... adalah bilangan asli ganjil.

Domain: -∞ < x < ∞
Beberapa nilai: 0 y< ∞
Keseimbangan: genap, y(-x) = y(x)
Nada datar:
di x< 0 монотонно убывает
untuk x > 0 naik secara monoton
Ekstrem: minimum pada x = 0, y = 0
Cembung: cembung ke bawah
Breakpoint: Tidak
Titik potong dengan sumbu koordinat: x=0, y=0
Batas:
;
Nilai pribadi:
untuk x = -1, y(-1) = 1
untuk x = 0, y(0) = 0
untuk x = 1, y(1) = 1
Fungsi terbalik:

Penyebut dari indikator pecahan adalah genap

Biarkan penyebut dari eksponen pecahan menjadi genap: m = 2, 4, 6, ... . Dalam hal ini, fungsi pangkat x p tidak ditentukan untuk nilai negatif dari argumen. Sifatnya bertepatan dengan fungsi pangkat dengan eksponen irasional (lihat bagian berikutnya).

Fungsi daya dengan eksponen irasional

Pertimbangkan fungsi daya y = x p dengan eksponen irasional p . Sifat-sifat fungsi tersebut berbeda dari yang dipertimbangkan di atas karena tidak ditentukan untuk nilai negatif dari argumen x. Untuk nilai positif argumen, properti hanya bergantung pada nilai eksponen p dan tidak bergantung pada apakah p bilangan bulat, rasional, atau irasional.

y = x p untuk nilai eksponen p yang berbeda.

Fungsi daya dengan p negative negatif< 0

Domain: x > 0
Beberapa nilai: y > 0
Nada datar: berkurang secara monoton
Cembung: cembung ke bawah
Breakpoint: Tidak
Titik potong dengan sumbu koordinat: Tidak
Batas: ;
nilai pribadi: Untuk x = 1, y(1) = 1 p = 1

Fungsi daya dengan eksponen positif p > 0

Indikatornya kurang dari satu 0< p < 1

Domain: x 0
Beberapa nilai: y 0
Nada datar: meningkat secara monoton
Cembung: cembung ke atas
Breakpoint: Tidak
Titik potong dengan sumbu koordinat: x=0, y=0
Batas:
Nilai pribadi: Untuk x = 0, y(0) = 0 p = 0 .
Untuk x = 1, y(1) = 1 p = 1

Indikatornya lebih besar dari satu p > 1

Domain: x 0
Beberapa nilai: y 0
Nada datar: meningkat secara monoton
Cembung: cembung ke bawah
Breakpoint: Tidak
Titik potong dengan sumbu koordinat: x=0, y=0
Batas:
Nilai pribadi: Untuk x = 0, y(0) = 0 p = 0 .
Untuk x = 1, y(1) = 1 p = 1

Referensi:
DI. Bronstein, K.A. Semendyaev, Buku Pegangan Matematika untuk Insinyur dan Mahasiswa Perguruan Tinggi, Lan, 2009.

Lihat juga:

Ingat properti dan grafik fungsi daya dengan eksponen bilangan bulat negatif.

Untuk n genap, :

Contoh fungsi:

Semua grafik fungsi tersebut melewati dua titik tetap: (1;1), (-1;1). Fitur dari fungsi jenis ini adalah paritasnya, grafiknya simetris terhadap sumbu op-y.

Beras. 1. Grafik suatu fungsi

Untuk n ganjil, :

Contoh fungsi:

Semua grafik fungsi tersebut melewati dua titik tetap: (1;1), (-1;-1). Fitur dari fungsi jenis ini adalah keanehannya, grafiknya simetris terhadap asalnya.

Beras. 2. Grafik Fungsi

Mari kita ingat definisi utama.

Derajat bilangan non-negatif a dengan eksponen positif rasional disebut bilangan.

Derajat bilangan positif a dengan pangkat negatif rasional disebut bilangan.

Untuk persamaan berikut berlaku:

Sebagai contoh: ; - ekspresi tidak ada menurut definisi gelar dengan eksponen rasional negatif; ada, karena eksponen adalah bilangan bulat,

Mari kita beralih ke pertimbangan fungsi kekuasaan dengan eksponen negatif rasional.

Sebagai contoh:

Untuk memplot fungsi ini, Anda dapat membuat tabel. Kami akan melakukan sebaliknya: pertama, kami akan membangun dan mempelajari grafik penyebut - kami mengetahuinya (Gambar 3).

Beras. 3. Grafik suatu fungsi

Grafik fungsi penyebut melewati titik tetap (1;1). Saat membangun grafik fungsi asli, titik ini tetap, ketika akar juga cenderung nol, fungsi cenderung tak terhingga. Dan, sebaliknya, karena x cenderung tak terhingga, fungsi cenderung nol (Gambar 4).

Beras. 4. Grafik Fungsi

Pertimbangkan satu fungsi lagi dari keluarga fungsi yang sedang dipelajari.

Adalah penting bahwa menurut definisi

Perhatikan grafik fungsi dalam penyebut: , kita tahu grafik fungsi ini, ia meningkat dalam domain definisinya dan melewati titik (1; 1) (Gambar 5).

Beras. 5. Grafik Fungsi

Ketika membangun grafik fungsi asli, titik (1; 1) tetap, ketika akar juga cenderung nol, fungsi cenderung tak terhingga. Dan, sebaliknya, karena x cenderung tak terhingga, fungsi cenderung nol (Gambar 6).

Beras. 6. Grafik Fungsi

Contoh-contoh yang dipertimbangkan membantu untuk memahami bagaimana grafik berjalan dan apa sifat-sifat fungsi yang dipelajari - fungsi dengan eksponen rasional negatif.

Grafik fungsi dari keluarga ini melewati titik (1;1), fungsi menurun di seluruh domain definisi.

Lingkup fungsi:

Fungsinya tidak dibatasi dari atas, tetapi dibatasi dari bawah. Fungsi tidak memiliki nilai maksimum atau minimum.

Fungsinya kontinu, dibutuhkan semua nilai positif dari nol hingga plus tak terhingga.

Fungsi Cembung Bawah (Gambar 15.7)

Titik A dan B diambil pada kurva, sebuah segmen ditarik melalui mereka, seluruh kurva berada di bawah segmen, kondisi ini dipenuhi untuk dua titik sewenang-wenang pada kurva, oleh karena itu fungsinya cembung ke bawah. Beras. 7.

Beras. 7. Kecembungan suatu fungsi

Penting untuk dipahami bahwa fungsi dari keluarga ini dibatasi dari bawah oleh nol, tetapi mereka tidak memiliki nilai terkecil.

Contoh 1 - temukan fungsi maksimum dan minimum pada interval dan meningkat denganX dan berkurang padaX }